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ESTUDO DE CASOS UTILIZANDO O MÉTODO DOS
ELEMENTOS FINITOS PARA SIMULAÇÃO DE
RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO
ÉRICO ALMEIDA SANTOS
MESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL
Orientador: Ivaldo Dário da Silva Pontes Filho
Co-Orientador: Leonardo José do Nascimento Guimarães
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
RECIFE – 2002
ESTUDO DE CASOS UTILIZANDO O MÉTODO DOS
ELEMENTOS FINITOS PARA SIMULAÇÃO DE
RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO
Érico Almeida Santos
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO
DA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSÁRIOS À OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM
CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL
Aprovada por:
Ivaldo Dário da Silva Pontes Filho, D.Sc.
Jaime Joaquim da Silva Pereira Cabral, Ph.D.
Lícia Mouta da Costa, D.Sc.
Leonardo José do Nascimento Guimarães, D.Sc.
Recife, PE - Brasil
Setembro de 2002
Santos, Érico Almeida
Estudo de casos utilizando o método dos elementos finitos para
simulação de reservatórios de petróleo / Érico Almeida Santos. – Recife:
O Autor, 2002.
xviii, 92 p. il., fig., tab.
Dissertação (mestrado) – Universidade Federal de Pernambuco.
CTG. Engenharia Civil, 2002.
Inclui bibliografia.
1. Engenharia civil. 2. Geotecnia. 3. Reservatórios de petróleo –
Simulação - Elementos finitos. I. Título.
624.13 CDU (2.ed.) UFPE
624.15136 CDU (21.ed.) BC2002-345
iii
DEDICATÓRIA
Aos meus pais Elza e Eufrázio,
e à Ariane
iv
AGRADECIMENTOS
A Ivaldo Pontes pela orientação e confiança na realização deste
trabalho por tratar-se de uma nova área de pesquisa dentro do
departamento.
À Lícia Mouta Costa pelo apoio na resolução dos diversos problemas
encontrados.
A Leonardo Guimarães pela inestimável ajuda com o programa bem
como pelas esclarecedoras explicações.
À Ana Paula Costa pela amizade, apoio, incentivo e ajuda quanto à
definição do tema deste trabalho.
À bolsista de graduação da ANP, Laisa Mery Maia, pela ajuda dada
nos exemplos do IMEX.
Ao Engenheiro Geraldo Martins pela amizade e sem o qual este
trabalho não poderia ter sido realizado dado ao seu apoio na obtenção da
minha licença da COMPESA.
Ao Engenheiro Antônio Carlos pelo apoio dado ao meu pedido de
licença da COMPESA.
Aos Engenheiros Daniel Genuíno, chefe do GERE e Fernando Lobo,
diretor de Operações, pelo apoio prestado na renovação da licença da
COMPESA.
Ao professor Fernando Jucá por ter me proporcionado a oportunidade
de ingressar, como bolsista de iniciação científica, no meio acadêmico e
também pela visão na minha aptidão à simulação numérica ao me colocar
para trabalhar junto com Ivaldo.
Aos professores de Geotecnia pelos conhecimentos transmitidos e por
toda ajuda, direta ou indireta.
À Laudenice pela ajuda na resolução dos mais diversos problemas
burocráticos da pós-graduação.
Aos funcionários do Laboratório de Solos e Instrumentação, Antônio,
Francisco, João e Severino.
Aos colegas do curso, especialmente Adriano, Krishnamara, Marília,
Carlúcio, Nilson, Issac, Samuel e Analice, pela amizade e companheirismo.
v
À Sylvana, Stela, Juliana e Veruschka pela amizade e pelas úteis
dicas.
Aos funcionários do departamento de Geologia pelo apoio nas
questões burocráticas da bolsa.
Aos professores do Departamento de Geologia, Mário, Margareth,
Lúcia e Virgínio pelo apoio, pelas aulas e explicações que me familiarizaram
com a área de petróleo.
Aos colegas de Geologia, Danielle, Anna Rosa, Rodrigo, Vitor, Brayer,
Kleiton, Fabiana pela amizade e pelas memoráveis viagens a campo e farras
afins.
Aos amigos do GERE pelo apoio e incentivo.
À ANP pelo apoio financeiro.
Ao meu pai que sempre prezou pela minha formação pessoal e
profissional e que foi, é e será, sem dúvida, minha grande fonte de
inspiração.
À minha mãe pela compreensão, carinho e dedicação em todos os
momentos da minha vida.
À minha namorada Ariane pelo amor, carinho, companheirismo,
compreensão e incentivo para a conquista deste título.
A todos aqueles que injustamente não foram mencionados aqui, mas
que acreditaram e me apoiaram nessa conquista de mais uma etapa
vencida.
vi
“Só sei que nada sei”
(Sócrates)
"Somente aquele que se dedica a uma causa com toda força e alma poderá
ser um verdadeiro mestre. Por esta razão o conhecimento demanda tudo de
uma pessoa”.
(Albert Einstein)
vii
RESUMO
A simulação de reservatórios de petróleo é a principal forma de descrever
quantitativamente o fluxo multifásico em um reservatório heterogêneo com
um esquema de produção determinado não somente pelas propriedades do
reservatório, mas também pela demanda do mercado, estratégias de
investimento e regulamentações governamentais (MATTAX, 1990). Neste
sentido, a simulação como ferramenta de previsão vem se tornando padrão
na indústria do petróleo devido principalmente ao avanço da capacidade
operacional dos computadores; das técnicas numéricas para resolução de
equações diferenciais parciais; das técnicas de caracterização dos
reservatórios e na generalização dos simuladores que podem modelar casos
reais de campo bem como considerar técnicas avançadas de recuperação. O
objetivo deste trabalho é avaliar o desempenho do código computacional
CODE_BRIGHT (OLIVELLA et al., 1996a) para simular, nos casos
apresentados, a recuperação secundária de petróleo através da injeção de
água. Para tal foram utilizados um modelo unidimensional, com solução
analítica conhecida (BUCKLEY & LEVERETT, 1942), modelos bidimensionais
admitindo heterogeneidades no reservatório e o afloramento de Barreiras
do Boqueirão, considerado um análogo de reservatório. Para avaliar o
desempenho numérico do CODE_BRIGHT foi utilizado o IMEX, programa em
diferenças finitas amplamente utilizado e difundido na Engenharia de
Petróleo. Os resultados obtidos apresentaram boa concordância com a
solução analítica e com o IMEX, para o caso unidimensional e um bom
desempenho do código perante os problemas propostos nos casos
bidimensionais e no análogo, indicando desta forma, sua aplicabilidade para
problemas de engenharia de reservatórios.
viii
ABSTRACT
Reservoir simulation is the main way to describe quantitatively the
multiphase flow in a heterogeneous reservoir having a production schedule
determined not only by the reservoir properties, but also by market
demand, investment strategy, and government regulations (MATTAX,
1990). Hence, the use of reservoir simulation as a predictive tool is
becoming standard in the petroleum industry. Its acceptance can be
attributed to advances in computing facilities; advances in numerical
techniques for solving partial-differential equations; advances in reservoir
characterization techniques; and the generality built into reservoir
simulators, which can make them useful in modeling field cases as well as
to consider complicated enhanced oil-recovery techniques. The aim of this
work is to evaluate the performance of the computer code CODE_BRIGHT
(OLIVELLA et al., 1996a) to simulate in the cases presented, the oil
secondary recovery by waterflooding. An one-dimensional reservoir, with a
known analytical solution (BUCKLEY & LEVERETT, 1942), and two-
dimensional reservoirs with heterogeneities and the Barreiras of Boqueirão
outcrop, considered a reservoir analogous, were simulated. The software
IMEX, a finite difference reservoir simulator widely used in petroleum
engineering, was used to evaluate CODE_BRIGHT numerical performance.
The one-dimensional results showed a good accordance with the analytical
solution and with the IMEX results. The two-dimensional and the analogous
cases results presented a satisfactory performance of the code, indicating
its applicability to reservoir engineering problems.
ix
ÍNDICE
CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO
1.1 Considerações Gerais___________________________________2
1.2 Objetivos e Organização da Tese__________________________3
CAPÍTULO II FLUXO EM MEIO POROSO MULTIFÁSICO
2.1 Introdução__________________________________________5
2.2 Equações Governantes ________________________________5
2.3 Equação da Continuidade ______________________________6
2.4 Equação de Fluxo ____________________________________7
2.5 Relações Constitutivas ________________________________8
2.5.1 Lei de Darcy ______________________________________9
2.5.2 Curva de Retenção ________________________________10
2.5.3 Permeabilidade Relativa ____________________________12
CAPÍTULO III - SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE RESERVATÓRIOS
DE PETRÓLEO
3.1 Introdução __________________________________________15
3.2 Descrição dos problemas na simulação de recuperação de óleo _17
3.3 Modelagem do Fluxo em Diferenças Finitas_________________19
3.3.1 Equação de Fluxo Bifásico ___________________________19
3.3.2 Discretização da Equação de Fluxo ____________________20
3.3.3 Condições de Contorno _____________________________29
3.4 Modelagem de Fluxo em Elementos Finitos_________________31
x
CAPÍTULO IV - SIMULAÇÃO NUMÉRICA DA TEORIA DE
BUCKLEY & LEVERETT
4.1 Introdução __________________________________________37
4.2 Equação do Fluxo Fracionário ___________________________37
4.3 Teoria de Buckley & Leverett____________________________40
4.4 Validação do Modelo em Elementos Finitos _________________45
4.4.1 Descrição do CODE_BRIGHT _________________________45
4.4.2 Descrição do Caso Teórico___________________________47
CAPÍTULO V -SIMULAÇÃO DE FLUXO BIFÁSICO E
BIDIMENSIONAL
5.1 Introdução __________________________________________53
5.2 Casos Teóricos _______________________________________54
5.2.1 Caso 1 – Reservatório Homogêneo ____________________56
5.2.2 Caso 2 – Reservatório com canal _____________________60
5.2.3 Caso 3 – Reservatório com Barreira ___________________64
5.2.4 Caso 4 – Reservatório com Barreira e Fratura ___________68
5.3 Análise dos Resultados ________________________________72
CAPÍTULO VI - SIMULAÇÃO DE UM ANÁLOGO DE
RESERVATÓRIOS
6.1 Introdução_________________________________________74
6.2 Afloramentos de Alagoas: Barreiras do Boqueirão __________74
6.3 Modelagem de Fluxo no Análogo:_______________________78
6.3.1 Caso Base _______________________________________78
6.3.2 Caso Utilizando Óleo Pesado _________________________81
xi
CAPÍTULO VII - CONCLUSÕES
7.1 Introdução __________________________________________85
7.2 Conclusões das Simulações Realizadas ____________________85
7.3 Sugestões para Futuras Pesquisas________________________86
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ___________________________88
xii
Lista de Tabelas
CAPÍTULO IV
Tabela 4.1 – Resultados do CODE_BRIGHT (80 elementos) e do IMEX (80
blocos). _________________________________________________51
CAPÍTULO V
Tabela 5.1 – Resumo dos Resultados dos Casos Teóricos _____________73
CAPÍTULO VI
Tabela 6.1 – Descrição das fáceis relacionadas aos materiais considerados
nas análises _____________________________________________76
Tabela 6.2 – Propriedades dos materiais __________________________76
Tabela 6.3 – Propriedades dos fluidos ____________________________76
Tabela 6.4 – Condições Iniciais e de Contorno do Caso Base___________77
Tabela 6.5 – Condições Iniciais e de Contorno do Caso com Óleo Pesado_77
xiii
Lista de Figuras
CAPÍTULO II
Figura 2.1 – Curva de Retenção característica para um sistema óleo/água
(Ertekin, 2001) ___________________________________________11
Figura 2.2 – Permeabilidade Relativa para um sistema óleo/água (Eterkin,
2001) __________________________________________________13
CAPÍTULO III
Figura 3.1 – Representação de uma célula em uma malha de Elementos
Finitos __________________________________________________31
CAPÍTULO IV
Figura 4.1 – (a) Curva de retenção; (b) Distribuição da saturação de água
em função da distância (Dake, 1978). _________________________39
Figura 4.2 – Curva típica do fluxo fracional em função da saturação de água
_______________________________________________________40
Figura 4.3 – Fluxo através de um volume linear dxA ⋅⋅ φ _____________41
Figura 4.4 – Avanço da Frente de Saturação (aplicação direta da equação
4.17) ___________________________________________________43
Figura 4.5 – Distribuição de saturações demonstrando a existência do
choque _________________________________________________44
Figura 4.6 – Determinação gráfica da Saturação na Frente de Choque ___44
Figura 4.7 – Malha 80 elementos (CODE_BRIGHT) __________________49
Figura 4.8 – Avanço da Frente de Saturação (CODE_BRIGHT) _________50
Figura 4.9 – Avanço da Frente de Saturação 2.000 dias (Pós-processamento
GID) ___________________________________________________50
Figura 4.10 – Avanço da Frente de Saturação 2.000 dias _____________51
CAPÍTULO V
Figura 5.1 – Geometria dos casos bidimensionais ___________________54
Figura 5.2 – Malha Reservatório Homogêneo _______________________56
xiv
Figura 5.3 – Saturação de água em 10000 dias _____________________57
Figura 5.4 – Pressão de água em 10000 dias_______________________57
Figura 5.5 – Volume acumulado no poço produtor___________________58
Figura 5.6 – Vazão de fluidos no poço produtor _____________________59
Figura 5.7 – Pressão de água nos poços de injeção e produção_________59
Figura 5.8 – Malha Reservatório com Canal ________________________60
Figura 5.9 – Saturação de água em 10000 dias _____________________61
Figura 5.10 – Pressão de água em 10000 dias______________________61
Figura 5.11 – Volume acumulado no poço produtor__________________62
Figura 5.12 – Vazão de fluidos no poço produtor ____________________62
Figura 5.13 – Pressão de água nos poços de injeção e produção________63
Figura 5.14 – Reservatório com Barreira __________________________64
Figura 5.15 – Saturação de água em 10000 dias ____________________65
Figura 5.16 – Pressão de água em 10000 dias______________________65
Figura 5.17 – Volume acumulado no poço produtor__________________66
Figura 5.18 – Vazão de fluidos no poço produtor ____________________67
Figura 5.19 – Pressão de água nos poços de injeção e produção________67
Figura 5.20 – Malha Reservatório com Fratura e Barreira _____________68
Figura 5.21 – Saturação de água em 10000 dias ____________________69
Figura 5.22 – Pressão de água em 10000 dias______________________69
Figura 5.23 – Volume acumulado no poço produtor__________________70
Figura 5.24 – Vazão de fluidos no poço produtor ____________________70
Figura 5.25 – Pressão de água nos poços de injeção e produção________71
Figura 5.26 – Comparação dos Fatores de Recuperação dos Casos Teóricos
_______________________________________________________72
CAPÍTULO VI
Figura 6.1 – Afloramento de Barreiras de Boqueirão: (a) Foto-montagem;
(b) Geometria do modelo numérico para fluxo multifásico no Análogo 75
Figura 6.2 – Curva de Retenção _________________________________77
Figura 6.3 – Curva de Permeabilidade Relativa _____________________77
Figura 6.4 – Inclinação do tensor de permeabilidade intrínseca ________78
Figura 6.5 – Malha de Elementos Finitos __________________________79
Figura 6.6 – Evolução da saturação de água no Caso Base ____________79
xv
Figura 6.7 – Volume acumulado no poço produtor___________________80
Figura 6.8 – Vazões no poço produtor ____________________________81
Figura 6.9 – Pressão de água nos poços___________________________81
Figura 6.10 – Evolução da saturação de água no caso utilizando óleo pesado
_______________________________________________________82
Figura 6.11 – Volume acumulado no poço produtor__________________83
Figura 6.12 – Vazões no poço produtor ___________________________83
Figura 6.13 – Pressão de água nos poços__________________________84
Figura 6.14 – Comparativo dos Fatores de Recuperação ______________84
xvi
Lista de Símbolos
Romanos
A – área da seção transversal ao fluxo
A1 - parâmetro de ajuste
Bo – fator volume de formação do óleo
Bw – fator volume de formação da água
cr – compressibilidade da rocha
fα - termo fonte/sumidouro na fase α
fw - fluxo fracionário
g - aceleração da gravidade
h - carga hidráulica
i - como subscrito indica número do bloco ou elemento
- gradiente hidráulico
I - erro global na formulação em elementos finitos
j - fluxo nodal na malha de elementos finitos
k - permeabilidade intrínseca
k - permeabilidade intrínseca média
krl - permeabilidade relativa da fase líquida
kro - permeabilidade relativa do óleo
krw - permeabilidade relativa da água
K - condutividade hidráulica
K(So) - condutividade hidráulica em função da saturação de óleo
K(Sw) - condutividade hidráulica em função da saturação de água
Kosat - condutividade hidráulica saturada do óleo
Kwsat - condutividade hidráulica saturada da água
N - função de interpolação
P - pressão
P - função aproximada da pressão
P0 - pressão inicial
Pb - pressão de fundo de poço
Pc - pressão capilar
Po - pressão de óleo
xvii
Pw - pressão de água
q - velocidade de Darcy
Q - vazão
re - raio de influência do poço
rw - raio do poço
R - resíduo
Sα - saturação da fase α
Se - saturação efetiva
Sl - saturação da fase líquida
Srl - saturação residual da fase líquida
Sls - saturação máxima da fase líquida
So - saturação de óleo
Sro - saturação residual de óleo
Srw - saturação residual de água
Sw - saturação de água
t - tempo
T - temperatura
Tx - transmissibilidade
V - volume
Wi - função de resíduos ponderados
iW - função de resíduos ponderados
Wi - total de água injetada
x,y - coordenadas cartesianas
z - altura piezométrica
Gregos
α - coeficiente de expansão térmica volumétrica
β - compressibilidade
φ - porosidade
γ - peso específico
λ - como expoente indica parâmetro de ajuste
λo - mobilidade do óleo
λw - mobilidade da água
xviii
µ - viscosidade
ρ - densidade
ω - fração mássica
2
CAPÍTULO I
Introdução
1.1 Considerações Gerais
A análise dos fenômenos relacionados com escoamentos de fluidos
em meios porosos é de extrema importância no entendimento de inúmeros
processos que ocorrem na crosta terrestre. Transporte em meios porosos,
envolvendo transportes de massa ou de fluxos, é comum a várias áreas da
engenharia e ciências aplicadas, tais como engenharia de petróleo, meio
ambiente (dispersão de poluentes, contaminação), hidrogeologia (águas
subterrâneas), geotecnia (COSTA, L., 2000; GUIMARÃES, 2002; MACHADO,
2000), etc.
Nestas áreas, em muitas situações reais, freqüentemente é
necessário tomar decisões que afetam a operação ou a evolução de
sistemas constituídos por meios porosos rígidos ou deformáveis em cujos
espaços vazios fluem uma ou mais fases (escoamento multifásico) com uma
ou mais componentes (multicomponente) em cada fase.
No estudo de reservatórios de petróleo nos deparamos com uma
grande complexidade de fatores para caracterizar sua geometria e as
características físicas dos materiais envolvidos, nas fases sólida e líquida.
Neste sentido, a simulação de reservatórios combina física, matemática,
engenharia de reservatórios e programação computacional para o
desenvolvimento de uma ferramenta capaz de prever o desempenho de um
reservatório de petróleo nas mais diversas condições operacionais.
A necessidade da simulação de reservatórios provém da exigência
dos engenheiros de petróleo em obter previsões, mais próximas da
realidade, do desempenho de um reservatório submetido a diferentes
condições operacionais. Essa necessidade surge devido ao fato de que em
um projeto de recuperação de petróleo, que envolve geralmente
3
investimentos muito altos, o risco associado ao plano de exploração
escolhido deve ser previsto e minimizado.
Os fatores associados a esse risco incluem a complexidade do
reservatório devido à heterogeneidade e anisotropia das propriedades da
rocha reservatório, às variações regionais das propriedades dos fluidos e à
complexidade do mecanismo de recuperação de petróleo.
A resposta de sistemas constituídos por meios porosos, como os
reservatórios de petróleo, é expressa pela distribuição espacial e temporal
das variáveis que descrevem o seu comportamento, tais como pressão,
velocidade, tensão, deformação, densidade, saturações de fases e
concentrações de componentes.
Diferentes modelos, com diferentes graus de refinamento ou
sofisticação podem ser construídos para representar um meio poroso
dependendo do objetivo da modelagem. Assim como nas demais áreas da
mecânica do contínuo, dada a complexidade dos sistemas, os modelos para
fenômenos de transporte em meios porosos são formulados, descritos e
analisados em níveis macroscópicos.
Desta modelagem resultam modelos matemáticos representados por
sistemas de equações diferenciais parciais. Dentro dos limites das hipóteses
simplificadoras adotadas a solução destes modelos matemáticos nos fornece
previsões para a resposta do sistema real. Entretanto na quase totalidade
das aplicações práticas as soluções só podem ser obtidas numericamente.
Os modelos numéricos que consideram fluxo em meios porosos na
zona não saturada utilizam normalmente a técnica de diferenças finitas ou
elementos finitos. Os modelos que utilizam a técnica de elementos finitos
permitem uma maior flexibilidade para a análise de problemas com
contorno irregular e de geometria multidimensional e também permitem a
inclusão de propriedades não homogêneas com maior facilidade.
1.2 Objetivos e Organização da Tese
O objetivo deste trabalho é analisar a aplicabilidade do código
CODE_BRIGHT (OLIVELLA et al 1996a) em problemas de simulação de
4
reservatórios de petróleo através de modelos unidimensionais e
bidimensionais admitindo um problema de recuperação secundária por
injeção de água.
Este trabalho é dividido em 7 capítulos. O segundo capítulo tem como
objetivo a descrição dos problemas de fluxo em meios porosos multifásicos,
onde são apresentadas as equações básicas que regem o fenômeno através
da lei de conservação de massa complementada por equações constitutivas.
O terceiro capítulo descreve a simulação numérica do problema de
fluxo em meios porosos não saturados aplicado à engenharia de petróleo.
São apresentadas as formulações em Diferenças Finitas e Elementos Finitos
que correspondem respectivamente às utilizadas pelo IMEX, software
comercial da CMG e o CODE_BRIGHT, código desenvolvido pela
Universidade Politécnica da Catalunha (UPC).
No quarto capítulo, a teoria de BUCKLEY & LEVERETT (1942) é
descrita e a solução analítica do problema unidimensional de fluxo bifásico
de óleo e água é utilizada para validar o CODE_BRIGHT. Como comparação
dos métodos numéricos o mesmo problema é simulado também pelo IMEX.
O quinto capítulo apresenta uma série de casos teóricos usados para
avaliar o desempenho do código em elementos finitos frente a problemas de
heterogeneidade do reservatório.
Como aplicação prática para a avaliação do desempenho do código, o
sexto capítulo descreve a simulação do afloramento de Barreiras do
Boqueirão, da Formação Maceió (LIMA FILHO, 2002), considerado um
análogo de reservatório.
No sétimo capítulo são comentadas as conclusões obtidas nas
simulações e são sugeridas novas linhas de pesquisa para trabalhos futuros.
5
CAPÍTULO II
Fluxo em Meio Poroso Multifásico
2.1 Introdução
O reservatório de óleo ou gás é uma formação geológica porosa que contém
nos poros além da água, pelo menos uma fase de hidrocarboneto no estado
líquido ou gasoso (óleo ou gás). Por isso, a simulação de reservatórios, para
a engenharia de petróleo, constitui invariavelmente um problema de fluxo
multifásico.
A descrição macroscópica desse sistema faz uso das propriedades dos
sólidos e dos fluidos definidos no meio poroso contínuo (BEAR, 1972) e
baseia-se nas leis de conservação de massa aplicadas a cada fase fluida
presente. Essas leis de conservação são complementadas por relações
constitutivas dos materiais; no caso da zona não saturada, são as relações
pressão capilar/saturação e permeabilidade relativa/saturação.
A combinação das equações de conservação e as relações
constitutivas apropriadas resultam nas equações governantes para o
sistema multifásico da zona não saturada. Neste capítulo, serão descritas as
equações que regem o fluxo em meios porosos multifásicos.
2.2 Equações Governantes
O movimento dos fluidos em meios porosos é governado pelas leis de
conservação de massa e momento das fases (e seus componentes) no
sistema. As equações governantes modelam o processo básico que ocorre
no sistema físico. Devido ao fato de normalmente não termos um
conhecimento total do comportamento do sistema, a maior dificuldade no
processo de modelagem é a escolha das equações governantes que
descrevam corretamente o complexo processo físico. Quanto mais complexo
6
o processo físico mais complicado será o modelo matemático e
conseqüentemente mais difícil a solução e análise do problema.
2.3 Equação da Continuidade
Considerando um volume elementar representativo (VER) do meio
poroso V, então a conservação de massa diz que a quantidade de massa
acumulada em V é igual ao fluxo de massa que atravessa V mais a
quantidade de massa injetada em V através de fontes ou sumidouros
(poços). Antes de apresentar a equação da continuidade serão definidos
dois conceitos básicos: a porosidade e a saturação.
Porosidade ou porosidade volumétrica, uma propriedade
macroscópica do meio poroso (BEAR, 1972), pode ser expressa como a
razão entre o volume de vazios e o volume total.
Entretanto, para o estudo de fluxo em meio poroso, somente os
poros interconectados devem ser considerados na definição da porosidade,
uma vez que os poros isolados não constituem caminhos para o fluxo. Com
isso, o conceito de porosidade efetiva pode ser definido como sendo:
totalVolumetadosinterconecporosdeVolume
=φ
Neste trabalho somente a porosidade efetiva é considerada.
A saturação de uma fase pode ser definida como sendo a fração do
espaço disponível para o fluxo ocupada pela mesma.
A conservação de massa pode então ser descrita pela equação 2.1,
onde ρα é a densidade da fase por unidade de volume, ∂V é a fronteira de V
com vetor normal exterior n, qα é o fluxo de Darcy da fase e fα é a vazão
mássica por unidade de volume injetada ou produzida da fase em V.
( )∫ ∫∫ +⋅−=⋅⋅∂∂
∂V VV
dxfndsqtxdxtxSt
ααααα ρρφ ),(, , (Eq. 2.1)
onde α = w, o, representando água e óleo, respectivamente.
Sα = saturação da fase α
7
Aplicando o teorema da divergência:
∫∫ ⋅⋅∇=⋅⋅∂ VV
dxqndsq )( αααα ρρ (Eq. 2.2)
Como o VER é fixo no espaço e no tempo (volume de controle):
∫∫ ∂⋅⋅∂
=⋅⋅∂∂
dxt
SdxtxS
t V
)(),( αα
ααρφρφ (Eq. 2.3)
Substituindo as equações 2.2 e 2.3 na equação 2.1, obtemos
( ) ( )[ ]∫∫ +⋅∇−=∂
⋅⋅∂
VV
dxfqdxt
S ααα
αα ρρφ (Eq. 2.4)
Admitindo que (Eq. 2.4) é válida para qualquer volume V,
caracterizamos a seguinte equação diferencial parcial
( ) ( ) ααα
αα ρρφfq
tS
+⋅⋅−∇=∂
⋅⋅∂ (Eq. 2.5)
2.4 Equação de Fluxo
Finalmente, a conservação de massa de cada fase fluida pode ser
representada por (BEAR, 1979):
( ) ( ) ααα
αα ρρφfq
tS
=⋅⋅∇+∂
⋅⋅∂, (Eq. 2.6)
onde:
α - indica a fase
φ - porosidade [L3/L3]
ρα - densidade da fase α [M][L]-3
8
Sα - Saturação da fase α
qα - Fluxo de Darcy da fase α [L][T]-1
fα - Termo fonte / sumidouro na fase α [M][L]-3[T]-1
O primeiro termo da equação descreve a variação de massa com o
tempo em um volume de controle e o segundo o divergente do fluxo de
massa nesse volume. Essa equação é resultante da equação da
continuidade podendo ser escrita de diversas formas a depender das
variáveis e das relações constitutivas.
O tratamento do problema de fluxo em um meio poroso saturado é
relativamente simples e pode ser resolvido aplicando diretamente a Eq. 2.6,
considerando apenas uma fase fluida ocupando todo meio poroso.
2.5 Relações Constitutivas
As equações anteriormente descritas não são suficientes para modelar
fluxos multifásicos, sendo inicialmente necessário fazer algumas
considerações como: as fases fluem simultaneamente, os fluidos são
imiscíveis e não há transferência de massa entre as fases. Neste contexto,
será admitido um sistema bifásico composto pelos fluidos óleo (sub índice
o) e água (sub índice w). Na engenharia de reservatórios a água pode já
estar presente no meio poroso, sendo chamada de água conata ou
irredutível, ou ser injetada para deslocar o óleo e manter as pressões
atuantes no reservatório de petróleo. Essa técnica, utilizando a injeção de
água, é denomina recuperação secundária e será o tema dos casos
descritos nos capítulos seguintes.
A equação 2.6 descreve as condições de fluxo no sistema, sendo
necessário para a resolução do caso não saturado determinar as relações
constitutivas que relacionam as incógnitas do problema.
As relações constitutivas podem ser escritas de diversas formas
resultando em diferentes variáveis independentes no sistema. As opções
mais comuns para essas variáveis independentes são as pressões e as
saturações das fases (BINNING, 1994).
9
2.5.1 Lei de Darcy
Possivelmente a lei ou correlação mais utilizada que pode ser
incorporada em modelos analíticos de fluxo em meio poroso é a Lei de
Darcy, desenvolvida em 1856 pelo engenheiro francês Henry D’Arcy. Apesar
dos experimentos de D’Arcy trabalharem somente com fluxo laminar de
água através de vários meios, eles estabeleceram as relações básicas entre
a vazão e o gradiente de pressão.
A Lei de Darcy estabelece que a vazão volumétrica Q de um fluido
homogêneo através de um meio poroso é proporcional à pressão ou ao
gradiente hidráulico e a área da seção transversal A na direção normal ao
fluxo e inversamente proporcional à viscosidade µ do fluido.
A lei apresenta o coeficiente de proporcionalidade K, que é chamado
de condutividade hidráulica do meio poroso. Em um meio isotrópico pode
ser definido como a descarga específica por unidade de gradiente hidráulico
(BEAR, 1972). Expressa a facilidade com que um fluido é transportado em
um meio isotrópico. É, portanto, um coeficiente que depende tanto das
propriedades da matriz sólida quanto das propriedades dos fluidos.
As propriedades relevantes para os fluidos são a densidade ρ e a
viscosidade µ, e para a matriz sólida são a granulometria, formato dos
grãos, tortuosidade, superfície específica e porosidade. Desta forma, a
condutividade hidráulica K pode ser definida como:
µρ gk
K⋅⋅
= (Eq. 2.7)
Na equação 2.7, ρ é a densidade do fluido, g é a magnitude da
aceleração devida à gravidade e k é a permeabilidade intrínseca do meio,
cuja unidade é dada em darcy (1D = 10-12 m2).
Podemos escrever o fluxo superficial do fluido q por
( )gpk
AQ
q ⋅−∇−== ρµ
, (Eq. 2.8)
onde, p é a pressão do fluido.
10
2.5.2 Curva de Retenção
O primeiro termo da equação da continuidade (Eq. 2.6) diz respeito à
parcela de armazenamento de massa da fase. Para um meio poroso não
saturado é necessário definir a saturação de cada fase.
Admitindo um fluxo bifásico de óleo e água e considerando ainda que
ambas as fases estão fluindo, temos:
1=+ ow SS (Eq. 2.9)
Quando dois fluidos imiscíveis estão em contato, uma
descontinuidade na pressão surge na interface que separa os dois fluidos.
Isto é uma conseqüência da tensão superficial que existe entre as duas
fases em contato. A magnitude da diferença de pressão depende da
curvatura da interface naquele ponto, que por sua vez depende da
saturação (BEAR, 1987).
Em um sistema bifásico, a pressão capilar é por definição a equação
de Laplace (DAKE, 1978), dada pela pressão de óleo menos a pressão de
água, ou seja:
( ) wowc ppSp −= (Eq. 2.10)
A pressão capilar é função da saturação e do histórico da saturação
(drenagem ou umedecimento) para uma dada rocha reservatório e para os
fluidos a uma temperatura e composições constantes (ETERKIN, 2001).
Considerando que a pressão capilar é uma função não linear
dependente da saturação, essa relação pode ser descrita pela Curva de
Retenção (Figura 2.1).
A curva de retenção descreve a capacidade do meio poroso em reter
líquido para uma dada pressão capilar. Geralmente é modelada por uma
relação empírica como a de VAN GENUCHTEN (1980), adotada neste
trabalho como:
11
λ
λ
−
−
−+=
−−
=11
0
1P
ppSSSS
S wo
rlls
rlle (Eq. 2.11)
Onde λ e P0 são parâmetros do modelo para uma dada série de
pressões capilares.
Figura 2.1 - Curva de Retenção característica para um sistema óleo/água
(ERTEKIN, 2001)
A saturação da água que não pode ser mais deslocada por um dado
gradiente de pressão durante a drenagem é representada por Srw,
denominada saturação de água irredutível ou água conata. A saturação de
óleo que não pode ser mais deslocada por um dado gradiente de pressão
durante o umedecimento é representada por Sro (Figura 2.1).
Nestas condições, a pressão capilar é usada para determinar a
distribuição vertical inicial da saturação do reservatório. Qualitativamente, a
curva de retenção indica o grau de saturação da rocha, a natureza da
distribuição dos poros e saturação de água conata (ETERKIN, 2001).
12
2.5.3 Permeabilidade Relativa
No fluxo multifásico, os fluidos presentes interferem no escoamento
uns dos outros fazendo com que a permeabilidade efetiva seja menor ou
igual à permeabilidade intrínseca k do meio poroso para uma única fase.
Podemos então definir permeabilidade relativa como:
Água
1)(≤=
wsat
wrw K
SKk (Eq. 2.12)
Óleo
1)(≤=
osat
oro K
SKk (Eq. 2.13)
Onde K(Sw) e K(So) são as permeabilidades em função da saturação
das fases e Kwsat e Kosat, definidas pela equação 2.7, as condutividades
hidráulicas saturadas das fases.
Sabe-se que a variação da permeabilidade relativa é não linear e é
função do grau de saturação, como está representado na Figura 2.2.
A obtenção das curvas de permeabilidade nem sempre é possível
através de ensaios de laboratório para cada situação específica, o que
resulta na utilização de relações empíricas obtidas em campo ou laboratório.
Neste trabalho adotamos:
λerl SAk ⋅= 1 (Eq. 2.14)
Onde A1 e λ são parâmetros de ajuste da curva para uma dada série de
saturações e o sub índice indica a fase líquida (óleo ou água).
Usando a equação 2.8 e as relações constitutivas, a Lei de Darcy para
a água e para o óleo podem ser representadas respectivamente por:
( )gpkk
q www
rww ρ
µ−∇
⋅−= (Eq. 2.15)
13
( )gpkk
q ooo
roo ρ
µ−∇
⋅−= (Eq. 2.16)
Figura 2.2 - Permeabilidade Relativa para um sistema óleo/água (ETERKIN,
2001)
Admitindo que os fluidos são imiscíveis e que não há transferência de
massa entre as fases, as equações governantes devem descrever a
conservação de massa das mesmas. Usando as mesmas considerações de
(Eq. 2.6) e incorporando as definições dadas pelas equações 2.16 e 2.17,
temos as equações de fluxo.
Água
( ) ( ) wwww
rwwww fgpkk
tS
+−∇⋅∇=∂⋅∂ ρ
µρρφ
(Eq. 2.17)
Óleo
( ) ( ) oooo
roooo fgpkk
tS
+−∇⋅∇=∂⋅∂ ρ
µρρφ
(Eq. 2.18)
15
CAPÍTULO III
Simulação Numérica
de Reservatórios de Petróleo
3.1 Introdução
O objetivo da simulação numérica de reservatórios é prever o
desempenho de um reservatório e definir meios para otimizar, de forma
economicamente viável, sua recuperação final. Sua grande vantagem é
permitir a incorporação, na análise, de parâmetros relativos às
heterogeneidades geológicas do reservatório e ao fluxo dos fluidos. Através
dela é possível considerar parâmetros de produção e operação do campo
tais como: datas de abertura e fechamento dos poços, restrições de
produção, vazões limites e recompletações, tornando as previsões de
produção mais realistas (COSTA, A. 2002).
Uma caracterização ótima do reservatório nem sempre é a melhor
alternativa sob o ponto de vista econômico. O custo para a aquisição de
dados tem que ser compatível com o valor do reservatório e com os
benefícios que esses dados irão trazer para aumentar a confiabilidade da
previsão de produção. É necessário portanto, uma forte integração entre as
equipes de geologia e de reservatórios para avaliar a necessidade de
revisão do modelo, da aquisição de novos dados e de novas previsões de
produção.
A escolha do modelo para representação do reservatório é função
principalmente:
• Tamanho da estrutura
• Tipo de mecanismo atuante
• Fluidos presentes
• Heterogeneidades
16
• Inclinação da formação
• Quantidade de dados disponíveis
• Urgência do estudo e recursos disponíveis
• Métodos de recuperação que serão utilizados
Existem quatro etapas cruciais no processo de modelagem para
simulação de reservatórios (EWING, 1983). Inicialmente, o modelo físico do
processo de fluxo é desenvolvido incorporando o máximo da física
necessária para descrever o fenômeno. Feito isso, uma formulação
matemática do modelo físico é adotado, geralmente envolvendo sistemas
acoplados de equações diferenciais parciais não lineares. Definida a
formulação matemática do modelo, utiliza-se uma técnica para resolver as
equações em derivadas parciais, discretizando-as segundo o método
numérico adotado (elementos finitos ou diferenças finitas).
A técnica numérica deve ser adotada considerando as propriedades
de acurácia e estabilidade para produzir soluções que representem a física
do fenômeno.
Finalmente, é necessário um código computacional capaz de resolver
de forma eficiente o sistema de equações resultante. O processo global da
modelagem envolve aspectos de cada uma dessas etapas. Uma vez
desenvolvido o código e este apresente resultados quantitativos coerentes
com o modelo, é necessário que estes resultados sejam testados com
resultados analíticos e/ou com dados reais do processo físico.
Atualmente existem simuladores numéricos bastante eficientes a
disposição dos engenheiros que permitem a análise de inúmeras opções
operacionais e consideram modelos de reservatórios de complexidade
crescente, possibilitando dessa forma, a obtenção de diversas informações
como:
• Previsão de produção
o Estudo de sensibilidade;
o Avaliação de campos
o Determinação do fator de recuperação
o Análise de métodos de simulação
• Ajuste de histórico
17
• Auxílio na caracterização de reservatórios
o Identificação de barreiras
o Identificação de propriedades próximas aos poços
• Entender os mecanismos de fluxo
• Desenvolvimento de modelos e correlações
Neste capítulo serão apresentadas as formulações numéricas dos dois
códigos utilizados neste trabalho. O método das Diferenças Finitas utilizado
pelo IMEX da CMG (Computing Modeling Group) e o método dos Elementos
Finitos adotado pelo CODE_BRIGHT desenvolvido pela Universidade
Politécnica da Catalunha (UPC).
3.2 Descrição dos problemas na simulação de
recuperação de óleo
A fim de entender a complexidade no desenvolvimento de um modelo
físico para a simulação de reservatórios, uma breve descrição dos vários
fenômenos físicos envolvidos no fluxo em meios porosos será comentada.
É comum, para iniciantes, imaginar na recuperação de
hidrocarbonetos, que o óleo ou o gás encontra-se em enormes piscinas
dentro de cavernas subterrâneas e precisam ser bombeados de forma
similar ao bombeamento de líquidos dentro de tanques de armazenamento.
No entanto, em geral, os hidrocarbonetos encontram-se presos dentro de
poros microscópicos da rocha, como arenitos, e fluirão através do
reservatório quando submetidos a gradientes de pressão.
Uma grande porcentagem dos poros é conectada e os fluidos podem
passar por esses canais. Entretanto, os canais são pequenos, irregulares e
descontínuos. A razão entre o volume desses poros interconectados, que
permitem o fluxo, e o volume total de uma amostra de solo é denominada
porosidade efetiva da rocha, variando em geral entre 1% e 20%.
O tipo da rocha do reservatório pode influenciar a habilidade do
hidrocarboneto de fluir entre seus poros. Da mesma forma, as variações na
18
geologia do reservatório produzem áreas de fluxo intenso bem como áreas
de fluxo reduzido.
Quando as pressões encontradas nos reservatórios são muito altas,
suficientes para mover os fluidos residentes através do meio poroso até os
poços produtores sem necessidade de bombeamento, a este tipo de
recuperação dá-se o nome de recuperação primária. Devido ao processo
produtivo, há uma redução das pressões atuantes no reservatório,
provocando uma redução do fluxo e um decréscimo na produção. A
recuperação primária normalmente retira de 20 a 30% dos hidrocarbonetos
do reservatório (Ewing, 1983).
Subseqüentemente, é possível utilizar técnicas de recuperação
secundárias. Entre elas destaca-se a injeção de água, que visa dois
objetivos: o primeiro de manter as altas pressões e vazões no reservatório
e o segundo de preencher o meio poroso para mover fisicamente o óleo
levando-o para os poços de produção. Neste processo a água não se
mistura ao óleo devido aos efeitos da tensão superficial, sendo então
denominado de deslocamento imiscível.
A injeção de água ainda não é um processo completamente efetivo e
quantidades significativas de hidrocarbonetos permanecem no reservatório
(50% ou mais). Devido às fortes tensões superficiais uma grande
quantidade de óleo fica aprisionada em pequenos poros com canais muito
estreitos impossibilitando sua retirada com técnicas usuais de injeção de
água.
Além disso, o processo de deslocar um óleo com alta viscosidade
através do meio poroso usando um fluido menos viscoso como a água é um
processo bastante instável. Caso a vazão seja suficientemente alta, a
interface entre o petróleo residente e a água de injeção torna-se instável e
tende a formar caminhos preferenciais de fluxo que crescem em direção aos
poços de produção chegando antes do hidrocarboneto.
A fim de aumentar de forma economicamente viável a recuperação
de hidrocarbonetos, diversos métodos avançados (Enhanced Oil Recovery -
EOR) envolvendo processos químicos e térmicos complexos vêm sendo
desenvolvidos. Essas técnicas são apenas algumas das chamadas
recuperações terciárias, existindo ainda os métodos por deslocamento
miscível e microbiológico. Basicamente, os métodos avançados EOR atuam
19
no controle da mobilidade dos fluidos através da alteração das viscosidades,
tensões superficiais ou saturação dos mesmos.
3.3 Modelagem do Fluxo em Diferenças Finitas
Na indústria do petróleo, onde a simulação como ferramenta de
previsão tem se tornado imprescindível, a discretização das equações de
fluxo através do Método das Diferenças Finitas é uma das abordagens mais
utilizadas. Grande parte dos simuladores comerciais adota esse método de
discretização por ser bastante testado para problemas envolvendo o fluxo
de fluidos na engenharia de reservatórios. Será apresentada a discretização
segundo KLEPPE (2000) que é basicamente a mesma utilizada pelo IMEX.
3.3.1 Equação de Fluxo Bifásico
Na engenharia de simulação de reservatórios, é importante definir o
Fator Volume de Formação (Bα) que corresponde à razão entre o volume
que a fase líquida ocupa em condições de pressão e temperatura quaisquer
no reservatório e o volume que essa mesma fase ocupa nas condições de
superfície (COSTA, A. 1998). Tem como função fazer uma estimativa do
volume, em reservatório, necessário para uma determinada produção
desejada. É usado para corrigir o volume de óleo ou gás nas condições de
reservatório para as condições de superfície.
Esse fator entra em ambos os termos da equação de fluxo, no de
armazenamento de massa da fase líquida e no de fluxo, ou seja:
Óleo
⋅∂∂
=−
∂∂
⋅⋅
∂∂
o
oo
o
oo
ro
BS
tf
xP
Bkk
xφ
µ; (Eq. 3.1)
20
Água
⋅∂∂
=−
∂∂
⋅⋅
∂∂
w
ww
w
ww
rw
BS
tf
xP
Bkk
xφ
µ, (Eq. 3.2)
onde cow PPP −=
1=+ wo SS
3.3.2 Discretização da Equação de Fluxo
Termo da esquerda
O termo
∂∂
⋅⋅
∂∂
xP
Bkk
xr
µ é da forma
∂∂
∂∂
xP
xfx
)( , que pode ser discretizado,
considerando blocos de tamanhos distintos, como:
( )( )
( )( ) ( )xO
xxx
PPxf
xxPP
xf
xP
xfx i
ii
iii
ii
iii
i
∆+∆
∆−∆−
−∆+∆
−
=
∂∂
∂∂ −
−−
+
++
1
121
1
121 )(2)(2
)(
Substituindo a função )(xf pelo termo apresentado acima, temos:
( )( )
( )( )
)(
221
1
211
1
21 xOx
xxPP
Bkk
xxPP
Bkk
xP
Bkk
x i
ii
ii
i
r
ii
ii
i
r
i
r ∆+∆
∆+∆−
⋅⋅
−∆+∆
−
⋅⋅
=
∂∂
⋅⋅
∂∂ −
−
−+
+
+ µµ
µ
Definindo a Transmissibilidade como
Transmissibilidade à direita
( )2112
12
+++
⋅⋅
∆+∆∆=
i
r
iiii Bkk
xxxTx
µ (Eq. 3.3)
21
Transmissibilidade à esquerda
( )2112
12
−−−
⋅⋅
∆+∆∆=
i
r
iiii Bkk
xxxTx
µ (Eq. 3.4)
Dessa forma a discretização do termo da esquerda fica:
( ) ( )iii
iii
i
r PPTxPPTxxP
Bkk
x−+−≈
∂∂
⋅⋅
∂∂
−−
++
1211
21µ
(Eq. 3.5)
A transmissibilidade é composta de três grupos, tomando como
modelo a transmissibilidade à direita, temos:
Fator geométrico, função da malha
( ) ctexxx iii
=∆+∆∆ +1
2
Valor médio, função das propriedades do reservatório
)(21 xfkk
i==
+
Função das pressões e saturações atuantes
),()()(
)(
21
SPfPBP
SkB
k r
i
r =
⋅
=
⋅ + µµ
É necessário determinar a forma dos dois últimos grupos. Começando
pela Lei de Darcy
xP
BAk
q∂∂
⋅⋅
−=µ
Para o fluxo entre dois blocos da malha e admitindo que cteq = e k
é função da posição, temos:
BdP
Akdx
q⋅
−=µ
22
Permeabilidade
Integrando a equação acima entre os centros dos blocos
∫∫++
⋅−=
11 i
i
i
i BdP
Akdx
qµ
∫+
+
+
∆+
∆=
1
1
1i
i i
i
i
i
kx
kx
qkdx
q
Admitindo permeabilidades constantes nos blocos. Definindo uma
permeabilidade média, k , temos:
k
xxq
kx
kx
q ii
i
i
i
i 1
1
1 +
+
+ ∆+∆=
∆+
∆,
Levando a
∆+
∆∆+∆
=
+
+
+
1
1
1
i
i
i
i
ii
kx
kx
xxk (Eq. 3.6)
Para os blocos da malha, temos:
i
i
i
i
ii
i
kx
kx
xxkk
∆+
∆∆+∆
==
+
+
+
+
1
1
1
21 e
i
i
i
i
ii
i
kx
kx
xxkk
∆+
∆∆+∆
==
−
−
−
−
1
1
1
21
Termo de mobilidade do fluido
Definindo B
kr
⋅=µ
λ como mobilidade, podemos dizer que
( )( )ii
iiii
i xxxx
∆+∆∆+∆
=+
++
+ 1
11
21
λλλ
(Eq. 3.7)
( )( )ii
iiii
i xxxx
∆+∆∆+∆
=−
−−
− 1
11
21
λλλ
23
Com isso, a forma discreta do termo da esquerda fica:
( ) ( )iiiiiii
o
oo
ro PoPoTxoPoPoTxoxP
Bkk
x 1121
21 −−++
+−≈
∂∂
⋅⋅
∂∂
µ, (Eq. 3.8)
para o óleo e
( ) ( )iiiiiii
w
ww
rw PwPwTxwPwPwTxwxP
Bkk
x 1121
21 −−++
+−≈
∂∂
⋅⋅
∂∂
µ, (Eq. 3.9)
para a água
Onde, por exemplo:
∆∆∆
=
+
+
+
+
i
i
i
ii
i
i
kx
kx
x
oTxo
1
1
21
21
2λ
e
oo
ro
Bk
o⋅
=µ
λ
Observe que a mobilidade λ é função da pressão, pois a viscosidade
µ e do fator de volume de formação B dependem da pressão, e da
permeabilidade relativa rk , que por sua vez depende da saturação.
Termo da mobilidade “upstream”
Devido a dependência da mobilidade na saturação, é necessário um
maior cuidado na aproximação da mesma dada sua influência na resolução
das equações. Dois tipos de aproximação são propostos:
upstream iioo λλ =
+21
média ponderada 1
11
21
+
+++ ∆+∆
⋅∆+⋅∆=
ii
iiiii xx
oxoxo
λλλ
24
Para blocos de pequenas dimensões a diferença entre os dois
métodos é insignificante. No entanto, para blocos de dimensões práticas,
usualmente adotadas em simulações, a diferença é significativa.
Pela média, a frente de saturação passa o primeiro bloco, mas na
realidade ainda não alcançou o segundo, causando um avanço mais rápido
da saturação. Segundo KLEPPE (2000) a explicação física para tal fato,
especialmente no caso da média ponderada, é que o fluxo que sai de um
bloco depende primeiramente da permeabilidade relativa em relação ao
óleo.
A mobilidade fica então (upstream)
<→≥→
=+
+++
iii
iiii PoPoo
PoPooo
1
11
21
λλ
λ (Eq. 3.10)
<→≥→
=+
+++
iii
iiii PwPww
PwPwww
1
11
21
λλ
λ
Termos da direita
Para o óleo
∂∂
+∂∂
=
⋅∂∂
oo
o
oo
o
BtS
tS
BBS
tφφφ
, (Eq. 3.11)
onde
tB
PBBt ∂
∂⋅+
∂∂
=
∂∂
11 φφφ
Sabendo que rcdPd
⋅= φφ,
onde cr é a compressibilidade da rocha.
25
Então:
tP
dPB
d
tP
dPd
BtB
PBBt ∂∂
⋅+∂∂
=∂
∂⋅+
∂∂
=
∂∂
11
11 φφφφφ
tP
dPB
d
tP
Bc
Btr
∂∂
⋅+∂∂⋅
=
∂∂
1
φφφ
( )tP
dPBd
Bcr
∂∂
+1
φ é discretizado usando a diferença à direita
tPP
tP t
itt
i
i ∆−
≈
∂∂ ∆+
. Definindo o termo de armazenamento como
( )i
rii dP
BdBc
tCp
+∆
=1φ
, então a aproximação fica:
( ) ( )ti
ttii
r PPCptP
dPBd
Bc
−≈∂∂
+ ∆+1φ
No que resulta, no caso do óleo:
( ) ( )too
o
B
o
ri
ioii
o PPdP
d
Bc
tBt−
+
∆≈
∂∂
1φφ
Substituindo oS por wS :
tS
tS ow
∂∂
−=∂∂
Usando a diferença à esquerda para a derivada no tempo:
( )tww
io
io
oii
SStBt
SB
−∆⋅
−≈
∂∂ φφ
26
Com isso a forma discreta do termo da direita fica:
( ) ( )twwwo
toooo
io
oiiiiii
SSCsPPCpBS
t−+−≈
⋅∂∂ φ
(Eq. 3.12)
Onde:
( ) ( )
+
∆
−⋅=
o
B
o
rwioo dP
d
Bc
t
SCp oi
i
11φ (Eq. 3.13)
io
iwo tB
Csi
i ∆⋅−=
φ (Eq. 3.14)
Para a água, da mesma forma, temos:
∂∂
+∂∂
=
⋅∂∂
ww
w
ww
w
BtS
tS
BBS
tφφφ
(Eq. 3.15)
Expandindo o segundo termo
∂∂
−∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
=
∂∂
tP
tP
BPtP
BPBtco
ww
w
www
φφφ
Como a pressão capilar é função somente da saturação
tS
dSdP
tP w
w
cc
∂∂
=∂∂
Usando os termos para o fluxo de uma fase e diferenças básicas para
as derivadas, o termo da direita para a água fica:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]tiwiwiww
tioioiow
iw
w SSCsPPCpBS
t−+−≈
⋅∂∂ φ
(Eq. 3.16)
27
Onde
( )
+
∆⋅
=w
B
w
riii dP
d
Bc
tSw
Cpow w
1φ
(Eq. 3.17)
iiw
ow
ii
ii Cpow
dSdPc
tBwCsww
−
∆⋅=
φ (Eq. 3.18)
As formas discretas para o óleo e a água ficam para o óleo e a água
respectivamente:
( ) ( ) ( )( )t
iii
tiiiiiiiiii
SwSwCswo
PoPoCpoooqPoPoTxoPoPoTxo
−+
−=′−−+− −−++ 1121
21
(Eq. 3.19)
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]
( ) ( )tiii
tiiii
iiiii
iiiii
SwSwCswwPoPoCpowwq
PcowPcowPoPoTxw
PcowPcowPoPoTxw
−+−=′−
−−−
+−−−
−−−
+++
11
11
21 , (Eq. 3.20)
onde:
∆+
∆∆
=
+
+
+
+
i
i
i
ii
i
i
kx
kx
x
oTxo
1
1
21
21
2λ
∆+
∆∆
=
−
−
−
−
i
i
i
ii
i
i
kx
kx
x
oTxo
1
1
21
21
2λ
∆+
∆∆
=
+
+
+
+
i
i
i
ii
i
i
kx
kx
x
wTxw
1
1
21
21
2λ
∆+
∆∆
=
+
+
+
+
i
i
i
ii
i
i
kx
kx
x
wTxow
1
1
21
21
2λ
e
oBo
roo
k
⋅
=µ
λ
Com mobilidades upstream
<→≥→
=+
+++
iii
iiii PoPoo
PoPooo
1
11
21
λλ
λ
<→≥→
=−
−−−
iii
iiii PoPoo
PoPooo
1
11
21
λλ
λ
28
<→≥→
=+
+++
iii
iiii PwPww
PwPwww
1
11
21
λλ
λ
<→≥→
=−
−−−
iii
iiii PwPww
PwPwww
1
11
21
λλ
λ
Com coeficientes:
( ) ( )i
o
B
o
riii dP
d
Bc
tSw
Cpoo o
+
∆−⋅
=1
1φ
ii
ii tBo
Cswo∆
−=φ
( )i
w
B
w
riii dP
d
Bc
tSw
Cpow w
+
∆⋅
=1
φ
iiw
ow
ii
ii Cpow
dSdPc
tBwCsww
−
∆=
φ
As três derivadas que aparecem nas expressões acima,
( ) ( )i
w
B
io
B
dP
d
dP
dwo
11
, e iwdS
dPc
são computadas numericamente para cada
intervalo de tempo baseadas nas tabelas PVT e de pressão capilar.
29
3.3.3 Condições de Contorno
Serão citadas apenas as condições de contorno utilizadas nos casos
estudados nos capítulos subseqüentes.
3.3.3.1 Vazão de injeção de água constante
Para uma vazão de superfície constante de iQw (negativo) em um bloco i:
i
ii xA
Qwqw
∆=
No final do intervalo de tempo, depois de resolvidas as equações, a
pressão de fundo de poço dever ser calculada através da equação de poço:
( )iiiii PbhPwoWCQw −⋅= λ (Eq. 3.21)
O índice de produtividade (ou índice do poço) é definida da mesma
forma que para o fluxo de uma fase
⋅⋅
=
w
e
ii
rr
hkWC
ln
2π
Onde wr é o raio do poço. O raio de influência é definido teoricamente
(PEACEMAN, 1978) como:
πi
exy
r∆⋅∆
=
Entretanto, o fluido de injeção sofre resistência para deslocar os
fluidos presentes no bloco. Por esse motivo, é usualmente ou normalmente
aceito que se use o somatório das mobilidades dos fluidos presentes no
bloco na equação do poço.
30
( )iii
i
i
iiii PbhPw
wkrw
okro
WCBwQw −
+=⋅
µµ
ou
( )iiiii
iii PbhPwwo
BwBo
WCQw −
+= λλ
Por esta aproximação, a injeção será controlada pela mobilidade do
óleo no estágio inicial quando há pouco ou nenhuma água no bloco. Passada
esta etapa inicial, a mobilidade da água tomará o controle.
Poços de injeção são geralmente limitados por um máximo de
pressão de fundo, a fim de evitar o fraturamento da formação. Isto deve ser
verificado ao final de cada intervalo de tempo, e se necessário, reduzir a
vazão de injeção ou convertê-la em pressão de fundo de poço constante.
Freqüentemente, a capilaridade é desprezada na equação do poço,
especialmente em simulações na escala do campo, portanto:
( )iiiii
iii PbhPowo
BwBo
WCQw −
+= λλ (Eq.3.22)
3.3.3.2 Produção a pressão de fundo de poço constante
Usando um poço de produção no bloco i com uma pressão de fundo
iPbh , como exemplo, temos:
( )iiiii PbhPooWCQo −⋅= λ (Eq. 3.23)
( )iiiii PbhPwoWCQw −⋅= λ
Substituindo nos termos de fluxo das equações de fluxo
( )iiii
ii PbhPoo
xAWC
qo −⋅⋅∆⋅
= λ (Eq. 3.24)
( )iiii
ii PbhPww
xAWC
qw −⋅⋅∆⋅
= λ
31
3.4 Modelagem de Fluxo em Elementos Finitos
Será feita aqui uma descrição da formulação numérica do
CODE_BRIGHT e para tal, a equação do balanço de massa da água será
discretizada. A notação utilizada será a mesma adotada no manual do
programa e na tese de doutorado de OLIVELLA, (1995).
Os termos de acumulação ou de armazenamento são computados em
uma abordagem de massa conservativa. A conservação de massa no tempo
é obtida através da discretização em Diferenças Finitas e o método dos
Elementos Finitos garante a conservação de massa no espaço. Essa última
afirmação é facilmente verificada somando-se as equações nodais, onde os
termos de fluxo são cancelados (devido à definição das funções de forma) e
a equação resultante representa a acumulação de massa em todo o domínio
(OLIVELLA, 1995).
A aproximação em Elementos Finitos utilizada é a de Galerkin, onde o
método dos resíduos ponderados é aplicado seguido do teorema de Green
(ZIENKIEWICZ AND TAYLOR, 1989). Dessa forma, obtém-se a forma
discreta das equações, representando cada uma o balanço em uma célula
associada a um nó, por exemplo o nó i (Figura 3.1).
Figura 3.1 – Representação de uma célula em uma malha de Elementos
Finitos
32
A equação de balanço de massa da água pode ser escrita como:
( ) ( ) lllll fqS
t=⋅•∇+⋅⋅
∂∂ ρρφ (Eq. 3.25)
Onde o sub índice l indica a fase líquida, no caso, a água, q é
representado pela Lei de Darcy:.
( )gPkk
q lll
rll ⋅+•∇⋅
⋅−= ρ
µ
A permeabilidade relativa, krl, é obtida para o elemento, podendo ser
calculada pela média de Pl nos nós ou pela média de Sl nos nós,
determinadas pela curva de retenção em função dos valores de Pl nos nós.
A média de Sl é a melhor forma de determinar krl no elemento, pois
sua variação é pequena (de 0 a 1) enquanto que a pressão Pl pode variar de
-∞ a +∞. Considerando uma frente de saturação chegando ao elemento a
permeabilidade relativa calculada através da média da pressão resulta em
valores muito pequenos e irreais quando comparada aos valores obtidos
pela média da saturação (OLIVELLA, 1995).
Nos casos apresentados nos capítulos seguintes, usando a formulação
do CODE_BRIGHT, as equações adotadas para descrever as propriedades
dos fluidos foram:
Densidade
( )[ ]hlllll TPP ωγαβρρ ⋅+⋅+−⋅⋅= 00 exp (Eq. 3.26)
Onde β é a compressibilidade do fluido em MPa-1; α é o coeficiente de
expansão térmica volumétrica para a água em oC-1; T é a temperatura em
oC; γ é a variação de soluto e hlω é a fração mássica de sal na fase líquida.
Viscosidade
+
⋅=T
BAl 15.273
expµ , (Eq. 3.27)
onde A e B são parâmetros de ajuste do modelo.
33
Na formulação de Resíduos Ponderados temos que:
( ) 0=+⋅= pPPA ll δ em Ω (domínio do problema) (Eq. 3.28)
( ) 0=+⋅= vPPB ll η em Γ (fronteira do problema) (Eq. 3.29)
Onde δ e η são operadores diferenciais lineares e p e v são funções
conhecidas.
Devido à dificuldade em resolver essa equação de forma analítica, é
possível aproximá-la como:
( )∑=
⋅==M
iiilll NPPP
1
ˆ (Eq. 3.30)
Onde M é no número de nós da malha, (Pl)i são os valores da função
incógnita Pl nos nós da malha de elementos finitos e Ni são as funções de
interpolação.
Como toda aproximação implica em um erro, então podemos definir o
resíduo como:
( ) 0ˆ ≠=Ω lPAR (Eq. 3.31)
A minimização do erro global é feita resolvendo as seguintes intergrais
0=⋅+⋅= ∫∫Γ
ΓΩ
Ω RWRWI iii , Mi ..2,1= (Eq. 3.32)
Sendo Ii o erro global, Wi e iW funções de resíduos ponderados.
Aplicando o método dos Resíduos Ponderados na equação (Eq. 3.25).
( ) ( ) 0=−⋅•∇+⋅⋅∂∂
=Ωl
llll fqSt
R ρρφ (Eq. 3.33)
34
A integral de RΩ no domínio Ω para o nó i se resume em integrar RΩ
nos elementos por i conectados (Figura 3.1) e considerando Galerkin, onde
Wi = Ni, temos:
( ) ( ) ( )∫∫∫∫ Ω⋅++Ω⋅+Ω⋅=Ω⋅ ΩΩΩΩ
Ωem
emie
eie
èii dRNdRNdRNdRN K2
21
1 (Eq. 3.34)
O termo de integral de contorno na fronteira Γ (Eq. 3.32) é
arbitrariamente substituído pelo fluxo nodal jl, que para o nó i fica:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ililiilil PPjj −⋅+= 00 β (Eq. 3.35)
Em (Eq. 3.35) 0lj e 0
lP são prescritos no nó.
Em resumo, o erro global Ii no nó i é dado por:
( ) 021
=−
Ω⋅++Ω⋅+Ω⋅=Ω⋅= ∫∫∫∫ ΩΩΩΩ
il
emi
ei
eiii
j
dRNdRNdRNdRNI K (Eq. 3.36)
Analisando a contribuição do elemento em para o erro global
( )[ ]
∫
∫∫∫Ω⋅−
Ω⋅•∇⋅+Ω
⋅⋅∂∂
⋅=Ω⋅= Ω
em
li
emlli
emlli
emi
emi
dfN
dqNdSt
NdRNI ρρφ (Eq. 3.37)
Aplicando o teorema de Green no termo do gradiente
( )[ ] ( ) ∫∫∫Γ
Γ⋅⋅⋅+Ω⋅⋅∇−=Ω⋅•∇⋅em
lliem
lliem
lli MdqNdqNdqN ρρρ (Eq. 3.38)
O termo em integral de contorno do elemento se anula quando a
contribuição do elemento vizinho é considerada. As faces do elemento da
fronteira Γ cujos nós não têm fluxo prescrito ( )ilj , terão uma condição de
impermeabilidade ( 0=⋅ Mql ).
35
A notação utilizada para discretização espacial e temporal pode ser
resumida como:
Discretização espacial (MEF)
(•)em: quantidade computada no centro do elemento através da média das
incógnitas nodais;
(•)i: quantidade computada no nó i como função das incógnitas deste nó;
(•)i,em: quantidade calculada no nó i, mas com as propriedades dos
materiais correspondentes ao elemento em.
Discretização temporal (MDF)
(•)K: quantidade computada no tempo K (já conhecida)
Termos de
Armazenament
o em φ (•)K+1: quantidade computada no tempo K+1 (desconhecida)
(•)K+ε: quantidade computada no tempo K+ε, utilizado para
avaliar os coeficientes dos termos em gradiente
Termos em
gradiente (•)K+θ: quantidade computada no tempo K+θ, utilizado para
avaliar a incógnita Pl nos termos em gradiente
Onde,
( ) ( ) ( )KlK
lK
l PPP ∆⋅+=+ θθ e ( ) ( ) ( )KlK
lK
l PPP −=∆ +1
A discretização do termo de armazenamento segue a aproximação da
massa conservativa
( ) ( ) ( )∫∫ Ω⋅
−
⋅−⋅⋅≈Ω⋅⋅
∂∂
⋅+
+
emiKK
Kemill
Kemill
emlli dN
tt
SSdS
tN
1,
1, ρρ
φρφ (Eq. 3.39)
36
Desenvolvendo o termo em gradiente restante, temos:
∫
∫∫
Ω⋅⋅
⋅⋅∇+
Ω∇⋅⋅
⋅⋅∇=Ω⋅⋅∇−
em l
rlli
eml
l
rlli
emlli
gdkk
N
dPkk
NdqN
µρ
µρρ
(Eq. 3.40)
Onde, realizando a discretização temporal em cada termo da equação
(Eq. 3.40)
( ) ( ) ( ) θε
µρ
µρ +
+
⋅
Ω∇⋅⋅∇⋅
⋅≈⋅Ω∇⋅
⋅⋅⋅∇ ∫∫ K
jlem
jKemi
K
eml
rll
emjlj
l
rlli PdNkN
kPdN
kkN
( ) ∫∫ Ω⋅∇⋅⋅⋅≈Ω⋅⋅
⋅⋅∇ +
emi
Kemrll
lem l
rlli kdNk
gdg
kkN ερ
µµρ (Eq. 3.41)
Resta ainda, a discretização do termo fonte / sumidouro, que pode,
de uma forma mais geral, ser escrito como ( )lll Pff = , então:
( ) ∫∫ Ω⋅−≈Ω⋅−+
emi
K
emil
em
li dNfdfN
ε, (Eq. 3.42)
Com as equações anteriormente descritas, tenho como incógnitas as
pressões ( ) 1+KlP de todos os nós da malha de elementos finitos.
37
CAPÍTULO IV
Simulação Numérica da Teoria de Buckley &
Leverett
4.1 Introdução
Neste capítulo é apresentada a solução analítica da teoria de
BUCKLEY E LEVERETT (1942) bem como a simulação numérica através do
Método dos Elementos Finitos com o código computacional CODE_BRIGHT.
Para a validação do modelo foi utilizado um caso teórico, representado por
um reservatório homogêneo e linear com dois poços, um de injeção de água
e outro de produção de óleo e água. O fluxo é unidimensional e bifásico,
(óleo e água) com fluidos não miscíveis (SANTOS et al, 2001).
Serão apresentadas primeiramente as equações necessárias para a
formulação da teoria de BUCKLEY E LEVERETT. Em seguida será feita uma
descrição do caso teórico utilizado para a validação, com as características
do reservatório e os parâmetros da rocha e dos fluidos. No final os
resultados serão apresentados comparando-se a solução analítica com a
obtida pelo CODE_BRIGHT e pelo IMEX, software comercial da CMG cuja
formulação baseia-se no método das diferenças finitas.
4.2 Equação do Fluxo Fracionário
Admitindo que a saturação dos fluidos é uniformemente distribuída na
espessura do reservatório em qualquer ponto do fluxo, é possível descrever
matematicamente o fluxo unidimensional (DAKE, 1978).
Considerando o deslocamento de óleo pela água em um reservatório de
seção transversal A e aplicando a Lei de Darcy para fluxo unidimensional, as
equações para o fluxo simultâneo de óleo e água são:
38
⋅−∂∂⋅⋅
−= gxpAkk
Q oo
o
roo ρ
µ (Eq. 4.1)
e
⋅−∂∂⋅⋅
−= gxpAkk
Q ww
w
rww ρ
µ (Eq. 4.2)
Sabendo que:
wto QQQ −= (Eq. 4.3)
Substituindo a equação (Eq. 4.3) nas equações (Eq. 4.1) e (Eq. 4.2),
e subtraindo a equação resultante, temos:
⋅∆−∂∂
⋅+⋅⋅
=
⋅
+⋅
gxP
Akk
Qkkkk
Q c
ro
ot
ro
o
rw
ww ρµµµ
(Eq. 4.4)
O fluxo fracional de água em qualquer ponto do reservatório é dado por:
wo
w
t
ww QQ
QQQ
f+
== (Eq. 4.5)
Substituindo (4.5) em (4.4), resulta:
o
ro
rw
w
c
ot
ro
w kk
gxP
qAkk
f
µµ
ρµ
⋅+
⋅∆−∂∂
⋅⋅⋅
+=
1
1 (Eq. 4.6)
O gradiente da pressão capilar pode ser escrito como:
xS
dSdP
xP w
w
cc
∂∂
⋅=∂∂
(Eq. 4.7)
Graficamente, é possível expressar os termos da direita como
representados na Figura 4.1.
39
Pc
1-SorSwc Sw
(a)
+dSw
-dPc
(b)
-dSw
-dx
x
Swc
Sw
1-Sor
Swf
Figura 4.1 - (a) Curva de retenção; (b) Distribuição da saturação de água
em função da distância (DAKE, 1978).
Como é possível observar pela Figura 4.1, ambos os termos da direita
na equação 4.6 são negativos. Com isto o gradiente da pressão capilar é
sempre positivo aumentando assim o fluxo fracionário de água. Entretanto,
apesar da curva de retenção ser de fácil obtenção, a variação da saturação
com a distância (Figura 4.1b) é a solução que quer se obter pela equação
de Buckley & Leverett.
O gradiente da pressão capilar atinge seu máximo valor quando
Sw=Swf, ou seja, na frente de choque. De Swf até (1-Sor), a variação da
saturação é gradual e tanto wc dSdP quanto xSw ∂∂ neste trecho são
considerados pequenos, podendo xPc ∂∂ ser desprezado na equação do
fluxo fracional (DAKE, 1978), ou seja:
o
ro
rw
ww k
k
f
µµ
⋅+=
1
1 (Eq. 4.8)
Considerando que o deslocamento de óleo ocorre à temperatura
constante e que as viscosidades do óleo e da água são constantes, a
equação 4.8 é, através das permeabilidades relativas, função unicamente
da saturação (Figura 4.2).
40
Figura 4.2 – Curva típica do fluxo fracional em função da saturação de água
A equação de fluxo fracional é usada para calcular a fração do fluxo
total devido à água em qualquer ponto do reservatório, admitindo que a
saturação é conhecida em qualquer ponto. A determinação de quando uma
dada saturação alcança determinado ponto é obtida através da teoria do
deslocamento (BUCKLEY & LEVERETT, 1942).
4.3 Teoria de Buckley & Leverett
Em 1942, BUCKLEY & LEVERETT desenvolveram a equação básica
que governa o deslocamento unidimensional de dois fluidos não miscíveis
através de um meio poroso linear e homogêneo. Considerando o
deslocamento do óleo pela água, a equação determina a velocidade de um
plano de saturação constante através de um sistema linear.
A conservação de massa de água que atravessa um elemento de
volume dxA ⋅⋅ φ (Figura 4.3) pode ser escrita como:
41
Figura 4.3 – Fluxo através de um volume linear dxA ⋅⋅ φ
( )wwdxxwwxww St
dxAQQ ⋅∂∂
⋅⋅⋅=⋅−⋅+
ρφρρ (Eq. 4.9)
Que pode ser reduzido a:
( ) ( )wwww St
AQx
⋅∂∂
⋅⋅−=⋅∂∂ ρφρ (Eq. 4.10)
Considerando fluido incompressível teconsw tan≈ρ :
x
w
t
w
tS
AxQ
∂∂
⋅⋅−=∂∂ φ (Eq. 4.11)
A derivada total da saturação de água é:
dtt
Sdx
xS
dSx
w
t
ww ∂
∂+
∂∂
= (Eq. 4.12)
Considerando o movimento de um plano de saturação constante, ou
seja, dSw=0, então:
Swt
w
x
w
dtdx
xS
tS
⋅∂∂
−=∂∂
(Eq. 4.13)
Desta forma:
42
t
w
w
w
t
w
xS
SQ
xQ
∂∂
⋅∂∂
=∂∂
(Eq. 4.14)
Substituindo as equações (Eq. 4.12) e (Eq. 4.11) na (Eq. 4.9), temos:
Swtw
w
dtdx
ASQ
⋅⋅=∂∂ φ (Eq. 4.15)
Como o fluido é incompressível, Qt é constante. Sabendo que
Qw=Qtfw, a equação (4.14) pode ser escrita como:
Sww
wt
SwSw dS
dfAQ
dtdx
qφ⋅
== (Eq. 4.16)
Esta é a equação de Buckley & Leverett. Integrando para o tempo
total da simulação, temos:
∫⋅=
t
tw
wSw dtQ
dSdf
Ax
0
1φ
ou
Sww
wSw dS
dfAWi
xφ⋅
= (Eq. 4.17)
Onde Wi é o total de água injetada. Com isto, a localização de
diferentes planos de saturação pode ser traçada usando a equação (4.17).
Existe, entretanto uma dificuldade matemática em aplicar esta equação
usando a função de fluxo fracionário, representada pela Figura 4.2. Devido
ao ponto de inflexão da curva surgem pontos de iguais velocidades, o que
acarretaria na existência de dois planos de saturações diferentes ocupando
a mesma posição no espaço (Figura 4.4), o que fisicamente não é correto.
Na realidade, esse efeito não ocorre porque os valores intermediários de
saturação possuem velocidades máximas e tendem a avançar inicialmente
mais rapidamente que as outras frentes de menor saturação, resultando na
formação de uma descontinuidade de saturações, normalmente denominada
43
“choque”. Como conseqüência a equação de BUCKLEY & LEVERETT é
aplicada somente no intervalo:
orwwf SSS −<< 1
Onde Swf é a saturação na frente de choque.
0
50
100
150
200
250
300
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Sw
Dis
tân
cia (
m)
0
30
60
90
180
365
730
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
Figura 4.4 – Avanço da Frente de Saturação
WELDGE (1952) integrou o perfil de saturações da Figura 4.5,
introduzindo o conceito de saturação média atrás da frente. Com isso,
obteve uma relação entre a saturação de água na frente (Swf), o fluxo
fracionário (fw), a derivada do fluxo fracionário (fw’), a saturação média
atrás da frente ( wS ) e a saturação de água conata (Swc), dada por:
( )wcwwfw
Swfw
Swfw
w
SSSS
f
dSdf
−=
−
−=
11 (Eq. 4.18)
44
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 50 100 150 200 250 300
Distâncias (m)
Sw
Buckley & Leverett
Figura 4.5 Distribuição de saturações demonstrando a existência do choque
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Saturação
Fluxo
Fra
cionário
fw Sw( )
fwcons
fwc Sw( )
Sw
Figura 4.6 - Determinação gráfica da Saturação na Frente de Choque
A equação 4.18 sugere que a derivada do fluxo fracionário da frente
de avanço (choque) pode ser obtida traçando-se uma linha reta passando
pelo ponto (Swc,fw=0) e tangente à curva de fluxo fracionário (DAKE, 1978),
como está representado na Figura 4.6.
Uma vez obtida a posição da frente de avanço, as saturações são
calculadas pela equação 4.17 até a frente de choque. A partir deste ponto, a
saturação é constante (Sw=Swc) até o poço produtor. Após o
45
“breakthrough”, tempo no qual ocorre a chegada de água no poço produtor,
a equação é válida para todas as posições do reservatório.
4.4 Validação do Modelo em Elementos Finitos
4.4.1 Descrição do CODE_BRIGHT
O CODE_BRIGHT, desenvolvido na Universidade Politécnica da
Catalunha, cujo nome significa COupled DEformation, BRIne, Gás and Heat
Transport, é um código escrito em FORTRAN que utiliza o Método dos
Elementos Finitos para a solução de problemas Termo-Hidro-Mecânicos
(THM) de forma acoplada em um meio poroso.
A formulação THM foi proposta por OLIVELLA (1995) e OLIVELLA et al
(1994) e implementada no código computacional CODE_BRIGHT. Apesar de
recente, o acoplamento (T-H-M) vem sendo testado com êxito por alguns
pesquisadores (SCHREFLER E XIAOYONG, 1993; SCHREFLER et al, 1995) e
sua implementação no CODE_BRIGHT vem sendo testada e aplicada em
problemas reais de engenharia (GENS, VAUNAUT e LEDESMA, 1995;
THOMAS et al, 1995; OLIVELLA et al, 1996a;OLIVELLA et al, 1996b; GENS
et al, 1996; LINS e COSTA, 2000; LINS, COSTA e SOBREIRA, 2001; COSTA,
PONTES FILHO e FERREIRA, 2001; COSTA, SANTOS e MAIA, 2001; COSTA,
PONTES FILHO e FERREIRA, 2002; GUIMARÃES, 2002).
A formulação baseia-se nas equações de conservação de massa para
as fases sólida, líquida e gasosa, utilizando-se ainda, a hipótese da
composição de espécies para as equações de balanço de massa (PANDAY E
CORAPCIOGLU, 1989), caracterizando a equação básica para cada espécie
em cada fase. Na metodologia já adotada por OLIVELLA (1995), as
equações das fases são obtidas através das equações de balanço de todas
as espécies contidas em cada fase. Além de vantajosa para a representação
dos termos de fluxo advectivo e não advectivo (BEAR, 1972), a hipótese da
composição de espécies torna natural o acoplamento.
46
A formulação THM considerada nesse trabalho é um caso particular,
adaptada a meios porosos com as fases fluidas água e óleo (PONTES FILHO,
2002), da formulação THM mais geral proposta por OLIVELLA (1995) e
também descrita por GUIMARÃES (2002). Algumas hipóteses básicas da
formulação THM adotada estão listadas a seguir:
• O meio poroso é trifásico com duas fases líquidas (água e óleo) mais
fase sólida;
• O equilíbrio térmico entre as fases é admitido, o que implica que a água,
o óleo e o sólido têm a mesma temperatura;
• As variáveis de estado (também chamadas de incógnitas) são:
velocidade da fase sólida; pressão de água, Pw; pressão de óleo, Po; e
temperatura, T.
• A conservação de quantidade de movimento do meio como um todo é
reduzido à equação de equilíbrio, complementado com o modelo
constitutivo mecânico relacionando incrementos de tensões e
deformações;
• A conservação de quantidade de movimento para as fases fluidas se
reduz à lei de Darcy;
• Os parâmetros físicos nas leis constitutivas são função da temperatura e
pressão. Por exemplo: concentração de vapor sobre uma superfície
planar (lei psicométrica); tensão superficial (na curva de retenção);
viscosidade dinâmica (na lei de Darcy), dependem fortemente da
temperatura.
Em relação à abordagem numérica, tem-se:
• Funções de interpolação linear para segmentos, triângulos,
quadriláteros, tetraedros, prismas triangulares e prismas
quadrangulares. Integração analítica é aplicada em segmentos,
triângulos e tetraedros. Integração numérica é usada para quadriláteros,
prismas triangulares (6 pontos) e primas quadrangulares (8 pontos).
Para todos os elementos as equações de fluxo são resolvidas usando
aproximações no elemento e na célula.
47
• Diferenças Finitas e um esquema implícito são utilizados para a
integração no tempo
• Aplicadas as discretizações espaciais e temporais, o método de Newton-
Raphson é usado para resolver o sistema de equações algébricas não
lineares
• Para solução do sistema de equações lineares resultantes da aplicação
do método de Newton-Raphson é usado decomposição LU ou o método
dos gradientes conjugados
• Discretização automática do tempo. Redução ou acréscimo do
incremento de tempo dependendo dos critérios de convergência
adotados;
As principais características do programa apresentadas em OLIVELLA
(1995), COSTA, L. (2000) e GUIMARÃES (2002) são:
• Opções para solução de problemas acoplados ou não (mecânico, fluxo
em meio poroso, calor, hidro-mecânico, termo-mecânico, hidro-térmico,
termo-hidro-mecânico);
• Análise unidimensional, bidimensional ou tridimensional;
• Diversos tipos de elementos;
• Leis constitutivas definidas por uma série de parâmetros;
• As condições de fronteira para o problema hidráulico são: vazão e
pressão em qualquer nó.
• Os critérios de convergência são impostos com tolerância de erro
absoluto ou relativo para cada incógnita. Tolerância para convergência
residual de cada problema (mecânico, hidráulico, térmico);
• Saída dos resultados: evolução temporal das variáveis nos nós ou
elementos. O usuário informa na entrada de dados as variáveis que
deseja que sejam escritas nos arquivos de saída. Mapas de contorno das
variáveis nodais ou nos elementos.
48
4.4.2 Descrição do Caso Teórico
O caso analisado constitui um modelo bifásico unidimensional para
um problema de recuperação secundária de óleo através da injeção de água
com tempo de simulação de 10.000 dias.
O reservatório do caso teórico possui as seguintes características:
Comprimento: 304,8 m
Permeabilidade intrínseca: 300 mD
Porosidade: 20%
Parâmetros do Modelo de VAN GENUCHTEN (1980) para Curva de
Retenção:
P0 (MPa) σ0 (N/m) λ Srl Sls
Valores
Adotados
0,002 0,07121 0,6 0,01 0,99
Os fluidos presentes no modelo bifásico são óleo e água com as
seguintes propriedades:
Parâmetros para o modelo da curva de permeabilidade relativa (Eq. 2.16)
para água e para o óleo
A λ
Água 1 2
Óleo 1 2
Densidade, dada pela equação 3.26
ρ0 (Kg/m3) β (MPa-1) P0 (MPa)
Água 996,319 61004,3 −⋅ 0.1
Óleo 739,913 51092,1 −⋅ 0.1
Viscosidade
Água: 1 cp
Óleo: 1 cp
49
As condições de poço podem ser resumidas como:
Vazão de injeção de água = 41049,1 −⋅ Kg/s
Pressões no poço produtor:
Pw = 9,4 MPa e Po = 9,6 MPa
As pressões iniciais do reservatório foram admitidas como sendo:
Pw = 9,4 MPa e Po = 9,6 MPa
Para a simulação numérica foi utilizada uma malha estruturada com
80 elementos quadrangulares e 162 nós (Figura 4.7), gerada no GiD,
programa de pré e pós-processamento desenvolvido pelo CIMNE (Centre
Internacional de Mètodes Numèrics em la Enginyeria).
Figura 4.7 – Malha 80 elementos (CODE_BRIGHT)
O objetivo da simulação era obter as curvas da frente de saturação
com o tempo (Figura 4.8) e comparar os resultados, para a situação em
2000 dias (Figura 4.9), com a solução analítica de BUCKLEY & LEVERETT
(1942) e a solução numérica do IMEX (Figura 4.10).
Como comparação para a solução numérica, o mesmo problema foi
simulado no IMEX, software comercial desenvolvido pela CMG (Computing
Modeling Group) e consiste em um simulador black-oil trifásico com termos
de gravidade e capilaridade. O grid pode ser cartesiano, cilíndrico ou função
da profundidade ou espessura do reservatório, podendo ser aplicado tanto
para sistemas bidimensionais ou tridimensionais. A formulação pode ser
explicita, totalmente implícita ou adaptativa (AIM). A presença de gás é
50
controlada por alterações nas variáveis da entrada de dados (IMEX, User’s
Guide 2001).
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
0 50 100 150 200 250 300
Distância (m)
Sw
0 dias
60 dias
365 dias
1000 dias
2000 dias
3000 dias
4000 dias
10000 dias
Figura 4.8 – Avanço da Frente de Saturação (CODE_BRIGHT)
Figura 4.9 – Avanço da Frente de Saturação 2.000 dias (Pós-processamento
GID)
O caso unidimensional foi simulado no IMEX admitindo a formulação
totalmente implícita e pressões superiores à pressão de bolha, impedindo
desta forma a liberação de gás, garantindo um sistema bifásico de óleo e
água. Como os valores da pressão capilar são baixos e a formulação no
IMEX não exige a entrada desses dados para resolução do problema eles
não foram considerados. Os demais dados são semelhantes aos adotados
para o CODE_BRIGHT fazendo as devidas conversões de unidade para o
sistema de campo utilizado no IMEX.
51
Os resultados dos simuladores numéricos são apresentados na Tabela
4.1 e na Figura 4.10. A saturação da frente de choque para a solução
analítica foi obtida graficamente através da Figura 4.6.
Tabela 4.1 – Resultados do CODE_BRIGHT (80 elementos) e do IMEX (80
blocos).
Produção
Acumulada (m3) Software
Água Óleo
Fator de
Recuperação
“Breakthrough”
(dias)
CODE_BRIGHT 75,41 53,79 89,22% 3916
IMEX 71,07 49,44 91,10% 3534
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 50 100 150 200 250 300
Distâncias (m)
Sw
Buckley & LeverettCODE_BRIGHT 80 elementosIMEX 80 Blocos
Figura 4.10 – Avanço da Frente de Saturação 2.000 dias
É possível observar, na Figura 4.10, a concordância dos resultados
numéricos com a solução analítica. No caso do CODE_BRIGHT, devido à
curva de retenção adotada, a frente de choque é bastante próxima da
obtida por Buckley & Leverett.
O IMEX apresenta um “breakthrough” em tempo inferior ao obtido no
CODE_BRIGHT (Tabela 4.1), fato provavelmente causado pela dispersão
numérica que provoca um avanço da frente de saturação a blocos onde
fisicamente a água ainda nem chegou.
52
Apesar do “breakthrough”, que pode causar uma diminuição da
produção de óleo, no IMEX ocorrer antes do CODE_BRIGHT, o fator de
recuperação do primeiro, 91,10% é superior ao obtido pelo segundo
89,22%, possivelmente devido à vazão de injeção ser alta para a extensão
do reservatório fazendo com que a influência da chegada de água não
comprometa significativamente a produção de óleo.
53
CAPÍTULO V
Simulação de Fluxo Bifásico e Bidimensional
5.1 Introdução
Neste capítulo serão apresentados os resultados de casos teóricos
bidimensionais, analisando questões como a heterogeneidade do
reservatório.
Os reservatórios analisados nos casos teóricos foram classificados da
seguinte forma:
Caso 1- Homogêneo
Reservatório com apenas 1 material
Caso 2 – Com Canal
Mesmo material presente no caso homogêneo com a introdução de
um canal de material mais permeável.
Caso 3 – Com Barreira
Idêntico ao com canal, só que o material é menos permeável que o
do reservatório.
Caso 4 – Com Fratura
Caso com barreira com a introdução de uma fratura
Primeiramente serão apresentadas as propriedades comuns a todos
os casos. Depois os resultados obtidos para cada caso serão analisados de
forma individual e posteriormente no aspecto mais geral. O primeiro caso
serve de referência para os demais por se tratar de um reservatório
homogêneo, sem canais preferenciais de fluxo ou barreiras.
54
5.2 Casos Teóricos
A geometria básica para todos os casos está ilustrada na Figura 5.1,
onde é indicada também a localização dos poços de produção e de injeção,
cujas condições de contorno na malha de elementos finitos foi admitida nos
nós.
Figura 5.1 – Geometria dos casos bidimensionais
O tempo de simulação foi de 10000 dias e as propriedades comuns a
todos os exemplos são descritas abaixo:
Propriedades do Reservatório
Porosidade = 30%
Curva de Retenção
Parâmetros P0 (MPa) σ0 (N/m) λ Srl Sls
0,02 0,07121 0,7 0,2 0,8
55
Permeabilidade Relativa
Parâmetros A λ
1 2
Propriedades dos Fluidos
Densidade
ρ0 (Kg/m3) β (MPa-1) P0 (MPa)
Água 996,319 61004,3 −⋅ 0,1
Óleo 739,913 51092,1 −⋅ 0,1
Viscosidade
Água: 1 cp
Óleo: 50 cp
Condições Iniciais e de Contorno
Para um maior controle operacional dos poços, foram implementadas
no CODE_BRIGHT condições de contorno mistas. Inicialmente são adotadas
uma condição de vazão ou pressão e uma condição limite, também de
vazão ou pressão. Durante a simulação, caso a condição limite seja
atingida, a nova condição de contorno é adotada.
No poço injetor
Pressão máxima de água: Pwmáx = 10,0 MPa
Vazão de Injeção de Água = 41040,2 −⋅ Kg/s
No Poço Produtor
Pressão de fundo de poço (BHP): Po=Pw= 9,3 MPa
Vazão Máxima de produção = 41040,2 −⋅ Kg/s
No reservatório foram admitidas as pressões iniciais:
Po = 9,6 MPa e Pw = 9,4 MPa
56
5.2.1 Caso 1 – Reservatório Homogêneo
Esse caso representa um caso hipotético de um reservatório
totalmente homogêneo onde a produção de óleo será influenciada somente
pelas pressões atuantes e a vazão de injeção de água.
A malha com 326 nós e 564 elementos, com maior refinamento nos
poços de injeção e produção, utilizada neste caso está representada na
Figura 5.2. O único material presente neste caso tem permeabilidade
intrínseca de 300 mD.
Figura 5.2 Malha Reservatório Homogêneo
As Figuras 5.3 e 5.4 demonstram a situação final (10000 dias) da
saturação e pressão de água respectivamente. A produção acumulada de
água (WP) e óleo (NP) é representada na Figura 5.5.
57
Figura 5.3 Saturação de água em 10000 dias
Figura 5.4 Pressão de água em 10000 dias
Devido à alta viscosidade do óleo ( sMPa100,1 10 ⋅⋅ − = 50 cp), quando
comparada a da água (1cp), o fator de recuperação é de 12,40% e o
“breakthrough”, admitindo uma produção de 1m3 de água, ocorre a 5267
58
dias (Figura 5.5). Esse caso será tomado como base para comparação dos
demais apresentados a seguir.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
Tempo (dias)
Vo
lum
e A
cum
ula
do
(m
³)
WP
NP
Figura 5.5 Volume acumulado no poço produtor
A Figura 5.6 apresenta o fluxo de óleo e água no poço produtor, onde
através de implementação no código, a vazão da água é limitada a um valor
igual ao do poço de injeção que é mantido constante. É possível notar que
para manter constante a pressão no poço de produção, a vazão de óleo
tende a diminuir a medida que a de água aumenta logo após o
“breakthrough”. Como a viscosidade da água é 50 vezes menor que a do
óleo, nos casos aqui simulados, é esperado que a vazão de água aumente e
conseqüentemente sua produção acumulada no poço produtor, como está
representada na Figura 5.5.
Na Figura 5.7 como era esperado, a pressão de água, inicialmente de
9,6 MPa, tende a cair no poço de injeção a medida que a saturação de água
aumenta facilitando o fluxo de água no reservatório.
59
0,00000
0,00005
0,00010
0,00015
0,00020
0,00025
0,00030
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
Tempo (dias)
Va
zão
(K
g/
s)
Fluxo Água
Fluxo Óleo
Figura 5.6 Vazão de fluidos no poço produtor
9,00
9,10
9,20
9,30
9,40
9,50
9,60
9,70
9,80
9,90
10,00
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
Tempo (dias)
Pre
ssão
(M
Pa)
Poço Injeção
Poço Produção
Figura 5.7 Pressão de água nos poços de injeção e produção
No poço produtor a pressão de água permanece constante devido à
condição de manutenção da pressão. Essa condição de contorno foi
implementada no CODE_BRIGHT para permitir um maior controle
operacional tanto para o poço produtor quanto para o injetor.
60
5.2.2 Caso 2 – Reservatório com canal
O canal constitui uma heterogeneidade na formação do reservatório
com permeabilidade intrínseca de 300.000 mD, maior portanto que o do
restante do reservatório (300 mD), indicando desta forma um canal
preferencial para o fluxo. Nesse caso é esperado um avanço mais rápido da
frente de saturação com possível antecipação do “breakthrough” em relação
ao Caso 1. A malha adotada é a mesma do caso anterior, com 326 nós e
564 elementos (Figura 5.8).
Figura 5.8 Malha Reservatório com Canal
Na Figura 5.9, que indica o avanço da saturação de água no
reservatório, é possível notar que o canal acelera o avanço da água e faz
com que a pressão desse líquido diminua mais rapidamente, fato este
observado comparando-se as figuras 5.10 e 5.4.
61
Figura 5.9 Saturação de água em 10000 dias
Figura 5.10 Pressão de água em 10000 dias
Comparando-se a Figura 5.11 com a Figura 5.5, é possível notar que
a existência do canal causa um “breakthrough” em 5095 dias e provoca um
fator de recuperação de 12,23%, inferior ao caso homogêneo, devido
principalmente à chegada antecipada de água no poço produtor.
62
A queda na vazão de óleo (Figura 5.12) e conseqüentemente após
algum tempo, a queda na produção acumulada em relação ao caso anterior,
refletem a influência do canal que provoca, ainda que de forma discreta,
uma maior produção de água pelo poço produtor
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
Tempo (dias)
Volu
me A
cum
ula
do (
m³)
WP
NP
Figura 5.11 Volume acumulado no poço produtor
0,00000
0,00005
0,00010
0,00015
0,00020
0,00025
0,00030
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
Tempo (dias)
Va
zã
o (
Kg
/s)
Fluxo Água
Fluxo Óleo
Figura 5.12 Vazão de fluidos no poço produtor
63
Na Figura 5.13 é possível observar o mesmo comportamento da
Figura 5.7, só que na primeira, devido à presença do canal, a queda da
pressão de água ocorre mais rapidamente.
9,00
9,10
9,20
9,30
9,40
9,50
9,60
9,70
9,80
9,90
10,00
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
Tempo (dias)
Pre
ssão
(M
Pa)
Poço Injetor
Poço Produtor
Figura 5.13 Pressão de água nos poços de injeção e produção
64
5.2.3 Caso 3 – Reservatório com Barreira
De geometria semelhante ao Caso 2, mas ao invés do canal, com
permeabilidade maior que do restante do reservatório, o material utilizado
tem comportamento de uma barreira, com permeabilidade menor (0,3 mD)
que o do reservatório. Com esta modificação a recuperação de óleo e a
produção de água devem ser reduzidas quando comparadas aos casos
anteriores.
A malha adotada possui 969 nós e 1818 elementos (Figura 5.14),
sendo portanto mais refinada que as malhas dos casos anteriores. Esse
refinamento foi utilizado para minimizar problemas numéricos decorrentes
das altas pressões provocadas pela esperada redução de fluxo devido à
barreira.
Figura 5.14 Reservatório com Barreira
Nas figuras 5.15 e 5.16 é possível notar claramente que a barreira
impede o fluxo. Na Figura 5.15, a distribuição das saturações de água é, em
média, bem inferior aos casos anteriormente apresentados. O impedimento
65
do fluxo torna-se evidente ao analisar a Figura 5.16 onde há um aumento
significativo da pressão de água no trecho anterior à barreira.
Figura 5.15 Saturação de água em 10000 dias
Figura 5.16 Pressão de água em 10000 dias
66
Como era esperada, na Figura 5.17, a produção acumulada de água
não aparece no gráfico por possuir valores muito pequenos, inferiores a
1m3, valor este admitido para o “breakthrough” que neste caso nem ocorre.
Esse fato também pode ser constatado analisando a Figura 5.18 onde o
fluxo de água é praticamente nulo e o fluxo de óleo está praticamente
constante. Os valores iniciais da vazão de óleo devem ter sido provocados
pela injeção de água e pela estabilização das pressões no reservatório.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
Tempo (dias)
Volu
me A
cum
ula
do (
m³)
WP
NP
Figura 5.17 Volume acumulado no poço produtor
A produção de óleo é pequena, fator de recuperação de 5,2%,
quando comparada aos Casos 1 e 2, pois a barreira impede tanto o fluxo de
água quanto de óleo.
Devido à condição de contorno implementada no código, limitando a
pressão de água em 10 MPa no poço injetor, a pressão inicial logo atinge o
valor máximo estabelecido (Figura 5.19). Isso se deve à barreira que ao
impedir o fluxo de óleo e água provoca um rápido aumento das pressões no
interior do reservatório (Figura 5.16).
67
0,00000
0,00002
0,00004
0,00006
0,00008
0,00010
0,00012
0,00014
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
Tempo (dias)
Va
zão
(K
g/
s)
Fluxo Água
Fluxo Óleo
Figura 5.18 Vazão de fluidos no poço produtor
9,00
9,20
9,40
9,60
9,80
10,00
10,20
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
Tempo (dias)
Pre
ssã
o (
MP
a)
Poço Injetor
Poço Produtor
Figura 5.19 Pressão de água nos poços de injeção e produção
68
5.2.4 Caso 4 – Reservatório com Barreira e Fratura
Neste caso, tendo em vista os resultados obtidos no Caso 3,
procurou-se analisar a influência de uma descontinuidade no reservatório de
forma a gerar um canal preferencial de fluxo através da barreira. Foi então
considerada uma fratura muito permeável (300.000 mD) com espessura de
10 cm.
A malha de 522 nós e 976 elementos (Figura 5.20), possui um maior
refinamento próximo à fratura, para melhor simular o comportamento da
descontinuidade.
Figura 5.20 Malha Reservatório com Fratura e Barreira
A fratura realmente possibilita o fluxo através da barreira, como
indicado na Figura 5.21, onde pode-se notar a frente de saturação seguindo
exatamente o caminho da fratura. Na Figura 5.22, a distribuição da pressão
de água mostra um alívio em comparação com o Caso 3. Os pontos de
maior pressão estão localizados na barreira e distantes da fratura.
69
Figura 5.21 Saturação de água em 10000 dias
Figura 5.22 Pressão de água em 10000 dias
A produção acumulada de óleo (Figura 5.23) indica um aumento
significativo quando comparada ao resultado obtido no caso somente com a
barreira (Figura 5.17), basta comparar os fatores de recuperação: 10,58%
para esse caso e 5,20% no caso anterior.
70
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
Tempo (dias)
Volu
me A
cum
ula
do (
m³)
WP
NP
Figura 5.23 Volume acumulado no poço produtor
Apesar do aumento significativo da produção de óleo em relação ao
caso anterior, a Figura 5.24 mostra que o fluxo de óleo cai bem antes que
em todos os casos analisados anteriormente, fato comprovado pelo
“breakthrough” em 3172 dias (Figura 5.23), explicado pela alta
permeabilidade da fratura.
0,00000
0,00005
0,00010
0,00015
0,00020
0,00025
0,00030
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
Tempo (dias)
Va
zã
o (
Kg
/s)
Fluxo Água
Fluxo Óleo
Figura 5.24 Vazão de fluidos no poço produtor
71
A influência da descontinuidade fica evidente comparando as Figuras
5.25 e 5.19, onde no primeiro a pressão de água no poço injetor cai
rapidamente devido ao alívio causado pela possibilidade de fluxo através da
fratura enquanto no segundo como só existe a barreira, ocorre rapidamente
um aumento de pressões.
9,00
9,20
9,40
9,60
9,80
10,00
10,20
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
Tempo (dias)
Pre
ssã
o (
MP
a)
Poço Injetor
Poço Produtor
Figura 5.25 Pressão de água nos poços de injeção e produção
72
5.3 Análise dos Resultados
Comparando os resultados dos casos apresentados com o problema
unidimensional, a recuperação de óleo foi baixa, chegando no Caso 1 a
12,40% (Figura 5.26). Os parâmetros do reservatório foram praticamente
os mesmos alterando somente a geometria e a viscosidade do óleo.
A redução pode ser explicada tanto pela geometria bidimensional que
tende a um espalhamento do fluxo, mas principalmente por tratar-se de um
óleo com uma viscosidade cinqüenta vezes superior à viscosidade da água.
Nesse caso uma alternativa para aumentar a produção de óleo pode ser a
adoção de um método de recuperação avançada que reduza a viscosidade
do óleo facilitando seu deslocamento.
12,40% 12,23%
5,20%
10,58%
0,00%
2,00%
4,00%
6,00%
8,00%
10,00%
12,00%
14,00%
FR (%)
Caso 01 Caso 02 Caso 03 Caso 04
Fator de Recuperação
Figura 5.26 – Comparação dos Fatores de Recuperação dos Casos Teóricos
A heterogeneidade também aparece como fator importante na
recuperação de óleo tendo em vista os resultados apresentados na Tabela
5.1, onde a depender do tipo de material, seja uma barreira, um canal, os
resultados podem diferir significativamente.
Em nenhum dos casos apresentados, o tempo de simulação (10000
dias) foi suficiente para que a produção de água no poço produtor
excedesse o volume de óleo.
73
Tabela 5.1 – Resumo dos Resultados dos Casos Teóricos
Casos “Breakthrough”
(dias)
Volume Produzido
NP (m3)
Fator de
Recuperação
Homogêneo 5267 172,85 12,40%
Canal 5095 170,46 12,23%
Barreira Não ocorreu 72,41 5,20%
Fratura 3172 147,50 10,58%
O Caso 3 foi o de maior demanda numérica devido à barreira que
impede o fluxo causando um aumento significativo das pressões o que
dificultava a convergência, fato este amenizado pela implementação da
condição operacional de pressão máxima no poço de injeção.
74
CAPÍTULO VI
Simulação de um Análogo de Reservatórios
6.1 Introdução
Como aplicação do CODE_RIGHT para um caso prático, será
apresentada a simulação numérica de fluxo multifásico em condições
isotérmicas no Afloramento de Barreiras do Boqueirão (Formação Maceió),
considerado aqui como um análogo de reservatórios de hidrocarbonetos.
As análises realizadas correspondem a um estudo preliminar que
procurou incorporar o máximo de informações obtidas nos trabalhos de
caracterização dos afloramentos de turbiditos da Formação Maceió (LIMA
FILHO, 2002). A partir da caracterização faciológica do Afloramento de
Barreiras do Boqueirão, foram determinados a geometria e os diferentes
conjuntos de materiais que compõem o modelo numérico de fluxo de fluidos
(água e óleo) do análogo. Com relação aos dados petrofísicos como
porosidade e permeabilidade, não fornecidos no estudo de caracterização do
afloramento, e às propriedades dos fluidos utilizados na modelagem, foram
adotadas propriedades correspondentes às rochas e fluidos de reservatórios
brasileiros de mesma evolução diagenética da Formação Maceió.
Neste capítulo, serão simuladas duas situações para o análogo, a
primeira chamada de Caso Base e outra de Caso Utilizando Óleo Pesado,
objetivando avaliar a evolução das saturações, fluxos e pressões, assim
como o fator de recuperação para o período de injeção de água de 5 anos
de exploração.
6.2 Afloramentos de Alagoas: Barreiras do Boqueirão
A foto-montagem do Afloramento de Barreiras do Boqueirão, a partir
da qual definiu-se a geometria para os modelos numéricos utilizados nas
75
análises é apresentada na Figura 6.1a. Na Figura 6.1b são apresentados a
geometria e os distintos materiais considerados na simulação de fluxo
multifásico no análogo. A Tabela 6.1 apresenta uma breve descrição das
fácies e a associação destas aos materiais, definidos a partir da
caracterização faciológica, considerados nas análises.
Figura 6.1 Afloramento de Barreiras de Boqueirão: (a) Foto-montagem; (b)
Geometria do modelo numérico para fluxo multifásico no Análogo
Os valores adotados nas simulações numéricas para os dados
petrofísicos bem como a permeabilidade e porosidade dos materiais e as
propriedades dos fluidos estão descritos nas Tabelas 6.2, 6.3 e 6.4
respectivamente.
As propriedades dos fluidos, apresentadas na Tabela 6.3 e nas
Figuras 6.2 e 6.3, consideram um reservatório a uma profundidade de
2040m. A permeabilidade vertical (Kv) corresponde a 40% da
permeabilidade horizontal (Kh).
As condições inicias e de contorno para as simulações dos casos base
e com óleo pesado no CODE_BRIGHT estão resumidas nas Tabelas 6.4 e 6.5
respectivamente. A temperatura admitida foi de 30oC e o fator volume de
formação do óleo considerado é de 1,42 para ambos os casos simulados.
76
Tabela 6.1 Descrição das fácies relacionadas aos materiais considerados nas
análises
Fácies Descrição Materiais
Cf2 Arenito rico em feldspato muito grosso
a conglomerático Arenito Grosso
G Arenito médio a grosso Arenito Médio
C8 Arenito rico em feldspato muito grosso
a conglomerático Arenito Grosso
Argila Argila Argila
Tabela 6.2 Propriedades dos materiais
Materiais Porosidade
(%)
Kh
(mD)
Arenito Grosso 19,7 50,0
Arenito Médio 25,0 100,0
Argila 30,0 0,30
Tabela 6.3 Propriedades dos fluidos
Água Óleo
Densidade (Kg/m3) 1000,0 888,7
Compressibilidade (Kg/cm2)-1 5108,4 −⋅ 41026,3 −⋅
Viscosidade (cp) 0,5 0,5
77
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Sw
Pc
=P
o-P
w (
MP
a)
Figura 6.2 Curva de Retenção
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,25 0,5 0,75 1
Sw
Kr
Água
Óleo
Figura 6.3 Curva de Permeabilidade
Relativa
Tabela 6.4 Condições Iniciais e de Contorno do Caso Base
Água Óleo
Pressões Iniciais (MPa) 30,00 30,15
Pressão Máxima no Poço Injetor (MPa) 60,00
Pressão de Fundo de Poço (Mpa) 22,00
Vazão máxima de injeção (Kg/s) 310308,1 −⋅
Vazão máxima de produção (Kg/s) 310627,1 −⋅
Tabela 6.5 Condições Iniciais e de Contorno do Caso com Óleo Pesado
Água Óleo
Pressões Iniciais (MPa) 30,00 30,30
Pressão Máxima no Poço Injetor (MPa) 60,00
Pressão de Fundo de Poço (Mpa) 22,00
Vazão máxima de injeção (Kg/s) 310447,1 −⋅
Vazão máxima de produção (Kg/s) 310447,1 −⋅
78
6.3 Modelagem de Fluxo no Análogo:
As duas simulações realizadas para o afloramento de Barreiras do
Boqueirão utilizaram as mesmas propriedades para os materiais
modificando somente as condições de iniciais e de contorno (Tabelas 6.4 e
6.5) assim como a viscosidade do óleo. No caso base, a viscosidade de óleo
será igual a da água. No caso seguinte, a viscosidade adotada será
característica de um óleo pesado.
6.3.1 Caso Base
As fronteiras superior e inferior do modelo do análogo são
consideradas impermeáveis e não foi considerado o efeito da gravidade nos
fluxos de água e óleo. As inclinações com a horizontal das direções
principais de anisotropia do tensor de permeabilidade intrínseca estão
indicadas na Figura 6.4
Figura 6.4 Inclinação do tensor de permeabilidade intrínseca
Explorando uma das principais características do Método dos
Elementos Finitos, foi possível obter com o CODE_BRIGHT uma
discretização do domínio bastante fiel à geometria real do análogo (Figura
6.5), possibilitando a identificação detalhada dos diferentes regimes de
fluxo durante os 5 anos de explotação.
A malha de elementos finitos utilizada no caso base é bidimensional e
relativamente fina com 1907 elementos e 1046 nós. Na Figura 6.5 está
79
ilustrada também a completação dos poços de injeção (de água) e produção
(de água e petróleo).
Figura 6.5 Malha de Elementos Finitos
A Figura 6.6 ilustra o deslocamento do petróleo no reservatório
provocado pela água injetada e apresenta a distribuição da saturação de
água no Caso Base obtida pelo CODE_BRIGHT para 105, 209 e 1825 dias (5
anos).
Figura 6.6 Evolução da saturação de água no Caso Base
Apesar da injeção de água ser realizada na camada superior de
arenito grosso, esta percola preferencialmente pela camada de arenito
médio, que é a mais permeável de todas. Na distribuição da saturação de
80
água a 209 dias também pode-se verificar que a camada de argila funciona
como uma barreira para os fluidos devido a sua baixa permeabilidade.
Quando ocorre a chegada de água no produtor (“breakthrough”), é
possível notar na Figura 6.8 que a vazão de óleo cai rapidamente a medida
que a de água aumenta, fato que pode ser comprovado pela Figura 6.7
onde a produção de óleo tende a se estabilizar após o “breakthrough”
enquanto a produção de água aumenta.
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Tempo (dias)
Pro
duçã
o a
cum
ula
da (
m³)
WP
NP
Figura 6.7 Volume acumulado no poço produtor
Apesar do “breakthrough” ocorrer a 300 dias e a produção de água
mostrar-se superior à de óleo (Figura 6.7 e 6.8), o fator de recuperação foi
de 65% explicado basicamente pela baixa viscosidade adotada para o óleo,
o que facilita o deslocamento pela água, como pode ser comprovado
analisando a Figura 6.6 em 5 anos onde a saturação média de água fica em
torno de 0,65.
Na Figura 6.9, próximo ao tempo de “breakthrough”, há uma queda
na pressão de água no poço injetor provocada pela maior facilidade do fluxo
uma vez que a água já chegou ao poço produtor.
81
0,0000
0,0002
0,0004
0,0006
0,0008
0,0010
0,0012
0,0014
0,0016
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Tempo (dias)
Vazã
o (
Kg/s)
Água
Óleo
Figura 6.8 Vazões no poço produtor
21,90
22,00
22,10
22,20
22,30
22,40
22,50
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800Tempo (dias)
Pre
ssã
o (
MP
a)
Injetor
Produtor
Figura 6.9 Pressão de água nos poços
6.3.2 Caso Utilizando Óleo Pesado
Para este caso, além das alterações mencionadas na Tabela 6.5, foi
admitida uma viscosidade para o óleo de 500 cp, ou seja 1000 vezes
superior a do caso base. Com isso, espera-se uma menor recuperação de
óleo e um aumento das pressões atuantes no reservatório.
82
Figura 6.10 Evolução da saturação de água no caso utilizando óleo pesado
A Figura 6.10 mostra que apesar da vazão de injeção de água ser
maior que a do caso base (Tabela 6.5), o avanço da saturação de água é
bem menor quando comparado aos obtidos na Figura 6.6, como era
esperado devido à alta viscosidade do óleo.
Analisando as Figuras 6.11 e 6.12 é possível verificar que o
“breakthrough” ocorre a 3 dias, provocando uma queda na vazão de óleo no
poço produtor (Figura 6.12) e conseqüentemente o volume acumulado de
óleo tende a estabilizar-se (Figura 6.11) enquanto o volume de água
aumenta a medida que a frente de saturação avança. Esse fato pode ser
explicado pela alta viscosidade do óleo em relação à água que por ser
menos viscosa, percola mais facilmente pelos poros não saturados de óleo
até o poço produtor.
Devido à dificuldade da água em deslocar o óleo, a pressão aumenta
significativamente no início da simulação, não atingindo no entanto o valor
máximo estabelecido (60 MPa). Isso se deve à maior facilidade do fluxo da
água dentro do reservatório, que chega ao produtor em 3 dias, provocando
uma estabilização das pressões (Figura 6.13).
83
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Tempo (dias)
Pro
duçã
o a
cum
ula
da (
m³)
WP
NP
Figura 6.11 Volume acumulado no poço produtor
0,0000
0,0002
0,0004
0,0006
0,0008
0,0010
0,0012
0,0014
0,0016
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Tempo (dias)
Vazã
o (
Kg
/s)
Água
Óleo
Figura 6.12 Vazões no poço produtor
Verifica-se que há uma redução de aproximadamente 46% (Figura
6.14) comparando-se o fator de recuperação do caso base com o obtido
para óleo pesado (com alta viscosidade) em condições isotérmicas.
Analisando conjuntamente os casos aqui apresentados, constata-se a
coerência dos resultados utilizando o CODE_BRIGHT para simulações
práticas da engenharia de reservatórios.
84
15,00
20,00
25,00
30,00
35,00
40,00
45,00
50,00
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800Tempo (dias)
Pre
ssã
o (
MP
a)
Injetor
Produtor
Figura 6.13 Pressão de água nos poços
65%
35%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Fato
r d
e R
ecu
pera
ção
Caso Base Caso com Óleo Pesado
Figura 6.14 Comparativo dos Fatores de Recuperação
85
CAPÍTULO VII
Conclusões
7.1 Introdução
Neste capítulo serão discutidas as conclusões obtidas nos exemplos
de validação do código em elementos finitos CODE_BRIGHT, bem como os
resultados obtidos na simulação dos casos teóricos e do análogo. Serão
também sugeridas questões para futuras pesquisas.
7.2 Conclusões das Simulações Realizadas
O resultado da simulação em elementos finitos ficou bem próximo da
solução analítica proposta por BUCKLEY & LEVERETT (1942), principalmente
no trecho da frente de choque devido basicamente à curva de retenção
adotada.
O comparativo dos resultados do IMEX e do CODE_BRIGHT para o
caso unidimensional com a mesma malha, mostra que no primeiro, a
aproximação da saturação no termo da mobilidade sugere um avanço maior
que a realidade. Esse fato explica o menor tempo de chegada de água no
produtor obtido pelo IMEX. Nesses casos ocorreram dispersões numéricas,
no IMEX, e oscilações, no CODE_BRIGHT, quando a frente de saturação
atingia o poço produtor. A minimização pode ser obtida através do
refinamento da malha.
Os resultados obtidos nos casos bidimensionais indicam uma boa
resposta do código face às heterogeneidades encontradas em casos reais.
As simulações realizadas no Afloramento de Barreiras do Boqueirão,
considerado um análogo de reservatórios, mostraram a aplicabilidade do
86
código em casos práticos, permitindo a reprodução bastante fiel da
geometria do problema bem como a consideração de parâmetros
operacionais reais.
A flexibilidade geométrica da malha em elementos finitos possibilita a
introdução de diversas heterogeneidades bem como a consideração de
diversas condições de contorno possíveis para o problema de simulação de
reservatórios.
A adoção de controles operacionais na pressão e vazão dos poços de
injeção e produção através das condições de contorno do problema, são
extremamente importantes na correta simulação de reservatórios.
Dificuldades numéricas foram encontrados quando este tipo de controle não
foi considerado.
O refinamento da malha próximo aos pontos onde condições de
pressão e vazão são prescritos é essencial para evitar distorções causadas
por erros numéricos.
Os modelos disponíveis no CODE_BRIGHT para a determinação das
propriedades tanto do reservatório quanto dos fluidos mostraram-se
satisfatórios tendo em vista a obtenção de resultados coerentes.
7.3 Sugestões para Futuras Pesquisas
Implementação de modelos de poços como o de PEACEMAN (1978)
no CODE_BRIGHT nas condições de contorno para poços, a fim de simular
melhor as condições operacionais na produção de hidrocarbonetos.
Estudos de casos tridimensionais reais para atestar a eficiência do
código face a casos práticos da engenharia de reservatórios.
87
Estudos de métodos de recuperações avançadas visando um aumento
da produção utilizando outras implementações do CODE_BRIGHT como os
métodos térmicos e químicos.
Estudo do problema de subsidência (deformação por extração de
fluidos) utilizando o módulo mecânico do CODE_BRIGHT resolvendo o
problema acoplado HM (Hidro-mecânico).
88
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