UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁCURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

CAMPUS DE SOBRALDISCIPLINA: CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA

PROFESSOR: MÁRCIO AMORA

EXERCÍCIO 3.3 E PROBLEMA PRÁTICO 3.3

Aluno: Paulo Robson Melo Costa; Mat.: 338986.Aluno: William de Sousa Brito; Mat.: 338864.

Sobral - CE 2013.2

EXEMPLO 3.3

A tabela 1 contém dados de um experimento no qual a indutância de um solenóide foi medida em função da posição x, onde x=0 corresponde a uma retração total do solenóide.

Tabela 1 – Dados para o Exemplo 3.3

x (cm) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0L (mH) 2,80 2,26 1,72 1,52 1,34 1,26 1,20 1,16 1,13 1,11 1,10

Plote a força do solenóide para uma corrente de 0,75 A e função da posição no intervalo 0,2 ≤ x ≤ 1,8 cm.

Resolução do exemplo 3.3:

A Figura 1 mostra a plotagem dos pontos de L em função de x.

Figura 1 – Gráfico da indutância em função da retração do solenoide.

Usando o software MATLAB, como se tem apenas pontos discretos de L em função de x, aproximou-se a função L(x) por um polinômio de quarta ordem através da função polyfit. Portando, L(x) ficará na forma:

L ( x)=a (1 ) x4+a (2 ) x3+a (3 ) x2+a (4 ) x+a (5)

Derivando a indutância L em função de x:

dL (x )dx

=4a (1 ) x3+3a (2 ) x2+2a (3 ) x+a(4)

A força do solenoide pode ser expressa em termos da corrente i e da variação da indutância a partir da equação:

f campo=i2

2dL ( x )dt

f campo=i2

2(4 a (1 ) x3+3a (2 ) x2+2a (3 ) x+a(4))

Script no MATLAB para o cálculo de fcampo:

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clear allclc x = [0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0] % em cmL = [2.8 2.26 1.78 1.52 1.34 1.26 1.20 1.16 1.13 1.11 1.10] %em mH i=0.75; plot(x,L,'*')xlabel('x (cm)')ylabel('L (mH)') x=x*10^-2 %Conversão para as unidade do SIL=L*10^-3 comp = length(x) %Calculo do valor máximo de xxmax = x(comp) a=polyfit(x,L,4) % a função polyfit fará o ajuste da função polinomial de quarta e armazena os coeficientes no vetor a for n=1:101 xvar(n) = xmax*(n-1)/100; Lvar(n) = a(1)*xvar(n)^4 + a(2)*xvar(n)^3 + a(3)*xvar(n)^2 + a(4)*xvar(n) + a(5);end plot(xvar*100,Lvar*1000)xlabel('x (cm)')ylabel('L (mH)') for n=1:101 Fvar(n) = (4*a(1)*xvar(n)^3 + 3*a(2)*xvar(n)^2 + 2*a(3)*xvar(n) + a(4))*i^2/2;end plot(xvar*100,Fvar)xlabel('x (cm)')ylabel('F (N)')

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Figura 2 – Gráfico do polinômio de quarta ordem que aproxima a Indutância em função de x.

Figura 3 – Gráfico da força do solenoide em função de x.

Observamos que a força é negativa, isso significa que atua em um sentido tal que o êmbolo é puxado para dentro do solenoide.

PROBLEMA PRÁTICO 3.3

Um controlador externo é conectado ao solenóide do Exemplo 3.3 que mantém constante o fluxo concatenado da bobina com λ=1,5 mWb. Plote a força resultante do solenóide no intervalo 0,2 ≤ x ≤ 1,8 cm.

Solução do problema prático 3.3

Como feito no exemplo anterior, plotou-se também a força resultante, como mostrado na figura 4.

Como sabe-se, para um sistema com um terminal mecânico rotativo, as variáveis mecânicas serão o deslocamento angular ϴ e o conjugado Tcampo. Dessa forma, tem-se:

dW campo ( λ , θ )=idλ−T campodθ

Onde é facilmente visto que Wcampo depende das variáveis de estado λ e ϴ.Da mesma forma que obtêm-se o fcampo, pode-se obter também o Tcampo, levando

em conta que Tcampo é o negativo da derivada parcial da energia em relação a ϴ, mantendo λ constante. Logo, tem-se:

T campo=−∂W campo ( λ ,θ )

∂θ |λ

Quando tem-se sistemas magnéticos, nos quais λ=L (θ ) i, e da mesma forma que obtêm-se o W campo ( λ , x ), pode-se obter também o W campo( λ ,θ). Assim, tem-se:

W campo ( λ , θ )=12λ2

L(θ)

Substituindo Eq.05 em Eq.04, tem-se:

T campo=−∂∂θ ( 1

2λ2

L (θ ) )|λ=12λ2

L (θ )2dL (θ )dθ

É possível expressar indiretamente em termos da corrente i como:

T campo=i2

2dL(θ)dθ