estudo da resposta
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Modelagem de sistemas mecânicos para estudo da resposta de um sistema utilizando o método de Laplace.TRANSCRIPT
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HOMEWORK 4
RESPOSTA NO TEMPO DE UM
SISTEMA MECNICO DE 3 GDL
Christian Grimm Balaniuc 386740
Danilo Henrique Ribeiro Leite 559008
Fbio Tommasini 414930
Guilherme Camargo 496618
Junho de 2015
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SO CARLOS UFSCAR CENTRO DE CINCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA - CCET
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECNICA ____________________________________________________________________________
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Sumrio
Introduo .................................................................................................................... 3
Objetivos ...................................................................................................................... 4
Metodologia ................................................................................................................. 4
Resultados e Discusses ............................................................................................... 8
Resultados e Discusses ............................................................................................. 13
Apndice .................................................................................................................... 14
Bibliografia ................................................................................................................. 15
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Introduo
A previso do comportamento de um determinado sistema
essencial em um projeto. O estudo desse comportamento de vital
importncia em problemas de engenharia e pode ser feito atravs de
modelo fsicos, matemticos e computacionais.
(...) o estudo da Dinmica de Sistemas pode ser entendido como
o estudo do comportamento, em funo do tempo, de grandezas que
esto relacionadas com parte do universo que foi imaginariamente
separada para este fim. (FELICIO, 2010).
Em sistemas dinmicos analisa-se respostas, em funo do
tempo, com relao a uma ou mais entradas. A forma que um sistema
fsico, sob determinadas condies iniciais, responde uma excitao
conhecida como Resposta no Domnio do Tempo. A anlise de tal
resposta pode ser dividida em duas partes: anlise transitria e regime
estacionrio. O primeiro dependente no s da excitao, ms
tambm das condies iniciais enquanto o segundo depende somente
da entrada do sistema. Esse estudo pode ser feito de forma separada,
ou seja, estuda-se primeiramente as respostas para um condio inicial
no nula e excitaes nulas e, posteriormente, estuda-se as respostas
para uma determinada entrada, considerando nulas as condies
iniciais. A resposta real do sistema pode ser obtida atravs da
superposio desses resultados.
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Objetivos
Realizar os clculos necessrios para obter uma resposta dos
deslocamentos em x, para cada massa, em funo no tempo, aps sofrer a
ao de um carregamento f1(t). Ainda, utilizar o software MATLAB para
obter grficos das respostas no tempo, permitindo assim uma anlise mais
detalhada.
Metodologia
Primeiramente, foi feita a anlise do problema, efetuando todos os
clculos das relaes matemticas necessrias para a obteno do modelo
a partir dos diagramas de corpo livre.
Abaixo temos as hipteses usadas para a resoluo do problema.
Massas rgidas e constantes
Molas puras e lineares
Amortecedores puros e lineares
Movimento unidirecional
Pequenas variaes das grandezas
CIs nulas.
Figura 1: Esquema do modelo fsico
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Desconsideram-se atritos, exceto o indicado.
Considerando ento as variveis:
F1= fora de entrada
Fat= fora de atrito
M1=massa do corpo 1
M2=massa do corpo 2
M3=massa do corpo 3
K1=constante elstica da mola 1
K2=constante elstica da mola 2
K3=constante elstica da mola 3
K4=constante elstica da mola 4
Bat= constante de amortecimento do atrito
B2= constante do amortecedor 2
B3= constante do amortecedor 3
B4= constante do amortecedor 4
X1=deslocamento do corpo 1
X2=deslocamento do corpo 2
X3=deslocamento do corpo 3
Outras variveis so indicadas nas figuras. Partindo para a modelagem
temos:
Massa 1
Figura 1 Diagrama de Corpo Livre da massa 1
(1)
No qual temos as seguintes relaes:
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Assim, o modelo matemtico para essa massa dado por:
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Massa 2
Figura 2 Diagrama de Corpo Livre da massa 2
A partir do DCL e das leis de Newton temos:
(9)
E as seguintes relaes:
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O modelo matemtico dado por:
(15)
Massa 3
Figura 3 Diagrama de Corpo Livre da massa 3
Seguindo as Leis de Newton temos:
(16)
Com as relaes:
Temos:
Dadas os modelos matemticos para as massas do problema, e
as variveis envolvidas, pode-se reescrever as equaes (8),(15) e (19)
matricialmente.
O sistema dado por:
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(20)
No qual:
A matriz de sadas pode ser escrita como:
E as foras aplicadas como:
Utilizando o software Matlab, e o mtodo de Cramer, calcularam-se as
Funes de Transferncia.
Resultados e Discusses
Encontrado as Funes de Transferncia foi criado, ento, uma rotina no
MATLAB (Anexo 1) e um modelo no Simulink, como mostrado na Figura 4.
A partir da obteve-se as respostas para as massas M1, M2 e M3 atravs do
mtodo iterativo de resoluo de EDOs e atravs do uso das Funes de
Transferncia.
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Figura 4 Esquema criado no Simulink para resoluo e comparao dos dois mtodos de anlise
As figuras 5 e 6 mostram a resposta no tempo da massa M1 pelo mtodo
iterativo e pelo mtodo de Laplace, respectivamente.
Figura 5 Resposta no tempo de M1 pelo mtodo iterativo
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Figura 6 Resposta no tempo de M1 pelo mtodo de Laplace
Observa-se que as curvas dos dois mtodos so idnticas. O mesmo
acontece com as massas M2 e M3, como mostrado nas figuras 7, 8, 9 e 10.
Figura 7 Resposta no tempo de M2 pelo mtodo iterativo
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Figura 8 Resposta no tempo de M2 pelo mtodo de Laplace
Figura 9 Resposta no tempo de M3 pelo mtodo iterativo
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Figura 10 Resposta no tempo de M3 pelo mtodo de Laplace
Para melhor anlise do sistema, plotou-se as respostas pelo mtodo
iterativo das 3 massas simultaneamente, obtendo-se o grfico de resposta no
tempo apresentado na Figura 11. A comparao dos deslocamentos das
massas pelo mtodo das Funes de Transferncia no se faz necessria j
que os resultados foram idnticos e a anlise seria, portanto, a mesma. Nota-
se a maiores deslocamentos da massa M3 quando comparado s demais. Isso
ocorre devido ao fato de que as foras de amortecimento e elsticas so
aplicadas apenas em uma extremidade de M3 enquanto M1 e M2 sofrem foras
nas duas extremidades e sempre em sentidos opostos.
Figura 11 Comparao das respostas de todas a massas do sistema pelo mtodo iterativo
Deslocamento M1
Deslocamento M2
Deslocamento M3
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Alm disso, podemos observar que no sistema subamortecido analisado
as massas M1 M3 se estabilizam no mesmo perodo de tempo e tem
comportamento semelhante a partir dos 5 segundos.
Resultados e Discusses
O uso do software MATLAB-Simulink se fez essencial na obteno dos
resultados j que o desenvolvimento de forma analtica muito complexo e
demorado. Foram analisadas as respostas obtidas pelo mtodo interativo e o
mtodo das Funes de Transferncia e as respostas de ambos os mtodos
caracterizam o sistema massa-mola de 3 graus de liberdade. Alm disso,
atravs da anlise das respostas obtidas podemos concluir que o sistema
subamortecido j que todas as massas oscilam e tem suas amplitudes
diminudas exponencialmente, tendendo ao equilbrio quando analisado em um
tempo suficientemente grande. Alm disso, como obtivemos resultados
idnticos atravs de mtodos distintos, conclui-se que o desenvolvimento do
problema se deu de maneira assertiva.
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Apndice
Rotina MATLAB: clear; clc;
syms D f1 %aqui permitimos o clculo com smbolos no Matlab,
assim no precissamos calcular os determinantes manualmente. t=0:0.1:10;
m1 = 10; m2 = 5; m3 = 5; k1 = 100; k2 = 200; % Dados do problema k3 = 200; k4 = 150; B1 = 20; B2 = 10; B3 = 10; B4 = 5;
%Matriz de equaes, vide modelo matemtico no relatrio.
A = [m1*D^2+(B2+B3+B1)*D+(k1+k2+k3), -B2*D-k2, -B3*D-k3; ... -B2*D-k2, m2*D^2+(B2+B4)*D+(k2+k4), 0; ... -B3*D-k3, 0, m3*D^2+B3*D+k3];
%Matriz a serem utilizadas na regra de Cramer, para x1, x2 e x3, %respectivamente:
A1 = [f1, 0, 0; ... -B2*D-k2, m2*D^2+(B2+B4)*D+(k2+k4), 0; ... -B3*D-k3, 0, m3*D^2+B3*D+k3];
A2 = [m1*D^2+(B2+B3+B1)*D+(k1+k2+k3), -B2*D-k2, -B3*D-k3; ...
%Troca de colunas para Cramer, vide coluna zerada f1, 0, 0; ... -B3*D-k3, 0, m3*D^2+B3*D+k3];
A3 = [m1*D^2+(B2+B3+B1)*D+(k1+k2+k3), -B2*D-k2, -B3*D-k3; ... -B2*D-k2, m2*D^2+(B2+B4)*D+(k2+k4), 0; ... f1, 0, 0]; % Fazendo Cramer:
x1 = det(A1)/det(A); x2 = det(A2)/det(A); x3 = det(A3)/det(A);
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Bibliografia
Felicio, L.C.; Modelagem da Dinmica e de Sistemas e Estudo da Resposta, 2 Ed. Rima,
2010.