examinemos - universiteit utrecht · jonathan brendefur sherian foster mieke abels jansie niehaus...

Examinemosel ánguloGeometría y medidas

Lasmatemáticas

encontexto

Examinemos el ángulo.qxd 2/21/06 9:45 AM Page i

Las matemáticas en contexto es un currículo exhaustivo para los grados intermedios.Se desarrolló entre 1991 y 1997 en colaboración con el Wisconsin Center forEducation Research (Centro de Investigación Educativa de Wisconsin), Facultad deEducación, de la Universidad de Wisconsin-Madison y el Freudenthal Institute(Instituto Freudenthal), de la Universidad de Utrecht, Países Bajos, con el apoyo delsubsidio n.º 9054928 de la National Science Foundation (Fundación Nacional paralas Ciencias).

La revisión curricular se realizó entre los años 2003 y 2005 con el apoyo del subsidion.° ESI 0137414 de la National Science Foundation.

National Science FoundationLas opiniones expresadas pertenecen a los autores y no reflejan necesariamente las de la Fundación.

Feijs, E., deLange, J., van Reeuwijk, M., Spence, M., S., Brendefur, J. yPligge, M., A. (2006). Examinemos el ángulo. Wisconsin Center for EducationResearch & Freudenthal Institute (Eds.), Las matemáticas en contexto. Chicago: Encyclopædia Britannica, Inc.

Copyright © 2006 Encyclopædia Britannica, Inc.

Reservados todos los derechos.Impreso en los Estados Unidos de América.

Este trabajo está protegido por las actuales leyes estadounidenses de propiedad intelectual, que rigen también su uso público, su presentación y otros usos aplicables. Queda prohibido cualquier uso no autorizado por la ley de propiedad intelectual de los Estados Unidos sin nuestro expreso consentimientoescrito, que incluye, aunque no exclusivamente, su copia, adaptación y transmisióntelevisiva o por otros medios o procesos. Para obtener mayor información conrespecto a una licencia, escriba a Encyclopædia Britannica, Inc., 331 N. LaSalle St.,Chicago, IL 60610.

ISBN 0-03-093060-X

1 2 3 4 5 6 073 09 08 07 06

Examinemos el ángulo.qxd 2/21/06 9:45 AM Page ii

Equipo de desarrollo de Las matemáticas en contextoDesarrollo 1991–1997

Anton Roodhart y Jan Auke de Jong desarrollaron la primera versión de Examinemos el ángulo. Laadaptación para su uso en las escuelas estadounidenses es de Laura J. Brinker, James A. Middleton y Aaron N. Simon.

Wisconsin Center for Education Personal del Freudenthal InstitutePersonal de investigación

Thomas A. Romberg Joan Daniels Pedro Jan de LangeDirector Asistente del director Director

Gail Burrill Margaret R. Meyer Els Feijs Martin van ReeuwijkCoordinadora Coordinadora Coordinadora Coordinador

Personal del proyecto

Jonathan Brendefur Sherian Foster Mieke Abels Jansie NiehausLaura Brinker James A, Middleton Nina Boswinkel Nanda QuerelleJames Browne Jasmina Milinkovic Frans van Galen Anton RoodhardtJack Burrill Margaret A. Pligge Koeno Gravemeijer Leen StreeflandRose Byrd Mary C. Shafer Marja van den Heuvel-PanhuizenPeter Christiansen Julia A. Shew Jan Auke de Jong Adri TreffersBarbara Clarke Aaron N. Simon Vincent Jonker Monica WijersDoug Clarke Marvin Smith Ronald Keijzer Astrid de WildBeth R. Cole Stephanie Z. Smith Martin KindtFae Dremock Mary S. SpenceMary Ann Fix

Revisión 2003–2005

Mieke Abels y Jan de Lange desarrollaron la versión revisada de Examinemos el ángulo. La adaptaciónpara su uso en las escuelas estadounidenses es de Margaret A. Pligge.

Wisconsin Center for Education Personal del Freudenthal Institute

Personal de investigación

Thomas A. Romberg David C. Webb Jan de Lange Truus DekkerDirector Coordinador Director Coordinadora

Gail Burrill Margaret A. Pligge Mieke Abels Monica WijersCordinadora editorial Cordinadora editorial Coordinadora Coordinadora

del contenido del contenido

Personal del proyecto

Sarah Ailts Margaret R. Meyer Arthur Bakker Nathalie KuijpersBeth R. Cole Anne Park Peter Boon Huub Nilwik Erin Hazlett Bryna Rappaport Els Feijs Sonia PalhaTeri Hedges Kathleen A. Steele Dédé de Haan Nanda QuerelleKaren Hoiberg Ana C. Stephens Martin Kindt Martin van ReeuwijkCarrie Johnson Candace UlmerJean Krusi Jill VettrusElaine McGrath

Examinemos el ángulo.qxd 2/21/06 9:45 AM Page iii

© 2006 Encyclopædia Britannica, Inc Las matemáticas en contexto y ellogotipo de Las matemáticas en contexto son marcas registradas deEncyclopædia Britannica, Inc.

Créditos de las fotografías de la portada: (izquierda) © Corbis; (medio,derecha) © Getty Images

Ilustraciones2 (abajo), 3, 4 Christine McCabe/© Encyclopædia Britannica, Inc.; 6 Rich Stergulz; 10, 16 Christine McCabe/© Encyclopædia Britannica, Inc.; 20 Rich Stergulz; 41 Christine McCabe/© Encyclopædia Britannica, Inc.; 45 James Alexander; 47 Holly Cooper-Olds; 52 James Alexander; 61 (arriba) Christine McCabe/© Encyclopædia Britannica, Inc.; (abajo) James Alexander; 62 (arriba) Rich Stergulz

Fotografías1 © Els Feijs; 2 © Corbis; 3 Victoria Smith/HRW; 9 © Els Feijs; 11 © Corbis; 12(arriba) © Getty Images; (abajo) Adrian Muttitt/Alamy; 18, 19 Sam Dudgeon/HRW; 25 © Els Feijs; 32 © Corbis; 34, 39 Sam Dudgeon/HRW; 42 © PhotoDisc/Getty Images; 46 Fotolincs/Alamy; 57 © Yann Arthus-Bertrand/Corbis

Examinemos el ángulo.qxd 2/21/06 9:45 AM Page iv

Contenido

Contenido V

Carta al alumno VI

Sección A Ahora lo ves, ahora no lo vesEl Gran Cañón 1El modelodemesadelGranCañón 3Barcos a la vista 6Carros y puntos ciegos 9Resumen 10Verifica tu trabajo 10

Sección B Sombras y puntos ciegosLas sombras y el Sol 13Sombras proyectadas por

el sol y la luz 18Una sombra es un punto ciego 20Resumen 22Verifica tu trabajo 22

Sección C Sombras y ángulosAcoma Pueblo 25Summary 30Verifica tu trabajo 30

Sección D Ángulos de deslizamientoAlas delta 32Razón de deslizamiento 34De la razón de deslizamiento a

la tangente 37Resumen 42Verifica tu trabajo 42

Sección E Razonamiento con razonesRazón de la tangente 45Buitres contra planeadores 46Pitágoras 47Las razones: tangente,

seno, coseno 50Resumen 54Verifica tu trabajo 54

Práctica adicional 56

Respuestasparaverificartu trabajo 61

Apéndice A 68

S

EN

O

Examinemos el ángulo.qxd 2/21/06 9:45 AM Page v

VI Examinemos el ángulo

Querido alumno:

Bienvenido a Examinemos el ángulo.

En esta unidad, aprenderás acerca de la líneas de visión y de las zonasciegas. ¿Estuviste alguna vez en uno de los últimos pisos de un edificio altode apartamentos u oficinas? Al mirar por la ventana, ¿pudiste ver la aceraque se encontraba directamente debajo del edificio? Si pudiste ver la acera,esta se encontraba en tu campo de visión; si no pudiste ver la acera, estase encontraba en un punto ciego.

La relación entre las líneas de visión y losrayos de luz, y la relación entre los puntosciegos y las sombras son algunos de lostemas que examinarás en esta unidad. ¿Hasnotado alguna vez cómo la longitud de unasombra varía de acuerdo con el momentodel día? Como parte de una actividad,medirás la longitud de la sombra de una vara y el ángulo correspondiente del sol en distintos momentos del día. Luegodeterminarás cómo el ángulo del sol afecta la longitud de una sombra.

Además de observar el ángulo del sol, estudiarás elángulo que forma una escalera con el piso cuandoestá apoyada contra una pared y el ángulo que un aladelta forma con el suelo cuando está descendiendo.Aprenderás dos formas distintas de identificar lainclinación de un objeto: el ángulo que forma elobjeto con el suelo y la tangente de ese ángulo.

Esperamos que disfrutes descubrir las muchasmaneras de “examinar el ángulo”.

Atentamente.

El equipo de desarrollo de Las matemáticas en contexto

sombra

rayos de sol

Examinemos el ángulo.qxd 2/21/06 9:45 AM Page vi

El Gran Cañón es una de las maravillas naturales más famosas del mundo.Situado en la alta meseta de la parte noroeste de Arizona, es un cañonenorme esculpido por el Río Colorado. Tiene una longitud total de 446kilómetros (km). Aproximadamente 90 km del cañon están situados en elParque Nacional del Gran Cañón. La altura de la parte superior norte delcañón (la meseta Kaibab) está a unos 2,500 metros (m) por encima delnivel del mar.

Sección A: Ahora lo ves, ahora no lo ves 1

AAhora lo ves, ahora no lo ves

El Gran Cañón

Esta fotografía muestra una parte del Río Colorado que serpentea al pie del cañón.

1. ¿Por qué no puedes ver la continuación del río en la parte inferiorderecha de la foto?

Examinemos el ángulo.qxd 2/21/06 9:45 AM Page 1

El Río Colorado apenas sí se puede verdesde muchos puntos del Parque Nacionaldel Gran Cañón.

Este dibujo muestra una caminante en lamargen norte que tiene vista hacia una parte del cañón.

2. ¿Puede la caminante ver el río que estádirectamente debajo de ella? Explícalo.

2 Examinemos el ángulo

Ahora lo ves, ahora no lo vesA

Esta es una fotografía y un dibujo de la misma zona del Gran Cañón. En eldibujo, las paredes del cañón tienen la forma de una escalera.

3. Describe otras diferencias entre la foto y el dibujo.


Actividad


El modelo de mesa del Gran CañónEn esta actividad, construirás tu propio “modelo de mesa del cañón” parainvestigar cuánto se puede ver del “río” desde diferentes perspectivas.Para esta actividad, necesitarás por lo menos tres personas: dos queobserven y una que anote.

Materiales:

• dos mesas;• dos hojas de papel grandes;• una regla de 1 metro;• marcadores;• un bote (optativo).

• Coloca dos mesas paralelas, con suficiente espacio entre sí como paraque encaje otra mesa.

• Cuelga hojas de papel grandes desde las mesas hasta el piso, tal comose muestra en la fotografía de arriba. El papel representa las paredesdel cañón y el piso entre las dos mesas representa el río.

• Siéntate detrás de una de las mesas y haz que un compañero de clasese siente detrás de la otra. Cada uno de ustedes ve el cañón desde unaperspectiva distinta.

• Haz que otro compañero de clase marque la parte más baja de lapared del cañón, visible para cada uno de los que lo miran. La persona que anota debería hacer por lo menos tres marcas a lo largo de cada pared del cañón.


Mide la altura de las marcas desde el piso con la regla de 1 metro y tomanotas para un informe para que puedas responder lo siguiente:

4. a. ¿Puede cualquiera de ustedes ver el río que está abajo? Explícalo.

b. ¿Están las marcas más altas en tu pared o en la de tu compañero? Explícalo.

c. ¿Están todas las marcas de una pared a la misma altura? Explícalo.

d. ¿Qué otros posibles cambios te permitirían ver mejor el río? Predice cómo cada cambio afecta lo que puedes ver.

e. ¿En qué lugar del río ubicarías un bote para que ambos puedan verlo?

f. ¿Qué cambiaría si se ubicara el bote más cerca de una de las paredes del cañón?

5. Escribe un informe de esta actividad que describa tus investigaciones y conclusiones. Tal vez quieras usar los términos visible, no visible y punto ciego en tu informe.

Estos dibujos muestran dos vistas esquemáticas del cañón. El de la derechase parece un poco al modelo de mesa del cañón de la actividad anterior.




A

Observaremos con más detalle el dibujo de la derecha. Ahora lo vemos enun dibujo a escala de la sección transversal del cañón.

6. ¿Es posible ver el río desde el punto A en el borde izquierdo? Sí o no,¿por qué?

7. ¿Cuál es la altura real de la pared izquierda del cañón que se representaen el dibujo a escala?

8. Si el río tuviera 1.2 centímetros (cm) de ancho en el dibujo a escala, ¿sepodría ver desde el punto A?

9. En el dibujo a escala anterior, el río mide 1 cm de ancho. ¿Es posiblever el río desde el punto B? Si la respuesta es no, ¿qué saliente estáobstruyendo tu vista? Explícalo.


AAhora lo ves, ahora no lo ves

Escala

120 m

0.8 cm

0

B

A

Escala

120 m

1 cm

0

B

A


Imagínate que estás en un bote de remos pequeño, remando hacia unbarco que está amarrado en un muelle. En la primera imagen, el capitánpuede verte desde el timón del barco. A medida que te acercas, hay unpunto en donde el capitán ya no puede verte.

10. Explica por qué no te puede ver el capitán en la cuarta imagen.



Barcos a la vista

La altura y la posición donde se encuentra el capitán en el barco determinanlo que puede ver y lo que no puede ver. La forma del barco tambiénafectará su campo de visión. Para hallar el campo de visión del capitán,puedes dibujar una línea de visión. Una línea de visión es una líneaimaginaria que se extiende desde los ojos del capitán sobre el borde del barco hasta el agua.

A. B.

C. D.


A

11. Para cada barco que se muestra en la Hoja de actividad del estudiante 1,dibuja la línea de visión del capitán sobre el borde del barco hasta elagua. Mide el ángulo entre la línea de visión y el agua. (Una estrellamarca la ubicación del capitán.)

12. Compara los barcos de la Hoja de actividad del estudiante 1.

a. ¿En qué barco es menor la zona ciega del capitán? Explícalo.

b. ¿Cómo afecta la forma del barco la visión del capitán?

c. ¿Cómo afecta el ángulo, entre la línea de visión y el agua, la visióndel capitán?

Supón que estás nadando en el agua y un bote grande se acerca hacia ti. Siestás demasiado cerca del bote, ¡es posible que el capitán no pueda verte!Para ver un área más grande de agua el capitán puede navegar en zigzag.

13. Explica por qué el capitán tiene una mejor oportunidad de ver algo queesté frente al bote si la trayectoría es en zigzag.


Ahora lo ves, ahora no lo ves

nadador

nadador

Trayectoría

recta

Trayectoría

en zigzag

Barco C

Capit·n

Barco D

Capitán

Capitán

Barco A

Barco B

Capitán


Para esta actividad, cada grupo de estudiantes necesita una cuerda y unbote de juguete. El bote puede ser de plástico o de madera, pero debetener una base plana.

Alinea todos los botes frente a la clase. Para cada bote, asigna unnúmero y determina la ubicación del capitán.

14. Sin medir, decide qué bote tiene el punto ciego más grande y québote, el más pequeño. Explica tus decisiones.

Cuando comparas puntos ciegos, debes tener en cuenta el tamaño del bote. Es posible que un bote grande tenga un punto ciego grande,pero debes tener en cuenta el tamaño del punto ciego relativo altamaño del bote.

En tu grupo, usa el siguiente método para medir el punto ciego de tu bote.

Coloca tu bote en el papel cuadriculado de la Hoja de actividad del

estudiante 2. Traza la base del bote. Sujeta una cuerda al bote, en ellugar donde se encuentra el capitán. La cuerda representa la línea devisión del capitán.

Con la cuerda y un lápiz, marca en el papel cuadriculado el punto dondela línea de visión del capitán se encuentra con el agua. Asegúrate deque la línea de visión esté lo suficientemente tensa y que toque elborde del bote.

En el papel cuadriculado, marca varios lugares donde la línea de visióndel capitán toque el agua para que puedas determinar la forma delpunto ciego (el capitán mira al frente y a los costados). Si el papelcuadriculado no es lo suficientemente grande, pega con cinta adhesivavarios pedazos de papel. Dibuja el punto ciego en el papel cuadriculado.

Halla el área del punto ciego. Nota: cada cuadrado del papelcuadriculado mide un centímetro cuadrado.

15. Haz una lista de los datos para cada bote. Decide qué bote tiene elpunto ciego más grande en relación con su tamaño y cuál tiene elpunto ciego más pequeño en relación con su tamaño.


Actividad


A

Esta fotografía es de un PontiacStar Chief modelo 1958. Estecarro mide 5.25 m de largo.



Carros y puntos ciegos

Esta es una vista lateral del carro con las líneas de visión que indican lazona ciega.

Hoy en día, los carros se diseñan para que la zona ciega en frente del carrosea mucho más pequeña. El siguiente carro es un Buick Skylark modelo1997 que mide 4.7 m de largo. Observa cómo la línea de visión toca lacapota del carro.

16. Halla la longitud del camino frente a cada carro que no puede ser vistapor el conductor.

17. ¿Qué carro tiene el punto ciego relativo más largo?

18. ¿Qué indica la línea de visión que se extiende hacia arriba desde cadacarro? ¿Por qué es importante que la línea de visión esté lo másvertical posible?

19. Describe una situación de tu vida diaria que se relacione con un punto ciego. Incluye un dibujo de la situación e indica el punto ciego claramente.




Cuando un objeto se oculta de tu vista porque hay algo en el camino, lazona que tú no puedes ver se llama zona ciega o punto ciego.

Las líneas de visión son líneas imaginarias que van desde los ojos de unapersona hasta un objeto. Las líneas de visión muestran lo que hay en lalínea de la vista que tiene una persona y se pueden usar para determinar si un objeto es visible o no.

En esta sección, usaste líneas de visión para descubrir que el Río Coloradono es visible en algunas partes del Gran Cañón. También usaste líneas devisión para descubrir cuál era la zona ciega del capitán para barcos dediversos tamaños.

Estos dibujos de la Hoja de actividad del estudiante 3 muestran tres formasdiferentes de colocar el puente o sala de mandos de un barco. El punto encada barco indica el frente de dicho barco.

A



1. a. Dibuja las líneas de visión para mostrar los puntos ciegos delcapitán en cada uno de los tres casos.

b. En cada caso, mide el ángulo entre la línea de visión y el horizonte.

c. ¿Cómo cambia el punto ciego en la parte trasera del barco simueves el puente hacia adelante?

Las líneas de visión, como las que dibujaste en la Hoja de actividad del

estudiante 1, no muestran todo lo que los capitanes pueden o no puedenver. Por ejemplo algunos puentes de navegación de los barcos y la zonadesde donde el capitán navega el barco están especialmente construidospara mejorar la visión del capitán. El capitán puede cruzar el puentecaminando, desde un lado del bote hasta el otro, para aumentar su campode visión.

La siguiente es una fotografía de un crucero grande. Observa que el puenteubicado entre las flechas tiene alas que se extienden a cada lado del barco.

2. Explica cómo las alas delpuente le dan al capitán unamejor vista del agua frenteal barco.




Los barcos de hidroala tienen aletas que elevan el barco fuera del aguacuando viaja a grandes velocidades.

3. Haz dos dibujos de la vista lateral de un barco de hidroala: uno de losbarcos de hidroala estará en el agua navegando a baja velocidad y elotro estará elevándose del agua y navegando a alta velocidad. Usa laslíneas de visión para mostrar la diferencia en la vista que tiene elcapitán en cada dibujo. (Puedes diseñar tu propio barco de hidroala.)

Cuando te aproximas a una ciudad desde muy lejos a veces ves una torre oun edificio alto. A medida que te acercas a la ciudad parece que el objeto sedesaparece. Haz un dibujo con las líneas de visión para mostrar por qué latorre o el edificio parecen desaparecer cuando te acercas a la ciudad.

A


Cuando el sol brilla, proyecta sombras. La longitud de la sombra varíaa lo largo del día. A veces, las sombras son muy cortas (cuando el solestá “alto”) y otras veces, son muy largas (cuando el sol está saliendoo poniéndose).

Estos son tres esquemas de un árbol y de su sombra por la mañanatemprano, a la media mañana y al mediodía.

1 Haz un esquema de cómo se verían las imágenes a las 3.00 p.m. y a las 6.00 p.m.

El árbol mide dos metros de altura. Las baldosas miden un metro de ancho.

2. ¿A qué hora te parece que la sombra del árbol medirá dos metrosde altura?

El sol sale por el este.

3. Indica este, oeste, norte y sur en tu esquema.

Sección B: Sombras y puntos ciegos 13

BSombras y puntos ciegos

Las sombras y el Sol

6:00 a.m. 9:00 a.m. 12:00 mediodía


Esta es una tabla para organizar y registrar información.

Para hallar el ángulo de los rayos de sol, puedes hacer un dibujo a escalade un triángulo rectángulo que muestre el árbol de 2 m y la longitud de lasombra. Puedes usar tu transportador o rosa de la brújula para medir elángulo del rayo de sol.

Este es un dibujo a escala de la imagen de las 6.00 a.m.

.

4. Usa las imágenes de la página anterior para crear dibujos a escalade las dos imágenes restantes. Usa esta información para copiar ycompletar la tabla.

5. Suponiendo que al mediodía el sol se encuentra en el punto más alto,completa los valores para las 3.00 p.m. y las 6.00 p.m.


Sombras y puntos ciegosB

alrededor de 23°

5 cm

2 cm

Momento del día Dirección del sol Longitud de la sombra

Ángulo del rayo de sol

6:00 a.m. E 5 m ?

9:00 a.m.

12:00 p.m.


Durante el invierno, alrededor del mediodía, la longitud de la sombra deledificio es dos veces la altura del edificio.

7. a. Dibuja una vista lateral del edificio y de la sombra que proyectaalrededor del mediodía durante el invierno.

b. Mide el ángulo entre los rayos de sol y el suelo.

Durante la primavera, alrededor del mediodía, el ángulo entre los rayos desol y el suelo mide 45°.

8. a. Dibuja una vista lateral del edificio y de la sombra que proyectaalrededor del mediodía durante la primavera.

b. ¿Qué longitud tiene la sombra del edificio si este mide 40 m de alto?

9. Describe los cambios en la longitud de la sombra y en el ángulo delos rayos de sol de una temporada a otra.



sombra

rayos de sol

Cuanto más bajo está el sol, más largas sonlas sombras proyectadas. La altura del solno sólo depende del momento del día, sinotambién de la temporada. Esta es una vistalateral de un edificio alrededor del mediodíadurante el verano.

La longitud de la sombra del edificio es lamitad de la altura de este.

6. Mide el ángulo entre los rayos de sol y el suelo.


En esta actividad, investigarás las sombras que produce el sol. En un díasoleado, medirás la sombra y el ángulo de los rayos de sol.

Primero, necesitarás armar tu herramienta de medición de ángulos (HMA).Recorta la imagen de la Hoja de actividad del estudiante 4 por las líneas continuas. Haz el primer doblez como se muestra aquí y pega laspartes sombreadas correspondientes. Continúa doblando tu HMA en elsiguiente orden.

Necesitarás los siguientes objetos:

• una vara de alrededor de 1.2 m de largo;

• una vara de alrededor de 0.7 m de largo;

• una medida de cinta métrica;

• varios metros de cuerda;

• tu HMA;

• una brújula.


Actividad

Doblez 3 Doblez 4

Doblez 1 Doblez 2


Entierra ambas varas a unos 2 m una de la otra. La vara más largadebería tener una altura de 1 m por encima del suelo y la más cortadebería tener una altura de 0.5 m por encima del suelo. Las varasdeberían estar perfectamente verticales.

Copia la siguiente tabla en tu cuaderno. Toma las medidas en cincomomentos diferentes durante el día y completa tu tabla. Agrega a tutabla más filas en blanco cuando sea necesario.

Usa la brújula para determinar desde qué dirección brilla el sol. Usala cinta métrica para medir las longitudes de las sombras de ambasvaras, y usa tu HMA y tu cuerda (como se muestra abajo) para medirel ángulo que forman ambas varas entre los rayos de sol y el suelo.Asegúrate de estirar la cuerda hasta donde termina la sombra ycoloca allí tu HMA.


fin de la sombra

cuerda

Vara de 0.5 m Vara de 1 metro

Momento

del día

Dirección

del sol

Longitud de

la sombra

(en cm)

Ángulo

de los

rayos de sol

Longitud de

la sombra

(en cm)

Ángulo

de los

rayos de sol


Usa los datos de la tabla que hiciste en la actividad de las páginas 16 y 17para responder los siguientes problemas.

10. a. Describe el movimiento del sol durante el día.

b. Describe cómo la dirección de la sombra varía a lo largo del día.¿Cómo se relacionan las sombras con la dirección desde donde brilla el sol?

c. Describe las variaciones en la longitud de la sombra a lo largo deldía. ¿Cuándo son más largas las sombras y cuándo son más cortas?

Compara las sombras de la vara más larga con las sombras de la vara más corta.

11. a. Describe la relación entre la longitud de la sombra y la altura de la vara.

b. ¿Eran las sombras de las varas paralelas en todo momento?Explícalo.

Compara el ángulo de los rayos de sol para cada vara en cualquiermomento durante el día.

12. a. Describe cómo varió el ángulo de los rayos de sol durante el día.¿Cuándo es el ángulo mayor y cuándo es menor?

b. ¿Cómo se relaciona el tamaño del ángulo de los rayos de sol con lalongitud de las sombras?



Sombras proyectadas por el sol y la luzEl sol hace que objetosparalelos proyecten sombrasparalelas. En esta fotografía,por ejemplo, las estacas de la valla proyectan sombrasparalelas en la acera.


La iluminación de la calle causa una imagencompletamente diferente.

13. Explica las diferencias entre las sombrascausadas por la iluminación de la calle ylas sombras causadas por el sol, y lasrazones de esas diferencias.



Esta es una imagen de la iluminación de la calle rodeada por postes.

14. En la Hoja de actividad del estudiante 5, dibuja las sombras faltantes.En la vista superior A, es de noche, por lo tanto la iluminación de lacalle está encendida. En la vista superior B, es de día, por lo tanto lailuminación de la calle está apagada y el sol está brillando.

Vista superior A Vista superior B

Iluminación nocturna Luz solar diurna


Esta es una imagen de un cantante en elescenario. Se usan tres proyectores dehaz distintos en la interpretación. En elescenario, se forman tres sombras.

15. ¿Qué proyector de haz crea cada sombra?



Una sombra es un punto ciego

Estos son dos botes.

Una imagen muestra el punto ciego del capitán en el bote durante el día.La otra imagen muestra la sombra del bote causada por un reflectordurante la noche.

16. Explica por qué estas imágenes son casi exactamente iguales.

A

1

2

3

BC



En esta actividad, investigarás la zonaciega de un remolcador.

• Usa bloques de 1 cm para construirun modelo del remolcador.

• Coloca tu bote en el bosquejo de la vista superior de la Hoja

de actividad del estudiante 6.

• Usa cuerda para representar lalínea de visión del capitán.

En la Hoja de actividad del estudiante 6,dibuja las líneas de visión del capitánpara las vistas lateral, superior y frontal.

En la vista superior, sombrea la zonadel papel cuadriculado que representela zona ciega del bote.

En la Hoja de actividad del estudiante 7,

dibuja las líneas de visión y sombrea lazona ciega para esta vista. Ya se hadibujado una línea de visión.

Actividad

Capitánn

Vistalateral

Vis

ta fro

nta

l

Vista superior




Las sombras pueden ser causadas por dos clases de luz:

• luz que está cerca, como la de un farol;

• luz que está muy lejos, como la del sol.

Cuando la luz viene del sol, los rayos de luz son paralelos y las sombras delas líneas paralelas son paralelas.

Cuando la luz viene de una lámpara, las sombras se proyectan en distintasdirecciones. Se parecen a las líneas de visión.

Por esa razón, las sombras son semejantes a puntos ciegos o zonas ciegas.

A medida que se mueve el sol, las sombras también lo harán.

Si el sol está bajo, proyecta sombras largas.

Si el sol está alto, proyecta sombras cortas.

Las sombras causadas por el sol no sólo cambian su longitud, sino tambiénsu dirección. Durante la mañana, las sombras se estiran hacia el oeste.

A

El modelo de un remolcador tiene unreflector en el punto A.

Para mostrar la sombra causada por elreflector, se dibujaron dos rayos de luz.

1. Usa la Hoja de actividad del

estudiante 8 para dibujar lasombra del remolcador causadapor el reflector.



Esta es una vista superior del mismoremolcador. Se dibujó la sombra causadapor el reflector A.

2. Verifica si esta sombra está correcta yexplica, sí o no, ¿por qué?

3. Dibuja la sombra en la Hoja de

actividad del estudiante 8 causada por el reflector B.

4. ¿Es menor ahora la zona ciega?

5. ¿Dónde colocarías el reflector?

A

B

Esta imagen muestra las sombras de dos edificios al mediodía. El sol brilladesde el sur. Un edificio es el doble de alto que el otro.

6. Estudia las sombras de los edificios que se muestran aquí. Describe ladirección y la longitud de las sombras.

S

EN

O

Hora: mediodía



Sombras y puntos ciegos

Estos son dos edificios dibujados en cuatro momentos diferentes del día.

7. a. En la Hoja de actividad del estudiante 9, dibuja las sombras quefaltan. Nota: la Imagen D necesita ambas sombras dibujadas.

b. Rotula cada imagen con el momento correspondiente del día.

Explica a un compañero de clase el significado de cada frase o palabra.Puedes usar dibujos para tu explicación.

• línea de visión

• puntos ciegos

• sombra

B

Imagen A Imagen B

Imagen C Imagen DS

EN

O

S

EN

O

S

N

O

E

S

N

O

E


El Pueblo Acoma, de los Estados Unidos, se considera el pueblo másantiguo continuamente habitado. Este es un dibujo del Pueblo Acoma talcomo posiblemente haya sido hace más de 100 años. Situado cerca deAlbuquerque, Nuevo México, es famoso por su arquitectura y su hermosacerámica. Analizando la cerámica, los arqueólogos determinaron que estepueblo se estableció hace unos 1,000 años.

Sección C: Sombras y ángulos 25

CSombras y ángulos

Pueblo Acoma

La fotografía de la izquierda muestrala arquitectura típica de una calleprincipal del pueblo. Esta imagen se tomó por la mañana.

1. Describe cómo serán diferenteslas sombras al mediodía.


Originalmente, las casas del Pueblo Acoma no tenían puertas de la calle;se usaban las escaleras para entrar a las casas por el segundo piso.Las escaleras sostenidas contra las casas formaban diferentes ángulos.La inclinación de las escaleras se puede medir de diferentes formas.

Recuerda que en la Sección B aprendiste que los rayos de sol sonparalelos. El dibujo rotulado Imagen A muestra una escalera y susombra. El dibujo también muestra cómo el rayo de luz solar proyectala sombra de un peldaño de la escalera.

2. Usa la Hoja de actividad del estudiante 10 para dibujar rayos de luzsolar que proyecten una sombra para cada uno de los otros diezpeldaños de la Imagen A.

El dibujo rotulado Imagen B muestra la misma escalera en la mismaposición, pero en un momento diferente del día.

3. Usa la Hoja de actividad del estudiante 10 para dibujar rayos de luzsolar y su sombra correspondiente, para cada uno de los otros diezpeldaños de la Imagen B.


Sombras y ángulosC

Imagen A Imagen B


Estos son dibujos de dos vistas laterales de la misma escalera apoyadacontra una pared.

4. Describe las diferencias entre las posiciones de la escalera que estácontra la pared en estos dibujos.

5. a. ¿Qué problemas podrían ocurrir si la escalera estuvierademasiado inclinada?

b. ¿Qué problemas podrían ocurrir si la escalera no estuvieralo suficientemente inclinada?

Cuando cambia la inclinación de la escalera, también cambian lassiguientes medidas:

• la altura en la pared que puedealcanzar la parte superior de laescalera;

• la distancia entre el pie de la escaleray la pared;

• el ángulo entre la escalera y el suelo.

6. Investiga diferentes grados deinclinación usando una regla o unlápiz para representar una escaleray una caja o un libro parados pararepresentar una pared. Describe tusconclusiones. Puedes usar dibujos.


CSombras y ángulos

alt

ura

distancia

ángulo



Sombras y ángulosC

Este es un dibujo de una escalera apoyada contra una pared. Los ángulosgeneralmente tienen nombres. A veces el nombre del ángulo es una letradel alfabeto griego. La primera letra del alfabeto griego es � (alfa), lasegunda letra es � (beta) y la tercera es � (gamma).

7. ¿Por qué debe ser de 90° el ángulo entre la altura (h) y la distancia (d)?

8. Mide el ángulo � del dibujo.

Existen varias formas de medir la inclinación de una escalera. Puedesmedir el ángulo � o puedes hallar la razón entre la altura y la distancia.La razón entre la altura y la distancia se puede expresar en forma deuna razón, una fracción o un decimal.

9. ¿Qué le sucede al ángulo � a medida que aumenta la razón entre laaltura y la distancia?

10. Usa una rosa de la brújula o un transportador y una regla para hacerdibujos a escala de la vista lateral de una escalera que esté apoyadacontra una pared, para cada una de las siguientes situaciones.Además, rotula �, h y d con sus medidas y halla la razón entre ladistancia y la altura.

a. � � 45°

b. h � 2, d � 1

c. � � 30°

d. h � 1, d � 2

e. � � 60°

escalera (e)

distancia (d )

·ngulo

altura (h)

(�) Este símbolo se usa para indicar un ángulo de 90° o ángulo recto.



CSombras y ángulos

11. Copia la siguiente tabla y complétala con los datos del problema 10.Ordena las entradas para que las medidas del ángulo aumenten deizquierda a derecha.

12. Usa la tabla del problema 11 para hacer una gráfica de la razón entre laaltura y la distancia para una escalera que esté apoyada contra unapared. Rotula tu gráfica tal como se muestra aquí.

13. Explica la información que se muestra en tu gráfica. Compara tugráfica con tu respuesta al problema 9.

Supón que es seguro estar en una escalera cuando la razón h:d es mayorque dos y menor que tres.

14. Da un rango de ángulos según el cual se pueda colocar una escalera demanera segura.

Medida del ángulo (en grados)

Ra

zó

n e

ntr

e l

a a

ltu

ra y

la

dis

tan

cia

15°

0.5

1.5

2.0

1.0

30° 45° 60° 75°

Gráfica de inclinación

(medida del ángulo en grados)

�

h:d (razón entre la altura

y la distancia)

Tabla de inclinación



Sombras y ángulosC

A medida que aumenta el ángulo entre una escalera y el suelo, aumenta laaltura de la posición de la escalera en la pared. Al mismo tiempo, la distanciaentre el pie de la escalera y la pared disminuye.

Del mismo modo, a medida que aumenta el ángulo entre un rayo de luzsolar y el suelo, se acorta la sombra en el suelo.

La inclinación de una escalera se puede medir de las dos maneras siguientes:

• por medio del ángulo (cuanto mayor es el ángulo, más inclinada está la escalera);

• por medio de la razón entre la altura y la distancia o h:d (cuanto mayores la razón, más inclinada está la escalera).

1. Usa una rosa de la brújula o un transportador y una regla para hacerdibujos de una escalera que esté apoyada contra una pared, para cadauna de las siguientes situaciones:

a. � � 60°

b. h � 3, d � 1

c. Mide y registra � del problema b.



Estos son tres dibujos a escala de diferentes triángulos rectángulos; cadauno representa una “situación con una escalera”.

2. Para cada situación con una escalera, usa el dibujo a escala para hallar�, h, d y h:d.

Este es un dibujo de una sección transversal de otro modelo de cañón,como el modelo con el que trabajaste en la Sección A. Los números indicanla escala de la altura y el ancho de los salientes, y el ancho del río.

2

4

A

B

4 5

44

1.6

22

2

4

a b c

3. ¿Qué línea de visión está másinclinada hacia el río, la del puntoA o la del punto B? Apoya turespuesta con información acercadel ángulo entre la línea de visióny el río, y la razón entre la altura yla distancia.

Explica cómo podrías usar las sombras para estimar la altura de una torre.



Los alas delta son deslizadores livianoscomo cometas que llevan un piloto enun arnés. El piloto despega desde unacolina o desde un acantilado hacia elviento. Luego el ala delta desciendelentamente hacia la tierra.

Cuando los pilotos hacen su primervuelo con un ala delta nuevo, tienenmucho cuidado porque no conocen qué tan rápido descenderá el ala delta.

DÁngulosde deslizamiento

Alas delta


Mariana, la piloto de la imagen anterior, decide hacer su primer salto desdeun acantilado de 10 m. Tal como se muestra en el dibujo, ella se desliza enlínea recta a lo largo de 40 m.

Luego de varios vuelos exitosos decide ir a un acantilado más alto. Elacantilado está a 15 m de altura.

1. ¿Cuánto terreno cubre el ala delta desde el acantilado más alto? Nota:supón que la inclinación de la trayectoria del vuelo es la misma.

2. Mariana realiza vuelos desde tres acantilados que están a 20 m, 50 m y 100 m de altura. ¿Cuánto terreno cubre el ala delta en cada vuelo?

Mariana ha diseñado un ala delta que se puede desplazar más que elprimero. Con el nuevo ala delta, Mariana asegura: “¡Cuando salto desde un acantilado de 10 m, puedo cubrir una distancia de 70 m!”.

3. a. Dibuja una vista lateral de la trayectoria del vuelo de Mariana con el nuevo ala delta.

b. Copia la siguiente tabla y complétala para el nuevo ala delta.

Sección D: Ángulos de deslizamiento 33

DÁngulos de deslizamiento

40 m

10 m

Altura (en cm) 10

70 245 1,000

25 100

Distancia (en m)



Ángulos de deslizamientoD

Razón de deslizamiento

16.3 cm

2 cm

Esta imagen está basada en tres fotografías distintas, tomadas una despuésde la otra. Muestra un modelo de planeador que se usa en experimentosde laboratorio. Si tomas tres fotografías durante un breve período, puedesdeterminar la trayectoria del planeador.

4. En tu cuaderno, traza la trayectoria de este planeador y haz un dibujo aescala semejante al dibujo en la parte superior de la página 33. Usa tudibujo a escala para responder las siguientes preguntas.

a. Si se lanza el planeador de la imagen desde una altura de 5 m,¿hasta dónde volará el planeador antes de aterrizar?

b. ¿Hasta dónde volará el planeador desde un acantilado de 10 m?

c. Compara las distancias cubiertas por los dos alas delta de Marianay por este modelo de planeador. ¿Cuál vuela más lejos si se lanzanlos tres desde 10 m? Explícalo.

Para determinar qué ala delta viaja más lejos puedes considerar la razón

de deslizamiento. El primer ala delta de Mariana voló 40 m desde unacantilado de 10 m. Este ala delta tiene una razón de deslizamiento de1:4 (uno a cuatro). El segundo ala delta de Mariana voló 70 m desde unacantilado de 10 m.

Este segundo ala delta tiene una razón de deslizamiento de 1:7.

5. ¿Qué crees que es la razón de deslizamiento?




A finales del siglo XIX, Otto Lilienthal hizo más de 2,000 vuelos con alasdelta. Supón que en uno de sus vuelos desde las Colinas de Rhinowercerca de Berlín, Alemania, despegó desde una altura de 25 m y cubrió unadistancia de 185 m, tal como se muestra aquí. Supón que, en su siguientevuelo, rediseñó un poco su ala delta, despegó desde una altura de 20 m yviajó una distancia de 155 m.

6. ¿Cuáles eran las razones de deslizamiento de los dos alas delta deOtto? ¿Cuál ala delta pudo desplazarse más?

7. Supón que un ala delta tiene una razón de deslizamiento de 1:8.Despega desde un acantilado y cubre 120 m de distancia. ¿A qué altura está el acantilado?

8. Haz dibujos a escala para representar las siguientes razones de deslizamiento.

a. 1:1 b. 1:2 c. 1:4

d. 1:10 e. 1:20

185 m

25 m


En la Sección C, cuando estudiaste las escaleras en diferentes ángulos,hiciste una tabla semejante a la siguiente, que muestra el ángulo entrela escalera y el suelo, y la razón entre la altura y la distancia.

Puedes organizar tu información acerca de la inclinación de la trayectoriade un ala delta con una tabla semejante. El ángulo que forma el ala deltacon el suelo a medida que desciende, se llama ángulo de deslizamiento.

9. Copia esta tabla en tu cuaderno. Completa los ángulos de deslizamientofaltantes usando los dibujos a escala que hiciste para el problema 8.Mide los ángulos con una rosa de la brújula o un transportador.

Las razones de deslizamiento también se pueden expresar como fraccioneso decimales.

10. ¿Cuáles de las siguientes razones de deslizamiento son equivalentes?

1:25 4��100 1:20 3:75 1��20

1��30 2:40 0.04 1��25 4:100

0.05 1��4 0.20 4:120 2��50



Ángulo de deslizamiento �

1:1Razón de

deslizamiento h:d1:2 1:4 1:10 1:20

Inclinación de la trayectoria de deslizamiento

� 27° 30° 45° 60° 63°

0.5 0.6 1 1.7 2h:d

Inclinación de la escalera

alt

ura

(h

)

distancia (d )

�alt

ura

(h

)

distancia (d )

�




De la razón de deslizamiento a la tangente

h

d

�

Supón que es seguro volar alas delta que tienen una razón dedeslizamiento menor que 1:10.

11. ¿Cuál es el mayor ángulo de deslizamiento seguro?

Supón que tres alas delta tienen las siguientes razones de deslizamiento:

• ala delta 1: 1:27;

• ala delta 2: 0.04;

• ala delta 3: 3��78 .

12. ¿Cuál es el ala delta más seguro? Explícalo.

La relación entre la razón de deslizamiento y el ángulo de deslizamiento esmuy importante en el vuelo con ala delta tanto como en otras aplicaciones,por ejemplo en la colocación de una escalera. Por eso, hay varias manerasde expresar esta razón y este ángulo.

razón de deslizamiento � h:d

ángulo de deslizamiento � �

La razón h:d también llamada la tangente del ángulo � otan � � h—d .

Para una razón de deslizamiento de 1:1, el ángulo de deslizamiento es de45°, es decir tan 45° � 1��1

� 1.

Supón que otro de los alas delta de Otto tiene una razón de deslizamientode 1:7. Esto significa que la tangente del ángulo de deslizamiento es 1 a 7(o 1��7).

13. Describe en tus propias palabras la relación entre la razón dedeslizamiento, el ángulo de deslizamiento y la tangente.




25

53 B

C

A

Supón que un ala delta sigue la trayectoria de vuelo que semuestra aquí.

Gracias a esta información, sabes que la razón dedeslizamiento de un ángulo de 35° es 0.7 (o7:10). Puedes escribir esta información de lasiguiente manera:

tan 35° � 7��10 � 0.7

Esta es una situación diferente con un ala delta.

Sabes que la tangente del ángulo A es de 25:53 o de 0.47.

Puedes escribir esta información de la siguiente manera:

tan A � 25��53 � 0.47

14. Completa los siguientes enunciados para cada uno de los siguientestriángulos rectángulos.

a. tan ?° � ? b. tan ?° � ?

c. tan ?° � ? d. tan ?° � ?

2 1

1 1

27° 45°

2

3

1 1

63° 72°

7

1035°


Pedro quiere comprar un modelo deplaneador de madera balsa para susobrino, pero no está seguro de cuálcomprar. El vendedor de la tienda depasatiempos asegura: “Cuanto máspequeña es la tangente del ángulo dedeslizamiento, mejor es el planeador”.

15. ¿Tiene razón el vendedor? Explícalo.



16. Supón que para el triángulo ABC, la medida del ángulo B es de 90° y la tan A � 3��5 .

a. Haz un dibujo a escala del triángulo ABC.

b. Supón que dibujaste un triángulo ABC cuyo lado AB mide 10 cm.¿Cuál es la longitud del lado BC ?

c. ¿Cuánto mide el ángulo A del triángulo ABC ? ¿Tiene el mismotamaño en los dos triángulos dibujados?

La siguiente tabla enumera una lista de algunos ángulos y las medidasaproximadas de sus tangentes.

Usa la tabla para contestar las siguientes preguntas.

17. a. Dibuja una vista lateral de la trayectoria de un ala delta cuyo ángulode deslizamiento es de 5°.

b. ¿Cuál es la razón de deslizamiento para este ala delta?

18. Si el ángulo de deslizamiento es de 35°, ¿qué distancia cubre un aladelta desde una altura de 100 m?

19. Si una escalera forma un ángulo de 80° con el suelo, ¿qué puedesdeterminar acerca de la posición de la escalera si sabes que la tan 80° � 5.7?

Ángulo

(en grados)0°

0 0.02 0.04 0.05 0.07 0.09 0.60 0.63 0.65 0.68 0.70

1° 2° 3° 4° 5° 31° 32° 33° 34° 35°

Tangente del ángulo

(en decimales)


La tabla del Apéndice A muestra la relación entre el tamaño de un ánguloy el valor de su tangente. También puedes usar una calculadora científicapara hallar la tangente de un ángulo. Debido a que las calculadoras sondiferentes, posiblemente quieras investigar cómo usar la tecla Tangente enla tuya. Puedes usar la tabla del apéndice para verificar tu trabajo.

También puedes usar una calculadora científica para hallar las medidas delángulo si sabes la razón de la tangente.

Usa la tabla o la tecla Tangente de tu calculadora científica para contestar lasiguiente pregunta.

20. ¿Qué sabes acerca de un ala delta con un ángulo de deslizamiento de 4°? ¿Y con un ángulo de deslizamiento de 35°?

21. Explica por qué tan 45° � 1.

22. ¿Qué ángulo tiene un valor de tangente de 2?, ¿de 3 y de 4?

23. ¿Cuánto cambia la medida del ángulo cuando el valor de la tangentecambia de las siguientes maneras?

a. De 0 a 1

b. De 1 a 2

c. De 2 a 3

d. De 3 a 4

e. De 4 a 5






Historia de las matemáticas

Umbra versa

Umbra recta

Sombras y ala delta

Calcular las sombras fue un medio primitivo para hallar alturas. Si vesrayos de sol con un ángulo de 45°, puedes medir la sombra de una torrepara conocer su medida.

Alrededor del año 400 a. de C., los hindúes comprendieron el uso de lassombras para medir las alturas. Alrededor del año 920 d. de C., Albategniohizo las primeras tablas de sombras.

Alrededor del año 860, los árabes (Habash-al-Hasib) construyeron la primera tabla de tangentes. Los escritores árabesdescribieron la sombra recta, umbra recta (distancia horizontal) y la sombra inclinada o umbra versa(distancia vertical).

Tan pronto como se inventaron los primeros planeadores, susdesempeños se compararon por medio de las razones de deslizamiento.El aviador alemán Otto Lilienthal (alrededor de 1890) hizo una especie deala delta con razones de deslizamiento de 1 a 9, que también es la razónde deslizamiento del trasbordador espacial de la NASA.

Siempre hay confusión acerca de las razones de deslizamiento: en Europa,la gente identifica 1:40 como la razón de deslizamiento de un buen velerocontemporáneo (¡a veces incluso 1:60!), pero frecuentemente en losEstados Unidos puedes ver 42:1 o sólo 42.

Deslizarse también es una adaptación común en losmamíferos. En un artículo científico de Brian Stafford yotros, se comparan las razones de deslizamiento de lasardillas voladoras de Japón. Los científicos llegan a laconclusión de que las trayectorias de deslizamiento deestos animales varían considerablemente. Las mejoresdeslizadoras entre dichas ardillas tienen una razón dedeslizamiento cercana a 1:3.5. ¡No está mal! Las peoresdeslizadoras apenas alcanzan 1:1. Se pueden esperaraterrizajes bruscos.



Ángulos de deslizamiento

Se puede hacer un modelo de la inclinación deuna escalera, del ángulo de los rayos de sol yde la trayectoria de vuelo de un ala delta con untriángulo rectángulo como este.

La inclinación se puede medir como el ángulo �o como la razón h:d.

La razón h:d también se llama la tangente delángulo � o tan � � h��d .

En un día calmo un piloto de planeador quiere hacer un vuelo que cubra120 km. El planeador tiene una razón de deslizamiento de 1:40.

1. ¿Desde qué altura tiene que soltarse el planeador?

D

h

d

�



Un planeador con una razón dedeslizamiento de 1:28 se sueltaluego de ser remolcado por unavión a 1,200 m sobre LakeHavasu City, en Arizona.

2. Indica en el mapa de la Hoja

de actividad del estudiante 11

a qué distancia puede volar elplaneador si no hay viento.

Davis DamBullhead City

KingmanPico Hualapai 8,417 ft

ChloridePeach Springs

Reservación indígena HualapaiLago

Mohave

Reservación indígena Fuerte Mohave

CAL IFORNIA

Lake HavasuCity

LagoHavasu

Dique Parker ParkerReservación indígena Río Colorado

Lago Alamo

WendenBouse

Rocas pictográficas

Salome

Quartzsite

ValentineNelson

Bagdad

Topock

L A P A Z

M O H A V E

Mo

nt a

ña

s Ne

gra

s

0 70 km

ARIZONA

Aguila

Fuente: © 1997, Encyclopædia Britannica, Inc.

Estos son algunos de los triángulos rectángulos con los que trabajaste en elproblema 14.

Usaste una notación de tangente para describir cada situación:

a. tan 45° � 1 b. tan 63° � 2 c. tan 72° � 3

3. a. Supón que estos triángulos rectángulos fueran situaciones conescaleras. ¿A qué conclusiones puedes llegar acerca de estasescaleras?

b. ¿A qué conclusiones puedes llegar acerca de la longitud de unaescalera descrita con la tan 86° � 14?

45° 63° 72°

1 23

1 1 1



Ángulos de deslizamiento

Se construyó un camino con un ángulo lo suficientemente grande entre elcamino y el plano horizontal.

4. a. Usa la tabla de tangente o tu calculadora para hallar la tan 12°.

b. Usa esto para calcular la altura h.

A una distancia de 160 m observas, con un ángulo de 23°, la parte superiorde una torre.

5. ¿Cuál es la altura de la torre? Pista: usa tan 23°.

Escribe un breve párrafo acerca de las semejanzas que ves entre lassituaciones que involucran escaleras y alas delta. En tu descripción, usa los términos inclinación, razón entre la altura y la distancia, y ángulo.

D

BA

C

h

10 km

12°

160 m

23°


Hasta ahora, has trabajado con situaciones como estas.

1. Los elementos de estas situaciones están rotulados con los númerosdel 1 al 15. Nombra cada elemento. Por ejemplo, una línea rotuladacon un número puede ser un rayo de luz o una trayectoria de un vuelo.

Sección E: Razonamiento con razones 45

ERazonamientocon razones

Razón de la tangente

líneas de visión

2

1

sombras, rayos de luz

4

3

ángulo de deslizamiento, razón de deslizamiento

11

8

10

9

10

tangente de un ángulo

13

15

14

�

12

inclinación de la escalera

7

5

6


Todas las situaciones de la página anterior tienen un triángulo rectánguloen común. En muchas situaciones, la razón entre la altura y la distanciadesempeña una función importante, tan � � h��d .

Esta razón es una medida para la inclinación, así como para el ángulo.Un ángulo pequeño equivale a poca inclinación.


Razonamiento con razonesE

Buitres contra planeadoresMientras buscan alimento, los buitres usancorrientes ascendentes de aire caliente otérmicas, para ganar altura. Ellos se elevanen círculos y luego de alcanzar cierta altura,se deslizan hacia abajo para conseguir unanueva columna térmica. Los buitres buscancorrientes térmicas para ganar altura sinconsumir energía. Del mismo modo que losbuitres, los planeadores confían en lascorrientes térmicas.

Los buitres y los planeadores se puedencomparar en términos de sus razones dedeslizamiento.

Para un buitre, la razón de deslizamiento es1:10 o tan � � 0.1.

Para el planeador, tan � � 0.03.

2. a. ¿Cuál es el mejor “deslizador”?

b. ¿Qué distancia puede volar cada uno,si comienzan desde una altura verticalde 1 km?

c. ¿Cuál es el tamaño de los dosángulos de deslizamiento?

d. ¿Qué trayectoria de vuelo es más inclinada?


Tal vez recuerdes un teorema que se relaciona estrechamente con lostriángulos rectángulos. Se llama el teorema de Pitágoras. Pitágoras nacióen Samos, Ionia, en el siglo VI a. de C. El teorema de Pitágoras se usapara calcular la longitud de cualquier lado de un triángulo rectángulo si se conocen las longitudes de los otros dos lados.


ERazonamiento con razones

Pitágoras

a

a 2

c

cateto

cateto hipotenusa

c 2

bb 2

Si un triángulo tiene un ángulo recto, entonces el

cuadrado en el lado más largotiene la misma área que la de

los otros dos combinados.

Puedes escribir el teorema de Pitágoras enforma de ecuación a2 � b2 � c 2, donde a y brepresentan los dos lados cortos, llamadoscatetos de un triángulo rectángulo, y crepresenta el lado más largo, llamadohipotenusa. La hipotenusa es siempre ellado opuesto al ángulo recto.


Si sabes las medidas de los tres lados de un triángulo, puedes usar elteorema de Pitágoras para descubrir si el triángulo es un triángulorectángulo. Si a2 � b2 ≠ c 2, entonces el triángulo no es un triángulorectángulo.

El teorema de Pitágoras se usa para hallar distancias. Observa con atenciónla siguiente sucesión de imágenes.

3. a. Explica la sucesión de imágenes.

b. ¿Cuál es la longitud del segmento AB?



B

A

?

B

3

4A

?

B

A

A

B

?

32 � 42

32

42


4. Halla la información que falta en los siguientes triángulos. Muestra tu trabajo.

a. b. c.

d. e. f.



4

6

?

6

10?

5

12 ?2 ?

8

12

?

1

4 ?

1,000 metros

400

metros

A B

C

�

El buitre no tiene que volar a una razón de deslizamiento de 1:10. Puededeslizarse en ángulos mucho más inclinados, especialmente cuando haceclavados en busca de alimentos.

5. a. ¿Cuál es la razón de deslizamiento del buitre en la imagen de arriba?

b. Usa tu calculadora para hallar el tamaño del ángulo dedeslizamiento.

c. Usa el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de latrayectoria del vuelo del buitre (BC).


Si el ángulo de deslizamiento es muy pequeño, las longitudes AB y BCserán como las del problema 5. ¿Qué sucede si el ángulo de deslizamientoes mayor?

Considera un triángulo rectángulo con un ángulo de 40°.

6. a. Usa una regla y un transportador para dibujar un triángulorectángulo ABC. El ángulo A es el ángulo recto, el ángulo B � 40°,y AB � 5 centímetros (cm). AB representa una longitud de1,000 m en la realidad.

b. Usa tu calculadora o el apéndice para hallar la tan de 40° y calculala longitud de AC en el dibujo. Redondea la respuesta acentímetros enteros.

c. Halla la longitud de BC. ¿Tienen AC y BC aproximadamente lamisma longitud en el dibujo? ¿Y en la realidad?

Nicole quiere dibujar un triángulo rectángulo ABC semejante, con unángulo B � 80°.

d. Explica por qué no es posible hacer este dibujo en tu cuaderno.¿Cuál es la longitud de BC en este triángulo? ¿Y en la realidad?

e. ¿Qué conclusión sacas acerca de las longitudes de AC y de BC siaumenta el tamaño del ángulo de deslizamiento?

Las instrucciones para los pintores establecen que una escalera se colocade manera segura contra una pared si el ángulo con el suelo es deaproximadamente 70°. Considera una escalera que tenga 10 m de largo.

7. a. Haz un dibujo a escala de esta escalera que esté apoyada contrauna pared de manera segura. Muestra cómo hiciste el dibujo.

b. ¿A qué distancia de la pared está la escalera de 10 m?



Las razones: tangente, seno, coseno

B

cateto

C

cateto A

hipotenusa

En triángulos rectángulos, tenemos tres lados: la hipotenusa (la escalera) ylos catetos del triángulo rectángulo (la altura y la distancia) que ayudan adefinir la razón de deslizamiento.


Además de la tangente de la razón, hay otras dos razones que describenuna relación entre los lados de un triángulo rectángulo.

Una es la razón del seno, que se abrevia sen �.

La otra es la razón coseno, que se abrevia cos �.

Observa que para ambas razones, seno y coseno, la hipotenusa es el“denominador”.

Remítete a tu dibujo a escala de la situación con una escalera en elproblema 7, donde tan es 70°� 2.7, y la longitud de la escalera es de 10 m.



B

C

A

�

B

C

A

�

70°

10 m

etro

s

C

BA

distancia horizontal entre la escalera y la paredlongitud de la escalera

cos � � lado adyacente a �

�AB

hipotenusa AC

cos 70° � lado adyacente a �

� AB

�hipotenusa AC

sen � �lado opuesto �

�BC

hipotenusa AC


8. a. Halla el valor de cos 70°. Usa la tabla del apéndice o tu calculadora.

b. Usa el valor del coseno para hallar la distancia entre la escalera y lapared. Muestra tus cálculos.

c. ¿A qué altura de la pared llega la escalera? Usa el sen 70° parahacer el cálculo.

Responde las siguientes preguntas. Puedes usar dibujos, la tabla delapéndice o tu calculadora.

9. Completa cada oración.

Si el ángulo es pequeño,

a. la razón de la tangente es…

b. la razón del seno es…

c. la razón del coseno es…

10. La razón de la tangente puede alcanzar cualquier valor positivo.

¿Verdadero o falso?

11. La razón del seno puede alcanzar cualquier valor.


12. La razón del coseno nunca puede exceder 1.


Se apoya una escalera muy inclinada contra una pared

13. a. Explica por qué el sen α es muy cercano a 1 en esta situación.

b. Explica por qué sen α es siempre menor que 1.

c. Explica por qué la tan α puede ser tan grande como quieras.



α


El ángulo de deslizamiento, tangente del ángulo de deslizamiento, razón dedeslizamiento y pendiente son todas medidas de la inclinación de unatrayectoria de vuelo.

� � ángulo de deslizamiento tan α � h��drazón de deslizamiento � h:d o h��d pendiente � h:d o h��d

Esta tabla compara varias trayectorias de vuelo con diferentes grados de inclinación.

14. a. En tu cuaderno, copia y completa la tabla.

b. Haz una lista de las trayectorias de vuelo en orden decreciente, dela más inclinada a la menos inclinada.

c. Halla la longitud de cada trayectoria de vuelo. Cuando calcules laslongitudes, usa la razón del seno, la razón del coseno y el teoremade Pitágoras al menos una vez cada uno.



altura

h

distancia horizontal

d

trayecto

ria de vuelo

�

Trayectoria

de vuelo

Altura

(en km)

Distancia

(en km)Pendiente �

hd

25

( )

1

2

3

6

4

4

11

8 0.5

4.5 20°




En esta unidad, hay muchas situaciones distintas que desempeñan unafunción: líneas de visión, sombras y rayos de luz, inclinación de escaleras,trayectorias de deslizamiento, ángulo de deslizamiento y razones dedeslizamiento. Todas las situaciones involucran un triángulo rectángulo,el cual desempeña una función esencial.

La inclinación de una escalera y la razón de deslizamiento se puedenexpresar con la razón matemática llamada razón de la tangente.

Los triángulos rectángulos se estudiaron aún más.

• Usaste el teorema de Pitágoras para hallar la longitud desconocida de un lado.

• Investigaste dos nuevas razones: la razón del seno y la razón del coseno.

Una vara de 7 m de largo se apoya contra una pared con un ángulo de 45°.

1. ¿Qué tan alto es BC?

A

45°

B

C



Se construye un techo de acuerdo con este diagrama:

2. a. ¿Qué longitud deberían tener AD y DC?

b. ¿Qué tamaño tiene el ángulo A?

El camino AC tiene 10 km de largo y un ángulo de A � 10°.

3. ¿Cuál es la altura de BC al final del camino?

Haz un dibujo de un triángulo rectángulo, rotulado ΔPQR. La medida delángulo del ∠Q � 90°.

Haz un resumen de las razones de los lados de este triángulo: seno, cosenoy tangente.

A

10 km

B

C

A B

D

C

5

12 12


Los dibujos muestran dos modelos de botes hechos con bloques de 1 cm.Imagina que los botes navegan en la dirección que muestran las flechas.

1. En un papel cuadriculado o en la Hoja de actividad del estudiante 2,haz dibujos de la vista lateral y de la vista desde lo alto de cada bote.

2. En tus dibujos, incluye líneas de visión para el capitán, que puedemirar hacia adelante y a los costados, y sombrea la zona ciega.

3. ¿Cuántas unidades cuadradas tiene la zona ciega del bote A y la delbote B?

4. En los dibujos de la vista lateral de cada bote, mide y rotula el ánguloentre el agua y la línea de visión.

5. ¿En qué bote tiene la mejor vista el capitán? Explícalo.


Práctica adicional

Sección Ahora lo ves, ahora no lo vesA

Capitán

Bote A

Bote B

Capitán



Sección Sombras y puntos ciegosB

1 m

1.5 m

rayo d

e luz solar

va

ra

sombra

240 m

rayo d

e luz solar

alt

ura

sombra

1. a. ¿En qué dirección está señalando lasombra de la vara si la sombra de lapirámide señala al noreste?

b. ¿Desde qué dirección brilla el sol?

El dibujo de la izquierda muestra la pirámidey su sombra a la misma hora del día. Lalongitud de la sombra de la pirámide, medidadesde el centro de esta, es de 240 m.

2. Compara la altura de la vara y la longitudde su sombra para hallar la altura de lapirámide. Explica tu razonamiento.

La altura de una pirámide se puede determinarestudiando las sombras causadas por el sol.

Supón que pones una vara en el suelo, cerca deuna pirámide. Tal como se muestra en el dibujo, la longitud de la vara por encima del suelo es de 1 m y la sombra causada por el sol es de 1.5 m de largo.


acantiladotrayectoria del ala delta I

trayect

oria d

el

ala d

elta II

200 m

50 m

1. Usa una rosa de la brújula o un transportador y una regla para hacerdibujos a escala de la vista lateral de las siguientes escaleras. Cadaescalera está apoyada contra una pared.

Escalera A

• La distancia entre el pie de la escalera y la pared es de 3 m.

• El ángulo entre la escalera y el suelo es de 60°.

Escalera B

• La distancia entre el pie de la escalera y la pared es de 4 m.

• La escalera toca la pared a una altura de 6 m.

2. Determina la razón entre la altura y la distancia para cada escalera.

3. ¿Cuál es el ángulo entre la escalera B y el suelo?

4. ¿Qué escalera está más inclinada, la escalera A o la B? Explícalo.

Usa tu calculadora o la tabla del apéndice para resolver lossiguientes problemas.

1. a. Si la tan A � 1��20, ¿cuál es la medida del ∠A?

b. Si la tan B � 20, ¿cuál es la medida del ∠B?

Marco está comparando dos alas delta. Realiza un vuelo de prueba concada deslizador desde un acantilado de 50 m de alto. La siguiente imagenmuestra la trayectoria de cada vuelo. Nota: la imagen no está dibujada a escala.


Práctica adicional

Sección Sombras y ángulosC

Sección Ángulos de deslizamientoD



Práctica adicional

La razón de deslizamiento del ala delta I es de 1:20 y el ala delta I viaja 200 m más lejos que el ala delta II.

2. ¿Cuál es la razón de deslizamiento para el ala delta II?

3. En la imagen siguiente, la medida del ∠D es de 45° y la medida del ∠Aes de 30°. Si la longitud del lado BD es de 10 cm, ¿qué longitud tiene ellado AB ?

La siguiente imagen muestra dos acantilados que están a 100 m dedistancia uno del otro. Un acantilado tiene 20 m de alto y el otro tiene 30 mde alto. Imagina que un ala delta despega desde la parte superior de cadaacantilado. Los dos alas delta tienen la misma razón de deslizamiento yaterrizan en el mismo lugar.

4. ¿A qué distancia de cada acantilado aterrizan las alas delta?

5. Supón que un ala delta tiene una razón de deslizamiento de 5%.

a. ¿Qué crees que significa una razón de deslizamiento de 5%?

b. ¿Cuál es el ángulo de deslizamiento para esta ala delta?

A D B

C

30° 45°

100 m

acantiladoacantilado

trayectoria

del deslizador

trayecto

ria

del desliz

ador

20 m 3

0 m


1. Haz un dibujo de un triángulo rectángulo con un ángulo de 45°. Usaeste dibujo para mostrar que el sen 45°� cos 45°.

2. Usa el dibujo del problema 1. Los lados AB y BC son 1.

Usa el teorema de Pitágoras para hallar el valor del sen 45°.

3. Completa la siguiente tabla:

4. Explica los resultados de la tabla comparando los valores para el senoy el coseno.


Práctica adicional

Sección Razonamiento con razonesE

� sen � cos �

10°

20°

30°

40°

50°

60°

70°

80°


1. a.

b. 8° a 10°, 20°, 30°

c. El punto ciego se achica en el frente pero se agranda en la parte posterior.

Respuestas para verificar tu trabajo 61

Respuestas para verificar tu trabajo

Sección Ahora lo ves, ahora no lo ves A

I

IIIII

2. El capitán puede caminar hasta el final de las alas e incrementar lazona que pueda ver directamente al frente o a los lados del barco. Túpuedes hacer un dibujo que muestre cómo el punto ciego se mueve amedida que el capitán camina desde un lado del puente al otro talcomo se muestra aquí:

La zona I indica el punto ciego cuando estáparado en el lado izquierdo del puente.

La zona II indica el punto ciego cuando estáparado en la mitad del puente.

La zona III indica el punto ciego cuando estáparado en el lado derecho del puente.




3. Tus dibujos pueden ser diferentes de los que se muestran aquí.

Cuanto más alto el barco, más grande el punto ciego del capitán.

1.

2. De acuerdo con las respuestas al problema 1, queda claro que lasombra es parte de un cuadrado de cuatro por cuatro menos cuatro cuadrados.

Sección Sombras y puntos ciegosB

A




3.

4. No, la zona ciega aún es un cuadrado de cuatro por cuatro menoscuatro cuadrados.

5. En la mitad, porque ese es el lugar donde se encontrará el capitán.

6. Tu descripción puede ser diferente de las de este ejemplo.

El sol brilla desde el sur, por lo tanto las sombras caen hacia el norte.La sombra del edificio más bajo es la mitad de la sombra del edificiomás alto.

7. a.

b. Imagen A 7:00 a.m. amanecerImagen B 2:30 p.m. media tardeImagen C 9:30 a.m. media mañanaImagen D 5:00 p.m. atardecer

Imagen A Imagen B

Imagen C Imagen DS

EN

O

S

EN

O

S

N

O

E

S

N

O

E

2:30 p.m. (media tarde)7:00 a.m. (amanecer)

9:30 a.m. (media mañana) 5:00 p.m. (atardecer)

Capitán

B




Sección Sombras y ángulosC

1. a. b.

c. a � 72°

2.

3. La línea de visión desde el saliente B es más inclinada.

Las explicaciones pueden variar. Estas son dos.

Con la información de la escala del cañón, construí un triángulorectángulo para cada situación y hallé α. Es más grande hacia elsaliente B, haciéndolo más inclinado.

Comparé h:d para cada uno. 12:6 contra 9:3.6. Esto es lo mismo quecomparar 2:1 con 2.5:1 ya que este 2.5:1 es más grande; la línea hastaB sube más rápido y está más inclinada.

60°

( 1 )

( 3 )

9

3.6

B

� � 68°

12

6

A� � 63°

� d hd

h

a.

b.

c.

34°

45°

76°

2

2

4

3

2

1

1

4

23




Sección Ángulos de deslizamientoD

1. Se debe soltar el planeador desde una altura de 3 km.

Debido a que la razón de deslizamiento es de 1:40 y 120 es tres veces 40 km, sólo necesitas triplicar la altura.

2. 3,600 m o 3.6 km

Esta es una tabla de razones con la razón de deslizamiento 1:28, queaumenta hasta 1,200 m de altura.

Davis DamBullhead City

KingmanPico Hualapai 8,417 ft

ChloridePeach Springs

Reservación indígena HualapaiLago

Mohave

Reservación indígena Fuerte Mohave

CAL IFORNIA

Lake HavasuCity

LagoHavasu

Dique Parker ParkerReservación indígena Río Colorado

Lago Alamo

WendenBouse

Rocas pictográficas

Salome

Quartzsite

ValentineNelson

Bagdad

Topock

L A P A Z

M O H A V E

Mo

nt a

ña

s Ne

gra

s

0 70 km

ARIZONA

Aguila

Fuente: © 1997, Encyclopædia Britannica, Inc.

Con la línea de escala delmapa, deberás dibujar uncírculo alrededor de LakeHavasu City.

3 km

120 km

Altura (en km)

Distancia (en km)

1

40

3

120

Altura (en km)

Distancia (en km)

1

28

10

280

1,000

28,000

20

560

200

5,600

1,200

33,600


3. a. Algunos estudiantes se fijarán en la posición de la escalera contrala puerta; otros podrían fijarse en las longitudes relativas de lasescaleras. Dos ejemplos de respuestas de los estudiantes son:primero, debido a que se movió la escalera más arriba contra lapared, el ángulo de la base aumentó; segundo, si quieres mantenerla escalera a 1 m de la pared, entonces necesitas obtener escalerasmás y más altas para mantener el ángulo especificado.

b. La longitud de la escalera probablemente es mayor que 14 m.

4. 1 km

Las estrategias pueden variar.

La tan 12° � 0.21, significa que necesitas una altura de 21 km paraviajar 100 km. El carro necesita descender una distancia de 10 km, porlo tanto sólo necesito dividir 21 por 10 para obtener una respuesta de2.1 km. Esto conserva la misma razón de deslizamiento y el ángulo de12°.

5. 67.2 m

Ejemplo de estrategia:

La tan 23° � 0.42, significa que necesitas una altura de 42 m paradesplazarte 100 m sobre la superficie. Luego usé una tabla de razones y ubiqué la razón de deslizamiento en la primera columna. Mi objetivo era alcanzar una distancia de 160 m.



Altura (en cm)

Distancia (en m)

42

100

21

50

4.2

10

67.2

160


1. BC � 4.9 o 5

Cálculo:

sen 45° � BC———7

0.707 � BC———7

0.707 � 7 � BC

BC � 4.949 o 5

2. a. AD � 13

Cálculo, usando el teorema de Pitágoras:

AD2 � 52 � 122

AD2 � 25 � 144

AD2 � 169

AD � ��169� � 13

b. 23°

Cálculo:

tan ∠A � 5——12

∠A � 22.6° o 23°

3. BC � 1.74 o 2

Cálculo:

sen 10° � BC———10

0.174 � BC———10

10 � 0.174 � BC

BC � 1.74 o 2



Sección Razonamiento con razonesE



Apéndice A

Grados delos ángulos Seno Coseno Tangente

0° 0.000 1.00 0.000

1° 0.017 1.00 0.017

2° 0.035 0.999 0.035

3° 0.052 0.999 0.052

4° 0.070 0.998 0.070

5° 0.087 0.996 0.087

6° 0.105 0.995 0.105

7° 0.122 0.993 0.123

8° 0.139 0.990 0.141

9° 0.156 0.988 0.158

10° 0.174 0.985 0.176

11° 0.191 0.982 0.194

12° 0.208 0.978 0.213

13° 0.225 0.974 0.231

14° 0.242 0.970 0.249

15° 0.259 0.966 0.268

16° 0.276 0.961 0.287

17° 0.292 0.956 0.306

18° 0.309 0.951 0.325

19° 0.326 0.946 0.344

20° 0.342 0.940 0.360

21° 0.358 0.934 0.384

22° 0.375 0.927 0.404

23° 0.391 0.921 0.424

24° 0.407 0.914 0.445

25° 0.423 0.906 0.466

26° 0.438 0.899 0.488

27° 0.454 0.891 0.510

28° 0.469 0.883 0.532

29° 0.485 0.875 0.554

30° 0.500 0.866 0.577



31° 0.515 0.857 0.601

32° 0.530 0.848 0.625

33° 0.545 0.839 0.649

34° 0.559 0.829 0.675

35° 0.574 0.819 0.700

36° 0.588 0.809 0.727

37° 0.602 0.799 0.754

38° 0.616 0.788 0.781

39° 0.629 0.777 0.810

40° 0.643 0.766 0.839

41° 0.656 0.755 0.869

42° 0.669 0.743 0.900

43° 0.682 0.731 0.933

44° 0.695 0.719 0.966

45° 0.707 0.707 1.000

46° 0.719 0.695 1.036

47° 0.731 0.682 1.072

48° 0.743 0.669 1.111

49° 0.755 0.656 1.150

50° 0.766 0.643 1.192

51° 0.777 0.629 1.235

52° 0.788 0.616 1.280

53° 0.799 0.602 1.327

54° 0.809 0.588 1.376

55° 0.819 0.574 1.428

56° 0.829 0.559 1.483

57° 0.839 0.545 1.540

58° 0.848 0.530 1.600

59° 0.857 0.515 1.664

60° 0.866 0.500 1.732

61° 0.875 0.485 1.804

Apéndice A 69

Apéndice A



62° 0.883 0.469 1.881

63° 0.891 0.454 1.963

64° 0.899 0.438 2.050

65° 0.906 0.423 2.145

66° 0.914 0.407 2.246

67° 0.921 0.391 2.356

68° 0.927 0.375 2.475

69° 0.934 0.358 2.605

70° 0.940 0.342 2.748

71° 0.946 0.326 2.904

72° 0.951 0.309 3.078

73° 0.956 0.292 3.271

74° 0.961 0.276 3.487

75° 0.966 0.259 3.732

76° 0.970 0.242 4.011

77° 0.974 0.225 4.332

78° 0.978 0.208 4.705

79° 0.982 0.191 5.145

80° 0.985 0.174 5.671

81° 0.988 0.156 6.314

82° 0.990 0.139 7.115

83° 0.993 0.122 8.144

84° 0.995 0.105 9.514

85° 0.996 0.087 11.43

86° 0.998 0.070 14.30

87° 0.999 0.052 19.08

88° 0.999 0.035 28.64

89° 1.00 0.017 57.29

90° 1.00 0.000


Apéndice A


examinemos - universiteit utrecht · jonathan brendefur sherian foster mieke abels jansie niehaus...

Documents