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INTERACCION SUELO – ESTRUCTURA, ESTATICA Y SISMICA
DE CIMENTACIONES MONOLITICAS SUPERFICIALES1 Por. Dr. Leonardo Zeevaert INTRODUCCIÓN
La compatibilidad de los desplazamientos en la interfase, entre la estructura de la cimentaciòn y suelo, es importante en el diseño de la ingeniería de las cimentaciones. Conocidas las fuerzas que actúan sobre la estructura de la cimentaciòn inducidas por la superestructura y reacciones del suelo, el ingeniero de cimentaciones podrá estimar los momentos flexionantes y las fuerzas cortantes que actúan en los elementos que forman la cimentaciòn parta realizar un diseño justificado y económico.
En mecánica de los suelos se presentan múltiples problemas relacionados con la interacción estructura -
suelo, como son: zapatas continuas de cimentaciòn, cimentaciones compensadas, cimentaciones
profundas con pilotes, muros de retención y elementos subterráneos como pilas, ataguías, tubos túneles,
etc. En la mayoría de los casos las estructuras de cimentaciones se construyen de concreto simple o
reforzado, por tanto es importante conocer las propiedades mecánicas de esfuerzo – deformación -
tiempo del concreto y del suelo bajo diferentes condiciones de carga. Además de las propiedades
mecánicas del suelo, es necesario conocer la estratigrafía y Condiciones hidráulicas del lugar; mas aun,
en regiones sísmicas las propiedades dinámicas del concreto y suelo deben de determinarse para el
problema específico en cuestión.
Una buena solución de la interacción entre la estructura y el suelo podrá obtenerse solamente sí sé
conocen las propiedades reales de esfuerzo-deformación–tiempo de los materiales y si se establece la
compatibilidad de deformación entre la estructura y el suelo. Las teorías convencionales de Interacción
Suelo- Estructura de cimentaciòn están basadas en la siguiente ecuación diferencial.
qyKdxydEI B +⋅−=⋅ 4
4
)( ( 1 )
En donde KB se considera un parámetro constante identificado por el “coeficiente de reacción” ò
“Constante de resorte” por unidad de longitud de viga. El valor de Ic es el momento de inercia
equivalente a la sección de concreto reforzado de la viga: Ec es el módulo de elasticidad del concreto.
La rigidez de la viga se mide por el producto ( Ec * Ic ). El resultado obtenido por medio de la Ecuación
( 1 ) nos constituye una solución exacta del problema de una viga sobre un suelo compresible, ya que KB
no puede considerarse, en sentido verdadero, como un parámetro constante del suelo a una variable
discreta.
1 VI Seminario de Mecánica de Suelos Interacción Suelo- Estructura. Caracas Venezuela, septiembre 1980
El valor de KB depende de factores como son: el sistema de cargas aplicado, la extensión de la superficie
cargada, la distribución de las reacciones, el comportamiento plasto-viscoso del suelo, el nivel de
esfuerzos inducido en la masa del suelo, el tiempo, la estratigrafía, la disipación de esfuerzos en la masa
del suelo y la profundidad del estrato firme.
Con relación al concreto, y ya que éste no se comporta en el sentido completo de la palabra
elásticamente, el autor propone representar la deformabilidad del concreto usando el concepto de
módulo de deformación unitaria definido por:
σ
εε
σε
∆
∆+∆=
∆∆
= vepMc (2)
En donde es la deformación unitaria para una rápida elasto plástica y es la deformación
unitaria que representa el fenómeno plasto-viscoso o escurrimiento del concreto, esta deformación es
una función del tiempo.
epε∆ vε∆
El módulo estático de deformación del concreto puede expresarse como:
Mc = Mep ( 1 + Kv ) ( 3 )
En donde Kv es una función que mide el efecto de las propiedades plasto-viscosas del concreto y
depende de varios factores, como son: la relación agua-cemento, la relación de cemento –agregado y
humedad. Para efectos a largo plazo su valor puede alcanzar el orden de dos y en los primeros años el
orden de 0.5 a 1.0.
El valor de Mep puede considerarse como el módulo de deformación unitaria elasto-plástico del
concreto determinando en pruebas rápidas; puede expresarse como:
Mep = Co (W*f`´c) ( 4 ) n−
Donde Co, n son parámetros que se suponen “constantes”; Sin embargo, indudablemente dependerán
de la relación cemento-agregado y resistencia o calidad del agregado. El valor de w es el peso del
concreto, f`´c es la resistencia a la compresión simple del concreto (ver deflexiones en miembros
reforzados a la flexión ACI 435).
En el caso de problemas dinámicos, el módulo de deformaciones bajo condiciones dinámicas debe
determinarse para el rango de frecuencias que se esperan en la estructura de cimentaciòn. Su valor
puede ser una función de las dimensiones de los elementos estructurales, del nivel de deformación o
esfuerzo, del porcentaje de refuerzo de acero, de la relación cemento agregado, de la relación agua-
cemento o resistencia, de la edad del concreto y de su humedad. Esta propiedad dinámica del concreto
simple o reforzado no ha sido investigada en forma extensiva.
Las dificultades para obtener mejores soluciones en la interacción estructura-suelo son dos:
1.- Métodos de cálculo.
2.- El conocimiento de los parámetros adecuados.
Hoy en día el primer problema puede resolverse con precisión aceptable, usando computadoras. El
segundo problema es considerablemente más difícil de resolver porque es necesario conocer las
propiedades mecánicas estáticas o en su caso: Dinámicas del concreto y suelo. Aun más, la investigación
para cada caso específico de las propiedades mecánicas de esfuerzo-deformación –tiempo del concreto y
suelo, es costosa.
En ocasiones cuando el estrato compresible es delgado, el uso de la ecuación ( 1 ) proporciona
Soluciones satisfactorias desde el punto de vista practico de ingeniería. Por ejemplo, una viga como la
que se muestra en la fig. 1, con dos cargas iguales Q concentradas en sus extremos, tienen solución
teórica dada por la ecuación ( 1 ). El momento flexionante máximo y el desplazamiento vertical ( 1 ) al
centro de la viga, son:
λλλλ
λ llllQmc sensenh
2/sen2/senh2⋅⋅
⋅−= (5)
λλλλλllll
kQyB
c cossenh2/cos2/cosh4
⋅⋅
⋅= (6)
aquí
41
4
=
cc
B
IEk
λ (7)
El valor de KB es el módulo de cimentaciòn por unidad de longitud de viga que se supone constante en
la longitud de la viga, y se define como sigue:
KB = Ko ( 2 B ) ( 8 )
En donde Ko es el llamado “coeficiente de reacción por unidad de superficie” y ( 2B ) el ancho de la
viga de cimentaciòn en contacto con el suelo.
Del argumento λ fórmula ( 7 ), se puede notar que el valor de KB tiene menos influencia en el
momento flexionante en la fórmula ( 5 ) que en el caso del desplazamiento vertical fórmula ( 6 ), donde
el valor de KB tiene un significado mucho mayor.
Por otro lado, se puede juzgar que los valores del momento flexionantes son inversamente
proporcionales al valor de λ. llamado Kb / (EI)c = τ se puede escribir.
λ = τ / 4 ( 9 ) 4
De la ( 9 ) se deduce que un error en la estimación de τ , esto es ∆τ/τ afectará únicamente 25% del
valor λ.
ττ
λλ 4
41
=∆
(10)
De la depreciación anterior se conoce la aproximación que s necesario obtener el parámetro KB para
obtener una precisión aceptable en los momentos flexionantes. Así pues, para obtener una precisión de
5% en los valores MC, el valor de τ deberá quedar dentro del 20%.
La fórmula expresada por la ( 1 ) es compatible con la suposición de E.Winkler (1867) , quien considera
discontinuidad del suelo, esto es, el subsuelo lo representa por resortes que pueden deformarse al ser
cargados en forma independiente los unos de los otros.
La Fig. 2, muestra la planta y corte de una cimentación. La planta ha sido seccionada en 6 bandas por
facilidad de exposición, bajo cada una de las bandas se coloca un resorte que toma la reacción de la
banda correspondiente, se observa que si la estructura de la cimentación es muy rígida con respecto al
suelo, τ muy pequeño, el desplazamiento vertical se efectuará en un plano y las fuerzas de los resortes
tendrán una variación lineal, ya que Ri = KB * δi si la estructura de cimentación es muy flexible, τ
grande, las relaciones se concentrarán en los resortes de acuerdo con las cargas aplicadas sobre la
estructura de la cimentación, Fig. 2.
Puede reconocerse fácilmente que el valor del “coeficiente de reacción” no puede ser considerado como
una constante, si se analiza un cimiento rígido y continuo apoyado sobre una masa semi-infinita, Fig.3.
En efecto, una viga muy rígida al ser cargada simétricamente, muestra un desplazamiento vertical igual
a δR sin embargo, la reacción bajo el cimiento, tomada de la elasticidad, tiene el siguiente valor:
( )2/1
2
Bx
qq ax
−=π
, BQ
a 2=q (11)
y el “coeficiente de reacción” por definición será:
r
xx
qR
δ= (12)
De donde se reconoce que RX no puede considerarse como constante, pues es una función de la rigidez
de la viga, de la distribución de reacciones y de las propiedades mecánicas y estratigráficas del suelo.
CONCEPTO DE COMPATIBILIDAD
Supongamos una viga flexible con cargas concentradas y soportadas sobre la superficie de una masa
semi –infinita, fig.4. la viga está en equilibrio con las cargas Q y las reacciones del suelo. Bajo estas
condiciones de carga, la viga toma cierta configuración, la cual está dada por los desplazamientos
verticales del suelo impuestos por la viga cargada. Supongamos un punto i sobre la viga. Sí la viga es
infinitamente rígida, el desplazamiento vertical en este punto será δi´´ y la configuración de la viga será
una línea recta: a, i, b. Los desplazamientos verticales del suelo también quedarán sobre la misma línea
recta: por tanto, la distribución de reacciones deberá ser tal forma que carguen la superficie de la masa
semi-infinita del suelo para que se produzca dicha configuración en línea recta de los desplazamientos
verticales.
Supongamos ahora que la viga se flexiona debido a los momentos flexionantes y fuerzas cortantes, y por
lo consiguiente, se inducirá un desplazamiento vertical adicional y la viga tomará cierta configuración
específica δi=δi´´+δi´.
El suelo se deformará la misma magnitud de acuerdo con las reacciones impuestas, Fig.4. la
configuración relativa de la viga flexible δi´ es una función de Ic/Mc en donde Ic es el momento de
inercia de la sección transversal de la viga, Mc es el módulo de deformación unitaria del concreto que es
una función del tiempo y de las características mecánicas del concreto usado. De aquí se deduce que el
desplazamiento total vertical δi del suelo en la interfase es una función de la rigidez de la viga Ic/Mc de
la configuración de las reacciones, del nivel de esfuerzos en la masa del suelo, de la estratigrafía y de las
propiedades de esfuerzo-deformación - tiempo de los estratos del subsuelo, en cimentaciones puede
usarse el concepto de “módulo de cimentación unitario” como una variable auxiliar conveniente pero
desconocida.
iqiKiδ
= (13)
En donde qi es la reacción unitaria del suelo y δi el desplazamiento vertical del suelo en cualquier punto
i de la superficie. en caso de una viga de cimentación de ancho 2B, el módulo de cimentación por unidad
de longitud de viga es:
iR
iqiBK Bi
B δδ==
)2( (14)
En donde RBi es la reacción media por unidad de longitud de viga en cualquier punto i. El módulo de
cimentación concentrado para cierta área tributaria pequeña a es:
i
i
i
RaqiKiδδ
==*
(15)
En donde Ri es la carga total concentrada en el área a por tanto Ri=qia
De estas definiciones puede observarse que los valores Ri, KBi y Ki, son cantidades que toman valores
variables en la interfase de la estructura de cimentación y el suelo, aún cuando el desplazamiento
vertical sea uniforme como es el caso de una viga rígida de cimentación.
La teoría que trata con un coeficiente de reacción constante, no es compatible con la interacción real de
la estructura y el suelo. Supongamos una viga soportada por dos o más zapatas rígidas que no
interfieren entre sí, cuando este es el caso, el módulo de cimentación concentrado para cada zapata
puede determinarse independientemente. Si se conocen las propiedades de deformación unitaria Mi
para cada estrato del subsuelo de espesor di, el hundimiento de una zapata será:
δi (16) ∑ ∆⋅⋅≅n
idiMi1
85.0 σ
En donde es el incremento de esfuerzo medio en el estrato considerando y de acuerdo con la carga
a la cual quedará sometida la zapata, así también deberá estimarse el nivel de esfuerzos en el subsuelo
para elegir con mayor precisión posible el valor del módulo de deformación unitaria, el cual es bien
sabido es función del nivel de esfuerzos confinantes ó esfuerzos octaédrico existente en el subsuelo.
iσ∆
Llamaremos en adelante α , la compresión volumétrica de un estrato de espesor di de tal
manera que podamos escribir:
NNi Midi)(=
δ (17) ∑ ∆⋅= Ni
Nii σα
Conociendo los valores de δi para un nivel de esfuerzos cercano al esperado se puede calcular los
valores de K para cada una de las zapatas, a saber:
Niσ∆
1
11 δQK = ,
2
22 δQK = ,
3
33 δQ
K = )18(
El desplazamiento vertical del suelo δ puede calcularse para cierto tiempo con las propiedades
esfuerzo-deformación - tiempo y con la estratigrafía del suelo bajo cada una de las zapatas individuales.
En el caso de la Fig.5, el problema se resuelve por estática simple. En el caso de la Fig.6. el problema de
las relaciones del suelo pueden resolverse por métodos convencionales usados en la solución de
estructuras estáticamente indeterminadas, como el ejemplo de cálculo para tres zapatas aisladas que se
muestra en la Fig.7. se observa que cuando las zapatas individuales no interfieren entre sí, la solución es
únicamente una función del tiempo obtenida de las propiedades mecánicas del concreto y del suelo y
puede calcularse fácilmente para un tiempo determinado por medio del concepto de un módulo de
cimentación constante.
INTERACION SUELO- ESTRUCTURA CARGAS ESTATICAS.
Supongamos ahora que la viga de cimentación queda soportada sobre un número grande de zapatas
colocadas unas a continuación de las otras. Los esfuerzos que estas zapatas originan en el subsuelo
interfieren entre sí, considerando que éste actúa como una masa continua. Por lo consiguiente, el
concepto de un módulo de cimentación constante ya no es válido. Para resolver este problema en forma
práctica procederemos primero a encontrar un método de cálculo para encontrar los valores de los
asentamientos i bajo las 6 zapatas con reacciones unitarias qi como se muestra en la Fig.8.
colocamos una carga unitaria en la banda i y calculamos las influencias al centro de cada uno de
los estratos N formando la matriz que se encuentra en la Fig.8. el cálculo de se puede efectuar
usando las soluciones de Boussinesq, Westergaard o Frohlich (4) dependiendo de la estratigrafía y de
Las propiedades de deformabilidad del suelo. Conociendo las deformaciones de los estratos α se
pueden calcular los asentamientos.
δNiIj
NiIj
N
∑= NNiIjji αδ )19(
Por consiguiente el vector de desplazamientos verticales en los puntos a, 1, 2, 3, 4 y b quedan
expresados en forma matricial (5) como sigue:
[ ] NTNiIjji αδ ⋅= )20(
Lo anterior implica el siguiente cálculo para cuando la carga unitaria se coloca sucesivamente en cada una de
las bandas:
[ ] NTNjaja I αδ ⋅=
[ ] NTNjj I αδ ⋅= 11
[ ] NTNjj I αδ = 22 ⋅ ( )21
[ ] NTNjj I αδ = 33 ⋅
[ ] NTNjj I αδ ⋅= 44
[ ] NTNjbjb I αδ ⋅=
Conociendo los vectores de desplazamiento verticales originados por las cargas unitarias, se establece
la “ecuación matricial de los asentamientos” que se llamará en adelante EMA , )4(
ba
a
a
a
a
aa
δδδδδδ
4
3
2
1
1
41
31
21
11
1
b
a
δδδδδδ
2
42
32
22
12
2
b
a
δδδδδδ
3
43
33
23
13
3
b
a
δδδδδδ
4
44
34
24
14
4
b
a
δδδδδδ
bb
b
b
b
b
ab
δδδδδδ
4
3
2
1
•
b
a
qqqqqq
4
3
2
1
=
b
a
δδδδδδ
4
3
2
1
(22)
Por medio de la ecuación (22) se puede calcular los hundimientos producidos por las cargas qi
aplicadas en las bandas de igual dimensión de tal manera de obtener ijji δδ = y por tanto una matriz
de flexibilidad del suelo simétrica.
En forma matricial EMA se lee como sigue:
[ ] iiT
ji q δδ =⋅ )23(
Cuando se trate un caso simétrico, Fig.9: , así también
y la (22) se puede escribir como sigue:
3241 ,, qqqqqq ba ===
,,, 3241 δδδδδδ == ba =
+++
ba
ba
abaa
22
11
δδδδδδ
2421
1411
41
δδδδδ
+++ aa
δ
+++
2322
1312
32
δδδδδδ aa
•
2
1
qqqa
=
2
1
δδδ a
o bien:
[ ] iiSIMij q δδ ⋅ = )24(
para un caso asimétrico ∆
se escribe:
,,, ,3241 baba qqqqqq δδ ∆−=∆∆−=∆∆−=∆∆−=
3241 , δδδδ ∆−=∆∆−=∆
−−−
ba
ba
baaa
22
11
δδδδδδ
2421
1411
41
δδδδδ
−−− aa
δ
−−−
2322
1312
32
δδδδδ aa
δ •
2
1
qqqa
∆∆∆
=
2
1
δδδ
∆∆∆ a
El caso asimétrico representa un giro de la cimentación. en forma matricial:
[ ] iiSIMij q δδ =∆⋅ ∆ )25(
Los hundimientos totales se encuentran de la suma de (23 y 24), Fig.9. esto es:
iii δδδ += ´ ∆ )26(
Supongamos ahora que se requiere encontrar las reacciones que se originan por ser la estructura de la
cimentación un cajón rígido. En este caso el desplazamiento vertical tendrá una variación lineal y
podrá descomponerse en un caso simétrico y otro asimétrico.
Caso Simétrico )4(
El caso simétrico se resuelve considerando un hundimiento medio δ ´ obteniendo de la (23)
considerando que qa=q1=...qi= qb y calculando:
a
aδ ´= ∑n
in 1
1δ sustituyendo δ ´ en la (24) a
[ ] ´1aISIMijiq δδ ⋅= − (27)
de la (27) se obtienen las reacciones de contacto Fig.9.
Caso Asimétrico ( )4
Para este caso cuando la cimentación es rígida de acuerdo con el momento de volteo un ángulo θ
de tal manera que los movimientos verticales, Fig.10. serán:
TO
baa XX θθδ −==∆
(28) 411 XX θθδ −==∆
322 XX θθδ −==∆
Substituyendo los valores de (28) en (25) se tiene:
[ ] iiSIMij Xq θδ =∆⋅ de donde:
[ ] iASIMiji Xq
⋅=
∆ −1δθ
(29)
El momento de volteo:
ii
T Xq
O ∑
∆=θ
θ (30)
El giro:
( )∑ ∆=
ii
T
XqO
θ/θ (31)
Finalmente, las reacciones para el caso asimétrico se calcula por:
θθ
⋅
∆=∆ i
iq
q (32)
CORRECCIONES DE LOS VALORES α POR HISTERESIS.
Las cimentaciones para edificios pesados o altos en los suelos compresibles generalmente se diseñan con
cajones rígidos de cimentación, con uno o dos sótanos bajo la superficie del suelo. La excavación para
alojar la cimentación provoca una distribución de los esfuerzos efectivos en la masa del suelo, Fig.11ª.
Posteriormente se coloca la carga recomprimiendo al suelo. El ciclo de descarga y carga se origina a
diferentes niveles de esfuerzo con la profundidad.
El módulo de deformación unitaria Mz se define por:
σε
∆∆
=Mz (33)
En donde es el incremento en la deformación unitaria originada por el incremento de esfuerzo
. Esta propiedad mecánica del suelo se determina en el laboratorio en muestras inalteradas, en las
que se ha retirado el estado de esfuerzos al que estaban sometidas, después de lo cual se recomprimen
para determinar el valor de Mz.
ε∆
σ∆
Consideremos, Fig.11b, un ciclo de histerésis para descarga total, donde la expansión máxima, es ∆
y la recompresión es Este fenómeno de descompresión y recompresión total se produce
únicamente en la superficie de la excavación en donde el alivio de esfuerzos es parcial, y provoca
únicamente una expresión parcial Supongamos que se requiere corregir el módulo de
deformación unitaria por expansión o respuesta elástica Me ( debido a una expansión parcial. De
investigaciones del autor la Ley Fenomenológica que gobierna la expansión es como sigue .
eoε
coε∆
rσ∆
)4(
crε∆
)4
coioier a )( σσε −=∆ (34)
En donde ( roioi σσ =− )σ representa el alivio de esfuerzos a la profundidad investigada. Por
consiguiente el módulo secante de deformación unitaria por expansión será:
∆
1)()(
−∆=−
∆= c
roioi
er aMer σσσ
ε
En el laboratorio por medio de un ciclo de histerésis se determina el módulo secante Meo para
expansión total que vale.
1)( −=∆
= coi
oi
eo aMeo σσε
Por consiguiente la relación de los módulos de expansión; por el alivio parcial de esfuerzos Mer, al total
Meo será:
1−
∆=
c
oi
r
MeoMer
σσ
(35)
De donde el factor de expansión queda definido por: eρ
1
1−
−=
c
oi
oie σ
σρ (36)
De donde el módulo para la expansión parcial es:
(37) MeoMer e ⋅= ρ
Si d es el espesor del estrato la expansión volumétrica del estrato es:
α (38) dMeoee ⋅= ρ
Al recomprimir el material por el mismo alivio de esfuerzos )( oioir σσσ −=∆ se verifica una
compresión elástica, plástica y visco-plástica, esto es:
vprprercr εεεε ∆+∆+∆=∆
El módulo de deformación unitaria por compresión parcial, Fig.11 b es:
∆
∆+
∆
∆+
∆∆
=er
vpr
er
pr
cr
erMcrε
ε
ε
ε
σε
1
(39) )1( vprpr kkMerMcr ++=
En donde
er
prprk ε
ε
∆
∆=
er
vprvprk ε
ε
∆
∆=
Para la recompresión total efectuada en el laboratorio en probetas del suelo inalterado se obtiene:
vpopoeoco εεεε ∆+∆+∆=∆
O bien
∆
∆+
∆
∆+
∆=
eo
vpo
eo
po
oi
eoMcoε
ε
ε
ε
σε
1
(40) )1( vpopo kkMeoMco ++=
En donde
eo
popok ε
ε
∆
∆=
eo
vpovpok ε
ε
∆
∆=
Por lo consiguiente, la relación de los módulos de compresión unitaria es:
vpopo
vprpr
kkkk
MeoMer
McoMcr
++
++⋅=11
(41)
Aquí Mer/Meo= y los valores de y se pueden determinar en el laboratorio de pruebas eρ pok vpok
completas de histerésis. Sin embargo, los valores y k son desconocidos pero puede suponer que
son proporcionales al nivel de esfuerzos, aproximadamente:
prk vpr
oi
r
vpo
vpr
po
pr
kk
kk
σσ∆
≈≈
Substituyendo en (41) se obtiene )4(
vpopo
oirvpopoe kk
kkMcoMcr
++
∆++⋅=
1)/)((1 σσ
ρ (42)
La expresión (42) proporcionaría el factor de recompresión para el fenómeno de histerésis:
vpopo
oirvpopoe kk
kk++
∆++=
1)/)((1 σσ
ρ (43)
De donde . El valor de Mco y los valores de ∆ y ( se determinan en
el laboratorio en probetas inalteradas del suelo con ciclos de histerésis. La compresión volumétrica de
un estrato es:
McoMcr cρ= eoε )vpopo εε ∆+∆
α (44) dMcocc ⋅= ρ
COSIDERACIONES SISMICAS
Durante la práctica profesional se ha podido comprobar que el buen comportamiento de una
estructura durante temblores de tierra fuertes, depende en alto grado de un diseño adecuado de la
cimentación tanto para cargas estáticas como para las sísmicas. Una cimentación podrá haber sido
diseñada y construida para trabajar satisfactoriamente con cargas estáticas y, sin embargo, su
comportamiento sísmico podría ser defectuoso, afectándose la respuesta sísmica de la superestructura.
La cimentación es el elemento que transmite las fuerzas sísmicas a la superestructura,
consecuentemente ésta será la responsable del comportamiento del edificio.
La respuesta sísmica de una cimentación monolítica es función de varios factores, a saber:
a.- Características del sismo.
b.- Características estratigráficas e hidráulicas y de resistencia del subsuelo.
c.- Propiedades y comportamiento dinámico del subsuelo.
d.- Posición del centro de masa del edificio.
e.- Interacción entre el suelo y la estructura de cimentación.
F.- Magnitud de los esfuerzos de contacto.
En la práctica profesional el subsuelo no se puede considerar homogéneo e isótropo como ya se ha
mencionado en la interacción para condiciones estáticas. Generalmente está constituido por una serie
de depósitos de sedimentos con propiedades dinámicas variables que definen las propiedades de los
diferentes estratos. Sin embargo, desde un punto de vista práctico, se podrá considerar que cada estrato
del subsuelo puede ser representado por sus características geotécnicas medidas, esto es: su geometría,
propiedades dinámicas, de resistencia y de esfuerzo-deformación. Las fórmulas de cálculo basadas
exclusivamente en propiedades del subsuelo considerando como un medio homogéneo e isótropo no
podrán proporcionar resultados cercanos a la realidad, más que en casos muy particulares. La
respuesta sísmica de la cimentación dependerá, por tanto, de las condiciones estratigráficas reales y de
las propiedades dinámicas de los estratos involucrados en el movimiento sísmico. Así también del nivel
de esfuerzos a que será sometido el subsuelo durante el fenómeno sísmico. Conociendo las condiciones
reales del subsuelo y procedimientos de calculo afines a las condiciones ambientales del lugar en
cuestión, los resultados dependerán fundamentalmente de la precisión con se conozcan las propiedades
estratigráficas y dinámicas del subsuelo para un sismo de ciertas características predeterminadas en
estas condiciones la respuesta sísmica de la cimentación podrá conocerse con precisión práctica que
permita analizar los esfuerzos y deformaciones de la cimentación y de los efectos que su
comportamiento induce en la superestructura.
CARACTERISTICAS DE LOS SISMOS ( )6
Los sismos deberán identificarse por su magnitud e intensidad y elegir las características del sismo que
se utilizará como base para poder efectuar un diseño lo más apegado a la realidad cuando quiera
llevarse acabo una mejor visualización de los fenómenos involucrados, y los cuales deberán cumplir
como mínimo con los códigos legales de diseño establecidos. Los códigos para las diferentes regiones
sísmicas han sido elaborados con la intención de cubrir por medio de factores como: las peores
condiciones que podrían presentarse y que por experiencia local han sido observadas en la región
considerada. No siempre los códigos así aplicados proporcionan diseños seguros. El principal defecto es
que el ingeniero de cimentaciones pierde contacto con la física elemental del problema dinámico. El
código siendo una legislación deberá, sin embargo, respetarse como una condición mínima. Por otro
lado, el ingeniero diseñador no deberá perder de vista cualesquiera de los aspectos físicos y ambientales
que puedan afectar su diseño sísmico de la cimentación y superestructura.
La magnitud de un sismo se mide indirectamente por la cantidad de energía potencial libertad en la
zona focal y por tanto es independiente de la distancia. Sin embargo, a determinada distancia la
intensidad sísmica se mide por la aceleración registrada en un acelerógrafo. El profesor Richter
estableció la escala de magnitud sísmica que lleva su nombre ( . La escala de Richter sirve para )7
estimar la posible energía liberada en los focos sísmicos y su apreciación de los efectos producidos en el
lugar de observación deberá de interpretarse cuidadosamente.
En efecto, si una M =6.0 produce determinado nivel de daño en una región lejos del foco, podría que
la liberación del doble de energía correspondiente a M =6.3 produciría el doble de daños.
R
R
Para precisar mejor los efectos de determinada magnitud sísmica en el lugar de observación se utilizan
las escalas “intensidad sísmica”. La intensidad sísmica representa los efectos producidos en el lugar de
observación. Estos pueden ser medidos en fuerza, aceleración o por los daños producidos. De tal
manera que, en una región podrán establecerse lugares donde sean observadas las mismas intensidades
sísmicas para un sismo de cierta magnitud obteniéndose así las cartas isosísmicas.
La intensidad se tabula por escalas de grados sísmicos, como la bien conocida escala de Mercalli en
América y Europa. Las escalas de intensidad han sido también estudiadas en términos de la aceleración
máxima en la superficie del suelo por Cancani-Sieberg , y correlacionadas con la escala
modificada de Mercalli la cual corresponde en términos de aceleración a una escala geométrica. Así
pues, la intensidad de grado VII es el doble del grado VI y el grado VII es cuatro veces mayor. En
términos de aceleración aproximadamente: VI=25 cm/seg , VII=50 cm/seg , y VIII=100 cm/seg .
Desde el punto de vista de ingeniería sísmica de diseño, sin embargo, el conocimiento de la intensidad
sísmica para el lugar de interés no es suficiente información para efectuar un diseño apropiado de la
cimentación y estructura de un edificio, ya que la respuesta sísmica es función de las características
dinámicas del subsuelo.
)7.6(
2 2 2
Se puede demostrar que las ondas principales que se producen en la zona de generación sísmica
corresponden a: ondas compresibles conocida como ondas de dilatación u ondas p, que requieren
para su transmisión que el suelo sufra cambios de volumen. Las ondas compresibles se desplazan con
velocidad en el sentido de la compresión la dilatación. Las ondas importantes se transmiten sin
cambio de volumen y se conocen como ondas s, ondas equivolumétricas o de esfuerzo cortante y
producen distorsión en el suelo perpendicular a la dirección de traslación con velocidad .
)7,4(
dv
sv
De las ecuaciones de movimiento de estas ondas se deduce que:
1.- La velocidad de las ondas p; ρµλ 2+
=dv ( )45
2.- La velocidad de las ondas s; ρµ
=sv )46(
De la teoría de elasticidad el valor de λ queda definido por:)21)(1( υυ
υ−+
Ε=λ (8)
Se observa que la velocidad de las ondas p es función de la relación de Poisson y tiene una velocidad
mayor que las ondas s, que pueden determinarse directamente conociendo únicamente el módulo de
rigidez del suelo y la masa unitaria . Para un suelo saturado donde el cambio de volumen no
pueda verificarse en forma instantánea el valor de v tiende a ser varías veces mayor que . Por lo
anterior se puede también deducir que las deformaciones sísmicas ocasionadas por las ondas S serán de
mayor importancia.
µ ρ
d sv
Para calcular la respuesta sísmica en un determinado lugar se hace necesario conocer la historia de
aceleración del sismo, la cual se determina registrando el movimiento sísmico por medio de un
acelerógrafo. En la Fig.12. Se muestra un acelerograma registrado en mayo 11, 1962 para la parte
central de la Ciudad de México, en donde se observa que la aceleración máxima del suelo alcanza
un orden de 38 cm/seg .
ma2
Se puede demostrar que la respuesta sísmica máxima puede determinarse por medio de la integral de
Duhamel:
}maxd
ttw
v dtweaR o τττ τξ )(sen)(0
)( −⋅= ∫ −− )47(
El valor de Rv representa la integración de los impulsos transmitidos por la aceleración a(τ ) a la base
de una estructura equivalente a un grado de libertad con frecuencia circular libre Wo y amortiguada
Wd=Wo(1-ξ ), en donde ξ representa la fracción de amortiguamiento crítico de la estructura. 20 o
Para el diseño sísmico de la estructura al ingeniero le interesa fundamentalmente la fuerza de inercia
que se genera en el centro de la masa, esto es:
Vm=M*Ra (48)
El valor de Ra=WoRv, se conoce como la respuesta de seudo-aceleración y la aceleración Ra vs T el
espectro de seudo-aceleración. Por medio del acelerograma de la Gig.12. Y la expresión (47) se
obtuvieron los espectros de respuesta de aceleración que muestra la Fig.13. Para diferentes
amortiguamientos críticos y para el centro de la Ciudad de México. Para una estructura rígida donde
T 0 la aceleración será la de la superficie del suelo obtenida como la máxima del acelerograma. ≈
Nótese que a medida que la estructura se hace más flexible aumenta la respuesta hasta llegar a un valor
máximo después del cual declina hasta hacerse pequeña.
El significado físico del espectro de respuesta se puede visualizar suponiendo Fig.14. Una serie de
edificios en la zona de estudio, representados por péndulos con períodos T diferentes y representativos
del modo fundamental de vibrar de los edificios. Supongamos períodos que varían desde T=0 hasta T=4
seg. Ahora imaginemos que en la interfase con el suelo firme se producen trenes de ondas de esfuerzo
cortante con velocidad de traslación pero con diferentes períodos y longitudes de onda de tal manera
que:
sv
i
is T
LTL
TLv =⋅⋅⋅===
2
2
1
1 )49(
El suelo se puede considerar como vibrador, por tanto tendrá una serie de períodos de vibración libre
dependiendo de las condiciones estratigráficas y de sus propiedades dinámicas. Se encontrará que
existirá un período máximo de vibración o fundamental el cual puede ser excitado por la perturbación
sísmica más fácilmente que los armónicos más altos.
Cuando el período fundamental del duelo es T y éste sea aproxima coincidentemente con alguno de
los períodos de los péndulos representativos de los edificios, dicho péndulo entrará en resonancia
produciéndose en su centro de masa una amplificación de la aceleración con respecto a la aceleración
máxima de la superficie del suelo. La aceleración de la superficie del suelo será tomada únicamente por
el péndulo de alta rigidez: Tn≈ 0. Así pues los picos en el espectro de respuesta de seudo-aceleración
serán representativos de las amplificaciones producidas cuando las longitudes de las ondas sean
compatibles con la estratigrafía del subsuelo y, por tanto, induzcan períodos en éste cercanos a los
períodos fundamentales de las estructuras. El período fundamental T del subsuelo resulta el más
importante de considerar ya que origina la respuesta máxima y consecuentemente la amplificación
máxima para determinado amortiguamiento crítico, y por tanto, puede servir como base para formular
un espectro práctico de diseño.
1ς
1s
Llamemos la amplificación de la aceleración por m
aa aRf =
af
y dibujemos en escalas log-logarítmicas
el espectro de respuesta de aceleración en términos de vs To/T , en don To es el período
equivalente de la estructura y su cimentación como si fuese un grado de libertad. El dibujo se efectuará
1s
de tal manera que represente la envolvente de todos los picos en el rango, desde To/ pequeño, hasta
To/T 3 por consiguiente el valor de To/T =1 representará la coincidencia del período equivalente
To con el subsuelo T y por tanto se obtendrá la respuesta máxima , Fig.15.
1sT
≈1s 1s
ma⋅
mV
1s af
a
µ
De lo anterior discusión se ve la importancia de poder conocer el período fundamental del subsuelo.
También es importante el segundo modo de vibración para el caso de sedimentos suaves como es el de
la Ciudad de México. El uso del espectro que muestra la Fig.15. Es fácil; imaginemos que el subsuelo
tiene un período dominante de T =1.0 seg. Una estructura tiene un período fundamental de To=2.0
seg. Por consiguiente To/T =2.0 y de la Fig.15. Se obtiene =2.0 para un amortiguamiento de
=5%. De donde la fuerza de inercia en el centro de masa de la estructura será Vm=2( ).
1s
1s f
oξ amM
Si hm es la altura del centro de masa desde la interfase del suelo con la cimentación, el momento de
volteo será:
O (50) )(2 mT Mh=
Y la fuerza cortante en la base V (51) B =
PERIODO FUNDAMENTAL DEL SUELO
En párrafos anteriores se mencionó la importancia de conocer las propiedades dinámicas del suelo,
para lo cual es necesario investigar cada uno de los estratos que lo forma hasta alcanzar la base firme.
De la experiencia se conoce que en sedimentos no consolidados los efectos más importantes de
movimiento sísmico son los producidos por las ondas de esfuerzo cortante con velocidad:
ρµ
=sV (52)
En donde es la rigidez del suelo o módulo de elasticidad al cortante, y la masa unitaria. El valor
de puede ser determinado en probetas de suelo inalterado representativas de cada uno de los estratos
del subsuelo. La determinación de se puede efectuar por medio del “Péndulo de Torsión Libre”
µ ρ
µ
diseño por el autor. La probeta inalterada representativa de cada estrato del subsuelo se coloca en una
cámara triaxial a un esfuerzo de confinamiento σ equivalente al esfuerzo efectivo octaédrico al cual
dicho material se encontraba sujeto a la profundidad de donde la muestra fue extraída, Fig.16. Si el
material se encuentra saturado se permite la consolidación total del suelo y luego se hace vibrar la
muestra libremente, obteniéndose la respuesta elástica. De los resultados obtenidos se calcula la rigidez
del suelo y la fracción del amortiguamiento crítico representativos. De cada estrato
Fig.17.con los valores de y de la masa unitaria del suelo se calcula la velocidad V de la onda de
cortante por la (52), de donde se podrá calcular aproximadamente el período fundamental del suelo.
c
µ
i d,
)5(sξ
µ s
M
Sea la velocidad de la onda, masa unitaria, y espesor respectivamente del estrato i. El
tiempo que la onda tardaría en atravesar dicho estrato es:
isiv , ρ
si
ii vd
t =∆
Al recorrer la onda de la base firme a la superficie del suelo donde ésta será reflejada hacia la base
firme el tiempo transcurrido será ¼ del período fundamental, así la distorsión total del suelo en la
superficie representará la amplitud del movimiento, Fig.18. por consiguiente:
∑=n
si
isi v
d1
4T (53)
Las distorsiones relativas y esfuerzos cortantes en el subsuelo producidas por cierta aceleración sísmica
en la superficie pueden calcularse por medio de expresiones paraámetricas del movimiento para el caso
de ondas de esfuerzo cortante que viajan desde el estrato firme hacia la superficie. . )4(
RESPUESTA SISMICA DE LA CIMENTACION
Supongamos una estructura y su cimentación representada esquemáticamente como se muestra la
Fig.19. la fuerza de inercia máxima durante el movimiento sísmico es:
(54) wv nm20)( δδθ +=
Y el momento de volteo:
(55) mmT hvO ⋅=
Por otro lado las fuerzas de restitución serán:
Por flexibilidad de la estructura , y por la rotación de la cimentación ( .El equilibrio
dinámico requiere:
)( nnk δ⋅
mm hv ⋅=
)θθ ⋅k
k ⋅θθ
220 /
)(1
m
n
hkM
w θθ
θ
δδδ ⋅+
= (56)
θθθ δδ
kMh
kMh
wmnm ⋅
+⋅
=22
20
1
Pero 20 1,
mn
n
mnnm hk
kh
kkh =∴=⋅θ
θθ δ
δδδ sustituyendo en (56)
n
m
kM
kMh
w+
⋅=
θ
2
20
1 (57)
Por otro lado, se encuentra que para δ =0 la frecuencia circular por rotación es:n 22
mMhkw θ
θ = y
para la frecuencia circular de la superestructura 0=θδ Mkw n
n =2 sustituyendo estos valores en
(57):
2220
111
nwww+=
θ
(58)
O bien ya que w=2π/T
T (59) 2220 nTT += θ
En donde Tn es el período de la estructura. De donde se deduce que el período equivalente acoplado de
la estructura y su cimentación puede ser obtenido por la (59). El período de rotación T es función de la
masa total del edificio y de las propiedades dinámicas y estratigráficas del subsuelo, esto es:
θ
θ
θ πkMhm2=T (60)
El problema consistirá en determinar el módulo de cimentación por rotación para conocer el
período fundamental del suelo T . Conociendo T y el amortiguamiento crítico equivalente ξ se
encuentra al espectro normalizado de respuesta y se determina , por consiguiente los valores de v
y .
θk
1s 10 / sT 0
af m
TO
La expresión (59) es también válida para los períodos amortiguados cuando ξ <20%, de donde se
puede escribir:
0
T (61) 222nddod TT += θ
Sea el amortiguamiento crítico equivalente del sistema estructura-cimentación, ξ el
amortiguamiento crítico de la cimentación y ξ el de superestructura, por tanto:
0ξ θ
n
T )1( 20
220 ξ−= odT
T (62) )1( 222θθθ ξ−= dT
T )1( 222nndn T ξ−=
Sustituyendo en (61) y efectuando operaciones algebraicas.
( )( )
2222
20
2220 )1()1(
11)1(
nn
n
TTT
θθ
θ
ξξζζ
ξ−+−
−−=− (63)
Considerando que (1-ξ )ξ y (1- ξ )ξ ≅ para los valores: ξ , de la (63) se
obtiene:
2θ
2n
2nξ≅
2n
22θθ ξ 20.0<
2222
222220 )1()1( nn
nn
TTTT
θθ
θθ
ξξξξ−+−
+=ξ (64)
Por consiguiente los valores T se podrán calcular de (59) y (64) los valores del período To y
amortiguamiento equivalente ξ respectivamente. Los amortiguamientos de las estructuras se
encuentran en rangos de ξ a 5% y para las cimentaciones aproximadamente:
nnT ξξθθ ,,,
0
%2=n
En sedimentos ξ θ
muy suaves 20% - 15%
suaves 15% - 12%
rígidos 12% - 8%
muy rígidos 8% - 6%
duros 5%
REACCIONES SISMICAS
Para el cálculo de k se procede como sigue: supongamos una cimentación como la que se indica en la
Fig.2. de planta rectangular formada por un sistema de vigas cortadas y dos vigas longitudinales donde
las cortas apoyan, y que en conjunto con la losa inferior de reacción y la losa superior sobre las vigas
forman en conjunto un cajón capaz de tomar el movimiento de volteo sísmico y trabar en forma
continua a la flexión, fuerzas cortantes y torsión.
θ
El momento de volteo inducido por la fuerza de inercia en el centro de masa se puede dividir en dos: el
momento que toma los muros de retención y la fracción del momento de volteo que toma la base
de la cimentación O de tal manera que:
TNO
TB
(65) TBTWT OOO +=
Así también por definición
θθkOT =
θθwTW kO =
θθBTB kO =
En donde θ es la amplitud sísmica de la rotación ó cabeceo de la caja rígida de la cimentación, por
consiguiente:
(66) Bw kkk θθθ +=
El problema consistirá en valuar los módulos de cimentación y k . Para calcular el valor de
, consideraremos a la caja de cimentación con un giro máximo θ , Fig.20.
Wkθ Bθ
Wkθ
El muro de la caja de cimentación gira en un plano presionado sobre el suelo en sentido horizontal.
Lo anterior origina un empuje uniforme (p) en el suelo en contacto con el muro. Suponiendo un módulo
dinámico medio Me en sentido horizontal, se puede demostrar que el desplazamiento horizontal δ a
una altura (z) de la base es aproximadamente como sigue:
Z
δ (67) ZqMeZ ⋅= )(
De donde θ , pero por definición: , luego: )( ρMe= θθ /TWW Ok =
MeO
k TWW =θ (68)
Además, de Fig.20. se obtiene que O y conociendo la rigidez del suelo: 2/2pdT =
µυ)1(2
1+
=Me (69)
Sustituyendo los valores dados en (68) se obtiene que:
(70) µυθ2)1( dk B +≈
Se hace notar de la (70) que el valor de es una función importante del empotramiento del cajón de
cimentación en el suelo.
Wkθ
Para el cálculo del módulo de cimentación de la base se procede como sigue: se divide la superficie
de apoyo en fajas transversales de igual área
Bkθa y tantas como sean necesarias para obtener precisión
práctica ( . Supongamos seis fajas para ilustrar el procedimiento. Carguemos una faja, Fig.8.con una
carga unitaria y calculemos la influencia que dicha carga unitaria induce en el subsuelo
al centro de los estratos considerados, en este caso cuatro, y de debajo de cada una de las bandas. Las
compresiones dinámicas volumétricas se designan por α para cada estrato.
)5
1+=∆ iqNjiI
Nd
Por consiguiente, de acuerdo con la Fig.8. se puede encontrar los desplazamientos verticales jiδ al
centro de las bandas que dicha carga unitaria produce en los puntos 1 a 6 cuando ésta se aplica
sucesivamente en cada una de las bandas consideradas. En forma matricial estos valores se calculan
como sigue:
[ ] Nd
TNjj I αδ ⋅= 11
[ ] Nd
TNjj I αδ = 22 ⋅ (71)
••••••••••••
[ ] Nd
TNjiji I αδ ⋅=
De donde:
[ ]NjiI matriz transpuesta de las influencias en j debido a la carga unitaria
aplicada en la banda i.
Ndα matriz columna de las compresiones volumétricas en los estratos de
A a N en condiciones dinámicas.
Njiδ desplazamiento vertical en puntos j debido a una carga unitaria
vertical en la banda.
Sin embargo para condiciones dinámicas los valores de las deformaciones volumétricas de los estratos
se calculan con la rigidez dinámica del suelo, esto es: Ndα µ
µυ)1(2 +
=d
dα (72)
Con los valores de (71) se forma la ecuación matricial sísmica de desplazamientos verticales en la
misma forma que para la (23). La que llamaremos “EMAS”, esto es: ecuación matricial de
desplazamientos verticales sísmicos ( considerando que el fenómeno es asimétrico y representa la
amplitud del giro θ sísmico de la cimentación, se puede escribir en la misma forma que la (39), la
siguiente expresión matricial:
)5
[ ] iASIMiji Xq
⋅=
∆ −1δθ
(73)
Solucionando el sistema de ecuaciones simultáneas que representa la ecuación matricial (73) se
determinan los valores . El momento de volteo será: )/( θiq∆
ii
T xaq
O ⋅
∆⋅= ∑ θ
θ (74)
El módulo de cimentación para rotación queda definido por , de donde resulta: θθ /TOk =
ii xq
ak ⋅
∆⋅= ∑
6
1 θθ (75)
Conociendo el valor se calcula T y el valor de θk θ22
00 nTT +=
10 / sT
T y con el amortiguamiento crítico
equivalente se entra al espectro de diseño con T y se encuentra . El momento de volteo
será:
0ξ af
(76) )( mmaT hMafO ⋅⋅=
La amplitud del ángulo que gira la cimentación:
θk
hMaf mma )( ⋅⋅=θ (77)
En donde el incremento de esfuerzos en la interfase de la estructura de cimentación y el suelo es:
θθ
⋅
∆=∆ i
iq
q (78)
Los esfuerzos de la reacción sísmica de la cimentación se suman a los ya determinados para las
condiciones estáticas, Fig.21. Se examina si los esfuerzos máximos en las orillas de la cimentación no
sobrepasan la resistencia del suelo en esos lugares, . )5(
REFERENCIAS
(1) Hetenyi, M. (1964). Beams on Elastic Foundations.
University of Michigan Press. 7th Printing.
(2) Winkler, E. (1867) Die Lehre von der Elastizitat und Festigkeit, pp 182
Prague Verlag.
(3) Zeevaert,L.(1973). Foundations Engineering for Difficult Subsoil
Condition. Chapter IV Van Nostrand Reinhold.
(4) Zeevaert,L. (1973) FEDISOC. Chapter III, XII.
(5) Zeevaert,L. (1980). Interacción Suelo-Estructura de Cimentaciones para
Cargas Estáticas y Sísmicas, Limusa. México, D.F.
(6) Zeevaert,L. (1964). Características de los Temblores en Ingeniería Sísmica.
Sociedad Mexicana de Ingeniería Sísmica.
(7) Richter, Ch.F. (1958) Elementary Seismology W.H.Freeman Company.
(8) Bio, M.A (1943). Analytical and Experimental Methods in Engineering
Seismology.ASCE VOL.108 pp.365-384.
FIG.
1 VIGAS SOBRE SUELO COMPRESIBLE
2 PLANTA DE CIMENTACION
3 CIMENTACION RIGIDA ( MASA SEMI - INFINITA )
4 CIMENTACION SEMI - FLEXIBLE
5 DOS ZAPATAS DE CIMENTACION
6 TRES ZAPATAS DE CIMENTACION
7 CALCULO TRES ZAPATAS DE CIMENTACION
8 DESPLAZAMIENTOS VERTICALES
9 REACCIONES SIMETRICAS Y ASIMETRICAS
10 GIRO DE LA CIMENTACION
11 ALIVIO DE ESFUERZOS EN EL SUBSUELO ( HISTERESIS )
12 ACELEROGRAMA CIUDAD DE MEXICO, MAYO 11 1962.
13 ESPECTRO DE SEUDO-ACELERACION, MAYO 11, 1962.
14 PENDULO DE DIFERENTES PERIODOS
15 ESPECTRO ENVOLVENTE DE DISEÑO SISMICO
16 PENDULO DE TORSION LIBRE
17 PERFIL DEL MODULO DINAMICO DE ELASTICIDAD AL CORTANTE
18 PERIODOS DEL SUELO POR VELOCIDADES
19 DESPLAZAMIENTO Y GIRO DE LA ESTRUCTURA Y DE LA
CIMENTACION
20 EMPUJE SISMICO SOBRE LOS MUROS DE LA CAJA DE LA
CIMENTACION
21 DISTRIBUCION DE REACCIONES ESTATICAS Y SISMICAS EN LA BASE
DE LA CIMENTACION
