euklidovi elementi
DESCRIPTION
euklidovi elementiTRANSCRIPT
JAsminka
1
EUKLIDOVI ELEMENTI
KNJIGA I
Definicije
1. Tačka je ono što nema delova.
2. Linija je dužina bez širine.
3. Krajevi linije su tačke.
4. Prava linija je ona, koja za tačke na njoj podjednako leži.
5. Površina je ono što ima samo dužinu i širinu.
6. Krajevi površine su linije.
7. Ravan je površina koja za prave na njoj podjednako leži.
8. Ugao u ravni je uzajamni nagib dveju linija u ravni, koje se stiču i koje ne leže u istoj pravoj.
9. Ako su linije koje obrazuju ugao prave, ugao se zove pravolinijski.
10. Ako prava, koja stoji na drugoj pravoj, obrazuje sa ovom dva susedna jednaka ugla, svaki od njihje prav, a podignuta prava zove se normala na onoj na kojoj stoji.
11. Tup ugao je onaj, koji je veći od pravog.
12. Oštar je onaj, koji je manji od pravog.
13. Granica je ono što je kraj ma čega.
14. Figura je ono što je omeđeno ili jednom ili sa više granica.
15. Krug je ravna figura omeđena takvom jedinom linijom (koja se zove periferija), da su sve pravepovučene od jedne tačke, koja se nalazi u samoj figuri, prema toj liniji (prema periferiji kruga)međusobno jednake.
16. Ova tačka zove se središte kruga.
17. Prečnik kruga je svaka prava što prolazi kroz središte kruga, a ograničena je sa svake straneperiferijom kruga; on polovi krug.
18. Polukrug je figura ograničena prečnikom i njime odvojenom periferijom kruga; središtepolukruga je isto kao i središte kruga.
19. Pravolinijske figure su one koje su ograničene pravama; trostrane su ograničene satri, četvorostrane sa četiri, mnogostrane sa više od četiri prave.
JAsminka
2
20. Od trostranih figura jednakostrani trougao ima tri jednake strane, jednakokraki ima samo dvejednake strane, a raznostrani ima tri nejednake strane.
21. Dalje, od trostranih figura je pravougli trougao onaj koji ima prav ugao, tupougli koji ima tupugao, a oštrougli koji ima tri oštra ugla.
22. Od četvorostranih figura kvadrat je jednakostran i sa pravim uglovima; pravougaonik je sa pravimuglovima, no nije sa jednakim stranama; romb sa jednakim stranama, no nije sa pravimuglovima; romboid sa jednakim naspramnim stranama i jednakim naspramnim uglovima, no nije nijednakostran ni sa pravim uglovima. Ostale četvorostrane figure neka se zovu trapezi.
23. Paralelne su one prave, koje se nalaze u istoj ravni i koje se, produžene u beskrajnost na obestrane, ne seku jedna sa drugom.
Postulati
Neka se pretpostavi
1. Da se može povući od svake tačke ka svakoj drugoj tački prava linija.
2. I da ograničena prava može biti produžena u svom pravcu neprekidno.
3. I da se može opisati iz svakog središta svakim rastojanjem krug.
4. I da su svi pravi uglovi jednaki međusobno.
5. I da će se, ako jedna prava u preseku sa drugim dvema obrazuje sa iste strane dva unutrašnja uglačiji je zbir manji od dva prava ugla, te dve prave, beskrajno produžene, seći i to sa one strane sa kojesu ovi uglovi manji od dva prava.
Aksiome
1. Oni (objekti) koji su jednaki istom (objektu) jednaki su međusobno.
2. I ako se jednakim (objektima) dodaju jednaki (objekti) celine su jednake.
3. I ako se od jednakih (objekata) oduzmu jednaki (objekti) ostaci su jednaki.
4. I ako se nejednakim (objektima) dodaju jednaki (objekti) celine su nejednake.
5. I udvostručeni jednaki (objekti) jednaki su međusobno.
6. I polovine od jednakih (objekata) jednake su međusobno .
7. I oni (geometriski objekti) koji se mogu poklopiti jednaki su međusobno.
8. I celina je veća od dela.
9. I dve prave ne ograničavaju oblast.
JAsminka
3
1.
Na datoj duži (ograničenoj pravoj) konstruisati jednakostran trougao.
2.
Iz date tačke povući duž jednaku datoj duži.
3.
Ako su date dve nejednake duži, na veću preneti duž jednaku manjoj.
4.
Ako su kod dva trougla dve strane jednog jednake odgovarajućim dvema stranama drugog i ako sujednaki uglovi koje obrazuju jednake strane, mora i osnovica biti jednaka osnovici, jedan trougao morabiti jednak drugom trouglu i ostali uglovi moraju biti jednaki ostalim uglovima i to odgovarajući,naime oni koji leže spram jednakih strana.
5.
Kod jednakokrakih trouglova uglovi su na osnovici jednaki međusobno, a u slučaju produženjajednakih strana uglovi pod osnovicom takođe moraju biti jednaki međusobno.
6.
Ako su u trouglu međusobno jednaka dva ugla, onda moraju biti međusobno jednake i strane koje ležespram jednakih uglova.
7.
Nemoguće je iz dve različite tačke, koje se nalaze sa iste strane date duži, povući ka krajnjim tačkamate duži po dve duži tako da duži sa istim krajevima budu međusobno jednake.
8.
Ako su u dva trougla dve strane jednake dvema odgovarajućim stranama drugog, i osnovice imjednake, moraju biti jednaki i uglovi koje obrazuju jednake strane.
9.
Prepoloviti dati pravolinijski ugao.
10.
Prepoloviti datu duž.
11.
Iz date tačke na datoj pravoj povući pravu pod pravim uglom prema datoj pravoj.
JAsminka
4
12.
Povući pravu liniju normalno na datu beskrajnu pravu iz date tačke koja ne pripada datoj pravoj.
13.
Ako prava povučena nad pravom obrazuje uglove, moraju ti uglovi biti ili oba pravi ili obrazovatizajedno dva prava ugla.
14.
Ako ma sa kojom pravom, u istoj tački na njoj, dve druge prave sa različitih strana prve prave gradesusedne uglove, koji zajedno obrazuju dva prava ugla, te dve prave moraju se nalaziti u istoj pravoj.
15.
Ako se dve prave seku, one obrazuju unakrsne uglove, koji su jednaki jedan drugome.
16.
U svakom trouglu je spoljašnji ugao, obrazovan produženjem jedne strane, veći od svakog od dvaunutrašnja nesusedna ugla.
17.
U svakom trouglu je zbir dvaju uglova, proizvoljno izabranih, manji od dva prava ugla.
18.
U svakom trouglu spram veće strane leži veći ugao.
19.
U svakom trouglu spram većeg ugla leži veća strana.
20.
U svakom trouglu zbir dveju strana, proizvoljno izabranih, veći je od treće strane.
21.
Ako se u unutrašnjosti trougla iz krajnjih tačaka jedne njegove strane povuku dve prave koje se seku,zbir povučenih pravih biće manji od dveju ostalih strana trougla, a ugao, koji one grade, veći.
22.
Od tri prave, koje su jednake trima datim pravama, načiniti trougao; pri tome zbir dveju, proizvoljnouzetih, mora biti veći od treće, jer je u svakom trouglu zbir dveju, proizvoljno uzetih, strana veći odpreostale strane [I. 20].
JAsminka
5
23.
Konstruisati na datoj pravoj u datoj tački na njoj pravolinijski ugao jednak datom pravolinijskom uglu.
24.
Ako su kod dva trougla dve strane jednog jednake dvema stranama drugog, i to odgovarajućim, i ugaoprvog, koji obrazuju strane jednake stranama drugog, veći od takvog ugla drugog trougla, onda jeosnovica prvog veća od osnovice drugog.
25.
Ako su kod dva trougla dve strane jednog jednake dvema stranama drugog, i to odgovarajućim, aosnovica prvog je veća od osnovice drugog, onda je i ugao prvog, koji obrazuju strane jednakestranama drugog, veći od takvog ugla drugog trougla.
26.
Ako su kod dva trougla dva ugla jednog jednaki dvama uglovima drugog, i to odgovarajućim, i jednastrana jednog jednaka jednoj strani drugog ili ona na kojoj su jednaki uglovi ili ona što je spramjednog od jednakih uglova, onda su i ostale strane jednake ostalim stranama, i to odgovarajućim, apreostali ugao jednak je preostalom uglu.
27.
Ako prava koja seče druge prave gradi sa njima jednake unutrašnje naizmenične uglove, ove dve pravesu paralelne.
28.
Ako prava koja seče druge dve prave gradi sa iste svoje strane spoljašnji ugao jednak odgovarajućemunutrašnjem uglu ili dva unutrašnja ugla sa iste strane jednaka dvama pravim uglovima, ove dve praveparalelne su.
29.
Ako prava seče dve paralelne prave, ona gradi unutrašnje naizmenične uglove jednake, spoljašnji ugaojednak odgovarajućem unutrašnjem uglu i dva unutrašnja ugla sa iste strane jednaka dvama pravimuglovima.
30.
Prave koje su paralelne istoj pravoj paralelne su međusobno.
31.
Kroz datu tačku povući pravu liniju paralelnu datoj pravoj.
JAsminka
6
32.
U svakom trouglu spoljašnji ugao obrazovan produženjem jedne strane jednak je dvama nesusednimunutrašnjim uglovima, a tri unutrašnja ugla trougla jednaki su dvama pravim uglovima.
33.
Prave što spajaju sa istih strana krajeve jednakih i paralelnih duži same su jednake i paralelne.
34.
Kod paralelograma su naspramne strane i uglovi jednaki međusobno i dijagonala ga polovi.
35.
Paralelogrami sa istom osnovicom između istih paralelnih jednaki su jedan drugom.
36.
Paralelogrami sa jednakim osnovicama između istih paralelnih jednaki su jedan drugom.
37.
Trouglovi sa istom osnovicom između istih paralelnih jednaki su jedan drugom.
38.
Trouglovi sa jednakim osnovicama između istih paralelnih jednaki su jedan drugom.
39.
Jednaki trouglovi sa istom osnovicom i sa iste njene strane leže između istih paralelnih.
40.
Jednaki trouglovi sa jednakim osnovicama sa iste strane od njih leže između istih paralelnih.
41.
Ako paralelogram ima istu osnovicu sa nekim trouglom i ako leže između istih paralelnih, onda jeparalelogram dvaput veći od trougla.
42.
U datom pravolinijskom uglu konstruisati paralelogram jednak datom trouglu.
43.
U svakom paralelogramu dopune paralelogramima na dijagonali jednake su.
JAsminka
7
44.
Na datoj duži konstruisati u datom pravolinijskom uglu paralelogram jednak datom trouglu.
45.
U datom pravolinijskom uglu konstruisati paralelogram jednak datoj pravolinijskoj slici.
46.
Na datoj duži konstruisati kvadrat.
47.
Kod pravouglih trouglova je kvadrat na strani spram pravog ugla (na hipotenuzi) jednak kvadratima nastranama koje obrazuju prav ugao (na katetama).
48.
Ako je kod trougla kvadrat na jednoj strani jednak kvadratima na ostalim dvema stranama, onda jeugao koji obrazuju ove dve strane prav.
JAsminka
8
KNJIGA II
Definicije
1. Za svaki pravougli paralelogram se kaže da je obuhvaćen dvema dužima koje obrazuju prav ugao.
2. Neka se u svakom paralelogramu ma koji od paralelograma na njegovoj dijagonali zajedno saobema dopunama nazove gnomon.
1.
Ako su date dve duži pa je jedna od njih nepodeljena a druga podeljena na koliko bilo otsečaka,pravougaonik obuhvaćen ovim dvema dužima jednak je zbiru pravougaonika obuhvaćenihnepodeljenom duži i svakim od otsečaka.
2.
Ako se data duž proizvoljno podeli, zbir pravougaonika obuhvaćenih celom duži i svakim od obajuotsečaka jednak je kvadratu na celoj duži.
3.
Ako se data duž proizvoljno podeli na dva otsečka, pravougaonik obuhvaćen celom duži i jednim odotsečaka jednak je zbiru pravougaonika obuhvaćena obama otsečcima i kvadrata na prvom otsečku.
4.
Ako se data duž proizvoljno podeli, kvadrat na celoj duži jednak je zbiru kvadrata na otsečcima idvostrukog pravougaonika obuhvaćena otsečcima.
Posledica
Iz tog je jasno da su kod kvadrata paralelogrami na dijagonali kvadrati.
5.
Ako se data duž podeli dvema tačkama i na jednake i na nejednake delove, biće zbir pravougaonikaobuhvaćena nejednakim delovima cele duži i kvadrata na duži između deonih tačaka jednak kvadratuna polovini duži.
6.
Ako se data duž prepolovi i produži za izvesnu duž, biće zbir pravougaonika obuhvaćena celom dužisa produženjem i tim produženjem i kvadrata na polovini date duži jednak kvadratu na dužisastavljenoj od polovine prve duži i dodate druge duži.
JAsminka
9
7.
Ako se data duž proizvoljno podeli na dva otsečka, onda je zbir kvadrata na celoj duži i na jednom odotsečaka jednak zbiru dvostrukog pravougaonika obuhvaćena celom duži i tim otsečkom i kvadrata nadrugom otsečku.
8.
Ako se data duž proizvoljno podeli na dva otsečka, biće zbir četvorostrukog pravougaonikaobuhvaćena celom duži jednim otsečkom i kvadrata na drugom otsečku jednak kvadratu nacrtanom naduži sastavljenoj od date duži i prvog otsečka.
9.
Ako se neka duž podeli dvema tačkama na jednake i na nejednake otsečke, zbir kvadrata nanejednakim otsečcima cele duži jednak je dvostrukom zbiru kvadrata na polovini cele duži i kvadratana otsečku između deonih tačaka.
10.
Ako se data duž prepolovi i produži za izvesnu duž, biće zbir kvadrata na celoj duži zajedno saproduženjem i kvadrata na produženju duži jednak dvostrukom zbiru kvadrata na polovini prve duži ikvadrata nacrtana na duži sastavljenoj od polovine date duži i produženja kao jednoj duži.
11.
Datu duž podeliti tako da pravougaonik obuhvaćen celom duži i jednim otsečkom bude jednakkvadratu na drugom otsečku.
12.
U svakom tupouglom trouglu kvadrat na strani spram tupog tugla je veći od zbira kvadrata nastranama što obrazuju tup ugao za dvostruki pravougaonik obuhvaćen od jedne strane tupog ugla,naime one na čije produženje pada spuštena normala, i od rastojanja te normale od temena tupog ugla.
13.
U svakom oštrouglom trouglu kvadrat na strani spram oštrog ugla manji je od zbira kvadrata nastranama koje obrazuju oštar ugao za dvostruki pravougaonik obuhvaćen jednom stranom oštrog ugla,naime onom na koju je spuštena normala, i rastojanjem te normale od temena oštrog ugla.
14.
Konstuisati kvadrat jednak datoj pravolinijskoj slici.
JAsminka
10
KNJIGA III
Definicije
1. Jednaki su oni krugovi kod kojih su jednaki prečnici ili poluprečnici.
2. Tvrdi se da prava dodiruje krug, ako susreće krug i produžena, ne seče krug.
3. Tvrdi se da krugovi dodiruju jedan drugog, ako se susreću no se ne seku.
4. Tvrdi se da su tetive kruga na istom rastojanju od centra, ako su normale spuštene iz centra na tetivejednake.
5. Tvrdi se da je više udaljena ona (tetiva), na koju je spuštena normala veća.
6. Otsečak (segment) kruga je slika ograničena tetivom i lukom.
7. Ugao otsečka je onaj koji je obuhvaćen tetivom i lukom.
8. Ugao upisan u otsečak je ugao obrazovan od pravih povučenih iz neke tačke uzete na luku otsečkaka krajevima tetive, koja je baza otsečka.
9. Ako prave, koje obrazuju ugao, zahvataju neki luk, za ugao se tvrdi da se oslanja na taj luk.
10. Isečak kruga je slika ograničena poluprečnicima kruga, koji pri centru obrazuju ugao, i njimazahvaćenim lukom.
11. Slični su oni otsečci krugova, koji imaju jednake uglove ili su im upisani uglovi jednaki.
1.
Naći centar datog kruga.
Posledica
Odavde je jasno, da ako tetiva polovi neku drugu tetivu i seče je pod pravim uglom, na onoj koja sečeleži centar kruga. - A to je trebalo izvesti.
2.
Ako su na periferiji kruga uzete dve proizvoljne tečke, duž koja spaja te tačke pada u krug.
3.
Ako prava u krugu, koja prolazi kroz centar (prečnik), polovi neku drugu pravu, koja ne prolazi krozcentar (tetivu), onda ona seče tu drugu pod pravim uglovima; i ako seče pod pravim uglovima, ona jepolovi.
JAsminka
11
4.
Ako u krugu dve prave seku jedna drugu, no ne prolaze kroz centar, one ne polove jedna drugu.
5.
Ako se dva kruga seku, oni nemaju isti centar.
6.
Ako se dva kruga dodiruju, oni nemaju isti centar.
7.
Ako na prečniku kruga uzmemo neku tačku, koja nije centar kruga, i kroz tu tačku povučemo ka kruguneke prave linije, biće najveća ona na kojoj je centar, najmanja je njen ostatak; od drugih je uvek ona,koja je bliža pravoj što prolazi kroz centar, veća od one, koja je udaljenija; i samo dve jednake pravese mogu povući iz tačke ka krugu i to po jedna sa svake strane od najmanje.
8.
Ako je iz neke tačke, uzete van kruga, povučeno ka krugu nekoliko pravih, od kojih jedna kroz centar,a ostale ma kako, biće od pravih koje su povUčene prema udubljenoj periferiji najveća ona kojaprolazi kroz centar, a od ostalih biće uvek ona koja je bliža pravoj što prolazi kroz centar veće odudaljenijih; a od pravih, koje su povučene prema ispupčenoj periferiji, najmanja je između tačke iprečnika, od ostalih je uvek ona koja je bliža najmanjoj pravoj manje od udaljenijih; i samo se dvejednake prave mogu povući iz tačke ka krugu i to po jedna sa svake strane od najmanje tačke.
9.
Ako je u krugu uzeta tačka i iz te tačke povučeno ka krugu više od dve jednake prave, uzeta tačka jecentar kruga.
10.
Krug ne seče krug u više od dve tačke.
11.
Ako se dva kruga dodiruju iznutra i uzeti su njihovi centri, prava, koja prolazi kroz te centre,produžena, prolazi kroz tačku dodira krugova.
12.
Ako se dva kruga dodiruju spolja, prava, koja spaja njihove centre, prolazi i kroz tačku dodira.
13.
Krug ne dodiruje drugi krug u više tačaka sem u jednoj bilo da se dodiruju iznutra bilo spolja.
JAsminka
12
14.
U krugu su jednake tetive podjednako udaljene od centra i tetive, podjednako udaljene od centra,jednake su.
15.
Prečnik je najveća tetiva u krugu; od ostalih tetiva je ona, koja je bliža centru, uvek veća odudaljenijih.
16.
Normala na prečnik kruga na njegovom kraju leži van kruga; u oblasti između te normale i kruga nenalazi se nikakva druga prava i ugao polukruga je veći od svakog pravolinijskog oštrog ugla, a njegovostatak manji od takvog ugla.
Posledica
Odavde je jasno da prava povučena normalno na prečnik u kraju tog prečnika dodiruje krug (i da pravadodiruje krug samo u jednoj tački i da se dokazuje da se prava koja ima sa krugom dve zajedničketačke nalazi u krugu). A to je trebalo dokazati.
17.
Iz date tačke povući dodirnu pravu na dati krug.
18.
Ako prava dodiruje krug i iz centra je povučena prava do tačke dodira, onda ta prava stoji upravno natangenti.
19.
Ako prava dodiruje krug i kroz tačku dodira je povučena prava normalna na tangentu, onda se napovučenoj pravoj nalazi centar kruga.
20.
U krugu je ugao sa temenom u centru (centralni ugao) jednak dvostrukom uglu sa temenom naperiferiji (periferijskom uglu), ako se ti uglovi oslanjaju na isti luk.
21.
U krugu su uglovi, upisani u isti otsečak, međusobno jednaki.
22.
U četvorouglovima upisanim u neki krug zbir naspramnih uglova je jednak dvama pravim uglovima.
JAsminka
13
23.
Nad istom duži sa iste strane nemoguće je konstruisati dva kružna otsečka slična i nejednaka.
24.
Slični kružni otsečci (segmenti) nad jednakim dužima međusobno su jednaki.
25.
Dati kružni otsečak dopuniti krugom, čiji je to otsečak.
26.
U jednakim krugovima međusobno su jednaki luci, ako su nad njima bilo centralni bilo periferijskiuglovi jednaki.
27.
U jednakim krugovima međusobno su jednaki uglovi, ako su oni bilo centralni bilo periferijski nadjednakim lucima.
28.
U jednakim krugovima jednake tetive otsecaju jednake lukove, veći jednak je većem, manji-manjem.
29.
U jednakim krugovima jednake lukove stežu jednake tetive.
30.
Prepolovimo dati luk.
31.
U krugu je ugao u polukrugu prav, ugao u kružnom otsečku većem od polukruga manji od pravog, a uotsečku manjem od polukruga veći od pravog; i ugao otsečka većeg od polukruga je veći od pravog, augao otsečka manjeg od polukruga manji od pravog.
Posledica
Otuda je jasno da ako je u trouglu jedan ugao jednak zbiru dvaju ostalih, taj ugao je prav, jer je injegov uporedni ugao isto tako jednak tom zbiru. A kad su uporedni uglovi jednaki, oni su pravi.
32.
Ako prava dodiruje krug i kroz tačku dodira je povučena prava koja preseca krug, onda su ugloviizmeđu te prave i tangete jednaki uglovima u naizmeničnim kružnim otsečcima.
JAsminka
14
33.
Na datoj duži konstruisati kružni otsečak u kome je upisani ugao jednak datom pravolinijskom uglu.
34.
Od datog kruga otseći segment sa upisanim uglom jednakim datom pravolinijskom uglu.
35.
Ako se u krugu dve tetive međusobno seku, biće pravougaonik obuhvaćen otsečcima jedne tetivejednak pravougaoniku obuhvaćenom otsečcima druge.
36.
Ako je van kruga uzeta neka tačka i iz te tačke su povučene ka krugu dve prave, od kojih jedna sečekrug, a druga ga dodiruje, onda je pravougaonik od cele sečice i njenog otsečka između uzete tačke iispupčenog luka jednak kvadratu na tangenti.
37.
Ako je van kruga uzeta neka tačka i iz te tačke su povučene ka krugu dve prave, od kojih jedna sečekrug a druga samo stiže do njega, i ako je pri tome pravougaonik od cele sečice i njenog otsečkaizmeđu uzete tačke i ispupčenog luka jednak kvadratu na onoj pravoj što stiže do kruga, ondaposlednja prava dodiruje krug.
JAsminka
15
KNJIGA IV
Definicije
1. Kaže se da se pravolinijska slika upisuje u pravolinijsku sliku, ako svaki od uglova one koja seupisuje dodiruje stranu one u koju se upisuje.
2. Isto tako kaže se da se slika opisuje oko slike, ako svaka strana one koja se upisuje dodiruje svakiugao one oko koje se upisuje.
3. Kaže se da se pravolinijska slika upisuje u krug, ako svaki ugao one koja se upisuje dodiruje periferijukruga.
4. Kaže se da se pravolinijska slika opisuje oko kruga, ako svaka strana one koja se opisuje dodirujeperiferiju kruga.
5. Isto tako kaže se da se krug upisuje u sliku, ako periferija kruga dodiruje svaku stranu one u koju seon upisuje.
6. Kaže se da se krug opisuje oko slike, ako periferija kruga dodiruje svaki ugao one oko koje se opisuje.
7. Kaže se da je prava upisana u krug, ako joj se krajevi nalaze na periferiji kruga.
1.
U dati krug upisati pravu jednaku datoj pravoj koja nije veća od prečnika kruga.
2.
U dati krug upisati trougao sa uglovima jednakim uglovima datog trougla.
3.
Oko datog kruga opisati trougao sa uglovima jednakim uglovima datog trougla.
4.
U dati trougao upisati krug.5.
Oko datog trougla opisati krug.
Posledica
I jasno je, da će, kad je centar kruga u trouglu, ugao BA, kao ugao u otsečku većem od polukruga,biti manji od pravog; kad je centar kruga na pravoj B, ugao BA, kao ugao u polukrugu, biti prav; akad je centar kruga van trougla, ugao BA, kao ugao u otsečku manjem od polukruga biti veći odpravog. (Na ovaj način, ako se desi da je dati ugao manji od pravog, prave se Z, EZ seku u trouglu,ako je on prav, seku se na pravoj B, ako je veći od pravog, seku se van trougla, s druge strane praveB. A to je trebalo izvesti).
JAsminka
16
6.
U dati krug upisati kvadrat.
7.
Oko datog kruga opisati kvadrat.
8.
U dati kvadrat upisati krug.
9.
Oko datog kvadrata opisati krug.
10.
Nacrtati ravnokraki trougao, čiji je svaki ugao na osnovici dvaput veći od trećeg ugla.
11.
U dati krug upisati petougao sa jednakim stranama i jednakim uglovima.
12.
Oko datog kruga opisati petougao sa jednakim stranama i jednakim uglovima.
13.
U dati petougao, sa jednakim stranama i jednakim uglovima, upisati krug.
14.
Oko datog petougla, sa jednakim stranama i jednakim uglovima opisati krug.
15.
U dati krug upisati šestougao sa jednakim stranama i jednakim uglovima.
Posledica
Iz ovoga je jasno da je strana šestougla jednaka pravoj iz centra (poluprečniku).
16.
U dati krug upisati petnaestougao sa jednakim stranama i jednakim uglovima.
JAsminka
17
KNJIGA V
Definicije
1. Jedna veličina je deo druge veličine, manja od veće, ako manja meri veću.
2. Veća veličina je multiplum od manje, ako se meri manjom.
3. Razmera je uzajamni količinski odnos koji imaju dve veličine iste prirode.
4. Kaže se da su dve veličine u razmeri jedna prema drugoj ako neki multiplum ma koje od njih možebiti veći od druge.
5. Kaže se da su dve veličine u istoj razmeri, prva prema drugoj kao treća prema četvrtoj, ako su bilokoji jednostruki multiplumi prve i treće u isto vreme ili veći, ili jednaki, ili manji od bilo kojihmultipluma druge četvrte, svaki prema svakom uzeti u odgovarajućem poretku.
6. Veličine se zovu proporcionalne, ako su u istoj razmeri.
7. Ali, ako je od jednostrukih multipluma, multiplum prve veličine veći od multipluma druge, amultiplum treće nije veći od multipluma četvrte, kaže se da je razmera prve veličine prema drugojveća od razmere treće prema četvrtoj.
Proporcija je jednakost dveju razmera.
8. Proporcija se može obrazovati od najmanje tri člana.
9. Ako su tri veličine (neprekidno) proporcionalne, kaže se da je razmera prve veličine prematrećoj dvaput viša od razmere prve veličine prema drugoj.
10. Ako su četiri veličine (neprekidno) proporcionalne, kaže se da je razmera prve veličine premačetvrtoj triput viša od razmere prve veličine prema drugoj; i tako uvek, na sličan način, dok postojiproporcionalnost.
11. Kaže se da da su prethodni članovi homologni sa prethodnima, a naredni - sa narednima.
12. Permutovana razmera je ona u kojoj se uzme razmera prethodnog (člana) prema prethodnom inarednog prema narednom.
13. Obrnuta razmera je ona u kojoj se uzme razmera narednog kao prethodnog prema prethodnom kaonarednom.
14. Sastavljena razmera je ona u kojoj se uzme razmera zbira prethodnog i narednog prema narednom.
15. Rastavljena razmera je ona u kojoj se uzme razmera razlike prethodnog prema razlici prethodnog inarednog.
16. Prevrnuta razmera je ona u kojoj se uzme razmera prethodnog prema razlici prethodnog inarednog.
JAsminka
18
17. Ako postoji niz od više veličina i drugi niz od istog tolikog broja veličina, pa su one, uzete uodgovarajućim parovima, u isti razmerima, razmera jednako udaljenih je razmera prve veličine premaposlednjoj iz prvog niza, kao i razmera prve veličine prema poslednjoj iz drugog niza. Ili drukčije:razmera krajnjih bez unutarnjih.
18.Proporcija je redovna (ordinata) ako su od tri date veličine i drugih veličina, u istom broju, od prvihuzme razmera prethodne veličine prema narednoj, i od drugih razmera prethodne veličine premanarednoj, pa od prvih razmera naredne veličine prema preostaloj; i od drugih razmera naredne veličineprema preostaloj.
19. Proporcija je poremećena (perturbata) ako se od tri date veličine i drugih veličina, u istom broju,od prvih uzme razmera prethodne (prve) veličine prema narednoj (drugoj), a od drugih razmera makoje (druge), kao prethodne, prema narednoj (trećoj), pa od prvih razmera naredne (druge) veličineprema preostaloj (trećoj), a od drugih razmera preostale (prve) veličine prema prethodnoj (drugoj).
1.
Ako su date neke veličine, od kojih je svaka jednakostruki multiplum odgovarajuće veličine nizadrugih veličina u istom broju, biće i zbir svih prvih veličina isto toliki multiplum zbira svih drugihveličina koliki je i svaka od prvih veličina multiplum odgovarajuće druge veličine.
2.
Ako je prva veličina isto toliki multiplum druge veličine koliki je treća veličina multiplum četvrte, apeta veličina isto toliki multiplum druge koliki je multiplum šesta od četvrte, onda je zbir prve i peteisto toliki multiplum druge koliki je i zbir treće i šeste multiplum četvrte.
3.
Ako je prva veličina isto onoliki multiplum druge koliki je treća od četvrte, i obrazuju se jednakostrukimiltiplumi prve i treće veličine, onda nove veličine moraju biti odgovarajući multiplumi - i to: prva oddruge veličine i druga od četvrte.
4.
Ako je prva (veličina) prema drugoj u istoj razmeri kao što je treća prema četvrtoj, onda su proizvoljnijednakostruki multiplumi prve i treće veličine i jednakostruki multiplumi druge i četvrte veličine uistoj razmeri, ako su uzeti u odgovarajućem poretku.
5.
Ako je neka veličina isto onoliki multiplum od druge veličine koliki je multiplum umanjilac (prveveličine) od umanjioca (druge veličine), biće i ostatak (od prve veličine) isto toliki multiplum ostatka(od druge veličine), koliki je multiplum prva cela veličina od druge cele.
6.
Ako su dve veličine jednakostruki multiplumi od drugih veličina i umanjioci prvih veličina neki drugijednakostruki multiplumi od tih drugih veličina, biće i ostaci ili jednaki ovim drugim veličinama ilinjihovi jednakostruki multiplumi.
JAsminka
19
7.
Jednake veličine su pema istoj veličini u istoj razmeri i ista veličina je prema jednakim veličinama uistoj razmeri.
Posledica
Odavde je jasno, da ako su veličine proporcionalne, one su proporcionalne i u obrnutim razmerama. Ato je trebalo dokazati.
8.
Od nejednakih veličina veća je u većoj razmeri prema jednoj istoj veličini nego manja, a ista veličina uvećoj razmeri prema manjoj nego prema većoj.
9.
Veličine, koje su prema istoj veličini u istoj razmeri, jednake su među sobom, i veličine prema kojimje ista veličina u istoj razmeri jednake su.
10.
Od dve veličine, koje su u razmerama prema istoj veličini, ona je veća čija je razmera veća, i onaveličina prema kojoj je ista veličina u većoj razmeri manja je.
11.
Dve razmere jednake jednoj istoj razmeri jednake su među sobom.
12.
Ako je nekoliko proporcionalnih veličina, onda je jedna od prethodnih prema jednoj (odgovarajućoj)od narednih, kao zbir svih prethodnih prema zbiru svih narednih.
13.
Ako je prva (veličina) prema drugoj u istoj razmeri, kao treća prema četvrtoj, a razmera treće premačetvrtoj veća od razmere pete prema šestoj, biće i razmera prve prema drugoj veća od razmere peteprema šestoj.
14.
Ako je razmera prve (veličine) prema drugoj jednaka razmeri treće prema četvrtoj, a prva (veličina) jeveća odtreće, biće i druga veća od četvrte, a ako je jednaka, biće jednaka, ako je manja - manja.
15.
Delovi stoje prema svojim jednakostrukim multiplumima u istoj razmeri, ako se uzmu odgovarajućimredom.
JAsminka
20
16.
Ako su četiri veličine proporcionalne, one će biti i permutovane proporcionalne.
17.
Ako su veličine, uzete zajedno, proporcionalne, one su proporcionalne i odvojeno uzete.
18.
Ako su veličine, uzete odvojeno, proporcionalne, one su proporcionalne i zajedno uzete.
19.
Ako je celo prema celom, kao umanjilac prema umanjiocu, onda je i ostatak prema ostatku, kao celoprema celom.
Posledica
Iz ovog je jasno, da ako su proporcionalne veličine uzete zajedno, onda važi i prevrnuta proporcija. Ato je trebalo dokazati.
20.
Ako su tri veličine i druge, u istom broju, uzete po dve, u istoj razmeri i od jednako udaljenih prva jeveća od treće, biće i četvrta veća od šeste, a ako je jednaka, biće jednaka, a ako manja - manja.
21.
Ako su tri veličine i druge, u istom broju, u istoj razmeri, ali u poremećenoj proporciji i od jednakoudaljenih prva je veća od treće, biće i četvrta veća od šeste, a ako je jednaka, biće jednaka, a akomanja - manja.
22.
Ako su date neke veličine u proizvoljnom broju i druge u istom broju, koje su, uzete po dve, u istojrazmeri, onda su i jednako udaljene u istoj razmeri.
23.
Ako su date tri veličine i druge u istom broju, koje su, uzete po dve, u istoj razmeri, a za njih važiporemećena proporcija, biće i jednako udaljene u istoj razmeri.
24.
Ako je prva (veličina) prema drugoj u istoj razmeri kao treća prema četvrtoj, a peta je prema drugoj uistoj razmeri kao šesta prema četvrtoj, biće i zbir prve i pete prema drugoj u istoj razmeri kao zbirtreće i šeste prema četvrtoj.
25.
Ako su proporcionalne četiri veličine, onda je zbir najveće i najmanje veći od zbira dve ostale.
JAsminka
21
KNIJIGA VI
Definicije
1. Pravolinijske slike su slične, ako su im uglovi pojedinačno jednaki i kraci jednakih uglovaproporcionalni.
2. (Slike su recipročne, ako kod svake dve slike ima kako prethodnih tako i narednih razmera.)
3. Kaže se da je prava (duž) podeljena u krajnjoj i srednjoj razmeri (neprekidno) ako cela prava (duž)stoji prema većem delu kao veći deo prema manjem.
4. Visina svake slike je normala spuštena iz vrha slike na osnovicu.
5. (Kaže se da je razmera sastavljena od razmera ako posle međusobnog množenja vrednosti tihrazmera dobivamo nešto.)
1.
Trougli i paralelogrami iste visine se odnose jedan prema drugom kao osnovice.
2.
Ako je u trouglu povučena neka prava paralelna jednoj od strana, ta prava seče ostale straneproporcionalno; i ako su strane trougla presečene proporcionalno, prava što spaja presečne tačkeparalelna je preostaloj stranici trougla.
3.
Ako raspolovimo ugao trougla i prava što polovi ugao preseče i osnovicu onda su otsečci osnovice uistoj razmeri kao i dve ostale trouglove strane. I ako su otsečci osnovice u istoj razmeri kao i dveostale trouglove strane, onda prava povučena iz temena ka deonoj tački polovi ugao trougla.
4.
Kod trouglova sa jednakim uglovima su strane koje obrazuju jednake uglove proporcionalne, iodgovaraju jedna drugoj one strane što leže naspram jednakih uglova.
5.
Ako dva trougla imaju proporcionalne strane, oni imaju i jednake uglove i jednaki uglovi leže naspramodgovarajućih strana.
6.
Ako dva trougla imaju po jedan ugao jednak i strane koje obrazuju jednake uglove proporcionalnetrougli imaju jednake uglove i jednaki su baš oni uglovi koji leže naspram odgovarajućih strana.
JAsminka
22
7.
Ako dva trougla imaju po jednak ugao jednak i strane koje obrazuju druge uglove proporcionalne, asvaki od preostalih uglova je ili manji ili ne manji od pravog, trougli imaju jednake uglove i to baš oneuglove, čiji su kraci proporcionalni.
8.
Ako je u pravouglom trouglu iz pravog ugla povučena normala na osnovicu, trougli uz normalu sličnisu celom trouglu i među sobom.
Posledica
Iz ovog je jasno, da ako je u pravouglom trouglu iz pravog ugla povučena normala na osnovicu, ondaje povučena (normala) srednja proporcionala otsečaka osnovice. A to je i trebalo dokazati. [Sem togaje strana, što leži uz jedan otsečak osnovice, srednja proporcionala osnovice i tog otsečka.]
9.
Od date duži otseći traženi deo.
10.
Datu nepodeljenu duž podeliti slično datoj podeljenoj duži.
11.
Za dve date duži naći treću proporcionalu.
12.
Za tri date duži naći četvrtu proporcionalu.
13.
Za dve date duži naći srednju proporcionalu.
14.
Kod jednakih paralelograma sa jednakim uglovima strane koje obrazuju jednake uglove su obrnutoproporcionalne; a i paralelogrami sa jednakim uglovima i obrnuto proporcionalno stranama kojiobrazuju jednake uglove jednaki su.
15.
Kod jednakih trouglova sa po jednim jednakim uglom strane koje obrazuju jednake uglove su obrnutoproporcionalne; i trougli sa po jednim jednakim uglom sa obrnuto proporcionalnim stranama kojeobrazuju te uglove jednaki su.
JAsminka
23
16.
Ako su četiri duži proporcionalne, pravougaonik obuhvaćen krajnjim (dužima) jednak jepravougaoniku obuhvaćenom srednjima (dužima); i ako je pravougaonik, obuhvaćen krajnjim, jednakpravougaoniku obuhvaćenom srednjim, te četiri duži su proporcionalne.
17.
Ako su proporcionalne tri duži, pravougaonik obuhvaćen krajnjim jednak je kvadratu nad srednjomduži; i ako je pravougaonik obuhvaćen krajnjim jednak kvadratu nad srednjom duži, tri duži suproporcionalne.
18.
Na datoj duži nacrtati pravolinijsku sliku sličnu datoj pravolinijskoj slici i u sličnom položaju.
19.
Slični trougli su jedan prema drugom u dvaput višoj razmeri odgovarajućih strana.
Posledica
Odavde je jasno, da ako su tri duži proporcionalne, onda je prva prema trećoj kao i slika nad prvomprema sličnoj i u sličnom položaju slici nad drugom. [Pošto je dokazano da je B prema BH kaotrougao AB prema ABH, tj.EZ]. A to je trebalo dokazati.
20.
Slični mnogouglovi se mogu rastaviti na slične trougle u istom broju i u istim odnosima premanerastavljenim (celim mnogouglima), i mnogougao je prema mnogouglu u dvaput višoj razmeriodgovarajućih strana.
Posledica
Na isti način se može pokazati da su i slični četvorougli u razmeri dvaput višoj od razmereodgovarajućih strana. A to je dokazano i za trougle. Prema tome su uopšte slične pravolinijske slike urazmeri dvaput višoj od razmere odgovarajućih strana. A to je trebalo dokazati.
Posledica
Ako za AB i ZH uzmemo treću proporcionalu , onda je razmera BA prema dvaput viša od razmereAB prema ZH. A i mnogougao prema mnogouglu ili četvorougao prema četvorouglu su u razmeridvaput višoj od razmere odgovarajućih strana, tj. razmere AB prema ZH. A ovo je bilo dokazano i zatrouglove. Prema tome je jasno, da, uopšte, ako su tri veličine proporcionalne, onda je prva prematrećoj kao slična i u sličnom odnosu slika konstruisana nad prvom prema odgovarajućoj slici naddrugom.
21.
Pravolinijske slike slične istoj slici slične su i među sobom.
JAsminka
24
22.
Ako su četiri duži proporcionalne, onda su i na njima konstruisane slične i u sličnom položajupravolinijske slike proporcionalne; i ako su na njima konstruisane slične i u sličnom položajupravolinijske slike proporcionalne, proporcionalne su i duži.
Lema
Ako su pravolinijske slike jednake i slične, onda su i njihove strane jedne drugim jednake. Todokažimo ovako.
23.
Paralelogrami sa jednakim uglovima su jedan prema drugom u razmeri složenoj od razmera strana.
24.
U svakom paralelogramu su paralelogrami konstruisani na dijagonali slični i celom (paralelogramu) imeđu sobom.
25.
Konstruisati pravolinijsku sliku koja je slična datoj pravolinijskoj slici i jednaka drugoj datojpravolinijskoj slici.
26.
Ako od paralelograma otsečemo paralelogram sličan i u sličnom položaju sa celim koji sa ovim ima izajednički ugao, taj paralelogram je na istoj dijagonali sa celim.
27.
Od svih paralelograma tako konstruisanih na datoj duži da im nedostaju paralelogrami slični i usličnom položaju sa paralelogramom konstruisanim na drugoj polovini duži onaj je najveći koji jekonstruisan na prvoj polovini duži i sličan paralelogramu koji mu nedostaje.
28.
Na datoj duži konstruisati takav paralelogram, jednak datoj pravolinijskoj slici, da paralelogram kojimu nedostaje bude sličan datom paralelogramu; pri tome je neophodno da data pravolinijska slika(kojoj treba konstruisati jednaki paralelogram) ne bude veća od paralelograma konstruisanog napolovini i sličnog paralelogramu koji mu nedostaje [od paralelograma na polovini, a da slični munedostaje].
29.
Na datoj duži konstruisati paralelogram sa suviškom sličnim datom paralelogramu, a jednak datojpravolinijskoj slici.
JAsminka
25
30.
Datu ograničenu pravu (duž) podeliti u krajnjoj i srednjoj razmeri.
31.
Kod pravouglih trouglova slika konstruisana na strani naspram pravog ugla jednaka je zbiru sličnih islično konstruisanih slika nad stranama koje obrazuju prav ugao.
32.
Ako sastavimo temena dvaju trouglova kod kojih su dve strane jednog proporcionalne dvema stranamadrugog i pri tome te strane na odgovarajući način paralelne, onda su ostale strane trouglova na istojpravoj.
33.
Kod jednakih krugova uglovi se nalaze u razmeri zahvaćenih lukova bilo u slučaju centralnih bilo uslučaju periferijskih uglova.
JAsminka
26
KNJIGA VII
Definicije
1. Jedinica je ono pomoću čega se svaki predmet koji postoji naziva jedan (jedno).
2. Broj je množina sastavljena od jedinica.
3. Jedan broj čini deo drugog broja, manji od većeg, ako meri veći.
4. A delove ako ne meri.
5. Veći broj je multiplum od manjeg, ako se meri manjim.
6. Paran je onaj broj koji je deljiv na dva jednaka dela.
7. Neparan je onaj broj koji nije deljiv na dva jednaka dela ili koji se razlikuje za jedinicu od paranog.
8. Parno-paran broj je onaj koji se meri parnim brojem paran broj puta.
9. Neparno-paran broj je onaj koji se meri parnim brojem neparan broj puta.
10. Parno-neparan broj je onaj koji se meri neparnim brojem paran broj puta.
11. Neparno-neparan broj je onaj koji se meri neparnim brojem neparan broj puta.
12. Prost broj je onaj koji se meri samo jedinicom.
13. Međusobno prosti brojevi su oni koji imaju kao zajedničku meru samo jedinicu.
14. Složen broj je onaj koji se meri nekim brojem.
15. Međusobno složeni brojevi su oni koji se mere nekim brojem kao zajedničkom merom.
16. Kaže se da se jedan broj množi drugim brojem kad se prvi broj uzima kao sabirak onoliko putakoliko je jedinica u drugom broju; i tada se dobija neki broj.
17. Ako se kao rezultat množenja dva broj dobija neki broj, ovaj se zove površinski, a dva broja, kojisu množeni, zovu se njihove strane.
18. Ako se kao rezultat množenja tri broja dobije neki broj, ovaj se zove zapreminski, a tri broja, kojisu množeni, zovu se njegove ivice.
19. Kvadratni broj je isti broj puta uzet isti broj ili površinski broj jednakih strana.
20. Kubni broj pak je isti broj puta uzet isti broj i još uzet isto toliko puta ili zapreminski broj jednakihivica.
21. Brojevi su proporcionalni ako je prvi broj istostruki multiplum, ili isti deo, ili isti delovi oddrugog, kao što je treći od četvrtog.
JAsminka
27
22. Slični površinski ili zapreminski brojevi su oni čije su strane odnosno ivice proprocionalne.
23. Savršen (perfektan) je onaj broj koji je jednak zbiru svih svojih delova (koji ga mere).
1.
Ako su data dva nejednaka broja pa pri uzastopnom oduzimanju manjeg od većeg ostatak ne biva merapredhodnog, koji smo oduzimali, dok taj ostatak ne postane jednak jedinici, ta su dva broja međusobnoprosti.
2.
Za dva broja koji nisu međusobno prosti naći njihovu najveću zajedničku meru.
Posledica
Odavde je jasno da ako broj meri dva broja, on meri i njihovu zajedničku najveću meru. A to je trebalodokazati.
3.
Za tri data broja koji nisu međusobno prosti naći njihovu najveću zajedničku meru.
4.
Svaki broj je ili deo ili delovi od svakog drugog broja, manji od većeg.
5.
Ako jedan broj čini deo drugog broja i neki drugi broj čini isti deo nekog drugog broja, onda i zbirprvih brojeva čini isti deo zbira drugih brojeva, kao pojedini broj pojedinog.
6.
Ako jedan broj čini delove drugog broja i neki drugi broj čini iste delove nekog drugog broja, onda izbir prvih brojeva čini iste delove zbira drugih brojeva kao pojedini broj od pojedinog.
7.
Ako je jedan broj isti deo drugog broja kakav je i umanjilac prvog broja deo umanjioca drugog broja,onda je i ostatak prvog broja isti deo ostatka drugog broja.
8.
Ako jedan broj čini iste delove drugog broja kao što umanjilac prvog broja čini delove umanjiocadrugog broja, onda i ostatak prvog broja činin iste delove ostatka drugog broja.
9.
Ako je jedan broj deo drugog broja, a treći broj isti deo četvrog broja, onda je i, posle permutacije, prvibroj isti deo ili isti delovi trećeg broja kao i drugi broj četrtog.
JAsminka
28
10.
Ako jedan broj čini delove drugog broja, a treći broj čini iste delove četvrtog broja, onda će poslepermutacije, delovi ili deo prvog od trećeg broj biti jednki delovima ili delu drugog od četvrtog broja.
11.
Ako je ceo broj prema drugom celom broju kao umanjilac prvog broja prema umanjiocu drugog broja,onda je i ostatak prvog broja prema ostatku drugog broja kao ceo broj prema celom broju.
12.
Ako imamo proizvoljno broj proporcionalnih brojeva, koji se svi odnose kao jedan predhodni pramajednom narednom, biće u istoj razmeri i zbir svih predhodnih prema zbiru svih narednih.
13.
Ako su četiri broja proporcionalni, oni će biti proporcinalni i permutovani.
14.
Ako se brojevi, uzeti po par, od jedne proizvoljne množine brojeva i od druge isto tolike množinebrojeva, nalaze u istoj razmeri, biće i podjednako udaljeni brojevi u istoj razmeri.
15.
Ako jedinica meri drugi neki broj, a treći broj meri isti broj puta četvrti broj, onda, posle permutacije,jedinica meri isti broj puta treći broj kao što driugi broj meri četvrti broj.
16.
Ako se dva broja množe jedan drugim, biće tako dobijeni brojevi jednaki jedan drugom.
17.
Ako jedan broj množeći dva broja proizvodi dva broja, onda se dobijena dva broja nalaze u istojrazmeri kao i brojevi koji se množe.
18.
Ako dva broja množeći jedan broj proizvode dva broja, onda dobijeni brojevi stoje u istoj razmeri kaoi brojevi množioci.
19.
Ako su četiri broja proporcionalna onda je broj-proizvod prvog i četvrtog broja jedanak broju-proizvodu drugog i trećeg broja. I ako je proizvodog prvog i četrvtog broja jednak broju-proizvodudrugog i trećeg broja, ta četiri broja su proporcionalna.
JAsminka
29
20.
Najmanji među brojevima koji su istoj razmeri mere ostale isti broj puta i to veći meri veće i manjimanje.
21.
Međusobno prosti brojevi su najmanji od onih koji su sa njima u istoj razmeri.
22.
Brojevi, koji su najmanji među onima koji su u istoj razmeri sa njima, uzajamno su prosti.
23.
Ako su dva broja uzajamno prosti, onda je broj koji meri jedan od njih sa drugim uzajamno prost.
24.
Ako su dva broja prosti u odnosu na neki broj, onda je i njihov proizvod prost u odnosu na taj broj.
25.
Ako su dva broja uzajmno prosta, onda je proizvod jednog samim sobom uzajamno prost sa drugimbrojem.
26.
Ako su dva broja prosti u odnosu na dva druga broja, oba prema svakom od ovih, onda su i njihoviproizvodi uzajamno prosti.
27.
Ako su dva broja uzajamno prosti i svaki pomnoži sam sebe, onda su i njihovi proizvodi uzajamnoprosti; i ako se prvobitni brojevi pomnože dobijenim proizvodima, onda su i novi proizvodi uzajamnoprosti (a to isto se dobija i dalje).
28.
Ako su dva broja uzajamno prosta, onda je i njihov zbir uzajamno prost prema svakom od njih; i akosu zbir i jedan od brojeva uzajamno prosti, onda su i prvobitni brojevi uzajamno prosti.
29.
Svaki prost broj i svaki drugi broj, koji taj prost broj ne meri, uzajamno su prosti.
30.
Ako dva broja posle množenja daju proizvod koji se meri nekim prostim brojem, onda se tim prostimbrojem i jedan od prvobitnih brojeva.
JAsminka
30
31.
Svaki složeni broj se meri nekim prostim brojem.
32.
Svaki je broj ili prost ili se meri nekim prostim brojem.
33.
Za datu proizvoljnu množinu brojeva naći najmanje brojeve koji su u istim razmerama kao i dati.
34.
Za dva data broja naći najmanji broj koji oni mere.
35.
Ako dva broja mere neki broj, onda i najmanji broj koji oni mere meri taj broj.
36.
Za tri data broja naći najmanji broj koji oni mere.
37.
Ako je neki broj meren drugim, onda mereni broj ima deo istog naziva kao i broj koji meri.
38.
Ako neki broj ima ma kakav deo, onda je taj broj meren brojem istog naziva sa tim delom.
39.
Naći najmanji broj koji ima date delove.
JAsminka
31
KNJIGA VIII
1.
Ako su neki brojevi, u proizvoljnom broju, neprekidno proporcionalni i krajnji od njih uzajamnoprosti, oni su najmanji od brojeva koji su, u istoj razmeri sa njima.
2.
Naći onoliko koliko se traži najmanjih neprekidno proporcionalnih brojeva koji su u datoj razmeri.
3.
Ako su neki brojevi, u proizvoljnom broju, neprekidno proporcionalni i oni su najmanji od brojevakoji su u istoj razmeri sa njima, onda su krajnji od njih uzajamno prosti.
4.
Za proizvoljan broj razmera datih u najmanjim brojevima naći najmanje neprekidno proporcionalnebrojeve u datim razmerama.
5.
Površinski brojevi su jedan prema drugom u razmeri sastavljeni od razmera strana.
6.
Ako u nizu proizvoljnog broja neprekidno proporcionalnih brojeva prvi ne meri drugi, onda nijedan odostalih neće meriti nijedan drugi.
7.
Ako u nizu neprekidno proporcionalnih brojeva prvi meri krajnji, onda on meri i drugi.
8.
Ako su između dva broja umetnuti brojevi, koji su u neprekidnoj proporciji sa njima, onda će seizmeđu dva druga broja, koji su u istoj razmeri sa prvima moći umetnuti isti toliki broj neprekidnoproporcionalnih brojeva.
9.
Ako su između dva uzajamno prosta broja umetnuti sa njima neprekidno proporcionalni brojevi, moćiće se isti toliki broj neprekidno proporcionalnih brojeva umetnjuti i između svakog od tih brojeva ijedinice.
10.
Ako su između svakog od dva broja i jedinice umetnuti neprekidno proporcionalni brojevi, onda,koliko bude neprekidno proporcionalnih brojeva umetnuto između svakog od njih i jedinice, isto tolikoće se moći umetnuti neprekidno proporcionalnih brojeva i između samih tih brojeva.
JAsminka
32
11.
Za dva kvadratna broja postoji jedan srednje proporcionalan broj i razmera kvadratnog broja premakvadratnom je dva puta više od razmere strane prema strani.
12.
Za dva kubna broja postoje dva srednje proporcionalna broja i razmera kuba prema kubu je tri putaviša od razmere strane prema strani.
13.
Ako postoji proizvoljan broj neprekidno proporcionalnih brojeva i svaki takav broj pomnožen samimsobom proizvodi nešto (neki broj), onda su i dobijeni brojevi (kvadrati) neprekidno proporcionalni.Iako polazni brojevi, pomnoženi dobijenim, proizvode nešto (neke brojeve) onda su i tako dobijenibrojevi (kubovi) proporcionalni (to se isto produžuje i dalje).
14.
Ako kvadrat meri kvadrat, onda i strana meri stranu; i ako strana meri stranu, onda i kvadrat merikvadrat.
15.
Ako kubni broj meri kubni broj, onda ivica meri ivicu; i ako ivica meri ivicu, onda kub meri kub.
16.
Ako kvadratni broj ne meri kvadratni broj, onda ni strana ne meri stranu; i ako strana ne meri stranu,onda ni kvadrat ne meri kvadrat.
17.
Ako kubni broj ne meri kubni broj, onda ni ivica ne meri ivicu; i ako ivica ne meri ivicu, onda ni kubne meri kub.
18.
Za dva slična površinska broja postoji srednje proporcionalan broj; i razmera površinskog broja premasličnom površinskom broju je dva puta viša od razmere homolognih strana.
19.
Za dva slična zapreminska broja postoje dva srednje proporcionalna broja; i razmera zapreminskogbroja prema sličnom zapreminskom je tri put viša od razmera homologne ivice prema homolognojivici.
20.
Ako za dva broja postoji srednje proporcionalan broj, oni su slični površinski brojevi.
JAsminka
33
21.
Ako za dva broja postoje dva srednja proporcionalna broja, oni su slični zapreminski brojevi.
22.
Ako su tri broja neprekidno proporcionalna i prvi je kvadra, onda je i treći kvadrat.
23.
Ako su četiri broja neprekidno proporcionalna i prvi je kub, onda je i četvrti kub.
24.
Ako su dva broja jedan prema drugom u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom i prvi broj jekvadrat, onda je i drugi kvadrat.
25.
Ako su dva broja jedan prema drugom u razmeri kubnog broja prema kubnom i prvi broj je kub, ondaje i drugi kub.
26.
Slični površinski brojevi su jedan prema drugom u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom.
27.
Slični zapreminski brojevi su jedan prema drugog u razmeri kubnog broja prema kubnom broju.
JAsminka
34
KNJIGA IX
1.
Ako dva slična površinska broja pomnožena jedan drugim proizvode nešto, dobiveni broj je kvadrat.
2.
Ako dva broja pomnožena jedan drugim proizvode kvadrat, oni su slični površinski brojevi.
3.
Ako kubni broj pomnožen sam sobom proizvodi nešto, dobiveni broj je kub.
4.
Ako kubni broj pomnožen kubnim brojem proizvodi nešto, dobijeni broj je kub.
5.
Ako neki broj množi kub i proizvodi kub, biće i taj broj kub.
6.
Ako broj pomnožen sam sobom proizvodi kub, biće i sam taj broj kub.
7.
Ako složen broj množeći neki broj proizvodi nešto, dobiveni broj je zapreminski.
8.
Ako postoji ma koliko neprekidno proporcionalnih brojeva, sa jedinicom na prvom mestu, biće broj natrećem mestu i svaki drugi iza njega kvadrat, na četvrtom mestu i svaki treći iza njega kub, na sedmommestu i svaki šesti iza njega u isti mah i kub i kvadrat.
9.
Ako postoji ma koliko neprekidno proporcionalnih brojeva, sa jedinicom na prvom mestu, i prvi brojiza jedinice je kvadrat, biće i svi ostali kvadrati, a ako je prvi iza jedinice kub, biće i svi ostali kubovi.
10.
Ako postoji ma koliko neprekidno proporcionalnih brojeva, sa jedinicom na prvom mestu, i prvi brojiza jedinice nije kvadrat, onda ni jedan od ostalih brojeva neće biti kvadratsem broja na trećem mestu isvakog drugog iza njega. I ako prvi broj iza jedinice nije kub, onda nijedan od ostalih brojeva neće bitikub, sem broja na četvrtom mestu i svakog trećeg iza njega.
JAsminka
35
11.
Ako postoji ma koliko neprekidno proporcionalnih brojeva, sa jedinicom na prvom mestu, onda manjimeri veći prema jednom od brojeva koji se nalazi među proporcionalnim brojevima.
Posledica
I jasno je da je broj prema kojem manji broj meri veći isto toliko udaljen od većeg na stranu manjegkoliko je manji broj udaljen iza jedinice.
12.
Ako postoji ma koliko neprekidno proporcionalnih brojeva, sa jedinicom na prvom mestu, i poslednjibroj se meri nekim prostim brojevima, onda se tim istim prostim brojevima meri i prvi broj izajedinice.
13.
Ako postoji ma koliko neprekidno proporcionalnih brojeva sa jedinicom na prvom mestu, i broj, prviiza jedinice je prost, onda se najveći broj neće nikakvim drugim brojevima meriti sem onih koji sumeđu proporcionalnim brojevima.
14.
Najmanji od brojeva koji se mere datim prostim brojevima neće se meriti nikakvim drugim prostimbrojem sem datih.
15.
Ako su tri neprekidno proporcionalna broja najmanja od onih koji su sa njima u istoj razmeri, biće zbirma koja dva od njih uzajamno prost sa ostalim.
16.
Ako su dva broja uzajamno prosta, onda prvi broj prema drugom neće biti kao drugi prema nekomtrećem.
17.
Ako postoji ma koliko neprekidno proporcionalnih brojeva i krajnji su uzajamno prosti, onda se nemože prvi odnositi prema drugom kao poslednji prema ma kom drugom broju.
18.
Za dva dat broja ispitati, može li se naći za njih treći proporcionalni broj.
19.
Za tri data broja ispitati kad se može naći za njih četvrti proporcionalni broj.
JAsminka
36
20.
Prostih brojeva je više od svake određene množine prostih brojeva.
21.
Ako se sabere ma koliko parnih brojeva, biće i zbir paran broj.
22.
Ako se sabere ma koliko neparnih brojeva, ali paran broj sabiraka, biće i zbir paran broj.
23.
Ako se sabere ma koliko neparnih brojeva ali neparan broj sabiraka, biće i celo neparan broj.
24.
Ako se od parnog broja oduzme paran broj, biće ostatak paran broj.
25.
Ako se od parnog broj oduzme neparan broj, biće ostatak neparan broj.
26.
Ako se od neparnog broja oduzme neparan, biće ostatak paran broj.
27.
Ako se od neparnog broja oduzme paran broj, biće ostatak neparan broj.
28.
Ako neparan broj pomnožen parnim brojem proizvodi nešto, dobiveni broj je paran.
29.
Ako neparan broj pomnožen neparnim brojem proizvodi nešto, dobiveni broj je neparan.
30.
Ako neparan broj meri paran, on će meriti i njegovu polovinu.
31.
Ako je neparanbroj sa nekim brojem uzajamno prost, biće on uzajamno prost i sa dvostrukim timbrojem.
JAsminka
37
32.
Svaki od brojeva, koji se dobivaju od dvojke neprekidnim udvostručavanjem, je samo parno-paranbroj.
33.
Ako broj ima neparnu polovinu, on je samo parno neparan.
34.
Ako broj ne pripada ni brojevima koji se dobivaju od dvojke neprekidnim udvostručavanjem, nibrojevima koji imaju neparnu polovinu, on je ili parno-paran ili parno-neparan.
35.
Ako postoji ma koliko neprekidno proporcionalnih brojeva pa se od drugog i poslednjeg oduzme istibroj jednak prvom broju, ostatak od drugog odnosi se prema prvom broju kao ostatak od poslednjegprema zbiru svih ispred njega.
36.
Ako se uzme ma koliko proporcionalnih brojeva sa jedinicom na prvom mestu u razmeri jedan premdva i to dotle dok zbir svih tih brojeva ne postane prost broj i ako taj zbir pomnožen poslednjimbrojem proizvodi nešto, biće dobiveni broj savršen.
JAsminka
38
KNJIGA X
Definicije
1. Kaže se da su veličine samerljive, ako imaju zajedničku meru i da su nesamerljive, ako se ne možeodrediti nikakva njihova zajednička mera.
2. I da su duži samerljive u stepenu (kvadratno), ako se na njima konstruisani kvadrati mere istompovšinom, a nesamerljive kad se ne može za kvadrate na njima konstruisane odrediti nikakva površina,kao njihova zajednička mera.
3. Pod takvim pretpostavkama se dokazuje da za neku datu duž postoji beskrajno mnogo kakosamerljivih tako i nesamerljivih duži bilo samo po dužini bilo i u stepenu. I tada ćemo zvati da tuduž racionalnom, a duži samerljive sa njom kako i po dužini i u stepenu, tako i samo ustepenu racionalnim, a nesamerljive sa njom - iracionalnim.
4. I zvaćemo kvadrat na datoj duži racionalnim i sa njim samerljive površine racionalnim, anesamerljive - iracionalnim i duži na kojima su ovi kvadrati - iracionalnim, pri čemu, ako su to zaistakvadrati, duži su strane kvadrata, a ako su to druge neke pravoliniske slike, onda su to strane njimajednakih kvadrata.
-Druge definicije
1. Data je racionalna duž i binomijala podeljena na dva dela tako da je kvadrat na većem delu veći odkvadrata na manjem za kvadrat na duži koja je samerljiva po dužini sa većim delom. Ako je taj većideo samerljiv po dužini sa datom racionalnom duži, cela duž se zove prva binomijala.
2. Ako je manji deo samerljiv po dužini sa datom racionalnom duži, neka se zove druga binomijala.
3. Ako nijedan deo nije samerljiv po dužini sa datom racionalnom duži, neka se treća binomijala.
4. Zatim, ako kvadrat na većem delu bude veći od kvadrata na manjem za kvadrat na dužinesamerljivoj po dužini sa većim delom,tada se, ako je veći deo samerljiv po dužini sa datomracionalnom duži, cela duž zove četvrta binomijala.
5. A ako je manji deo - peta binomijala.
6. A ako nije nijedan - šesta binomijala.-
Treće definicije
1. Date su racionalna duž i apotoma. Ako je kvadrat na celoj duži veći od kvadrata na dodatku zakvadrat na duži samerljivoj po dužini sa celom duži i cela duž je samerljiva po dužini sa datomracionalnom duži, apotoma se zoveprva.
2. A ako je dodatak samerljiv po dužini sa datom racionalnom duži i kvadrat na celoj duži veći odkvadrata na dodatku za kvadrat duži samerljive sa celom duži, apotoma se zove druga.
3. A ako je nijedna duž (ni cela duž ni dodatak) nije samerljiva po dužini sa datom racionalnom duži ikvadrat na celoj duži je veći od kvadrata na dodatku za kvadrat duži samerljive sa celomduži, apotoma se zove traća.
JAsminka
39
4. Zatim, ako je kvadrat na celoj duži veći od kvadrata na dodatku za kvadrat na duži nesamerljivoj podužini sa celom duži i cela duž je samerljiva po dužini sa datom racionalnom duži, apotoma sezove četvrta.
5. A ako je samerljiv dodatak, peta.
6. A ako nijedna duž nije samerljiva, šesta.
1.
Neka su date dve nejednake veličine. Ako od veće oduzmemo veličinu veću od polovine, a od ostatka- veću od njegove polovine i tako postupamo neprekidno, ostaće neka veličina koja je manja od datemanje veličine.
2.
Dve date nejednake veličine su nesamerljive, ako pri neprekidnom oduzimanju manje veličine od većenijedan ostatak ne meri prethodni ostatak.
3.
Naći za dve date samerljive veličine njihovu najveću zajedničku meru.
Posledica
Iz ovog je jasno da, ako neka veličina meri dve veličine, ona meri i njihovu najveću zajedničku meru.
4.
Naći za tri date samerljive veličine njihovu najveću zajedničku meru.
Posledica
Iz ovog je jasno da, ako neka veličina meri tri veličine, ona meri i njihovu najveću zajedničku meru.Na sličan način se određuje najveća zajednička mera i za veći broj veličina, a i posledica se proširuje.
5.
Samerljive veližine su u razmeri jedna prema drugoj kao broj prema broju.
6.
Ako su dve veličine u razmeri jedna prema drugoj kao broj prema broju, one su samerljive.
Posledica
Iz ovog je jasno da, ako postoje dva broja, recimo, i E i duž, napr. A, onda se može načiniti tako dabude broj prema broju E kao duž prema duži.
JAsminka
40
7.
Nesamerljive veličine se ne nalazi u razmeri jedna prema drugoj kao broj prema broju.
8.
Ako se dve veličine ne nalaze u razmeri jedna prema drugoj kao broj prema broju, te veličine sunesamerljive.
9.
Kvadrati na samerljivim dužima se nalaze u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju. Ikvadrati koji se nalaze u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju imaju za strane samerljiveduži. A kvadrati na nesamerljivim dužima se ne nalaze u razmeri jedan prema drugom kao kvadratnibroj prema kvadratnom broju. I kvadrati koji se ne nalaze u razmeri jedan prema drugom kaokvadratni broj prema kvadratnom broju nemaju za strane samerljive duži.
Posledica
Iz dokazanog je jasno da su veličine samerljive po dužini uvek samerljive i u stepenu, a da veličinesamerljive samo u stepenu nisu uvek samerljive i po dužini, [pošto se kvadrati konstruisani nasamerljivim (po dužini) dužima nalaze u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju, tj. urazmeri broja prema broju, oni su prema tome samerljive]. Na ovaj način duži samerljive po dužini,samerljive su ne samo po dužini već i u stepenu.
Lema
U aritmetikama se dokazuje da su slični površinski brojevi u razmeri jedan prema drugom kaokvadratni broj prema kvadratnom broju i da, ako su dva broja u razmeri kvadratnog broja premakvadratnom broju, oni su slični površinski brojevi. Iz ovog je očigledno, da površinski brojevi, kojinisu slični, tj. nemaju proporcionalnih strana, nisu u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnombroju. Zaista, ako bi oni bili u takvoj razmeri, oni bi bili slični površinski, a to se ne pretpostavlja. Naovaj način površinski brojevi nisu slični nisu u razmeri jedan prema drugom kao kvadratni broj premadvadratnom broju.
10.
Za datu duž naći dve nesamerljive duži, jednu nesamerljivu samo po dužini, a drugu nesamerljivu i ustepenu.
11.
Ako su četiri veličine proporcionalne, i prva samerljiva sa drugom, biće i treća samerljiva sa četvrtom,a ako je prava nesamerljiva sa drugom, biće i treća nesamerljiva sa četvrtom.
12.
Veličine samerljive sa istom veličinom samerljive su i među sobom.
JAsminka
41
13.
Ako su dve veličine samerljive, a jedna od njih nesamerljiva ma sa kojom drugom veličinom, biće idruga nesamerljiva sa tom veličinom.
Lema
Za dve date nejednake duži naći duž za čiji kvadrat će kvadrat veće duži biti veći od kvadrata manje.
14.
Ako su date četiri proporcionalen duži i kvadrat prve je veći od kvadrata druge za kvadrat dužisamerljive po dužini sa prvom duži, biće i kvadrat treće veći od kvadrata četvrte za kvadrat dužisamerljive po dužini sa trećom. I ako je kvadrat prve veći od kvadrata druge za kvadrat dužinesamerljive po dužini sa prvom duži, biće i kvadrat treće veći od kvadrata četvrte za kvadrat dužinesamerljive po dužini sa trećom.
15.
Ako se saberu dve samerljive veličine, biće i zbir samerljiv sa svakom od njih, a ako je zbir samerljivsa jednom od njih (sa jednim sabirkom), biće i polazne veličine (sabirci) samerljive.
16.
Ako se saberu dve nesamerljive veližine, biće i zbir nesamerljiv sa svakom od njih, a ako je zbirnesamerljiv sa jednom od njih (sa jednim sabirkom), biće i polazne veličine (sabirci) nesamerljive.
Lema
Ako se na duži konstruiše paralelogram sa dvadratnom dopunom, konstruisani (paralelogram) jejednak pravougaoniku čiji su strane oni delovi duži koji su nastali usled konstrukcije.
17.
Ako postoje dve nejednake duži i ako je na većoj konstruisan sa kvadratnom dopunom paralelogram,koji je jednak četvrtini kvadrata na manjoj, i deli tu duž na delove samerljive po dužini, biće kvadratna većoj duži veći od kvadrata na manjoj za kvadrat duži koja je samerljiva po dužini sa većom duži. Iako je kvadrat na većoj duži veći od kvadrata na manjoj za kvadrat duži koja je samerljiv po dužini savećom duži, i na većoj je konstruisan sa kvadratnom dopunom paralelogram koji je jednak četvrtinikvadrata na manjoj, on (paralelogram) će deliti veću duž na delove samerljive po dužini.
18.
Ako postoje dve nejednake duži i ako je na većoj konstruisan sa kvadratnom dopunom paralelogram,koji je jednak četvrtini kvadrata na manjoj, i deli tu duž na delove nesamerljive po dužini, biće kvadratna većoj duži veći od kvadrata na manjoj za kvadrat na duži koja je nesamerljiva po dužini sa većomduži. I ako je kvadrat na većoj duži veći od kvadrata na manjoj za kvadrat na duži koja je nesamerljivapo dužini sa većom duži, i ako je na većoj konstruisan sa kvadratnom dopunom paralelogram, koji jejedank četvrtini kvadrata na manjoj, on (paralelogram) će deliti veću duž na delove nesamerljive podužini.
JAsminka
42
Lema
Pošto je dokazano da su duži samerljive po dužini uvek samerljive i u stepenu, a samerljive u stepenunisu uvek samerljive i po dužini, već mogu biti i samerljive i nesamerljive po dužini, jasno je da, akoje neka duž samerljiva po dužini sa datom racionalnom duži, ona se zove racionalna i samerljiva nesamo po dužini već i u stepenu, jer su samerljive po dužini uvek samerljive i u stepenu. A ako je nekaduž, samerljiva u stepenu sa datom racionalnom duži, u isto vreme samerljiva i po dužini, ona se zoveracionalna i samerljiva s njom kako po dužini tako i u stepenu. Međutim, ako je neka duž samerljiva sadatom racionalnom duži u stepenu, ali nesamerljiva po dužini, ona se tada zove racionalna alisamerljiva samo u stepenu.
19.
Pravougaonik sa racionalnim stranama koje su samerljive po dužini prema jednom ili drugom odnavedenih načina racionalan je.
20.
Racionalna površina konstruisana na racionalnoj duži ima racionalnu širinu, samerljivu po dužini saonom duži, na kojoj je konstruisana površina.
21.
Pravougaonik sa racionalnim stranama samerljivim samo u stepenu iracionalan je, a iracionalna je istrana kvadrata jednakog površini pravougaonika. Neka se takva strana zove medijala.
Lema
Ako postoje dve duži, biće jedna prema drugoj kao kvadrat na prvoj prema pravougaoniku sa dvemaovim dužima kao stranama.
22.
Pravougaonik, jednak kvadratu na medijali, konstruisan na racionalnoj duži ima racionalnu širinunesamerljivu po dužini sa duži na kojoj je konstruisan.
23.
Veličina samerljiva sa medijalom je medijala.
Posledica
Iz ovog je jasno da je površina samerljiva sa medijalnom površinom i sama medijalna jer su stranekvadrata jednakih tim površinama samerljive samo u stepenu, i ako je jedna medijala i druga jemedijala
JAsminka
43
Lema
Što je bilo rečeno o racionalnim dužima sleduje i za medijale, naime: veličina samerljiva sa medijalompo dužini zove se medijala i ona je samerljiva sa njom ne samo po dužini već i u stepenu, jer suveličine, koje su samerljive po dužini, samerljive i u stepenu. A ako je neka veličina samerljiva samedijalom u stepenu, a samerljiva i po dužini, tada se obe veličine zovu medijale, i to samerljive po podužini i stepenu, a ako su samerljive samo u stepenu, tada se zovu medijale samerljive samo u stepenu.
24.
Ako su strane pravougaonika medijale, samerljive po dužini sa ranije navedenim tumačenjem,pravougaonik je medijalan.
25.
Ako su strane pravougaonika medijale, samerljive samo u stepenu, biće pravougaonik ili racionalan ilimedijalan. Neka su strane AB i B pravougaonika A medijale, a samerljive samo u stepenu. Tvrdim,da je A ili racionalan ili medijalan.
26.
Medijalna površina ne može biti veća od druge medijalne površine za neku racionalnu površinu.
27.
Naći medijale, samerljive samo u stepenu, koje su strane racionalnog pravougaonika.
28.
Naći medijale, samerljive samo u stepenu, koje su strane medijalnog pravougaonika.
Lema
Naći takva dva kvadratna broja da i njihov zbir bude kvadratni broj.
Lema
Naći dva kvadratna broja čiji zbir nije kvadratni broj.
29.
Naći dve, samo u stepenu samerljive, takve racionalne duži da kvadrat na većoj bude veći od kvadratana manjoj za kvadrat na duži koja je samerljiva po dužini sa većom.
30.
Naći dve, samo u stepenu samerljive, takve, racionalne duži da kvadrat na većoj bude veći od kvadratana manjoj za kvadrat na duži koja je nesamerljiva po dužini sa većom.
JAsminka
44
31.
Naći dve, samo u stepenu samerljive, medijale tako da budu strane racionalnog pravougaonika i dakvadrat na većoj bude veći od kvadrata na manjoj za kvadrat na duži samerljivoj sa većom.
32.
Naći dve medijale samerljive samo u stepenu tako da budu strane medijalnog pravougaonika i dakvadrat na većoj bude veći od kvadrata na manjoj za kvadrat na duži samerljivoj sa većom.
Lema
Neka je AB pravougli trougao sa pravim uglom A i neka je A normala. Tvrdim, da jepravougaonik sa stranama B i B jednak kvadratu na BA, pravougaonik sa stranama B i jednakkvadratu na A, i pravougaonik sa stranama B i jednak kvadratu na A, i još pravougaonik sastranama B i A jednak je pravougaoniku sa stranama BA i A.
33.
Naći takve dve duži, nesamerljive u stepenu, da površina sastavljena od kvadrata nanjima buderacionalna, a pravougaonik obuhvaćen tim dužima medijalan.
34.
Naći dve duži nesamerljive u stepenu, takve da površina sastavljena od kvadrata na njima budemedijalna, a pravougaonik obuhvaćen tim dužima racionalan.
35.
Naći dve duži nesamerljive u stepenu, takve da površina satavljena od kvadrata na njima budemedijalna i pravougaonik obuhvaćen tim dužima medijalan, i pri tome nesamerljiv sa površinomsatavljenim od kvadrata na njima.
36.
Ako se saberu dve racionalne duži, samerljive samo u stepenu, biće cela duž iracionalna: neka se zovebinomijala.
37.
Ako se saberu dve duži-medijale, samerljive samo u stepenu, koje obuhvataju racionalanpravougaonik, biće cela duž iracionalna. Neka se ona zove prva bimedijala.
38.
Ako se saberu dve duži-medijale, samerljive samo u stepenu, koje obuhvataju medijalanpravougaonik, biće cela duž iracionalna. Neka se ona zove druga bimedijala.
JAsminka
45
39.
Ako se saberu dve duži, nesamerljive u stepenu, za koje je zbir kvadrata na njima racionalan, apravougaonik obuhvaćen njima medijalan, biće cela duž iracionalna. Neka se ona zove veća.
40.
Ako se saberu dve duži, nesamerljive u stepenu, za koje je zbir kvadrata na njima medijalan,apravougaonik obuhvaćen njima racionalan,biće cela duž iracionalna. Neka se ona zove "stranakvadrata jednakog zbiru racionalne i medijalne površine".
41.
Ako se saberu dve duži, nesamerljive u stepene, za koje je zbir kvadrata na njima medijalan ipravougaonik obuhvaćen njima medijalan, i pri tome je pravougaonik nesamerljiv sa zbiromkvadrata,biće cela duž iracionalna. Neka se ona zove "strana kvadrata jednakog zbiru dve medijalnepovršine".
Lema
Da se navedene iracionalne duž samo na jedan način dele na duži, od kojih se, kao od sabiraka,obrazuju izneseni tipovi iracionalnosti, dokazaćemo posle ove male leme.
42.
Binomijala se deli na svoje delove samo jednom tačkom.
43.
Prva bimedijala se deli samo jednom tačkom.
44.
Druga medijala se deli samo jednom tačkom.
45.
"Veća" se deli samo jednom tačkom.
46.
"Strana kvadrata jednakog zbiru racionalne i medijalne površine" deli se samo jednom tačkom.
47.
"Strana kvadrata jednakog zbiru dve medijalne površine" deli se samo jednom tačkom.
48.
Naći prvu binomijalu.
JAsminka
46
49.
Naći drugu binomijalu.
50.
Naći treći binomijalu.
51.
Naći četvrtu binomijalu.
52.
Naći petu binomijalu.
53.
Naći šestu binomijalu.
Lema
Neka su AB i B dva kvadrata. Postavimo ih tako da B i BE budu u istoj pravoj. Biće tada i ZB uistoj pravoj sa BH. Pa dopunimo paralelogram A. Tvrdim da je A kvadrat, i da je pravougaonik Hsrednja proporcionala za kvadrate AB i B i pravougaonik srednja proporcionala za kvadrateA i B.
54.
Ako su racionalna duž i prva bionomijala strane nekog pravougaonika biće strana kvadrata sapovršinom jednakom tom pravougaoniku iracionalna, i to binomijala.
55.
Ako su racionalna duž i druga binomijala strane nekog pravougaonika, biće strana kvadrata sapovršinom jednakom tom pravougaoniku iracionalna i to prva bimedijala.
56.
Ako su racionalna duž i treća binomijala strane nekog pravougaonika, biće strana kvadrata sapovršinom jednakom tom pravougaoniku iracionalan i to druga bimedijala.
57.
Ako su racionalna duž i četvrta binomijala strane nekog pravougaonika, biće strana kvadrata sapovršinom jednakom tom pravougaoniku iracionalna i to takozvana veća.
JAsminka
47
58.
Ako su racionalna duž i peta binomijala strane nekog pravougaonika, biće strana kvadrata sapovršinom jednakom tom pravougaoniku takozvana strana kvadrata jednakog zbiru racionalne imedijalne površine.
59.
Ako su racionalan duž i šesta binomijala strane nekog pravougaonika, biće strana kvadrata sapovršinom jednakom tom pravougaoniku takozvana strana kvadrat jednakog zbiru dve medijalnepovršine.
Lema
Ako je neka duž podeljena na nejednake delove, zbir kvadrata na tim delovima je veći od dvostrukogpravougaonika obuhvaćenog tim nejednakim delovima.
60.
Ako pravougaonik, konstruisan na racionalnoj duži, ima površinu jednaku površini kvadrata nabinomijali, njegova širina je prva binomijala.
61.
Ako pravougaonik konstruisan na racionalnoj duži ima površinu jednaku površini kvadrata na prvojbimedijali, njegova širina je druga binomijala.
62.
Ako pravougaonik, konstruisan na racionalnoj duži, ima površinu jednaku površini kvadrata na drugojbimedijali, njegova širina je treća binomijala.
63.
Ako pravougaoniku, konstruisan na racionalnoj duži, ima površinu jednaku površini kvadrata na većojbimedijali, njegova širina je četvrta binomijala.
64.
Ako pravougaonik, konstruisan na racionalnoj duži, ima površinu jednaku kvadratu na strani kvadratajednakog zbiru racionalne i medijalne površine, njegova širina je peta binomijala.
65.
Ako pravougaonik, konstruisan na racionalnoj duži, ima površinu jednaku kvadratu na stani kvadratajednakog zbiru dve medijalne površine njihova širina je šest binomijala.
66.
Duž samerljiva po dužini sa binomijalom i sama je binomijala istog reda.
JAsminka
48
67.
Duž samerljiva po dužini sa bimedijalom i same je bimedijala i to istog reda.
68.
Duž samerljiva sa većom biće i sama veća.
69.
Duž samerljiva sa "stranom kvadrata jednakog zbiru racionalne i medijalne površine" i sama je "stranakvadrata jednakog zbiru racionalne i medijalne površine".
70.
Duž samerljiva sa "stranom kvadrata jednakog zbiru dve medijalne površine" i sama je sa "stranakvadrata jednakog zbiru dve medijalne površine".
71.
Pri sabiranju racionalnog i medijalnog (racionalne i medijalne površine) mogu se dobiti četiriiracionalnosti: ili binomijala, ili prva bimedijala, ili "veća", ili "strana kvadrata jednakog zbiru dveracionalne i medijalne površine".
72.
Pri sabiranju dve među sobom nesamerljive medijalne površine mogu se dobiti dve ostaleiracionalnost: ili druga bimedijala ili "strana kvadrata jednakog zbiru dve medijalne površine".
73.
Ako se od racionalne duži oduzme racionalna duž, koja je samerljiva sa celom samo u stepenu, bićeostatak iracionalan. Neka se on zove apotoma.
74.
Ako se od medijale oduzme medijala, samerljiva sa celom samo u stepenu, koja obuhvata sa celomduži racionalan pravougaonik biće ostatak iracionalan. Neka se on zove prva apotoma medijale .
75.
Ako se od medijale oduzme medijala, samerljiva sa celom samo u stepenu, koja sa celom obuhvatamedijalan pravougaonik, biće ostatak iracionalan. Neka se on zove druga apotoma medijale.
76.
Ako se od duži oduzme duž, nesamerljiva u stepenu sa celom, a zbir kvadrata na njoj i na celoj jeracionalan, i pravougaonik obuhvaćen istim dužima medijalan, biće ostatak iracionalan. Neka se onzove "manji".
JAsminka
49
77.
Ako se od duži oduzme duž, nesamerljiva u stepenu sa celom, a zbir kvadrata na njoj i na celoj jemedijalan, i dvostruki pravougaonik obuhvaćen istim dužima racionalan, biće ostatak iracionalan.Neka se on zove "duž koja sa racionalnom obrazuje celo medijalno".*)
78.
Ako se od duži oduzme duž nesamerljiva u stepenu sa celom, a zbir kvadrata na njoj i na celoj jemedijalan i dvostruki pravougaonik obuhvaćen istim dužima medijalan, a zbir kvadrata na tim dužimaje nesamerljiv sa dvostrukim pravougaonikom istih strana, biće ostatak iracionalan.
79.
Apotomi se može dodati jedna jedina racionalna duž samo u stepenu samerljiva sa celom duži.
80.
Prvoj medijalnoj apotomi se se može dodati jedna jedina medijala, samo u stepenu samerljiva sa celomduži, i koja, zajedno sa celom duži, obuhvata racionalan pravougaonik.
81.
Drugoj medijalnoj apotomi se može dodati jedna jedina medijala, samo u stepenu samerljiva sa celomduži, i koja, zajedno sa celom duži, obuhvata medijalan pravougaonik.
82.
"Manjoj" se može dodati jedna jedina duž, u stepenu nesamerljiva sa celom, koja, zajedno sa celom,obrazuje racionalan zbir kvadrata na tim dužima, i obuhvata sa njom medijalan pravougaonik.
83.
"Duži koja sa racionalnom obrazuje medijalno" se može dodati jedna jedina duž, u stepenunesamerljiva sa celom, koja, zajedno sa celom, obrazuje zbir kvadrata na tim dužima medijalan, aobuhvata sa njom provougaonik racionalan.
84.
Duži koja se medijalnom obrazuje celo medijalno se može dodati jedna jedina duž, u stepenunesamerljiva sa celom, koja zajedno sa celom obrazuje zbir kvadrata na tim dužima medijalan,obuhvata sa njom medijalan dvostruki pravougaonik i pri tome je pomenuti zbir kvadrata nesamerljivsa tim dvostrukim pravougaonikom.
85.
Naći prvu apotomu.
86.
Naći drugu apotomu.
JAsminka
50
87.
Naći treću apotomu.
88.
Naći četvrtu apotomu.
89.
Naći petu apotomu.
90.
Naći šestu apotomu.
91.
Ako je površina obuhvaćena racionalnom duži i prvom apotomom, onda kvadrat, jednak toj površini,ima za stranu apotomu.
92.
Ako je površina obuhvaćena racionalnom duži i drugom apotomom, onda kvadrat, jednak toj površini,ima za stranu prvu apotomu medijale.
93.
Ako je površina obuhvaćena racionalnom duži i trećom apotomom, onda kvadrat, jednak toj površini,ima za stranu drugu apotomu medijale.
94.
Ako je površina obuhvaćena racionalnom duži i četvrtom apotomom, onda kvadrat, jednak toj površiniima za stranu manju (iracionalnost).
95.
Ako je površina obuhvaćena racionalnom duži i petom apotomom. onda kvadrat, jednak toj površini,ima za stranu duž koja se racionalnom obrazuje celo medijalno.
96.
Ako je površina obuhvaćena racionalnom duži i šestom apotomom, onda kvadrat, jednak toj površini,ima za stranu "duž koja sa medijalnom obrazuje medijalno".
97.
Pravougaonik, konstruisan na racionalnoj duži i jednak kvadratu na apotomi, ima za širinu prvuapotomu.
JAsminka
51
98.
Pravougaonik, konstruisan na racionalnoj duži i jednak kvadratu na prvoj medijalnoj apotomi, ima zaširinu drugu apotomu.
99.
Pravougaonik, konstruisan na racionalnoj duži i jednak kvadratu na drugoj medijalnoj apotomi, ima zaširinu treću apotomu.
100.
Pravougaonik, konstruisan na racionalnoj duži i jednak kvadratu na manjoj (iracionali), ima za širinučetvrtu apotomu.
101.
Pravougaonik konstruisan na racionalnoj duži i jednak kvadratu na "duži koja sa racionalnom obrazujecelo medijalno" ima za širinu petu apotomu.
102.
Pravougaonik, konstruisan na racionalnoj duži i jednak kvadratu na "duži koja sa medijalnom obrazujecelo medijalno", ima za širinu šestu apotomu.
103.
Duž samerljiva po dužini sa apotomom je apotoma i to istoga reda.
104.
Duž samerljiva sa medijalnom apotomom je medijalna apotoma i to istoga reda.
105.
Duž samerljiva sa manjom (iracionalom) je manja.
106.
Duž samerljiva sa "duži koja sa racionalnom obrazuje celo medijalno" je duž koja saracionalnomobrazuje celo medijalno.
107.
Duž samerljiva sa "duži koja sa medijalnom obrazuje celo medijalno" i sam je duž koja sa medijalnomobrazuje celo medijalno.
108.
Pri oduzimanju medijalne površine od racionalne pojavljuju se dve iracionalne duži, apotoma ilimanja.
JAsminka
52
109.
Pri oduzimanju racionalne površine od medijalne pojavljuju se dve iragionalne duži, prva medijalnaapotoma ili duž koja sa racionalnom obrazuje celo medijalno.
110.
Pri oduzimanju od jedne medijalne površine druge medijalne površine, nesamerljive sa prvom,pojavljuju se dve ostale iracionale druga medijalna apotoma ili duž koja sa medijalnom obrazuje celomedijalno.
111.
Apotoma nije isto što i binomijala.
Posledica
Apotoma i iracionale koje joj sleduju nisu iste ni sa medijalom ni među sobom.
112.
Kvadrat na racionalnoj duži, konstruisan na binomijali ima za širinu apotomu, čije su racionalesamerljive sa racionalama binomijale i u istoj razmeri, i tako dobivena apotoma je istoga reda kao ibinomijala.
113.
Kvadrat na racionalnoj duži, konstruisan na apotomi ima za širinu binomijalu, čije su racionalesamerljive sa racionalama apotome i u istoj su razmeri, i tako dobivena binomijala je istoga reda kao iapotoma.
114.
Ako je površina (pravougaonika) obuhvaćena apotomom i binomijalom čije su racionale samerljive saracionalama apotome i u istoj razmeri, biće strana kvadrata jednakog toj površini racionalna.
Posledica
I usled toga postalo nam je jasno da racionalna površina može biti obuhvaćena iracionalnim dužima. Ato je trebalo dokazati.
115.
Od medijale nastaje beskrajno mnogo iracionala i nijedna nije ista ni sa jednom od prethodnih.
JAsminka
53
KNJIGA XI
Definicije
1. Telo je ono što ima dužinu, širinu i dubinu (visinu).
2. Granica tela je površina.
3. Prava je normalna na ravni ako obrazuje prave uglove sa svima pravima koje je seku i nalaze se utoj ravni.
4. Ravan je normalna na ravni, ako su prave, normalne na preseku tih ravni u jednoj ravni, normalnena drugoj ravni.
5. Nagib duži (prave) prema ravni je ugao između date duži i druge duži koja se dobija kad se krajdate duži u datoj ravni spoji sa podnožjem normale spuštene iz drugog kraja date duži na datu ravan.
6. Nagib ravni prema ravni je oštar ugao između pravih povučenih u svakoj od ravni normalno napresek ravni u istoj tački.
7. Kaže se da je ravan prema ravni podjednako nagnuta kao i druga ravan prema drugoj ravni, ako jenagib prvih ravni jednak nagibu drugih ravni.
8. Paralelne su one ravni koje se ne susreću.
9. Slične prostorne figure su one koje su obuhvaćene sličnim ravnima u jednakom broju.
10. Jednake i slične prostorne figure su one koje su obuhvaćene sličnim ravnima, jednakim po broju ipo veličini.
11. Rogalj (telesni ugao) je uzajamni nagib više od dve linije, koje se susreću u istoj tački i ne nalazese u istoj površini. Ili drukčije: rogalj (telesni ugao) se sastoji od više od dva ravna ugla, koji se nenalaze u istoj ravni i sastaju se u istoj tački.
12. Piramida je prostorna figura sastavljena od ravni konstruisanih nad jednom ravni prema jednojtački.
13. Prizma je prostorna figura sastavljena od ravni, od kojih su dve, naspramne, jednake, slične iparalelne, a ostale su paralelogrami.
14. Ako prečnik polukruga ostaje nepokretan, a polukrug se oko njega obrće i vrati u položaj iz kojegje počeo kretanje, obuhvaćena figura je sfera (lopta).
15. Osa sfere je nepokretna prava, oko koje se obrće polukrug.
16. Centar sfere je isto što i centar polukruga.
17. Prečnik (dijametar) sfere je svaka duž što prolazi kroz centar, a ograničena je sa oba kraja sfernompovršinom.
JAsminka
54
18. Ako jedan krak pravog ugla (jedna kateta) pravouglog trougla ostaje nepokretan, a trougao se okote prave obrće i vrati u položaj iz kojeg je počeo kretanje, obuhvaćena figura je konus (kupa). Ako jenepokretan krak pravog ugla jednak drugom kraku tog ugla, koji se obrće, konus je pravougli, ako jemanji - tupougli, a ako je veći - oštrougli.
19. Osa je konusa nepokretna prava oko koje se trougao obrće.
20. Osnova je konusa krug koji opisuje pokretna duž.
21. Ako jedan krak pravog ugla pravouglog paralelograma ostaje nepokretan, a paralelogram se okotog kraka obrće i vrati u položaj iz kojeg je počeo kretanje, obuhvaćena figura je cilindar (valjak).
22. 22. Osa je cilindra nepokretna prava, oko koje se obrće paralelogram.
23. Osnove su cilindra krugovi, koje opisuju one dve naspramne strane paralelograma koje se obrću.
24. Slični su oni konusi i cilindri, čije su ose i prečnici osnova proporcionalni.
25. Kocka (kub) je prostorna figura obuhvaćena sa šest jednakih kvadrata.
26. Oktaedar je prostorna figura obuhvaćena sa osam jednakih i ravnostranih trouglova.
27. Ikosaedar je prostorna figura obuhvaćena sa dvadeset jednakih i ravnostranih trouglova.
28. Dodekaedar je prostorna figura obuhvaćena sa dvanaest jednakih, jednakostranih i jednakouglihpetouglova.
1.
Jedan deo prave linije ne može se nalaziti u nekoj, osnovnoj, ravni, a drugi deo biti izdignut iznad teravni.
2.
Ako dve prave seku jedna drugu, one su u istoj ravni; i svaki trougao je u istoj ravni.
3.
Ako dve ravni seku jedna drugu, njihov presek je prava.
4.
Prava povučena kroz presečnu tačku dve prave pod pravim uglovima prema svakoj od njih biće podpravim uglom i prema ravni tih pravih.
5.
Tri prave sa zajedničkom tačom su u istoj ravni, ako postoji prava koja prolazi kroz tu zajedničkutačku i upravna je na svakoj od tih pravih.
JAsminka
55
6.
Ako su dve prave upravne na istoj ravni, one su paralelne.
7.
Ako postoje dve paralelne prave i na svakoj od njih je uzeta po jedna proizvoljna tačka, biće prava štoih spaja u istoj ravni sa paralelnim.
8.
Ako su dve prave paralelne i jedna od njih upravna na nekoj ravni, biće i druga upravna na toj ravni.
9.
Prave paralelne istoj pravoj, koje se sa ovom ne nalaze u istoj ravni, paralelne su među sobom.
10.
Ako su dve prave, koje se seku, paralelne sa dvema pravima, koje se seku, no ne nalaze se sa ovima uistoj ravni, one obrazuju jednake uglove.
11.
Iz date tačke van ravni povući pravu upravnu na tu ravan.
12.
Na datoj ravni kroz tačku na njoj podići normalu na ravan.
13.
Ne mogu se podići kroz istu tačku dve normale na istoj ravni.
14.
Ravni upravne na istoj pravoj paralelne su.
15.
Ako su dve prave, koje se seku, paralelne dvema drugim pravima, koje se seku, a ne nalaze se u istojravni, njihove ravni su paralelne.
16.
Ako se dve paralelne ravni preseku nekom ravni, njihovi zajednički preseci paralelni su.
17.
Ako se dve prave preseku paralelnim ravnima, njihovi otsečci su u istoj razmeri.
JAsminka
56
18.
Ako je prava upravna na nekoj ravni, svaka ravan što prolazi kroz tu pravu, upravna je na toj ravni.
19.
Ako su dve ravni, koje se seku, normalne na nekoj ravni, biće i njihov presek normalan na istoj ravni.
20.
Ako je rogalj obuhvaćen sa tri ravna ugla, zbir ma koja dva od njih je veći od trećeg.
21.
Svaki rogalj je obuhvaćen ravnim uglovima, čiji je zbir manji od četiri prava ugla.
22.
Ako postoje tri ravna ugla, od kojih je zbir dva proizvoljno uzeta, veći od preostalog, a obrazuju ihjednake duži onda je moguće konstruisati trougao od duži koje spajaju krajeve jednakih duži.
23.
Od tri ravna ugla, od kojih je zbir dva, proizvoljno uzeta, veći od preostalog, konstruisati rogalj. Pritome treba da zbir ta tri ravna ugla bude manji od četiri prava ugla.
Lema
Kako uzeti kvadrat na P da on bude jednak površini za koju je kvadrat na AB veći od kvadratana , pokazaćemo ovako.
24.
Ako je telo obuhvaćeno paralelnim ravnima, naspramne ravni su jednaki paralelogrami.
25.
Ako je paralelepiped presečen sa ravni paralelnom njegovim suprotnim paralelnim ravnima, odnosićese osnova prema osnovi kao telo prema telu.
26.
Na datoj pravoj i u datoj tački na njoj konstruisati rogalj jednak datom roglju.
27.
Na datoj pravoj konstruisati paralelepiped sličan i u sličnom položaju prema datom paralelepipedu.
JAsminka
57
28.
Ako ravan, koja preseca paralelepiped, prolazi kroz dijagonale naspramnih strana, telo jeprepolovljeno tom ravni.
29.
Paralelepipedi sa istom osnovom, istom visinom i bočnim ivicama čiji su krajevi na istim pravima -jednaki su među sobom.
30.
Paralelepipedi sa istom osnovom, istom visinom i bočnim ivicama čiji krajevi nisu na istim pravima -jednaki su među sobom.
31.
Paralelepipedi sa jednakim osnovama i istom visinom jednaki su među sobom.
32.
Paralelepipedi sa istom visinom se odnose jedan prema drugom kao osnove.
33.
Razmera sličnih paralelepipeda je triput viša od razmere homolognih ivica.
Posledica
Odavde je jasno da će, ako su četiri duži proporcionalne, biti prva prema četvrtoj kao paralelepiped naprvoj prema sličnom i slično konstruisanom paralelepipedu na drugoj, pošto je prva prema četvrtoj utriput višoj razmeri od razmere prve prema drugoj.
34.
Kod paralelepipeda jednake zapremine osnove su obrnuto proporcionalne visinama. I ako su kodparalelepipeda osnove obrnuto proporcionalne visinama, oni su jednake zapremine.
35.
Ako su data dva jednaka ravna ugla i kroz njihova temena povučene, iznad ravni tih uglova, prave,koje koje obrazuju jednake uglove sa kracima uglova, svaka sa svakim, pa se na povučenim pravimauzmu proizvoljne tačke i iz njih spuste normale na ravni polaznih uglova, i podnožja tih normala spojesa temenima polaznih uglova, biće uglovi između tih spojnica i van ravni povučenih pravih jednakimeđu sobom.
JAsminka
58
Posledica
Iz ovog je jasno, da ako postoje dva jednaka ravna ugla i ako su kroz njihova temena povučene iznadravni tih uglova jednake duži, koje obrazuju jednake uglove sa kracima polaznih uglova, svaka sasvakim, biće normale, povučene iz krajeva tih duži na ravni polaznih uglova, jednake među sobom. Ato je trebalo dokazati.
36.
Ako su tri duži (neprekidno) proporcionalne, biće zapremina paralelepipeda sastavljenog od njih (kaoivica) jednaka zapremini jednakoivičnog paralelepipeda, sastavljenog od srednje duži sa uglovimajednakim uglovima polaznog (paralelepipeda).
37.
Ako su četiri duži proporcionalne, proporcionalni su i slični paralelepipedi, slično konstruisani na timdužima. I ako su slični paralelepipedi, a slično konstruisani na dužima, proporcionalni, onda suproporcionalne i same ove duži.
38.
Ako su ivice naspramnih strana kocke (kuba) prepolovljene i kroz deone tačke povučene ravni,zajednički presek tih ravni i dijagonala kocke se polove.
39.
Ako je kod jedne od dve prizme sa istom visinom osnova paralelogram, a kod druge trougao iparalelogram dvaput veći od trougla, prizme su jednake.
JAsminka
59
KNJIGA XII
1.
Slični mnogouglovi, upisani u krugove, odnose se jedan prema drugom kao kvadrati na prečnicima.
2.
Krugovi se odnose jedan prema drugom kao kvadrati na prečnicima.
Lema
Tvrdim, da ako je površina veća od kruga EZH, onda je površina prema krugu AB kao krugEZH prema površini manjoj od kruga AB.
3.
Svaka piramida sa trouglom osnovom može se podeliti na dve jednake piramide sa trouglimosnovama, slične jedna drugoj i celoj piramidi, i na dve jednake prizme; zbir te dve prizme je veći odod polovine cele piramide.
4.
Ako postoje dve piramide sa istom visinom, čije su osnove trouglovi, i svaku podelimo na dve jednakepiramide, slične među sobom i sa celom piramidom, i na dve jednake prizme, osnova jedne piramideodnosiće se prema osnovi druge piramide kao sve prizme prve piramide prema svima, u istom broju,prizmama druge piramide.
Lema
A da je trougao prema trouglu PZ kao prizma kojoj je osnova trougao , a naspramnitrougao OMN, prema prizmi kojoj je osnova trougao PZ i naspramni trougao T, to treba dokazati.
5.
Piramide jednakih visina i sa trouglim osnovama u razmeri su jedna prema drugoj kao osnove.
6.
Piramide jednakih visina i sa mnogouglovima u osnovama u razmeri su jedna prema drugoj kaoosnove.
7.
Svaka prizma sa trouglom u osnovi može se podeliti na tri među sobom jednake piramide satrouglovima u osnovama.
JAsminka
60
Posledica
Odavde je jasno da je svaka piramida treći deo one prizme koja ima istu osnovu i istu visinu [jer ako biprizma imala kao osnovu neku drugu, sem trougla, pravolinijsku sliku, kao i naspramnu sliku, taprizma se može podeliti na prizme kojima su osnove trouglovi i sa naspramnim trouglovima, i celaosnova prema svakoj ...]. A to je trebalo dokazati.
8.
Razmera sličnih piramida kojima su osnove trouglovi triput je viša od razmere homolognih ivica.
Posledica
Iz ovog je jasno, da je i razmera sličnih piramida kojima su mnogouglovi u osnovama triput više odrazmere homolognih ivica.
9.
Kod jednakih piramida koje imaju trouglove u osnovama osnove su obrnuto proporcionalne visinama;i ako su kod piramida koje imaju trouglove u osnovama osnove obrnuto proporcionalne visinama,piramide su jednake.
10.
Svaka kupa (konus) je trećina valjka (cilindra), ako imaju istu osnovu i jednake visine.
11.
Kupe i valjci sa istom visinom odnose se jedno prema drugom, posebice, kao osnove.
12.
Slične kupe među sobom i slični valjci među sobom su u razmeri triput višoj od razmere prečnikanjihovih osnova.
13.
Ako je valjak presečen nekom ravni paralelnom sa naspramnim ravnima, otseći će se osa prema osikao valjak prema valjku.
14.
Kupe i valjci sa jednakim osnovama su u razmeri visina.
15.
Kod jednakih kupa i valjaka osnove su obrnuto proporcionalne visinama Kupe i valjci, kod kojh suosnove obrnuto proporcionalne visinama, jednaki su.
JAsminka
61
16.
Ako su data dva kruga sa istim centrima, upisati u veći krug jednakostrani mnogougao, sa parnimbrojem strana koji ne dodiruju manji krug.
17.
Ako su date dve sfere sa istim centrom, upisati u veću sferu poliedarsko telo koje ne dodiruje površinumanje sfere.
Posledica
Ako se i u drugu sferu upiše poliedarsko telo slično poliedarskom telu upisanom u sferu BE, bićerazmera poliedarskog tela upisanog u sferu BE prema poliedarskom telu upisanom u drugu sferutriput viša od razmere prečnika sfere BE prema prečniku druge sfere.
18.
Razmera jedne lopte prema drugoj je triput viša od razmere njihovih prečnika.
JAsminka
62
KNJIGA XIII
1.
Ako je duž podeljena neprekidno, biće kvadrat na zbiru većeg dela i polovine cele duži jednakpetostrukom kvadratu na toj polovini.
2.
Ako je kvadrat na nekoj duži pet puta veći od kvadrata na jednom njenom delu i udvostručeni taj deopodeljen neprekidno, biće preostali deo polazne duži veći deo.
Lema
A da je dvostruko A veće od B, ovako se dokazuje.
3.
Ako je neka duž podeljena neprekidno, biće kvadrat zbira manjeg dela i polovine većeg dela pet putaveći od kvadrata na polovini većeg dela.
4.
Ako je duž podeljena neprekidno, biće zbir kvadrata na celoj duži i na manjem delu jednak trostrukomkvadratu na većem delu.
5.
Ako je neka duž podeljena neprekidno, pa joj se doda veći deo podeljene duži, biće i cela dobivenaduž podeljena neprekidno i njen veći deo je polazna duž.
6.
Ako je racionalna duž podeljena neprekidno, biće svaki od delova iracionalan, takozvana apotoma.
7.
Ako su kod jednakostranog petougla tri ugla, bila uzastopna ili ne, jednaka među sobom, petougao jejednakougli.
8.
Ako kod jednakostranog i jednakouglog petougla dve duži spajaju uglove preko jednog, one dele jednadrugu neprekidno i njihovi veći delovi jednaki su strani petougla.
9.
Zbir strane šestougla i desetougla, upisanih u isti krug, podeljen je neprekidno i veći deo je stranašestougla.
JAsminka
63
10.
Ako je u krug upisan jednakostran petougao, biće kvadrat strane petougla jednak zbiru kvadrata stranešestougla i strane desetougla upisanih u isti krug.
11.
Ako je u krug sa racionalnim prečnikom upisan jednakostran petougao, njegova strana je iracionalna,takozvana ``manja''.
12.
Ako je u krug upisan jednakostran trougao, kvadrat na strani tog trougla je triput veći od kvadrata napoluprečniku.
13.
Konstruisati piramidu, obuhvatiti je datom sferom, i dokazati da je kvadrat na prečniku sfere jedan i poputa veći od kvadrata na ivici piramide.
Lema
Dokazati da je AB prema B kao kvadrat na A prema kvadratu na .
14.
Konstruisati oktaedar, obuhvatiti ga sferom, kao u predhodnom slučaju, i dokazati da je kvadrat naprečniku sfere dvaput veći od kvadrata na ivici oktaedra.
15.
Konstruisati kocku, obuhvatiti je sferom, kao i piramidu, i dokazati da je kvadrat na prečniku sferetriput veći od kvadrata na ivici kocke.
16.
Konstruisati ikosaedar, obuhvatiti ga sferom, kao i ranije navedena tela, i dokazati da je ivicaikosaedra iracionalna i to takozvana ``manja''.
Posledica
Iz ovog je jasno da je kvadrat na prečniku sfere pet puta veći od kvadrata na poluprečniku krugapomoću kog se opisuje ikosaedar, i da je prečnik sfere jednak zbiru strane šestougla i dve stranedesetougla upisanih u taj krug. A to je trebalo dokazati.
17.
Konstruisati dodekaedar, obuhvatiti ga sferom, kao i ranije navedena tela (figure), i dokazati da jeivica dodekaedra iracionalna, takozvana apotoma.
JAsminka
64
Posledica
Iz ovog je jasno, da je pri neprekidnoj podeli ivice kocke veći deo ivica dodekaedra. A to je trebalodokazati.
18.
Odrediti ivice pet proučenih tela i uporediti ih među sobom.
Lema
Da ugao jednakostranog i jednakouglog petougla iznosi prav ugao i petinu pravog, dokazuje se ovako.