exemple en dynamique de population q1 quel est le taux daccroissement de cette population ? est-il...
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Exemple en dynamique de population
Q1 Quel est le taux d’accroissement de cette population ? Est-il constant comme dans toute croissance exponentielle ?
Cstenn
nnt
tt
tt
21
1211
Q2 “La structure en âge” est-elle stable ? Au bout d’un certain temps, le rapport des deux classes d’âge se stabilise : Cste
n
nt
t
t
2
1
Exemple en dynamique de populaiton
Q1 Quel est le taux d’accroissement de cette population ?
Cstenn
nnt
tt
tt
21
1211
Q2 “La structure en âge” est-elle stable ?
Csten
nt
t
t
2
1
Cste
nn
nn
tt
tt
21
1211
Csten
n
n
n
t
t
t
t
2
1
12
11
t grand
Diagonalisation d’une matrice : exemple
Au bout d’un certain temps, le rapport des deux classes d’âge se stabilise
donc
Diagonalisation d’une matrice : exemple
L’équation vérifiée par une structure en âge stable est M N = N
M N - N = 0
(M –
Si det non nul alors une solution unique
Si det = 0 (matrice non inversible) : soit 0 solution, soit une infinité
Or N = 0 est forcement solution, donc si on veut des solutions N non nul, il faut que det (M –
Diagonalisation d’une matrice : exemple
det (M –
On a deux valeurs possibles : = 2 et = -1 “valeur propre”
“vecteur propre”
Diagonalisation d’une matrice : exemple
On a deux valeurs possibles : = 2 et = -1 “valeur propre”
“vecteur propre”
Diagonalisation d’une matrice : exemple
Réponse à la question Q1 : Que devient cette population à long terme ?
On écrit le vecteur N0 dans la base des vecteurs propres N1 et N2 associés aux deux valeurs propres 1 = 2 et 2 = -1 :
N0 = a N1 + b N2
Avec M N1 = 1 N1 et M N2 = 2 N2
Diagonalisation d’une matrice : exemple
Que devient cette population à long terme ?
La plus grande des deux valeurs propres (en valeur absolue) est le taux d’accroissement de la population :
la population augmente si ce taux est >1
1 = 2 , 2 = -1
t grand
Diagonalisation d’une matrice : exemple
Réponse à la question Q2 : Structure en âge stable ?
si la population double chaque année (= 2) alors la structure en âge tend à se stabiliser au bout d’un certain temps :
il y a 4 fois plus d’individus de 1 an que d’individus de 2 ans.
(L’autre valeur, = -1, n’a pas de signification biologique)
Problèmes 3.1 et 3.2 fascicule TT
Diagonalisation d’une matriceRéduction des endomorphismes
• Généralités
• Une application en génétique
Un exemple en génétiqueUne espèce autogame diploïde
• Auto-fécondation
• Un gène bi-allélique Aa, AA ou aa Aa, AA ou aa
Quelle est l’évolution de la structure génétique de cette population à long terme ?
AA (pk) aa (rk) Aa (qk)
1/4 1/2 1/4
AA aa AA Aa aa
1k k kp q r
Cf. Problème 3.3 en TT
Les équations
1
1
1 1
1
1
14 1 1 4 0
1A avec A 0 12 0
20 1 4 11
4
k k k
k k
k k k k
k k
k k k
p p qp p
q q q q
r rr q r
2
11 1 1 1
11 1 1 1A
11 1 1 1
A AA Ak k k k k
kk k k k k
k k k k k
p p p p p p
q q q q q q
r r r r r r
A ???k
Objectif
On dit alors que f est diagonalisable
On peut associer une application linéaire à la matrice A : f
Trouver une base telle que la matrice de f devienne diagonale :
APPD 1
3
2
1
00
00
00
D
(P matrice de passage)
Vecteurs et valeurs propres
est un vecteur propre
0
tel que
est l valeur propra associée à e
v E
v
f v v
v
Théorème
f : E-> E est diagonalisable si/si il existe une base de E
formée de vecteurs propres.
VVM f
(V est la matrice colonne des coordonnées du vecteur )
v
1. Recherche des valeurs propres
0 ? tel que v f v v
Les valeurs propres sont les racines du polynôme
caractéristique : P 0 det M I 0nff
0)det(
}0{)ker(
0))(()(
IM
Idf
vIdfvvf
f
Retour à l’exemple en génétique
1 1 4 0
A 0 12 0
0 1 4 1
2
1 4 012
det A I 120
10 121 4 1
1 4 1
1
0 1
0
212P 0 1 0
1 1 racine double
2 12 racine simple
2. Recherche des vecteurs propres
0 ? tel que AV V A I V 0v f v v
: sous-espace propre associé à E v E f v v
Théorème
f est diagonalisable si/si pour chaque valeur propre i de
multiplicité i , on a dim E = i .
Suite de l’exemple
1 1 4 0
A 0 12 0
0 1 4 1
1 1
1 1 1 1 3 1
0 1 4 0 0
AV V A I V 0 0 12 0 0 0
0 1 4 0 0
a
b b
c
1 ,0, 1,0,0 0,0,1v a c a c
1dim 2E
1 12
2 3 2
12 1 4 0 02 4 0
A I V 0 0 0 0 04 2 0 2
0 1 4 12 0
dd e d f
ee f e d
f
2 1, 2,1v d
2dim 1E A est
“diagonalisable”
3. Diagonaliser
i iv
P i pv v
1
1D P AP0
0 n
Rq 1 : Les vecteurs propres forment une base. P est bien une matrice de passage
Rq 2 : L’ordre des valeurs propres dans D dépend de celui des vecteurs propres dans P.
1 1
D D0 0
0 0
k
k
kn n
Calculer Ak
11 PDPAAPPD
On a D = P-1 A P, quelques rappels :
11 PPDAPDPA kk
Conclusion de l’exemple
1 0 1
P 0 0 2
0 1 1
1
1
2
1 0 0 0 0
D 0 1 0 0 0
0 0 12 0 0
1
1
1
1 12 1 2 01 0 1 1 0 0 1 12 0
A PD P 0 0 2 0 1 0 0 12 1 0 1 2 0
0 1 1 0 12 00 0 1 2 0 12 1 2 1
k
k k k
k k
1 1,0,0v
1 0,0,1v = 1
2 1, 2,1v = 1/2
1 ,0, 1,0,0 0,0,1v a c a c
Rq2
Conclusion biologique de l’exemple
1
1
1
1 12 1 2 01 0 1 1 0 0 1 12 0
A PD P 0 0 2 0 1 0 0 12 1 0 1 2 0
0 1 1 0 12 00 0 1 2 0 12 1 2 1
k
k k k
k k
Problème 4.2 en TT
1
1
1
1
1
1
r
q
p
A
r
q
pk
k
k
k
Que deviennent les fréquences p (AA), q (Aa) et r (aa) à long terme : quand k tend vers l’infini ?
Application en génétique et application en dynamique de population
121
1211
tt
tt
nn
nnLa plus grande des valeurs propres
EX en dynamique de population : 1 est le taux d’accroissement et les vect.p. {ni} représentent la structure en âge de la population, à long terme.
EX en génétique (ou le blé) :1 = 1 et les vect.p. représentent les fréquences, à long terme.
Produit scalaire et orthogonalité
MathSV chapitre 5
Le produit scalaire canonique
1 1
1
: avec , , et , ,
,
n nn n
i n
i ji
x x x y y y
x y x y x y
L’espace vectoriel muni de son produit scalaire canonique est appelé espace euclidien de dimension n.
n
0
0 0
x y y x
x x
x x x
Notation matricielle :
XYtx y
Norme
2
2 2
1
XXn
ti
i
x x x x x x
x x
• • • : I négalité de Cauchy-Schwartz
0 0
u v u u v v
u u
u u
u v u v
Normalisation
Si 0, alors est le vecteur normé associé à
1 : on dit que est un vecteur
xx u x
x
u u unitaire
Normalisation
Orthogonalité
, sont deux vecteurs orthogonaux • 0u v u v
La base canonique de l’espace euclidien est une base orthonormale :
1 2, , , ne e eB
n
1, 1, • 0i ji n j n e e
1, 1ii n e
(Exercice : verifier que la base canonique de IR2 est orthonormée)
Projecteur orthogonal
/ /u uv w p v w v p v
Le vecteur projeté de sur est le vecteur :
v
/
••u
v up v u
u u
u
Distance euclidienne
2
1
,n
i ii
d u v u v u v