„EU peníze středním školám“

Kombinatorická pravidla

Mgr. Marcela Sandnerová

Základní kombinatorická pravidla

Kombinatorické pravidlo součinu

Kombinatorické pravidlo součtu

Kombinatorické pravidlo součinuPříklad 1Kolika způsoby si může Pavel připravit snídani

jestliže si vybírá z následujících možností: nápoj: čaj, káva, mléko, kakao, džus; pečivo: chléb, rohlík, celozrnná bageta; tuk: máslo, Rama, bez tuku; obloha: tavený sýr, šunka, salám, plátkovaný

sýr, marmeláda, med, vejce.

Např. káva, chléb s máslem a medem.

Kombinatorické pravidlo součinuŘešení příkladu 1Snídaně - počet možností – p

nápoj: čaj, káva, mléko, kakao, džus 5 = n1

pečivo: chléb, rohlík, celozrnná bageta 3 = n2

tuk: máslo, Rama, bez tuku 3 = n3

obloha: tavený sýr, šunka, salám, plátkovaný

sýr, marmeláda, med, vejce 7 = n4

p = n1 ∙ n2 ∙ n3 ∙ n4 = 5∙3∙3∙7 = 315

Pavel si může připravit snídani 315 způsoby.

Kombinatorické pravidlo součinu

Počet všech uspořádaných dvojic, jejichž

první člen lze vybrat n1 způsoby

a druhý člen po výběru prvního n2 způsoby,

je roven: p = n1 ∙ n2

Zformulujte kombinatorické pravidlo

součinu pro uspořádanou trojici, čtveřici, k-tici.

Kombinatorické pravidlo součinu

Počet uspořádaných trojic, jejichž první člen lze

vybrat právě n1 způsoby, druhý člen po výběru

prvního členu právě n2 způsoby a třetí člen

po výběru druhého právě n3 způsoby, je roven:

p = n1 ∙ n2 ∙ n3

Kombinatorické pravidlo součinuPříklad 2Kolik čtyřciferných přirozených čísel menších

než 7 000 lze sestavit z číslic 0 až 9, jestliže se

číslice v zápisu čísla neopakují?

Kombinatorické pravidlo součinuŘešení příkladu 2Kolik čtyřciferných přirozených čísel menších

než 7 000 lze sestavit z číslic 0 až 9, jestliže se

číslice v zápisu čísla neopakují?

řád tisíců n1 = 6 možnosti:1, 2, 3, 4, 5, 6

řád stovek n2 = 9 (o jednu číslici méně)

řád desítek n3 = 8 (o jednu číslici méně)

řád jednotek n4 = 7 (o jednu číslici méně)

p = n1 ∙ n2 ∙ n3 ∙ n4 = 6∙9∙8∙7 = 3 024

Lze sestavit 3 024 čtyřciferných přirozených

čísel menších než 7 000.

Kombinatorická pravidla součtu a součinuPříklad 3Novákovi zvažují, zda pojedou v létě na dovolenou

k moři, kde by jim termínem vyhovovaly čtyři pobyty

s možností výběru plné penze, nebo polopenze.

Druhou variantou je pět zahraničních poznávacích

pobytů, u kterých je nabídka plné penze, polopenze,

nebo vlastního stravování.

Kombinatorická pravidla součtu a součinuŘešení příkladu 3Dovolená - počet možností p = p1 + p2

Dovolená u moře p1 = n1 ∙ n2

- možnosti pobytu: 4 = n1

- možnosti stravování: 2 = n2

Poznávací pobyt p2 = n3 ∙ n4

- možnosti pobytu: 5 = n3

- možnosti stravování: 3 = n4

p = p1 + p2 = n1 ∙ n2 + n3 ∙ n4 = 4∙2 + 5∙3 = 23

Novákovi vybírají dovolenou z 23 možností.

Kombinatorické pravidlo součtu

Jsou-li A1 a A2 konečné množiny, pro které platí:

- mají po řadě p1 a p2 prvků,

- jsou disjunktní,

pak počet prvků množiny A1 A∪ 2

je roven: p = p1 + p2

Zformulujte kombinatorické pravidlo součtu

pro uspořádanou k-tici.

Kombinatorické pravidlo součtu

Jsou-li A1, A2, …, Ak konečné množiny, pro které

platí:

- mají po řadě p1, p2, …, pk prvků,

- každé dvě jsou disjunktní,

pak počet prvků množiny A1 A∪ 2 … A∪ ∪ k

je roven: p = p1 + p2 + … + pk

Kombinatorická pravidla součtu a součinuPříklad 4Kolik přirozených čísel menších než 370 lze sestavit

z číslic 0 až 9, jestliže se číslice v zápisu čísla

neopakují?

Kombinatorická pravidla součtu a součinuŘešení příkladu 4 – 1. částPřirozená čísla menší než 300,

číslice 0 až 9, neopakují se

počet možností p = p1 + p2 + p3

- jednociferná přirozená čísla p1= n1= 9

řád jednotek n1= 9 (možnosti:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

- dvojciferná přirozená čísla p2 = n1 ∙ n2 = 9∙9 = 81

řád desítek n1= 9 (nelze použít 0)

řád jednotek n2= 9 (o jednu číslici méně, ale přidána 0)

- trojciferná přirozená čísla p3

Kombinatorická pravidla součtu a součinuŘešení příkladu 4 – 1. částPřirozená čísla menší než 300,

číslice 0 až 9, neopakují se

počet možností p = p1 + p2 + p3

- jednociferná přirozená čísla p1= n1= 9

(možnosti:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

- dvojciferná přirozená čísla p2 = n1 ∙ n2 = 9∙9 = 81

řád desítek n1= 9 (nelze použít 0)

řád jednotek n2= 9 (o jednu číslici méně, ale přidána 0)

- trojciferná přirozená čísla p3

Kombinatorická pravidla součtu a součinuŘešení příkladu 4 – 2. část- jednociferná přirozená čísla p1= n1= 9

- dvojciferná přirozená čísla p2 = n1 ∙ n2 = 9∙9 = 81

- trojciferná přirozená čísla

p3 = n1 ∙ n2 ∙ n3 = 2∙9∙8 = 144

řád stovek n1= 2 (možnosti: 1, 2)

řád desítek n2= 9 (o jednu číslici méně)

řád jednotek n3= 8 (o jednu číslici méně)

p = p1 + p2 + p3 = 9 + 81 + 144 = 234

Lze sestavit 234 přirozených čísel menších

než 300.

Kombinatorická pravidla součtu a součinuŘešení příkladu 4 – 2. část- jednociferná přirozená čísla p1= n1= 9

- dvojciferná přirozená čísla p2 = n1 ∙ n2 = 9∙9 = 81

- trojciferná přirozená čísla

p3 = n1 ∙ n2 ∙ n3 = 2∙9∙8 = 144

řád stovek n1= 2 (možnosti: 1, 2)

řád desítek n2= 9 (o jednu číslici méně)

řád jednotek n3= 8 (o jednu číslici méně)

p = p1 + p2 + p3 = 9 + 81 + 144 = 234

Lze sestavit 234 přirozených čísel menších

než 300.

Zdroje:

Pokud není uvedeno jinak, použitý materiál je

z vlastních zdrojů autorky.