Evolución de interfases fluidas: gotasMarco Antonio Fontelos

Universidad Rey Juan Carlos

Primera Clase

1.1.- Las Ecuaciones1.2.- Soluciones de equilibrio y su estabilidad1.3.- Una restricción geométrica a la ruptura de interfases1.4.- El modelo unidimensional y ruptura autosimilar

Segunda Clase

2.1.- La evolución para fluidos muy viscosos: filamentos2.2.- Fluidos viscoelásticos de tipo polimérico2.3.- La estructura de gotas-en-alambre2.4.- Correcciones debidas a la extensibilidad finita del polímero

1.1. Las Ecuaciones

Fluido 1

Fluido 2 Interfase

n

Fluido 1

Fluido 2Interfase

Caso de un solo fluido (ocupando )

N-S

(en )

C.C. (en )

Cinemát.(en )

La condición cinemática en un dominio axisimétrico

z

h(z,t)n

del fluido

s

R2

La curvatura de un Dominio axisimétrico

1.2. Soluciones de equilibrio y su estabilidad

Reescale:

Ecuación y cond. de contorno:

gz

Reescale:

Ecuación y cond. de contorno:

Reescale:

Ecuación y cond. de contorno:

Inestable. Wente 1980

Reescale:

Ecuación y cond. de contorno:

g S

Extremos de E con

Superficies capilares:

R. Finn: Equilibrium Capillary Surfaces

La inestabilidad del cilindro (Rayleigh 1879)

Supongamos un fluido no viscoso e irrotacional

Ley de Bernoulli:

En la frontera:

Pequeñas perturbaciones del cilindro:

R

x 1.210.80.60.40.20

0.2

0.1

0

-0.1

-0.2

G(x)

x

Caso viscoso, Chandrasekhar 1961.

Savart 1833

Inest. de Rayleigh

La estabilidad de la esfera (Rayleigh 1879)

R

Kowalewski, 1996

Fluido muy viscoso (Glicerina, aceite,...)

1.3. Una restricción geométrica a la ruptura de interfases

A. Córdoba, D. Córdoba,

C. Fefferman, MAF (2002)

-L L

h(t)

Simetría cilíndrica, sin gravedad,sin contacto con sólidos.

Nota:

Entonces:

Debemos probar que A(t) crece como mucho linealmente

1)

2)

1.-Un solo fluido

Multiplicamos el sistema de Navier-Stokes por el vector velocidad,Integramos por partes y hacemos uso de las condiciones de contorno. Obtenemos así la siguiente identidad de energía:

Las componentes simétricas del gradiente de velocidades acotan todas las demás:

2.-

En un disco de radio R se tiene

Integramos la desigualdad en las variables z y t y usamos Cauchy-Schwarz en el término de la derecha:

3.-

Por 1) y 2) entonces

1.4. El modelo unidimensional y ruptura autosimilar

(J. Eggers, T. Dupont, 1993)

D

L

El límite unidimensional

z

n

tNavier-Stokes (axisimétricas)

Condiciones de contorno

Condición cinemática

D

L

z

n

tNavier-Stokes (axisimétricas)

Condiciones de contorno

Condición cinemática

Desarrollo de Taylor en la variable radial + divergencia nula:

Entonces:

N-S

C.C.

Cin.

p0 v2

Deshacemos el cambio para h y para z. Introducimos:

Sistema Unidimensional:

Rutland & Jameson, 1971

-6 -4 -2 0 2 4 6-2

-1

0

1

2

0

-10 0 10 20 30 40 50

0

5

10

15

20

Solución numérica del sistema (perfiles)

h(z,t)

-6 -4 -2 0 2 4 6-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3.5 -3 -2.5 -2

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Solución numérica del sistema (velocidades)

v(z,t)

-10 0 10 20 30 40 50

0

5

10

15

20

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Caso no viscoso: Velázquez-MAF, 1999

La ruptura para un fluido no viscoso

Day et al. 1998

2.1. La evolución para fluidos muy viscosos: filamentos

-6 -4 -2 0 2 4 6-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Rothert, Richter, Rehberg, 2001

tiempo

hmin

I II III IV

MAF 2001

Etapa I

Etapa II

Etapa III

Imponemos

y entonces

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-6 -4 -2 0 2 4 6-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Papageorgiou, 1994

Similaridad de 2º tipo (Barenblatt)

Filamentos iterados:

Shi, Brenner, Nagel, 1994

Etapa IV

¿Ruptura autosimilar?

2.2. Fluidos viscoelásticos de tipo polimérico

Efecto Weissenberg Viscosidad vs. esfuerzo

g F

Bird et al., Dynamics of polymeric liquids.

Fluido Newtoniano Fluido viscoelástico (Oldroyd-B)

Leyes Constitutivas

2.3. La estructura de gotas-en-alambre

J. Eggers, J. Li, MAF (2002)

Goldin et al., 1969

McKinley et al., 2001

- Gotas en alambre- Migración y colisión de gotas

- Radio: hmin=h0exp(-At)

El modelo unidimensional para fluidos viscoelásticos

Modelo local

Coord. Lagrang.

Soluciones estacionarias

Filamento:

La estabilidad del filamento

Ondas viajeras

Factor integr.

R>>F0 , F0<<1

Evolución de un filamento

-6 -4 -2 0 2 4 6-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-6 -4 -2 0 2 4 6-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

0

5

10

15

-3.2 -3 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

e-(t/3D)

e-(t/3D)

Perfiles

-6 -4 -2 0 2 4 6-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

Velocidad

e-(t/3D)

-6 -4 -2 0 2 4 6-20

0

20

40

60

80

100

120

140

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Esfuerzo elástico

e-(t/3D)

e(t/3D)

El cuello

t>>1

Matching con la gota

Matching con el filamento

C. Clasen, G. McKinley (2002)

0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3Experimentos

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 1002

3

4

5

6

7

8

9

10x 10

-3

data 1 linear

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-6

-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

10 20 30 40 50 60 70 80-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5data 1 linear

Log(hmín)

Régimen exponencial Régimen lineal (hmín)

-t/3D

2.4. Correcciones debidas a la extensibilidad finita del polímero

Q+Qeq

Extensibilidad finita:

Extensibilidad infinita:

Ext. infinita Oldroyd B

Ext. finita FENE (finitely extensible nonlinear elastic)

log(hmin)

t

1.- Existencia y unicidad de soluciones hasta el punto de ruptura (sistemas unidimensional y tridimensional). 2.- Justificación del límite unidimensional a partir del modelo tridimensional (shallow waters).3.- Demostración de la existencia de las soluciones autosimilares del modelo unidimensional.4.- Existencia de ruptura en tiempo finito para el caso tridimen- sional y descripción completa del mecanismo. Estabilidad.5.- Mecanismo de formación de filamentos iterados.6.- Algoritmos numéricos que resuelvan la singularidad.7.- Idénticas cuestiones en el caso de los fluidos viscoelásticos.8.- Efectos “finos” de los polímeros (varias frecuencias de oscila- ción, efectos de enrollamiento, etc.) en la dinámica y observa- ción experimental.

Problemas

Ejercicio 1. Hallar la relación entre longitud de onda y velocidad de las ondas gravitatorio-capilares generadasen un contenedor de altura media H.

H

x

h(x,t)

yvy(x,0)=0

Ejercicio 2. Las ecuaciones para una película plana delgada, en la aproximación unidimensional, con simetría en una dirección, y bajo la acción de fuerzas de Van der Waals, son las siguientes:

i) Estudiar la estabilidad de una película de espesor constante.ii) Proponer mecanismos autosimilares de ruptura y deducir los sistemas de EDOs correspondientes.

(Vaynblat et al. 2001).

xh(x,t)

g

z

NOTA:

NOTA:

NOTA:

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