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Exemplos de I.C. (1 – )100% para a m�dia(e para diferen�a entre m�dias)
Exemplo 1: Testes de compressão foram aplicados em duas marcas de cimento para avaliar a resistência em concretos. Foram produzidos 15 corpos de prova de cada uma das marcas Ae B e os testes foram aplicados no Laboratório de testes do Departamento de Engenharia Civil da UFSCar. Os corpos de prova foram moldados segundo a norma NBR 57381
e os ensaios foram conduzidos segundo a norma NBR 57392
(O corpo de prova padrão brasileiro é o cilíndrico, com 15 cm de diâmetro e 30 cm de altura, e a idade de referência é 28 dias)Foi registrada a resist�ncia � compress�o simples (fc), para cada corpo de prova com o intuito de calcular a resist�ncia caracter�stica do concreto � compress�o (fck).Um concreto Concreto classe C30, por exemplo, corresponde a um concreto com fck = 30 MPa.
Pascal (unidade) – Origem: Wikipédia.O pascal (símbolo: Pa) é a unidade padrão de pressão e tensão no SI. Equivale a for�a de 1 N aplicada uniformemente sobre uma superf�cie de 1 m2.Múltiplos do SI: 1MPa = 106Pa.
Dois corpos de prova da marca A dois foram danificados e não puderam passar pelo ensaio. Logo foram medidos nA = 13 corpos de prova da marca A e nB = 15 da marca B.
As empresas afirmam que seus processos têm ambos a mesma
variabilidade, 2 = 25 MPa2 (os dados estão em MPa).
Dados:
A 31.04 31.11 39.56 24.83 36.97 34.86 29.44 39.15 Ax = 33.7627.82 34.96 35.16 39.68 34.27 sA = 4.66
B 27.91 40.94 39.25 37.41 32.16 34.29 38.69 21.21 Bx = 33.0829.30 29.21 33.76 32.71 31.91 34.10 33.34 sB = 5.02
Construir intervalos de confian�a para as m�dias e para as propor��es de medidas abaixo de fck.
Considerar um n�vel de signific�ncia de 5% (α = 0.05).
Estatística: 1;0~/
Nn
XA
AA
95.0 baP A
95.096.1/
96.1
A
AAn
XP
95.096.196.1
AAA
A nX
nP
95.096.196.1
AAA
AA n
Xn
XP
Desta forma temos que:
04.3113596.176.3396.1
AA n
x MPa
48.3613596.176.3396.1
AA n
x MPa
Ou seja, ( 31.04, 36.48 ) é um IC 95% para A.
Da mesma forma obtêm:
95.096.196.1
BBB
BB n
Xn
XP e
55.3015596.108.3396.1
BB n
x MPa
61.3515596.108.3396.1
BB n
x MPa
Ou seja, ( 30.55, 35.61 ) é um IC 95% para B.
Desconfiando de que a informação a respeito da variância não seja verdadeira, os cálculos foram refeitos para a situação de variâncias desconhecidas.
Como o procedimento de cálculo é o mesmo, basta substituir o valor do quantil da normal (Z0.025 = 1.96) pelos quantis das distribuições t-Student para cada caso.
Estatística: 1~/
AAA
AAntns
X
Marca A: t12, 0.025 = 2.1788.
94.301366.41788.276.33025.0);1(
A
AA A n
stx n MPa
58.361366.41788.276.33025.0);1(
A
AA A n
stx n MPa
Logo, ( 30.94, 36.58 ) é um IC 95% para A considerando a variância desconhecida
Marca B: t14, 0.025 = 2.1448.
30.301502.51448.208.33025.0);1(
B
BB B n
stx n MPa
86.351502.51448.208.33025.0);1(
B
BB B n
stx n MPa
Logo, ( 30.30, 35.86 ) é um IC 95% para B considerando a variância desconhecida.
Intervalos de confiança para a diferença entre as médias
(3 casos)
1) Variâncias conhecidas
Estatística:
1;0~22
N
nn
XX
B
B
A
A
BABA
Se ainda assim as variâncias forem iguais ( 222 BA ), então
1;0~11
N
nn
XX
BA
BABA
2) Variâncias iguais e desconhecidas:
Estatística:
222
~
BA
BA
BABAnn
pp
t
ns
ns
XX
Em que: 2
11 222
BA
BBAAnn
snsnsp
3) Variâncias diferentes e desconhecidas:
Estatística:
t
ns
ns
XX ~22
B
B
A
A
BABA
Em que:
1
/1
/2222
222
B
BB
A
AA
B
B
A
A
nns
nns
ns
ns
Construir intervalos de confian�a para a diferen�a entre as
m�dias para α = 0.10 (Z0.05 = 1.645).
1)Considerando as variâncias conhecidas e iguais: 1;0~
22N
nn
XX
BA
BABA
90.0 baP BA
BABA
1525
1325645.1)( XXP
90.01525
1325645.1)(
BA XX
437.2117.368.01525
1325645.1)( BA xx
797.3117.368.01525
1325645.1)( BA xx
( -2.437, 3.797 ) � um IC 90% para (A – B) comvari�ncias conhecida e iguais.
2)Com as variâncias desconhecidas, porém iguais:
222~
BA
BA
BABAnn
pp
t
ns
ns
XX
Obs: t26; 0.05 = 1.7056
90.0 baP BA
592.23263928.613
)21513(2004.25)115(7156.21)113(2
ps
857.4ps
BABA 15
592.2313592.237056.1)( XXP
90.015592.23
13592.237056.1)(
BA XX
459.2139.368.015592.23
13592.237056.1)( BA xx
819.3139.368.015592.23
13592.237056.1)( BA xx
( – 2.459, 3.819 ) IC 90% para (A – B) comvari�ncias desconhecida e iguais.
3)Com as variâncias desconhecidas e diferentes:
t
ns
ns
XX ~22
B
B
A
A
BABA
43413.022557.11
11515/2004.25
11313/7156.21
152004.25
137156.21
22
2
268.25
Ent�o:
442.2152004.25
137156.217056.1)( BA xx
802.3152004.25
137156.217056.1)( BA xx
( – 2.442, 3.802 ) IC 90% para (A – B) comvari�ncias diferentes e desconhecida.
Calcular a proporção da amostra com força de compressão simples (fc) inferior à fck. No caso, encontrar a proporção de
valores inferiores a 30 MPa.
231.0133p̂ A e 267.0
154p̂ B
TESTES DE HIP�TESE – CONCEITOS INICIAIS
Exemplos: Em alguns problemas, o objetivo principal do pesquisador n�o � estimar o par�metro populacional, mas sim, determinar se o par�metro est� contido dentro de limites especificados.
a) Pesquisadores afirmam que a temperatura m�dia do corpo � 98.6 F. Uma amostra de n = 106 indiv�duos foi escolhida aleatoriamente e foi observada 2098.x F e s = 0.62. Os dados amostrais constituem evidência suficiente para rejeitar a crença de que = 98.6?
b) Um operador de uma m�quina de empacotar cereais, monitora o peso das caixas pesando um determinado n�mero de caixas periodicamente. A norma diz que a m�quina deve continuar operando a menos que a amostra indique que a m�quina n�o esteja funcionando normalmente. Neste caso, a m�quina deve ser desligada e ajustada. A condi��o requerida para a m�quina continuar funcionando � que = 453 g. O operador, neste caso, não está interessado em estimar , mas sim determinar se há evidência suficiente na amostra para concluir que 453 g.
c) Um grande pomar de ma��s deve ser pulverizado toda primavera contra certa doen�a que ataca as folhas. No ano passado, o administrador do pomar pulverizou todas as �rvores com o herbicida padr�o utilizado na ind�stria frut�fera. O administrador ir� utilizar o mesmo herbicida este ano, a menos que ele tenha evid�ncia de que a propor��o de �rvores infectadas p seja inferior a 10%. Se ele estiver convencido de que p < 0.10, ent�o ir� utilizar um herbicida mais barato, mas que � sabido ser menos eficiente. Para auxiliar na sua decis�o, o administrador selecionou aleatoriamente uma amostra de �rvores do pomar. Se a amostra trouxer evid�ncia suficiente para o administrador de que p < 0.10, ent�o ele ir� utilizar o herbicida mais barato, caso contr�rio, se n�o houver evid�ncia suficiente para concluir que p < 0.10, ent�o, ele utilizar� o herbicida padr�o. O administrador está basicamente interessado em determinar se p < 0.10.
Um teste de hip�tese (ou teste estat�stico) � um procedimento para se determinar a evid�ncia que uma amostra fornece para concluirmos se o par�metro populacional est� no intervalo especificado.
COMPONENTES DE UM TESTE DE HIP�TESE.
i) Hip�tese Nula e Hip�tese Alternativa: para conduzir um teste de hip�tese, vamos considerar duas afirma��es a respeito do par�metro, as quais chamaremos de hipótese nula e hipótese alternativa.
A hip�tese nula, a qual denotaremos por HO, � uma afirma��o sobre o valor do par�metro (p.ex. a m�dia), e que deve sempre deve conter a condi��o de igualdade. Por exemplo:HO: = o; HO: o e HO: o.
“Testamos a hip�tese nula diretamente no sentido de que, supondo-a verdadeira, procuramos chegar a uma conclus�o que nos leve a sua rejei��o, ou a sua n�o rejei��o.”
A hip�tese alternativa, a qual denotaremos por HA, é a afirmação que deve ser verdadeira se a hipótese nula for falsa. Por exemplo: HA: o; HA: < o e HA: > o.Por exemplo, no terceiro caso teremos:
Hip�tese Nula – HO: p 0.10Hip�tese alternativa – HA: p < 0.10
A questão aqui é: Como escolher HO e HA?Para se conduzir um teste de hipótese, é importante que as hipóteses nula e alternativa sejam
escolhidas corretamente. Esta escolha é de responsabilidade do pesquisador.Para a correta escolha de HO e HA, apresentaremos duas situações em que um teste de
hipótese é realizado:a) Suponha que o pesquisador deseja testar uma situação pré-estabelecida ou uma
afirmação alheia, então, este conhecimento (ou afirmação) deverá ser escolhido como a hipótese nula.
b) Se o pesquisador deseja obter evidência para dar suporte a uma argumentação ou para apoiar uma afirmação sua, então, essa afirmação deve ser formulada de modo que se torne a hipótese alternativa, sem conter a condição de igualdade.
ii) Erro Tipo I e Erro Tipo II: Ao testarmos uma hipótese, chegamos a uma conclusão que pode ser correta, ou mesmo, incorreta. Ao concluirmos a favor, ou contra HO, estamos sujeitos a dois tipos de erro.
Estado da naturezaHO � verdadeira HO � falsa
Nossa Decisão
RejeitarHO
Erro Tipo I(Rejeitar HO, quando
HO é verdadeira)Decisão correta
N�o RejeitarHO
Decisão corretaErro Tipo II
(Não Rejeitar HO, quando HO é falsa)
Exemplo: Rejeitar a hipótese de que = 98.6 F, quando a média é de fato 98.6 F.
iii) N�vel de signific�ncia do teste: A probabilidade de se rejeitar HO, quando HO é verdadeira, é chamada de nível de significância do teste, a qual denotaremos por .
= verdadeiraéHHRejeitarPITipoErroP 00 |
Obs: A probabilidade do Erro Tipo II será denotada por . Assim:
= falsaéHHrejeitarNãoPIITipoErroP 00 |
iv) Estat�stica Teste: É uma estatística amostral, ou uma valor baseado nos dados amostrais, que utilizaremos para tomar uma decisão a respeito da hipótese nula.
v) Região Crítica: � o conjunto de valores que levam � rejei��o de HO.
O valor que delimita a regi�o cr�tica da regi�o de n�o rejei��o de HO ser� chamado de Valor Crítico.
Em um teste de Hip�tese, se a evid�ncia contida na amostra � suficiente para convencer o pesquisador de que a hipótese nula HO � falsa, (e ent�o a hip�tese alternativa HA � verdadeira), o resultado do teste ser� “rejeita-se HO”. Se a evid�ncia da amostra n�o � suficiente para convencer o pesquisador de que a hipótese nula HO � falsa, o resultado do teste ser� “não se rejeita HO”.
A decis�o de “não rejeitar HO” n�o significa que a evid�ncia da amostra seja suficiente para concluirmos que HO seja verdadeira.
Resumo: Num teste de hip�tese, o pesquisador ir� concluir que a hip�tese alternativa HA � verdadeira, somente se a amostra tiver evid�ncia suficiente para rejeitar hip�tese nula HO. Ent�o, um teste de hip�tese � conduzido para se determinar se a amostra possui evid�ncia suficiente para se rejeitar HO, ou seja, testar uma hip�tese pode ser visto como “testar a hip�tese nula”.
O teste de hip�tese resume-se, portanto, em encontrar as regi�es cr�ticas para HO, o que equivale a construir intervalos de confian�a.
4.1. Teste de Hipótese para uma média, com 2 conhecido
i) Hipóteses HO: o e HA: < o - Teste unilateral na cauda inferior.
A regi�o Cr�tica para este teste � dada pelo intervalo ( - ; a ), ou seja, se o valor da m�dia amostral X for inferior a uma constante a, ent�o rejeitamos HO.
Por outro lado, se o valor de X for superior a uma constante a, ent�o n�o rejeitamos HO.
rejeita-se HO n�o rejeita-se HO_____________________|_____________________
a
Procedimento para o teste:
= verdadeiraéHHjeitarP 00 |Re = verdadeiraéHCRXP 0|..
= 0| aXP =
na
nXP 00 =
naZP 0
A estatística teste ser� definida por: n
XZ o
que, pelo Teorema do Limite Central, tem
distribui��o Normal com m�dia 0 e vari�ncia 1.
Desta forma, aZn
a
0
nZa a
0
ii) Hipóteses HO: o e HA: > o - Teste unilateral na cauda superior.
O teste unilateral na cauda superior segue o mesmo raciocínio, com a R.C. definida por:
não rejeita-se HO rejeita-se HO_____________________|_____________________
a
E, de forma análoga: = 0| aXP n
Za a
0 .
i) Hipóteses HO: = o e HA: o - Teste Bilateral.
A região Crítica para este teste é dada por ( - ; a ) ( b ; + ), com b > a, ou seja, se o valor da média amostral X for inferior a constante a, ou superior a constante b, então rejeitamos HO. Por outro lado, se a X b, então não rejeitamos HO.
rejeita-se HO não rejeita-se HO rejeita-se HO_______________|_______________|_________________
a b
= 0| bXouaXP =
naZP 0 +
nbZP 0
Desta forma, n
Za a
20 e n
Zb a
20
Teste Unilateral (cauda inferior) HO: o HA: < o
Teste Unilateral (cauda superior) HO: o HA: > o
Teste BilateralHO: = o HA: o
Região Crítica:( - ; a )
Região Crítica:( a ; + )
Região Crítica:( - ; a ) ( b ; + ), b>a.
Definições:
1) Valor Observado (ou Estatística Observada): é dado pelo valor n
xZ o
0
2) Valor p do teste: O valor p do teste é a probabilidade máxima do erro tipo I, ou seja,
- p = 0ZZP , para o teste unilateral;
- p = 02 ZZP , para o teste bilateral.
Como fazer o teste através do valor p: Os testes de hipótese podem ser realizados através do valor p, e é o que observamos nos softwares estatísticos.Para realizar o teste de hipótese através do valor p, devemos proceder da seguinte maneira:
- Se o valor p do teste for maior ou igual ao nível de significância , ou seja, se p , não se rejeita HO;
- Se o valor p do teste for menor do que nível de significância , ou seja, se p < , rejeita-se HO;
4.2. Teste de Hipótese para a proporção
O teste de hipótese para a proporção é similar ao teste para a média, uma vez que a proporção p é a média de uma variável dicotômica.
i) Hipóteses HO: p po e HA: p < po - Teste unilateral na cauda inferior.
Região crítica: rejeita-se HO não se rejeita HO_______________|________________
a
A estatística teste será definida por: np̂p̂pp̂Z o
1
.
= 0|ˆ ppapP =
npp
paZPˆ1ˆ0
Desta forma,
Z
np̂p̂
pa o
1
np̂p̂Zpa a
10
ii) Hipóteses HO: p po e HA: p > po - Teste unilateral na cauda superior.
Estat�stica teste: np̂p̂pp̂Z o
1
, np̂p̂Zpa a
10 .
i) Hipóteses HO: p = po e HA: p po - Teste Bilateral.
rejeita-se HO n�o rejeita-se HO rejeita-se HO_______________|_______________|_________________
a b
Desta forma, np̂p̂Zpa a
120 e
np̂p̂Zpb a
120
Obs: Valor Observado: � dado pelo valor np̂p̂pp̂Z o
10
4.3. Teste de Hipótese para uma média, com 2 desconhecido
Quando a vari�ncia 2 � desconhecida, ent�o devemos utilizar a sua estimativa s2. Neste caso, iremos utilizar a distribui��o t – Student ao inv�s da normal:
Obs: As regi�es cr�ticas ser�o as mesmas que nos casos anteriores, portanto, iremos apresentar apenas a estat�stica teste e o Valor Cr�tico.
i) Hipóteses HO: o e HA: < o - Teste unilateral na cauda inferior.
Estat�stica teste: ns
Xt o , que tem distribui��o t – Student com (n – 1) graus de liberdade
Desta forma, antnsa
;10
nsta an ;10
ii) Hipóteses HO: o e HA: > o - Teste unilateral na cauda superior.
Estatística teste: ns
Xt o , desta forma, antnsa
;10
n
sta an ;10
i) Hipóteses HO: = o e HA: o - Teste Bilateral.
= 0| bXouaXP =
nsaTP 0 +
nsbTP 0
Desta forma, nsta an 2;10 e
nstb an 2;10
Valor Observado: é dado pelo valor ns
xT o0
Valor p do teste: O valor p do teste é a probabilidade máxima do erro tipo I, ou seja
- p = 01 TtP n , para o teste unilateral;
- p = 012 TtP n , para o teste bilateral.
Os testes para comparação entre as médias de duas populações, para amostras independentes, serão apresentados a seguir. Iremos apresentar apenas o teste bilateral, sendo os testes unilaterais construídos de maneira similar aos casos anteriores.As hipóteses, portanto, serão todas da forma: Hipóteses HO: 1 = 2 e HA: 1 2
4.4. Teste de Hipótese para diferença entre duas médias, com variâncias conhecidas.No caso de variâncias conhecidas, sabemos que a estatística teste é dada por:
2
22
1
21
2121
nn
XXZ
, e que tem distribuição normal padrão.
Como estamos testando a igualdade das médias, então, sob a hipótese nula, a diferença
21 é igual a zero. Assim, a estatística teste se resume a:
2
22
1
21
21
nn
XXZ
Como normalmente as vari�ncias s�o desconhecidas, devemos inicialmente fazer uma investiga��o para verificar se estas podem ser consideradas iguais.4.5. Teste de Hipótese para comparação entre duas variâncias.
A distribuição F (de Snedcor): Considere que temos duas amostras independentes de tamanhos n e m, retiradas de duas popula��es normais com a mesma vari�ncia 2. J� sabemos que:
2
12
211
1~1
nsnU e
2
12
222
2~1
n
snV
Ent�o, a estat�stica definida por : 1
1
2
122
21
nVnU
ssW ,
tem distribui��o F com (n1 – 1 ; n2 – 1) graus de liberdade, ou seja: 1,122
21
21~ nnF
ssW
Teste para comparação de duas variâncias:
Hipóteses: HO: 22
21 e HA: 2
221
010 ||.. HfWPHCRWP
obs: Tomamos W de tal forma que W > 1, ou seja, devemos ter a maior variância amostral no numerador . Desta forma, o teste será sempre realizado na cauda superior da distribuição. Logo:
f1 é tal que ;,01 1211| nnFWPHfWP
;,1 1211 nnFf .
Em que: ;1,1 21 nnF � tal que ;1,1 21 nnFWP .
Como a distribui��o de W � exata, ent�o, comparamos o valor observado WO = 22
21
ss diretamente
com o percentil da distribui��o F.
Portanto, se WO > ;1,1 21 nnF Rejeita-se HO.
Caso contr�rio, n�o rejeita-se HO.
Valor p do teste: O valor p do teste � a probabilidade m�xima do erro tipo I, ou seja
- p = 0WWP , para o teste unilateral.Teste para igualdade entre duas variâncias:
Hipóteses: HO: 22
21 e HA: 2
221
0210 ||.. HfWoufWPHCRWP
f1 e f2 são definidos de tal forma que: 121 fWfP .
obs: Tomamos W de tal forma que W > 1, ou seja, devemos ter a maior variância amostral no numerador. Logo:
Em que: 2;1,1 21 nnF é tal que 22;1,1 21
nnFWP .
Como a distribuição de W é exata, então, comparamos o valor observado WO = 22
21
ss diretamente
com os percentis da distribuição F.
Portanto, se WO > 2;1,1 21 nnF ou se WO < 21;1,1 21 nnF Rejeita-se HO.
Caso contrário, não rejeita-se HO.
Valor p do teste: O valor p do teste é a probabilidade máxima do erro tipo I, ou seja
- p = 2 0WWP , para o teste bilateral.
Teste Hipóteses Estatística Teste Valor Observado Valor p
Para uma média com 2
conhecida
HO: o HA: < o
nXZ
0
nx
z
0
0
Se zz0 , rejeita-se HO 0zZP
Se p < , rejeita-se HO
Teste unilateral, cauda inferior
HO: o HA: > oSe zz0 , rejeita-se HO 0zZP
Teste unilateral, cauda superior
HO: = o HA: o Se 20 zz ou 20 zz ,rejeita-se HO
02 zZP Teste Bilateral
Para uma média com 2
desconhecida
HO: o HA: < o
nsXT 0
nsx
t 00
Se ;10 ntt ,rejeita-se HO
01 tTP n
Se p < , rejeita-se HO
Teste unilateral, cauda inferior
HO: o HA: > o Se ;10 ntt ,rejeita-se HO
01 tTP n Teste unilateral, cauda superior
HO: = o HA: o Se 2;10 ntt ou 2;10 ntt ,rejeita-se HO
012 tTP n
Teste Bilateral
Para uma proporção
HO: p po HA: p < po
n
pppp
Z00
0
1ˆ
npp
ppz00
00 1
ˆ
Se zz0 , rejeita-se HO 0zZP
Se p < , rejeita-se HO
Teste unilateral, cauda inferior
HO: p po HA: p > poSe zz0 , rejeita-se HO 0zZP
Teste unilateral, cauda superior
HO: p = po HA: p po Se 20 zz ou 20 zz ,rejeita-se HO
02 zZP Teste Bilateral
Teste Hipóteses Estatística Teste Valor Observado Valor p
Para duas m�dias com vari�ncias 2
1 e 22
conhecidas
HO: 1 = 2HA: 1 2
Equivalente a:HO: 1 – 2 = 0HA: 1 – 2 0
2
22
1
21
2121
nn
XXZ
2
22
1
21
210
nn
xxz
Se 20 zzou
se 20 zz ,
rejeita-se HO
02 zZP Se p < ,
rejeita-se HO
Para duas m�dias com vari�ncias 2
1 e 22
iguais e desconhecidas
HO: 1 = 2HA: 1 2
Equivalente a:HO: 1 – 2 = 0HA: 1 – 2 0
21
2121
11nn
s
XXT
p
,
com:
211
21
222
2112
nn
snsns p
21
210 11
nns
xxt
p
Se 2);2(0 21 nnttou
se 2);2(0 21 nntt ,
rejeita-se HO
02 tTP g
221 nng
Se p < ,
rejeita-se HO
Para duas m�dias com vari�ncias 2
1 e 22
diferentes e desconhecidas
HO: 1 = 2HA: 1 2
Equivalente a:HO: 1 – 2 = 0HA: 1 – 2 0
2
22
1
21
2121
ns
ns
XXT
2
22
1
21
210
ns
ns
xxt
Se 2;0 tt ou 2;0 tt ,rejeita-se HO.
Graus de liberdade :
11 2
22
22
1
21
21
2
2
22
1
21
nns
nns
ns
ns
02 tTP
Se p < ,
rejeita-se HO
EXEMPLOS DE TESTES DE HIPÓTESE PARA A MÉDIA
Um teste estatístico é conduzido para se determinar se a amostra traz evidência suficiente para se rejeitar H0 e, assim, concluir que HA é verdadeira. Ou seja, o teste estatístico é usado para se concluir a favor de HA ao se concluir que H0 pode ser rejeitada.
Nós ilustraremos esse processo com o exemplo a seguir:
Exemplo: Suponha que temos 1000 caixotes idênticos e que cada caixote tem 1000 bolas que são indistinguíveis exceto pela cor. O primeiro caixote fica numa prateleira e tem 1 bola branca e 999 pretas. Os demais caixotes ficam todos no chão e têm, respectivamente, 2 bolas brancas e 998 pretas; 3 brancas e 997 pretas, até o último que tem 1000 bolas brancas e nenhuma preta (ver figura)
Um caixote foi danificado e levado a um inspetor, sendo informado que era um caixote que estava no chão.
Decidindo investigar, o inspetor irá conduzir um teste estatístico para determinar se há evidência suficiente para concluir que a informação é verdadeira.
Hipóteses: H0: O caixote danificado veio da prateleiraHA: O caixote danificado veio do chão
A evidência amostral para o teste será dada pela cor de uma bola selecionada aleatória do caixote danificado.
Há duas possibilidades:
1�. Possibilidade: A bola inspecionada � branca:Sendo o caixote danificado da prateleira, a probabilidade da bola ser branca é de 1/1000 = 0.001.Essa probabilidade é muito pequena, indicando que é improvável que a bola branca tenha vinda do caixote da prateleira. No entanto, não seria improvável que a bola branca tenha sido selecionada de um dos caixotes do chão (mas não podemos aceitar essa informação como verdadeira).Portanto, tendo sido observada uma bola branca:“a evid�ncia da amostra nos leva a rejeitar H0”
2ª. Possibilidade: A bola inspecionada é preta:A probabilidade de se selecionar uma bola preta do caixote da prateleira � 0.999.Essa probabilidade n�o � suficientemente pequena a tal ponto de tornar improv�vel que o caixote seja o da prateleira, n�o havendo raz�o para se rejeitar H0.No entanto, isso n�o significa que H0 seja verdadeira, uma vez que � tamb�m prov�vel que a bola preta tenha vindo de uma das caixas do ch�o.Portanto, tendo sido observada uma bola preta: “não há evidência suficiente na amostra para rejeitar H0”
EXEMPLOS PARA DUAS AMOSTRAS
Exemplo 1: Duas marcas de ve�culos pretendem comparar o desempenho de seus modelos populares. Para isso, a marca Aselecionou n = 12 ve�culos de sua produ��o e fez um teste de consumo. A marca B tamb�m retirou uma amostra com n = 12 ve�culos e realizou o mesmo teste. As empresas afirmam que
ambas t�m a mesma variabilidade, 2 = 0.81 (os dados est�o em km/litro).
A 13.5 12.8 11.4 10.9 11.9 12.3 Ax = 11.8110.7 11.9 10.9 11.5 11.8 12.1 sA = 0.8163
B 12.8 12.8 13.6 13.8 10.1 11.1 Bx = 12.1211.9 11.4 10.8 12.2 12.4 12.5 sB = 1.1118
H0: AB HA: AB
ou H0: 0 AB
HA: 0 AB
Considerar um n�vel de signific�ncia de 5% (α = 0.05) para a diferen�a entre m�dias: AB .
Estatística teste: 1;0~
22N
nn
XX
AB
ABAB
bXXaP AB
1281.0
1281.0
)(
1281.0
1281.0
)( ABAB bZaP
Sob H0: 0 AB , logo
1281.0
1281.0
1281.0
1281.0
bZaP
Igualando cada membro da desigualdade pelo quantil respectivo da distribui��o normal, tem-se:
96.1
1281.0
1281.0
ae 96.1
1281.0
1281.0
b,
de onde se obt�m a e b.
Podemos, ainda, calcular o valor observado da estat�stica teste, dado por
844.0
1262.131.0
1281.0
1281.00
AB xxz .
O valor z0 �, ent�o, comparado com o quantil α/2 da cauda da distribui��o normal padr�o. No caso, 96.1)975.0( z
Como 0.844 < 1.96, então não se rejeita H0.
Valor p do teste: ABAB xxXXPp 2
401.02005.02844.022 0 ZPzZPp
Comparando-se o valor p com um nível de significância de referência (p.ex. 0.05) vemos que p = 0.401 é muito alto, o que nos leva a não rejeitar H0.
Obs: Na prática os testes de hipótese são conduzidos conforme esses dois últimos procedimentos:i) comparando-se o valor observado da estatística teste
com o quantil específico da distribuição de probabilidade associada ou,
ii) comparando-se o valor p do teste com um nível de significância de referência (que é o procedimento dos softwares estatísticos).
O Estatístico contratado para fazer os cálculos, não
confiando no valor da variância (2 = 0.81), decidiu refazer as contas considerando as variâncias desconhecidas, porém ainda iguais.
Variância combinada:
2
11 222
AB
AABB
nnsnsnsp
21212
8163.01121118.1112 22
228163.0111118.111 22
28163.01118.1 22
9512.0
Estatística teste:
222~
AB
AB
ABABnn
pp
t
ns
ns
XX
ou ainda:
2~11
AB
AB
ABABnn
p
t
nns
XX
Como, agora, o valor observado �
7786.0
129512.0
129512.0
31.0220
AB
AB
ns
ns
xxtpp
.
Comparando-se esse valor com o quantil da cauda da distribui��o t-Student com (12 + 12 – 2 = 22) graus de liberdade, tem-se
0739.2025.0;22 t > 0.7786,
logo, n�o rejeitamos a hip�tese nula.
O valor p nesse caso � dado por:
ABAB xxXXPp 2
7786.022 22022 TPtTPp
444.0222.02 p (calculado no STATISTICA)
Alguns inspetores, ainda mais desconfiados, foram investigar as informa��es e descobriram que a empresa Bhavia omitido 4 valores de sua amostra. S�o eles: 10.0; 10.5; 10.6 e 11.5. Com isso, refeitos os c�lculos, obteve-se:
Ax = 11.75 e sB = 1.1894.
Considerando, agora, variâncias diferentes e desconhecidas, construir um teste para a igualdade de médias com um nível significância de 0.05.
Estatística teste:
t
ns
ns
XX ~22
A
A
B
B
ABAB
Em que:
1
/1
/ 2222
222
A
AA
B
BB
A
A
B
B
nns
nns
ns
ns
No caso, temos
1112/8163.0
1516/1894.1
128163.0
161894.1
2222
222
1105553.0
1508842.0
05553.008842.022
2
2685.25000801432.00207178.0 graus de liberdade
Valor observado:
1590.0
128163.0
161894.1
81.1175.11220
A
A
B
B
AB
ns
ns
xxt ,
que, comparado com o quantil 0.025 da distribuição t-Student com 26 graus de liberdade, tem-se
056.2025.0;26 t > 0.1590,
logo, não rejeitamos a hipótese nula.
Valor p:
ABAB xxXXPp 2
1590.022 26026 TPtTPp
875.04374.02 p (calculado no STATISTICA)
Obs: Apesar de ter utilizado = 26, pode-se, ainda, encontrar o valor t para graus de liberdade não inteiros. De fato, pelo STATISTICA, obteve-se 05611.2025.0;85.25 t .
Perguntas:
1) Na sua opinião, qual das duas marcar é a mais econômica? P.Q.?
2) Se você fosse escolher dentre as duas marcas, qual escolheria? P.Q.?
Exemplo 2: Duas dietas são aplicadas em grupos independentes de cobaias. Os ganhos de peso (gramas) são apresentados a seguir:
Dieta A132 154 117 131 153 161 127 146 148 145176 152 115 151 111 152 159 121 141 159
Dieta B126 130 136 129 121 131 131 118 134 125118 129 127 120 125 114
Descriptive Statistics: Dieta A; Dieta BVariable N Mean Median TrMean StDev SE MeanDieta A 20 142.55 147.00 142.44 17.62 3.94Dieta B 16 125.88 126.50 126.00 6.24 1.56
Variable Minimum Maximum Q1 Q3Dieta A 111.00 176.00 128.00 153.75Dieta B 114.00 136.00 120.25 130.75
Two-sample T for Dieta A vs Dieta BN Mean StDev SE Mean
Dieta A 20 142.55 17.62 3.94Dieta B 16 125.88 6.24 1.56
Difference = mu Dieta A - mu Dieta BEstimate for difference: 16.6895% CI for difference: (7.93; 25.42)
T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 3.94P-Value = 0.001 DF = 24
Dieta A Dieta B110
120
130
140
150
160
170
180
Boxplots de Dieta A e Dieta B(médias estão indicadas pelos pontos vermelhos)
Perguntas:
1) Se você fosse escolher entre as duas dietas, qualescolheria? P.Q.?
2) O teste foi conduzido assumindo que a variabilidade das duas dietas são iguais.Você acha razoável considerar a igualdade entre as duas variâncias populacionais?Em caso negativo, como você acha deveria ser o procedimento?
Distribuição Normal Padrão Acumulada
z
u duzZPz 2/2e
21
z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-3.2 0.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
-3.1 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
-3.0 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
-2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517
-2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879
-2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224
-2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549
-2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852
-2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
-2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389
-2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621
-2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830
-2.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015
-1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
-1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319
-1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441
-1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545
-1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633
-1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706
-1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767
-1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
-1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
-1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890
-0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916
-0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936
-0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952
-0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964
-0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974
-0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981
-0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986
-0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990
-0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993
-0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995
Distribuição t – Student
tTP
v 0.25 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0025 0.001
1 1.0000 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 127.3213 318.30882 0.8165 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 14.0890 22.32713 0.7649 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 7.4533 10.21454 0.7407 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5.5976 7.17325 0.7267 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 4.7733 5.89346 0.7176 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 4.3168 5.20767 0.7111 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 4.0293 4.78538 0.7064 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 3.8325 4.50089 0.7027 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 3.6897 4.2968
10 0.6998 1.3722 1.8125 2.2281 2.7638 3.1693 3.5814 4.143711 0.6974 1.3634 1.7959 2.2010 2.7181 3.1058 3.4966 4.024712 0.6955 1.3562 1.7823 2.1788 2.6810 3.0545 3.4284 3.929613 0.6938 1.3502 1.7709 2.1604 2.6503 3.0123 3.3725 3.852014 0.6924 1.3450 1.7613 2.1448 2.6245 2.9768 3.3257 3.787415 0.6912 1.3406 1.7531 2.1314 2.6025 2.9467 3.2860 3.732816 0.6901 1.3368 1.7459 2.1199 2.5835 2.9208 3.2520 3.686217 0.6892 1.3334 1.7396 2.1098 2.5669 2.8982 3.2224 3.645818 0.6884 1.3304 1.7341 2.1009 2.5524 2.8784 3.1966 3.610519 0.6876 1.3277 1.7291 2.0930 2.5395 2.8609 3.1737 3.579420 0.6870 1.3253 1.7247 2.0860 2.5280 2.8453 3.1534 3.551821 0.6864 1.3232 1.7207 2.0796 2.5176 2.8314 3.1352 3.527222 0.6858 1.3212 1.7171 2.0739 2.5083 2.8188 3.1188 3.505023 0.6853 1.3195 1.7139 2.0687 2.4999 2.8073 3.1040 3.485024 0.6848 1.3178 1.7109 2.0639 2.4922 2.7969 3.0905 3.466825 0.6844 1.3163 1.7081 2.0595 2.4851 2.7874 3.0782 3.450226 0.6840 1.3150 1.7056 2.0555 2.4786 2.7787 3.0669 3.435027 0.6837 1.3137 1.7033 2.0518 2.4727 2.7707 3.0565 3.421028 0.6834 1.3125 1.7011 2.0484 2.4671 2.7633 3.0469 3.408229 0.6830 1.3114 1.6991 2.0452 2.4620 2.7564 3.0380 3.396230 0.6828 1.3104 1.6973 2.0423 2.4573 2.7500 3.0298 3.385231 0.6825 1.3095 1.6955 2.0395 2.4528 2.7440 3.0221 3.374932 0.6822 1.3086 1.6939 2.0369 2.4487 2.7385 3.0149 3.365333 0.6820 1.3077 1.6924 2.0345 2.4448 2.7333 3.0082 3.356334 0.6818 1.3070 1.6909 2.0322 2.4411 2.7284 3.0020 3.347935 0.6816 1.3062 1.6896 2.0301 2.4377 2.7238 2.9960 3.340036 0.6814 1.3055 1.6883 2.0281 2.4345 2.7195 2.9905 3.332637 0.6812 1.3049 1.6871 2.0262 2.4314 2.7154 2.9852 3.325638 0.6810 1.3042 1.6860 2.0244 2.4286 2.7116 2.9803 3.319039 0.6808 1.3036 1.6849 2.0227 2.4258 2.7079 2.9756 3.312840 0.6807 1.3031 1.6839 2.0211 2.4233 2.7045 2.9712 3.306945 0.6800 1.3006 1.6794 2.0141 2.4121 2.6896 2.9521 3.281550 0.6794 1.2987 1.6759 2.0086 2.4033 2.6778 2.9370 3.261455 0.6790 1.2971 1.6730 2.0040 2.3961 2.6682 2.9247 3.245160 0.6786 1.2958 1.6706 2.0003 2.3901 2.6603 2.9146 3.231765 0.6783 1.2947 1.6686 1.9971 2.3851 2.6536 2.9060 3.220470 0.6780 1.2938 1.6669 1.9944 2.3808 2.6479 2.8987 3.210875 0.6778 1.2929 1.6654 1.9921 2.3771 2.6430 2.8924 3.202580 0.6776 1.2922 1.6641 1.9901 2.3739 2.6387 2.8870 3.195385 0.6774 1.2916 1.6630 1.9883 2.3710 2.6349 2.8822 3.188990 0.6772 1.2910 1.6620 1.9867 2.3685 2.6316 2.8779 3.1833
100 0.6770 1.2901 1.6602 1.9840 2.3642 2.6259 2.8707 3.1737120 0.6765 1.2886 1.6577 1.9799 2.3578 2.6174 2.8599 3.1595