E U K L I D

PAGE 16

UNIVERZITET U BEOGRADU

MATEMATIKI FAKULTET

SEMINARSKI RAD IZ METODIKE NASTAVE

MATEMATIKE II

E U K L I D

- PROBLEM PETOG EUKLIDOVOG POSTULATA-

PROFESOR

STUDENT

Dr. Zoran Lui

Mladenovi Tatjana

Broj indeksa 23/94

1998. godina

Sadraj :

EUKLID, MATEMATIAR STARE GRKE......................3

RAZVOJ MATEMATIKE I GEOMETRIJE

ZNAAJ EUKLIDOVIH ELEMENATA...............................5

EUKLIDOV PETI POSTULAT...........................................9

EUKLIDSKA GEOMETRIJA............................................10

EUKLIDOVI NASTAVLJAI............................................12

EUKLIDOV PETI POSTULAT KAO PRAVI

TEMELJ GEOMETRIJE..................................................14

LITERATURA..................................................................15E U K L I D

PROBLEM 5-tog EUKLIDOVOG POSTULATA

EUKLID, MATEMATIAR STARE GRKE.

IVEO U TREEM VEKU PRE NOVE ERE.

TVORAC GEOMETRIJE KOJOM SE

I DANAS KORISTIMO.

EUKLID je prvi pisac matematikih rasprava. Njegovo delo ELEMENTI, u trinaest knjiga, sadri osnovna naela geometrije. Euklid je predavao u jednoj od najpoznatijih antikih kola, koja se nalazila u Aleksandriji u Egiptu. Njegova dela pokazuju kako je taj genijalni matematiar umeo da iskoristi iskustvo egipatskih graditelja i da iz njega izvue definicije i pravila koja se mogu dokazati i zahvaljujui kojima je gaometrija egzaktna nauka ( egzaktne nauke su one koje nam daju tano odreena saznanja - saznanja koja se mogu dokazati eksperimentima i matematikim putem. To su, pre svega, fizika, hemija, matematika i astronomija ). Posle Euklida stvoreni su i drugi sistemi u geometriji, ali Euklidova geometrija je vekovima bila opte prihvaena i primenjivana, a i danas se jo predaje u kolama.

U savremenom obliku Elementi su prvi put tampani u Veneciji 1482. godine. Do tada su bili poznati samo rukopisni primerci tog dela. Najbolji rukopis, Codex P, nalazi se u biblioteci u Vatikanu. Sem Elemenata, Euklidu se pripisuju i neki drugi radovi, npr. PODATAK , rad sa 95 stavova o geometrijskim funkcionalnim vezama koji sadri primenu algebre u geometriji, zatim GEOMETRIJSKE TEOREME , OPTIKA sa osnovama perspektive i dr. Napisao je i jedno delo koje se odnosi na teoriju muzike i harmonije. Sem ovih sauvanih, Euklid je napisao i druge radove o kojima saznajemo uglavnom od njegovih prvih komentatora. Prema Proklu on je napisao jedno delo koje bi sluilo za logiku gimnastiku aka i jedan rad o podeli slika u kojem su tretirana pitanja tipa: podeliti povrinu trougala pravom datog pravca u datom odnosu. Prema Paposovim podacima napisao je i zbirku matematikih zakljuaka i pomonih teorema.

Mesto Euklidovog roenja nije tano utvreno ( navode se razliiti podaci ), a najvei deo ivota proiveo je u Aleksandriji. Savremenici su ga opisali kao tihog i skromnog oveka koji je bio blagonaklon prema svakome ko je teio usvajanju novih matematikih znanja. Potovao je svoje prethodnike i prilikom izlaganja njihovih rezultata teio je da vri minimalne, samo neophodne izmene. Odanost Euklida geometriji dobro ilustruje ova anegdota. Jedan poetnik, koji je uio geometriju kod Euklida, kada je nauio prvu teoremu zapitao je svog uitelja : , , ta ja imam od toga to sam ovo nauio(, ,. Euklid je pozvao svog roba i rekao mu : , , Donesi mu tri obola ( grki sitan novac ), jer on ui zato da bi imao koristi( , ,.

Oko 300. godine stare ere, Euklid, uenik Platonove Akademije napisao je najuveniju i najitaniju i najuticajniju raspravu sa naslovom ELEMENTI.

Motiv za pisanje ovakve rasprave, bio je, donekle, stvaranje deduktivnih teorija. Prvi pokuaji stvaranja deduktivne teorije bili su pre dve i po hiljade godina. Poevi sa Elementima Hipokrata sa Hiosa ( sredina 5-tog veka stare ere ), poznatog trgovca koga su gusari opljakali na moru, pa se zadrao u Atini i odao nauci, preko Simplikija ( VI. vek nove ere ), koji je bio neoplatoniar i predavao na Platonovoj akademiji i koji je komentarisao Hipokratove elemente u komentarima Aristotelove fizike. Podatak o Hipokratu sauvan je u knjizi koja se tokom istorije izgubila. Dolo se do neoplatoniara Prokla ( 410-485 ), koji je citirao izvesne delove Eudemove istorije geometrije, i Leona koji je pod uticajem Prokla, jednog od najznaajnijih mislioca starog veka, oko 370. godine stare ere sastavio nove Elemente. Poznato je da je Platon antiki filozof, koji je nakon Sokratove smrti kojom je bio ogoren, napustio Atinu i punih 20 godina putovao po mnogim zemljama. Po povratku u rodni grad osnovao je filozofsku kolu- AKADEMIJU, pa u njoj iznosio svoje misli. Za potrebe Platonove kole, jo potpunije Elemente napisao je TEUDIJE IZ MAGNEZIJE, a dopunio ih je HERMOTIM iz Kolfona. Meutim ova dela su tokom istorije izgubljena, ali je njihov znaaj ostao da se ogleda u Euklidovom najznaajnijem naunom delu.

Euklidovo delo je dugo vailo za osnov svakog obrazovanja. Svi udbenici pre njega bili su odbaeni, a posle njega dugo nije ni bilo pokuaja da se naini neko novije, vanije delo. Euklidovi Elementi su esto bili prepisivani. Od Aleksandrijskog vremena ( 300 godina pre nove ere ) pa sve do dana dananjeg, Euklidovi Elementi su bili i udbenik i neto vie. Ovo delo je prvi primer sistematizovanog znanja i zato ga je bilo teko nadmaiti. Na na jezik je Euklidove elemente preveo Anton Bilimovi ( 1949-1957 ), koji je bio ruski emigrant. Zahvaljujui Elementima geometrija je vekovima doivljavana kao savrenstvo i stoga se prema njoj ravnalo svako drugo sistemsko znanje.

RAZVOJ MATEMATIKE I GEOMETRIJE

ZNAAJ EUKLIDOVIH ELEMENATA

Aleksandar Veliki Makedonski ( 356-323. godine pre nove ere ) bio je najvei vojskovoa staroga veka. Svoju veliku imperiju proirio je van Grke, pokrivi Malu Aziju, Siriju, Egipat i Persiju. Stigao je do reke Inda u Indiji, a umro je u Vavilonu ( IRAK ). Posle njegove smrti velika imperija se raspala. U Egiptu, U Aleksandriji, koju je on osnovao 331. godine pre nove ere, na vlast je dola dinastija Ptolomeja, grkog porekla. Za vreme njihove vladavine Aleksandrija je postala centar tadanje nauke i kulture. Iz Vavilona, Indije, Persije stizao je u Aleksandriju uticaj istone kulture, a dolazili su i brojni grki naunici. Na taj nain u Aleksandriji dolo je do pravog procvata nauke i umetnosti, koji je trajao oko dva veka. U samoj Aleksandriji centar naunih zbivanja bio je Aleksandrijski muzej, koji treba smatrati nekom vrstom akademijenauka ili univerzitetom. Aleksandrijsku nauku karakterie, pored ostalog, injenica da je dolo do izdvajanja posebnih nauka-matematike, astronomije, mehanike-iz do tada prisutnog opteg prouavanja prirode. Najvei predstavnici aleksandrijskih nauka bili su : matematiari Euklid, Apolonije, Diofant, matematiar i mehaniar Arhimed, astronomi Hiparh, Ptolomej, mehaniar Heron i osniva geodezije Eratosten.

to se geometrije tie, ona je kao empirijska nauka u ranom periodu svog razvitka dostigla naroito visok stepen u Egiptu, u vezi sa radovima na premeravanju i navodnjavanju zemljita.

U prvom milenijumu pre nove ere geometrijska znanja su iz Egipta preneta u Grku, gde je otpoela nova etapa u razvitku geometrije. Za vreme od 7. do 3. veka pre nove ere Grki geometri su ne samo obogatili geometriju mnogobrojnim novim injenicama, nego i preduzeli ozbiljne korake u pravcu njenog strogo logikog zasnivanja.

Kao vrhunac razvitka geometrije, nastaje uveno delo ELEMENTI ( ETOIXEIA ). U njemu je izlaganje u tolikoj meri besprekorno za svoje vreme, da su dugo bili jedini udbenik iz geometrije, koji je kasnije najvie prevoen na ostale jezike.

Elementi su prvi put tampani 1482. godine u Veneciji. Najbolji rukopis se nalazi u Vatikanu u Biblioteci.

Euklidovi Elementi se sastoje iz 13 knjiga i u njima su postupno izloena osnovna geometrijska znanja onoga vremena. Prvih est knjiga se odnose na planimetriju i, najkrae reeno, u njima se razvija geometrija trouglova, etvorouglova, krugova, poligona, proporcija i slinosti. Naredne etiri se odnose na geometrijsku teoriju brojeva. Poslednje tri knjige odnose se na strereometriju-jedanaesta knjiga je uvod u stereometriju, dvanaesta se bavi piramidama, konusima i cilindrima, a trinaesta pravilnim poliedrima.

Navodim sve definicije preuzete iz prevoda Euklidovih Elemenata Antona Bilimovia.

1. Taka je ono to nema delova.

2. Linija je duina bez irine.

3. Krajevi linije su take.

4. Prava je linija ona, koja za take na njoj podjednako lei.

5. Povrina je ono to ima samo duinu i irinu.

6. Krajevi povrine su linije.

7. Ravan je povrina koja za prave na njoj podjednako lei.

8. Ugao u ravni je uzjamni nagib dveju linija u ravni koje se seku i koje ne lee u istoj pravoj.

9. Ako su linije koje obrazuju ugao prave, ugao se zove pravolinijski.

10. Ako prava, koja stoji na drugoj pravoj, obrazuje sa ovom dva susedna jednaka ugla, svako od njih je prav, a podignuta prava zove se normala na onoj na kojoj stoji.

11. Tup ugao je onaj koji je vei od pravog.

12. Otar je onaj koji je manji od pravog.

13. Granica je ono to je kraj ma ega.

14. Figura je ono to je omeeno ili sa jednom ili sa vie granica.

15. Krug je ravna figura omeena takvom jednom linijom ( koja se zove periferija ), da su sve prave povuene iz jedne take, koja se nalazi u samoj figuri, prema toj liniji ( prema periferiji kruga ) meusobno jednake.

16. Ova taka zove se sredite kruga.

17. Prenik kruga je svaka prava to prolazi kroz sredite kruga, a ograniena je sa svake strane periferijom kruga; on polovi krug.

18. Polukrug je figura ograniena prenikom i njime odvojenom periferijom kruga; sredite polukruga je isto kao i sredite kruga.

19. Pravolinijske figure su one koje su ograniene pravama; trostrane su ograniene sa tri, etvorostrane sa etri, mnogostrane sa vie od etiri prave.

20. Od trostranih figura jednakostrani trougao ima samo dve jednake strane, a raznostrani ima tri nejednake strane.

21. Dalje, od trostranih figura je pravougli trougao onaj koji ima prav ugao, tupougli koji ima tup ugao, a otrougli koji ima tri otra ugla.

22. Od etvorostranih figura kvadrat je jednakostran i sa pravim uglovima; pravougaonik je sa pravim uglovima, no nije sa jednakim stranicama; romb sa jednakim stranama, no nije sa pravim uglovima; romboid sa jednakim naspramnim stranama, no nije jednakostran ni sa pravim uglovima. Ostale etvorostrane figure neka se zovu trapezi.

23. Paralelne su one prave, koje se nalaze u istoj ravni i koje se, produene u beskrajnost na obe strane, ne seku jedna sa drugom.

Euklid je stavio definicije na poetak. On je znao da se ne moe sve definisati. Objekti koji zadovoljavaju aksiome jesu taka, prava i ravan. Taku, pravu i ravan ne definiemo. Njegove aksiome su uglavnom negeometrijske, ali ima neeg i geometrijskog. Zato Euklid definie neke pojmove( On ne doputa da na bilo koji nain intrepretiramo pojmove u geometriji. On nije doputao da pravu zamiljamo da bude kriva. Za njega taka ne moe da bude bilo ta, ve samo ono to se u Platonovom svetu zove TAKA( On definie objekte idealnog sveta.

Moe se primetiti da sve ove definicije predstavljaju kratka objanjenja kako bi itaoc stvorio intuitivnu predstavu o pojedinim geometrijskim pojmovima. Primetimo da ima dosta nejasnih i neupotrebljivih definicija. Ali ne treba misliti da sve ove definicije imaju nedostatke. Veliki broj definicija, kao npr. definicija kruga, trougla, pravog, otrog i tupog ugla su besprekorne ili skoro besprekorne.

Osnovne stavove Euklid je podelio na aksiome i postulate. Euklid je zasnovao geometriju na 5 postulata i 9 aksioma. Postulati glase:

Neka se pretpostavi 1. Da se moe povui od svake take ka svakoj drugoj taki prava linija.

2. I da ograniena prava moe biti produena u svom pravcu neprekidno.

3. I da se moe opisati od svakog sredita svakim rastojanjem krug.

4. I da su svi pravi uglovi jednaki meusobno.

5. I da e se, ako jedna prava u preseku sa drugim dvema obrazuje sa iste strane dva unutranja ugla iji je zbir manji od dva prava ugla, te dve prave, beskrajno produene, sei i to sa one strane sa koje su ovi uglovi manji od dva prava. , ,

Postulati iskazuju geometrijske istine. Kao i postulati, i aksiome su osnovna tvrenja. Navodimo ih:

1. Oni ( objekti ) koji su jednaki istom ( objektu ) jednaki su meusobno.

2. I ako se jednakim ( objektima ) dodaju jednaki ( objekti ) celine su jednake.

3. I ako se od jednakih ( objekata ) oduzmu jednaki ( objekti ) ostaci su jednaki.

4. I ako se nejednakim ( objektima ) dodaju jednaki ( objekti ) celine su nejednake.

5. I udvostrueni jednaki ( objekti ) jednaki su meusobno.

6. I polovine od jednakih ( objekata ) jednake su meusobno.

7. I oni ( geometrijski objekti ) koji se mogu poklopiti jednaki su meusobno.

8. I celina je vea od dela.

Samo su sedma i deveta aksioma geometrijskog karaktera. Moe se primetiti da su formulacije postulata i aksioma besprekorne.

Po zamisli autora ELEMENATA , dokazi svih stavova treba da se oslanjaju na svojstvo geom.oblika odreena postulatima i aksiomama. Pa se , prirodno, postavlja pitanje, poto je to nedostatak kod Euklidovih elemenata, da li se neki njegovi dokazi mogu zameniti sa drugim dokazima koji se oslanjaju samo na postulate i aksiome. Pokazalo se da je to mogue uiniti, tek nakon uvoenja i popunjavanja Euklidovih sistema postulata i aksioma. Stari Grci su prvi zadatak sebi zadavali da Euklidov sistem postulata svedu na najmanju moguu vezu. Tim putem, Elementi su bili osloboeni 4 postulata koji govore o jednakosti pravih uglova.

Pokuavalo se da se sistem oslobodi V postulata, ali bez uspeha, to ukazuje na veliki znaaj V postulata.

EUKLIDOV V POSTULAT

Ovaj postulat je najvanije mesto u Elementima. Posluio je kao polazna taka za nastajanje neeuklidskih geometrija, a veliki uticaj je imao i na logiki pregled svih deduktivnih sistema i na formiranje aksiomatike. Navodim prevod:

Neka se pretpostavi 5. I da e se, ako jedna prava u preseku sa drugim dvema obrazuje sa iste strane dva unutranja ugla iji je zbir manji od dva prava ugla, te dve prave, beskrajno produene, sei i to sa ove strane sa koje su ovi uglovi manji od dva prava ugla.Kako bi se formulisao Peti postulat u jeziku dananjice(Ovo je jedan od naina: Uz oznake slike vai:

Ako je ( + ( ( (, tada se prave a i b seku u poloravni pM.

Navedena formulacija ne menja samo stilski izvornu Euklidovu formulaciju. Tvrdi se da se prave a i b seku, iako je Euklid tvrdio da se prave samo sastaju, pribliavaju. Meutim, nain na koji se Euklid koristio svojim petim postulatom jasno dokazuje da je pod zbliavanjem podrazumevao i to da se dve navedene prave seku.

Dalje, broj ( se pojavljuje kao mera opruenog ugla. Euklid je isprueni ugao u definisanju pojma UGAO neposredno iskljuio. Zato nije mogao upotrebiti njegovu meru ( i morao je svuda umesto toga da pie , , dva prava , , .

EUKLIDSKA GEOMETRIJA

Geometrija Euklidskih Elemenata u kojoj je vana pretpostavka Euklidov peti postulat naziva se Euklidskom geometrijom. Znai pored prve etiri grupe aksioma uzima se i peta grupa. Tu grupu ini samo jedna aksioma koju je 1797. godine umesto Euklidovog petog postulata uveo engleski matematiar Don Plejfer. Ona se odnosi na paralelne prave, pa se zato naziva Plejferova aksioma paralelnosti ( VE ) i glasi :

Postoje taka B i prava a koja je ne sadri, takve da u njima odreenoj ravni ne postoje vie od jedne prave koja sadri taku B, a sa pravom a nema zajednikih taaka.

B

Ovako zasnovana geometrija se dobro slae sa svojstvima vrstih tela. Prostor veliine molekula, ponaa se kao euklidski. Meutim, geometrija prostora unutar atoma nije euklidska. Takoe za izraunavanje prostornih odnosa tela u kosmikom prostoru pogodnije je koristiti geometriju sa promenjljivom zakrivljenou, koja nije Euklidska.

Osnovne zamerke Euklidovih Elemenata su nainjene u 19 veku. Peti Euklidov postulat se ne koristi sve do 29. stava prve knjige Elemenata. Pitanje postulata i aksioma u Euklidovim Elementima su neraieni, jer se peti Euklidov postulat poredi sa 11. aksiomom. Ni 9. Euklidova aksioma nije ba geometrijska ( oblast se ne moe ograniiti dvema pravama ). Prvih 28. stavova su stavovi apsolutne geometrije, pa je Euklid prvi ovek koji se bavi neeuklidskom geometrijom. Euklid gradi geometriju, kao to je Dekart gradio filozofiju.

Zvaaj petog Euklidovog postulata se ogleda u tome, to je on neizbean, i ne moe se dokazati preko ostalih postulata i aksioma. Postojali su mnogi pokuaji meu kojima se istiu:

Prokle u dokazu petog postulata koristi svojstvo paralelnih pravih koje se ne sadri u ostalim postulatima i aksiomama. tavie ovo se iz njih ne moe izvesti.

Postoji vrlo mnogo drugih teorema pomou kojih bi se moglo dokazati peti postulat.

N.p.r.:

1. Sve normale jednog kraka nekog otrog ugla seku drugi krak.

2. Postoje slini ali, nejednaki trouglovi.

3. postoje trougli proizvoljno velike povrine.

4. Postoje trougli iji je zbir uglova jednak sa dva prava ugla.

5. Kroz taku van date prave moe se povui najvie jedna njoj paralelna prava.

Premda nisu doveli do eljenog rezultata, pokuaji dokazivanja petog postulata odigrali su nesumnjivo pozitivnu ulogu u razvitku geometrije, jer su je u nizu sluajeva obogatili novim interesantnim teoremama iji se dokaz ne oslanja na peti postulat. Jedna od takvih teorema koju je dokazao Leandr glasi;

U svakom trouglu zbir uglova nije vei od dva prava ugla.

Jedan od naina prilaenja dokazivanju petog postulata kojim su se koristili mnogi geometriari 18. Veka i prve polovine 19. Veka bio je sledei:

Peti postulat se zamenjuje svojom negacijom ili kakvim bilo tvrenjem ekvivalentnim toj negaciji. Oslanjajui se na tako izmenjen sistem postulata i aksioma dokazuju se svi mogui stavovi koji iz te negacije logiki proizilaze, slino onome kako se to ini u ELEMENTIMA . Ako peti postulat stvarno proizilazi iz svih ostalih postulata i aksioma, tada je taj na pokazani nain promenjen sistem postulata i aksioma protivurean. Zato emo pre ili kasnije doi do dva zakljuka koji se uzajamno iskljuuju. Time e peti postulat biti dokazan.

Upravo takvim putem su Sakeri, Lambert i Leandr pokuali da dokau peti postulat.

Veliki ruski matematiar N.I. Lobaevski kome pripada ast otkria nove geometrije-geometrije Lobaevskog- takoe je poeo od pokuaja da dokae peti postulat.

Kao to je ve pomenuto, jedan od ekvivalenata petog postulata sastoji se u tvrenju da kroz taku van date prave ne prolazi vie od jedne prave paralelne datoj. Lobaevski je peti postulat zamenio sledeim:

Kroz taku van prave u ravni prolaze dve prave koje ne seku datu pravu.

Slino svojim prethodnicima , Lobaevski se nadao da e otkriti protivrenost u sistemu posledica tako izmenjenog Euklidovog sistema, Ali kad je svoj sistem razvio do obima ELEMENATA , Lobaevski nije u njemu otkrio protivrenost i na osnovu toga je izveo onaj izvanredan zakljuak da postoji geometrija koja se razlikuje od Euklidove geometrije i u kojoj za peti postulat nema mesta.

Lobaevski je bio prvi ali ne i jedini geometriar koji je zakljuio da postoji geometrija razliita od Euklidove geometrije. Do zakljuka o postojanju nove geometrije doli su i Gaus i Biljaj, o emu svedoe njihove izjave u pismima koja su pisali svojim savremenicima.

Dokaz neprotivurenosti geometrije Lobaevskog bio je ujedno i dokaz nezavisnosti petog postulata od ostalih postulata i aksioma.

Opta tenja ka strogosti u matematici , kojom su obeleeni radovi iz druge polovine 19. veka i reenje problema vezanog za peti postulat postavili su pred geometriare zadatak da se potpuno ispita sistem aksioma geometrije. Ova su ispitivanja pokazala da je Euklidov sistem aksioma daleko od savrenstva i da, pre njega taj sistem uopte nje potpun. U njemu nedostaju itave grupe aksioma neophodnih za izvoenje besprekornih dokaza.

U vezi sa tim geometriari druge polovine 19. veka su Euklidov sistem aksioma popunili aksiomama poretka. Jedna od njih nosi njegovo ime. Ispitivanja aksiomatike Euklidske geometrije zavrio je D. Hilbert ( 1899. godine ).

EUKLIDOVI NASTAVLJAI

Prvi Euklidovi nastavljai su brzo ustanovili da postulati i aksiome na kojima poivaju Elementi nisu dovoljni da se iz njih izvedu sva geometrijska tvrenja.

Arhimed ( -287 do -212 ) je u raspravi O sveri i cilindru , dopunio Euklidovu aksiomatiku sa 5 novih aksioma. Prva od njih je tvrenje da je prava najkraa od svih linija koje imaju zajednike krajeve . Petu aksiomu, Arhimed je preuzeo od Eudoksa ( oko -408 do -355 ). Njome se pretpostavlja da od dveju nejednakih linija, dveju nejednakih povrina ili dvaju nejednakih tela, vea veliina bie manja od one veliine koja se dobija kada manju umnoimo potreban broj puta .

Posle Arhimeda izgraena je simbolika algebra, zasnovana je analitika geometrija, a nakon toga i diferencijalni i integralni raun.

Najstariji tumai Elemenata primetili su da je Euklid dokazao mnogo elementarnija tvrenja, pa su smatrali da je taj postulat ozbiljan nedostatak u sistemu.

Nikolaj Lobaevski i Jano Boljaj su prvi put izrazili misao da peti postulat ne zavisi od ostalih aksioma geometrije i da se ne moe izvesti iz ostalih postulata.

Njihovi rezultati su postali jasni tek krajem devetnaestog veka.

D. Hilbert je u delu Osnove geometrije , koje je izdato 1899. godine, geometriju zasnovao na neprotivurenom, nezavisnom i potpunom sistemu aksioma.

Za razliku od Euklidovih Elemenata u Hilbertovim Osnovama geometrije je njihova formalistika koncepcija stvorila preduslov za istraivanja koja se odnose na potpunost, neprotivurenost i nezavisnost aksiomatskog sistema.

Dovravanje Elemenata najavljuje kraj jedne intelektualne epohe izlaganjem dostignua ljudskog intelekta do tada rasplamsanog. Euklid je imao oko 35 godina kad je Aleksandar Veliki jedne zime, po zavretku vojnog pohoda na Egipat zamislio projekt osnivanja grada Aleksandrije kao uspomenu na svoje pohode. Taj posao je poverio Kleomenu, svom glavnom skupljau priloga. Aleksandar je umro u Vavilonu ( 323. godine p.n.e ) pre nego to je pregledao planove grada.

Jedan od Aleksandrovih generala Ptolomej postao je carski namesnik Egipta. Kad se Euklid preselio u Aleksandrilju, ubrzo nakon osnivanja, ve je imao oko 40 godina. Kako nije umro mnogo pre abdiciranja osnivaa dinastije Ptolomejevia, a moda je umro i nakon njega, mora da je doiveo osnivanje Aleksandrijskog muzeja i biblioteke. Smatra se ak da je bio i jedan od njenih prvih uitelja. to se te biblioteke tie ona je imala 650.000 knjiga napisanih na pergamentu ili papirusu, verovatno najvie na grkom jeziku.

Iako vojnik po profesiji, osniva dinastije koja se zavrila smru Kleopatre, imao je ambiciju da u svom glavnom gradu skupi naunike iz zemalja pod njegovim pokroviteljstvom. Tokom prvih 600 godina od osnivanja Aleksandrije svaki znaajan ovek nauke zapadnog sveta radio je i prouavao u Aleksandriji. Ona je bila uvod u do tada nezamislive mogunosti za prikupljanje, uvravanje intelektualnih nastajanja koja nisu bila ograniena svetenikom ili politikom cenzurom.

Dinastiji Ptolomejevia se bliio kraj, kad je Julije Cezar stigao u grad. Neki kau da je velika biblioteka izgorela u plamenu, a drugi da je Cezar sa Kleopatrovom dozvolom otpremio veliki deo njenih zaliha na pristanita, gde ih je unitio plamen prilikom povlaenja njegovih snaga. Nakon toga je u Aleksandriji nastao sumrak do sredine 2. veka nove ere.

U Euklidovo vreme pisane rasprave nisu sluile kao roba za prodaju, to je poelo tek u doba Augusta Oktavijana kad poinje obnavljanje zbirke u Aleksandriji.

EUKLIDOV PETI POSTULAT KAO PRAVI

TEMELJ GEOMETRIJE

ovek je oduvek bio graditelj. On je pisao, a i danas pie svoju istoriju. Njegova dela od najskromnijeg do najsavrenijeg, od umetniki najuspelijeg do onog koje je samo korisno, kao da upuuju izazov vremenu. To je, u stvari, jedna jedinstveno duga i vekovima neprekidna pria. Ostvariti zamisao, oivotvoriti ideju, realizovati plodove uma- oduvek je ljudima predstavljalo pravi smisao postojanja. Ali, svaka naa ideja vredi samo ako je prihvate i drugi, ako je prime kao sopstvenu i daju svoj doprinos da se ona pretvori u vidljivu i opipljivu stvarnost.

Upravo je Euklid stvorio takvo delo, delo koje je teko nadmaiti.

Sve vreme borbe protiv petog Euklidovog postulata ( sve do 19. veka ), u isto vreme se verovalo u njegovu istinitost. Velika je ideja koja je Lobaeskog i Boljaju dola u um da moda negde u svemiru ne vai Euklidov peti postulat. Reklo bi se kao da je to pitanje vere, u koje tvrenje verovati, jer jedno iskljuuje drugo.

Danas Euklidov peti postulat stoji nepokolebljivo. Seciran vekovima, ostao je kao pravi temelj jedne geometrije stvorene jo u antiko vreme. Zahvaljujui Euklidu vekovima su matematiari imali ta da rade i to to su godine prolazile bivali je sve vei izazov raditi na tako naizgled jednostavnoj stvari.

Istorija Euklidovog petog postulata je jo jedna potvrda toga da su sve velike misli nastale jednostavno.

Elementi zajedno sa drugim radovima, svrstavaju Euklida u naunika sa bogatim stvaralakim darom. On je grku matematiku preneo u Aleksandriju i tamo stvorio, pored svojih radova, i dva velika metematiara, Arhimeda i Apolonija, koji zajedno sa Euklidom, ine blistavo sazvee sjajnog perioda antike matematike.

L I T E R A T U R A

1. EUKLID, ELEMENTI , Nauna knjiga, Beograd 1988

2. ZORAN LUI, EUKLIDSKA I HIPERBOLIKA GEOMETRIJA

3. A. IGNJATOVI, IZ ISTORIJE MATEMATIKE

4. . ZNAM i DRUGI, POGLED U POVIJEST MATEMATIKE , Tehnika knjiga, Zagreb 1989

5. Seminarski rad EUKLIDOV V POSTILAT , Student Vinja Jovanovi, br. Indeksa 262/88

6. DEIJE SVEZNANJE