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Exerccios de exames e provas oficiais
1. Na figura, est representada, num referencial ortogonal xOy, parte do grfico da funo ,g
segunda derivada de uma funo g.
Em qual das opes seguintes pode estar representada parte do grfico da funo g?
(A)
(B)
(C)
(D)
matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2014
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2. Considere as funes f e g, de domnio ,0 , definidas por
ln
1x
f x xx
e g x x f x
Recorrendo a processos exclusivamente analticos, estude a funo g quanto monotonia e
quanto existncia extremos relativos.
Na sua resposta, deve indicar o(s) intervalo(s) e, caso existam, os valores de x para os quais
a funo g tem extremos relativos.
matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2014
3. Na figura, est representada, num referencial o.n. xOy, parte do grfico de uma funo polinomial f, de grau 3.
Sabe-se que:
2 e 3 so os nicos zeros da funo f;
a funo f tem um extremo relativo em 2x ;
'h , primeira derivada de uma funo h, tem
domnio e definida por 2
' ;x
f xh x
e
lim 3x
h x
Considere as afirmaes seguintes.
I) A funo h tem dois extremos relativos.
II) 2 0h . III) 3 0y uma equao da assntota do grfico da funo h quando x tende para
.
Elabore uma composio, na qual indique, justificando, se cada uma das afirmaes
verdadeira ou falsa.
Na sua resposta, apresente trs razes diferentes, uma para cada afirmao.
matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2014
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4. Considere, para um certo real a positivo, a funo f, de domnio , definida por
lna
f x ax
.
Em qual das opes seguintes pode estar representada parte do grfico da funo 'f ,
primeira derivada da funo f?
(A)
(B)
(C)
(D)
matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2014
5. Seja f uma funo cuja derivada, 'f , de domnio , dada por 2
' 4f x x .
Qual das afirmaes seguintes verdadeira?
(A) O grfico da funo f tem concavidade voltada para cima em .
(B) A funo f tem um mximo relativo em 4x .
(C) O grfico da funo f no tem pontos de inflexo.
(D) O grfico da funo f tem um ponto de inflexo de coordenadas 4, 4f .
matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2014
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6. Considere, para um certo nmero real k positivo, a funo f, de domnio , definida por
2
3se 0
1
ln se 0
6ln se 0
2 1
x
xx
e
f x k x
x xx
x
Recorrendo a mtodos analticos, sem utilizar a calculadora, mostre que ln3
e
um
extremo relativo da funo f no intervalo 0, .
matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2014
7. Sejam 'f e ''f , de domnio , a primeira derivada e a segunda derivada de um funo f,
respetivamente.
Sabe-se que:
a um nmero real;
P o ponto do grfico de f de abcissa a;
lim 0x a
f x f a
x a
2f a
Qual das afirmaes seguintes necessariamente verdadeira?
(A) a um zero da funo f.
(B) f a um mximo relativo da funo f.
(C) f a um mnimo relativo da funo f.
(D) P um ponto de inflexo do grfico da funo f.
matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2013
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8. Na figura, est representada, num referencial ortogonal xOy, parte do grfico
de uma funo polinomial g, de grau 3.
Seja f uma funo, de domnio , que
verifica a condio 3f x g x
Em qual das quatro opes seguintes pode
estar representada parte do grfico da
funo ',f primeira derivada da funo f?
(A)
(B)
(C)
(D)
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9. Seja g uma funo, de domnio , cuja derivada, 'g , de domnio , dada por
' ln 6 4x xg x e e x
Estude a funo g quanto ao sentido das concavidades do seu grfico e quanto existncia
de pontos de inflexo, recorrendo a mtodos analticos, sem utilizar a calculadora.
matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2013
10. Considere, para um certo nmero real a superior a 1, as funes f e g, de domnio ,
definidas por xf x a e xg x a .
Considere as afirmaes seguintes.
I) Os grficos das funes f e g no se intersetam. II) As funes f e g so montonas crescentes.
III) 2ln
' 1 ' 1a
f ga
.
Qual das opes seguintes a correta?
(A) II) e III) so verdadeiras.
(B) I) falsa e III) verdadeira.
(C) I) verdadeira e III) falsa.
(D) II) e III) so falsas.
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11. Considere a funo f, de domnio \ 0 , definida por
4
10
1
ln 0
x
x
ese x
f x e
x x se x
Seja g a funo, de domnio , definida por 2lng x f x x x .
Recorrendo a mtodos analticos, sem utilizar a calculadora, estude a funo g quanto
monotonia e quanto existncia de extremos relativos em 0,e .
matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2013
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12. Na figura, est representada, num referencial ortogonal xOy, parte do grfico de uma funo polinomial f, de grau 3.
Sabe-se que:
1 2 so os nicos zeros da funo f;
'g , a primeira derivada de uma certa funo g, tem domnio e definida por
' xg x f x e :
lim 2 0x
g x
Apenas uma das opes seguintes pode representar a funo g?
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Nota Em cada uma das opes esto representadas parte do grfico de uma funo e, a tracejado, uma assntota desse grfico.
Elabore uma composio na qual:
identifique a opo que pode representar a funo g;
apresente as razes para rejeitar as restantes opes.
Apresente trs razes diferentes, uma por cada grfico rejeitado.
matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2013
13. Na figura, est representada, num referencial o.n. xOy, parte do grfico
de uma funo f, de domnio
6, , definida por
ln 23
xf x
.
Sabe-se que:
a reta r tangente ao grfico da funo f no ponto de abcissa a;
a inclinao da reta r , em
radianos, 4
.
Qual o valor de a?
(A) 4 (B) 9
2 (C)
11
2 (D) 5
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14. Considere a funo f, de domnio , definida por
3
1
4
sinse 0
1 1
1 se 0
1se 0
k
x
xx
x
f x e x
ex
x
com k
Seja g uma funo, de domnio , cuja derivada, 'g , de domnio , dada por
1
'g x f xx
.
Recorrendo a mtodos analticos, sem utilizar a calculadora, estude a funo g quanto ao
sentido das concavidades do seu grfico e quanto existncia de pontos de inflexo.
matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2012
15. Na figura, est representada, num referencial o.n. xOy, parte do grfico de uma funo f, de domnio .
Sejam 'f e ''f , de domnio , a primeira derivada e a segunda derivada de f,
respetivamente.
Qual dos valores seguintes pode ser positivo?
(A) ' 1f (B) ' 3f (C) '' 3f (D) '' 1f
matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2012
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16. Considere a funo f, de domnio , definida por
1
ln 1 ln 3 0
0x
x x x x x se xf x
xe se x
Determine a equao reduzida da reta tangente ao grfico da funo f no ponto de abcissa
1x , recorrendo a mtodos exclusivamente analticos.
matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2012
17. De uma certa funo f sabe-se que:
o seu domnio 1, ;
a sua derivada dada por 29
' 4 4ln 12
f x x x x .
17.1. Na figura, esto representadas:
parte do grfico da funo f;
a reta r que tangente ao grfico da funo f no ponto A, de abcissa 2;
a reta s que tangente ao grfico da funo f no ponto B.
As retas r e s so paralelas.
Seja b a abcissa do ponto B.
Determine, recorrendo calculadora grfica, o valor de b.
17.2. Tal como a figura sugere, o grfico da funo f tem um ponto de inflexo.
Determine a abcissa desse ponto, recorrendo a mtodos exclusivamente analticos.
matemtica A 12 ano, teste intermdio, 24-05-2012
18. Para um certo nmero real a, seja a funo f, de domnio , definida por 2 1f x ax .
Na figura, est representada, num referencial o.n. xOy, parte do grfico da funo ''f ,
segunda derivada da funo f.
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Qual dos valores seguintes pode ser o valor de a?
(A) 0 (B) (C) 3 (D) 3
matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2011
19. Considere a funo f, de domnio , definida por
11
1 se 11
2 se 1
x
xx
f x e
a x
(a um nmero real)
Seja 'f a primeira derivada de f.
Recorrendo a mtodos exclusivamente analticos, mostre, sem resolver a equao, que
1
'4
f x tem, pelo menos, uma soluo em 0,1 .
Se utilizar a calculadora em eventuais clculos numricos, sempre que proceder a
arredondamentos, use duas casas decimais.
matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2011
20. Na figura, est representada, num referencial o.n. xOy, parte do grfico de uma funo polinomial f, de grau 4.
Qual das expresses seguintes pode definir a funo ''f , segunda derivada de f?
(A) 2
3x (B) 2
3x (C) 29 x (D) 2 9x
matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2011
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21. Considere a funo f, de domnio 0, , definida por
21
se 0 22
1se 2
ln 1
xe
xx
f xx
xx
Recorrendo a mtodos exclusivamente analticos, estude f quanto monotonia em 2, .
matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2011
22. Na figura, est representada, num referencial o.n. xOy, parte do grfico de uma funo polinomial f de grau 3, de domnio .
Sabe-se que:
2 , 2 e 5 so zeros de f;
'f representa a funo derivada de f.
Qual das afirmaes seguintes verdadeira?
(A) ' 0 ' 6 0f f (B) ' 3 ' 6 0f f
(C) ' 3 ' 0 0f f (D) ' 0 ' 6 0f f
matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2011
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23. Na figura, est representada, num referencial o.n. xOy, parte do grfico da funo g.
Sabe-se que:
g uma funo continua em ;
g no tem zeros;
a segunda derivada, ''f , de uma certa funo f tem domnio e definida por
2 5 4f x g x x x 1 4 0f f
Apenas uma das opes seguintes pode representar a funo f.
I
II
III
IV
Elabore uma composio na qual:
indique a opo que pode representar f;
apresente as razes que o levam a rejeitar as restantes opes.
Apresente trs razes, uma por cada grfico rejeitado.
matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2011
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24. Na figura, est o grfico de uma funo f cujo domnio
o intervalo 1,3 .
A funo f tem primeira derivada e segunda derivada
finitas em todos os pontos do seu domnio.
Seja 1,3x . Qual das afirmaes seguintes verdadeira?
(A) ' 0 0f x f x (B) ' 0 0f x f x
(C) ' 0 0f x f x (D) ' 0 0f x f x
matemtica A 11 ano, teste intermdio, 26-05-2011
25. Seja f uma funo real de varivel real.
Sabe-se que:
' 2 9f
a reta tangente ao grfico de f, no ponto de abcissa 2, interseta o eixo Oy no ponto de ordenada 15
Qual o valor de 2f ?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
matemtica A 11 ano, teste intermdio, 24-05-2011
26. Considere:
a funo f, de domnio , definida por 3 23 9 11f x x x x
a funo g, de domnio \ 1 , definida por 1
1
xg x
x
Utilizando mtodos exclusivamente analticos, estude a funo f quanto monotonia e
quanto aos extremos relativos.
Na sua resposta deve apresentar:
o(s) intervalo(s) em que a funo crescente;
o(s) intervalo(s) em que a funo decrescente;
os extremos relativos, caso existam.
matemtica A 11 ano, teste intermdio, 24-05-2011
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27. Na figura, est representada, num referencial o.n. xOy, parte do grfico da
funo 'f , primeira derivada de f.
Seja a um ponto do domnio de f,
tal que ' 0f a
Qual das afirmaes seguintes
verdadeira?
(A) A funo f tem um mnimo para x a
(B) A funo f tem um ponto de inflexo para x a
(C) A funo f crescente em 0,a
(D) A funo f decrescente em
matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2010
28. Considere a funo f, de domnio 0, , definida por
3se 0 2
1ln se 2
5
xe x
xx
f x
x x x
Recorrendo a mtodos exclusivamente analticos, mostre que a funo f tem um extremo
relativo no intervalo 2, .
matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2010
29. Considere a funo f, de domnio , definida por 32 1x
f x x e .
Recorrendo a mtodos exclusivamente analticos, determine a equao reduzida da reta
tangente ao grfico de f no ponto de abcissa 0x .
matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2010
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30. Na figura, est representada, num referencial o.n. xOy, parte do grfico de uma funo afim f, de domnio .
Seja h a funo definida por xh x f x e .
Em qual das equaes seguintes pode estar representada parte do grfico da funo ''h ,
segunda derivada de h?
(A)
(B)
(C)
(D)
matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2010
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31. Considere a funo f, de domnio 0,3 , cuja derivada 'f , de domnio 0,3 , definida por
1
'x
f x ex
Estude a funo f quanto monotonia e quanto existncia de extremos relativos, recorrendo
s capacidades grficas da sua calculadora.
Na sua resposta, deve:
reproduzir o grfico da funo, ou grficos das funes, que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
indicar os intervalos de monotonia da funo f;
assinalar e indicar as coordenadas dos pontos relevantes, com arredondamento s centsimas.
matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2010
32. Na figura, est parte da representao grfica de uma funo polinomial f.
O ponto de abcissa 2 o nico ponto de inflexo do grfico da funo f.
Qual das expresses seguintes pode definir ''f , segunda derivada da funo f?
(A) 2
2x (B) 2
2 x (C) 2 x (D) 2x
matemtica A 12 ano, teste intermdio, 19-05-2010
33. Consideres a funo f, de domnio , definida por 23 4 xf x x e .
Usando mtodos exclusivamente analticos, mostre que a funo f tem um nico mnimo
relativo e determine-o.
matemtica A 12 ano, teste intermdio, 19-05-2010
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34. Considere:
a funo f, de domnio \ 0 , definida por 6
3f xx
a funo g, de domnio , definida por 3 21
3 8 33
g x x x x
Resolva os seguintes itens, usando exclusivamente mtodos analticos, a calculadora pode
ser utilizada em clculos numricos.
34.1. Seja P o ponto do grfico da funo f que tem abcissa igual a 2.
Seja r a reta tangente ao grfico da funo f no ponto P.
Determine a equao reduzida da reta r.
34.2. Na figura, est, num referencial o.n. xOy, parte do grfico da funo g.
Os pontos A e B pertencem ao grfico da funo g,
sendo as suas ordenadas, respetivamente, o mximo
relativo e o mnimo relativo desta funo.
Os pontos C e D pertencem ao Ox. A abcissa do ponto
C igual do ponto B e a abcissa do ponto D igual
do ponto A.
Determine a rea do tringulo [OAC].
matemtica A 11 ano, teste intermdio, 06-05-2010
35. Na figura, est representada parte do grfico de uma funo 'f , derivada de f, ambas de
domnio , em que o eixo Ox uma assntota do grfico de 'f .
Seja a funo g, de domnio , definida por g x f x x .
Qual das figuras seguintes pode representar parte do grfico da funo 'g , derivada de g?
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(A)
(B)
(C)
(D)
matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2009
36. Numa certa zona de cultivo, foi detetada uma doena que atinge as culturas. A rea afetada pela doena comeou por alastrar durante algum tempo, tendo depois comeado a diminuir.
Admita que a rea, em hectares, afetada pela doena, dada, em funo de t, por
2 5ln 1A t t t
sendo 0 16t t o tempo, em semana, decorrido aps ter sido detetada essa doena.
Recorrendo a mtodos exclusivamente analticos, determine a rea mxima afetada pela
doena.
Apresente o resultado em hectares, arredondado s centsimas.
Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais clculos numricos; sempre que proceder a
arredondamentos, use duas casas decimais.
matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2009
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37. Num certo dia, o Fernando esteve doente e tomou, s 9 horas da manh, um medicamento
cuja concentrao C t no sangue, em mg/l, t horas aps o medicamento ter sido ministrado, dada por
0,32 tC t te 0t
Recorrendo a mtodos exclusivamente analticos, determine a que horas se verificou a
concentrao mxima.
Apresente o resultado em horas e minutos, arredondando estes s unidades.
Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais clculos numricos; sempre que proceder a
arredondamentos, use trs casas decimais.
matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2009
38. Seja f a funo, de domnio , definida por
2 1f x x .
Seja g a funo cujo grfico a reta representada
na figura ao lado.
Seja h f g . Seja 'h a funo derivada da
funo h.
O grfico da funo 'h uma reta. Sejam m e b, respetivamente, o declive e a ordenada na
origem desta reta.
Qual das afirmaes seguintes verdadeira?
(A) 0m e 0b (B) 0m e 0b
(C) 0m e 0b (D) 0m e 0b
matemtica A 12 ano, teste intermdio, 27-05-2009
39. De uma funo f, de domnio , sabe-se que a sua derivada, 'f , definida por
' 2 4 xf x x e
Resolva os dois itens seguintes, sem recorrer calculadora.
39.1. Seja A o ponto de interseo do grfico de f com o eixo das ordenadas. Sabe-se que a ordenada deste ponto igual a 1.
Determine a equao reduzida da reta tangente ao grfico de f no ponto A.
39.2. Estude a funo f quanto ao sentido das concavidades do seu grfico e quanto existncia de pontos de inflexo.
matemtica A 12 ano, teste intermdio, 27-05-2009
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40. O grfico de uma funo f uma parbola com concavidade voltada para baixo cujo vrtice
o ponto 3,2 . Seja 'f a funo derivada da funo f.
Qual dos valores seguintes negativo?
(A) ' 1f (B) ' 2f (C) ' 3f (D) ' 4f
matemtica A 11 ano, teste intermdio, 07-05-2009
41. Na figura est representado um referencial o.n. Oxyz.
Cada um dos pontos A, B, e C pertence a um eixo coordenado.
O ponto P pertence ao plano ABC.
O ponto P desloca-se no plano ABC, de tal modo que sempre vrtice de um prisma
quadrangular regular, em que os restantes vrtices pertencem aos planos coordenados.
O plano ABC definido pela equao 2 2 9x y z e sabe-se ainda que se a a abcissa
do ponto P 0,3a , o volume do prisma dado, em funo de a, por 2 33V a a a .
Estude a funo V quanto monotonia, sem recorrer calculadora, e conclua qual o valor
de a para o qual o volume do prisma mximo.
matemtica A 11 ano, teste intermdio, 07-05-2009
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42. A figura representa parte do grfico de uma funo f de domnio .
Em qual das figuras seguintes pode estar parte da representao grfica de 'f , derivada de
f?
(A)
(B)
(C)
(D)
matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2008
43. Seja h a funo de domnio 1, , definida por 4 ln 1h x x x .
(ln designa logaritmo de base e)
Resolva, usando mtodos analticos.
Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais clculos intermdios; sempre que proceder a
arredondamentos, use, pelo menos, duas casas decimais.
Estude a funo h, quanto monotonia, no seu domnio.
Indique os intervalos de monotonia e, se existir algum extremo relativo, determine-o.
matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2008
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44. Na figura esto representadas, em referencial o.n. xOy:
parte do grfico de uma funo f;
uma reta t, tangente ao grfico de h no ponto de abcissa 1.
Tal como a figura sugere, a reta t
interseta o eixo Ox no ponto de
abcissa 2 e o eixo Oy no ponto de ordenada 1.
Indique o valor de ' 1h , derivada da funo h no ponto 1.
(A) 2 (B) 1
2 (C)
1
2 (D) 2
matemtica A 11 ano, teste intermdio, 06-05-2008
45. Na figura est representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirmide quadrangular.
Admita que o vrtice E se desloca no semieixo
positivo Oz, entre a origem e o ponto de cota
6, nunca coincidindo com qualquer um destes
dois pontos.
Com o movimento do vrtice E, os outros
quatro vrtices da pirmide deslocam-se no
plano Oxy, de tal forma que:
a pirmide permanece sempre regular;
o vrtice A tem sempre abcissa igual ordenada;
sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E, tem-se sempre
6x c
Seja 2 34
83
V x x x o volume da pirmide, em funo de x 0,6x .
Utilizando a funo derivada de V e recorrendo a mtodos exclusivamente analticos, estude
a funo V quanto monotonia, conclua qual o valor de x para o qual mximo o volume
da pirmide e determine esse volume mximo.
matemtica A 11 ano, teste intermdio, 06-05-2008
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matA12
derivadas
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46. Seja f uma funo de domnio 3,3 , definida por
1se 3 0
2 ln 1 3 se 0 3
xe x
xf x x
x x x
Na figura est representado o grfico da funo
f.
Tal como a figura sugere:
A o ponto do grfico de f de ordenada mxima
a abcissa do ponto A positiva
Na figura seguinte est novamente representado o grfico de f, no qual se assinalou um ponto
B, no segundo quadrante.
A reta r tangente ao grfico de f, no ponto B.
Considere o seguinte problema:
Determinar a abcissa do ponto B, sabendo que a reta r tem declive 0,23.
Traduza este problema por meio de uma equao e, recorrendo calculadora, resolva-a
graficamente, encontrando assim um valor aproximado da abcissa do ponto B.
Pode realizar algum trabalho analtico antes de recorrer calculadora.
Reproduza na sua folha de prova o(s) grfico(s) obtido(s) na calculadora e apresente o valor
pedido arredondado s centsimas.
matemtica A 12 ano, teste intermdio, 29-04-2008
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47. Na figura est representada parte do grfico de uma funo h, de domnio 0
.
Em cada uma das figuras abaixo est representada parte do grfico de uma funo de domnio
0
.
Uma das funes representadas 'h , primeira derivada de h, e a outra ''h , segunda
derivada de h.
I
II
Numa pequena composio, explique em qual das figuras est representado o grfico da
primeira derivada e em qual est representado o grfico da segunda derivada. Na sua
composio, deve referir-se variao de sinal das funes 'h e ''h , relacionando-a com
caratersticas da funo h (monotonia e sentido das concavidades do seu grfico).
matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2007
48. Considere a funo f, de domnio \ 0 , definida por 21 lnf x x .
Recorrendo a mtodos exclusivamente analticos, estude a funo quanto monotonia e
existncia de extremos relativos.
matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2007
49. Durante os ensaios de um motor, a velocidade de rotao do seu eixo variou, ao longo dos primeiros oito minutos da experincia, de acordo com a funo
3 215 63v x t t t
onde t designa o tempo (medido em minutos), contado a partir do incio da experincia, e
v x designa a velocidade de rotao do eixo do motor (medida em centenas de rotaes por minuto).
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Sem recorrer calculadora, a no ser para efetuar eventuais clculos numricos, determine
qual foi a velocidade mxima atingida, nos primeiros oito minutos da experincia. Apresente
o resultado em centenas de rotaes por minuto.
matemtica A 11 ano, teste intermdio, 10-05-2007
50. Na figura abaixo est parte do grfico de uma funo h, de domnio .
Sejam 'h e ''h a primeira e a segunda derivadas de h, respetivamente.
Admita que estas duas funes tambm tm domnio .
Qual das expresses seguintes designa um nmero positivo?
(A) ' 0 0h h (B) 0 ' 0h h
(C) ' 0 0h h (D) ' 0 0h h
matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2006
51. Seja f a funo, de domnio 1, , definida por
ln 1f x x x x .
Na figura esto representados, em referencial o.n. xOy, uma
reta r e um trapzio [OPQR].
Q tem abcissa 2 e pertence ao grfico de f
(o qual no est representado na figura);
r tangente ao grfico de f no ponto Q;
P o ponto de interseo da reta r com o eixo Ox;
R pertence ao eixo Oy e tem ordenada igual do ponto Q.
Sem recorrer calculadora, determine a rea do trapzio [OPQR]. Apresente o resultado na
forma de frao irredutvel.
matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2006
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52. Na figura est representada parte do grfico de uma funo polinomial f.
Tal como a figura sugere, o grfico de f tem a concavidade voltadas para cima em ,0 e
voltada para baixo em 0, .
A reta r, tangente ao grfico de f no ponto de abcissa 0, paralela bissetriz dos quadrantes
mpares e interseta o eixo Ox no ponto de abcissa 2 .
Sabendo que 'f e ''f designam, respetivamente, a primeira e segunda derivadas de f,
indique o valor de 0 ' 0 0f f f .
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2006
53. Na figura esto representados:
parte do grfico da funo f, de domnio ,
definida por xf x e
um tringulo issceles [OPQ] PO PQ , em que:
o O a origem do referencial; o P um ponto do grfico de f; o Q pertence ao eixo das abcissas.
Considere que o ponto P se desloca no primeiro quadrante (eixos no includos), ao longo
do grfico de f.
O ponto Q acompanha o movimento do ponto P, deslocando-se ao longo do eixo das
abcissas, de tal modo que PO permanece igual a PQ .
Seja A a funo, de domnio
, que faz corresponder, abcissa x do ponto P, a rea do
tringulo [OPQ].
Sabendo que, para cada x , se tem xA x xe .
Sem recorrer calculadora, estude a funo A quanto monotonia e conclua qual o valor
mximo que a rea do tringulo [OPQ] pode assumir.
matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2006
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54. Seja f uma funo de domnio , com derivada finita em todos os pontos do seu domnio.
Na figura junta encontra-se parte do grfico de 'f ,
funo derivada de f.
Sabe-se ainda que 0 2f .
Qual pode ser o valor de 3f ?
(A) 1 (B) 2 (C) 5 (D) 7
matemtica A 12 ano, exame 435, 2 fase, 2004
55. Seja f uma funo tal que a sua derivada, no ponto 3, igual a 4.
Indique o valor de
23
3lim
9x
f x f
x
.
(A) 2
3 (B)
3
2 (C) 4 (D) 0
matemtica A 12 ano, exame 135, 2 fase, 2001
56. Na figura ao lado est parte da representao grfica de uma funo g, de domnio \ 0 .
Qual das figuras seguintes poder ser parte da representao grfica de 'g , derivada de g?
(A)
(B)
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(C)
(D)
matemtica A 12 ano, exame 435, 1 fase 1 chamada, 2000
57. Na figura esto representadas:
parte do grfico da funo g, de domnio ,
definida por 23 1g x x ;
uma reta r tangente ao grfico de g, no ponto de abcissa a;
a inclinao da reta r 60.
Indique o valor de a.
(A) 3
4 (B)
3
2 (C)
1
3 (D)
1
2
matemtica A 12 ano, exame 135, 1 fase 1 chamada, 1999
58. Um projtil lanado verticalmente de baixo para cima.
Admita que a sua altitude h (em metros), t segundos aps ter sido lanado, dada pela
expresso
2100 5h t t t
Qual a velocidade (em metro por segundo) do projtil, dois segundos aps o lanamento?
(A) 80 (B) 130 (C) 170 (D) 230
matemtica A 12 ano, exame 135, 2 fase, 1998
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59. Na figura esto representadas:
parte do grfico de uma funo f diferencivel em ;
uma reta r tangente ao grfico de f no ponto de abcissa 3.
O valor de ' 3f , derivada da funo f no ponto 3, pode ser igual a
(A) 1 (B) 0 (C) 1
3f (D) 1
matemtica A 12 ano, exame 135, 2 fase, 1998
60. Se a representao grfica de uma funo g
ento a representao grfica de 'g pode ser
(A)
(B)
(C)
(D)
matemtica A 12 ano, exame 135, 1 fase 2 chamada, 1997
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61. Na figura junta est a representao grfica de uma funo h e de uma
reta t, tangente ao grfico de h no
ponto de abcissa a.
A reta t passa pela origem do
referencial e pelo ponto de
coordenadas 6,3 .
O valor de 'h a
(A) 1
2 (B)
1
6 (C)
1
3 (D)
1
2
matemtica A 12 ano, exame 135, 1 fase 1 chamada, 1997
Bom trabalho!!
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Principais solues
1. (A)
2. Crescente: ,0e
Decrescente: e Mnimo absoluto quando x e
3. I) Falsa II) Verdadeira
III) Falsa
4. (B) 5. (D) 6. 7. (B) 8. (A) 9. Concavidade voltada para baixo:
; ln 2 10o Concavidade voltada para cima:
ln 2 10 ; Pontos de inflexo em:
ln 2 10x 10. (B)
11. Crescente: 1,e
Decrescente: 0,1
Mnimo relativo: 1 1g
Mximo relativo: 1g e 12. IV 13. (D) 14. Concavidade voltada para baixo:
1,
4
Concavidade voltada para cima:
10,
4
Pontos de inflexo em:
1
4x
15. (C)
16. 2 2
2y e x e
17.
17.1. 4,14b
17.2. 3x
18. (D) 19. 20. (D) 21. Estritamente crescente no intervalo. 22. (D) 23. III 24. (C)
25. (C)
26. Crescente: , 3 1,
Decrescente: 3,1 Mximo relativo: 16 para 3x
Mnimo relativo: -16 para 1x
27. (C) 28.
29. 1
y xe
30. (A)
31. Estritamente crescente: 0,57;3
Estritamente decrescente: 0;0,57 Mnimo em 0,57x
32. (C)
33. 0 3f 34.
34.1. 3
92
y x
34.2. 22
3
35. (D) 36. 6,05 hectares. 37. 12 horas e 20 minutos. 38. (B) 39. 39.1. 4 1y x
39.2. Concavidade voltada para baixo:
, 3 Concavidade voltada para cima:
3, Pontos de inflexo em:
3x
40. (D)
41. 2a
42. (C)
43. Estritamente crescente: 1,0
Estritamente decrescente: 0,
Mximo absoluto: 0 4h 44. (C)
45. 4x , 128
3V
46. 1, 23
47. Figura II
48. Estritamente crescente: 0
Estritamente decrescente: 0, Extremos: No tem.
49. 81 centenas de rotaes por minuto.
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50. (C)
51. 10
3A
52. (C)
53. 1
1Ae
54. (A) 55. (A) 56. (A) 57. (D) 58. (A) 59. (A) 60. (C) 61. (D)