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Curso de Engenharia de Controle e Automação Disciplina: Álgebra Linear Professor: Marcelo Cendron
Exercícios – Conversão de bases
1. Emcadaparteencontreovetorcoordenada𝑤emrelaçãoabase𝐴deℝ!
a. 𝐴 = {(1, 0), (0, 1)}; 𝑤 = (3,−7)
b. 𝐴 = {(2,−4), (3, 8)}; 𝑤 = (1, 1)
c. 𝐴 = {(1, 1), (0, 2)}; 𝑤 = (𝑎, 𝑏)
2. Emcadaparteencontreovetorcoordenada𝑤emrelaçãoabase𝐴deℝ!
a. 𝐴 = {(1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3)}; 𝑤 = (2,−1, 3)
b. 𝐴 = {(1, 2, 3), (−4, 5, 6), (7,−8, 9)}; 𝑤 = (5,−12, 3)
3. Emcadaparteencontreovetorcoordenada𝑝emrelaçãoabase𝐵 = {𝑝!,𝑝!,𝑝!de
𝑃!
a. 𝑝! = 1,𝑝! = 𝑥,𝑝! = 𝑥!;𝑝 = 4− 3𝑥 + 𝑥!
b. 𝑝! = 1+ 𝑥,𝑝! = 1+ 𝑥!,𝑝! = 𝑥 + 𝑥!;𝑝 = 2− 𝑥 + 𝑥!
4. Encontreovetordecoordenadasde𝐴emrelaçãoabase𝑆 = {𝐴!,𝐴!,𝐴!,𝐴!}
𝐴! =−1 10 0 ,𝐴! =
1 10 0 ,𝐴! =
0 01 0 ,𝐴! =
0 00 1 ; 𝐴 = 2 0
−1 3
5. Consideremosasseguintesbasesdeℝ!:
𝐴 = 1, 1 , 0,−1 𝑒 𝐵 = 2,−3 , −3, 5
a. Determineamatrizmudançadebase 𝐼 !!
𝐼 !! = 8 −3
5 −2
b. Utilizaamatrizobtidanoitema)paracalcular𝑣! ,sendo𝑣! = (2, 3)
𝑣! = (7, 4)
c. Determineamatrizmudança 𝐼 !!
𝐼 !! = 2 −3
5 −8
6. Seja𝐴 = 3,−1 , 1,−2 𝑒 𝐵 = 3, 2 , 2, 2 .Determineasmatrizesde
mudança 𝐼 !!e 𝐼 !
! ecalcule𝑣! ,sendo𝑣! = (4, 3)
𝐼 !! =
4 3!!!
−4 𝐼 !! =
!!
!!
!!!
!!!
𝑣! = (25,−30)
7. Seja𝐵! = 1, 0 , 0, 1 ,𝐵! = 1, 1 , −1, 0 ,𝐵! = −1, 1 , 2, 3 𝑒 𝐵! =
2, 1 , −5,−1 ,basesdoℝ!.
a. Determine 𝐼 !!!! , 𝐼 !!
!! , 𝐼 !!!! , 𝐼 !!
!! , 𝐼 !!!!
b. Determineovetorcoordenadade𝑣 = (−3, 4)emrelaçãoasbases
𝐵!,𝐵!,𝐵!,𝐵!
8. Consideremosasseguintesbasesdeℝ!:
𝐴 = 1, 0, 0 , 0, 1, 0 , 0, 0, 1 𝑒 𝐵 = 1, 0,−1 , 0, 1,−1 , −1, 1, 1
a. Determineamatriz 𝐼 !!
𝐼 !! =
2 1 1−1 0 11 1 1
b. Utilizaamatrizobtidanoitema)paracalcular𝑣! ,sendo𝑣! = (1, 2, 3)
𝑣! = (7,−4, 6)
c. Determineamatriz 𝐼 !!
𝐼 !! =
2 1 1−1 0 11 1 1
9. Seja𝐵! = 2, 1, 1 , 1, −2, 0 , (0, 2, 2) ,𝐵! = 1, 2, 0 , −2,−1,−1 , 0, 1,
1 ,𝐵! = −2, 0, 1 , 1, 1, 2 , (−1, 2,−2) ,basesdoℝ!.
a. Determine 𝐼 !!!! , 𝐼 !!
!! , 𝐼 !!!! , 𝐼 !!
!!
b. Determineovetorcoordenadade𝑣 = (3, 4, 1)emrelaçãoasbases
𝐵!,𝐵!,𝐵!
10. Se:
𝐼 !! =
0 1 01 1 01 1 1
Determinar[𝑣]!,sabendoque:
[𝑣]! =3−20
Obs.:PercebaqueamatrizdemudançadebasesereferedeA!B,enquantoo
vetorcoordenadaestárelacionadacomabaseb.
[𝑣]! =−532
11. Sabendoque 𝐼 !! = −1 4
4 −11 e𝐵 = 3, 5 , 1, 2 .DetermineabaseA.
12. Sabendoque 𝐼 !! = −7 6
−11 8 e𝐴 = 1, 3 , 2,−4 .DetermineabaseB.