Pendulo Doble

Roberto Carlos Tapia De Leon

8 de Mayo de 2015

Equipo: Emilio Izcoatl Guerrero CruzJaqueline Perez Mota

Profesor: Jorge Amin Seman

Resumen

En esta practica se realizo el analisis sobre un pendulo doble, este se basa en el espacio fase de dosvideos sobre el mismo pendulo tratando repetir las condiciones iniciales , comparamos la separacionde las trayectorias en el espacios fase con su pendulo correspondiente, obtuvimos que la separaciontiene un comportamiento exponencial, asociado a un exponente llamado exponente de Lyapunov el cualconseguimos con un ajuste a los datos concluyendo que el pendulo doble es un sistema caotico.

1. Objetivos

Se estudiara uno de los sistemas dinamicos mas simples que exhiben comportamiento caotico: elpendulo doble.

Observar que los sistemas caoticos presentan es su fuerte dependencia a las condiciones iniciales enla dinamica del pendulo doble.

2. Introduccion

Pendulo doble.

En general, un doble pendulo es un sistema compuesto por dos pendulos, con el segundo colgando delextremo del primero. En el caso mas simple, se trata de dos pendulos simples, con el inferior colgando dela masa pendular del superior.

Normalmente se sobreentiende que nos referimos a un doble pendulo plano, con dos pendulos planos. Estesistema fısico posee dos grados de libertad y exhibe un rico comportamiento dinamico. Su movimientoesta gobernado por dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas. Por encima de cierta energıa, sumovimiento es caotico.

Como se muestra en la siguiente Figura:

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Figura 1: Pendulo Doble.

Un pendulo doble es un pendulo formado por dos pendulos de masas m1 y m2 unidos uno al otro por unhilo de longitud L2, mientras que la masa m1 esta unida a un punto fijo por un hilo de longitud L1. Dichopendulo comienza su movimiento con unos angulos θ1 y θ2

La posicion de cada una de las masas en cada instante de tiempo t, comencemos dando la expresion de lasposiciones de las masas en funcion del angulo que describen para ası poder comenzar con el estudio de lasecuaciones que rigen dicho movimiento y conocen la expresion de su posicion (a traves de su angulo) quetienen en cada instante:

x1 = l1 sin(θ1)

y1 = −l1 cos(θ1)

x2 = x1 + l2 sin(θ2)

y2 = y1 − l2 cos(θ2)

Derivando con respecto al tiempo obtenermos:

x1 = θ1l1 cos(θ1)

y1 = θ1l1 sin(θ1)

x2 = x1 + θ2l2 cos(θ2)

y2 = y1 + θ2l2 sin(θ2)

Derivando una segunda vez respecto al tiempo:

x1 = −θ12l1 sin(θ1) + θ1l1 cos(θ1)

y1 = θ12l1 cos(θ1) + θ1l1 sin(θ1)

x2 = x1 − θ22l2 sin(θ2) + θ2l2 cos(θ2)

y2 = y1 + θ22l2 cos(θ2) + θ2l2 sin(θ2)

Definimos las variables:

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T = tension en la varillaM = Masa del pendulog = aceleracion de la gravedad

Usando la ley de Newton F = ma escribiendo por separado las ecuaciones.

Sobre la masa m1 actuan la tension en la parte superior de la varilla T1, la tension en la parte inferior dela varilla T2.

m1x1 = −T1 sin(θ1) + T2 sin(θ2)

m1y1 = T1 cos(θ1)− T2 cos(θ2)−m1g

Sobre la masa m2, actuan la tension T2 y la gravedad −m2g

m2x2 = −T2 sin(θ2)

m2y2 = T2 cos(θ2)−m2g

A partir de las ecuaciones anteriores, tras realizar numerosas operaciones algebraicas con la finalidad deencontrar las expresiones de θ1, θ2 en terminos de θ1 , θ1 , θ2 , θ2 , llegarıamos a las ecuaciones de movimientopara el pendulo doble:

Para las ultimas dos ecuaciones se puede observar que influye la posicion θ1 y θ2 como θ1 y θ2 dependen deestas variables, tanto θ1 y θ2 cambiaran dramaticamente aunque las condiciones iniciales sean parecidas.

Sistema caotico

Un sistema caotico es aquel que depende fuertemente de las condiciones iniciales, sistemas complejos ysistemas dinamicos muy sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales. Pequenas variaciones endichas condiciones iniciales pueden implicar grandes diferencias en el comportamiento futuro, imposibili-tando la prediccion a largo plazo. Esto sucede aunque estos sistemas son en rigor determinısticos, es decir;su comportamiento puede ser completamente determinado conociendo sus condiciones iniciales. [1]

Los sistemas estables tienden a un punto a lo largo del tiempo o siguen una misma orbita, sus ecuacionescaracterısticas, condiciones iniciales, sus lımites, elementos y relaciones nos permiten conocer su evoluciona traves del tiempo, es decir, sabemos hacia donde lo dirige su atractor.

Los sistemas inestables, en cambio, no se guıan por atractores, se escapan de estos y no tienden haciaun punto.

Los sistemas caoticos, por su parte, manifiestan ambos comportamientos.

En los sistemas caoticos de pueden conocer sus ecuaciones y sus condiciones iniciales fijas, sin embargo lamas mınima variacion provoca una evolucion radical en su comportamiento.

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Uno de los mas citados ejemplos de sistema caotico es el clima atmosferico del cual podemos predecir sucomportamiento y elaborar pronosticos en base a ecuaciones, estudios de su comportamiento pasado y elconocimiento de sus condiciones iniciales, sin embargo no podemos conocer con exactitud los parametrosque fijan sus condiciones iniciales y esto provoca que “aunque se conozca el modelo, este diverja de larealidad pasado un cierto tiempo”. Ası mismo, nuestro pronostico puede verse afectado por variacionesdentro del sistema atmosferico como la actividad humana, actividad volcanica o incluso fuera de este comola actividad solar. [2]

Un sistema debe presentar las siguientes propiedades para ser considerado caotico:

Sensibilidad a las condiciones iniciales

Debe ser transitivo

Sus orbitas periodicas deben formar un conjunto denso en una region compacta del espacio fisico.

3. Sistema experimental

Materiales

Pendulo doble.

Camara rapida.

Trıpode.

Regla.

Monta el sistema ilustrado en la Figura 2. Inicialmente fija las dos barras del pendulo en modo que obtengasun unico pendulo simple (es decir, impon la condicion θ1= θ2). Inclina el pendulo a un cierto angulo θ0(estaes la condicion inicial) y dejalo oscilar por varios periodos. Haz un video utilizando la camara. Repite lamedida una vez mas para una condicion inicial ligeramente diferente(una diferencia de uno o dos gradosen el angulo inicial). Obten la dinamica del pendulo en el espacio fase para ambos videos (esto es, hazun grafico de ω(t) vs θ(t), en donde ω(t)es la velocidad angular del pendulo). Grafica las trayectorias enel espacio fase obtenidas en cada video en el mismo grafico, asegurate de indicar la posicion inicial y laposicion final.

Figura 2: Sistema experimental.

Consideremos ahora el caso, mucho mas interesante, en el que permitimos a ambas barras del pendulo dobleoscilar libremente. Para una determinada condicion inicial suelta al pendulo y dejalo oscilar libremente. Hazun video de la dinamica del sistema. Repite la medida, pero esta vez utilizando la misma condicion inicial(es decir, intenta reproducir lo mejor que puedas la condicion inicial). En este caso, deberas medir comofuncion del tiempo los angulos de cada una de las barras, es decir, θ1(t) y θ2(t), ası como las respectivasvelocidades angulares ω1(t) y ω2(t).

Realiza el espacio fase el analisis realiza dos graficos independientes uno mostrando ω1 vs θ1 y otro mos-trando ω2 vs ω2.

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4. Resultados y discusion

Para esta practica se presentan los graficos realizados en el software SciDAVis.

Pendulo simple:

Grafico de espacio fase, donde las unidades de θ son [Degranes], y las unidades de ω son [Degranes][s] .

Figura 3: Espacio fase del pendulo simple bajo condiciones iniciales similares.

Los puntos azules denotan el inicio y el final de la trayectoria.

Ahora para la separacion de trayectorias de dos pendulos simples se grafica en la Figura 4, esta fue obtenidacon la ecuacion (1).

∆x(t) =√

[θi(t)− θi′(t)]2 + [ωi(t)− ωi′(t)] (1)

Cabe mencionar que para obtener la separacion se tanto θ como ω fueron convertidos a unidades deRadianes.

La grafica de la separacion de trayectorias respecto al tiempo es:

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Figura 4: Separacion de trayectorias de dos pendulos simples bajo condiciones iniciales similares.

Pendulo doble:

Para el pendulo doble se Obtuvo el espacio fase de dos videos con las condiciones iniciales mas parecidasposibles. Para esta practica llamamos al pendulo superior como pendulo 1 y al pendulo inferior comopendulo 2.

Pendulo 1

Grafico de espacio fase, donde las unidades de θ son [Degranes], y las unidades de ω son [Degranes][s] . El

resultado es el siguiente:

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Figura 5: Espacio fase de dos pendulos dobles bajo condiciones iniciales muy similares.

Exponente de Lyapunov para pendulo 1

A finales del siglo XIX, Alexandr Lyapunov demostro que las trayectorias en el espacio fase de un sistemacaotico divergen exponencialmente con el paso del tiempo de acuerdo a la expresion (2).

∆x(t) ∼ ∆x0eλt (2)

Donde el exponente λ es conocido como exponente de Lyapunov, ∆x0 es la separacion inicial de lastrayectorias en el espacio fase y ∆x(t) es la separacion de estas depues de un tiempo (t).

De la ecuacion (2) Se puede obtener.

Ln(∆x(t)) ∼ Ln(∆x0eλt)

Reduciendo la ecuacion anterior queda:

Ln(∆x(t)) ∼ λt+ Ln(∆x0) (3)

La expresion (3) es de la forma y = ax + b entonces si se puede hacer un ajuste de recta para conocer elvalor de λ.

Se obtiene que∆x0 = 0.008

La separacion de trayectorias en el espacio fase para el pendulo 1 de ambos videos esta dado nuevamentepor la ecuacion (1), Si realizamos la grafica de la separacion con respecto al tiempo que transcurre yhacemos un ajuste de recta a la forma de la ecuacion (3) obtenemos:

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Figura 6: Separacion de trayectorias desde el analisis de la ecuacion (3).

Pero si queremos ver el ajuste de una curva de la forma de la ecuacion (2) queda:

Figura 7: Separacion de trayectorias desde el analisis de la ecuacion (2).

Nota: Nuevamente para obtener la separacion se tanto θ como ω fueron convertidos a unidades de Radianes.

El resultado de λ para el pendulo 1 es el mismo para ambos ajustes, teniendo como condicion de que elajuste pase por la separacion inicial forzosamente.

λ = 1.020± 0.020

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Pendulo 2

La grafica del espacio fase, donde las unidades de θ son [Degranes], y las unidades de ω son [Degranes][s] . El

resultado es el siguiente:

Figura 8: Espacio fase de dos pendulos dobles bajo condiciones iniciales muy similares.

Exponente de Lyapunov para pendulo 2

Haciendo el mismo analisis hecho para el pendulo 1 obtenemos que la separacion inicial es:

∆x0 = 0.022

Si realizamos la grafica de la separacion con respecto al tiempo que transcurre y hacemos un ajuste derecta a la forma de la ecuacion (3) obtenemos:

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Figura 9: Separacion de trayectorias desde el analisis de la ecuacion (3).

Pero si queremos ver el ajuste de una curva de la forma de la ecuacion (2) queda:

Figura 10: Separacion de trayectorias desde el analisis de la ecuacion (2).

El resultado de λ para el pendulo 2 es el mismo para ambos ajustes, teniendo como condicion de que elajuste pase por la separacion inicial forzosamente.

λ = 0.950± 0.020

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Discusion de resultados

Pendulo simple

¿Es este sistema sensible a las condiciones iniciales? En otras palabras, ¿las trayectorias en el espaciofase comienzan a separarse y divergir conforme el sistema evoluciona o se mantienen juntas sin aumentarnotablemente su separacion?

Los resultados obtenidos son buenos y podemos decir que no se comporta como un sistema caotico ya quecon base a la introduccion ya que no muestra sensibilidad a las condiciones iniciales. y queda visto en lagrafica de la Figura 4, ya que su separacion de trayectorias en el espacio fase esta acotada y se mantienenjuntas sin aumentar notablemente su separacion.

Pendulo doble

¿Muestra este sistema alta sensibilidad a las condiciones iniciales? Explica.

El pendulo doble es un sistema que se comporta como un sistema caotico ya que cumple sensibilidad acondiciones iniciales, esto tambien se puede ver en la Figura 7 y 10 donde la separacion en el espacio fasecrece de una manera exponencial, aun cuando se trato de asimilar las condiciones iniciales.

Con respecto a las incertidumbres sobre la separacion de trayectorias esta es proporcional a la separacion detrayectorias, ya que al revisar la ecuacion (2) al realizar la derivada parcial, obtendrıamos la incertidumbre:

δ∆x(t) ∼ ∆x0eλtλδt+ eλtδ∆x0 + ∆x0e

λttδλ (4)

Esta claramente aumenta conforme la separacion se hace mas pronunciada, entonces si eso pasa observemoslas graficas donde se hace el ajuste en la Figura 10 como en la Figura 7, las incertidumbres para cada puntodonde la separacion crece demasiado, hace que nuestro ajuste no este mal sino que entra en el rango dondelas las incertidumbres pueden cubrir el ajuste de recta, ya que como se ve en la ecuacion (4) la incertidumbrees proporcional a la separacion y al tiempo lo cual hace que la incertidumbre crece de manera exponencial.

¿Existe alguna manera practica de hacer que las dos trayectorias de nuestro pendulo doble sean iguales (oal menos similares) como ocurrio en el caso del pendulo simple? En otras palabras, ¿es posible hacer quenuestro experimento sea reproducible?

No, ya que si el pendulo doble es un sistema caotico, las condiciones iniciales deben ser muy exactas deun orden demasiado bajo, eso incluye instrumentos no practicos, por otra parte suponiendo que logramosigualar la condicion inicial, es muy difıcil igualar las condiciones externas como el coeficiente del aire, fuerzagravitacional , y todos aquellos factores que alteren el sistema.

¿Que relacion existe entre el pendulo doble y nuestra incapacidad de predecir el clima?

En las condiciones iniciales con las que se comparan, ya que se busca al tener datos climaticos iniciales, elcomportamiento del sistema del clima tiende a variar por diversos factores, esto provoca que el compor-tamiento o las predicciones sean complicadas, pero con un analisis comparado al de un pendulo doble esposible predecir la probabilidad del clima, en esto influye demasiado la incertidumbre con que se miden lascondiciones iniciales.

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5. Conclusiones

El pendulo simple no es caotico a diferencia del pendulo doble, debido a que este ultimo es sensiblea las condiciones iniciales.

La separacion de las trayectorias en el espacio fase de un pendulo simple no varia demasiado y semantiene en acotado, bajo condiciones iniciales similares.

La separacion de las trayectorias en el espacio fase de un pendulo doble varia exponencialmente, auncuando se trata de asimilar las condiciones iniciales esto lo convierte en un sistema caotico.

El exponente de Lyapunov obtenido para el pendulo 1 y el pendulo 2 es de λ = 1.02 ± 0.02 yλ = 0.95± 0.02 respectivamente.

Referencias

[1] http://es.wikipedia.org/wiki/Teor

[2] https://shreich.wordpress.com/2009/10/05/la-teoria-del-caos-definicion-y-ejemplo/

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