estudio de una familia de funciones de periodo tres y su

DOI 1022201enesl20078064e20181965822 copy ENES Unidad LeoacutenUNAM

Estudio de una familia de funciones de periodo tres y su dinaacutemica caoacutetica Study of a family of period three functions and its chaotic dynamicsJulio Ceacutesar Maciacuteas Poncea Luis Fernando Martiacutenez Aacutelvarezb

Recibido 13 de agosto de 2018 aceptado 17 de marzo de 2019

Se autoriza la reproduccioacuten total o parcial de los textos aquiacute publicados siempre y cuando se cite la fuente completa y la direccioacuten electroacutenica de la publica-cioacuten CC-BY-NC-ND

Palabras clave caos Sharkovskii sistemas dinaacutemicos oacuterbita

httprevistasunammxindexphpentreciencias

Keywords chaos Sharkovskii dynamic systems orbit

Resumen

Objetivo construir sistemas dinaacutemicos caoacuteticos unidimensionales mediante el estudio de una familia de funciones con dominio y contradominio en el intervalo [01] la cual se define en teacuterminos de cuatro paraacutemetrosMeacutetodo con base a los paraacutemetros que definen a cada funcioacuten que proponemos se identificaron aquellas que tienen periodo tres las cuales inducen un sistema caoacutetico en el contexto de Li-Yorke Los teoremas del punto fijo y de Sharkovskii fueron la herramienta fundamental de nuestro trabajoResultados se obtuvo un conjunto de sistemas dinaacutemicos caoacuteticos se describioacute un procedimiento sencillo para obtener sistemas dinaacutemicos caoacuteticos (adicionales a los obtenidos) y se sugiere como primera aplicacioacuten la obtencioacuten de nuacutemeros pseudoaleatoriosLimitaciones los sistemas dinaacutemicos construidos son caoacuteticos en el sentido de Li-Yorke -no necesariamente en el sentido de Devaney- Principales hallazgos las funciones estudiadas tienen una graacutefica en forma de Zeta y para cada una de ellas se identifica a su respectiva dual (las graacuteficas que se obtienen presentan una relacioacuten de simetriacutea) de esta manera se muestran las condiciones que deben verificar los paraacutemetros -primal y dual- para obtener (y no obtener) periacuteodo tres

Abstract

Purpose To build one-dimensional chaotic dynamical systems through the study of functions with domain and co-domain in the interval [0 1] which is defined in terms of four parametersMethodology Based on the parameters that define each function that is proposed those which have period three were identified and which induce a chaotic system in the context of Li-Yorke The fixed point and Sharkovskii theorems were the fundamental tools in this workResults We obtained a set of chaotic dynamic systems In turn we described a simple process in order to obtain chaotic dynamic systems (additional to those obtained) and we suggest as a first application the obtainment of pseudo-random numbersLimitations the dynamic systems that were built are chaotic in the Li-Yorke sense -not necessarily in the Devaney sense-Findings the functions that were studied have a Zeta form graphic and for each of those we identified its respective dual (the obtained graphics present a symmetric relation) and that is how we show the conditions that must verify the parameters -primal and dual- in order to obtain (or not) period three

Universidad Autoacutenoma de Aguascalientes

Entreciencias 7(19) 11-25 Abr - Jul 2019

Estudio de una familia de funciones de periodo tres y su dinaacutemica caoacutetica 12

Entreciencias 7(19) 11-25 Abr - Jul 2019DOI 1022201enesl20078064e20181965822

Introduccioacuten

En Ramiacuterez de La Cruz (2004) se relata lo siguiente

A finales del siglo xix Henri Poincareacute cuestionoacute la perfeccioacuten newtoniana en relacioacuten con las oacuterbitas planetarias lo que se conoce como el problema de los tres cuerpos Planteaba una atraccioacuten gravita-toria muacuteltiple que hasta entonces se resolviacutea con las leyes de Newton y la suma de un pequentildeo valor que compensara la atraccioacuten del tercer elemento

Poincareacute descubrioacute que en situaciones criacuteticas ese tiroacuten gravitatorio miacutenimo podiacutea realimentarse hasta producir un efecto de resonancia que modificara la oacuterbita o incluso lanzara el planeta fuera del sistema solar Los procesos de retroalimentacioacuten se corres-ponden en fiacutesica con las ecuaciones iterativas don-de el resultado del proceso es utilizado nuevamente como punto de partida para el mismo proceso El ideal claacutesico soacutelo contemplaba sistemas lineales en los que efecto y causa se identifican plenamente se sumaban las partes y se obteniacutea la totalidad Poinca-reacute introdujo el fantasma de la no linealidad donde origen y resultado divergen y las foacutermulas lineales no sirven para resolver el sistema Se habiacutea dado el primer paso para la teoriacutea del caos (p16)

Hoy en diacutea apoyaacutendose en los avances tecnoloacutegicos muchos matemaacuteticos se dedican al estudio generacioacuten y aplicacioacuten de modelos caoacuteticos en este trabajo nos restringiremos al estudio de sistemas dinaacutemicos discre-tos unidimensionales y construiremos modelos ineacuteditos

El alcance de este trabajo es explicativo proporciona una familia de sistemas dinaacutemicos ineacutedita cuyas pro-piedades se demuestran con el debido rigor matemaacutetico en este sentido se pueden tomar los ejemplos expuestos para utilizarlos en contextos pertinentes relativos a los sistemas dinaacutemicos discretos

Debido a que la composicioacuten de una funcioacuten consigo mismo seraacute mencionada con frecuencia para el resto del trabajo denotaremos con 119891119899 -donde 119899 es un entero posi-tivo- a la composicioacuten de 119891 consigo misma 119899 veces Asiacute estamos en condiciones de dar la definicioacuten de punto pe-rioacutedico que seraacute de utilidad en el desarrollo del trabajo

Definicioacuten 1 Sea 1199090∊ 119863119891 decimos que 1199090 es de periodo

119899 si 119899 119891119899(1199090)=1199090 para alguacuten 119899 isin ℕ y 119891119896 (1199090 )ne1199090 para 119896 lt 119899 Al conjunto de puntos perioacutedicos se le denotaraacute como 119875119890119903(119891) (Devaney 1989)

La definicioacuten matemaacutetica maacutes aceptada en la teoriacutea del caos se debe a Devaney (1989) y es la siguiente

Definicioacuten 2 Decimos que una funcioacuten 119891119868rarr119868 es caoacute-

tica si 119891 satisface las siguientes tres condiciones

bull Existe una 120575gt0 tal que para cualquier 119909 isin 119868 y cual-quier vecindad 119861 de 119909 existe una 119910 isin 119861 y 119899 ge 0 tal que |119891119899 (119909)minus119891119899 (119910 )|ge 120575 A esta condicioacuten se le conoce como sensibilidad a condiciones iniciales

bull Para cualquier par de conjuntos abiertos 119880 119881 sub 119868existe 119896 gt 0 tal que 119891119896 (119880)cap 119881 ne120601 Si esto sucede se dice que la funcioacuten es topoloacutegicamente transitiva

bull 119875119890119903(119891) es denso en 119868

Sin embargo en Aulbach y Kieninger (2000) se en-cuentra otra definicioacuten que se atribuye a Li y Yorke (una deacutecada anterior a la definicioacuten de Devaney 1989) misma que tendraacute prioridad en nuestro trabajo

Definicioacuten 3 Una funcioacuten 119891 119883rarr119883 en un espacio meacute-trico compacto (119883 119889) es caoacutetica en el sentido de Li y Yorke si existe un conjunto no contable 119878 sube 119883 con las siguientes condiciones

bull lim119899rarrinfin sup 119889(119891119899 (119909) 119891119899 (119910 ))gt0 para todo 119909 119910 isin 119878 119909 ne 119910 bull lim119899rarrinfin inf 119889(119891119899 (119909) 119891119899 (119910 ))=0 para todo 119909 119910 isin 119878 119909 ne 119910 bull lim119899rarrinfin sup 119889(119891119899 (119909) 119891119899 (119901))gt0 para todo 119909 isin 119878 119901 isin 119883

119901 perioacutedico

En Aulbach y Kieninger (2000) se estudia la relacioacuten entre estas definiciones en particular se tiene que la primera definicioacuten (Devaney 1989 ) implica la segunda (pero la otra implicacioacuten no es vaacutelida) En lo que resta del trabajo nos referiremos -cuando el contexto se preste a confusioacuten- a la primera definicioacuten usando simplemente ldquocaosrdquo mientras que la segunda se enunciaraacute como ldquocaos en el sentido de Li-Yorkerdquo

En Devaney (1989) encontramos diversos sistemas dinaacutemicos discretos que son caoacuteticos algunos unidi-mensionales y otros de dos o maacutes dimensiones en este

copy ENES Unidad LeoacutenUNAM

13Julio Ceacutesar Maciacuteas Ponce Luis Fernando Martiacutenez Aacutelvarez

DOI 1022201enesl20078064e20181965822

trabajo nos restringimos a los primeros podemos ci-tar la funcioacuten tienda la funcioacuten logiacutestica y la funcioacuten ldquorecorrimientordquo (King y Mendez 2015) eacutestas han sido tratadas desde ilustracioacuten para los conceptos relativos al caos hasta la aplicacioacuten en modelos de encriptacioacuten (Li y Yorke 1975) asiacute como modelos econoacutemicos (Tara-sova y Tarasov 2017) En el presente trabajo nos enfo-camos en construir modelos y exhibir sus propiedades caoacuteticas dejando en segunda prioridad la aplicacioacuten1 en particular presentamos una familia de sistemas di-naacutemicos que dependen de un conjunto de paraacutemetros y buscamos condiciones entre estos de manera que los sistemas sean caoacuteticos en el sentido de Li-Yorke La forma de proceder se sustenta fuertemente en los teo-remas de Sharkovskii (Devaney 1989) y del punto fijo para funciones unidimensionales el primero de ellos se presenta a continuacioacuten

El teorema de Sharkovskii es de gran utilidad para es-tudiar la existencia de puntos perioacutedicos para enunciarlo necesitamos ldquolistarrdquo a los nuacutemeros naturales como sigue que es el orden de Sharkovskii (De Melo y Van Strien 1993)

1

119891119891119899119899 119899119899 119891119891 119899119899 1199091199090 ∊ 119863119863119891119891 1199091199090 119899119899 119891119891119899119899(1199091199090) = 1199091199090 119899119899 isin ℕ 119891119891119896119896(1199091199090) ne 1199091199090 119896119896 lt 119899119899 119875119875119875119875119875119875(119891119891) La definicioacuten matemaacutetica maacutes aceptada en la teoriacutea del caos se debe a (Devaney 1989) la cual es la siguiente Definicioacuten 2 Decimos que una funcioacuten 119891119891 119868119868 rarr 119868119868 es caoacutetica si 119891119891 satisface las siguientes tres condiciones

Existe una 120575120575 gt 0 tal que para cualquier 119909119909 isin 119868119868 y cualquier vecindad 119861119861 de 119909119909 existe una 119910119910 isin 119861119861 y 119899119899 ge 0 tal que |119891119891119899119899(119909119909) minus 119891119891119899119899(119910119910)| ge 120575120575 A esta condicioacuten se le conoce como sensibilidad a condiciones iniciales

Para cualquier par de conjuntos abiertos 119880119880 119881119881 sub 119868119868 existe 119896119896 gt 0 tal que 119891119891119896119896(119880119880) cap 119881119881 ne 120601120601 Si esto sucede se dice que la funcioacuten es topoloacutegicamente transitiva

119875119875119875119875119875119875(119891119891) es denso en 119868119868 Definicioacuten 3 Una funcioacuten 119891119891 119883119883 rarr 119883119883 en un espacio meacutetrico compacto (119883119883 119889119889) es caoacutetica en el sentido de Li y Yorke si existe un conjunto no contable 119878119878 sube 119883119883 con las siguientes condiciones

lim119899119899rarrinfin sup 119889119889(119891119891119899119899(119909119909) 119891119891119899119899(119910119910)) gt 0 para todo 119909119909 119910119910 isin 119878119878 119909119909 ne 119910119910 lim119899119899rarrinfin inf 119889119889(119891119891119899119899(119909119909) 119891119891119899119899(119910119910)) = 0 para todo 119909119909 119910119910 isin 119878119878 119909119909 ne 119910119910 lim119899119899rarrinfin sup 119889119889(119891119891119899119899(119909119909) 119891119891119899119899(119901119901)) gt 0 para todo 119909119909 isin 119878119878 119901119901 isin 119883119883 119901119901 perioacutedico

3 ≺ 5 ≺ 7 ≺ 9 ≺ ⋯ (119873119873uacute119898119898119875119875119875119875119898119898119898119898 119894119894119898119898119901119901119894119894119875119875119875119875119898119898) hellip ≺ 3 ∙ 2 ≺ 5 ∙ 2 ≺ 7 ∙ 2 ≺ 9 ∙ 2 ≺ ⋯ (119873119873uacute119898119898119875119875119875119875119898119898119898119898 119894119894119898119898119901119901119894119894119875119875119875119875119898119898 119898119898119898119898119898119898119898119898119894119894119901119901119898119898119894119894119898119898119894119894119889119889119898119898119898119898 119901119901119898119898119875119875 2)

hellip ≺ 3 ∙ 22 ≺ 5 ∙ 22 ≺ 7 ∙ 22 ≺ 9 ∙ 22 ≺ ⋯ (119873119873uacute119898119898119875119875119875119875119898119898119898119898 119894119894119898119898119901119901119894119894119875119875119875119875119898119898 119898119898119898119898119898119898119898119898119894119894119901119901119898119898119894119894119898119898119894119894119889119889119898119898119898119898 119901119901119898119898119875119875 22) ⋮

hellip ≺ 3 ∙ 2119899119899 ≺ 5 ∙ 2119899119899 ≺ 7 ∙ 2119899119899 ≺ 9 ∙ 2119899119899 ≺ ⋯ (119873119873uacute119898119898119875119875119875119875119898119898119898119898 119894119894119898119898119901119901119894119894119875119875119875119875119898119898 119898119898119898119898119898119898119898119898119894119894119901119901119898119898119894119894119898119898119894119894119889119889119898119898119898119898 119901119901119898119898119875119875 2119899119899) hellip ≺ 2119899119899 ≺ ⋯ ≺ 23 ≺ 22 ≺ 2 ≺ 1(119875119875119898119898119898119898119875119875119899119899119898119898119894119894119894119894119898119898 119889119889119875119875 2)

Como se observa primero se enlistan los nuacutemeros impares excepto el uno despueacutes se continuacutea multiplicando estos nuacutemeros por las potencias de dos y para terminar se agregan las potencias de dos en orden decreciente Se utiliza la notacioacuten 119894119894 ≺ 119887119887 para representar ldquo119894119894 precede a 119887119887rdquo Teorema 4 Sea 119891119891 119868119868 rarr 119868119868 una funcioacuten continua donde I es un intervalo cerrado y acotado Suponga que 119891119891 tiene un punto perioacutedico de periodo 119896119896 Si 119896119896 ≺ 119898119898 en el orden de Sharkovskii entonces 119891119891 tambieacuten tiene un punto perioacutedico de periodo 119898119898 (Devaney 1989) acotado 119868119868

Como se observa primero se enlistan los nuacutemeros im-pares excepto el uno despueacutes se continuacutea multiplicando estos nuacutemeros por las potencias de dos y para terminar se agregan las potencias de dos en orden decreciente Se utiliza la notacioacuten 119886 ≺ 119887 para representar ldquo119886 precede a 119887 rdquo

Ahora bien el teorema de Sharkovskii enuncia lo si-guiente

Teorema 1 Sea 119891 119868rarr119868 una funcioacuten continua donde 119868es un intervalo cerrado y acotado Suponga que 119891 tiene un punto perioacutedico de periodo 119896 Si 119896 ≺ 119897 en el orden de Sharkovskii entonces 119891 tambieacuten tiene un punto perioacute-dico de periodo 119897 (Devaney 1989)

El teorema argumenta que las funciones con puntos de periodo tres tienen puntos perioacutedicos de cualquier orden luego a partir del trabajo de (Li y Yorke 1975) ldquoperiodo tres implica caosrdquo -Li y Yorke argumentan que la existencia de puntos con periodo tres implica que se

1ensp Una aplicacioacuten inmediata que proponemos para trabajos futuros seriacutea la generacioacuten de nuacutemeros pseudoaleatorios que a su vez seriacutea la base para otras aplicaciones

verifican las condiciones de su definicioacuten de caos- los sistemas dinaacutemicos unidimensionales son susceptibles a observarse desde la perspectiva del periodo tres Luego el procedimiento para ldquoconstruir caosrdquo es sencillo basta con definir funciones continuas con dominio y contra-dominio un intervalo cerrado y acotado 119868 y encontrar puntos fijos de la funcioacuten compuesta consigo misma tres veces (estos seraacuten los candidatos a ser puntos de periodo tres)

En particular cada funcioacuten que se presenta en este trabajo tiene una ldquoforma de Zrdquo su graacutefica consiste de 3 rectas que ldquose pegan bienrdquo definidas en el intervalo uni-tario y con rango el mismo intervalo Ademaacutes de la graacute-fica de cada funcioacuten en forma de Zeta se presentan las graacuteficas de dicha funcioacuten compuesta tres veces consigo misma para identificar los puntos fijos de esta uacuteltima los cuales corresponde a candidatos de puntos de periodo tres de la funcioacuten original Luego entonces mostramos matemaacuteticamente las condiciones que deben satisfacer los valores de los paraacutemetros de manera que se garan-tice la existencia de periodo tres y por tanto de caos

El artiacuteculo se encuentra dividido en tres secciones En la primera se refieren los aspectos metodoloacutegicos se presenta la definicioacuten de la familia de funciones que se abordaraacuten y se presentan los resultados teoacutericos con las demostraciones correspondientes que garantizan la existencia del caos En la segunda seccioacuten se presentan diversos ejemplos donde se exhiben los resultados teoacute-ricos y computacionales obtenidos tambieacuten se muestra una lista de nuacutemeros generados con una funcioacuten tipo Zeta junto con los resultados de las pruebas estadiacutesticas pertinentes La tercera y uacuteltima seccioacuten expone las con-clusiones primero se describe un procedimiento para construir sistemas caoacuteticos y posteriormente una estra-tegia para generar secuencias de nuacutemeros susceptibles a pruebas de aleatoriedad

Aspectos metodoloacutegicos

Comenzamos definiendo una familia de funciones que por la forma de la graacutefica le llamaremos Funciones tipo Zeta y a partir de eacutestas obtendremos sistemas dinaacutemicos los cuales podraacuten ser (o no) caoacuteticos



Definicioacuten 4 Sean 119886 119887 119888 119889 isin [0 1] con 0lt 119887 lt 119888lt 1 definimos una Funcioacuten tipo Zeta

5

119891119891119886119886119887119887119888119888119889119889 [01] rarr [01] como

119891119891119886119886119887119887119888119888119889119889(119909119909) =

1 minus 119886119886119887119887 119909119909 + 119886119886 119904119904119904119904 119909119909 isin [0 119887119887]

119888119888 minus 119909119909119888119888 minus 119887119887 119904119904119904119904 119909119909 isin (119887119887 119888119888] 119889119889

1 minus 119888119888 (119909119909 minus 119888119888) 119904119904119904119904 119909119909 isin (119888119888 1]

En la figura 2 presentamos la forma de la graacutefica de una funcioacuten tipo Zeta con paraacutemetros 119886119886 = 02 119887119887 = 035 119888119888 = 068 119889119889 = 04

Figura 1 Tiacutepica forma de una funcioacuten tipo Zeta

Fuente elaboracioacuten propia

Para cada arreglo de paraacutemetros (119886119886 119887119887 119888119888 119889119889) que definen a una funcioacuten tipo Zeta identificamos a otra funcioacuten de la misma familia a la que llamaremos la funcioacuten dual

Definicioacuten 6 Dada una funcioacuten tipo Zeta 119891119891119886119886119887119887119888119888119889119889 definimos la funcioacuten dual de 119891119891 como la funcioacuten dada por 119891119891lowast119886119886119887119887119888119888119889119889 = 1198911198911minus1198891198891minus1198881198881minus1198871198871minus119886119886 Note pues que la funcioacuten 119891119891lowast119886119886119887119887119888119888119889119889 [01] rarr [01] seraacute la funcioacuten dada por

119891119891lowast119886119886119887119887119888119888119889119889(119909119909) =

1198891198891 minus 119888119888 119909119909 + (1 minus 119889119889) 119904119904119904119904 119909119909 isin [01 minus 119888119888]

1 minus 119887119887 minus 119909119909119888119888 minus 119887119887 119904119904119904119904 119909119909 isin (1 minus 119888119888 1 minus 119887119887]

1 minus 119886119886119887119887 (119909119909 + 119887119887 minus 1) 119904119904119904119904 119909119909 isin (1 minus 119887119887 1]

como

5

119891119891119886119886119887119887119888119888119889119889 [01] rarr [01] como

119891119891119886119886119887119887119888119888119889119889(119909119909) =

1 minus 119886119886119887119887 119909119909 + 119886119886 119904119904119904119904 119909119909 isin [0 119887119887]

119888119888 minus 119909119909119888119888 minus 119887119887 119904119904119904119904 119909119909 isin (119887119887 119888119888] 119889119889

1 minus 119888119888 (119909119909 minus 119888119888) 119904119904119904119904 119909119909 isin (119888119888 1]






119891119891lowast119886119886119887119887119888119888119889119889(119909119909) =




En la figura 2 presentamos la forma de la graacutefica de una funcioacuten tipo Zeta con paraacutemetros 119886 =02 119887 =035 119888=068 119889=04



Para cada arreglo de paraacutemetros (119886 119887 119888 119889) que defi-nen a una funcioacuten tipo Zeta identificamos a otra funcioacuten de la misma familia a la que llamaremos la funcioacuten dual

Definicioacuten 5 Dada una funcioacuten tipo Zeta 119891119886 119887 119888 119889 defi-nimos la funcioacuten dual de 119891 como la funcioacuten dada por 119891lowast

119886 119887 119888 119889= 1198911minus119889 1minus119888 1minus119887 1minus119886

Note pues que la funcioacuten 119891lowast119886 119887 119888 119889 [0 1]rarr[0 1] seraacute la

funcioacuten dada por

5

119891119891119886119886119887119887119888119888119889119889 [01] rarr [01] como

119891119891119886119886119887119887119888119888119889119889(119909119909) =

1 minus 119886119886119887119887 119909119909 + 119886119886 119904119904119904119904 119909119909 isin [0 119887119887]

119888119888 minus 119909119909119888119888 minus 119887119887 119904119904119904119904 119909119909 isin (119887119887 119888119888] 119889119889

1 minus 119888119888 (119909119909 minus 119888119888) 119904119904119904119904 119909119909 isin (119888119888 1]






119891119891lowast119886119886119887119887119888119888119889119889(119909119909) =




En la figura 2 se visualiza la graacutefica de la funcioacuten dual asociada a la funcioacuten representada en la figura 1

Figura 2 Dual de la funcioacuten tipo Zeta


Cuando no se preste a confusioacuten omitiremos los paraacute-metros (119886 119887 119888 119889) y nos referiremos simplemente a las funciones como 119891 y 119891lowast y donde una es la funcioacuten dual de la otra (obseacutervese que 119891lowastlowast=119891)

El siguiente resultado seraacute uacutetil para trabajar de manera operativa con las funciones 119891 y 119891lowast

Proposicioacuten 1 Dada la funcioacuten tipo Zeta 119891 y su funcioacuten dual 119891lowast se tiene que

119891(119909)=1minus119891lowast (1minus119909) para todo 119909 isin [0 1]

Demostracioacuten particionando el dominio de la funcioacuten tenemos lo siguiente

Si 119909=119887 tendremos que

6




Cuando no se preste a confusioacuten omitiremos los paraacutemetros (119886119886 119887119887 119888119888 119889119889) y nos referiremos simplemente a las funciones como 119891119891 y 119891119891lowast donde una es la funcioacuten dual de la otra (obseacutervese que 119891119891lowastlowast = 119891119891)


Proposicioacuten 7 Dada la funcioacuten tipo Zeta 119891119891 y su funcioacuten dual 119891119891lowast se tiene que 119891119891(119909119909) = 1 minus 119891119891lowast(1 minus 119909119909) para todo 119909119909 isin [01] Demostracioacuten particionando el dominio de la funcioacuten tenemos lo siguiente

Si 119909119909 = 119887119887 tendremos que

1 minus 119891119891lowast(1 minus 119887119887) = 1

= 119891119891(119887119887)

Para el caso 119909119909 = 119888119888 tenemos que

1 minus 119891119891lowast(1 minus 119888119888) = 1 minus [119889119889 + (1 minus 119889119889)]

= 0 = 119891119891(119888119888)

El caso 0 le 119909119909 lt 119887119887 equivale a 1 minus 119887119887 lt 1 minus 119909119909 le 1 luego



DOI 1022201enesl20078064e20181965822

Para el caso 119909=119888 tenemos que

6







Si 119909119909 = 119887119887 tendremos que


= 119891119891(119887119887)



= 0 = 119891119891(119888119888)


El caso 0 le 119909 lt 119887 equivale a 1 minus 119887 lt 1minus 119909 le 1 luego

7

1 minus 119891119891lowast(1 minus 119909119909) = 1 minus 1 minus 119886119886119887119887 (119887119887 minus 119909119909)

= 1 minus (1 minus 119886119886) + 1 minus 119886119886119887119887 119909119909

= 119891119891(119909119909)

Cuando 119887119887 lt 119909119909 lt 119888119888 se sigue que 1 minus 119888119888 lt 1 minus 119909119909 lt 1 minus 119887119887 y asiacute obtenemos

1 minus 119891119891lowast(1 minus 119909119909) = 1 minus 119909119909 minus 119887119887119888119888 minus 119887119887

= 119888119888 minus 119887119887 minus (119909119909 minus 119887119887)119888119888 minus 119887119887

= 119891119891(119909119909)

Obseacutervese que 119888119888 lt 119909119909 le 1 equivale a 0 le 1 minus 119909119909 lt 1 minus 119888119888 por tanto

1 minus 119891119891lowast(1 minus 119909119909) = 119889119889 minus 119889119889(1 minus 119909119909)1 minus 119888119888

= 119889119889 (1 minus 1 minus 1199091199091 minus 119888119888)

= 119889119889 (119909119909 minus 1198881198881 minus 119888119888)

= 119891119891(119909119909)

∎ Corolario 8 Dada la funcioacuten tipo Zeta 119891119891 y su funcioacuten dual 119891119891lowast se tiene que 119891119891119899119899(119909119909) = 1 minus 119891119891lowast119899119899(1 minus 119909119909) para todo 119909119909 isin [01] y para todo 119899119899 isin ℕ Demostracioacuten por induccioacuten matemaacutetica Como dijimos anteriormente las funciones tipo Zeta son fundamentales en el desarrollo de nuestro trabajo ya que a partir de estas generaremos sistemas dinaacutemicos discretos y los estudiamos en el contexto del caos A continuacioacuten presentamos los conceptos baacutesicos relativos a los sistemas y su dinaacutemica

Para el resto de este trabajo si 119860119860 es un subconjunto del dominio de una funcioacuten 119891119891 denotaremos con 119891119891(119860119860) a la imagen del conjunto 119860119860 bajo la funcioacuten 119891119891

Las siguientes definiciones son esenciales para el desarrollo de este trabajo Definicioacuten 9 Sea 119891119891 una funcioacuten real de variable real con 119891119891(119863119863119891119891) sube 119863119863119891119891 y 1199091199090 ∊ 119863119863119891119891 definimos y denotamos la oacuterbita de 1199091199090 bajo 119891119891 como sigue

119926119926(119961119961120782120782 119943119943) = 119943119943119951119951(119961119961120782120782) 119951119951 isin ℕ cup 120782120782 Donde 1198911198910(1199091199090) = 1199091199090 Ademaacutes un punto 1199091199090 isin 119868119868 es fijo si 119891119891(1199091199090) = 1199091199090

Cuando 119887 lt 119909 lt 119888 se sigue que 1minus119888lt 1minus119909lt 1minus119887 y asiacute obtenemos

7



= 119891119891(119909119909)




= 119891119891(119909119909)




= 119889119889 (119909119909 minus 1198881198881 minus 119888119888)

= 119891119891(119909119909)





Obseacutervese que que 119888 lt 119909 le 1 equivale a 0le1minus119909lt 1minus119888 por tanto

7



= 119891119891(119909119909)




= 119891119891(119909119909)




= 119889119889 (119909119909 minus 1198881198881 minus 119888119888)

= 119891119891(119909119909)





Corolario 1 Dada la funcioacuten tipo Zeta 119891 y su funcioacuten dual 119891lowast se tiene que

119891119899 (119909)=1minus119891lowast119899 (1minus119909) para todo 119909 isin [0 1] y para todo 119899 isin ℕ Demostracioacuten por induccioacuten matemaacutetica

Como dijimos anteriormente las funciones tipo Zeta son fundamentales en el desarrollo de nuestro trabajo ya que a partir de estas generaremos sistemas dinaacutemicos discretos y los estudiamos en el contexto del caos A con-

tinuacioacuten presentamos los conceptos baacutesicos relativos a los sistemas y su dinaacutemica


Las siguientes definiciones son esenciales para el de-sarrollo de este trabajo

Definicioacuten 6 Sea 119891 una funcioacuten real de variable real con 119891(119863119891) sube 119863119891 y 1199090 ∊ 119863119891 definimos y denotamos la oacuterbita de 1199090 bajo 119891 como sigue

119926(119961120782 119943)=119943119951 (119961120782)119951 isin ℕ cup120782

Donde 1198910 (1199090 )= 1199090 ademaacutes un punto 1199090 isin 119868 es fijo si 119891 (1199090 )= 1199090

La siguiente definicioacuten se debe a Hirsch Smale y De-vaney (2004) y habla de un sistema dinaacutemico general pero redefiniendo el dominio se tiene la definicioacuten que necesitamos en nuestro contexto basta sustituir ℝ por ℕ cup 0 en el dominio de la funcioacuten 120601

Definicioacuten 7 Un sistema dinaacutemico en ℝ119899 es una fun-cioacuten continuamente diferenciable

120601 ℝtimesℝ119899⟶ℝ119899 donde 120601 (119905 119909)=120601 119905 (119909) satisface

1) 120601 0ℝ119899⟶ℝ119899 es la funcioacuten identidad 120601 0 (119909)=1199092) 120601 119905

∘120601 119904=120601 119905+119904 para cada 119905 119904 isin ℝ

En el contexto de la definicioacuten 7 recordemos que 119899=1para sistemas unidimensionales y estamos usando su-praiacutendices para la funcioacuten 119891 Abusando del lenguaje estamos escribiendo ldquo119891 es caoacuteticardquo para referirnos al respectivo sistema dinaacutemico discreto inducido por la funcioacuten 119891 donde 120601 119899 (119909)=119891119899 (119909) Ademaacutes para nuestro propoacutesito se puede relajar la condicioacuten de continuamen-te diferenciable por continua

En la definicioacuten anterior tenemos que pueden existir puntos a los que conoceremos como preperioacutedicos un punto 119910 ∊ 119863119891 es preperioacutedico si existe un 119896 isin ℕ tal que 119891119896 (119910 ) isin 119875119890119903(119891)

En este orden de ideas el resultado maacutes importante para el objetivo corresponde a Li y Yorke ldquoPeriod Three Implies Chaosrdquo (Li y Yorke 1975) pues basta mostrar que 119891 tiene puntos de periodo tres (y por tanto de todos los periodos) para afirmar que 119891 es caoacutetica en el sentido



de Li-Yorke

Proposicioacuten 2 Dada 119891 y su respectiva funcioacuten dual 119891 entonces 119891 tiene un punto de periodo 3 si y solo si 119891posee un punto de periodo 3

Demostracioacuten

⟹) Sea 1199090 un punto de periodo 3 y que no es punto fijo de 119891 entonces mostraremos que 1minus1199090 es punto de periodo 3 para 119891

Por el corolario 1 se tiene que

8

La siguiente definicioacuten se debe a (Hirsch Smale y Devaney 2004) y habla de un sistema dinaacutemico general pero redefiniendo el dominio se tiene la definicioacuten que necesitamos en nuestro contexto basta sustituir ℝ por ℕ cup 0 en el dominio de la funcioacuten 120601120601 Definicioacuten 10 Un sistema dinaacutemico en ℝ119899119899 es una funcioacuten continuamente diferenciable 120601120601 ℝ times ℝ119899119899 ⟶ ℝ119899119899 donde 120601120601(119905119905 119909119909) = 120601120601119905119905(119909119909) satisface

1 1206011206010 ℝ119899119899 ⟶ ℝ119899119899 es la funcioacuten identidad 1206011206010(119909119909) = 119909119909 2 120601120601119905119905 ∘ 120601120601119904119904 = 120601120601119905119905+119904119904 para cada 119905119905 119904119904 isin ℝ

En el contexto de la definicioacuten 10 recordemos que 119899119899 = 1 para sistemas unidimensionales y estamos usando supraiacutendices para la funcioacuten 119891119891 Abusando del lenguaje estamos escribiendo ldquo119891119891 es caoacuteticardquo para referirnos al respectivo sistema dinaacutemico discreto inducido por la funcioacuten 119891119891 donde 120601120601119899119899(119909119909) = 119891119891119899119899(119909119909) Ademaacutes para nuestro propoacutesito se puede relajar la condicioacuten de continuamente diferenciable por continua En la definicioacuten anterior tenemos que pueden existir puntos a los que conoceremos como preperioacutedicos un punto 119910119910 ∊ 119863119863119891119891 es preperioacutedico si existe un 119896119896 isin ℕ tal que 119891119891119896119896(119910119910) isin 119875119875119875119875119875119875(119891119891) En este orden de ideas el resultado maacutes importante para el objetivo corresponde a Li y Yorke ldquoPeriod Three Implies Chaosrdquo (Li y Yorke 1975) pues basta mostrar que 119891119891 tiene puntos de periodo tres (y por tanto de todos los periodos) para afirmar que 119891119891 es caoacutetica en el sentido de Li-Yorke Proposicioacuten 11 Dada 119891119891 y su respectiva funcioacuten dual 119891119891lowast entonces 119891119891 tiene un punto de periodo 3 si y solo si 119891119891lowast posee un punto de periodo 3 Demostracioacuten ⟹) Sea 1199091199090 un punto de periodo 3 y que no es punto fijo de 119891119891 entonces mostraremos que 1 minus 1199091199090 es punto de periodo 3 para 119891119891lowast Por el corolario 8 se tiene que

(119891119891lowast)3(1 minus 1199091199090) = 1 minus 1198911198913(1199091199090) = 1 minus 1199091199090

veamos ahora que 1 minus 1199091199090 no es punto fijo de 119891119891lowast

119891119891lowast(1 minus 1199091199090) = 1 minus 119891119891(1199091199090) ne 1 minus 1199091199090

Por tanto si 119891119891 posee un punto de periodo tres tambieacuten 119891119891lowast lo tendraacute ⟸) Supongamos que 119891119891lowast posee un punto de periodo 3 por la parte anterior entonces 119891119891lowastlowast = 119891119891 posee tambieacuten un punto de periodo 3

veamos ahora que 1minus1199090 no es punto fijo de 119891

8








Por tanto si 119891 posee un punto de periodo tres tambieacuten 119891 lo tendraacute

⟸) Supongamos que 119891 posee un punto de periodo 3 por la parte anterior entonces 119891lowastlowast = 119891 posee tambieacuten un punto de periodo 3

En la figura 3 podemos observar las graacuteficas de las funciones 1198913 y 119891lowastsup3 asociadas a una funcioacuten tipo Zeta con paraacutemetros 119886 =04 119887 =025 119888=072 119889=08 donde los puntos de periodo 3 ademaacutes de los posibles puntos fijos (de 119891 ) son aquellos donde se intersecta la graacutefica de la funcioacuten 1198913 correspondiente con la de la funcioacuten identidad

Figura 3 Representacioacuten de los puntos de periodo 3 de una funcioacuten tipo Zeta y su respectiva funcioacuten dual


Ahora identificaremos un punto en el dominio de la funcioacuten tipo Zeta que seraacute relevante en el resto del tra-bajo

Proposicioacuten 3 Sea 119891 una funcioacuten tipo Zeta entonces

9

∎ En la figura 3 podemos observar las graacuteficas de las funciones 1198911198913 y 119891119891lowast3 asociadas a una funcioacuten tipo Zeta con paraacutemetros 119886119886 = 04 119887119887 = 025 119888119888 = 072 119889119889 = 08 donde los puntos de periodo 3 ademaacutes de los posibles puntos fijos (de 119891119891 ) son aquellos donde se intersecta la graacutefica de la funcioacuten 1198911198913 correspondiente con la de la funcioacuten identidad

Figura 3 Representacioacuten de los puntos de periodo 3 de una funcioacuten tipo Zeta

y su respectiva funcioacuten dual


Ahora identificaremos un punto en el dominio de la funcioacuten tipo Zeta que seraacute relevante en el resto del trabajo Proposicioacuten 12 Sea 119891119891 una funcioacuten tipo Zeta entonces 119909119909119865119865 = 119888119888

1+119888119888minus119887119887 es un punto fijo de la funcioacuten Demostracioacuten sabemos que 0 lt 119887119887 lt 119888119888 lt 1 por lo que se siguen las siguientes desigualdades

119887119887(119888119888 minus 119887119887) lt 119888119888 minus 119887119887⟹ 119887119887 + 119887119887119888119888 minus 1198871198872 lt 119888119888 ⟹ 119887119887(1 + 119888119888 minus 119887119887) lt 119888119888

Y a su vez

0 lt 119888119888(119888119888 minus 119887119887)⟹ 119888119888 lt 119888119888 + 1198881198882 minus 119887119887119888119888 ⟹ 119888119888 lt 119888119888(1 + 119888119888 minus 119887119887)

Ademaacutes claramente 1 + 119888119888 minus 119887119887 gt 0 por lo que 119887119887 lt 119909119909119865119865 lt 119888119888 y asiacute

es un punto fijo de la funcioacuten

Demostracioacuten sabemos que 0 lt 119887 lt 119888 lt 1 por lo que se obtienen las siguientes desigualdades

9








Y a su vez



Y a su vez

9








Y a su vez


Ademaacutes claramente 1 + 119888119888 minus 119887119887 gt 0 por lo que 119887119887 lt 119909119909119865119865 lt 119888119888 y asiacute Ademaacutes claramente 1 + 119888 minus 119887 gt 0 por lo que 119887 lt 119909119865lt 119888

y asiacute

10

119891119891(119909119909119865119865) =119888119888 minus 119888119888

1 + 119888119888 minus 119887119887119888119888 minus 119887119887

= 1198881198882 minus 119887119887119888119888(119888119888 minus 119887119887)(1 + 119888119888 minus 119887119887)

= 1198881198881 + 119888119888 minus 119887119887

∎ Proposicioacuten 13 Si 119891119891 es una funcioacuten tipo Zeta tal que 119886119886 ge 119909119909119865119865 y 119889119889 le 119909119909119865119865 entonces 119891119891 no tiene puntos de periodo 3 Demostracioacuten bajo la condiciones anteriores es claro que 119891119891(119909119909) ge 119909119909119865119865 para todo 119909119909 isin [0 119909119909119865119865] y 119891119891(119909119909) le 119909119909119865119865 si 119909119909 isin [119909119909119865119865 1] asiacute pues note que

Si 0 le 119909119909 lt 119909119909119865119865 119891119891(119909119909) ge 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) le 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) ge 119909119909119865119865 gt 119909119909

Si 119909119909119865119865 lt 119909119909 le 1

119891119891(119909119909) le 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) ge 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) le 119909119909119865119865 lt 119909119909

∎

La figura 4 presenta la graacutefica de 1198911198913 para dos funciones tipo Zeta que poseen los paraacutemetros indicados y que cumplen las condiciones de la proposicioacuten 13 como se observa la graacutefica de 1198911198913 no intersecta a la graacutefica de la funcioacuten identidad mdasha excepcioacuten del punto fijo 119909119909119865119865mdash por lo que no poseen puntos de periodo 3

Figura 4 Ausencia de puntos de periodo tres seguacuten las condiciones de la proposicioacuten 13

Proposicioacuten 4 Si 119891 es una funcioacuten tipo Zeta tal que 119886 ge 119909119865 y 119889 le 119909119865 entonces 119891 no tiene puntos de periodo 3



DOI 1022201enesl20078064e20181965822

Demostracioacuten bajo la condiciones anteriores es claro que 119891 (119909) ge 119909119865 para todo 119909 isin [0 119909119865 ] y 119891(119909)le119909119865 si 119909 isin [119909119865 1] asiacute pues note que

bull Si 0 le 119909 lt 119909119865

10

119891119891(119909119909119865119865) =119888119888 minus 119888119888

1 + 119888119888 minus 119887119887119888119888 minus 119887119887


= 1198881198881 + 119888119888 minus 119887119887


Si 0 le 119909119909 lt 119909119909119865119865 119891119891(119909119909) ge 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) le 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) ge 119909119909119865119865 gt 119909119909

Si 119909119909119865119865 lt 119909119909 le 1

119891119891(119909119909) le 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) ge 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) le 119909119909119865119865 lt 119909119909

∎



bull Si 119909119865 lt 119909 le 1

10

119891119891(119909119909119865119865) =119888119888 minus 119888119888

1 + 119888119888 minus 119887119887119888119888 minus 119887119887


= 1198881198881 + 119888119888 minus 119887119887


Si 0 le 119909119909 lt 119909119909119865119865 119891119891(119909119909) ge 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) le 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) ge 119909119909119865119865 gt 119909119909

Si 119909119909119865119865 lt 119909119909 le 1

119891119891(119909119909) le 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) ge 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) le 119909119909119865119865 lt 119909119909

∎



La figura 4 presenta la graacutefica de 1198913 para dos funciones tipo Zeta que poseen los paraacutemetros indicados y que cumplen las condiciones de la proposicioacuten 4 como se observa la graacutefica de 1198913 no intersecta a la graacutefica de la funcioacuten identidad mdasha excepcioacuten del punto fijo 119909119865 mdash por lo que no poseen puntos de periodo 3



Proposicioacuten 5 Sea 119891 una funcioacuten tipo Zeta tal que 119886 =0entonces 119891 posee un punto de periodo 3 en el intervalo (0 119887 )

Demostracioacuten primeramente notamos que si 119886 =0 se tiene que 119891(0)=0 y 119891((0 119887 )) = (0 1)

Dado que 119891 es continua entonces existen puntos 1199091 1199092

isin (0 119887 ) tales que 119891(1199091 )=119909119865 y 119891(1199092 )=119888 ademaacutes debido a que 119891 es creciente en el intervalo (0 119887 ) tendremos que 1199091lt 1199092

Observe que 1198913 (1199091 )=119909119865gt1199091 y 1198913 (1199092 )=0 lt 1199092

Definamos ahora la funcioacuten ℎ sobre el intervalo (0 119887 ) dada por ℎ(119909)=1198913 (119909)minus119909

Debido a que la funcioacuten 119891 es continua en el intervalo (0 119887 ) tendremos que ℎ es continua tambieacuten en este in-tervalo

Noacutetese que ℎ(1199091 )gt0 y ℎ(1199092 )lt 0 entonces por el teore-ma del valor intermedio existe un punto 1199090 isin (1199091 1199092) sub (0 119887 ) tal que ℎ(1199090 )=1199090 o equivalentemente 1198913 (1199090 )=1199090

Verifiquemos finalmente que 1199090 no es un punto fijo de 119891

Puesto que 1199090 isin (1199091 1199092) y debido a que 119891 es creciente en (0 119887 ) tendremos que

119891(1199090 )gt119891(1199091 )=119909119865gt1199090

En la figura 5 presentamos la graacutefica de 1198913 para dos funciones que cumplen la condicioacuten dada en la propo-sicioacuten 5 Igual que en la figura 3 las intersecciones de la graacutefica de la funcioacuten 1198913 con la de la identidad represen-tan ademaacutes de los dos puntos fijos los puntos de periodo 3 de ambas funciones

Figura 5 Puntos de periodo tres dadas las condiciones de la proposicioacuten 5


Corolario 2 Sea 119891 una funcioacuten tipo Zeta si 119889=1 enton-ces 119891 posee un punto de periodo 3 en el intervalo (119888 1)

Demostracioacuten ya que 119889=1 entonces 1minus119889=0 luego la proposicioacuten 5 implica que 119891 posee un punto de periodo 3 en (0 1minus119888) por tanto 119891 posee un punto de periodo 3 en (119888 1) debido a la proposicioacuten 2



Antes de enunciar el siguiente resultado mostraremos dos puntos en el dominio de la funcioacuten tipo Zeta parti-cularmente ubicados en el intervalo (119887 119888) que nos seraacuten de mucha utilidad

Por la continuidad de la funcioacuten tipo Zeta tenemos que 119891(119887 119909119865 )=(119909119865 1) y 119891(119909119865 119888)=(0 119909119865 ) por lo que existen puntos 119909119888isin (119887 119909119865) y 119909119887 isin (119909119865 119888) tales que 119891(119909119888 )=119888 y 119891(119909119887 )=119887 auacuten maacutes es sencillo encontrar el valor de estos dos puntos en teacuterminos de los paraacutemetros de la funcioacuten estos son 119909119888=119888+119887 119888minus1198882 y 119909119887 =119888minus119887 119888+119887 2

Entonces tenemos la relacioacuten 119887 lt 119909119888lt 119909119865lt 119909119887 lt 119888

Una vez conocidos los puntos 119909119888 y 119909b y sus propiedades presentamos nuestro resultado maacutes importante ya que nos brinda las condiciones necesarias y suficientes para identificar si una funcioacuten tipo Zeta poseeraacute o no puntos de periodo 3

Teorema 2 Dada 119891 una funcioacuten tipo Zeta entonces se tiene que

i) Si 119886 le 119909119888 o 119889 ge 119909119887 entonces 119891 posee un punto de periodo 3

ii) Si 119886 gt 119909119888 y 119889 lt 119909119887 entonces 119891 no posee puntos de periodo 3

Demostracioacuten

i) Analicemos primero el caso en que 119886 le 119909119888 Recordando que 119909119888lt 119909119865 y puesto que 119891([0 119887 ))=[119886 1)

luego existen dos puntos

1199091 1199092isin [0 119887 ) tales que 119891(1199091 )=119909119888 y 119891(1199092 )=119909119865 donde 1199091lt 1199092 pues 119891 es creciente en el intervalo [0 119887 )

Asiacute pues tendremos que 1198913 (1199091 )=0lt 1199091 y 1198913 (1199092 )=119909119865gt1199092

Al igual que en la demostracioacuten de la proposicioacuten 5 se define la funcioacuten continua ℎ(119909)=1198913 (119909)minus119909 sobre el intervalo [0 119887 ) la cual cumple que ℎ (1199091 ) lt 0 y ℎ (1199092 ) gt0 por lo que al igual que antes existe un punto 1199090 isin (1199091 1199092) tal que 1198913 (1199090 )=1199090

Auacuten maacutes puesto que 1199090 isin (1199091 1199092) y debido a que 119891 es

creciente en (0 119887 ) tendremos que 119891(1199090 )gt119891(1199091 )=119909119888gt1199090 asiacute que 1199090 no es un punto fijo de 119891 y por tanto es un punto de periodo 3 de 119891

Continuemos ahora en el caso 119889ge 119909119887

Note que 119889ge 119909119887 implica que 1minus119889le 1minus119909119887 don-de utilizando la funcioacuten dual de 119891 se tiene que 119891lowast (1minus119909119887 )=1minus119891(119909119887 )=1minus119887

Es decir 119891lowast cumple las condiciones del primer caso que analizamos luego 119891lowast posee un punto de periodo 3 y por la proposicioacuten 2 tenemos que 119891 tiene un punto de periodo 3

ii) Dividiremos la demostracioacuten en 4 casos

bull Caso 1 119886 ge 119909119865 y 119889le119909119865

La demostracioacuten estaacute dada en la proposicioacuten 4

bull Caso 2 119909119888lt 119886 lt 119909119865 y 119889le119909119865 Primeramente notamos que se cumplen las des-

igualdades 1198913 (119909119888 )gt119909119888 y 1198913 (119909119887 )lt 119909119887 Ademaacutes 119891([0 119887 ])=[119886 1] por lo que existe un

punto 119909primeisin [0 119887 ] que cumple las relaciones 119891(119909prime)=119909119865 y 1198913 (119909prime)gt119909prime

Ahora bien observe que

13

1199091199091 1199091199092 isin [0 119887119887) tales que 119891119891(1199091199091) = 119909119909119888119888 y 119891119891(1199091199092) = 119909119909119865119865 donde 1199091199091 lt 1199091199092 pues 119891119891 es creciente en el intervalo [0 119887119887) Asiacute pues tendremos que 1198911198913(1199091199091) = 0 lt 1199091199091 y 1198911198913(1199091199092) = 119909119909119865119865 gt 1199091199092 Al igual que en la demostracioacuten de la proposicioacuten 14 se define la funcioacuten continua ℎ(119909119909) = 1198911198913(119909119909) minus 119909119909 sobre el intervalo [0 119887119887) la cual cumple que ℎ(1199091199091) lt 0 y ℎ(1199091199092) gt 0 por lo que al igual que antes existe un punto 1199091199090 isin (1199091199091 1199091199092) tal que 1198911198913(1199091199090) = 1199091199090 Auacuten maacutes puesto que 1199091199090 isin (1199091199091 1199091199092) y debido a que 119891119891 es creciente en (0 119887119887) tendremos que 119891119891(1199091199090) gt 119891119891(1199091199091) = 119909119909119888119888 gt 1199091199090 asiacute que 1199091199090 no es un punto fijo de 119891119891 y por tanto es un punto de periodo 3 de 119891119891 Continuemos ahora en el caso 119889119889 ge 119909119909119887119887 Note que 119889119889 ge 119909119909119887119887 implica que 1 minus 119889119889 le 1 minus 119909119909119887119887 donde utilizando la funcioacuten dual de 119891119891 se tiene que 119891119891lowast(1 minus 119909119909119887119887) = 1 minus 119891119891(119909119909119887119887) = 1 minus 119887119887 Es decir 119891119891lowast cumple las condiciones del primer caso que analizamos luego 119891119891lowast posee un punto de periodo 3 y por la proposicioacuten 11 tenemos que 119891119891 tiene un punto de periodo 3

ii) Dividiremos la demostracioacuten en 4 casos Caso 1 119886119886 ge 119909119909119865119865 y 119889119889 le 119909119909119865119865


Caso 2 119909119909119888119888 lt 119886119886 lt 119909119909119865119865 y 119889119889 le 119909119909119865119865 Primeramente notamos que se cumplen las desigualdades 1198911198913(119909119909119888119888) gt 119909119909119888119888 y 1198911198913(119909119909119887119887) lt 119909119909119887119887 Ademaacutes 119891119891([0 119887119887]) = [119886119886 1] por lo que existe un punto 119909119909prime isin [0 119887119887] que cumple las relaciones 119891119891(119909119909prime) = 119909119909119865119865 y 1198911198913(119909119909prime) gt 119909119909prime

Ahora bien observe que 119891119891([0 119909119909prime]) sub (119909119909119888119888 119909119909119865119865]

⟹ 1198911198912([0 119909119909prime]) sub 119891119891((119909119909119888119888 119909119909119865119865]) sub [119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913([0 119909119909prime]) sub 119891119891([119909119909119865119865 119888119888)) sub (0 119909119909119865119865]

Ademaacutes sabemos que 119891119891 es una recta creciente en el intervalo (0 119909119909prime] y es una recta decreciente en los intervalos (119909119909119888119888 119909119909119865119865] y [119909119909119865119865 119888119888) por lo cual 1198911198913 es una recta creciente en el intervalo [0 119909119909prime] luego 119891119891 no posee puntos de periodo 3 en [0 119909119909prime] pues 1198911198913(0) gt 0 y 1198911198913(119909119909prime) gt 119909119909prime

Continuando se tiene que

119891119891((119909119909prime 119909119909119888119888]) sub (119909119909119865119865 1]⟹ 1198911198912((119909119909prime 119909119909119888119888]) sub [0 119909119909119865119865] ⟹ 1198911198913((119909119909prime 119909119909119888119888]) sub (119909119909119888119888 1]

Ademaacutes sabemos que 119891 es una recta creciente en el intervalo (0 119909prime] y es una recta decrecien-te en los intervalos (119909119888 119909119865] y [119909119865 119888) por lo cual 1198913 es una recta creciente en el intervalo [0 119909prime] lue-go 119891 no posee puntos de periodo 3 en [0 119909prime] pues 1198913 (0)gt0 y 1198913 (119909prime)gt119909prime


13












DOI 1022201enesl20078064e20181965822

Por lo cual 119891 no posee puntos de periodo 3 en (119909prime 119909119888 ]

Ahora se observa que 119891((119909119888 119909119865))=(119909119865 119888) y conse-cuentemente existe un punto

119909primeprimeisin (119909119888 119909119865) tal que 119891(119909primeprime)=119909119887 auacuten maacutes 1198913 (119909primeprime)=1

Para el intervalo (119909119888 119909primeprime) tenemos que

14

Por lo cual 119891119891 no posee puntos de periodo 3 en (119909119909prime 119909119909119888119888] Ahora se observa que 119891119891((119909119909119888119888 119909119909119865119865)) = (119909119909119865119865 119888119888) y consecuentemente existe un punto 119909119909primeprime isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865) tal que 119891119891(119909119909primeprime) = 119909119909119887119887 auacuten maacutes 1198911198913(119909119909primeprime) = 1 Para el intervalo (119909119909119888119888 119909119909primeprime) tenemos que

119891119891((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) = (119909119909119887119887 119888119888)⟹ 1198911198912((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) = (0 119887119887)

⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]

Recordando que 119891119891 es una recta decreciente en los intervalos (119909119909119888119888 119909119909primeprime) y (119909119909119887119887 119888119888) ademaacutes de una recta creciente en el intervalo (0 119887119887) entonces 119891119891 no posee puntos de periodo 3 en (119909119909119888119888 119909119909primeprime) pues tendremos que 1198911198913 es una recta creciente en el intervalo (119909119909119888119888 119909119909primeprime) donde 1198911198913(119909119909119888119888) gt 119909119909119888119888 y 1198911198913(119909119909primeprime) gt 119909119909primeprime

Luego para el intervalo (119909119909primeprime 119909119909119865119865) se cumple

119891119891((119909119909primeprime 119909119909119865119865)) = (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912((119909119909primeprime 119909119909119865119865)) = (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913((119909119909primeprime 119909119909119865119865)) = (119909119909119865119865 1)

Por lo que 119891119891 no posee puntos de periodo 3 en (119909119909primeprime 119909119909119865119865)

Prosiguiendo 119891119891 tampoco posee puntos de periodo 3 en el intervalo (119909119909119865119865 119909119909119887119887) pues 119891119891((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119887119887 119909119909119865119865)

⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)

Siguiendo ahora con el intervalo (119909119909119887119887 119888119888) evaluando en el intervalo se tiene que 119891119891((119909119909119887119887 119888119888)) = (0 119887119887) por lo cual 1198911198912((119909119909119887119887 119888119888)) = (119886119886 1) y por tanto existe un punto 119909119909primeprimeprime isin (119909119909119887119887 119888119888) tal que 1198911198912(119909119909primeprimeprime) = 119888119888 Realizando las evaluaciones para el intervalo (119909119909119887119887 119909119909primeprimeprime) obtenemos

119891119891((119909119909119887119887 119909119909primeprimeprime)) = (119891119891(119909119909primeprimeprime) 119887119887)⟹ 1198911198912((119909119909119887119887 119909119909primeprimeprime)) = (119888119888 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119887119887 119909119909primeprimeprime)) sub (0 119909119909119865119865]

Consecuentemente 119891119891 no posee puntos de periodo 3 en (119909119909119887119887 119909119909primeprimeprime) Para (119909119909primeprimeprime 119888119888) se cumple

119891119891((119909119909primeprimeprime 119888119888)) = (0 119891119891(119909119909primeprimeprime)) sub (0 119887119887)⟹ 1198911198912((119909119909primeprimeprime 119888119888)) sub (119909119909119888119888 119888119888)

⟹ 1198911198913((119909119909primeprimeprime 119888119888)) sub (0 119888119888)

Recordando que 119891 es una recta decreciente en los intervalos (119909119888 119909primeprime) y (119909119887 119888) ademaacutes de una recta creciente en el intervalo (0 119887 ) entonces 119891 no posee puntos de periodo 3 en (119909119888 119909primeprime) pues tendremos que 1198913 es una recta creciente en el intervalo (119909119888 119909primeprime) donde 1198913 (119909119888 )gt119909119888 y 1198913 (119909primeprime)gt119909primeprime


14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)






Por lo que 119891 no posee puntos de periodo 3 en (119909primeprime 119909119865) Prosiguiendo 119891 tampoco posee puntos de periodo

3 en el intervalo (119909119865 119909119887 ) pues

14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)






Siguiendo ahora con el intervalo (119909119887 119888) evaluando en el intervalo se tiene que 119891((119909119887 119888))=(0 119887 ) por lo cual 1198912 ((119909119887 119888))=(119886 1) y por tanto existe un punto 119909primeprimeprimeisin (119909119887 119888) tal que 1198912 (119909primeprimeprime)=119888

Realizando las evaluaciones para el intervalo (119909119887 119909primeprimeprime) obtenemos

14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)






Consecuentemente 119891 no posee puntos de periodo 3 en (119909119887 119909primeprimeprime)

Para (119909primeprimeprime 119888) se cumple

14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)






Cumplieacutendose pues que 1198913 (119909primeprimeprime)lt 119909primeprimeprime 1198913 (119888) lt 119888 y que 119891 es una recta decreciente en los intervalos (119909primeprimeprime 119888) y (119909119888 119888) ademaacutes de una recta creciente en el intervalo (0 119887 ) por lo que 1198913 es una recta creciente en el intervalo (119909primeprimeprime 119888) luego f no posee puntos de periodo 3 en el intervalo (119909primeprimeprime 119888)

Finalmente para el intervalo (119888 1)

15

Cumplieacutendose pues que 1198911198913(119909119909primeprimeprime) lt 119909119909primeprimeprime 1198911198913(119888119888) lt 119888119888 y que 119891119891 es una recta decreciente en los intervalos (119909119909primeprimeprime 119888119888) y (119909119909119888119888 119888119888) ademaacutes de una recta creciente en el intervalo (0 119887119887) por lo que 1198911198913 es una recta creciente en el intervalo (119909119909primeprimeprime 119888119888) luego f no posee puntos de periodo 3 en el intervalo (119909119909primeprimeprime 119888119888) Finalmente para el intervalo (119888119888 1)

119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)

Por lo tanto 119891119891 no posee puntos de periodo 3 en tal intervalo

Caso 3 119886119886 ge 119909119909119865119865 y 119909119909119865119865 lt 119889119889 lt 119909119909119887119887 Comencemos notando que 1 minus 119909119909119887119887 lt 1 minus 119889119889 lt 1 minus 119909119909119865119865 y 1 minus 119886119886 le 1 minus 119909119909119865119865 donde se sabe que 1 minus 119909119909119865119865 es el punto fijo de 119891119891lowast Ademaacutes se verifica que 119891119891lowast(1 minus 119909119909119887119887) = 1 minus 119891119891(119909119909119887119887) = 1 minus 119887119887 con lo cual 119891119891lowast estaacute satisfaciendo las condiciones del caso anterior de esta manera 119891119891lowast no posee puntos de periodo 3 y por la proposicioacuten 11 tampoco 119891119891 tiene puntos de periodo 3

Caso 4 119909119909119888119888 lt 119886119886 lt 119909119909119865119865 y 119909119909119865119865 lt 119889119889 lt 119909119909119887119887 Iniciemos notando que se satisfacen las desigualdades 1198911198913(119887119887) gt 119887119887 y 1198911198913(119888119888) lt 119888119888 Ademaacutes 1198911198913(0) gt 0 esto pues

119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)

De manera semejante se tiene que 1198911198913(1) lt 1 esto pues se cumple

119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)

Seguidamente 119891119891(0 119887119887) = (119886119886 1) por lo que existe 119909119909prime isin (0 119887119887) con 119891119891(119909119909prime) = 119909119909119865119865 De manera anaacuteloga al caso 2 se puede mostrar que 119891119891 no posee puntos de periodo 3 en el intervalo (0 119909119909prime] y para el intervalo (119909119909prime 119887119887) tampoco los hay pues 119891119891((119909119909prime 119887119887)) sub (119909119909119865119865 1) con lo cual 1198911198912((119909119909prime 119887119887)) sub (0 119909119909119887119887) y 1198911198913((119909119909prime 119887119887)) sub (119887119887 1) Evaluando el intervalo (119887119887 119909119909119888119888) obtenemos 119891119891((119887119887 119909119909119888119888)) = (119888119888 1) y por tanto 1198911198912((119887119887 119909119909119888119888)) =(0 119889119889) por lo cual se tiene la existencia de un punto 119909119909primeprime isin (119887119887 119909119909119888119888) tal que 1198911198912(119909119909primeprime) = 119887119887 Asiacute tendremos que


bull Caso 3 119886 ge 119909119865 y 119909119865lt 119889lt 119909119887 Comencemos notando que 1minus119909119887 lt 1minus119889lt 1minus119909119865 y 1minus

119886 le1minus119909119865 donde se sabe que 1minus119909119865 es el punto fijo de 119891

Ademaacutes se verifica que 119891lowast (1minus119909119887 )=1minus119891(119909119887 )=1minus119887 con lo cual 119891 estaacute satisfaciendo las condiciones del caso anterior de esta manera 119891 no posee puntos de periodo 3 y por la proposicioacuten 2 tampoco 119891 tiene puntos de periodo 3

bull Caso 4 119909119888lt 119886 lt 119909119865 y 119909119865lt 119889lt 119909119887

Iniciemos notando que se satisfacen las desigual-dades 1198913 (119887 ) gt 119887 y 1198913 (119888)lt 119888



Ademaacutes 1198913 (0)gt0 esto pues

De manera semejante se tiene que 1198913 (1)lt 1 esto pues se cumple

Seguidamente 119891(0 119887 )=(119886 1) por lo que existe 119909prime isin (0 119887 ) con 119891(119909prime)=119909119865

De manera anaacuteloga al caso 2 se puede mostrar que 119891 no posee puntos de periodo 3 en el intervalo (0 119909prime] y para el intervalo (119909prime 119887 ) tampoco los hay pues 119891((119909prime 119887 )) sub (119909119865 1) con lo cual 1198912 ((119909prime 119887 )) sub (0 119909119887 ) y 1198913 ((119909prime 119887 )) sub (119887 1)

Evaluando el intervalo (119887 119909119888) obtenemos 119891((119887 119909119888 ))=(119888 1) y por tanto 1198912 ((119887 119909119888 ))=(0 119889) por lo cual se tiene la existencia de un punto 119909primeprimeisin (119887 119909119888) tal que 1198912 (119909primeprime)=119887

Asiacute tendremos que

Y debido a que 119891 es una recta decreciente en los intervalos (119887 119909primeprime) y (119887 119909119887 ) y una recta creciente en el intervalo (119888 1) tendremos que 1198913 es una recta creciente en el intervalo (119887 119909primeprime) lo cual aunado con el hecho de que 1198913 (119887 )gt119887 y 1198913 (119909primeprime )gt119909primeprime indica que 119891 no posee puntos de periodo 3 en el intervalo (119887 119909primeprime)

Para (119909primeprime 119909119888) tendremos que 119891((119909primeprime 119909119888 ))=(119888 119891(119909primeprime))sub (119888 1) de lo cual se sigue que 1198912 ((119909primeprime 119909119888 ))=(0 119887 )

15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


16

119891119891((119887119887 119909119909primeprime)) = (119891119891(119909119909primeprime) 1) sub (119888119888 1)⟹ 1198911198912((119887119887 119909119909primeprime)) = (119887119887 119889119889) sub (119887119887 119909119909119887119887) ⟹ 1198911198913((119887119887 119909119909primeprime)) sub (119887119887 1)

Y debido a que 119891119891 es una recta decreciente en los intervalos (119887119887 119909119909primeprime) y (119887119887 119909119909119887119887) y una recta creciente en el intervalo (119888119888 1) tendremos que 1198911198913 es una recta creciente en el intervalo (119887119887 119909119909primeprime) lo cual aunado con el hecho de que 1198911198913(119887119887) gt 119887119887 y 1198911198913(119909119909primeprime) gt 119909119909primeprime indica que 119891119891 no posee puntos de periodo 3 en el intervalo (119887119887 119909119909primeprime) Para (119909119909primeprime 119909119909119888119888) tendremos que 119891119891((119909119909primeprime 119909119909119888119888)) = (119888119888 119891119891(119909119909primeprime)) sub (119888119888 1) de lo cual se sigue que 1198911198912((119909119909primeprime 119909119909119888119888)) = (0 119887119887) y 1198911198913((119909119909primeprime 119888119888)) = (119886119886 1) sub (119909119909119888119888 1) y con lo cual 119891119891 no posee puntos de periodo 3 en tal intervalo En el intervalo (119909119909119888119888 119909119909119865119865) no existen puntos de periodo 3 la demostracioacuten es equivalente a la mostrada en el caso 2 Hemos mostrado que 119891119891 no posee puntos de periodo 3 en (0 119909119909119865119865) para las condiciones 119909119909119888119888 lt 119886119886 lt 119909119909119865119865 y 119909119909119865119865 lt 119889119889 lt 119909119909119887119887 Continuando es claro que 1 minus 119909119909119887119887 lt 1 minus 119889119889 lt 1 minus 119909119909119865119865 1 minus 119909119909119865119865 lt 1 minus 119886119886 lt 1 minus 119909119909119888119888 donde 1 minus 119909119909119865119865 es el punto fijo de 119891119891lowast y se cumplen las igualdades 119891119891lowast(1 minus 119909119909119887119887) = 1 minus 119891119891(119909119909119887119887) = 1 minus 119887119887 y 119891119891lowast(1 minus 119909119909119888119888) = 1 minus 119891119891(119909119909119888119888) = 1 minus 119888119888 Es decir 119891119891lowast no posee puntos de periodo 3 para el intervalo (01 minus 119909119909119865119865) por lo ya demostrado anteriormente en este caso para la funcioacuten 119891119891 lo cual por la proposicioacuten 11 nos conduce a que 119891119891 no tiene puntos de periodo 3 en el intervalo (119909119909119865119865 1)

En la figura 6 podemos apreciar dos graacuteficas la del lado izquierdo muestra que la graacutefica de 1198911198913 para una funcioacuten que cumple las hipoacutetesis de la parte i) del teorema 16 si posee puntos de periodo 3 pues hay intersecciones (contando el punto fijo) con la graacutefica de la funcioacuten identidad en cambio la figura del lado derecho muestra que la graacutefica de 1198911198913 de una funcioacuten que cumple las hipoacutetesis de la parte ii) del teorema no presenta intersecciones con la graacutefica de la funcioacuten identidad (ademaacutes del punto fijo) por lo que no posee puntos de periodo 3

y 1198913 ((119909primeprime 119888))=(119886 1) sub (119909119888 1) y con lo cual 119891 no posee puntos de periodo 3 en tal intervalo

En el intervalo (119909119888 119909119865) no existen puntos de perio-do 3 la demostracioacuten es equivalente a la mostra-da en el caso 2 Hemos mostrado que 119891 no posee puntos de periodo 3 en (0 119909119865) para las condiciones 119909119888lt 119886 lt 119909119865 y 119909119865lt 119889lt 119909119887

Continuando es claro que 1minus119909119887 lt 1minus119889lt 1minus119909119865 1minus119909119865lt 1minus119886 lt 1minus119909119888 donde 1minus119909119865 es el punto fijo de 119891 y se cumplen las igualdades 119891lowast (1minus119909119887 )=1minus119891(119909119887 )= 1minus119887 y 119891lowast (1minus119909119888 )=1minus119891(119909119888 )=1minus119888

Es decir 119891 no posee puntos de periodo 3 para el intervalo (0 1minus119909119865) por lo ya demostrado anterior-mente en este caso para la funcioacuten 119891 lo cual por la proposicioacuten 2 nos conduce a que 119891 no tiene puntos de periodo 3 en el intervalo (119909119865 1)

En la figura 6 podemos apreciar dos graacuteficas la del lado izquierdo muestra que la graacutefica de 1198913 para una fun-cioacuten que cumple las hipoacutetesis de la parte i) del teorema 2 si posee puntos de periodo 3 pues hay intersecciones (contando el punto fijo) con la graacutefica de la funcioacuten iden-tidad en cambio la figura del lado derecho muestra que la graacutefica de 1198913 de una funcioacuten que cumple las hipoacutetesis de la parte ii) del teorema no presenta intersecciones con la graacutefica de la funcioacuten identidad (ademaacutes del punto fijo) por lo que no posee puntos de periodo 3

Figura 6 Representacioacuten de la presencia o ausencia de puntos de periodo tres seguacuten las condiciones del

teorema 2




DOI 1022201enesl20078064e20181965822

Resultados

Para los ejemplos que a continuacioacuten mostramos se generoacute una aplicacioacuten computacional que permite la ge-neracioacuten de modelos ineacuteditos de funciones caoacuteticas Las funciones evaluadas estaacuten limitadas por la capacidad computacional2 referente a componentes irracionales

Funciones tipo Zeta

A continuacioacuten basados en los resultados teoacutericos obte-nidos presentamos algunos ejemplos de funciones tipo Zeta mdash119891119886 119887 119888 119889 mdash con valores particulares en los paraacuteme-tros cuya dinaacutemica es caoacutetica en el sentido Li-Yorke y de manera computacional pretendemos ilustrar la sen-sibilidad a condiciones iniciales (correspondiente a la definicioacuten de Devaney)

En la figura 7 tenemos en color azul la graacutefica de la funcioacuten 11989103 032 076 012 mdash las condiciones del teorema 2 se verificanmdash a su vez la liacutenea vertical en color rojo ilustra la evaluacioacuten del punto fijo 1936 Mientras que en la figura 8 evaluamos la funcioacuten en el punto 190000136 pero la oacuterbita es totalmente diferente a la del punto fijo el sistema presenta sensibilidad a condiciones iniciales

A su vez en las figuras 9 y 10 identificamos un punto que en la segunda evaluacioacuten se obtiene un punto fijo mdashun punto preperioacutedicomdash pero en la figura 11 se observa que una pequentildea modificacioacuten en la condicioacuten inicial genera oacuterbitas diferentes

2ensp Se utilizoacute una computadora portaacutetil Toshiba con procesador Intel Core i7-2630QM a 20 GHz y para llevar a cabo la programacioacuten y los experimentos se utilizoacute MATLAB R2014a y Maple 13

Figura 7 Primeros 40 elementos de la oacuterbita del punto



Funciones tipo Zeta (Subseccioacuten) A continuacioacuten basados en los resultados teoacutericos obtenidos presentamos algunos ejemplos de funciones tipo Zeta mdash119891119891119886119886119887119887119888119888119889119889mdash con valores particulares en los paraacutemetros cuya dinaacutemica es caoacutetica en el sentido Li-Yorke y de manera computacional pretendemos ilustrar la sensibilidad a condiciones iniciales (correspondiente a la definicioacuten de Devaney) En la figura 7 tenemos en color azul la graacutefica de la funcioacuten 11989111989103032076012 mdashlas condiciones del teorema 16 se verificanmdash a su vez la liacutenea vertical en color rojo ilustra la evaluacioacuten del punto fijo 1936 Mientras que en la figura 8 evaluamos la funcioacuten en el punto 190000136 pero la oacuterbita es totalmente diferente a la del punto fijo el sistema presenta sensibilidad a condiciones iniciales A su vez en las figuras 9 y 10 identificamos un punto que en la segunda evaluacioacuten se obtiene un punto fijo mdashun punto preperioacutedicomdash pero en la figura 11 se observa que una pequentildea modificacioacuten en la condicioacuten inicial genera oacuterbitas diferentes Figura 7 Primeros 40 elementos de la oacuterbita del punto 19

36 Figura 8 Primeros 100 elementos de la oacuterbita del punto 1900001

36

Figura 9 Evaluacioacuten del punto 164 1575

Figura 10 Primeros 200 elementos de la oacuterbita del punto 164


15750001 En la figura 12 tenemos la graacutefica de la funcioacuten 119891119891 15 (14)(23)(45) minuslas condiciones del teorema 16 se verificanminus y se ilustra la evaluacioacuten de un punto de periodo 3 observemos que en la figuras 13 y 14 se ha modificado la condicioacuten inicial y por tanto la oacuterbita para los primeros puntos parece ser la misma que la figura 12 sin embargo cuando se muestran maacutes puntos de la oacuterbita se aprecia la sensibilidad a condiciones iniciales Figura 12 Primeros 300 elementos de la oacuterbita del punto 136

2179

Figura 13 Primeros 6 elementos de la oacuterbita de 1362179000001


2179000001




36





2179



2179000001



Figura 9 Evaluacioacuten del punto



36





2179



2179000001





36





2179



2179000001





36





2179



2179000001


En la figura 12 tenemos la graacutefica de la funcioacuten 119891(15) (14) (23) (45) minuslas condiciones del teorema 2 se veri-ficanminus y se ilustra la evaluacioacuten de un punto de periodo 3 observemos que en la figuras 13 y 14 se ha modificado la condicioacuten inicial y por tanto la oacuterbita para los primeros puntos parece ser la misma que la figura 12 sin embargo cuando se muestran maacutes puntos de la oacuterbita se aprecia la sensibilidad a condiciones iniciales




36





2179



2179000001




DOI 1022201enesl20078064e20181965822

Figura 13 Primeros 6 elementos de la oacuterbita de



36





2179



2179000001





36





2179



2179000001


Aplicacioacuten a generacioacuten de nuacutemeros pseudoaleatorios

Consideremos una funcioacuten tipo Zeta con paraacutemetros

Aplicacioacuten a generacioacuten de nuacutemeros pseudoaleatorios (Subseccioacuten) Consideremos una funcioacuten tipo Zeta con paraacutemetros

119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3

Los siguientes son puntos de periodo tres

32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451

CONCLUSIONES (SECCIOacuteN) Hemos construido una familia de sistemas caoacuteticos en el sentido Li-Yorke y al mismo tiempo estamos sugiriendo un ldquoproceso para generar caosrdquo el cuaacutel lo podemos sintetizar en dos instrucciones Defina una funcioacuten continua de la forma 119891119891 119868119868 rarr 119868119868 con 119868119868 un intervalo cerrado y acotado

Construya la funcioacuten ℎ = 119891119891 119891119891 119891119891 119909119909 119868119868 rarr 119868119868 y resuelva la ecuacioacuten ℎ 119909119909 = 119909119909 sujeta a 119891119891 119909119909 ne 119909119909 Si existen puntos que verifican la ecuacioacuten y la restriccioacuten entonces 119891119891 tiene puntos de periodo tres y por lo tanto se tiene un sistema dinaacutemico caoacutetico La teoriacutea que fundamenta la validez del proceso son los teoremas de Sharkovskii del punto fijo y el trabajo de Li y Yorke Es muy frecuente que se vuelva difiacutecil demostrar directamente con la definicioacuten que un sistema dinaacutemico es caoacutetico sin embargo el encontrar puntos de periodo tres tendriacuteamos la respuesta si lo que buscamos es caos Generar la oacuterbita de tamantildeo conveniente por ejemplo 119871119871 (119871119871 seriacutea la cantidad de nuacutemeros deseados para la lista)


Si consideramos como punto inicial al nuacutemero


119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451



se obtiene la secuencia que aparece en la tabla 1

Tabla 1 Secuencia generada por el punto inicial 1451


Cabe sentildealar que los nuacutemeros presentados aquiacute han sido truncados no redondeados para facilitar la lectura

La graacutefica de la secuencia generada se presenta en la figura 15

Figura 15 Secuencia asociada al punto inicial 1451

Fuente elaboracioacuten poropia

En la tabla 2 se presentan los resultados de las pruebas de aleatoriedad (Coss Bu 2003) a la secuencia


119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451



000221 050277 054323 036338 095423 058531 017639 072049 016976 071220 015503 069379 012230 065288 004956 056195 028017 085022 040039 099822 066351 006847 058559 017513 071892 016697 070871 014883 068603 010851 063563 001891 052364 045047 077566 026785 083481 037300 096625 060667 008143 060179 010313 062891 000696 050871 051684 048069 064134 002906 053633 039408 099260 065352 005070 056338 027385 084231 038634 098293 063632 002013 052516 044369 080579 032141 090176 049202 059097 015120 068900 011379 064224 003065 053831 038525 098157 063390 001582 051978 046762 069944 013235 066543 007189 058986 015616 069520 012480 065600 005512 056890 024931 081164 033182 091477 051515 048818 060807 007522



Tabla 2 Resultados de las pruebas de aleatoriedad para la secuencia 1


Conclusiones

Hemos construido una familia de sistemas caoacuteticos en el sentido Li-Yorke y al mismo tiempo estamos sugirien-do un ldquoproceso para generar caosrdquo el cual lo podemos sintetizar en dos instrucciones

1) Defina una funcioacuten continua de la forma 119891119868rarr119868 con 119868 un intervalo cerrado y acotado

2) Construya la funcioacuten ℎ=119891(119891(119891(119909)))119868rarr119868 y resuel-va la ecuacioacuten ℎ(119909)=119909 sujeta a 119891(119909)ne119909 Si existen puntos que verifican la ecuacioacuten y la restriccioacuten entonces 119891 tiene puntos de periodo tres y por lo tanto se tiene un sistema dinaacutemico caoacutetico

La teoriacutea que fundamenta la validez del proceso son los teoremas de Sharkovskii del punto fijo y el trabajo de Li y Yorke Es muy frecuente que se vuelva difiacutecil de-mostrar directamente con la definicioacuten que un sistema dinaacutemico es caoacutetico sin embargo el encontrar puntos de periodo tres tendriacuteamos la respuesta si lo que bus-camos es caos

En este trabajo se mostroacute analiacuteticamente las condicio-nes que deben verificar los paraacutemetros para las funcio-nes tipo Zeta que garantizan la existencia de caos en el sentido de Li-Yorke En particular mostramos una familia de Zacutes con puntos de periodo tres - y por tanto caoacuteticas en el sentido mencionado-

Si existe intereacutes en una aplicacioacuten de los modelos cons-truidos se sugiere como primera opcioacuten la construccioacuten de listas de nuacutemeros ldquopseudoaleatoriosrdquo A continuacioacuten se enumera el procedimiento baacutesico a seguir

Pruebas de aleatoriedad Promedios SI

Frecuencias NO Kolmogorov-Smirnov SI

Varianza NO Distancias SI

Series NO Poacuteker SI

Corridas NO

1) Iniciar con un nuacutemero arbitrario en el intervalo unitario

2) Elegir una de las funciones tipo Zeta que satisfaga las condiciones de periodo tres (el teorema de Li-Yorke garantiza que el sistema inducido es caoacutetico)

3) Generar la oacuterbita de tamantildeo conveniente por ejem-plo 119871 (119871 seriacutea la cantidad de nuacutemeros deseados para la lista)

4) Con un procesador comparar si hay una repeticioacuten en la lista de tamantildeo L en caso de existir repeticioacuten se desecha la lista (en este caso se tiene un punto de periodo L o preperioacutedico) en caso contrario se continua con el paso 5

5) Aplicar las pruebas estadiacutesticas para validar ldquola aleatoriedadrdquo de la lista

Este trabajo fue una propuesta adicional a las exis-tentes en la literatura relativa a los sistemas dinaacutemicos caoacuteticos unidimensionales asiacute como para identificar la generacioacuten de nuacutemeros pseudoaleatorios como una primera aplicacioacuten

Agradecimientos

Los autores agradecen el apoyo de la Universidad Autoacute-noma de Aguascalientes con el proyecto PIM18-4

Referencias

Aulbach B y Kieninger B (2000) On Three Defini-tions of Chaos Nonlinear Dynamics and Systems Theory 1(1) 23-37

Coss Bu R (2003) Simulacioacuten Un enfoque praacutectico Meacute-xico Limusa

De Melo W y Van Strien S (1993) One dimensional dynamics Alemania Springer-Verlag Berlin Hei-delberg

Devaney R L (1989) An Introduction to Chaotic Dynami-cal Systems (Segunda ed) United States Adison-Wesley Publishing Company Inc

Hirsch M W Smale S y Devaney R L (2004) Di-fferential Eqiations Dynamical Systems amp An In-troduction to Chaos (Segunda ed) USA Elsevier

King J y Mendez H (2015) Sistemas dinaacutemicos discre-



DOI 1022201enesl20078064e20181965822

tos Meacutexico Las Prensas de CienciasLi T y Yorke J (Diciembre de 1975) Period Three Im-

plies Chaos The American Mathematical Monthly 82(10) 985-992

Ramiacuterez de La Cruz M A (2004) Generacioacuten de un siste-ma caoacutetico mediante la aplicacioacuten del teorema de Sarkowskii y del teorema del punto fijo (Tesis de licenciatura) Universidad Autoacutenoma de Aguas-calientes Aguascalientes

Tarasova V V y Tarasov V E (2017) Logistic map with memory from economic model Chaos Solitons and Fractals 95 84-91

Notas de autor

a Licenciado en Matemaacuteticas Aplicadas por la Univer-sidad Autoacutenoma de Aguascalientes (UAA) Maestro y Doctor en Ciencias con orientacioacuten en Matemaacute-ticas Aplicadas por el Centro de Investigacioacuten en Matemaacuteticas (CIMAT) Profesor de tiempo completo en el Departamento de Matemaacuteticas y Fiacutesica en la UAA Candidato en el Sistema Nacional de Inves-tigadores Sus aacutereas de intereacutes son Optimizacioacuten Modelacioacuten Matemaacutetica Sistemas Dinaacutemicos Teo-riacutea de Juegos y Economiacutea Matemaacutetica

b Licenciado en Matemaacuteticas Aplicadas y Maestro en Ciencias con orientacioacuten en Matemaacuteticas Apli-cadas por la Universidad Autoacutenoma de Aguasca-lientes (UAA) Profesor investigador asociado y Teacutecnico acadeacutemico asistente en el Departamento de Matemaacuteticas y Fiacutesica en la UAA Sus liacuteneas de investigacioacuten son Topologiacutea Algebraica Meacutetodos Numeacutericos Ecuaciones Diferenciales Investigacioacuten de Operaciones y Simulacioacuten



Introduccioacuten

En Ramiacuterez de La Cruz (2004) se relata lo siguiente

A finales del siglo xix Henri Poincareacute cuestionoacute la perfeccioacuten newtoniana en relacioacuten con las oacuterbitas planetarias lo que se conoce como el problema de los tres cuerpos Planteaba una atraccioacuten gravita-toria muacuteltiple que hasta entonces se resolviacutea con las leyes de Newton y la suma de un pequentildeo valor que compensara la atraccioacuten del tercer elemento

Poincareacute descubrioacute que en situaciones criacuteticas ese tiroacuten gravitatorio miacutenimo podiacutea realimentarse hasta producir un efecto de resonancia que modificara la oacuterbita o incluso lanzara el planeta fuera del sistema solar Los procesos de retroalimentacioacuten se corres-ponden en fiacutesica con las ecuaciones iterativas don-de el resultado del proceso es utilizado nuevamente como punto de partida para el mismo proceso El ideal claacutesico soacutelo contemplaba sistemas lineales en los que efecto y causa se identifican plenamente se sumaban las partes y se obteniacutea la totalidad Poinca-reacute introdujo el fantasma de la no linealidad donde origen y resultado divergen y las foacutermulas lineales no sirven para resolver el sistema Se habiacutea dado el primer paso para la teoriacutea del caos (p16)

Hoy en diacutea apoyaacutendose en los avances tecnoloacutegicos muchos matemaacuteticos se dedican al estudio generacioacuten y aplicacioacuten de modelos caoacuteticos en este trabajo nos restringiremos al estudio de sistemas dinaacutemicos discre-tos unidimensionales y construiremos modelos ineacuteditos

El alcance de este trabajo es explicativo proporciona una familia de sistemas dinaacutemicos ineacutedita cuyas pro-piedades se demuestran con el debido rigor matemaacutetico en este sentido se pueden tomar los ejemplos expuestos para utilizarlos en contextos pertinentes relativos a los sistemas dinaacutemicos discretos

Debido a que la composicioacuten de una funcioacuten consigo mismo seraacute mencionada con frecuencia para el resto del trabajo denotaremos con 119891119899 -donde 119899 es un entero posi-tivo- a la composicioacuten de 119891 consigo misma 119899 veces Asiacute estamos en condiciones de dar la definicioacuten de punto pe-rioacutedico que seraacute de utilidad en el desarrollo del trabajo

Definicioacuten 1 Sea 1199090∊ 119863119891 decimos que 1199090 es de periodo

119899 si 119899 119891119899(1199090)=1199090 para alguacuten 119899 isin ℕ y 119891119896 (1199090 )ne1199090 para 119896 lt 119899 Al conjunto de puntos perioacutedicos se le denotaraacute como 119875119890119903(119891) (Devaney 1989)

La definicioacuten matemaacutetica maacutes aceptada en la teoriacutea del caos se debe a Devaney (1989) y es la siguiente

Definicioacuten 2 Decimos que una funcioacuten 119891119868rarr119868 es caoacute-

tica si 119891 satisface las siguientes tres condiciones

bull Existe una 120575gt0 tal que para cualquier 119909 isin 119868 y cual-quier vecindad 119861 de 119909 existe una 119910 isin 119861 y 119899 ge 0 tal que |119891119899 (119909)minus119891119899 (119910 )|ge 120575 A esta condicioacuten se le conoce como sensibilidad a condiciones iniciales

bull Para cualquier par de conjuntos abiertos 119880 119881 sub 119868existe 119896 gt 0 tal que 119891119896 (119880)cap 119881 ne120601 Si esto sucede se dice que la funcioacuten es topoloacutegicamente transitiva

bull 119875119890119903(119891) es denso en 119868

Sin embargo en Aulbach y Kieninger (2000) se en-cuentra otra definicioacuten que se atribuye a Li y Yorke (una deacutecada anterior a la definicioacuten de Devaney 1989) misma que tendraacute prioridad en nuestro trabajo

Definicioacuten 3 Una funcioacuten 119891 119883rarr119883 en un espacio meacute-trico compacto (119883 119889) es caoacutetica en el sentido de Li y Yorke si existe un conjunto no contable 119878 sube 119883 con las siguientes condiciones

bull lim119899rarrinfin sup 119889(119891119899 (119909) 119891119899 (119910 ))gt0 para todo 119909 119910 isin 119878 119909 ne 119910 bull lim119899rarrinfin inf 119889(119891119899 (119909) 119891119899 (119910 ))=0 para todo 119909 119910 isin 119878 119909 ne 119910 bull lim119899rarrinfin sup 119889(119891119899 (119909) 119891119899 (119901))gt0 para todo 119909 isin 119878 119901 isin 119883

119901 perioacutedico

En Aulbach y Kieninger (2000) se estudia la relacioacuten entre estas definiciones en particular se tiene que la primera definicioacuten (Devaney 1989 ) implica la segunda (pero la otra implicacioacuten no es vaacutelida) En lo que resta del trabajo nos referiremos -cuando el contexto se preste a confusioacuten- a la primera definicioacuten usando simplemente ldquocaosrdquo mientras que la segunda se enunciaraacute como ldquocaos en el sentido de Li-Yorkerdquo

En Devaney (1989) encontramos diversos sistemas dinaacutemicos discretos que son caoacuteticos algunos unidi-mensionales y otros de dos o maacutes dimensiones en este



DOI 1022201enesl20078064e20181965822



1







hellip ≺ 3 ∙ 22 ≺ 5 ∙ 22 ≺ 7 ∙ 22 ≺ 9 ∙ 22 ≺ ⋯ (119873119873uacute119898119898119875119875119875119875119898119898119898119898 119894119894119898119898119901119901119894119894119875119875119875119875119898119898 119898119898119898119898119898119898119898119898119894119894119901119901119898119898119894119894119898119898119894119894119889119889119898119898119898119898 119901119901119898119898119875119875 22) ⋮
















5

119891119891119886119886119887119887119888119888119889119889 [01] rarr [01] como

119891119891119886119886119887119887119888119888119889119889(119909119909) =

1 minus 119886119886119887119887 119909119909 + 119886119886 119904119904119904119904 119909119909 isin [0 119887119887]

119888119888 minus 119909119909119888119888 minus 119887119887 119904119904119904119904 119909119909 isin (119887119887 119888119888] 119889119889

1 minus 119888119888 (119909119909 minus 119888119888) 119904119904119904119904 119909119909 isin (119888119888 1]






119891119891lowast119886119886119887119887119888119888119889119889(119909119909) =




como

5

119891119891119886119886119887119887119888119888119889119889 [01] rarr [01] como

119891119891119886119886119887119887119888119888119889119889(119909119909) =

1 minus 119886119886119887119887 119909119909 + 119886119886 119904119904119904119904 119909119909 isin [0 119887119887]

119888119888 minus 119909119909119888119888 minus 119887119887 119904119904119904119904 119909119909 isin (119887119887 119888119888] 119889119889

1 minus 119888119888 (119909119909 minus 119888119888) 119904119904119904119904 119909119909 isin (119888119888 1]






119891119891lowast119886119886119887119887119888119888119889119889(119909119909) =












5

119891119891119886119886119887119887119888119888119889119889 [01] rarr [01] como

119891119891119886119886119887119887119888119888119889119889(119909119909) =

1 minus 119886119886119887119887 119909119909 + 119886119886 119904119904119904119904 119909119909 isin [0 119887119887]

119888119888 minus 119909119909119888119888 minus 119887119887 119904119904119904119904 119909119909 isin (119887119887 119888119888] 119889119889

1 minus 119888119888 (119909119909 minus 119888119888) 119904119904119904119904 119909119909 isin (119888119888 1]






119891119891lowast119886119886119887119887119888119888119889119889(119909119909) =













6







Si 119909119909 = 119887119887 tendremos que


= 119891119891(119887119887)



= 0 = 119891119891(119888119888)




DOI 1022201enesl20078064e20181965822


6







Si 119909119909 = 119887119887 tendremos que


= 119891119891(119887119887)



= 0 = 119891119891(119888119888)



7



= 119891119891(119909119909)




= 119891119891(119909119909)




= 119889119889 (119909119909 minus 1198881198881 minus 119888119888)

= 119891119891(119909119909)






7



= 119891119891(119909119909)




= 119891119891(119909119909)




= 119889119889 (119909119909 minus 1198881198881 minus 119888119888)

= 119891119891(119909119909)






7



= 119891119891(119909119909)




= 119891119891(119909119909)




= 119889119889 (119909119909 minus 1198881198881 minus 119888119888)

= 119891119891(119909119909)












119926(119961120782 119943)=119943119951 (119961120782)119951 isin ℕ cup120782






∘120601 119904=120601 119905+119904 para cada 119905 119904 isin ℝ






de Li-Yorke


Demostracioacuten



8









8















9








Y a su vez





9








Y a su vez



Y a su vez

9








Y a su vez



y asiacute

10

119891119891(119909119909119865119865) =119888119888 minus 119888119888

1 + 119888119888 minus 119887119887119888119888 minus 119887119887


= 1198881198881 + 119888119888 minus 119887119887


Si 0 le 119909119909 lt 119909119909119865119865 119891119891(119909119909) ge 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) le 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) ge 119909119909119865119865 gt 119909119909

Si 119909119909119865119865 lt 119909119909 le 1

119891119891(119909119909) le 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) ge 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) le 119909119909119865119865 lt 119909119909

∎






DOI 1022201enesl20078064e20181965822


bull Si 0 le 119909 lt 119909119865

10

119891119891(119909119909119865119865) =119888119888 minus 119888119888

1 + 119888119888 minus 119887119887119888119888 minus 119887119887


= 1198881198881 + 119888119888 minus 119887119887


Si 0 le 119909119909 lt 119909119909119865119865 119891119891(119909119909) ge 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) le 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) ge 119909119909119865119865 gt 119909119909

Si 119909119909119865119865 lt 119909119909 le 1

119891119891(119909119909) le 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) ge 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) le 119909119909119865119865 lt 119909119909

∎



bull Si 119909119865 lt 119909 le 1

10

119891119891(119909119909119865119865) =119888119888 minus 119888119888

1 + 119888119888 minus 119887119887119888119888 minus 119887119887


= 1198881198881 + 119888119888 minus 119887119887


Si 0 le 119909119909 lt 119909119909119865119865 119891119891(119909119909) ge 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) le 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) ge 119909119909119865119865 gt 119909119909

Si 119909119909119865119865 lt 119909119909 le 1

119891119891(119909119909) le 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) ge 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) le 119909119909119865119865 lt 119909119909

∎
















119891(1199090 )gt119891(1199091 )=119909119865gt1199090















Demostracioacuten












bull Caso 1 119886 ge 119909119865 y 119889le119909119865






13












13












DOI 1022201enesl20078064e20181965822





14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


















15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


16










teorema 2




DOI 1022201enesl20078064e20181965822

Resultados


Funciones tipo Zeta










36





2179



2179000001




36





2179



2179000001






36





2179



2179000001





36





2179



2179000001





36





2179



2179000001






36





2179



2179000001




DOI 1022201enesl20078064e20181965822




36





2179



2179000001





36





2179



2179000001





119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451






119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451












119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451



000221 050277 054323 036338 095423 058531 017639 072049 016976 071220 015503 069379 012230 065288 004956 056195 028017 085022 040039 099822 066351 006847 058559 017513 071892 016697 070871 014883 068603 010851 063563 001891 052364 045047 077566 026785 083481 037300 096625 060667 008143 060179 010313 062891 000696 050871 051684 048069 064134 002906 053633 039408 099260 065352 005070 056338 027385 084231 038634 098293 063632 002013 052516 044369 080579 032141 090176 049202 059097 015120 068900 011379 064224 003065 053831 038525 098157 063390 001582 051978 046762 069944 013235 066543 007189 058986 015616 069520 012480 065600 005512 056890 024931 081164 033182 091477 051515 048818 060807 007522





Conclusiones











Corridas NO







Agradecimientos


Referencias









DOI 1022201enesl20078064e20181965822





Notas de autor





DOI 1022201enesl20078064e20181965822



1







hellip ≺ 3 ∙ 22 ≺ 5 ∙ 22 ≺ 7 ∙ 22 ≺ 9 ∙ 22 ≺ ⋯ (119873119873uacute119898119898119875119875119875119875119898119898119898119898 119894119894119898119898119901119901119894119894119875119875119875119875119898119898 119898119898119898119898119898119898119898119898119894119894119901119901119898119898119894119894119898119898119894119894119889119889119898119898119898119898 119901119901119898119898119875119875 22) ⋮
















5

119891119891119886119886119887119887119888119888119889119889 [01] rarr [01] como

119891119891119886119886119887119887119888119888119889119889(119909119909) =

1 minus 119886119886119887119887 119909119909 + 119886119886 119904119904119904119904 119909119909 isin [0 119887119887]

119888119888 minus 119909119909119888119888 minus 119887119887 119904119904119904119904 119909119909 isin (119887119887 119888119888] 119889119889

1 minus 119888119888 (119909119909 minus 119888119888) 119904119904119904119904 119909119909 isin (119888119888 1]






119891119891lowast119886119886119887119887119888119888119889119889(119909119909) =




como

5

119891119891119886119886119887119887119888119888119889119889 [01] rarr [01] como

119891119891119886119886119887119887119888119888119889119889(119909119909) =

1 minus 119886119886119887119887 119909119909 + 119886119886 119904119904119904119904 119909119909 isin [0 119887119887]

119888119888 minus 119909119909119888119888 minus 119887119887 119904119904119904119904 119909119909 isin (119887119887 119888119888] 119889119889

1 minus 119888119888 (119909119909 minus 119888119888) 119904119904119904119904 119909119909 isin (119888119888 1]






119891119891lowast119886119886119887119887119888119888119889119889(119909119909) =












5

119891119891119886119886119887119887119888119888119889119889 [01] rarr [01] como

119891119891119886119886119887119887119888119888119889119889(119909119909) =

1 minus 119886119886119887119887 119909119909 + 119886119886 119904119904119904119904 119909119909 isin [0 119887119887]

119888119888 minus 119909119909119888119888 minus 119887119887 119904119904119904119904 119909119909 isin (119887119887 119888119888] 119889119889

1 minus 119888119888 (119909119909 minus 119888119888) 119904119904119904119904 119909119909 isin (119888119888 1]






119891119891lowast119886119886119887119887119888119888119889119889(119909119909) =













6







Si 119909119909 = 119887119887 tendremos que


= 119891119891(119887119887)



= 0 = 119891119891(119888119888)




DOI 1022201enesl20078064e20181965822


6







Si 119909119909 = 119887119887 tendremos que


= 119891119891(119887119887)



= 0 = 119891119891(119888119888)



7



= 119891119891(119909119909)




= 119891119891(119909119909)




= 119889119889 (119909119909 minus 1198881198881 minus 119888119888)

= 119891119891(119909119909)






7



= 119891119891(119909119909)




= 119891119891(119909119909)




= 119889119889 (119909119909 minus 1198881198881 minus 119888119888)

= 119891119891(119909119909)






7



= 119891119891(119909119909)




= 119891119891(119909119909)




= 119889119889 (119909119909 minus 1198881198881 minus 119888119888)

= 119891119891(119909119909)












119926(119961120782 119943)=119943119951 (119961120782)119951 isin ℕ cup120782






∘120601 119904=120601 119905+119904 para cada 119905 119904 isin ℝ






de Li-Yorke


Demostracioacuten



8









8















9








Y a su vez





9








Y a su vez



Y a su vez

9








Y a su vez



y asiacute

10

119891119891(119909119909119865119865) =119888119888 minus 119888119888

1 + 119888119888 minus 119887119887119888119888 minus 119887119887


= 1198881198881 + 119888119888 minus 119887119887


Si 0 le 119909119909 lt 119909119909119865119865 119891119891(119909119909) ge 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) le 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) ge 119909119909119865119865 gt 119909119909

Si 119909119909119865119865 lt 119909119909 le 1

119891119891(119909119909) le 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) ge 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) le 119909119909119865119865 lt 119909119909

∎






DOI 1022201enesl20078064e20181965822


bull Si 0 le 119909 lt 119909119865

10

119891119891(119909119909119865119865) =119888119888 minus 119888119888

1 + 119888119888 minus 119887119887119888119888 minus 119887119887


= 1198881198881 + 119888119888 minus 119887119887


Si 0 le 119909119909 lt 119909119909119865119865 119891119891(119909119909) ge 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) le 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) ge 119909119909119865119865 gt 119909119909

Si 119909119909119865119865 lt 119909119909 le 1

119891119891(119909119909) le 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) ge 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) le 119909119909119865119865 lt 119909119909

∎



bull Si 119909119865 lt 119909 le 1

10

119891119891(119909119909119865119865) =119888119888 minus 119888119888

1 + 119888119888 minus 119887119887119888119888 minus 119887119887


= 1198881198881 + 119888119888 minus 119887119887


Si 0 le 119909119909 lt 119909119909119865119865 119891119891(119909119909) ge 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) le 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) ge 119909119909119865119865 gt 119909119909

Si 119909119909119865119865 lt 119909119909 le 1

119891119891(119909119909) le 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) ge 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) le 119909119909119865119865 lt 119909119909

∎
















119891(1199090 )gt119891(1199091 )=119909119865gt1199090















Demostracioacuten












bull Caso 1 119886 ge 119909119865 y 119889le119909119865






13












13












DOI 1022201enesl20078064e20181965822





14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


















15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


16










teorema 2




DOI 1022201enesl20078064e20181965822

Resultados


Funciones tipo Zeta










36





2179



2179000001




36





2179



2179000001






36





2179



2179000001





36





2179



2179000001





36





2179



2179000001






36





2179



2179000001




DOI 1022201enesl20078064e20181965822




36





2179



2179000001





36





2179



2179000001





119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451






119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451












119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451



000221 050277 054323 036338 095423 058531 017639 072049 016976 071220 015503 069379 012230 065288 004956 056195 028017 085022 040039 099822 066351 006847 058559 017513 071892 016697 070871 014883 068603 010851 063563 001891 052364 045047 077566 026785 083481 037300 096625 060667 008143 060179 010313 062891 000696 050871 051684 048069 064134 002906 053633 039408 099260 065352 005070 056338 027385 084231 038634 098293 063632 002013 052516 044369 080579 032141 090176 049202 059097 015120 068900 011379 064224 003065 053831 038525 098157 063390 001582 051978 046762 069944 013235 066543 007189 058986 015616 069520 012480 065600 005512 056890 024931 081164 033182 091477 051515 048818 060807 007522





Conclusiones











Corridas NO







Agradecimientos


Referencias









DOI 1022201enesl20078064e20181965822





Notas de autor






5

119891119891119886119886119887119887119888119888119889119889 [01] rarr [01] como

119891119891119886119886119887119887119888119888119889119889(119909119909) =

1 minus 119886119886119887119887 119909119909 + 119886119886 119904119904119904119904 119909119909 isin [0 119887119887]

119888119888 minus 119909119909119888119888 minus 119887119887 119904119904119904119904 119909119909 isin (119887119887 119888119888] 119889119889

1 minus 119888119888 (119909119909 minus 119888119888) 119904119904119904119904 119909119909 isin (119888119888 1]






119891119891lowast119886119886119887119887119888119888119889119889(119909119909) =




como

5

119891119891119886119886119887119887119888119888119889119889 [01] rarr [01] como

119891119891119886119886119887119887119888119888119889119889(119909119909) =

1 minus 119886119886119887119887 119909119909 + 119886119886 119904119904119904119904 119909119909 isin [0 119887119887]

119888119888 minus 119909119909119888119888 minus 119887119887 119904119904119904119904 119909119909 isin (119887119887 119888119888] 119889119889

1 minus 119888119888 (119909119909 minus 119888119888) 119904119904119904119904 119909119909 isin (119888119888 1]






119891119891lowast119886119886119887119887119888119888119889119889(119909119909) =












5

119891119891119886119886119887119887119888119888119889119889 [01] rarr [01] como

119891119891119886119886119887119887119888119888119889119889(119909119909) =

1 minus 119886119886119887119887 119909119909 + 119886119886 119904119904119904119904 119909119909 isin [0 119887119887]

119888119888 minus 119909119909119888119888 minus 119887119887 119904119904119904119904 119909119909 isin (119887119887 119888119888] 119889119889

1 minus 119888119888 (119909119909 minus 119888119888) 119904119904119904119904 119909119909 isin (119888119888 1]






119891119891lowast119886119886119887119887119888119888119889119889(119909119909) =













6







Si 119909119909 = 119887119887 tendremos que


= 119891119891(119887119887)



= 0 = 119891119891(119888119888)




DOI 1022201enesl20078064e20181965822


6







Si 119909119909 = 119887119887 tendremos que


= 119891119891(119887119887)



= 0 = 119891119891(119888119888)



7



= 119891119891(119909119909)




= 119891119891(119909119909)




= 119889119889 (119909119909 minus 1198881198881 minus 119888119888)

= 119891119891(119909119909)






7



= 119891119891(119909119909)




= 119891119891(119909119909)




= 119889119889 (119909119909 minus 1198881198881 minus 119888119888)

= 119891119891(119909119909)






7



= 119891119891(119909119909)




= 119891119891(119909119909)




= 119889119889 (119909119909 minus 1198881198881 minus 119888119888)

= 119891119891(119909119909)












119926(119961120782 119943)=119943119951 (119961120782)119951 isin ℕ cup120782






∘120601 119904=120601 119905+119904 para cada 119905 119904 isin ℝ






de Li-Yorke


Demostracioacuten



8









8















9








Y a su vez





9








Y a su vez



Y a su vez

9








Y a su vez



y asiacute

10

119891119891(119909119909119865119865) =119888119888 minus 119888119888

1 + 119888119888 minus 119887119887119888119888 minus 119887119887


= 1198881198881 + 119888119888 minus 119887119887


Si 0 le 119909119909 lt 119909119909119865119865 119891119891(119909119909) ge 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) le 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) ge 119909119909119865119865 gt 119909119909

Si 119909119909119865119865 lt 119909119909 le 1

119891119891(119909119909) le 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) ge 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) le 119909119909119865119865 lt 119909119909

∎






DOI 1022201enesl20078064e20181965822


bull Si 0 le 119909 lt 119909119865

10

119891119891(119909119909119865119865) =119888119888 minus 119888119888

1 + 119888119888 minus 119887119887119888119888 minus 119887119887


= 1198881198881 + 119888119888 minus 119887119887


Si 0 le 119909119909 lt 119909119909119865119865 119891119891(119909119909) ge 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) le 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) ge 119909119909119865119865 gt 119909119909

Si 119909119909119865119865 lt 119909119909 le 1

119891119891(119909119909) le 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) ge 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) le 119909119909119865119865 lt 119909119909

∎



bull Si 119909119865 lt 119909 le 1

10

119891119891(119909119909119865119865) =119888119888 minus 119888119888

1 + 119888119888 minus 119887119887119888119888 minus 119887119887


= 1198881198881 + 119888119888 minus 119887119887


Si 0 le 119909119909 lt 119909119909119865119865 119891119891(119909119909) ge 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) le 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) ge 119909119909119865119865 gt 119909119909

Si 119909119909119865119865 lt 119909119909 le 1

119891119891(119909119909) le 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) ge 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) le 119909119909119865119865 lt 119909119909

∎
















119891(1199090 )gt119891(1199091 )=119909119865gt1199090















Demostracioacuten












bull Caso 1 119886 ge 119909119865 y 119889le119909119865






13












13












DOI 1022201enesl20078064e20181965822





14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


















15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


16










teorema 2




DOI 1022201enesl20078064e20181965822

Resultados


Funciones tipo Zeta










36





2179



2179000001




36





2179



2179000001






36





2179



2179000001





36





2179



2179000001





36





2179



2179000001






36





2179



2179000001




DOI 1022201enesl20078064e20181965822




36





2179



2179000001





36





2179



2179000001





119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451






119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451












119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451



000221 050277 054323 036338 095423 058531 017639 072049 016976 071220 015503 069379 012230 065288 004956 056195 028017 085022 040039 099822 066351 006847 058559 017513 071892 016697 070871 014883 068603 010851 063563 001891 052364 045047 077566 026785 083481 037300 096625 060667 008143 060179 010313 062891 000696 050871 051684 048069 064134 002906 053633 039408 099260 065352 005070 056338 027385 084231 038634 098293 063632 002013 052516 044369 080579 032141 090176 049202 059097 015120 068900 011379 064224 003065 053831 038525 098157 063390 001582 051978 046762 069944 013235 066543 007189 058986 015616 069520 012480 065600 005512 056890 024931 081164 033182 091477 051515 048818 060807 007522





Conclusiones











Corridas NO







Agradecimientos


Referencias









DOI 1022201enesl20078064e20181965822





Notas de autor





DOI 1022201enesl20078064e20181965822


6







Si 119909119909 = 119887119887 tendremos que


= 119891119891(119887119887)



= 0 = 119891119891(119888119888)



7



= 119891119891(119909119909)




= 119891119891(119909119909)




= 119889119889 (119909119909 minus 1198881198881 minus 119888119888)

= 119891119891(119909119909)






7



= 119891119891(119909119909)




= 119891119891(119909119909)




= 119889119889 (119909119909 minus 1198881198881 minus 119888119888)

= 119891119891(119909119909)






7



= 119891119891(119909119909)




= 119891119891(119909119909)




= 119889119889 (119909119909 minus 1198881198881 minus 119888119888)

= 119891119891(119909119909)












119926(119961120782 119943)=119943119951 (119961120782)119951 isin ℕ cup120782






∘120601 119904=120601 119905+119904 para cada 119905 119904 isin ℝ






de Li-Yorke


Demostracioacuten



8









8















9








Y a su vez





9








Y a su vez



Y a su vez

9








Y a su vez



y asiacute

10

119891119891(119909119909119865119865) =119888119888 minus 119888119888

1 + 119888119888 minus 119887119887119888119888 minus 119887119887


= 1198881198881 + 119888119888 minus 119887119887


Si 0 le 119909119909 lt 119909119909119865119865 119891119891(119909119909) ge 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) le 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) ge 119909119909119865119865 gt 119909119909

Si 119909119909119865119865 lt 119909119909 le 1

119891119891(119909119909) le 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) ge 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) le 119909119909119865119865 lt 119909119909

∎






DOI 1022201enesl20078064e20181965822


bull Si 0 le 119909 lt 119909119865

10

119891119891(119909119909119865119865) =119888119888 minus 119888119888

1 + 119888119888 minus 119887119887119888119888 minus 119887119887


= 1198881198881 + 119888119888 minus 119887119887


Si 0 le 119909119909 lt 119909119909119865119865 119891119891(119909119909) ge 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) le 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) ge 119909119909119865119865 gt 119909119909

Si 119909119909119865119865 lt 119909119909 le 1

119891119891(119909119909) le 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) ge 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) le 119909119909119865119865 lt 119909119909

∎



bull Si 119909119865 lt 119909 le 1

10

119891119891(119909119909119865119865) =119888119888 minus 119888119888

1 + 119888119888 minus 119887119887119888119888 minus 119887119887


= 1198881198881 + 119888119888 minus 119887119887


Si 0 le 119909119909 lt 119909119909119865119865 119891119891(119909119909) ge 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) le 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) ge 119909119909119865119865 gt 119909119909

Si 119909119909119865119865 lt 119909119909 le 1

119891119891(119909119909) le 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) ge 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) le 119909119909119865119865 lt 119909119909

∎
















119891(1199090 )gt119891(1199091 )=119909119865gt1199090















Demostracioacuten












bull Caso 1 119886 ge 119909119865 y 119889le119909119865






13












13












DOI 1022201enesl20078064e20181965822





14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


















15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


16










teorema 2




DOI 1022201enesl20078064e20181965822

Resultados


Funciones tipo Zeta










36





2179



2179000001




36





2179



2179000001






36





2179



2179000001





36





2179



2179000001





36





2179



2179000001






36





2179



2179000001




DOI 1022201enesl20078064e20181965822




36





2179



2179000001





36





2179



2179000001





119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451






119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451












119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451



000221 050277 054323 036338 095423 058531 017639 072049 016976 071220 015503 069379 012230 065288 004956 056195 028017 085022 040039 099822 066351 006847 058559 017513 071892 016697 070871 014883 068603 010851 063563 001891 052364 045047 077566 026785 083481 037300 096625 060667 008143 060179 010313 062891 000696 050871 051684 048069 064134 002906 053633 039408 099260 065352 005070 056338 027385 084231 038634 098293 063632 002013 052516 044369 080579 032141 090176 049202 059097 015120 068900 011379 064224 003065 053831 038525 098157 063390 001582 051978 046762 069944 013235 066543 007189 058986 015616 069520 012480 065600 005512 056890 024931 081164 033182 091477 051515 048818 060807 007522





Conclusiones











Corridas NO







Agradecimientos


Referencias









DOI 1022201enesl20078064e20181965822





Notas de autor





de Li-Yorke


Demostracioacuten



8









8















9








Y a su vez





9








Y a su vez



Y a su vez

9








Y a su vez



y asiacute

10

119891119891(119909119909119865119865) =119888119888 minus 119888119888

1 + 119888119888 minus 119887119887119888119888 minus 119887119887


= 1198881198881 + 119888119888 minus 119887119887


Si 0 le 119909119909 lt 119909119909119865119865 119891119891(119909119909) ge 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) le 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) ge 119909119909119865119865 gt 119909119909

Si 119909119909119865119865 lt 119909119909 le 1

119891119891(119909119909) le 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) ge 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) le 119909119909119865119865 lt 119909119909

∎






DOI 1022201enesl20078064e20181965822


bull Si 0 le 119909 lt 119909119865

10

119891119891(119909119909119865119865) =119888119888 minus 119888119888

1 + 119888119888 minus 119887119887119888119888 minus 119887119887


= 1198881198881 + 119888119888 minus 119887119887


Si 0 le 119909119909 lt 119909119909119865119865 119891119891(119909119909) ge 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) le 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) ge 119909119909119865119865 gt 119909119909

Si 119909119909119865119865 lt 119909119909 le 1

119891119891(119909119909) le 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) ge 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) le 119909119909119865119865 lt 119909119909

∎



bull Si 119909119865 lt 119909 le 1

10

119891119891(119909119909119865119865) =119888119888 minus 119888119888

1 + 119888119888 minus 119887119887119888119888 minus 119887119887


= 1198881198881 + 119888119888 minus 119887119887


Si 0 le 119909119909 lt 119909119909119865119865 119891119891(119909119909) ge 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) le 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) ge 119909119909119865119865 gt 119909119909

Si 119909119909119865119865 lt 119909119909 le 1

119891119891(119909119909) le 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) ge 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) le 119909119909119865119865 lt 119909119909

∎
















119891(1199090 )gt119891(1199091 )=119909119865gt1199090















Demostracioacuten












bull Caso 1 119886 ge 119909119865 y 119889le119909119865






13












13












DOI 1022201enesl20078064e20181965822





14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


















15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


16










teorema 2




DOI 1022201enesl20078064e20181965822

Resultados


Funciones tipo Zeta










36





2179



2179000001




36





2179



2179000001






36





2179



2179000001





36





2179



2179000001





36





2179



2179000001






36





2179



2179000001




DOI 1022201enesl20078064e20181965822




36





2179



2179000001





36





2179



2179000001





119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451






119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451












119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451



000221 050277 054323 036338 095423 058531 017639 072049 016976 071220 015503 069379 012230 065288 004956 056195 028017 085022 040039 099822 066351 006847 058559 017513 071892 016697 070871 014883 068603 010851 063563 001891 052364 045047 077566 026785 083481 037300 096625 060667 008143 060179 010313 062891 000696 050871 051684 048069 064134 002906 053633 039408 099260 065352 005070 056338 027385 084231 038634 098293 063632 002013 052516 044369 080579 032141 090176 049202 059097 015120 068900 011379 064224 003065 053831 038525 098157 063390 001582 051978 046762 069944 013235 066543 007189 058986 015616 069520 012480 065600 005512 056890 024931 081164 033182 091477 051515 048818 060807 007522





Conclusiones











Corridas NO







Agradecimientos


Referencias









DOI 1022201enesl20078064e20181965822





Notas de autor





DOI 1022201enesl20078064e20181965822


bull Si 0 le 119909 lt 119909119865

10

119891119891(119909119909119865119865) =119888119888 minus 119888119888

1 + 119888119888 minus 119887119887119888119888 minus 119887119887


= 1198881198881 + 119888119888 minus 119887119887


Si 0 le 119909119909 lt 119909119909119865119865 119891119891(119909119909) ge 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) le 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) ge 119909119909119865119865 gt 119909119909

Si 119909119909119865119865 lt 119909119909 le 1

119891119891(119909119909) le 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) ge 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) le 119909119909119865119865 lt 119909119909

∎



bull Si 119909119865 lt 119909 le 1

10

119891119891(119909119909119865119865) =119888119888 minus 119888119888

1 + 119888119888 minus 119887119887119888119888 minus 119887119887


= 1198881198881 + 119888119888 minus 119887119887


Si 0 le 119909119909 lt 119909119909119865119865 119891119891(119909119909) ge 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) le 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) ge 119909119909119865119865 gt 119909119909

Si 119909119909119865119865 lt 119909119909 le 1

119891119891(119909119909) le 119909119909119865119865

⟹ 1198911198912(119909119909) ge 119909119909119865119865 ⟹ 1198911198913(119909119909) le 119909119909119865119865 lt 119909119909

∎
















119891(1199090 )gt119891(1199091 )=119909119865gt1199090















Demostracioacuten












bull Caso 1 119886 ge 119909119865 y 119889le119909119865






13












13












DOI 1022201enesl20078064e20181965822





14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


















15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


16










teorema 2




DOI 1022201enesl20078064e20181965822

Resultados


Funciones tipo Zeta










36





2179



2179000001




36





2179



2179000001






36





2179



2179000001





36





2179



2179000001





36





2179



2179000001






36





2179



2179000001




DOI 1022201enesl20078064e20181965822




36





2179



2179000001





36





2179



2179000001





119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451






119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451












119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451



000221 050277 054323 036338 095423 058531 017639 072049 016976 071220 015503 069379 012230 065288 004956 056195 028017 085022 040039 099822 066351 006847 058559 017513 071892 016697 070871 014883 068603 010851 063563 001891 052364 045047 077566 026785 083481 037300 096625 060667 008143 060179 010313 062891 000696 050871 051684 048069 064134 002906 053633 039408 099260 065352 005070 056338 027385 084231 038634 098293 063632 002013 052516 044369 080579 032141 090176 049202 059097 015120 068900 011379 064224 003065 053831 038525 098157 063390 001582 051978 046762 069944 013235 066543 007189 058986 015616 069520 012480 065600 005512 056890 024931 081164 033182 091477 051515 048818 060807 007522





Conclusiones











Corridas NO







Agradecimientos


Referencias









DOI 1022201enesl20078064e20181965822





Notas de autor












Demostracioacuten












bull Caso 1 119886 ge 119909119865 y 119889le119909119865






13












13












DOI 1022201enesl20078064e20181965822





14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


















15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


16










teorema 2




DOI 1022201enesl20078064e20181965822

Resultados


Funciones tipo Zeta










36





2179



2179000001




36





2179



2179000001






36





2179



2179000001





36





2179



2179000001





36





2179



2179000001






36





2179



2179000001




DOI 1022201enesl20078064e20181965822




36





2179



2179000001





36





2179



2179000001





119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451






119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451












119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451



000221 050277 054323 036338 095423 058531 017639 072049 016976 071220 015503 069379 012230 065288 004956 056195 028017 085022 040039 099822 066351 006847 058559 017513 071892 016697 070871 014883 068603 010851 063563 001891 052364 045047 077566 026785 083481 037300 096625 060667 008143 060179 010313 062891 000696 050871 051684 048069 064134 002906 053633 039408 099260 065352 005070 056338 027385 084231 038634 098293 063632 002013 052516 044369 080579 032141 090176 049202 059097 015120 068900 011379 064224 003065 053831 038525 098157 063390 001582 051978 046762 069944 013235 066543 007189 058986 015616 069520 012480 065600 005512 056890 024931 081164 033182 091477 051515 048818 060807 007522





Conclusiones











Corridas NO







Agradecimientos


Referencias









DOI 1022201enesl20078064e20181965822





Notas de autor





DOI 1022201enesl20078064e20181965822





14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








14



⟹ 1198911198913((119909119909119888119888 119909119909primeprime)) sub (119909119909119888119888 1]






⟹ 1198911198912((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (119909119909119865119865 1) ⟹ 1198911198913((119909119909119865119865 119909119909119887119887)) = (0 119909119909119865119865)








15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


















15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


16










teorema 2




DOI 1022201enesl20078064e20181965822

Resultados


Funciones tipo Zeta










36





2179



2179000001




36





2179



2179000001






36





2179



2179000001





36





2179



2179000001





36





2179



2179000001






36





2179



2179000001




DOI 1022201enesl20078064e20181965822




36





2179



2179000001





36





2179



2179000001





119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451






119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451












119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451



000221 050277 054323 036338 095423 058531 017639 072049 016976 071220 015503 069379 012230 065288 004956 056195 028017 085022 040039 099822 066351 006847 058559 017513 071892 016697 070871 014883 068603 010851 063563 001891 052364 045047 077566 026785 083481 037300 096625 060667 008143 060179 010313 062891 000696 050871 051684 048069 064134 002906 053633 039408 099260 065352 005070 056338 027385 084231 038634 098293 063632 002013 052516 044369 080579 032141 090176 049202 059097 015120 068900 011379 064224 003065 053831 038525 098157 063390 001582 051978 046762 069944 013235 066543 007189 058986 015616 069520 012480 065600 005512 056890 024931 081164 033182 091477 051515 048818 060807 007522





Conclusiones











Corridas NO







Agradecimientos


Referencias









DOI 1022201enesl20078064e20181965822





Notas de autor













15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


15


119891119891((119888119888 1)) sub (0 119909119909119865119865]⟹ 1198911198912((119888119888 1)) sub (119909119909119888119888 1] ⟹ 1198911198913((119888119888 1)) sub (0 119888119888)




119891119891(0) = 119886119886 isin (119909119909119888119888 119909119909119865119865)⟹ 1198911198912(0) = 119891119891(119886119886) isin (119909119909119865119865 119888119888) ⟹ 1198911198913(0) = 1198911198912(119886119886) isin (0 119909119909119865119865)


119891119891(1) = 119889119889 isin (119909119909119865119865 119909119909119887119887)⟹ 1198911198912(1) = 119891119891(119889119889) isin (119887119887 119909119909119865119865) ⟹ 1198911198913(1) = 1198911198912(119889119889) isin (119909119909119865119865 1)


16










teorema 2




DOI 1022201enesl20078064e20181965822

Resultados


Funciones tipo Zeta










36





2179



2179000001




36





2179



2179000001






36





2179



2179000001





36





2179



2179000001





36





2179



2179000001






36





2179



2179000001




DOI 1022201enesl20078064e20181965822




36





2179



2179000001





36





2179



2179000001





119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451






119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451












119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451



000221 050277 054323 036338 095423 058531 017639 072049 016976 071220 015503 069379 012230 065288 004956 056195 028017 085022 040039 099822 066351 006847 058559 017513 071892 016697 070871 014883 068603 010851 063563 001891 052364 045047 077566 026785 083481 037300 096625 060667 008143 060179 010313 062891 000696 050871 051684 048069 064134 002906 053633 039408 099260 065352 005070 056338 027385 084231 038634 098293 063632 002013 052516 044369 080579 032141 090176 049202 059097 015120 068900 011379 064224 003065 053831 038525 098157 063390 001582 051978 046762 069944 013235 066543 007189 058986 015616 069520 012480 065600 005512 056890 024931 081164 033182 091477 051515 048818 060807 007522





Conclusiones











Corridas NO







Agradecimientos


Referencias









DOI 1022201enesl20078064e20181965822





Notas de autor





DOI 1022201enesl20078064e20181965822

Resultados


Funciones tipo Zeta










36





2179



2179000001




36





2179



2179000001






36





2179



2179000001





36





2179



2179000001





36





2179



2179000001






36





2179



2179000001




DOI 1022201enesl20078064e20181965822




36





2179



2179000001





36





2179



2179000001





119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451






119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451












119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451



000221 050277 054323 036338 095423 058531 017639 072049 016976 071220 015503 069379 012230 065288 004956 056195 028017 085022 040039 099822 066351 006847 058559 017513 071892 016697 070871 014883 068603 010851 063563 001891 052364 045047 077566 026785 083481 037300 096625 060667 008143 060179 010313 062891 000696 050871 051684 048069 064134 002906 053633 039408 099260 065352 005070 056338 027385 084231 038634 098293 063632 002013 052516 044369 080579 032141 090176 049202 059097 015120 068900 011379 064224 003065 053831 038525 098157 063390 001582 051978 046762 069944 013235 066543 007189 058986 015616 069520 012480 065600 005512 056890 024931 081164 033182 091477 051515 048818 060807 007522





Conclusiones











Corridas NO







Agradecimientos


Referencias









DOI 1022201enesl20078064e20181965822





Notas de autor








36





2179



2179000001





36





2179



2179000001





36





2179



2179000001






36





2179



2179000001




DOI 1022201enesl20078064e20181965822




36





2179



2179000001





36





2179



2179000001





119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451






119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451












119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451



000221 050277 054323 036338 095423 058531 017639 072049 016976 071220 015503 069379 012230 065288 004956 056195 028017 085022 040039 099822 066351 006847 058559 017513 071892 016697 070871 014883 068603 010851 063563 001891 052364 045047 077566 026785 083481 037300 096625 060667 008143 060179 010313 062891 000696 050871 051684 048069 064134 002906 053633 039408 099260 065352 005070 056338 027385 084231 038634 098293 063632 002013 052516 044369 080579 032141 090176 049202 059097 015120 068900 011379 064224 003065 053831 038525 098157 063390 001582 051978 046762 069944 013235 066543 007189 058986 015616 069520 012480 065600 005512 056890 024931 081164 033182 091477 051515 048818 060807 007522





Conclusiones











Corridas NO







Agradecimientos


Referencias









DOI 1022201enesl20078064e20181965822





Notas de autor





DOI 1022201enesl20078064e20181965822




36





2179



2179000001





36





2179



2179000001





119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451






119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451












119886119886 = 12 119887119887 = 2

5 119888119888 = 58 119910119910 119889119889 = 2

3


32873524 305

881 482881 22975

24871 1037524871 13210

24871

1

451



000221 050277 054323 036338 095423 058531 017639 072049 016976 071220 015503 069379 012230 065288 004956 056195 028017 085022 040039 099822 066351 006847 058559 017513 071892 016697 070871 014883 068603 010851 063563 001891 052364 045047 077566 026785 083481 037300 096625 060667 008143 060179 010313 062891 000696 050871 051684 048069 064134 002906 053633 039408 099260 065352 005070 056338 027385 084231 038634 098293 063632 002013 052516 044369 080579 032141 090176 049202 059097 015120 068900 011379 064224 003065 053831 038525 098157 063390 001582 051978 046762 069944 013235 066543 007189 058986 015616 069520 012480 065600 005512 056890 024931 081164 033182 091477 051515 048818 060807 007522





Conclusiones











Corridas NO







Agradecimientos


Referencias









DOI 1022201enesl20078064e20181965822





Notas de autor







Conclusiones











Corridas NO







Agradecimientos


Referencias









DOI 1022201enesl20078064e20181965822





Notas de autor





DOI 1022201enesl20078064e20181965822





Notas de autor



estudio de una familia de funciones de periodo tres y su

Documents