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“ESTUDIO DE LA APLICACIÓN DE LA HERRAMIENTA COMPUTACIONAL EES PARA LA TRANSFERENCIA DE CALOR O DE MASA EN ESTADO

TRANSITORIO”

“STUDY OF THE APPLICATION OF THE EES COMPUTATIONAL TOOL TO HEAT OR MASS TANSFER IN TRANSIENT STATE”

RAMIRO BETANCOURT GRAJALES

Ing. Químico

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES

FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA

2016

“ESTUDIO DE LA APLICACIÓN DE LA HERRAMIENTA COMPUTACIONAL EES PARA LA TRANSFERENCIA DE CALOR O DE MASA EN ESTADO

TRANSITORIO”

“STUDY OF THE APPLICATION OF THE EES COMPUTATIONAL TOOL TO HEAT OR MASS TANSFER IN TRANSIENT STATE”

RAMIRO BETANCOURT GRAJALES

Ing. Químico

Tesis de Maestría elaborada como requisito parcial para optar al título de: Magister en Ingeniería Química

Supervisión: Ingeniero Químico, MSc, PhD.

CARLOS ARIEL CARDONA ALZATE

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES

FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA

2016

RESUMEN

En este trabajo se estudian de forma didáctica a nivel analítico, numérico y computacional

varios casos de transferencia de calor y/o masa en estado transitorio. A tal efecto se usa el

método de separación de variables y el método de transformada de Laplace para el estudio

analítico, el método de diferencias finitas usando las técnicas explícitas o de Euler, la

totalmente implícita, la de Crank Nicolson y/o la de líneas para el estudio numérico y el

software Engineering Equation Solver (EES) para los cálculos surgidos de los pasos

anteriores. Se espera que este trabajo sirva de guía para que el software sea utilizado por

estudiantes de pre y posgrado en la solución de problemas de ingeniería.

PALABRAS CLAVE: Fenómenos de transporte, transferencia de calor, transferencia de

masa, diferencias finitas, problema de Sturm Liouville, series de Fourier, valores propios,

ecuaciones diferenciales parciales (PDE), estado transitorio.

ABSTRACT

This paper presents in a didactical way, the analytical, numerical and computational analysis

of a several cases of mass and/or heat transfer in transient state. The variable separation

method and Laplace transform method are used for the analytical study, and the finite

difference method using the Euler´sexplicit, the fully implicit, the Crank Nicolson and /or the

linea's technics, for the numerical study. All the calculations arising from the previous steps

are performed with the Engineering Equation Solver (EES), fchart software.

This work is expected to serve as a guide for the software to be used by undergraduate and

graduate students in solving engineering problems.

Keywords: Transport phenomena, Heat transport, Mass Transport, Finite difference

equations, Stourm Louiville problem, Fourier series, eigenvalues, Partial differential

equations.

AGRADECIMIENTOS A mi tutor Carlos Ariel Cardona por su respaldo irrestricto. A cada uno de los compañeros

de la maestría por su acogida y colaboración.

A la Universidad Nacional y el Instituto de Biotecnología y Agroindustria, a la Dirección de

Investigación Manizales (DIMA) y a la Dirección de Investigación y Extensión de la FIA de la

Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales por su apoyo en mis viajes con

ponencias.

PRODUCCIÓN

Artículo: CARLOS ANDRES GARCIA VELASQUEZ, RAMIRO BETANCOURT GRAJALES,

CARLOS ARIEL CARDONA ALZATE, "Stand-alone and biorefinery pathways to produce

hydrogen through gasification and dark fermentation using Pinus Patula" . En: Estados

Unidos, Journal Of Environmental Management ISSN: 0301-4797 ed: ,v.N/A fasc. p.1 – 9,

2016.

Capítulo de Libro: JONATHAN MONCADA BOTERO, VALENTINA HERNANDEZ

PIEDRAHITA, YESSICA CHACON PEREZ, RAMIRO BETANCOURT GRAJALES,

CARLOS ARIEL CARDONA ALZATE, "Citrus Based Biorefineries" Citrus Fruits: Production,

Consumption and Health Benefits . En: Estados Unidos ISBN: 978-1-63484-078-1 ed:

NOVA Publications , v. ,2016.

Participación en eventos

4th International Conference on Sustainable Solid Waste CYPRUS 2016. Tipo de evento:

Congreso. Ámbito: Internacional. Realizado del: 2016-06-23, 2016-06-25 en Chipre,

Limassol:

Ponencia: C. Andrés García, Á. Gómez Peña, R. Betancourt G., C. Ariel Cardona Alzate.

Environmental comparison of thermochemical and biochemical ways for producing energy

from agricultural solid residues: The cut coffee stems case.

10th European Congress of Chemical Engineering. Tipo de evento: Congreso. Ámbito:

Internacional. Realizado el: 2015-09-27, 2015-10-01 en Nice, France:

Ponencia: R. Betancourt, C. Andrés García, C. Ariel Cardona Alzate. Supercritical assisted

pretreatment of biomass. Modeling and experimental Assessment.

Poster: Daza Serna L.V, Betancourt Grajales R, Idárraga Velez A., Cardona Alzate C.A.

Study of transient heat transfer using a problem based learning methodology. Tipo de

producto: Demás trabajos.

XXVIII Congreso Interamericano de Ingeniería Química. Tipo de Evento: Congreso. Ámbito:

Internacional. Realizado el: 2016-10-10, 2016-10-12 en Cusco, Perú:

Ponencia: R. Betancourt, C. Andrés García, L. V. Daza, C. Ariel Cardona Alzate.

Enseñando Fenómenos de Transporte en en Estado Transitorio con ayuda de un Software.

Tipo de producto: Demás trabajos.

TABLA DE CONTENIDO

RESUMEN............................................................................................................................. 3

ABSTRACT ........................................................................................................................... 4

AGRADECIMIENTOS ........................................................................................................... 5

PRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 6

TABLA DE CONTENIDO ...................................................................................................... 7

TABLA DE CONTENIDO DE FIGURAS ............................................................................. 10

TABLA DE CONTENIDO DE TABLAS ............................................................................... 12

NOMENCLATURA .............................................................................................................. 13

INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 16

OBJETIVOS ........................................................................................................................ 20

OBJETIVO GENERAL ........................................................................................................ 20

OBJETIVOS ESPECÍFICOS ............................................................................................... 20

Capítulo 1 . SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME ..................................... 21

SISTEMAS SIMÉTRICOS O INFINITOS CONDICIÓN INICIAL UNIFORME ................... 21

1. Solución general por separación de variables ..................................................... 25

1.1 Simetría Cartesiana ...................................................................................... 29

1.1.1 Una cara aislada, una cara convectiva .................................................... 29

1.1.2 Resistencia superficial despreciable, Bi > 40 ........................................... 40

1.2 Simetría Esférica ................................................................................................ 72

1.2.1 Esfera con temperatura inicial constante y superficie convectiva .............. 72

1.2.2 Resistencia despreciable en la superficie 40Bi ...................................... 79

1.3 Simetría Cilíndrica .............................................................................................. 85

1.3.1 Cilindro sólido con convección .................................................................... 85

1.3.2 Cilindro largo en estado transitorio, 40Bi ............................................... 95

1.4 El sólido semi – infinito .................................................................................... 100

1.4.1 Caso (i): Temperatura constante en la pared (condición de Dirichlet)..... 102

1.4.2 Caso (ii): Flujo constante sq en la superficie (condición de Newmann) . 108

1.4.3 Caso (iii): Convección en la superficie (Condición de Robin): ................. 110

1.4.4 Dos sólidos semiinfinitos en contacto ....................................................... 112

1.5 Sólidos compuestos ......................................................................................... 115

1.6 Resumen de Conducción Transitoria .............................................................. 121

1.6.1 Resistencia convectiva pequeña, es decir 40Bi ................................... 124

1.6.2 Para 0.1 40Bi ..................................................................................... 125

1.6.3 Sistemas con baja resistencia interna 0.1Bi ....................................... 126

NOTAS CAPÍTULO 1: CÓDIGOS DE PROGRAMACIÓN ............................................... 145

Capítulo 2 . SISTEMAS CON CONDICION INICIAL NO UNIFORME ............................ 161

SISTEMAS ASIMETRICOS O CON CONDICION INICIAL NO UNIFORME .................. 161

2.1 Placa transitoria condición inicial no uniforme y la superficie 1 aislada ......... 161

2.1.1 Superficie 2 convectiva, coeficiente convectivo constante ...................... 161

2.1.2 Solución por métodos numéricos, coeficiente convectivo variable .......... 171

2.1.3 Resistencia convectiva despreciable Bi > 40 ........................................... 176

SISTEMAS ASIMÉTRICOS .............................................................................................. 182

2.2 Transporte de calor en estado transitorio a través de una placa plana. Temperaturas diferentes en ambos lados. Coeficientes convectivos iguales. ..... 184

2.3 Placa plana con coeficientes diferentes en ambas superficies....................... 197

2.4 Temperaturas y coeficientes diferentes........................................................... 202

2.4.1 Solución para resistencia convectiva despreciable: Bi > 40. ................... 206

TRANSPORTE DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO A TRAVÉS DE UNA PLACA PLANA CON TEMPERATURAS DIFERENTE EN SUS SUPERFICIES. TEMPERATURA INICIAL UNIFORME. ............................................................. 206

TRANSPORTE DE MASA Y/O CANTIDAD DE MOVIMIENTO ...................................... 216

2.5 Sistemas semiinfinitos ..................................................................................... 220

2.5.1 Gráficos secuenciales ............................................................................... 221

NOTAS CAPÍTULO 2. CÓDIGOS DE PROGRAMACIÓN ............................................... 224

Capítulo 3 . SISTEMAS CON GENERACIÓN .................................................................. 252

SISTEMAS CON GENERACIÓN Y CONDICIÓN INICIAL NO HOMOGÉNEA .............. 252

3.1 Placa plana ....................................................................................................... 252

3.2 Difusión con reacción química homogénea régimen no estacionario ............ 265

3.3 Conducción en una aleta en el periodo transitorio .......................................... 272

3.4 Transferencia de calor en estado transitorio con generacion, simetria esferica ................................................................................................................................ 278

NOTAS CAPÍTULO 3. CÓDIGOS DE PROGRAMACIÓN ............................................... 286

Capítulo 4 . MÉTODOS NUMÉRICOS EN PROCESOS NO ESTABLES ....................... 302

METODO DE DIFERENCIAS FINITAS ............................................................................ 302

Exactitud, convergencia y estabilidad............................................................................... 304

Ecuaciones ........................................................................................................................ 305

4.1 Simetría Cartesiana: Placa plana .................................................................... 307

4.1.1 Método de líneas ....................................................................................... 308

4.1.2 Método Explícito ........................................................................................ 309

4.1.3 Método completamente implícito .............................................................. 311

4.1.4 Método de Crank Nicolson ........................................................................ 312

4.2 Flujo constante en la pared nodo izquierdo (0). Generación uniforme dentro del sólido ...................................................................................................................... 313

4.2.1 Método Explícito (por unidad de área) ...................................................... 313

4.2.2 Implícito (por unidad de área) ................................................................... 314


4.3 Simetría esférica .............................................................................................. 315


4.3.2 Método Implícito ........................................................................................ 316


4.4 Simetría cilíndrica ............................................................................................. 318


4.4.2 Método Implícito ........................................................................................ 320


4.4.4 Método de líneas ....................................................................................... 321

NOTAS CAPITULO 4: CÓDIGOS DE PROGRAMACIÓN ............................................... 323

CONCLUSIONES.............................................................................................................. 331

RECOMENDACIONES ..................................................................................................... 332

ANEXOS ............................................................................................................................ 333

GUIA BREVE AL USO DEL SOFTWARE EES ................................................................ 345

PALABRAS DELJURADO ................................................................................................ 368

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 370

TABLA DE CONTENIDO DE FIGURAS Figura 1.1. Transferencia de calor en estado transitorio unidimensional para placa plana, cilindro largo y esfera. ............................................................................................................. 26 Figura 1.2. Placa plana, cara aislada, cara convectiva ......................................................... 30

Figura 1.3. Función sin cos para 1 y 5F Bi Bi Bi ............................................. 36

Figura 1.4. Ej 1.1: Placa plana de acero inoxidable ............................................................... 39 Figura 1.5. Distribución de temperaturas en la placa ............................................................ 40 Figura 1.6. Placa plana, difusión unidimensional en estado transitorio ................................ 46 Figura 1.7. Ej 1.3: Conducto vertical ...................................................................................... 55 Figura 1.8. Solución gráfica, aproximación a un término variando Fo .................................. 58 Figura 1.9. Solución gráfica a 1 y 10 términos métodos separación de variables y transformada de Laplace ........................................................................................................ 59 Figura 1.10. Solución gráfica a 1 sólo término por los métodos separación de variables y transformada de Laplace y a 20 términos usando EES ........................................................ 63 Figura 1.11. Ej 1.4: Estanque solar ........................................................................................ 63 Figura 1.12. Geometría esférica ............................................................................................. 75

Figura 1.13. Solución gráfica *cos 1 * para 1y Bi sen Bi ......................... 76

Figura 1.14. Perfil de temperaturas en la esfera en dos tiempos diferentes ......................... 78 Figura 1.15. Fourier crítico esferas ........................................................................................ 78 Figura 1.16. Cilindro largo con convección ............................................................................ 85 Figura 1.17. Primeros cinco valores propios de la ecuación (1.62) para 1 y 10Bi ........... 92

Figura 1.18. Perfil de temperaturas ........................................................................................ 95 Figura 1.19. Distribución de temperaturas en un sólido semi-infinito para tres condiciones superficiales: Temperatura constante en la superficie, flujo constante de calor en la superficie, y convección superficial ...................................................................................... 100 Figura 1.20. Perfiles de temperatura para dos tiempos pequeños ...................................... 101 Figura 1.21. Similitud de los perfiles luego de la transformación ........................................ 102 Figura 1.22. Contacto interfacial entre dos sólidos semi - infinitos a diferentes temperaturas iniciales ................................................................................................................................. 113 Figura 1.23. Paralelepípedo infinito de sección ................................................................... 115 Figura 1.24. Barra rectangular infinita .................................................................................. 117 Figura 1.25. Extremo de un cilindro semi-infinito ................................................................. 119 Figura 1.26. Perfil de temperaturas a 15 cm del extremo de la barra cilíndrica .................. 120 Figura 1.27. Ej 1.13: Lata de gaseosa ................................................................................. 121 Figura 1.28. Esfera con película dieléctrica ......................................................................... 128 Figura 1.29. Placa de aluminio ............................................................................................. 130 Figura 1.30. Ej 1.19: Tanque de líquido ............................................................................... 137 Figura 1.31. Ej 1.23: Tanques en serie ................................................................................ 141 Figura 2.1. Pared de ladrillo ................................................................................................. 162 Figura 2.2. Placa plana con una superficie aislada y otra convectiva ................................. 162 Figura 2.3. Distribución inicial y perfil de temperatura ......................................................... 168 Figura 2.4. Temperatura del centro contra el tiempo de simulación en centésimos de hora................................................................................................................................................ 170 Figura 2.5. Perfil de temperatura en cada nodo................................................................... 170 Figura 2.6. Perfil de temperatura en diferentes tiempos ...................................................... 171 Figura 2.7. Placa plana sin generación en estado inestable ............................................... 172 Figura 2.8. Perfil de temperatura placa ................................................................................ 175

Figura 2.9. Distribución de temperatura con h variable, método implícito .......................... 175 Figura 2.10. Ejemplo 2.2 ....................................................................................................... 176 Figura 2.11. Distribución de temperatura en el sólido ......................................................... 180 Figura 2.12. Distribución de temperatura en el sólido usando EES .................................... 182 Figura 2.13. Placa plana con h igual y temperatura diferente en ambos lados .................. 185 Figura 2.14. Ej 2.3: Nodos de la placa plana ....................................................................... 192 Figura 2.15. Perfil de temperatura métodos explícito, implícito, Crank Nicolson y analítico............................................................................................................................................... 195 Figura 2.16. Perfil de temperatura placa cada 5 min por método analítico y Crank Nicolson............................................................................................................................................... 196 Figura 2.17. Perfil de temperatura a lo largo de la placa plana ........................................... 202 Figura 2.18. Nodos pared de ladrillo .................................................................................... 203 Figura 2.19. Perfil de temperatura con coeficiente convectivo variable .............................. 204 Figura 2.20. Perfil de temperatura a las 27 horas ................................................................ 205 Figura 2.21. Zoom del perfil de temperatura a las 27 horas ................................................ 205 Figura 2.22. Perfiles de temperatura en una placa plana asimétrica transitoria ................. 207 Figura 2.23. Temperatura adimensional en una placa de espesor L .................................. 210 Figura 2.24. Difusión transitoria de Helio en un tubo ........................................................... 217 Figura 2.25. Perfil de concentraciones para la difusión transitoria de Helio en un tubo ..... 218 Figura 2.26. Concentración de placa asimétrica .................................................................. 219 Figura 2.27. Ej 2.7: Membrana porosa ................................................................................. 220 Figura 2.28. Perfil de concentración ..................................................................................... 221 Figura 2.29. Perfil de concentración con el tiempo .............................................................. 222 Figura 2.30. Perfil de temperatura ........................................................................................ 223 Figura 3.1. Placa plana con generación en estado inestable .............................................. 252 Figura 3.2. Solución analítica de la placa con generación .................................................. 264 Figura 3.3. Solución numérica (Crank Nicolson) de la placa con generación ..................... 264 Figura 3.4. Perfil de concentración sistema semi-infinito .................................................... 272 Figura 3.5. Ej 3.5: Nodos varilla de acero ............................................................................ 275 Figura 3.6. Perfil de temperatura método analítico .............................................................. 276 Figura 3.7. Perfil de temperatura método implícito .............................................................. 277 Figura 3.8. Distribución de temperatura de la manzana a diferentes tiempos .................... 283 Figura 3.9. Distribución de temperatura en la manzana (esfera con generación) a según el r* ............................................................................................................................................ 284 Figura 3.10. Perfil de temperatura método Crank Nicolson ................................................. 285 Figura 4.1. Distribución de nodos ......................................................................................... 304 Figura 4.2. Simetría esférica ................................................................................................ 315 Figura 4.3. Coordenadas esféricas ...................................................................................... 315 Figura 4.4. Simetría cilíndrica ............................................................................................... 318 Figura 4.5. Coordenadas cilíndricas ..................................................................................... 319

TABLA DE CONTENIDO DE TABLAS

Tabla 1.1. Propiedades de la Transformada de Laplace ....................................................... 44 Tabla 1.2. Primeros 5 términos de la sumatoria usando EES ............................................... 57 Tabla 1.3. Primeros 5 términos de la sumatoria método transformada de Laplace ............. 57 Tabla 1.4. Valores obtenidos métodos separación variables y transformada de Laplace a 1 y 10 términos ............................................................................................................................. 59 Tabla 1.5. Valores obtenidos zona crítica métodos separación de variables y transformada de Laplace a 1 y 10 términos ................................................................................................. 59 Tabla 1.6. Valores de Fo a diferentes Bi ................................................................................ 60 Tabla 1.7. Valores obtenidos de temperatura por cada uno de los métodos ........................ 62 Tabla 1.8. Términos de las sumatorias .................................................................................. 65 Tabla 1.9. Valores obtenidos .................................................................................................. 77 Tabla 1.10. Resultados para la esfera ................................................................................... 77 Tabla 1.11. Valores obtenidos para partículas esféricas de alúmina .................................... 84 Tabla 1.12. Valores obtenidos para la barra larga de madera .............................................. 94 Tabla 1.13. Valores de las raíces de 0)( xJ p

...................................................................... 97

Tabla 1.14. Valores obtenidos para el rodillo de roble........................................................... 99 Tabla 1.15. Expresiones para la función característica, valores propios, coeficientes Cn y Dn para cada geometría ....................................................................................................... 124 Tabla 1.16. Expresiones para la función característica, valores propios, Fo crítico y primer valor propio de cada ecuación trascendental para el mín y máx valor de Bi según cada una de las geometrías ................................................................................................................. 125 Tabla 2.1. Arreglo obtenido para placa plana con una superficie aislada y otra convectiva............................................................................................................................................... 167 Tabla 2.2. Tabla paramétrica de T vs posición .................................................................... 168 Tabla 2.3. Valores obtenidos para una simulación de 46 horas .......................................... 169 Tabla 2.4. Tabla paramétrica para generar la Figura 2.6 .................................................... 171 Tabla 2.5. Temperatura en cada nodo ................................................................................. 174 Tabla 2.6. Temperatura y tiempo en cada nodo, solución analítica .................................... 179 Tabla 2.7. Distribuciones de temperatura por nodo ............................................................. 181 Tabla 2.8. Comprobación eficiencia del sistema en función de Fo ..................................... 182 Tabla 2.9. Distribución de temperatura método explícito ................................................... 194 Tabla 2.10. Distribución de temperatura, método implícito ................................................. 194 Tabla 2.11. Distribución de temperatura, método Crank Nicolson ...................................... 194 Tabla 2.12. Fracción Molar yA como función de la distancia z ............................................ 218 Tabla 2.13. Resultados método analítico y diferentes técnicas en diferencias finitas ........ 219 Tabla 3.1. Temperatura del elemento combustible del reactor nuclear a diferente longitud y usando diferente ecuación.................................................................................................... 260 Tabla 3.2. Distribución de temperaturas con la solución numérica ..................................... 263 Tabla 3.3. Valores a diferentes tiempos ............................................................................... 265 Tabla 3.4. Datos necesarios para generar la Figura 3.4 ..................................................... 272 Tabla 3.5. Resultados T[i;j] ................................................................................................... 276 Tabla 3.6. Distribución de T con el método implícito ........................................................... 277 Tabla 4.1. Escalas de tiempo para diferentes mecanismos de transporte.......................... 309

NOMENCLATURA UNIDADES GENERALIZADAS: E = energía; L = longitud; M = masa; t = tiempo; T = temperatura LETRAS A Especie química

Az Superficie perpendicular a z [L2] B Especie química

Bi Número deBiot, /hL k ó /hR k

Ci Coeficiente del i-ésimo término en una serie de Fourier CP Capacidad calorífica a presión constante [E/M.T] CV Capacidad calorífica a volumen constante [E/M.T] c Concentración molar total [moles/L3] ci Concentración molar de la especie i [moles/L3] D Diámetro [L] Deq Diámetro equivalente [L]

efD Difusividad efectiva 2[ / ]L t

ijD Coeficiente de difusión de i en j 2[ / ]L t

Eb Potencia emisiva [E/L2] f Factor de fricción, adimensional Fo Número de Fourier, tiempo adimensional

g Aceleración de la gravedad 2[ / ]L t ; gramo

G Potencial químico Gr Numero de Grashoff, adimensional

h Coeficiente de transferencia de Calor 2[ / ]E L t T ; constante de

Planck hR Humedad relativa H Constante de la ley de Henry [presión/fracción molar] i Corriente eléctrica [amperios]

nI x Función de Bessel modificada de primera clase y orden n del

argumento x J Densidad de flujo molar [moles/t.L2] j Densidad de flujo másico [M/t.L2]

nJ x Función de Bessel de primera clase y orden n del argumento x.

k kB constante de Boltzmann [E/T] k Coeficientes de transferencia de masa [L/t] kG Coeficiente de transferencia de masa [moles/t.L2.presión] kx,y Coeficientes de transferencia de masa, [moles/t.L2.fracción molar] k’ Constante para reacción de primer orden K Kelvin; Coeficiente global de transferencia de masa

nK x Función de Bessel modificada de segunda clase y orden n del

argumento x L Altura de una aleta; longitud [L]; espesor de una placa Le Numero de Lewis, /Dij =Sc/Pr (adimensional)

m Caudal molar [moles/t] m’ Caudal másico [M/t] Mi Peso molecular de i [M/mol] ni Densidad de flujo másico de la especie i [M/t.L2] Ni Densidad de flujo molar de la especie i [moles/t.L2] Nu Numero de Nusselt (adimensional) P Presión total [M/L.t2]; perímetro [L]

iP Presión parcial de i [M/L.t2]

Pe Numero de Peclet, Re.Pr ó Re.Sc (adimensional)

Pr Numero de Prandtl, / , adimensional.

Q’ Caudal volumétrico [L3/t] Q Flujo de energía [E/t]

q Densidad de flujo de energía 2[ / ]E t L

r Coordenada radial [L] r* Posición radial, adimensional R Radio de cilindro o de esfera

Constante universal de los gases

Re Numero de Reynolds, adimensional

iS Superficie perpendicular a dirección i

Sc Numero de Schmidt, / ijD , adimensional

Sh Numero de Sherwood, coeficiente adimensional de transferencia de masa t Espesor aleta

U Coeficiente global de transferencia de calor 2[ / ]E L t T ; momento

dipolar V Velocidad

V Volumen

xC Longitud crítica xi,yi Fracción molar de la especie i Xi,Yi Relación molar de la especie i x, y, z coordenadas cartesianas z* Coordenada adimensional

nY x Función de Bessel de segunda clase de orden n del argumento x

w Ancho aleta wi Fracción másica de la especie i Wi Relación másica de la especie i LETRAS GRIEGAS

Difusividad térmica 2[ / ]L t

Coeficiente de expansión térmica [T ]; Difusividad generalizada

2[ / ]L t

Coeficiente de “expansión másica” 3[ / ]L M

Espesor [L]

Diferencia Emisividad, fracción de vacío, parámetro de Lennard – Jonnes;

eficacia

n Valor propio

eficiencia; parámetro adimensional

Temperartura adimensional

Trayectoria libre media, longitud de onda [L]

n Valor propio

Viscosidad [M/L.t]

Viscosidad cinemática o difusividad de impulso, / , 2[ / ]L t

i Concentración másica volumétrica de i [M/L3]

densidad [M/L3]

e Resistividad eléctrica [ ]m

tensión superficial 2[ / ]M t ; parámetro de Lennard Jonnes [L];

constante de Stefan – Botzmann 42[ / ]E t L T

Tiempo adimensional

ij Flujo de cantidad de movimiento j en la dirección i o esfuerzo cortante

actuando en la dirección j sobre un área perpendicular a i [M/L.t2]

Término de generación

Concentración generalizada

Integral de colisión; ohmio

16

INTRODUCCIÓN

Para analizar un problema del mundo real de manera científica se debe modelar

matemáticamente a través de conceptos básicos. Estos conceptos son la conservación de

las especies químicas, la conservación de la materia, la conservación de la cantidad de

movimiento y la conservación de la energía. Para cada una de estas entidades que se

conservan se puede escribir un balance de flujos que describa la transformación de las

mismas. Este balance se expresa en forma matemática, tanto a nivel macroscópico como

microscópico. La desigualdad entrópica también es un concepto básico, pero

esencialmente indica si un proceso es factible o no y no es base de una ecuación de

balance.

Para simular un fenómeno físico tal como flujo de fluidos, transferencia de calor,

transferencia de masa, los principios de conservación se expresan en términos de

ecuaciones diferenciales parciales. Estas ecuaciones se conocen como ecuaciones de

conservación.

Estas ecuaciones las vamos a desarrollar en términos de “concentraciones” es decir, la

entidad conservada por unidad de volumen. Por ejemplo, la ecuación de cantidad de

movimiento que expresa la conservación de la cantidad de movimiento lineal en términos

de la cantidad de movimiento por unidad de volumen es decir densidad por velocidad V .

La ecuación para la conservación de la energía expresa la conservación de la energía por

unidad de volumen, densidad por capacidad calorífica por temperatura TCP . La

conservación de las especies químicas será indicada por concentraciones másicas, por

ejemplo, densidad por fracción másica A Aw , o concentraciones molares A Ac cx .

Esta concentración de cualquiera de las tres entidades la representaremos por .

Usaremos un volumen de control de aristas x y z como se muestra en la figura.

Ahora vamos a expresar la variación de en el volumen de control x y z en el tiempo

t . El principio de conservación establece que:

La acumulación de con el tiempo en el volumen de control es igual a la entrada neta de

al volumen de control más la generación neta de dentro del volumen de control.

La acumulación de en el volumen de control en el tiempo t está dado por

ttt VV ,

aquí V = x y z el volumen del elemento de control y t es el tiempo.

17

La generación neta de al interior del elemento de volumen en el tiempo t viene dada

por tV , aquí es la generación de por unidad de volumen, conocido también

como término de manantial. Consideremos ahora el término restante, la entrada neta de al volumen de control.

Llamemos x la densidad de flujo de que entra al volumen de control a través de la

cara ubicada en x y x x la densidad de flujo de saliendo por la cara en x x .

Corrientes similares existen en las direcciones y y z . La entrada neta de en el volumen

de control durante el tiempo t es

x x x y y y z z zy z t x z t x y t .

Todavía no se ha dicho por qué mecanismo físico se produce la entrada y salida de . Para los fenómenos

que estudiamos se transporta por dos mecanismos primarios: difusión, debida a movimientos moleculares y convección debida al movimiento del fluido. La densidad de flujo difusivo se escribe

xdifx

,

aquí es una propiedad del sistema, una difusividad, con dimensiones de

2longitud.

tiempo

La densidad de flujo convectivo se escribe

xconv xV .

Teniendo presente que x xx conv dif y que expresiones similares se escriben para las

direcciones y y z , ordenando términos y dividiendo por tzyx , el balance es:

y y yx x x z z zt t t

t x y z

.

z z

y y

x x

z

x

18

Tomando el límite cuando 0 , , , tzyx se obtiene

yx z

t x y z

,

escrito de manera abreviada este balance generalizado toma la forma:

/ t .

La aplicación del operador a un vector se llama la divergencia de ese vector, o más

simplemente el producto punto y el resultado es un escalar. Recordamos que el gradiente (un vector por un escalar) da un vector. El operador tiene la ventaja adicional de que

puede ser expresado en coordenadas curvilíneas. Esto será de gran ayuda cuando las ecuaciones de balance deban ser expresadas en sistemas coordenados alternos. Esto es posible ya que una ecuación vectorial escrita en notación vectorial se aplica a todos los sistemas coordenados. O sea que una ecuación escrita en notación vectorial puede transformarse a cualquier sistema coordenado. Reemplazando la densidad de flujo como la suma de términos moleculares y convectivos, para el problema tridimensional, la ecuación vectorial correspondiente es la divergencia de la densidad de flujo, así:

dif conv V .

Incluyendo esta expresión en el balance generalizado, obtenemos:

Vt

.

BALANCE GENERALIZADO PARA FLUIDO INCOMPRESIBLE Y PROPIEDADES DE TRANSPORTE CONSTANTES En este caso el balance anterior, se simplifica así: Para difusividad constante e isotrópica, nos aparece al lado derecho el término

. El producto punto operando sobre un escalar ocurre tan frecuentemente

que se le ha dado un símbolo especial 2 , y un nombre especial, el de operador

Laplaciano. De otra parte, el término que incluye la velocidad se analiza de la siguiente manera:

V V V .

19

Un balance global de materia, donde no habrá término de generación (la masa ni se crea ni se destruye a no ser en reacciones nucleares), ni gradientes, por lo que es la densidad

del sistema masa total por unidad de volumen,

0V V Vt t

,

es denominada la ecuación de continuidad. Claramente si la densidad es constante, se

concluye que:

0V .

Teniendo los análisis anteriores en cuenta, el balance toma la forma:

2Vt

.

En sistemas de conducción en sólidos, y sistemas difusivos, donde el término de arrastre se pueda despreciar o sea efectivamente nulo, el modelo matemático se simplifica aún más:

2

t

.

20

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

El modelo matemático obtenido en el aparte anterior será resuelto para sistemas con gradientes solamente en una dirección tanto de forma analítica como numérica y las expresiones resultantes se solucionarán usando el software Engineering Equation Solver (EES) de fchart.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

El modelo matemático unidimensional es una ecuación diferencial parcial no homogénea de segundo orden. Además, las condiciones iniciales y de frontera pueden agregar no homogeneidades haciendo aún más complicadas las soluciones analíticas.

1. La ecuación resultante cuando no hay generación es una ecuación diferencial parcial denominada parabólica. Cuando la condición inicial es constante y las condiciones límite son lineales y homogéneas la solución es viable por el método de diferencias finitas y ha sido ampliamente estudiada. Se hace un recorrido por diferentes simplificaciones posibles según valores críticos de los parámetros de Fourier (tiempo adimensional) y de Biot (relaciona resistencias internas y convectivas a la transferencia). Como las soluciones se alcanzan por un análisis teórico es útil comparar la precisión de los resultados usando diferentes métodos numéricos basados en diferencias finitas. En todos los casos las ecuaciones resultantes se solucionan con ayuda del software EES.

2. Al agregar no homogeneidades a las condiciones iniciales y/o de frontera la solución

teórica se hace más difícil y las ecuaciones resultantes más complicadas, permitiendo verificar la versatilidad de los métodos numéricos y la confiabilidad del software usado.

3. Se hace un trabajo similar al anterior, pero agregando un grado de dificultad al modelo al considerar situaciones en las que todos los términos del modelo deben tenerse en cuenta.

4. Se hace un manual de uso del software EES atendiendo las sugerencias hechas por los estudiantes del curso. Se agrega una sección que facilita la comprensión y el uso de los métodos numéricos basados en diferencias finitas con ayuda del software EES.

21 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO

CAPÍTULO 1 . SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME

SISTEMAS SIMÉTRICOS O INFINITOS CONDICIÓN INICIAL UNIFORME

El transporte molecular en estado inestable, ya sea transitorio o periódico, es importante en

muchas aplicaciones de transferencia de calor, masa, y cantidad de movimiento.

El estado inestable aparece también en la determinación del tiempo de procesado de

muchos artículos sólidos. Por ejemplo, el tiempo de curado de objetos hechos de plástico

moldeado o de caucho, dependen frecuentemente del tiempo requerido para que el centro

o núcleo alcance alguna temperatura especificada sin causar daño térmico al material de la

superficie. La teoría de la conducción no estable tiene también aplicación en el tratamiento

térmico y templado de metales.

Un tipo de problema ligeramente diferente se caracteriza por la variación periódica de la

temperatura. Las máquinas de combustión interna, los compresores, las armas

automáticas, generan calor periódicamente; la disipación de éste calor causa fluctuaciones

periódicas de temperatura en los alrededores. Otro ejemplo es el efecto de las variaciones

diurnas de la temperatura atmosférica en estructuras grandes como puentes o pequeñas

como plantas en crecimiento.

Existen pues, en general, dos clases diferentes de procesos no estables. Uno es un

transitorio, donde el campo de temperatura, concentración o velocidades, cambia con el

tiempo, desde una condición inicial, hacia un eventual estado estable. El otro proceso

común es uno periódico en el cual la temperatura en cada punto de la región sigue variando

periódicamente con el tiempo. Este es el caso aproximado en las capas superficiales de la

tierra, debido a las variaciones diarias y anuales de las condiciones atmosféricas. El

componente periódico anual tiene 365 días mientras que el diario tiene 24 horas. Otro

ejemplo es la pared del cilindro de un pistón durante la operación cíclica de una máquina de

combustión interna. El período es de 10-3 min para una frecuencia de 1000 RPM.

De otra parte, una alta fracción de las operaciones ingenieriles de transferencia de masa,

involucran transferencia entre dos fases una de las cuales está dispersa como gotas o

burbujas en la otra. Un acercamiento al análisis teórico de estos procesos asume que las

gotas o burbujas de la fase dispersa pueden mirarse como esferas, en las cuales la

transferencia ocurre por difusión molecular no estacionaria. Algunos problemas de secado

presentan también esta geometría.

22 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME

Los llamados procesos en estado inestable o transitorio presentan en el modelo matemático

un término dependiente del tiempo. En estos casos el término de acumulación en el

balance de masa o de energía térmica es diferente de cero. En la práctica se presentan

cuando las condiciones de operación cambian en un equipo, por una parada rutinaria o por

mantenimiento, o por las mismas razones del proceso. Entonces, las variables del proceso

como temperatura o concentración se hacen dependientes del tiempo. Por lo tanto, el

estudio de la conducción y de la difusión en estado transitorio es un aspecto importante en

el estudio de los fenómenos de transporte.

Los modelos matemáticos que surgen implican la solución de ecuaciones diferenciales

parciales, homogéneas y no homogéneas cuyo análisis varía según las condicione iniciales

y de frontera de cada caso particular. En muchas de estas situaciones es posible efectuar la

solución analítica de la ecuación, pero para ello las propiedades de los materiales deben

asumirse constantes y el término de generación debe ser cero, constante o variar

linealmente con la temperatura o concentración según sea el caso. Además, las

condiciones de frontera también deben ser lineales, pero en todo caso, el coeficiente

convectivo h (o kc) no debe depender de la temperatura (o de la concentración).

Sobre este tema se ha realizado una gran cantidad de trabajo a todo nivel de complejidad y

sofisticación matemática y física, que está disponible en la literatura sobre el tema. En

textos como el clásico Carslaw y Jaeger se encuentran métodos de solución que van desde

la separación de variables, la superposición de fuentes y sumideros de calor, el teorema de

Green, además de las transformadas integrales y la muy útil transformada de Laplace,

como también una introducción a la solución por diferencias finitas.

La solución numérica de un problema de conducción en estado transitorio es

particularmente importante cuando se presentan propiedades o condiciones límite

dependientes de la temperatura. En ocasiones la solución numérica es la única solución

posible. Lo mejor sería tener ambas soluciones, la analítica y la numérica, su coincidencia

es una doble confirmación de la solución. Sin embargo, puede que se requiera más

conocimiento matemático del que el estudiante tiene o requerir más esfuerzo del que es

práctico realizar según el objetivo deseado. En estos casos, el uso combinado de una

herramienta de software simbólica para identificar la solución y un solucionador de

ecuaciones para manipular los resultados proporciona una poderosa combinación de

herramientas. Las soluciones analíticas son concisas y elegantes, además de ser precisas

y, por tanto, preferibles en muchos aspectos a las soluciones numéricas. Sin embargo, las

soluciones analíticas requieren colocar restricciones al modelo como propiedades

constantes entre otras.

Modelo matemático: Para explicar los efectos de los procesos de transferencia de masa y

calor se necesitan modelos matemáticos. Estos modelos se desarrollan utilizando los

principios fundamentales de la física, los principios de conservación. Una vez que se


introducen las leyes de difusión y se derivan las ecuaciones de conservación, deben

establecerse las condiciones de frontera pertinentes. En el curso solo trataremos algunas

de las 7 clases generales de problemas de transferencia de calor y de masa difusivos

caracterizados por Mikhailov.

El balance generalizado para fluido incompresible y propiedades de transporte constantes

es:

2vt

. (1.1)

El símbolo representa una concentración que puede ser de energía térmica PC T en

dimensiones de energía por unidad de volumen, concentraciones másicas que puede estar

en una de las diferentes formas de expresarla, por ejemplo Ac en moles de la especie A por

unidad de volumen o A masa de la especie A por unidad de volumen de la solución,

concentraciones de cantidad de movimiento V cantidad de movimiento por unidad de

volumen.

El símbolo representa una difusividad con dimensiones de longitud al cuadrado sobre

tiempo.

El símbolo representa el término de generación que puede o no depender de otros

parámetros.

Solamente analizaremos casos de difusión y conducción, es decir,

2

t

. (1.2)

En ausencia de generación la ecuación anterior se reduce a:

2

t

. (1.3)

El operador Laplaciano tomará la forma acorde con la simetría. Para gradientes

unidimensionales tendremos:

Coordenadas rectangulares:

2

22

z

, (1.4)


así la ecuación (1.3) en coordenadas rectangulares o cartesianas es:

2

2 zt

. (1.4a)

Coordenadas cilíndricas, gradientes radiales:

rr

rr

12, (1.5)

es decir, la ecuación (1.3) en coordenadas cilíndricas es:

1r

t r r r

. (1.5a)

Coordenadas esféricas, gradientes radiales:

rr

rr

2

2

2 1, (1.6)

por lo que la ecuación (1.3) en coordenadas esféricas se escribe:

2

2

1r

t r r r

. (1.6a)

Se observa una sencilla generalización para estas expresiones:

2 1 m

mr

r r r

0 para la placa ( )

con 1 para el cilindro

2 para la esfera

r z

m

. (1.7)

Así, en forma general, el balance en estado transitorio unidimensional sin generación, con

propiedades constantes, ecuación (1.3) toma la forma

1 m

mr

t r r r

0 para la placa ( )

con 1 para el cilindro

2 para la esfera

r z

m

. (1.3a)


Se observa de lo anterior que los procesos de transporte en estado no estable se

caracterizan por que la concentración varía con el tiempo, lo que hace que, aunque sea

flujo unidimensional debamos tener más de una variable independiente.

Para hallar la solución analítica se dispone de varias técnicas matemáticas tales como la

separación de variables, la transformada de Laplace, las transformadas integrales, la

variable compleja, la combinación de variables, series de Fourier, etc.

El método de combinación de variables permite reducir la ecuación diferencial en derivadas

parciales a una simple ecuación diferencial ordinaria; este procedimiento solamente es

posible cuando dos condiciones límite pueden reunirse en una sola y requiere cambios

artificiosos que no hacen general el método.

El método más directo para resolver problemas de conducción de calor (o transferencia

difusiva de masa) que presenten más de una variable independiente es el de separación de

variables o método del producto, siempre y cuando sea aplicable. Este método de solución

de ecuaciones diferenciales parciales da lugar a un conjunto de ecuaciones diferenciales

ordinarias y al menos uno de estos problemas auxiliares es el llamado problema del valor

propio y sus soluciones son las funciones propias. La solución completa del problema de

conducción de calor es entonces la suma lineal de todas las soluciones elementales

apropiadas de los problemas auxiliares. Los coeficientes de expansión asociados con esta

sumatoria no se conocen y se determinan restringiendo la solución para que satisfaga la

condición de frontera no homogénea (o condición inicial) del problema original. La

propiedad de ortogonalidad de las funciones propias juega un papel importante en la

determinación de estos coeficientes de expansión desconocidos. La ortogonalidad de las

funciones fue investigada originalmente por Sturm y Liouville en 1536, por esta razón los

problemas de valor propio se llaman algunas veces problemas de Sturm Liouville.

El método de la transformada de Laplace es esencialmente un método de operador. Es el

más eficiente de éstos tres, particularmente para los problemas más complicados.

Dependiendo de las condiciones límite y el método utilizado, las soluciones tienen una de

dos formas estándar: a) Series de la función de error o sus integrales relacionadas; estas

soluciones son más útiles en la evaluación numérica para tiempos cortos o sea en las

etapas iniciales de la difusión. b) Series trigonométricas, las cuales convergen más

satisfactoriamente para valores grandes del tiempo. Cuando la difusión ocurre en geometría

cilíndrica, las series trigonométricas son reemplazadas por series de funciones de Bessel.

1. Solución general por separación de variables

Estudiaremos a continuación la transferencia de calor en estado transitorio unidimensional

para las tres geometrías mencionadas a saber placa plana, cilindro largo y esfera. Los

gradientes de temperatura deben ser radiales en los dos últimos casos y perpendiculares a


las caras mayores de la placa en el primero. Al comienzo existe una distribución de

temperaturas 0T f z para la placa o 0T f r para cilindro o esfera. Para el tiempo

0,t la superficie del cuerpo (sea placa cilindro o esfera) se coloca en contacto con un

fluido con temperatura T constante con el tiempo. Se intercambia calor por convección

entre la superficie del sólido y el fluido por convección. El coeficiente convectivo h debe ser

constante para toda la superficie. Si se considera solamente la mitad de la placa la

situación corresponderá al calentamiento o enfriamiento de una placa con una superficie

aislada (adiabática). Con este planteamiento se establecen las condiciones de frontera.

Figura 1.1. Transferencia de calor en estado transitorio unidimensional para placa plana, cilindro largo y esfera.

Tomamos la ecuación (1.3a), sustituyendo pC T , siendo

p

kC

, la

ecuación a resolver es entonces

2

2

T T m T

t r r r

con

0 para la placa ( )

1 para el cilindro

2 para la esfera

r z

m

. (1.8)

Es conveniente utilizar variables adimensionales, hacemos:

zL

, posición adimensional para placa con superficie aislada en 0z o placa

simétrica de espesor 2L , z se mide desde el plano de simetría o central.

rR

para esfera o cilindro.


2tFoR

o 2tFoL

, tiempo adimensional conocido como número de

Fourier.

0

T T

T T

Temperatura adimensional;

0T constante.

En estos términos la ecuación (1.8) se transforma en

2

2

m

. (1.9)

Las condiciones límite son así:

0 para 0

. (1.10a)

La condición de frontera convectiva es

para , oT

k h T T z Lz

para

Tk h T T r R

r

.

Haciendo o hL hRBi Bik k

número de Biot, adimensional

para 1Bi

, (1.10b)

la condición inicial es

0 1 para 0 0T T t Fo . (1. 10c)

La solución, para las tres geometrías tendrá la forma , ,ng Fo Bi .

La función ng es diferente para placa ( 0m ), cilindro ( 1m ) o esfera ( 2m ) puesto que

en cada caso surge una ecuación diferencial distinta. La ecuación (1.9) con las condiciones

de la ecuación (1.10ª, 1.10b y 1.10c) puede resolverse por la transformada de Laplace, pero

la transformada inversa puede hacer que la solución por separación de variables sea más

práctica en esta ocasión. En este orden de ideas, hacemos:

, F G . (1.11)


Las funciones F y G dependen solo de una variable y deben satisfacer la ecuación (1.9):

2dG d F m dFF G

d d d

, (1.12)

reagrupando

221 1dG d F m dF

G d F d d

. (1.13)

Las dos expresiones de la izquierda se igualan a una constante denominada parámetro de

separación que para que dé soluciones no triviales debe ser un número real, que al estar

elevado al cuadrado siempre será positivo y al multiplicarse por menos uno será una

cantidad negativa. Este parámetro de separación surge del hecho de que los dos términos

de la izquierda dependen, el primero solo del tiempo y el segundo solo de la posición, por lo

que serán iguales solo si son iguales a una constante. Se originan entonces dos

ecuaciones diferenciales ordinarias:

2 0dG

Gd

, (1.14)

22

20

d F m dFF

d d

. (1.15)

La solución de la ecuación diferencial (1.14) es la función decreciente exponencialmente

con el tiempo

2

1 expG C Fo , (1.16)

es de la misma forma para las tres geometrías. Sin embargo depende de la solución de la

función F que es diferente en los tres casos, a pesar de que esta debe satisfacer las

mismas condiciones de frontera:

0 para 0dF

d

, (1.15a)

para 1dF

BiFd

. (1.15b)


La ecuación (1.15) es una ecuación diferencial lineal, homogénea de segundo orden con

condiciones de frontera homogéneas y es un parámetro adimensional no especificado

independiente de *r , conforma una ecuación de Sturm Liouville y sus funciones solución

son ortogonales respecto a la función de peso *r . Los valores de para los cuales la

solución no es trivial ( 0F ), son los valores propios (eigenvalues) y las funciones solución

las funciones propias. Todos los valores propios son reales positivos. El cero no es valor

propio (Mickley H. S., 1957). Los valores propios forman una serie infinita monótona

creciente.

Dos funciones, y m nF z F z son ortogonales respecto a la función de peso r z en el

intervalo ,a b si se cumple que:

0 para b

m nar z F z F z dz m n , (1.16a)

para b

m nar z F z F z dz N m n , (1.16b)

donde y m n son enteros y N una constante positiva. Los límites de integración y a b son

los dos puntos donde se estipulan las condiciones límite, en nuestro caso cero y uno

respectivamente.

Determinamos a continuación el valor de la función F y los valores propios para las tres

formas geométricas descritas.

1.1 Simetría Cartesiana

1.1.1 Una cara aislada, una cara convectiva Solución por separación de variables

A partir del balance unidimensional, ecuación (1.9) para placa plana

t

TC

z

Tk

zpH

. (1.9b)

Para un sistema con propiedades constantes y sin generación, recordando que p

kC

,

la ecuación a resolver es:


2

2 para 0 ; 0

T Tz L t

t z

,

Figura 1.2. Placa plana, cara aislada, cara

convectiva

con las condiciones límite:

0 0 0T

z tz

,

0

Tz L k h T T t

z

.

Esta condición límite no es homogénea, condición necesaria para aplicar el método de

separación de variables (al multiplicar los dos lados de la ecuación por una constante, la

ecuación se modifica). Para homogenizar esta última condición límite hacemos el cambio

de variable:

0/T T T T que con 0T y T constante, nos modifica las ecuaciones anteriores

así:

2

2 para 0 ; 0

z L t

t z

, (i)

0 0 0z tz

, (ii)

0 0

z L k h tz

, (iii)

y la condición inicial:

0 cuando 0 para 0f z t z L . (iv)


Para resolver el problema por el método de separación de variables se supone que ,z t

puede representarse como un producto de funciones de la forma

, z t F z G t , (v)

en donde F es una función exclusivamente de z y G es función solo de t . La ecuación (i),

se escribe

' ',t z t F z G t ,

' ',z z t F z G t ,

'' '',z z t F z G t ,

Reemplazando en (i)

'' '1F z G t F z G t

.

Dividiendo por F z G t

2"( ) '( )

( ) ( )

F z G t

F z G t

.

La constante de separación , es un número real con dimensiones de longitud a la menos

uno.

La ecuación de la derecha tiene solución inmediata:

2

1 expG t C t . (vi)

La otra ecuación es un problema de valor propio o de Sturm Liouville. Su solución es:

2

2

20

d FF

dz . (1.17)

Usando el operador dDdz

:

2 2 0, entonces 0 siendo 1D F D i D i F i .


Se obtiene entonces como solución

dF

i dzF

.

Es decir

2 3

i z i zF z C e C e . (1.18a)

El uso de funciones trigonométricas en lugar de exponenciales imaginarias es una

consecuencia de las propiedades de las funciones exponenciales. De ellas se deriva la

llamada identidad de Euler:

cos sinie i ,

cos sin cos sinie i i .

La función coseno es par, la función seno es impar.

Por la propiedad de superposición cualquier combinación lineal de soluciones de la

ecuación diferencial es también una solución. Observando que:

1 12 2

cosi ie e ,

2 2sini ii ie e ,

Por tanto, la solución también se puede expresar como

2 3 cosF z C sen z C z ,

'

2 3cosF z C z C sen z .

Como '

20 para 0, entonces 0F z z C . Las funciones propias son entonces

cosF z z .

Si esta solución debe satisfacer también la condición en z L tenemos:


cos cos 0 z L

k z h zz

o cos 0k sen L h L .

Así los valores propios n son las raíces positivas de la ecuación trascendental:

tanhL

L Lk

. (vii)

La solución será la suma de todas las soluciones posibles así:

1

, nz t C F z G t

, (viii)

donde nC engloba las constantes 1 3 y C C . Para encontrarla aplicamos la condición inicial,

que especifica que en 00, 1 y t G t f z . Además, usando la propiedad de

ortogonalidad de las funciones propias multiplicamos ambos lados por cos z e

integramos entre 0 y L , intercambiando la sumatoria y la integral donde es preciso.

Sabiendo que la propiedad de ortogonalidad de estas funciones propias está dada por:

0

0 cuando cos cos

cuando

Ln m

n m

n m

z z dzN

.

Obtenemos

2

00

cos cos

LL

n n nf z z dz C z dz

, (ix)

2

0

1cos 2

2 4

L

n n

n

LN z dz sen L

. (x)

La integral N es conocida como integral de normalización.

La integral del lado izquierdo en (ix) la realizamos teniendo en cuenta que en nuestro caso

la distribución inicial de temperaturas es constante, 0 1 :


0

cos 1/ sinL

n n n nA z dz L , (xi)

nn

AC

N .

Reemplazando nA en la expresión para el perfil de temperatura (viii) obtenemos:

2

10

cos expn n n

T TC z t

T T

. (xii)

Es conveniente usar variables adimensionales así: 2* ; ;tzz Fo L

L L .

La solución en términos de estas variables adimensionales es:

2 *

10

exp( )cos( )n n n

n

T TC Fo z

T T

, (1.19a)

donde * zzL

, coordenada adimensional. L es el semiespesor de la pared. El

coeficiente nC es:

4sin

2 sin(2 )

nn

n n

C

, (1.19b)

y los valores discretos (propios o valores eigen) de n son las raíces positivas de la

ecuación trascendental

Binn tan . (1.19c)

Este número infinito de raíces son los valores propios o eigenvalues que satisfacen las

condiciones impuestas. Estos valores se encuentran en los intervalos

1

21 con 1, 2,nn n n .

Los valores propios son función del número de Biot:

k

hLBi para transferencia de calor. (1.19d)

En estos términos la integral de normalización toma la forma


2 2

2 22

n

n

Bi BiN

L Bi

.

Además del perfil de temperatura, es importante conocer la energía absorbida o liberada en

forma de calor por parte de la placa durante un intervalo dado de tiempo. Si una placa de

volumen V se enfría desde su temperatura inicial 0T hasta una temperatura promedio mT

en un tiempo t , libera una cantidad de energía como calor hacia los alrededores, dada por:

0P mE t VC T T , (1.20)

V es el volumen del sólido y mT su temperatura promedia en el momento t .

El valor de esta temperatura promedio que es la temperatura uniforme que la pared

alcanzaría si se suspendiera la transferencia de calor con el medio en el momento t y se

permitiera alcanzar un equilibrio interno, se obtiene integrando el perfil de temperaturas en

ese instante con respecto al volumen y dividiendo el resultado por el volumen. Recordemos

que la superficie de transferencia S es constante en esta geometría y que entre

0 y ,z z L V SL .

2

10 00

1 exp( )

L

m nn n

n n

T T senT Tdz C Fo

L T T T T

. (1.19e)

Gracias a la tecnología computacional disponible, tanto esta expresión como la del perfil de

temperaturas presentan ventajas sobre soluciones gráficas, en especial en programas de

simulación donde aparecen procesos en estado transitorio. Sin embargo, dado que todavía

en muchos libros de texto se utiliza, se presenta el siguiente procedimiento, innecesario

como se acaba de mencionar.

Si al sólido se le permite intercambiar calor con el medio indefinidamente, alcanzará un

nuevo estado estable donde la temperatura será nuevamente uniforme para todos los

valores de z e igual a la temperatura ambiente. En este caso, el calor transferido será:

00 PE VC T T . (1.20a)

Los gráficos de Gröber presentan la fracción transferida hasta el momento t , es decir

0

E t

Econ la nomenclatura

0

QQ

en ordenadas contra 2Fo Bi . Esta escritura, aunque


generalizada es desafortunada al crear confusión en la nomenclatura pues la letra Q es

normalmente usada como calor transferido por unidad de tiempo.

0

0 0 0

1m mQ T T T T

Q T T T T

. (1.20b)

También para el cálculo de los perfiles de temperatura fueron ampliamente usados los

gráficos de Heisler pero tal como ocurre con la expresión anterior son inútiles en la

actualidad.

En algunos casos y para uso de calculadoras sencillas, es conveniente saber que para

valores del parámetro de Fourier mayores a aproximadamente 0.2, solo se requiere el

primer término de la serie infinita.

Se debe tener en cuenta que los valores propios n deben obtenerse resolviendo la

ecuación trascendental. Esta ecuación puede resolverse numéricamente conociendo Bi .

Se comprende mucho mejor el sentido físico de las magnitudes de estos valores propios si

observamos que esta ecuación puede escribirse como:

sin cosn n nF Bi .

Al dibujar esta función, los valores que hacen cero la función son los valores propios n . Se

observa que ocurren a intervalos de , en la primera mitad del intervalo, es decir

1 1/ 2 , con 1, 2, 3,nn n n

Figura 1.3. Función sin cos para 1 y 5F Bi Bi Bi

0 3,142 6,283 9,425 12,57-15

-10

-5

0

5

10

l

F

Bi=5Bi=5

Bi=1Bi=1


Transferencia de masa

Para transferencia de masa la ecuación a resolver es:

2

2

z

cD

t

c AAB

A

, (i)

aquí el coeficiente de difusión se considera constante. Esta ecuación se conoce como la

segunda ley de Fick de la difusión. Las condiciones inicial y límite asociadas son:

En 00, para A At c c L z L , (ii)

Por simetría 0

z

cA en 0z para todo t . (iii)

Para 0, en AAB c AG A

ct D k c c z L

z

, (iv)

aquí AGc es la concentración de A en el gas en contacto inmediato con el sólido. Esta

concentración se debe relacionar con la concentración Ac en el sólido antes de que esta

condición límite se pueda usar. Usamos el coeficiente de distribución para expresar la

concentración en equilibrio A AGc m c . En este caso se supone una relación lineal de

equilibrio entre la concentración de A en el fluido y en el sólido. De esta forma, la tercera

condición límite se convierte en (multiplicando y dividiendo por m ):

en A cA A

AB

c kc mc z L

z mD

, (v)

de aquí se deduce que la misma ecuación (1.19) puede usarse para resolver problemas de

transferencia de masa si hacemos

0

A A

A A

c mc

c mc

y

AB

c

mD

LkBi para transferencia de masa.

Determinación de los valores propios usando EES


La Figura 1.3 muestra que cada valor de n se encuentra en un intervalo definido así: 1

está entre 0 y 2

; 2 entre y 2

; s entre 2 y 22

, n entre

1 y 12

n n . Esto es cierto independientemente del valor de Bi . Para generar

los valores propios usando EES (ver código de programación en la sección Notas al final

del capítulo) se establece el número de términos que se considera adecuado calcular y se

hallan los valores apropiados a suponer en cada intervalo usando el comando

“DUPLICATE” así:

$UnitSystem SI mass C Pa Rad J N=10 duplicate i=1;N lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-6 upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi/2 guess[i]=lowerlimit[i]+pi/4 end

Debe notarse que se calculan funciones trigonométricas de números reales, por lo cual se

debe establecer en el sistema de unidades de lectura de ángulos los radianes, así se esté

trabajando en calculadora o en computador. Los comandos que comienzan con $ son

"directivas". En este caso es muy útil introducir esta información al comienzo del código o

programa pues es posible olvidarse de dar la instrucción llamando el cuadro de diálogo que

asigna unidades manualmente. La información entre comillas no la tiene en cuenta el

ordenador y sirve para recordar qué hace el programa. No olvide colocar la información

correspondiente a cada problema en particular.

Ejemplo 1.1: Analizar una placa plana de un acero inoxidable de espesor 10 cm que se

enfría por sus dos caras mayores desde una temperatura uniforme de 40 °C hasta que su

temperatura máxima sea de 30 °C, en aire a 20 °C con coeficiente convectivo 120 W/m2.K.

Las propiedades del sólido pueden considerarse constantes en los siguientes valores:

conductividad térmica k = 17.14 W/m.K, densidad 38563kg m , calor específico CP =

512 J/kg.K. Estimar el calor cedido por el sólido en este tiempo. ¿Cuál es la temperatura de

la superficie en ese momento?


Figura 1.4. Ej 1.1: Placa plana de acero inoxidable

Solución: Debido a la simetría de la

situación, en el centro de la placa se

cumple que / 0T z , por lo cual, si

tomamos origen de ejes coordenados

coincidiendo con el plano de simetría, la

solución que obtuvimos para la placa de

espesor L con una cara aislada es

exactamente igual al caso actual, tomando

como longitud característica la distancia

desde el plano de simetría hasta la

superficie convectiva.

Utilizamos en la solución el software EES

(ver código en la sección Notas) con los

siguientes resultados:

5 23.909 10 m s 0,3501Bi

6_ 4,609 10E t J 2,377Fo

0,4743mt 0,5zt

1520time s 29,49[ ]mT C

28,48[ ]sT C


En la Figura 1.5, se observa como la distribución de temperaturas se va achatando,

tendiendo a su nuevo estado estable de 20 °C, uniforme a todo lo ancho. Es de anotar que,

para números de Bi mayores, la curvatura de los perfiles es más pronunciada mientras que

si este disminuye, estos se hacen más planos. La razón es que el número de Biot se puede

entender como una relación de resistencias térmicas a la transferencia de calor: la

resistencia interna a la conducción sobre la resistencia externa a la convección.

Figura 1.5. Distribución de temperaturas en la placa

1.1.2 Resistencia superficial despreciable, Bi > 40

Solución por separación de variables

Al analizar la condición en la superficie convectiva

fluido

sólido

dTk h T T

dz .

Tenemos entonces que la resistencia en el sólido es proporcional carLk en el sólido ( carL

es una longitud característica) y a 1h

en el fluido

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 125

25,526

26,527

27,528

28,529

29,530

30,531

31,532

32,533

33,534

34,535

z

T

[C] Perfil a los 1520 s

Temperatura promedia

Perfil a los 691 s

Temperatura promedia


sólido

fluido

/Resistencia en el sólido

Resistencia en el fluido 1/

carTL k

Bih T

. (1.21)

Para , 0fluido

Bi T , la temperatura en la superficie correspondiente a

1, 0sT T , los valores propios son 3, ,2 2

, como se obtiene si

analizamos la ecuación trascendental que los genera en este límite:

sincos n n

nBi

.

Al tender Bi hacia infinito, cos 0n , lo que ocurre para valores de n dados por:

2 1 / 2 con 1, 2,n n n

Así mismo, de la trigonometría sabemos que para estos valores de n el 1

1n

nsen

y

que el valor de la función seno para cualquier múltiplo entero de es cero por lo cual

2 0nsen . De esta manera

14 1

con 1, 2,2 1

n

nC nn

La ecuación (1.19) toma entonces la forma

1

2

10

14cos * exp

2 1

n

Sn n

S

z Fon

. (1.19b)

La ecuación correspondiente para los valores promedio viene dada por

2 2

2210

2 18 1exp

42 1

m Sm

S

nFo

n

. (1.19c)

Recordar que representa una concentración. En el caso de transferencia de materia

vendría dada en moles o en masa de la sustancia que difunde, por unidad de volumen.

Podemos usar otras unidades de concentración:


Am As Am As Am As Am Asm

Ao As Ao As Ao As Ao As

c c y y W W

c c y y W W

. (1.22)

Para obtener la segunda fracción vasta con multiplicar numerador y denominador de la

primera por el peso molecular del soluto A.

Para la tercera fracción, se requiere que la concentración total, c, permanezca constante a

pesar de los cambios de concentración, adecuada entonces para gases a presión y

temperatura constantes pues numerador y denominador se dividen por la misma cantidad:

/A Ay c c .

Para la última igualdad, usada para procesos de secado, se supone que el volumen del

sólido no se altera durante el proceso y por ello la densidad del sólido seco, ss , puede

considerarse constante, y basta dividir numerador y denominador del segundo término por

esta cantidad.

relación en peso de en el sólido = masa de humedad / masa sólido secoAW A ;diferente

de la fracción en peso Aw .

, .1 1

A AA A

A A

w WW w

w W

(1.23)

En el caso de transferencia de calor el producto pC T tiene dimensiones de energía por

unidad de volumen que en caso de y pC constantes se simplifica en numerador y

denominador quedando solo las temperaturas.

0

S

S

T T

T T

.

A la expresión (1.19b) se puede llegar por un análisis similar al que nos condujo a la

ecuación (1.19) cambiando la condición límite ecuación (1.15b) por un valor constante en la

superficie: para * 1, sz . La solución obtenida, al igual que la (1.19) converge

rápidamente para valores grandes del tiempo adimensional, Fo es aproximadamente

mayor o igual a 0.2..

Para estas condiciones límite es relativamente fácil encontrar una solución que converge

rápidamente para valores menores de Fourier usando transformada de Laplace.


Transformada de Laplace

Este método ha sido usado en la solución de mucha clase de procesos transitorios. Para

usarlo en la solución de la ecuación (1.8) asumimos que las propiedades / Pk C

permanecen constantes en la región. Si trabajamos en coordenadas cartesianas,

, , ,T T x y z t . Este método ofrece con frecuencia análisis simples para muchos

mecanismos físicos que se hacen difíciles de analizar a partir de la separación de variables.

La ventaja inicial de una transformada de Laplace en cualquier circunstancia particular es

que remueve la derivada respecto al tiempo. El resultado es una ecuación diferencial

ordinaria en términos de , ,T x y z , llamada la transformada de , , ,T x y z t . Las

condiciones iniciales y de contorno se aplican a la solución de la ecuación diferencial

resultante en términos de la función T . La solución de la formulación original se recupera

entonces por inversión de la solución transformada , ,T x y z de nuevo hacia , , ,T x y z t .

Esta transformación generalmente se hace usando las tablas existentes en la literatura.

La transformada de Laplace , , ,L T x y z t de , , ,T x y z t , escrita en cuatro notaciones

usuales es

0

)(),,,(),,()(,,, pTdttzyxTezyxTTLtzyxTL pt , (1.24)

aquí p puede ser complejo y su parte real es positiva y suficientemente grande para que la

integral converja. Así, si 2tT t e , p debe ser mayor que 2.

Se debe notar que, como p es generalmente un parámetro finito, puede restringirse

dependiendo de la función de t que se considere. Al interpretar la integral como ordinaria

con un integrando finito, se concluye que el producto .p t debe ser finito, por lo tanto, si t

es pequeño, p es grande y a la inversa. De esta manera, la expansión de la solución

transformada en una serie convergente de potencias ascendentes de 1p

o de p , y la

subsecuente inversión término por término produce una solución útil para valores de tiempo

pequeños o grandes, respectivamente. El mismo concepto se aplica a expansiones

generalizadas en términos de

1f p

o g p , funciones estas crecientes de p ,

determinadas según la situación particular.


Debemos tener siempre presente que, así como la función original es función de t , su

transformada será función de p. La integral, una función de p , es la transformación de

, , ,T x y z t a , , ,T x y z p . Así, las transformadas de funciones corrientes son construidas

fácilmente efectuando la integral tal como en los siguientes ejemplos:

0

si , constante ,pt aT a T a e dtp

0 0

1si , p a tat pt atT e T e e dt e dt

p a

,

2 2

0

si , pt wT sen wt T e sen wt dtp w

.

Algunas de las propiedades más corrientemente utilizadas de la transformada de Laplace

son (Arpaci p 343):

No Función Transformada

i 1 2C f t C g t 1 2C f p C g p

ii df t

dt 0pf p f

iii ,n

n

f x t

x

,n

n

f x p

x

iv 0

t

f d 1

f pp

v f t 1 p

f

vi exp t f t f p

vii 0

t

f t g d f p g p

Tabla 1.1. Propiedades de la Transformada de Laplace

La propiedad (vii) se conoce como el teorema de la convolución, el cual se aplica en

especial a límites dependientes del tiempo.

Esta lista de propiedades de la transformada de Laplace se utiliza para obtener la función

transformada de un problema dado. Las transformadas inversas, usadas para regresar del

dominio de p al dominio de t , para funciones simples que aparecen con frecuencia están

tabuladas en la tabla A.5 de los anexos.


Como ejemplo para ,T z t aplicamos las reglas (iii) y (ii) anteriores:

0

2

2

2

2

2

2

,z

TdttzTe

zz

TL pt

,

0,)(0,)(

0

zTzTpzTTpLdtt

Te

t

TL pt ,

así, para la función:

2

2

, ,1T z t T z t

z t

.

La ecuación subsidiaria en términos de T z será:

)0,()(

)(2

2

zTzT

p

z

zT,

,0T z es la condición inicial tal como se especifica en la regla ii.

Las condiciones de frontera también deben transformarse para formular completamente la

solución de la función de transformación T z . Esta transformada se invierte entonces

para dar la solución ,T z t . La relación inversa, en términos de T z , es:

1( , ) ( )

2

i

t

i

T z t e T di

,

aquí es la variable compleja de integración y debe ser suficientemente grande para

que todas las singularidades de T caigan a la izquierda de la línea ,i i .

Difusión Transitoria en una Placa Simétrica. Transformada de Laplace

El problema de la difusión transitoria en una placa es de importancia, por ejemplo, en

operaciones de secado de materiales coloidales o gelatinosos, donde es necesario conocer


la distribución de la humedad en la placa como una función de la posición y el tiempo, o la

relación entre el contenido promedio de humedad de la placa y la duración del secado. Para

propósitos de análisis puede suponerse que los bordes delgados de la placa están sellados

a la transferencia.

En forma alterna, la placa o losa puede imaginarse lo suficientemente delgada como para

que los efectos de borde puedan despreciarse y tendremos difusión a través de dos caras

opuestas. Consideremos concentración inicial uniforme en 0Ac , en toda la placa,

concentración constante ASc en las dos superficies mayores, difusión ocurriendo solo

normal a las dos superficies mayores las cuales son permeables al soluto A , propiedades

físicas constantes.

a a

ASc ASc

z

Figura 1.6. Placa plana, difusión unidimensional en estado transitorio

Se toma el origen de coordenadas en el plano central o de simetría el cual tiene área S

normal a z .

La ecuación del balance en concentraciones molares y sin generación es:

0

t

cN A

A.

Teniendo presente que solo hay gradientes en la dirección z :

0z

N

t

c AzA

,

*

AZ AZ A Z AZN J c v J .


Puesto que se trata de difusión en sólidos. La ecuación (1.15) se reduce a:

2

2

z

cD

t

c AAB

A

. (1.25a)

Haciendo A ASY c c ,

2

2

z

YD

t

YAB

, (1.25b)

condiciones límite:

0Para , cualquier , , 0; 0A AS A AS Sz L t c c Y c c Yp

,

0 0 0Para cualquier , en 0, , condición inicialA A A ASz t c c Y c c Y ,

Para 0, cualquier , 0, 0, 0 regla (iii)Ac Y Yz tz z z

.

La última de las condiciones de frontera surge del hecho de la simetría del sistema. En el

plano intermedio siempre habrá un máximo (o mínimo) de concentraciones. Esta condición

equivale también a que no haya flujo a través de tal plano, es decir que estuviese sellado a

la transferencia.

La ecuación (1.21) podría resolverse por el método de separación de variables de forma

análoga al problema anterior. Estos resultados son útiles para tiempos largos de difusión ya

que la serie converge rápidamente en tales condiciones.

Un método alterno de solución lo da el uso de la transformada de Laplace. Este da

resultados útiles para pequeños tiempos de difusión ( 0.2Fo ).

Como ya vimos, para una función ,f z t de dos variables independientes z y t , la

transformada de Laplace (parcial) de ,f z t con respecto a t es definida por:

dttzfpttzfLpzf t

0

,exp,, ,

el subíndice t denota transformación con respecto a t . Las propiedades de la transformada

de Laplace que más nos interesan para el problema son:


0,,

,zfpzfp

t

tzfLt

,

z

pzf

z

tzfLt

,,

.

Hemos supuesto que el orden de diferenciación y de integración con respecto a z pueden

intercambiarse.

Tomando transformadas de Laplace a ambos lados de la ecuación (1.25b) con respecto a

:t

2

2

z

YLDYYp

t

YL tABot

,

),(),( pzYtzYLY t .

Por lo tanto

AB

o

AB D

Y

D

Yp

dz

Yd

2

2

, (1.26)

aquí p se mira como un parámetro. Esta ecuación diferencial ordinaria no homogénea

tiene por solución la suma de la homogénea y la particular. La primera es de las mismas

características de la ecuación de la aleta. La segunda será una constante C , que para

satisfacer la ecuación original debe cumplir

00 , entonces o

AB AB

pC Y YC

pD D .

La solución general es la suma de ambas:

2

1 2exp exp con o

AB

Y pY C mz C mz m

Dp , (1.27)

condiciones límite para 0z ,


1 2 1 2exp exp 0 entonces dY

C m mz C m mz C Cdz

,

ahora para z L

01 1exp exp 0

exp( ) exp( )

oY YY C mz mz C

p p mL mL

,

o sea:

exp exp

exp exp

o omz mzY Y

Yp p mL mL

.

En este caso, la solución transformada contiene funciones hiperbólicas de /m p , un

argumento complicado. Este tipo de soluciones es más conveniente expandirlas en series

de exponenciales negativos mejor que en potencias de 1p

. Entonces, la inversión término

a término da soluciones válidas para tiempos pequeños en términos de exponenciales y

funciones de error en lugar de potencias de t . En el caso de geometría cartesiana, este

método da, dependiendo de las condiciones límite o de frontera, dos tipos de solución: (i)

para condiciones simples como temperatura o concentración o flujo en la superficie

conocidos, todos los términos de la expansión tienen coeficientes simples conduciendo a

soluciones útiles para todos los valores de tiempo y no solo para tiempos cortos. (ii) Para

condiciones de frontera más complicadas como convección al ambiente, los coeficientes de

la expansión son progresivamente más complicados, de manera que solo la inversión de

los primeros términos es práctico obtenerlos. Estas soluciones serán válidas solo para

períodos cortos de tiempo.

Dividiendo numerador y denominador por exp mL :

0

exp exp

exp 2 1

om L z m L zY Y

Yp p mL

. (1.28)

El teorema del binomio

1 2 2 3 3

1 1 2

2! 3!

n n n n nn n n n n

a b a na b a b a b


Haciendo 1, 1 y n a b x se obtiene el enésimo polinomio de Taylor en 0 0x o

fórmula de Maclaurin de la función

11 x

que es:

1 12 3 1

0

1 1 1 1n nn n

n

x x x x x x

,

aplicándolo al denominador del término entre paréntesis de la ecuación (1.28):

1

0

1 exp 2 1 exp 2n

n

mL nmL

,

por lo cual

0 0

exp / 2 1 exp / 2 111 1 .

AB ABn n

n no

p D n L z p D n L zY

Y p p p

La transformada inversa de cada término en estas dos series se encuentra en tablas; por

ejemplo, el ítem 8 en la tabla de transformadas de Laplace dada por (Crank, The

Mathematics of Diffusion, 1964) p.327 o ítem 83 (Mickley H. S., 1957) p.316, o numeral 30

(Arpaci, 1966) (tabla 4.16 al final del capítulo).

Dado que

1A AS A Ao

Ao AS AS Ao

c c c c

c c c c

,

el resultado puede escribirse como:

0 0

2 1 2 11 1

2 2

n nA Ao

n nAS Ao AB AB

n L z n L zc cerfc erfc

c c D t D t

. (1.29)

En términos de cantidades adimensionales, con * y zz FoL

el número de Fourier

1 1

1 1

2 1 * 2 1 *1 1

2 2

n nA Ao

n nAs Ao

n z n zc cerfc erfc

c c Fo Fo

. (1.29a)

Las ecuaciones (1.29 y 1.29 a) convergen para cualquier valor del tiempo.


En matemáticas, la función error (también conocida como función error de Gauss) es

una función especial (no elemental) que se define por la expresión:

2

0

2erf ( ) exp( )

x

x d

, (1.30)

y dado que

0

2

2)exp(

d ,

se concluye que 1erf ; además ; 0 0erf x erf x erf .

No es posible evaluar la integral en forma cerrada utilizando funciones elementales, pero, si

se expande el integrando mediante una serie de Taylor, se obtiene la serie de Taylor de la

función error:

12 1 3 5 7

1

12 2 1 1

2 1 1 ! 3 2! 5 3! 7

nn

n

x x x xerf x x

n n

. (1.30a)

Esta expresión es válida para todo número real x , y también en todo el plano complejo.

Este resultado se basa en el desarrollo en serie de Taylor de 2exp x que se integra

término a término.

La función error complementaria, llamada erfc , se define a partir de la función error:

22( ) 1 ( ) exp

xerfc x erf x d

. (1.30b)

En el caso de una calculadora científica generalmente no trae esta función incluida, y

aunque se puede programar su evaluación si trae la posibilidad de efectuar integraciones

numéricas, una regresión polinómica de tercer grado, con coeficiente de correlación 2 99.95r que puede usarse para cálculos aproximados (mejor que interpolar de una tabla

o leer de un gráfico) es:

2 31,01914154 1,37937486 0,617569738 0,0912458409erfc x x x x . (1.30c)

https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_especial

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_elemental

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_elemental

https://es.wikipedia.org/wiki/Integral

https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

https://es.wikipedia.org/wiki/Plano_complejo


La serie (1.29) converge rápidamente para todos los valores de Fourier, menos aquellos

valores para los cuales 2 0.2ABD tFo

L . Por ejemplo, para la concentración en el centro,

0z , cuando 1:Fo

8920.00008.00678.09590.00

0

AAS

AA

cc

cc,

y cuando 0.25Fo

3145.00001.03146.00

0

AAS

AA

cc

cc,

para 0.2Fo ,

2277.010345.42277.0 6

0

0

xcc

cc

AAS

AA.

La expresión para la concentración promedio Amc a través de la placa en el tiempo t es:

0.5

0.52 0.51

12 2 1

nAo Am AB

nAo AS AB

c c D t nLierfc

c c L D t

. (1.31)

En función de parámetros adimensionales

0.51

12 2 1

nAo Am

nAo AS

c c nFo ierfc

c c Fo

. (1.31a)

En problemas de conducción de calor y transferencia de masa difusional, son importantes

las integrales repetidas de la función de error.

Escribimos:

1( ) ( ) 1, 2, 3,n n

x

i erfc x i erfc d n

)()(0 xerfcxerfci ,


integrando por partes obtenemos:

)(

exp)()(

21 xxerfc

xxierfcxerfci

. (1.31b)

Ejemplo 1.2: Determinar el tiempo que se necesita para reducir el contenido de humedad

máximo a 10% en peso de una placa de arcilla de 5 cm de grueso colocada sobre una

banda que pasa a través de un secador continuo, lo que restringe el secado a una sola de

las superficies planas. El contenido inicial de humedad será 15 % en peso y el contenido de

humedad en la superficie bajo condiciones de secado constante se mantendrá a 4 % en

peso. La difusividad efectiva del agua a través de la arcilla es 1.3x10-4 cm2/s.

Solución: Como la concentración de la superficie sólida es conocida y constante equivale a

un caso con Bi , siendo aplicables las ecuaciones (1.19b) y (1.19c) o las (1.29), (1.29a)

y (1.31), (1.31a) si se prefiere, en términos de relaciones en peso AW .

Usando EES (ver código en sección Notas al final del capítulo) los resultados obtenidos

son:

Por separación de variables

Fo=0,3666 N=3

t=70505 [s] theta_mt=0,3281

theta_zt=0,5152 wm=7,91

W_A=0,1111 W_Am=0,08589

W_Ao=0,1765 W_As=0,04167

Por transformada de Laplace

Fo=0,3666 N=5

t=70505 [s] thetaomLP=0,6719

theta_LPzt=0,4848 W_ALP=0,1111

W_ALPm=0,08589 W_Ao=0,1765

W_As=0,04167

El software puede producir un informe en PDF para lo cual debe instalarse el paquete

gratuito MikTeX Latex de la página http://miktex.org. En el manual o en la ayuda (help) se

encuentra más información en la sección LaTeX/PDF Report. Mostramos, como ilustración,

una parte del informe de este ejemplo:

Datos

0,05 .L m (1)

8 21,3 10 .ABD m s (2)

10.w (3)

http://miktex.org/


15.wo (4)

4.ws (5)

.100

Ao

woW

wo

(6)

.100

As

wsW

ws

(7)

2.AB

tFo D

L (8)

ˆ .z z L

ˆ 0.z (9)

5.N (10)

Método de Separación de Variables

duplicate 1;i N (11)

1

2 21

ˆcos 2 1 2 exp 2 1 42 1

t

t i z i Foi

(12)

end (13)

1..4zt NSum (14)

A As Ao As ztW W W W (15)

1001

A

A

Ww

W

(16)

duplicate 1;i N (17)

2 2

; 2

1exp 2 1 4

2 1m t i Fo

i

(18)

end (19)

;1..2

8mt m NSum

(20)

Am As Ao As mtW W W W (21)

1001

Am

Am

Wwm

W

(22)

Resultados 8 21,300 10ABD m s 0,3666Fo

0,05L m 5N


70505 19,58t s hr 0,3281mt

0,5152zt 10w

7,91wm 15wo

4ws 0,1111AW

0,08589AmW 0,1765AoW

0,04167AsW ˆ 0z

En algunas ocasiones, la geometría y la dirección de los ejes coordenados no son tan

obvias. Analicemos algunos casos.

Ejemplo 1.3: Un conducto vertical de 10 pulgadas de diámetro interior tiene una conexión

horizontal de prueba de 0.5 pulgadas de diámetro interior terminada en una válvula 2 pies

fuera de la línea grande. Hidrógeno fluye a través de la línea grande a 100 psia y 15 °C por

varios días, y la línea de prueba es purgada y la válvula cerrada. El gas que fluye se cambia

de hidrógeno a un gas reformado que contiene 70 % molar de hidrógeno y 30 % molar de

metano y el flujo continúa a 100 psia y 15 °C. Una hora más tarde, un poco de gas de

prueba es removido para análisis, abriendo la válvula. Estime la composición del primer

pequeño incremento de gas retirado, asumiendo que el gas en la pequeña línea de prueba

ha permanecido completamente estancado.

2 pies

10'’

Figura 1.7. Ej 1.3: Conducto vertical

Solución: El sistema a estudiar es el pequeño tubo lateral y aunque se trata de un tubo los

gradientes de concentración son axiales por lo que es simetría cartesiana unidimensional.

Si seleccionamos el eje z en la dirección axial de tubo en cuestión, tendremos que cuando

se purgó el sistema y se cerró la válvula de su extremo, la composición a todo su largo es

uniforme de H2 puro. Cuando se crea la perturbación, la composición en su extremo abierto

(izquierdo en la Figura 1.7) cambia a 70% molar de hidrógeno, y dado su pequeño diámetro

se puede asumir que no hay efectos convectivos, es decir que los cambios que ocurran a lo

largo del tubo pequeño son solamente por difusión molecular. Con presión y temperatura

constantes en el sistema gaseoso, existe contradifusión equimolecular. Aplicando un


balance para la especie A en una longitud diferencial del tubo se llega a la ecuación

(1.25a):

2

2

z

cD

t

c AAB

A

,

dividiendo ambos lados de la igualdad por c , la concentración total que es constante por

estar a temperatura y presión constantes, se obtiene

2

2

A AAB

y yD

t z

, (1.25c)

aquí /A Ay c c es la fracción molar en la fase gaseosa. Observando que en el extremo

cerrado por la válvula no pasa la especie A, en él se cumple que / 0Ay z , condición

correspondiente a una superficie adiabática en transferencia de calor o impermeable al

soluto en transferencia de masa, equivalentes a su vez a un plano de simetría en una placa

del doble del espesor, 2L . Con esta observación, si se elige el origen del eje z en la válvula

y su dirección positiva hacia la salida del tubo pequeño (que es el sistema que se analiza),

la ecuación diferencial (1.25c) tiene por solución las ecuaciones (1.19b) y (1.19c) o las

(1.29), (1.29a) y (1.31), (1.31a) si se prefiere, en términos de fracciones molares.

Visto así la condición en z L es

0.70; en 0 es / 0 y en 0 es 1, con 2 pieAs A Aoy z y z t y L .

Se debe determinar la difusividad del H2 en el CH4 a las condiciones de presión y

temperatura estipuladas. Todo esto es sencillo usando EES (ver código en sección Notas),

de donde se obtienen los siguientes resultados:

1..4 .zt NSum .A As Ao As zty y y y

20,000009734 .ABD m s 0,0943.Fo

1$ ' '.G hydrogen 2$ ' '.G methane

0,6096 .L m 5.N

689476 .P Pa 288 .T K

0,9574.zt 3600 .time s

4.ws 0,1111.AW


0,08589.AmW 0,1765.AoW

0,04167.AsW ˆ 0.z

0,9872.Ay

El valor de Fo es pequeño, sin embargo, los 5 términos en la sumatoria son suficientes

pues el último es despreciable como lo muestra la Tabla 1.2:

i z i

1 0.7924

2 -0.04106

3 0.0005954

4 -0.000001598

5 7.256E-10

Tabla 1.2. Primeros 5 términos de la sumatoria usando EES

Parece más práctico, en este caso, usar las ecuaciones basadas en el método de

Transformada de Laplace, los resultados obtenidos son:

20,000009734 .ABD m s 0,0943.Fo

1$ ' '.G hydrogen 2$ ' '.G methane

0,6096 .L m 5.N

689476 .P Pa 288 .T K

0,9574.LPzt 3600 .time s

0,9872.ALPy

De las ecuaciones (1.19) y (1.29) se nota que 1zt LPzt . Los términos de la sumatoria

son ahora:

i LPzt i

1 0,0426

2 -9,834E-12

3 2,262E-30

4 -3,779E-58

5 4,220E-95 Tabla 1.3. Primeros 5 términos de la sumatoria método transformada de Laplace


Aunque las ecuaciones que se usan por este método son menos familiares al estudiante, es

claro que, si se conoce previamente el valor del módulo de Fourier, es más conveniente

utilizar las ecuaciones (1.29) si 0.25Fo y las ecuaciones (1.19) si 0.25Fo . Esto

especialmente si se trabaja con calculadoras científicas en lugar de computadoras, caso en

el cual se asegura una muy buena exactitud usando solo el primer término de la sumatoria

correspondiente.

Para verificar los límites de esta aproximación generamos la Figura 1.8 comparando

resultados a un término y a 10 términos variando Fo:

Figura 1.8. Solución gráfica, aproximación a un término variando Fo

La Tabla 1.4 muestra valores obtenidos con 10 y con 1 término por el método de

separación de variables ( 1,A Ay y ) y por el método de transformada de Laplace ( 1,ALP ALPy y ).

La Tabla 1.5 enseña los mismos valores para la zona crítica establecida donde comienzan

a ser inexactos los cálculos a un término para ambos métodos. Estas tablas se grafican en

la Figura 1.8 y Figura 1.9 respectivamente. Del análisis de tablas y gráficos se obtiene un

estimativo de Fourier crítico 0.26 donde coinciden los cuatro valores a tres cifras decimales.

Fo Ay 1Ay ALPy 1ALPy

0,01 1 1,148 1 1

0,1 0,9013 0,9191 0,9013 0,9013

0,2 0,7162 0,7181 0,7162 0,7162

0,3 0,5609 0,5611 0,5609 0,5605

0,4 0,4384 0,4384 0,4384 0,436

0,5 0,3426 0,3426 0,3426 0,3354

Fo 10A svy 1A svy 10ATLPy 1ATLPy

0,2 0,7162 0,7181 0,7162 0,7162

0,21 0,6991 0,7006 0,6991 0,6991

0,22 0,6823 0,6836 0,6823 0,6823

0,23 0,6659 0,6669 0,6659 0,6659

0,24 0,6499 0,6506 0,6499 0,6498

0,25 0,6342 0,6348 0,6342 0,6341

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 10

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

Fo

yA

Fo

yA

LaPlace 1 términoLaPlace 1 término

Separación Variables 1 términoSeparación Variables 1 término


0,6 0,2677 0,2677 0,2677 0,2526

0,7 0,2091 0,2091 0,2091 0,1831

0,8 0,1634 0,1634 0,1634 0,1237

0,9 0,1277 0,1277 0,1277 0,07236

1 0,09976 0,09976 0,09976 0,02736

Tabla 1.4. Valores obtenidos métodos separación variables y transformada de Laplace a 1 y 10 términos

0,26 0,6188 0,6193 0,6188 0,6187

0,27 0,6038 0,6042 0,6038 0,6036

0,28 0,5892 0,5895 0,5892 0,5889

0,29 0,5749 0,5751 0,5749 0,5745

0,3 0,5609 0,5611 0,5609 0,5605

0,31 0,5473 0,5474 0,5473 0,5468

0,32 0,534 0,5341 0,534 0,5333

0,33 0,521 0,5211 0,521 0,5202

0,34 0,5083 0,5084 0,5083 0,5074

0,35 0,4959 0,496 0,4959 0,4948

0,36 0,4838 0,4839 0,4838 0,4825

0,37 0,4721 0,4721 0,4721 0,4705

0,38 0,4606 0,4606 0,4606 0,4588

0,39 0,4493 0,4494 0,4493 0,4473

0,4 0,4384 0,4384 0,4384 0,436

Tabla 1.5. Valores obtenidos zona crítica métodos separación de variables y transformada de Laplace a

1 y 10 términos

De la Figura 1.9 se observa que ambas soluciones a un solo término coinciden para

0.2 0.4Fo . De la Figura 1.8 y la Tabla 1.4, se concluye la validez de la solución por

separación de variables a un término, a 4 cifras decimales para 0.37Fo (a dos decimales

para 0.2Fo ), y la solución por transformada de Laplace es satisfactoria, a 4 cifras

decimales para 0.23Fo (a dos cifras para 0.4Fo ).

Figura 1.9. Solución gráfica a 1 y 10 términos métodos separación de variables y transformada de Laplace

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,60,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

Fo

yA

Separación de variables 1 términoSeparación de variables 1 término

Transformada de Laplace 1 término

Ambas soluciones 10 términosAmbas soluciones 10 términos


La aplicabilidad de estas correlaciones, en las que se tiene condición constante en la

frontera en lugar de convección, se analiza calculando el valor de la variable adimensional

en la superficie de la placa para diferentes valores de Bi usando para ello la función

incorporada en EES que usa 20 términos de la serie conducente a la ecuación (1.19). Se

observa entonces que el concepto de baja resistencia externa se puede aplicar para valore

de Bi del orden de 40 o superiores. Se debe tener precaución pues la función incorporada

viene por defecto separada con comas y no puntos y comas como requiere el teclado en

español:

THETA_s=planewall_T_ND(x_bar; Fo;Bi)

x_bar=1

Bi=100

{Fo=,1 "a variar"}

Fo 40Bi 50Bi 100Bi

0,1 0,04446 0,03561 0,01783

0,2 0,03116 0,02493 0,01246

0,3 0,02416 0,0193 0,009611

0,4 0,01905 0,01518 0,007527

0,5 0,01505 0,01197 0,005907

0,6 0,0119 0,009442 0,004638

0,7 0,009411 0,007449 0,003641

0,8 0,007441 0,005876 0,002859

0,9 0,005884 0,004635 0,002245

1,0 0,004652 0,003657 0,001763 Tabla 1.6. Valores de Fo a diferentes Bi

A efecto de revisar el concepto sobre cortos tiempos para la pared convectiva, procedemos

a desarrollar una ecuación similar a la (1.19) para el ejemplo 1.1 con base en la

transformada de Laplace. El planteamiento es idéntico al que nos lleva a la ecuación (1.27)

pero se diferencia en el análisis de las condicioes de frontera:

2

1 2exp exp con o

AB

Y pY C mz C mz m

Dp , (1.27)

límite para 0z ,

0expexp 21 mzmCmzmCdz

Yd.

Esto implica que

1 2 1 21 1 0 entonces C m C m C C .

Ahora para z L , T

k h T Tz

, es decir


1 2 1 2 0 /

mL mL mL mLk C me C me h C e C e Y p

,

Con 1 2C C C se obtiene

0/ /mL mL mL mL

C k m h e e e e Y p

.

Reemplazando se obtiene

0

/

mz mzo

mL mL mL mL

Y Y e eY

p p e e k m h e e

.

Dividiendo numerador y denominador de la fracción en el paréntesis cuadrado por

exp :mL

20

1 1

1 / 1 /

m L z m L z

mL

Y e e

Y p p k m h k m h e

.

Esto puede escribirse como

20

1 1

1 / 1 /1

1 /

m L z m L z

mL

e eY

Y p p k m h k m h e

k m h

.

Recordando la fórmula de Maclaurin

12 3 1

0

11 1 1

1

n nn n

n

x x x x xx

,

3 3

20

/ /1 /

/ /

m L z m L z m L z m L zh k h k mY h ke e e e

Y p p h k m p h k m

Como se observa, cada término de la serie es más complejo. Invirtiendo solo los dos

primeros términos obtenemos una solución válida para tiempos cortos ( y grandesp m ). Los

ítem 1 y 37 de la tabla A.5 son aplicables:


2

2

1 *

0

1 *

1 * 1 * 1 *1 erfc erfc erfc

2 2 2

1 *erfc .

2

Bi z Bi Fo

Bi z Bi Fo

z z zT Te Bi Fo

T T Fo Fo Fo

ze Bi Fo

Fo

(1.32)

También

2

2

1 *0

0

1 *

1 * 1 * 1 *erfc erfc erfc

2 2 2

1 *erfc . (1.32a)

2

Bi z Bi Fo

Bi z Bi Fo

z z zT Te Bi Fo

T T Fo Fo Fo

ze Bi Fo

Fo

A continuación, hacemos una comparación con los resultados para el método de

separación de variables a 1 y a 20 términos y el método de transformada de Laplace,

ecuaciones (1.32 y 1.32a), para el caso del ejemplo 1.1 (ver código en sección Notas).

Fo 1T EEST LPT

0,01 40,97 40 40

0,1 40,39 39,95 39,95

0,2 39,76 39,6 39,6

0,3 39,15 39,1 39,1

0,4 38,56 38,54 38,54

0,5 37,99 37,98 37,99

0,6 37,43 37,43 37,45

0,7 36,9 36,9 36,94

0,8 36,38 36,38 36,45

0,9 35,87 35,87 35,98

1 35,38 35,38 35,53 Tabla 1.7. Valores obtenidos de temperatura por cada uno de los métodos

De los valores calculados se observa que la solución por separación de variables a un

término, 1T , se acerca a la solución a 20 términos por encima, siendo aceptables sus

valores para 0.3Fo . De otra parte, la solución por transformada de Laplace, LPT , da

excelentes resultados para 0.5Fo , pudiéndose reemplazar por la solución a un término a

partir de este valor.


Figura 1.10. Solución gráfica a 1 sólo término por los métodos separación de variables y transformada de

Laplace y a 20 términos usando EES

Ejemplo 1.4 (Problema 14.46 Incropera et al.[37] p 978): Un estanque solar opera sobre el

principio de que las pérdidas de calor de una capa poco profunda de agua, que actúa como

un absorbedor solar, se pueden minimizar al establecer un gradiente de salinidad vertical

estable en el agua. En la práctica tal condición se puede lograr mediante la aplicación de

una capa de sal pura al fondo y agregar una capa superpuesta de agua pura. La sal entra

en la solución en el fondo y se transfiere a través de la capa de agua por difusión, con lo

que se establecen condiciones de sal estratificada.

Como primera aproximación, la densidad total de masa y el coeficiente de difusión para

sal en agua ( ABD ) se pueden suponer constantes, con 9 21.2 10ABD m s .

a) Se mantiene una concentración de saturación de As para la sal en solución en el

fondo de la capa de agua. La

capa de agua tiene espesor

1 mL . ¿Cuánto tiempo

transcurrirá para que la

concentración másica de la sal

en la parte superior de la capa

alcance 25% de la de

saturación? Figura 1.11. Ej 1.4: Estanque solar

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 135

36

37

38

39

40

41

Fo

T °

C

Separación de Variables 1 términoSeparación de Variables 1 término

Transformada de Laplace 1 términoTransformada de Laplace 1 término

EES a 20 términosEES a 20 términos

Agua

(en reposo)z

Sal

L


b) En el tiempo que se requiere para alcanzar 25% de saturación en la parte superior

de la capa, ¿cuánta sal se transfiere desde el fondo hacia el agua por unidad de

área superficial (kg/m2)? La concentración de saturación de la sal en solución es

3380As kg m .

a) Si el fondo se vacía de sal en el momento en que la densidad de sal alcanza el 25%

de la saturación en la parte superior, ¿cuál es la concentración final (estado estable)

de la sal en el fondo? ¿Cuál es la concentración final en la parte superior?

Solución: Para difusión en fase líquida podemos despreciar el término de arrastre por lo que

la ecuación (1.25a) escrita en términos de concentraciones másicas volumétricas es

2

2

A AABD

t z

.

La concentración en la parte inferior es constante y conocida. A través de la superficie

superior la sal no atraviesa pues no es volátil. Para que las condiciones límite coincidan con

las que nos llevaron a las ecuaciones (1.19) (1.29) y (1.31) para 40Bi , el origen se debe

tomar en la superficie libre. Así, en la superficie libre se cumple 0, / 0Az z , y en el

fondo del estanque, , A Asz L constante. La ecuación (1.19) se escribe entonces

12

0 1

14cos * exp

2 1

nA AS

n nA AS

z Fon

. (i)

Aquí los valores propios son una secuencia simple:

2 1

2n

n

.

De los datos del problema, la concentración adimensional será:

0.25 10.75

0 1

.

Esta es válida para * 0z , por lo que la ecuación (i) debe resolverse para Fo .

Para la parte (b) es suficiente conocer la concentración promedia en el momento que se

alcanza la concentración pedida en la superficie libre. Esta se multiplica por el volumen de

líquido (en este caso 1 m3) y se obtienen los kg disueltos en este tiempo, pues

originalmente el agua estaba pura, es decir 0Ao .


La parte (c) se responde con el valor encontrado en la parte (b) para la concentración

promedia que es el valor uniforme que alcanzará la solución luego de un tiempo infinito, o si

se mezclara de manera uniforme, pues no está entrando más soluto al sistema.

Usando EES (ver código en sección Notas al finaldel capítulo) se obtienen los siguientes

resultados:

0,2125.Fo 81,770 10 49179 5.6 .t s hr años

197.3 .M kg 3197,3 .Am kg m

5.N 3_ 95 .rho Ac kg m

3_ 0 .rho Ao kg m 3_ 380 .rho As kg m

21 .S m 31 .V m

_ 0,4807.theta mt _ 0,75.theta zt

Observando la Tabla 1.8 que nos muestra los términos de las sumatorias, se evidencia que

la solución manual mejoraría muy poco haciendo el cálculo con dos términos, pero la

dificultad operativa se aumentaría por hacerse necesario tanteo para la solución.

theta[i] theta_m[i]

0,592 0,592

-0,002978 0,0009927

4,070E-07 8,139E-08

-9,991E-13 1,427E-13

4,031E-20 0 Tabla 1.8. Términos de las sumatorias

El número de Fourier es un poco menor que el valor crítico para placa plana haciendo que

el error involucrado al usar un solo término para cálculo con calculadora normal sea del

orden del 1%, suficientemente aproximado para la mayoría de las aplicaciones. Además, si

se usa la solución por transformada de Laplace cuando, como en este caso, la incógnita es

el tiempo, se requeriría prueba y error para solución con calculadora, inclusive si se usara la

ecuación (1.30c).

Ejemplo 1.5: Interdifusión de dos gases: Un procedimiento experimental común para la

medición de la difusividad en sistemas gaseosos binarios emplea una cavidad cilíndrica

dividida por una separación que puede removerse. Un gas A llena inicialmente la cavidad

de un lado de la partición y un gas B el otro lado. Se remueve el separador y se permite que

ocurra la difusión a temperatura y presión constantes, sin convección, durante un tiempo


medido. Se coloca nuevamente el diafragma y los gases de cada mitad del cilindro son bien

mezclados y analizados.

Si esto ocurre en un cilindro de 120 cm de longitud, con helio en un compartimento y

metano en el otro, a presión total de 5 atm y 20 °C de temperatura, se requieren 2.5 hr para

que la concentración media del helio baje a 00.7 Ac en una mitad y aumente a 00.3 Ac en la

otra, calcule la difusividad para este sistema.

Solución: Suponiendo que el diafragma en cuestión se encuentre a la mitad del recipiente,

la concentración final de equilibrio, después de un tiempo infinito de haberse quitado la

separación será mitad A y mitad B, que en términos de fracciones molares de la fase

gaseosa corresponde a 0.5A By y . Según la descripción de la situación, es claro que

habrá contradifusión equimolecular pues la presión total sobre el sistema y su temperatura

permanecen constantes, no hay reacción química homogénea y siendo el cilindro

suficientemente estrecho podemos aceptar que sólo hay difusión en la dirección axial. Por

lo tanto tenemos:

2

2

A AAB

y yD

t z

.

Siendo los gases puros y a la misma presión en las dos mitades, entonces las

concentraciones serán simétricas alrededor del punto medio y será necesario obtener una

solución sólo para la mitad. Si tomamos la mitad izquierda del tubo como el lugar donde

inicialmente se encuentra la sustancia A, para el tiempo 0t cuando se remueve la

separación, la concentración es uniforme para toda la longitud L (tomamos el total del tubo

como 2L ) 1.0Aoy . La base izquierda del tubo es impermeable a la difusión del gas por lo

que se cumple, si tomamos allí el origen coordenado, que para 0, / 0Az y z . Así

mismo, en el punto intermedio, siempre estará la concentración de equilibrio, es decir para

, 0.5Asz L y , constante. Es entonces aplicable la ecuación (1.19c) pues se conocen es

las concentraciones promedio después de terminar el experimento:

2 2

2 20 1

2 18 1exp

42 1

Am AS

A AS

ny yFo

y y n

.

Con el código en EES (ver en sección Notas al final del capítulo) se obtienen los resultados:

0,00001146 m ^ .2ABD s 0,00001343 m ^ 2 .EESD s


0,2864.Fo _ 0,4.theta mt

Sherwood, Pigford y Wilke dan un valor experimental para la difusividad Helio - Metano a

298 K y 1 atm, 20.675ABD cm s . Corrigiéndola para las condiciones del experimento

tenemos:

1.5 20.675 5 293 298 0.7769 0.7793 0.1312 cmABD s . Este resultado está ajustado

al valor calculado usando la subrutina D_12_gas del EES, como se puede observar. El

número de Fourier está por encima del valor crítico por lo que parece adecuado el cálculo

con un solo término.

Calentamiento por inducción electromagnética

El calentamiento por inducción electromagnética es un método rápido, eficiente, preciso, sin

contacto directo para calentar metales u otros materiales conductores de la electricidad.

Una característica importante de este proceso es que el calor se genera dentro del objeto

mismo, y no por una fuente externa de calor, como en los sistemas convección –

conducción.

El calentamiento por inducción se usa en muchos procesos industriales, tales como para

fundir los metales refractarios (Nb, Ta, Mo, W, Re) con temperaturas de fusión mayores a

los 2000 K. También en la industria de los semiconductores, y fogones de inducción.

El calentamiento por inducción permite calentamiento preciso de un elemento como en el

caso del endurecimiento superficial, soldadura de precisión, etc.

Dependiendo de la frecuencia inducida, la zona de calentamiento varía, para pequeñas

frecuencias la penetración es alta, pero para frecuencias altas el efecto de calentamiento se

concentra en zonas tan delgadas que para todos los efectos prácticos se puede considerar

originado en la superficie (skin effect).

Para frecuencias de 200 kHz la penetración (región donde se presenta el calentamiento) es

del orden de 12 mm , pero para frecuencias de la corriente inductora de 5 MHz, la

penetración es tan baja como 310 mm .

En estas condiciones, el calentamiento por inducción electromagnética puede modelarse

como si existiera una fuente de calor constante en la superficie del sólido. Este calor se

disipa parcialmente por conducción hacia el interior del sólido y parcialmente por

convección hacia el medio circundante.

Para el caso de una placa plana cuya otra superficie está aislada el análisis será:


2

2

T T

t z

. (i)

En la superficie, el calor generado se dividirá entre el que se disipa hacia el medio con

temperatura igual a la inicial de todo el sistema 0T y coeficiente convectivo h , y el que es

conducido hacia el interior del sólido de conductividad térmica k y longitud característica L

(distancia desde la superficie aislada hasta la superficie donde ocurre el calentamiento):

0 para T

q k h T T z Lz

. (ii)

En la superficie aislada se cumple

0 para 0T

zz

. (iii)

Hacemos el siguiente cambio de variables:

0

2, * , .

/i

t z T Tz

L L q h

La ecuación (i) toma entonces la forma

2

*

i i

z

. (iv)

La condición de frontera (ii) toma la forma, para * 1z

1 siendo *

ii

hLBi Bi

z k

, (v)

esta condición límite no es homogénea. Haciendo 1 i obtenemos

2

2*z

. ver ecuación (1.9)

La condición límite (v) toma la forma


*Bi

z

. ver ecuación (1.10b)

Para * 0z se cumple que

0*z

. ver ecuación (1.10a)

La condición inicial en 00, 0, , 0it T T .

1 . ver ecuación (1.10c)

Por el método de separación de variables obtenemos una función del tiempo tal como la

ecuación (1.16)

2

1 expG C .

La otra ecuación se resuelve lo mismo que la (1.17) llegando a:

2 *

1

exp( )cos( )n n n

n

C z

,

es decir

2 *0

1

1 exp( )cos( )/

i n n n

n

T TC z

q h

, (1.33)

tann n Bi ,

2sin

sin( )cos( )

nn

n n n

C

.

Esta solución es similar a la obtenida para la placa plana calentada o enfriada hacia un

medio con temperatura constante T desde una temperatura inicial uniforme 0T , razón por

la cual los llamados gráficos de Heisler se pueden usar también para analizar problemas de

calentamiento por inducción electromagnética. Se analizan a continuación dos ejemplos

presentados por (Heisler, 1947):


Ejemplo 1.6: Se calienta por inducción electromagnética de alta frecuencia una placa de

acero de 0.5 plg de espesor. El otro lado se encuentra aislado. Se deben alcanzar 1600 °F

en 1.5 s en la superficie expuesta. ¿Cuál es el suministro de energía necesario en W/plg2?

¿Cuál será la temperatura del centro en ese momento? La temperatura inicial de la placa,

igual a la de los alrededores es 70 °F, la conductividad térmica del acero k = 25 Btu/hr-pie-

°F; la densidad es 3460 lb pie ; calor específico CP = 0.120 Btu/lb-°F. El coeficiente

convectivo promedio, por radiación se estima en 9.9 Btu/hr-pie2-°F (La temperatura de la

superficie cambia de 70 °F hasta 1600 °F en el período de calentamiento, considerándose

que la mayor parte del tiempo está a temperatura alta (2/3)1600=1070 °F). Haga el mismo

cálculo para un período largo de calentamiento, de 200 s. (ver código de solución en

sección Notas).

Las ecuaciones formateadas se ven así:

10

lowerlimit 1 0,000001 for 1 to N

upperlimit lowerlimit for 1 to 2

guess lowerlimit for 1 to 4

1 for 1 to

tan

i

i i

i i

N

i i

i N

i N

LBi h

k

i NBi

2

1..

2

2 for 1 to cos

ˆ

ˆexp cos for 1 to

i

i i

zt N

senC i N

sen

zz

L

C Fo z i N

Sum

timeFo

L


1

01

0

1

ˆ 1

70

p

i zt

si

k

C

z

T T

q

h

T F

2

3

0

;

1600

9,9

25

460

0,12

1,5

3600

ˆplanewall ; ;

ˆ 0

1

0,5

12

s

p

c io

o T ND

io o

T F

h Btu hr ft F

k Btu hr ft F

lb ft

C Btu lb F

timehr

qT T

h

x Fo Bi

x

Lft

Los resultados obtenidos son:

2α = 0,4529m s. 0,0165.Bi

0,1087.Fo 0,04167 pie.L

0,0004167 hr.time 6 22,480 10 .q Btu hr ft

_ 113,2 temperatura en el centro después de 1.5 s.T c F

_ 1600 temperatura en la superficie después de 1.5 s.T s F

Resultados para un tiempo de calentamiento de 200 s


270132 .q Btu hr ft

_ 1558 temperatura en el centro después de 200 s.T c F

_ 1600 temperatura en la superficie después de 200 s.T s F

1.2 Simetría Esférica

1.2.1 Esfera con temperatura inicial constante y superficie convectiva

Los cálculos de geometría esférica se convierten a geometría cartesiana con un cambio de

variable. Por esta razón los resultados son similares a los obtenidos para la placa plana.

El modelo matemático para este caso se configura así ecuación (1.3a) con 2m o

ecuación (1.8) con 2m , o ecuación (1.6a):

2

2

2 2

1 2 1T T T Tr

r r r r r r t

, (1.6b)


en 0 / 0; en T

r T r r R k h T Tr

.

En términos adimensionales, a partir de la ecuación (1.9)

2

2

2

* * *r r r

, (1.6c)

las condiciones límite son así:

0 para * 0*

rr

, (1.10a)

para * 1*

Bi rr

, (1.10b)

La condición inicial es

0 entonces 1 para t 0 por lo tanto 0 y 1T T Fo . (1.10c)


Como las condiciones límite son homogéneas se puede usar el método de separación de

variables

*, *r F r G . (1.11)

Reemplazando en (1.16c)

2 2

* * *

dG d F dFF G

d dr r dr

, (1.12a)

2

21 1 2

* * *

dG d F dF

G d F dr r dr

, (1.13a)

2 0dG

Gd

, (1.14)

2

1 expG C Fo , (1.16)

22

2

20

* * *

d F dFF

dr r dr . (1.15a)

De manera más compacta

2 2

2

1* 0

* * *

d dFr F

r dr dr

. (1.15b)

En esta simetría, haciendo que la variable dependiente, F se modifique haciendo

f rF r

r ,

2

dF 1 f d f

dr r r d r ,

2

2

2

dFd d df df d f d fr f r r

d r dr dr d r d r d r d r

,

por lo tanto:


22

2

d dF d fr r

dr d r d r

.

Las ecuaciones (1.15) se transforman en:

22

20

*

d ff

dr .

Las ecuaciones (1.18) siguen siendo válidas

4 5cos * sin *f C r C r .

Regresando a la variable F:

4 5

cos * sin *

* *

r rF C C

r r

, (1.34)

5 42 2

cos * sin * sin * cos *

* ** *

r r r rdFC C

dr r rr r

. (1.35)

Multiplicando todos los términos por 2*r , se observa que 4 0C para que se cumpla la

condición (1.10a). Para que se cumpla (1.10b) en * 1r :

5 5cos sin sinC C Bi ,

teniendo en cuenta que hay un número infinito de valores de que satisfacen la ecuación

planteada escribimos:

1 sin cosn n nBi . (1.36)

La solución de la ecuación (1.11) será la suma de todas las soluciones posibles

2

1

sin *exp

*

n

n n

rC Fo

r

. (1.37)


Reemplazamos por su equivalente Fourier y nC incluye las constantes 1 4C C que

determinamos usando la condición inicial y la condición de ortogonalidad de las funciones

propias, ecuaciones (1.16). Para 0t :

1

sin *1

*

n

n

rC

r

. (1.38)

Multiplicando ambos lados por *sin *nr r ( *r es la función de peso en este caso) e

integrando, sabiendo que los otros términos de la sumatoria ( n m ) se hacen cero:

1 1

2

0 0*sin * * sin * *n n nr r dr C r dr . (1.39)

Escribimos entonces la solución como

2 *

*1

1exp( ) ( )n n n

n n

C Fo sen rr

, (1.40)

donde * rrR

, posición adimensional, y

Figura 1.12. Geometría esférica

4 ( ) cos( ) cos2

2 (2 ) cos

n n n n n n

n

n n n n n

sen senC

sen sen

, (1.41)

y los valores discretos de n son las raíces positivas de la ecuación trascendental

1 sin cosn n nBi que aparecen en los intervalos

1 con 1, 2,nn n n

Con frecuencia se escribe así:

Binn cot1 , (1.36a)

con esta correlación podemos expresar los coeficientes nC como (Baehr, 2011) p.170,

(Rohsenow, 1973) p.153:

R

,T h


1/ 22222

1

2 2 2

2 12 11

1

nnn n

n

n n n

Bi BiBi sen BiC

Bi Bi Bi Bi

.

Para transferencia de calor

0

y T T hR

BiT T k

. (1.42a)

Para transferencia de masa

0

, .A A c

A A AB

c mc k RBi

c mc mD

(1.42b)

Cuando 0r , por L’Hopital se demuestra que: * * 1n nsen r r , es decir:

2

1 1exp( )C C Fo , temperatura adimensional en el centro.

Para determinar la cantidad de calor (o de masa) transferidos en un intervalo de tiempo, es

necesario conocer los valores promedio en el sólido:

Partiendo de la ecuación (1.35) se tiene:

2

2

3 30 10

3 exp( ) 3 ( ) cos( )

Rm n n

n n n

n n

C For dr sen

R

. (1.35a)

Figura 1.13. Solución gráfica *cos 1 * para 1y Bi sen Bi

0 3,142 6,283 9,425 12,57-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

l

y


Ejemplo 1.7: Analizar una esfera de un acero inoxidable de diámetro 10 cm que se enfría

desde una temperatura uniforme de 40 °C hasta que su temperatura máxima sea de 30 °C,

en aire a 20 °C con coeficiente convectivo 120 W/m2.K. Las propiedades del sólido pueden

considerarse constantes en los siguientes valores: conductividad térmica k = 17.14 W/m.K,

densidad 38563kg m , calor específico CP = 512 J/kg.K. Estimar el calor cedido por el

sólido en este tiempo. ¿Cuál es la temperatura de la superficie en ese momento?

NOTA: Observe que si va a determinar la temperatura en el centro, 0r , la ecuación

(1.35) se vuelve indeterminada, pero en el límite sin(lambda_n*r_hat)/(lambda_n*r_hat) = 1

A partir de la solución con EES donde se ilustra el uso del comando ”FUNCTION” que

permite al programa tomar decisiones (ver código en sección Notas al final del capítulo) se

obtienen los resultados:

6 23,909 10 .m s 0,3501.Bi

_ 45912 .E so J _ 25127 .E s J

0,807.Fo 3.N

_ 0,05 .R o m 30,0005236 .Vs m

30.T 516,1.time

T_infinity 20. T_m 29,05.

T_o 40.

lambda[i] theta[i] theta_m[i]

0,9897 0,5 0,1509

4,571 4,424E-17 9,313E-10

7,771 6,250E-23 0 Tabla 1.9. Valores obtenidos

Fo T T_EES

0,01 41,83 40

0,1 39,99 39,61

0,2 38,12 38,08

0,3 36,43 36,43

0,4 34,9 34,9

0,5 33,51 33,51

0,6 32,25 32,25

0,7 31,11 31,11

0,8 30,07 30,07

0,9 29,13 29,13

1 28,28 28,28 Tabla 1.10. Resultados para la esfera


Figura 1.14. Perfil de temperaturas en la esfera en dos tiempos diferentes

Figura 1.15. Fourier crítico esferas

0,2 0,4 0,6 0,8 125

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

r

T °

C

251 s

516 s

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 125

27

29

31

33

35

37

39

41

43

45

Fo

Tcen

tro

N=20

N=1


Comentario: Comparando con el Ejemplo 1.1, los perfiles son más planos que en la placa.

Así mismo, el cálculo con un solo término de la sumatoria converge más rápidamente al

cálculo exacto (20 términos en este caso), pudiéndose considerar un 0.20cFo .

1.2.2 Resistencia despreciable en la superficie 40Bi

Separación de variables

Se desarrolla a continuación una expresión que será válida para estos casos cuando

40Bi . Para una solución por separación de variables el planteamiento es idéntico al que

nos llevó a la ecuación (1.40) con excepción de la segunda condición límite: para

* 1, , 0sr T T F . La condición en el centro hace que, como antes, 4 0C (ecuación

(1.35)). La segunda condición de frontera requiere que (ecuación (1.34)):

0 entonces con 1, 2, 3,n nsen n n

La solución general es entonces

2 2

1

sin *exp

*n

n rC n Fo

r

. (1.43)

A partir de las condiciones iniciales y la ortogonalidad (ecuaciones (1.16)):

1 1

2

0 0*sin * * sin * *nr n r dr C n r dr ,

1

2 1n

nCn

,

1

2 2

1

1 *2exp

*

n

n

sen n rn Fo

n r

. (1.44)

Cuando *

0,*

sen n rr n

r

por aplicación de la regla de L’Hopital.

Esta concentración adimensional se expresa como


0

S

S

T T

T T

para transferencia de calor

0

A AS

A AS

c c

c c

o cualquiera de sus equivalentes para transferencia de masa.

La concentración promedia es necesaria para encontrar la masa o el calor cedidos o

ganados en un intervalo de tiempo. La concentración cambia con la posición en el volumen

por lo que:

12 2

3 0 0

1 33 * *

R

Am A A AV

c c dV c r dr c r drV R

,

pues 34 / 3V R y 24dV r dr

Entonces, la concentración promedia adimensional m será:

1

2 2 2

2 21

6 13 * * expm

on

r dr n Fon

, (1.45)

esta concentración adimensional se expresa como

0

m Sm

S

T T

T T

para transferencia de calor

0

Am ASm

A AS

c c

c c

o cualquiera de sus equivalentes para transferencia de masa.

Transformada de Laplace

Estas expresiones convergen rápidamente para 0.2Fo . Una solución que converge

rápidamente para 0.2Fo se obtiene resolviendo la ecuación (4.5) usando transformada

de Laplace (Crank, The Mathematics of Diffusion, 1964) p. 86 – 87):

Un balance térmico, sin generación escrito en coordenadas esféricas y sabiendo que T

sólo depende de r , produce la ecuación gobernante:


2

02

10, ; ;p s

T TC k r t T T r R T T

t r r r

,

o haciendo 0Y T T ,

Y

t

Y

r r

Y

r

2

2

2.

Condiciones de frontera :

0 0

0

0, 0 , 0 condición inicial,

Y=Y , , 0 condición de borde.s s

T T r R t

T T r R t

Haciendo u Y r , obtenemos:

2

2

u u

t r

,

0 0, 0 , 0,

, , 0.s s

u r R t

u Y R u r R t

La transformada de Laplace y las condiciones límite son

2

20

d u pu

dr ,

en ; 0 en 0s r R rp

.

Luego la solución es:

1 2exp expp p

C r C r

,

y al evaluar las constantes:


1; con

rq rq rq rq

s

Rq Rq Rq Rq

S

u e e Y R e e pu q

p e e Y r p e e

.

Dividimos numerador y denominador por Rqe obteniendo:

( )( )

2

1

1

R r qR r q

RqS

Y R e e

Y r p e

.

La expansión de Maclaurin al denominador:

2 4 2

2

11 0,1, 2,

1

Rq Rq nRq

Rqe e e n

e

El numeral 30 de la tabla de transformadas inversas de Laplace, tabla A.5 da:

erfc2

qxe x

p t

.

Aplicando esta transformación de manera repetida a los infinitos términos resultantes

obtenemos

1 1

2 20

2 1 2 1erfc erfc

4 4

o

ns o

n R r n R rT T R

T T r t t

. (1.46a)

Adimensionalizando

0

0

2 1 * 2 1 *11 erfc erfc

* 2 2S

n

n r n r

r Fo Fo

. (1.46b)

La temperatura promedio de la esfera mT en cualquier tiempo será:

0

1 1

6 13 12 6 2 3m

n n

Fo n nFo Fo ierfc Fo ierfc Fo

Fo Fo

. (1.47)

Recordamos


2

0

2erfc( ) 1 erf ( ) 1 exp

xx x d

, (1.30b)

)(

exp)()(

21 xxerfc

xxierfcxerfci

. (1.31b)

El flujo de calor hacia o desde la esfera es el flujo de calor a través de la superficie en

r R :

24

r R

TQ R k

r

.

Ejemplo 1.8: Se impregnaron partículas esféricas de alúmina de 10 mm de diámetro con

disolución 0.8 molar de sal de vanadio. Ahora se desea rebajar esta concentración a un

valor máximo de 0.5 molar situando las esferas en un tanque grande con agua pura a 283

K, bien agitada de forma tal que la concentración de sal en la superficie de las partículas

puede considerarse nula. Calcule la duración de la lixiviación y la concentración salina a 2

mm de la superficie una vez transcurrido dicho tiempo. La difusividad efectiva de la sal en el

agua que llena los poros es 5x10-8 m2/s.

Del problema se concluye que la resistencia a la transferencia externa es nula, por lo cual

y sBi es la concentración en la superficie, que entonces será cero.

a) Suponiendo (a comprobar luego) que el número de Fourier es mayor que 0.2, leemos de

la tabla A.1 que 1 1 y 2.0C . Reemplazando en la ecuación (1.40) a un término con

* 0r ,

20.52.0exp 0.1179 0.2

0.8Fo Fo ,

por lo que debemos usar un mayor número de términos en la sumatoria. Adaptando la tabla

A:4, observamos que 1

1, y que y que 2 1n

n nC Bi n C

. Usando los 6 primeros

términos de la serie obtenemos:

2

3

2 8

0.114378* 5 100.114378 entonces 57.2

5 10

ABxD t

Fo t sR x

.


b) Se usa la misma ecuación (1.40), pero ahora con * 3 5 0.6r . Teniendo presente

que para este número de Fourier el tercer término de la sumatoria ya es del orden de 10 -5,

usamos entonces solamente los dos primeros términos, obteniendo 30.2637Ac mol dm .

Usando EES (ver código en sección Notas al final del capítulo) se obtienen los resultados:

parte (a):

Se hace con la ecuación en separación de variables que permite el cálculo en

* 0r

0.1144; 0.625; 57.19Fo theta time s .

parte (b):

Se incluye el cálculo con la ecuación obtenida por transformada de Laplace. Se

anota que por este método es suficiente un término y por el de separación de

variables bastan dos términos.

c_A=0,2638 molar (serparación de variables). 0.1144.Fo

c_AL=0.2638 molar (transformada de Laplace). r_hat=0.6.

57.19 .time s 0.3297.

0 0.6703 1 .

Ecuación (1.44) Ecuación (1.46)

theta[i] thetao[i]

0,3263 0,4022

0,003411 5,224E-07

-0,000008043 0

-3,611E-09 0

-7,288E-26 0

Tabla 1.11. Valores obtenidos para partículas esféricas de alúmina


1.3 Simetría Cilíndrica

1.3.1 Cilindro sólido con convección

Analicemos un cilindro sólido largo de

longitud L y radio R , que se encuentra

inicialmente a temperatura uniforme 0T y a

partir del tiempo 0t se expone a un

fluido de temperatura constante 0T T y

coeficiente convectivo h . Debido a la

longitud del cilindro podemos asumir que

los gradientes de temperatura en el mismo

son radiales. A partir del balance

unidimensional (1.8) para geometría

cilíndrica:

Figura 1.16. Cilindro largo con convección

1 rH P

r

Q TC

S r t

, (1.8b)

con 2rS rL y /r rQ kS T r , sin generación, con p

kC

, obtenemos:

r

Tr

rrt

T , (1.8c)


0 0 0T

r tr

,

0

Tr R k h T T t

r

.

Esta condición límite no es homogénea, condición necesaria para aplicar el método de

separación de variables (al multiplicar los dos lados de la ecuación por una constante, la

ecuación se modifica). Para homogenizar esta última condición y facilitar la solución

hacemos los siguientes cambios de variable:

20/ ; ; *t rT T T T Fo rRR

,

R

h

r


que con 0 y T T constantes, nos modifica las ecuaciones anteriores así:

*

* *

1 para 0 ; 0r z L t

r r r

, (1.8c)

*

*0 0 0r t

r

,

*

*1 0 0

kr h t

R r

,

Con hRBik

esto es:

*

*1 0r Bi

r

,

y la condición inicial 0 1 cuando 0 para 0t r R . Ver ecuaciones (1.9) y (1.10)

con 1m

Para resolver el problema por el método de separación de variables se supone que

*,r puede representarse como un producto de funciones de la forma

* * , r F r G , (1.11)

donde F es alguna función solo de * y r G es alguna otra función solo de . Derivando,

reemplazando y organizando, la ecuación (1.9c) toma la forma

* 2

* * *

1 1dG Fr

G d r F r r

. (1.12)

La definición de y de F G implica que el lado izquierdo de la ecuación anterior es

independiente de *r mientras el lado derecho es independiente de . Ambos lados deben

por lo tanto ser iguales a una constante denotada por 2 , siendo un número real

diferente de cero por razones físicas y matemáticas (soluciones triviales o contradicción de

leyes termodinámicas). Este factor de separación es adimensional gracias a la

adimensionalización de variables hecha previamente. A partir de la primera de las dos

ecuaciones diferenciales resultantes,


2

1 expG C . (1.16)

La segunda ecuación diferencial que se obtiene es

* * 2

* *0

Fr r F

r r

, (1.15c)

con las condiciones límite

En * 0, 0*

dFrdr

, (1.15a)

En * 1, 0F

r Bi Fr

. (1.15b)

La ecuación (1.15c) es una ecuación de Sturm-Liouville con función de peso *r .

NOTA: Una ecuación diferencial ordinaria escrita en la forma general (Tosun, Modeling in

Transport Phenomena, 2007)

0p j kyx ax bx y j k

x x

, (1.48)

donde cualquiera, 2 o 0k p b , se conoce como ecuación de Bessel. Las soluciones

de esta ecuación pueden seguir el siguiente esquema, donde se definen las constantes

, y n :

2

2

p j

, (1.49)

1

2

p

p j

, (1.50)

2

1 4

2

p bn

p j

. (1.51)

La solución depende de si el coeficiente a en (1.48) es positivo o negativo.


Caso (i) 0a

Caso (ii) 0a

Se observa que la ecuación (1.9) encuadra en esta definición:

2

* ** * 0m mF

r r Fr r

, (1.9)

donde 2, 0, , 0m p b j m p a , por lo que

21 11, , , 0

2 2

m mn a

.

Por lo tanto, para la placa plana, con 1 10, 1, ,2 2

m n por lo que su

solución es:

1/2

1 1/2 2 1/2y x C J x C J x . (1.52)

Para el caso de la esfera, con 1 12, 1, ,2 2

m n ,

1/2

1 1/2 2 1/2y x C J x C J x

. (1.53)

Las funciones de Bessel de la mitad de un entero impar pueden representarse en términos

de funciones elementales, trigonométricas o hiperbólicas:

1/2

2sinJ x x

x , (1.54)

1/2

2cosJ x x

x . (1.55)

Por esta razón las soluciones dadas por las ecuaciones (1.52) y (1.53) convergen a las

ecuaciones (1.19) y (1.40).

Para el caso del cilindro, 1, 1, 0, 0m n número entero, 2 0a , la

solución es:


* *

2 0 3 0 2 3 siendo y constantesF C J r C Y r C C . (1.56)

El término pJ x es conocido como la función de Bessel de primera clase y orden p y

viene dado por

2 2

2 2

0 0

( 1) ( ) ( 1) ( )( ) , ( ) ,

!( )! !( )!

k k p k k px x

p p

k k

J x J xk k p k k p

2

2

0 020

( 1) ( )( ) , (0) 1.

( !)

k kx

k

J x Jk

Para el caso de 0 1 y J J estas series son:

2 4 6

2 2 20 2 2 2

11! 2! 3!

x x x

J x

2 4 6

2 2 2

1 12 1!2! 2!3! 3!4!

x x xxJ x

.

Estas funciones tienen la particularidad de que el resto de las funciones

con 2, 3, 4,nJ x n pueden expresarse en términos de las dos funciones

inmediatamente anteriores.

El término nY x se conoce como la función Weber de Bessel, de segunda clase orden n y

está dada por:

n

xJxJnxY nn

nsin

cos

,

como 0 30 entonces 0Y C .

La diferenciación de la función pJ x es:

1 1n n n n n

n nJ x J x J x J x J x

x x .

Aplicando la condición límite (1.25b), se obtiene


1 0J BiJ .

Esta ecuación trascendental provee un número infinito de valores propios para cada valor

de Bi . Por esta razón, llamando cada valor propio particular como n se escribe

1 0 1, 2, 3,n n nJ BiJ n (1.57)

La solución general se escribe como la suma de todas las soluciones posibles:

2 *

0

1

expn n n

n

C J r

.

Las constantes 1 2nC C C se evalúan a partir de la condición inicial 0; 1t

aprovechando la ortogonalidad de las funciones propias de las series de Fourier:

*

0

1

1 n n

j

C J r

. (1.58)

Como las funciones propias son ortogonales entre sí respecto a la función de peso,

multiplicamos ambos lados de la ecuación (x) por 0* *mr J r dr e integramos desde

* 0 hasta * 1r r , así:

11

* * * * * *

0 0 0

1 00

m n n m

n

r J r dr C r J r J r dr

. (1.59)

La integral de la derecha es cero si n m y diferente de cero si n m . Usando (Maple,

Waterloo Maple Software, Waterloo, ON, .)

0 0 1

1

* 2 * * 2 2

0

/ 2n n nr J r dr J J N

, (1.60)

1

* * *

0 1

0

1n n

n

r J r dr J

. (1.61)

Así la ecuación solución se escribe como:


2 *

0

10

exp( ) ( )n n n

n

T TC Fo J r

T T

, (1.62)

donde 2 ; *t rFo r

RR ,

1

2 2

0 1

( )2

( ) ( )

nn

n n n

JC

J J

, (1.63)

y los valores discretos de n son las raíces positivas de la ecuación trascendental:

1 0n n nJ BiJ . (1.57)

Estos valores propios se encuentran en los intervalos 1 nn n . La condición

para los valores propios también suele escribirse como

1

0

( )

( )

nn

n

JBi

J

, (1.57a)

a partir de esta relación, las constantes nC pueden escribirse como:

2 2

0

2n

n n

BiC

Bi J

, (1.58a)

y la ecuación (1.62) toma la forma

1

*

0

2

0

22

0

)()exp()(

12

n

nn

nn

rJFoJBi

Bi

. (1.62b)

Para transferencia de calor

0

T T

T T

y

k

hRBi .

Para transferencia de masa

0

A A

A A

c mc

c mc

,

AB

c

mD

RkBi .


Las cantidades 0J y 1J son las funciones de Bessel de primera clase y orden cero y uno

respectivamente.

Se hace claro en este momento que la solución manual implica cálculos dispendiosos, pues

aunque para 0.21Fo (Yovanovich) la serie converge rápidamente obteniéndose

resultados de precisión aceptables con el primer término de la serie, para valores menores

es necesario encontrar más términos lo que representa más valores propios y más

coeficientes. De hecho, hasta hace poco tiempo se usaban métodos gráficos de solución

tales como los de Gurney-Lurie de difícil uso o los de Gröber para cortos tiempos de

exposición ( 1Fo ). Los gráficos más utilizados fueron los de (Heisler, 1947) que mejoró la

precisión graficando la temperatura adimensional en el eje de simetría como ordenada

contra el número de Fourier como abscisa y el número de Biot como parámetro. Si se

requiere conocer la temperatura en un punto diferente del centro se debe usar un gráfico

auxiliar que relaciona la temperatura en el centro con la de cualquier punto. En las abscisas

va Bi y como parámetro una distancia adimensional. Los diagramas tipo Heisler aparecen

en muchos libros de texto y son muy utilizados. Sin embargo presentan limitaciones tales

como: no son válidos para Fo < 0.2, son difíciles de leer para valores de Fo del orden de la

unidad o menores, y el proceso de transitorio ya casi ha terminado para la mayor parte de

los diagramas. Por ejemplo, la temperatura adimensional 0, en el centro, eje o plano

de simetría de una esfera, cilindro o placa vale respectivamente, aproximadamente, 0.1,

0.2, y 0.5 para Fo = 1 y Bi = 1, habiendo entonces progresado el cambio un 90%, 80% y

50% en cada caso.

Figura 1.17. Primeros cinco valores propios de la ecuación (1.62) para 1 y 10Bi

0 1,57 3,14 4,71 6,28 7,85 9,42 10,99 12,56 14,13-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x

y


La Figura 1.17 grafica la función 1 0 para 1 y 10n n ny J BiJ Bi Bi . Los cortes

con el eje en 0y son los valores propios. Se observa que aparecen regularmente en

intervalos de .

Valores promedio:

Partiendo de (1.52) y sabiendo que

R

nn

n RJRdrrrJ

0

10

,

2

1

210 0

0

2 exp( ) ( )2

R

m n n nr

n n

C Fo Jrdr E

R

. (1.52a)

Usaremos una técnica similar a la desarrollada para la placa plana y para la esfera para

obtener automáticamente estos valores propios con la ayuda del EES.

Ejemplo 1.9: Analizar un cilindro largo de un acero inoxidable, de diámetro 10 cm que se

enfría desde una temperatura uniforme de 40 °C hasta que su temperatura máxima sea de

30 °C, en aire a 20 °C con coeficiente convectivo 120 W/m2.K. Las propiedades del sólido

pueden considerarse constantes en los siguientes valores: conductividad térmica k = 17.14

W/m.K, densidad 38563 kg m , calor específico CP = 512 J/kg.K. Estimar el calor

cedido por el sólido en este tiempo. ¿Cuál es la temperatura de la superficie en ese

momento?

Los resultados obtenidos usando EES que tiene entre sus funciones las funciones de

Bessel (ver código en sección Notas al final del capítulo):

E=371256 J Energía transferida al medio por unidad de

longitud del cilindro.

1,202Fo

t=768,8 s tiempo requerido para que la temperatura en el

centro cambie desde 40 °C hasta 30 °C.

10N

20T C . 29.22mT C .

28.46sT C . 30cT C .

T_o = 40 C . 3V = 0.007854 m .


Ejemplo 1.10: Una barra larga de madera con diámetro externo igual a 12 mm se expone a

aire de temperatura 1400 °C. Si la temperatura de ignición de la madera es de 425 °C,

determine el tiempo requerido para iniciar la combustión dado que la temperatura inicial de

la barra es de 10 °C. Tome k = 0.15 W/m.K; h = 16 W/m2.K; 3730 kg m , y

Cp = 25000 J/kg.K.

La ignición comienza cuando la temperatura de la superficie alcanza 425 °C (otras maderas

tienen temperaturas de ignición menores, por ejemplo el roble rojo enciende a los 275 °C).

Suponiendo un tronco largo, se usa la ecuación (1.61):

2 *

02 210 0

12 exp( ) ( )

( )n n

n n n

T TBi Fo J r

T T Bi J

,

con * 1r :

2

2 210

12 exp( )S

n

n n

T TBi Fo

T T Bi

,

0

16 0.006 425 14000.64, y 0.7014

0.15 10 1400

ST ThRBi

k T T

.

Usando EES con el mismo código del ejercicio anterior, se observa en la Tabla 1.12 que es

necesario usar por lo menos cuatro términos de la serie.

lambda[i] C[i] theta[i] theta_m[i]

1,047 1,142 0,6971 0,407

3,994 -0,1968 0,004353 0,0001747

7,106 0,08413 0,000002685 3,403E-08

10,24 -0,04883 6,985E-11 4,267E-13 Tabla 1.12. Valores obtenidos para la barra larga de madera

alpha=8,219E-09 m2/s. Bi=0,64.

Fo=0,1811. N=10.

theta_mt=0,8144 Sumatoria para la ecuación (1.52a).

theta_rt=0,7014 Sumatoria para la ecuación (1.62a).

time=793,2 [s] = 13.22 min, tiempo necesario para ignición.

T_m=267,9 Temperatura promedio al fin de este tiempo.


En la Figura 1.18 se observa la variación del perfil de temperaturas con el tiempo.

Figura 1.18. Perfil de temperaturas

1.3.2 Cilindro largo en estado transitorio, 40Bi

Solución por separación de variables

El desarrollo es en todo igual al anterior hasta la ecuación (1.15b) donde la condición límite

cambia:

En * 1, entonces 0sr T T F (1.15c)

La ecuación (1.9) con 1m es una ecuación de Bessel de orden cero:

2

* ** * 0

Fr r F

r r

.

La solución es la misma ecuación (1.56) que con la condición límite (1.15a) se reduce a:

*

0n nF C J r .

Por la condición límite (1.15c), para * 1r , las constantes n deben satisfacer 0 0nJ .

La solución general se escribe como la suma de todas las soluciones posibles:

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 10

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

r*

T °

Ct=793 [s]

t=500 [s]

t=200[s]


2 *

0

1

expn n n

n

C J r

.

Los coeficientes nC se determinan a partir de las condiciones iniciales ( 0; 1t )y las

propiedades de ortogonalidad de las funciones propias:

*

0

1

1 n n

j

C J r

.

Como las funciones propias son ortogonales entre sí respecto a la función de peso,

multiplicamos ambos lados de la ecuación (x) por 0* *mr J r dr e integramos desde * 0r

hasta * 1r , así:

1

210 0 12

0

* * * *n m nr J r J r dr J

si m n y cero en los otros casos.

La solución anterior tiene en cuenta que para este caso 0 0nJ por lo que difiere de

(1.60).

1J es una función de Bessel de primera clase y orden uno.

Por definición

1

0 1

0

1* * *n nn

r J r dr J

,

combinando las soluciones anteriores obtenemos

0 2

10 1

**, 2 exp

nSn

nS n n

J rr Fo

J

. (1.64)

Para la concentración promedio en el tiempo t :

R

m rdrtrR

t0

22,

1

,


20

210

14 expm

n

nS n

Fo

. (1.65)

Además 0)(0 xJ para 4 1 4x n con x lo suficientemente grande. Damos a

continuación algunos valores de las raíces de 0)( xJ p .

Orden

Raíz

p = 0 p = 0

4 1 4n

p = 1 p = 2 p = 3 p = 4

1 2.40483 2.35619 3.83171 5.13562 6.38016 7.58834

2 5.52008 5.49779 7.01559 8.41724 9.76102 11.06471

3 8.65373 8.63938 10.1734

7

11.61984 13.01520 14.37254

4 11.79153 11.78097 13.3236

9

14.79595 16.22346 17.61597

5 14.93092 14.92257 16.4706

3

17.95982 19.40941 20.82693

Tabla 1.13. Valores de las raíces de 0)( xJ p

Solución por Transformada de Laplace

Solución para tiempos cortos de contacto: A diferencia de las soluciones encontradas para

la placa y la esfera, la solución por transformada de Laplace para geometría cilíndrica, aún

para las condiciones de frontera más simples resultan en series con términos

progresivamente más complejos y por tanto son soluciones con poca aplicación práctica.

Recordemos el planteamiento del problema:

S Srt r r r

, (1.8d)


0 0 0Sr tr

,

= 0 0Sr R t ,

y condición inicial

0 1St .


La transformada de la ecuación (1.8d) es

2 1d dr q r r

dr dr

. (1.66)

Las condiciones límite:

0 entonces 0, entonces 0d

r r Rdr

.

La solución de esta ecuación no homogénea es:

0

0

1S

I qr

p pI qR . (1.67)

Recordando que para pequeños valores de tiempo corresponden valores grandes de p (o

de /q p ), se usa una expansión asintótica de 0I x :

2

0 2

1 31

1!82 2! 8

xeI x

xx x

.

Después de bastante álgebra (Arpaci, 1966) p. 421 y 145) la solución ya transformada es

de la forma

2 3/2

0

2

5/2

1 *1 1 * 1 *

* 4 *2 2

9 2 * 7 * 1 *

32 * 2

S

S

r For rerfc ierfc

r rFo Fo

r r rFo i erfc

r Fo

(1.68)

Esta solución se restringe a valores de tiempo pequeños pero a valores de *r no muy

pequeños y qr tampoco debe serlo pues la aproximación a 0I x se hizo para valore de x

no muy pequeños. Para obtener un resultado que se ajuste a estos argumentos pequeños

se debe usar la serie:

2 4

0 2 2

/ 2 / 21

1! 2!

x xI x


De todas formas, el uso simultáneo de los dos tipos de solución, el de separación de

variables y el de transformada de Laplace parece suficiente y conveniente para la obtención

de resultados numéricos adecuados cuando no se dispone de computador.

Ejemplo 1.11: El rodillo de roble de una podadora de pasto, que tiene un contenido inicial

de 55 % en peso, se coloca en un horno de secado donde su humedad superficial se

mantiene a 20 % en peso. Si el contenido máximo de humedad del rodillo seco se fija en

30% en peso, cuanto tiempo deberá secarse un rodillo que tiene 4 plg de diámetro por 18

plg de largo cuando

a) Los extremos del rodillo se sellan.

b) La superficie curva del cilindro se sella.

c) El secado se hace a través de toda la superficie.

Puede suponerse que la resistencia superficial es despreciable, y que la difusividad de la

humedad a través del roble 4x10 -5 pie2/hr. ¿Cuál será el contenido promedio de humedad

en cada uno de los casos anteriores?

Para el cilindro secándose desde la superficie corta, se usan las ecuaciones para 40Bi :

0 2

10 1

*2 exp

nA ASn

nA AS n n

J rW WFo

W W J

,

0 0nJ ,

20

210

14 expAm A

n

nAS A n

W WFo

W W

.


2,405 0,09184 0,01983

5,52 -0,000005893 3,633E-07

8,654 2,815E-13 8,829E-15 Tabla 1.14. Valores obtenidos para el rodillo de roble

Los resultados obtenidos usando EES (ver código en la sección Notas):

9 2_ 1.032 10D AB m s . 0.3745Fo .

0.2286L m . 10N .

_ 0r hat . _ 0.0508R o m .


0.4286T . 936235 10.84 días.time s

_ 1.145T m . _ 1.222T o .

_ 0.25T s .

Los casos b y c se resuelven más fácilmente analizando el rodillo como muy largo debido a

sus dimensiones y las propiedades de transporte del material como estudiamos a

continuación.

1.4 El sólido semi – infinito

Figura 1.19. Distribución de temperaturas en un sólido semi-infinito para tres condiciones superficiales:

Temperatura constante en la superficie, flujo constante de calor en la superficie, y convección superficial

Otra geometría simple para la cual pueden hallarse soluciones analíticas es el sólido semi -

infinito. Como se observa en la Figura 1.19, el sólido semi-infinito se idealiza como que

comienza en 0z y se extiende hasta el infinito en esa dirección, presentando solo esa

superficie. No existe a la izquierda de ese plano. Si repentinamente cambian las

condiciones en esta superficie, ocurrirá transporte transitorio unidimensional al interior del

sólido.


1T

2T

1t

2t

t p

2

1 2

T T

T T

2z1zz

Figura 1.20. Perfiles de temperatura para dos tiempos pequeños

Nuevamente la ecuación que describe esta transferencia unidimensional transitoria es:

2

2

z

T

t

T

si se trata de transferencia de calor, y

2

2

z

cD

t

c AAB

A

para transferencia de masa.

El sólido se encuentra inicialmente a temperatura uniforme 0T en toda su extensión. La

condición inicial estará dada por 0,0T z T y la condición límite interna será de la forma

0,T t T . Siempre existirá un punto suficientemente alejado de la superficie donde el

cambio ocurrido allí (en la superficie) no se ha notado. Como no hay una longitud

característica, este sistema nunca tiende a un nuevo estado estable. Su solución no es

posible por el método de separación de variables. Se usan principalmente las soluciones

obtenidas para tres condiciones de superficie, aplicadas instantáneamente para 0z . Son:

(i) temperatura constante en la superficie 0sT T ; (ii) flujo constante de calor en la pared

sq , y (iii) exposición de la superficie a un fluido caracterizado por 0T T y un coeficiente

convectivo h .


1.4.1 Caso (i): Temperatura constante en la pared (condición de Dirichlet).

Solución usando cambio de variable

La solución para este caso puede obtenerse reconociendo la existencia de una variable de

similitud mediante la cual la ecuación diferencial parcial, involucrando dos variables

independientes ,z t puede transformarse en una ecuación diferencial ordinaria expresada

en términos de una sola variable de similitud.

Si analizamos la Figura 1.21 observamos que las curvas para contra z en 1 2 y t t muestran

similitud en la forma, pero difieren en que en 2t el calor ha penetrado más profundamente

en la pared que en 1t . Así parece que cada curva puede caracterizarse por un espesor de

penetración t diferente, y podemos preguntarnos si existe una variable, digamos

z

t

, que pueda unificar todas las curvas en una sola.

Figura 1.21. Similitud de los perfiles luego de la transformación

Analicemos que la temperatura pT correspondiente al punto p se alcanza a la profundidad

1z , después de un tiempo 1t , pero a la profundidad 2z sólo se alcanza después de un

tiempo 2t . Si definimos t de manera tal que:


z

t

z

tp

1

1 1

2

2 2 ,

ambos puntos (y todos los puntos en los que se tiene o p pT ) como se muestra en la

Figura 1.21 coincidirán. En ese caso, de la ecuación diferencial parcial que describe el

fenómeno:

2

2z t , (1.69)

se podrán eliminar y z t , reduciéndola a una ecuación diferencial ordinaria de la forma

, donde:

T T

T TS

0

0

es la temperatura adimensional.

Para determinar si la transformación es posible reemplazamos en la ecuación diferencial

usando la regla de la cadena:

2

1,

d d d z d d d d

t d dt d dt z d dz d

,

2

2

22

2

2

2 111

d

d

d

d

zzd

d

z

.

La ecuación (1.69) se convierte en:

2

2

2 2

d

d

z d

d

d

dt .

Usando la definición de para eliminar z :

d

d

d

dt

d

d

2

2 0

. (1.70)

Esta ecuación todavía contiene t , pero si hacemos:


d

dtconstante a , (1.71)

como 0 en 0t :

2

1

0 02 ;

t

tadtad .

La ecuación diferencial ordinaria (1.44) se transforma en:

d

da

d

d

2

2 0

, (1.72)

con:

0 para ,

1 para 0 .

si 1

24 haciendo 2t a por conveniencia:

Substituyendo por dd

se llega a una ecuación de primer orden de variables

separables que se puede resolver para dar:

2 2

1 12 0 ; 2 ; ln ln entonces expd d d

d C Cd d

,

20

2

1 exp CdC

.

Aquí se elige arbitrariamente el límite inferior de la integral indefinida, que no puede

resolverse en forma ilimitada. Si se cambiase el límite inferior por otro valor se alteraría

simplemente el valor de las constantes de integración, no determinadas aún. Aplicando las

condiciones límite se obtiene:

2

02 1

2 2

0

exp1

1; entonces 1

exp expo

d

C C

d d

.


Este valor cambiará entre uno y cero según cambie de cero a infinito. Para evaluar el

denominador hacemos 1

22; 1 2u d u du , y por definición de la función Gama:

0

1 exp duuu ,

22

1exp

2

1exp

00

2112 2

1

duuud ,

entonces:

2/10

2

0

0

2exp

21

t

zerfcerfcdn

TT

TT n

S

, (1.72)

donde erfc es la función complementaria de error.

Significando por 0T la temperatura uniforme inicial del cuerpo y sT la temperatura a la que

se somete su superficie a partir de 0t .

El método de cambio de variable es adecuado pero el de transformada de Laplace es más

directo:

Método de Transformada de Laplace

La ecuación a resolver es como antes:

2

2

z

T

t

T

.

Definiendo , con s sY T T T constante obtenemos:

2

2

z

Y

t

Y

, (1.73)

con las siguientes condiciones límite:

0 00, , 0st Y Y T T z ,


00, 0, 0; ,t Y z Y Y z .

Recordemos las transformadas estándar implicadas:

0,,

,zfpzfp

t

tzfLt

,

z

pzf

z

tzfLt

,,

,

Usándolas la transformada de (1.73) se escribe como:

2

2

dz

YdL

dt

dYL tt .

Reemplazando y organizando:

oYYp

dz

Yd

2

2

.

Esta ecuación tiene la forma de la ecuación de la aleta con generación, diferencial lineal

ordinaria no homogénea. Su solución es:

1

2

1 2exp exp ;oY pY C mz C mz m

p .

Las condiciones límite también se transforman:

00, 0; ,Y

Y p Y pp

.

Aplicando la segunda condición límite:

01 2 2, exp exp entonces 0oY Y

Y p C m C m Cp p

.

Ahora, la solución se reduce a p

YmzCY o exp1 .


Aplicando la otra condición límite:

01 1(0, ) exp 0 0 entonces oY Y

Y p C m Cpp

.

La solución será:

p

mz

pY

pzY

exp1,

0

.

Aplicando la transformada inversa, numerales 1 y 30 de la tabla de trasformadas, tabla A.5

obtenemos:

t

zerf

t

zerfc

TT

TT

S

S

221

0

. (1.72a)

Espesor de un sólido semi-infinito: De los valores de la función de error observamos que,

para 2.0, 0.995, 0.005erf erfc . Si definimos pz como la distancia a la cual el

cambio de temperatura 0T T es 0.5 % del cambio máximo total 0sT T , entonces el sólido

debe tener espesor

2

14 entonces 0,0625

16P

P

tz t Fo

z

.

Esta cantidad se conoce como la profundidad de penetración y se toma como criterio para

considerar un sólido real como semi-infinito. Debemos tener presente que no podemos

definir esta distancia como aquella a la cual 0T T puesto que, según nuestro modelo, sería

infinita.

Es de importancia calcular la velocidad de transporte dentro del medio. Usando la ley de

Fourier se tiene que:

dz

d

d

dTTTk

z

Tkqq

n

os

z

zzs

00

0,

0

2/14

n

oss

d

dT

t

TTkq

,


2exp2

0

2

0

nnd

dT,

qk T T

tS

S

( )0

. (1.73)

La cantidad 1

2t se toma en ocasiones como la profundidad de penetración (en lugar de

1

24pz t ) por analogía con la expresión para la densidad de flujo de calor en placa

plana en estado estable. Sin embargo, al reemplazarla en (1.47) se encuentra que es la

distancia a la cual la diferencia de temperatura ha disminuido al 20% de su valor total

0 0.9 0.20sT T erfc . Por esto, para determinar cuando el espesor de un objeto finito

permite hacer el análisis de cuerpo semi- infinito, considerando como criterio el que

pL z , parece más conservador 1

24pz t que 1

2

pz t .

El flujo de calor promedio en un intervalo de tiempo pt se obtiene promediando el flujo

instantáneo:

0

0

2 ( )1 pt SS m s

p p

k T Tq q dt

t t

. (1.74)

1.4.2 Caso (ii): Flujo constante sq en la superficie (condición de Newmann)

La condición en la superficie es:

0 entonces SdT qz

dz k .

A partir de la ecuación diferencial

2

2

z

T

t

T

Diferenciando con respecto a z y multiplicando por k se obtiene


2 3 2

3 2

entonces

z zT T q qk k

z t z t z

.

Se hizo uso de la ley de Fourier. Definimos /z Su q q para escribir

2

2

u u

t z

.

El límite y la condición inicial son:

0, 0, 0, 0, 1t u z u z u .

Reconociendo que estas son las mismas condiciones y ecuación que se resolvió antes

escribimos:

2

z

s

q zu erfc

q t

.

Como /zq k dT dz debemos integrar respecto a z para obtener la distribución de

temperaturas (Bejan, 1993):

2 ierfc2

SS

q zT T t

k t

. (1.75)

Reemplazando la integral de la función complementaria de error escribimos

21

exp erfc donde 2 2

S

S

k T T z

q t t

. (1.75a)

La temperatura instantánea en la superficie es

1

2

S

S

k T T

q t

. (1.76)

La temperatura promedio en un período pt es


2

2 3

m S

S p

k T T

q t

. (1.77)

1.4.3 Caso (iii): Convección en la superficie (Condición de Robin):

La condición en la superficie es

Para 0z , 0z

Tk h T T

z

.

La solución es (Rohsenow, 1973) p. 152

20

0

erfc exp 2 erfcT T

T T

, (1.78)

y 2

h t z

k t

.

Por lo tanto, en la superficie se obtiene

20

0

1 exp erfcST T

T T

, (1.79)

2

0

expSq terfc

k T T

. (1.80)

Observe que en este caso y s sT q cambian con el tiempo. Como es de esperarse esta

solución tiende a la de Dirichlet para valores del coeficiente convectivo grandes ( 100 ).

Estas correlaciones en términos de concentraciones se escriben, teniendo en cuenta que

representa una difusividad ( o ABD ), es una concentración, de masa ( Ac ) o de

energía ( PC T ), es densidad de flujo ( , ,A Aq n N ), ck es el coeficiente convectivo de

transferencia de masa, con dimensiones de [L/t].

Caso (i) Concentración constante en la superficie: 0, st


2

2/1

0 2

),(

t

zerf

tz

S

S

, (1.77b)

22erf exp( )o

u du

.

es la función de error Gaussiana que se encuentra tabulada o se puede calcular

directamente con la ayuda de una calculadora que tenga la función integral.

t

SmS

)( 0

. (1.73a)

Caso (ii) Flujo constante en la superficie: 0

constantemSzz

.

22( , ) exp

4 2

mS mSS

t zz zz t erfc

t t

, (1.75b)

1erfc erf función complementaria de la función de error.

Caso (iii): Convección en la superficie:

1/22

1/2 1/2erf exp erfc

2 2

c cA Ac

Ao A AB AB ABAB AB

k z k tc c z t zk

c c D D DD t D t

. (1.78a)

La temperatura (concentración) de la superficie la encontramos para 0z y la densidad de

flujo puede determinarse como ó s A c AS Aq h T T N k c c donde o ch k es el

coeficiente convectivo calculado para las condiciones del fluido circundante. El fenómeno

puede analizarse como si se agregara un espesor adicional de sólido del tamaño

* o *AB

c

Dk z zh k .

Al analizar los tres casos podemos obtener algunas conclusiones: para el caso 1, la

temperatura del medio se aproxima monótonamente a sT a medida que transcurre el

tiempo, mientras que la magnitud del gradiente de temperatura superficial así como el flujo

de calor en la superficie, decrece como 0.5t . En contraste, para el caso de flujo constante

en la interfase, se observa que 0, sT t T t aumenta monótonamente con 1

2t . Para el

caso de convección en la superficie, la temperatura superficial y la temperatura dentro del


sólido se aproximan a la temperatura T del fluido a medida que transcurre el tiempo.

Ocurre por lo tanto un decrecimiento en el flujo de calor en la interfase,

s sq t h T t T .

Los anteriores resultados analíticos se presentan en forma gráfica en las siguientes formas

funcionales:

1 , , zf Bi FoL

tales como los gráficos de Gurney - Lurie o los de Gröber - Erk;

2 , ,0f Bi Fo o de temperatura (concentración) en el plano, eje o centro de simetría;

3 , ,1f Bi Fo o de temperatura (concentración) en la superficie;

40

,Q

f Bi FoQ

o de calor (masa) total transferida.

2 3 y f f son denominados de Heisler.

1.4.4 Dos sólidos semiinfinitos en contacto

Una aplicación interesante del caso (1) resulta cuando dos sólidos semi - infinitos, a

temperaturas iniciales diferentes, 0 0 y A BT T , se ponen en contacto a través de sus

superficies libres. Si la resistencia de contacto es despreciable, el requisito de equilibrio

térmico indica que para 0t , en el momento del contacto, ambas superficies deben tomar

la misma temperatura sT , la cual será 0 0B s AT T T (suponiendo 0 0B AT T ). Como sT no

cambiará con el tiempo, ello implica que tanto la historia de la temperatura como la del flujo

de calor en la interfase para cada uno de los sólidos vienen dadas por las ecuaciones del

caso (1).

La temperatura de equilibrio en la interfase puede determinarse a partir de un balance de

energía, el cual requiere que SA SBq q . Reemplazando la ecuación para flujo de calor,

reconociendo que si tomamos el origen coordenado en la interfase SAq debe cambiar de

signo, obtenemos:

( ) ( )Ai S S Bi

A B

k T T k T T

t t

,


TT k C T k C

k C k CS

A P A B P B

P A P B

0 0( ) ( )

( ) ( )

. (1.79)

Se observa que la temperatura de contacto sT es independiente del tiempo. Aquí, la

cantidad llamada coeficiente de penetración térmica pm k C es un factor que

determina si sT está más próxima a 0 0 o a A A B B A BT m m T m m . Es decir, la

temperatura de contacto está más cerca de la temperatura inicial del sólido con el

coeficiente mayor.

Figura 1.22. Contacto interfacial entre dos sólidos semi - infinitos a diferentes temperaturas iniciales

Este proceso sirve para describir el contacto por un tiempo pequeño entre dos cuerpos

finitos a temperaturas diferentes. La ecuación (1.79) explica por qué sólidos diferentes a la

misma temperatura se sienten como si fueran más calientes o más fríos cuando se tocan.

En los procesos de templado de metales también se coloca un objeto caliento con un

sistema de enfriamiento por tiempos cortos.

Acoplamiento infinito de difusión: Un caso similar en transferencia de masa podría

visualizarse cuando un extremo de un bloque semi-infinito de acero conteniendo

concentración uniforme de carbón 0Ac , se coloca en contacto íntimo con otro extremo de un

bloque semi-infinito de acero puro y el carbón difunde hacia el acero puro. Si analizamos en

general y llamamos 2Ac la concentración para 10 y para 0Az c z las condiciones límite


en 0z pueden escribirse como 2 1 21 2

1

;A A AAB AB

A

c c cD D

c z z

donde es la

relación entre la concentración que se tendría en la 0z y la de la región 0z cuando el

equilibrio se alcance. Observando las soluciones (1.47) nosotros buscaremos soluciones de

la forma:

1 1 1

1

02

A

AB

zc A B erf z

D t ,

2 2 2

2

02

A

AB

zc A B erf z

D t .

A partir de las condiciones iniciales 1 1 0 2 2; 0AA B c A B . A partir de las condiciones de

frontera 1 1

2 2

1 2 1 1 2 2; AB ABA A B D B D . Despejando las constantes y reemplazando

obtenemos:

tD

zerfDD

DDc

c

AB

ABAB

ABABA

A

1

2/1

122/1

120

1

2/1

/1

1

,

tD

zerf

DDc

c

ABABABA

A

2

2/1

120

2

21

/1

.

Se puede observar que cuando la difusión ocurre, los valores en la interfase permanecen

constantes e iguales a

1 2

1/2 1/2

0 02 1 2 1

1;

1 / 1 /

A A

A AAB AB AB AB

c c

c cD D D D

. (1.80)

Para el caso que nos ocupa, la difusividad en las dos barras será igual y 1 por lo tanto:

1 2

0 0

1 1 1 1;

2 2 2 22 2

A A

A AAB AB

c z c zerf erf

c cD t D t

. (1.81)

El flujo de carbón a través del plano en 0z es:

tDc

z

cDJ ABA

z

AABAz

2

0

0

. (1.82)


La masa de carbón que ha cruzado el plano 0z en el tiempo t es:

tDcdtJM AB

A

t

A 00

. (1.83)

La difusividad másica del carbón en el acero a 1000 C es 3x10 -11 m2/s.

1.5 Sólidos compuestos

Analizamos el caso presentado en la Figura 1.23,

donde tenemos un paralelepípedo rectangular de

lados 2a, 2b y 2c. Sin embargo, los extremos en

z c están sellados a la transferencia lo que

es equivalente a tener un paralelepípedo de

longitud infinita, y sólo habrá gradiente en las

direcciones e x y . La ecuación del balance se

reduce en esta ocasión a:

Figura 1.23. Paralelepípedo infinito de sección transversal rectangular

2 2

2 2p

T T TC k

t x Y

. (1.84)

Condiciones de frontera:

00 , , .t T T a x a b y b

0 ( ), , ( ), .T T

t k h T T x a k h T T y bx y

0 0, 0 0.T T

x yx y


Se puede plantear la solución por el método de separación: , ,T x y t X x Y y t .

Sin embargo, como lo hizo Newman (1931) en Eckert y Drake es menos restrictivo

proponer:

, , , ,T x y t X x t Y y t . (1.85)

Presupone este planteamiento que es posible expresar un problema transitorio

bidimensional como el producto de dos problemas transitorios unidimensionales.

Reemplazando (1.85) en (1.84) y reorganizando:

2 2

2

2 2

1 1X X Y Y

X t x Y t y

. (1.86)

Los dos lados de la ecuación (1.86) deben variar independiente pero similarmente por lo

que el parámetro de separación es cero. Se conforman dos ecuaciones diferenciales

con sus respectivas condiciones límite así:

2

2

X X

t x

,

2

2

Y Y

t y

,

0,0X x X , 0,0Y y Y ,

0,0

X t

x

,

0,0

Y t

y

,

,,

X a tk h X a t X

x

,

,

,Y b t

k h Y b t Yy

.

El problema es expresa entonces como el producto de dos problemas unidimensionales

transitorios cuya solución es cada una idéntica a la de la placa plana, ecuación (1.19):

2 *

10

exp( )cos( )n n n

n

T TC Fo z

T T

.

Debe tenerse presente que y Fo Bi serán diferentes en las direcciones e yx a no ser que

2 2a b :


a

haBi

k ,

b

hbBi

k ,

2b

tFo

b

,

2a

tFo

a

.

También como los valores propios con los que se calcula la constante nC dependen de Bi

estos también serán diferentes. Estas soluciones son prácticas en especial cuando se

puede usar el primer término de la serie. De resto siempre será importante la ayuda del

software. Es útil recordar que

2 22 2

2 2 2 2exp exp exp a b

a b

t tt

a b a b

. (1.87)

La solución de este problema equivale a entender que la barra rectangular infinita de la

Figura 1.24 está formada por la intersección de dos placas infinitas de espesor 2 y 2a b .

2H

2W

Figura 1.24. Barra rectangular infinita

Intersección de dos placas infinitas perpendiculares

bplacaaplacapedoparalelepíTT

TT

TT

TT

TT

TT

20200

. (1.88)

Donde 0T es la temperatura inicial de la barra y T es la temperatura ambiente, que para h

tendiendo a infinito se convierte en sT .

En forma semejante, la solución para un bloque tridimensional (como por ejemplo un

ladrillo) puede expresarse como un producto de las soluciones de las tres placas infinitas


que tienen por espesores las tres aristas del bloque. Así mismo una solución para un

cilindro de longitud finita podría expresarse como un producto de soluciones de un cilindro

infinito y una placa infinita de espesor igual a la longitud del cilindro.

Podrían combinarse las soluciones de cilindro infinito o de paralelepípedo infinito y el sólido

semi-infinito para obtener distribuciones de temperatura en cilindros y barras semi-infinitos.

La aplicabilidad de este principio, es decir, que problemas multidimensionales se puedan

expresar en términos de dos o más problemas unidimensionales, depende de que la

condición inicial sea uniforme.

Transferencia de calor desde sólidos finitos

La solución de Newman para la distribución de temperaturas en sólidos finitos, es decir

cuando tenemos gradientes en más de una dirección se aplica también a las temperaturas

promedio, por ejemplo, para la barra de la Figura 1.24.

2 2

m m m

o o obarra placa a placa b

T T T T T T

T T T T T T

. (1.88a)

En los textos de transferencia de calor se refieren al trabajo de (Langston, 1982) p. 149 -

150, donde, basándose en la ecuación (1.20b) calcula el calor transferido desde (o hacia)

un sólido de estas características:

0 0 02 2

1 1 1

prisma a b

Q Q Q

Q Q Q

,

es decir:

0 0 0 0 02 2 2 2

1

prisma a b a b

Q Q Q Q Q

Q Q Q Q Q

. (1.25c)

Similarmente desarrolla expresiones para otras formas, tales como un prisma rectangular

(como un ladrillo), un cilindro finito, que se conforma como la intersección de una placa y un

cilindro largo.

Sin embargo, como expresamos luego de la ecuación (1.25b) estos procedimientos fuera

de engorrosos son inútiles actualmente, pues solamente requerimos las expresiones para la


temperatura promedia de los sólidos involucrados. El calor cedido o ganado por el sólido

será, como ya se explicó

0P mE t VC T T , (1.25)

V es el volumen del sólido y mT su temperatura promedia, calculada por los métodos

descritos.

Ejemplo 1.12: Una barra cilíndrica larga de acero inoxidable (k = 14.9 W/m.°C,

37900 kg m , CP = 477 J/kg.K) se saca del horno a temperatura uniforme 450 °C y se

expone a un ambiente a 150 °C, con coeficiente convectivo 85 W/m2.K. Determine la

temperatura en un punto colocado a 10 cm de uno de los extremos así: en la superficie

curva y en el eje de la misma, 25 minutos después de salir del horno.

Figura 1.25. Extremo de un cilindro semi-infinito

Solución: Analizamos la intersección de un cilindro largo (ecuación 1.64) llamada C_rt y un

sólido semi-infinito con convección en la superficie (ecuación 1.78) llamada S_zt. La historia

de la temperatura viene dada por el producto de las dos funciones. El EES facilita la

solución (ver código en sección Notas al final del capítulo) y arroja los resultados:

para 0r

alpha=0,000003954 m2/s. Bi=0,4279.

Lambda=0,8778. C_n=1,099.

Fo=1,054. Theta=0,4692.

C_rt=0,4878 Función cilindro. time=1500 s.

S_zt=0,9619 Función sólido semi-infinito

convectivo.

T=290,7 C Temperatura en el eje a

15 cm del extremo.


Figura 1.26. Perfil de temperaturas a 15 cm del extremo de la barra cilíndrica

Ejemplo 1.13: Analice el caso de una lata de gaseosa que se encuentra en la nevera a 4

°C. Sus dimensiones son 12.5 cm de alto y 6 cm de diámetro. (i) ¿Cuánto tiempo después

de que se coloca en un ambiente a 25 °C con coeficiente combinado de convección y

radiación h = 10 W/m2.K, su temperatura promedio será 15 °C? ¿Cuál será en ese

momento la temperatura en el centro geométrico de la lata? ¿Cuál será el punto con menor

temperatura en la misma? La gaseosa está colocada sobre una mesa de un material

aislante y su superficie superior está expuesta a la transferencia de calor. (ii) La lata de

gaseosa se cubre con un aislamiento cilíndrico de caucho (k = 0.13 W/m.K) de 1 cm de

espesor que no hace contacto térmico perfecto con la superficie metálica, creándose una

resistencia de contacto de 8x10-5 m2.K/W entre ambos. ¿Qué tiempo se requerirá ahora

para el mismo cambio de temperatura? Sugerencia: observe que el efecto del aislante es

cambiar el coeficiente h a un coeficiente U que engloba las resistencias en serie por

contacto, conducción en el caucho y convección con el ambiente para la parte cilíndrica.

Este coeficiente U se usa para calcular el nuevo Bi = UR/k del cilindro. Desprecie la

resistencia térmica opuesta por la pared de aluminio de la lata. Las propiedades de la

gaseosa son aproximadamente las mismas del agua: CP = 4184 J/kg.K; k = 0.598 W/m.K;

31000 kg m .

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08260

265

270

275

280

285

290

295

r [m]

T [

°C]


25airT C

4 C

12.5 cm

6 cm

Figura 1.27. Ej 1.13: Lata de gaseosa

Solución

parte (a) temperaturas promedio todas las superficies con el mismo coeficiente

convectivo h

alpha=1,429E-07. E_L=0,06766.

C_p=4184. E_R=0,4893.

h=10. k=0,598.

L=0,125. rho=1000.

r_o=0,03. theta_ML=0,9323.

theta_MR=0,5107. theta_RL=0,4762.

time=4734. T_f=25.

T_i=4. T_m=15.

1.6 Resumen de Conducción Transitoria

Las tres geometrías que tradicionalmente se analizan en el estudio del fenómeno de

transferencia de calor (y masa) en estado transitorio a nivel de pregrado en Ingeniería

Química son: la pared plana de espesor L con una superficie aislada y una superficie

convectiva (o una simétrica de espesor 2L con ambas superficies sometidas a las mismas

condiciones de temperatura y el mismo coeficiente de convección), un cilindro largo de

radio R , o una esfera de radio R . Los tres sólidos presentan distribución de temperaturas

uniforme al comienzo del proceso. Las tres configuraciones pueden ser descritas por una

única ecuación diferencial parcial:

1 1m

m

T Ts

s s s t

, (1)


aquí, , 0s z m para la placa plana, , 1s r m para el cilindro y , 2s r m para la

esfera. En el caso de la placa, z se mide desde la superficie adiabática (o desde el plano

central o de simetría para la placa simétrica de espesor 2L ). Las condiciones iniciales y de

frontera son

0,0T s T , (2)

0,0

T t

s

, (3)

, ,

T L o R tk h T T L o R t

s

. (4)

(Adebiyi, 1995) p. 117, 158–160, obtiene por el método de separación de variables la

siguiente solución unificada

2

2 2

0

* *2 Biexp Fo

Bi 2 Bi

p

p n

n

n p n

r J rT T

T T p J

. (5)

Los parámetros en esta ecuación son * /r z L para la placa o * /r r R para el cilindro o

la esfera; /Bi hL k o /Bi hR k ; 2 /Fo t L o 2 /Fo t R ; 1 / 2p m ;

/ Pk C

pJ es la función de Bessel de primera clase y orden p , y n son los valores propios

dados por

1n n p npJ Bi J

. (6)

La temperatura promedia, necesaria para determinar la energía térmica ganada o cedida

durante la operación, está dada por la expresión:

2 2

2 2 210

2 1 Bi exp Fo

Bi 2p Bi

n

n n n

mT T

T T

. (7)

Las soluciones para la pared plana, el cilindro largo y la esfera se obtienen haciendo

1 10 y ; 1 y 0; y 2 y 2 2

m p m p m p respectivamente. La relación con las

coordenadas esféricas (Mickley H. S., 1957) p. 176.


1/2

2cosJ x x

x , (8)

1/2

2sinJ x x

x , (9)

3/2

sin2cos

xJ x x

x x

. (10)

Se obtiene la solución en series trigonométricas para las simetrías plana, cilíndrica y

esférica que tradicionalmente se presenta en los libros de texto:

2 *

10

exp( ) ( )n n n n

n

T TC Fo f r

T T

. (11)

La cantidad de energía térmica intercambiada con el medio durante el tiempo t es:

0PQ C V T T , (12)

siendo T la temperatura promedio alcanzada por el sólido después de este tiempo t , y V

el volumen del sólido. Esta temperatura se calcula a partir de la ecuación (7) así:

2

10

exp( )n n

n

T TD Fo

T T

. (13)

La función característica nf , las funciones trascendentales que conducen a los valores

propios n de cada geometría, y los coeficientes nC y nD se resumen en la tabla 1.15:

Geometría nf n nC nD

Placa cos *nr cotn nBi 2sin

sin cos

n

n n n

2

2 2 2

2

n n

Bi

Bi Bi

Cilindro 0 *nJ r 1 0n n nJ BiJ

2 2

0

2

n n

Bi

Bi J

2

2 2 2

4

n n

Bi

Bi

Esfera sin * / *n nr r 1 tann nBi

cos2

cos

n n n

n n n

sen

sen

2

2 2 2

6

n n

Bi

Bi Bi


Tabla 1.15. Expresiones para la función característica, valores propios, coeficientes Cn y Dn para cada geometría

Se presentó la conducción de calor en estado transitorio en el interior de los sólidos

tradicionales en la literatura, sólidos sujetos a condiciones límite o de frontera de primera

clase (Diriclet), de segunda clase (Neumann) y de tercera clase (Robin). Las soluciones

analíticas se presentan en forma de series. Estas soluciones se calculan usando

computadores con relativa facilidad y la precisión requerida, por lo que las antiguas

soluciones gráficas se hacen innecesarias. Así mismo los gráficos de Gröber para la

relación 0

QQ

y este mismo concepto se hacen superfluos, pues basta determinar la

temperatura o concentración promedia del sólido para calcular su contenido entálpico o de

soluto y así saber la diferencia con la condición inicial y por tanto el calor o la masa cedidos

o ganados.

Las soluciones para placa simétrica, cilindro largo esfera con temperatura inicial constante

se presentan en la forma adimensional:

2 *

10

exp( ) ( )n n n n

n

T TC Fo f r

T T

.

La función característica y los coeficientes deben ser calculados para los n valores de los

valores propios que den suficiente exactitud a la respuesta.

La determinación de estos valores propios requiere la solución de la respectiva ecuación

trascendental lo que, para cálculo con calculadora se vuelve engorroso. Es por esta razón

que han prosperado las tablas y las soluciones gráficas de Heiler y de Gröber aún aparecen

en prácticamente todos los libros de texto en transferencia de calor y de masa.

Para obviar esta situación, a todas luces inconveniente, se han propuesto muchas

soluciones alternas.

Se propone en este documento el siguiente procedimiento:

1.6.1 Resistencia convectiva pequeña, es decir 40Bi

Usar la solución de separación de variables obtenida tomando condición de frontera la de

primera clase o Diriclet: * 1, constantesr T T . Para cFo Fo es suficiente el primer

término. Todas las funciones involucradas se consiguen en una calculadora científica

corriente, no necesariamente programable, recordando que son funciones trigonométricas

de números reales por lo que debe estar en radianes. Para los cilindros usar la

aproximación a Bessel siguiente:


2 3

0 0.9967 0.0354 0.3259 0.0577J x x x x , (14)

las raíces son..... 4 14nx n .

Para 0.01 cFo Fo , utilizar las ecuaciones para tiempos cortos obtenidas por

transformada de Laplace.

1.6.2 Para 0.1 40Bi

Si cFo Fo , se usa la solución a un término. Para no tener que calcular la ecuación

trascendental que da 1 , ni interpolar de tablas o gráficos, se usa la aproximación

propuesta por Yovanovich (Rohsenow, 1973) p. 326:

1,

1 1/

1, 1,01 /n

n

. (15)

La función característica nf , los valores propios n de cada geometría, el número de

Fourier crítico, así como los valores a los que tiende el primer valor propio de cada

ecuación trascendental para el mínimo y máximo valor posible de Bi , se resumen a

continuación:

Geometría nf n

1,

0Bi

1,

Bi

n cFo

Placa cos *nz cotn nBi Bi 2 2.139 0.24

Cilindro 0 *nJ r 1 0n n nJ Bi J

2Bi 2.405 2.238 0.21

Esfera * *n nsen r r

1 tann nBi 3Bi 2.314 0.18

Tabla 1.16. Expresiones para la función característica, valores propios, Fo crítico y primer valor propio de cada ecuación trascendental para el mín y máx valor de Bi según cada una de las geometrías

Los valores calculados a partir de esta expresión difieren de los valores exactos en menos

que un 0.4% lo que lo hace mejor que interpolar en la Tabla 1.16.


1.6.3 Sistemas con baja resistencia interna 0.1Bi

Sistemas con baja resistencia interna y alta resistencia externa. (Análisis de

parámetros concentrados).

Ya hemos analizado el comportamiento de las series obtenidas en el análisis de diferentes

formas geométricas (placa, cilindro, esfera) cuando el tiempo adimensional, Fourier,

aumenta por encima de un valor crítico (0.24 para placa, 0.21 para cilindro, 0.18 para

esfera) que corrientemente se acepta como 0.2 para cualquier serie. En estos casos todos

los términos menos el primero se hacen suficientemente pequeños no afectar la precisión

del resultado usando solamente el primer término de la serie. Sin embargo, al analizar el

valor de los valores propios se observa que estos siempre aumentan de en

radianes, siendo más acentuado este incremento para los valores pequeños de Biot y más

marcada la diferencia entre el primer y segundo valor propio. De hecho, la solución en serie

converge al primer término para todos los valores de 0Fo . Así mismo, aunque 0 no es

un valor propio, a medida que Bi se hace más pequeño, 1 tiende a cero y por L´Hopital

se demuestra que 1C tiende a 1 en todos los casos así como el coeficiente 1D de las

temperaturas promedias adimensionales.

Analizando el caso de la placa plana, ecuación (1.19), es claro que además cos(0) = 1. De

otra parte, la ecuación trascendental, ecuación (1.19b) que genera los valores propios es:

tann n Bi .

La expansión en serie de la función tangente da (por ej. Souders p 48):

3 52

tan3 15

x xx x

Para un valor pequeño de , tan tiende a x x x , por lo que se concluye que en estas

condiciones, tomando el primer término de la serie

10.2,Bi Bi . (16)

Para el caso de la esfera, a partir de la ecuación (1.36a)

cot 1n n Bi .

La expansión en serie de la función cotangente es (por ej. Souders p 48):


2 4

cot 13 45

x xx x

Para valores pequeños de 1 se obtiene, tomando los dos primeros términos:

1 3Bi . (17)

Para el cilindro largo, a partir de la ecuación (1.57):

1 0n n nJ BiJ .

Usando solo el primer término de las expansiones en serie de las funciones de Bessel que

aparecen después de la ecuación (1.56) se obtiene:

2 4 6

2 2 2

1 12 1!2! 2!3! 3!4!

x x xxJ x

,

2 4 6

2 2 2

0 2 2 21

1! 2! 3!

x x x

J x

1 2Bi .

A partir de este análisis se concluye que cuando Biot es suficientemente pequeño,

0.2Bi las soluciones en series de Fourier convergen al primer término para todos los

valores de 0Fo . Los valores de los coeficientes 1 1 y DC tienden a 1, y los perfiles

adimensionales se reducen a:

Placa plana de espesor L , con temperatura inicial constante, aislada en 0z , convectiva

en z L hacia medio con temperatura constante.

expm BiFo . (18)

Esfera con temperatura inicial constante, con convección hacia un medio con temperatura

constante:

exp 3m BiFo . (19)


Cilindro largo con temperatura inicial constante, con convección hacia un medio con

temperatura constante:

exp 2m BiFo . (20)

Las situaciones anteriores, teniendo presente que el número de Biot correlaciona las

resistencias interna (conductiva) y externa (convectiva-radiativa) son aplicables a

situaciones donde la temperatura del sólido es casi uniforme. Al analizar las expresiones

que correlacionan el perfil de temperatura con el tiempo y la posición cuando hay

resistencia externa, se observa que para valores del parámetro s

hlBik

( sk

conductividad térmica del sólido) menores de 0.1 (para el inverso, mayor que 10), la

temperatura en el sólido es esencialmente uniforme en cualquier instante (diferencias de

temperatura menores al 5%). En tales casos se puede despreciar la variación de la

temperatura con la posición, considerando que ésta sólo varía con el tiempo. Como la

forma geométrica no tiene importancia el análisis se simplifica.

Ejemplo 1.14: Una esfera sólida de acero (AISI1010), de 300 mm de diámetro, se recubre

con una capa de material dieléctrico de 2 mm de espesor y una conductividad térmica de

0.04ak W m K . La esfera recubierta está inicialmente a una temperatura uniforme de

500°C y de pronto se templa en un baño de aceite para el que

100 y 3300T C h W m K . Estime el tiempo que se requiere para que la esfera

recubierta alcance 140°C. Sugerencia: Deje de lado el efecto del almacenamiento de

energía en el material dieléctrico, puesto que su capacitancia térmica PC V es pequeña

comparada con la de la esfera de acero.

Capa

dieléctrica

0.04 .k W m K

Figura 1.28. Esfera con película dieléctrica

Las propiedades del acero las estimamos a temperatura intermedia 500 140 / 2 320 C

De la tabla A-1 del Incropera et al.: 37832 , 559 . , 48.8 .p skg m C J kg K k W m K .

La resistencia a la transferencia de calor desde el acero lo constituyen el revestimiento

dieléctrico y la resistencia convectiva. Se halla un coeficiente global:


2 1

1 2

1 1

4o o o o a

R R

U A h A k R R

,

con 2 2

1 2 20.150 , 0.152 , 4 , 19.62 .o oR m R m A R U W m K . Calculamos Bi :

1 0.060 0.10s

U RBi

k

.

Aplican parámetros concentrados. Como la simetría es esférica usamos la ecuación (19):

0

exp 3T T

BiFoT T

.

Se escribe la información en la ventana del EES (ver código en sección Notas al final del

capítulo) y se obtienen los resultados:

alpha=0,00001115 m2/s. Bi=0,06031.

Fo=12,73. theta=0,1.

time=25691 [s] = 7.14 hr. U=19,62 W/m2-K.

Ejemplo 1.15: Se tiene una placa de aluminio (32707 , 896 . pkg m C J kg C

y 200 .k W m K ) de 3 cm de espesor a temperatura inicial 0T uniforme de 60 °C. De

repente, se somete a flujo de calor uniforme 28.000q W m , en una de sus superficies,

mientras que la otra superficie se expone a una corriente de aire a 25 °C, con un coeficiente

de transferencia de calor 250h W m K .

(i) ¿Se pueden aplicar parámetros concentrados a este caso?

(ii) En caso afirmativo, determine la variación de la temperatura con el tiempo, y

(iii) ¿Cuál es la temperatura de la placa en el estado de equilibrio?


Figura 1.29. Placa de aluminio

Solución:

Se trata de una placa pero no cumple con las características que llevan a la ecuación (18).

Estimamos la longitud característica como volumen/área:

i) Longitud característica / / 2c transferenciaL V A A L A ;

3/ 50 0.03/ 2 200 3.75 10 0.1cBi hL k x Aplican parámetros concentrados.

ii) Un balance macroscópico en estado transitorio sin generación:

a P

dTqA hA T T C LA

dt ,

con aT constante un cambio de variable aT T da:

P P

d h q

dt C L C L

.

Esta es una ecuación diferencial ordinaria no homogénea. Una técnica de solución es

encontrar la solución para la homogénea y una solución particular. La suma de ambas es la

solución buscada.


La solución de la ecuación homogénea es

exp ,Hp

hC mt mC L

.

La particular, una constante es p

qh

;

condición inicial 0 00, at T T .

La solución general

0 exp 1 expq

mt mth

.

iii) Cuando ,q

th

o sea 185tT C .

Ejemplo 1.16: Un tanque bien agitado contiene 3

0 100V pie de un líquido que tiene

concentración inicial de la especie A, 3

0 5A lb pie . Entra una corriente líquida a razón

de 3

1 10 minQ pie con concentración 3

1 15A lb pie . Si la reacción A B ocurre a una

velocidad 1' con ' 0.1minA Ak k , ¿cómo varía la concentración de A en el tanque

con el tiempo? La corriente de salida 2Q es igual que la de entrada de 10 pie3/min pero su

concentración será 2A , y por ser un tanque perfectamente agitado su concentración

variará con el tiempo lo mismo que la del tanque, A .

Solución: Tanque agitado por lo que la concentración cambia con el tiempo y no con la

posición. Se efectúa un balance macroscópico para la especie A, entrada neta más

generación igual acumulación:

1 21 2A

A A A

dMQ Q V

dt ,

aquí, V es el volumen en el tanque en cualquier momento y A AM V , la cantidad de A

en el tanque en cualquier momento. Dado que el caudal de entrada es igual a la de salida el

volumen 0V V , constante. Teniendo en cuenta esto y la información en el enunciado se

escribe:


1 0 0' A

A A A

dQ k V V

dt

.

Reorganizando

1'AA

A

Qd Qk

dt V V

.

Esta ecuación es de variables separables, pero si se quiere A explícito en función de t , es

más práctico usar el factor integrante. Llamando a el término independiente y P el

coeficiente de :

exp expA Pdt a Pdt dt C .

.

La constante de integración se obtiene de la condición inicial, para

0 00, entonces A A Aat C

P .

0Pt

A A

a ae

P P

,

dando valores numéricos, -1 0.2

3lb1.5 , 0.2 s , 7.5 2.5

pie s

tAa P e . En estado

estable, cuando el tiempo 3, 7.5 lb pieAt .

Ejemplo 1.17: Un tanque de 2 m de diámetro, provisto de un agitador de turbina, contiene

6200 kg de una disolución acuosa diluida. El agitador tiene 2/3 m de diámetro y gira a

140 R.P.M. El tanque está provisto de una camisa en la que condensa vapor de agua a 110

°C y el área de transmisión de calor es de 14 m2. Las paredes del tanque son de 10 mm de

espesor. Si la dilución está a 40°C y el coeficiente de transmisión de calor del vapor de

agua condensante es de 10 kW/m2 °C, (a) ¿Cuál es la velocidad de transferencia de calor

entre el vapor de agua y el líquido? (b) ¿Cuánto tiempo se necesitará para calentar el

contenido del tanque desde 20 °C hasta 60 °C? (c) ¿Desde 60 hasta 100 °C? Para

transmisión de calor hacia o desde el encamisado de un tanque con placas deflectoras se

A


aplica la siguiente ecuación cuando se utiliza una turbina normal de palas rectas (McCabe

et al. 4a ed pg 469):

2 1 0.242 3 3

0.76 pt a

s

ChD D Nk k

, (i)

aquí tD es el diámetro del tanque, aD es el diámetro del agitador, y la frecuencia de

rotación N debe estar en revoluciones por segundo.

Solución: En el instante en que la temperatura de la mezcla en el tanque es 40 °C, el flujo

de calor puede estimarse como v iQ US T T . Para las partes (b) y (c), por tratarse de

un tanque agitado su temperatura puede considerarse uniforme y función solo del tiempo.

Se aplica el método de parámetros condensados. Un balance macroscópico en estado

transitorio

1

2

entonces p v

p v

v

MC T TdTMC U T T t

dt US T T

.

El coeficiente global U incluye las tres resistencias en serie presentes. Si se considera que

la superficie dada corresponde a la interna:

2

2

ln1 1 i

i i

i i v

RR

R R

U h k R h

.

El coeficiente ih se estima con la correlación propuesta (i). Las propiedades para las

partes (a) y (b) se toman como las del agua a 40°C y el aparte (c) las mismas pero a 80 °C,

lo que no es del todo correcto puesto que la variación de la temperatura con el tiempo no es

lineal.

Los valores necesarios se obtienen del apéndice de cualquier libro de calor y masa.

A 40°C, 3 34187J kg K, 992 kg m , 0.657 10 kg m.s, 0.630W m.KpC k .

Para la corrección por cambio de viscosidad en la superficie suponiendo un 64sT C ,

30.425 10 kg m.ss

, así mismo, para 80 °C, encontramos

3972kg m ,

30.358 10 kg m.s , 0.672W m.Kk . Estimando 87sT C , 30.324 10 kg m.s.s


Reemplazando valores encontramos para 40 °C como temperatura promedio,

.

Se chequea .

Esta es la respuesta al punto (a). Para el punto (b) obtenemos 475 s = 7.9 min. Para la

parte (c), a partir de la ecuación para obtener el observamos que es proporcional a

, y de los datos podemos despreciar el efecto de la variación de . Por lo

tanto:

,

con este valor obtenemos .

Ejemplo 1.18: En el diseño de equipos donde hay partículas suspendidas en recipientes

agitados es necesario conocer el coeficiente de transferencia de masa. Con este propósito,

partículas sólidas (especie A) con superficie externa conocida , y masa total , se

agregan a un volumen de líquido agitado , y la concentración de la especie A en la fase

líquida se mide contra el tiempo. Demuestre que un balance macroscópico para la especie

A es (considerando su sistema el volumen de líquido):

,

aquí, es la masa de partículas sólidas en cualquier instante y es la solubilidad en el

equilibrio. Separe variables y explique cómo se puede obtener el coeficiente convectivo

a partir de datos experimentales.

SUGERENCIA: Observe que y que por lo que .

25861 / . , ih W m K 2 2037 / . , 1996 iU W m K Q kW

70 203740 = 64.35861sT C

ih

2/3 2/3 0.093k

s

2/3 2/3 0.09

2

30.672 972 0.657

58610.630

6387 / .992 0.358

i W m Kh

2 2096 / . , 1263 in= 21 miU W m K t s

0S 0M

V

2/3

0

0

Ac AS A

dcMk S c c V

M dt

M ASc

ck

3

0 0

M D

M D

2

0 0

S D

S D

2/3

0

0

MS S

M


Solución: El cambio de concentración en la solución es función solo del tiempo. Un balance

macroscópico para el soluto (especie A) siendo el sistema donde entra, sale o se acumula

soluto la fase líquida:

.

Atendiendo la sugerencia y teniendo en cuenta que, para soluciones diluidas

permanece aproximadamente constante, y que el número de partículas es constante se

obtiene la ecuación pedida que al separar variables e integrar nos da:

.

Al graficar los resultados experimentales como en ordenadas contra en

abscisas, la pendiente de la gráfica nos permite hallar .

En general, el análisis de parámetros concentrados, requiere solo balances macroscópicos

y no microscópicos y se aplica en balance de materia para todo lo referente a tanques

agitados.

Balances macroscópicos de materia

El tema de fenómenos de transporte está íntimamente ligado con la predicción de

variaciones de temperatura, concentración y/o velocidad dentro de un medio. Para obtener

estos perfiles se utilizan dos conjuntos de ecuaciones: (1) Ecuaciones de balance o

conservación y (2) Ecuaciones de velocidades o de densidades de flujo.

Recordemos que el balance general para un sistema es:

Velocidad de salida - Velocidad de entrada + Velocidad de acumulación = Velocidad de

generación .

o abreviadamente:

Salida - Entrada + Acumulación = Generación. (1.7)

El sistema se define como una porción de universo bajo estudio. El resto del universo son

los alrededores. El sistema puede ser una cantidad específica de materia o de volumen

(frecuentemente llamado volumen de control). La “velocidad de entrada” se refiere a todo el

flujo dentro del sistema (de la cantidad involucrada) a través de los límites del sistema, y la

A

c AS A

d Vck S c c

dt

V

2/3

0

0

ln constanteAS A c

S Mc c k t

V M

AS Aln c c t

ck


“velocidad de salida” se refiere a todo flujo que deje el sistema a través de sus límites. La

diferencia de la segunda menos la primera es la “velocidad neta de salida”. La “velocidad de

generación” se refiere a toda producción dentro del sistema, y la “velocidad de

acumulación” se refiere a la velocidad de cambio con el tiempo de la cantidad total de

masa, energía o cantidad de movimiento en el sistema y puede ser positivo o negativo.

Las ecuaciones de balance pueden aplicarse al sistema como un todo (balances globales o

macroscópicos), a un incremento (balance incremental), o a un elemento diferencial

(balance diferencial). Las ecuaciones como la (1.7) son también denominadas leyes de

conservación.

Podemos apreciar mejor el significado de los términos de la ecuación (1.7) analizando el

siguiente caso:

Ejemplo 1.19: Se está llenando un tanque con un líquido que fluye con caudal másico m1’

(kg/s). Al mismo tiempo el líquido sale a razón de m2’ (kg/s). El área transversal del tanque

es S y la altura del nivel del líquido en el tanque en cualquier momento t es z (ver Figura

1.29). Al aplicar la ecuación de balance al líquido dentro del tanque observamos que la

velocidad de generación es cero puesto que no se produce masa dentro del tanque; pero la

velocidad de acumulación no será cero a menos que m1’ = m2’ o sea que las magnitudes de

los caudales hacia y desde el tanque sean iguales. Si tal fuera el caso tendríamos una

situación de estado estable puesto que no hay cambio en la cantidad de líquido en el

tanque con el tiempo.

Sin embargo, si suponemos que la cantidad entrando m1’ es mayor que la cantidad que sale

m2’, el nivel del líquido en el tanque cambiará con el tiempo a medida que el tanque se llena

y la velocidad de acumulación será mayor que cero. Si la masa total del sistema es M y la

densidad de líquido es , la velocidad de acumulación es:

,

y el balance global es entonces:

.

dt

dzSSz

dt

d

dt

dM

' '

2 1 0dM

m mdt


Figura 1.30. Ej 1.19: Tanque de líquido

Ejemplo 1.20: Supongamos ahora que ocurre una reacción química homogénea dentro del

tanque el cual permanece bien agitado, de tal manera que puede considerarse velocidad de

reacción uniforme dentro del mismo.

Denominemos A la especie producida en la reacción, y su velocidad de producción por

unidad de volumen es A (masa de A por unidad de volumen y unidad de tiempo).

Entonces la velocidad de generación será .A V , donde V es el volumen de fluido en el

tanque. Supongamos que la corriente que entra contiene una pequeña cantidad de A de tal

manera que la velocidad másica de entrada de A es m’A1. Si m’A2 representa la velocidad de

salida de la especie A, la ley de conservación para la especie A será:

.

salida - entrada + acumulación = generación.

En el ejemplo 6 no podía haber generación puesto que la masa total debe conservarse;

pero si una reacción química está ocurriendo dentro del líquido y produciendo la especie A

la generación no es cero y la masa de A no se conserva. En este último caso debemos

distinguir entre el término de generación y el término de entrada siendo éste la cantidad que

atraviesa los límites del sistema y el otro la generación de A ocurriendo en cada punto

dentro del sistema.

Ejemplo 1.21: Fluye agua dentro de un tanque bien agitado a 150 lb/hr y se agrega cloruro

de sodio a razón de 30 lb/hr. La solución resultante deja el tanque a 120 lb/hr; debido a la

agitación la concentración de la solución de salida es igual a la del tanque. Hay 100 lb de

agua pura en el tanque al comenzar la operación, y los caudales de entrada y salida se

mantienen constantes posteriormente. Calcule la concentración de salida (fracción másica

de sal) después de una hora.

Vdt

dMmm A

AAA '

1

'

2


Solución:

NaCl = A; 1 = entrada; 2 = salida. Un balance para el componente A:

, (i)

donde siendo la masa total dentro del tanque en cualquier momento ,

y :

,

,

usando un balance total:

' '2 1 0 entonces 120 150 30 0

dM dMm m

dt dt ,

,

de donde ; . Remplazando en (i) y separando variables se obtiene:

,

despejando y simplificando:

3

2

1 101

6 6 10Aw

t

,

para 21 hr, 0.126 12.6% en peso de NaClAt w . Para 2

1,6At w .

0'

1

'

2 dt

dMmm A

AA

A AM M w M t' '

A Am m w

0)(

1

'

12

'

2

dt

wMdwmwm A

AA

030120 dt

dMw

dt

dwMw A

AA

60 tasa de acumulacióndM

dt

060M t M 0 100M lb

2

2

2 20

0

1 60 100 1 30ln ln

60 100 180 30 60 100 180 30 180

A

tw

A

A A

dt dw t

t w w


Ejemplo 1.22: Tratamiento De Una Corriente Residual. Una corriente fluida de velocidad

volumétrica de flujo constante se vierte en un río. La corriente contiene un material

residual de concentración , que es inestable y se descompone con una velocidad

proporcional a la concentración, de acuerdo con la expresión

.

Con el fin de reducir la contaminación, se ha decidido hacer pasar el fluido a través de un

tanque de retención, de volumen , antes de verterlo al río. En el instante cero, el fluido

entra en el tanque vacío con caudal volumétrico .El líquido en el tanque puede

considerarse que está perfectamente agitado, y no sale de él hasta que el tanque está

totalmente lleno. Deduzca una expresión para la concentración de en el tanque, y en la

corriente que sale de él en función del tiempo.

Solución: En el período durante en el cual el tanque se está llenando, un

balance molar macroscópico de la especie da:

es el volumen en el tanque en cualquier .

: cantidad de moles totales de en el tanque en cualquier instante.

,

,

de donde: ,

y

'Q

A 0Ac

13; y

.A v A v A

mol Ak c k t c

t L

V

'Q

A

0'

VtQ

A

2 1 ; 'AA A A t t

dMm m V V Q t

dt t

'A AM Q c t A

AvAAvAA MkcQtQckcQ

dt

dM 00 '''

AMt

A

AvA

vAvA

A

cQ

MkcQ

ktdt

MkcQ

dM

00

0

0

0 '

'ln

1

'

0'1 expA

A vv

Q cM k t

k

0

0

1 exp, para

''

vAA

A vA

k tMc Vtc Qk tQ tc


Cuando que es la concentración para el instante en que el tanque se

llena:

.

Luego de que el tanque se llena tendremos:

0 0' ' entonces ' 'A A

A A v A A v A

d c V dcQ c Q c k c V V Q c Q k V c

dt dt

,

,

.

Cuando 0, constante y 0A A A v At c c Qc Q k V c .

En el límite: ,

.

Ejemplo 1.23: Considere un conjunto de tres tanques en serie. Inicialmente cada tanque

contiene de solución con concentración . Si una solución de concentración

entra al primer tanque a razón de L m3/h y la solución sale de cada tanque con la misma

rapidez, determine una ecuación que nos permita calcular la concentración del soluto A en

la solución que sale del último tanque como una función del tiempo. Considere mezclado

perfecto en cada tanque.

,' A Af

Vt c cQ

0

1 exp'

'

v

Af

A v

k VQc

c k VQ

/ '0' ( ' )

A

Af

c

tA

V QA v Ac

V dcdt

Q c Q k V c

AfvA

AvA

v cVkQcQ

cVkQcQ

VkQ

VQVt

)'('

)'('ln

''/

0

0

0'

'

AA

v

Q cc

Q k V

'

'exp

Q

Vt

V

VkQ

cc

cc v

AAf

AA

3

0V m 0Ac Aic


Figura 1.31. Ej 1.23: Tanques en serie

Balance para la especie A en el tanque número 1:

.

Separando variables e integrando:

,

.


,

,

,

0101

dt

dcVLcLc A

AiA

1

0 1 1

1 0 00

exp

A

Ao

ct

A Ai A

Ai A Ai Ac

V dc c c Ltdt

L c c c c V

0

01 expV

Ltcccc AAiAiA

02012

dt

dcVLcLc A

AA

dt

dcV

V

LtcccLLc A

AAiAiA2

0

0

02 exp

0exp0

0220

V

Ltcccc

dt

dc

L

VAAiAiA

A


.

Esta expresión es de la forma con constantes o funciones de . (1)

Conociendo que , entonces podemos multiplicar ambos

lados de (1) por el factor integrante obteniendo entonces

.

Aplicando este método a nuestro caso

,

,

.

Para 2 0 00, entonces A A Ai A Ait c c c C C c c obteniendo

.


,

.

Procediendo como en el caso anterior obtenemos

0

002

0

2 exp/V

LtcccVLc

V

L

dt

dcAAiAiA

A

QPydx

dy ,P Q x

dx

dyeyPeye

dx

d PdxPdxPdx

Pdxe

CdxeQyePdxPdx

CdteV

LtcccVLec

dtVL

AAiAi

dtVL

A

00 /

0

00

/

2 exp/

0

0

002

/

V

Lt

AAi

V

Lt

AiA

e

CVLtccecc

00 //

002 /VLtVLt

AAiAiA CeeVLtcccc

1/ 0

/

020

VLtecccc

VLt

AAiAiA

03023

dt

dcVLcLc A

AA

01/ 300

/

030

dt

dcVVLtecccLLc AVLt

AAiAiA


,

el exponente y divisor 2 en el paréntesis cuadrado parece sugerir una secuencia para n

tanques como . ¿Será válida?

Ejemplo 1.24: Existe peligro de asfixia cuando por falta de precaución se agrupa mucha

gente en recintos cerrados. ¿Cuánto tiempo puede esperarse que transcurra para que esto

ocurra al interior de un automóvil desde que se cierran completamente las ventanillas hasta

que se pierde la consciencia? Supongamos que el espacio libre que queda para el aire en

el vehículo ocupado por 8 personas (descontando un perro) sea de 2.15 m3, y que la

concentración inicial de oxígeno sea 21% molar y la presión ambiente la

atmosférica normal. La pérdida del conocimiento empieza cuando la concentración de

oxígeno en el medio baja del 9% molar, y el consumo fisiológico de oxígeno por persona se

estima en 6.6072x10 m3/s, medidos a 21.11 °C y 1 atm. Suponga que la velocidad de

consumo de oxígeno por persona es proporcional a la concentración de oxígeno presente

en el aire.

SUGERENCIA: Observe que la velocidad de reacción se da en [m3 de O2/s] = a. Se dice

además que la velocidad de reacción es de primer orden y proporcional a la concentración

de O2 en la mezcla gaseosa. Así pues, en cualquier momento la velocidad de reacción será

siendo la concentración molar de O2 en el aire en cualquier momento

(depende de la presión parcial del O2 en la mezcla). Por otra parte, en el momento

inicial, donde sería la concentración molar de O2 puro a 1 atm y

21.11°C. Por tanto, (demuéstrelo) [m3 de O2/s].

De lo antes dicho, ,

.

El balance macroscópico, para ocho personas, salida - entrada + acumulación = generación

,

000

22

0

3 exp12 V

Lt

V

Lt

V

tL

cc

cc

AiA

AiA

1n

0 0.21Ay

A AR k c Ac

AP

0 0A A APTR k c aC APTC

0A

aky

000 /

/

AA

T

A

APT

y

a

RTp

RTPa

c

aCk

sxx

k /O m 101463.321.0

106072.62

356

0.09

0

0.21

0 0 88

tA A

A

A

dy V dyVc kcy dt

dt k y


.

ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS EN REGIMEN TRANSITORIO

En la mayoría de los casos se podrán seguir los siguientes pasos:

1. Calcule el número de Biot para el modelo de la capacidad térmica global o de parámetros

concentrados. Si Biot, , la solución del modelo de parámetros concentrados es

válida.

2. Si , calcule el número de Fourier. Si , puede aproximarse la solución

para el sólido semi-infinito. De todas formas si se usa un número suficiente de términos,

la solución en series de Fourier es válida. En general, las soluciones obtenidas por

transformada de Laplace, en forma de series de la función de error y funciones

asociadas, convergen rápidamente para valores de Fourier menores de 0.20. Debe

comprobarse que .

3. Si , se aplica la solución de la serie completa, usando el

número de términos que sea preciso (40 términos aseguran precisión de 10-4 en .

4. Si , es válida la solución aproximada para tiempos largos, que se

expresa por la aproximación a un solo término.

A veces un problema puede enunciarse de tal manera que no sea posible seguir

exactamente el procedimiento anterior. Además, como en todos los problemas de

ingeniería, la precisión que se desea obtener en determinado cálculo debe considerarse en

el contexto del problema completo. De nada sirve obtener con dos cifras significativas si

el modelo que se ha usado es una mala aproximación a la realidad. Aquí la principal fuente

de error reside en la determinación del coeficiente de transferencia de calor. No sólo es

difícil calcular un valor de con un error inferior al 10%, sino que, en muchos problemas de

enfriamiento, no es constante, como supone el modelo. Por ejemplo, cuando el

enfriamiento se efectúa por convección natural, se muestra que h es proporcional a

a la potencia 1/4 en el caso de un flujo laminar y a la potencia 1/3 para un flujo

turbulento. Por lo tanto, el valor de debe calcularse para alguna diferencia media de

temperatura o por algún método iterativo.

Si , la resistencia convectiva externa es despreciable frente a la resistencia interna

(difusiva o de conducción). Entonces, la temperatura de la superficie es igual a la del medio

o la concentración de la superficie es igual a la de equilibrio. Las ecuaciones (1.51) y

(1.51a) pueden reemplazarse por las que ahora son equivalentes (1.30) y (1.32).

h 01.2 4.7237

101463.3*8

9/21ln15.25

sx

t

0.1Bi

0.1Bi 0.05Fo

40Bi

0.1 y 0.05 0.2Bi Fo

0.1 y 0.2Bi Fo

h

h

sT T

h

40Bi


NOTAS CAPÍTULO 1: CÓDIGOS DE PROGRAMACIÓN

Determinación de los valores propios:

"Valores propios para la ecuación (lambda_n)tan(lambda_n) = Bi"

$UnitSystem SI mass C Pa Rad J N=10 duplicate i=1;N lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-6 upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi/2 guess[i]=lowerlimit[i]+pi/4 end Bi=h*L/k "k del sólido” duplicate i=1;N 1/tan(lambda[i])=lambda[i]/Bi end "Vaya a Menú Options- Variable Info-Show array variables-array se desactiva y en guess para lambda[] se coloca guess[], y en lower y upper limit se coloca lowerlimit[] y upperlimit[]. Así se delimitan los intervalos de cálculo para cada valor propio. De otra forma calcula todos los valores iguales. Recuerde que cero no es un valor propio" “Evaluación de los coeficientes Cn” duplicate i=1;N C[i]=2*sin(lambda[i]/(lambda[i]+sin(lambda[i])*cos(lambda[i])) end “Historia tiempo-posición de la temperatura de la placa, ecuación (1.19)” z_hat=z/L duplicate i=1;N theta[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo)*cos(lambda[i]*z_hat) end theta_zt=sum(theta[1..N]) T=T_infinity+(T_o- T_infinity)*theta_zt Fo=alpha*time/L^2 alpha=k/rho/C_p “propiedades del sólido” “Evaluación de los valores promedio en un instante dado ecuación (1.19a)” duplicate i=1;N theta_m[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo)*sin(lambda[i])/lambda[i] end theta_mt=sum(theta_m[1..N]) T_m=T_infinity+(T_o- T_infinity)*theta_mt E_t=rho*C_p*2*L*S_z*(T_o- T_m)"calor cedido por la placa espesor 2L ecuación (4.25)"

146 NOTAS SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME

El EES trae en Options – Function Information – Transient Conduction Library las funciones planewall_T, planewall_T_ND, planewall_Q, planewall_Q_ND que hacen estos cálculos con 20 términos en la sumatoria. Es de advertir que los “Q” dan directamente el calor transferido, relativo al momento inicial, por unidad de área para media placa y por unidad de longitud para el cilindro. Por esta razón, si se desea obtener la temperatura adimensional promedio para la placa, es

necesario dividir el resultado de planewall_Q por con lo que obtenemos ; así

mismo para el cilindro largo el valor obtenido por cylinder_Q se divide por .

Ejemplo 1.1:

PLACA PLANA CON CONVECCIÓN SIMÉTRICA Y TEMPERATURA INICIAL UNIFORME $UnitSystem SI mass C Pa Rad J "propiedades y dimensiones" h=120 [W/m^2-K]: L=0,05 [m]: k=17,14 [W/m-K]: rho=8563 [kg/m^3] C_p=512 [J/kg-K]: S_z=1 [m^2] T_infinity=20 [C]: T_o=40 [C]: "T=30 [C]":time=1520 {z_hat=1} "Valores propios para la ecuación (lambda_n)tan(lambda_n) = Bi" N=10 duplicate i=1;N lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-6 upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi/2 guess[i]=lowerlimit[i]+pi/4 end Bi=h*L/k "k del sólido" duplicate i=1;N 1/tan(lambda[i])=lambda[i]/Bi end "Vaya a Menú Options- Variable Info-Show array variables-array se le quita la selección y en guess para lambda[] se coloca guess[], y en lower y upper limit se coloca lowerlimit[] y upperlimit[]. Así se delimitan los intervalos de cálculo para cada valor propio. De otra forma calcula todos los valores iguales. Recuerde que cero no es un valor propio" "Evaluación de los coeficientes Cn" duplicate i=1;N C[i]=4*sin(lambda[i])/(2*lambda[i]+sin(2*lambda[i])) End "Historia tiempo-posición de la temperatura de la placa, ecuación (1.19)" z_hat=z/L duplicate i=1;N theta[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo)*cos(lambda[i]*z_hat) end

mL

pC L0

1 mL

Q

Q

2

pC R


theta_zt=sum(theta[1..N]) T=T_infinity+(T_o- T_infinity)*theta_zt Fo=alpha*time/L^2 alpha=k/rho/C_p "propiedades del sólido" "Evaluación de los valores promedio en un instante dado ecuación (1.19a)" duplicate i=1;N theta_m[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo)*sin(lambda[i])/lambda[i] end theta_mt=sum(theta_m[1..N]) T_m=T_infinity+(T_o- T_infinity)*theta_mt E_t=rho*C_p*2*L*S_z*(T_o- T_m) "calor cedido por la placa de espesor 2L, ecuación (1.25)"


0,5593 0,5 0,4743

3,249 1,179E-20 0

Se observa claramente que para este valor del parámetro de Fourier, el segundo término de la serie es bastante pequeño.

El gráfico se obtiene creando una tabla paramétrica en Tables – New Parametric Table, y pasamos a la derecha del cuadro de diálogo las variables que deseamos, en este caso T y z_hat. Arriba a la izquierda aparece el número de filas que deseamos (No. of Runs). Por conveniencia cambio a 11, número impar para incluir el cero. 0k y la tabla vacía aparece. Seleccionando el triángulo que está en el encabezado de z_hat damos primer valor 0 y último 1, 0k y se llena la columna. Vamos a Calculate – calculate parametric table y, como previamente, en la ventana de ecuaciones se colocó entre comillas el valor T = 30 y z_hat = 0, informándose allí mismo para qué valor del tiempo queremos saber las temperaturas (time = 1520 s en este caso), automáticamente se llena la columna de temperaturas. Ahora Plots – New Plot X_Y. Se abre un cuadro de diálogo donde se dice qué variable va en las abscisas y cuál en las ordenadas, paso, si entramado o no, línea, color, símbolo suavizar o no la curva, en fin a su gusto. 0k y aparece el gráfico. Puede ser modificado como se explica en el manual, pero por lo pronto del cuadro de diálogo en el mismo gráfico, el botón abc permite colocar letreros indicativos, que se arrastran al sitio que se desee. Para colocar otra curva en el mismo gráfico se procede a crear otra tabla paramétrica esta vez con el tiempo necesario para que el centro de la placa alcance 35 °C. En Plots se dice Overlay y sin modificar parámetros básicos del gráfico anterior se sobrepone la nueva curva. Las líneas con la temperatura promedio de ambos casos se hacen con tablas lookup creadas independientemente de las correlaciones de la ventana de ecuaciones.

Ejemplo 1.2

SECADO DE PLACA CON Bi SOLUCIONES POR SEPARACION DE VARIABLES Y

TRANSFORMADA DE LAPLACE $UnitSystem SI mass C Pa Rad J "Datos" L=0,05: D_AB=1,3e-8 [m^2/s]: w=10: wo=15: ws=4 W_Ao=wo/(100-wo): W_As=ws/(100-ws) Fo=D_AB*t/L^2:" z_hat=z/L" z_hat=0 N=5 Usando las ecuaciones obtenidas por separación de variables


duplicate i=1;N theta[i]=(-1)^(i-1)/(2*i-1)*cos((2*i-1)*pi*z_hat/2)*exp(-(2*i-1)^2*pi^2*Fo/4) end theta_zt=4/pi*sum(theta[1..N]) "Ecuación (1.19b) W_A=W_As+(W_Ao- W_As)*theta_zt w=W_A/(1+W_A)*100 duplicate i=1;N theta_m[i]=1/(2*i-1)^2*exp(-(2*i-1)^2*pi^2*Fo/4) end theta_mt=8/pi^2*sum(theta_m[1..N]) "Ecuación (1.19c) W_Am=W_As+(W_Ao-W_As)*theta_mt wm=W_Am/(1+W_Am)*100 Usando las correlaciones obtenidas por transformada de Laplace w=W_ALP/(1+W_ALP)*100 duplicate i=1;N theta_LP[i]=(-1)^(i-1)*erfc(((2*i-1)-z_hat)/(2*Fo^0,5))+& (-1)^(i-1)*erfc(((2*i-1)+z_hat)/(2*Fo^0,5)) End "El símbolo & sirve para continuar la ecuación en el renglón siguiente" theta_LPzt=sum(theta_LP[1..N]) "Ecuación (4.33a)" W_ALP=W_Ao+(W_As-W_Ao)*theta_LPzt duplicate i=1;N thetaom[i]=(-1)^i*(exp(-i^2/Fo)/sqrt(pi)-i/sqrt(Fo)*erfc(i/sqrt(Fo))) "ver ecuación (4.35b)" end thetaomLP=2*sqrt(Fo)*(1/sqrt(pi)+2*sum(thetaom[1..N])) "Ecuación (4.35a) W_ALPm=W_Ao+(W_As-W_Ao)*thetaomLP Ejemplo 1.3 DIFUSION GASEOSA; COMPARACION SOLUCIONES POR SEPARACION DE VARIABLES Y TRANSFORMADA DE LAPLACE $UnitSystem SI mass K Pa Rad J $Tabstops 0,2 0,4 0,6 3,5 in "Datos" L=2*convert(ft;m) "[m]" D_AB=D_12_gas(G1$;G2$;T;P) "[m^2/s]" G1$='hydrogen': G2$='methane' P=100*convert(psi;Pa) "[Pa]" T=15+273 "[K]" y_As=0,7: y_Ao=1 time=3600 [s] Fo=D_AB*time/L^2:" z_hat=z/L" z_hat=0 N=5 "Usando las ecuaciones obtenidas por separación de variables" duplicate i=1;N theta[i]=(-1)^(i-1)/(2*i-1)*cos((2*i-1)*pi*z_hat/2)*exp(-(2*i-1)^2*pi^2*Fo/4)


end theta_zt=4/pi*sum(theta[1..N]) "ec (1.19b)" y_A=y_As+(y_Ao- y_As)*theta_zt Por el método de las transformadas de Laplace: $UnitSystem SI mass K Pa Rad J $Tabstops 0,2 0,4 0,6 3,5 in "Datos" L=2*convert(ft;m) "[m]" D_AB=D_12_gas(G1$;G2$;T;P) "[m^2/s]" G1$='hydrogen': G2$='methane' P=100*convert(psi;Pa) "[Pa]" T=15+273 "[K]" y_As=0,7: y_Ao=1 time=3600 [s] Fo=D_AB*time/L^2:" z_hat=z/L" z_hat=0 N=5 "Usando las ecuaciones obtenidas por transformada de Laplace" duplicate i=1;N theta_LP[i]=(-1)^(i-1)*erfc(((2*i-1)-z_hat)/(2*Fo^0,5))+& (-1)^(i-1)*erfc(((2*i-1)+z_hat)/(2*Fo^0,5)) end "El símbolo & sirve para continuar la ecuación en el renglón siguiente" theta_LPzt=sum(theta_LP[1..N]) "Ecuación (4.33a)" y_ALP=y_Ao+(y_As-y_Ao)*theta_LPzt Para verificar los límites de esta aproximación generamos el siguiente gráfico comparando resultados a un término y a 10 términos variando Fo:

$UnitSystem SI mass K Pa Rad J $Tabstops 0,2 0,4 0,6 3,5 in z_hat=0 Fo=0,2 N=10 y_As=0: y_Ao=1 "Usando las ecuaciones obtenidas por separación de variables" theta_1=4/pi*cos(pi*z_hat/2)*exp(-pi^2*Fo/4) y_A1=y_As+(y_Ao- y_As)*theta_1 duplicate i=1;N theta[i]=(-1)^(i-1)/(2*i-1)*cos((2*i-1)*pi*z_hat/2)*exp(-(2*i-1)^2*pi^2*Fo/4) end theta_zt=4/pi*sum(theta[1..N]) "ec (1.19b)" y_A=y_As+(y_Ao- y_As)*theta_zt "Usando las ecuaciones obtenidas por transformada de Laplace" theta_LP1=erfc((1-z_hat)/(2*Fo^0,5))+erfc((1+z_hat)/(2*Fo^0,5)) y_ALP1=y_Ao+(y_As-y_Ao)*theta_LP1 duplicate i=1;N


theta_LP[i]=(-1)^(i-1)*erfc(((2*i-1)-z_hat)/(2*Fo^0,5))+& (-1)^(i-1)*erfc(((2*i-1)+z_hat)/(2*Fo^0,5)) end theta_LPzt=sum(theta_LP[1..N]) "Ecuación (4.33a)" y_ALP=y_Ao+(y_As-y_Ao)*theta_LPzt

A continuación, hacemos una comparación con los resultados para el método de separación de variables a 1 y a 20 términos y el método de transformada de Laplace, ecuaciones (1.32 y 1.32a), para el caso del ejemplo 1.1. $UnitSystem SI mass C Pa Rad J theta_EES=planewall_T_ND(x_hat;Fo;Bi) x_hat=0: "Fo=0,5:" Bi=0,35 "a variar" T_f=20 [C]: T_i=40 [C] lowerlimit=1e-6 upperlimit=lowerlimit+pi/2 guess=lowerlimit+pi/4 1/tan(lambda)=lambda/Bi "calcula solo el primer valor propio" C=4*sin(lambda)/(2*lambda+sin(2*lambda)) theta_1=C*exp(-lambda^2*Fo)*cos(lambda*x_hat) theta_LPo=erfc((1-x_hat)/2/sqrt(Fo))+erfc((1+x_hat)/2/sqrt(Fo))-& exp(Bi*(1-x_hat)+Bi^2*Fo)*erfc(Bi*sqrt(Fo)+(1-x_hat)/2/sqrt(Fo))-& exp(Bi*(1+x_hat)+Bi^2*Fo)*erfc(Bi*sqrt(Fo)+(1+x_hat)/2/sqrt(Fo)) theta_LP=1-theta_Lpo "ecuación 4.36" T_LP=T_f+(T_i-T_f)*theta_LP T_EES=T_f+(T_i-T_f)*theta_EES T_1=T_f+(T_i-T_f)*theta_1 Ejemplo 1.4 ESTANQUE SOLAR $UnitSystem SI mass C Pa Rad J "Datos" L=1 [m]: D_AB=1,2e-9 [m^2/s]: rho_Ac=0,25*rho_As: rho_Ao=0: rho_As=380 [kg/m^3] Fo=D_AB*t/L^2:" z_hat=z/L" z_hat=0 N=5 Usando las ecuaciones obtenidas por separación de variables duplicate i=1;N theta[i]=(-1)^(i-1)/(2*i-1)*cos((2*i-1)*pi*z_hat/2)*exp(-Fo*(2*i-1)^2*pi^2/4) end theta_zt=4/pi*sum(theta[1..N]) "Ecuación (1.19b) rho_Ac=rho_As+(rho_Ao- rho_As)*theta_zt


duplicate i=1;N theta_m[i]=1/(2*i-1)^2*exp(-Fo*(2*i-1)^2*pi^2/4) end theta_mt=8/pi^2*sum(theta_m[1..N]) "Ecuación (1.19c) rho_Am=rho_As+(rho_Ao-rho_As)*theta_mt M=rho_Am*V V=L*S S=1 [m

2]

Ejemplo 1.5 INTERDIFUSION DE DOS GASES $UnitSystem SI mass K Pa Rad J "Datos" L=0,6 [m]: y_Am=0,7: y_Ao=1: y_As=0,5: time=2,5*3600 Fo=D_AB*time/L^2 N=5 duplicate i=1;N theta_m[i]=1/(2*i-1)^2*exp(-Fo*(2*i-1)^2*pi^2/4) end theta_mt=8/pi^2*sum(theta_m[1..N]) "Ecuación (1.19c)" y_Am=y_As+(y_Ao-y_As)*theta_mt D_EES=D_12_gas(G1$;G2$;T;P) G1$='Helium' G2$='methane' T=20+273 [K] P=5*101325 [Pa] Ejemplo 1.6

INDUCCION ELECTROMAGNETICA "Valores propios para la ecuación (lambda_n)tan(lambda_n) = Bi" $UnitSystem Eng mass F psi Rad Btu N=10 duplicate i=1;N lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-6 upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi/2 guess[i]=lowerlimit[i]+pi/4 end Bi=h*L/k duplicate i=1;N 1/tan(lambda[i])=lambda[i]/Bi end "Evaluación de los coeficientes Cn" duplicate i=1;N C[i]=2*sin(lambda[i])/(lambda[i]+sin(lambda[i])*cos(lambda[i])) end


z_hat=z/L duplicate i=1;N theta[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo)*cos(lambda[i]*z_hat) end theta_zt=sum(theta[1..N]) {T=T_infinity+(T_o- T_infinity)*theta_zt} Fo=alpha*time/L^2 alpha=k/rho/C_p theta_i1=1-theta_zt {Fo=0,1087 Bi=0,0165} z_hat=1 theta_i1=(T_s-To)/(q/h) To=70 [F] T_s=1600 [F] h=9,9 [Btu/hr-ft^2-F] k=25 [Btu/hr-ft-F] rho=460 [lb/ft^3] C_p=0,12 [Btu/lb-F] time=200/3600 [hr] T_c=To+(q/h)*theta_io theta_o=planewall_T_ND(x_hat;Fo;Bi) x_hat=0 theta_io=1-theta_o L=0,5/12 [ft] Ejemplo 1.7

ESFERA SOLIDA CONVECTIVA $UnitSystem SI mass C Pa Rad J "Función que contiene el condicional que si r_hat~=0 usar la ecuación modificada para evitar la indeterminación" function theta(C;lambda;Fo;r_hat) if r_hat<1e-6 Then "Aproximadamente cero" theta=C*exp(-lambda^2*Fo) Else theta=C*exp(-lambda^2*Fo)*sin(lambda*r_hat)/(lambda*r_hat) endif end "Valores propios para la ecuación lambda[i]=(1-Bi)*tan(lambda[i])" N=3 duplicate i=1;N lowerlimit[i]=pi*(i-1)+1e-6 "cero no es un valor propio" upperlimit[i]= lowerlimit[i]+pi guess[i]= lowerlimit[i]+pi/2 end Bi=h*R_o/k "k del sólido" h=120: R_o=0,05: k=17,14: rho=8563: C_p=512 r_hat=0 T_o=40: T_infinity=20: T=30{: time=516} r_hat=r/R_o Fo=alpha*time/R_o^2


alpha=k/rho/C_p "Bi=1" duplicate i=1;N lambda[i]*cos(lambda[i])=(1-Bi)*sin(lambda[i]) end "Menú Options- Variable Info-Show array variables-array se le quita el v y en guess para lambda[] se coloca guess[]. De otra forma calcula todos los valores iguales. Recuerde que cero no es un valor propio" "Evaluación de los coeficientes Cn" duplicate i=1;N C[i]=4*(sin(lambda[i])- lambda[i]*cos(lambda[i]))/(2*lambda[i]-sin(2* lambda[i])) end "Historia tiempo-posición de la temperatura de la esfera" duplicate i=1;N theta[i]=theta(C[i];lambda[i];Fo;r_hat) end T=T_infinity+(T_o-T_infinity)*sum(theta[1..N]) "Cálculo de la temperatura promedia ecuación (4.57a)" "Mai la función se evalúa como uno quiera" duplicate i=1;N theta_m[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo)*(sin(lambda[i])- lambda[i]*cos(lambda[i]))/lambda[i]^3 end T_m=T_infinity+(T_o-T_infinity)*3*sum(theta_m[1..N]) "Cálculo del calor cedido" E_s=rho*C_p*Vs*(T_o- T_m) Vs=4*pi*R_o^3/3 "Valores para el ejemplo 4.7" h=120: R_o=0,05: k=17,14: rho=8563: C_p=512 T_o=40: T_infinity=20: T=30 Ejemplo 1.8

ESFERA CON Bi ; COMPARACION SILUCIONES POR SERIES DE FOURIER Y

TRANSFORMADA DE LAPLACE $UnitSystem SI mass C Pa Rad J "Función que contiene el condicional que si r_hat~=0 usar la ecuación modificada para evitar la indeterminación" function theta(C;lambda;Fo;r_hat) if r_hat<1e-6 Then "Aproximadamente cero" theta=C*lambda*exp(-lambda^2*Fo) Else theta=C*exp(-lambda^2*Fo)*sin(lambda*r_hat)/r_hat endif end N=5 duplicate i=1;N lambda[i]=i*pi end


duplicate i=1;N C[i]=2*(-1)^(i+1)/i/pi end duplicate i=1;N theta[i]=theta(C[i];lambda[i];Fo;r_hat) end theta=sum(theta[1..N]) c_A=c_As+(c_Ao-c_As)*theta c_Ao=0,8: c_A=0,5: C_As=0 Fo=D_AB*time/R^2 r_hat=0 D_AB=5e-8 [m^2/s] 2*R=10e-3 [m] thetao[i]=erfc(((2*i-1)-r*)/2/sqrt(Fo))-erfc(((2*i-1)+r*)/2/sqrt(Fo)) thetao=sum(thetao[1..N])/r* c_AL=c_Ao+(c_As-c_Ao)*thetao

Nota: tener la precaución de informar en Options Variable Info que .

Ejemplo 1.9 CILINDRO SOLIDO CON CONVECCION "Valores propios para la ecuación lambda_n*Bessel_J1(lambda_n)=Bi*Bessel_J0(lambda_n)" $UnitSystem SI mass C Pa Rad J "propiedades y dimensiones" h=120 [W/m^2-K]: k=17,14 [W/m-K]: rho=8563 [kg/m^3]: R_o=0,05 [m] C_p=512 [J/kg-K] T_infinity=20 [C]: T_o=40 [C]: "T=30 [C]":time=768,8 [s] r_hat=1 "intervalos para los valores propios" N=10 duplicate i=1;N lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-6 "cero no es un valor propio" upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi guess[i]=lowerlimit[i]+pi/2 end Bi=h*R_o/k "k del sólido" "ecuación trascendental" duplicate i=1;N lambda[i]*Bessel_J1(lambda[i])-Bi*Bessel_J0(lambda[i])=0 end

0Fo


"Menú Options- Variable Info-Show array variables-array se le quita el v y en guess para lambda[] se coloca guess[]. De otra forma calcula todos los valores iguales. Recuerde que cero no es un valor propio" "Evaluación de los coeficientes Cn" duplicate i=1;N C[i]=2*Bi/((lambda[i]^2+Bi^2)* Bessel_J0(lambda[i])) end "Historia tiempo-posición de la temperatura del cilindro, ecuación (4.56)" {r_hat=r/R_o} duplicate i=1;N theta[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo)* Bessel_J0(lambda[i]*r_hat) end T=T_infinity+(T_o- T_infinity)*sum(theta[1..N]) Fo=alpha*time/R_o^2 alpha=k/rho/C_p "propiedades del sólido" "Evaluación de los valores promedio en un instante dado ecuación (4.56a)" duplicate i=1;N theta_m[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo)*Bessel_J1(lambda[i])/lambda[i] end T_m=T_infinity+(T_o- T_infinity)*2*sum(theta_m[1..N]) E=rho*C_p*V*(T_o- T_m) V=pi*R_o^2*L L=1 Ejemplo 1.10 IGNICION MADERO "Valores propios para la ecuación lambda_n*Bessel_J1(lambda_n)=Bi*Bessel_J0(lambda_n)" $UnitSystem SI mass C Pa Rad J N=6 duplicate i=1;N lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-6 "cero no es un valor propio" upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi guess[i]=lowerlimit[i]+pi/2 end Bi=h*R_o/k "k del sólido" h=16: R_o=12e-3/2: k=0,15 : rho=730: C_p=25000 T_infinity=1400: T_o=10: {T=425} time=200 { L=1} {r=R_o} "Bi=1" duplicate i=1;N lambda[i]*Bessel_J1(lambda[i])-Bi*Bessel_J0(lambda[i])=0 end


"Menú Options- Variable Info-Show array variables-array se le quita el v y en guess para lambda[] se coloca guess[]. De otra forma calcula todos los valores iguales. Recuerde que cero no es un valor propio" "Evaluación de los coeficientes Cn" duplicate i=1;N C[i]=2*Bi/((lambda[i]^2+Bi^2)* Bessel_J0(lambda[i])) end "Historia tiempo-posición de la temperatura del cilindro, ecuación (4.56)" {r_hat=r/R_o} duplicate i=1;N theta[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo)* Bessel_J0(lambda[i]*r_hat) end T=T_infinity+(T_o- T_infinity)*sum(theta[1..N]) theta_rt=sum(theta[1..N]) Fo=alpha*time/R_o^2 alpha=k/rho/C_p "propiedades del sólido" Ejemplo 1.11

SECADO CILINDRO CORTO Bi

$UnitSystem SI mass C Pa Rad J "propiedades y dimensiones" D_AB=4e-5*convert(ft^2/hr;m^2/s) R_o=2*convert(in;m) L=9*convert(in;m) Fo=D_AB*time/R_o^2 T_s=20/80: T_o=55/45: T=30/70:{time=768,8 [s]} r_hat=0 "intervalos para los valores propios" N=10 duplicate i=1;N lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-6 "cero no es un valor propio" upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi guess[i]=lowerlimit[i]+pi/2 end "ecuación trascendental" duplicate i=1;N Bessel_J0(lambda[i])=0 end "Menú Options- Variable Info-Show array variables-array se le quita el v y en guess para lambda[] se coloca guess[]. De otra forma calcula todos los valores iguales. Recuerde que cero no es un valor propio" "Historia tiempo-posición de la temperatura del cilindro"


{r_hat=r/R_o} duplicate i=1;N theta[i]=exp(-lambda[i]^2*Fo)*Bessel_J0(lambda[i]*r_hat)/Bessel_J1(lambda[i])/lambda[i] end T=T_s+(T_o- T_s)*2*sum(theta[1..N]) "Evaluación de los valores promedio en un instante dado" duplicate i=1;N theta_m[i]=exp(-lambda[i]^2*Fo) /lambda[i]^2 end T_m=T_o+(T_s- T_o)*4*sum(theta_m[1..N]) Ejemplo 1.12

SOLIDO COMPUESTO POR LA INTERSECCIÓN DE UN CILINDRO CONVECTIVO LARGO Y UN SOLIDO SEMIINFINITO CONVECTIVO "cilindro semi-infinito" "Datos" k=14,9:rho=7900: Cp=477: alpha=k/rho/Cp: T_0=450: T_infinity=150: h=85: time=25*60 Ro=0,075: z=0,15 "r=Ro o 0 se coloca entre comillas para hacer la gráfica" r=0 "Ecuación (4.51c) p 292 RBG sólido semi-infinito convectivo" S_zt=erf(z/(2*sqrt(alpha*time)))+exp(h*z/k+h^2*alpha*time/k^2)*& (1-erf(h*sqrt(alpha*time)/k+z/2/sqrt(alpha*time))) "Ecuación (4.56) p 287 RBG cilindro largo" Bi=h*Ro/k Lambda*bessel_J1(lambda)=Bi*bessel_J0(lambda) "primer valor propio" C_n=2/lambda*(bessel_J1(lambda)/(bessel_J0(lambda)^2+bessel_J1(lambda)^2)) Fo=alpha*time/Ro^2 C_rt=C_n*exp(-lambda^2*Fo)*bessel_J0(lambda*r/Ro) Theta=S_zt*C_rt T=Theta*(T_0-T_infinity)+ T_infinity "para graficar: new parametric table-solve table-new plot window" Ejemplo 1.13 CILINDRO CORTO CON CONVECCION $UnitSystem Rad C Pa J "Cilindro corto valores promedio" E_L=planewall_Q(time;T_i;T_f;alpha;k;h;L)/(rho*C_p*L*(T_f-T_i)) E_R=cylinder_Q(time;T_i;T_f;alpha;k;h;r_o)/(rho*C_p*pi*r_o^2*(T_f-T_i)) theta_ML=1-E_L theta_MR=1-E_R theta_RL=theta_ML*theta_MR theta_RL=(T_m-T_f)/(T_i-T_f) T_m=15: T_i=4: T_f=25: alpha=k/rho/C_p: k=0,598: rho=1000: C_p=4184: L=0,125: r_o=0,03: h=10


La función Planewall_Q da calor por unidad de área y cilinder_Q da calor por unidad de longitud. Por

eso para encontrar el es necesario dividir por el .

"Cilindro corto con coeficientes convectivos diferentes T_m" "Valores propios para la ecuación lambda_n*tan(lambda_n) = Bi" $UnitSystem SI mass C Pa Rad J N=3 duplicate i=1;N lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-6 upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi guess[i]=lowerlimit[i]+pi/2 end Bi_L=h_L*L/k duplicate i=1;N 1/tan(lambda[i])=lambda[i]/Bi_L end "Menú Options- Variable Info-Show array variables-array se le quita el v y en guess para lambda[] se coloca guess[]. De otra forma calcula todos los valores iguales. Recuerde que cero no es un valor propio" "Evaluación de los coeficientes Cn" duplicate i=1;N C[i]=4*sin(lambda[i])/(2* lambda[i]+sin(2* lambda[i])) end Fo_L=alpha*time/L^2 alpha=k/rho/C_p "propiedades del sólido" "Evaluación de los valores promedio en un instante dado ecuación (4.55a)" duplicate i=1;N theta_m[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo_L)*sin(lambda[i])/lambda[i] end theta_mL = sum(theta_m[1..N]) E_R=cylinder_Q(time;T_i;T_f;alpha;k;h;r_o)/(rho*C_p*pi*r_o^2*(T_f-T_i)) theta_MR=1-E_R theta_RL=theta_mL*theta_MR theta_RL=(T_m-T_f)/(T_i-T_f) T_m=15: T_i=4: T_f=25: "alpha=k/rho/C_p:" k=0,598: rho=1000: C_p=4184: L=0,125: r_o=0,03: h_L=10: h=7,07 "Nota: estudiar porqué se obtienen lambdas erróneos para N mayor" Variables in Main alpha=1,429E-07 Bi_L=2,09 C_p=4184 E_R=0,4788 Fo_L=0,05752 h=7,07 h_L=10 k=0,598 L=0,125 N=3

m 0Q


rho=1000 r_o=0,03 theta_mL=0,9136 theta_MR=0,5212 theta_RL=0,4762 time=6288 T_f=25 T_i=4 T_m=15 "Cilindro corto con coeficientes convectivos diferentes" "Valores propios para la ecuación lambda_n*tan(lambda_n) = Bi" $UnitSystem SI mass C Pa Rad J N=3 duplicate i=1;N lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-6 upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi guess[i]=lowerlimit[i]+pi/2 end Bi_L=h_L*L/k duplicate i=1;N 1/tan(lambda[i])=lambda[i]/Bi_L end "Menú Options- Variable Info-Show array variables-array se le quita el v y en guess para lambda[] se coloca guess[]. De otra forma calcula todos los valores iguales. Recuerde que cero no es un valor propio" "Evaluación de los coeficientes Cn" duplicate i=1;N C[i]=4*sin(lambda[i])/(2* lambda[i]+sin(2* lambda[i])) end Fo_L=alpha*time/L^2 alpha=k/rho/C_p "propiedades del sólido" "Evaluación de los valores promedio en un instante dado ecuación (4.55a)" duplicate i=1;N theta_m[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo_L)*sin(lambda[i])/lambda[i] end theta_mL = sum(theta_m[1..N]) E_R=cylinder_Q(time;T_i;T_f;alpha;k;h;r_o)/(rho*C_p*pi*r_o^2*(T_f-T_i)) theta_MR=1-E_R theta_RL=theta_mL*theta_MR theta_RL=(T_m-T_f)/(T_i-T_f) T_m=15: T_i=4: T_f=25: "alpha=k/rho/C_p:" k=0,598: rho=1000: C_p=4184: L=0,125: r_o=0,03: h_L=10: h=7,07 z=0,0625: r=0 "Nota: estudiar porqué se obtienen lambdas erróneos par N mayor" “Valores locales” "Historia tiempo-posición de la temperatura de la placa, ecuación (4.55)" z_hat=z/L duplicate i=1;N


theta[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo_L)*cos(lambda[i]*z_hat) end theta_L=sum(theta[1..N]) "Cilindro" T_c=cylinder_T(r;time;T_i;T_f;alpha;k;h;r_o) theta_c=(T_c-T_f)/(T_i-T_f) theta_cc=theta_L*theta_c T_cc=theta_cc*(T_i-T_f)+T_f

Variables in Main

alpha=1,429E-07 Bi_L=2,09 C_p=4184 E_R=0,4788 Fo_L=0,05752 h=7,07 h_L=10 k=0,598 L=0,125 N=3 r=0 rho=1000 r_o=0,03 theta_c=0,566 theta_cc=0,5466 theta_L=0,9657 theta_mL=0,9136 theta_MR=0,5212 theta_RL=0,4762 time=6288 T_c=13,11 T_cc=13,52 T_f=25 T_i=4 T_m=15 z=0,0625 z_hat=0,5

RESUMEN DE CONDUCCION TRANSITORIA

Ejemplo 1.14 ESFERA PARAMETROS CONCENTRADOS 1/U=1/h+t/ka*R2/R1 h=3300: t=2e-3: ka=,04:R2=,152:R1=,150:ks=48,8 Bi=U*R1/ks Fo=alpha*time/R1^2 theta=exp(-3*Bi*Fo)

theta=(Tm-Tf)/(To-Tf) Tm=140: Tf=100:To=500 alpha=ks/rho/Cp rho=7832: Cp=559


CAPÍTULO 2 . SISTEMAS CON CONDICION INICIAL NO UNIFORME

SISTEMAS ASIMETRICOS O CON CONDICION INICIAL NO UNIFORME

En el capítulo anterior se analizaron modelos que, aunque representan situaciones que se

aparecen en casos prácticos, son resueltos con dificultad matemática moderada y han sido

ampliamente tratados en la literatura orientada a la enseñanza.

Cuando cambiamos ligeramente las condiciones límite o iniciales del modelo, la dificultad

matemática aumenta llevando a expresiones más complicadas y de manejo más incómodo.

Mostramos en este capítulo como, la solución del balance sin generación, pero con

condiciones iniciales o de frontera modificados respecto a los que se analizaron en el

capítulo 1, se resuelven por métodos numéricos basados en el método de las diferencias

finitas.

2.1 Placa transitoria condición inicial no uniforme y la superficie 1 aislada

2.1.1 Superficie 2 convectiva, coeficiente convectivo constante

Solución analítica

Se plantea una ecuación diferencial para el caso de una placa plana sin generación en

estado inestable intercambiando calor con un medio a T . Su distribución de temperatura

inicial es lineal.

Una pared de ladrillo 2pie

0.016hr

con espesor de

1.5 pie, está inicialmente a temperatura uniforme de 80 F.

Sus superficies se llevan a 350 °F y 650 F

respectivamente hasta alcanzar el estado estable. A partir

de este momento la superficie izquierda se aísla y la

superficie derecha se pone en contacto con aire

estancado a 80 °F. ¿Cuánto tiempo después la

temperatura en el centro de la pared alcanza 300 F?

2Btu Btu0.38 , 1.272

hr.pie.°F hr.pie °Fk h . ¿Cuál

será la temperatura de las superficies en ese momento?

162 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME

Figura 2.1. Pared de ladrillo

Figura 2.2. Placa plana con una superficie aislada y otra convectiva

Solución

La ecuación a resolver es:

2

2 para 0 , 0

T Tz L t

t z

. (2.1a)

La difusividad térmica tiene dimensiones de 2longitud

tiempo.

Las condiciones límite o de frontera son:

En 0, 0, 0T

z tz

(2.1b)

En , , 0T

z L k h T T tz

(2.1c)

La ecuación (2.1a) es la misma ecuación (1.8) con

0m y solo difiere en la condición inicial. Por lo tanto,

la función F y los valores propios son iguales. Sin

embargo, para facilitar los cálculos usamos otro cambio

de variable. Para homogenizar esta última condición

límite (2.1c) hacemos el cambio de variable:

T T , que con T constante nos modifica las

ecuaciones anteriores así:

2

2 para 0 , 0z L t

t z

, (2.1a-i)

En 0, 0, 0z tz

, (2.1b-i)

0 0 0 T

tzz


En , 0, 0z L k h tz

, (2.1c-i)

y la condición inicial:

0 cuando 0 para 0f z t z L (2.1d)

Para resolver el problema por el método de separación de variables se supone que ,z t

puede representarse como un producto de funciones de la forma

,z t F z G t , (2.1d)

en donde F es una función exclusivamente de z y G es función solo de t . La ecuación

(2.1a-i) se escribe:

' '' ' ' ' ' ', , , , ,z t F z G t z t F z G t z t F z G tt z z .

Los subíndices t y z indican derivada respecto a esa variable respectivamente.

Reemplazando en (2.1a-i):

' ' '1F z G t F z G t

.


.

La constante de separación , es un número real con dimensiones 1L .

La ecuación de la derecha tiene solución inmediata:

21expG t C t . (2.1f)

La otra ecuación es un problema de valor propio o de Sturm Liouville:

2"( ) '( )

( ) ( )

F z G t

F z G t


2 3sin cosF z C z C z ,

'2 3cos sinF z C z C z ,

Como '20 para 0 entonces 0F z z C . Las funciones propias son entonces

cosF z z .

Si esta solución debe satisfacer también la condición en z L tenemos:

cos cos ó sin cos 0

z L

k z h z k L h Lz

,

así los valores propios n son las raíces positivas de la ecuación trascendental:

tanhL

L Lk

(2.1g-i)

La solución será la suma de todas las soluciones posibles así:

'

1

, nz t C F z G t

(2.1h)

Donde nC engloba las constantes 1C y 3C . Para encontrarla aplicamos la condición inicial,

que especifica que en 00, 1 y t G t f z . Además usando la propiedad de

ortogonalidad de las funciones propias multiplicamos ambos lados por cos z e

integramos entre 0 y L , intercambiando la sumatoria y la integral donde es preciso.

Sabiendo que la propiedad de ortogonalidad de estas funciones propias está dada por:

0 cuando

cos coscuando

0

Ln m

z z dzn mN n m

.

Obtenemos


' 2

0 0

cos cos

L L

n n nf z z dz C z dz , (2.1i)

2

0

1cos sin 2

2 4

L

n nn

LN z dz L

, (2.1j)

este parámetro N , tiene dimensiones de longitud. La integral del lado izquierdo en (2.1i) la

realizamos teniendo en cuenta que en nuestro caso la distribución inicial de temperaturas

es lineal 0 az b :

2 2

0

cos sin 1cos sin

Ln n

n n nn nn n

L L L bA az b z dz a L

. (2.1k)

El valor de nA tiene dimensiones de longitud por temperatura.

2 2'

cos sin 1sin

1sin 2

2 4

n nn

n nn nnn

nn

L L L ba L

AC

LNL

, (2.1l-i)

este coeficiente tiene dimensiones de temperatura. Reemplazando 'nC en la expresión para

el perfil de temperatura (2.1h) obtenemos:

' 2

1

cos expn n nT T C z t

. (2.1m-i)

Para el caso numérico que nos ocupa 0T T az b . Si 00, 270z F b ,

para 0°F570 entonces =200

piez L F . Resolviendo manualmente (calculadora

científica):

1.272 1.5

5.02 5,0.38

Bi de la tabla, 11.3138, 0.8759 pie ,11L

1 1434,96 , 0.89 pie con 0.75 pie, 0.6569, cos 0.7919.nA F N z z z


Nota: La calculadora debe estar en radianes pues son funciones trigonométricas de

números reales.

Utilizando solo el primer término de la ecuación (2.1m-i), 45.02 hrt ,

2

0.016 45.020.32 0.2

1.5Fo

hace innecesario tener en cuenta más términos.

Para este tiempo la temperatura en la superficie, 1.5 piez , será:

2434.9680 0.2542 exp 0.0116 0.859 46.02 150

0.89sT F

.

Cambiamos a variables adimensionales: 2 y * con n ntzL z Fo

L L , escribimos:

2

1

cos * expn n nT T C z Fo

, (2.1m-ii)

2 2

cos sin 1sin

1 1sin 2

2 4

n nn

n nn nn

nn

baL

C

. (2.1l-ii)

En forma más compacta:

2 cos sin 1 sin

sin cos

n n n n n

nn n n n

aL bC

. (2.1l-iii)

Los valores propios vienen dados por la ecuación trascendental

tann n Bi (2.1g-ii)

El análisis con EES se encuentra en la sección NOTAS al final del cap. En este código se

resalta la determinación de los valores propios que implica hacer variar las suposiciones

para obtener tantas raíces como se requiera. Esto se logra usando el comando

“DUPLICATE” así:

N=10 duplicate i=1;N


lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-6 upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi/2 guess[i]=lowerlimit[i]+pi/4 end

Resultados

°F200pie

a . 2ftalpha 0.016

hr

.

270°Fb . 5.021Bi .

0.3278Fo . 2

Btu1.272hr.ft °F

h

.

Btu0.38hr.ft.°F

k

. 1.5 ftL .

T_infinity 80 °F . N 10 .

T_ol 350 °F . T_o2 650 °F .

0.75 piez . z_hat 0.5 .

300 °FT Temperatura requerida en * 0.5z . theta_zt 220 Ecuación (2.1m-

ii).

time 46.09 hr Tiempo necesario para que el

centro de la placa alcance 300°F.

Los primeros 4 valores obtenidos en la Tabla 2.1 o arreglo son:

C[i] guess[i] lambda[i] lowerlimit[i] theta[i] upperlimit[i] A[i] B[i]

488,6 0,7854 1,315 0,000001 70,23 1,571 1002 2,051

-249,9 3,927 4,035 3,142 0,7528 4,712 -4562 18,25

88,46 7,069 6,911 6,283 0,00001136 7,854 4516 51,05

-61,24 10,21 9,894 9,425 6,343E-13 11 -6239 101,9 Tabla 2.1. Arreglo obtenido para placa plana con una superficie aislada y otra convectiva

La primera columna indica los coeficientes de cada término, la tercera los valores propios,

quinta los valores de los términos de sumatoria. Se observa que, a pesar del elevado valor

del tiempo adimensional Fourier, los primeros tres términos de la sumatoria son necesarios

para obtener una buena precisión. Sin embargo, es interesante observar que el método

aproximado dio una solución aceptable.

El perfil completo de temperaturas en ese momento lo podemos encontrar creando una

tabla paramétrica de temperatura contra posición. Para incrementos en z de 0.15 pie, se

obtienen 11 puntos que son usados para dibujar un gráfico (plot) bidimensional así:


T [°F] 356,1 353,8 346,9 335,6 319,9 300 276,3 249,1 218,7 185,8 151

z [pie] 0 0,15 0,3 0,45 0,6 0,75 0,9 1,05 1,2 1,35 1,5

Tabla 2.2. Tabla paramétrica de T vs posición

Encontramos la temperatura en la superficie, 1.5 pie, 151sz T F .

Figura 2.3. Distribución inicial y perfil de temperatura

Solución por métodos numéricos

Las escalas de tiempo para los diferentes mecanismos de transferencia son útiles en la

selección de los tiempos de simulación. Para transferencia de calor se evalúan así (Tosun,

2007) p. 49:

Transferencia por conducción:

2característica

M

Lt

.

Transferencia por convección: característica característicac

p

L Lt

h hC k

.

En el problema actual estos valores son: 140.6 hr, 28.3 hrM ct t . Con 5Bi la

resistencia interna o por conducción domina sobre la externa pero no por varios ordenes de

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

z

T

[F]

Disribución inicial de temperaturas

Perfil de tempraturas después de 46,1 hr


magnitud por lo que algún valor intermedio puede ser adecuado. Sin embargo, en este caso

conocemos el resultado analítico y con ese valor nos orientamos. El código de

programación se encuentra en la sección NOTAS.

Para tiempo de simulación 46 hr se obtienen los siguientes valores:

dTdt[i] T[i] x[i] T_ini[i]

°F/hr °F pie °F

-3,259 355,9 0 350

-3,242 353,6 0,15 380

-3,187 346,8 0,3 410

-3,092 335,4 0,45 440

-2,951 319,7 0,6 470

-2,758 299,9 0,75 500

-2,508 276,2 0,9 530

-2,199 249 1,05 560

-1,832 218,6 1,2 590

-1,413 185,7 1,35 620

-0,9503 150,8 1,5 650

Tabla 2.3. Valores obtenidos para una simulación de 46 horas

La primera columna nos indica la velocidad de cambio, la segunda la temperatura en cada

nodo, la tercera la posición del nodo y la cuarta la distribución inicial de temperaturas.

Haciendo una tabla paramétrica variando la temperatura en el centro contra el tiempo de

simulación, ampliando la zona alrededor de la temperatura indicada se obtiene un gráfico

que nos da precisión en centésimos de hora. Esta no es muy grande desde el punto de

vista del tiempo (36 segundos), pero debido a la alta capacitancia térmica del sólido, es

suficiente pues en 936 s cambia su temperatura en aproximadamente 1 °F.

299,8 299,9 300 300,1 300,2

45,78

45,86

45,94

46,02

46,09

46,17

T[6] °F

t sim

[h

r]


Figura 2.4. Temperatura del centro contra el tiempo de simulación en centésimos de hora.

A partir de la tabla integral se puede generar la historia de la temperatura de cada uno de

los once nodos. Es de notar que algunos de los nodos internos comienzan incrementando

su temperatura.

Figura 2.5. Perfil de temperatura en cada nodo

Solución por diferencias finitas, método implícito y método de líneas

A partir del código de programación (ver en la sección de NOTAS) se genera

automáticamente una tabla de donde podemos hacer un gráfico que nos muestra los

perfiles de temperatura en la placa en diferentes tiempos.

La Tabla 2.4 es un fragmento de la tabla generada. La primera columna nos indica posición,

las otras dos columnas indican temperatura en la respectiva posición y en el tiempo 1j ,

es decir 93 indica 92 intervalos de tiempo o 46 horas y 94 serán 46.5 horas.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

Tiempo [hr]

Tem

pera

tura

nodos [

°F]

Nodo internoNodo interno

Nodo centralNodo central

Nodo externoNodo externo


Figura 2.6. Perfil de temperatura en diferentes tiempos

x[i] T[i;93] T[i;94]

pie °F °F

0,6875 309,4 308

0,75 300,7 299,3

0,8125 291,2 289,9 Tabla 2.4. Tabla paramétrica para generar la Figura 2.6

Se nota mejor coincidencia del resultado numérico con el analítico para el método de

líneas, que, en el caso del EES usa el comando Integral que implementa un esquema de

integración de tercer orden de precisión y usa tamaño de paso variable para minimizar el

tiempo de computación manteniendo la precisión.

2.1.2 Solución por métodos numéricos, coeficiente convectivo variable

Se plantea una ecuación diferencial para el caso de una placa plana sin generación en

estado inestable intercambiando calor con un medio a T . Su distribución de temperatura

inicial es lineal no uniforme. El coeficiente convectivo es variable.

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

z [pie]

Tem

pera

tura

[°F

]Perfil inicial

Perfil después de 60 hr

Perfiles a intervalos de 2.5 hr


Figura 2.7. Placa plana sin generación en estado inestable

Cuando existe convección natural o radiación, el coeficiente convectivo o el efecto radiante

se ven afectados por la temperatura de la superficie y algún tipo de método interactivo debe

usarse para cada intervalo de tiempo.

Replanteemos el ejercicio propuesto para el caso en el que el coeficiente convectivo

cambia con la temperatura de la superficie sólida según la expresión

13

2Btu0.19

hr.pie .°Fsh T T

.

Como primera aproximación usaremos diferencias finitas, método completamente implícito

y 0.25 piez . Con este valor tendremos seis divisiones en la placa y siete nodos (del 0 al

6). A partir de la solución anterior con coeficiente constante, esperamos un tiempo grande

por lo cual, para trabajo prácticamente manual, con la ayuda solo de una calculadora que

permita invertir matrices, seleccionamos 4Fo para obtener el resultado final en un

máximo de cuatro iteraciones. Así:

12 3 16 3

6

0.19 80 0.254 0.2515.63 hr, 0.125 80

0.016 0.38

Tt Bi T

.

Es de resaltar que, como el coeficiente

convectivo varía con la temperatura de la

superficie, el número de Biot también lo hace,

y ni la matriz de coeficientes ni la de términos

independientes son constantes.

Nodo (0) Adiabático (Ecuación 4.20)

1 10 1 09 8t t tT T T .

Figura 2.7

Nodos internos (Ecuación 4.19b)

(1) 1 1 1

0 1 2 14 9 4t t t tT T T T .

(2) 1 1 1

1 2 3 24 9 4t t t tT T T T .


(3) 1 1 1

2 3 4 34 9 4t t t tT T T T .

(4) 1 1 1

3 4 5 44 9 4t t t tT T T T .

(5) 1 1 1

4 5 6 54 9 4t t t tT T T T .

Nodo (6) Convectivo (Ecuación 4.21a)

1 15 6 68 9 8 640t t tT Bi T T Bi .

Este sistema de ecuaciones simultáneas puede resolverse por el método de inversión de

matrices. Expresando la ecuación en la forma A T C donde

.

La matriz C se calcula en el tiempo t y provee las temperaturas de los diferentes nodos

en el tiempo 1t a través de 1

A C T

. Para la distribución inicial de temperaturas, o

sea 0t , los valores de las 0mT temperaturas las obtenemos de

0 200 350mT z haciendo

0, 0.25, 0.5, 0.75,1,1.25 y1.5 piesz respectivamente.

Se obtienen los siguientes valores:

.

Bi

A

89800000

4940000

0494000

0049400

0004940

0000494

0000089

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

1

0

t

t

t

t

t

t

t

T

T

T

T

T

T

T

T

BiT

T

T

T

T

T

T

C

t

t

t

t

t

t

t

t

6406

5

4

3

2

1

0

650

600

550

500

450

400

350

0T

33.1313

600

550

500

450

400

350

0C


Multiplicando 1

A

(la matriz inversa de A ) por 0

C se obtienen las temperaturas 1mT de

los diferentes nodos las que a su vez nos generan 1

C que al multiplicarse por 1

A

genera los 2

mT y así sucesivamente se continúa tantos incrementos de tiempo como se

requiera.

Obtenemos finalmente:

t[hr]

0 0 350 400 450 500 550 600 650

1 15.63 404.5 411.3 420.9 423.3 406.5 353.8 239.5

2 31.26 389 387 379 361 327 272 198

3 46.89 355.4 351 338 314.7 280 233 176.7

4 65.52 319.7 315.2 301.7 279.1 247.7 208.2 162.5 Tabla 2.5. Temperatura en cada nodo

Observamos que el nodo (3) que es el central alcanza la temperatura de los 300 °F entre el

tercer y el cuarto intervalo de tiempo. Interpolando linealmente podemos estimar que esta

temperatura se alcanza después de 53.34 hr y la temperatura del nodo (6) sería 170.8 °F.

Con el programa Interactive Heat Transfer que acompaña a (Incropera, 1990), usando

0.25 pie, 1 hr, 0.256z t Fo se obtiene 52 hr y 171.2st T F después de 53

iteraciones. Si se desea mejorar el resultado se debe disminuir z pero esto se hace mejor

en Matlab que permite introducir el perfil inicial automáticamente al tiempo que permite usar

un sistema diferente del internacional.

Con este software, usando el código que se encuentra en la sección NOTAS, incrementos

de 0.0625 pie (25 nodos) e intervalos de tiempo de 0.5 horas 2.048Fo se obtiene

51.5 hr y 171.25st T F . En la Figura 2.8 se observa el perfil de temperaturas.

ttT

0

tT

1

tT

2

tT

3

tT

4

tT

5

tT

6


Figura 2.8. Perfil de temperatura placa

SOLUCION USANDO EES

Debido a que EES resuelve ecuaciones implícitas, no es necesario reorganizar las

ecuaciones anteriores con el fin de resolverlas. Se obtiene la solución implícita utilizando el

código plasmado en la sección NOTAS, al final del capítulo, coeficiente variable, método

implícito.

Figura 2.9. Distribución de temperatura con h variable, método implícito

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

x[ft]

Tem

pera

tura

[°F

]

Tiempo 0 hr

Tiempo 15 hr

Tiempo 30 hrTiempo 45 hr

Tiempo 60 hr

51,6 hr

Método Implícito h Variable


Una característica atractiva de la técnica implícita es que es posible variar los intervalos de

tiempo U y los intervalos de posición N independientemente a fin de lograr la suficiente

precisión sin ser limitada por consideraciones de estabilidad

La aplicación de la técnica implícita en MATLAB no es una extensión sencilla del código en

EES porque MATLAB no puede resolver directamente un conjunto de ecuaciones implícito.

En lugar de ello, las ecuaciones para los nodos deben colocarse en formato de matriz antes

de que puedan ser resueltos.

2.1.3 Resistencia convectiva despreciable Bi > 40

Ejemplo 2.2: Se calienta una barra de acero de 1 m de longitud hasta que la barra tiene un

gradiente lineal que va desde 300 C en un extremo hasta 600 C en el otro. La

temperatura en el extremo de 600 C disminuye súbitamente hasta 100 C. Los lados y el

otro extremo de la barra se mantienen aislados. Calcule el perfil de temperatura después de

0.27 Ms. (Sugerencia: debido a que los lados y un extremo están aislados es posible

considerar a la barra como la mitad de una placa plana con el extremo de 600 C en la

superficie de la placa). Tome las siguientes propiedades para el metal:

3kg J W7820 , 465 , 16

kg.K m.KmpC k .

Figura 2.10. Ejemplo 2.2

Estado transitorio unidimensional sin generación, radiación ni convección. Distribución inicial no uniforme

Solución analítica:

Ecuación de Fourier:

2

2

1T T

tz

,

condición inicial: 0 1 10, s

zt T T z T T T

L

,

1T2T

sT


condiciones límite:

2 1 20, 0; , , 300 , 600 , 1m, 100s

Tz z L T T T C T C L T C

z

.

Cambio de variable para homogenizar la segunda condición límite:

2

2 2

1 entonces , 0, 0, , 0.T T z z L

t zz

(2.2a)

Por separación de variables,

,z t F z G t ,

' ' ' ' ' ' ' ', ; , ; ,t z zz t F z G t z t F z G t z t F z G t .

Los subíndices t y z indican derivación respecto a esa variable.

Reemplazando en (2.2a)

' ' '1F z G t F z G t

.


' ' '2F z G t

F z G t

.

La constante de separación , es un número real.

21expG t C t ,

'2 3 2 3sin cos ; cos sinF z C z C z F z C z C z .

Como '20 para 0 entonces 0F z z C .

De la otra condición límite,

3

2 1cos 0 entonces

2n

nF L C L

L

.


Función propia cos nz ; valores propios n .

La solución general será:

2

1 1

, cos expn n n n nz t A F G A z t

. (2.2b)

Para determinar nA que engloba 1C y 3C , hacemos uso de la condición inicial:

0 0 2 1 1 2

1

,0 cosn n s

zz A z T T T T T T

L

.

Para hacer uso de las propiedades de ortogonalidad de las funciones propias multiplicamos

ambos lados por cos z e integramos entre 0 y L , intercambiando la sumatoria y la

integral donde es preciso. Obtenemos

21 1 2

0 0

cos cos

L L

s n n n

zT T T T z dz A z dz

L

. (2.2c)

El lado izquierdo representa dos integrales

1

11 2

0

11cos

nLs

n snn

T Tz z dz T T

L L

,

1

1 2 1 2

0

1cos

nL

n

T T z dz T T

El lado derecho se reduce a:

2

0

cos2

L

n

Lz N .

Reemplazando en (2.2c) y reorganizando:


1 12 1 1

22 2 2

1 812

2 1 2 1

n ns s s

n sn n

T T T T T TA T T

L nL n

. (2.2d)

Reemplazando en (2.2b)

11 2

2 2 2 21

814, cos exp

2 1 2 1

ns

s n n

T TT z t T T T z t

n n

. (2.2e)

Recordar que 2 1

2n

n

L

.

Si la distribución inicial de temperaturas es uniforme, 1 0sT T T la solución se reduce a la

ecuación (1.19b)

Dando valores numéricos:

1 2 3 4 5 6 7393.45, 239.23, 117.6, 95, 67, 59.88, 47.53.A A A A A A A

Esta serie converge lentamente para valores de Fo menores que 0.2, es decir para

tiempos menores que 46000 s. Así para estimar un máximo de temperatura (383.4 °C) que

se presenta en el extremo aislado al cabo de 18600 s (5.17 h), el cuarto sumando (-0.005)

aún afecta la tercera cifra decimal. En los valores encontrados para 54000 st (15 h) se

debió tener en cuenta el segundo sumando. En el resto de los casos la aproximación con el

primer término de la serie fue exacta hasta la sexta cifra decimal o superior.

t t [h] T0 T1 T2 T3 T4

0 0 300 375 450 525 600

1 15 317.7 301.8 255.7 184.9 100

2 30 221.8 212.5 186.1 146.6 100

3 45 167.8 162.6 147.9 125.9 100

4 60 137.7 134.8 126.7 114.4 100

5 75 121.0 119.4 114.8 108.0 100 Tabla 2.6. Temperatura y tiempo en cada nodo, solución analítica

Solucion usando el software EES

A partir del código (ver en la sección NOTAS, Bi > 40), se crean tablas paramétricas para

intervalos de tiempo de 15 horas construimos el siguiente gráfico que nos muestra la

evolución de las temperaturas con el tiempo en el sólido.


Figura 2.11. Distribución de temperatura en el sólido

Como se observa al cambiar las condiciones iniciales de constante a función de la posición,

los coeficientes de la serie de Fourier comienzan a volverse más complicados. Parece

conveniente explorar otras opciones de solución.

Análisis por métodos numéricos

Nota: Debido a lo prolongado del tiempo (75 h) parece indicado usar el método de

diferencias finitas completamente implícito, con incrementos de tiempo del orden de 15 h y

z de 20 o 25 centímetros.

Para realizar el cálculo en forma manual procedemos a trabajar por el método

completamente implícito de diferencias finitas con 0.25 m y 15 h 54000 sz t . El

número de Fourier, con 25 m0.44 10 es 3.8

s . Sacrificamos exactitud pero

reducimos la cantidad de operaciones a realizar. Necesitaremos 5 incrementos de tiempo y

el enmallado tendrá solo 4 nodos a saber:

Nodo (0), adiabático:

1 1 1 11 0 1 01 2 2 entonces 8.6 7.6t t t t t t

m m mFo T FoT T T T T .

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 10

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

z [m]

T [

°C]

Perfil inicialPerfil inicial

Perfil después de 15 hrPerfil después de 15 hr

Perfl después de 75 hrPerfl después de 75 hr

Perfiles de Temperaturas a Intervalos de 15 hr


Nodos internos:

1 1 11 11 2t t t t

m m m mFoT Fo T FoT T ,

(1) 1 1 1

0 1 2 13.8 8.6 3.8t t t tT T T T .

(2) 1 1 1

1 2 3 23.8 8.6 3.8t t t tT T T T .

(3) 1 1

2 3 3 4 43.8 8.6 3.8 con 100t t tT T T T T C constante y conocido.

Las matrices iniciales son:

.

Invirtiendo A obtenemos 1 1 0 1;t tT A C C se diferencia de

tC solamente en el último

término que se va modificando en la medida que se modifique 1

3;T Apermanece

inmodificable. Obtenemos las siguientes distribuciones de temperatura:

t [h] T0 T1 T2 T3 T4

0 0 300 375 450 525 100

1 15 307.7 308.7 292.3 234.4 100

2 30 245.0 239.0 212.7 165.4 100

3 45 196.0 189.3 169.5 138.3 100

4 60 161.3 156.8 143.7 123.8 100

5 75 138.9 136.0 127.6 114.9 100

Tabla 2.7. Distribuciones de temperatura por nodo

Para observar la eficiencia del sistema en función del número de Fourier, presentamos los

valores obtenidos con 0.05 mz (21 nodos) y 600 st (450 iteraciones), 1.06Fo ,

verificado usando el software I. H. T.

t [h] T0 T1 T2 T3 T4

0 0 300 375 450 525 100

1 15 317.8 302.0 256.1 185.3 100

2 30 222.3 2113.0 186.5 146.8 100

3 45 168.2 163.0 148.2 126.1 100

6.88.300

8.36.88.30

08.36.88.3

006.76.8

A

525

450

375

300

0

mT

380525

450

375

300

0C

t

t


4 60 138.0 135.1 126.9 114.6 100

5 75 121.2 119.6 115.3 108.3 100 Tabla 2.8. Comprobación eficiencia del sistema en función de Fo

Al observar los resultados calculados por los tres métodos descritos las curvas para 1Fo

y el análisis exacto se confunden, pero la diferencia respecto a 3.8Fo es notable.

Solución usando EES

Utilizando el código de programación (ver en la sección NOTAS), obtenemos el gráfico

siguiente donde se muestran perfiles de temperatura en el sólido a intervalos de 5 horas.

Como el nodo N es conocido y constante, debe tenerse precaución para el comando donde

se asigna la distribución inicial de temperaturas, asignándolo hasta 1N pues crea

conflicto con la expresión para el nodo N .

Figura 2.12. Distribución de temperatura en el sólido usando EES

SISTEMAS ASIMÉTRICOS

Consideramos como asimétricos sistemas de coordenadas cartesianas (placas) donde no

aparece una frontera donde la derivada respecto a la posición se hace cero. Para

homogenizar las condiciones de frontera puede utilizarse, en ocasiones, el principio de

superposición.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

100

200

300

400

500

600

Curvas de temperatura a intervalos de 5 hr

t=0 hr

t=75 hr


PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

En el caso de una placa plana asimétrica tenemos una ecuación de la forma:

22

2 válido para 0 ; 0

u uc x L t

t z

, (2.2f)

condición límite: 10, , 0u t T t ,

condición límite: 2, , 0u L t T t ,

condición inicial: ,0u z f z .

Presenta condición de estado estable después de algún tiempo ,u z t finito.

Solución en estado estable: lim ,t

u z t v z

.

lim 0t

u

t

, entonces en estado estable:

2

20

v

z

,

1 20 ;v T v L T .

Resolviendo:

2 1

1 2 1; 0 ; entonces T T

v z Az B T v B T v L AL T AL

.

Entonces: 2 1

1

T Tv z z T

L

.

Para aplicar el método de superposición se supone que ,u z t se puede expresar como

, ,u z t w z t v z .

Al reemplazar en la ecuación (2.2f)

22

2

w wc

t z

,


1 10, 0, 0 0, entonces 0, 0T u t w t v w t T w t ,

2 2, , , entonces , 0T u L t w L t v L w L t T w L t .

Es decir, las condiciones límite de ,w z t a diferencia de ,u z t son homogéneas

pudiéndose así resolver por el método de separación de variables. La condición inicial es:

,0 ,0 entonces ,0u z f z w z v z w z f z v z .

Resolviendo el caso homogéneo se obtiene

2 2

21

, sin exp nn

cnw z t B z t

L L

,

0

2sin

L

n

nB f z v z z dz

L L

.

A continuación se hace el desarrollo paso a paso de este problema:

2.2 Transporte de calor en estado transitorio a través de una placa plana. Temperaturas diferentes en ambos lados. Coeficientes convectivos iguales.

Consideramos una placa plana sólida que tiene espesor L , y en el tiempo 0t está a

temperatura uniforme 0T . Para 0t , la superficie en 0z se pone en contacto con un

fluido a temperatura constante 1T mientras que la superficie contraria intercambia calor

por convección con un fluido a temperatura constante 2T . En cualquier punto z el flujo de

calor y la temperatura dentro de la placa dependerán del tiempo.


Figura 2.13. Placa plana con h igual y temperatura diferente en ambos lados

Solución analítica A partir de un balance de energía térmica se obtiene la siguiente ecuación generalizada de

energía en función de la temperatura T del sólido. Esta ecuación es útil para calcular los

perfiles de temperatura en un sistema tridimensional con o sin generación (originada en un

manantial químico, nuclear, eléctrico, viscoso, etc.), en estado estable o transitorio,

propiedades constantes:

2p H

dTC k T

dt , (2A)

donde dTdt

es la derivada substancial de la temperatura, que es la derivada total con

respecto al tiempo para un recorrido que sigue el movimiento del fluido, es decir cuando

; ;dydx dz

dt dt dt son simultáneamente , ,x y zV V V , las componentes de la velocidad

del observador y, respectivamente, del fluido. Esta ecuación se toma como punto de partida

para la mayor parte de los tratamientos de transmisión de calor. Para sólidos, la densidad

puede considerarse constante y además 0V :

2p H

TC k T

t

. (2B)

La ecuación diferencial asociada a este problema unidimensional será, teniendo presente

que aquí el término de acumulación no desaparece, pero sí el de generación y los

gradientes en x y y

2

2p

T TC k

t z

.


Sabiendo que la difusividad térmica se define como p

kC

2

2

T T

t z

.

Esta ecuación se conoce como la ecuación unidimensional de difusión y reconocemos en

ella una ecuación diferencial parcial de segundo orden, lineal no homogénea.

En este caso tenemos convección en ambas superficies, flujo unidimensional pero

1 0 2T T T . Como las condiciones límite son no homogéneas pero el sistema puede

alcanzar el estado estable podemos resolverlo por el método de superposición así:

, ,T z t w z t u z , (2C)

donde u z es la solución de estado estable, satisfaciendo así

2 2

2 20 entonces 0 0

T T uz L

t z z

. (2D)

Las condiciones límite o de frontera las hallamos por medio de un balance alrededor de un

elemento de superficie de volumen despreciable por lo que no hay en él acumulación ni

generación. En la superficie izquierda donde ubicamos el origen coordenado:

Salida – Entrada = 0,

0conducción convecciónq q .

Aplicando las leyes de Fourier de la conducción y la de Newton del enfriamiento

1 0du

k h T udz

.

Es decir,

1 0 en 0du

k h u T zdz

. (2E)

En la superficie derecha, el balance se invierte:

Salida – Entrada = 0,


0convección conducciónq q .

Aplicando las leyes de Fourier de la conducción y la de Newton del enfriamiento:

2 0du

h u T kdz

.

Es decir, 2 0 en du

k h u T z Ldz

. (2F)

A partir de (2D)

1 1 2 y du

C u C z Cdz

.

Aplicando las condiciones de frontera (2E) y (2F) obtenemos

2 1 1 21 donde

2 2

H T T T HL T hu z H

HL HL k

.

La función ,w z t debe satisfacer las condiciones siguientes

2

20

w wz L

t z

. (2G)

Y como antes

0 en 0w

k hw zz

, (2H)

0 en w

k hw z Lz

. (2I)

A partir de (2C) la condición inicial es

,0 ,0T z w z u z f z .

Por tanto, en 0,w f z u t f z es la distribución inicial de temperaturas, en

nuestro caso 0T , constante (condición inicial).


Como ,w z t tiene condiciones de frontera homogéneas procedemos a resolver por el

método de separación de variables haciendo ,w z t F z G t .

Reemplazando en (2D)

' ' 'F z G t F z G t .

Al dividir por F z G t , el lado izquierdo será solo función de z y el derecho será solo

función de t . Para que se mantenga la igualdad es necesario que los dos términos sean

iguales a una misma constante, pues las variables z y t son independientes entre si:

' ' '

constanteF z G t

KF z G t

,

Donde K es la constante de separación que, por consideraciones físicas (la temperatura

no aumenta indefinidamente con el tiempo) y matemáticas (no obtener soluciones triviales)

debe ser un número real negativo, 2 . Cada igualdad nos da una ecuación diferencial

ordinaria:

Respecto al tiempo se tiene

' 2 0G t G t .

Su solución es

2expG C t . (2J)

La ecuación respecto a la posición

' ' 2 0F z F z .

La solución es

cos sinF A z B z ,

' sin cosF A z B z .

Aplicando las condiciones de frontera (2E) y (2F) obtenemos


2

, sin cos 2 0AH AH

B z A z AH

.

Con A y B diferentes de cero, se impone que 2 2

2tan

HL

H

, que se cumple para

infinitos n valores de n , los valores propios de esta ecuación trascendental. Podemos

agrupar las constantes de integración A , B , C en n constantes de integración nA para

obtener la solución general para ,w z t

2

1

, cos sin expn n nn

Hw z t A z z t

.

Haciendo 0t y aprovechando la ortogonalidad de las funciones propias obtenemos, a

partir de la condición inicial 0,0w z T u z .

2 1 1 2

0

0

1cos sin

2 2

L

n n nn

H T T T HL T HT z z z dz NA

HL HL

, (2K)

2

0

cos sin

L

n nn

HN z z dz

,

2 2 2 22

2 2 2

sin 2sin

2 4

nn nn

nn n n

LH HL HN L

. (2L-i)

Llamando C la suma de los dos últimos términos y notando que sin 2 2sin cos

y dividiendo y multiplicando por sin 2 nL obtenemos

2 22

2 2

1sin

2 tan

nn

n nn n

H HC L

L

; pero 2 2

2tan n

n

n

HL

H

por lo que


2 2

2 2 2

2 2 2 2sin cos sin

2

nn n n

n n n n

H H H H HC L L L

H

.

Por lo tanto:

2 2

2

2

2

n

n

L H HN

. (2L-ii)

De otra parte por (2H) debemos calcular, para 0T constante, las siguientes integrales:

1 20

0

1 20

1cos sin

2

1 1sin cos 1 .

2

L

n nn

n nn n

T HL T HT z z dz

HL

T HL T HT L z

HL

(2M)

La otra integral es:

2 1

0

2 1 2 1

0 0

cos sin2

cos sin .2 2

L

n nn

L L

n nn

H T T Hz z z dz

HL

H T T H T T Hz z dz z z dz

HL HL

Calculamos estas integrales:

2 1 2 1

20

cos 1 sincos

2 2

Ln n

nnn

L L LH T T H T Tz z dz

HL HL

, (2N)

y

2 1 2 1

20

sin cossin . 2O

2 2

Ln n

nn n nn

L L LH T T H T TH Hz z dz

HL HL

Así

.

Es decir,

(2M)-(2N)-(2O)

(2L-ii)nA


1 20

2 1

2

2 1

2

2 2

1 1sin cos 1

2

cos 1 sin

2

sin cos

2

n nn n

n n

nn

n n

n nnn

n

T HL T HT L z

HL

L L LH T Tz

HL

L L LH T T H

HLA

L H

2

2

2 n

H

. (2P-i)

Finalmente

2 1 1 2 2

1

2Q-i1

, cos sin exp , 2 2

n n n nn

H T T T HL T HT z t z A z z t

HL HL

Donde h

Hk

; y los valores propios deben satisfacer la siguiente ecuación trascendental:

. (2R-i)

Si se introducen variables adimensionales se pueden simplificar un poco las expresiones

anteriores. Definimos y recordando que , *z

zL

y 2tFoL

se

obtiene:

, (2P-ii)

. (2Q-ii)

Los valores propios vienen dados entonces por:

2 2

2tan n

n

n

HL

H

n nL /Bi hL k

0 1 2

2 1

2 2

2 1 sin cos 1

cos 1 sin sin / cos

2 2 2

n n n

n n n n n nn

n

Bi T Bi T T Bi

Bi T T BiA

Bi Bi Bi

1 2 2 1 2

1

1 **, cos * sin * exp

2n n n n

n n

T Bi T T T Biz BiT z A z z Fo

Bi


. (2R-ii)

Ejemplo 2.3: (Costa Novella p. 75 modificado). Una placa plana de 0.40 m de espesor se

encuentra inicialmente a 288 K. A partir de un momento una de sus caras se pone en

contacto con una corriente de gases a 373 K y la cara opuesta con una corriente de gases

a 353 K. La situación es tal que solo hay gradientes de temperatura perpendiculares a estas

dos caras. Las propiedades físicas de la placa son: conductividad calorífica W15m.K

k ;

calor específico J1300kg.KpC ; densidad 3

kg1700

m ; coeficiente de transmisión

de calor para ambos lados 2W200

m .Kh . Usando la ecuación resultante de resolver el

modelo matemático que rige la situación anterior, válida para esta configuración, determine

la distribución de la temperatura al cabo de 1800 s. Usando un método de diferencias finitas

con 0.10 mz y 300 st , determine la distribución de temperaturas después de 30

min. Compare los resultados de ambos métodos.

Para la solución analítica se requiere encontrar las raíces de la ecuación trascendental (2O-

ii), encontrar los coeficientes nA , ecuación (2M-ii) y calcular la serie para la temperatura,

ecuación (2D-ii).

2 2

2tan n

Bi

Bi

𝑇∞1 = 353 𝐾

ℎ = 200 𝑊

𝑚2.𝐾

𝑇∞2 = 373 𝐾

ℎ = 200 𝑊

𝑚2.𝐾

0 1 2 3 4

Figura 2.14. Ej 2.3: Nodos de la placa plana


Solución por métodos numéricos

Usando el método de diferencias finitas, por balances de energía térmica obtenemos las

siguientes expresiones dependiendo de si usamos un método implícito o explícito:

i) Método explícito

1) Nodo convectivo izquierdo (0):

.

2) Nodos internos (m):

.

3) Nodo convectivo derecho (N):

.

Para estabilidad, los coeficientes del nodo actual , según el caso, deberán ser

mayor o igual a la unidad. En este caso, la situación más restrictiva la tienen los nodos

convectivos donde se debe cumplir que para este caso vale 0.214, lo que

equivale a un intervalo de tiempo máximo de 316 s. Por lo tanto, los valores propuestos en

el problema se ajustan a estas condiciones de estabilidad para el método explícito o de

Euler.

ii) Método implícito, el cual es incondicionalmente estable, los balances son:


.


.

3) Nodo convectivo derecho (N):

.

Los resultados de estos dos métodos se muestran en la Tabla 2.9 y Tabla 2.10:

t [s] T[1] T[2] T[3] T[4] T[5]

0 288 288 288 288 288

300 323,3 288 288 288 334,2

1

0 1 0 12 1 2 2 2t t tT FoT Fo BiFo T BiFoT

1

1 11 2t t t t

m m m mT FoT Fo T FoT

1

1 22 1 2 2 2t t t

N N NT FoT Fo BiFo T BiFoT

0 , ,t t t

m NT T T

1/ 2 1Fo Bi

1 1

1 0 0 12 (2 2 1) 2t t tBiFoT T Fo BiFo T FoT

1 1 1

1 1 2t t t t


1 1

2 12 (2 2 1) 2t t t

N N NBiFoT T Fo BiFo T FoT


600 325,1 295,2 288 297,4 336,5

900 328,1 299,8 291,4 303,4 340,4

1200 330,1 303,8 295,5 308,5 343

1500 331,8 307,5 299,9 312,9 345,2

1800 333,4 310,9 304,1 316,8 347,1

Tabla 2.9. Distribución de temperatura método explícito

t [s] T[1] T[2] T[3] T[4] T[5]

0 288 288 288 288 288

300 306,7 290,8 288,9 291,7 312,4

600 317,1 294,6 290,9 296,5 326

900 323,2 298,6 293,5 301,5 334

1200 327,2 302,5 296,7 306,2 339

1500 330 306,1 300 310,6 342,6

1800 332,1 309,5 303,5 314,6 345,2

Tabla 2.10. Distribución de temperatura, método implícito

Ambos métodos son del mismo grado de precisión pues ambas suponen constante la

velocidad de cambio de la temperatura en el intervalo de tiempo. La diferencia radica que

en el método explícito, esta velocidad de cambio se estima al comienzo del intervalo de

tiempo y en el implícito se estima al final del mismo, lo que conduce a la solución

simultánea de un sistema de ecuaciones para cada intervalo de tiempo. Sin embargo, como

observamos en las ecuaciones de los balances para los diferentes nodos, el coeficiente del

nodo m en el tiempo t actual es 1 que siempre será mayor que cero por lo que este

método es incondicionalmente estable.

Se observa de la Tabla 2.9 y Tabla 2.10 que los valores del método explicito son mayores

que los obtenidos en el método implícito. El método de Crank Nicolson combina el método

de Euler con el completamente implícito, implicando una doble estimación de la velocidad

de cambio en el intervalo de tiempo, siendo entonces de un orden superior de precisión que

cualquiera de los otros dos.

t [s] T[1] T[2] T[3] T[4] T[5]

0 288 288 288 288 288

300 312,2 290,1 288,4 290,7 319,7

600 321,7 294,5 289,9 296,4 332,1

900 326,3 298,9 292,7 302,1 338,1

1200 329,2 303 296,1 307,2 341,7

1500 331,2 306,8 299,8 311,7 344,3

1800 333 310,2 303,6 315,7 346,4

Tabla 2.11. Distribución de temperatura, método Crank Nicolson


Observamos el comportamiento de los cuatro métodos en la Figura 2.15.

Figura 2.15. Perfil de temperatura métodos explícito, implícito, Crank Nicolson y analítico

A pesar de trabajar con una malla relativamente gruesa, los resultados son satisfactorios y

debe resaltarse el que los valores del método Crank Nicolson coinciden completamente con

los analíticos.

Para mejorar exactitud y continuidad en los gráficos se aumenta el número de nodos

41N y se disminuye el intervalo de tiempo 31U . Como el método de Crank

Nicolson es más exacto, pero goza de estabilidad por ser implícito, se usa en complemento

al analítico y se observa gráficamente total coincidencia entre ambos.

A partir del código EES (ver en la sección NOTAS al final del capítulo) se obtuvieron la

Figura 2.15 y Figura 2.16.

0 0,1 0,2 0,3 0,4280

290

300

310

320

330

340

350

z [m]

T [

K]

ImplícitoImplícito

Crank NicolsonCrank Nicolson

AnalíticoAnalítico

Perfil despés de 1800 s

Temperatura inicial

ExplícitoExplícito


Figura 2.16. Perfil de temperatura placa cada 5 min por método analítico y Crank Nicolson

Los códigos en MATLAB para los métodos implícitos son más laboriosos pues requieren

crear la matriz de coeficientes, de términos independientes y de incógnitas y luego obtener

la inversa de la matriz de coeficientes y multiplicarla por la matriz de los términos

independientes para obtener las temperaturas de los nodos en cada intervalo de tiempo.

Alternativamente para evitar formar la matriz de coeficientes para resolver el sistema, se

puede realizar un procedimiento iterativo por medio de sustituciones progresivas de la

siguiente manera:

Se establece un estimado inicial para la temperatura de cada nodo en el tiempo

𝑡 + 1.

De la ecuación del balance, se despeja 𝑇𝑁𝑡+1 y se calcula utilizando los estimados

iniciales.

Este procedimiento se repite con cada una de las ecuaciones.

Las temperaturas calculadas serán los nuevos estimados iniciales para la próxima

iteración.

Esto se repite hasta convergencia de las temperaturas.

0 0,1 0,2 0,3 0,4280

290

300

310

320

330

340

350

z [m]

T [

K]

t=30 min

t=5 min

Temperatura inicial

t=30 min

t=5 min

Temperatura inicial

Placa temperaturas diferentes

Perfiles cada 5 min

Analítico y Crank Nicolson


2.3 Placa plana con coeficientes diferentes en ambas superficies

En el ejemplo anterior la asimetría se introdujo por diferencia de temperaturas a ambos

lados de la placa. En este ejemplo se analiza el caso de una placa plana con transferencia

de calor en estado transitorio con coeficientes convectivos diferentes en ambos lados de la

placa.

El modelo matemático generado a través de un balance microscópico de energía térmica

nos lleva a la solución de una ecuación diferencial parcial de segundo orden, lineal no

homogénea con condiciones de frontera homogéneas.

La solución de este modelo se efectúa analíticamente por el método de separación de

variables que conduce a un problema de valor propio o de Sturm – Liouville y la

determinación consecuente de funciones y valores propios.

Al analizar el mismo problema por el método de diferencias finitas se genera un sistema e

ecuaciones algébricas que demuestra el ahorro de esfuerzo que representa la solución de

estos problemas usando métodos numéricos sin sacrificar exactitud en los resultados. Se

compara la solución por el método explícito, el método completamente implícito y un

método mixto, el método de Crank - Nicolson.


La ecuación diferencial generalizada para la transferencia de calor unidimensional

dependiente del tiempo es:

con .

En el caso de una placa con propiedades constantes se reduce a:

donde . (2.4a-i)

En los libros de texto esta ecuación se resuelve para condiciones iniciales uniformes y

condiciones límite simétricas. Pero cuando cualquiera de estas condiciones se altera la

complejidad de la solución analítica se hace ostensiblemente mayor y es preferible usar un

método numérico como el basado en diferencias finitas apoyado por un software como el

Matlab o EES.

1 m

P m

T Tc r k

T r r r

0 para la placa (r z)

1 para el cilindro

2 para la esfera

m

2

2

T T

t z

P

k

c


A continuación, mostramos en un caso aparentemente simple la realidad de esta

afirmación:

Consideremos una placa de espesor L con temperatura inicial uniforme 0T . En el momento

0t ambas caras de la placa se ponen en contacto con un fluido a temperatura

0 .T T T El fluido en ambas caras presenta características diferentes y en

consecuencia los coeficientes convectivos y la transferencia de calor son diferentes por lo

que el sistema presenta asimetría.

Haciendo cambio de variable T T Con la nueva variable la función es

. (2.4a-ii)

Las condiciones inicial y límite son entonces:

0 0para 0, , 0t T T z L ,

en z = 0, (2.4b)

en z = L. (2.4c)

Como , tiene condiciones de frontera homogéneas procedemos a resolver por el

método de separación de variables haciendo . Reemplazando en (2.4a-

ii)

.

Al dividir por F z G t , el lado izquierdo será solo función de z y el derecho será solo

función de t . Para que se mantenga la igualdad es necesario que los dos términos sean


.

donde K es la constante de separación que, por consideraciones físicas (la temperatura no

aumenta indefinidamente con el tiempo) y matemáticas (no obtener soluciones triviales)

2

2

zt

01

h

zk

02

h

zk

,z t

,z t F z G t

tGzFtGzF

KtG

tG

zF

zF

constante

"


debe ser un número real negativo, . Cada igualdad nos da una ecuación diferencial

ordinaria:

,

, (2.4d)

,

,

.

Aplicando las condiciones de frontera obtenemos de (2.4b)

.

Reemplazando en (2.4c)

.

Por lo que los valores propios deben satisfacer que

(Carslaw, 1959) p. 127.

Es decir,

. (2.4e)

que se cumple para infinitos n valores de , los valores propios de esta ecuación

trascendental. Podemos agrupar las constantes de integración , ,A B C en n constantes de

integración nA para obtener la solución general para

. (2.4f)

Haciendo 0t y aprovechando la ortogonalidad de las funciones propias obtenemos, a

partir de la condición inicial .

2

0G t G t

2expG C t

" 0F z F z

cosF A z Bsen z

' cosF A sen z B z

k

AhB 1

0cos2121

LhhLsenk

k

hh

LhhkLsenhhk cos2121

22

21

22

21tanhhk

hhkL

n

,z t

1

2

1 expcos, tzsenkhzAtz nnnn

0,0z T T


, (2.4g)

,

. (2.4h)

De otra parte por (2.4g) debemos calcular, para 0T constante

. (2.4i)

Así , es decir

. (2.4j)

Ejemplo 2.4: Para comparar estos métodos, procedemos a un ejercicio práctico donde

tenemos una placa plana que aunque tiene temperatura inicial constante y las temperaturas

del fluido a sus lados es la misma, presenta condiciones de convección diferentes, a saber:

temperatura inicial 0 80T C ; temperatura de los alrededores 20T C , conductividad

térmica W100m.K

k , calor específico J849kg.KpC , densidad del material

3kg

2300m

, difusividad térmica 26 m5.12 10

s , espesor de la placa 0.10 mL ,

coeficientes convectivos izquierdo y derecho respectivamente 1 2W100

m .Kh y

2 2W200

m .Kh . Para efecto de la solución por diferencias finitas se seleccionó

n

L

nnn NAdzzsenkhzTT cos0

10

dzzsenkhzNL

nnn

2

01cos

Lsen

khLsenkhkhLN n

nn

n

n

n

n

n

2

2

1

2

2

1

2

2

22

1

2 /

4

2//

2

dzzsenkhzTTL

nnn0

10 cos

1cos

1 10 L

k

hLsenTT n

n

n

n

(2.4i)

(2.4h)nA

Lsen

khLsenkhkhL

Lk

hLsenTT

A

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

2

2

1

2

2

1

2

2

22

1

2

10

/

4

2//

2

1cos1


0.01 mz , 10 st y se exploró el comportamiento durante 100 s. Con esto obtuvimos

un Fo de 5.12 < 6.37 indicado por el criterio de Smith.

Con el código EES (ver en la sección NOTAS al final del capítulo) se obtuvieron los

siguientes resultados:

alpha=0,00005121 [m2/s] Difusividad

térmica

Bi_1=0,1 Biot lado 1

Bi_1d=0,01 Biot diferencias finitas lado 1 Bi_2=0,2 Biot lado 2

Bi_2d=0,02 Biot diferencias finitas lado 2 Cp=849 [J/kg-C]

DELTAtime=10 [s] DELTAx=0,01 [m]

Fo=0,5121 Fourier Fo_d=5,121 Fourier para diferencias finitas

h_1=100 [W/m^2-C] h_2=200 [W/m^2-C]

k=100 [W/m.C] L=0,1 [m]

M=5 Número de términos en la sumatoria N=11 [-] Numero de nodos espaciales

rho=2300 [kg/m^3] time=100 [s] Tiempo de simulación

T=72,32 [°C] Temperatura central a los

100 [s]

T_infinity=20 [C]

theta_zt=0,8721 Temperatura adimensional T_o=80 [C]

U=11 [-] Número de nodos temporales t_sim=100 [s]

z=0,05 [m] Posición del cálculo z_hat=0,5 Posición adimensional


Figura 2.17. Perfil de temperatura a lo largo de la placa plana

2.4 Temperaturas y coeficientes diferentes

Consideramos a continuación un caso en el que tanto los coeficientes convectivos como las

temperaturas son diferentes a ambos lados de la placa. Sobra decir que la solución

analítica, si la hay, debe ser más difícil que para cualquiera de los dos casos anteriores.

Aquí se evidencia la utilidad de los sistemas numéricos.

Ejemplo 2.5: (Problema 18.19 de Welty 5a ed modificado) Una pared de ladrillo

2pie0.016

hr

con un espesor de 1.5 pie, está inicialmente a temperatura uniforme de

80 °F. Cuánto tiempo después de que sus superficies se ponen en contacto con aire a 350

°F y 650 °F respectivamente, la temperatura en el centro de la pared alcanza 300 °F? La

transferencia desde estas superficies se hace por convección natural. ¿Cuál será la

temperatura de las superficies en ese momento? Propiedades

1

32

Btu Btu0.038 , 0.19hr.pie.°F hr.pie .°F

k h t .

i) Método implícito Crank Nicolson: para efectuar el análisis, los balances son:

0,02 0,04 0,06 0,08 0,169

70

71

72

73

z [m]

T °

C

Tiempo 100 [s]

Crank NicolsonCrank Nicolson

AnalíticoAnalítico



.


.

3) Nodo convectivo derecho (m):

.

Recordar que para programar se toma una variable diferente a 1N M .

Para estimar el tiempo de simulación usamos la información de la tabla 4.1 del capítulo

sobre métodos numéricos:

140 hr,

20 hr.

Con convección natural, la principal resistencia estará en la fase convectiva por lo que se

puede esperar un tiempo más cercano a las 20 hr. Con esto en mente, y suponiendo una

solución manual, sería adecuado seleccionar 5 hrt y 0.375 piez con lo que

tendríamos 3 nodos internos, 2 nodos convectivos y serían necesarios del orden de 5 o 6

períodos de tiempo para alcanzar el resultado deseado.

1 1

0 1 0 11 2 1 /t t t t

H PBiFo Fo T FoT BiFoT BiFo Fo T FoT t C

1 1 1

1 1 1 12 2 2 2t t t t t t

m m m m m mFoT Fo T FoT FoT Fo T FoT

1 1

1 11 2 1 /t t t t

M M M M H PBiFo Fo T FoT BiFoT BiFo Fo T FoT t C

2

característica /Mt L

característica / /c Pt L h C

0 1 2 3 4

𝑇∞1 = 350 °𝐹

ℎ1

𝑇∞2 = 650 °𝐹 ℎ2

Figura 2.18. Nodos pared de ladrillo


Para usar el software EES, bastará con hacer pequeñas modificaciones al código de

cualquiera de los dos problemas anteriores debido a que las condiciones de frontera

solamente afectan a esos dos nodos superficiales, en la sección NOTAS al final del

capítulo, está dicho código.

Figura 2.19. Perfil de temperatura con coeficiente convectivo variable

En la Figura 2.19 se observa que a las 27 hr la temperatura es aproximadamente 300 °F, si

requerimos mayor precisión recurrimos a otra gráfica:

0 0,15 0,3 0,45 0,6 0,75 0,9 1,05 1,2 1,35 1,50

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

z [ft]

T [

°F]

PLACA CON T, h DIFERENTES

Perfiles cada 3 hr

Perfil inicial

Perfil a las 27 hr


Figura 2.20. Perfil de temperatura a las 27 horas

Haciendo zoom alrededor de la intersección de la curva con la ordenada de 300 °F se

obtiene:

Figura 2.21. Zoom del perfil de temperatura a las 27 horas

Tenemos entonces 1597 [min] o 26.62 [hr] como resultado. Para hacer una verificación de

esta solución numérica, se utilizó la ecuación analítica (2Q-ii) con un coeficiente estimado,

igual para las dos superficies de 1.0 [Btu/hr-ft-°F] obteniéndose un tiempo de 99620 [s] o

1500 1530 1560 1590 1620 1650 1680

285

290

295

300

305

310

Tiempo [min]

T [

°F]

1595 1596 1596 1597 1597 1598 1598

299,5

299,7

299,8

300

300,2

Tiempo [min]

T [

°F]


27.67 hr lo que es buena coincidencia. A pesar de tener un parámetro de Fourier de 0.2, el

tercer término de la sumatoria todavía debió tenerse en cuenta.

2.4.1 Solución para resistencia convectiva despreciable: Bi > 40.

TRANSPORTE DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO A TRAVÉS DE UNA PLACA PLANA CON TEMPERATURAS DIFERENTE EN SUS SUPERFICIES. TEMPERATURA INICIAL UNIFORME.


Consideremos una placa plana sólida que tiene espesor L , y en el tiempo 0t está a

temperatura uniforme 0T . Para t > 0, la superficie en z = 0 se mantiene a una temperatura

constante T1 mientras que la superficie contraria permanece a temperatura constante T2. En

cualquier punto z el flujo de calor y la temperatura dentro de la placa dependerán del

tiempo.

A partir de un balance de energía térmica se obtiene la siguiente ecuación generalizada de

energía en función de la temperatura T del fluido. Esta ecuación es útil para calcular los

perfiles de temperatura en un sistema tridimensional con o sin generación (originada en

manantial químico, nuclear, eléctrico, viscoso, etc.), en estado estable o transitorio:

, (1)

donde DT/Dt es la derivada substancial de la temperatura, que es la derivada total con

respecto al tiempo para un recorrido que sigue el movimiento del fluido, es decir cuando

dx/dt; dy/dt; dz/dt; son simultáneamente Vx; Vy; Vz, las componentes de la velocidad del

observador y, respectivamente, del fluido. Esta ecuación se toma como punto de partida

para la mayor parte de los tratamientos de transmisión de calor. Para sólidos, la densidad

puede considerarse constante y además v = 0. Con estas condiciones el balance se

simplifica a:

. (2)

La ecuación diferencial asociada a este problema unidimensional, teniendo presente que

aquí el término de acumulación no desaparece, pero sí el de generación y los gradientes en

x e y, será entonces:

.

2

P H

DTC k T

Dt

2

P H

TC k T

t

2

2P

T TC k

t z


Sabiendo que la difusividad térmica se define como , se tendrá:

. (3)

Esta ecuación se conoce como la ecuación unidimensional de difusión y reconocemos en

ella una ecuación diferencial parcial de segundo orden, lineal no homogénea.

Figura 2.22. Perfiles de temperatura en una placa plana asimétrica transitoria

Las condiciones límite, según el planteamiento del problema son:

CL1: z = 0, T = T1 t > 0,

CL2: z = L, T = T2 t > 0.

La condición inicial es T = T0 en t = 0 para todo z.

Para resolver ecuaciones diferenciales parciales, generalmente es conveniente usar

variables adimensionales definidas en forma tal que sean cero o la unidad en los límites del

sistema (o en las condiciones iniciales). Así, al elegir:

. (4)

Las condiciones límite se transforman así:

CL1: z = 0, = 1 t > 0,

/ Pk C

2

2

T T

t z

T T

T T

2

1 2


CL2: z = L, = 0 t > 0.

La condición inicial es = en t = 0 para todo z.

Resultados comparables se obtendrían definiendo , pero la solución matemática es

más sencilla si usamos pues el problema cae en una clase para la cual hay

procedimientos generales de prueba y solución.

La primera etapa es transformar la ecuación diferencial de la variable T a una variable

adimensional :

T = T2 + (T1 - T2).

Derivamos una vez respecto a t y dos veces respecto a z:

,

,

,

Y de la ecuación (2T):

,

. (5)

Como ya vimos, aunque la condición de frontera uno, en esta variable es homogénea, la

segunda no lo es, requisito esencial para aplicar la técnica de separación de variables.

Como este sistema tiende a un nuevo estado estable, entonces se cumple que

. (6)

0

1

1 20T

T Tt t

1 20T

T Tz z

212

2

2

2

TTzz

T

T T

z tT T1 2

2

2 1 2

2

2z t

lim 0t t

2

20

z


Integrando una vez:

.

Integrando nuevamente

.

Aplicando las condiciones de frontera obtenemos

B = 1 y A = -1/L.

Es decir,

, independiente del tiempo. (7)

Usamos entonces el método de superposición según el cual es la suma de dos funciones

así:

. (8)

Derivando una vez con respecto a t y dos veces respecto a z y reemplazando en (5) se

obtiene:

. (9)

Aplicando las condiciones límite a la función suma, ecuación (8) obtenemos:

Condición límite 1:

10, , 0, 1 entonces 0tz T T t .


2, , 0, 0 entonces 0tz L T T t .

Las condiciones límite para ,t z t son homogéneas, a diferencia de las de ,z t , por lo

que se puede resolver por el método de separación de variables.

dA

dz

Az B

1z

L

, ,tz t z z t

2

2

t t

z t


Condición inicial:

t = 0 ; T = T0 ; 0 < z L,

.

T0 puede o no ser función de z. En este caso es constante y diferente de cero. Entonces

.

Se observa que t es la contribución transitoria a ; se hace cero cuando t tiende a infinito

y al comienzo. En la Figura 2.23 vemos que t es la diferencia entre las curvas para y

.

Podemos reducir (9) a dos ecuaciones diferenciales ordinarias que se resuelven por los

métodos usuales.

Figura 2.23. Temperatura adimensional en una placa de espesor L

Para ello postulamos que una solución de la ecuación (9) puede escribirse como el

producto de dos funciones, una de las cuales, F(z), depende solo de z, y la otra, G (t),

depende sólo de t;

, (10)

0 20

1 2

,0 ,0t

T Tz z

T T

0,0t z

, t z t F z G t


.

En esta argumentación, las comillas indican diferenciación con respecto a la variable

independiente. Como solo una variable independiente está involucrada, se usan derivadas

totales. Similarmente:

.

Reemplazando en (9)

'' 'F z G t F z G t .

Al dividir por F(z)G(t), el lado izquierdo será solo función de z y el derecho será solo

función de t. Para que se mantenga la igualdad es necesario que los dos términos sean


. (11)

Aquí K es una constante por determinar llamada constante de separación.

Cada igualdad nos da una ecuación diferencial ordinaria:

' 0G t KG t , (12)

'' 0F z KF z . (13)

Además, como t(0,t) = 0 entonces, F(0) = 0 , pues de lo contrario se requeriría que

G(t) = 0, lo que implica que t(z,t) = 0 para todo valor de z y t. En este caso T1=T2 = T0 no

ocurriendo transferencia de calor. Sería una solución trivial. Por razones similares, como

, 0t L t F L G t , entonces F(L) = 0.

La ecuación (2D.1) con estas condiciones límite homogéneas:

F"(z) K F(z) = 0, F(0) = 0 ; F(L) = 0.

t

tF z

dG t

dtF z G t

2

2

2

2

t

z

d F z

dzG t F z G t "

" (́ )F z G tK

F z G t


Se configura así un problema de valor propio o problema de Sturm Liouville que tendrá

solución no trivial solamente para ciertos valores de un parámetro que llamamos , con

en donde los son los valores propios (o números característicos) y tiene

soluciones triviales (esto es F 0) cuando no es un valor propio. Las soluciones no

triviales F( ,z) son las llamadas funciones propias. Si F( ,z) y F( ,z) representan las

dos funciones propias diferentes correspondientes a los valores propios y

respectivamente, se puede establecer la propiedad de ortogonalidad de las funciones

propias en la región 0 z L por la relación

.

donde N es la integral de normalización definida como:

.

Analizamos a continuación el valor de K.

Suponemos K = 0,

En ese caso F" = 0; F'= A; F(z) = Az +B; F(0) = 0 = B,

Entonces F(z) = Az; F(1) = 0 =A y F(z) 0.

Por tanto K = 0 no es un valor propio de esta ecuación.

Suponemos K > 0 ; K = 2 : un número real

Ahora F" - 2F = 0,

F = A exp( z) + B exp( z) = C cosh( z) + D senh( z),

F(0) = 0 = C pues cosh(0) = 1 y senh(0) = 0.

Entonces F = D senh( z); F(L) = 0 = D senh( L).

n

1, 2, 3,...n n

n

n m n

m n

Fm

z Fn

z

L

dzN cuando m igual a n

cuando m diferente de n( , ) ( , )

0

0

NdzzFL

n 2

0

,


Como L es diferente de cero por planteamiento, senh( L) es diferente de cero y

D = 0 lo que hace F(z) 0. No hay valores propios positivos para esta ecuación.

Resta estudiar K< 0. K = -( 2) donde es un número real

F = A exp(i z) + B exp(-i z) = C cos( z) + D sen( z),

F" + 2F= 0,

F(0) = 0 = C pues sen 0 = 0 y cos 0 = 1,

F(z) = D sen( z) F(L) = 0 = D sen( L).

D no puede ser cero pues varía con z. Por tanto sen( L) = 0. Sabemos que la

función seno es cero a intervalos de y habrá un número infinito de estos puntos. La

enésima raíz es L donde L = n ; n = 1, 2, 3,...; entonces, las funciones

propias son, omitiendo la constante D que no es necesaria, F( ,z) = sen( z), y el

conjunto de valores propios son las raíces de sen( L) = 0, es decir:

= n /L; n = 1, 2, 3 ...

La ecuación (2C.1) se resuelve con los mismos valores de Kn= :

(14)

Observamos que el valor de Kn concuerda con la experiencia física de que t tiende

a cero ( tiende a ) cuando el tiempo crece.

En conclusión hay una solución de la ecuación (9) para cada valor de n, la cual tiene la

forma:

,

donde An = DC.

Es propiedad de las ecuaciones diferenciales lineales el que cualquier combinación de

soluciones es también una solución. Esta propiedad se mantiene para una suma infinita de

todas las soluciones:

t

n n

n n

n n

n

2

n

G t C tn exp 2

tn n n n n nD z C t A z t sen exp sen exp2 2


. (15)

Para encontrar la constante An usamos la condición inicial en t = 0

= 0 - (1 z/L) ; Gn (0) = 1 ;

Entonces:

. (16)

Tenemos pues que F(z) se puede expresar como una combinación lineal infinita de

funciones sen(nz/L) las cuales, como ya se vio, son las funciones propias de un problema

de Sturm Liouville y por tanto forman un sistema ortogonal en la región 0 z L. Para usar

sus propiedades multiplicamos ambos lados de la ecuación (2G.1) por e

integramos de 0 hasta L:

.

Invirtiendo el orden de la suma y la integral tendremos:

. (17)

Resolviendo el lado derecho da:

,

esto dado que la propiedad de ortogonalidad de estas funciones propias se expresa así:

,

t n n n n n nA F G A z t

1 1

2sen exp

0,0t z

0 0

1 1

,0 1 sent n n n n

zz A F A z

L

F zm m sen( )

00 1

0

(1 )

L

Lz

L m n n mF z dz A F F dz

0010

1 sen( ) sen( )sen( )L L

zL m n n mz dz A z z dz

A F F dz A F dz A Ln n m

L

n n n

L

1 0

2

00 0 2

... ... ( / )

sen( ) sen( )/

n

zm

z dz

L

L si n es igual a m

si n es diferente de m

02

0


puesto que la integral de normalización

.

El lado izquierdo de (2H.1) lo podemos descomponer en la suma de tres integrales a saber:

pues .

Otra la hacemos por partes:

.

Reemplazando en (2H.1)

.

Reconociendo que vale -1 cuando n es impar y vale +1 cuando n es par, igual que

(-1)n. Por tanto:

.

Así la solución de este problema de conducción de calor dependiente del tiempo

es:

, (18)

.

El método usado para determinar An es llamado una expansión de la función (z) en una

serie de senos de Fourier con coeficientes An.

N z dzz

dzL

n

L

n

n

L

sen ( )

cos2

0

0

1 1 2

2 2

L

nn nLdzzsennn

0

11 1)cos(1)cos()(

nn

L

2

00

cos( ) ( )1 1 cos( )( ) 0

LL

n nn

n n n

z z sen z nzsen z dz

L L

0

21 cos cos 1 cosnA n n n

n

cos n

0

21 1 1

n

nAn

t

2 2

20 2

11 2

21 1 1 1 exp

n

n

T T z n z n tsen

T T L n L L

0 20

1 2

T T

T T


TRANSPORTE DE MASA Y/O CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Las ecuaciones diferenciales resultantes para el problema análogo de transferencia de

materia, sin reacción química homogénea, considerando gradiente de concentración solo

en la dirección z, y despreciando el término de arrastre o flujo global (o considerando

contradifusión), será:

denominada la segunda ley de Fick. (19)

Para el caso de transferencia de cantidad de movimiento x en su componente z, sabiendo

que vx es solo función de z, que no hay fuerzas de volumen sobre el fluido, y que vy = vz =

0, se obtiene (flujo de Couette):

. (20)

Podemos hacer similitud entre los varios procesos de transporte usando las variables

adimensionales:

,

V es la velocidad de la placa inferior.

.

Este es un tiempo adimensional denominado número de Fourier (Fo).

La solución general, aplicable a los tres procesos, con z* = z/L es:

2 20

1

2*, 1 * 1 1 1 * exp

n

n

z Fo z sen n z n Fon

. (21)

Ejemplo 2.6 (Brodkey p 659 modificado). Un tubo de diámetro nominal 3 plg., cédula 40, de

3 pie de longitud contiene helio a una atm y 371.2 K (44 °C). Los extremos del tubo se

c

tD

c

z

A

AB

A

2

2

2

2

z

v

t

v xx

V

v

cc

cc

TT

TT xM

AA

AADH

21

2

21

2

222 L

tFo

L

tDFo

L

tFo M

ABDH


encuentran inicialmente cerrados. En el tiempo cero, los extremos se abren, y los extremos

del tubo quedan en contacto con corrientes de mezclas de aire y helio a la misma

temperatura y presión. En el extremo izquierdo, la corriente tiene 10% (en volumen) de He

mientras que en la derecha tiene 20%. Podemos suponer que el flujo mantiene estos

valores constantes en los extremos del tubo. Si se mantienen las condiciones isotérmicas e

isobáricas, y no hay efectos terminales asociados con las corrientes de los extremos del

tubo, use series de Fourier para calcular el perfil de composiciones (a cuatro decimales)

después de que han transcurrido 600 y 3600 s., con incrementos de espacio de 0.5 pie. El

diámetro interno de un tubo de estas características es 3.068 plg Una estimación de la

difusividad másica del He en aire a estas condiciones es DHeAire = 0.7652x10-4 m2/s. (2.9652

pie2/h).

Figura 2.24. Difusión transitoria de Helio en un tubo

Solución: Debemos notar que la transferencia de masa ocurrirá solamente en la dirección

axial no habiendo gradientes ni en la dirección radial ni en la angular. La situación es pues,

la de flujo unidireccional, sin generación a través de una película plana estancada de

espesor L = 3 pies, con concentraciones constantes en los dos extremos y concentración

inicial constante en toda la película. La ecuación para este caso de difusión unidimensional

transitoria con contradifusión equimolecular,

,

que en términos de la fracción molar de A: yA = cA/c, con c, la concentración molar

constante (presión y temperatura constantes) es:

,

c

tD

c

z

A

AB

A

2

2

y

tD

y

z

A

AB

A

2

2


con condición inicial para t = 0, y condiciones límite para z = 0 :

para z = L. Observamos que la situación es idéntica a la planteada para la ecuación (2T) si

se intercambian T por yA y las difusividades térmica y másica DAB. Con estos ajustesla

ecuación (21), con

,

será la solución. Reemplazando los valores numéricos, teniendo en cuenta que se trata de

funciones trigonométricas de números reales por lo cual los cálculos deben hacerse en

radianes, obtenemos la Tabla 2.12 de resultados.

Figura 2.25. Perfil de concentraciones para la difusión transitoria de Helio en un tubo

Tiempo,

s 0 pie 0.5 pie 1.0 pie 1.5 pie 2.0 pie 2.5 pie 3.0 pie

0.0 s. 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

1.0 s. 0.1000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.2000

600.0 0.1000 0.4373 0.6816 0.7767 0.7086 0.4977 0.2000

3600.0. 0.10000 0.1376 0.1696 0.1919 0.2030 0.2043 0.2000

0.10000 0.1167 0.1333 0.1500 0.1667 0.1833 0.2000

Tabla 2.12. Fracción Molar yA como función de la distancia z

En la sección NOTAS al final del capítulo se muestran los códigos para los cálculos tanto

analíticos como numéricos.

A continuación se muestran los resultados obtenidos por el método analítico y por las

siguientes técnicas en diferencias finitas: explícita, implícita, Crank-Nicolson y de líneas.

0A Ay y 1A Ay y 2A Ay y

D

A A

A A

y y

y y

2

1 2


Debemos resaltar el hecho de que dos fenómenos físicos diferentes, descritos por modelos

matemáticos análogos, pueden tratarse con el mismo tipo de solución analítica o numérica.

x[i] Explícito Implícito Crank

Nicolson Explícito Implícito

Crank

Nicolson

Integra

l Analítico

ft 300 [s] 600 [s]

0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

0,5 0,5615 0,5809 0,5709 0,4336 0,4409 0,4371 0,4371 0,437297

1 0,8517 0,8553 0,8538 0,6766 0,6838 0,6802 0,6802 0,681607

1,5 0,9434 0,9347 0,9389 0,772 0,7766 0,7745 0,7745 0,776705

2 0,8674 0,87 0,869 0,7041 0,7101 0,7071 0,7071 0,708636

2,5 0,6102 0,6272 0,6185 0,4944 0,5005 0,4973 0,4973 0,49765

3 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2

Tabla 2.13. Resultados método analítico y diferentes técnicas en diferencias finitas

Se observa de tablas y gráficos la estrecha coincidencia en los resultados por los diferentes

métodos, y en especial la total coincidencia entre el método de líneas y el de Crank-

Nicolson. También, a pesar de usarse un parámetro de Fourier del orden de 1/3, el método

explícito es el que da mayor porcentaje de error. Se anota además que hasta un tiempo de

aproximadamente 170 [s] se pueden calcular las concentraciones en el sistema utilizando la

correlación para sólido semi-infinito a partir de las respectivas superficies. La perturbación

no ha alcanzado el centro aún.

Figura 2.26. Concentración de placa asimétrica

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

z [ft]

yA

PLACA ASIMÉTRICA EN CONCENTRACIONES

t=600 [s]

t=300 [s]

t=125 [s]t=0 [s]


2.5 Sistemas semiinfinitos

Ejemplo 2.7: Una membrana porosa inicialmente contiene el soluto A con concentración

cAo. Un lado de la membrana de repente se pone en contacto con un gas y la concentración

de A en la .superficie se incrementa hasta cA1. La concentración de A en la otra superficie

se mantiene constante en cAo. Plantee una solución para el perfil de concentraciones de A

en la membrana. Usando la correlación que se adecúe a la solución planteada, determine la

concentración de A en z = L/2 después de 3 h, si el espesor es L = 0.1 m y DAB = 5.75 x 10-8

m2/s. La concentración inicial es cAo = 2.45 kgmol/m3 y la concentración impuesta a z = 0 es

cA1 = 4.8 kgmol/m3. ¿Qué otra ecuación podría usarse?

Solución: Observe que no existe superficie impermeable ni simetría. Por tanto en ningún

límite se cumple . Es adecuada la ecuación (21). Además, se observa que Fo =

0.0625 para un tiempo mayor a tres horas. Por tanto, el análisis como sólido semi-infinito es

viable también.

Figura 2.27. Ej 2.7: Membrana porosa

Los siguientes perfiles se obtienen con la ecuación (21) y diferentes tablas paramétricas:

/ 0Adc dz


Figura 2.28. Perfil de concentración

2.5.1 Gráficos secuenciales

Usando la correlación para sólido semi-infinito se grafica fácilmente la variación de los

perfiles con el tiempo para tiempos menores de 3 hr creando mallas de posición y tiempo.

Usaremos este ejemplo para explorar la opción de dibujar gráficos secuenciales con EES.

Se usa nomenclatura de temperaturas para utilizar las funciones preestablecidas que trae

EES en las librerías "Heat Transfer & Fluid Flow Transient Conduction" o en "EES library

routines transient conduction", aunque para el caso presente donde la correlación para

sólido semi-infinito es tan sencilla podemos hacerlo directamente. Comenzamos creando

los arreglos o mallas espaciales y de tiempo y luego resolvemos la ecuación en cada uno

de estos puntos, lo que nos da una tabla con los correspondientes datos. Usando esta tabla

creamos un gráfico con tantas curvas como queramos. Para el caso presente se escogieron

curvas a intervalos de 1000 s entre 500 s y 10500 s, obteniéndose la Figura 2.29 y Figura

2.30 (ver código en la sección NOTAS):

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,12

2,5

3

3,5

4

4,5

5

z [m]

CA [

kg

mo

l/m

3]

10 h

1 h

600 s

100 s

3 h


Figura 2.29. Perfil de concentración con el tiempo

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,12

3

4

5

z [m]

cA(z

,t)

[kgm

ol/m

3]

t=500 [s]

t=10500 [s]


Figura 2.30. Perfil de temperatura

224 SISTEMAS CON GENERACIÓN

NOTAS CAPÍTULO 2. CÓDIGOS DE PROGRAMACIÓN Ejemplo 2.1 PLACA CON DISTRIBUCIÓN INICIAL NO UNIFORME, SUPERFICIE 1 AISLADA, SUPERFICIE 2 CONVECTIVA, COEFICIENTE CONVECTIVO CONSTANTE. En el software EES la ecuación (2.1l-iii) se escribe así: A[i]=2*(a*L*(cos(lambda[i])+(lambda[i])*sin(lambda[i])-1)+(lambda[i])*b*sin(lambda[i])) B[i]=(lambda[i])*((lambda[i])+sin(lambda[i])*cos(lambda[i])) C[i]=A[i]/B[i] El código para resolver el ejemplo es: $UnitSystem Eng mass F Psi Rad Btu $TABSTOPS 0.2 0.4 0.6 0.8 3.5 in T_infinity=80 [F]: alpha=0,016 [ft^2/hr]: T=300 [F]: k=0,38 [Btu/hr-ft-F]: h=1,272 [Btu/hr-ft^2-F] z_hat=0,5: L=1,5 [ft]: T_o1=350 [F]: T_o2=650 [F] (T_o1-T_infinity) =b: (T_o2 - T_infinity)-b=a*L "Valores propios para la ecuación (lambda_n)tan(lambda_n) = Bi" N=10 duplicate i=1;N lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-6 upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi/2 guess[i]=lowerlimit[i]+pi/4 end Bi=h*L/k "k del sólido" duplicate i=1;N 1/tan(lambda[i])=lambda[i]/Bi end "Vaya a Menú Options- Variable Info-Show array variables-array se le quita el v y en guess para lambda[] se coloca guess[], y en lower y upper limit se coloca lowerlimit[] y upperlimit[]. Así se delimitan los intervalos de cálculo para cada valor propio. De otra forma calcula todos los valores iguales. Recuerde que cero no es un valor propio" "Evaluación de los coeficientes Cn" duplicate i=1;N A[i]=2*(a*L*(cos(lambda[i])+(lambda[i])*sin(lambda[i])-1)+(lambda[i])*b*sin(lambda[i])) B[i]=(lambda[i])*((lambda[i])+sin(lambda[i])*cos(lambda[i])) C[i]=A[i]/B[i] end "Historia tiempo-posición de la temperatura de la placa, ecuación (2.1m-ii)" Fo=alpha*time/L^2 z_hat=z/L


duplicate i=1;N theta[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo)*cos(lambda[i]*z_hat) end theta_zt=sum(theta[1..N]) T=T_infinity+theta_zt

Por el método de las líneas: "METODO DE LINEAS" $UnitSystem Eng mass F Psi Rad Btu $TABSTOPS 0.2 0.4 0.6 0.8 3.5 in T_infinity=80 [F]: alpha=0,016 [ft^2/hr]: k=0,38 [Btu/hr-ft-F]: h=1,272 [Btu/hr-ft^2-F] L=1,5 [ft]: T_o1=350 [F]: T_o2=650 [F] "Setup grid" N=11 [-] "number of nodes" DELTAx=L/(N-1) "distance between adjacent nodes" {t_sim=46 [hr]} duplicate i=1;N x[i]=(i-1)*DELTAx end Bi=h*DELTAx/k "Biot para diferencias finitas" duplicate i=1;N T_ini[i]= T_o1 + (T_o2 - T_o1)*(x[i]/L) "initial condition" end dTdt[1]=2*alpha*(T[2]-T[1])/DELTAx^2 "adiabático" duplicate i=2;(N-1) dTdt[i]=alpha*(T[i-1]+T[i+1]-2*T[i])/DELTAx^2 "interior" end dTdt[N]=2*alpha/DELTAx^2*(T[N-1]-T[N]+Bi*(T_infinity-T[N])) "convectivo" duplicate i=1;N T[i]=T_ini[i]+INTEGRAL(dTdt[i];time;0;t_sim) End $IntegralTable time:1;T[1..N] Con esta orden se genera una tabla con la variación de la temperatura en cada nodo a intervalos de 1 hora.

Por diferencias finitas método implícito:

$UnitSystem Eng mass F Psi Rad Btu $TABSTOPS 0.2 0.4 0.6 0.8 3.5 in "Inputs" alpha=0,016 [ft^2/hr] L=1,5 [ft] "wall thickness" k=0,38 [Btu/hr-ft-F] "conductivity" T_o1=350 [F]: T_o2=650 [F] T_infinity=80 [F] "fluid temperature" "Setup grid" N=25 [-] "number of nodes" DELTAx=L/(N-1) "distance between adjacent nodes" duplicate i=1;N


x[i]=(i-1)*DELTAx "position of each node" end "Setup time steps" U= 121 [-] "number of time steps" t_sim=60 [hr] "simulation time" DELTAtime=t_sim/(U-1) "time step duration”" duplicate j=1;U time[j]=(j-1)*DELTAtime end h=1,272" [Btu/hr-ftˆ2-F]" "heat transfer coefficient" Fo=alpha*DELTAtime/(DELTAx)^2 "Fourier para diferencias finitas" Bi=h*DELTAx/k "Biot para diferencias finitas" duplicate i=1;N T[i;1]= T_o1 + (T_o2 - T_o1)*(x[i]/L) "initial condition" End "Move through all of the time steps" duplicate j=1;(U-1) T[1;j+1]=T[1;j]+2*Fo*(T[2;j+1]-T[1;j+1]) "nodo 1" duplicate i=2;(N-1) T[i;j+1]=T[i;j]+Fo*(T[i-1;j+1]+T[i+1;j+1]-2*T[i;j+1]) "internal nodes" end T[N;j]=-2*Fo*T[N-1;j+1]+(1+2*Fo+2*Bi*Fo)*T[N;j+1]-2*Bi*Fo*T_infinity "node N" end COEFICIENTE CONVECTIVO VARIABLE Solución implícita:

$UnitSystem Eng mass F Psi Rad Btu $TABSTOPS 0.2 0.4 0.6 0.8 3.5 in "Inputs" alpha=0,016 [ft^2/hr] L=1,5 [ft] "wall thickness" k=0,38 [Btu/hr-ft-F] "conductivity" T_o1=350 [F]: T_o2=650 [F] T_infinity=80 [F] "fluid temperature" "Setup grid" N=25 [-] "number of nodes" DELTAx=L/(N-1) "distance between adjacent nodes" duplicate i=1;N x[i]=(i-1)*DELTAx "position of each node" end "Setup time steps" U= 121 [-] "number of time steps" t_sim=60 [hr] "simulation time" DELTAtime=t_sim/(U-1) "time step duration”" duplicate j=1;U time[j]=(j-1)*DELTAtime end Fo=alpha*DELTAtime/(DELTAx)^2 "Fourier para diferencias finitas"


duplicate i=1;N T[i;1]= T_o1 + (T_o2 - T_o1)*(x[i]/L) "initial condition" end "Move through all of the time steps" duplicate j=1;(U-1) T[1;j+1]=T[1;j]+2*Fo*(T[2;j+1]-T[1;j+1]) "node 1" duplicate i=2;(N-1) T[i;j+1]=T[i;j]+Fo*(T[i-1;j+1]+T[i+1;j+1]-2*T[i;j+1]) "internal nodes" end T[N;j+1]=T[N;j]+2*(Fo*(T[N-1;j+1]-T[N;j+1])+0,19*(T[N;j]-T_infinity)^(1/3)*& DELTAx/k*Fo*(T_infinity-T[N;j+1])) "node N" end En la expresión para el nodo convectivo N, se incluye el efecto de la variación del coeficiente convectivo. Se nota el uso del símbolo & (ampersand) para dividir la ecuación.

Usando MATLAB

%Programa para construir la matriz tridiagonal utilizada en el método Implícito. C=diag((1+2*L).*ones(m,1)) + diag(-L.*ones((m-1),1),1) + diag(-L.*ones((m-1),1),-1); %Ejemplo resuelto por el método implícito para la conducción en una placa con o sin generación y condiciones convectivas, distribución inicial arbitraria. disp.(‘El Método implícito para la ‘) disp.(‘ conducción en una barra con o sin generación y condiciones convectivas.’) clear all lon=input(‘longitud de media placa simétrica [m].‘); alfa=input(‘difusividad térmica [m^2/s].‘); ko=input(‘conductividad térmica [W/m*K].‘); %h=input(‘coeficiente convectivo [W/m^2*K].‘); fio=input(‘generación inicial por unidad de volumen [W/m^3].‘); fi=input(‘generación (cambio repentino) por unidad de volumen [W/m^3].‘); Tinfi=input(‘temperatura de fluido [°C].‘); nid=input(‘número de divisiones en la placa.‘); tt=input(‘tiempo total.[s]‘); dt=input(‘Introduzca intervalo de tiempo<s>=’); Ts1=input(‘temperatura inicial de superficie[°C].‘); Tin=input(‘temperatura inicial del extremo aislado [°C]’); ci=input(‘ingrese 1 si h es constante o 2 si h es variable’); %Ts2=Tinfi+fi*lon/h;%temperatura final de superficie. Del=lon/nid;%incremento de longitud. Z=0:del:lon; %Ts=input(‘°T superficial, función de la generación[°C]Tinfi+fio*lon/h‘); To=input(‘Perfil inicial °T[°C](300.*z./lon)+Tin‘); %Tinf=input(‘Perfil final T[°C](1-(z./lon).^2)+Ts2‘); r=length(z)+1; To=To’; %disp(‘Número de Biot=’);


%disp(Bi); Fo=alfa*dt/del^2; %número de Fourier disp.(‘Número de Fourier’); disp.(Fo); disp.(‘Enter para continuar’); pause nit=tt/dt; %numero de intervalos de tiempo %Programa para calcular del perfil de temperaturas usando la matriz tridiagonal que ofrece Matlab. M=length(To); L=Fo; di;%Matriz [A]. C(1,:) =[(1+2*Fo) -2*Fo disp.(1,m-2)]; Ts=Ts1 ; Tant=To ; t=0 ; tiempo(1)=t; if ci==1 h=input(‘ingrese el valor del coeficiente convectivo‘); Bi=h*del/ko;%número de biot para las diferencias finitas. C(m,:)=[228isp.(1,m-2) -2*Fo (2*Bi*Fo+2*Fo+1)]; for k=1 :nit t=t+dt ; tiempo(k+1)=t ; a=Tant+(fi*alfa*dt/ko) ; a(m)=2*Bi*Fo*Tinfi+Tant(m) ; Tant=C\a ; T( :,k)=[Tant] ; end %-------------------------------------------------% else ci==2 h=input(‘ecuación coeficiente convectivo 0.19*(Ts-Tinfi)^(1/3) h=’); for k=1 :nit t=t+dt ; tiempo(k+1)=t; Bi=h*del/ko;%número de biot para las diferencias finitas. C(m,:)=[disp.(1,m-2) -2*Fo (2*Bi*Fo+2*Fo+1)]; a=Tant+(fi*alfa*dt/ko) ; a(m)=2*Bi*Fo*Tinfi+Tant(m) ; Tant=C\a ; Ts=Tant(m) ; T(:,k)=[Tant]; end


end Tf=[To T]; x=[1:1:m-1]; xp=del.*x; X=[0 xp]’; Tfz=Tf’; disp.(‘Tabla resumen de las temperaturas’); disp.(Tfz); disp.(‘enter para continuar’); pause %Tinf11=Tinf’; plot(X,Tf,’b’);xlabel(‘ancho de la placa [m]’);ylabel(‘Temperaturas [°C]’); text(1,600,’Tiempo 0’); text(0.007,180,’Tiempo infinito’); pause close %------------------------------------------------------% Ejemplo 2.2

RESISTENCIA SUPERFICIALDESPRECIABELE, BI > 40 Usando EES SOLUCIÓN ANALÍTICA $UnitSystem SI MASS RAD PA K J $TABSTOPS 3 5 7 9 11 "Datos" L=1 [m] alpha=k/rho/Cp "difusividad térmica" rho=7820 [kg/m^3]: Cp = 465 [J/kg-K] : k = 16 [W/m-K] T_ini= T1+(Ts-T1)*z/L "temperatura inicial" T1 =300 [C]: Ts=600 [C]: T2=100 [C] N=10 duplicate i=1;N lambda[i]= (i-0,5)*pi/L A[i]=2/L*((-1)^(i-1)*(Ts-T2)/lambda[i]-(Ts-T1)/L/lambda[i]^2) “ecuación (2.4d)” End "Historia tiempo-posición de la temperatura de la placa, ecuación (2.4e)" duplicate i=1;N theta[i]=A[i]*cos(lambda[i]*z)*exp(-alpha*time*lambda[i]^2) end theta_zt= sum(theta[1..N]) T=T2+theta_zt "temperatura z,t en la placa" Fo_p=alpha*time/L^2 time= 15*3600 [s] {z=0}


METODO IMPLICITO $UnitSystem SI MASS RAD PA K J $TABSTOPS 3 5 7 9 11 "Datos" L=1 [m] alpha=k/rho/Cp "difusividad térmica" rho=7820 [kg/m^3]: Cp = 465 [J/kg-K] : k = 16 [W/m-K] T1 =300 [C]: Ts=600 [C]: T2=100 [C] "Setup grid" DELTAx=L/(N-1) "distance between adjacent nodes" N=11 [-] "number of nodes" duplicate i=1;N x[i]=(i-1)*DELTAx "position of each node" end "Setup time steps" M=76 [-] "number of time steps" t_sim=270000 [s] "simulation time" DELTAtime=t_sim/(M-1) "time step duration" duplicate j=1;M time[j]=(j-1)*DELTAtime end duplicate i=1;N-1 “no incluye nodo N” T_ini[i]=T1+(Ts-T1)*x[i]/L end duplicate i=1;N-1 "temperatura inicial" T[i;1]=T_ini[i] "[sin nodo borde; tiempo inicial]" end Fo=alpha*DELTAtime/DELTAx^2 "Move through all of the time steps" duplicate j=1;(M-1) T[1;j]=(1+2*Fo)*T[1;j+1]-2*Fo*T[2;j+1] "nodo 1 adiabático" duplicate i=2;(N-1) "nodos internos" T[i;j]=-Fo*T[i-1;j+1]+(1+2*Fo)*T[i;j+1]-Fo*T[i+1;j+1] end T[N;j+1]=T2 "nodo N" end duplicate i=1;N T[i]=T1+(Ts-T1)*x[i]/L end Ejemplo 2.3

PLACA CON TEMPERATURAS DIFERENTES EN AMBAS CARAS, COEFICIENTES CONVECTIVOS IGUALES SOLUCION ANALITICA $UnitSystem SI mass K Pa Rad J $TABSTOPS 3 6 9 12 cm T1=353 [K]: T2=373 [K]: k=15 [W/m-K]: To=288 [K]: Cp=1300 [J/kg-K]


rho=1700 [kg/m^3]: L=0,40 [m]: h=200 [W/m^2-C]: time=1800 [s] :z_hat=0,5 alpha=k/rho/Cp {"Valores propios para la ecuación (lambda_n^2-Bi^2)*tan(lambda_n) = 2*lambda*Bi)" M=7 Duplicate i=1;M lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-6 upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi guess[i]=lowerlimit[i]+pi/2 End Bi=h*L/k "k del sólido" Duplicate i=1;M (lambda[i]^2-Bi^2)*sin(lambda[i])=2*lambda[i]*Bi*cos(lambda[i]) End "Vaya a Menú Options- Variable Info-Show array variables-array se le quita el v y en guess para lambda[] se coloca guess[], y en lower y upper limit se coloca lowerlimit[] y upperlimit[]. Así se delimitan los intervalos de cálculo para cada valor propio. De otra forma calcula todos los valores iguales. Recuerde que cero no es un valor propio" "Evaluación de los coeficientes An " Duplicate i=1;M A[i]=(B[i]-C[i])/D[i] B[i]=((Bi+2)*To-(Bi+1)*T1-T2)*( lambda[i]*sin(lambda[i])-Bi*(cos(lambda[i])-1)) C[i]=Bi*(T2-T1)*(cos(lambda[i])-1+ lambda[i]*sin(lambda[i])+& Bi*(sin(lambda[i])/ lambda[i]-cos(lambda[i]))) D[i]=(Bi+2)*(( lambda[i]^2+Bi^2)+2*Bi)/2 End "Historia tiempo-posición de la temperatura de la placa," Fo=alpha*time/L^2 z_hat=z/L Duplicate i=1;M theta[i]=A[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo)*(cos(lambda[i]*z_hat)+Bi/lambda[i]*sin(lambda[i]*z_hat)) End theta_zt=sum(theta[1..M]) T=Tf+theta_zt Tf=(T1*(Bi+1)+T2+(T2-T1)*Bi*z_hat)/(Bi+2)} "NUMÉRICO CRANK NICOLSON" "Setup grid" N=5 [-] "number of nodes" DELTAx=L/(N-1) "distance between adjacent nodes" Duplicate i=1;N x[i]=(i-1)*DELTAx "position of each node" End "Setup time steps" U= 7 [-] "number of time steps" t_sim=1800 [s] "simulation time" DELTAtime=t_sim/(U-1) "time step duration”" Duplicate j=1;U time[j]=(j-1)*DELTAtime End


Fod=alpha*DELTAtime/(DELTAx)^2 "Fourier para diferencias finitas" Bid=h*DELTAx/k "Biot para diferencias finitas" Duplicate i=1;N T[i;1]= To "initial condition" End "Move through all of the time steps" "node 1" Duplicate j=1;(U-1) (1+Fod+Bid*Fod)*T[1;j+1]-Fod*T[2;j+1]=2*Bid*Fod*T1+(1-Fod-Bid*Fod)*T[1;j]+Fod*T[2;j] "internal nodes" Duplicate i=2;(N-1) -Fod*T[i-1;j+1]+(2+2*Fod)*T[i;j+1]-Fod*T[i+1;j+1]=Fod*T[i-1;j]+(2-2*Fod)*T[i;j]+Fod*T[i+1;j] End "node N" (1+Fod+Bid*Fod)*T[N;j+1]-Fod*T[N-1;j+1]=2*Bid*Fod*T2+(1-Fod-Bid*Fod)*T[N;j]+Fod*T[N-1;j] End "EXPLÍCITO" Duplicate i=1;N TE[i;1]= To "initial condition" End "node 1" Duplicate j=1;(U-1) TE[1;j+1]=2*Fod*TE[2;j]+(1-2*Fod-2*Bid*Fod)*TE[1;j]+2*Bid*Fod*T1 "internal nodes" Duplicate i=2;(N-1) TE[i;j+1]=Fod*TE[i-1;j]+(1-2*Fod)*TE[i;j]+Fod*TE[i+1;j] End "node N" TE[N;j+1]=2*Fod*TE[N-1;j]+(1-2*Fod-2*Bid*Fod)*TE[N;j]+2*Bid*Fod*T2 End "IMPLÍCITO "Duplicate i=1;N TI[i;1]= To "initial condition" End "node 1" Duplicate j=1;(U-1) TI[1;j]=-2*Fod*TI[2;j+1]+(1+2*Fod+2*Bid*Fod)*TI[1;j+1]-2*Bid*Fod*T1 "internal nodes" Duplicate i=2;(N-1) TI[i;j]=-Fod*TI[i-1;j+1]+(1+2*Fod)*TI[i;j+1]-Fod*TI[i+1;j+1] End "node N" TI[N;j]=-2*Fod*TI[N-1;j+1]+(1+2*Fod+2*Bid*Fod)*TI[N;j+1]-2*Bid*Fod*T2 End


Usando MATLAB

Solución analítica: % PLACA CONVECTIVA ASIMÉTRICA en T SOLUCIÓN ANALÍTICA clc h = input ('Ingrese h(W/m2K) : '); k = input ('Ingrese k(W/mK) : '); Cp = input ('Ingrese Cp(J/kgK) : '); ro = input ('Ingrese densidad (kg/m3) : '); H = h/k; alpha = k/(ro*Cp); L = input ('Ingrese L(espesor en m) : '); To = input ('Ingrese la temperatura inicial en K: To = '); T1 = input ('Ingrese la temperatura de la corriente de gases 1 en K: T1 = '); T2 = input ('ingrese la temperatura de la corriente de gases 2 en K: T2 = '); tt = input ('Ingrese el tiempo para el cual desea conocer la temperatura en s: t = '); SS=[]; SSS=[]; EE=[]; EEE=[]; m=L/0.05; k=tt/m; Fodr t=0:150:tt Fodr Z=0:0.05:L if Z==0.2 Z=0.2+0.00001; else end suma=0; ln=6; Nn=1; while Nn>0.000001 e=1; while e>0.000001 J=ln; ln = ln-(((ln^2-H^2)*tan(ln*L)-2*ln*H) / ((2*ln*tan(ln*L)+(ln^2-H^2)*((1+(tan(ln*L))^2)*L))-2*H )); e=abs(J-ln); end A=(To-(T1*(H*L+1)+T2)/(H*L+2))*(1/ln)*(sin(ln*L)-((H/ln)*(cos(ln*L)-1))); B=H*(T2-T1)/(H*L+2)*((cos(ln*L)-1)/ln^2+L*sin(ln*L)/ln); C=H*(T2-T1)/(H*L+2)*(H/ln)*(sin(ln*L)/ln^2-L*cos(ln*L)/ln); D=(L*(ln^2+H^2)+2*H)/(2*ln^2); An=(A-B-C)/D; N=An*(cos(ln*Z)+((H/ln)*(sin(ln*Z))))*exp(-alpha*ln^2*t); suma=suma+N; Nn=abs(N); ln=ln+6; end E=(H*(T2-T1)/(H*L+2)*Z)+((T1*(H*L+1)+T2)/(H*L+2)); total=suma+E; if Z==0.2001 Z=0.2; else


end S= [Z total t]; disp (S) SS=[ SS total ]; EE=[EE Z]; end i=tt+1; figure(i) plot(EE,SS,'g') hold on EE=[]; SS=[]; End title('Distribución de temperaturas con respecto al tiempo en una placa asimétrica') xlabel('Posición') ylabel('Temperatura') text(0.25,270,'t=0') text(0.25,367,'t=infinito') Solución implícita: %programa mediante el método explicito para una placa plana con %temperaturas diferentes en cada cara de la placa, en este podemos cambiar %los números de nodos como también el tiempo. clc,clear all, close all %Parámetros del problema L=.4; %Longitud de la placa Tini=288; %Temperatura inicial Tizq=373; %Temperatura exterior por la izquierda Tder=353; %Temperatura exterior por la derecha k=15; %Conductividad cp=1300; %Capacidad calorífica ro=1700; %Densidad h=200; %Coeficiente convectivo de transferencia de calor %Generación del cuadro de dialogo para ingresar los datos especificaciones={'Tiempo total: .'... ,'Divisiones de tiempo: .'... ,'Divisiones de espacio: .'... ,'Vector de tiempos para graficar .'}; titulo='Especificaciones del programa'; pordefecto={'20000','2000','10','[0 300 1000 3000 5000 20000]'}; datos=inputdlg(especificaciones,titulo,1,pordefecto); tt=datos(1); nt=datos(2); nx=datos(3); gt=datos(4); tt=str2num(char(tt)); nt=str2num(char(nt)); nx=str2num(char(nx)); gt=str2num(char(gt)); Bid=h*L/k;


alfa=k/ro/cp; dx=L/nx; %Incremento de espacio n x=[0:dx:L]; %Vector con los valores de los nodos espaciales dt=tt/nt; %Incremento de tiempo Fod=alfa*dt/dx^2; %Verificación de estabilidad if Fod>1/(2*(1+Bid)) %Verificación de la primera condición de estabilidad mensaje={'Se recomienda aumentar las divisiones del tiempo y/o del espacio'}; titulo='ATENCION¡¡¡¡ Inestabilidad Fod>1/(2*(1+Bid))'; warndlg(mensaje,titulo) break elseif (1-2*Fod-2*Bid*Fod)<0 %Verificación de la segunda condición de estabilidad mensaje={'Se recomienda aumentar las divisiones del tiempo y/o del espacio'}; titulo='ATENCION¡¡¡¡ Inestabilidad (1-2*Fod-2*Bid*Fod)<0)'; warndlg(mensaje,titulo) break end %Cálculo de los perfiles de temperatura T=ones(nt+1,nx+1); %Crea una matriz para almacenar todos los perfiles de temperaturas %NOTA: el tamaño es nt+1 por nx+1 ya que n divisiones son n+1 nodos T(1,:)=linspace(Tini,Tini,nx+1); %Asigna al perfil de tiempo cero, la condición inicial de temperatura tol=1e-3; Fodr t=1:nt T(t+1,1)=2*Fod*T(t,2)+(1-2*Fod-2*Bid*Fod)*T(t,1)+2*Bid*Fod*Tizq; %Temperatura del nodo izquierdo para un mismo tiempo Fodr m=2:nx %Ciclo para los nodos internos dentro de un mismo tiempo T(t+1,m)=Fod*T(t,m-1)+(1-2*Fod)*T(t,m)+Fod*T(t,m+1); end T(t+1,nx+1)=2*Fod*T(t,nx)+(1-2*Fod-2*Bid*Fod)*T(t,nx+1)+2*Bid*Fod*Tder; %Temperatura de nodo derecho para un mismo tiempo End %Generación de las graficas it=gt/dt+1; %Determina los indices de las tiempos para los que de desean ver los perfiles it=round(it); %Por si algún índice no da un numero entero, lo aproxima al entero más cercano Fodr c=1:length(gt) plot(x,T(it(c),:)),hold on %Genera las gráficas para los tiempos que el usuario ha pedido end title('Perfiles de temperatura'),xlabel('Longitud'),ylabel('Temperatura')


Método explícito e implícito por la técnica iterativa: Distribución de temperaturas método explícito clc, clear all, close all %% Distribución de temperaturas método explícito % Propiedades y datos Ti=288; % Temperatura inicial de la placa (K) Tinf1=353; % Temperatura del gas al lado izquierdo de la placa (K) Tinf2=373; % Temperatura del gas al lado izquierdo de la placa (K) h=200; % Coeficiente convectivo del gas (W/m^2 K) K=15; % Conductividad térmica del material (W/m K) d=1700; % Densidad del gas (kg/m^3) cp=1300; % Calor específico (J/kg K) L=0.4; % Longitud de la placa alfa=K/(d*cp); % Especificaciones dz=input('Incremento de los nodos '); % Incremento de los nodos t=1800; % Tiempo Bi=(h*dz)/K; % Biot Fo1=1/(2*(1+Bi)); dt=(Fo1*dz^2)/alfa dt=input('Aproximar incremento a número entero más cercano '); %Incremento del tiempo Fo=(alfa*dt)/(dz^2); % Fourier n=t/dt; % Número de tiempos para los que se hacen los cálculos m=(L/dz)+1; % Número de nodos m=floor(m); To=ones(1,m); To=Ti*To; % Distribución inicial de temperaturas en la placa (t=0) z=(0:dz:L); t=(dt:dt:t);


r=1/300; j=0; % Distribución de temperaturas después de 30 min for i=1:n for k=1:1 T(i,k)=(1-2*Fo-2*Fo*Bi)*To(k)+2*Fo*To(k+1)+2*Bi*Fo*Tinf1; end for n=2:m-1 T(i,n)=Fo*To(n-1)+(1-2*Fo)*To(n)+Fo*To(n+1); end for c=m:m T(i,c)=2*Fo*To(c-1)+(1-2*Fo-2*Fo*Bi)*To(c)+2*Bi*Fo*Tinf2; end T1=T(i,:); To=T1; figure (1) plot(z,To,'color',[1 1-r*j 0]),ylabel('Temperatura (°C)'),xlabel('Longitud de la placa (m)'),... title('Distribución de temperaturas en una placa plana (L=0.4)') hold on j=j+1; end Distribución de temperaturas método implícito forma iterativa clc, clear all, close all %% Distribución de temperaturas método implícito % Propiedades y datos Ti=288; % Temperatura inicial de la placa (K) Tinf1=353; % Temperatura del gas al lado izquierdo de la placa (K) Tinf2=373; % Temperatura del gas al lado derecho de la placa (K) h=200; % Coeficiente convectivo del gas (W/m^2 K) K=15; % Conductividad térmica del material (W/m K) d=1700; % Densidad del gas (kg/m^3) cp=1300; % Calor específico (J/kg K) L=0.4; % Longitud de la placa alfa=K/(d*cp); % Especificaciones dz=input('Incremento de los nodos '); % Incremento de los nodos t=1800; % Tiempo Bi=(h*dz)/K; % Biot Fo1=1/(2*(1+Bi)); dt=(Fo1*dz^2)/alfa dt=input('Aproximar incremento a número entero más cercano '); %Incremento del tiempo Fo=(alfa*dt)/(dz^2); % Fourier n=t/dt; % Numero de tiempos para los que se hacen los cálculos m=(L/dz)+1; m=floor(m); To=ones(1,m); To=Ti*To; tol=ones(1,m);


tol=0.00001*tol; z=(0:dz:L); t=(dt:dt:t); r=1/300; j=0; % Distribución de temperaturas después de 30 min for i=1:n T0=ones(1,m); T0=Ti*T0; while 1 for k=1:1 T(i,k)=(To(k)+2*Bi*Fo*Tinf1+2*Fo*T0(k+1))/(1+2*Fo+2*Bi*Fo); end for n=2:m-1 T(i,n)=(To(n)+Fo*T0(n+1)+Fo*T0(n-1))/(1+2*Fo); end for c=m:m T(i,c)=(To(c)+2*Bi*Fo*Tinf2+2*Fo*T0(c-1))/(1+2*Fo+2*Bi*Fo); end if abs (T(i,:)-T0)<= tol break else T0=T(i,:); end end T1=T(i,:); To=T1; figure (1) plot(z,To,'color',[1 1-r*j 0]),ylabel('Temperatura (°C)'),xlabel('Longitud de la placa (m)'),... title('Distribución de temperaturas en una placa plana (L=0.4)') hold on j=j+1; end Ejemplo 2.4 PLACA CON COEFICIENTES DIFERENTES EN AMBAS CARAS SOLUCION ANALITICA $UnitSystem SI mass C Pa Rad J $TABSTOPS 0.2 0.4 0.6 0.8 3.5 in T_infinity=20 [C]: k=100 [W/m.C]: T_o=80 [C]: Cp=849 [J/kg-C]: rho=2300 [kg/m^3]: L=0,10 [m] h_1=100 [W/m^2-C]: h_2=200 [W/m^2-C] time=100 [s]:z_hat=0,5 "Valores propios para la ecuación (lambda_n^2-Bi_1*Bi_2)*tan(lambda_n) = lmbda*(Bi_1+Bi_2)" M=5 duplicate i=1;M


lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-6 upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi guess[i]=lowerlimit[i]+pi/2 end Bi_1=h_1*L/k Bi_2=h_2*L/k "k del sólido" duplicate i=1;M (lambda[i]^2-Bi_1*Bi_2)*sin(lambda[i])=lambda[i]*(Bi_1+Bi_2)*cos(lambda[i]) end "Vaya a Menú Options- Variable Info-Show array variables-array se le quita el v y en guess para lambda[] se coloca guess[], y en lower y upper limit se coloca lowerlimit[] y upperlimit[]. Así se delimitan los intervalos de cálculo para cada valor propio. De otra forma calcula todos los valores iguales. Recuerde que cero no es un valor propio" "Evaluación de los coeficientes Cn ecuation (2.4j)" duplicate i=1;M A[i]=2*(lambda[i]^2+Bi_2^2)*(lambda[i]*sin(lambda[i])-Bi_1*cos(lambda[i])+Bi_1) B[i]=(lambda[i])^2*(Bi_1-Bi_2)^2+((lambda[i])^2+Bi_1*Bi_2)*((lambda[i])^2+Bi_1*Bi_2+Bi_1+Bi_2) C[i]=A[i]/B[i] end "Historia tiempo-posición de la temperatura de la placa, ecuación (2.4f)" Fo=alpha*time/L^2 alpha=k/rho/Cp z_hat=z/L duplicate i=1;M theta[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo)*(cos(lambda[i]*z_hat)+Bi_1/lambda[i]*sin(lambda[i]*z_hat)) end theta_zt=sum(theta[1..M]) T=T_infinity+(T_o-T_infinity)*theta_zt "NUMÉRICO CRANK NICOLSON" "Setup grid" N=11 [-] "number of nodes" DELTAx=L/(N-1) "distance between adjacent nodes" duplicate i=1;N x[i]=(i-1)*DELTAx "position of each node" end "Setup time steps" U= 11 [-] "number of time steps" t_sim=100 [s] "simulation time" DELTAtime=t_sim/(U-1) "time step duration”" duplicate j=1;U time[j]=(j-1)*DELTAtime end Fo_d=alpha*DELTAtime/(DELTAx)^2 "Fo_durier para diferencias finitas" Bi_1d=h_1*DELTAx/k "Biot para diferencias finitas" Bi_2d=h_2*DELTAx/k duplicate i=1;N


T[i;1]= T_o "initial condition" end "Move through all of the time steps" "node 1" duplicate j=1;(U-1) (1+Fo_d+Bi_1d*Fo_d)*T[1;j+1]-Fo_d*T[2;j+1]=2*Bi_1d*Fo_d*T_infinity+(1-Fo_d-Bi_1d*Fo_d)*T[1;j]+Fo_d*T[2;j] "internal nodes" duplicate i=2;(N-1) -Fo_d*T[i-1;j+1]+(2+2*Fo_d)*T[i;j+1]-Fo_d*T[i+1;j+1]=Fo_d*T[i-1;j]+(2-2*Fo_d)*T[i;j]+Fo_d*T[i+1;j] end "node N" (1+Fo_d+Bi_2d*Fo_d)*T[N;j+1]-Fo_d*T[N-1;j+1]=2*Bi_2d*Fo_d*T_infinity+(1-Fo_d-Bi_2d*Fo_d)*T[N;j]+Fo_d*T[N-1;j] end Para construir el gráfico en Plot New Plot XY se selecciona arrays para hacer la curva originada en los datos del método numérico y se selecciona x[i] para abscisas y T[i;11] para la décima iteración que representa 100 [s]. Recordar que para la iteración j la temperatura es T[i;j+1]. La curva para el resultado de la solución analítica se obtiene construyendo una tabla paramétrica variando z y T. Si se seleccionan 11 puntos se obtienen abscisas de cm en cm iniciando en cero. Luego de "calculate solve table", en "plot overlay" para que se dibuje sobre el gráfico ya construido.

Usando MATLAB clc, clear all, close all, format short g; % SOLUCIÓN POR MÉTODOS NUMÉRICOS DE UN PROBLEMA DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO % Placa Plana con coeficientes diferentes en ambas superficies global Bi1_cn Bi2_cn Fo_cn Bi1 Bi2 Lamd_sup Lamd_sup3 To Tinf h1 h2 k alpha dt dz L itermax disp('Por favor ingrese los siguientes valores: ') rho =2300;%input('Densidad: '); k =100;%input('Conductividad térmica: ');; Cp =849;%input('Capacidad calorífica: '); h1 =100%input('Coeficiente de transferencia de calor (izquierdo): '); h2 =200%input('Coeficiente de transferencia de calor (derecho): '); To =80%input('Temperatura inicial To: '); Tinf=20%input('Temperatura del medio: '); L =0.1%input('Longitud de la placa: '); dz =0.01%input('Tamaño de paso para la longitud de la placa (delta z): '); tt =100%input('Tiempo: '); dt =10%input('Tamaño de paso para el tiempo (delta t): '); Bi1=h1*L/k; Bi2=h2*L/k; alpha=k/(rho*Cp); %% Método de diferencias finitas Implícito tic mmm=L/dz+1; nnn=tt/dt+1; Fo_cn=alpha*dt/(dz^2);


Bi1_cn=h1*dz/k; Bi2_cn=h2*dz/k; [Temps]=Implicito(mmm, nnn); t=[0:dt:tt]; zz=[0:dz:L]; figure(1) plot(zz,Temps) xlabel('Longitud de la placa') ylabel('Temperatura') title('Solución Método de diferencias finitas Implícito') grid on itermax=500; Lamd_sup=1.1; Lamd_sup3=1.1; [Lamda1]=allLamdas(Lamd_sup, itermax); [Lamdass3]=allLamdas3(Lamd_sup3, itermax); for nn=1:length(t) Fo=alpha*t(nn)/(L^2); for mm=1:length(zz) % Solución Analítica Z=zz(mm)/L; [Teta(nn,mm), termi,Teta_med(nn,mm),iter(nn,mm)]=Analítica(Fo,Z, Lamda1); T(mm,nn)=Tinf+(Teta(nn,mm)*(To-Tinf)); Tmed(mm,nn)=Tinf+(Teta_med(nn,mm)*(To-Tinf)); [Teta2(nn,mm), termi2,iter2(nn,mm)]=Analitica02(t(nn),zz(mm), Lamdass3); T2(mm,nn)=Tinf+(Teta(nn,mm)*(To-Tinf)); end Fos(nn)=Fo; end figure(2) plot(zz,T) xlabel('Longitud de la placa') ylabel('Temperatura') title('Solución Analítica, Tosun') grid on figure(3) plot(zz,T2) xlabel('Longitud de la placa') ylabel('Temperatura') title('Solución Analítica, Profe') grid on for ss=1:nnn figure(3+ss) plot(zz,T(:,ss),zz,T2(:,ss),zz,Temps(:,ss)) xlabel('Longitud de la placa') ylabel('Temperatura') legend('Solución Analítica, Tosun','Solución Analítica, Profe','Solución Implícito' ) title(['Tiempo: ' num2str(t(ss)) ' seg']) grid on end for ll=1:nnn figure(3+ss+ll) plot(zz,T(:,ll),zz,Temps(:,ll)) xlabel('Longitud de la placa') ylabel('Temperatura') legend('Solución Analítica, Tosun','Solución método implícito' ) title(['Tiempo: ' num2str(t(ll)) ' seg'])


grid on end dif_ambos=Temps-T; disp('Resultados Solución Analítica') disp(T) disp('Resultados Solución Numérica') disp(Temps) disp('Diferencia entre los resultados (Numérico - Analítico)') disp(dif_ambos) toc MULTINEWTON01 function [X0,F0,iter]=multinewton01(F,X0,itermax,tol,h,varargin) NN = 10 + tol; iter=0; while (iter<itermax)&(NN>tol) iter = iter + 1; [J,F0] = jacobiana01(F,X0,h,varargin{:}); dX = -J\F0; NN = sqrt(dX.'*dX); X0 = X0 + dX; if X0<0 X0=(X0.^2).^(1/4); end end if iter==itermax warning('Número máximo de iteraciones alcanzado en el método de Newton') end JACOBIANA01 function [J,F0]=jacobiana01(F,X0,h,varargin) n = length(X0); J = zeros(n); F0 = feval(F,X0,varargin{:}); u = 1/h; for k=1:n X1 = X0; X1(k) = X1(k)+h; F1 = feval(F,X1,varargin{:}); J(:,k) = u*(F1-F0); end IMPLICITO function [Temps]=Implicito(mmm, nnn) global To Tinf Bi1_cn Bi2_cn Fo_cn T0_t=linspace(To,To,mmm)'; Temp=T0_t; Temps(:,1)=Temp; for nn=2:nnn MatA=zeros(mmm,mmm); MatB=zeros(mmm,mmm); MatC=zeros(mmm,1); for mm=1:mmm if mm==1


% Nodo izquierdo: Convectivo (0) MatA(mm, mm)=1+(2*Fo_cn)+(2*Bi1_cn*Fo_cn); MatA(mm, mm+1)=-2*Fo_cn; MatC(mm)=Temp(mm)+(2*Bi1_cn*Fo_cn*Tinf); elseif mm==mmm % Nodo derecho: Convectivo (N) MatA(mm, mm-1)=-2*Fo_cn; MatA(mm, mm)=1+(2*Fo_cn)+(2*Bi2_cn*Fo_cn); MatC(mm)=Temp(mm)+(2*Bi2_cn*Fo_cn*Tinf); else % Nodos internos MatA(mm, mm-1)=-Fo_cn; MatA(mm, mm)=1+(2*Fo_cn); MatA(mm, mm+1)=-Fo_cn; MatC(mm)=Temp(mm); end end Temp=inv(MatA)*MatC; Temps(:,nn)=Temp; end EIGENVALUES01 function [Fobj]=eigenvalues01(lamd) global h1 h2 L k Func1=lamd*k*(h1+h2)/(((lamd^2*k^2))-(h1*h2)); Func2=tan(lamd*L); Fobj=abs(Func1-Func2); EIGENVALUES function [Fobj]=eigenvalues(lamd) global Bi1 Bi2 Func1=lamd*(Bi1+Bi2)/((lamd^2)-(Bi1*Bi2)); Func2=tan(lamd); Fobj=abs(Func1-Func2); CRANKNICOLSON function [Temps]=CrankNicolson(mmm, nnn) global To Tinf Bi1_cn Bi2_cn Fo_cn T0_t=linspace(To,To,mmm)'; Temp=T0_t; Temps(:,1)=Temp; %% Comprobar la estabilidad Estab1=(Bi1_cn+1)*Fo_cn; Estab2=(Bi2_cn+1)*Fo_cn; if Estab1>1 | Estab2>1 disp('Comprobar estabilidad') disp(['Fo*(Bi1+1) = ' num2str(Estab1)]) disp(['Fo*(Bi2+1) = ' num2str(Estab2)]) end for nn=2:nnn MatA=zeros(mmm,mmm); MatB=zeros(mmm,mmm); MatC=zeros(mmm,1); for mm=1:mmm if mm==1 % Nodo izquierdo: Convectivo (0) MatA(mm, mm)=1+Fo_cn+(Bi1_cn*Fo_cn);


MatA(mm, mm+1)=-Fo_cn; MatC(mm)=(Fo_cn*Temp(mm+1))+((1-Fo_cn-(Bi1_cn*Fo_cn))*Temp(mm))+(2*Bi1_cn*Fo_cn*Tinf); elseif mm==mmm % Nodo derecho: Convectivo (N) MatA(mm, mm-1)=-Fo_cn; MatA(mm, mm)=1+Fo_cn+(Bi2_cn*Fo_cn); MatC(mm)=(Fo_cn*Temp(mm-1))+((1-Fo_cn-(Bi2_cn*Fo_cn))*Temp(mm))+(2*Bi2_cn*Fo_cn*Tinf); else % Nodos internos MatA(mm, mm-1)=-Fo_cn; MatA(mm, mm)=2+(2*Fo_cn); MatA(mm, mm+1)=-Fo_cn; MatC(mm)=(Fo_cn*Temp(mm-1))+((2-(2*Fo_cn))*Temp(mm))+(Fo_cn*Temp(mm+1)); end end Temp=inv(MatA)*MatC; Temps(:,nn)=Temp; end ANALITICA02 function [Suma, termi,iter]=Analitica02(t,z, Lamdass3) global h1 h2 Lamd_sup3 L To Tinf k alpha itermax termis=1; Suma=0; tol=1e-6; iter=0; itermax3=itermax; while abs(termis)>tol & iter<itermax3 iter=iter+1; Lamda=Lamdass3(iter); % An_num=(1/Lamda)*(sin(Lamda*L)-(((h1/(k*Lamda))*cos(L*Lamda))-1)); %%An_den=(L/2)*((Lamda^2+((h1/k)^2))/(Lamda^2))+(((Lamda^2-((h1/k)^2))/(Lamda^2))*(sin(2*Lamda*L)/(4*Lamda)))+(((h1/k)/(Lamda^2))*((sin(Lamda*L))^2)); %An_den=(Lamda*L/2)+(((Lamda^2-((h1/k)^2))/(Lamda^2))*(sin(2*Lamda*L)/(4*Lamda)))+(((h1/k)/(Lamda^2))*((sin(Lamda*L))^2)); % An=An_num/An_den; % An_n1=(2*((Lamda^2)+((h2/k)^2))); % An_n2=(Lamda*sin(Lamda*L)); % An_n3=((h1/k)*(cos(Lamda*L))); % An_n=(An_n1*(An_n2-An_n3+(h1/k))); % An_d1=(Lamda^2)*(((h1/k)-(h2/k))^2); % An_d2=(Lamda^2) + ((h1/k)*(h2/k)); % An_d3=(Lamda^2) + ((h1/k)*(h2/k)) + (h1/k) + (h2/k); % An_d=An_d1+ (An_d2*An_d3); An=((k*Lamda*sin(Lamda*L))-(h1*cos(Lamda*L))+h1)/((k*(Lamda^2)*L)+(h1*((sin(Lamda*L))^2))); termi(iter)=An*(cos(Lamda*z)+((h1/(k*Lamda))*(sin(Lamda*z))))*exp(-(Lamda^2)*alpha*t); termis=termi(iter); end ANALITICA Suma=sum(termi); function [Suma, termi,Teta_med,iter]=Analitica(Fo, Z, Lamda1)


global Bi1 Bi2 Lamd_sup itermax termis=1; Suma=0; tol=1e-6; iter=0; while abs(termis)>tol & iter<itermax iter=iter+1; Lamda=Lamda1(iter); Cn=(cos(Lamda*Z))+((Bi1/Lamda)*sin(Lamda*Z)); An_n1=(2*((Lamda^2)+(Bi2^2))); An_n2=(Lamda*sin(Lamda)); An_n3=(Bi1*(cos(Lamda))); An_n=(An_n1*(An_n2-An_n3+Bi1)); An_d1=(Lamda^2)*((Bi1-Bi2)^2); An_d2=(Lamda^2) + (Bi1*Bi2); An_d3=(Lamda^2) + (Bi1*Bi2) + Bi1 + Bi2; An_d=An_d1+ (An_d2*An_d3); An=An_n/An_d; termi(iter)=An*exp(-(Lamda^2)*Fo)*Cn; termis=termi(iter); Ter_A=(1+((Bi2^2)/(Lamda^2))); Ter_B=((Lamda*sin(Lamda))-(Bi1*(cos(Lamda)-1)))^2; Ter_C=exp(-(Lamda^2)*Fo); Teta_med_ter(iter)= Ter_A * (( Ter_B*Ter_C ) / (An_d)); end Suma=sum(termi); Teta_med=2*sum(Teta_med_ter); ALLLAMDAS3 function [Lamdass3]=allLamdas3(Lamd_sup3, itermax3) Lamdaa3=multinewton01('eigenvalues01', Lamd_sup3,100,1e-6,1e-5); while Lamdaa3<1e-6 Lamd_sup3=Lamd_sup3+1; % Lamda=fsolve('eigenvalues', Lamd_sup); Lamdaa3=multinewton01('eigenvalues01', Lamd_sup3,100,1e- 6,1e-5); end iter3=1; Lamdass3(iter3)=Lamdaa3; su3=1; for ii=1:itermax3 difLam3=0; while abs(difLam3)<1e-6 Lamd_sup3=Lamdaa3+su3; % Lamda=fsolve('eigenvalues', Lamd_sup); Lamdaa3=multinewton01('eigenvalues01', Lamd_sup3,100,1e-6,1e-5); difLam3=Lamdass3(iter3)-Lamdaa3; su3=su3+1; end iter3=iter3+1; Lamdass3(iter3)=Lamdaa3; end ALLLAMDAS function [Lamdass]=allLamdas(Lamd_sup, itermax) Lamdaa=multinewton01('eigenvalues', Lamd_sup,100,1e-6,1e-5); iter2=1; Lamdass(iter2)=Lamdaa;


su1=1; for ii=1:itermax difLam=0; while abs(difLam)<1e-6 Lamd_sup=Lamdaa+su1; % Lamda=fsolve('eigenvalues', Lamd_sup); Lamdaa=multinewton01('eigenvalues', Lamd_sup,100,1e-6,1e-5); difLam=Lamdass(iter2)-Lamdaa; su1=su1+1; end iter2=iter2+1; Lamdass(iter2)=Lamdaa; end Ejemplo 2.5

PLACA CON TEMPERATURA Y COEFICIENTES CONVECTIVOS DIFERENTES $UnitSystem Eng mass F Psi Rad Btu $TABSTOPS 0.2 0.4 0.6 0.8 3.5 in "Datos" T_infinity1=350 [F]: T_infinity2=650 [F]: k=0,38 [Btu/hr-ft-F]: T_o=80 [F]: alpha=0,016 [ft^2/hr] L=1,5 [ft] "NO HAY SOLUCIÓN ANALÍTICA" "NUMÉRICO CRANK NICOLSON" "Setup grid" N=19 [-] "number of nodes" DELTAx=L/(N-1) "distance between adjacent nodes" Duplicate i=1;N x[i]=(i-1)*DELTAx "position of each node" End "Setup time steps" U= 41 [-] "number of time steps" t_sim=40 [hr] "simulation time" DELTAtime=t_sim/(U-1) "time step duration”" Duplicate j=1;U time[j]=(j-1)*DELTAtime End Fo_d=alpha*DELTAtime/(DELTAx)^2 "Fo_durier para diferencias finitas" Duplicate i=1;N T[i;1]= T_o "initial condition" End "Move through all of the time steps" "node 1" Duplicate j=1;(U-1) h_1[1;j]=0,19*(abs(T[1;j]- T_infinity1))^(1/3)


h_2[N;j]=0,19*(abs(T[N;j]- T_infinity2))^(1/3) Bi_1d[1;j]=h_1[1;j]*DELTAx/k "Biot para diferencias finitas superficie 1" Bi_2d[N;j]=h_2[N;j]*DELTAx/k "Biot para diferencias finitas superficie 2" (1+Fo_d+Bi_1d[1;j]*Fo_d)*T[1;j+1]-Fo_d*T[2;j+1]=2*Bi_1d[1;j]*Fo_d*T_infinity1+& (1-Fo_d-Bi_1d[1;j]*Fo_d)*T[1;j]+Fo_d*T[2;j] "internal nodes" Duplicate i=2;(N-1) -Fo_d*T[i-1;j+1]+(2+2*Fo_d)*T[i;j+1]-Fo_d*T[i+1;j+1]=Fo_d*T[i-1;j]+(2-2*Fo_d)*T[i;j]+Fo_d*T[i+1;j] End "node N" (1+Fo_d+Bi_2d[N;j]*Fo_d)*T[N;j+1]-Fo_d*T[N-1;j+1]=2*Bi_2d[N;j]*Fo_d*T_infinity2+& (1-Fo_d-Bi_2d[N;j]*Fo_d)*T[N;j]+Fo_d*T[N-1;j] End Ejemplo 2.6

SISTEMA ASIMÉTRCO CON Bi > 40 USANDO EES ANALÍTICO Y NUMÉRICO $UnitSystem Eng Mass Rad psia F "Analítico" D_AB=2,9652 "[ft^2/hr]" L=3 "[ft]" Nterm=5 Fo_a=D_AB*t_sim/L^2 t_sim=600/3600 theta_0=(T_0-T_2)/(T_1-T_2) T_0=1 T_1=,1: T_2=,2 x=1 "parámetro a cambiar" x_hat=x/L Duplicate i=1;Nterm theta[i]=(1-theta_0+(-1)^i*theta_0)*sin(i*pi*x_hat)*exp(-i^2*Fo_a*pi^2)/i End T=T_1+(T_2-T_1)*(x_hat+2/pi*sum(theta[1..Nterm])) tol=theta[Nterm] "último término de la sumatoria" "Numérico" "Información previa" T_ini=1 DELTAx= ,25 "[ft]" : DELTAtime= 25/3600 "[hr]" M=t_sim/DELTAtime+1: N=L/ DELTAx+1: alpha=2,9652 [ft^2/hr] Fo=alpha*DELTAtime/DELTAx^2: "Construcción de los nodos (malla de nodos)" Duplicate i=1;N x[i]=(i-1)*DELTAx End "Construcción períodos de tiempo (malla de tiempo)" Duplicate j=1;M time[j]=(j-1)*DELTAtime


End "Condición inicial" Duplicate i=2;(N-1) "los nodos extremos están siempre en el valor de la perturbación" T[i;1]=T_ini End "Nodos límite de valor conocido i, N posición, j , M tiempo" Duplicate j=1; M T[1;j]=T_1 "nodo 1" T[N;j]=T_2 "nodo N" End

"MÉTODO EXPLICITO O DE EULER" "Controlar para DELTAtime máximo Fo< 1/2 ó Fo < 1/[2(1+Bi)]. En este caso, como no hay convección se usa la primera condición y se obtiene tmax= 151.8 s = 0.042 hr" "Nodos internos (Ecuación 4.88a)" Duplicate j=1; (M-1) Duplicate i=2;(N-1) T[i;j+1]=Fo*T[i-1;j]+(1-2*Fo)*T[i;j]+Fo*T[i+1;j] End End {MÉTODO COMPLETAMENTE IMPLICITO Incondicionalmente estable (se pueden seleccionar N y M independientemente. En Matlab la solución no es comparable puesto que no puede resolver expresiones implícitas.} "Condición inicial" Duplicate i=2;(N-1)"los nodos extremos están siempre en el valor de la perturbación" Y[i;1]=T_ini End "Nodos límite de valor conocido i, N posición, j , M tiempo" Duplicate j=1; M Y[1;j]=T_1 "nodo 1" Y[N;j]=T_2 "nodo N" End "Nodos internos (Ecuación 4.96a)" Duplicate j=1; (M-1) Duplicate i=2;(N-1) Y[i;j]=-Fo*Y[i-1;j+1]+(1+2*Fo)*Y[i;j+1]-Fo*Y[i+1;j+1] End End {MÉTODO DE CRANK - NICOLSON Combina los dos métodos anteriores y tiene mayor precisión que estos porque involucra dos estimaciones de la velocidad de cambio en cada nodo.} "Condición inicial" Duplicate i=2;(N-1) "los nodos extremos están siempre en el valor de la perturbación"


Z[i;1]=T_ini End "Nodos límite de valor conocido i, N posición, j , M tiempo" Duplicate j=1; M Z[1;j]=T_1 "nodo 1" Z[N;j]=T_2 "nodo N" End "Nodos internos (Ecuación 4.97a)" Duplicate j=1; (M-1) Duplicate i=2;(N-1) -Fo*Z[i-1;j+1]+(2+2*Fo)*Z[i;j+1]-Fo*Z[i+1;j+1]=Fo*Z[i-1;j]+(2-2*Fo)*Z[i;j]+Fo*Z[i+1;j] End End "COMANDO INTEGRAL DE EES" "Nodos límite de valor conocido i, N posición" T[1]=T_1 "nodo 1" T[N]=T_2 "nodo N" "Nodos internos" Duplicate i=2;(N-1) dTdt[i]=D_AB*(T[i-1]+T[i+1]-2*T[i])/DELTAx^2 T[i]=T_ini+integral(dTdt[i];time;0;t_sim) End $IntegralTable time: DELTAtime; T[1..N] Ejemplo 2.7

"EJEMPLO MEMBRANA ASIMÉTRICA" $UnitSystem SI mass C Pa Rad J N=10 duplicate i=1;N A[i]=2/i/pi end "Historia tiempo-posición de la temperatura de la placa" duplicate i=1;N theta[i]=A[i]*exp(-(i*pi)^2*Fo)*sin(i*pi*z_hat) end theta_t= sum(theta[1..N]) T=T_2+(T_1- T_2)*(1-z_hat-theta_t) Fo=D_AB*time/L^2 D_AB=5,75e-8 [m^2/s] "propiedades del sólido" z_hat=z/L L=0,1 [m]: T_1=4,8: T_2=2,45 time=3600: z=L/2


Se nota que durante la operación, el sólido se puede analizar como sólido semiinfinito pues la

penetración de la perturbación no supera el espesor de la membrana, así:

Para Fo=0,0625; time=10870 [s] = 3.02 hr; zp = 0.1 m Para Fo=0,0207 time=3600 [s] = 1 hr zp=0,05755 m Resultados para t = 3 hr y z = 0.5 m: cA = 2,483 kgmol/m

3 calculado por la ecuación (2.22) para placa asimétrica Bi > 40

cAinf= 2,483 kgmol/m3 calculado por la ecuación (1.51a) para sólido semi-infinito

Gráficos secuenciales: Se usa nomenclatura de temperaturas para utilizar las funciones preestablecidas que trae EES en las librerías "Heat Transfer & Fluid Flow Transient Conduction" o en "EES library routines transient conduction", aunque para el caso presente donde la correlación para sólido semi-infinito es tan sencilla podemos hacerlo directamente. Comenzamos creando los arreglos o mallas espaciales y de tiempo y luego resolvemos la ecuación en cada uno de estos puntos, lo que nos da una tabla con los correspondientes datos. Usando esta tabla creamos un gráfico con tantas curvas como queramos. En Plots New Plot XY, los valores de las abscisas se introducen señalando el arreglo x[i]. Sin embargo para las ordenadas seleccionamos una a una las T[j] que deseemos en la gráfica. Para el caso presente se escogieron curvas a intervalos de 1000 s entre 500 s y 10500 s: $UnitSystem SI Mass J K Pa Rad alpha=5,75e-8 [m^2/s] T_s=4,8 [kgmol/m^3] T_i=2,45 [kgmol/m^3] x_sim=0,1 [m] DELTAx=x_sim/(n-1) n=11 duplicate i=1;n x[i]=(i-1)*DELTAx end t_sim=10500 m=21 DELTAt=t_sim/m "500 [s] para este caso" duplicate j=1;m t[j]=j*DELTAt end duplicate j=1;m duplicate i=1;n {T[i;j]=SemiInf1(T_i;T_s;alpha;x[i];t[j])} "comando incluido en EES" T_s-T[i;j]=(T_s-T_i)*erf(x[i]/(2*sqrt(alpha*t[j]))) end end Si se dispone de la versión profesional se activa el gráfico secuencial en el tiempo dando clic derecho en la parte superior izquierda de la figura (Plot #) y en el cuadro de diálogo que aparece se le selecciona Time Sequence Display. Seleccione también la velocidad de la secuencia moviendo el indicador corredizo y Loop si quiere repetición indefinida. Al seleccionar 0K aparece en el gráfico en el extremo superior izquierdo un panel de control que permite diferentes acciones con la secuencia.

simulación4P ABz D t


Al hacer doble clic en el gráfico, en el cuadro de modificaciones se puede seleccionar en la parte inferior en "Display if frame #", si en la presentación se acumulan las curvas o si van desapareciendo cuando llega la nueva seleccionando en el cuadro "= 0" o ">=" respectivamente. En el cuadro a la derecha del anterior se especifica a partir de qué curva se realiza la presentación.


Figura 3.1. Placa plana con generación en estado inestable

CAPÍTULO 3 . SISTEMAS CON GENERACIÓN

SISTEMAS CON GENERACIÓN Y CONDICIÓN INICIAL NO HOMOGÉNEA

Cuando todos los términos del balance microscópico unidimensional son diferentes de cero,

el modelo matemático es una ecuación diferencial parcial no homogénea. Además, las

condiciones iniciales y de frontera pueden agregar más inhomogeneidades haciendo aún

más complicadas las soluciones analíticas. Como ilustración presentamos cuatro

situaciones de aplicación práctica.

3.1 Placa plana

Plantee una ecuación diferencial para el caso de una placa plana con generación en estado

inestable intercambiando calor con un medio a T constante. Su distribución de

temperatura inicial es parabólica. Sugerencia: Use el método de superposición para

resolver la ecuación diferencial parcial resultante.

Los casos en los que se genera calor en un sólido tienen

importantes aplicaciones técnicas. El calor puede generarse por

(i) el paso de una corriente eléctrica, (ii) calentamiento dieléctrico

o inductivo, (iii) descomposición radioactiva, (iv) absorción de

radiación, (v) generación mecánica en flujo viscoso o plástico,

(vi) reacción química, incluyéndose aquí situaciones tan diversas

como el fraguado del cemento y la maduración de las

manzanas. El término de generación puede ser función de la

temperatura y/o de la posición, o constante como se presenta en

el calentamiento dieléctrico, entre otros.

Utilizando coordenadas rectangulares y sabiendo que solo existen gradientes de

temperatura en la dirección z, colocando el origen coordenado en el plano de simetría se

obtiene el modelo matemático que describe esta situación:

, (3.1a)

donde k es conductividad térmica [W/m.K]; es difusividad térmica [m2/s].

t

T

kz

T H

12

2


La condición inicial es una distribución de temperaturas parabólica:

,

,

es la temperatura inicial en la superficie.

Con las siguientes condiciones límite o de contorno:

0t ; ; 0z plano de simetría o superficie adiabática,

0t ; ; z L superficie convectiva.

Se resuelve la ecuación por el método de superposición para lo cual introducimos el

siguiente cambio de variables: ,T z t F z . La ecuación (3.1a) y sus condiciones

límite toman la forma:

,

00, 0 ,t z L T F ,

0, 0,t z que es satisfecha por ,

0,t z L , .

Se puede decir:

; .

Como F no es función de t , se cumple que:

2 2

0 01 0 ; ; 0S

z zT T a T b a

L Lt z L

SOb a T

SOT

0

z

T

TTh

z

Tk

tkz

F

z

H

12

2

2

2

0

z

F

z0

z

F

z

TFh

z

F

zk

LzLz

hz

k

TFh

z

Fk L

Lz


. (3.1b)

Esto implica

, (3.1c)

F se obtiene mediante integración repetida de (3.1b) y las constantes de integración se

hallan a partir de las condiciones límite ya discutidas.

Integrando una vez:

,

1CL1: 0, 0 entonces 0dF

z Cdz

.

Integrando nuevamente

,

CL2: , Lz L

dFz L k h F T

dz

,

,

. (3.1d)

La función ,z t se obtiene resolviendo (3.1c) por separación de variables, pues se trata

de una ecuación diferencial parcial con condiciones de contorno homogéneas (permanecen

idénticas al multiplicar por una constante la variable dependiente ). Para ello se supone

que existen dos funciones z y G t , la primera función exclusiva de la posición y la

segunda función exclusiva del tiempo, tales que:

02

2

kz

F H

tz

12

2

1Czkdz

dF H

2

2

2C

k

zF H

TC

k

Lh

k

Lk HH

2

2

2

Th

LzL

kF HH 22

2


,

Reemplazando en (3.1c) y reorganizando se tiene:

,

donde es un número real. Se iguala a esta constante, ya que siendo cada lado función de

una variable diferente debe ser una constante. Esta constante es un número real y debe ser

una cantidad negativa para que no produzca soluciones triviales. De otra parte, este valor

es lógico pues la temperatura debe tener un valor finto cuando t aumenta indefinidamente.

Tenemos entonces dos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes

constantes. La primera, de primer orden se resuelve por separación de variables:

2 21 entonces exp

dGdt G C t

G , (3.1e)

La segunda, de segundo orden:

.

Representando dDdz

, tendrá por ecuación auxiliar 2 2 0D con solución D i , i

la unidad imaginaria . Entonces:

, (3.1f)


0, 0, 0 entonces 0 para solución no triviald dt zdz dz

,

2 3 2 200

cos sin 0 entonces 0z

z

dC z C z C C

dz

.


entonces ya que no depende de z L z L

z L z L

k h k h G zz z

.

( , ) ( ) ( )z t z G t

2

2

211

dz

d

dt

dG

G

02

2

2

dz

d

1/2

1

zCzCBeAe zizi cossen 32


Reemplazando:

3 3sin entonces sin

LLz L

hkC z h C

k z

.

Calculando la ecuación para en z L con los valores hallados para y :

cos entonces tan por lo tanto tan

sin

LL

h L hL L L Bi

k L k

. (3.1g)

Todos los valores de que satisfagan la ecuación trascendental (3.1g) constituyen solución

particular de (3.1f). La solución más general se obtiene por superposición de las soluciones

particulares, a saber:

2

, 21

cos expn nnz t

z tA

L L

, (3.1h)

donde los valores propios n L son las raíces de la ecuación trascendental

tann n Bi , con hLBik

. La función propia de este problema de valor propio es la

función cos nzL

. 1 3nA C C , la cual engloba las dos constantes de integración a

determinar.

Aplicando la condición inicial 0t y utilizando las propiedades de ortogonalidad que

presentan las funciones propias, multiplicamos ambos lados de ,0z por ,0z e

integrando se tiene:

. (3.1i)

Ahora reemplazando los valores de 0T y F , la integral de la izquierda es

2

20 2

0 0

cos cos cos .2 2

L Ln n nH H Hz z zL L a

T F dz b T dz z dzL k h L k LL

2C 3C

LL

nn

n dzL

zAdz

L

zFT

00

2

0 coscos


Se estiman a continuación las diferentes integrales involucradas en (3.1i)

2 2

00 0 0

cos 2 1 sin 2cos cos

2 4 2

sin 2 sin cos.

4 2 2

nn nLn

n n n

n n n n n

nn

u uz L L L udz udu du

L

LN

L

La integral de cos cz es 1

sin czc

. La integral restante deberá hacerse por partes y de

manera recurrente:

2

2

0 0

2cos sin sin

L Lz

z cz dz cz z cz dzc c

,

0 0

1sin cos cos

L Lz

z cz dz cz cz dzc c

.

Se obtiene entonces que:

3 3 3 3 3 32

2 3 2 30

2 2 2 2cos sin cos sin cos sin .

Ln

n n n n nn nn n n n

z L L L L L Lz dz

L

Teniendo en cuenta los valores de las integrales anteriores, las constantes nA son:

2 2

0 2 2 2

2 42 sin cos

2

sin cos

H H Hs n n

nn nn

n n n

L L a L aT T

h kk LA

.

Finalmente la expresión para el perfil de temperaturas es:

2

2 2, 2

1

cos exp2

n n H Hnz t

z t LT A L z T

L k hL

. (3.1j)


NOTA: Si la distribución inicial de temperaturas es uniforme e igual a 0sT , se aplica la

misma ecuación con 0a .

Como aplicación numérica se presenta el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3.1: (Ejemplo 5.9 en Incropera 1990 modificado). Un elemento combustible de un

reactor nuclear tiene la forma de una placa plana de espesor 2 20 mmL y está enfriado

desde sus dos superficies con coeficiente convectivo 2W1100

m .K y 250T C . En

operación normal genera 7

3W10

mH . Si repentinamente esta potencia aumenta a

72 3

W2 10m

H , determine la nueva distribución de temperaturas en la placa después

de transcurridos 3 s y después de alcanzar nuevamente el estado estable. ¿Cuánto tiempo

se requiere para establecerse? Las propiedades térmicas del elemento de combustible

nuclear son conductividad térmica W30m.K

k y 26 m5 10

s .


En estado estable la ecuación (3.1a) del presente ejemplo se reduce a:

,

con las condiciones límite

CL1: ; z = 0 plano de simetría o superficie adiabática,

CL2: z = L superficie convectiva.

Integrando una vez

,

aplicando la primera condición límite C1 = 0. Integrando nuevamente:

02

2

kz

T H

0

z

T

TTh

z

Tk

1Czkdz

dT H


,

CL2:

2 2

2 2 entonces 2 2

H H H HL L L Lk h C T C T

k k h k

,

Se observa que cuando h tiende a infinito, , la temperatura de la superficie z = L, tiende

a la temperatura del medio.

Para el caso presente, reemplazando los valores numéricos, en la situación inicial la

distribución de temperaturas es:

, (3.2a)

y cuando nuevamente se alcanza la condición de estado estable:

. (3.2b)

Se observa que el origen coordenado se toma en el plano de simetría por lo cual la longitud

característica L es el semiespesor (10 mm).

Reemplazando los valores numéricos anteriores, la expresión (3.1j) toma la forma:

, (3.2c)

Con .

Para apreciar la rápida convergencia de esta serie haremos evaluaciones en diferentes

posiciones y tiempos. El estado estable corresponderá a t = 0 y el a t = .

Evaluamos Biot:

2

2

2C

k

zT H

T

h

L

L

z

k

LT HH

22

12

ST

T

2

1 16.667 1- 340.910.01

zT C

2

2 33.334 1 431.820.01

zT C

2 5 2

1

( , ) cos exp 0.05 3.333 10 465.150.01

nn n

n

zT z t A t z

nnn

nnnnA

cossen

)/66.66(82.181/cos66.66 2

1T 2T


1100 0.01 0.3670.367 entonces tan

30n

n

hLBi

k

.

Utilizando el método de Newton de convergencia obtenemos:

= 0.5711; = 3.2539; = 6.3410; = 9.4635, y, respectivamente

A1 = 107.79; A2 = 0.216; A3 = 0.0167; A4 = 0.00304.

Tomando solo los dos primeros términos de la sumatoria obtenemos:

Ecuación (3.11) Ecuación (3.13) Ecuación (3.12) Ecuación (3.13)

z = 0 T1 = 357.58 T(0,0) = 357.58 T2 = 465.15 T(0,) = 465.15

z = L/2 T1 = 353.41 T(0.005,0)=353.38 T2 = 456.82 T(0.005,)=456.82

z = L T1 = 340.91 T(0.01,0) = 340.92 T2 = 431.82 T(0.01,) = 431.82

Tabla 3.1. Temperatura del elemento combustible del reactor nuclear a diferente longitud y usando diferente ecuación

En la Tabla 3.1 las longitudes están en metros y las temperaturas en °C.

Es de anotarse que para este sistema, después de 300 s, la temperatura en el centro

T(0.005,300) difiere menos de un grado centígrado respecto a la de estado estable T2, y

después de 500 s difiere en menos de 0.1 °C.

Solución numérica

Solución: Para resolver este ejercicio usaremos el método de diferencias finitas según

Crank – Nicolson. Para comenzar, la distribución inicial de temperaturas debe conocerse.

Para placa plana con generación, simétrica y en estado estable. Del capítulo 1 tenemos

tomando como origen coordenado el plano central de la placa, de donde para z = 0, dT/dz =

0.

, (3.2d)

TS se obtiene por la condición límite para z = L

.

También la podemos obtener, en estado estable, igualando el calor generado en la mitad

del volumen al perdido por convección:

1 2 3 4

SH T

L

z

k

LT

22

1 12

TThdz

dTk S

Lzh

LTT H

S1


°C.

Para cualquier punto entre 0 z L, la distribución inicial de temperaturas será:

.

Debido a la simetría podemos considerar la mitad de la placa sabiendo que el perfil se

reflejará en la otra mitad como en un espejo. Con esto en mente seleccionamos nuestro

origen coordenado en el plano de simetría que equivale entonces a una superficie

adiabática. El espesor a analizar es entonces de 10 mm. Tomando z = 10/4 = 2.5 mm

tendremos 5 nodos para analizar (9 para la placa completa). El nodo cero adiabático, los

nodos 1, 2, y 3 internos y el 4 es convectivo. Todos ellos con generación. Observando las

respectivas ecuaciones se aprecia que la condición de estabilidad más restrictiva es la del

nodo convectivo: (Bi + 1)Fo 1.

Calculamos Biot

= = 0.0917 .

Fo = 0.916.

Entonces

tmax = = 1.145 s.

Si seleccionamos t = 0.75 s < tmax, después de cuatro incrementos de tiempo

alcanzaremos el tiempo requerido de 3 s y Fo = (5x10-6)(0.75)/(0.0025)2 = 0.6 < 0.916.

Con estos valores, reemplazamos en las respectivas correlaciones:

Nodo cero (ecuación 4.23):

,

)( TThALA SzzH 91.3401100

)01.0)(10(250

7

ST

91.34001.0

167.16)(

2

0

zzT

k

zhBi

30

)0025.0)(1100(

0917.1

1

6

2

105

)0025.0)(916.0(x

7 6

1 1

0 1 0 1

(2 10 )(5 10 )(0.75)1.6 (0.6) 0.4 (0.6)

30

t t t tT T T T


.

Nodo uno (ecuación 4.22b):

,

Nodo dos (ecuación 4.22b):

,

Nodo tres (ecuación 4.22b):

,

Nodo cuatro (ecuación 4.24a):

.

Este sistema de ecuaciones simultáneas puede resolverse por el método de inversión de

matrices. Expresando la ecuación en la forma [A][T] = [C] donde:

La matriz [C] se calcula en el tiempo (t) y provee las temperaturas de los diferentes nodos

en el tiempo (t+1). Para la distribución inicial de temperaturas, o sea t = 0 los valores de las

/ 2.5 H t k C

5)6.0()8.0()6.0()6.0()2.3()6.0( 210

1

2

1

1

1

0 tttttt TTTTTT

5)6.0()8.0()6.0()6.0()2.3()6.0( 321

1

3

1

2

1

1 tttttt TTTTTT

5)6.0()8.0()6.0()6.0()2.3()6.0( 432

1

4

1

3

1

2 tttttt TTTTTT

5.2)6.0(345.05.27)6.0()655.1( 34

1

3

1

4 tttt TTTT

66.16.0000

6.02.36.000

06.02.36.00

006.02.36.0

0006.06.1

A

1

4

1

3

1

2

1

1

1

0

t

t

t

t

t

T

T

T

T

T

T

5.26.0345.05.27

56.08.06.0

56.08.06.0

56.08.06.0

5.26.04.0

34

432

321

210

10

tt

ttt

ttt

ttt

tt

t

TT

TTT

TTT

TTT

TT

C


temperaturas las obtenemos de la ecuación (3.2d) para estado estable haciendo z = 0,

2.5, 5, 7.5 y 10 mm respectivamente. Se obtienen los siguientes valores:

Multiplicando [A]-1 (la matriz inversa de [A]) por [C]0 se obtienen las temperaturas de los

diferentes nodos las que a su vez nos generan [C]1 que al multiplicarse por [A]-1 genera los

y así sucesivamente se continúa tantos incrementos de tiempo como se requiera.

Obtenemos finalmente:

t t[s]

0 0 357.58 356.54 353.41 348.20 340.91

1 0.75 358.83 357.78 354.62 349.23 341.00

2 1.50 360.06 358.99 355.73 350.07 341.70

3 2.25 361.36 360.43 357.13 351.23 342.57

4 3.00 362.63 361.52 358.09 352.11 343.49

Tabla 3.2. Distribución de temperaturas con la solución numérica

A partir de la solución usando EES (ver código en sección NOTAS al final del capítulo) se

obtienen la Figura 3.2 solución analítica y Figura 3.3 solución numérica.

0

mT

91.340

20.348

41.353

54.356

58.357

0T

53.356

15.700

57.710

83.716

46.359

0C

1

mT

2

mT

tT

0

tT

1

tT

2

tT

3

tT

4


Figura 3.2. Solución analítica de la placa con generación

Figura 3.3. Solución numérica (Crank Nicolson) de la placa con generación

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01300

350

400

450

500

z [m]

T °

CPlaca con Generación

Tiempo 3 [s]

Tiempo 300 [s]

Tiempo 500 [s]

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01300

350

400

450

500

z [m]

T [

°C]

Plate with generation

Crank Nicolson

Time 0 [s]

Time 3 [s]

Time 30 [s]

Time 60 [s]

Time 90 [s]

Time 180 [s]

Time 270 [s]Time 300 [s]


Los valores obtenidos para dos tiempos diferentes se observan en la Tabla 3.3.

z T [°C] T [°C]

[m] t=3 [s] t=500[s]

0 362,6 465,1

0,001 362,4 464,8

0,002 361,9 463,8

0,003 361 462,1

0,004 359,9 459,8

0,005 358,3 456,8

0,006 356,5 453,1

0,007 354,2 448,8

0,008 351,7 443,8

0,009 348,7 438,1

0,01 345,4 431,8 Tabla 3.3. Valores a diferentes tiempos

3.2 Difusión con reacción química homogénea régimen no estacionario

El presente es un ejercicio académico que pretende dos objetivos: primero mostrar como

dos fenómenos físicos pueden describirse por un mismo modelo matemático creando

situaciones de similitud que permiten eventualmente obtener conclusiones sobre un sistema

experimentando con el otro. En segundo lugar, acentuar el hecho según el cual, aunque

podamos obtener el modelo matemático de un sistema real, es decir la ecuación diferencial

y las condiciones iniciales y de frontera que lo describen, no siempre se puede resolver

analíticamente, y aun pudiéndose, la ecuación resultante es engorrosa de usar y poco

flexible. Surge entonces como alternativa el uso de métodos numéricos que, poco

aplicables para cálculo manual, se convierten en un poderoso auxiliar con la ayuda de la

programación de computadores.

Se analiza un proceso de absorción con reacción química en un medio semiinfinito, siendo

k’ la constante de velocidad de reacción de primer orden. Consideremos un medio semi-

infinito que se extiende desde el plano límite z = 0 hasta z = ∞. En el instante t = 0 la

sustancia A se pone en contacto con este medio en el plano z = 0, siendo la concentración

superficial cAs (para la absorción del gas A por el líquido B, cAs sería la concentración de

saturación). A y B reaccionan para producir C según una reacción homogénea irreversible

de primer orden A + B C. Se supone que la concentración de A es pequeña. El modelo

matemático se expresa así:

, (3.3a) AA

ABA ck

z

cD

t

c'

2

2


con las condiciones:

t = 0 , ,cA = cAo = 0.

t > 0 , z = 0 : cA = cAs = constante.

t > 0 , z = ∞ : cA = 0 = cA∞.

Esta situación corresponde a muchos casos reales entre los que mencionamos la

contaminación atmosférica con NO2 y su destrucción por reacción fotoquímica, o el

consumo de CO2 en el seno de un cuerpo de agua por fotosíntesis.

Por transformación de Laplace, la transformada de la ecuación (3.3a) es (aquí usamos la

variable “s” en lugar de ”p” utilizada en la presentación introductoria a la transformada de

Laplace):

,

.

La solución de esta ecuación diferencial ordinaria es1:

,

con ; C1 y C2 constantes de integración a determinar.

Las condiciones límite son valores constantes. La última, t > 0, z ∞ , cA = 0, requerimos

calcular:

.

Por la propiedad de convergencia uniforme:

1 Colaboración del Profesor Omar E. Ospina A. [email protected]

0z

ztcsLztcLk

dz

sfdD AAAB ,,'

2

2

0

'2

2

sf

D

ks

dz

sfd

AB

KzCKzCsf expexp 21

ABD

ksK

'

0

, dtztceLimsfLim A

st

zz


.

Por esta razón es finita para z = ∞; por lo que C1 = 0.

Aplicando entonces la otra condición límite, z = 0, cA = cAs,

,

por lo que C2 = cAs/s. La solución es entonces:

.

Para calcular la transformada inversa de esta expresión aplicamos la convolución sabiendo

que por definición:

.

Utilizando la propiedad según la cual, si se conoce la transformada inversa de dos

funciones se puede conocer la transformada inversa del producto de las dos funciones a

través de la convolución de las transformadas inversas:

,

con

y .

Haciendo entonces:

y .

Sabiendo que ítem 82 tabla 8 – 1 (Mickley H. S., 1957):

0,0

dtztcLimesfLim Az

st

z

sf

s

cdtztcLimesfLim As

Az

st

z

0

00,

'exp

'exp ks

D

z

s

c

D

ksz

s

csf

AB

As

AB

As

tt

dvvtfvgtftgdvvtgvftgtf00

**

sHsGthtgL * thtgsHsGL *1

tgsGLtgLsG 1 thsHLthLsH 1

11

tgs

sg

'exp ks

D

zsh

AB


, siendo m una constante, en este caso z/(DAB)0.5.

Entonces:

.

La traslación en variable s se define así:

Si .

Entonces:

= .

Haciendo entonces la convolución de las transformadas inversas:

, con g(t- u) = 1,

.

Cambio de variable: haciendo 3

entonces 2 4AB AB

z zd du

D u D u ,

2

24 AB

zu

D .

Si 0 entonces u .

Si entonces 2 AB

zu t n

D t .

t

m

t

msmL

4exp

2exp

2

2/3

1

tD

z

tD

zsmL

ABAB4

1exp

2

1exp

2

2/3

1

asHtheLsHthL at

tD

z

tD

ztkks

D

z

D

zL

ABABABAB

4

1exp

2

'exp'exp

2

3

1

tD

ztk

tD

zth

ABAB4

'exp 2

2

3

t

AB

As duutguhksD

z

s

cL

0

1 'exp

t

ABAB

AsA duuD

zuk

uD

zcc

0

2

3 4'exp

2


La integral queda:

,

reconociendo que: ,

con y , llegamos a:

(3.3b)

Para la primera integral hacemos:

.

Si entonces 'n v n k t .

Si entonces v .

Para la segunda integral hacemos:

.

Si entonces 'n w n k t .

Si entonces w .

Por lo tanto:

n

2

AB

22

As

A dD4

z'kexp

2

c

c

1

2

a

2

a12

22

ABD

kza

'

tD2

zn

AB

2

2

2

2

' 1 'exp 1 exp

2 2

' 1 'exp 1 exp

2 2

A

As AB AB

n

AB AB

n

c k a k zz d

c D D

k a k zz d

D D

z

D

kv

AB

'

2

1

da

dv

221

z

D

kw

AB

'

2

1

da

dw

221


.

Reemplazando en (3.3b):

3.3b1 ' 1 '

exp ' ex -ip ' .2 22 2

A

AS AB ABAB AB

c k z k zz erfc k t z erfc k t

c D DD t D t

La densidad de flujo molar en la interfase será:

. (3.3c)

Además, los moles totales del compuesto A absorbidos por el líquido B en un tiempo t0 por

unidad de área:

. (3.3c-i)

Para valores grandes de k’t0 obtenemos:

, (3.3b-ii)

,

. (3.3c-ii)

Si k’t0> 2 el error de esta última expresión es menor del 3%.

Ejemplo 3.2: (Problema 7.14 en Cutlip, p. 310, ejemplo 7.5-3 en Geankoplis p. 513,

modificado). Se absorbe CO2 puro gaseoso a 101325 Pa de presión en una solución

amortiguadora alcalina diluida que contiene un catalizador. El soluto CO2 absorbido y

diluido experimenta una reacción de primer orden con k’ = 35 y DAB = 1.5x m2/s. La

solubilidad está dada por la ley de Henry con H = 2.961x kgmol/m3.Pa. La superficie

tkn

wa

tkn

va

As

A dweedveec

c

''

221

tk

etkerfkDc

z

cDN

tk

ABAs

z

AABzA

'''

'

00

00

0

00 'exp1

''2

1' tktkerf

tktktDcM ABAsA

ABAs

A

D

kz

c

c 'exp

ABAszAAs DkcNN '0

0

0

0'2

1'

t

ABAsAsAk

tDkcdtNM

1s 910

710


está expuesta al gas durante 0.010 s. Calcule los kgmol de CO2 absorbidos/m2 de

superficie.

La masa absorbida por unidad de superficie puede obtenerse como

.

Esta es el área bajo el perfil de concentraciones. Para métodos numéricos puede aproximar

este valor teniendo en cuenta que el nodo cero tiene concentración constante y actúa solo

sobre 2

z .

Solución analítica: se usa la ecuación (3.3c-i) del desarrollo anterior teniendo presente que

la concentración en la superficie, cAs se obtiene a partir de la ley de Henry y la presión

parcial del soluto en la fase gaseosa: cAs = PAH = 0.03 kgmol/m3.

Reemplazando en (3.3c-i) se realiza la solución en EES (ver código en sección NOTAS al

final del capítulo) y se obtienen los siguientes resultados:

c_As=0,03 D_AB=1,500E-09

H=2,961E-07 k_hat=35 [1/s]

M_A=1,472E-07 [kgmol/m^2] P=101325

t_o=0,01

En el método numérico es simplemente el caso de un medio semi-infinito con temperatura

de superficie constante y, conocido el tiempo de contacto se puede determinar la

penetración, espacio para el cual se hace el análisis.

Para hacer el gráfico de los perfiles de concentración, usando la ecuación (3.3b-i), se

considera que siendo un sistema semi-infinito y conocido el tiempo de análisis, el z

penetrado, = 1.55x10-5 [m], seleccionamos esta longitud de simulación.

Se obtiene el siguiente arreglo:

C[i;1] t[i] x[i] C[i;2] C[i;3] C[i;4] C[i;5]

0,03 0,002 0 0,03 0,03 0,03 0,03

0,02011 0,004 0,000001 0,02255 0,02358 0,02416 0,02453

0,01203 0,006 0,000002 0,01609 0,01795 0,01903 0,01973

0,006352 0,008 0,000003 0,01085 0,0132 0,01463 0,01559

0,002931 0,01 0,000004 0,006877 0,00934 0,01095 0,01207

0,001173 0,000005 0,004083 0,006346 0,007965 0,009146

L

AoAA dzccM0

4p ABz D t


0,0004058 0,000006 0,002265 0,004131 0,005621 0,006775

0,0001207 0,000007 0,00117 0,002572 0,003842 0,004899

0,0000308 0,000008 0,0005624 0,001529 0,002542 0,003454

0,000006726 0,000009 0,0002509 0,0008668 0,001625 0,002373

0,000001255 0,00001 0,0001038 0,0004683 0,001003 0,001587

1,997E-07 0,000011 0,00003979 0,0002408 0,0005975 0,001032

2,708E-08 0,000012 0,00001412 0,0001178 0,0003432 0,0006527

1,667E-09 0,000013 0,000004631 0,00005476 0,00019 0,000401

1,631E-10 0,000014 0,000001404 0,00002419 0,0001013 0,0002393

3,009E-36 0,000015 3,934E-07 0,00001015 0,00005199 0,0001386 Tabla 3.4. Datos necesarios para generar la Figura 3.4

Al graficar estos datos se obtiene la Figura 3.4. Se destaca el uso de la técnica para

generar múltiples curvas en forma simultánea, sin necesidad de crear previamente la tabla

paramétrica.

Figura 3.4. Perfil de concentración sistema semi-infinito

3.3 Conducción en una aleta en el periodo transitorio

La ecuación , (3.5a)

0 0,000005 0,00001 0,0000150

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

z [m]

cA (

z,t

) [k

gm

ol/m

3]

t=0.01 [s]

t=0.002 [s]

Dt=0.002 [s]

t

T

kA

TTPh

z

T

z

12

2


con condiciones

t = 0 , : T = = en un comienzo está en equilibrio con los alrededores.

t > 0 , z = 0 : T = temperatura de la base constante.

t > 0 , z = ∞ : T = aleta larga.

Describe una aleta de enfriamiento infinita en estado transitorio en un medio de temperatura

y coeficiente convectivo h, en sus momentos iniciales (o aleta de calentamiento en sus

momentos finales). Haciendo , con constante, las condiciones límite para

las ecuaciones (3.3a) y (3.5b) se hacen idénticas:

; , constante. (3.5b)

t = 0 , : T = = = 0,

t > 0 , z = 0 : T = ,

t > 0 , z = ∞ : T = = 0.

Por lo tanto, la solución será idéntica. Haciendo las correspondientes equivalencias en

símbolos:

. (3.5c)

Esta expresión, es equivalente en todas sus partes al perfil de concentraciones, ecuación

(3.3b-i).

Para aletas finitas y diferentes condiciones iniciales y de frontera, (Carslaw, 1959) trae

varias soluciones (sección 4.7, p. 144 – 146). Sin embargo, estas y otras soluciones, como

hemos visto, son bastante laboriosas, por lo que es una buena opción recurrir a las

soluciones por métodos numéricos.

SOLUCION EN DIFERENCIAS FINITAS

Las ecuaciones (3.3a) y (3.5a) pueden expresarse en términos de diferencias finitas de

manera sencilla:

Método implícito, aleta unidimensional transitoria sin generación:

z0T T

ST

T

T

T T T

mzt

2

2

zPz AC

Ph

kA

Phm

z0T T

0 T T

ST S ST T

T T T

12

exp exp2 2S

m z m zz erfc mt z erfc mt

t t


Nodo interno:

.

Reorganizando:

,

Donde

; ; ;

Aquí P es perímetro, Az área perpendicular a z, z coincide con el eje de la aleta. Para

transferencia de masa:

.

Por un balance obtenemos el nodo del extremo, M:

.

Reorganizando:

.

Para transferencia de masa, comparando las ecuaciones (3.3a) y (3.5b), T se sustituye por

cA, por DAB y

.

Método explícito, aleta unidimensional transitoria sin generación:

Nodo interno (m):

t

TT

kA

TTPh

z

TTT t

m

t

m

z

t

m

t

m

t

m

t

m

11

2

1

1

11

1 12

t

m

t

m

t

m

t

m TTBiFoLFoTTBiFoLFoFoT

*1

1

1*1

1 21

2z

tFo

k

zhBi

zASL /* zPS

AB

k zBi

D

1 1 1

11 1 02 2

t t t t

z M M M MP zt t

z M M

kA T T T TPh z C A zhA T T T T

z t

* 1 1 *

11 2 2 2 2t t t

M M MFo BiFo BiFoL T FoT BiFo BiFoL T T

'

AB z

k Ph

D kA


,

Para estabilidad, .

Nodo extremo, M:

,

Para estabilidad, , más restrictivo que los otros nodos.

Ejemplo 3.5: (Ejemplo 4.10 en Holman, modificado). Una varilla de acero (k = 50 W/m.K)

de 3 mm de diámetro y 10 cm de largo, se encuentra inicialmente a 40 °C. En el tiempo

cero, se sumerge en un fluido con h = 50 W/m2.s y T∞ = 40 °C, mientras que uno de sus

extremos se mantiene a 200 °C. Determine la distribución de temperaturas en la varilla

después de 40 s. Las propiedades del acero son = 7800 kg/m3 y CP = 470 J/kg.K. Tome

z = 2.5 cm, t = 10 s. Use el método implícito. ¿Cuál será el tiempo necesario para

alcanzar el estado estacionario?

Figura 3.5. Ej 3.5: Nodos varilla de acero

MÉTODO ANALÍTICO

Se observa que, para el tiempo de simulación, usando el criterio de peneteración para

sólido semi-infinito, , con la longitud de esta aleta el tiempo máximo es 50 [s]. Por

esta razón la ecuación (3.5c) puede aplicarse. La distribución de temperaturas en estado

estable para una aleta de sección transversal constante, finita, con extremo convectivo se

obtiene con la expresión (Betancourt G., 2016), cap. 1):

.

t 1 * *

m 1 1T 1 2 t t t

m m mFo BiFoL T FoT FoT BiFoLT

*1/ 2Fo BiL

t 1 * *

1T 1 2 2 2 2t t

M M MFo BiFo BiFoL T FoT BiFo L T

*1/ 2 2Fo Bi BiL

2

z

200

40

sT C

T C

4321

2.5z cm

z z z z

4Pz t

]senh[)/(]cosh[

)](senh[)/()](cosh[

mLmkhmL

zLmmkhzLm

TT

TT

L

L

SS


A partir de la solución usando EES (ver código en la sección NOTAS al final del capítulo) se

obtienen los T[i;j] en la Tabla 3.5, la Figura 3.6 y los siguientes resultados:

x[i] m T[i;1] T[i;2] T[i;3] T[i;4] T[i;5]

10 s 20 s 30 s 40 s 50 s

0 200 200 200 200 200

0,025 60,2 83,31 97,29 106,4 112,9

0,05 40,38 44,82 51,7 58,47 64,43

0,075 40 40,2 41,25 43,22 45,71

0,1 40 40 40,07 40,34 40,9 Tabla 3.5. Resultados T[i;j]

alpha=0,00001364 m2/s A_z=0,00002827 m2

m = 0,004546 [1/s] Perímetro = 0,009425 [m]

q=18,26 [1/m]

Figura 3.6. Perfil de temperatura método analítico

Se observa que la onda de temperatura comienza a alcanzar el extremo para este tiempo.

0 0,025 0,05 0,075 0,10

50

100

150

200

z [m]

T(z

) [°

C]

Intervalos de 10 [s]

Perfil a los 10 [s]

Perfil a los 50 [s]

Perfil en estado estable


MÉTODO IMPLÍCITO

Usando un método numérico se hace el cálculo para una aleta finita (ver código en la

sección NOTAS), haciendo incrementos de tiempo de 1 [s] y de espacio de 1 [cm] se

obtiene la Tabla 3.6 para los T[i;j+1]:

x[i] T[i;1] T[i;2] T[i;3] T[i;4] T[i;5]

0 s 10 s 20 s 30 s 40 s

0 200 200 200 200 200

0,025 40 64,1 81,11 93,41 102,5

0,05 40 43,63 48,76 54,29 59,68

0,075 40 40,56 41,76 43,5 45,65

0,1 40 40,16 40,62 41,44 42,62 Tabla 3.6. Distribución de T con el método implícito

Para determinar el tiempo necesario para alcanzar el estado estable, se toma un tiempo de

simulación de 600 s, obteniéndose los siguientes resultados:

Bi=0,025 Fo=0,2182

L_car=8,333 p_f=600 [s]

q=18,26 [1/m]

Figura 3.7. Perfil de temperatura método implícito

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10

50

100

150

200

z [m]

T(z

) [°

C]

Intervalos de 50 [s]

Perfil a los 50 [s]

Perfil a los 300 [s]Perfil a los 300 [s]

Perfil en estado estable


Se hace notar que para el método explícito Fo debe ser menor que 0.44. Con el análisis

numérico se concluye que para tiempos mayores a 500 [s] los perfiles prácticamente se

superponen con el perfil de estado estable por lo que este valor del tiempo puede aceptarse

como el necesario para alcanzar el estado estable.

El flujo de calor en cualquier instante debe evaluarse aplicando la “Ley de Newton del

enfriamiento” a cada nodo, teniendo en cuenta que para el nodo cero el área para

convección es

2P z

y para el nodo cuatro es

2 zP z

A

.

3.4 Transferencia de calor en estado transitorio con generacion, simetria esferica

Se analiza el caso de un sistema con simetría esférica con generación uniforme de calor y

condición inicial no uniforme. Este análisis se hace resolviendo el modelo matemático, una

ecuación diferencial parcial no homogénea, tanto analítica como numéricamente. Como

aplicación práctica se aplica al manejo de materiales biológicamente activos como frutas y

verduras. Las ecuaciones resultantes en ambos casos se resuelven con ayuda del software

EES. Se adiciona un código en el software Matlab al final del capítulo.


Una esfera transfiriendo calor en estado transitorio con generación está descrita por el

siguiente modelo matemático:

. (3.6a)

La condición inicial, para t = 0, no uniforme: la distribución de temperaturas para una esfera

en estado estable con generación viene dada por:

. (3.6b)

En estas ecuaciones es energía generada, W/m3, k es conductividad térmica del sólido

W/m.K, es el coeficiente convectivo en el medio W/m2.K; R es el radio de la esfera, 0 ≤ r

≤ R es la variable radial, t es la variable tiempo, T son temperaturas y el subíndice 0 se

refiere a condiciones iníciales. Las condiciones de frontera o límite son: para r = 0,

y en la superficie convectiva, para

2

2

1 1

T Tr

t r r r k

2 2

0 0

06 3

RT T R r

k h

0h

T/ r 0 , r R


. (3.6c)

La ecuación (3.6a) es una ecuación diferencial parcial no homogénea. Para homogenizarla,

sabiendo que este proceso alcanza un nuevo estado estable para un tiempo

suficientemente grande, proponemos la solución como la diferencia entre la solución de

estado estable y una función transitoria . Debe cumplirse para la nueva condición de

estado estable que:

, (3.6d)

por lo cual

. (3.6e)

Haciendo , reemplazando en (3.6a) y restando de (3.6e) se obtiene

. (3.6f)

Haciendo cambio de variable la ecuación (3.6f) toma la forma

. (3.6g)

Esta ecuación tiene condiciones de frontera homogéneas por lo que puede resolverse por

el método de separación de variables. Suponemos que su solución es de la forma

. Al reemplazar en (3.6g) y reorganizando se tiene

, (3.6h)

donde es un número real. Se iguala a esta constante pues siendo cada lado función de

una variable diferente debe ser una constante. Esta constante es un número real y debe ser

una cantidad negativa para que no produzca soluciones triviales. De otra parte, este valor

es lógico pues la temperatura debe tener un valor finito cuando t aumenta indefinidamente.

Tenemos entonces dos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes

constantes. La primera, de primer orden se resuelve por separación de variables:

Tk h T T

r

eT tT

2

2

1 10

e eT Tr

t r r r k

2 2

6 3e

RT T R r

k h

e tT T T

2

2

1 1

t tT Tr

t r r r

tu T r

2

2

1

u u

t r

,u r t F r G t

22

2

1 1dG d F

G dt F dr


. (3.6i)

La segunda, de segundo orden

. (3.6j)

Usando el operador , esta ecuación tendrá por ecuación auxiliar

con solución , siendo i la unidad imaginaria . Entonces

, (3.6k)

CL1: t > 0 ; r = 0 ; = 0 = 0 para solución no trivial.

Condición límite 2: en r = R,

ya que G no depende de r.

Reemplazando:

,

Hemos reemplazado , numero de Biot.

Simplificando

. (3.6l)

Todos los valores de que satisfagan la ecuación trascendental (3.6l) constituyen una

solución particular de (3.6k). La solución más general se obtiene por superposición de las

soluciones particulares, a saber:

(3.6m)

es decir

2dGdt

G

2

1 exp( )G C t

22

20

d FF

dr

/D d dz 2 2 0D F

D i 1i

2 3 cos i r i rF Ae Be C sen r C r

F T r 3C

r Rr R

F hRF R F

r k

2 2 2sin cos sinC R RC R BiC R

/Bi hR k

1 cotn nR R Bi

n

2

21

, sin expn n

n

n

r tu r t C

R R


. (3.6n)

Aquí hemos reemplazado , Fourier, un tiempo adimensional y donde los

valores propios son las raíces de la ecuación trascendental ,

con , el número de Biot. La función propia de este problema de valor propio es

la función . , engloba las dos constantes de integración a

determinar. Aplicando la condición inicial (t = 0 ) y utilizando las propiedades

de ortogonalidad que presentan las funciones propias, multiplicamos ambos lados de

por e integramos:

. (3.6o)

Restando (3.6b) de (3.6e) se obtiene:

,

, (3.6p)

, (3.6q)

. (3.6r-i)

Hemos introducido . Cuando .

Recordando que podemos demostrar que:

2

1

sin /, exp

n

t n n

n

r RT r t C Fo

r

2/Fo t R

n nR 1 cotn n Bi

/Bi hR k

sin /nr R1 2nC C C

0 0t eT T T

,0tT r sin /nr r R

2

0

00

sin / sin /

RR

e n n nT T r r R dr C r R dr

0 0 0

0

1 1

3e

RT T T T A

h h

0 02 sin cos 2 sin

sin cos sin cos

n n n nn

n n n n n n n n

A R A RBiC

, ,e tT r t T r T r t

2 2

2

0

1

sin *sin2 exp

6 3 sin cos *

nnn

n n

R r rRT T BiA Fo

k h r

* /r r R

sin ** 0, 1

*

n

n

rr

r

2 2sin cos 1n n


. (3.6p-i)

Esta expresión puede ser más fácil de utilizar. Finalmente:

. (3.6r-ii)

Si la condición inicial es , , entonces (Carslaw, 1959) p.

246.

. (3.6s)

Esta es la distribución de temperatura en estado estable para una esfera con temperatura

cero en la superficie (lo que hace ), y en la superficie se intercambia

calor por convección con un medio a .

Por L’Hopital cuando r → 0, .

Ejemplo 3.4:.(Incropera 2007 p 186 modificado): Las características especiales de

materiales biológicamente activos, como las frutas, las verduras y otros productos,

requieren cuidado especial en su manejo. Luego de la cosecha, la glucosa se cataboliza

para producir bióxido de carbono, vapor de agua y calor. Consideremos una manzana cuyo

diámetro es de 80 mm con densidad = 840 kg/m3, capacidad calorífica 3600 J/kg.K y

conductividad térmica k = 0.513 W/m.K. Dentro de la manzana la energía térmica se genera

a razón de 4000 J/kg.día. Si la manzana había alcanzado estado estable en un medio a

= 5 °C con coeficiente h0 = 7.5 W/m2 K, determine la evolución de su temperatura durante

la primera hora después de haber sido trasladada a un congelador a 15 °C con

coeficiente convectivo h = 15 W/m2.K. Haga este seguimiento con la temperatura del centro

y la superficie de la manzana y muestre el perfil de temperaturas en diferentes tiempos.

Para usar la solución analítica, empleamos el código en EES (ver en sección NOTAS al

final del capítulo) y se obtuvieron los siguientes resultados:

alpha=1,696E-07 m2/s Ao=-20,03

0

2

2

1 sinn

n n

A RBiC

Bi Bi

2 2 2

0 21 n

exp sin *2

6 3 *1 sin

n n

n n

R r Fo rRT T BiA

k h rBi Bi

2 2

06

T R rk

0

3

RA T

h

2 2 2

21 n

exp sin *1 2

6 3 *1 sin

n n

n n

R r Fo rRT T Bi

k h rBi Bi

0 00 y T h

T

sin *

*

n

n

r

r

0T


Bi=1,17 Fo=0,3817

PHI=38,89 T=-5,895 [C]

time=3600 [s]

Figura 3.8. Distribución de temperatura de la manzana a diferentes tiempos

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

r

T

[C]

t=900 [s]

t=1800 [s]

t=3600 [s]

t=2700 [s]


Figura 3.9. Distribución de temperatura en la manzana (esfera con generación) a según el r*

Por el método de Crank Nicolson se utilizan las ecuaciones (4.22), (4.23) y (4.24) del

capítulo de métodos numéricos (ver código en la sección NOTAS al final del capítulo) y se

obtiene la Figura 3.10 con los siguientes resultados:

Bi=0,1462 DELTAr=0,005 [m]

DELTAt=60 [s] Fo=0,4071

gen=38,89 [W/m3]

0 600 1200 1800 2400 3000 3600-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

time [s]

T °

CEsfera con Generación

r* = 0

r* = 0,5

r* = 1,0

Cálculo analítico con 60 términos


Figura 3.10. Perfil de temperatura método Crank Nicolson

Para el método explícito, el numero máximo de Fourier viene dado por la condición de

estabilidad del nodo central que en este caso es 0.1667, razón por la cual la selección del

paso de tiempo y espacio asumida en este ejemplo no se deben utilizar en el método

explícito.

Es de resaltar que para situaciones en las cuales se modifica ligeramente el modelo

matemático, por ejemplo, la condición inicial se vuelve constante , en lugar de ser

parabólica, la solución analítica debe reformularse por completo pues los coeficientes Cn

cambian así:

A este resultado se llega después de un laborioso proceso similar al que nos llevó a las

ecuaciones (3.6r-i y 3.6 r-ii). Sin embargo, para los métodos numéricos basta modificar los

valores en el tiempo cero y el mismo código nos da los resultados requeridos.

El ejemplo de aplicación se concibió para un caso frecuente en exportación de alimentos u

otros productos vegetales, pero este modelo también es aplicable en el caso de extirpación

de tumores usando técnicas de radiación o en situaciones vinculadas con tratamiento de

desechos radioactivos.

0 0,01 0,02 0,03 0,04-10

-5

0

5

10

r [m]

T [

°C]

Intervalos de 10 [min]

Perfil inicial

Perfil a 60 [min]

0T

2

02

sin2

sin cos

nn

n n n n

RC Bi T T

k

286 NOTAS SISTEMAS CON GENERACIÓN

NOTAS CAPÍTULO 3. CÓDIGOS DE PROGRAMACIÓN Ejemplo 3.1

PLACA PLANA SIMETRICA CON GENERACION TEMPERAURA INICIAL PARABÓLICA CODIGO SOLUCION ANALITICA $UnitSystem SI mass C Pa Rad J $TABSTOPS 0.2 0.4 0.6 0.8 3.5 in T_infinity=250 [C]: Fi_1=1e7 [W/m^3]: Fi_2=2e7 [W/m^3]: k=30 [W/m-C]: h=1100 [W/m^2-C] L=0,01 [m]: alpha=5e-6 [m^2/s] time=500 [s]{: z_hat=0,5} T_o=a*(1-z_hat^2)+T_so T_so=Fi_1*L/h+T_infinity a=Fi_1*L^2/2/k "Valores propios para la ecuación (lambda_n)tan(lambda_n) = Bi" N=10 duplicate i=1;N lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-8 upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi/2 guess[i]=lowerlimit[i]+pi/4 end Bi=h*L/k "k del sólido" duplicate i=1;N 1/tan(lambda[i])=lambda[i]/Bi end "Vaya a Menú Options- Variable Info-Show array variables-array se le quita el v y en guess para lambda[] se coloca guess[], y en lower y upper limit se coloca lowerlimit[] y upperlimit[]. Así se delimitan los intervalos de cálculo para cada valor propio. De otra forma calcula todos los valores iguales. Recuerde que cero no es un valor propio" "Evaluación de los coeficientes Cn" duplicate i=1;N A[i]=2*((T_so-T_infinity)-Fi_2*L/h-Fi_2*L^2/k/lambda[i]^2+2*a/lambda[i]^2)*sin(lambda[i]) B[i]=4*L^2/lambda[i]*(Fi_2/2/k-a/L^2)*cos(lambda[i]) C[i]=(A[i]+B[i])/(lambda[i]+sin(lambda[i])*cos(lambda[i])) end "Historia tiempo-posición de la temperatura de la placa" Fo=alpha*time/L^2 z_hat=z/L duplicate i=1;N theta[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo)*cos(lambda[i]*z_hat) end theta_zt=sum(theta[1..N]) T=T_infinity+theta_zt+Fi_2*L^2/2/k*(1-z_hat^2)+Fi_2*L/h


CODIGO METODO CRANK NICOLSON $UnitSystem SI mass C Pa Rad J $TABSTOPS 0.2 0.4 0.6 0.8 3.5 in "Inputs" T_infinity=250 [C]: PHI_1=1e7 [W/m^3]: PHI_2=2e7 [W/m^3]: k=30 [W/m-C]: h=1100 [W/m^2-C] L=0,01 [m]: alpha=5e-6 [m^2/s] T_so=PHI_1*L/h+T_infinity a=PHI_1/2/k G=PHI_2*alpha*DELTAtime/k "Setup grid" N=11 [-] "number of nodes" DELTAx=L/(N-1) "distance between adjacent nodes" duplicate i=1;N x[i]=(i-1)*DELTAx "position of each node" end "alpha=k/rho/Cp" "Setup time steps" U= 101 [-] "number of time steps" t_sim=300 [s] "simulation time" DELTAtime=t_sim/(U-1) "time step duration" duplicate j=1;U time[j]=(j-1)*DELTAtime end Fo=alpha*DELTAtime/(DELTAx)^2 "Fourier para diferencias finitas" Bi=h*DELTAx/k "Biot para diferencias finitas" duplicate i=1;N T[i;1]= a*(L^2-(x[i])^2)+T_so "initial condition" end "Move through all of the time steps" duplicate j=1;(U-1) "Move through all of the space steps" "node 1" (1+Fo)*T[1;j+1]-Fo*T[2;j+1]=(1-Fo)*T[1;j]+Fo*T[2;j]+G "internal nodes" duplicate i=2;(N-1) -Fo*T[i-1;j+1]+(2+2*Fo)*T[i;j+1]-Fo*T[i+1;j+1]=Fo*T[i-1;j]+(2-2*Fo)*T[i;j]+Fo*T[i+1;j]+2*G end "node N" (1+Fo+Bi*Fo)*T[N;j+1]-Fo*T[N-1;j+1]=2*Bi*Fo*T_infinity+(1-Fo-Bi*Fo)*T[N;j]+Fo*T[N-1;j]+G end Ejemplo 3.2 REACCION QUIMICA HOMOGENEA EN MEDIO SEMIINFINITO. PERIODO NO ESTABLE Note la técnica de generación de curvas múltiples sin recurrir previamente a la tabla parametrica.


$UnitSystem SI Mass C Pa J Rad M_A=c_As*sqrt(D_AB*t_o)*((sqrt(k_hat*t_o)+1/2/(sqrt(k_hat*t_o))*erf(sqrt(k_hat*t_o)& +1/pi^0,5*exp(-(sqrt(k_hat*t_o)))))) P=101325 [Pa] k_hat=35 [1/s] D_AB=1,5e-9 [m^2/s] H=2,961e-7 [kgmol/m^3-Pa] t_o=0,01[s] c_As=P*H "Datos" P=101320 [Pa] "Presion parcial del CO_2" k'=35 [1/s] "Reaccion de primer orden" D_AB=1,5e-9 [m^2/s] "Difusividad" H=2,961e-7 [kgmol/m^3-Pa] "Constante de Henry" N=16: x_sim=1,5e-5 [m] DELTAx=x_sim/(N-1) duplicate i=1;N x[i]=(i-1)*DELTAx end M=5 t_sim=0,01 [s] DELTAt=t_sim/M "Intervalo de tiempos" duplicate j=1;M t[j]=j*DELTAt end "Utilizando la Ley de Henry" C_s=P*H [kgmol/m^3] "Concentracion superficial del CO2" M_CO_2=C_s*sqrt(D_AB*t_sim)*(((sqrt(k*t_sim)+1/(2*sqrt(k*t_sim)))*erf(sqrt(k*t_sim))+& (1/sqrt(pi)*exp(-k*t_sim)))) "ecuación (3.3c-i)" "ecuación (3.3b-i)" duplicate j=1;M duplicate i=1;N C[i;j]/C_s*2=exp(-x[i]*sqrt(k/D_AB))*erfc((x[i]/(2*sqrt(D_AB*t[j]))-sqrt(k*t[j])))+exp(x[i]*sqrt(k/D_AB))*erfc((x[i]/(2*sqrt(D_AB*t[j]))+sqrt(k*t[j]))) end end Ejemplo 3.3

ALETA TRANSITORIA Método analítico

Se generan las curvas con una sola orden que puede servir para la creación de gráficos

secuenciales.


$UnitSystem SI Mass C rad Pa J "datos" T_inicial=40 [C] "temperatura inicial" T_infinity=40 [C] "temperatura alrededores" h_infinity=50 [W/m^2-K] "coeficiente convectivo del fluido" T_s=200 [C] "temperatura de la base" L=10*convert(cm;m) "longitud de la varilla" k=50 [W/m-K] "conductividad varilla de acero" rho=7800 [kg/m^3] "densidad del acero" C_p=470 [J/kg-K] "capacidad calorifica del acero" Diametro=3,0*convert(mm;m) "diametro de la barra" Pe=pi*Diametro "perímetro" DELTAx=L/(N-1) "datos hallados del sistema" alpha=k/(rho*C_p) "difusividad del solido" A_z=pi*(Diametro)^2 "area perpendicular a z" m=(Pe*h_infinity)/(rho*C_p*A_z) "ecuación 5" "malla de nodos" N=5[-] "numero de nodos" duplicate i=1;N x[i]=(i-1)*DELTAx end "tiempo" U=5[-] "numero de pasos de tiempo" t_sim=40 [s] DELTAtime=t_sim/(U-1) "Intervalo de tiempo" duplicate j=1;U time[j]=j*DELTAtime end "Perfil de temperaturas" duplicate j=1;U duplicate i=1;N "ecuación (2c)" Theta[i;j]/Theta_s*2=exp(-x[i]*sqrt(m/alpha))*erfc((x[i]/(2*sqrt(alpha*time[j]))-& sqrt(m*time[j])))+exp(x[i]*sqrt(m/alpha))*erfc((x[i]/(2*sqrt(alpha*time[j]))+sqrt(m*time[j]))) Theta[i;j]=T[i;j]-T_infinity end end Theta_s=T_s-T_infinity Método implícito "METODO IMPLICITO" "Datos del sistema" T_inicial=40 [C]*convert(C;K) "temperatura inicial" T_s=200 [C]*convert(C;K) "temperatura de la base" h=50[W/m2*K] "conductividad del fluido" T_infinity=40 [C]*convert(C;K) "temperatura del fluido" p_f=600 [s] "tiempo de simulacion" k=50[W/m*K] "conductividad varilla de acero" rho=7800 [kg/m3] "densidad del acero"


C_p=470[J/kg*K] "capacidad calorifica del acero" L=10[cm]*convert(cm;m) "longitud de la varilla" DELTAz=2,5*convert(cm;m) "posición actual" DELTAp=10[s] "tiempo actual" Diametro=3,0 [mm]*convert(mm;m) "diametro de la varilla" "datos hallados del sistema" Bi=(h*DELTAz)/k "Biot del fluido" alpha=k/(rho*C_p) "alfa del solido" Fo=(alpha*DELTAp)/DELTAz^2 "Forier" Pe=pi*Diametro "perimetro del cilindro" S=Pe*DELTAz " area de la superficie" A_z=pi*(Diametro)^2 "area perpendicular a z" L_car=S/A_z "relacion de areas" "malla de nodos" N=L/DELTAz+1 [-] "numero de nodos" duplicate i=1;N z[i]=(i-1)*DELTAz "posicion de cada nodo" end "tiempo" U=p_f/DELTAp+1 [-] "paso en el tiempo" duplicate j=1;U time[j]=(j-1)*DELTAp end "condicion inicial" duplicate i=2;N T[i;1]=T_inicial end "condicion de frontera" duplicate j=1;U T[1;j]=T_s end "nodos internos, 2,3,4" duplicate j=1;U-1 duplicate i=2;N-1 -Fo*T[i-1;j+1]+T[i;j+1]*(1+2*Fo+Bi*Fo*L_car)-Fo*T[i+1;j+1]=T[i;j]+Bi*Fo*L_car*T_infinity end "nodo extremo, 5" (1+2*Fo+Bi*Fo*L_car+2*Bi*Fo)*T[N;j+1]-2*Fo*T[N-1;j+1]=T[N;j]+(2*Bi*Fo+Bi*Fo*L_car)*T_infinity end "Estado estable" M=5 DELTAx=L/(M-1) duplicate i=1;M x[i]=(i-1)*DELTAx end "Estado estable" Theta_s=T_s-T_infinity duplicate i=1;M Thetae[i]/Theta_s=(cosh(q*(L-x[i]))+h/q/k*sinh(q*(L-x[i])))/(cosh(q*L)+h/q/k*sinh(q*L)) Thetae[i]=Te[i]-T_infinity end q=sqrt(Pe*h/k/A_z) Ejemplo 3.4


MANZANA TRANSITORIA Método analítico "Función que contiene el condicional que si r_hat~=0 se use la ecuación modificada para evitar la indeterminación" function theta(C;lambda;Fo;r_hat) if r_hat<1e-6 Then "Aproximadamente cero" theta=C*exp(-lambda^2*Fo) Else theta=C*exp(-lambda^2*Fo)*sin(lambda*r_hat)/(lambda*r_hat) endif end Bi=h*Rs/k "k del sólido" r_hat=r/Rs Fo=alpha*time/Rs^2 alpha=k/rho/Cp Rs=40e-3 [m]: rho=840 [kg/m^3]: Cp=3600 [J/kg-K]: k=0,513 [W/m-K] PHI=4000*840*convert(J/m^3-day;W/m^3): r_hat=0 T_infinityo=5 [C]: ho=7,5 [W/m^2-K]: time=3600 [s]: T_infinity=-15 [C]: h=15 [W/m^2-K] "Valores propios para la ecuación lambda[i]=(1-Bi)*tan(lambda[i])" $UnitSystem SI mass C Pa Rad J N=5 duplicate i=1;N lowerlimit[i]=pi*(i-1)+1e-6 "cero no es un valor propio" upperlimit[i]= lowerlimit[i]+pi guess[i]= lowerlimit[i]+pi/2 end duplicate i=1;N lambda[i]=(1-Bi)*tan(lambda[i]) end "Menú Options- Variable Info-Show array variables-array se le quita el v y en guess para lambda[] se coloca guess[]. De otra forma calcula todos los valores iguales. Recuerde que cero no es un valor propio" "Evaluación de los coeficientes Cn" duplicate i=1;N C[i]=sin(lambda[i])/(lambda[i]-sin(lambda[i])*cos(lambda[i])) end "Historia tiempo-posición de la temperatura de la esfera, ecuación (12)" duplicate i=1;N theta[i]=theta(C[i];lambda[i];Fo;r_hat) "se llama a la función" end theta_rt= sum(theta[1..N]) Ao=(T_infinity-T_infinityo)+PHI*Rs/3*(1/h-1/ho) T-T_infinity=FI*(Rs^2-r^2)/6/k+PHI*Rs/3/h-2*Bi*Ao*theta_rt


theta_rt=sum Método numérico Crank Nicolson "estado transitorio simetría esférica con generación" rho = 840 C_p= 3600 k= 0,513 gen= 38,89 h_inf= 15 R= 0,040 T_inf= -15 T_s= 5 t_sim= 3600 [s] N= 9 DELTAr= R/(N-1) Bi= (h_inf * DELTAr)/k M=61 DELTAt= t_sim/(M-1) Fo = alpha*DELTAt/(DELTAr)^2 alpha=k/(rho*C_p) duplicate i=2;N r_m[i]=DELTAr*(i-1) a_1[i]= (1- (DELTAr/r_m[i])+(DELTAr^2)/(4*r_m[i]^2)) a_2[i]=(1+(DELTAr/r_m[i])+(DELTAr^2)/(4*r_m[i]^2)) b[i]= (1+(DELTAr^2)/(4*r_m[i]^2) ) end "Malla de tiempo" duplicate j=1;M t[j]=(j-1) * DELTAt end "Malla de nodos" duplicate i=1;N x[i]= (i-1) * DELTAr end "condicion inicial" duplicate i=1;N T[i;1]=T_s+(gen/3)*((r/h_inf)+(r^2-x[i]^2)/(2*K)) end "Nodo interno" duplicate j=1;M-1 duplicate i=2;(N-1) -Fo*a_1[i]*T[i-1;j+1]+(2+2*b[i]*Fo)*T[i;j+1]-Fo*a_2[i]*T[i+1;j+1]=Fo*a_1[i]*T[i-1;j]+(2-2*b[i]*Fo)*T[i;j]+Fo*a_2[i]*T[i+1;j]+(2*(gen*DELTAt)/(C_p*rho)) end end "Nodo central con generacion N=0"


duplicate j=1;(M-1) (1+3*Fo)*T[1;j+1]-3*Fo*T[2;j+1]=(1-3*Fo)*T[1;j]+3*Fo*T[2;j]+(gen*DELTAt)/(C_p*rho) end "Nodo convectivo" duplicate j=1;(M-1) (1+Fo*a_1[N]+Bi*Fo)*T[N;j+1]-Fo*a_1[N]*T[N-1;j+1]=Fo*a_1[N]*T[N-1;j]+(1-Fo*a_1[N]-Bi*Fo)*T[N;j]+2*Bi*Fo*T_inf+(gen*DELTAt)/(C_p*rho) end CÓDIGO MATLAB PLACA CON GENERACIÓN %Método Crank Nicolson para la conducción en una placa %con generación y condiciones convectivas. clear all disp('El Metodo Crank Nicolson para la conduccion en una') disp('placa con generación y condiciones convectivas.') disp('Enter para continuar'); pause lon=input('longitud de media placa simétrica [m]. '); alfa=input('difusividad térmica [m^2/s]. '); ko=input('conductividad térmica [W/m*K]. '); h=input('coeficiente convectivo [W/m^2*K]. '); fi=input('generación (cambio repentino) por unidad de volumen [W/m^3]. '); Tinf=input('temperatura de fluido [°C]. '); nid=input('número de divisiones en la placa. '); tt=input('tiempo total.[s] '); fio=1e7;%generación inicial por unidad de volumen [W/m^3]. del=lon/nid;%incremento de longitud. z=0:del:lon; disp('** los dz son:**'); disp(z); Ts=Tinf+fio*lon/h;%temperatura de superficie [°C]. Ts2=Tinf+fi*lon/h;%temperatura final de superfície. disp('fio = generación inicial por unidad de volumen [W/m^3].'); disp('lon = longitud de media placa simétrica [m]. '); disp('ko = conductividad térmica [W/m*K]. '); disp('z = vector que contiene cada uno de los incrementos en longitud'); disp(' de la placa (desde 0 hasta lon) dado en [m].'); disp('Ts = temperatura de superficie [°C].'); disp('** Seleccione, copie y pegue el perfil inicial **'); To=input('Perfil inicial °T[°C](fio*lon^2/(2*ko)).*(1-(z./lon).^2)+Ts '); disp('Seleccione y copie el perfil para Temp. final'); Tfinal=input('Perfil final °T[°C](fi*lon^2/(2*ko)).*(1-(z./lon).^2)+Ts2 '); r=length(z)+1; disp('** Perfil inicial **'); disp(To); To=To'; Bi=h*del/ko;%número de biot para las diferencias finitas. Fox=1/(1+Bi);%número de fourier máximo. deltx=Fox*(del^2)/alfa;%delta t máximo [s]. disp('el delta t máximo es') disp(deltx) pause


dt=input('ingrese nuevo delta t,cumpliendo el criterio de estabilidad '); Fo=alfa*dt/del^2;%fourier que cumple con la estabilidad. nit=tt/dt; %numero de intervalos de tiempo delt=0:dt:length(tt); %Programa para calcular del perfil de temperaturas usando %la matriz tridiagonal que ofrece matlab. m=length(To); L=Fo; dc;%Matriz [A]. W=C; Tant=To; t=0; tiempo(1)=t; for k=1:nit t=t+dt; tiempo(k+1)=t; L=-Fo; dc;%Matriz [C]. B=C; a=2*(fi*alfa*dt/ko)+B*Tant; a(1)=Tant(1)*(1-Fo)+Fo*Tant(2)+fi*alfa*dt/ko; a(m)=2*Bi*Fo*Tinf+(1-Bi*Fo-Fo)*Tant(m)+Fo*Tant(m-1)+fi*dt*alfa/ko; Tant=W\a; T(:,k)=[Tant]; end Tf=[To T]; x=[1:1:m-1]; xp=del.*x; X=[0 xp]'; %Escoger los perfiles a graficar %nn=0; %kk=2; %Tr(:,1)=Tf(:,1); %for i=1:length(Tf(1,:)) % if nn==4 % Tr(:,kk)=Tf(:,i); % tg(kk)=tiempo(i); % kk=kk+1; % nn=0; % end % nn=nn+1; %end %H=num2str(tg'); hold on plot(X,Tf,'b',X,Tfinal,'r'); xlabel('ancho de la placa [m]'); ylabel('Temperaturas [°C]') text(0.001,352,'Tiempo 0');


text(0.004,465,'Tiempo infinito'); pause plot(delt,T);xlabel('tiempo <seg>');ylabel('Temperatura <°C>'); %------------------------SOLUCION-ANALÍTICA------------------------% %Bio=h*lon/ko;%número de biot para la solución analítica. %lamda=[0.5711 3.2539 6.3410 9.4635]; %sols; %A=[-107.79 0.216 -0.0167 0.00304]; %lam=lam'; %cr; %coa; %u=0; %for f=1:length(X) % u=u+1; % Tana=A.*cos(lam.*X(f)/0.01).*exp(-0.05.*(lam.^2).*tt); % com=-(3.333e5*X(f)^2)+465.15; % Tzt=sum(Tana)+com; % Tan(u,1)=Tzt; % end % plot(X,Tan,'y*:') % hold off %----------------------------------- CODIGO EN MATLAB PARA EL EJEMPLO ALETA TRANSITORIA: Programa “aletao” 1. Escribiendo en la ventana del command Windows la palabra aletao y posteriormente pulsando la

tecla enter el programa comenzará a pedir, en su orden, las siguientes variables, que deberá ingresar como se indica:

lon = longitud de la aleta [m]. = 0.1 m diam = diámetro de la varilla [m]. = 3e-3 m rho = Densidad del acero [kg/m^3]. = 7800 kg/m^3 Cp = Capacidad calorífica del acero [J/kg.K]. = 470 J/kg.K ko = conductividad térmica [W/m*K]. = 50 W/m*K h = coeficiente convectivo [W/m^2*K]. = 50 W/m^2*K Tinterna = Temperatura constante en la base de la placa [°C]. = 200 °C Tinfi = temperatura de fluido [°C]. = 40 °C nid = número de divisiones en la placa. = 4 tt = tiempo total.[s] = 40 s dt = Introduzca intervalo de tiempo<s> = 10 s

2. Entonces se procederá a calcular:

La difusividad térmica [m^2/s], alfa=ko/(rho*Cp).

Incremento de longitud o z, del=lon/nid = 0.0250 m. 3. Se creará el vector de incrementos en longitud, constituido por cada una de las distancias

correspondientes a cada nodo. z = 0:del:lon = [0 0.0250 0.05 0.075 0.1].

4. Entonces, en el command window aparecerá el siguiente mensaje: La ecuación del perfil inicial en función de z debe de escribirse con un punto (.) antes de cualquier multiplicación o división.

Puesto que el perfil inicial de Temperaturas es una función dependiente de la longitud y para generar el conjunto total de temperaturas se requieren cada una de las distancias correspondientes a cada


nodo, debemos de operar vectorialmente el perfil de temperaturas, utilizando el perfil z, creado en el numeral 3. 5. Obtenemos el vector To que es el perfil inicial de temperaturas en cada nodo de la forma: Por ejemplo: To = a .* z + b To = a .* [0 0.0250 0.05 0.075 0.1] + b Donde a y b son constantes.

El comando “.*” indica operación matricial, de manera análoga, sí la ecuación del perfil inicial llevara una división, el comando a utilizar sería “./”, que indica división entre matrices.

6. Se calcula el número de Biot y Fourier que son mostrados en el command window, posteriormente se pulsa enter para continuar. 7. El número de intervalos de tiempo es hallado dividiendo el tiempo total entre los incrementos de tiempo, así como también la longitud característica (variable Laz). 8. El programa di_aleta_convectiva es llamado para conformar la matriz tridiagonal que es función de los números adimensionales hallados en el numeral 6, de acuerdo con el tipo de ecuación utilizada para cada nodo y el método de diferencias finitas empleado. Dicho programa utiliza el comando “diag”, ofrecido por matlab, para ensamblar la matriz tridiagonal de una forma adecuada. 9. El programa entra a una subrutina en la cual se obtiene el perfil de temperaturas para cada instante de tiempo y un vector constituido por cada uno de los deltas de tiempo hasta llegar al tiempo total, que en este caso sería: t = [0 10 20 30 40] s. Por cada corrida de dicha subrutina ella opera realizándole la inversa de la multiplicación entre dos matrices:

“a” (términos constantes de las ecuaciones en diferencias finitas para cada nodo) y “W” (correspondiente al la matriz tridiagonal). De la forma: To = (W .* a)^ (-1).

10. Conformación de los vectores Tf (historia de temperaturas, generado del numeral 9) y X

(distancias correspondientes para cada nodo) que el programa utilizará para graficar los perfiles Tf en el eje de las ordenadas y X en el eje de las abscisas. El programa muestra la tabla del resumen de temperaturas y después de pulsar la tecla enter aparecerá la grafica del perfil de temperaturas. El código del programa es: %Ejemplo de una varilla de acero resuelto por el... %metodo implícito para la conduccion y convección en una aleta disp('Ejemplo de una varilla de acero, resuelto por el metodo') disp('implícito para la conduccion convección.') clear all lon=input('longitud de la aleta [m]. '); diam=input('diametro de la varilla [m]. '); rho=input('Densidad del acero [kg/m^3]. '); Cp=input('Capacidad calorifica del acero [J/kg.K]. '); ko=input('conductividad térmica [W/m*K]. '); h=input('coeficiente convectivo [W/m^2*K]. '); Tinterna=input('Temperatura constante en la base de la placa [°C]. '); Tinfi=input('temperatura de fluido [°C]. '); nid=input('número de divisiones en la placa. '); tt=input('tiempo total.[s] ');


dt=input('Introduzca intervalo de tiempo<s>='); alfa=ko/(rho*Cp);%difusividad térmica [m^2/s]. del=lon/nid;%incremento de longitud. z=0:del:lon; tam=length(z)-1; disp('La ecuación del perfil inicial en función de z debe de escribirse') disp('con un punto (.) antes de cualquier multiplicación o división.') Perfil_To=input('Ecuación Perfil Temperatura inicial f(z) T[°C]. ');%200;% tama=length(Perfil_To); if tama>1 To=Perfil_To; else To=ones(1,tam)*Perfil_To; end To=To'; Bi=h*del/ko;%número de biot para las diferencias finitas. disp('Número de Biot='); disp(Bi); Fo=alfa*dt/del^2; %número de Fourier disp('Número de Fourier'); disp(Fo); disp('Enter para continuar'); %pause nit=tt/dt; %numero de intervalos de tiempo %Programa para calcular del perfil de temperaturas usando %la matriz tridiagonal que ofrece matlab. m=length(To); L=Fo; Laz=4*(pi*diam*del)/(pi*diam^2); di_aleta_convectiva;%Matriz [A]. C(m,:)=[zeros(1,m-2) -2*Fo (1+2*Fo+2*Bi*Fo+Bi*Fo*Laz)]; W=C; Tant=To; t=0; tiempo(1)=t; for k=1:nit t=t+dt; tiempo(k+1)=t; a=Tant+(Bi*Fo*Laz*Tinfi); a(1)=Tant(1)+(Bi*Fo*Laz*Tinfi)+200*Fo; a(m)=(2*Bi*Fo+Bi*Fo*Laz)*Tinfi+Tant(m); Tant=W\a; T(:,k)=[Tant]; Tg(:,k)=[Tinterna;Tant]; end Too=[Tinterna;To]; Tf=[Too Tg]; x=[1:1:m]; xp=del.*x; X=[0 xp]'; Tfz=Tf'; disp('Tabla resumen de las temperaturas'); disp(Tfz(2:end,:)); disp('enter para continuar'); %pause


plot(X,Tf(:,2:end),'b');xlabel('Largo de la aleta [m]');ylabel('Temperaturas [°C]'); orient landscape %pause %close %------------------------------------------------------------------------------% Programa Auxiliar: %programa para construir la matriz tridiagonal utilizada en el %método Implícito para una aleta convectiva. C=diag((1+2*L+Bi*L*Laz).*ones(m,1)) + diag(-L.*ones((m-1),1),1) + diag(-L.*ones((m-1),1),-1); Usando este programa, podemos fácilmente resolver el problema de la aleta transitoria finita o infinita con diferentes condiciones iniciales. El siguiente gráfico se obtiene para 100 nodos a intervalos de tiempo de 5 segundos, mostrando además la tendencia teórica para un tiempo infinito. CODIGO EN MATLAB PARA ESFERA CON GENERACION: Principal01 clc, clear all, close all, %% Programa desarrollado por: % Ramiro Betancour Grajales [email protected] % Sandra Milena López Zamora [email protected] global Fo Genera dt ro alpha k Cp Tinf Bi dr rs a_mas_s a_menos_s bs Lc Tinf0 h0 %% ::::::::::::::::::::::::::: Propiedades físicas y temperaturas iniciales prompt={'Conductividad térmica (k) <W/(m K)>','Densidad (/rho) <kg/m^3>','Capacidad calorífica (Cp) <J/(kg K)>',... 'Radio de la esfera (R) <m>','Generación de calor <W/(m3)>','Temperatura del medio inicial (T_{inf 0}) <°C>',... 'Coeficiente convectivo del medio inicial (h_0) <W/(m2 K)>','Temperatura del medio (T_{inf}) <°C>','Coeficiente convectivo del medio (h) <W/(m2 K)>'}; title1='Por favor ingrese los valores requeridos:'; numlines=1; defaultanswer={'0.513','840','3600','(80/2)/1000','(4000/(24*3600))*840','5','7.5','-15','15'}; options.Resize='on'; options.WindowStyle='normal'; options.Interpreter='tex'; F1=inputdlg(prompt,title1,1,defaultanswer,options); k=str2num(F1{1}); ro=str2num(F1{2}); Cp=str2num(F1{3}); Lc=str2num(F1{4}); Genera=str2num(F1{5}); Tinf0=str2num(F1{6}); h0=str2num(F1{7}); Tinf=str2num(F1{8}); h=str2num(F1{9}); %% :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Valores solicitados prompt={'Lugar dónde se desea conocer la temperatura (r) (puede ser un vector) ','Tiempo (puede ser vector)'}; title1='Por favor ingrese los valores requeridos:'; numlines=1; defaultanswer={'[0:(10)/1000:(80/2)/1000]','[0:200:3600]'}; options.Resize='on'; options.WindowStyle='normal'; options.Interpreter='tex'; F2=inputdlg(prompt,title1,1,defaultanswer,options); z=str2num(F2{1}); t=str2num(F2{2}); % %% ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Solución Analítica tic; for ii=1:length(z) T=zeros(1,length(t)); for jj=1:length(t)


[T(jj)]=perfil(Tinf0,Tinf,k,ro,Cp,h,Lc,Genera,t(jj),z(ii),h0); Ts(ii,jj)=T(jj); end figure(1) plot(t,T) A=num2str(z(ii)); zetica=['r = ' A]; B=ceil(length(t)/2); text(t(B),T(1,B),zetica) hold on end xlabel('tiempo <segundos>') ylabel('Temperatura °C') title('Solución Analítica') grid on disp('La temperatura es:') disp(Ts) disp('para z=') disp(z) disp('y para t=') disp(t) toc; disp('El tiempo usado por el programa una vez se ingresan todos los valores es de: <seg> ') disp(toc) %% :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Solución numérica %:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Valores solicitados prompt={'Número de nodos para el radio ','Tiempo total','Número de nodos para el tiempo'}; title1='Por favor ingrese los valores requeridos:'; numlines=1; defaultanswer={'9','3600','100'}; options.Resize='on'; options.WindowStyle='normal'; options.Interpreter='tex'; F2=inputdlg(prompt,title1,1,defaultanswer,options); mmm=str2num(F2{1}); t=str2num(F2{2}); nnn=str2num(F2{3}); dt=t/(nnn-1); dr=Lc/(mmm-1); alpha=k/(ro*Cp); Fo=alpha.*dt./(dr.^2); Bi=h*dr/k; rs=[0:dr:Lc]; ts=[0:dt:t]; a_mas_s=1+(dr./rs)+(dr^2./(4.*rs.^2)); a_menos_s=1-(dr./rs)+(dr^2./(4.*rs.^2)); bs=1+(dr^2./(4.*rs.^2)); %% ::::::::::::::::::::::::::::::::: Método de diferencias finitas: Explicito [Temps]=Explicito(mmm, nnn); for ii=1:length(rs) figure(2) plot(ts, Temps(ii,:),'b') hold on text(ts(ceil(nnn/2)),Temps(ii,ceil(nnn/2)),['r = ', num2str(rs(ii))]) end xlabel('Tiempo (seg)') ylabel('Temperatura (°C)') title('Método de diferencias finitas: Explicito') grid on


figure(3) plot(rs,Temps(:,1),'b', rs,Temps(:,ceil(nnn/2)),'g', rs,Temps(:,end),'r'); hold on text(rs(ceil(mmm/2)),Temps(ceil(mmm/2),1),['t = ', num2str(ts(1))]) text(rs(ceil(mmm/2)),Temps(ceil(mmm/2),ceil(nnn/2)),['t = ', num2str(ts(ceil(nnn/2)))]) text(rs(ceil(mmm/2)),Temps(end,ceil(nnn/2)),['t = ', num2str(ts(end))]) xlabel('Radio (m)') ylabel('Temperatura (°C)') title('Método de diferencias finitas: Explicito') grid on for jj=1:length(ts) figure(31) plot(rs, Temps(:,jj),'b') hold on text(ts(ceil(mmm/2)),Temps(ceil(mmm/2),jj),['t = ', num2str(ts(jj))]) end xlabel('Radio (m)') ylabel('Temperatura (°C)') title('Método de diferencias finitas: Explicito') grid on %% ::::::::::::::::::::::::::::::::: Método de diferencias finitas: Implicito [Temps2]=Implicito(mmm, nnn); for ii=1:length(rs) figure(4) plot(ts, Temps2(ii,:),'g') hold on text(ts(ceil(nnn/2)),Temps2(ii,ceil(nnn/2)),['r = ', num2str(rs(ii))]) end xlabel('Tiempo (seg)') ylabel('Temperatura (°C)') title('Método de diferencias finitas: Implicito') grid on figure(5) plot(rs,Temps2(:,1),'b', rs,Temps2(:,ceil(nnn/2)),'g', rs,Temps2(:,end),'r'); hold on text(rs(ceil(mmm/2)),Temps2(ceil(mmm/2),1),['t = ', num2str(ts(1))]) text(rs(ceil(mmm/2)),Temps2(ceil(mmm/2),ceil(nnn/2)),['t = ', num2str(ts(ceil(nnn/2)))]) text(rs(ceil(mmm/2)),Temps2(end,ceil(nnn/2)),['t = ', num2str(ts(end))]) xlabel('Radio (m)') ylabel('Temperatura (°C)') title('Método de diferencias finitas: Implicito') grid on for jj=1:length(ts) figure(41) plot(rs, Temps2(:,jj),'b') hold on text(ts(ceil(mmm/2)),Temps2(ceil(mmm/2),jj),['t = ', num2str(ts(jj))]) end xlabel('Radio (m)') ylabel('Temperatura (°C)') title('Método de diferencias finitas: Implicito') grid on %% :::::::::::::::::::::::::::: Método de diferencias finitas: Crank Nicolson [Temps3]=CrankNicolson(mmm, nnn); for ii=1:length(rs)


figure(6) plot(ts, Temps3(ii,:),'r') hold on text(ts(ceil(nnn/2)),Temps3(ii,ceil(nnn/2)),['r = ', num2str(rs(ii))]) end xlabel('Tiempo (seg)') ylabel('Temperatura (°C)') title('Método de diferencias finitas: Crank Nicholson') grid on figure(7) plot(rs,Temps3(:,1),'b', rs,Temps3(:,ceil(nnn/2)),'g', rs,Temps3(:,end),'r'); hold on text(rs(ceil(mmm/2)),Temps3(ceil(mmm/2),1),['t = ', num2str(ts(1))]) text(rs(ceil(mmm/2)),Temps3(ceil(mmm/2),ceil(nnn/2)),['t = ', num2str(ts(ceil(nnn/2)))]) text(rs(ceil(mmm/2)),Temps3(end,ceil(nnn/2)),['t = ', num2str(ts(end))]) xlabel('Radio (m)') ylabel('Temperatura (°C)') title('Método de diferencias finitas: Crank Nicholson') grid on for jj=1:length(ts) figure(51) plot(rs, Temps3(:,jj),'b') hold on text(ts(ceil(mmm/2)),Temps3(ceil(mmm/2),jj),['t = ', num2str(ts(jj))]) end xlabel('Radio (m)') ylabel('Temperatura (°C)') title('Método de diferencias finitas: Crank Nicholson') grid on %% :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Comparación for ii=1:length(rs) figure(8) plot(ts, Temps(ii,:),ts, Temps2(ii,:),ts, Temps3(ii,:)) hold on text(ts(ceil(nnn/2)),Temps(ii,ceil(nnn/2)),['r = ', num2str(rs(ii))]) end legend('Explicito','Implícito','Crank Nocholson','Location','Best') xlabel('Tiempo (seg)') ylabel('Temperatura (°C)') grid on figure(9) plot(rs,Temps(:,1),'b',rs,Temps2(:,1),'g',rs,Temps3(:,1),'r', rs,Temps(:,ceil(nnn/2)),'b', rs,Temps(:,end),'b', rs,Temps2(:,ceil(nnn/2)),'g', rs,Temps2(:,end),'g',... rs,Temps3(:,ceil(nnn/2)),'r', rs,Temps3(:,end),'r'); hold on legend('Explicito','Implícito','Crank Nocholson','Location','Best') text(rs(ceil(mmm/2)),Temps(ceil(mmm/2),1),['t = ', num2str(ts(1))]) text(rs(ceil(mmm/2)),Temps(ceil(mmm/2),ceil(nnn/2)),['t = ', num2str(ts(ceil(nnn/2)))]) text(rs(ceil(mmm/2)),Temps(end,ceil(nnn/2)),['t = ', num2str(ts(end))]) xlabel('Radio (m)') ylabel('Temperatura (°C)') title('Método de diferencias finitas') grid on

302 MÉTODOS NUMÉRICOS EN PROCESOS NO ESTABLES

CAPÍTULO 4 . MÉTODOS NUMÉRICOS EN PROCESOS NO ESTABLES

METODO DE DIFERENCIAS FINITAS

Las soluciones analíticas son convenientes porque proveen resultados válidos para todos

los puntos de un sistema. Sin embargo, muchos problemas de interés práctico son muy

complicados para obtener una solución analítica. En muchos procesos que dependen del

tiempo, la distribución inicial de temperaturas puede presentar características no uniformes,

o la temperatura ambiente, los coeficientes convectivos o las difusividades pueden variar.

Estos casos complejos pueden evaluarse empleando técnicas numéricas.

Las soluciones numéricas son solo aproximaciones a la solución real, pero pueden ser muy

buenas aproximaciones si se hacen correctamente. Es relativamente sencillo resolver

incluso problemas complicados usando técnicas numéricas.

Comparamos dos métodos para la solución numérica de problemas de valor inicial y

condiciones de frontera, el método de las diferencias finitas y el método del elemento finito.

El método de las diferencias finitas es fácil de manejar y requiere poco esfuerzo

matemático. En contraste, el método de los elementos finitos el cual se aplica

principalmente en mecánica estructural y de sólidos tiene mucha mayor demanda

matemática, pero es muy flexible. En particular, para geometrías complicadas, puede

adaptarse bien al problema y en tales casos debe dársele preferencia sobre el método de

las diferencias finitas. El método de las diferencias finitas, que puede recomendarse aún

para principiantes, es una buena herramienta para resolver problemas de conducción de

calor.

Los pasos a seguir para realizar una solución numérica usando la técnica de las diferencias

finitas permanecen iguales, aunque el problema se haga más complejo. El resultado de un

modelo numérico no es una relación funcional entre temperatura y posición sino una

aproximación a las temperaturas en varias ubicaciones discretas.

Las ecuaciones fundamentales en diferencias finitas pueden obtenerse por dos vías:

matemáticamente, reemplazando en las ecuaciones diferenciales básicas las derivadas por

sus expresiones en función de incrementos finitos, o por balances de energía en cada

punto del sistema en el que se desea conocer la temperatura. Este último es más intuitivo y

favorable en especial para los nodos frontera o centrales donde puedan aparecer

singularidades.


Recordemos inicialmente que la primera derivada en un punto es equivalente a la pendiente

de la tangente a la curva en ese punto y se define como:

. (4.1)

Si no se toma el límite se tendrá una aproximación a la derivada, más precisa entre menor

sea . También se puede obtener esta aproximación al escribir la expansión en series de

Taylor de la función alrededor del punto :

Al despreciar todos los términos de la expansión menos los dos primeros, obtenemos la

misma expresión aproximada:

, (4.2)

y observamos que el primer término despreciado es proporcional a y por lo tanto el

error en que se incurre con esta aproximación es también proporcional a . Sin

embargo, el error conmutativo después de pasos en la dirección es proporcional a

ya que . Como se prevé, entre más pequeño menor el error

y más exacta la solución.

En el método de diferencias finitas se divide el sistema en subsistemas, cada uno de

espesor .Por lo tanto habrá nodos empezando por hasta .

La coordenada del nodo es y la temperatura del nodo es .

0

( ) ( )lim

z

f z z f zd f z

d z z

z

f z z

2 2 3 3 4 4

2 3 4

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 6 24

f z z f z z f z z f zf z z f z z

z z z z

( )df z f z f z z f z

dz z z

2

z

2

z

m z z

2 2z

m z z z zz

z

M

MLz / 1M 0m m M

m z m z m mT


Figura 4.1. Distribución de nodos

EXACTITUD, CONVERGENCIA Y ESTABILIDAD

En los cálculos numéricos, el término error se refiere generalmente a la diferencia entre una

solución aproximada y la solución exacta de la ecuación original en derivadas parciales.

Existen dos tipos de errores que afectan dicha diferencia. El primero de ellos es el debido a

la sustitución de las derivadas por incrementos finitos y se denomina error de truncamiento

el cual depende de la distribución inicial de temperaturas en el sólido, de las condiciones

límite, del esquema de desarrollo del método de incrementos finitos y de la magnitud del

número de Fourier, del que dependen los incrementos de espacio y tiempo elegidos para el

cálculo. El grado en el cual la solución aproximada se acerca a la exacta al decrecer los

intervalos de espacio y tiempo se denomina convergencia del método.

El segundo tipo de error se origina en la imposibilidad de arrastrar un número infinito de

decimales en los cálculos. Al redondear los números fraccionarios se introduce el error de

redondeo.

Independientemente de los errores de truncamiento y redondeo se presenta un problema

más serio asociado a ciertos métodos de diferencias finitas como es el problema de la

estabilidad. En ocasiones al progresar el cálculo, los valores obtenidos para los nodos en

tiempos sucesivos oscilan con amplitud creciente cambiando incluso de signo, y sin

responder nunca a los valores reales correspondientes. Los errores de redondeo tienden a

crecer cuando el sistema es inestable y disminuyen cuando es estable.

Resulta entonces que no se pueden seleccionar arbitrariamente las magnitudes de los

intervalos de espacio y de tiempo sino que deberán elegirse de forma que

satisfagan ciertas condiciones de estabilidad.

Un criterio de estabilidad sencillo y útil es el siguiente: en cualquier ecuación en diferencias

finitas el coeficiente de la variable, llámese temperatura o concentración, del nodo m en el

tiempo t actual debe ser mayor o igual a cero.

0z

0T 1T 2T

1m

1mT mT 1mT 1mT mT

0 1 2

z

m 1m

zz

12m 1

2m

1M M

z L

z m z

z t


ECUACIONES

La reducción de una ecuación diferencial parcial a una aproximación adecuada en

diferencias finitas se puede hacer fácilmente por medio de las series de Taylor. Para ilustrar

el método consideremos la ecuación diferencial parcial que caracteriza los procesos de

transferencia de calor en estado transitorio, unidireccional, sin generación:

, (4.3)

Como , puede expandirse la expresión alrededor de para un valor fijo de :

En la medida que sea suficientemente pequeño, los términos del orden de y

superiores, pueden ser despreciados, y una primera aproximación a es:

. (4.4)

Aquí hemos introducido una notación abreviada donde el subíndice indica el punto o nodo

donde se mide la variable, y el superíndice el momento en el cual se hace tal medición.

Para obtener la primera aproximación a se necesitan dos expansiones de la serie:

Sumando miembro a miembro y despreciando los términos de orden y superiores la

así llamada aproximación central en diferencias finitas a la segunda derivada es:

. (4.5)

2

2

1 T T

t z

,T T z t t z

4

44

3

33

2

22

24

)(

6

)(

2

)()(),(),(

t

Tt

t

Tt

t

Tt

t

TttzTttzT

t 2

t

Tt

1( , ) ( , )

t tm mT TT T z t t T z t

t t t

2

2T

z

4

44

3

33

2

22

24

)(

6

)(

2

)()(),(),(

z

Tz

z

Tz

z

Tz

z

TztzTtzzT

4

44

3

33

2

22

24

)(

6

)(

2

)()(),(),(

z

Tz

z

Tz

z

Tz

z

TztzTtzzT

4

z

21 1

2 2 2

2( , ) 2 ( , ) ( , )

( ) ( )

t t tm m mT T TT T z z t T z t T z z t

z z z


El error de truncamiento involucrado al omitir el resto de la serie es del orden de .

Reemplazando las aproximaciones (4.4) y (4.5) anteriores en diferencias finitas en la

ecuación (4.3)

. (4.6)

Notando que es un número de Fourier en términos de la distancia

incremental y el intervalo de tiempo , reordenamos la ecuación anterior así:

. (4.7)

Aquí, explícitamente hallamos la temperatura del nodo en un momento futuro , a

partir de las temperaturas de los 3 nodos adyacentes en el momento presente .

A continuación, ilustramos la manera de obtener estas mismas ecuaciones mediante

balances de materia o de energía.

En este método, como ya se explicó, el medio en cuestión se subdivide en subvolúmenes,

siendo denominado el centro de cada subvolumen como un nodo, y cada nodo tiene las

propiedades promedio del volumen a su alrededor, a la izquierda y a la derecha.

Así, el sólido total se remplaza por una red de nodos donde se asume que la temperatura

entre dos nodos adyacentes varía linealmente. El flujo de calor por conducción se calcula

con base en la ley de Fourier:

.

En esta expresión, es el flujo de calor en la dirección , energía por unidad de tiempo y

de área, , o , es la conductividad térmica, una propiedad del

material con dimensiones de energía por unidad de longitud y de temperatura, o

, es una superficie perpendicular a la dirección del flujo de calor, es

temperatura y una longitud.

4

z

11 1

2

21

( )

t t t t tm m m m mT T T T T

t z

2

/t z

z t

11 1(1 2 )t t t t


m 1t

t

2z

2z

z z z salida entradadT T

Q kA kA T T Tdz z

zQ z2[W/m .K] 2[Btu/hr.pie .°F] k

[W/m.K]

[Btu/hr.pie.°F] zA T

z


De esta manera el balance alrededor del nodo interno , teniendo presente que este lo

hacemos con el algoritmo: flujo neto de calor hacia el nodo por conducción más generación,

igual a acumulación se escribe como:

. (4.8)

Aquí, los subíndices para indican el área entre los nodos adyacentes o el área en el

nodo .

4.1 Simetría Cartesiana: Placa plana

Para el caso de placa plana, las áreas entre nodos son iguales. Dividiendo por

con y reorganizando obtenemos

, (4.9)

Como y ,

Entonces

. (4.10)

Los nodos extremos, es decir los correspondientes a y a , deben tratarse de

modo especial pues disponen de la mitad del para generar o acumular calor. A su vez

pueden intercambiar calor con el medio por convección y/o por radiación.

Un nodo adiabático se puede considerar como un nodo interno simétrico respecto a los dos

nodos adyacentes. Por ejemplo, si se trata del nodo 0, en la ecuación (ii) :

. (4.11)

Para el caso de un nodo convectivo el volumen para acumulación es la mitad del que le

corresponde a un nodo interno. El balance se escribe:

m

1 1m-1 m m m 1

m m m mH m P m

T T T T dTkA kA A z C A z

z z dt

A

m

P mC A z

1 1m m m m mA A A

1 122

( )

Hm m m

P

dTT T T

dt z C

PC

k

2( )

tFo

z

2( )H H H

P

Fo z

C k k t

0z z L

z

1 1m mT T

122

( )

Hm m

P

dTT T

dt z C


. (4.12)

Reorganizando:

. (4.13)

Si cambiamos signo a los términos que restan, cambiando también el orden de las variables

de los respectivos paréntesis hallamos la simplificación usual de los textos de transferencia

de calor que asumen que todo el flujo de calor es hacia el nodo en cuestión facilitando la

escritura como una sumatoria. Las superficies entre los nodos las tomamos a la distancia

intermedia entre ellos teniendo en cuenta que en simetrías diferentes a la plana pueden

variar en la dirección del flujo de calor.

Las expresiones (4.9), (4.11) y (4.13) proveen la relación de cambio de la temperatura con

el tiempo. Son útiles cuando se usa el método de líneas con ayuda del comando "Integral"

del EES.

4.1.1 Método de líneas

Es una técnica para resolver ecuaciones diferenciales parciales (PDE) utilizando diferencias

finitas para las derivadas espaciales y ecuaciones diferenciales ordinarias para la derivada

respecto al tiempo (Cutlip, 2008).

COMANDO "INTEGRAL" DE EES

Este comando provee un esquema de tercer orden de precisión minimizando tiempo de

cálculo manteniendo la exactitud de los resultados. No se requiere entonces crear la malla

para el tiempo.

La solución del método numérico se logra reemplazando "Integrand" con la relación que

especifica la velocidad de cambio de la temperatura en cada nodo. Las ecuaciones (4.9) y

(4.11) para un sistema sin generación se escriben así:

. (4.9a)

Haciendo obtenemos la expresión para el nodo adiabático:

1

2 2

M M

M H P

kA T T z z dThA T T A C A

z dt

1

2

2 2M M M H

P P

T T h T TdT

dt C z Cz

1 1

2

22 1

i i iiT T TdT

i Ndt x

1 1i iT T


. (4.11a)

La ecuación (4.13) nos da la expresión para el nodo convectivo

. (4.13a)

Para completar el análisis en diferencias finitas, se expresa esta diferencial en términos de

diferencias de temperatura y tiempo:

. (4.14)

Entonces surgen dos posibilidades para el tiempo en el que se miden las temperaturas de

los lados derechos de las ecuaciones (4.9), (4.11) y (4.13). Si están en el tiempo presente,

dan origen a un método explícito, de fácil manejo, pero con problemas de estabilidad. Si

están el tiempo , dan origen al método completamente implícito, de precisión

comparable al explícito, pero incondicionalmente estable. Su manejo es más complicado

que el anterior porque se deben resolver tantas ecuaciones simultáneas como nodos en

cada intervalo de tiempo. La mezcla de los dos anteriores da origen a métodos mixtos que

mejoran la precisión y tienen mayor estabilidad que el método explícito, pero son métodos

implícitos. El más usado de estos es el método de Crank Nicolson que consiste en la

semisuma de los dos métodos anteriormente mencionados. Por ser un método de segundo

orden es más exacto que los anteriores.

Los tiempos de simulación se pueden estimar a partir de las escalas de tiempo propuestas

por (Tosun, 2007).

Transporte Molecular Convectivo

Impulso

Calor

Masa

Tabla 4.1. Escalas de tiempo para diferentes mecanismos de transporte

Los balances correspondientes se escriben a continuación:

4.1.2 Método Explícito

Nodo interno:

2 11

2

2 T TdT

dt x

1

2

2 2N N NNT T BiFo T TdT

dt tx

t t tm mT TdT

dt t

t t

2

característica /L característica característica/L V

2

característica /L característica / / PL h C

2

característica / ABL D característica / cL k


A partir de la ecuación (4.9) se obtiene:

, (4.15a)

Usando las relaciones en (4.10)

. (4.15b)

Nodo adiabático:

Haciendo en la ecuación (4.15b) se obtiene

. (4.16)

Para estabilidad el coeficiente de debe ser mayor o igual a cero. En estos dos

casos .

Nodo convectivo :

Ecuaciones (4.13) y (4.14)

. (4.17a)

Si el nodo convectivo es el nodo 0 izquierdo, la ecuación tiene cambios simples:

. (4.17b)

El número de Biot para diferencias finitas se escribe como . Por tanto:

, (4.10b)

P

Ht

m

t

m

t

m

P

t

m

t

m

CTTT

zC

k

t

TT

112

1

2)(

P

Ht

m

t

m

t

m

t

mC

tFoTTFoFoTT

11

1 21

1 1

t t

m mT T

P

Ht

m

t

m

t

mC

tFoTTFoT

1

1 221

t

mT

12

Fo

M

1

12 1 2 2 2t t t HM M M

P

tT FoT Fo BiFo T BiFoT

C

1

0 1 02 1 2 2 2t t t H

P

tT FoT Fo BiFo T BiFoT

C

/Bi h z k

P

h tBiFo

C z


Para estabilidad

. (4.10c)

4.1.3 Método completamente implícito

Este método de diferencias finitas para régimen no estacionario es, a diferencia del anterior,

estable para todas las magnitudes de los intervalos de espacio y tiempo y , es decir

para todos los valores de los números de Fourier y Biot, aunque los resultados serán tanto

más precisos cuanto menores sean dichos intervalos, al reducirse los errores de

truncamiento y redondeo.

El método se diferencia del explícito en que el balance de energía se establece en el

instante en lugar del , modificando la ecuación (2) así:

. (4.18)

A diferencia del método explícito, la temperatura del nodo en el tiempo queda

expresada en función de las de los nodos vecinos, pero también en el futuro. Se hace

entonces necesario resolver simultáneamente el sistema de ecuaciones de todos los nodos

simultáneamente. Esto se puede hacer usando el método de Gauss – Seidel, o el de

inversión de matrices. Sin embargo, el software EES resuelve directamente el sistema de

ecuaciones simultáneas sin mayores condicionamientos. El hecho de ser

incondicionalmente estable le da ventaja sobre el método explícito, pues al seleccionar por

ejemplo un valor de 2 para , permite encontrar un resultado con la cuarta parte de los

pasos necesarios si usáramos el máximo para nodo interno, en el método

explícito.

Nodo interno

, (4.19a)

1 2 2 0Fo BiFo

1

2 1Fo

Bi

z t

t t t

2

1

1

11

1

1

)(

21

z

TTT

t

TT t

m

t

m

t

m

t

m

t

m

m 1t

Fo

12

Fo

P

Ht

m

t

m

t

m

P

t

m

t

m

CTTT

zC

k

t

TT

1

1

11

12

1

2)(


. (4.19b)

El coeficiente de es la unidad por lo que este sistema es incondicionalmente

estable.

Nodo adiabático:

Incondicionalmente estable

; (4.20)

Nodo convectivo derecho :

.

(4.21a)

Nodo convectivo izquierdo 0:

.

(4.21b)

Como el coeficiente de es independiente de o será incondicionalmente

estable.

4.1.4 Método de Crank Nicolson

Nodo interno:

En este caso se retiene el lado izquierdo de la ecuación en diferencias finitas dada

en las ecuaciones (4.8) o (4.13) pero en el lado derecho se toma el promedio de los

lados derechos de ambas:

, (4.22a)

P

Ht

m

t

m

t

m

t

mC

tTFoTTFoFoT

1

1

11

1 21

t

mT

P

Ht

m

t

m

t

mC

tTFoTTFo

1

1

1 221

M

1 1

12 1 2 2 2t t t HM M M

P

tFoT Fo BiFo T T BiFoT

C

1 1

1 0 02 1 2 2 2t t t H

P

tFoT Fo BiFo T T BiFoT

C

t

MT Bi Fo

1 1 1 11 1 1 1

2 2

2 2

2 ( ) ( )

t t t t t t t tm m m m m m m m H

P

T T T T T T T T

t Cz z


que se puede reorganizar como:

. (4.22b)

Si , se presentan ecuaciones algebraicas acopladas de las

temperaturas desconocidas de los puntos nodales.

Las temperaturas para y se obtienen de las condiciones de frontera.

Nodo adiabático:

. (1.19)

Nodo convectivo derecho :

. (4.24a)

Nodo convectivo izquierdo 0:

, (4.24b)

Según la literatura, este método se mantiene estable para

. (4.24c)

4.2 Flujo constante en la pared nodo izquierdo (0). Generación uniforme dentro del sólido

4.2.1 Método Explícito (por unidad de área)

, (4.25a)

. (4.25b)

k

tFoTTFoFoTFoTTFoFoT Ht

m

t

m

t

m

t

m

t

m

t

m

22222 11

1

1

11

1

0,1, 2, ,m M 1M

1M 1t

mT 0,1, 2, ,m M

0m m M

k

tFoTTFoFoTTFo Htttt

10

1

1

1

0 11

M

1 1

1 11 2 1 /t t t t

M M M M H PBiFo Fo T FoT BiFoT BiFo Fo T FoT t C

1 1

0 1 0 11 2 1 /t t t t

H PBiFo Fo T FoT BiFoT BiFo Fo T FoT t C

2L

Foz

22

0

1

010 z

t

TTzCq

z

TTk H

tt

PS

tt

10 0 1

2 11 2 2 ;2

t t t S H

P P

tq tT Fo T FoT Fo

C z C


4.2.2 Implícito (por unidad de área)

, (4.26a)

, (4.26b)

Siempre estable


Dividiendo (4.21) y (4.22) por y promediando:

. (4.27a)

Multiplicando por , colocando las incógnitas a la izquierda y los valores conocidos a la

derecha (con sus respectivos coeficientes) se encuentra:

. (4.27b)

Cuando existe convección natural o radiación, el coeficiente convectivo o el efecto radiante

se ven afectados por la temperatura de la superficie y algún tipo de método interactivo debe

usarse para cada intervalo de tiempo.

Nota: Si existe una densidad de flujo de calor constante hacia el nodo se agrega al lado

derecho del balance el término .

En resumen, los métodos implícitos producen un grupo de ecuaciones acopladas que se

deben resolver en cada intervalo de tiempo mientras que las ecuaciones del método

explícito no son acopladas. Sin embargo, al poder seleccionar intervalos de tiempo

mayores se puede obtener una respuesta más rápidamente.

22

0

1

0

1

1

1

0 z

t

TTzCq

z

TTk H

tt

PS

tt

P

H

P

Sttt

C

t

zC

tqTFoTTFo

2

221 0

1

1

1

0

2PC z

1

1

1

0100

1

0 2

ttttSH

tt

TTTTt

Fo

zk

q

kt

TT

t

k

zFoFoTTFo

k

zFoqFoTTFo H

ttStt

2

10

1

1

1

0 12

1

sq

2 /s Pq t C z

t


4.3 Simetría esférica

Figura 4.2. Simetría esférica

En coordenadas esféricas el área entre nodos consecutivos varía según:

Para todos los casos de simetría esférica:

, , ,

, (4.30)

, (4.31) , (4.32) . (4.33)

q d

rq dr

q

dr

q

r d

dsinr

z

x

yr

2

2

41

mm r

r

r

ra

2

2

41

mm r

r

r

ra

2

2

41

mr

rb

mr m r

1a b

m

1a b

m

2

11b

m

Figura 4.3. Coordenadas esféricas

. (4.28)

El elemento de volumen vinculado es

. (4.29)

2

12

mm m

rA r sen z

2

mV r sen r


Realizando los balances correspondientes obtenemos:


Nodo interno:

, (4.34)

para estabilidad .

Nodo adiabático:

, (4.35)

para estabilidad .

Nodo convectivo:

, (4.36)

para .

Nodo central:

, (4.37)

para estabilidad .

4.3.2 Método Implícito

Nodo interno:

P

Ht

m

t

m

t

m

t

mC

tTFoaTbFoTFoaT

11

1 21

1

2Fo

b

P

Httt

C

tTFoaTbFoT

10

1

0 221

1

2Fo

b

1

12 1 2 2 2t t t HM M M

P

tT Foa T a Fo BiFo T BiFoT

C

1

2Fo

a Bi

1

0 0 11 6 6Ht t t

P

tT Fo T FoT

C

1

6Fo


. (4.38)

Nodo adiabático (diferente del central):

Nodo convectivo:

. (4.40)

Nodo central:


Nodo interno:

. (4.42)


. (4.43)

Nodo convectivo:

. (4.44)

Nodo central:

P

Ht

m

t

m

t

m

t

mC

tTTFoaTbFoTFoa

1

1

11

1 21

P

Httt

C

tTTFoaTbFo

0

1

1

1

0 221

1 1

12 1 2 2 2t t t HM M M

P

tFoa T a Fo BiFo T T BiFoT

C

1 1

0 1 01 6 6Ht t t

P

tFo T FoT T

C

1 1 11 1 1 12 2 2 2 2t t t t t t H

m m m m m m

tFoa T bFo T Foa T Foa T bFo T Foa T

k

1 10 1 0 11 1t t t t H t

bFo T Foa T bFo T Foa Tk

1 1

1 11 2 1 /t t t t

M M M M H PBiFo Foa T Foa T BiFoT BiFo Foa T Foa T t C

(4.41)

(4.39)


. (4.45)

Observe que en los balances de los nodos internos se usó como resistencia ,

desconociendo así la curvatura. Si se tiene en cuenta la curvatura, la resistencia es

y la correspondiente modificación en los nodos de frontera.

4.4 Simetría cilíndrica

En simetría cilíndrica, el área entre dos nodos sucesivos varía según:

Figura 4.4. Simetría cilíndrica

, (4.46)

en radianes.

El volumen correspondiente es:

. (4.47)

Para todos los casos de simetría cilíndrica:

1 1

0 1 0 11 3 3 1 3 3Ht t t t

P

tFo T FoT Fo T FoT

C

r kA

/ 4 [ 1] [ ]r kr i r i

x

y

z

q d

rq dr

zq

q

zq dz

rq r d

dr

12

mm m

rA r z

mV r z r


Figura 4.5. Coordenadas

cilíndricas

, ,

. (4.48)

, (4.49) . (4.50)

Haciendo los balances de manera similar a la simetría rectangular obtenemos:


Nodo interno:

, (4.51)

para estabilidad .


, (4.52)

para estabilidad .

Nodo convectivo:

, (4.53)

para .

z

xy

mr 12 m

ra

r

12 m

ra

r

mr m r

11

2a

m

11

2a

m

1

1 11 2t t t t Hm m m m

P

tT a FoT Fo T a FoT

C

1

2Fo

1

0 0 11 2 2t t t H

P

tT Fo T a FoT

C

1

2Fo

1

12 1 2 2 2t t t HM M M

P

tT Foa T a Fo BiFo T BiFoT

C

1

2Fo

a Bi


Nodo central:

. (4.54)

para estabilidad .

4.4.2 Método Implícito

Nodo interno:

. (4.55)


. (4.56)

Nodo convectivo:

. (4.57)

Nodo central:

. (4.58)


Nodo interno:

. (4.59)

1

0 0 11 4 4Ht t t

P

tT Fo T FoT

C

1

4Fo

1 1 11 11 2t t t t H

m m m mP

tFoa T Fo T Foa T T

C

1 10 1 01 2 2t t t H

P

tFo T Foa T T

C

1 1

12 1 2 2 2t t t HM M M

P

tFoa T a Fo BiFo T T BiFoT

C

1 1

0 1 01 4 4Ht t t

P

tFo T FoT T

C

1 1 1

1 1 1 12 2 2 2 2t t t t t t Hm m m m m m

tFoa T Fo T Foa T Foa T Fo T Foa T

k



. (4.60)

Nodo convectivo:

. (4.61)

Nodo central:

. (4.62)

Observe que en los balances de los nodos internos se usó como resistencia ,

desconociendo así la curvatura. Si se tiene en cuenta la curvatura, las resistencias son

y y la correspondiente modificación en los

nodos de frontera.

4.4.4 Método de líneas

Es una técnica para resolver ecuaciones diferenciales parciales (PDE) utilizando diferencias

finitas para las derivadas espaciales y ecuaciones diferenciales ordinarias para la derivada

respecto al tiempo (Cutlip, 2008).

COMANDO "INTEGRAL" DE EES

Este comando provee un esquema de tercer orden de precisión minimizando tiempo de

cálculo manteniendo la exactitud de los resultados. No se requiere entonces crear la malla

para el tiempo.

La solución del método numérico se logra reemplazando "Integral" con la relación que

especifica la velocidad de cambio de la temperatura en cada nodo. De las ecuaciones (4.4)

y (4.6) se puede escribir:

.

1 10 1 0 11 1t t t t H t

Fo T Foa T Fo T Foa Tk

1 1

1 11 2 1 /t t t t

M M M M H PBiFo Foa T Foa T BiFoT BiFo Foa T Foa T t C

1 1

0 1 0 11 2 2 1 2 2Ht t t t

P

tFo T FoT Fo T FoT

C

/r kA

ln [ ] / [ 1] / 2r i r i kL ln [ 1] / [ ] / 2r i r i kL

1 1

2

22 1

i i iiT T TdT

i Ndt x


Haciendo obtenemos la expresión para el nodo adiabático:

.

La ecuación (4.13) nos da la expresión para el nodo convectivo derecho sin generación:

.

Al resolver el problema por este método no son necesarios los arreglos bidimensionales

pues EES guarda los valores integrados a medida que cambia el período de tiempo.

1 1i iT T

2 11

2

2 T TdT

dt x

1

2

2 2N N NNT T BiFo T TdT

dt tx


NOTAS CAPITULO 4: CÓDIGOS DE PROGRAMACIÓN

MALLA ESPACIAL Y TEMPORAL PARA CÁLCULOS EN DIFERENCIAS FINITAS

Para aplicar las ecuaciones anteriores se debe tener presente que EES no acepta el

subíndice 0 por lo que tomamos una malla de nodos. Mientras va de 0 a ,

va de 1 a .

"Setup grid" N= # [-] "number of nodes" DELTAx=L/(N-1) "distance between adjacent nodes" duplicate i=1;N x[i]=(i-1)*DELTAx "position of each node" end "Setup time steps" U= # [-] "number of time steps" t_sim= # [s] "simulation time" DELTAtime=t_sim/(U-1) "time step duration”" duplicate j=1;U time[j]=(j-1)*DELTAtime end

Ejemplos de aplicación: Usamos el mismo ejercicio que ya sirvió de aplicación al método

analítico: Los valores numéricos de prueba corresponden a sólidos de un acero inoxidable

con dimensión característica 5 cm que se enfría desde 40 °C hasta 30 °C en aire a 20 °C

con coeficiente convectivo 120 W/m2.K, , k = 17 W/m.K, Cp = 512. Las

ecuaciones referidas corresponden a las notas de clase del mismo autor.

"PLACA CRANK NICOLSON" $UnitSystem SI mass C Pa Rad J $TABSTOPS 3 6 9 12 cm "Datos" h=120 [W/m^2-K]: L=0,05 [m]: k=17,14 [W/m-K]: rho=8563 [kg/m^3] Cp=512 [J/kg-K] T_infinity=20 [C]: T_o=40 [C] "Solución analítica incorporada en EES" T=planewall_T(x;time;T_i;T_f;alpha;k;h;L) T_i=T_o: time=560: T_f=T_infinity "malla espacial" N=11 [-] "numero de nodos" DELTAx=L/(N-1) "distancia entrenodos" duplicate i=1;N x[i]=(i-1)*DELTAx "posición de cada nodo" end "malla temporal" U= 101 [-] "numero de veces que se hace el cálculo"

1N M M M

N 1M

38563 kg m

324 NOTAS MÉTODOS NUMÉRICOS EN PROCESOS NO ESTABLES

t_sim=2000 [s] "tiempo de simulación" DELTAtime=t_sim/(U-1) "tamaño del paso temporal" duplicate j=1;U time[j]=(j-1)*DELTAtime end "Definiciones" alpha=k/rho/Cp Fo_df=alpha*DELTAtime/(DELTAx)^2 "Fourier para diferencias finitas" Bi_df=h*DELTAx/k "Biot para diferencias finitas" Fo_critico=2*L/pi/DELTAx "Cálculos" duplicate i=1;N T[i;1]= T_o "condición inicial" end "Avance sobrelos intervalos de tiempo" duplicate j=1;(U-1) "Nodo adiabático izquierdo" (1+Fo_df)*T[1;j+1]-Fo_df*T[2;j+1]=(1-Fo_df)*T[1;j]+Fo_df*T[2;j] "nodos internos" duplicate i=2;(N-1) -Fo_df*T[i-1;j+1]+(2+2*Fo_df)*T[i;j+1]-Fo_df*T[i+1;j+1]=& Fo_df*T[i-1;j]+(2-2*Fo_df)*T[i;j]+Fo_df*T[i+1;j] end "nodo N" (1+Fo_df+Bi_df*Fo_df)*T[N;j+1]-Fo_df*T[N-1;j+1]=2*Bi_df*Fo_df*T_infinity+(1-Fo_df-Bi_df*Fo_df)*T[N;j]+Fo_df*T[N-1;j] end "ESFERA CRANK NICOLSON" $UnitSystem SI mass C Pa Rad J $TABSTOPS 0.2 0.4 0.6 0.8 3.5 in "Inputs" h=120 [W/m^2-K]: R=0,05 [m]: k=17,14 [W/m-K]: rho=8563 [kg/m^3] Cp=512 [J/kg-K] T_infinity=20 [C]: T_o=40 [C] "Solución analítica incorporada en EES" T=sphere_T(r;time;T_i;T_f;alpha;k;h;r_o) T_i=T_o: time=560: T_f=T_infinity:R=r_o "Setup grid" N=11 [-] "number of nodes" DELTAr=R/(N-1) "distance between adjacent nodes" duplicate i=1;N r[i]=(i-1)*DELTAr "position of each node" end


"Setup time steps" U= 101 [-] "number of time steps" t_sim=2000 [s] "simulation time" DELTAtime=t_sim/(U-1) "time step duration”" duplicate j=1;U time[j]=(j-1)*DELTAtime end "Definiciones" alpha=k/rho/Cp Fo_df=alpha*DELTAtime/(DELTAr)^2 "Fourier para diferencias finitas" Bi_df=h*DELTAr/k "Biot para diferencias finitas" Fo_critico=2*R/pi/DELTAr a_L=(b-1/i) a_R=(b+1/i) b=(1+1/i^2) "Calculations" duplicate i=1;N T[i;1]= T_o "initial condition" end

"Move through all of the time steps" duplicate j=1;(U-1) "Nodo Central" (1+3*Fo_df)*T[1;j+1]-3*Fo_df*T[2;j+1]=(1-3*Fo_df)*T[1;j]+3*Fo_df*T[2;j]+Fi*DELTAt/rho/Cp "Nodos internos" -Fo_df*a_L*T[i-1;j+1]+(2+2*b*Fo_df)*T[i;j+1]-Fo_df*a_R*T[i+1;j+1]=& Fo_df*a_L*T[i-1;j]+(2-2*b*Fo_df)*T[i;j]+Fo_df*a_R*T[i+1;j]+2*Fi*alpha*DELTAt/k end "Nodo Convectivo" (Bi*Fo_df*a_L+1)*T[N;j+1]-Fo_df*a_L*T[N-1;j+1]=2*Bi*Fo_df*T_infinity+& (1-Bi*Fo_df-Fo_df*a_L)*T[N;j]+&Fo_df*a_L*T[N-1;j]+Fi*alpha/k end

"CILINDRO CRANK NICOLSON" $UnitSystem SI mass C Pa Rad J $TABSTOPS 0.2 0.4 0.6 0.8 3.5 in "Inputs" h=120 [W/m^2-K]: R=0,05 [m]: k=17,14 [W/m-K]: rho=8563 [kg/m^3] Cp=512 [J/kg-K] T_infinity=20 [C]: T_o=40 [C] "Solución analítica incorporada en EES" T=cylinder_T(r;time;T_i;T_f;alpha;k;h;r_o) T_i=T_o: time=560: T_f=T_infinity:R=r_o "Setup grid" N=11 [-] "number of nodes" DELTAr=R/(N-1) "distance between adjacent nodes" duplicate i=1;N


r[i]=(i-1)*DELTAr "position of each node" end "Setup time steps" U= 101 [-] "number of time steps" t_sim=2000 [s] "simulation time" DELTAtime=t_sim/(U-1) "time step duration”" duplicate j=1;U time[j]=(j-1)*DELTAtime end "Definiciones" alpha=k/rho/Cp Fo_df=alpha*DELTAtime/(DELTAr)^2 "Fourier para diferencias finitas" Bi_df=h*DELTAr/k "Biot para diferencias finitas" Fo_critico=2*R/pi/DELTAr a_L=(b-1/i) a_R=(b+1/i) b=(1+1/i^2) "Calculations" duplicate i=1;N T[i;1]= T_o "initial condition" end "Move through all of the time steps" duplicate j=1;(U-1) "Nodo Central" (1+3*Fo_df)*T[1;j+1]-3*Fo_df*T[2;j+1]=(1-3*Fo_df)*T[1;j]+3*Fo_df*T[2;j]+Fi*DELTAt/rho/Cp "Nodos internos" -Fo_df*a_L*T[i-1;j+1]+(2+2*b*Fo_df)*T[i;j+1]-Fo_df*a_R*T[i+1;j+1]=& Fo_df*a_L*T[i-1;j]+(2-2*b*Fo_df)*T[i;j]+Fo_df*a_R*T[i+1;j]+2*Fi*alpha*DELTAt/k end "Nodo Convectivo" (Bi*Fo_df*a_L+1)*T[N;j+1]-Fo_df*a_L*T[N-1;j+1]=2*Bi*Fo_df*T_infinity+& (1-Bi*Fo_df-Fo_df*a_L)*T[N;j]+&Fo_df*a_L*T[N-1;j]+Fi*alpha/k end a_L=(1-1/2/i) a_R=(1+1/2/i) "Nodo Central" (1+2*Fo_df)*T[1;j+1]-2*Fo_df*T[2;j+1]=(1-2*Fo_df)*T[1;j]+2*Fo_df*T[2;j]+Fi*DELTAt/rho/Cp "Nodo interno" -Fo_df*a_L*T[i-1;j+1]+(2+2*Fo_df)*T[i;j+1]-Fo_df*a_R*T[i+1;j+1]=& Fo_df*a_L*T[i-1;j]+(2-2*Fo_df)*T[i;j]+Fo_df*a_R*T[i+1;j]+2*Fi*alpha*DELTAt/k "Nodo Convectivo" (Bi*Fo_df*a_L+1)*T[N;j+1]-Fo_df*a_L*T[N-1;j+1]=2*Bi*Fo_df*T_infinity+& (1-Bi*Fo_df-Fo_df*a_L)*T[N;j]+Fo_df*a_L*T[N-1;j]+Fi*alpha/k


NOTA: El símbolo & (ampersand) se usa para darle continuidad a una expresión que debe

escribirse en más de un renglón.

EES DIFERENCIAS FINITAS

Información previa

k= :rho= :C_p= :alpha=k/rho/C_p: h= : L= : T_ini= DELTAx= : t_sim= : DELTAtime= M=t_sim/DELTAtime+1: N=L/DELTAx+1 Fo=alpha*DELTAtime/DELTAx^2: Bi=h*DELTAx/k

Construcción de los nodos (malla de nodos)

duplicate i=1;N x[i]=(i-1)*DELTAx end

Construcción períodos de tiempo (malla de tiempo)

duplicate j=1;M time[j]=(j-1)*DELTAtime end

Condición inicial

duplicate T[i,1]=T_ini end

MÉTODO EXPLÍCITO O DE EULER

Controlar para DELTA time máximo

si hay nodo(s) convectivo(s), de lo contrario . Para mejor

exactitud .

Nodo Adiabático Izquierdo (Ecuación 4.16) [10], N posición, j , M tiempo

duplicate j=1; (M-1) (nodo 1) T[1;j+1]=(1-2*Fo)*T[1,j]+2*Fo*T[2,j]


1 2 1Fo Bi 1 2Fo

1 4Fo


duplicate i=2;(N-1) T[i;j+1]=Fo*T[i-1;j]+(1-2*Fo)*T[i;j]+Fo*T[i+1;j] end

Nodo convectivo derecho (Ecuación 4.17a) (nodo N)

T[N;j+1]=2*Fo*T[N-1;j]+(1-2*Fo-2*Bi*Fo)*T[N;j]+2*Bi*Fo*T_infinity end

Puede haber nodo convectivo izquierdo, nodo 1, con Bi igual o diferente al derecho y

también con T_infinity igual o diferente:

T[1;j+1]=2*Fo*T[2;j]+(1-2*Fo-2*Bi*Fo)*T[1;j]+2*Bi*Fo*T_infinity

Para construir los gráficos:

New Plot Window-arrayx[] en X y arrays T[i;1].T[I;#]..etc para Y

MÉTODO COMPLETAMENTE IMPLÍCITO

Incondicionalmente estable (se pueden seleccionar y independientemente. En

Matlab la solución no es comparable puesto que no puede resolver expresiones implícitas.

Nodo Adiabático Izquierdo (Ecuación 4.20) [10], N posición, j , M tiempo

duplicate j=1; (M-1) (nodo 1) T[1;j]=(1+2*Fo)*T[1;j+1]-2*Fo*T[2;j+1]


duplicate i=2;(N-1) T[i;j]=-Fo*T[i-1;j+1]+(1+2*Fo)*T[i;j+1]-Fo*T[i+1;j+1] end


T[N;j]=-2*Fo*T[N-1;j+1]+(1+2*Fo+2*Bi*Fo)*T[N;j+1]-2*Bi*Fo*T_infinity end

Si existe nodo conectivo izquierdo, la modificación es simple. Son válidas las observaciones

hechas en el párrafo correspondiente para el método explícito.

T[1;j]=-2*Fo*T[2;j+1]+(1+2*Fo+2*Bi*Fo)*T[1;j+1]-2*Bi*Fo*T_infinity

N M


MÉTODO DE CRANK – NICOLSON

Combina los dos métodos anteriores y tiene mayor precisión que estos porque involucra

dos estimaciones de la velocidad de cambio en cada nodo en cada intervalo de tiempo.

Nodo Adiabático Izquierdo (Ecuación 1.19) i, N posición, j , M tiempo

duplicate j=1; (M-1) (nodo 1) (1+Fo)*T[1,j+1]-Fo*T[2,j+1]=(1-Fo)*T[1,j]+Fo*T[2,j]


duplicate i=2;(N-1) -Fo*T[i-1;j+1]+(2+2*Fo)*T[i;j+1]-Fo*T[i+1;j+1]=Fo*T[i-1;j]+(2-2*Fo)*T[i;j]+Fo*T[i+1;j] end


(1+Fo+Bi*Fo)*T[N;j+1]-Fo*T[N-1;j+1]=2*Bi*Fo*T_infinity+(1-Fo-Bi*Fo)*T[N;j]+Fo*T[N-1;j] end

Si hay nodo izquierdo la modificación es simple teniendo en cuenta que el coeficiente

convectivo (que afecta ) y la temperatura del medio pueden ser diferentes de las del lado

derecho (si lo hay)

(1+Fo+Bi*Fo)*T[1;j+1]-Fo*T[2;j+1]=2*Bi*Fo*T_infinity+(1-Fo-Bi*Fo)*T[1;j]+Fo*T[2;j]

MÉTODO DE LAS LÍNEAS

dTdt[1]=2*alpha*(T[2]-T[1])/DELTAx^2 "adiabático" duplicate i=2;(N-1) dTdt[i]=alpha*(T[i-1]+T[i+1]-2*T[i])/DELTAx^2 "interior" end dTdt[N]=2*alpha*(T[N-1]-T[N])/DELTAx^2+2*Bi*Fo*(T_infinity-T[N])/DELTAtime "N" duplicate i=1;N T[i]=T_ini+INTEGRAL(dTdt[i],time,0,t_sim) end

Nota: si el nodo tiene valor constante, este duplicate debe ir hasta .

Si el nodo 1 es convectivo, nuevamente con las advertencias ya hechas en los casos

anteriores, la expresión es:

Bi

N 1N


dTdt[1]=2*alpha*(T[2]-T[1])/DELTAx^2+2*Bi*Fo*(T_infinity-T[1])/DELTAtime "1"

Observe que después de que se completan los cálculos, el arreglo provee la

temperatura de cada nodo al final del tiempo de la simulación . La variación de la

temperatura de cada nodo con el tiempo puede encontrarse incluyendo el siguiente

comando:

$IntegralTable VarName:Interval;x;y;z

Aquí VarName es la variable de integración (tiempo), Interval es el intervalo de tiempo que se

quiere en la tabla y que es independiente del paso usado en la integración, y las variables

son las variables que se quieren reportar. Tenga en cuenta que para un arreglo se

puede usar notación de rango como una variable (por ej. indica una lista de todas

las temperaturas nodales, siempre y cuando la variable se haya definido previamente.

Para obtener una tabla integral que contiene los valores de todas las temperaturas nodales

a intervalos de 1 s, se agrega la siguiente orden:

$IntegralTable time:1; T[1..N]

Después de correr el código (solve), se puede generar una tabla integral. Estos valores se

pueden usar para crear gráficas de la misma manera como se usan los datos de una tabla

paramétrica o de un arreglo.

T i

_t t sim

, ,x y z

1T N

N


CONCLUSIONES A lo largo del desarrollo de este trabajo se evidenció el que el software utilizado es una herramienta versátil, de alta confiabilidad y de fácil utilización. Aunque este software originalmente fue desarrollado para apoyar cursos de termodinámica, ha tenido un gran desarrollo en subrutinas que apoyan operaciones con transferencia de calor. Debido a que incluye muchas correlaciones basadas en propiedades de transporte se convierte también en un poderoso apoyo para otros cursos del área de fenómenos de transporte como transferencia de masa y cantidad de movimiento o flujo de fluidos. Se solucionaron problemas que sin la ayuda de este software no hubiera sido posible plantearlos a nivel de pregrado. Los alumnos conceptualizan más fácilmente el sentido de las variables que intervienen en un problema y prácticamente visualizan la evolución de las temperaturas o concentraciones en el sistema estudiado. Muchos de los estudiantes no tenían manejo de otros softwares y algunos comienzan a utilizar el Matlab. Sin embargo todos terminaron adoptando el EES, y como evidencia, las guías que se incluyen en este trabajo, fueron aportes de diferentes subgrupos a través de un taller. De hecho, muchos de los alumnos del curso comenzaron a utilizarlo para presentar sus trabajos de otras asignaturas del semestre. El ingeniero de hoy debe tener habilidades en el uso de herramientas computacionales y el plan de estudios debe ofrecer esta posibilidad desde sus comienzos. Este software, de fácil aprendizaje permite introducir en las diferentes asignaturas ejercicios realistas que no pueden solucionarse usando un conjunto de cálculos secuenciales para resolverse con lápiz y calculadora. La utilización de este software facilita el dimensionamiento, el estudio paramétrico y la optimización de sistemas del mundo real.

332

RECOMENDACIONES Se hace recomendación para que otros docentes exploren la posibilidad de introducir este software en sus clases, en especial los cursos de termodinámica y transferencia de calor. La Facultad de Ingeniería y Arquitectura de la Sede Manizales de la Universidad Nacional de Colombia adquirió la versión académica comercial de este software por US$ 1500 y la licencia se renueva anualmente en forma gratuita. Esta licencia se puede mejorar a profesional por $US$ 2250 adicionales (más los impuestos de nuestro país) con las mismas condiciones de renovación anual y gratuita. La versión profesional del software es más poderosa y permite gran cantidad de actividades adicionales, las que pueden ser consultadas en la página de los creadores: http://fchart.com/ees/pro-comm-versions.php

http://fchart.com/ees/pro-comm-versions.php

333

ANEXOS

334

TABLA A.1: Coeficientes usados en la aproximación a un término de la solución en series de Fourier para la

conducción transitoria unidimensional con convección. Bi = hL/k para la pared plana simétrica y hR/k para el

cilindro infinito y la esfera (kcL/mDAB y kcR/mDAB en transferencia de masa) (Incropera et al [39] p 227)

Pared

Plana

Cilindro

Infinito

Esfera

Bi (rad) (rad) (rad)

0.01 0.0998 1.0017 0.1412 1.0025 0.1730 1.0030

0.02 0.1410 1.0033 0.1995 1.0050 0.2445 1.0060

0.03 0.1732 1.0049 0.2439 1.0075 0.2989 1.0090

0.04 0.1987 1.0066 0.2814 1.0099 0.3450 1.0120

0.05 0.2217 l.0082 0.3142 1.0124 0.3852 1.0149

0.06 0.2425 1.0098 0.3438 1.0148 0.4217 1.0179

0.07 0.2615 1.0114 0.3708 1.0173 0.4550 1.0209

0.08 0.2791 1.0130 0.3960 1.0197 0.4860 1.0239

0.09 0.2956 1.0145 0.4195 1.0222 0.5150 1.0268

0.10 0.3111 1.0160 0.4417 1.0246 0.5423 1.0298

0.15 0.3779 1.0237 0.5376 1.0365 0.6608 1.0445

0.20 0.4328 1.0311 0.6170 1.0483 0.7593 1.0592

0.25 0.4801 1.0382 0.6856 1.0598 0.8448 1.0737

0.30 0.5218 1.0450 0.7465 1.0712 0.9208 1.0880

0.4 0.5932 1.0580 0.8516 1.0932 1.0528 1.1164

0.5 0.6533 1.0701 0.9408 1.1143 1.1656 1.1441

0.6 0.7051 1.0814 1.0185 1.1346 1.2644 1.1713

0.7 0.7506 1.0919 1.0873 1.1539 1.3525 1.1978

0.8 0.7910 1.1016 1.1490 1.1725 1.4320 1.2236

0.9 0.8274 1.1107 1.2048 1.1902 1.5044 1.2488

1.0 0.8603 1.1191 1.2558 1.2071 1.5708 1.2732

2.0 1.0769 1.1795 1.5995 1.3384 2.0289 1.4793

3.0 1.1925 1.2102 1.7887 1.4191 2.2889 1.6227

4.0 1.2646 1.2287 1.9081 1.4698 2.4556 1.7201

5.0 1.3138 1.2402 1.9898 1.5029 2.5704 1.7870

6.0 1.3496 1.2479 2.0490 1.5253 2.6537 1.8334

7.0 1.3766 1.2532 2.0937 1.5411 2.7165 1.8674

8.0 1.3978 1.2570 2.1286 1.5526 2.7654 1.8921

9.0 1.4149 1.2598 2.1566 1.5611 2.8044 1.9106

10.0 1.4289 1.2620 2.1795 1.5677 2.8363 1.9249

20.0 1.4961 1.2699 2.2881 1.5919 2.9857 1.9781

30.0 1.5202 1.2717 2.3261 1.5973 3.0372 1.9898

40.0 1.5325 1.2723 2.3455 1.3993 3.0632 1.9942

50.0 1.5400 1.2727 2.3572 1.6002 3.0788 1.9962

100 1.5552 1.2731 2.3809 1.6015 3.1102 1.9990

1.5707 1.2733 2.4050 1.6018 2.0

Bi = implica que la concentración en el medio ( ) es igual a la de la superficie ( ).

1 1C 1 1C 1 1C

S

335

TABLA A.2: Primeras seis raices, , de . Se usa en simetría cilíndrica

con convección. Aquí C equivale a Bi (Necati [53] pp 484-485)

C 1 2 3 4 5 6

0 0 3.8317 7.0156 10.1735 13.3237 16.4704

0.01 0.1412 3.8343 7.0170 10.1745 13.3244 16.4712

0.02 0.1995 3.8369 7.0184 10.1754 13.3252 16.4718

0.04 0.2814 3.8421 7.0213 10.1774 13.3267 16.4731

0.06 0.3438 3.8473 7.0241 10.1794 13.3282 16.4743

0.08 0.3960 3.8525 7.0270 10.1813 13.3297 16.4755

0.1 0.4417 3.8577 7.0298 10.1833 13.3312 16.4767

0.15 0.5376 3.8706 7.0369 10.1882 13.3349 18.4797

0.2 0.6170 3.8835 7.0440 10.1931 13.3387 16.4828

0.3 0 7465 3.9091 7.0582 10.2029 13.3462 16.4888

0.4 0.8516 3.9344 7.0723 10.2127 13.3537 16.4949

0.5 0.9408 3.9594 7.0864 10.2225 13.3611 16.5010

0.6 1.0184 3.9841 7.1004 10.2322 13.3686 16.5070

0.7 1.0873 4.0085 7.1143 10.2419 13.3761 16.5131

0.8 1.1490 4.0325 7.1282 10.2516 13.3835 16.5191

0.9 1.2048 4.0562 7.1421 10.2613 13.3910 16.5251

1.0 1.2558 4.0795 7.1558 10.2710 13.3984 16.5312

1.5 1.4569 4.1902 7.2233 10.3188 13.4353 16.5612

2.0 1.5994 4.2910 7.2884 10.3658 13.4719 18.5910

3.0 1.7887 4.4634 7.4103 10.4566 13.5434 16.6499

4.0 1.9081 4.6018 7.5201 10.5423 13.6125 16.7073

5.0 1.9898 4.7131 7.6177 10.6223 13.6786 16.7630

6.0 2.0490 4.8033 7.7039 10.6964 13.7414 16.8168

7.0 2.0937 4.8772 7.7797 10.7646 13.8008 16.8684

8.0 2.1286 4.9384 7.8464 10.8271 13.8566 16.9179

9.0 2.1566 4.9897 7.9051 10.8842 13.9090 16.9650

10.0 2.1795 5.0332 7.9569 10.9363 13.9580 17.0099

15.0 2.2509 5.1773 8.1422 11.1367 14.1576 17.2008

20.0 2.2880 5.2568 8.2534 11.2677 14.2983 17.3442

30.0 2.3261 5.3410 8.3771 11.4221 14.4748 17.5348

40.0 2.3455 5.3846 8.4432 11.5081 14.5774 17.6508

50.0 2.3572 5.4112 8.4840 11.5621 14.6433 17.7272

60.0 2.3651 5.4291 8.5116 11.5090 14.6889 17.7807

80.0 2.3750 5.4516 8.5466 11.6461 14.7475 17.8502

100.0 2.3809 5.4652 8.5678 11.6747 14.7834 17.8931

J0() = 0

2.4048 5.5201 8.6537 11.7915 14.9309 18.0711

i J CJ1 0 0( ) ( )

336

TABLA A.3 Primeras seis raíces de .Las raíces son todas reales si C > 0. Se usa en

placas con convección. en radianes. Aquí C equivale a Bi (Necati [53] pp 484-485).

C 1 2 5

0 0 3.1416 6.2832 A9.4248 12.5664 15.7080

0.001 0.0316 3.1419 6.2833 9.4249 12.5665 15.7080

0.002 0.0447 3.1422 6.2835 9.4250 12.5665 15.7081

0.004 0.0632 3.1429 6.2838 9.4252 12.5667 15.7082

0.006 0.0774 3.1435 6.2841 9.4254 12.5668 15.7083

0.008 0.0893 3.1441 6.2845 9.4256 12.5670 15.7085

0.01 0.0998 3.1448 6.2848 9.4258 12.5672 15.7086

0.02 0.1410 3.1479 4.2864 9.4269 12.5680 15.7092

0.04 0.1987 3.1543 4.2895 9.4290 12.5696 15.7105

0.06 0.2423 3.1606 6.2927 9.4311 12.5711 15.7118

0.08 0.2791 3.1668 6.2959 9.4333 12.5727 15.7131

0.1 0.3111 3.1731 6.2991 9.4354 12.5743 15.7143

0.2 0.4328 3.2039 6.3148 9.4459 12.5823 15.7207

0.3 0.5218 3.2341 6.3305 9.4565 12.5902 15.7270

0.4 0.5932 3.2636 6.3461 9.4670 12.5981 15.7334

0.5 0.6533 3.2923 6.3616 9.4775 12.6060 15.7397

0.6 0.7051 3.3204 6.3770 9.4879 12.6139 15.7460

0.7 0.7506 3.3477 6.3923 9.4983 12.6218: 15.7524

0.8 0.7910 3.3744 6.4074 9.5087 12.6296 15.7587

0.9 0.8274 3.4003 6.4224 9.5190 12.6375. 15.7650

1.0 0.8603 3.4256 6.4373 9.5293 12.6453 15.7713

1.5 0.9882 3.5422 6.5097 9.5801 12.6841 15.8026

2.0 1.0769 3.6436 6.5783 9.6296 12.7223 15.8336

3.0 1.1925 3.8088 6.7040 9.7240 12.7966 15.8945

4.0 1.2646 3.9352 6.8140 9.8119 12.8618 15.9536

5.0 1.3138 4.0336 6.9096 9.8928 12.9352 16.0107

6.0 1.3496 4.1116 6.9924 9.9667 12.9938 16.0654

7.0 1.3766 4.1746 7.0640 10.0339 13.0504 16.1177

8.0 1.3978 4.2264 7.1263 10.0949 13.1141 16.1675

9.0 1.4149 4.2694 7.1806 10.1502 13.1660 16.2147

10.0 1.4289 4.3058 7.2281 10.2003 13.2142 16.2594

15.0 1.4729 4.4255 7.3959 10.3898 13.4078 16.4474

20.0 1.4961 4.4915 7.4954 10.5117 13.5420 16.5864

30.0 1.5202 4.5615 7.6O57 10.6543 13.7085 16.7691

40.0 1.5325 4.5979 7.6647 10.7334 13.8048 16.8794

50.0 1.5400 4.6202 7.7012 10.7832 13.8666 16.9519

60.0 1.5451 4.6353 7.7259 10.8172 13.9094 17.0026

80.0 1.5514 4.6343 7.7573 10.8606 13.9644 17.0686

100.0 1.5552 4.6658 7.7764 10.8871 13.9981 17.1093

(n-1/2)

1.5708 4.7124 7.8540 10.9956 14.1372 17.2788

n tann C

n

337

TABLA A.4: Primeras seis raices de . Se usa en sitemas esféricos con

convección. en radianes. Aquí el equivalente es (Necati [53] pp 484-485)

-1.0 0 4.4934 7.7253 10.041 14.0662. 17.2208

-0.995 0.1224 4.4945 7.7259 10.9046 14.0666 17.2210

-0.99 0.1730 4.4956 7 7265 10.9050 14 0669 17.2213

-0.98 0.2445 4.4979 7.7278 10.9060 14 0676 17.2219

-0.97 0.2991 4.5001 7.7291 10.9069 14.0683 17.2225

-0.96 0.3450 4.5023 7.7304 10.9078 14.0690 17.2231

-0.95 0.3854 4.5045 7.7317 10.9087 1 4.0697 17.2237

-0.94 0.4217 4.5068 7.7330 10.9096 14.0705 17.2242

-0.93 0 4551 4.5090 7.7343 10.9105 14.0712 17.2248

-0.92 0.4860 4.5112 7.7356 10.9115 14.0719 17.2254

-0.91 0.5150 4.5134 7.7369 10.9124 14.0726 17.2260

-0.90 0.5423 4.5157 7.7382 10.9133 14.0733 17.2266

-0.85 0.6609 4.5268 7.7447 10.9179 14.0769 17.2295

-0.8 0.7593 4.5423 7.7511 10.9225 14.0804 17.2324

-0.7 0.9208 4.5601 7.7641 10.9316 14.0875 17.2382

-0.6 1.0528 4.5822 7.7770 10.9408 14.0946 17.2440

-0.5 1.1656 4.6042 7.7899 10.9499 14.1017 17.2498

-0.4 1.2644 4.6261 7.8028 10 9591 14.1088 17.2556

-0.3 1.3525 4.6479 7.8156 10.9682 14.1159 17.2614

-0.2 1.4320 4.6696 7.8284 10.9774 14.1230 17.2672

-0.1 1.5044 4.6911 7.8412 10.9865 14.1301 17.2730

0 1.5708 4.7124 7.8540 10.9956 14.1372 17.2788

0.1 1.6320 4.7335 7.8667 11.0047 14.1443 17.2845

0.2 1.6887 4.7544 7.8794 11.0137 14.1513 17.2903

0 3 1.7414 4.7751 7.8920 11.0228 14.1584 17.2961

0.4 1.7906 4.7956 7.9046 11.0318 14.1654 17.3019

0 5 1.8366 4.8158 7.9171 11.0409 14.1724 17.3076

0.6 1.8798 4.8358 7.9295 11.0498 14.1795 17.3134

0.7 1.9203 4.8556 7.9419 11.0588 14.1865 17.3192

0.8 1.9586 4.8751 7.9542 11.0677 14.1935 17.3249

0.9 1.9947 4.8943 7.9665 11.0767 14.2005 17.3306

1.0 2.0288 4.9132 7.9787 11.0856 14.2075 17.3364

1.5 2.1746 5.0037 8.0385 11.1296 14.2421 17.3649

2.0 2.2889 5.0870 8.0962 11.1727 14.2764 17.3932

3 0 2.4557 5.2329 8.2045 11.2560 14.3434 17.4490

4.0 2.5704 5.3540 8.3029 11.3349 14.4080 17.5034

5.0 2.6537 5.4544 8.3914 11.4086 14.4699 17.5562

6.0 2 7165 5.5378 8.4703 11.4773 14.5288 17.6072

7.0 2.7165 5.6078 8.5406 11.5408 14.5847 17.6562

8.0 2.8044 5.6669 8.6031 11.5994 14.6374 17.7032

9.0 2.8363 5.7172 8.6587 11.6532 14.6870 17.7481

10.0 2.8628 5.7606 8.7083 11.7027 14.7335 17.7908

15.0 2.9476 5.9080 8.8898 11.8959 14.9251 17.9742

20.0 2.9930 5.9921 9.0019 12.0250 15.0625 18.1136

30.0 3 0406 6.0831 9.1294 12.1807 15.2380 18.3018

40.0 3.0651 6.1311 9.1987 12.2688 15.3417 18.4180

50.0 3.0801 6.1606 9.2420 12.3247 15.4090 18.4953

60.0 3.0901 6.1805 9.2715 12.3632 15.4559 18.5497

80.0 3.1028 6.2058 9.3089 1.4124 15.5164 18.6209

100.0 3.1105 6.2211 9.3317 12.4426 15.5537 18.6650

n

2 3 4 5 6

cot 0C

1C Bi

C1 2 3 4 5 6

338

TABLA A.5: TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE (Arpaci [4] pp 344-348). En esta tabla , y son reales positivos,

no tienen restricciones, es un numero entero finito, es un numero entero finito o cero, es un número fraccionario;

; ; ;

1 2

q p a a x

, , k n

1 2 3 !n n

1 3 5 2 1 2 1 !!n n 1 !n n n n 1 0! 1 1 212

1 sin

No. Transformada Función

1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

p

2

1

pt

1kp

1

1 !

kt

k

1 2

1

p 1 2

1

t

3 2

1

p

1 2

2t

1 2

1kp

1 2

1 2

2

2 1 !!

kkt

k

1

p

1t

1 2p 1 2 3 2

1

2 t

3 2p 1 2 5 2

3

4 t

339

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1 2kp 1 2 1 2

1 2 1 !!

2

k

k k

k

t

np

1nt

n

1

p te

1

p p

t te e

2

1

p tte

1

p p p

t t te e e

2

1

p p

2

1t te e t

3

1

p 21

2

tt e

1k

p

1

1 !

k tt e

k

p

p p

t te e

2

p

p 1 tt e

340

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

p

p p p

t t te e e

2

p

p p

2

t tt e e

3

p

p

11

2

tt t e

2 2p

sin t

2 2

p

p cos t

2 2p

sinh t

2 2

p

p cosh t

qxe

2

4

13 22

xatx

e

at

q xe

q

2

4

12 x

atae

t

q xe

p

1

22

xerfc

at

q xe

q p

1 22

4

12

22

xatat x

e x erfcat

341

32

33

34

35

36

37

38

2

q xe

p

122

4

12

2

2 2

xatx x t

t erfc x ea aat

21 n

q xe

p

21

2

42

n n xt i erfc

at

34

q xe

p

1

2 2

811

42

21

82

xatx x

e Katta

qxe

q

122

2 14 2

122

xat x a ta x

e a e erfc att at

q xe

q q

2 12

122

x a t xae erfc at

at

q xe

p q

2 12

1 12 2

1 1

2 2

x a tx xerfc e erfc at

at at

q xe

q p q

122

4

12

2 12

12

2

2

12

2

1

2

xat

x a t

xat xe erfc

at

xe erfc at

at

342

39

40

41

42

1

q x

n

e

q q

2 12

12

12

12

1

0

2

22

x a t

n

rnr

nn

a xe erfc at

at

a xat i erfc

at

2

q xe

q

12 2

4

2 12

12

3

2

2

1 22

xat

x a t

a te

xa x a t e erfc at

at

2

q xe

p q

122

4

12

2 12

12

2

2

2

1 2

2

11 2

2

xat

x a t

x aterfc e

at

xx a t e erfc at

at

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p

12 1

21

2

12 1

21

2

1

2 2

2

a

a

xt

x

xe e erfc t

at

xe erfc t

at

343

43

44

45

46

47

q xe

q p

1 12 2 1

21

2

12 1

21

2

1

2 2

2

a

a

xt

x

a xe e erfc t

at

xe erfc t

at

2

q xe

p

12 1

21 1

2 2

12 1

21 1

2 2

1

2 2 2

2 2

a

a

xt

x

x xe t e erfc t

at at

x xt e erfc t

at at

2

,q xe

p q

a

1122 1

21 1 1

2 2 2

1122 1

21 1 1

2 2 2

2 12

12

2

1

2 2

2

2

a

a

xt

x

x a t

a xe e erfc t

a at

a xe erfc t

a at

a xe erfc at

a at

1x

pe 1

2 12

1 2x

I xtt

1 xpe

p

12

0 2I xt

344

48

49

50

51

52

53

54

55

56

1 xpe

p

12 1

21 2

tI xt

x

0K qx

2

41

2

xate

t

12

2

1K qx

p

2

8

12

21

82

xat x

e Katt

2 1p K qx

1

2

2

4

12

xat

ux a e u du

2p K qx

2

4

21

2

xatx

ea t

1

22 2p p x

x

I xtt

2

1 2 1 2

1x p p

e

1122 2

1122

11 2

4

4

t

x e I t t x

t t x

1 2 1 2

1 12 2

x p p p

e

p p

11

22 210 2

2t x

e I t t x

21 2 1 2

1 1 1 12 2 2 2

2

x p p

e

p p p p

1122 2 2

2

12

4

4

t

t e I t t x

t x

345

GUIA BREVE AL USO DEL SOFTWARE EES

El texto que se presenta a continuación es un resumen de varias propuestas hechas por

subgrupos de estudiantes, atendiendo sus experiencias en la utilización de esta

herramienta de cálculo.

Se fundamenta principalmente en el trabajo realizado por los siguientes alumnos:

Leydi Johana Patiño, Manuel Alejandro Ruiz Montoya, Juan José Uribe Garzón, Laura

Alejandra Jaramillo Castro, Karla Yaneth Mora Bonilla, Reynell Junior Perez Blanco, Darío

Fernando Yépez Vela, Catherine Canaval López.

INTRODUCCIÓN

Estas son solo algunas de las funciones con las cuales el EES cuenta en su software, que

sirven de gran utilidad ya que con él se pueden reducir tiempo y esfuerzo respecto a los

cálculos que posiblemente podrían hasta tomar el doble o el triple de tiempo, realmente

esto solo es un poco y a grandes rasgos de lo que se puede hacer en el programa, pero sin

duda es una herramienta que ya sea estudiante o profesionista debe de saber manejar y

tener a la mano

CONOCIMIENTO BÁSICO DE EES:

EES (Engineering Equations Solver) es un programa o software que puede resolver

numéricamente ecuaciones algebraicas. El programa también puede ser usado para

resolver ecuaciones diferenciales e integrales, hacer la optimización, proporcionar análisis

de incertidumbre, realizar regresiones lineales y no lineales, convertir unidades, y generar

gráficos con calidad de publicación.

346 La interfaz de EES es de fácil manejo y entendimiento, lo que la lleva a ser amigable e

intuitiva para el usuario.

La interfaz está compuesta por una Equations Window y una toolbar o barra de

herramientas.

Equations window: Es el espacio donde se escribe el código a solucionar para un

problema específico.

Como se puede ver en la imagen anterior, para realizar algún comentario debe estar entre comillas,

de otra forma el programa dirá que hay un error.

Ahora que se tiene escrito el primer sistema de ecuaciones a resolver, se debe verificar que haya el

mismo número de ecuaciones e incógnitas, para encontrar la solución e igualmente elegir el sistema

347

de unidades que se va a emplear, la siguiente imagen muestra cómo hacerlo.

Como se ve en la figura anterior, el programa nos dice que tenemos 2 ecuaciones y 3 variables, por lo

tanto debemos verificar que variable no se encuentra especificada, de lo contrario EES no podrá

encontrar la solución al problema.

Si se desea ver las ecuaciones de forma más clara, se le da formato, como se muestra en la siguiente

imagen o por Windows Equations Formatted

348

Los resultados se ven en la ventana solution, como se muestra en la imagen anterior.

EES también ofrece la posibilidad de linealizar las gráficas dando la opción de regresiones

lineales y no lineales; para esto seleccionamos el menú Plots comando Curve Fit

generando el siguiente cuadro

349

Se pueden seleccionar el tipo de ecuación, dar clic en Fit y se genera la gráfica de la

linealización con la ecuación correspondiente

350

En la siguiente imagen se dan valores a la variable z, para poder resolver el sistema que se muestra.

Para darle solución al sistema, sigue las instrucciones de la siguiente imagen

351

Resumiendo, para el ingreso de las ecuaciones en la Equations window se debe tener

presente:

1. EES no distingue entre mayúsculas y minúsculas.

2. Los comentarios deben escribirse entre llaves {} o dentro de comillas" " rectas.

Cuando se trae un documento de Word se debe tener cuidado que no tenga

comillas tipográficas. Los comentarios en EES aparecen en color azul

3. Los nombres de las variables deben empezar con una letra.

4. No importa el orden en el que se introduzcan las ecuaciones.

5. Es muy importante si el teclado está en español, el separador de decimales es la

coma (,) y no el punto, por lo que se modifican otros separadores que aparecen en

el manual así: si el (.) se reemplaza por la (,) la (,) se reemplaza por (;) y el (;) por (:).

Los exponentes de 10 se escriben muy fácil: 0,003 es 3e-3; un millón es 1e6.

Si se desea cambiar la presentación de la pantalla en el equation windows, bata ir a

opciones, preferencia, en una pestaña inferior display y cambia tamaño y tipo de

letra si se desea.

Lo que facilita mucho el uso del programa es que prácticamente es como si se estuvieran

escribiendo las ecuaciones en una calculadora. Para mayor estética con respecto a algunas

variables que tengan algún sufijo estas pueden escribirse de la siguiente manera por

ejemplo al escribir en nuestra ventana “Equation Window” T_1 al cargar el programa este

automáticamente lo colocara como T1.

Existen varias figuras que también podemos utilizar en el programa tales como “𝜟α∞”

utilizando comandos como los siguientes:

De esta manera al correr el programa nos daría lo siguiente:

Para obtener las letras griegas estas deben escribirse correctamente a saber: lambda ,

rho , PHI , distinguiendo entre la letra mayúscula y la minúscula. Algunos símbolos

adicionales se obtienen así: x_dot , x_ddot , x_hat , x_bar , x|alpha . Cuando una

ecuación es muy larga, se puede dividir en la escritura en diferente renglón, pero EES

comprende que es la misma ecuación usando el signo & (ampersand o y comercial).

x x x̂ x x

352 Para la colocación de unidades estas deben ir entre corchetes “[ ]” para que el programa las

pueda leer y aparezcan en el momento de calcular el sistema de ecuaciones por ejemplo:

Así al momento de calcular saldrá de la siguiente manera:

Siempre buscando que no se encuentren errores de unidades.

El programa también maneja el cambio de unidades desde la ventana “Equation Window”,

por ejemplo se tiene cierto dato en pulgadas (in) y se quiere convertir a pies (ft) para que se

puede llevar a cabo la conversión se utiliza la siguiente nomenclatura:

De esta manera el programa EES realiza la conversión y arroja el resultado de la siguiente

forma:

Así como este ejemplo el programa EES cuenta con todo tipo de unidades tanto en el SI

como en el inglés, con las cuales se pueden realizar estos comandos siempre y cuando

sean consistentes.

Convert temp Para las conversiones de temperatura EES utiliza un comando diferente

conocido como converttemp el cual se usa como se muestra a continuación:

Converttemp(‘From’,’To’,’valor’)

Por ejemplo: TF=converttemp (C, F,100) da el equivalente a 100 °C en °F.

Para poder acceder a la base de datos que contiene las propiedades termodinámicas y

termo físicas de las sustancias e incluirlas en la ventana “Equation Window”, se deben de

hacer los siguientes pasos:

353

Primero se puede acceder a ella por desde el uso del comando antes mencionado que

se encuentra en la parte superior de la ventana principal o por medio de (Ctrl+Alt+F).

También entrando por la pestaña Options.

Después al usuario le aparecerá la siguiente ventana:

La cual contiene todas las propiedades así como los fluidos y las unidades en las que se

quiera emplear ahí el usuario selecciona el fluido que necesita y en la parte inferior le

aparecerá el código con las especificaciones que el usuario selecciono de la siguiente

manera:

Le da click a la opción de paste y automáticamente el código aparecerá en la ventana de

“Equation Window”

Para este ejemplo se seleccionó buscar la capacidad calorífica del agua donde uno puede

manipular la temperatura como la presión para obtener el dato que se necesita por ejemplo:

354

Estos valores pueden ser manejados a las condiciones en las que se necesitan en el

sistema de ecuaciones para este ejemplo obtenemos que:

El programa también da la opción de colocar comentarios en la ventana “Equation Window”

estos comentarios deben de ir entre {} o ente "" rectas, no tipográficas, para que no

interfieran con el sistema de ecuaciones y no marque error al momento de querer

solucionarlo, como por ejemplo:

De esta manera se puede introducir cualquier tipo de comentario para así saber tanto para

el usuario como para otras personas que significa cada variable o para que se realizó algún

sistema de ecuaciones.

Otra función puede ser de gran utilidad a la que se puede acceder desde la ventana

“Equation Window” es el de integrar en un intervalo de algo por ejemplo se quiere integrar

desde un tiempo 0 min a un tiempo 5min con intervalos de 0.01 min con respecto a otra

función, para crear esta función se deberá colocar un código de la siguiente manera:

Toolbar: Contiene diferentes herramientas o menús para la ejecución de diferentes

acciones. Algunos son:

Símbolos:

Open: abrir documentos guardados

Save: guardar documentos

Variable info: brinda información sobre las variables introducidas

Function info: nos muestra todas las funciones con las que cuenta el programa. Ej.:

Bessel, erf, integral, sum…

Unit system: sistema de unidades en el que se desea trabajar

Check equations: verifica que haya igual # de ecuaciones y de incógnitas

Check unit: verifica unidades

355

Solve: resuelve el sistema de ecuaciones

Nem parametric table: se eligen las variables que se desean representar en una tabla

Property plot: graficas de propiedades de sustancias ya establecidas

Equations window: nos lleva a la ventana de ecuaciones

Formatted equations: muestra las ecuaciones de manera formal

Diagram window: opciones para creación de animaciones

Manejo de unidades

La herramienta para ajustar las unidades la podemos encontrar en el menú de opciones y

seleccionar unit system, y el programa abrirá una ventana que permite seleccionar las

unidades que el usuario desea trabajar, se debe tener en cuenta que inicialmente el

programa trabaja en sistema internacional.

Sin embargo, la manera más segura de que su programa siempre corra en las unidades

predeterminadas es dar una directiva al comienzo del código:

$UnitSystem SI Mass Rad (o Deg) Pa K J o los que se deseen. En sistema inglés

$UnitSystem Eng Mass Rad psia F Btu como ejemplo.

Check Equations: identifica los errores de sintaxis y la cantidad de variables y ecuaciones.

En la tool bar aparece así:

356

Solve: soluciona el algoritmo y/o sistema de ecuaciones escrito en la Equations

Window. Cuando se da click sobre ésta, inmediatamente se abre la Solution

Window. En la toolbar aparece el menú Solve y la Solution Window, así respectivamente:

TABLAS Y GRÁFICOS:

Una de las características más utilizadas de EES es la capacidad de proporcionar estudios

de parámetros. Por ejemplo puede resultar de interés, ver cómo una variable cambia

respecto a otra, para ello es necesario el uso de tablas y gráficos.

Para realizar una tabla en EES se debe seleccionar en la toolbar new parametic table, la

cual se encuentra representada así

Para ello se tomó un ejercicio del curso.

357

En el recuadro que sale, se seleccionan lógicamente las variables de interés, éstas deben

estar previamente definidas en la Equations window. Como Ca depende de z, el valor de

ésta última debe colocarse entre comillas o corchetes en el equation windows.

Nota: No importa que en el check Equations salgan más ecuaciones que variables. (Para

el ejemplo serían 9 ecuaciones y 10 variables).

Después de dar click en add y ok se llega a lo siguiente:

358 Se selecciona el número de datos (para el ejemplo fueron 10), después se da el primer y

último valor sobre el cual se desea hacer el análisis (para el ejemplo fue 0 y 5E-4 m

respectivamente).

Después de haber dado ok en el paso anterior y solve table en Calculate, finalmente se

obtiene la tabla paramétrica.

Para elaborar el gráfico simplemente se busca en la toolbar o directamente en Plots, New

Plot Window simbolizada así:

359

Se seleccionan las variables que deben ir en el eje x e y. Luego se realizan los ajustes

estéticos y finalmente se obtiene el gráfico del problema a analizar.

Si se quiere añadir más gráficas sobre una misma se busca el overlay Plot que se

encuentra al lado derecho de New Plot Window o en Plots. El overlay se encuentra en la

barra de herramientas así:

360 Nota: el overlay se activa después de haber añadido la primera gráfica con new Plot

window

Para añadir una leyenda o añadir algún texto se selecciona en el recuadro derecho el botón

ALGUNAS FUNCIONES Y COMANDOS

Función de error: Es de uso frecuente y necesario en el curso de fenómenos de

transferencia.

361

Funciones de librería: Dentro de la gran variedad de funciones de EES, se cuenta con

unas específicas a la transferencia de calor (también pueden ser útiles a la transferencia de

masa). Para acceder a ellas se busca en Options o en la barra de herramientas function

info, representada así:

Ciclos o bucles: son de gran utilidad a la hora de programar algún código o algoritmo,

especialmente para métodos numéricos. Es de uso frecuente en ellos variables de orden o

matrices. Los resultados con matrices se organizan en la arrays table

362

INTEGRALES: Permiten hallar el valor numérico de una integral para determinada

ecuación.

Si se quiere una tabla que contenga diferentes respuestas en función de la variable de

integración (para el ejemplo diferentes distancias en función del tiempo), se usa el comando

$IntegralTable VarName:Interval;x;y;z

VarName es la variable de integración , Interval es el intervalo que se quiere en la tabla, y

x, y, z son las variables que se quieren reportar

363

DIAGRAM WINDOW

“Diagram Window” es una herramienta que brinda EES de gran ayuda para el usuario, ya

que esta permite mostrar un diagrama (o texto) que puede ayudar en la interpretación de

las ecuaciones del problema a resolver, además, ésta puede usarse para suministrar

entradas y salidas de información y/o generar informes.

El diagrama puede diseñarse en programas externos al EES y luego debe ser llevado a la

ventana Diagram Window (Ctrl + D), o desde el menú Windows comando Diagram

Windows.

Al hacer clic sobre el botón Add/edit text se abrirá el siguiente cuadro que permite el

ingreso de texto al diagrama y

brinda la opción de seleccionar las

variables de entrada y salida del

sistema.

364

El comando Duplicate: Las ecuaciones que vayan a ser duplicadas están encerradas entre las

palabras de comando DUPLICATE y END:

N=12

D_AB=7,5e-9

C_Ao=0,04

R=0,2154e-3

duplicate i=0;N

t[i]=(1/640)*i [s]

365

Fo[i]=D_AB*t[i]/R^2

end

Este comando calcula el número de Fourier par 12 tiempos diferentes.

GENERAR INFORMES EN LATEX

Primero se debe descargar MikTex, existen muchos de estos distribuidores online y otros

diseñados para ser instalados en el ordenador directamente; entre ellos están

TeXnicCenter, Miktex, TeXworks o editores más genéricos como Sublime Text, VIM o

Emacs. El siguiente link muestra como descargar y usar TeXnicCenter ya que es un editor

más amigable para el usuario por sus comandos e interfaz

(https://www.youtube.com/watch?v=NeNOj_Ulys8).

El siguiente paso es abrir EES, dirigirse a File, crear LatexPDF report, generando la

siguiente ventana

366 Es necesario advertir sobre las opciones dadas en PDFLATEX ya que puede borrar las

imágenes, los gráficos que tenga el programa en EES, y el archivo .tex que crea MinTex;

generando un PDF erróneo que en un futuro no puede modificarse.

Ir a SetUp y se despliega la siguiente ventana

Dirigirse al siguiente enlace C:\textmf\miktex\bin\pdflatex.exe

o C:\programfiles\textmf\miktex\bin\pdflatex.exe. Se puede especificar o cambiar el lugar

donde está guardado el documento.

Los editores de Latex online son muchos más amigables con el usuario ya que

proporcionan plantillas gratuitas (Overleaf)

Los editores en línea son amigables con el usuario y brindan plantillas gratuitas, tales como

Overleaf. A continuación se dispone de la página que está vinculada a la universidad:

https://www.overleaf.com/edu/unal

SUGERENCIAS

https://www.overleaf.com/edu/unal

367

Es común que EES no corra el algoritmo o arroje resultados inconsistentes debido a que

ocurre un error en la Equations window. Para ello lo mejor es seguir los siguientes pasos:

1. Leer y entender bien el problema o ejercicio para el que se está planteando el

algoritmo.

2. Revisar las variables y ecuaciones. Para facilitar esto visualice las ecuaciones en

notación matemática con Formatted Equations.

3. Hay casos en los que el software arroja una ventana con un error en la que aparece:

this equation attempts to raise a negative number to a non- integer power. Para

solucionar esto dirigirse a variable info y cambiar el lower limit por cero en la variable que

está fallando. Si sigue apareciendo lo mismo use valor absoluto en la ecuación que marca

error sin deshacer lo anteriormente dicho.

4. Utilizar el menú help que se encuentra sobre la barra de herramientas, donde se

puede revisar el manual original de EES, tutoriales en YouTube y el help index que

contiene la información inmediata y de fácil búsqueda sobre las diferentes herramientas y

funciones de EES.

BIBLIOGRAFIA:

RESUMEN MANUAL EES

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PALABRAS DELJURADO Manizales, Octubre 26/2016 Palabras en ocasión de la defensa de Tesis de Maestría del profesor Ramiro Betancourt Grajales

Buenas tardes para todos los presentes Nos hemos reunido en esta ocasión para presenciar la defensa de la tesis de maestría en I.Q. del profesor Ramiro Betancourt Grajales. Para quien les habla, no solamente ha sido una enorme responsabilidad académica y científica, sino un honor fungir como jurado de esta tesis. Y no es para menos, ya que en primer lugar, su venerable padre, Don Joaquín (q.e.d.) fue mi profesor de Botánica en mi lejana juventud cuando yo era estudiante de bachillerato en la Normal Departamental de Varones, aquí en Manizales. Este recuerdo vino a mi memoria, de forma inevitable, cuando revisaba su trabajo de investigación. Después, Ud., profesor Ramiro, lo fue de Algebra y Transferencia de Masa I, y ésta por dos veces, cuando quien les habla era estudiante de I.Q en esta nuestra amada sede de la Unal. Pero no solamente mi profesor, Usted lo ha sido de todos los egresados de nuestro programa de IQ desde su creación en 1970. Su tesis “ESTUDIO DE LA APLICACIÓN DE LA HERRAMIENTA EES PARA LA TRANSFERENCIA DE CALOR O DE MASA EN ESTADO TRANSITORIO”, representa un avance significativo en la incorporación de herramientas computacionales en la enseñanza de la Ingeniería Química. Este tema no es ajeno a mis investigaciones, pues en colaboración con la Dra. Francy Nelly Jiménez, trabajamos en la incorporación de tales herramientas computacionales, que técnicamente se denominan sistemas cognitivos artificiales, en la enseñanza de las matemáticas y la física, en la Universidad Autónoma de Manizales. Deseo enfatizar que la tesis del profesor Betancourt representa un avance significativo en la enseñanza de la I.Q, pues en mi época de estudiante, debíamos resolver gruesos problemas de transferencia de masa, calor, mecánica fluidos, balances de materia y energía, entre otros, a través del uso de la famosa regla de cálculo, lo cual implicaba un enorme esfuerzo computacional de nuestra parte, con la complicación adicional de trazar las gráficas a mano, como por ejemplo, las gráficas para determinar el número de etapas teóricas necesarias para la destilación de mezclas binarias. Esto por supuesto, consumía muchas horas de trabajo a mano. Hoy en día estos problemas, para mezclas multicomponentes, se pueden resolver en un tiempo mucho menor, utilizando por ejemplo, Aspen Plus. Existen enormes ventajas que se desprenden del uso de herramientas computacionales en la simulación de problemas en IQ. Uno de ellos, es por supuesto el menor tiempo que se invierte en la solución de tales modelos; otro, es la solución del modelo variando uno o varios parámetros del mismo, con el objetivo de estudiar la respuesta del modelo bajo diferentes condiciones y realizar análisis de sensibilidad; finalmente, una computadora realiza millones de operaciones matemáticas en tiempo récord, y produce mejores gráficas que las que nosotros podemos trazar a mano. Sin embargo, la mayor ventaja es de tipo cognitivo, pues podemos emplear tiempo en la comprensión del modelo mismo, centrándonos en su elaboración, entendiendo a cabalidad cuáles son leyes que lo gobiernan, cómo estas se incorporan en su construcción y cuáles son los métodos de que

369

disponemos para su solución, que en general serán algoritmos de aproximación numérica, pues es conocido que la gran mayoría de problemas de ingeniería química no tienen solución analítica; y por paradójico que sea a primera vista, esta es precisamente la razón por la cual estudiamos los que tienen solución analítica. Los cálculos numéricos se los dejamos a la computadora. Finalmente, podemos pasar de unos niveles de representación a otros: de los analíticos a los numéricos y gráficos y viceversa. Esta interacción entre los diferentes niveles de representación de la solución y del modelo, mejora nuestra capacidad como ingenieros de modelar y resolver problemas reales en I.Q. Pues bien, su tesis de maestría, profesor Betancourt, es un ejemplo logrado de la implementación de sistemas cognitivos artificiales en la enseñanza de la I.Q. Uno de entre los modelos presentado en la tesis de la referencia, es el del cilindro sólido sometido a convección. Su modelo matemático es una ecuación diferencial parcial en dos variables, una es el tiempo y la dimensión espacial es el radio. Su solución, con las condiciones iniciales y de frontera allí estipuladas, está expresada como una combinación lineal de funciones de Bessel, que a su vez son expresadas en series de potencias. Hallar los valores propios de la solución, en función del número de Biot, no es una tarea sencilla, pues es necesario hallar las raíces de una ecuación no lineal, que son en número infinitas, que están igualmente espaciada a intervalos regulares de pi. Sin la ayuda de una herramienta computacional, hallar algunos valores propios a mano, es una tarea muy difícil, y que consume tiempo innecesario. Pero esto no es gratuito, ya que su trabajo representa, en síntesis, el de toda una vida académica y científica dedicada al estudio y enseñanza de temas fundamentales en I.Q. Gracias por compartir con nosotros todo su conocimiento y esfuerzo investigativo. De otra parte, es usual en estas circunstancias que los jurados hagan preguntas sobre la tesis que se defiende, sin embargo, no le haré ninguna, pues todas las que me surgieron, ya fueron respondidas en el documento que soporta su tesis. Por lo demás, la Dra. Francy Nelly ya le hizo las preguntas relevantes acerca de su trabajo. Finalmente, profesor Betancourt, tome estas palabras, que creo también los demás aquí presentes estarán de acuerdo, como un modesto homenaje a su trayectoria académica al servicio de nuestro programa de I.Q. Ud. se lo merece. Gracias Luis Alberto Toro Carvajal, PhD.

370

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