estruturas metálicas e mixtas. tema 4. estado límite de...

Estruturas Metálicas e Mixtas. Tema 4. Estado límite de resistencia de las secciones

ARTURO NORBERTO FONTÁN PÉREZ

Fotografía. Estadio Nacional de Pekín (Beijing, 2008). Capacidade 91.000 espectadores

ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos

Tema 4. EL de resistencia de las secciones

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Índice 4.1 Introducción 4.2 Axil, flector y cortante 4.3 Torsión uniforme 4.4 Torsión no uniforme y mixta 4.5 Comprobaciones en la sección transversal

Estruturas metálicas e mixtas. Tema 4

Fotografía. Gateway Arch (St. Louis, Missouri, 1965). Altura máx.: 192 m.

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EL resistencia de secciones 4.1. Introducción

• Dentro de los ELU a comprobar, el artículo 34 del capítulo IX (Estados límites últimos), que forma parte del título 4º de dimensionamiento y comprobación de la EAE recoge las comprobaciones a realizar para la verificación del ELU de resistencia de las secciones. • Las comprobaciones pueden ser tensionales o en esfuerzos, cumpliéndose que los esfuerzos de cálculo no superen a los esfuerzos resistentes de la sección. • La capacidad resistente de las secciones depende de su clase y de los esfuerzos presentes. Por ejemplo, en flexión pura, los modelos admitidos de distribución de tensiones son:

• Como paso previo a las comprobaciones de resistencia de la norma, se recuerdan las distribuciones de tensiones asociadas a cada uno de los esfuerzos sobre la sección.

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EL resistencia de secciones 4.2. Axil, flector y cortante

Fotografía. Ring of Life (Fushun, China, 2012). Altura máx.: 157 m

σσε

= ⋅

= = =⋅

x

xx

N Adu Ndx E E A

• En el caso de una barra de sección constante, sometida únicamente a un esfuerzo axil N, y admitiendo que se cumple la hipótesis de Bernouilli:

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• Una barra solicitada por una ley de momentos flectores M(x) adoptará una geometría curva con las fibras longitudinales acortándose en una zona y alargándose en otra.

- Flexión pura: solo existe momento flector. - Flexión simple: existe momento flector y cortante. - Flexión compuesta: existe momento flector y axil. - Flexión oblicua o esviada: existen momentos flectores My y Mz. - Flexión recta: solo existe momento flector My o Mz.

M M M= +y z

z

y

MZ

MY

M

• La variación del esfuerzo flector a lo largo de una barra, se debe a la existencia de cortantes sobre la sección, y al rasante asociado al cortante por el teorema de reciprocidad.

y zz y

dM dMV Vdx dx

= = −

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EL resistencia de secciones

q

+

-

-

A B dx

V+dVz

M+dMy

z

y

Vz

My

q

A Bdx

A B+dσσ

corta

nte

rasante

A B

B

A

rasante

cortante

N

N+ NΔ

4.2. Axil, flector y cortante

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• En una sección en ejes principales de inercia, sometida a momentos My y Mz, considerando la hipótesis de Bernouilli y comportamiento elástico:

( )ε σ= + ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ + ⋅x xa b y c z E a b y c z

σ σ σ⋅ = ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ =∫∫ ∫∫ ∫∫x x y x zA A AdA 0 z dA M y dA M

σ = − ⋅ + ⋅yzx

z y

MM y zI I

z

y

MZ

MY

M

z

yMY

Pla

no d

e ca

rga

Liña neutra

z

y

Liña

neu

tra

Plano de carga

MZ

z

yLiña neutra

M

• Los puntos en los que se anula la tensión de flexión forman la línea neutra. • Las fibras más tensionadas son las más alejadas de la línea neutra y permiten definir los módulos resistentes elásticos de la sección: Wf,el = Mf / fy , Wy,el = Iy / zmax y Wz el = Iz / ymax.

, ,σ σ= ± ⋅ = ± ⋅yzx máx máx x máx máx

z y

MM y zI I

4.2. Axil, flector y cortante

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• En el caso de flexión compuesta se superponen los efectos del axil y el flector

• En el caso de flexión plástica, se mantiene la hipótesis de Bernouilli, y se definen de forma similar los módulos resistentes plásticos de la sección Wp = Mp / fy

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• El cortante provoca dos tipos de movimientos, en función de que su línea de acción pase por el centro de esfuerzos cortantes CEC de la sección o no.

• Las tensiones tangenciales son suma de las tensiones τs asociadas a w y las tensiones τe asociadas a la rotación de la sección. • Si las cargas exteriores están en una línea que pase por el CEC, solo aparecen tensiones tangenciales τs, y τe = 0 (con las mismas cargas la sección sufrirá menores tensiones). • Propiedades del CEC:

P

wφx

P

G

G

- Es una propiedad geométrica de la sección - Esta contenido en los planos de simetría de la sección - En secciones abiertas de pared delgada formadas por chapas confluyentes, coincide con la intersección de las líneas medias de las chapas, - Coincide con el centro de torsión CDT en piezas a torsión uniforme.

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• Analizando el equilibrio de fuerzas en una rebanada de una pieza en flexión simple, en la hipótesis de que la tensión tangencial es constante en las líneas de corte paralelas a la línea neutra, y cero en los bordes libres:

• En el caso de ejes principales de inercia se obtiene: siendo Sy y Sz los momentos estáticos del área Aζ

z

yLiña neutra

M

σ+dσ

σ V

ξ Aξ

dξbτ

dx

b+db

b

dA

dξ

τ τ+d

dxτ

σ σ σ+ddξ

z y y z

z y

S V S Vb I b I

τ⋅ ⋅

= − −⋅ ⋅

y zA A

S z dA S y dAξ ξ

= ⋅ = ⋅∫∫ ∫∫• Sección rectangular: z

y

b

h

Aξ

ξcdg A ξz

Vz

Liña neutra

τmáx

( ) zxz máx xz

3 Vz 02 b h

τ τ ⋅= = =

⋅ ⋅

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• Perfil en I z

y

b

h

ξ

Vz

Liña neutra

t f

t f

tw

τmáx

z

yh

ξ

y

b

h

Vz

Liña neutra

t f

t f

twξ

ξ

ξ

zxz

a

a

VA

A área da alma

τ ≈

≡

• Área en la que con una distribución de tensiones tangenciales constante, la energía de deformación es igual a la de la pieza real con la distribución de tensiones tangenciales reales.

y zxy xz

y z

V VA A

τ τ= =

y zxy xz

y z

V VG A G A

γ γ= =⋅ ⋅

eq

VA

τ =

Área equivalente a cortadura de una sección

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Secciones abiertas de pared delgada

• Aplicando el equilibrio en la sección

s e eft

τ τ τ τ= + = +

z

y

Vzt

s

z

y

ds

s

r0t

τ

r

( )

y s yA A

z s zA A

0 s e 0A A

dy dydA V dA Vds dsdz dzdA V dA Vds ds

r dA 0 r dA 0

τ τ

τ τ

τ τ τ

⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ = ⇒ + ⋅ ⋅ =

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫

z y y zs

z y

S V S Vt I t I

τ⋅ ⋅

= − −⋅ ⋅

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• Denominando zv e y yv a las coordenadas del CEC respecto al CDG de la sección y aplicando la condición de momento torsor nulo:

Secciones abiertas de pared delgada

y v z ve

T

V z V y2

Iτ η

⋅ − ⋅= − ⋅ ⋅

η

s

CEC

CDTCEC

CECCEC

Vz

Vy

z

yy

z

yy

Vz

z

yy

z

Vy yy

z

Vz yy

z

Vy yy

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• Las tensiones tangenciales son paralelas al contorno, constantes en la sección y varían con s

• Por equilibrio en la sección, y con Ω al área encerrada por la línea media del perímetro:

Secciones cerradas de pared delgada y recinto único

z

y

ds

s

r0t

t

rVz

Vy

ft

τ =

1s

ft

τ τ= + s 01

r t dsf

2τ

Ω

− ⋅ ⋅ ⋅=

⋅∫

01 r ds2

Ω = ⋅ ⋅∫z

y

Vz

t

s

G = +sτ 1ft

τ

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EL resistencia de secciones 4.3. Torsión uniforme

Whittle arch and Glass Bridge (Coventry, UK, 2003) Altura de 62 m y pasarela de 130 m

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• Los movimientos en torsión de una pieza son (u, v, w): u y v están asociados a la rotación en el plano de la sección, y w es el movimiento perpendicular a la sección o alabeo.

• Los movimientos de rotación constante de la sección generan tensiones tangenciales τt, mientras que el alabeo variable y la variación del giro de la sección originan tensiones normales σω y tangenciales τω en torsión no uniforme y causan que las secciones dejen de ser planas.

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• La torsión uniforme solo produce tensiones tangenciales τ al no variar su longitud las fibras longitudinales. Para que se produzca torsión uniforme son necesarias dos condiciones: ley de momentos torsores constante en toda la pieza y alabeo libre en los extremos

• Ciertas geometrías como las secciones circulares sólo desarrollan torsión uniforme aunque no se cumplan las condiciones anteriores

• En función del tipo de alabeo la torsión puede ser uniforme (el alabeo es constante a lo largo de las fibras longitudinales) o no uniforme (el alabeo varía a lo largo de las fibras longitudinales produciendo movimientos relativos en dirección longitudinal).

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• Los puntos de una sección en torsión uniforme solo soportan tensiones tangenciales τxy y τxz. Aplicando las ecuaciones de equilibrio y la ley de Hooke se comprueba que las secciones giran ϕ(x) entorno al CDT y no se distorsionan.

z

y

τXZ

τXY

z

y

φx

G

β

β

-v

XT

w

R

ϕ θ∂= =

∂x cte

x

• Barras de sección circular: no experimentan alabeo

θ =⋅

x

T

MG I

τ⇒ = ⋅x

T

M rI

τ = Gθ r

π ⋅=

4

TRI

2

z

yR1

R2

( )π= ⋅ −4 4

T 2 1I R R2

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Secciones macizas

z

y

τXZ

τXY

nsΦ Φτ θ τ θ∂ ∂

= ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅∂ ∂xy xzG Gz y

• Se define una función de tensiones Φ = Φ (y,z) cumpliendo:

Φ Φ∂ ∂+ = −

∂ ∂

2 2

2 2 2z y

ϕθ = =⋅

x x

T

d Mdx G I

Φ= ⋅ ⋅ ⋅∫∫TI 2 dy dz• Por equilibrio de momentos:

z

y

Mx

b

t

• En el caso de secciones rectangulares estrechas si b >> t (b/t > 10) la función de tensiones puede calcularse obteniéndose:

τ ⋅ ⋅= − x

xyT

2 M zI

zy

⋅=

3

Tb tI

3

τ ⋅=

⋅x

máx 23 Mb t

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• Se generaliza el resultado para secciones rectangulares estrechas:

Secciones arbitrarias abiertas de pared delgada

= =

⋅= =∑ ∑i

3n ni i

T Ti 1 i 1

b tI I3

τ ⋅= x máx

máxT

M tI

b

b2

1

t

t

1

1

t2

t1

t3

t

bt2

b2

b3

b1

Secciones cerradas de pared delgada con recinto único • Por similitud con la corona circular, se asume que las tensiones tangenciales son paralelas a las paredes de la sección transversal y constantes en el espesor.

τ= ⋅ =f t cte

τ τ= =máx mínmín máx

f ft t

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• Por equilibrio de momentos

Secciones cerradas de pared delgada con recinto único

• La inercia a torsión de las secciones cerradas es muy superior a la de las secciones abiertas, por lo que deben utilizarse cuando la torsión es importante.

• La inercia a torsión se calcula sumando las contribuciones de la parte cerrada y de las alas con las expresiones anteriores. Puesto que el giro de la sección es único se puede determinar el torsor que se lleva cada parte de la sección. • Es habitual simplificar el problema despreciando la contribución de las alas puesto que su inercia a torsión es mucho menor que la del cajón.

Secciones cerradas de pared delgada con alas

01 r ds2

Ω = ⋅ ⋅∫2

T4I ds

t

Ω=

∫x

T

MG I

θ =xM2 t

τΩ

=

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Secciones transversales sin alabeo

rT

rT

rT

rT

CDT

CDT

• Las secciones circulares o en corona circular, las secciones cerradas de pared delgada circunscribibles, y las secciones abiertas de pared delgada con todos sus tramos confluyendo en un punto no tienen alabeo.

Resumen de formulas mas usuales en torsión uniforme

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EL resistencia de secciones 4.4. Torsión no uniforme y mixta

Fotografía. Centro Georges Pompidou (París, 1977). ≈ 6.000.000 visitantes/año

• Se presenta en este apartado la torsión no uniforme o de alabeo mediante el método Simplificado de Timoshenko, para un análisis en detalle ver “Estructuras metálicas I” de Francisco Quintero y Vicente Cudós.

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• La torsión no uniforme produce tensiones tangenciales τ y tensiones normales σ. Las estructuras metálicas son muy sensibles a la torsión no uniforme, en especial las secciones abiertas. • Si es inevitable la torsión no uniforme como esfuerzo principal, no deben usarse secciones abiertas para soportarla. • La situación más general en torsión es la torsión mixta, en la que un porcentaje de la torsión T de la barra es debida a la torsión uniforme Tt y otro a la torsión mixta Tw.

4.4. Torsión no uniforme y mixta

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• Si el alabeo y giro son nulos, las tensiones tangenciales de Saint Venant son nulas (empotramiento), mientras que en el extremo libre el alabeo es libre, y si esta lo suficientemente alejado del empotramiento solo aparecen tensiones tangenciales, con lo que la viga en doble T de la figura esta sometida a torsión mixta.

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• La naturaleza de las tensiones normales que aparecen en el empotramiento se puede comprender si se sustituye el momento torsor T por un par de fuerzas F equivalentes, aplicadas sobre las alas y considerando que estas están libres de la coacción del alma, trabajando en flexión simple respecto al eje y.

F = T / h Mf = My = FL = T L/h σmax (x = 0) = 6 T L/heb2

• A la magnitud Mf h se le denomina bimomento B(x).

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• Considerando que el momento torsor se descompone en torsión uniforme y de alabeo:

T = Tt + TW

• Puesto que F es el cortante asociado al flector My:

• Siendo la rigidez de alabeo Iw :

( ) ( )t TT x GI xθ=

/xw

h 2φ =

2y

2 alay

Md wdx EI

= −

2 2ala ala alax

y y y y2 2d w h d h dM EI EI EIdx 2 dx 2 dx

φ ϑ= − = − = −

yw

dMT Fh h

dx= =

( )2 2 2

alaw y w2 2

h d dT x EI EI2 dx dx

ϑ ϑ= − = −

2 3 2ala

w yh b h eI I2 24

= =

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• Luego la ecuación diferencial de la torsión mixta se expresa como:

• El efecto de la restricción al alabeo y las tensiones normales asociadas se extiende en el caso de perfiles abiertos de pequeño espesor a longitudes muy importantes de las barras y con valores muy significativos. • Se produce una homología entre la torsión de alabeo y la flexión simple.

• Para la aplicación del método de Timoshenko en perfiles en I se aplican los siguientes pasos: - Los momentos torsores puntuales o repartidos se sustituyen por pares de fuerzas puntuales dividiéndolos por la altura del alma - Se calculan las leyes de esfuerzos en cada ala por separado de cortantes y flectores - Se calculan las tensiones normales y tangenciales en cada ala a flexión simple debidas al alabeo • El método de Timoshenko permite calcular también el reparto de la torsión mixta entre torsión uniforme y no uniforme.

( ) ( ) ( ) ( )2

t w T w 2dT x T x T x GI x EIdx

ϑϑ= + = −

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Comentarios Art. 34.6 EAE

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EL resistencia de secciones 4.5. Comprobaciones en la sección transversal

Fotografía. Atomium (Bruxelas, Bélxica, 1958).

Altura máx.: 103 m.

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• La resistencia de la sección depende de la clase, aunque se permite en cualquier caso la comprobación con criterios elásticos en todas las clases (Art. 34.1.1), considerando en el caso de la clase 4 las propiedades de la sección transversal reducida.

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• Características de las secciones transversales (Art.34.1.2) Área bruta: se calcula a partir de las dimensiones nominales sin descontar agujeros de tornillos, pero si las aberturas importantes. No se incluyen los elementos de empalme Área neta: se descuentan del área brutal los agujeros y aberturas. Si los agujeros no están al tresbolillo se elige la sección pésima (con más agujeros). Si están al tresbolillo se deduce la mayor área de las siguientes: - la de la sección sin considerar tresbolillo - la suma de áreas de agujeros en sección en diagonal o zig-zag a lo largo de un elemento con la corrección siguiente

• En secciones de clase 4 con axil de compresión se debe considerar el desplazamiento del eje baricéntrico respecto al de la sección bruta, que crea un momento adicional

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• Esfuerzo axil de tracción (Art. 34.2): en cualquier sección se debe cumplir:

En secciones con agujeros se tomará para Nt, Rd el menor de los siguientes valores:

Si se requiere comportamiento dúctil la resistencia plástica de cálculo debe ser menor que la resistencia última de cálculo.

La resistencia de cálculo de la sección a compresión se calcula como: Secciones clase 1, 2 y3: Secciones de clase 4

• Esfuerzo axil de compresión (Art. 34.3)

En la sección no se descuentan los agujeros de tornillos si están ocupados, salvo que se hayan sobredimensionado. En secciones de clase 4 se debe considerar el momento flector adicional por la variación de la fibra neutra en la sección reducida.

34


Siendo:

• Esfuerzo flector (Art. 34.4): en cualquier sección se debe cumplir:

No se descuentan los agujeros de tornillos del ala traccionada si se cumple:

35


En dimensionamiento plástico y sin torsión la resistencia plástica a cortante de cálculo es:

• Esfuerzo cortante ( Art. 34.5): en cualquier sección se debe cumplir:

Siendo Av el área a cortante, que depende del tipo de sección transversal: - Perfil en I o H y carga paralela al alma: no menor que - Perfil en U y carga paralela al alma: ………. - Perfil hueco circular y tubos de espesor constante:

Con η = 1.2 un coeficiente que tiene en cuenta la resistencia adicional que ofrece en régimen plástico el endurecimiento por deformación.

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En perfiles en I o en H con la carga cortante sobre el alma:

• Esfuerzo cortante(Art. 34.5) Para la comprobación según un criterio elástico de los puntos críticos de la sección transversal se puede aplicar:

En la comprobación a cortante no se consideran los agujeros de los tornillos.

37


En cualquier sección se puede dividir el torsor en:

• Esfuerzo torsor (Art. 34.6): en cualquier sección se debe cumplir:

38


En elementos de sección transversal hueca cerrada se puede despreciar el alabeo, mientras que en perfiles en I o H se puede despreciar la torsión uniforme. En los comentarios se describe el método de Timoshenko para secciones en doble T

• Esfuerzo flector y torsor (Art. 34.6) En la comprobación a flexión se sustituye M c, Rd por M c, T, Rd considerando sólo los efectos de torsión del bimomento resultantes de un análisis elástico:

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Con:

• Esfuerzo cortante y torsor (Art. 34.6) En la comprobación a cortante en dimensionamiento plástico se considera:

En secciones en I o H

En secciones en U

En secciones huecas

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• Interacción de esfuerzos (Art. 34.7.1): Flexión y cortante Se comprueba a cortante y flector de forma independiente; en cortante como si no hubiera flector, y en flexión se modifica reduciéndose la resistencia sólo si el cortante de cálculo supera el 50% de la resistencia plástica a cortante de la sección. La resistencia a flexión se reduce asignando al área a cortante un límite elástico reducido de valor (1-ρ) fy en la resistencia de cálculo de la sección a flexión, con:

o en el caso de cortante y torsor:

En secciones doble T de alas iguales y flexión en eje y:

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• Interacción de esfuerzos (Art. 34.7.2): Flexión y axil

De forma similar se plantean en el apartado las expresiones para otras secciones

En una sección rectangular:

- Secciones transversales de clase 1 y 2

El efecto del axil se considera con una reducción de la resistencia plástica a flexión, que depende de la clase.

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• Interacción de esfuerzos (Art. 34.7.2): Flexión y axil

-Secciones transversales de clase 4

Equivalente a:

-Secciones transversales de clase 3

Equivalente a:

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• Interacción de esfuerzos (Art. 34.7.2): Flexión y axil - Flexión esviada y axil:

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• Interacción de esfuerzos (Art. 34.7.2): Flexión, cortante y axil Se reduce la resistencia de cálculo frente a flexión y axil si el cortante de cálculo es superior al 50 % de la resistencia plástica a cortante de la sección. La reducción de la resistencia a flexión y axil se realiza asignando al área a cortante un límite elástico reducido de valor (1-ρ) fy en el cálculo de la resistencia de cálculo de la sección a flexión y axil, con:

estruturas metálicas e mixtas. tema 4. estado límite de...

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