evoluciona teorija igara

1

Evoluciona teorija igara

Primena u biologiji: neki aspekti evolucije mogu se predstaviti strateškim igrama

matematikafilozofija

ekonomija

biologija

2




ekonomija

biologija

3




ekonomija

biologija

sociologija antropologija

4



Primena evolucione teorije igara nazad na ekonomiju, filozofiju i društvene nauke:


ekonomija

biologija


5




- ‘Evolucija’ iz evolucione teorije ne mora biti biološka


ekonomija

biologija


6





- Pretpostavke racionalnosti evolucione teorije često su odgovarajuće za predstavljanje društvenih sistema u većoj meri no pretpostavke tradicionalne teorije igara


ekonomija

biologija


7





- Pretpostavke racionalnosti evolucione teorije često su odgovarajuće za predstavljanje društvenih sistema u većoj meri no pretpostavke tradicionalne teorije igara

- Evoluciona teorija upotpunjuje tradicionalnu jer je (u većoj meri od tradicionalne) dinamička


ekonomija

biologija


8


Počeci:

1930 R A Fisher “The Genetic Theory of Natural Selection“

1961 R C Lewontin “Evolution and the Theory of Games”

9


Počeci:

1930 R A Fisher “The Genetic Theory of Natural Selection“

1961 R C Lewontin “Evolution and the Theory of Games”

Maynard Smith: ESS

1972 “Game Theory and the Evolution of Fighting.”

1973 “The Logic of Animal Conflict,” John Maynard Smith and George Price

1982 “Evolution and the Theory of Games”

10

Evoluciona stabilnost

Jedan od glavnih pristupa evolucionoj teoriji igara koristi M Smitov pojam ESS kao glavno sredstvo analize.

11



Kobac – golub

Dve individue se bore za resurse određene vrednosti V

12



Kobac – golub


(U biologiji, V bi odgovaralo određenom porastu sposobnosti preživljavanja ili nekog drugog svojstva relevantnog za evoluciju nekih bića; za to svojstvo je pronađen način kvantitativnog izražavanja. U nekoj društvenoj nauci V bi imalo drugačiju interpretaciju.)

13



Kobac – golub


(U biologiji, V bi odgovaralo određenom porastu sposobnosti preživljavanja ili nekog drugog svojstva relevantnog za evoluciju nekih bića; za to svojstvo je pronađen način kvantitativnog izražavanja. U nekoj društvenoj nauci V bi imalo drugačiju interpretaciju.)

Svaka individua koristi jednu (i samo jednu) od ovih strategija:

Kobac – Nastupa agresivno, i ne prestaje sa borbom dok ne bude povređen ili dok se protivnik ne povuče.

Golub – Odmah se povlači ako protivnik nastupi agresivno

14


Kobac – golub

Dalje pretpostavke:

- Pri susretu dva kobca dolazi do borbe, i svaka individua ima jednake šanse da bude povređena

- Cena borbe je neka konstanta C. Vrednost resursa V se umanjuje za C.

- Pri susretu kobca i goluba, golub se odmah povlači i kobac dobija resurse

- Pri susretu dva goluba, resursi se dele na dva jednaka dela

15


Kobac – golub

Dalje pretpostavke:

- Pri susretu dva kobca dolazi do borbe, i svaka individua ima jednake šanse da bude povređena

- Cena borbe je neka konstanta C. Vrednost resursa V se umanjuje za C.

- Pri susretu kobca i goluba, golub se odmah povlači i kobac dobija resurse

- Pri susretu dva goluba, resursi se dele na dva jednaka dela

Drugi igrač

Kobac Golub

Kobac ½(V-C),½(V-C) V,0 Prvi igrač

Golub 0,V ½ V, ½ V

16


Kobac – golub

(Da bi matrica bila preglednija, možemo prikazati samo vrednosti za prvog igrača)

Drugi igrač

Kobac Golub

Kobac ½(V-C) V Prvi igrač

Golub 0 ½ V

17


Kobac – golub


Da bi neka strategija bila evoluciono stabilna, mora važiti ovaj uslov:

Drugi igrač

Kobac Golub


Golub 0 ½ V

18


Kobac – golub



Kada bi skoro svaki član neke populacije koristio tu streategiju, nijedan mutant ne bi mogao uspešno da se najezdi.

Mutant je individua koja koristi neku drugu strategiju.

Drugi igrač

Kobac Golub


Golub 0 ½ V

19


Kobac – golub




Golub očigledno nije ESS, jer populacija sastavljena samo od golubova ne mogla da izdrži najezdu kobaca

20


Kobac – golub




Golub očigledno nije ESS, jer populacija sastavljena samo od golubova ne mogla da izdrži najezdu kobaca

Ove ideje mogu se izraziti i precizno:

21


Neka ΔF(s1,s2) označava promenu u resursima koju ostvari neka individua

koristeći strategiju s1 kada njen protivnik koristi strategiju s2.

22




Neka F(s) označava ukupnu korist individue koja koristi strategiju s.

23





Pretpostavimo još da svaka individua u populaciji ima neku početnu količinu resursa vrednosti F0.

24






Sve ove veličine, ΔF(s1,s2), F(s) i F0, izražavaju se istim jedinicama kao i

vrednost resursa V iz prethodne matrice.

25








Ako je σ ESS, a μ je uljez koji pokušava da se naseli kao mutant, i ako je p proporcija mutanata (br. mutanata podeljen sa brojem individua u populaciji), onda

26








Ako je σ ESS, a μ je uljez koji pokušava da se naseli kao mutant, i ako je p proporcija mutanata (br. mutanata podeljen sa brojem individua u populaciji), onda

F(σ) = F0 + (1−p)ΔF(σ,σ) + pΔF(σ,μ)

F(μ) = F0 + (1−p)ΔF(μ,σ) + pΔF(μ,μ)

27


F(σ) = F0 + (1−p)ΔF(σ,σ) + pΔF(σ,μ)

F(μ) = F0 + (1−p)ΔF(μ,σ) + pΔF(μ,μ)

28


F(σ) = F0 + (1−p)ΔF(σ,σ) + pΔF(σ,μ)

F(μ) = F0 + (1−p)ΔF(μ,σ) + pΔF(μ,μ)

Kako je σ evoluciono stabilna, F(σ) mora biti veće od F(μ) (inače bi se uljez μ ugnjezdio).

29


F(σ) = F0 + (1−p)ΔF(σ,σ) + pΔF(σ,μ)

F(μ) = F0 + (1−p)ΔF(μ,σ) + pΔF(μ,μ)


Kako je p po pretpostavci vrlo blisko nuli, uslov F(σ) > F(μ) zahteva da ili

ΔF(σ,σ) > ΔF(μ,σ)

ili

30


F(σ) = F0 + (1−p)ΔF(σ,σ) + pΔF(σ,μ)

F(μ) = F0 + (1−p)ΔF(μ,σ) + pΔF(μ,μ)




ili

ΔF(σ,σ) = ΔF(μ,σ) i ΔF(σ,μ) > ΔF(μ,μ)

31


F(σ) = F0 + (1−p)ΔF(σ,σ) + pΔF(σ,μ)

F(μ) = F0 + (1−p)ΔF(μ,σ) + pΔF(μ,μ)




ili


(Ovo je definicija pojma ESS koju su dali Maynard Smith i Price)

32


F(σ) = F0 + (1−p)ΔF(σ,σ) + pΔF(σ,μ)

F(μ) = F0 + (1−p)ΔF(μ,σ) + pΔF(μ,μ)




ili


(Ovo je definicija pojma ESS koju su dali Maynard Smith i Price)

Ili rečima: strategija σ je ESS ako važi jedan od ova dva uslova:

(1) pri susretu dva igrača koji koriste strategiju σ svaki od njih bolje prolazi od mutanta koji se sreće sa igračem koji koristi strategiju σ, ili

(2) ako neki mutant igra jednako dobro protiv σ-igrača kao σ-igrači međusobno, onda σ-igrači igraju protiv mutanata bolje nego mutanti protiv mutanata.

33


Kako smo rekli, Golub očigledno nije ESS, jer populacija sastavljena samo od golubova ne mogla da izdrži najezdu kobaca

Drugi igrač

Kobac Golub


Golub 0 ½ V

34



Ako je V > C (tj. ako je vredno rizikovati povredu da bi se dobili resursi), onda je Kobac ESS

Drugi igrač

Kobac Golub


Golub 0 ½ V

35




Ako je C > V, onda nema čistih streategija koje su evoluciono stabilne.

Drugi igrač

Kobac Golub


Golub 0 ½ V

36




Ako je C > V, onda nema čistih streategija koje su evoluciono stabilne.

Ali ako igrači mogu da koriste mešovite strategije, onda postoji ESS.

Drugi igrač

Kobac Golub


Golub 0 ½ V

37


Nakon primera koji smo videli, postaju jasnije razlike između tradicionalne i evolucione teorije, koje smo pomenuli na početku.

U evolucionoj teoriji poteze u igrama ne povlače racionalni činioci. U tipičnom sluaju, činioci su vezani za jednu strategiju, a uspeh strategije se definiše brojem potomaka narednih generacija koji ostaju da učestvuju u igri i koji će primenjivati tu istu strategiju.

Tako sada same strategije postaju igrači, i igre koje one igraju su dinamičke.

38


the replicator dynamics

Uočimo neke crte prirodne selekcije, kako ona utiče na familije životinja, menjajući, stvarajući i uništavajuči vrste. Ukoliko neka životinja ima nasledno svojstvo koje povećava broj njenih očekivanih potomaka u datoj sredini, ona će imati tendenciju da ostavi veći broj potomaka od ostalih životinja te vrste, ako uslovi u sredini ostaju relativno stabilni. Ti potomci imaju više šansi da naslede svojstvo o kome se radi. Dakle, procenat tog naslednog svojstva će se postepeno povećavati kako se generacije smenjuju. Neka od takvih svojstava mogu doći do tzv. fiksacije, tj., da se prošire po celoj populaciji (dok se uslovi u okolini ne promene).

Često je jedan od glavnih aspekata okoline delovanje ili tendencija delovanja drugih organizama. Možemo reći da svaka familija ‘pokušava’ da maksimizuje svoju reproduktivnu efikasnost (što se može numerički izraziti npr. brojem unučadi) tako što pronalazi strtegiju koja će biti optimalna s obzirom na strategije drugih familija.

39



Primer Brajana Skrmsa (Brian Skyrms)

Ispituje uslove pod kojima bi mogao da se javi smisao za pravdu (ovde će pravda biti tendencija da se resursi dele podjednako, sem ako bi u specijalnim slučajevima drugačija podela bila efikasnija)

Pretpostavimo da se populacija sastoji od individua koje se stalno susreću i bore ili pregovaraju o resursima, i koje spadaju u jedan od tri tipa:

40






- Pošteni uvek traži tačno pola resursa

41







- Drčni traži uvek više od pola. Kada se dva takva sretnu, resurs propada u borbi.

42








- Skromni uvek traži manje od pola. Kada se dva takva sretnu, uzmu manje resursa no što im je na raspolaganju, pa deo propada.

43








- Skromni uvek traži manje od pola. Kada se dva takva sretnu, uzmu manje resursa no što im je na raspolaganju, pa deo propada.

Svaki pojedinačni susret pri kome je zbir zahtevane količine resusrsa jednak 100% raspoloživog resursa šredastavlja NE te pojedinačne igre.

44



Ali igra može da ima mnogo dinamičkih ekvilibrijuma

45




Pretpostavimo da Drčni traži 2/3 resursa a Skromni 1/3. Tada ovi sastavi populacije predstavljaju ESS:

46





- Pola populacije su Drčni, a pola Skromni. Skromni dobija trećinu resursa pri svakom susretu. Drčni dobija dve trećine kada sretne Skromnog, i ne dobija ništa kada sretne drugog Drčnog. Tako je i njihova prosečna dobit 1/3.

47





- Pola populacije su Drčni, a pola Skromni. Skromni dobija trećinu resursa pri svakom susretu. Drčni dobija dve trećine kada sretne Skromnog, i ne dobija ništa kada sretne drugog Drčnog. Tako je i njihova prosečna dobit 1/3.

Ovaj odnos je ESS zato što Pošteni ne može da se naseli. Kada bi se Pošteni našao u ovoj grupi, pri susretu sa Skromnim dobio bi pola resursa, ali pri susretu sa Drčnim ne bi dobio ništa. Dakle, njegova prosečna dobit bi bila 1/4. Ni Skromni ni Drčni ne bi imao razloga da promeni svoju strategiju. Dakle, Pošteni mutant bi prolazio gore od svih ostalih, i ‘prirodna selkcija’ ne bi vodila povećanju broja Poštenih.

48



- Svi igrači su Pošteni.

Svako dobija pola resursa pri svakom susretu. Drčni koji bi se pojavio u toj populaciji pri svakom susretu ne bi dobio ništa. Skromni bi dobio jednu trećinu, ali bi opet prolazio gore od Poštenih.

49





Primetite da je prethodni ekkvilibrijum (pola Drćni pola Skromni) manje efikasan od ovog, jer je prosečna korist po pripadniku populacije veća kad su svi pošteni.

Kao što postoje više i manje efikasni NE statičkih igara, tako može biti i sa ESS u dinamičkim igrama.

50





Primetite da je prethodni ekkvilibrijum (pola Drćni pola Skromni) manje efikasan od ovog, jer je prosečna korist po pripadniku populacije veća kad su svi pošteni.

Kao što postoje više i manje efikasni NE statičkih igara, tako može biti i sa ESS u dinamičkim igrama.

Ekvilibrijume u kojima se javlja više od jedne strategije zvemo polimorfizmima.

51



Za ljubitelje pravde bitno je pitanje kolika je šansa da se ovi ekvilibrijumi ostvare.

52




To u potpunosti zavisi od početnog stanja u populaciji.

53





Ako na početku ima više od jednog Poštenog, onda postoji neka verovatnoća da se Pošteni sretnu i pri tim susretima dobiju najveći mogući deo resursa. Skromni ne potuskuje širenje Poštenih, već samo Drčni. Ali Drčni moraju imati Skromne da bi preživeli. Dakle što više ima Poštenih u odnosu na parove Skromnih i Drčnih, to bolje Pošteni prolaze u proseku.

54





Ako na početku ima više od jednog Poštenog, onda postoji neka verovatnoća da se Pošteni sretnu i pri tim susretima dobiju najveći mogući deo resursa. Skromni ne potuskuje širenje Poštenih, već samo Drčni. Ali Drčni moraju imati Skromne da bi preživeli. Dakle što više ima Poštenih u odnosu na parove Skromnih i Drčnih, to bolje Pošteni prolaze u proseku.

Ako Pošteni čine manje od jedne trećine populacije, imaće tendenciju da izmru, jer se neće dovoljno često sretati međusobno. Ako Poštenih ima više od trećine, onda teže fiksaciji. (Ako je svaka strategija zastupljena jednako u populaciji, onda je očekivana korist svake jedinke 1/3 resursa po susretu.)

evoluciona teorija igara

Documents