etf dokument 8592
DESCRIPTION
etfTRANSCRIPT
Električno polje u homogenom, linearnom
i izotropnom dielektriku
U ovakvoj sredini koja se karakteriše konstantnom dielektričnom
propustljivošću, vektori su vezani jednostavnom relacijom: EDrr
i
EDrr
ε=Maksvelov postulat se može pisati u obliku:
QSdESdESS
== ∫∫rrrr
εε
εQ
SdES
=∫rr
Ovo je formalno identično sa Gausovim zakon za polje u vakuumu, s
tim što je ε0 zamenjeno sa ε.
Pošto ovo važi za osnovni zakon elektrostatike, očigledno je da će i svi
ostali zakoni i obrasci za elektrostatičke veličine u homogenim
(linearnim i izotropnim) dielektricima biti identični onima za vakuum,
uz uslov da se ε0 zameni sa rεεε 0=
rr
rVr
CU
Q
U
QC
V
r
dVV
εε
ε
ρ
εεπρ
ρ
0
0
0
0
04
1
===
== ∫
rr
rr
F
r
QQF
E
r
QE
εεεπ
εεεπ
0
2
21
0
0
2
0
4
1
4
1
==
==
Za tačkasta naelektrisanja:
U homogenom dielektriku, indukcija je nezavisna od dielektrične
propustljivosti. Ovo se lako može utvrditi na primeru polja tačkastog
naelektrisanja:
0204
1r
r
QEED r
rrrr
πεεε ===
Pošto se i najsloženije polje može smatrati kao geometrijski zbir
elementarnih polja što ih stvaraju elementarna tačkasta naelektrisanja,
ovaj zaključak ima opšti karakter.
Dr
Granični uslovi na razdvojnoj površini dva
dielektrikaOsobine dielektrika na razdvojnoj
površini se menjaju skokovito, pa se
očekuje i diskontinuitet vektora
pri prelazu iz jedne u drugu
sredinu. EDrr
iS∆
η
1nr
2nr
1Dr
2Dr
Neka je Gausova površina cilindrična.
Primenimo na nju Maksvelov postulat,
imajući u vidu da na razdvojnoj
površini nema slobodnih naelektrisanja.
Ako ∆h teži nuli, fluks vektora indukcije
se svodi samo na flukseve kroz osnovice
valjka:
02211 =∆⋅+∆⋅=⋅∫ SnDSnDSdDS
rrrrrr
Ako se uvede zajednički jedinični vektor , onda je:nnnrrr
=−= 21
nDnDrrrr⋅=⋅ 21
odnosno:
nn DD 21 =
Normalne komponente vektora električne indukcije s jedne i druge strane
granične površine su jednake.
1lr
∆
2lr
∆
Ponašanje tangencijalnih komponenata
jačine električnog polja se može lako
odrediti ako se teorema o bezvrtložnom
karakteru primeni na elementarnu
pravougaonu konturu ABCD.
1. uslov
02211 =∆⋅+∆⋅=⋅∫ lElEldEABCD
rrrrrr
Ako je , prethodna relacija je:lllrrr
∆=∆−=∆ 21
lElErrrr
∆⋅=∆⋅ 21
Jednačina može biti zadovoljena samo ako su tangencijalne komponente
vektora polja jednake:
tgtg EE 21 = 2. uslov
Pošto u linearnim i izotropnim dielektricima važi veza , 1. uslov
se može napisati u formi:
EDrr
ε=
nn EE 2211 εε = 3. uslov
Normalne komponente vektora jačine polja skokovito se menjaju pri
prolasku kroz graničnu površinu.
Granični uslov 2 se može napisati u formi:
2
2
1
1
εεtgtg DD
= 4. uslov
Tangencijalne komponente vektora električne indukcije se skokovito
menjaju kroz graničnu površinu.
1ε
2ε
1Er
2Er
1α
2α
n
tg
n
tg
E
E
E
E
2
2
2
1
1
1 tgtg == αα
2
1
2
1
tg
tg
εε
αα
=
Pri prelazu iz sredine veće dielektrične
propustljivostu u sredinu manje dielektrične
propustljivosti linije polja se priklanjaju ka
normali.
Tube fluksa električne indukcije
Pod tubom fluksa električne indukcije podrazumeva se deo prostora
u polju koji zahvata cevasta površina formirana od linija vektora
električne indukcije.
Tube fluksa polaze od slobodnih naelektrisanja i završavaju na njima
prolazeći kroz dielektrik bez prekidanja. Fluks vektora je isti u svim
poprečnim presecima jedne tube.
Dr
Q −Q
S1 S2
∆Q1 ∆Q2
Dr
S0
Primena Maksvelovog postulata na zatvorenu površinu koja se sastoji od
površina S1, S2 i S0 daje:
21
210
QQSdDSSS
∆+∆=⋅∫++
rr
Kako je fluks kroz omotač S0 jednak nuli, a i fluksevi kroz površine S1i S2 u unutrašnjosti provodnika su jednaki nuli (u unutrašnjosti
provodnika nema polja), to je:
21 QQ ∆−=∆
Na svojim krajevima tuba se oslanja na slobodna naelektrisanja jednakih
količina, ali suprotnih znakova:
Ravan kondenzator sa dva sloja dielektrika
21 εε <Er
Maksvelov postulat primenjen na
zatvorenu površinu S0 koja obuhvata
pozitivnu elektrodu:
QSDSdDS
==⋅∫ 1
0
rr
gde je Q slobodno naelektrisanje
obuhvaćene elektrode. Odavde je:
SQD /1 =
Analogno, za dielektrik 2:
SQD /2 =
1d 2d
d
21 εε <Dr
S
0S
Vektor električne indukcije ima isti intenzitet u oba dielektrika:
η==== SQDDD /21
Polje vektora električne indukcije je homogeno u celom prostoru
izmeñu elektroda.
Pošto su oba dielektrika linearna i izotropna, jačine polja u pojedinim
slojevima su:
2
2
1
1 εεD
ED
E ==
Polje je jače u sredini sa manjom dielektričnom konstantom.
Potencijalna razlika izmeñu elektroda kondenzatora je:
+=+=
2
2
1
12211 εε
dd
S
QdEdEU
Kapacitivnost ovog kondenzatora je:
21
21
CC
CC
U
QC
+==
gde su:
2
22
1
11d
SC
d
SC εε ==
Sve se dešava kao da su dva kondenzatora vezana na red.
Dr
Er
Izmeñu elektroda se nalazi blok od homogenog dielektrika, čije su
površine paralelne elektrodama, ali su od njih odvojene vazdušnim
prostorom. Ovo je ravni kondenzator sa tri sloja dielektrika, a problem
se rešava na analogan način kao i prethodni.
1ε
2ε
1S
2S
Er
Dr
1ε
2ε
1S
2S
S
1Q
2Q
Kako svaka elektroda predstavlja ekvipotencijalnu površinu, napon na
elekrodama je isti za oba dela kondenzatora, pa je i jačina polja ista:
d
UEEE === 21
Kako se radi o linearnim i izotropnim dielektricima, to su električne
indukcije u dielektricima:
EDED 2211 εε ==
U sredini u kojoj je veća dielektrična konstanta, veći je i intenzitet
vektora električne indukcije.
Na delu elektrode S1 koji se nalazi u dodiru sa dielektrikom 1, količina
slobodnih naelektrisanja je:
11111 SESDQ ε==
Na delu elektrode S2 koji se nalazi u dodiru sa dielektrikom 2, količina
slobodnih naelektrisanja je:
22222 SESDQ ε==
Ukupno naelektrisanje elektrode je:
( ) ( )d
USSESSQQQ 2211221121 εεεε +=+=+=
Kapacitivnost ovakvog kondenzatora je:
d
S
d
S
U
QC 2
21
1 εε +==
Koaksijalni vod sa dva koncentrična sloja
dielektrika
1R
2RR′
r
1ε2ε
Kad se unutrašnji i spoljašnji provodnik voda
opterete po površini podužnom gustinom
naelektrisanja Q', iz razloga simetrije vektor
električne indukcije će imati isti intenzitet
u svim tačkama na istom rastojanju r od ose
voda.
Nek je Gausova površ valjak čije su kružne
osnovice poluprečnika r normalne na osu
voda, a omotač je koaksijalni cilindar aksijalne
dužine h.
Primenom Maksvelovog postulata, fluks vektora se svodi samo na
fluks kroz omotač, pa je:
Dr
hQhrD ′=π2
Odnosno:
212
RrRr
QD ≤≤
′=
πNa graničnoj cilindričnoj površini poluprečnika R' električna indukcija
ima isti intenzitet sa obe strane granične površine. Jednačine polja u
dvema dielektičnim sredinama su:
Na graničnoj površini, jačina električnog polja se skokovito menja.
2
2
1
1 εεD
ED
E ==
Potencijalna razlika izmeñu elektroda voda je:
dok je podužna kapacitivnost:
′
+′′
=
′+
′=
+==
∫∫
∫∫∫
′
′
′
′
R
R
R
RQ
r
drQ
r
drQ
drEdrEdrEU
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
2
211
21
21
ln1
ln1
2
22
2
1
2
1
2
1
εεπ
επεπ
R
R
R
RU
QC
′+′
=′
=′2
211
ln1
ln1
2
εε
π
Energija kondenzatora
Svako elektrostatičko polje sadrži odreñenu količinu energije koja je
jednaka radu koji je izvršen u procesu uspostavljanja polja.
Pretpostavimo da u početku elektrode nisu bile naelektrisane. Ako se
sa elektrode 1 na elektrodu 2 prenese elementarna količina
naelektrisanja dq, elektrode će se opteretiti malim i po znaku suprotnim
količinama naelektrisanja, i uspostaviće se polje malog intenziteta.
1
2
Ponavljanjem postupka, naelektrisanja na elektrodama će rasti, samim
tim i jačina polja, kao i potencijalna razlika izmeñu elektroda. U bilo
kom trenutku, ova potencijalna razlika je odreñena količinom
naelektrisanja na elektrodama i kapacitivnošću kondenzatora:
C
qu =
Prilikom prenošenja naelektrisanja dq moraju se savladati sile
elektrostatičkog polja i protiv njih izvršiti odreñeni rad:
dqC
qdqudA ==
Ukupan rad koji je potrebno izvršiti da bi se kondenzator opteretio
količinom naelektrisanja Q je:
C
Qdqq
CA
Q2
0 2
11== ∫
Prema zakonu o održanju energije, ovaj rad se transformiše u energiju
elektrostatičkog polja kondenzatora:
22
2
1
2
1
2
1UCQU
C
QW ===
Energija sistema naelektrisanih tela
Nek se sistem sastoji od N elektroda koje su opterećene količinama
naelektrisanja Q1, Q2, ...Qi,..., QN i imaju potencijale V1, V2, ..., Vi,..., VN.
Pretpostavka: u procesu opterećivanja, naelektrisanja na provodnicima
rastu srazmerno svojim konačnim vrednostima. Ako je koeficijent
srazmernosti, koji se menja od 0 do 1, obeležen sa x, naelektrisanje na
pojedinim elektrodama u nekom trenutku je:
Pošto izmeñu naelektrisanja i potencijala postoji linearna zavisnost,
potencijali provodnika u istom trenutku će biti:
Ni xQxQxQQx ,...,,...,, 21
Ni xVxVxVVx ,...,,...,, 21
Da bi se sa nivoa nultog potencijala na sve provodnike donele
elementarne količine naelektrisanja , potrebno je protiv sila
polja izvršiti rad:
dxQdq ii =
∑=
=N
i
ii dxQVxdA1
Rad koji se izvrši tokom celog procesa opterećivanja je:
∑∑ ∫==
==N
i
ii
N
i
ii QVdxxQVA11
1
0 2
1
Elektrostatička energija sistema je jednaka ovom radu (pod
pretpostavkom da nije bilo nikakvih gubitaka):
∑=
=N
i
iiQVW12
1
Lokalizacija energije u elektrostatičkom polju
Elektrostatička energija se može izraziti i preko jačine polja i električne
indukcije. Razmatramo ravni kondenzator izmeñu čijih elektroda je
homogeno polje. Napon i opterećenje na oblogama kondenzatora su:
Na osnovu ovoga je sada izraz za energiju kondenzatora:
SDSQdEU === η
VEDdSEDQUW2
1
2
1
2
1===
gde je V=Sd zapremina prostora izmeñu elektroda, tj. prostora u kom
postoji polje. Ovaj izraz ima poseban značaj jer ukazuje da je energija
lokalizovana u polju, koje je njen oslonac.
Svaki element zapremine dV u polju sadrži količinu energije:
dVEDdW2
1=
Zapreminska gustina energije je:
EDdV
dWw
2
1==
Pošto je u linearnom i izotropnom dielektriku , zapreminska
gustina energije se može još i odrediti preko:
EDrr
ε=
22
2
1
2
1DEw
εε ==
Izraz za energiju ravnog kondenzatora je:
VwW =
U opštem slučaju, kad polje nije homogeno, izraz za elektrostatičku
energiju se može pisati u formi zapreminskog integrala:
∫∫ ==VV
dVEDdVwW2
1
Sile u elektrostatičkom polju
Primena Kulonovog zakona za odreñivanje sile izmeñu naelektrisanih
tela dovodi do gotovo nepremostivih teškoća matematičke prirode.
Razmatra se ravni kondenzator čije se elektrode nalaze na kratkom
rastojanju x. Ako se elektrode opterete naelektrisanjem, izmeñu njih će
delovati sila privlačenja F koju je potrebno odrediti.
x dx
Q −Q
F ′r
Energija opterećenog kondenzatora je:
C
QW
2
2
1=
gde je x
SC 0ε=
Ako se pretpostavi da je rastojanje elektroda povećano za dx, a da je
naelektrisanje elektroda ostalo nepromenjeno, energija kondenzatora će
se povećati jer je smanjena kapacitivnost. Taj priraštaj energije iznosi:
( ) dxS
Qx
S
Qdxx
S
QdW
2
0
2
0
2
0 2
1
2
1
2
1
εεε=−+=
Ovo povećanje energije je nastalo na račun rada koji je izvršila
mehanička sila F' savladavajući silu privlačenja elektroda F= −F' za
vreme elementarnog pomeraja. Prema zakonu o održanju energije, rad
sile F' je jednak povećanju energije kondenzatora:
dx
dWFdWdxF =′⇒=′
a elektrostatička sila koja deluje na desnu elektrodu je:
S
QFF
2
02
1
ε−=′−=
Sila je ravnomerno rasporeñena po celoj površini elektroda. Površinska
gustina sile ima apsolutnu vrednost:
EDS
Q
S
FP
2
1
2
12
2
0
===ε
Elektrostatičke sile su vrlo male i mogu se koristiti samo u električnim
merenjima i nekim specijalnim primenama. Karakter ovih sila je takav
da imaju tendenciju da pomeranjem elektroda smanje energiju
opterećenog sistema na minimum.
Ako se naelektrisanje mase m i količine elektriciteta Q nalazi u el. polju
u vakuumu, na njega će delovati mehanička sila:
čije su projekcije:
EQFrr
=
zzyyxx EQFEQFEQF === ,,
Pretpostavimo da je u svim fazama kretanja brzina čestice manja od
brzine svetlosti, pa se kretanje odvija po Drugom Njutnovom zakonu:
EQdt
vdm
rr
=
Ova vektorska jednačina se može razložiti na tri skalarne jednačine:
zz
y
y
xx EQ
dt
dvmEQ
dt
dvmEQ
dt
dvm === ,,
Odnosno, kako se projekcije brzine odreñuju na osnovu:
to se prethodni sistem jednačina može napisati u sledećem obliku:
dtdzvdtdyvdtdxv zyx /,/,/ ===
zyx EQdt
zdmEQ
dt
ydmEQ
dt
xdm ===
2
2
2
2
2
2
,,
Kada su poznati vektor jačine polja , početna brzina čestice
i početne koordinate , integraljenjem sistema
jednačina mogu se odrediti j-ne kretanja, brzine i trajektorija čestice.
Kada se čestica kreće pod dejstvom polja, sile polja vrše rad koji se
transformiše u kinetičku energiju čestice. Rad sila polja na putu po
kojem se kreće naelektrisana čestica (od tačke A do tačke B) je:
),,( zyxEr
),,( 0000 zyxvr
000 ,, zyx
( )BA
B
A
B
A
VVQldEQldFA −=⋅=⋅= ∫∫rrrr
Neka su vA i vB brzine čestice u krajnjim tačkama puta. Tada je
priraštaj kinetičke energije na posmatranom putu:
i ovaj priraštaj energije mora biti jednak radu električnog polja:
22
2
1
2
1ABkAkB mvmvWW −=−
( ) ( )BAAB VVQvvm −=− 22
2
1
Ako je početna brzina 0, a krajnja v, onda je:
( ) ( )BABA VVm
QvVVQmv −=⇒−=
2
2
1 2
Brzina čestice zavisi samo od razlike potencijala početne i krajnje tačke.