Modèle analogique d’évaporation de gouttes

poséesSéminaire Marseille 03/06/2010

Annie Steinchen and Khellil Sefiane

Evaporation à température ambiante d’une goutte accrochée dans une atmosphère non saturée

Tl,,Cs

Ta

Ta,H

A l’instant initial, la température de la goutte est égale à la température ambiante Ta et la température à la surface Tl = Ta

Le support est à la température ambiante ainsi que l’air ambiant.La surface de la goutte est couverte d’une couche de vapeur saturée Cs ; l’humidité relative, H, au loin dans la vapeur est maintenue constante

D’après Deegan , Hu et Larson(2002-2005)

€

−dm

dt= pRd D(1- H)Cs 0.27q 2 +1.30( )

Où Cs est la concentration de saturation à la température Ta ambiante H l’humidité de l’air ambiant θ l’angle de contact, formule utilisée pour le modèle quel que soit le support!!

Le refroidissement lié à l’évaporation n’est pas tenu en compteLa force motrice de l’évaporation est uniquement la diffusion de matière dans la vapeur; pour un même angle de contact et une

même contrainte de diffusion, la vitesse est la même si on ne tient pas compte du flux de chaleur induit par le refroidissement. Cette

loi est démentie par l’expérience pour des liquides volatils déposés sur des supports de faible conductivité thermique.

Lors de l’évaporation la surface se refroidit et la concentration de saturation diminue suivant la relation de Clausius-Clapeyron.La force motrice de diffusion dans la vapeur diminue donc au cours du processus. Ce couplage, tenu en compte par Dunn Sefiane et al. (Coll. And Surf. A 2007), corrige l’expression proposée par Deegan et Hu et Larson

€

−dm

dt= pRd D(1- H)Cs(Tl ) 0.27q 2 +1.30( )

Cs(Tl ) = Cs(Ta ) +¶Cs

¶T Ta

Tl - Ta( )

Amélioration par Dunn et sefiane

• La théorie Hu-Larson-Deegan ne tient pas compte de la conductivité du support

• Dunn-Sefiane (2008) tiennent compte du refroidissement lié à l’évaporation et montrent que le rô le de la conductivité du support est important

€

dV

dt= - 2p J r,t( )

0

R

ò rdr

Tl = Ta - LJz

kl

+hs

ks

æ

è ç

ö

ø ÷ ; Ts = Ta -

LJ

ks

z + hs( )

Comparaison avec les manips

Les vitesses d’évaporation expérimentales pour les liquides volatils sont plus élevées que les prédictions théoriques de Dunn et Sefiane pour le support PTFE et plus élevées ou égales pour AlLe modèle de Deegan est proche du modèle DetS pour le support AlN.B. le modèle ne tient pas compte de l’effet Marangoni

Modèle global analogique• La goutte est remplacée par un cylindre

équivalent d’épaisseur l et de conductivité kl

ks

kl

Ta

Ta

Ts

Tl

€

Ta - Tl( ) =- ú m hlv  l +  s( )

SŽq

=- ú m hlv

SŽq

ll

kl

+ls

ks

æ

è ç

ö

ø ÷ €

ll

ls€

SŽq

Sefiane et Bennacer ont corrigé le modèle Hu-Larson pour H=0

€

− ú m = -dm

dt= pRd DCs(Tl ) 0.27q 2 +1.30( )

Cs(Tl ) = Cs(Ta ) - n - 2( )¶Cs

¶T Ta

Ta - Tl( ) - 2n - 2( )¶ 2Cs

2¶T 2

Ta

Ta - Tl( )2

- ú m 0 = -dm

dtæ è

ö ø

amb

= pRd DCs(Ta ) 0.27q 2 +1.30( )

ú m ú m 0

=Cs(Tl )Cs(Ta )

= 1- n - 2( )¶Cs

¶T Ta

Ta - Tl( )Cs(Ta )

- n - 1( )¶ 2Cs

¶T 2

Ta

Ta - Tl( )2

Cs(Ta )

ú m ú m 0

= 1- n - 2( )¶Cs

¶T Ta

- ú m hlv  l +  s( )SŽqCs(Ta )

- n - 1( )¶ 2Cs

¶T 2

Ta

- ú m hlv  l +  s( )[ ]2

SŽq2 Cs(Ta )

n=1 développement linéaire ; n=2 développement quadratique

modèle Hu-Larson

Deux domaines de paramètres : faible résistance thermique du support ; haute résistance thermique

€

ú m ú m 0

= 1

€

ú m ú m 0

< 1

€

∂Cs

¶T Ta

Cs Ta( )

Le rapport du flux de masse calculé par ce modèle global de Sefiane et Bennacer au modèle Deegan-Hu-Larson est porté en fonction du nombre sans dimension lié aux résistances thermiques des milieux et comparé aux valeurs expérimentales€

ú m d = ú m oredg

Seq

redg

Seq

® facteur gŽomŽtrique

Critique et amélioration du modèle global• C’est un modèle purement

conductif qui néglige tout effet convectif

• La conduction de chaleur dans la vapeur n’apparaî t pas (pour des substrats peu conducteurs elle est du même ordre de grandeur et ne peut être négligée)

• L’hypothèse de quasi stationnarité devrait être revue

• Les chaleurs spécifiques des phases en contact n’est pas tenue en compte

• Modèle global implémenté

ks

kl

Ta

Ta

Ts

Tl

€

Ta - Tl( ) =- ú m hlv  l +  s +  v( )

SŽq v  l +  s( )=

- ú m hlv

SŽq

llkv

kl lv

+lskv

kslv

+1æ

è ç

ö

ø ÷

ls

ks

+ll

kl

æ

è ç

ö

ø ÷

€

ll

ls€

SŽq

Valeurs des résistances thermiques des systèmes étudiés par Sefiane et al.(résultats non publiés transmis par l’auteur)

Amélioration proposée : schéma équivalent prenant en compte le refroidissement des phases volumiques

Un tel schéma permettrait d’introduire aussi la variation temporelle de la température; enfin, il faudra aussi une description locale des flux et évaluation du flux convectif de chaleur (effet Marangoni)

Valeurs relatives des résistances thermiques des divers milieux