euklidészi gyűrűk
DESCRIPTION
Euklidészi gyűrűk. Definíció. Az R integritási tartományt euklidészi gyűrűnek ne-vezzük, ha olyan függvény, amelyre : R * N 0 , és. I. , R , 0 esetén létezik olyan , R , hogy. = + , ahol. = 0 vagy. 0 és ( ) < ( ),. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1
Euklidészi gyűrűk
Definíció.
Az R integritási tartományt euklidészi gyűrűnek ne-vezzük, ha olyan függvény, amelyre : R* N0, és
I. , R, 0 esetén létezik olyan , R, hogy
= + , ahol
= 0 vagy
0 és () < (),
II. valamint () max( (), ()) ,
, R* -ra.
2
Példák.
2. Gauss-egészek: G = { a+bi | a, b Z }
a+bi G esetén
(a+bi) = (a+bi)(a–bi) = |a+bi|2 = a 2 + b 2
1. Z az abszolút érték függvénnyel.
3. H a szokásos + és műveletekkel, ahol
H a b a b 2 , .Z
a b a b a b a b 2 2 2 22 2
3
Definíció.
Legyen R integritási tartomány és a, b R. a osztója b-nek, ha létezik c R, mely-re b = ac.
a | b
Könnyen belátható, hogy az oszthatóság
tranzitív, továbbá
a|b, a|c esetén a|bx+cy is teljesül,
ha a, b, c, x, y R.
Definíció.
R integritási tartományban a R egység, ha a | r r R-re.
4
37. Tétel.
R integritási tartományban akkor és csak akkor léte-zik egységelem, ha létezik egység.
Bizonyítás.
1. : Tfh R-ben van e egységelem, vagyis er = r minden r R esetén.
e | r minden rR esetén,
az egységelem egység is egyúttal.
2. : Tfh aR egység, és legyen rR tetszőleges.
a | a
eR : ae = a.
Ekkor e egységelem, merta | r
sR : as = r,
tehát .rsaseasaesaere
e egységelem
5
38. Tétel.
Az R egységelemes integritási tartományban a R akkor és csak akkor egység, ha a | e.
Bizonyítás.
1. Legyen a egység a | e.
2. Tfh a | e
a1R : e = aa1 és
tetszőleges r R: er = r
aa1r = r a | r
a egység.
6
39. Tétel.
Ha R euklidészi gyűrű, akkor egységelemes, és
E = { r | r R*, φ(r) minimális }
az egységek halmaza R-ben.
Bizonyítás.
1. Belátjuk, hogy E elemei egységek.
Legyen aE, és bR tetszőleges. b-t oszthatjuk a-val maradékosan c, dR :
b = ac+d, ahol a. d=0, vagy b. d0 és (d) < (a).
A b. eset nem fordulhat elő (a) minimalitása miatt
d = 0 a | b.
7
2. Belátjuk, hogy minden egység E-ben van.
Legyen aR egység, bE adott.
a | b b = ac.
bE, b0 a, cR*.
Az euklidészi gyűrűk II. tulajdonsága
( ) max ( ), ( ) ,b a c a c
(b) (a).
φ(b) minimális
φ(a) is minimális,
a E
8
1. Z-ben csak két egység van: +1 és –1.
2. G-ben az egységek Nullától különböző komplex szám abszolút
értéke nem nulla, a nem nulla elemek esetén előforduló legkisebb érték 1.
(a+bi)=1
(a+bi)=a2+b2=1
a=1 és b=0, vagy a=0 és b=1.
G-ben az egységek. 1, i
9
egységek: a2–2b2=1
Ennek az úgynevezett Pell-egyenletnek végtelen sok megoldása van,
H-ban végtelen sok az egység. Néhány ezek közül:
H a b a b 2 , Z
a b a b 2 22 2
3.
a b
1 0
1 1
3 2
7 5
10
Definíció.
Legyen R egységelemes integritási tartomány, és a, bR. Azt mondjuk, hogy a és b asszociáltak, ha létezik olyan c egység, amelyikkel a = bc. Ezt a tényt ab-vel jelöljük.
40. Tétel.
1. R egységelemes integritási tartományban az egységek halmaza — jelöljük E-vel —, a szorzásra csoportot alkot.
2. Az asszociáltság R-ben ekvivalenciareláció.
11
Bizonyítás.
1. Csoport:
- egységek szorzata egység: e1c1 = e és e2c2 = e
e1c1e2c2 = e2 = e e1e2 | e,
- asszociatív mert R is az volt,
- e az egységelem E-ben is,
- inverz: e1e2 = e e1-1 = e2 .
12
2. Az asszociáltság ekvivalencia reláció:
- reflexív: aa, hiszen a = ae minden aR esetén.
- tranzitív: ab és bc
a = be1 és b = ce2,
a = ce1e2 , azaz ac .
- szimmetrikus: ab
a = be1 / e1-1
a e1-1 = be1 e1
-1,
a e1-1 = b
ba.
13
41. Tétel.
Az R egységelemes integritási tartományban két elem asszociáltságához a kölcsönös oszthatóságuk szüksé-ges és elégséges feltétel.
1. ab a | b és b | a
2. Tegyük fel, hogy ab és ba.
Ha a és b egyike 0 a másik is az asszociáltak is.
Tfh a, bR*.
b=ac és a=bd.
b=bdc=b(dc),
be=b(dc).
b0, és nem nullosztó
e = dc d és c egységek ab.
14
Definíció.
Legyen R euklidészi gyűrű és a, bR. Azt mondjuk, hogy dR az a és b legnagyobb közös osztója, d=(a, b), ha
1. közös osztó, vagyis da és db, valamint
2. ca és cb esetén cd.
Belátható az, hogy a legnagyobb közös osztó asszociáltság erejéig egyértelmű, valamint az, hogy (0, 0)=0.
15
Ha a és b legalább egyike, mondjuk b0, akkor el-végezhető itt is az euklidészi algoritmus:
a= bq0+r0 ha r00, akkor (r0)<(b)
b= r0q1+r1 ha r10, akkor (r1)<(r0)
...
rn–2= rn–1qn+rn ha rn0, akkor (rn)<(rn–1)
rn–1= rnqn+1
Az euklidészi algoritmus most is véget ér véges sok lépésben.
Belátható, hogy ezzel az algoritmussal megkapjuk (a, b)-t, valamint léteznek olyan x, yR elemek, hogy (a, b)=ax+by.
r0 = r1q2+r2 ha r20, akkor (r2)<(r1)
16
Definíció.
R legyen euklidészi gyűrű, E az egységek halmaza:
1. aR*–E felbonthatatlan, ha a = bc, (b, cR) esetén bE vagy cE.
2. aR*–E prím, ha abc, (b, cR) ab vagy ac.
Belátható, hogy tetszőleges euklidészi gyűrűben
egybeesik a prímek és a felbonthatatlanok halmaza.
17
42. Tétel.
R legyen euklidészi gyűrű és a, bR*. Ha ab, akkor
1. (a)<(b), vagy
2. (a)=(b) ha ab .
Bizonyítás.
1. Euklidészi gyűrű II. tulajdonsága miatt (a)(b).
18
2. Tfh ab és (a)=(b). Az I. tulajdonság miatt létezik r, s R, amelyekre:
a = br+s, ahol a. s = 0, vagy
b. s 0 és (s)<(b)=(a).
s a b r a b r ( ) ( )
(*)
ab tR : b = at továbbá a = ae
.)( rteas
.)( saRrte
De ekkor s0
arteas ))((),(max)(
(*) miatt ez nem fordulhat elő s = 0 , ba azaz
a b.
19
Definíció.
Az R euklidészi gyűrű triviális, ha csak az egységeket és a nullelemet tartalmazza, vagyis R* = E.
43. Tétel.
R euklidészi gyűrű akkor és csak akkor triviális, ha test.
Bizonyítás.
1. Tfh R triviális euklidészi gyűrű
aR* egység
bR esetén a | b
az ax=b egyenlet megoldható, vagyis R test.
2. Tfh R test
az ax=b egyenlet megoldható tetszőleges rögzített a0 és minden b esetén
ab, s így a egység.
20
44. Tétel.
R euklidészi gyűrűben minden nullától és az egysé-gektől különböző elemnek van felbonthatatlan osztója.
Bizonyítás.
Tfh aR*\E, és
D =
{r: rR*\E, ra és, ha sR*\E és sa (r)(s)}.
D
f D.
D az a elem azon nem nulla, nem egység osztóit tartalmazza, amikre a érték minimális.
21
Indirekte tfh f nem felbonthatatlan
f = bc és b, cE ba .
bf és nem asszociáltak
42. Tétel (b)(f) (b)<(f) ,
mert ekkor b lenne D-ben f helyett.
f felbonthatatlan
22
45. Tétel.
Legyen R euklidészi gyűrű és aR*\E. Ekkor a elő-állítható véges sok R-beli felbonthatatlan szorzataként.Bizonyítás ( értéke szerinti teljes indukció).
Tfh aR*\E .
1. Tfh (a) minimális az R*\E-beli elemekre nézve.
44. Tétel a felbonthatatlan.
a = a
2. Legyen aR*\E, (a) = n, és tegyük fel, hogy n-nél kisebb értékkel rendelkező elemek esetén az állítás igaz.
44. Tétel f felbonthatatlan : f | a
a = fh .
23
Lehet-e (h) = (a) ?
Ekkor h | a
a h lenne,
de f nem egység, tehát
(h) < (a).
1. eset: Tfh h egység
a felbonthatatlan.
2. eset: Tfh h nem egység
indukciós feltétel h-nak megfelelő felbontása:
h = f1f2…fr
a = ff1f2…
fr .
a = fh .
24
46. Tétel.
Legyen R euklidészi gyűrű és aR*\E. Ekkor a sorrend és asszociáltság erejéig egyértelműen bontható fel felbonthatatlanok szorzatára.
Megjegyzés:
Ha érvényben van egy R integritási tartományban az egyértelmű felbontás tétele, ebből nem következik, hogy euklidészi gyűrű.
Gyűrűk
Integritási tartományok
Faktorizációs tartományok, Gauss-gyűrűk
Euklidészi gyűrűk
Testek