1. Define el concepto de función.

Solución:

Una función es una relación entre dos conjuntos de tal forma que a cada elemento del conjunto inicial la relación le asigna un

único elemento del conjunto �nal.

2. Resuelve:

(a) Calcula el dominio de la función david (x) = +√

3x + 8.

(b) Calcula el límite de la función sof ı́a (x) = 4x−8x2−4

cuando x tiende a 2.

Solución:

(a) Al tratarse de una raíz cuadrada, el dominio de la función no incluirá los valores negativos del radicando.

3x + 8 ≥ 0⇒ 3x ≥ −8⇒ x ≥ −83

Por tanto, Dom (David) =[−8

3 ,+∞).

(b) lı́mx→2

4x−8x2−4 = 4·2−8

22−4 = 00 , lo cual es una indeterminación que nos impele a resolver el límite estudiando las siguientes tablas

de valores:

x 1'5 1'8 1'9 1'99

y 1'1428 1'0526 1'0256 1'0025⇒ lı́m

x→2−sof ı́a = 1

x 2'5 2'3 2'1 2'01

y 0'8888 0'9302 0'9756 0'9975⇒ lı́m

x→2+sof ı́a = 1

Como ambos límites laterales son iguales, podemos concluir que el límite buscado, de la función sof ı́a en x→ 2, vale 1.

3. Compara el crecimiento de las funciones cristina (x) = xx−1

y clara (x) = 3x3 + 2 en el intervalo [−1, 2].

Solución:

Para poder realizar esa comparación estudiaremos la tasa de variación media de ambas funciones en dicho intervalo.

TVM[−1,2]cristina = cristina(2)−cristina(−1)2−(−1) =

22−1−

−1−1−1

2+1 = 2−0′53 = 1′5

3 = 0′5

TVM[−1,2]clara = clara(2)−clara(1)2−(−1) =

[3·23+2]−[3·(−1)3+2]2+1 = 26−(−1)

3 = 273 = 9

Así, dado que ambas tasas son positivas, podemos concluir que las funciones cristina y clara son, en promedio, crecientes en el

intervalo [−1, 2], y que es la función clara la que crece en mayor medida, pues su tasa es mayor en valor absoluto.

4. Dadas las funciones miguel = 4x3 − 2, vı́ctor (x) = 1x2 , calcula:

(a) (miguel ◦ vı́ctor) (x)

(b) (vı́ctor ◦miguel) (x)

(c) miguel−1 (x)

(d) vı́ctor−1 (x)

(e) Sin realizar cálculo ninguno, ¾cuál es el resultado de la operación(miguel ◦miguel−1

)(y)?

(f) ¾La composición es una operación conmutativa? ¾Por qué?

1

Solución:

(a) xvı́ctor−→ 1

x2

miguel−→ 4 ·(

1x2

)3 − 2 = 4x6 − 2

(miguel ◦ vı́ctor) (x) = 4x6 − 2

(b) xmiguel−→ 4x3 − 2

vı́ctor−→ 1(4x3−2)2

= 116x6−16x3+4

(vı́ctor ◦miguel) (x) = 116x6−16x3+4

(c) y = 4x3 − 2⇒ y + 2 = 4x3 ⇒ y+24 = x3 ⇒ x = 3

√y+2

4

miguel−1 (x) = 3

√x+2

4 . Como esto es una función, decimos que miguel−1 es la inversa de miguel.

(d) y = 1x2 ⇒ x2 = 1

y ⇒ x = ±√

1y

vı́ctor−1 (x) = ±√

1x . Como esto no es una función, decimos que vı́ctor−1 es la recíproca de vı́ctor.

(e) Como las funciones miguel y miguel−1 son inversas, sabemos que(miguel ◦miguel−1

)(y) = y.

(f) No lo es, pues en general el orden de los factores en la composición sí es relevante, si lo cambiamos cambia también el

resultado.

5. Resuelve:

(a) Esboza la gráfica de una función que sea periódica y acotada superiormente.

(b) ¾La siguiente gráfica corresponde a una función? Razona la respuesta.

Solución:

(a) Existen una in�nidad de posibilidades. Una sencilla puede ser la siguiente:

(b) bart (t) no es una función, pues valores de la variable independiente (x) a los que corresponden más de un valor de la

variable dependiente (y). Intuitivamente vemos que existen rectas verticales que cortan a la función en más de un punto,

por ejemplo la recta x = 0 (el eje de ordenadas) corta a la grá�ca en el pelo, en el ojo y en los pantalones.

6. Estudia la paridad de las siguientes funciones:

2

(a) guille (x) = xx2+1

(b) miriam (x) = x4 + 2x2 − 1

(c) (d)

Solución:

(a) guille (−x) = −x(−x)2+1

= −xx2+1 . Como guille (−x) = −guille (x), la función es impar.

(b) miriam (−x) = (−x)4

+ 2 (−x)2 − 1 = x4 + 2x2 − 1. Como miriam (−x) = miriam (x), la función es par.

(c) Como el eje de ordenadas es un eje de simetría, la función diego (x) es par.

(d) Como el origen de coordenadas es un centro de simetría, la función alejandro (x) es impar.

7. Estudia la continuidad de las siguientes funciones.

(a) cristian (x) = x2 − x + 2, en el punto x = 2.

(b) sergio (x) =

x− 2 , si x < 1

2 , si x = 1

x2 , si x > 1

Solución:

(a) La función debe cumplir, para ser continua en x = 2, que f (2) = lı́mx→2

f (x).

f (2) = 22 − 2 + 2 = 4 = lı́mx→2

f (x). La función es continua en x = 2. Es más, por tratarse de un polinomio, la función es

continua en R.

(b) La función debe cumplir, para ser continua en x = 1, que f (1) = lı́mx→1

f (x), En el resto de puntos es claramente continua

por consistir en expresiones polinómicas.

f (1) = 2

lı́mx→1−

f (x) = lı́mx→1−

(x− 2) = 1− 2 = −1

lı́mx→1+

f (x) = lı́mx→1+

x2 = 12 = 1

Por tanto, la función no es continua en x = 1. Como los límites laterales en este punto no coinciden, es un punto de

discontinuidad inevitable de salto �nito.

8. Haz un estudio de las características generales de la siguiente función:

3

Solución:

• Dominio e imagen.

Dom (pablo) = (−4,+∞)

Im (pablo) = [−3,+∞)

• Monotonía.

Es constante en (−4,−2).

Es decreciente en (−2,−1) ∪ (0, 2).

Es creciente en (−1, 0) ∪ (2,+∞).

• Extremos.

Tiene un máximo relativo en el punto (0, 1) y mínimos relativos en (−1,−3) y (2,−3).

Tiene mínimo absoluto en (−1,−3) y (2,−3), y no tiene máximo absoluto.

• La función es continua en todo su dominio.

• La función está acotada inferiormente, pero no superiormente.

• La función no es periódica.

• La función no presenta simetría par ni impar.

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