exercicio 04 - equação de poisson diferencas finitas
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7/25/2019 Exercicio 04 - Equao de Poisson Diferencas Finitas
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Universidade Federal do Esprito Santo
Centro tecnolgico
Programa de ps graduao em Engenharia Mecnica
Victor ui! "ripa
#ES$U%&$ '( E)U(%&$ '*FE#E+C*( 'E P$*SS$+ U,**-(+'$
M.,$'$S 'E *+C#EME+,$ +$ ,EMP$ *MP/C*,$ E C#(+01+*C$S$+
Vitria2 34 de maio de 3567
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1. INTRODUO:
( distri8uio de presso em reservatrios de petrleo de 8ai9a
compressi8ilidade pode ser simulada pela e:uao de Poisson;
p
t=a(
2p
x2+
2p
y2 )
$ pro8lema a8ordado < o pro8lema dos 4 poos de e9trao de petrleo= (
con>igurao 8?sica < mostrada da >igura 56 a8ai9o= 'evido @ simetria do pro8lema2
pode1se analisar apenas o :uadrante superior do mesmo=
Condies de contorno do problema:
Para o pro8lema analisado2 as condiAes de contorno so;
( derivada normal da presso < nula nas arestas Bdevido @ simetria do campo
de presso= Matematicamente2 tem1se;
p
n(x , y ,t)=0para(x , y ) R
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(s pressAes no poo inDetor B525 e nos poos produtores B626 so
conhecidas;
p (0,0, t)=pI
p (1,1, t)=pref
Condio inicial:
( condio inicial a ser adotada initas= (lil de velocidades no domnio em :uesto
utili!ando a ei de 'arc presente na descrio deste tra8alho=
( >im de cumprir este o8Detivos e o8Detivos mais detalhados2 >e!1se primeiro
um estudo terico do pro8lema em :uesto= Em posse das e:uaAes :ue regem o
pro8lema para os dois ma! a resoluo do pro8lema utili!ando os dois m
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2. DESENVOLVIMENTO TERICO DO PROBLEMA:
( seguir >a!1se mostra1se a teoria posteriormente utili!ada no cdigo=
Discretizao no espao:
'ivide1se o domnio mostrado no primeiro :uadrante da >igura 6 em m1
c
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pi , jk+1pi , j
k
t =a(pi1,j
k+12pi , jk+1+pi+1,j
k+1
hx2
+pi , j1
k+12pi , jk+1+pi , j+1
k+1
hy2 )
#earranDando os termos2 tem1se;
(ahy2 )p i , j1k+1+(ahx2 )p i1,j
k+1+( 2ahx2+2a
hy2+ 1
t)pi , j k+1+(ahx2 )p i+1,jk+1+(ahy2 )pi , j+1
k+1=( 1 t)p i , j k
Utili!ando1se a *nde9ao e9icogr?>ica2 tem1se;
(ahy2 )pInk+1+(ahx2 )pI1
k+1+(2ahx2+2a
hy2+ 1
t)pIk+1+(ahx2 )pI+1k+1+(ahy2 )pI+n
k+1=( 1 t)pIk
Pode1se veri>icar :ue os coe>icientes da e:uao acima so constantes para
todo *=
Fa!1se;
aI=2a
hx2+2a
hy2+ 1
t
bI=a
hx2
cI=a
hx2
dI=a
hy2
eI=ahy2
Colocando1se em linguagem matricial2 tem1se;
Ap=b
$nde a matri! ( < mostrada a8ai9o;
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a c e
b a c e
b === === ===
d === c e
d b a c
=== b a c
d b a
E o vetor dos termos independentes 8 < mostrado a seguir;
(
(==
=
(
==
=
(Mtodo de Crank-Nicolson
Segundo o m
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$nde fi , j representa a >uno linear de apro9imao de pi , j = (ssim
su8stituindo as e:uaAes an?logas ao mica2 tem1se;
(a2hy2 )pInk+1+(a2hx2 )pI1
k+1+( ahx2+ a
hy2+ 1
t)pIk+1+(a2hx2 )pI+1k+1+( a2hy2 )pI+n
k+1=( a2hy2 )pInk+(
(s condiAes de contorno so as mesmas para os dois casos= ( di>erena se
da na montagem da matri! dos coe>icientes Bapenas por:ue os coe>icientes so
di>erentes e na montagem do vetor dos termos independentes=
Condies de contorno:
Foram dadas condiAes de contorno de >lu9o nulo e condiAes de contorno de
valor prescrito= (m8as esto descritas a seguir;
1 Fl!o nlo:
(gora encontra1se as e:uaAes :ue compAe o sistema linear provindas da
condio de contorno de >lu9o !ero;
p
n(x , y ,t)=0para(x , y) R
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Esta condio de contorno pode ser avaliada para as :uatro >ronteiras do
domnio mostrada na >igura 56;
1"1 Fronteira in#erior: p
y (x ,0,t)=0 ;0erior
do domnio do pro8lema;
(ahy2 )pInk+1+(ahx2 )pI1
k+1+(2ahx2+2a
hy2+ 1
t)pIk+1+(ahx2 )pI+1k+1+(ahy2 )pI+n
k+1=( 1 t)pIk
+ote :ue os termos pIn na verdade no >a!em parte do domnio do
pro8lema2 poricientes so;
~eI=eI+dI=a
hy2
a
hy2=2
a
hy2
~dI=0
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Esta nova e:uao deve ser su8stituda no sistema para todo ponto 0
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1"% Fronteira es&erda:
( condio de contorno aplicada @ >ronteira es:uerda torna1se;
p
x
(y ,0,t)=0; I=kn+1(k 1)
(nalogamente2 a condio de contorno utili!ando apro9imao centrali!ada
>ornece;
pI1 pI+1
Portanto os novos coe>icientes se tornam;
~cI=cI+bI=a
hx2
a
hx2=2
a
hx2
~
bI=0
*sso < v?lido para I=kn+1(0 k m1)
1"' Fronteira direita:
( condio de contorno < a seguinte;
p
x(y ,1, t)=0 ; I=kn(k 0)
+ovamente2 utili!ando a analogia aos casos anteriores2 deve1se alterar os
coe>icientes de tal >orma;
~bI=bI+cI=
a
hx2
a
hx2=2
a
hx2
~cI=0
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*sso < v?lido para I=kn(1 k m) =
2 Valor presr!"o:
Finalmente avalia1se as condiAes de valor prescrito;
p1,1=pI
$ :ue implica :ue a e:uao re>erente ao ponto I=1 possuir? os
seguintes coe>icientes;
~aI=1
~
bI=0
~cI=0
~dI=0
E o termo do vetor independente tam8icientes da e:uao re>erente ao ponto I=N da
seguinte >orma;
~aI=1
bI=0
~cI=0
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~dI=0
E o termo do vetor independente tam8
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# IMPLEMENTAO:
( rotina gerada est? e9posta a8ai9o= Ela utili!a como entrada os parmetros o
nGmero de nos deseDado no ei9o 9 e no ei9o o incremento temporal e o tempo >inal
no :ual deseDasse visuali!ar a soluo= ( rotina gera como sada um gr?>ico onde
mostra a distri8uio de presso em um mapa de curvas e o campo de velocidade=
Coment?rios >oram >eitos no prprio cdigo;
function[A,pind,p]=diferencasfinitas_2D_transiente (n,m,delta_t,t)%Entradas do programa:%n o nmero de n!s no ei"o "%m o nmero de n!s no ei"o #%deta_t o incremento de tempo%t o tempo no $ual $ueremos a solu&o
%% Escol'a do mtdo de incremento temporal:% utiliou uma $uestdlg para a escol'a do mtodo de incremento no tempometodo_escol'ido = $uestdlg(*ual o mtodo a ser utiliado+, -todo de incremento no tempo, .mpl/cito,0ran13icolson,.mpl/cito)4
%% Atri5ui&o e c6lculo de constantes:1ma"=round(t7delta_t)4 %nmero de steps temporais para o5termos a solu&odese8ada9"=4 %comprimento do dom/nio do pro5lema em "9#=4%comprimento do dom/nio do pro5lema em #;=a7('#@2)7delta_t4 5i=a7('"@2)4
di=a7('#@2)4 ci=5i4 ei=di4 case(0ran13icolson) ai=a7('"@2)a7('#@2)7delta_t4 5i=a7(2>'"@2)4
di=a7(2>'#@2)4 ci=5i4
ei=di4end
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%% -ontagem da matri A%A matri A foi montada usando a fun&o Boeplitr=eros(3,)4r(,)=ai4r(2,)=5i4
r(n,)=di4A=toeplit(r)4
%atri5ui&o das condiCes de contorno:
fori=:n %fronteira inferior:
A(i,in)=A(i,in)di4%ronteira uperior:
A(3i,3in)=A(3i,3in)ei4 end fori=n,i>n2)=A(i>n,i>n2)5i4%fa ci=ci5i
if(iFn,(i)>n)=
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1ma"gmres=2(7delta_ta7('"@2)a7('#@2))di>p(in,1)5i>p(i,1) ci>p(i,1)ei>p(in,1)4 end fori=2:n %A press&o p(.n) n&o e"iste e a e$ua&o
corrigida %com a condi&o de contorno inferior 5(i)=p(i,1)>(7delta_ta7('"@2)a7('#@2))5i>p(i,1) ci>p(i,1)(eidi)>p(in,1)4 end
fori=3n:3% a press&o p(.n) n&o e"iste e a e$ua&o
corrigida %com a condi&o de contorno superior 5(i)=p(i,1)>(7delta_ta7('"@2)a7('#@2))(diei)>p(in,1)5i>p(i,1) ci>p(i,1)4 end
fori=2>n:n:3n % a press&o p(.) n&o e"iste e a e$ua&o corrigida %com a condi&o de contorno direita 5(i)=p(i,1)>(7delta_ta7('"@2)a7('#@2))di>p(in,1) (5ici)>p(i,1)ei>p(in,1)4 end
fori=n:n:32>n% a press&o p(.) n&o e"iste e a e$ua&o
corrigida %com a condi&o de contorno es$uerda 5(i)=p(i,1)>(7delta_ta7('"@2)a7('#@2))di>p(in,1) (ci5i)>p(i,1)ei>p(in,1)4 end
%E"istem dois casos especiais onde duas condiCes de contorno
%s&o necess6rias, s&o eles: .=n e .=3n 5(n)=p(n,1)>(7delta_ta7('"@2)a7('#@2))(5ici)>p(n,1) (diei)>p(nn,1)4 5(3n)=p(3n,1)>(7delta_ta7('"@2)a7('#@2))(5ici)>p(3n,1) (diei)>p(3nn,1)4 end
5(,)=pi4
5(3,)=pref4 disp(1ma"1) %mostra o andamento do c!dico para o usuarioend
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%% -udana da nota&o le"icogr6fica para nota&o indicial cartesiana:pind=eros(m,n)4 %cria&o da matri $ue armaena as pressCes em seus%lugares geomtricos
for8=n:(8)>n,1ma")4endnome_planil'a=strcat(num2str(n), ",num2str(m),,num2str(1ma"),,metodo_escol'ido)4"ls?rite(-atri_de_pressCes,pind,nome_planil'a)4 %ala a matri depressCes em um%ar$uio "ls
%% 06lculo da elocidade%Nara o c6lculo da elocidade utiliase o resultado de press&o na nota&o%indicial:"=eros(m,n)4#=eros(m,n)4
%deido O condi&o de contorno de deriada de press&o em rela&o O normal%ser nula, temse:"(:,)=(pind(:,i)pind(:,i))7(2>'")4end
fori=2:m #(i,:)=;7mi>(pind(i,:)pind(i,:))7(2>'#)4end
%% N!s processameto%cria um gr6fico de curas de pressCes e do campo de elocidade"=[
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$ E%PERIMENTOS NUM&RICOS:
$ cdigo >oi e9ecutado v?rias ve!es nas mais variadas situaAes de modo a
identi>icar comportamentos no deseDados= (lguns >oram identi>icados e corrigidos
ou mitigados= ( seguir encontram1se algumas imagens geradas pela rotina=
a M
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c M
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(este de con)er*+ncia do mtodo Crank-Nicolson
( partir das imagens acima pode1se veri>icar :ue o me!1
se uma an?lise da IconvergJnciaK do meitos com nHmH65=
a Cran1+icolson com intervalos de tempo de 524 B3 steps
8 Cran1+icolson com intervalos de tempo de 523 B4 steps
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c Cran1+icolson com intervalos de tempo de 526 B65 steps
d Cran1+icolson com intervalos de tempo de 5254 B35 steps
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e Cran1+icolson com intervalos de tempo de 52564 B655 steps
Pode1se veri>icar :ue o m
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8 M
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d Minitas tem uma caracterstica pontual= 'evidoa este >ato a o8teno de gradientes de >unAes < um ponto delicado= Pode1se notar
a caracterstica pontual deste munoda >orma dos elementos utili!ados BnH65 e mH35 ou nH35 ou mH65= Para melhorvisuali!ao2 mostra1se as duas imagens a8ai9o;
Pode1se notar :ue os vetores da velocidade Bpor conse:uJncia o gradiente dapresso variam ra!oavelmente de acordo com o ponto em :ue se encontram=
,esposta re#inada
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( seguir2 encontra1se o campo de presso o8tido utili!ando1se uma malha re>inadaBnHmH45;
$8servao; a priori no e9istia a e9igJncia de plotar o campo de presso em L'2por isso todos os gr?>icos iniciais >oram >eitos utili!ando curva de nvel= Este Gltimogr?>ico >oi plotado em L' para mostrar a possi8ilidade de tal t
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' CONCLUSO:
Primeiramente2 pode1se notar :ue o cdigo criado < geniciente para
analisar casos com nm2 nHm e nNm2 8em como variados incrementos temporais=
(llu9o
constante e pode1se veri>icar a utilidade do merenas >initas
8idimensional=
'e acordo com as imagens mostradas acima pode1se perce8er alguns pontos
destac?veis= Estes esto descritos a seguir;
$ muno presso em
pontos pr9imos um ao outro=
$s campos de presso o8tidos >oram Bcomo esperado sim