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Estratégias de Integração
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
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Estratégias de Integração
1.Introdução
2.Resolução de exemplos
3.Observações
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3
1. Introdução
A integração é mais desafiante que adiferenciação. Para determinar a derivada de umafunção é óbvio qual fórmula de diferenciaçãodevemos aplicar. Porém não é necessariamenteóbvio qual técnica devemos aplicar para integraruma dada função
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4
1. Introdução
Até agora aplicamos algumas técnicasindividuais, tais como a integração por partes e asfrações parciais. Nesta aula iremos apresentaruma coleção de integrais misturadas aleatoria-mente, sendo que o principal desafio será oreconhecimento da técnica ou fórmula que devemser usadas
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5
1. Introdução
As regras fáceis e rápidas para a aplicaçãode um dado método em uma determinada situaçãonão são fornecidas. Contudo, serão dados algunsconselhos sobre estratégias que você poderá acharútil.
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6
1. Introdução
Um pré-requisito para a seleção daestratégia é o conhecimento das fórmulas básicasde integração. Na tabela seguinte apresentamosintegrais já conhecidas em aulas anteriores comvárias fórmulas adicionais
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7
1. Introdução
Tabela de Fórmulas de Integração(As constantes de integração foram omitidas)
1
1. ( 1)1
nn x
x dx nn
+
= ≠ −+∫
12. lndx x
x=∫
3. x xe dx e=∫ 4. ln
xx a
a dxa
=∫
5. sen cosx dx x= −∫ 6. cos senx dx x=∫27. sec tgx dx x=∫
28. cossec cotgx dx x= −∫
9. sec tg secx x dx x=∫ 10. cosec cotg cossecx x dx x= −∫
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8
1. Introdução
Tabela de Fórmulas de Integração(As constantes de integração foram omitidas)
11. sec ln sec tgx dx x x= +∫ 12. cossec ln cossec cotgx dx x x= −∫
13. tg ln secx dx x=∫ 14. cotg ln senx dx x=∫
15. senh coshx dx x=∫ 16. cosh senhx dx x=∫
12 2
117. tg
dx xx a a a
− = + ∫
1
2 218. sen
dx xaa x
− = −∫
2 2
119. ln
2dx x a
x a a x a−=
− +∫2 2
2 220. ln
dxx x a
x a= + ±
±∫
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9
1. Introdução
Uma vez familiarizado com essas fórmulasbásicas de integração, se não virmos imediata-mente como atacar uma dada integral, poderemostentar a seguinte estratégia de quatro etapas.
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10
1. Introdução
1. Se possível, simplifique o integrando
Algumas vezes o uso de manipulação algébricaou identidades trigonométricas simplifica o integrandoe torna o método de integração óbvio.
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1. Introdução
Exemplos:
( ) ( )1x x dx x x dx+ = +∫ ∫
22
tg sencos
sec cosd dx=∫ ∫
θ θθ θθ θ
1sen cos sen2
2dx dx= =∫ ∫θ θ θ
( ) ( )2 2 2sen cos sen 2sen cos cosx x dx x x x x dx+ = + +∫ ∫( )1 2sen cosx x dx= +∫
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12
1. Introdução
2. Procure por uma substituição óbvia
Tente encontrar alguma função u = g (x) nointegrando cuja diferencial du = g ’(x) também ocorra,separadamente da constante.
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1. Introdução
Por exemplo, na integral
2 1x
dxx −∫
notamos que, se u = x 2 – 1, então du = 2xdx.Portanto, usamos a substituição u = x 2 – 1 em vezdo método das frações parciais.
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1. Introdução
3. Classifique o integrando de acordo com sua forma
Se as etapas 1 e 2 não levaram a uma solução,então olhamos para a forma do integrando f (x).
a) Funções trigonométricas: Se f (x) é um produto depotências de sen x e cos x, de tg x e sec x ou decotg x e cossec x, então utilizaremos assubstituições trigonométricas (Aula 50).
b) Funções racionais: Se f é uma função racional,usamos o procedimento da aula 46, envolvendo asfrações parciais.
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1. Introdução
c) Integração por partes: Se f (x) é um produto deuma potência de x (ou um polinômio) e uma funçãotranscendental (como uma função trigonométrica,exponencial ou logarítmica), então tentamos aintegração por partes, escolhendo u e du de acordocom a Aula 45.
d) Radicais: Tipos particulares de substituição sãorecomendados quando certos radicais aparecem.
(i) Se ocorre, utilizamos a substituiçãotrigonométrica de acordo com a tabela apresentadanesta aula.
(ii) Se ocorre, usamos a substituiçãoracionalizante . Isso funciona mais comu-mente para .
2 2x a± ±
n ax b+nu ax b= +
( )n g x
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1. Introdução
4. Tente novamente
Se as três etapas anteriores não deremresultado, lembre-se que existem basicamente apenasdois métodos de integração: substituição e por partes.
a) Tente a substituição: Mesmo que nenhumasubstituição seja óbvia (Etapa no 2), algumainspiração ou engenhosidade pode sugerir umasubstituição apropriada.
b) Tente por partes: Embora a integração por partesseja usada na maioria das vezes nos produtos daforma descrita na Etapa no 3(c), algumas vezes éeficaz em funções simples, como em tg-1x, sen-1x eln x. Todas são funções inversas.
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17
1. Introdução
c) Manipule o integrando: As manipulações algébricas(talvez racionalizando o denominador ou usando asidentidades trigonomátricas) podem ser úteis natransformação da integral em uma forma maisfácil. Essas manipulações podem ser mais subs-tanciais que na Etapa no 1 e podem envolver algumaengenhosidade.
2
1 cos 1 cos1 cos 1 cos 1 cos 1 cos
dx dx x xdx
x x x x+ += ⋅ =
− − + −∫ ∫ ∫
22 2
1 cos coscossec
sen senx x
dx x dxx x
+= = +
∫ ∫
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18
1. Introdução
d) Relacione o problema àqueles anteriores: Quandotiver adquirido alguma experiência em integração,você poderá usar um método em uma dada integralssimilar o método já usado em uma integralanteriormente. Ou até será capaz de expressar aintegral dada em termos de uma integral anterior.
( ) ( )2 2 3tg sec sec 1 sec sec secx x dx x x dx x x dx= − = −∫ ∫ ∫
OBS: Veja o Exemplo 17 da Aula 50.
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19
1. Introdução
e) Use vários métodos: Algumas vezes dois ou trêsmétodos são necessários para se avaliar umaintegral. A avaliação pode envolver váriassubstituições sucessivas ou diferentes tipos ou atécombinar a integração por partes com uma ou maissubstituições.
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20
1. Introdução
Nos exemplos a seguir indicamos o método deataque, mas não trabalhamos totalmente as integrais.
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21
2. Resolução de exemplos
Exemplo 1: Calcule a integral
3
3
tgcos
xdx
x∫
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22
2. Resolução de exemplos
Solução: Na Etapa no 1 reescrevemos a integral
33 3
3
tgtg sec
cosx
dx x x dxx
= ⋅∫ ∫
A integral é agora da forma
tg secm nx x dx⋅∫
comm ímpar; então usamos a dica dada na Aula no 50.
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23
2. Resolução de exemplos
Alternativamente, se na Etapa no 1 tivés-semos escrito
3 3 3
3 3 3 6
tg sen 1 sencos cos cos cos
x x xdx dx dx
x x x x= ⋅ =∫ ∫ ∫
então poderíamos ter continuado como se seguecom a substituição u = cos x.
3 2 2
6 6 6
sen sen 1 cossen sen
cos cos cosx x x
dx x dx x dxx x x
−= =∫ ∫ ∫
( )2 2
4 66 6
1 1( )
u uu u
du du u u du− −− −= − = = −∫ ∫ ∫
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2. Resolução de exemplos
Exemplo 2: Calcule a integral
xe dx∫
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25
2. Resolução de exemplos
Solução: De acordo com a Etapa no 3(d)(ii)substituímos
u x=
Então x = u 2, assim dx = 2du e
2x ue dx ue du=∫ ∫
O integrando é agora um produto de u e dafunção transcendental eu e, dessa forma, pode serintegrado por partes.
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26
2. Resolução de exemplos
Exemplo 3: Calcule a integral
5
3 2
13 10x
dxx x x
+− −∫
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2. Resolução de exemplos
Solução: Nenhuma simplificação algébrica ousubstituição é óbvia, por isso as Etapas no 1 e no 2não se aplicam aqui. O integrando é uma funçãoracional, então aplicamos o procedimento da Aulano 46, lembrando que a primeira etapa é dividir.
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28
2. Resolução de exemplos
Exemplo 4: Calcule a integral
ln
dx
x x∫
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29
2. Resolução de exemplos
Solução: Aqui a Etapa no 2 é tudo o que énecessário. Substituímos u = ln x porque suadiferencial é du = dx/x, que ocorre na integral.
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2. Resolução de exemplos
Exemplo 5: Calcule a integral
11
xdx
x−+∫
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2. Resolução de exemplos
Solução: Embora a substituição racionalizante
11
xu
x−=+
funcione aqui [Etapa no 3(d)(ii)], isso leva a umafunção racional muito complicada. Um método maisfácil é fazer alguma manipulação algébrica [comona Etapa no 1 ou na Etapa no 4(c)].
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2. Resolução de exemplos
Multiplicando o numerador e o denominador por
1 ,x−
temos
2 2 2
1 1 11 1 1 1
x x xdx dx dx dx
x x x x
− −= = −+ − − −∫ ∫ ∫ ∫
1 2
2 2
1sen 1
1 1
xdx dx x x C
x x−= − = + − +
− −∫ ∫
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33
3. Observações
A questão surge: nossa estratégia deintegração nos permitirá encontrar a integral paratoda função contínua? Por exemplo, podemos usarnossa estratégia para avaliar
2
?xe dx∫
A resposta é não, ao menos não em termosdas funções que nos são familiares.
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3. Observações
As funções com as quais temos lidado atéagora são chamadas funções elementares. Essassão as funções polinomiais, as racionais, as depotência (xn), as exponenciais (ax), as logarítmicas,as trigonométricas e suas inversas e todas aquelasque podem ser obtidas pelas operações de adição,subtração, multiplicação, divisão e composição. Porexemplo, a função
( )2
sen23
1( ) ln cosh
2 1xx
f x x xex x
−= + −+ −
é uma função elementar.
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3. Observações
Se f é uma função elementar, então f ’ éuma função elementar, mas
não é necessariamente uma função elementar.Considere
( )f x dx∫
2
( ) .xf x e=Como f é contínua, sua integral existe e definimosa função F por
2
0
( )x
xF x e dx= ∫
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3. Observações
Então sabemos pelo Teorema do Cálculo que
Então
tem uma antiderivada F, mas pode-se provar que Fnão é uma função elementar.
2
( ) .xF x e′ =
2
( ) xf x e=
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3. Observações
Isso significa que não importa o quantotentamos, nunca teremos sucesso em avaliar
em termos das funções que conhecemos. Contudo,no estudo das séries, veremos como expressar aintegral acima como uma série infinita.
2xe dx∫
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3. Observações
O mesmo pode ser dito das integrais aseguir:
xedx
x∫
3 1x dx+∫
( )2sen x dx∫
1ln
dxx∫
( )cos xe dx∫
senxdx
x∫