evaluacion de los modelos para estimar la insolacion diaria en funcion de temperaturas maxima,...
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CIENCIA, RADIACION SOLAR, MODELOS EMPIRICOSTRANSCRIPT
UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA AGRÍCOLA
EVALUACIÓN DE MODELOS PARA ESTIMAR INSOLACIÓN DIARIA EN FUNCIÓN DE TEMPERATURAS MÁXIMA, MINIMA Y PRECIPITACIÓN
DEL DÍA.
FRANCISCO JOSE CONTRERAS JELDRES
MEMORIA DE TÍTULO PRESENTADA A LA FACULTAD DE INGENIERÍA AGRÍCOLA DE LA UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN, PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL AGRÍCOLA
CHILLAN-CHILE
2008
2
EVALUACIÓN DE MODELOS PARA ESTIMAR INSOLACIÓN DIARIA EN FUNCIÓN DE TEMPERATURAS MÁXIMA, MINIMA Y PRECIPITACIÓN
DEL DÍA.
Aprobado por:
Gabriel Merino Coria Licenciado en Ciencias Fisicas, Ph. D. Profesor Asociado
Profesor Guía
Jorge Jara Ramírez Ingeniero Agrónomo, Ph. D. Profesor Asociado
Profesor Asesor
Jose Arumi Ribera Ingeniero Civil, Ph. D. Profesor Asociado
Profesor Asesor
Marco López Roudergue Ingeniero Civil Industrial Profesor Asistente
Director de Departamento
Eduardo Holzapfel Hoces Ingeniero Agrónomo, Ph. D. Profesor Titular
Decano
3
INDICE DE MATERIAS
Pagina
Resumen……………………………………………………………………… 8
Summary……………………………………………………………………… 10
Introducción…………………………………………………………………... 12
Objetivos……………………………………………………………………… 14
Metodología…………………………………………………………………... 15
Resultados…………………………………………………………………..... 33
Conclusiones………………………………………………………………..... 51
Literatura Citada……………………………………………………………… 54
Anexos………………………………………………………………………… 58
Apéndices…………………………………………………………………….. 73
4
INDICE DE TABLAS
En texto: Página Tabla 1: Variables explicativas de la insolación diaria usadas en
los 24 modelos ANFIS propuestos (C.1…C.24) y el radio de influencia usado en la agrupación.…………….
26
Tabla 2: Desempeño global de los modelos de Bristow & Campbell medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E)………….............................
33
Tabla 3: Desempeño estacional de los modelos de Bristow & Campbell medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E)……….…............................
35
Tabla 4: Desempeño global de los modelos de De Jong & Stewart medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E)…….……............................
36
Tabla 5: Desempeño estacional de los modelos de Bristow & Campbell medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E)…….……............................
37
Tabla 6: Porcentaje de datos fuera de los rangos de insolación diaria, separados por estación y la media anual, en los 24 modelos ANFIS y las variables explicativas usadas por cada modelo para predecir la insolación…..……….
38
Tabla 7: Desempeño global de los modelos de ANFIS medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E), junto a las variables meteorológicas (explicativas) usadas por los modelos para predecir la insolación diaria………………………………………………..............
40
5
Tabla 8: Desempeño global y estacional del modelo de Ángstrom medido con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E)………………………………
43
Tabla 9: Modelos seleccionados*, dispuestos de menor a mayor error medio absoluto (MAE) anual, junto con el lugar que ocupan en el ordenamiento a nivel anual y estacional; en paréntesis el lugar que ocupan en el ordenamiento al descartar los modelos de Ángstrom….
47 En Apéndices:
Tabla 10: Desempeño de los modelos ANFIS en verano, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E), junto a las variables meteorológicas (explicativas) usadas por los modelos para predecir la insolación diaria….………………………………………...
73
Tabla 11: Desempeño de los modelos ANFIS en otoño, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E), junto a las variables meteorológicas (explicativas) usadas por los modelos para predecir la insolación diaria………………………………………………………...
74
Tabla 12: Desempeño de los modelos ANFIS en invierno, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E), junto a las variables meteorológicas (explicativas) usadas por los modelos para predecir la insolación diaria…………...………..……………………...
75
Tabla 13: Desempeño de los modelos ANFIS en primavera, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E), junto a las variables meteorológicas (explicativas) usadas por los modelos para predecir la insolación diaria...………..………………………………...
76
6
Tabla 14: Desempeño global de los modelos seleccionados, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E). Ordenados de menor a mayor MAE, junto al rango que ocupa………………………………….
77
Tabla 15: Desempeño de los modelos seleccionados en verano, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E). Ordenados de menor a mayor MAE anual, junto al rango que ocupa………………………….
78
Tabla 16: Desempeño de los modelos seleccionados en otoño, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E). Ordenados de menor a mayor MAE anual, junto al rango que ocupa………………………….
78
Tabla 17: Desempeño de los modelos seleccionados en invierno, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E). Ordenados de menor a mayor MAE anual, junto al rango que ocupa………………………….
79
Tabla 18: Desempeño de los modelos seleccionados en primavera, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E). Ordenados de menor a mayor MAE anual, junto al rango que ocupa…………...
79
Tabla 19: Parámetros de los modelos de Bristow & Campbell A.4, A.5 y A.6 para las estaciones del año.……………..
80
Tabla 20: Parámetros del modelo de De Jong & Stewart B.2 para los meses del año………………………………………….
81
Tabla 21: Parámetros de las tres reglas del modelo ANFIS C.6… 83
Tabla 22: Parámetros de las tres reglas del modelo ANFIS C.18.. 85
7
INDICE DE FIGURAS
Página
Figura 1: Representación de un sistema ANFIS con dos entradas (x1 y x2) y dos reglas difusas, las que se definen con las funciones de pertenencia (A1, A2, B1 y B2), la operación difusa Y (ΠΠΠΠ) y los resultados de estas operaciones ( 1w y 2w ) los cuales son normalizados en la capa 3 (N) dando como resultado ( 1w y 2w ) y estos son multiplicados por el consecuente de las reglas ( 1f y 2f ) y por ultimo son sumados en la capa 5 (Σ) obteniéndose la respuesta de la red ( f )………………..
23
Figura 2: Comparación de la insolación diaria (Q) observada y estimada con el modelo de modelo de Ángstrom recomendado por la FAO D.1 (a) y el calibrado para las condiciones de Chillan D.2 (b). MAE es el error absoluto medio de los modelos…………………………..
44
Figura 3: Comparación de la insolación diaria (Q) observada y predicha con los modelos de Bristow & Campbell A.4 (a), A.5 (b) y A.6 (c); con el modelo B.2 de De Jong & Stewart (d); y con los modelos ANFIS C.6 (e) y C.18 (f)……………………………………………………………..
49
Figura 4: Comparación de la insolación diaria del verano (Q) observada y estimada con los modelos de Bristow & Campbell A.5 (a) y A.6 (b); con el modelo de De Jong & Stewart B.2 (c); con el modelo ANFIS C.6 (d) y el modelo de Ángstrom recomendado por la FAO D.1 (e) y el calibrado para Chillan D.2 (f). MAE es el error absoluto medio de los modelos…………………………..
50
8
EVALUACIÓN DE MODELOS PARA ESTIMAR INSOLACIÓN DIARIA EN
FUNCIÓN DE TEMPERATURAS MÁXIMA, MÍNIMA Y PRECIPITACIÓN
DEL DÍA.
Palabras índice adicionales: Lógica Difusa, Conjuntos Difusos, Redes
Neuronales.
RESUMEN
En el presente estudio se probaron los sistemas ANFIS (Adaptive Network
Based Fuzzy Inference System), para predecir la insolación diaria en Chillán,
usando como variables explicativas de esta, las temperaturas máximas y
mínimas del aire y la precipitación diaria, ya que estos sistemas pueden
modelar fenómenos físicos no-lineales usando datos históricos. Estos
sistemas fueron comparados con los modelos de Bristow & Campbell y De
Jong & Stewart.
Se crearon 32 modelos en total, y se seleccionaron los mejores de cada una
de las tres familias de modelos (ANFIS, Bristow & Campbell y De Jong &
Stewart), quedando 6 modelos para un análisis detallado, y se encontró que
ellos entregan predicciones con un error medio absoluto (MAE) aproximado
de 2,7 -1-2 día m MJ como promedio anual. Además, las predicciones de
verano y primavera tienen un error porcentual absoluto (MAPE) cercano al
9
15%, mientras que para otoño e invierno éste es de un 50%, para los 6
modelos seleccionados.
El modelo que presentó el mejor desempeño fue el modelo ANFIS que usa
como variables explicativas la amplitud térmica del día y el día Juliano, con
un radio de influencia en la agrupación de 0,75 (modelo C.6), el cual entrega
predicciones con un MAE de 2,6 -1-2 día m MJ como promedio anual.
Finalmente, se crearon y evaluaron dos modelos de Ángstrom (que usan
como variable explicativa el número de horas diarias), el recomendado por la
FAO (para el cálculo de evapotranspiración) y uno para las condiciones
específicas de Chillán. Se encontró que este último modelo tiene mejor
desempeño, a nivel anual y estacional, que el modelo C.6, ya que entrega
estimaciones de insolación con un MAE de 1,6 -1-2 día m MJ como promedio
anual.
10
EVALUATION OF MODELS TO ESTIMATE DAILY INSOLATION
DEPENDING ON MAXIMUM AND MINIMUM TEMPERATURES AND DAILY
RAINFALL
Additional keywords: fuzzy sets, fuzzy logics, neural networks.
SUMMARY
In this current study ANFIS systems (Adaptive Network Based Fuzzy
Inference System) were proved, in order to predict the daily insolation in
Chillán (Chile), using air maximum and minimum temperatures and daily
rainfall as explanatory variables of them, since these systems can model
physical non-lineal phenomena using historical data. These systems were
compared with the models proposed by Bristow & Campbell, and De Jong &
Stewart.
Thirty two models were created and the best of each of three families of
models were selected (ANFIS, Bristow & Campbell, and De Jong & Stewart),
remaining 6 models for a detailed analysis, observing that they provide
predictions with an approximate mean absolute error (MAE) of 2,7
-1-2 day m MJ as an annual average. Moreover, summer and spring
predictions have a mean absolute percentage error (MAPE) close to 15%,
while for autumn and winter this is close to 50% for the 6 selected models.
11
The model that presented the best performance was the ANFIS model, which
uses day thermal amplitude and the Julian Day as explanatory variables, with
an influence radius in the cluster of 0,75 (Model C.6), which provides
predictions with a MAE of 2,6 -1-2 day m MJ as an annual average.
Finally, two Ángstrom models (using the number of daily hours as explanatory
variable) were created and evaluated, the first recommended by FAO (to
calculate evapotranspiration) and the second for specific conditions in Chillán.
The latter model presents a better performance, at the seasonal and annual
level, than model C.6, since it provides insolation estimates with a MAE of 1,6
-1-2 day m MJ as an annual average.
12
INTRODUCCIÓN
La cuantificación de la radiación solar que llega a la superficie de la tierra es
un problema antiguo. Para ello, los investigadores han creado diversos
modelos que la relacionan con variables meteorológicas tales como duración
del día, temperatura del aire, grados-hora de temperatura, nubosidad,
humedad relativa, contenido de agua precipitable, composición,
concentración y distribución de tamaños de las partículas atmosféricas. Estos
datos son usados de manera individual o combinados (Walter, 1969; Huxley,
1973; Rizzi et al., 1980; Bristow y Campbell, 1984; Castillo y Santibañez,
1981; De Jong y Stewart, 1993; Hargreaves et al., 1995; Supit y Van Kappel,
1998). También existen modelos que hacen uso de series de tiempo y
registros históricos de insolación diaria, para generar pronósticos de ésta
(Nicks y Harp, 1980). Todo esto se hace porque la radiación solar es la
fuente de energía para la mayoría de los procesos físicos y biológicos que
ocurren en la superficie de la tierra, y es un dato primario para estimar la
evapotranspiración, fotosíntesis, o su conversión a otra clase de energía que
puede ser aprovechada por el hombre.
La radiación solar que incide sobre el planeta es atenuada por los
componentes de la atmósfera, como el ozono, oxígeno, vapor de agua,
nubes y contaminantes (Campbell y Norman, 1998). Debido a la gran
complejidad e incertidumbre de los procesos físicos que ocurren en la
atmósfera, y su interacción con la radiación solar, es que en el presente
trabajo se desarrollarán modelos Neuro-Difusos Híbridos (ANFIS), para
13
estimar la radiación solar total diaria que llega a la superficie de la tierra, a
partir de información de temperaturas máximas y mínimas y la precipitación
del día, ya que estas variables son fáciles y económicas de medir. Lo anterior
debido a que con los sistemas Neuro-Difusos ANFIS es posible modelar
sistemas físicos no lineales y complejos, sin conocer los modelos
matemáticos de estos, usando el conocimiento humano intuitivo y, además,
datos empíricos (Roger Jang, 1993; Ross, 1995).
Por ultimo, los sistemas ANFIS creados serán comparados con algunos
modelos empíricos existentes, para contrastar la exactitud en las
predicciones.
14
OBJETIVOS
Objetivo General
• Evaluar tres clases de modelos para estimar insolación diaria en Chillán,
a partir de temperaturas máximas y mínimas diarias del aire y
precipitación del día.
Objetivos Específicos
• Evaluar modelos de inferencia Neuro-Difusos (ANFIS) para estimar la
insolación diaria en Chillán, a partir de las temperaturas máximas y
mínimas diarias del aire y precipitación del día.
• Calibrar y validar los modelos de Bristow & Campbell y De Jong &
Stewart, para las condiciones de Chillán.
• Comparar la exactitud en las predicciones de insolación diaria, obtenida
con los modelos anteriormente mencionados y sugerir los de mejor
desempeño.
• Comparar los modelos que presenten el mejor desempeño con el modelo
de Ángstrom calibrado para Chillán y el recomendado por FAO, los cuales
usan como variable explicativa el número de horas de sol diarias.
15
METODOLOGÍA
Se separaron los datos meteorológicos registrados de manera aleatoria, en
dos grupos, uno para la construcción de los modelos y el otro para la prueba
de estos, los que tienen igual número de elementos. Posteriormente, se
ajustaron los modelos empíricos de Bristow & Campbell, De Jong & Stewart y
de Ángstrom usando regresiones no-lineales (Anexo 1), y se entrenaron los
sistemas ANFIS para generar predicciones de insolación diaria, a partir de
los datos meteorológicos del conjunto de prueba. Finalmente, se evaluó y
comparó el desempeño de los modelos a nivel global y estacional.
Obtención de datos meteorológicos.
Los datos diarios de insolación, temperaturas máxima y mínima del aire y
precipitación, fueron medidos en la Estación Agrometeorológica de la
Universidad de Concepción Campus Chillán, ubicada en el sector nororiente
de Chillán (36º 34’ latitud Sur, 72º 06’ longitud Oeste, altitud 144 metros
sobre el nivel del mar). Los datos que se usaron para este estudio fueron
medidos desde el 30 de noviembre de 1997, hasta el 30 de noviembre de
2003. En el anexo 2 se entrega una breve descripción de los instrumentos
usados para medir temperatura, insolación y precipitación.
16
Modelo de Bristow & Campbell
Este modelo fue probado en las localidades de Pullman, Great Falls y
Seattle/Tacoma en el noroeste de USA, y las pruebas de desempeño del
modelo indicaron que este era capaz de explicar entre el 70 y 90% de la
variación en la radiación solar total diaria, a partir de las diferencias de
temperaturas máxima y mínima, estación del año (verano/invierno) y si llovió
durante el día (si/no). El modelo esta representado por las ecuaciones 1 y 2.
( )[ ]{ } Tkb aQQ c0 ∆⋅−−⋅= exp1 [1]
��� >
=caso. otro en
JppJk
;10)(;75,0
)( [2]
Donde:
Q = Insolación diaria (MJ m-2 día-1).
Q0 = Radiación solar total al tope de la atmósfera (la metodología de
cálculo se muestra en el Anexo 3).
∆T = Amplitud térmica del día (ºC).
k = Factor de lluvia.
J = Día Juliano.
pp(J) = Precipitación en el día J.
a, b y c = Coeficientes empíricos (el método para calcularlos se describe
en el Anexo 1).
17
El modelo indica la necesidad de realizar correcciones los días en que hay
precipitaciones, multiplicando por 0,75 la amplitud térmica (∆T), y también el
día anterior al que ocurre la lluvia, debido a que se asume que la nubosidad
comenzó un día antes que la lluvia. El coeficiente empírico b, se calcula para
cada estación del año. En el presente estudio se analizará el modelo de
Bristow & Campbell y algunas modificaciones de este, las cuales son:
Modelo A.1: Se considera los coeficientes a, b y c constantes (o sea, no se
consideran diferencias estacionales) y el factor k igual a 1.
Modelo A.2: Se considera los coeficientes a, b y c constantes y el factor k
variará según definición de la ecuación 2.
Modelo A.3: Se considera los coeficientes a, b y c constantes y el factor k
igual a como se definió en la ecuación 2, pero cambiando el valor de 0,75 por
otro que haga que el modelo tenga un mejor desempeño.
Modelo A.4: Se considera los coeficientes a y c constantes y se varía b para
cada estación del año y el factor k igual a 1.
Modelo A.5: Se considera los coeficientes a y c constantes y variando b, y el
factor k según definición de la ecuación 2.
18
Modelo A.6: Se considera los coeficientes a y c constantes y variando b, y el
factor k igual a como se definió en la ecuación 2, pero cambiando el valor de
0,75 por otro que haga que el modelo tenga un mejor desempeño.
Modelo de De Jong & Stewart
Este modelo fue desarrollado para estimar la insolación diaria y predecir el
rendimiento del trigo de secano en el oeste de Canadá. El modelo de De
Jong & Stewart, se define con la ecuación 3.
)1()( 2PdPcTaQQ b0 ⋅+⋅+∆⋅= [3]
Donde:
Q = Insolación diaria (MJ m-2 día-1).
Q0 = Radiación solar total al tope de la atmósfera (la metodología de
cálculo se muestra en el Anexo 3).
∆T = Amplitud térmica del día (ºC).
P = Precipitación diaria (mm día-1).
a, b, c y d = Coeficientes empíricos, que se calculan para cada mes (el
método para calcularlos se describe en el Anexo 1).
Para este modelo se consideraran dos casos: una modificación del modelo
original, en la que los parámetros a, b, c y d son constantes en el tiempo
(Modelo B.1), y otro en donde estos parámetros varíen para cada mes, y que
corresponde al modelo original de De Jong & Stewart (Modelo B.2).
19
Modelos ANFIS
La sigla ANFIS significa red adaptativa basada en un sistema de inferencia
difusa. Este es un sistema de inferencia difuso Takagi-Sugeno, que se
desarrolla y entrena como una red neuronal. Con esto se logra modelar
fenómenos físicos, usando registros históricos de datos de las variables
involucradas en el fenómeno.
ANFIS tiene sus cimientos en la teoría de conjuntos difusos, que es una
generalización de la teoría de conjuntos; por ejemplo, un elemento de un
conjunto puede tomar valores intermedios de pertenencia y no-pertenencia, y
este grado de pertenencia se cuantifica con las funciones de pertenencia
(cuyos valores varían entre 0 y 1). Cuando el valor es 1, el elemento
pertenece al conjunto difuso, si es 0 no-pertenece. En la teoría de conjuntos
difusos, también es posible realizar operaciones entre y sobre conjuntos,
tales como, intersección, unión y complemento. Las definiciones de éstas
operaciones son esencialmente iguales a la de la teoría de conjuntos, lo que
cambia son los operadores lógicos que se usan, estos son: T-norma (y-
difuso), S-norma (o-difuso) y la negación. Las definiciones de estas
operaciones se muestran en el Anexo 4. Con estas herramientas
matemáticas se pueden describir los sistemas de inferencia difusos Takagi-
Sugeno. Estos consisten en sistema de reglas si-entonces, donde la premisa,
en el caso de una variable independiente, es una pregunta sobre el grado de
pertenecía de la variable a un conjunto difuso (a este proceso se le llama
“fuzzyficacion”). Este grado de pertenencia posteriormente será un factor de
20
ponderación (normalizado), el cual actuará sobre la parte consecuente de la
regla, que es una ecuación lineal. En la ecuación 4 se muestra en lenguaje
simbólico la i-ésima regla (Ri) de un sistema Takagi-Sugeno con una variable
de entrada ( x ).
Ri : Si ( )(�A~ x
i) Entonces xbay iii += [4]
Para i = 1…n
Donde:
iA~
= i-ésimo conjunto difuso A.
iy = Respuesta (consecuencia, conclusión) de la i-ésima regla.
ia y ib = Constantes a determinar en la i-ésima regla.
)(�A~ x
i = Grado de pertenencia de x al conjunto difuso iA
~ .
n = Número total de reglas.
Para obtener la respuesta del sistema, se realiza la operación que se
muestra en la ecuación 5 (a este proceso se le llama “desfuzzyficado”):
( )�
�
=
=
⋅= n
i
n
ii
x
yxy
i
i
1A~
1A~
)(�
)(�
[5]
Para el caso de tener más de una variable independiente, es necesario
realizar operaciones lógicas difusas entre los grados de pertenencia de las
variables explicativas a conjuntos difusos, en la premisa de las reglas, y la
21
consecuencia es una ecuación lineal de las variables. En lenguaje simbólico
se muestra en la ecuación 6.
Ri : Si ( ) ( ) ( )[ ])(~
...~
)(~
)( ~2~1~ mAAA mmj
22j
11j
��� xxx ⊗⊗⊗
Entonces mm110 ... xwxwwy iiii ⋅++⋅+=
[6]
Para j1=1…n1, j2=1…n2, … ,jm=1…nm ,i=1…n
Donde:
⊗~ = Operación lógica difusa.
iw0 , iw1 , ..., iwm = Constantes a determinar para la i-ésima regla.
iy = Respuesta de la i-ésima regla.
1x , ..., mx = Variables explicativas o independientes.
)(� 1A~ 1
1jx , )(� 2A
~ 22j
x , ..., )(� mA~ m
mjx = Grados de pertenencia a los conjuntos
difusos.
m = Número de variables explicativas o independientes.
n1, n2 , ..., nm = Número de subconjuntos difusos creados para las variables
1x ,..., mx , respectivamente.
n = Número de reglas.
Al resultado de las operaciones lógicas difusas en la i-ésima regla lo
llamaremos i� (ecuación 7), con el que se ingresa en la ecuación 8, para
obtener la respuesta del sistema ( y ).
22
( ) ( ) ( )[ ])(�~
...~
)(�~
)(� mA~2A
~1A~ m
mj22j
11j
xxxi ⊗⊗⊗=τ [7]
( )
�
�
=
=
⋅= n
ii
n
iii y
y
1
1
�
�
[8]
Las operaciones lógicas difusas que se usaron en los modelos son y-difusos,
específicamente el producto entre funciones de pertenencia. El algoritmo
utilizado para crear los conjuntos difusos es el de Subtractive Clustering
(Chiu, 1994), y se probaron con radios de influencia de 0,25, 0,5 y 0,75.
Finalmente, las funciones de pertenencia que se usaron en los modelos son
del tipo gausianas (Anexo 5).
Este sistema de reglas también se puede representar como una red
adaptativa de 5 capas (Nauck et al., 1997), tal como se representa en la
figura 1, y que se describen a continuación.
23
Figura 1. Representación de un sistema ANFIS con dos entradas (x1 y x2) y
dos reglas difusas, las que se definen con las funciones de pertenencia (A1, A2, B1 y B2), la operación difusa Y (ΠΠΠΠ) y los resultados de estas operaciones ( 1w y 2w ), los cuales son normalizados en la capa 3 (N) dando como resultado ( 1w y 2w ) y estos son multiplicados por el consecuente de las reglas ( 1f y 2f ) y, por último, son sumados en la capa 5 (Σ) obteniéndose la respuesta de la red ( f ).
Capa 1: En esta capa se transforman las variables independientes (x1 y x2),
en variables difusas, por medio de funciones de pertenencia.
Capa 2: En los nodos de esta, los que tienen la etiqueta Π, se lleva a cabo
una operación lógica difusa (y-difuso) y se obtiene un factor de ponderación
( 1w y 2w ).
24
Capa 3: En esta capa los factores de ponderación son normalizados ( 1w y
2w ). Los nodos de esta capa tienen la etiqueta N.
Capa 4: Cada nodo de esta capa esta asociado a una ecuación lineal ( 1f y
2f ), la que se multiplica por el factor de ponderación normalizado.
Capa 5: En el nodo de esta capa, que tiene la etiqueta Σ, las salidas de la
capa anterior se suman.
Los sistemas inferencia difusa Takagi-Sugeno se representan y entrenan
como una red neuronal, usando el algoritmo retropropagación del error
(backpropagation), para ajustar los parámetros de las funciones de
pertenencia, el cual se combina con mínimos cuadrados para determinar los
coeficientes de las ecuaciones lineales.
Utilizando este sistema de inferencia se crearon 24 modelos, que para
identificarlos tienen de prefijo la letra C seguido de un número entre 1 y 24.
Las variables explicativas que se usaron son la amplitud térmica, el día
Juliano, la precipitación y las temperaturas máxima y mínima diarias del aire.
A diferencia de los modelos de Bristow & Campbell y de De Jong & Stewart
que relacionan la insolación diaria con la amplitud térmica, se crearon 12
modelos ANFIS que relacionen la insolación diaria directamente con las
temperaturas máxima y mínima, ya que por separado contienen mas
25
información que la amplitud térmica, y de este modo probar si ayudan al
sistema ANFIS a mejorar su desempeño.
Las variables explicativas que usan los 24 modelos ANFIS propuestos y los
radios de influencia de las agrupaciones (cluster), están especificadas en la
tabla 1.
En el caso que las predicciones estén fuera de rango, esto es, que los
modelos entreguen predicciones de insolación negativa o superior a la
radiación extraterrestre, se contaran para calcular el porcentaje de
predicciones que están fuera del rango de insolación.
26
Tabla 1. Variables explicativas de la insolación diaria usadas en los 24 modelos ANFIS propuestos (C.1…C.24) y el radio de influencia usado en la agrupación.
C.1 � 0,25C.2 � 0,5C.3 � 0,75C.4 � � 0,25C.5 � � 0,5C.6 � � 0,75C.7 � � � 0,25C.8 � � � 0,5C.9 � � � 0,75
C.10 � � 0,25C.11 � � 0,5C.12 � � 0,75C.13 � 0,25C.14 � 0,5C.15 � 0,75C.16 � � 0,25C.17 � � 0,5C.18 � � 0,75C.19 � � � 0,25C.20 � � � 0,5C.21 � � � 0,75C.22 � � 0,25C.23 � � 0,5C.24 � � 0,75
� Se usó la variable
Variables
ModeloAmplitud Térmica
Temperatura Máxima y Mínima
Día Juliano
PrecipitaciónRadio de influencia
27
Modelos de Ángstrom
Este es un modelo ampliamente usado en el mundo y desarrollado a
principios del siglo XX. Usa como variables explicativas el número de horas
de sol y la radiación extraterrestre; el modelo se define con las ecuaciones 9
y 10.
��
��
+=Nn
baQQ 0
[9]
shπ24
N = [10]
Donde:
Q = Insolación diaria (MJ m-2 día-1).
Q0 = Radiación solar total al tope de la atmósfera (la metodología de
cálculo se muestra en el Anexo 3).
n = Heliofanía real (horas de sol día-1).
N = Heliofanía teórica (horas de sol día-1).
a y b = Coeficientes empíricos.
sh = Factor de duración del día (la metodología de cálculo se muestra
en el Anexo 3).
Con este modelo se consideraran dos casos:
28
1) el modelo de Ángstrom recomendado por FAO (2006) para calcular
evapotranspiración, en el que el valor de los coeficientes a y b, es de 0,25 y
0,5, respectivamente (modelo D.1 en el presente estudio);
2) un modelo en el cual se busque el valor de los coeficientes a y b, para las
condiciones de Chillán (modelo D.2 en el presente estudio).
Comparación de Modelos
Para llevar a cabo la comparación de los modelos, es necesario estimar la
insolación diaria a partir de otras variables meteorológicas (amplitud térmica,
temperaturas máxima y mínima y precipitación), pertenecientes al conjunto
de datos de prueba.
Las comparaciones se harán usando índices de desempeño, como el
coeficiente de eficiencia que se define en la ecuación 11 (Legates y McCabe,
1999) el cual va desde menos infinito hasta uno. Mientras mas cercano sea a
uno, mejor desempeño tiene el modelo y viceversa; también, cuando es
cercano a cero, el desempeño del modelo es igual a que si se utilizara como
estimador el promedio de los datos observados.
( )
( ) ����
�
�
����
−
−−=�
�
=
=N
ii
N
iii
OO
POE
1
2
1
2
1
[11]
Donde:
E = Coeficiente de Eficiencia.
N = Número de observaciones.
29
iO = Dato observado.
iP = Dato estimado.
O = Media de los datos observados.
También se analizará el desempeño del modelo con la raíz de la media suma
de los cuadrados del error (RMSE), que se define mediante la ecuación 12.
( )�=
−=N
iii OPNRMSE
1
21 [12]
Una de las criticas del RMSE es que, debido a que los errores son elevados
al cuadrado, en el caso que el modelo no siga bien los eventos extremos,
entregara valores demasiado altos, y con esto se perderá o será difícil
visualizar la magnitud del error; por ello, se incluirá el error medio absoluto
(MAE), el que se define mediante la ecuación 13.
�=
−=N
iii OP
NMAE
1
1
[13]
Para eliminar los efectos estaciónales se utiliza también el error porcentual
absoluto medio (MAPE), que se define mediante la ecuación 14.
%O
OPN
MAPEN
i i
ii 1001
1
⋅−= �=
[14]
30
Estos índices estadísticos se usarán para evaluar todas las estimaciones de
insolación, tanto de los datos anuales como agrupados según la estación del
año.
Por último, se relacionará el error porcentual absoluto de cada predicción de
un modelo especifico, con las de variables que usa el modelo para explicar la
insolación, haciendo una regresión lineal con variables dicótomas (Gujarati,
1997), y se analizara el impacto de las variables en la explicación de la
insolación, y si tiene significancía estadística. Para el caso de los modelos de
Bristow & Campbell, se usará la ecuación 15.
iDA
DAA
i
ii iAiA KKKO
OP ε⋅⋅⋅=− ,2,,1,
2,1,
[15]
Donde:
AK , 1,AK , 2,AK = Parámetros a determinar.
iAD ,1, = 1, si se consideran estaciones del año.
= 0, en caso contrario.
iAD ,2, = 1, si se considera la precipitación como variable del modelo.
= 0, en caso contrario.
iε = Error de la i-ésima estimación.
31
Para el caso de los modelos de De Jong & Stewart, se usará la ecuación 16.
iDBB
i
ii iBKKO
OP ε⋅⋅=− ,1,
1,
[16]
Donde:
BK , 1,BK = Parámetros a determinar.
iBD ,1, = 1, si se consideran los meses del año.
= 0, en caso contrario.
iε = Error de la i-ésima estimación.
Por último, la ecuación 17 es la regresión de los modelos ANFIS.
iDC
DC
DCC
i
ii iCiCiC KKKKO
OP ε⋅⋅⋅⋅=− ,3,,2,,1,
3,2,1,
[17]
Donde:
CK , 1,CK , 2,CK , 3,CK = Parámetros a determinar.
iCD ,1, = 1, si se consideran las temperaturas máximas y mínimas del día
como variables del modelo.
= 0, en caso contrario.
iCD ,2, = 1, si se considera el día Juliano como una variable del modelo.
= 0, en caso contrario.
iCD ,3, = 1, si se considera la precipitación como una variable del modelo.
32
= 0, en caso contrario.
iε = Error de la i-ésima estimación.
Para llevar a cabo estas regresiones, el primer paso consiste en linealizar las
ecuaciones aplicando logaritmo natural y luego aplicar el método de mínimos
cuadrados para estimar los coeficientes y, por último, realizar un análisis de
varianza para determinar si los coeficientes de cada ecuación son
significativos.
Para interpretar las ecuaciones anteriores es necesario observar solo los
parámetros que tienen exponente (bases). Si estos son mayores que uno,
indican que al incluir la variable con la que tienen relación (exponente),
incrementan la esperanza del error relativo en el valor que excede a la
unidad y, en el caso que parámetro tenga un valor menor a la unidad, se
disminuye la esperanza del error relativo en el valor que falta para completar
la unidad. Esto es explicado con mayor detalle en el anexo 6.
33
RESULTADOS
Una vez que se generaron predicciones con los modelos se procedió a
comparar el desempeño de estos con los estadísticos mencionados. Primero
se compararon los modelos solo con otros de la misma familia y luego se
compararan los mejores modelos de cada familia.
Modelos de Bristow & Campbell.
Se observan diferencias mínimas del desempeño global, entre los modelos
(Tabla 2), llegando, para el caso de la raíz de la media suma de los
cuadrados del error, a diferenciarlos en décimas de un MJ m-2 día-1, y por
otro lado, las diferencias entre los modelos usando el error porcentual
absoluto medio, llegan a 3 puntos porcentuales.
Tabla 2. Desempeño global de los modelos de Bristow & Campbell medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E).
Modelo RMSE MAE MAPE E(MJ m-2 día-1) (MJ m-2 día-1) (%)
A.1 3,67 2,79 34,2 0,86A.2 3,56 2,71 34,0 0,87A.3 3,58 2,73 33,7 0,87A.4 3,55 2,71 32,0 0,87A.5 3,44 2,64 31,5 0,88A.6 3,45 2,65 31,3 0,88
Índices
34
Al desagregar los datos por estaciones (Tabla 3) se observa un mejor
desempeño, en otoño, con los modelos que cambian el valor de sus
parámetros según las estaciones del año (modelos A.4, A.5 y A.6);
específicamente, el coeficiente de Eficiencia se incrementa en cerca de una
décima y el error porcentual absoluto medio desciende en aproximadamente
en 10 puntos porcentuales (desde 56 a 46% aproximadamente). En invierno,
primavera y verano, prácticamente no se diferencian los modelos entre si en
su capacidad predictiva.
La regresión con variables dicótomas (Ecuación 18), nos indica que la
variable binaria de precipitación (DA,2,i) que usan los modelos A.2, A.3, A.5 y
A.6, sirve para disminuir el error relativo en las predicciones en un 2%. Así
mismo, la variable binaria del uso de estaciones del año (DA,1,i), indica que
los modelos que cambian el valor de sus parámetros en cada estación del
año (modelos A.4, A.5 y A.6) aumentan su error relativo en 1%. Sin embargo,
ninguna de las dos variables cualitativas tiene significancía estadística
(P>0,05).
iDD
i
ii iAiA
OOP ε⋅⋅⋅=− ,2,,1, 98,001,114,0
[18]
35
Tabla 3. Desempeño estacional de los modelos de Bristow & Campbell medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E).
Estación RMSE MAE MAPE E(MJ m-2 día-1) (MJ m-2 día-1) (%)
verano 3,24 2,49 12,2 0,74otoño 3,93 2,94 56,6 0,46invierno 3,23 2,38 45,9 0,59primavera 4,15 3,34 18,9 0,70
verano 3,18 2,48 12,0 0,75otoño 3,85 2,88 56,8 0,48invierno 3,09 2,30 45,8 0,62primavera 4,01 3,18 18,2 0,72
verano 3,17 2,46 12,0 0,75otoño 3,87 2,89 56,2 0,48invierno 3,13 2,31 45,1 0,61primavera 4,02 3,21 18,3 0,72
verano 3,30 2,41 13,1 0,73otoño 3,48 2,68 46,4 0,58invierno 3,16 2,34 46,6 0,61primavera 4,17 3,40 19,3 0,70
verano 3,22 2,38 12,9 0,74otoño 3,39 2,65 45,6 0,60invierno 3,02 2,28 46,4 0,64primavera 4,02 3,23 18,7 0,72
verano 3,21 2,38 12,8 0,74otoño 3,41 2,65 45,5 0,59invierno 3,05 2,28 45,9 0,63primavera 4,03 3,26 18,7 0,72
Modelo A.5
Modelo A.6
Índices
Modelo A.1
Modelo A.2
Modelo A.3
Modelo A.4
36
Modelos de De Jong & Stewart
La diferencia entre los dos modelos utilizados es mínima al medirla con la
raíz de la media suma de los cuadrados del error o error medio absoluto, lo
cual se reafirma claramente con el coeficiente de eficiencia, con el cual
ambos modelos se diferencian en solo un par de centésimas (Tabla 4).
Tabla 4. Desempeño global de los modelos de De Jong & Stewart medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E).
Modelo RMSE MAE MAPE E(MJ m-2 día-1) (MJ m-2 día-1) (%)
B.1 3,81 2,98 38,9 0,85B.2 3,52 2,72 35,2 0,87
Índices
Tal como ocurrió en los modelos de Bristow & Campbell, al desagregar los
datos por estaciones (Tabla 5), la mayor diferencia entre los modelos se
registra en otoño, la cual llega aproximadamente a 12 puntos porcentuales al
medirla con el error porcentual absoluto medio o 4 décimas de MJ m-2 día-1
al usar el error absoluto medio.
37
Tabla 5. Desempeño estacional de los modelos de De Jong & Stewart medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E).
Estación RMSE MAE MAPE E(MJ m-2 día-1) (MJ m-2 día-1) (%)
verano 3,58 2,86 13,9 0,68otoño 3,99 3,05 63,1 0,44invierno 3,20 2,46 54,6 0,60primavera 4,34 3,53 20,6 0,67
verano 3,30 2,52 13,5 0,73otoño 3,38 2,64 51,6 0,60invierno 3,15 2,43 53,6 0,61primavera 4,15 3,29 19,4 0,70
Índices
Modelo B.1
Modelo B.2
El análisis de la ecuación de regresión con variables dicótomas (ecuación
19), indica que el error relativo disminuye en un 9% al diferenciar los meses
del año en el modelo, pero este valor no es estadísticamente significativo
(P>0.05).
iD
i
ii iB
OOP ε⋅⋅=− ,1,91,016,0
[19]
38
Modelos ANFIS
Dado que estos modelos pueden dar datos de insolación diaria fuera de
rango, un análisis preliminar indica que ésta situación se concentró
principalmente en otoño e invierno (Tabla 6).
Tabla 6. Porcentaje de datos fuera de los rangos de insolación diaria, separados por estación y la media anual, en los 24 modelos ANFIS y las variables explicativas usadas por cada modelo para predecir la insolación.
C.1 AT 0 17,0 13,4 0 7,9C.2 AT 0 17,0 13,0 0 7,8C.3 AT 0 17,3 13,8 0 8,1C.4 AT, DJ 0 0 0 0 0C.5 AT, DJ 0 0 0 0 0C.6 AT, DJ 0 0 0 0 0C.7 AT, DJ, PP 1,2 2,1 0 0 0,8C.8 AT, DJ, PP 0 0,3 0 0 0,1C.9 AT, DJ, PP 0 0 0 0 0C.10 AT, PP 0 17,0 13,4 0 7,9C.11 AT, PP 0 17,3 13,8 0 8,1C.12 AT, PP 0 18,0 13,8 0 8,3C.13 TMM 0 3,5 1,1 0 1,2C.14 TMM 0 2,8 1,4 0 1,1C.15 TMM 0 2,1 1,1 0 0,8C.16 TMM, DJ 0 0,3 0 0 0,1C.17 TMM, DJ 0 0 0 0,7 0,2C.18 TMM, DJ 0 0 0 0 0C.19 TMM, DJ, PP 1,2 1,4 0,7 0 0,8C.20 TMM, DJ, PP 0,4 1,4 0,4 0 0,6C.21 TMM, DJ, PP 0 0 0 0 0C.22 TMM, PP 0,8 3,8 1,1 0 1,5C.23 TMM, PP 0,4 3,1 1,4 0 1,3C.24 TMM, PP 0 2,4 1,1 0 0,9
Media Anual
otoñoveranoVariables Explicativas*
Modelo
Estación del año
primaverainvierno
* AT: amplitud térmica del día, TMM: temperatura máxima y mínima del día, DJ: día Juliano y PP: precipitación.
39
Los modelos que consideran la variable de amplitud térmica, sin incluir el día
Juliano (Modelos C.1, C.2, C.3, C.10, C.11 y C.12), entregan
aproximadamente un 15% de predicciones fuera de los rangos de insolación
diaria en las estaciones de otoño e invierno, mientras que las predicciones
erróneas desciende hasta un 2% al considerar las temperaturas máxima y
mínima por separado (Modelos C.13, C.14, C.15, C.22, C.23 y C.24). La
única variable que hace descender el número de predicciones erróneas a
aproximadamente cero, es el día Juliano. Esto se debe a que los sistema
ANFIS no cuentan con los valores de radiación extraterrestre de manera
explícita, la cual varía a través del año desde 15 hasta 43 MJ m-2 día-1, para
Chillán, que los modelos que no cuentan con la variable explicativa día
Juliano (la cual explica la radiación extraterrestre), entregan valores de
insolación fuera de rango.
La inclusión de la variable precipitación en los modelos (C.7, C.8, C.9, C19,
C.20 y C.21) incrementa el número de predicciones fuera de los rangos de
insolación diaria; en cambio los modelos que usan amplitud térmica (C.4, C.5
y C.6) o temperatura máxima y mínima (C.16, C.17 y C.18), con el día
Juliano y sin la precipitación, no incurren en dichos errores (con excepción
del modelo C.16 y C.17).
Hay que notar que en los modelos que consideran las mismas variables
explicativas, el radio de influencia de la agrupación (cluster) no tuvo
influencia en los índices que se muestran en la Tabla 7. Además, los
modelos que consideran la variable día Juliano (Modelos C.4, C.5, C.6, C.7,
40
C.8, C.9, C.16, C.17, C.18, C.19, C.20 y C.21) tienen una clara superioridad,
la que se puede medir con el coeficiente de eficiencia, el cual es superior a
0.85 para todos ellos.
Tabla 7. Desempeño global de los modelos de ANFIS medidos con raíz de la
media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E), junto a las variables meteorológicas (explicativas) usadas por los modelos para predecir la insolación diaria.
RMSE MAE MAPE E(MJ m-2 día-1) (MJ m-2 día-1) (%)
C.1 AT 6,23 5,05 56,0 0,60C.2 AT 6,25 5,06 56,0 0,60C.3 AT 6,26 5,07 56,7 0,60C.4 AT, DJ 3,44 2,60 32,7 0,88C.5 AT, DJ 3,43 2,59 32,5 0,88C.6 AT, DJ 3,39 2,57 32,4 0,88C.7 AT, DJ, PP 3,62 2,68 34,1 0,87C.8 AT, DJ, PP 3,41 2,61 32,7 0,88C.9 AT, DJ, PP 3,47 2,65 33,3 0,88C.10 AT, PP 6,22 5,05 54,8 0,60C.11 AT, PP 6,25 5,05 55,4 0,60C.12 AT, PP 6,24 5,05 55,6 0,60C.13 TMM 4,82 3,75 43,6 0,76C.14 TMM 4,80 3,74 43,5 0,76C.15 TMM 4,78 3,71 43,1 0,77C.16 TMM, DJ 3,67 2,76 34,5 0,86C.17 TMM, DJ 3,50 2,65 33,4 0,87C.18 TMM, DJ 3,45 2,63 32,6 0,88C.19 TMM, DJ, PP 3,82 2,77 33,9 0,85C.20 TMM, DJ, PP 3,58 2,71 33,6 0,87C.21 TMM, DJ, PP 3,48 2,64 32,2 0,88C.22 TMM, PP 4,94 3,78 42,2 0,75C.23 TMM, PP 4,81 3,73 42,7 0,76C.24 TMM, PP 4,78 3,70 41,9 0,77
Variables Explicativas*
Modelo
Índices
* AT: amplitud térmica del día, TMM: temperatura máxima y mínima del día, DJ: día Juliano y PP: precipitación.
41
Los modelos C.1, C.2, C.3, C.10, C.11 y C.12, tienen el menor desempeño
durante todo el año y la situación empeora en otoño e invierno, por que el
Coeficiente de Eficiencia es negativo en estas estaciones (Apéndice 1). Los
modelos C.13, C.14, C.15, C.22, C.23 y C.24 tienen un desempeño un tanto
mejor a través del año, excepto en otoño, tal como lo indica el Coeficiente de
Eficiencia negativo y cercano a cero. Los dos grupos de modelos anteriores
se diferencian solo en que en el primero usan la variable amplitud térmica del
día, como variable explicativa, mientras que en el segundo grupo de modelos
las temperaturas máximas y mínimas diarias se ingresan por separado, lo
que conlleva a que el modelo cuente con mas información para hacer las
predicciones. Nuevamente, los modelos que incluyen el día Juliano como
variable (Modelos C.4, C.5, C.6, C.7, C.8, C.9, C.16, C.17, C.18, C.19, C.20 y
C.21) tienen los mejores desempeños durante todas las estaciones, y no se
aprecian diferencias entre ellos al usar cualquiera de los índices de
desempeño.
Al analizar los modelos ANFIS con la regresión de variables dicótomas
(ecuación 20), lo que mas hace bajar el error relativo es la inclusión en el
modelo del día Juliano como variable (Dc,2,i), siendo ésta reducción del 41%;
después le sigue el uso de la temperatura máxima y mínima por separado
(Dc,1,i), lo que baja el error relativo medio en un 15%. Con la inclusión de
estas tres variables en los modelos ANFIS, se logra bajar aproximadamente
a la mitad el error relativo medio de las predicciones. Además,
estadísticamente los dos coeficientes de la ecuación anteriormente
42
mencionados son estadísticamente significativos (P>0.05). Finalmente, la
variable precipitación (Dc,3,i) aumenta el error en 1%, lo que estadísticamente
no es significativo (P>0.05), no siendo una buena variable en los modelos
ANFIS para explicar la insolación.
iDDD
i
ii iCiCiC
OOP ε⋅⋅⋅⋅=− ,3,,2,,1, 01,159,085,018,0
[20]
Modelo de Ángstrom
Se observa (Tabla 8) que el modelo D.2 tiene un mejor desempeño que el
modelo D.1, a nivel anual y estacional. Las estimaciones de insolación del
modelo D.2 tienen 0,85 -1-2 día m MJ menos de MAE que las estimaciones
del modelo D.1, como promedio anual, y al observar coeficiente de eficiencia
anual, el modelo D.2 supera en aproximadamente en una décima al modelo
D.1. Esto se puede observar el la figura 2, donde las estimaciones de
insolación hechas con el modelo D.2, se ajustan de mejor manera a la recta
1:1 que las hechas con el modelo D.1.
Y en las estaciones de primavera y verano, el MAE se disminuye en más de
un -1-2 día m MJ , al usar el modelo de Ángstrom calibrado para Chillán (D.2),
respecto al modelo propuesto por FAO (D.1), y en otoño e invierno, esta
diferencia es de aproximadamente 0,6 -1-2 día m MJ , sin embargo el MAPE
del modelo D.1 en las estaciones en cuestión, es de aproximadamente 50%
y para el modelo D.2 se disminuye hasta 25% aproximadamente.
43
El modelo de Ángstrom calibrado para las condiciones de Chillán (Modelo
D.2) se muestra en el apéndice 6.
Tabla 8. Desempeño global y estacional de los modelos de Ángstrom medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E).
RMSE MAE MAPE E(MJ m-2 día-1) (MJ m-2 día-1) (%)
verano 3,45 2,98 14,9 0,71otoño 2,17 1,77 48,7 0,83
invierno 2,34 1,87 53,0 0,78primavera 3,92 3,36 20,8 0,73
anual 3,04 2,47 35,0 0,86
verano 2,38 1,80 9,2 0,86otoño 1,56 1,19 24,9 0,91
invierno 1,56 1,19 26,1 0,90primavera 2,96 2,32 13,8 0,85
anual 2,18 1,61 18,8 0,95
ÍndicesPeriodo de
análisis
Modelo D.2**
* Modelo de Ángstrom recomendado por FAO ** Modelo de Ángstrom calibrado para Chillán
44
Figura 2. Comparación de la insolación diaria (Q) observada y estimada con el modelo de modelo de Ángstrom recomendado por FAO D.1 (a) y el calibrado para las condiciones de Chillán D.2 (b). MAE es el error absoluto medio de los modelos.
Comparación las familias de Modelos
Para comparar entre las distintas familias de modelos, se seleccionaron los
de mejor desempeño, global y estacional.
En la familia de los modelos de Bristow & Campbell se consideraron los
modelos A.4, A.5 y A.6 (apéndice 3). De los dos modelos de De Jong &
Stewart se utilizó para esta comparación el B.2 (apéndice 4), y en el caso de
los modelos ANFIS, participan los que usan como variables explicativas la
amplitud térmica y las temperaturas máximas y mínimas con el día Juliano y
con un radio de influencia de la agrupación (cluster) de 0,75, ya que son los
mejores y solo usan tres reglas (C.6, y C.18, apéndice 6).
Al observar cualquiera de los índices de desempeño global de todos los
modelos anteriormente mencionados, los modelos A.4 de Bristow &
Q observada (MJ m-2 día-1)
Q e
stim
ada
(MJ
m-2
día
-1)
45
Campbell y B.2 de De Jong & Stewart, tienen un desempeño inferior al resto,
en cerca de una décima de MJ m-2 día-1, midiéndola con el RMSE o MAE.
Al comparar los modelos A.5 y A.6 no existen diferencias entre ellos, tanto a
nivel global como estacional. No ocurre lo mismo con los modelos ANFIS C.6
y C.18, los que se diferencian entre si en aproximadamente una décima de
MJ m-2 día-1 en verano, medida con RMSE o MAE, siendo el modelo C.6 el
que presenta un mejor desempeño. Para otoño, invierno y primavera no se
aprecian diferencias entre ellos.
Al comparar el modelo C.6 con el A.5 o A.6 existe una pequeña diferencia a
nivel global, y esta se debe a que el modelo C.6 presenta mejores
predicciones en verano, que son un cuarto de MJ m-2 día-1 menores que los
modelos A.5 y A.6 medidas con el MAE, y para el resto de las estaciones no
se aprecian diferencias en el desempeño. Esto se puede apreciar en la figura
3 (b) y (c), donde los valores de insolación más altos, o sea en verano, los
modelos de Bristow & Campbell (A.5 y A.6) tienden a subestimar la
insolación, al estar agrupados bajo la recta 1:1, lo que ocurre en menor
medida con el modelo ANFIS C.6 (figura 3 (e)). Esto se puede apreciar con
más claridad en la figura 4, donde están sólo las observaciones y
estimaciones de insolación del verano.
Por último, al comparar el desempeño del modelo ANFIS C.6 con los
modelos de Ángstrom D.1 y D.2, se aprecia que el modelo D.1, a nivel anual,
presenta un mejor desempeño que el modelo C.6, al hacer estimaciones con
46
0,1 -1-2 día m MJ menos de MAE. Al desagregar por estaciones, en verano y
primavera el modelo C.6 hace mejores predicciones que el modelo D.1, en
0,85 y 0,14 -1-2 día m MJ menos de MAE para el verano y primavera
respectivamente. Pero en otoño e invierno, el modelo D.1 hace mejores
estimaciones que el modelo C.6, en 0,85 y 0,43 -1-2 día m MJ menos de MAE
para el otoño e invierno respectivamente.
El modelo de Ángstrom D.2, a nivel global y estacional presenta un mejor
desempeño que el modelo C.6, al medirlo con cualquiera de los índices de
desempeño. Específicamente, las estimaciones del modelos D.2, tienen un
-1-2 día m MJ menos de MAE como promedio anual, que el modelo ANFIS
C.6, y en las estaciones de otoño e invierno los modelos se diferencian más
de un -1-2 día m MJ de MAE, en primavera la diferencia es de 0,9
-1-2 día m MJ y en verano es de 0,3 -1-2 día m MJ aproximadamente.
En el apéndice 2 están las tablas con los índices desempeños anual y
estacional de los modelos anteriormente mencionados, ordenados según su
desempeño anual (medido con el MAE) y además se incluye el rango que
ocupa el modelo en cada una de las estaciones.
En la tabla 2 se muestran los modelos jerarquizados según su desempeño
medido con el MAE, y se aprecia el modelo de Ángstrom calibrado para
Chillán (D.2), logra el mejor desempeño a nivel anual como estacional, de
todos los modelos analizados en el presente estudio. Pero solo considerando
los modelos que usan como variable explicativa la temperatura máxima y
47
mínima diaria y precipitación, se puede concluir que el mejor modelo es el
ANFIS C.6, ya que alcanza el mejor desempeño anual y en las estaciones de
verano y primavera, pero en otoño e invierno, solo se diferencia de los
modelos que alcanzan mejor desempeño en centésimas de -1-2 día m MJ .
Tabla 9. Modelos seleccionados*, dispuestos de menor a mayor error medio absoluto (MAE) anual, junto con el lugar que ocupan en el ordenamiento a nivel anual y estacional; en paréntesis el lugar que ocupan en el ordenamiento al descartar los modelos de Ángstrom.
Modelo Anual Verano Otoño Invierno PrimaveraD.2 1 1 1 1 1D.1 2 8 2 2 7C.6 3(1) 2(1) 4(2) 5(3) 2(1)C.18 4(2) 3(2) 3(1) 6(4) 4(3)A.5 5(3) 5(4) 7(5) 3(1) 3(2)A.6 6(4) 4(3) 6(4) 4(2) 5(4)A.4 7(5) 6(5) 8(6) 7(5) 8(6)B.2 8(6) 7(6) 5(3) 8(6) 6(5)
Ordenación
*Modelos de Bristow & Campbell (A.4, A.5 y A.6), modelo de De Jong & Stewart (B.2), modelos ANFIS (C.6 y C.18) y modelos de Ángstrom (D.1 y D.2).
Por último, se presentan los resultados obtenidos en dos estudios, sólo como
referencia. Bristow & Campbell (1984), evaluaron su modelo en la localidad
de Pullman (situado en la latitud 46º 46’ Norte y longitud 117º 12’ Oeste y
776 m s.n.m.), en los años 1980 y 1981, obteniendo un RMSE anual de 3
-1-2 día m MJ .
Podesta y Núñez (2003) evaluaron los modelos de Ángstrom y el aditivo
generalizado (GAM), que usa como variables explicativas las temperaturas
48
máximas y mínimas y precipitación, en la localidad Argentina de Pergamino
(33º 56’ Sur, 60º 33’ Oeste). Obteniendo un RMSE de 1,5 -1-2 día m MJ para
el modelo de Ángstrom, calibrado para la localidad y a diferencia del
presente estudio, los coeficientes se calibraron para cada mes del año. En el
caso del modelo GAM, el resultado fue de 3,2 -1-2 día m MJ de RMSE.
De lo anterior se puede decir, a grandes rasgos, que los resultados obtenidos
en el presente estudio con los modelos seleccionados (Bristow & Campbell,
De Jong & Stewart, ANFIS y Ángstrom), están dentro de los rangos, ya que
el único que obtuvo un desempeño superior fue el modelo de Ángstrom de
Podesta y Núñez, y se diferencio del de Ángstrom calibrado para Chillán en
un -1-2 día m MJ de RMSE.
Una recomendación para otros estudios que relacionen la insolación diaria
con la temperaturas del aire y precipitación diaria, es usar esta última como
una variables retardada, es decir que se use la precipitación de los días
anteriores, ya que esta afecta la temperatura del aire los días posteriores a al
día que ocurrió la precipitación, por que la radiación solar incidente se usa
para evaporar el agua disponible en el ambiente y no para elevar la
temperatura ambiental.
49
Figura 3. Comparación de la insolación diaria (Q) observada y estimada con los modelos de Bristow & Campbell A.4 (a), A.5 (b) y A.6 (c); con el modelo B.2 de De Jong & Stewart (d); y con los modelos ANFIS C.6 (e) y C.18 (f).
Q observada (MJ m-2 día-1)
Q e
stim
ada
(MJ
m-2
día
-1)
50
Figura 4. Comparación de la insolación diaria del verano (Q) observada y
estimada con los modelos de Bristow & Campbell A.5 (a) y A.6 (b); con el modelo de De Jong & Stewart B.2 (c); con el modelo ANFIS C.6 (d) y el modelo de Ángstrom recomendado por la FAO D.1 (e) y el calibrado para Chillán D.2 (f). MAE es el error absoluto medio de los modelos.
Q observada (MJ m-2 día-1)
Q e
stim
ada
(MJ
m-2
día
-1)
51
CONCLUSIONES
Utilizando los datos meteorológicos de temperaturas máximas y mínimas y
precipitación es posible predecir la insolación diaria con un error medio
absoluto del orden de 2,7 MJ m-2 día-1, con los modelos de Bristow &
Campbell, De Jong & Stewart y ANFIS. Además, los modelos presentan una
gran diferencia en la calidad de las predicciones a través del año, ya que el
error porcentual absoluto medio en la primavera y verano ronda el 15% y en
el invierno y otoño es de 50%. Otro resultado de interés, es que la
precipitación diaria no es una buena variable explicativa de la insolación en
los modelos ANFIS, ya que aumenta el error medio absoluto en el orden de
centésimas de MJ m-2 día-1. Pero en los modelos de Bristow & Campbell,
donde es usada como una variable cualitativa (modelos A.2, A.3, A.5 y A.6),
hace que el error medio absoluto disminuya en aproximadamente media
décima de MJ m-2 día-1.
El modelo ANFIS que usa como variables explicativas la amplitud térmica y
día Juliano, y un radio de influencia en la agrupación (cluster) de 0,75
(modelo C.6), hace las mejores predicciones en su familia de modelos.
Los modelos ANFIS que no consideran como variable explicativa el día
Juliano, entregan predicciones fuera de los rangos de insolación diaria en las
estaciones de otoño e invierno. La inclusión de la variable precipitación solo
empeora esta situación.
52
Los modelos de Bristow & Campbell que consideran diferentes valores de los
parámetros en cada estación del año (A.4, A.5 y A.6), tuvieron un mejor
desempeño global al reducir el error absoluto medio en aproximadamente 0,1
-1-2 día m MJ , con respecto a los modelos que usan los mismos parámetros
todo el año (A.1, A.2 y A.3). Pero, en otoño, esta reducción fue de
aproximadamente 0,2 MJ m-2 día-1, que representa un reducción 10 puntos
porcentuales al medirla con el error porcentual absoluto medio.
El modelo de De Jong & Stewart que considera diferentes parámetros para
cada uno de los meses del año (B.2), logró una reducción del error medio
absoluto de aproximadamente 0,3 MJ m-2 día-1, con respecto al que no varia
los parámetros a través del año (B.1). Esta mejora se logra en las estaciones
de verano, otoño y primavera; sin embargo, el desempeño en invierno no
mejora.
El modelo ANFIS C.6 logró el mejor desempeño de todos los que usan como
variables explicativas las temperaturas del aire máxima y mínima diaria y
precipitación, con un error absoluto medio de 2,57 MJ m-2 día-1, superando
por aproximadamente 5 centésimas de MJ m-2 día-1 al modelo que le sigue
en desempeño (modelos de Bristow & Campbell A.5 y A.6). Al analizar por
estaciones, en otoño, invierno y primavera este modelo ANFIS, no se
diferencia de los modelos de Bristow & Campbell (A.5 y A.6), pero en verano
53
muestra un desempeño superior a estos al reducir el error absoluto medio en
0,25 MJ m-2 día-1, aproximadamente.
El modelo de Ángstrom recomendado por FAO (modelo D.1), hace
estimaciones de insolación con un error absoluto medio anual de 2,47
-1-2 día m MJ , lo que es una décima de -1-2 día m MJ menos que ANFIS C.6,
y al analizar por estaciones, se encontró que en verano y primavera ANFIS
C.6 presenta un mejor desempeño; en cambio, en otoño e invierno el modelo
FAO (D.1) logra hacer las mejores predicciones.
El modelo Ángstrom calibrado para Chillán (modelo D.2) predice con un error
absoluto medio anual de 1,61 -1-2 día m MJ , lo que es un -1-2 día m MJ
menos que el modelo C.6, además, el modelo D.2 hace mejores predicciones
de insolación que el modelo C.6, en todas las estaciones del año.
54
LITERATURA CITADA
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incoming solar radiation and daily maximum and minimum
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biophysics. Springer-Verlag Inc. New York, U.S.A.
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y luminosidad en Chile. I. Calibración de formulas para estimar
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6. Gujarati, D. 1997. Econometría básica. (3a ed.). Editorial McGraw-Hill,
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275.
8. Huxley, P.A. 1973. Incoming solar radiation and degree-hours of
temperature near Kampala, Uganda. Agric. Meteorol. 11(3): 437-443.
9. Jong, R. de, D.W. Stewart. 1993. Estimating global solar radiation from
common meteorological observations in western Canada. Can. J.
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10. Kaufmann, A. 1977. Introduction à la théorie des sous-ensembles flous a
l’usage des ingénieurs. Fuzzy sets theory. 1 Eléments théoriques de
base. Masson S.A. Paris, France.
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using the generalized reduced gradient method. Revue Française
d’Automatique, Informatique et Recherche Opérationnelle. 3(nov.):
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12. Legates, D. R., G. J. McCabe. 1999. Evaluating the use of “goodness-of-
fit” measures in hydrologic and hydroclimatic model validation. Water
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13. Nauck, D., F. Klawonn and R. Kruse. 1997. Foundations of neuro-fuzzy
systems. Editorial Wiley & Sons Ltd. Chichester. U.K.
14. Nicks, A.D., J.F. Harp. 1980. Stochastic generation of temperature and
solar radiation data. J. Hidrol. 48(1): 1-17.
15. Podestá G. P., L. Nuñez, C. A. Villanueva and M. A. Skansi. 2004.
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System. IEEE Trans. Syst. Man Cybern. 23(3): 665-684.
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19. Supit, I., R.R. Van Kappel. 1998. A simple method to estimate global
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57
20. Walter, A. 1969. A relation between incoming solar radiation and degree-
hours of temperature. Agr. Meteorol. 6(6): 435-448.
58
ANEXO 1
Cálculo de coeficientes de ecuaciones no-lineales
Para la determinación de los coeficientes se usará el criterio de mínimos
cuadrados (Gujarati, 1997), el cual se define con la siguiente ecuación:
�� −= 22 )ˆ(ˆ iii YYu
Donde:
iu = Error de la i-ésima estimación.
iY = i-ésima observación del fenómeno.
iY = i-ésima estimación del fenómeno.
Una vez que la ecuación anterior es alimentada con los datos estimados (el
modelo con los parámetros desconocidos) y observados, el error se
transforma en una ecuación, la que depende de los parámetros del modelo,
tal como se muestra a continuación:
,...)ˆ,ˆ,ˆ(ˆ 2 cbafui =�
Donde:
a , b y c = Son los parámetros estimados del modelo.
59
Para determinar los parámetros estimados del modelo, es necesario
minimizar la función error, la que se realizará con la herramienta Solver de
Microsoft Excel, que usa el algoritmo generalizado de reducción del
gradiente, el que esta descrito en Lasdon et al. (1974).
60
ANEXO 2
Descripción de los instrumentos meteorológicos
Temperatura
Fabricante : Campbell Scientific
Modelo : HMP35C Sonda de temperatura y humedad relativa.
Rango : -35ºC a 50ºC
Error : ±0.4ºC en el rango de –24ºC a 48ºC
±0.9ºC en el rango de –38ºC a 53ºC
Este instrumento usa para medir la temperatura un termistor intercambiable,
el cual está dentro de una sonda, que a su vez, esta dentro de un escudo
contra la radiación. Las mediciones se realizan a 2 metros de altura.
Radiación
Fabricante : Li-Cor
Modelo : LI-200SA
Rango : 0 a 3000 W/m2
Error : ±3% típico
±5% máximo
Este instrumento mide el espectro completo de radiación del sol, y usa un
detector fotovoltaico de silicio. Además tiene incorporado un “corrector-
61
coseno”, para tener mediciones más exactas cuando el ángulo de altitud del
sol es bajo. El instrumento esta instalado a 2 metros de altura.
Precipitación
Fabricante : Campbell Scientific
Modelo : TE525
Rango : 0 a infinito, con incrementos de 0.01 pulgadas, o 0.1 mm
en versión métrica.
Error : 1% con intensidades de precipitación menores o iguales
a 2 pulgadas/hora.
Este pluviografo de aluminio mide incrementos de altura de agua de 0.1 mm,
con su respectivo intervalo de tiempo.
62
ANEXO 3
Cálculo de la radiación solar total diaria al tope de la atmósfera
La radiación solar total diaria al tope de la atmósfera ( AR ) se calcula con las
siguientes ecuaciones (Campbell y Norman, 1998)
( )ssA hhR sincos�cos�sin��sin�
5.117 ××+××=
Donde:
AR = Radiación solar extraterrestre (MJ m-2 día-1).
� = Latitud del lugar, negativa para el hemisferio sur.
� = Declinación solar.
sh = Factor de duración del día (medio día).
� = Constante (3,1416).
Para estimar la declinación solar (� ) se usa:
( )( )( )J0.01726.224sin0.03345J0.01724.869sin0.39785arcsin� ×+×+×+×=
Donde:
J = Día Juliano (1 para el 1 de enero).
Y finalmente el factor sh se calcula con el siguiente modelo:
( )tan��tanarccos ×−=sh
Todas las operaciones antes mencionadas, deben realizarse en radianes.
63
ANEXO 4
Definiciones de operaciones sobre y entre conjuntos difusos, y los
operadores lógicos difusos
La primera notación a definir es )(� ~ xA
, que significa el grado de pertenencia
del elemento x al conjunto difuso A~
; este grado de pertenencia es un número
que pertenece al intervalo de números reales de 0 a 1, y el conjunto difuso A~
se define de la siguiente manera:
}/))(�,{(~
~ XxxxAA
∈=
Donde:
X = Conjunto base o universo.
)(� ~ xA
= Grado de pertenencia de x al conjunto difuso A~
.
A continuación se definen algunas operaciones sobre y entre conjuntos
difusos:
Intersección de conjuntos difusos.
}/))(�,{(~~
~~ XxxxBABA
∈= ΙΙ
( ))(�),(�)(� ~~~~ xxTxBABA
=Ι
64
Donde:
)(� ~ xB = Es el grado de pertenencia de x al conjunto difuso B
~ .
)(� ~~ xBAΙ = Es el grado de pertenencia de x al conjunto difuso BA
~~ Ι .
T(�,�) = Es la operación T-norma o y-difuso, que se definirá luego.
Unión de conjuntos difusos.
}/))(�,{(~~
~~ XxxxBABA
∈= ΥΥ
( ))(�),(�)(� ~~~~ xxSxBABA
=Υ
Donde:
)(� ~~ xBAΥ = Es el grado de pertenencia de x al conjunto difuso BA
~~ Υ .
S(�,�) = Es la operación T-conorma, S-norma u o-difuso, que se definirá
luego.
Complemento de un conjunto difuso.
}/))(�,{()(~
~ XxxxxA cAc ∈=
)(�1)(� ~~ xxAAc −=
Donde:
)(� ~ xcA = Es el grado de pertenencia de x al conjunto difuso cA
~, o al conjunto
difuso complemento de A~
.
65
Las operaciones anteriormente nombradas, T-norma y T-conorma, se
definirán a continuación (Kaufmann, 1977):
T-norma (y-difuso)
Esta es una operación binaria, que se realiza entre grados de pertenencia.
La notación que se usa se muestra a continuación:
( ))(�),(�)(� ~~~~ xxTxBABA
=Ι
Y el espacio en donde opera es el siguiente:
[ ] [ ] [ ]1,01,01,0:T →×
Para que una operación sea T-norma, debe cumplir con las siguientes
propiedades:
Limite
0)0,0T( =
��)T(1,)1,T(� ==
Monoticidad
d)T(c,b),T(a ≤
Si ca ≤ y db ≤ .
Conmutatividad
a)T(b,b),T(a =
66
Asociatividad
c)b),T(T(a,c))T(b,,T(a =
Las T-normas más usadas son las siguientes:
( ) )}(�),(�min{)(�),(� ~~~~ xxxxT BABA=
( ) }1)(�)(�,0max{)(�),(� ~~~~ −+= xxxxTBABA
( ) )(�)(�)(�),(� ~~~~ xxxxT BABA×=
T-conorma o S-norma (o-difuso)
Esta es una operación binaria que se realiza entre grados de pertenencia. La
notación que se usa se muestra a continuación:
( ))(�),(�)(� ~~~~ xxSxBABA
=Υ
Y el espacio en donde opera es el siguiente:
[ ] [ ] [ ]1,01,01,0:S →×
Para que una operación sea T-conorma, debe cumplir con las siguientes
propiedades:
Limite
1)1,S(1 =
��)S(0,)0,S(� ==
67
Monoticidad
d)S(c,b),S(a ≤
Si ca ≤ y db ≤ .
Conmutatividad
a)S(b,b),S(a =
Asociatividad
c)b),S(S(a,c))S(b,,S(a =
Las S-normas más usadas son las siguientes:
( ) )}(�),(�max{)(�),(� ~~~~ xxxxSBABA
=
( ) }1),(�)(�min{)(�),(� ~~~~ xxxxSBABA
+=
( ) )(�)(�)(�)(�)(�),(� ~~~~~~ xxxxxxSBABABA
×−+=
Además la T-norma y T-conorma se deben elegir para que cumplan con lo
siguiente:
b)-a,1-T(11b),S(a −=
o también,
b)-a,1-S(11b),T(a −=
68
ANEXO 5
Algoritmo Subclustering y creación de las funciones de Pertenencia
El algoritmo de agrupamiento sustractivo (Subtractive Clustering), permite
encontrar los centros de agrupaciones de datos, sin conocer el número de
éstas. El primer paso de este algoritmo consiste en calcular el potencial de
cada punto del conjunto de datos, y encontrar el máximo.
�=
−−=n
jjii xxP
1
2)exp( α
2
4
ar=α
Donde:
iP = Potencial del Punto i.
ar = Parámetro de influencia.
ix = Centro de la agrupación, punto i.
jx = Punto j.
Luego de encontrado el punto que maximiza la función potencial, que
corresponde al centro de la primera agrupación, el potencial de cada punto
se corrige con la siguiente ecuación:
)exp(2*
1*
1 xxPPP iii −−−⇐ β
2
4
br=β
69
Donde:
br = Parámetro de influencia.
*1P = Potencial máximo, de la primera agrupación.
*1x = Centro de la primera agrupación.
Luego de esto se busca el siguiente punto que produzca un máximo
potencial. Y para cuando se tenga el k-ésimo centro de agrupación, el
potencial de cada punto es calculado de la siguiente forma:
)exp(2**
kikii xxPPP −−−⇐ β
Donde:
*kP = Potencial del k-ésimo punto, de la k-ésima agrupación.
*kx = Centro de la k-ésima agrupación.
Este proceso continua mientras se cumpla la siguiente condición.
*1
* PP Supk ε>
Y el proceso termina cuando se cumple la siguiente condición.
*1
* PP Infk ε<
Además todos lo centros de un grupo deben cumplir con la condición
mostrada a continuación.
1*1
*min ≥+
PP
rd k
a
70
Y en caso contrario, al centro de la agrupación, se le asigna un potencial de
0 y se continúa con el elemento que muestre el mayor potencial.
Para crear las funciones de pertenencia es necesario calcular los radios de
influencia de cada agrupación de datos, esta se estima buscando el valor
máximo y mínimo de cada componente, se calcula la amplitud de ésta (se
resta la mayor y la menor) y se multiplica por el radio de influencia. Entonces
la función de pertenencia tomo la siguiente forma:
( ) ( )���
���
−−= 2
2
~2
expσ
µ cxx
A
Donde:
A~
= Conjunto difuso A.
( )xA~µ = Función de pertenencia al conjunto difuso A.
c = Centro de la agrupación.
σ = Radio de influencia.
71
ANEXO 6
Interpretación de las ecuaciones de regresión con variables dicótomas
Tomando como ejemplo la ecuación 13, se tiene que solamente hay dos
variables explicativas del error porcentual relativo (APE), las cuales son iAD ,1,
y iAD ,2, , y representan el diferenciar las estaciones del año y el uso de la
variable precipitación, respectivamente.
iDA
DAA
i
ii iAiA KKKO
OP ε⋅⋅⋅=− ,2,,1,
2,1,
Para entender como funciona, se analizará el efecto de la precipitación en los
modelos de Bristow & Campbell, si no es usada en los modelos como una
variable explicativa de la radiación solar, entonces 0,2, =iAD , o sea 1,2,
2, =iADAK ,
y por lo tanto el valor de la esperanza del APE no se ve alterada. Pero en
caso de que la precipitación se usada como variable explicativa, el valor de
iAD ,2, cambia a 1, y por lo tanto iADAK ,2,
2, no es necesariamente igual a la
unidad, y para cuantificar el efecto de la variable, debemos expresar de la
siguiente forma el parámetro iADAK ,2,
2, .
2,2, 1 AA rK +=
72
Si 12, >AK entonces 02, >Ar y por lo tanto la esperanza del error relativo
aumentará en %1002, ⋅Ar , en cambio, si 12, <AK entonces 02, <Ar y por lo
tanto la esperanza del error relativo disminuirá en %1002, ⋅Ar .
73
APÉNDICE 1
Tablas con los índices de desempeño de los modelos ANFIS separados
por estación del año.
Tabla 10. Desempeño de los modelos ANFIS en verano, medidos con raíz de
la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E), junto a las variables meteorológicas (explicativas) usadas por los modelos para predecir la insolación diaria.
RMSE MAE MAPE E(MJ m-2 día-1) (MJ m-2 día-1) (%)
C.1 AT 5,68 4,66 18,4 0,20C.2 AT 5,73 4,69 18,4 0,19C.3 AT 5,71 4,67 18,3 0,19C.4 AT, DJ 3,14 2,10 10,9 0,76C.5 AT, DJ 3,13 2,16 11,4 0,76C.6 AT, DJ 3,08 2,13 11,0 0,77C.7 AT, DJ, PP 3,50 2,22 11,9 0,70C.8 AT, DJ, PP 3,15 2,25 11,6 0,75C.9 AT, DJ, PP 3,20 2,31 11,8 0,75C.10 AT, PP 5,70 4,69 18,7 0,20C.11 AT, PP 5,71 4,68 18,7 0,20C.12 AT, PP 5,72 4,68 18,8 0,19C.13 TMM 4,31 3,45 16,3 0,54C.14 TMM 4,27 3,41 15,7 0,55C.15 TMM 4,25 3,41 16,0 0,55C.16 TMM, DJ 3,60 2,45 13,5 0,68C.17 TMM, DJ 3,20 2,28 11,8 0,75C.18 TMM, DJ 3,20 2,31 12,0 0,75C.19 TMM, DJ, PP 4,22 2,59 14,0 0,56C.20 TMM, DJ, PP 3,57 2,52 13,4 0,69C.21 TMM, DJ, PP 3,17 2,28 11,4 0,75C.22 TMM, PP 4,86 3,63 16,7 0,42C.23 TMM, PP 4,28 3,42 15,9 0,55C.24 TMM, PP 4,23 3,40 16,0 0,56
Variables Explicativas*
Modelo
Índices
* AT: amplitud térmica del día, TMM: temperatura máxima y mínima del día, DJ: día Juliano y PP: precipitación.
74
Tabla 11. Desempeño de los modelos ANFIS en otoño, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E), junto a las variables meteorológicas (explicativas) usadas por los modelos para predecir la insolación diaria.
RMSE MAE MAPE E(MJ m-2 día-1) (MJ m-2 día-1) (%)
C.1 AT 6,90 5,62 97,9 -0,67C.2 AT 6,90 5,60 97,4 -0,67C.3 AT 6,92 5,63 98,4 -0,68C.4 AT, DJ 3,33 2,66 49,1 0,61C.5 AT, DJ 3,32 2,63 47,3 0,61C.6 AT, DJ 3,30 2,62 49,1 0,62C.7 AT, DJ, PP 3,67 2,83 51,8 0,53C.8 AT, DJ, PP 3,29 2,62 50,1 0,62C.9 AT, DJ, PP 3,37 2,65 48,8 0,60C.10 AT, PP 6,86 5,57 94,6 -0,65C.11 AT, PP 6,94 5,65 97,1 -0,69C.12 AT, PP 6,90 5,62 96,6 -0,67C.13 TMM 5,49 4,19 79,0 -0,05C.14 TMM 5,45 4,15 78,8 -0,04C.15 TMM 5,40 4,12 79,6 -0,02C.16 TMM, DJ 3,43 2,65 51,1 0,59C.17 TMM, DJ 3,42 2,64 50,0 0,59C.18 TMM, DJ 3,33 2,61 49,1 0,61C.19 TMM, DJ, PP 3,52 2,68 50,4 0,57C.20 TMM, DJ, PP 3,40 2,67 50,7 0,59C.21 TMM, DJ, PP 3,45 2,67 50,2 0,58C.22 TMM, PP 5,61 4,26 78,6 -0,10C.23 TMM, PP 5,52 4,17 76,7 -0,07C.24 TMM, PP 5,47 4,13 76,3 -0,05
Variables Explicativas*
Modelo
Índices
* AT: amplitud térmica del día, TMM: temperatura máxima y mínima del día, DJ: día Juliano y PP: precipitación.
75
Tabla 12. Desempeño de los modelos ANFIS en invierno, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E), junto a las variables meteorológicas (explicativas) usadas por los modelos para predecir la insolación diaria.
RMSE MAE MAPE E(MJ m-2 día-1) (MJ m-2 día-1) (%)
C.1 AT 5,29 4,15 76,1 -0,10C.2 AT 5,29 4,18 76,5 -0,10C.3 AT 5,31 4,20 78,2 -0,11C.4 AT, DJ 3,07 2,33 49,4 0,63C.5 AT, DJ 3,06 2,33 50,4 0,63C.6 AT, DJ 3,02 2,30 48,3 0,64C.7 AT, DJ, PP 3,11 2,39 51,2 0,62C.8 AT, DJ, PP 3,05 2,33 48,1 0,63C.9 AT, DJ, PP 3,06 2,35 51,1 0,63C.10 AT, PP 5,33 4,20 74,7 -0,12C.11 AT, PP 5,29 4,13 74,3 -0,10C.12 AT, PP 5,25 4,11 75,3 -0,08C.13 TMM 3,85 2,92 53,7 0,42C.14 TMM 3,86 2,90 53,9 0,41C.15 TMM 3,82 2,86 52,0 0,43C.16 TMM, DJ 3,17 2,42 51,0 0,60C.17 TMM, DJ 3,11 2,35 49,5 0,62C.18 TMM, DJ 3,09 2,33 48,1 0,62C.19 TMM, DJ, PP 3,20 2,40 48,7 0,60C.20 TMM, DJ, PP 3,08 2,31 48,4 0,63C.21 TMM, DJ, PP 3,09 2,31 45,8 0,62C.22 TMM, PP 3,81 2,86 48,8 0,43C.23 TMM, PP 3,86 2,91 53,4 0,41C.24 TMM, PP 3,79 2,84 50,8 0,43
Variables Explicativas*
Modelo
Índices
* AT: amplitud térmica del día, TMM: temperatura máxima y mínima del día, DJ: día Juliano y PP: precipitación.
76
Tabla 13. Desempeño de los modelos ANFIS en primavera, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E), junto a las variables meteorológicas (explicativas) usadas por los modelos para predecir la insolación diaria.
RMSE MAE MAPE E(MJ m-2 día-1) (MJ m-2 día-1) (%)
C.1 AT 6,82 5,71 26,2 0,19C.2 AT 6,85 5,73 26,2 0,18C.3 AT 6,86 5,74 26,2 0,18C.4 AT, DJ 4,11 3,26 18,6 0,70C.5 AT, DJ 4,09 3,23 18,4 0,71C.6 AT, DJ 4,05 3,22 18,4 0,71C.7 AT, DJ, PP 4,13 3,25 18,6 0,70C.8 AT, DJ, PP 4,06 3,21 18,2 0,71C.9 AT, DJ, PP 4,14 3,28 18,6 0,70C.10 AT, PP 6,78 5,67 25,9 0,20C.11 AT, PP 6,82 5,69 26,0 0,19C.12 AT, PP 6,87 5,73 26,2 0,17C.13 TMM 5,35 4,40 21,0 0,50C.14 TMM 5,37 4,45 21,2 0,50C.15 TMM 5,38 4,41 20,6 0,49C.16 TMM, DJ 4,37 3,51 19,5 0,67C.17 TMM, DJ 4,17 3,30 19,5 0,70C.18 TMM, DJ 4,08 3,25 18,3 0,71C.19 TMM, DJ, PP 4,28 3,42 19,6 0,68C.20 TMM, DJ, PP 4,17 3,32 19,2 0,70C.21 TMM, DJ, PP 4,10 3,25 18,4 0,71C.22 TMM, PP 5,28 4,35 20,7 0,51C.23 TMM, PP 5,30 4,38 20,7 0,51C.24 TMM, PP 5,34 4,38 20,5 0,50
Variables Explicativas*
Modelo
Índices
* AT: amplitud térmica del día, TMM: temperatura máxima y mínima del día, DJ: día Juliano y PP: precipitación.
77
APÉNDICE 2
Tablas con los índices de desempeño anual y estacional, de los
modelos seleccionados.
Tabla 14. Desempeño global de los modelos seleccionados, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E). Ordenados de menor a mayor MAE anual, junto al rango que ocupa.
Modelo Ordenación RMSE MAE MAPE E(MJ m-2 día-1) (MJ m-2 día-1) (%)
D.2 1 2,18 1,61 18,8 0,95D.1 2 3,04 2,47 35,0 0,86C.6 3 3,39 2,57 32,4 0,88C.18 4 3,45 2,63 32,6 0,88A.5 5 3,44 2,64 31,5 0,88A.6 6 3,45 2,65 31,3 0,88A.4 7 3,55 2,71 32,0 0,87B.2 8 3,52 2,72 35,2 0,87
Índices
Modelos de Bristow & Campbell (A.4, A.5 y A.6), modelo de De Jong & Stewart (B.2), modelos ANFIS (C.6 y C.18) y modelos de Ángstrom (D.1 y D.2).
78
Tabla 15. Desempeño de los modelos seleccionados en verano, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E). Ordenados de menor a mayor MAE anual, junto al rango que ocupa.
Modelo Rango RMSE MAE MAPE E(MJ m-2 día-1) (MJ m-2 día-1) (%)
D.2 1 2,38 1,80 9,2 0,86D.1 8 3,45 2,98 14,9 0,71C.6 2 3,08 2,13 11,0 0,77C.18 3 3,20 2,31 12,0 0,75A.5 5 3,22 2,38 12,9 0,74A.6 4 3,21 2,38 12,8 0,74A.4 6 3,30 2,41 13,1 0,73B.2 7 3,30 2,52 13,5 0,73
Índices
Modelos de Bristow & Campbell (A.4, A.5 y A.6), modelo de De Jong & Stewart (B.2), modelos ANFIS (C.6 y C.18) y modelos de Ángstrom (D.1 y D.2).
Tabla 16. Desempeño de los modelos seleccionados en otoño, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E). Ordenados de menor a mayor MAE anual, junto al rango que ocupa.
Modelo Rango RMSE MAE MAPE E(MJ m-2 día-1) (MJ m-2 día-1) (%)
D.2 1 1,56 1,19 24,9 0,91D.1 2 2,17 1,77 48,7 0,83C.6 4 3,30 2,62 49,1 0,62C.18 3 3,33 2,61 49,1 0,61A.5 7 3,39 2,65 45,6 0,60A.6 6 3,41 2,65 45,5 0,59A.4 8 3,48 2,68 46,4 0,58B.2 5 3,38 2,64 51,6 0,60
Índices
Modelos de Bristow & Campbell (A.4, A.5 y A.6), modelo de De Jong & Stewart (B.2), modelos ANFIS (C.6 y C.18) y modelos de Ángstrom (D.1 y D.2).
79
Tabla 17. Desempeño de los modelos seleccionados en invierno, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E). Ordenados de menor a mayor MAE anual, junto al rango que ocupa.
Modelo Rango RMSE MAE MAPE E(MJ m-2 día-1) (MJ m-2 día-1) (%)
D.2 1 1,56 1,19 26,1 0,90D.1 2 2,34 1,87 53,0 0,78C.6 5 3,02 2,30 48,3 0,64C.18 6 3,09 2,33 48,1 0,62A.5 3 3,02 2,28 46,4 0,64A.6 4 3,05 2,28 45,9 0,63A.4 7 3,16 2,34 46,6 0,61B.2 8 3,15 2,43 53,6 0,61
Índices
Modelos de Bristow & Campbell (A.4, A.5 y A.6), modelo de De Jong & Stewart (B.2), modelos ANFIS (C.6 y C.18) y modelos de Ángstrom (D.1 y D.2).
Tabla 18. Desempeño de los modelos seleccionados en primavera, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E). Ordenados de menor a mayor MAE anual, junto al rango que ocupa.
Modelo Rango RMSE MAE MAPE E(MJ m-2 día-1) (MJ m-2 día-1) (%)
D.2 1 2,96 2,32 13,8 0,85D.1 7 3,92 3,36 20,8 0,73C.6 2 4,05 3,22 18,4 0,71C.18 4 4,08 3,25 18,3 0,71A.5 3 4,02 3,23 18,7 0,72A.6 5 4,03 3,26 18,7 0,72A.4 8 4,17 3,40 19,3 0,70B.2 6 4,15 3,29 19,4 0,70
Índices
Modelos de Bristow & Campbell (A.4, A.5 y A.6), modelo de De Jong & Stewart (B.2), modelos ANFIS (C.6 y C.18) y modelos de Ángstrom (D.1 y D.2).
80
APÉNDICE 3
Modelos de Bristow & Campbell A.4, A.5 y A.6
La forma general del modelo de Bristow & Campbell.
( )[ ]{ } Tkb aQQ c0 ∆⋅−−⋅= exp1
��� >
=caso. otro en
JppJk
;10)(;75.0
)(
Los parámetros a, b, c y k de las ecuaciones anteriores (que corresponden a
las ecuaciones 1 y 2) son mostrados en la siguiente tabla.
Tabla 19. Parámetros de los modelos de Bristow & Campbell A.4, A.5 y A.6 para las estaciones del año.
Parámetros A.4 A.5 A.6a 0,771 0,789 0,784
b (Verano) 0,053 0,107 0,082b (Otoño) 0,032 0,066 0,051
b (Invierno) 0,043 0,088 0,068b (Primavera) 0,045 0,094 0,072
c 1,344 1,068 1,171k 1 0,75 0,836
Modelo
81
APÉNDICE 4
Modelo de De Jong & Stewart B.2
El modelo se define con la siguiente ecuación:
)1()( 2PdPcTaQQ b0 ⋅+⋅+∆⋅=
Los parámetros de la ecuación anterior se muestran en la siguiente tabla,
para todos los meses del año.
Tabla 20. Parámetros del modelo de De Jong & Stewart B.2 para los meses del año.
Mes a b c dEnero 0,284 0,322 -0,428 0,406
Febrero 0,190 0,449 -3,477 3,467Marzo 0,204 0,397 -0,702 0,678Abril 0,140 0,482 -0,253 0,257Mayo 0,117 0,523 -0,514 0,505Junio 0,121 0,468 -0,361 0,358Julio 0,123 0,531 -0,344 0,341
Agosto 0,105 0,628 -0,382 0,380Septiembre 0,118 0,612 -0,401 0,398
Octubre 0,081 0,743 -0,646 0,635Noviembre 0,169 0,484 -0,890 0,881Diciembre 0,132 0,596 -0,440 0,416
Parámetros
82
APÉNDICE 5
Modelos ANFIS C.6 y C.18
Modelo C.6
Ri : Si ( ) ( )[ ])J(� ~ )T(� JT ii y∆∆ Entonces JT 2 ⋅+∆⋅+= iiii wwwy 10
Para i=1, 2, 3
Donde:
Ri = Regla i del sistema ANFIS.
T∆ = Amplitud térmica del día (ºC).
J = Día Juliano.
)T(� T ∆∆ i = Grado de pertenencia del elemento T∆ al conjunto difuso iT∆ .
)J(� Ji = Grado de pertenencia del elemento J al conjunto difuso iJ .
y~ = Operación lógica difusa Y, que para este caso es el producto.
iy = Resultado parcial de la regla i.
Las funciones de pertenencia del sistema tienen la siguiente forma:
( ) ( )��
�
�
��
⋅∆−∆−=∆
∆∆ 2
T
2
T2
TTexpT
ii
iσ
µ
( ) ( )��
�
�
��
⋅−−= 2
J
2
J2
JJexpJ
ii
iσ
µ
Donde:
iT∆ = Centro del conjunto difuso i de amplitud térmica (ºC).
83
iT∆σ = Radio de influencia del conjunto difuso i de amplitud térmica.
iJ = Centro del conjunto difuso i del día Juliano.
iJσ = Radio de influencia del conjunto difuso i del día Juliano.
Y para que el sistema quede completamente determinado, los parámetros de
este se presentan en la siguiente tabla.
Tabla 21. Parámetros de las tres reglas del modelo ANFIS C.6.
Parámetros 1 2 39,8157 17,0730 21,572016,2172 5,8097 7,3371
193,7840 97,0847 293,0922168,0253 68,5155 94,8582-1,5678 57,9073 -1,14410,9206 -0,1659 -1,15910,0066 -0,3866 0,1826
Regla i
iT∆iT∆σ
iJiJσiw0
iw1iw2
Modelo C.18
Ri : Si ( ) ( ) ( )[ ])J(� ~ )TMIN(� ~ )TMAX(� JTMINTMAX iii yy
Entonces JTMINTMAX 3210 ⋅+⋅+⋅+= iiiii wwwwy
Para i=1, 2, 3
Donde:
TMAX = Temperatura máxima del día (ºC).
TMIN = Temperatura mínima del día (ºC).
J = Día Juliano.
84
)TMAX(�TMAXi = Grado de pertenencia del elemento TMAX al conjunto
difuso iTMAX .
)TMIN(�TMINi = Grado de pertenencia del elemento TMIN al conjunto difuso
iTMIN .
)J(� Ji = Grado de pertenencia del elemento J al conjunto difuso iJ .
y~ = Operación lógica difusa Y, que para este caso es el producto.
Las funciones de pertenencia se muestran a continuación:
( ) ( )��
�
�
��
⋅−−= 2TMAX
2
TMAX2
TMAXTMAXexpTMAX
ii
iσ
µ
( ) ( )��
�
�
��
⋅−−= 2TMIN
2
TMIN2
TMINTMINexpTMIN
ii
iσ
µ
( ) ( )��
�
�
��
⋅−−= 2
J
2
J2
JJexpJ
ii
iσ
µ
Donde:
iTMAX = Centro del conjunto difuso i de temperatura máxima del día (ºC).
iTMAXσ = Radio de influencia del conjunto difuso i de temperatura máxima.
iTMIN = Centro del conjunto difuso i de temperatura mínima del día (ºC).
iTMINσ = Radio de influencia del conjunto difuso i de temperatura mínima.
iJ = Centro del conjunto difuso i del día Juliano.
85
iJσ = Radio de influencia del conjunto difuso i del día Juliano.
Los parámetros de este sistema, se muestran en la siguiente tabla.
Tabla 22. Parámetros de las tres reglas del modelo ANFIS C.18.
Parámetros 1 2 312,6447 42,6713 30,69305,0600 10,3759 7,122212,5482 11,9778 6,95893,0207 4,3582 3,0739
206,1634 37,8058 342,8866109,3631 91,8838 88,7178-7,2320 29,4713 -19,52191,0625 0,1920 0,4232-0,7053 -0,2149 -0,04660,0190 -0,1452 0,1128
Regla i
iTMAXiTMAXσiTMIN
iTMINσ
iJiJσiw0iw1iw2iw3
86
APÉNDICE 6
Modelo de Ángstrom
El modelo se define con la siguiente ecuación:
��
��
+=Nn
baQQ 0
El modelo calibrado para las condiciones de Chillán se muestra a continuación:
��
��
⋅+=Nn
0,8490,013QQ 0
87
APÉNDICE 7
Ejemplo de cálculo de insolación con el modelo C.6
Se tomará como ejemplo el día 19 de julio de 1998 (J=200), en el que la
temperatura máxima fue de 12,28 ºC y la mínima de 0,013 ºC, por lo tanto la
amplitud térmica fue de 12,267 ºC.
Para estimar la insolación del día en cuestión, con el modelo ANFIS C.6 hay
que calcular los valores de las funciones de pertenencia (antecedentes) y los
resultados parciales (consecuentes) de cada una de las tres reglas. A
continuación se muestra el proceso de cálculo para las tres reglas del
sistema.
Regla 1:
R1 : Si ( ) ( )[ ])(~)( 11 J� T� JT y∆∆ Entonces JT 2 ⋅+∆⋅+= 111
101 wwwy
Donde:
( ) ( )��
�
�
��
⋅∆−∆−=∆
∆∆ 2
1
2
1 21
expT
TTT
Tσ
µ
( ) ( )��
�
�
��
⋅−−= 2
2
1 21
expJ1
JJJJ
σµ
88
Al aplicar los parámetros de Tabla 15, las funciones de pertenencia están
completamente determinadas, y se muestran a continuación:
( ) ( )( ) �
��
���
⋅−∆−=∆∆ 2
2
1 2exp
16,21729,8157TTTµ
( ) ( )( ) �
��
���
⋅−−= 2
2
1 2exp
168,0253193,7840JJJµ
Reemplazando los valores de amplitud térmica y día Juliano en las
ecuaciones anteriores, queda:
( ) ( )( ) 0,988616,2172
9,815712,26712.267T =��
�
���
⋅−−=∆ 2
2
12
expµ
( ) ( )( ) 0,9993168,0253
193,7840200200J =��
�
���
⋅−−= 2
2
1 2expµ
Al resultado de operación difusa (antecedente) de la primera regla le
llamaremos 1τ y se define con la siguiente forma:
( ) ( ))(~)( 111 J� T� JT y∆= ∆τ
Que para este caso particular, como la operación difusa y equivale al
producto, 1τ se calcula con la siguiente ecuación:
( ) ( ))()( 111 J�T� JT ⋅∆= ∆τ
( ) ( ) 0,98800,99930,9886200�12.267� JT =⋅=⋅= ∆ )()( 111τ
89
El consecuente de la regla, al aplicar los parámetros de la tabla 14, se
muestra a continuación:
J0,0066T0,9206-1,5678 ⋅+∆⋅+=1y
Reemplazando los valores de amplitud térmica y día Juliano queda:
11,04872000,006612,2670,9206-1,5678 =⋅+⋅+=1y
Regla 2
R2 : Si ( ) ( )[ ])(~)( J� T� J2T2 y∆∆ Entonces JT 2 ⋅+∆⋅+= 221
202 wwwy
Donde:
( ) ( )��
�
�
��
⋅∆−∆−=∆
∆∆ 2
2
2
22
expT
T2TTT
σµ
( ) ( )��
�
�
��
⋅−−= 2
2
22
expJ2
J2JJJ
σµ
Reemplazando los parámetros.
( ) ( )( ) �
��
���
⋅−∆−=∆∆ 2
2
2exp
5,809717,0730TTT2µ
( ) ( )( ) �
��
���
⋅−−= 2
2
2exp
68,515597,0847J
JJ2µ
90
Aplicando los valores de amplitud térmica y día Juliano.
( ) ( )( ) 0,71025,8097
17,073012.26712,267T2 =��
�
���
⋅−−=∆ 2
2
2expµ
( ) ( )( ) 0,323668,5155
97,0847200200J2 =��
�
���
⋅−−= 2
2
2expµ
Cálculo de la operación difusa.
( ) ( ))(~)( 222 J� T� JT y∆= ∆τ
( ) ( ))()( 222 J� T� JT ⋅∆= ∆τ
( ) ( ) 0,22990,32360,71022�12,267� JT =⋅=⋅= ∆ )00()( 222τ
Cálculo del consecuente de la regla.
J0,3866-T0,1659-57,9073 ⋅∆⋅=2y
-21,43862000,3866-12,2670,1659-57,9073 =⋅⋅=2y
Regla 3
R3 : Si ( ) ( )[ ])(~)( J� T� J3T3 y∆∆ Entonces JT 2 ⋅+∆⋅+= 331
303 wwwy
Donde:
( ) ( )��
�
�
��
⋅∆−∆−=∆
∆∆ 2
3
2
3 23
expT
TTTT
σµ
( ) ( )��
�
�
��
⋅−−= 2
3
2
3 23
expJ
JJJ
Jσ
µ
91
Reemplazando los parámetros.
( ) ( )( ) �
��
���
⋅−∆−=∆∆ 2
2
3 2exp
7,337121,5720T
TTµ
( ) ( )( ) �
��
���
⋅−−= 2
2
3 2exp
94,8582293,0922J
JJµ
Aplicando los valores de amplitud térmica y día Juliano.
( ) ( )( ) 0,44757,3371
21,572012.26712.267T =��
�
���
⋅−−=∆ 2
2
32
expµ
( ) ( )( ) 0,617894,8582
293,0922200JJ =��
�
���
⋅−−= 2
2
32
expµ
Valor de la operación difusa.
( ) ( ))(~)( 333 J� T� JT y∆= ∆τ
( ) ( ))()( 333 J� T� JT ⋅∆= ∆τ
( ) ( ) 0,27640,61780,4475200�12.267� JT =⋅=⋅= ∆ )()( 333τ
Cálculo del consecuente de la regla.
J0,1826T1,1591--1,1441 ⋅+∆⋅=3y
21,15542000,182612.2671,1591--1,1441 =⋅+⋅=3y
92
Los valores de las operaciones difusas (antecedentes) y los resultados de las
ecuaciones lineales (consecuentes), se muestran a continuación de manera
resumida:
Regla 1 Regla 2 Regla 3
0,9880=1τ 0,2299=2τ 0,2764=3τ
11,0487=1y -21,4386=2y 21,1554=3y
El último paso para estimar la insolación es ponderar los resultados parciales
de las tres reglas, que se realiza con la siguiente ecuación:
321
332211
ττττττ
++⋅+⋅+⋅= yyy
Q
Aplicando los valores anteriormente calculados, tenemos:
0,27640,22990,98800,276421,15540,229921,4386-0,988011,0487
Q++
⋅+⋅⋅=
7,92101,4942
11,83620,27640,22990,98805,84834,9279-10,9158
Q ==+++=
La estimación que hizo el modelo ANFIS C.6, para el día en cuestión, fue de
7,921 MJ m-2 día-1, que se compara con la insolación registrada de 8,77
-1-2 día m MJ .