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Estimación por intervalos
Estimación por intervalos para
la media poblacional
2
/2 /2( ) 1P x z x zn n
con (varianza poblacional) conocida
con (varianza poblacional) desconocida
Si n 30 se reemplaza por S y usamos el
intervalo anterior, para muestras grandes
/2 /2( ) 1S S
P x Z x zn n
Intervalo de confianza para la media con
varianza poblacional desconocida y
n<30
Si la población base es normal, la varianza es
desconocida y el tamaño de la muestra menor que 30,
la media muestral tiene distribución T con n-1 grados de
libertad
/2, 1 /2, 1( ) 1
n nP t T t
/2, 1 /2, 1( ) 1
n n
xP t t
S
n
/2, 1 /2, 1( ) 1
n n
S SP x t x t
n n
Tamaño de la muestra Se toma una muestra piloto, se calcula S y se la
utiliza como estimación de Ejemplo: En un estudio hecho para determinar el
tiempo medio necesario para el montaje de cierta
pieza de una máquina, 25 trabajadores hicieron un
promedio de 42,5 minutos y una varianza de 4,1
minutos. Si los tiempos de los trabajadores se
distribuyen normalmente, estimar el tiempo
promedio necesario para el montaje de la máquina
al nivel del 99%
41,367 43,63 0,005;24
2,797t
Intervalo de confianza para la
varianza poblacional
Para estimar la varianza poblacional,
usamos la varianza muestral 2
2 1
1
n
i
i
x x
Sn
Si bien comprobamos que es un estimador insesgado de
S no es un estimador insesgado de la dispersión
poblacional, pero para muestras grandes, el sesgo es
pequeño y es muy común hacer esa estimación.
2
Usaremos la variable aleatoria con
distribución Ji- cuadrado y n-1 grados
de libertad:
2
2
2
1n S
gl=2
gl=3
gl=4gl=5
0 2 Chi2 6 8
Extremos del intervalo para la
varianza poblacional
2 2 2
1 /2; 1 /2; 1n nP
2
2 2
1 /2; 1 /2; 12
1n n
n SP
2
2
1 /2; 1 2
1n
n S
2
2
/2; 12
1n
n S
2
2
2
1 /2; 1
1
n
n S
2
2
2
/2; 1
1
n
n S
2 2
2
2 2
/2; 1 1 /2; 1
1 11
n n
n S n SP
Suponiendo una confiabilidad del 90%
para n = 7 , se ubican los valores de la
tabla en la gráfica
Tabla de Ji-Cuadrado
Construir el intervalo de confianza
con esos datos, si la varianza
muestral es de 4,1
21,952 15
2 2
2
2 2
/2; 1 1 /2; 1
1 11
n n
n S n SP
2
2
/2; 1
1 6.4,11,952
12,6n
n S
2
2
1 /2; 1
1 6.4,115
1,64n
n S
Ejemplo
De 70 cables producidos por una compañía se
obtuvo una resistencia media a la tracción de
1,5 toneladas con una dispersión de 45 kg.
Estimar la dispersión de todos los cables
producidos por la compañía utilizando un
nivel de confianza de 0,95.
38,34 53,53
Intervalo de confianza sobre una
proporción
Si se ha tomado una muestra aleatoria de tamaño n de una gran población (posiblemente infinita),
donde X observaciones en esta muestra pertenecen a la clase de interés.
ˆX
pn
Es el estimador puntual de la proporción
poblacional.
Es binomial, de parámetros n y p
La distribución de muestreo de es
aproximadamente normal con esperanza p y
varianza con p no cerca de 0 y 1.
Demostrarlo.
p̂
1p p
n
Para n tendiendo a infinito,
intervalo de confianza para p
La distribución de es aproximadamente normal estándar.
ˆ
ˆ ˆ1
p pz
p p
n
/2 /2 1P z Z z
/2 /2
ˆ1
ˆ ˆ1
p pP z z
p p
n
/2 /2
ˆ ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ 1
p p p pP p z p p z
n n
Ejemplo
En una muestra aleatoria de 75 ejes de árbol, 12 tienen un acabado superficial que es más rugoso
que lo permitido por las especificaciones. Una estimación puntual de la proporción de los ejes en la población que excede las especificaciones de
rugosidad es
12ˆ 0,16
75
Xp
n
Construir un intervalo de confianza para p utilizando
una confiabilidad del 95%
0,077 0,243p
Pruebas de Hipótesis
Una prueba de hipótesis es una técnica de Inferencia
Estadística que permite comprobar si la
información que proporciona una muestra
observada concuerda (o no) con la hipótesis
estadística formulada y, por lo tanto, decidir si se
debe aceptar o rechazar dicha hipótesis.
Introducción • Ejemplos:
un investigador que pretende demostrar que la droga A es más efectiva para el tratamiento de cierta enfermedad que la droga B;
cuando un psicólogo desea comprobar si cierto formato de instrucción incrementará la eficiencia en el aprendizajes;
cuando un ingeniero agrónomo desea comprobar si una nueva distancia de siembra entre surcos, para un cultivo, produce mejores rendimientos que las distancias que se usaban comúnmente en la zona;
cuando el jefe de marketing asegura que determinado producto es aceptado por el 60% de la población consumidora, etc.
• En cada uno de los casos anteriores el responsable del estudio postula o conjetura algo acerca de un sistema.
• Se puede decir que se llaman decisiones estadísticas a las decisiones que deben tomarse con respecto a las poblaciones a partir de una información obtenida de una muestra de las mismas.
Hipótesis Estadística es cualquier afirmación o conjetura sobre una
o varias características de interés de la
población.
Paramétrica
No Paramétrica
:
Es una afirmación sobre
alguna característica
estadística de la población
en estudio.
Por ejemplo, las
observaciones son
independientes, la
distribución de la variable en
estudio es normal, la
distribución es simétrica, etc.
Es una afirmación sobre los valores de
los parámetros poblacionales
desconocidos.
Simple
la hipótesis
asigna valores
únicos a los
parámetros
Compuesta
la hipótesis
asigna un rango
de valores a los
parámetros
Identificación de las Hipótesis
Estadísticas Paramétricas
Hipótesis nula Ho
– Se plantea con el parámetro de interés usando alguno de los
símbolos
– La probabilidad de rechazar Ho es muy baja,
y se llama nivel de significación
porque Ho es la hipótesis que se considera cierta.
Hipótesis Alternativa H1
– Es contraria a la hipótesis nula. (Niega a H0). Se plantea usando
según el caso respectivo al planteo de Ho.
– Está muy relacionada con la hipótesis de investigación,
es coherente con los resultados obtenidos en la
muestra
La probabilidad de aceptación de H1 es
:H
:H
1
0
, ,
, >,<
Ejemplo 20 20
Observaciones
• El propósito de cualquier prueba de hipótesis es decidir cual hipótesis sería rechazada o cuál ha sido aceptada.
• Cualquier decisión estará basada sobre información parcial de una población, contenida en una muestra, por lo que habrá siempre una posibilidad de una decisión incorrecta.
• La siguiente tabla resume cuatro posibles situaciones que pueden surgir en un test de hipótesis.
Verdadero estado de la población
Decisión posible H0 es cierta H1 es cierta
Se rechazo H0 Error de tipo I Decisión correcta
No se rechaza H0
Decisión correcta Error de tipo II
Esquema para realizar una prueba
de hipótesis
Etapas:
1) Enunciado de la hipótesis nula y alternativa
2) Selección del estadístico de prueba (Considerar el parámetro poblacional utilizado en 1) y los datos del problema).
3)Gráfico de la distribución del estadístico de prueba para la determinación de la región crítica con el alfa dado y la búsqueda en tabla del valor crítico.
4) Cálculo del valor observado a partir del estadístico.
5) Comparación de valores.
6) Exposición de las conclusiones
Contrastes: unilateral y bilateral
La posición de la región crítica depende de la hipótesis alternativa
Unilateral Unilateral
Bilateral
H1: <20 H1: >20
H1: 20
20
20 20
Prueba para la media
Ejemplo:
Un establecimiento tambero tiene una producción media diaria de 25,8 (lt en miles). El gerente del establecimiento pretende modificar ciertas maquinarias con el objetivo de
aumentar la producción. Se sabe que la dispersión general es de 0,3 (lt en miles) y no se espera que ese valor cambie con las modificaciones. Se desea probar, con un nivel de significación del 1 %, que la producción promedio no está afectada por el cambio. Para esto, se toma una muestra de 19 observaciones y se encuentra que la nueva media es de
26,1 (lt en miles).