exercices corriges. developpements limites et calculs de limites

Dveloppements limits, quivalents et calculs de limites Pascal Lain

1

Dveloppements limits, quivalents et calculs de limites

Exercice 1.

Dterminer le dveloppement limit en lordre des fonctions suivantes :

1.

2.

3.

4.

Allez : Correction exercice 1

Exercice 2.

1. Ecrire le dveloppement limit de au voisinage de , lordre .

2. En dduire le dveloppement limit de au voisinage de , lordre .

3. Soit . En utilisant ce qui prcde, dterminer lasymptote au graphe de pour .


Exercice 3.

1. Dterminer le dveloppement limit lordre 6, au voisinage de 0, de :



Exercice 4.

Soient et dfinies par :

1. Donner le dveloppement limit de et au voisinage de lordre .

2. En dduire lquation dune droite asymptote au graphe de en .

3. En dduire lquation dune droite asymptote au graphe de en et positionner par rapport

cette asymptote.


Exercice 5.

Soit la fonction pour tout dfinie par

1. Dterminer le dveloppement limit de , lordre au voisinage de .

2. En dduire lquation de la tangente au point dabscisse et la position de la tangente par rapport

la courbe.

3. Dterminer une quation de lasymptote en ainsi que la position de cette asymptote par rapport la

courbe.



2

Exercice 6.

Soit lapplication de dans , dfinie pour tout par :

1. Donner le dveloppement limit de , lordre , dans un voisinage de .

En dduire que le graphe de admet une tangente au point dabscisse . Donner une quation

cartsienne de et prciser la position du graphe par rapport .

2. En utilisant un dveloppement asymptotique de en , dmontrer que le graphe de admet une

asymptote .

Donner une quation cartsienne de et prciser la position du graphe de par rapport .


Exercice 7.

Dterminer le dveloppement limit lordre 6, au voisinage de 0, de la fonction :


Exercice 8.

Dterminer le dveloppement limit lordre , au voisinage de de la fonction dfinie par :


Exercice 9.

Dterminer le dveloppement limit en lordre de

1. , , .

2. , , .


Exercice 10.

Dterminer le dveloppement limit lordre 4, au voisinage de , de la fonction :


Exercice 11.

Dterminer le dveloppement limit lordre , au voisinage de de la fonction dfinie par :


Exercice 12.

1. Dterminer le dveloppement limit lordre 4, au voisinage de , de :

2. Donner un quivalent de , en .

3. En dduire


3


Exercice 13.

Justifier lexistence et calculer le dveloppement limit lordre , relatif , des applications

suivantes :

1.

2.


Exercice 14.

1. Calculer un dveloppement limit lordre en de et de .

2. En dduire


Exercice 15.

1. Calculer un dveloppement limit lordre au voisinage de de :

2. En dduire quon peut prolonger cette fonction par continuit en et que la fonction ainsi

prolonge admet une drive premire en .

3. Calculer un dveloppement limit lordre 4 au voisinage de de :


Exercice 16.

Justifier lexistence et calculer le dveloppement limit lordre , relatif , de lapplication suivante :


Exercice 17.

Dterminer le dveloppement limit lordre 2, au voisinage de 0, de :


Exercice 18.

Dterminer le dveloppement limit lordre 2, au voisinage de 0, de :


4


Exercice 19.

Dterminer le dveloppement limit lordre , au voisinage de 0 de la fonction


Exercice 20.



3. Montrer que est prolongeable par continuit en .


Exercice 21.

Soit la fonction relle dfinie par :

1. Donner les dveloppements limits en , lordre , des fonctions , et .

2. En dduire la limite, lorsque tend vers ( ), de lexpression .


Exercice 22.

1. Dterminer le dveloppement limit lordre , au voisinage de de la fonction dfinie par :

2. En dduire un quivalent de au voisinage de .


Exercice 23.

Justifier lexistence et calculer le dveloppement limit lordre , relatif , des applications

suivantes :

1.

2.

3.


Exercice 24.

1. Donner le dveloppement limit lordre 1, en 0 de


5

2. Calculer


Exercice 25.

Dterminer le dveloppement limit lordre , au voisinage de 0 de la fonction


Exercice 26.

Ecrire le dveloppement limit lordre , en , de et en dduire sa limite en .


Exercice 27.

1. Dterminer le dveloppement limit lordre en de : .

2. En dduire le dveloppement gnralis lordre de lorsque .

3. En dduire


Exercice 28.

Calculer

1.

2.

3.

4.


Exercice 29.

Calculer, si elles existent, les limites suivantes :


Exercice 30.

Dterminer la limite suivante, sans prjuge quelle existe :


6


Exercice 31.

Calculer les limites

1.

2.

On pourra poser

3.


Exercice 32.

Soit lapplication dfinie par

1. Dterminer un dveloppement limit de lordre en .

2. Montrer que est une bijection et que sa bijection rciproque est de classe , en dduire que

a un dveloppement limit lordre .

On note le dveloppement limit de en .

3. En dduire le dveloppement limit de en exploitant la relation .


CORRECTIONS

Correction exercice 1.

1.

2.


7

Donc

3.

4.

Allez : Exercice 1


1.

2.

Premire mthode

Avec

Et


8

Allez : Exercice 2

Deuxime mthode

3. On pose ,

Donc est asymptote au graphe en .

Allez : Exercice 2


1.

Donc

2.


9

Donc

Allez : Exercice 3


1.

Avec

Avec

Donc

La courbe admet une tangente dquation lorigine

2. On pose , donc .


10

La courbe admet une asymptote horizontale dquation en

3. On pose donc .

La courbe admet une asymptote dquation en , comme au voisinage de

La courbe est au-dessous de lasymptote.

Allez : Exercice 4


1.

Avec , et

2. Une quation de la tangente en est

Cette expression est positive dans un voisinage de donc la courbe est au-dessus de la tangente dans un

voisinage de .

3. On pose lorsque .

Car .

En utilisant le dveloppement limit du 1. on en dduit que


11

Une quation de lasymptote en est

Cette expression est positive lorsque que donc la courbe est au-dessus de lasymptote en .

Allez : Exercice 5


1.

Au voisinage de 0,

Une quation de la tangente en est , et comme est du signe de

lorsque est proche de .

Si la tangente est au dessous de la courbe.

Si la tangente est au dessus de la courbe.

Remarque :

Attention au raisonnement suivant, si alors , si

admet un dveloppement limit lordre , par exemple parce que est de classe dans un

voisinage de , alors ce dveloppement est celui-l, autrement dit on ne peut pas driver un

dveloppement limit sans justifier que la fonction drive admet un dveloppement limit. Par contre

on peut toujours intgrer un dveloppement limit.

2. On pose ,

Lorsque , et au voisinage de ,

On trouve le dveloppement limit en de laide du 1.

donc la droite dquation est asymptote la courbe.

Comme est strictement ngatif lorsque , la courbe est au dessus de

lasymptote.

Allez : Exercice 6


12


Donc

Donc

Allez : Exercice 7


Allez : Exercice 8


1. On pose ,

En posant , et

2. On pose

Le dnominateur et le numrateur sannulent en . Il faut trouver un dveloppement limit lordre

(au moins) du numrateur et du dnominateur. Pour le dnominateur il ny a pas de problme, par


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contre le dveloppement limit de ne fait pas parti des formules connues,

pour cela on va chercher un dveloppement lordre de sa drive.

Donc

Allez : Exercice 9


Premire mthode :

est donc admet un dveloppement limit nimporte quel ordre, on peut appliquer la formule

de Taylor-Young

Allez : Exercice 10

Deuxime mthode

On pose

Allez : Exercice 10



14

On pose

Allez : Exercice 11


1. On pose , soit ,

Avec , et

2.

3.

donc

Allez : Exercice 12


1. et est au voisinage de , donc admet un dveloppement limit nimporte quel

ordre.

On pose

Avec

2. On pose


15

est une fonction au voisinage de donc elle admet un dveloppement limit nimporte quel

ordre. On fait dabord un dveloppement limit lordre de

Avec , ,

et

Cette fois il fallait bien faire un dveloppement limit lordre en parce que le premier terme de

est en .

Avec


16

Allez : Exercice 13


1. On pose

On peut utiliser la mme mthode ou utiliser la formule de Taylor pour les polynmes de degr

2.

Allez : Exercice 14


1. Comme on va diviser par , il faut faire un d.l. de lordre .

2.

On peut prolonger par continuit en posant .


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admet un d.l. lordre 1, donc existe et (le coefficient de dans le d.l. de ).

On rappelle que lon ne peut pas conclure des rsultats identiques sur les drives dordre suprieures si

on na pas montr auparavant que la fonction admettait une drive lordre voulue.

3.

Avec , et

Donc

Allez : Exercice 15


tend vers lorsque tend vers , donc est prolongeable par continuit , et sont

donc ces fonctions admettent des dveloppement limit nimporte quelle ordre, leur quotient aussi.

Il va y avoir une simplification par , donc il faut faire un dveloppement limit du numrateur et du

dnominateur lordre , est un polynme de degr infrieur , son dveloppement limit est lui-

mme.

L, il y a deux techniques, soit la division suivant les puissances croissantes ou utiliser la formule .

Je vais faire une division

Allez : Exercice 16


Avec , et

Donc


18

Donc

Allez : Exercice 17


Avec , et

Donc

Donc

Allez : Exercice 18


19


Et

Donc on pourra mettre en facteur au numrateur et au dnominateur, puis simplifier par , il

faut donc faire des dveloppements limits lordre pour finalement obtenir un

dveloppement limit lordre .

Je me suis contenter de faire des dveloppements lordre parce que les deux factorisations par

(donc par ) permettent dobtenir le produit de par un produit de dveloppements limits

lordre (qui donne un dveloppement limit lordre ) cest--dire un dveloppement limit

lordre .

Si on avait fait des dveloppements limits de et de lordre , on aurait juste

constat que les deux termes de degr nauraient servi rien (donc rien de bien grave).

Donc

Il reste faire une division suivant les puissances croissantes

Et finalement


20

Allez : Exercice 19


1.

Avec , ,

et

2.

Donc

Avec et

On aurait aussi pu faire une division suivant les puissances croissantes

3.

donc est prolongeable par continuit par la fonction dfinie par :

Allez : Exercice 20


1.


21

2.

Donc

Et

Allez : Exercice 21


1.

Donc

Il faut faire un dveloppement limit au mme ordre du dnominateur

2.

Allez : Exercice 22


1. tend vers lorsque tend vers , donc est prolongeable par continuit , et sont

donc ces fonctions admettent des d.l. nimporte quelle ordre, leur quotient aussi.

Il va y avoir une simplification par , donc il faut faire un d.l. du numrateur et du dnominateur lordre

, est un polynme de degr infrieur , son d.l. est lui-mme.


22

L, il y a deux techniques, soit la division suivant les puissances croissantes ou utiliser la formule .

Je vais faire une division

2. Il faut videmment rduire au mme dnominateur

Le terme de plus petit degr du dnominateur est car

Pour que cette fonction admette un dveloppement limit il faut que le terme de plus bas degr du

numrateur soit en .

est paire, cette fonction est nulle en , le terme en est car

Tout va bien, le terme de plus bas degr de cette fonction est en (le terme en est nul car la

fonction est paire. Donc cette fonction admet un dveloppement limit en et il y aura une

simplification par . Pour faire un dveloppement limit lordre , il faut faire un dveloppement

limit lordre du numrateur et du dnominateur.

On remarquera que le dveloppement limit lordre de permet de trouver le dveloppement

limit lordre de


23

3.

Il faut dj faire un dveloppement limit lordre de

On va diviser par donc il faut faire un dveloppement limit de lordre 6.

Avec

Donc il tait bien inutile de faire un dveloppement limit lordre de , lordre suffit car

le terme de plus bas degr de est .


24

Avec

Allez : Exercice 23


1.

2. On pose , tend vers lorsque tend vers linfini.

Car

Allez : Exercice 24


Allez : Exercice 25


Ni ni nadmettent de dveloppement limit en , il faut absolument rduire au mme

dnominateur.

Le dnominateur sannule en , il faut faire attention ! Le terme de plus bas degr est , cela se voit. Si

le terme de plus bas degr du numrateur est avec , la fonction nadmet pas de dveloppement

limit en .

Etudions brivement , cette fonction sannule en , il ny a pas de terme constant,

elle est paire donc il ny a pas de terme en et , il reste regarder le terme en :

le premier terme est , donc le premier terme est aussi

, il ny a pas de terme en . Cette tude justifie le fait que cette fonction admet un dveloppement


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limit en . De plus il y aura une simplification par il faut donc faire des dveloppement limit

lordre pour pouvoir obtenir un dveloppement limit lordre .

On notera quun dveloppement limit lordre de suffit pour obtenir un dveloppement limit

lordre de .

On notera quun dveloppement limit lordre de suffit pour obtenir un dveloppement limit

lordre de . Cela vient du fait que le dveloppement limit de commence par .

On en dduit que :

En faisant une troncature du dveloppement limit de trouver ci-dessus.

La premire (et plus dlicate) partie est finie, il faut trouver le dveloppement limit dun quotient de

fonction dont le dnominateur ne sannule pas. On peut faire une division suivant les puissance

croissante mais ici on peut appliquer la formule , cela me parait plus simple.

Avec , et . On remarquera quun d.l. lordre du d.l.

de pose un problme parce que or on souhaite obtenir un d.l.

lordre .

On en dduit que :


26

Et enfin

Allez : Exercice 26


1.

Avec , et .

Donc

2. On pose ,

3.

Donc


27

Allez : Exercice 27


1.

Donc

2. On pose

3. On pose , tend vers lorsque tend vers linfini.

Car

4.

Donc

Allez : Exercice 28


Si , et si , .

Mais nadmet pas de limite en .


28

Allez : Exercice 29


Par consquent

Allez : Exercice 30


1. On pose lorsque .

est une forme indtermine lorsque car le numrateur et le

dnominateur tende vers . Le terme de plus bas degr du dnominateur est (cest le seul), il faut donc

faire un d.l. lordre du numrateur.

Donc

Et

2.

On peut toujours vrifier, il sagit dune forme indtermine.

Il faut faire apparatre ,


29

Donc

L on est forcment tenter dutiliser la formule mais attention, il faut vrifier que

lorsque .

Soit on sait que la limite de tend vers lorsque , donc tend aussi vers , soit on ne le

sait pas et on cherche un quivalent de .

Donc

Cest bon

3.

Bien sr, il sagit dune forme indtermine, il va falloir faire un dveloppement limit, mais quel

ordre ?

Regardons le dnominateur, manifestement les termes en sannulent, il ny a pas de terme en , on va

faire un dveloppement limit du dnominateur lordre .

On va faire alors un dveloppement limit du numrateur lordre .

avec

, et et donc

avec

, et et donc


30

Donc

Et

Allez : Exercice 31


1.

2.

Donc est une fonction strictement croissante de sur , cest une bijection.

Si est une fonction strictement croissante donc est une fonction strictement croissante de sur

(les sinversent), comme la drive de nest jamais nulle, est drivable et

est donc dfinie sur et continue sur car est continue. Par une rcurrence quasi immdiate,

on en dduit que est sur et donc admet un dveloppement limit nimporte quel ordre.

3. on peut appliquer la formule du dveloppement limit de au voisinage de .

Allez : Exercice 32

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