Exercices de statique des fluides1 - La figure schmatise un manomtre liquide (masse volumique ) rservoir de section constante S ; celle du tube vertical est s. Lorsque , on a tube. Lorsque deviennent reprable. fonction de ( reprable travers le , les cotes des deux surfaces libres et z, cette dernire cote tant seule en ).

1) Exprimer la pression diffrentielle ) et de , g, s, S ( 2) Exprimer la sensibilit 3) On incline le tube du manomtre, sa direction faisant un angle avec le plan horizontal. La position du mnisque le long du tube est repre par son abscisse Z. Calculer la nouvelle sensibilit.Rponse 1

2

3

2 - Un manomtre diffrentiel est constitu de deux rcipients cylindriques, de sections droites respectives , relis par un tube de section intrieure s constante.

L'ensemble contient deux liquides non miscibles de masses volumiques . 1) Initialement, la pression au-dessus des deux liquides est la mme et gale dfinie par . , la surface de sparation est

En dduire une relation entre . 2) On provoque au-dessus du liquide 1 une surpression et la surface de sparation des deux liquides se dplace de . En dduire la sensibilit .

A.N.

;Rponse

;

1

22) La pression augmentant du cot 1, la surface de sparation des deux liquides baisse de la surface libre du liquide 1 baisse de , celle du liquide 2 augmente de .

,

L'galit des pressions la surface de sparation des deux liquides donne :

Par suite

3 La figure ci-contre reprsente une vanne rectan-gulaire (L x l) en coupe verticale destine fixer le niveau deau (hauteur h) dune retenue. Cette vanne est articule sa base sur un axe OO et maintenue au sommet par 2 chanes parallles manoeuvres par un treuil. En position haute (angle ) on supposera la direction des chanes perpendiculaires la vanne. 1) Calculer la pousse sur la vanne due la pression hydrostatique et son centre dapplication.

2) Calculer les efforts transmis aux chanes (on ngligera le poids propre de la vanne) et la raction de laxe OO. Application numrique : h = 4m ; L = 5m ; l = 6mRponse

1) Soit p la pression dans leau. Elle obit la relation qui, aprs intgration, donne : o Sur un lment est la pression (uniforme) de lair.

de la vanne, la force lmentaire des forces de pousse est :

Une premire intgration suivant dy conduit :

une deuxime suivant z en tenant compte de la relation

conduit :

Centre dapplication C

Il est dfini par

Par suite, 2) Soit la raction de laxe OO et transmet la moiti de cet effort). leffort transmis par les chanes (chaque chane

Lapplication du moment des forces au point D milieu de OO donne : .

Aprs calcul,

4 - On remplit deau sur une hauteur h un verre de forme cylindrique. On appelle S la section de sa base. 1) Calculer la rsultante des forces de pression sur les parois du verre. Interprter le rsultat 2) Mmes questions avec un verre en forme de cne, un verre ballon. Rponse

1) Par symtrie, la rsultante des forces de pression sur les parois verticales sannulent. Sur le fond,

Ce rsultat peut tre obtenu directement en faisant un bilan global sur le systme eau. 2) La rponse est indpendante de la forme du verre.

5 - Une vanne de vidange est constitue par un disque de rayon R pivotant autour dun axe horizontal. Le centre O du disque est positionn une hauteur h par rapport au niveau deau. 1) Calculer la pousse sur le disque et la position du centre de pousse. 2) Reprendre le calcul dans le cas o le disque est noy (eau de chaque cot du disque). Ce cas est celui dune cluse. Application numrique : h = 2m ; R = 0,5m

Reponse

1) Par symtrie, on associe les lments de surface symtriques dpaisseur dz en position z et z La rsultante des forces de pression due leau et lair sur ces lments est gale : rsultante des forces de pression.

Calcul du moment des forces de pression

o

.

Pour lintgration tous les lments de surface du disque, on utilise le changement de variables

et on obtient

Le centre de pousse sera dtermine par

2) En introduisant la pression nouvelle

, on obtient :

6) Une vanne plane verticale de forme rectangulaire (largeur L et de hauteur l), articule autour dun axe (figure ci-dessous), maintient le niveau de deux liquides non miscibles de masses

volumiques respectives . Le niveau du liquide de masse volumique se situe une hauteur h (le liquide 1 dpasse lextrmit haute de la vanne). Lautre liquide de masse volumique est situ une hauteur H-h au de dessus du premier liquide. La face de la vanne

du ct liquide est compltement noye dans le liquide de masse volumique . 1) Calculer la force de pousse due la pression hydrostatique du liquide sexerant sur la face verticale de la vanne. 2) Dterminer la position du point dapplication C de cette pousse en fonction de .

On vrifiera que

Rponse

1)

2) Le moment des forces est gal :

La position du centre de pousse sera dtermine par :

Soit

Cas particulier :

7 - Une cloche hmisphrique ( rayon R, paisseur e