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Electrostatique PACES
Enoncé :
Soit un ensemble de 3 charges électriques ponctuelles -‐2q, +q, +q disposées aux sommets A, B et C d’un triangle équilatéral de coté a, dans l’air.
1. Calculer le potentiel V et déterminer le champ E créés par cette distribution de
charges au centre de gravité G du triangle (q>0). On appellera j le vecteur
unitaire dirigé de G vers A d’origine G et i le vecteur unitaire tel que (G, )
forme une base orthonormée.
Potentiel : A : 0 B : 1π ε
2q3a2
C : −1π ε
2q3a2
D : 1π ε
q3a
E : −1π ε
q3a
Champ : A : 0 B :
14π ε
9q2
a2i
C : −14π ε
9qa2j
D :
14π ε
9qa2j
E :
14π ε
9qa2i
2. A quelle force F est soumise une charge Q=-‐3q placée en G ?
A : 0 B :
14π ε
9q2
a2i C :
−274π ε
q2
a2j
D :
274π ε
qa2j E :
−94π ε
Qq2
a2j
3. Quelle est l’énergie électrostatique de la charge Q placée en G dans le champ électrique résultant des 3 autres charges ?
A : 0 B : 94π ε
Qqa C : 9
4π εq2
a
D : 94π ε
Qqa2 E : − 9
4π εq2
a
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Electrostatique PACES
Réponses :
Figure 1.
1. Calcul du potentiel V
Le potentiel est une grandeur scalaire, il suffit donc pour obtenir le potentiel en G, noté V(G), créé par les charges situées en A, B et C de sommer chacune des contributions, soit :
V(G)=V(A)+V(B)+V(C)
Avec : V(G) le potentiel en G créé par les charges situées en A, B et C
V(A), V(B) et V(C) les potentiels créés par les charges A, B et C au point G
Remarque : Le centre de gravité G du triangle ABC est le point d’intersection des trois médianes. Dans un triangle, une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.
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Electrostatique PACES
Rappel de cours Le potentiel créé par une charge ponctuelle q, placé dans le vide, en un point M de l’espace situé à la distance r de la charge q est donné par :
V(M)= 14πε0
qr
ε0 est la permittivité électrique du vide
Calcul du potentiel V(A)
Le potentiel V(A) est le potentiel créé par la charge située en A (-‐2q) au point G, donc :
V(A)= 14πε
−2qAG
Avec : AG qui est la distance entre le point A et le point G
ε permittivité électrique de l’air
Remarque : le triangle ABC étant un triangle équilatéral les distances AG, BG, et CG sont égales.
On pose alors : AG=BG=CG=r, d’ou : V(A)= 14πε
−2qr
Calcul des potentiels V(B) et V(C)
Par analogie avec ce qui a été dit précédemment, on a :
V(B)= 14πε
qr
V(C)= 14πε
qr
On a alors : V(G)=V(A)+V(B)+V(C)
V(G)= 14πε
−2qr+14πε
qr+14πε
qr
V(G)= 14πε
1r-2q+q+q( )
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Electrostatique PACES
⇒V(G)=0
Le potentiel est nul au centre de gravité du triangle ABC
Réponse : A
Calcul du champ électrostatique E
Le champ électrostatique est une grandeur vectorielle, il est donc nécessaire pour obtenir le champ en G, noté
E (G), créé par les charges situées en A, B et C de faire une
sommation vectorielle au point G de chacune des 3 contributions, soit :
E (G)=
E (A)+
E (B)+
E (C)
Avec : E (G) le champ électrostatique en G créé par les charges situées en A, B et C
E (A),
E (B) et
E (C) les champs respectivement créés par les charges A, B et C au
point G
Rappel de cours Le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle q, placé dans le vide, en un point M de l’espace situé à la distance r de la charge q est donné par :
E (M)=
14πε0
qr2u
u est un vecteur unitaire généralement choisi dirigé de q vers M (point ou l’on veut déterminer le champ). Il sert à indiquer la direction du champ électrostatique
ε0 est la permittivité électrique du vide
Calcul du champ E (A)
Le champ E (A) est le champ créé par la charge située en A (-‐2q) au point G, donc :
E (A)=
14πε
−2qr2uA
Avec : uA le vecteur unitaire dirigé de A vers G. La charge en A étant négative (-‐2q) le
champ créé par A en G est dirigé de G vers A. Le vecteur E (A) est donc « négatif » compte
tenue l’orientation de uA (cf. Figure 2).
ε permittivité électrique de l’air
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Electrostatique PACES
Calcul des champs E (B) et
E (C)
Par analogie avec ce qui a été dit précédemment, on a :
Pour E (B) :
E (B)=
14πε
qr2uB
Avec : uB le vecteur unitaire dirigé de B vers G. La charge en B étant positive (+q) le
champ créé par B en G est dirigé de B vers G. Le vecteur E (B) est donc « positif » compte
tenue l’orientation de uB (cf. Figure 2).
Pour E (C) :
E (C)=
14πε
qr2uC
Avec : uC le vecteur unitaire dirigé de C vers G. La charge en C étant positive (+q) le
champ créé par C en G est dirigé de C vers G. Le vecteur E (C) est donc « positif » compte
tenue l’orientation de uC (cf. Figure 2).
Figure 2.
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Electrostatique PACES
On a alors : E (G)=
E (A)+
E (B)+
E (C)
Donc : E (G)=
14πε
−2qr2uA +
14πε
qr2uB +
14πε
qr2uC
E (G)=
14πε
qr2
−2 uA +uB +uC( )
Le champ électrostatique E (G) dépend du choix des vecteurs unitaires
uA , uB et
uC , par conséquent pour faciliter l’expression du champ
E (G) on l’exprimera dans la base
cartésienne orthonormée (G, i ,j ) (cf. Figure 3).
Pour cela il suffit de projeter les vecteurs unitaires uA , uB et
uC dans (G, i ,j ).
Projection de uA dans (G,
i ,j )
Le vecteur unitaire uA a une seule composante sur
j , tel que :
uA = −j
Projection de uB dans (G,
i ,j )
La projection du vecteur unitaire uB sur (
i ,j )
s’écrit : uB = −uB cos α 2( ) i + uB sin α 2( ) j
avec uB qui est la norme du vecteur unitaire uB , et comme
uB est un vecteur unitaire alors sa norme est égale à 1, donc :
uB = − cos α 2( ) i + sin α 2( ) j
Projection de uC dans (G,
i ,j )
La projection du vecteur unitaire uC sur (
i ,j ) s’écrit :
uC = uC cos α 2( ) i + uC sin α 2( ) j avec uC qui est la norme du vecteur unitaire
uC , et comme uC est un vecteur unitaire
alors sa norme est égale à 1, donc : uC = cos α 2( ) i + sin α 2( ) j
Le champ électrique E (G) s’écrit alors dans la base (G,
i ,j ) :
E (G)=
14πε
qr22j − cos α 2( )i + sin α 2( ) j + cos α 2( )i + sin α 2( ) j( )
E (G)=
14πε
qr22j + 2sin α 2( ) j( )
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Electrostatique PACES
Le triangle ABC étant équilatéral, l’angle α est égal à 60° ou π/3 rad, donc α/2=30° ou
π/6 rad, d’ou sin α 2( ) = 12.
on a alors : E (G)=
34πε
qr2j
Figure 3.
Enfin pour déterminer l’expression du champ en fonction des données du problème on exprime r en fonction de a (cf. Figure 3).
On a : cos α 2( ) = a2r, d’ou : r = a
2cos α 2( )
on a : cos α 2( ) = cos π6
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
32, donc : r = a
3
On obtient donc : E (G)=
94πε
qa2j
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Electrostatique PACES
⇒ E (G)=
94πε
qa2j
Le champ résultant
E G( ) est dirigé suivant
j , sa norme est :
E G( ) =
94πε
qa2
Réponse : D
Remarque : Grace aux des symétries du problème nous aurions immédiatement puis en déduire que le champ électrostatique résultant au point G,
E G( ) , avait une seule et unique composante
sur l’axe des j . Les composantes des champ élémentaires s’annulant 2 à 2 suivant l’axe des
i
2. Force subit par la charge Q=-‐3q placée en G
Rappel de cours Une charge ponctuelle q placée dans un champ électrostatique
E subit une force
électrostatique de la forme : F=qE
Au point G le champ est électrostatique est :
E G( ) = 9
4π εqa2j
La charge Q, placée en G, est donc soumise à une force électrostatique du type :
F=Q
E G( )
d’ou :
F=Q 9
4π eqa2j
on a Q=-‐3q, donc :
F= −274π ε
q2
a2j
⇒
F= −274π ε
q2
a2j
La force électrostatique que subit la charge Q=-‐3q placé en G est dirigée
suivant la direction -‐ j , sa norme est :
F =
274π ε
q2
a2
Réponse : C
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Electrostatique PACES
3. Energie potentielle électrostatique de la charge Q placée en G
Rappel de cours Une charge ponctuelle q placée dans un champ de potentiel, acquière une énergie potentielle électrostatique, ou plus simplement énergie électrostatique, Ep, de la forme : Ep=qV L’énergie est une grandeur scalaire.
Au point G, le potentiel électrostatique est V(G)=0. L’énergie électrostatique acquise par la charge Q étant de la forme : Ep=Q V(G), on a : Ep=0.
⇒ Ep=0
L’énergie électrostatique acquise par la charge Q placée en G est donc nulle.
Réponse : A