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Ătude numĂ©rique du remplissage 3D en fonderieEstelle Saez
To cite this version:Estelle Saez. Ătude numĂ©rique du remplissage 3D en fonderie. MĂ©canique [physics.med-ph]. ĂcoleNationale SupĂ©rieure des Mines de Paris, 2003. Français. NNT : 2003ENMP1145. tel-00274191
ECOLE DES MINES DE PARIS
CollĂšge doctoral
N° attribué par la bibliothÚque |__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|
T H E S E
pour obtenir le grade de Docteur de lâEcole des Mines de Paris
SpĂ©cialitĂ© âMĂ©canique numĂ©rique â
présentée et soutenue publiquement par Estelle SAEZ
le 8 Septembre 2003
ETUDE NUMERIQUE DU REMPLISSAGE 3D EN FONDERIE
Directeurs de thĂšse : Michel Bellet et Thierry Coupez
Jury
M. Hervé Guillard Rapporteur M. Koulis Pericleous Rapporteur
M. Stéphane Hans Examinateur M. Olivier Jaouen Examinateur M. Michel Bellet Directeur de thÚse M. Thierry Coupez Directeur de thÚse
REMERCIEMENTS
Je remercie lâensemble de la direction de lâEcole des Mines de Paris pour mâavoir accueillie au sein du CEMEF, et permis dâeffectuer ce travail de recherche. Un merci particulier Ă Mr Patrick Coels pour son accueil et son soutien. Merci Ă Michel Bellet et Ă Thierry Coupez qui ont dirigĂ© ce travail conjointement. Tous deux mâont beaucoup apportĂ©, par leur exigence, leur suivi et leur compĂ©tence. Jâai beaucoup appris et je les en remercie. Je remercie tous les partenaires du projet OSC pour leur sympathie, et la vision dâensemble quâils mâont donnĂ© de la fonderie. Je remercie tous les membre de mon jury, Messieurs HervĂ© Guillard et Koulis PĂ©ricleous pour avoir assurĂ© la charge de rapporteur, et Messieurs Olivier Jaouen et Stephan Hans pour leur participation. Merci Ă Luisa et Ă Hugues qui mâont tant soutenu, Ă Julien, Mikaela, NadĂšge, Olga, Josue, Cyril, Nathalie, Manu, Sylvie et Fred, pour leurs brins de causette. Aux copines du foot, Karine, Sylvie, Danielle, Isa, Sev, Manue et Val. On sâest drĂŽlement bien amusĂ©. Merci Ă Ju, Ă Fracassâ, Ă Eric et Sonia pour leur amitiĂ©. Merci aux poulettes, Isa, Manue Valâ et Sevâ, de naviguer avec moi, en pĂšrÂŽ peinard, sur la grande mare des canards. Je remercie aussi mes parents pour mâavoir appris ce qui est vraiment important, ma sĆur CĂ©line, mes grand-mĂšres⊠Enfin, je remercie mon amour, grĂące Ă qui jâai toujours aperçu la ligne dâhorizon.
TABLE DES MATIERES
1
TABLE DES MATIERES
CHAPITRE I INTRODUCTION ...................................................................................................................... 8
I.1 LE REMPLISSAGE EN FONDERIE ................................................................................................................... 9I.1.1 Généralités sur le moulage ............................................................................................................... 9I.1.2 Procédés de fonderie......................................................................................................................... 9I.1.3 Importance de la maßtrise de la coulée ........................................................................................... 10
I.1.3.1 La phase de remplissage .........................................................................................................................11I.1.3.2 La phase de solidification .......................................................................................................................11
I.2 LA SIMULATION NUMĂRIQUE EN FONDERIE............................................................................................... 12I.2.1 Importance de la simulation numĂ©rique dans lâĂ©tude du remplissage en fonderie ......................... 12I.2.2 Logiciels de simulation utilisĂ©s en fonderie .................................................................................... 14
I.3 CONTEXTE ET HISTORIQUE DU PROJET ...................................................................................................... 14I.4 GRANDS AXES ET DĂMARCHE DANS LA MISE EN ĆUVRE DE NOTRE ĂTUDE................................................ 16
I.4.1 Lâadaptation de Rem3DÂź ............................................................................................................... 16I.4.2 Cadre physique de lâĂ©tude............................................................................................................... 16I.4.3 Grands axes de notre Ă©tude............................................................................................................. 17
CHAPITRE II RĂSOLUTION DES ĂQUATIONS DE NAVIER STOKES INSTATIONNAIRES AVECSURFACE LIBRE .............................................................................................................................................. 20
II.1 GĂNĂRALITĂS SUR LA LINĂARISATION DU PROBLĂME DE NAVIER-STOKES ET SA RĂSOLUTION EN ESPACE21
II.1.1 Le problĂšme de Navier-Stokes pour les fluides incompressibles..................................................... 21II.1.2 Introduction des notations............................................................................................................... 22
II.1.2.1 formulation variationnelle.......................................................................................................................22II.1.2.2 Formulation discrĂšte et matricielle..........................................................................................................23
II.1.3 Approximations temporelles et linéarisation du problÚme de Navier-Stokes.................................. 23II.1.4 Instabilités liées à la résolution du problÚme discret en espace ..................................................... 26
II.1.4.1 Le problĂšme mixte en vitesse pression ...................................................................................................27II.1.4.2 Le problĂšme dâadvection diffusion .........................................................................................................28
II.1.5 Le traitement du problĂšme de Navier-Stokes discret par lâoptimisation des fonctions bulles(Residual Free Bubble) ................................................................................................................................ 29
II.1.5.1 Stabilisation de lâĂ©quation dâadvection diffusion par les mĂ©thodes SUPG et SGS .................................30II.1.5.1.1 MĂ©thodes SUPG.................................................................................................................................30II.1.5.1.2 MĂ©thode Subgrid Scale (SGS) ...........................................................................................................31
II.1.5.2 MĂ©thodes de type Residual Free Bubble.................................................................................................33II.1.5.2.1 Residual Free Bubble .........................................................................................................................33II.1.5.2.2 Pseudo Residual Free Bubble.............................................................................................................35
II.1.6 Conclusion ...................................................................................................................................... 38II.1.7 Formulation du problĂšme mĂ©canique pour lâĂ©tude du remplissage en fonderie............................. 39
II.1.7.1 Modélisation du fluide ............................................................................................................................40II.1.7.2 Modélisation du vide ..............................................................................................................................41II.1.7.3 Modélisation du moule ...........................................................................................................................42II.1.7.4 Conditions aux limites ............................................................................................................................43II.1.7.5 Conditions de surface libre et tension de surface ....................................................................................44
II.2 FORMULATION VARIATIONNELLE DU PROBLĂME DE NAVIER-STOKES ĂTENDU .................................... 44II.3 RĂSOLUTION DU PROBLĂME DE NAVIER-STOKES ................................................................................. 45
II.3.1 Espaces dâapproximation en espace ............................................................................................... 45II.3.2 PremiĂšre approximation du problĂšme : approximation en espace du problĂšme de Stokes ............ 46II.3.3 Approximation du problĂšme de Navier-Stokes................................................................................ 48
II.3.3.1 Le problĂšme variationnel discret.............................................................................................................48II.3.3.2 Traitement des termes dâadvection .........................................................................................................49II.3.3.3 SchĂ©mas temporel ...................................................................................................................................51II.3.3.4 Ecriture matricielle du problĂšme de Navier-Stokes ................................................................................51
II.3.4 Résolution du systÚme ..................................................................................................................... 51II.3.5 Cas test de validation : la cavité entraßnée [Ghia et al, 1982] ....................................................... 52
II.3.5.1 Introduction ............................................................................................................................................52
TABLE DES MATIERES
2
II.3.5.2 RĂ©sultats qualitatifs sur la prise en compte entiĂšrement explicite des termes dâ inertie pour un nombre deReynolds de 100.........................................................................................................................................................53II.3.5.3 RĂ©sultats avec introduction des termes dâ inertie en utilisant le schĂ©ma dâ Euler quasi implicite.............54
II.3.5.3.1 Etude pour un nombre de Reynolds de 100........................................................................................54II.3.5.3.2 Etude pour des nombres de Reynolds allant jusquâ Ă 1000 .................................................................57
II.3.5.4 Robustesse de la méthode .......................................................................................................................59II.3.5.5 Conclusion ..............................................................................................................................................59
II.4 AJOUT DU SUIVI DE LA SURFACE LIBRE AU PROBLĂME DE NAVIER STOKES.......................................... 60II.4.1 RĂ©solution de lâ Ă©quation de transport de la fonction de prĂ©sence .................................................. 60II.4.2 Le module dâadaptation de maillage............................................................................................... 62
II.4.2.1 Description de la méthode ......................................................................................................................62II.4.2.2 Prise en compte de la vitesse de maillage ...............................................................................................64
II.5 REMARQUES PRĂALABLES ET DĂMARCHE POUR Lâ ĂTUDE Dâ ĂCOULEMENTS Ă HAUT REYNOLDS .......... 64II.6 CAS TESTS DE VALIDATION DE LA RĂSOLUTION DU PROBLĂME DE NAVIER-STOKES INSTATIONNAIREAVEC SUIVI DE LA SURFACE LIBRE ..................................................................................................................... 65
II.6.1 Le jet de M.Schmid and F.Klein ...................................................................................................... 65II.6.1.1 Comparaison avec lâ expĂ©rience ..............................................................................................................65II.6.1.2 Illustration de lâ influence de lâ adaptation de maillage ............................................................................66II.6.1.3 Conclusions ............................................................................................................................................68
II.6.2 Lâ Ă©croulement du barrage............................................................................................................... 68II.6.2.1 Etude de lâ Ă©croulement dâ une colonne dâ eau sur un plan horizontal rigide : Ă©tude de la surface libre -J.C. Martin and W. J. Moyce......................................................................................................................................68
II.6.2.1.1 Introduction et description de lâ expĂ©rience ........................................................................................68II.6.2.1.2 Remarques sur le post-traitement des rĂ©sultats issus de la simulation REM3DÂź ...............................71II.6.2.1.3 Etude de lâ Ă©croulement dâ une colonne ayant les dimensions du plan expĂ©rimental : expĂ©rience 2D. 72II.6.2.1.4 Ecroulement dâ une colonne de 1m de haut .......................................................................................76II.6.2.1.5 Ecroulement dâ une colonne dâ eau en 3D, suivant les donnĂ©es expĂ©rimentales..................................77
II.6.2.2 Comparaison des deux solveurs dans lâ air ..............................................................................................81II.7 CONCLUSION ........................................................................................................................................ 84
CHAPITRE III IMPOSITION DES CONDITIONS LIMITES DE CONTACT GLISSANT .................. 88
III.1 INTRODUCTION..................................................................................................................................... 89III.2 DU PROBLĂME SOUS CONTRAINTE Ă LA FORME DISCRĂTE .................................................................... 90
III.2.1 La formulation variationnelle ..................................................................................................... 90III.2.1.1 Ecriture du problÚme sous contraintes ....................................................................................................91III.2.1.2 La méthode du lagrangien.......................................................................................................................91III.2.1.3 La méthode de pénalisation ....................................................................................................................91
III.2.2 Le problĂšme discret .................................................................................................................... 93III.2.2.1 Normales multiples conservatives...........................................................................................................93
III.2.2.1.1 Principe.............................................................................................................................................93III.2.2.1.2 Extension de lâ utilisation des normales conservatives au cas du remplissage...................................95III.2.2.1.3 Les normales multiples .....................................................................................................................98
III.2.2.1.3.1 Algorithme de gĂ©nĂ©ration des normales multiples aux noeuds..................................................99III.2.2.1.3.2 Influence de lâ angle critique....................................................................................................101III.2.2.1.3.3 Conservation de la matiĂšre et normales multiples ...................................................................105III.2.2.1.3.4 Lâ algorithme............................................................................................................................106
III.2.2.2 Ecriture des contributions au problĂšme discret .....................................................................................108III.2.3 Le glissement ............................................................................................................................ 108III.2.4 Le frottement............................................................................................................................. 109
III.3 LE TRAITEMENT PARTICULIER DU FLUX AUX FACES FRONTIĂRE DU MAILLAGE EN CONTACT GLISSANT109
III.4 VALIDATIONS..................................................................................................................................... 110III.4.1 Définitions et formules utilisées dans notre étude .................................................................... 110
III.4.1.1 Quantité de matiÚre en entrée................................................................................................................111III.4.1.2 Calcul du volume présent dans la cavité à un temps donné ..................................................................111III.4.1.3 Comparaison du calcul des taux de remplissage ...................................................................................112
III.4.1.3.1 Le « no flow test » de la cavité cubique : influence de la méthode de construction des normales surla conservation de la matiÚre ...............................................................................................................................112
III.4.2 Le site dâ accĂšs vasculaire, remplissage en pression................................................................. 116III.4.2.1 PrĂ©sentation du cas................................................................................................................................116III.4.2.2 Comparaison des conditions limites de contact glissante et collante ....................................................117III.4.2.3 Nombre de normales aux nĆuds...........................................................................................................118III.4.2.4 Influence du facteur de pĂ©nalisation .....................................................................................................119III.4.2.5 Influence de la mĂ©thode de construction des normales : comparaison entre normales conservatives etnormales moyennes..................................................................................................................................................122
TABLE DES MATIERES
3
III.4.2.6 Conclusion ............................................................................................................................................124III.4.3 Remplissage dâ un cylindre en dĂ©bit .......................................................................................... 125
III.4.3.1 Conservation de la matiĂšre....................................................................................................................125III.4.3.2 Remarques sur les effets dâ une mauvaise prise en compte du glissement en dĂ©bit ...............................127III.4.3.3 Conclusion ............................................................................................................................................129
III.4.4 Cas test de type fonderie ........................................................................................................... 130III.4.5 Conclusion sur les validations effectuées ................................................................................. 133
III.5 TRAITEMENT DU CONTACT EN MULTIDOMAINE .................................................................................. 133III.5.1 Extraction de lâ interface entre la cavitĂ© et le moule ................................................................. 134III.5.2 Validation ................................................................................................................................. 135
III.5.2.1 Données de la simulation ......................................................................................................................135III.5.2.2 Déroulement du remplissage.................................................................................................................136
III.6 CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES ........................................................................................................ 137
CHAPITRE IV THERMIQUE MULTIDOMAINE.................................................................................... 140
IV.1 LE PROBLĂME THERMIQUE ................................................................................................................. 141IV.1.1 PrĂ©sentation du problĂšme......................................................................................................... 141IV.1.2 Loi de comportement thermique ............................................................................................... 141IV.1.3 Les conditions aux limites......................................................................................................... 142
IV.2 RĂSOLUTION NUMĂRIQUE................................................................................................................... 143IV.2.1 Formulation du problĂšme en multidomaine.............................................................................. 144IV.2.2 Description des mĂ©thodes numĂ©riques de rĂ©solution................................................................ 145
IV.2.2.1 DiscrĂ©tisation spatiale au moyen de lâ Ă©lĂ©ment P0/P0+ .........................................................................146IV.2.2.1.1 Formulation faible discrĂšte .............................................................................................................147IV.2.2.1.2 Construction du schĂ©ma local .........................................................................................................147
IV.2.3 ConductivitĂ© dâ interface entre plusieurs domaines................................................................... 148IV.3 PRISE EN COMPTE DU CONTACT GLISSANT EN THERMIQUE ................................................................. 149IV.4 CAS TEST DE VALIDATION .................................................................................................................. 151
IV.4.1 La cavitĂ© entraĂźnĂ©e par convection, prise en compte de lâ inertie, un cas stationnaire aveccouplage thermomĂ©canique........................................................................................................................ 151IV.4.2 Le demi disque entraĂźnĂ© avec contact glissant.......................................................................... 155IV.4.3 Thermique en multidomaine : un cas test Ă©lĂ©mentaire.............................................................. 157
IV.4.3.1 Comparaison des résultats thermiques obtenus en prenant en compte ou pas le moule ........................157IV.4.3.2 Evolution du champ de température pendant le remplissage ................................................................160IV.4.3.3 Prise en compte des propriétés thermiques du moule en multidomaine................................................160
IV.5 CONCLUSION ...................................................................................................................................... 162
CHAPITRE V REMPLISSAGES EN FONDERIE ..................................................................................... 164
V.1 CAS TEST DE REMPLISSAGE SIMULĂS EN CONDITIONS ISOTHERMES .................................................... 165V.1.1 Cas test de Hamid Abouchadi ....................................................................................................... 165
V.1.1.1 Données de la simulation ......................................................................................................................166V.1.1.2 Le remplissage de la piÚce ....................................................................................................................168
V.1.2 Influence de la viscositĂ© sur lâ Ă©coulement..................................................................................... 169V.1.2.1 Temps de calcul ....................................................................................................................................170V.1.2.2 Commentaires .......................................................................................................................................171
V.1.3 La roue instrumentĂ©e Aubert et Duval .......................................................................................... 173V.1.3.1 Description de lâ expĂ©rience ..................................................................................................................173V.1.3.2 Description de la simulation .................................................................................................................174V.1.3.3 Confrontation des topages et de la simulation ......................................................................................175
V.1.3.3.1 Remarques préalables ......................................................................................................................175V.1.3.3.2 Confrontation des résultats...............................................................................................................176
V.1.3.4 Temps de calcul ....................................................................................................................................178V.2 ETUDE THERMIQUE DU REMPLISSAGE Dâ UNE PLAQUE Dâ ALUMINIUM ................................................. 178
V.2.1 Introduction................................................................................................................................... 178V.2.2 Description du cas test .................................................................................................................. 178V.2.3 Simulations en conditions isothermes ........................................................................................... 180
V.2.3.1 Description de la simulation .................................................................................................................180V.2.3.2 Remplissage en pression .......................................................................................................................181
V.2.4 Simulation avec calcul thermique ................................................................................................. 183V.2.4.1 Comparaison du déroulement du remplissage, avec et sans prise en compte du moule........................186V.2.4.2 Thermique du remplissage....................................................................................................................187V.2.4.3 Conservation de la matiÚre....................................................................................................................192V.2.4.4 Temps de calcul ....................................................................................................................................192
TABLE DES MATIERES
4
V.2.4.5 Conclusion ............................................................................................................................................193
CHAPITRE VI CONCLUSION GĂNĂRALE............................................................................................. 196
RĂFĂRENCES BIBLIOGRAPHIQUES........................................................................................................ 200
Nomenclature
5
NOMENCLATURE
Notations générales : espace fonctionnelA : vecteur ou matricea :scalaire, tenseur ou valeur vectorielle
Les ensemblesâ : lâ espace des rĂ©els
+â : lâ espace des rĂ©els positifsΩ : le domaine de calcul
fΩ : le domaine de calcul occupé par le fluide
aΩ : le domaine de calcul non occupĂ© par le fluide abusivement appelĂ© lâ air ou le vide
mΩ : le domaine de calcul occupé par le moule
Les fonctions et opérateurs
iΩ1 : la fonction caractéristique du domaine iΩ
dtda
: dérivée totale de a
ta
ââ
: dérivée particulaire de a
aâ : variation de a (si prĂ©cisĂ© Ă©ventuellement laplacien de a)a.â : divergence de aaâ : gradient de a
A:B : produit contracté des matrices A et B
Grandeurs et propriĂ©tĂ©s physiquesÏ : masse volumique [ 3kg.m â ]
fÏ : masse volumique du fluide [ 3kg.m â ]
aÏ : masse volumique de lâ air [ 3kg.m â ]
mÏ : masse volumique du moule [ 3kg.m â ]η : viscositĂ© dynamique [ Pa.s ]
fη : viscosité dynamique du fluide [ Pa.s ]
aη : viscositĂ© dynamique choisi dans lâ espace non occupĂ© par le fluide (vide ou air) [ Pa.s ]
mη : viscosité dynamique du moule [ Pa.s ]
Îœ : viscositĂ© cinĂ©matique [ -12 .sm ]
fÎœ : viscositĂ© cinĂ©matique du fluide [ -12 .sm ]
aÎœ : viscositĂ© cinĂ©matique choisi dans lâ espace non occupĂ© par le fluide (vide ou air) [ -12 .sm ]
mÎœ : viscositĂ© cinĂ©matique du moule [ -12 .sm ]
k : conductivitĂ© thermique [ 101 C.W.m ââ ]c : chaleur spĂ©cifique [ 11.KJ.kg ââ ]
a : diffusivitĂ© thermique [ 12 .sm â ]b : effusivitĂ© thermique [ 21210 .s.mCJ. ââ ]m : indice de pseudoplasticitĂ©g : accĂ©lĂ©ration de la pesanteur [m.s-2]
Nomenclature
6
Grandeurs mathĂ©matiquest : le temps [s]x,y,z : coordonnĂ©es cartĂ©siennes dâ un point dans lâ espacex : position dâ un point matĂ©riel
v : le champ de vitesse ][m.s 1â
γ : le champ accélération [m.s-2]
T : la température [ C0 ]ou éventuellement période de temps [s]
q : flux de chaleur [W.m-2]
Ï : tenseur des contraintes de Cauchy [Pa]s : dĂ©viateur des contraintes [Pa]
)v(Δ : tenseur des vitesses de dĂ©formation [s-1]Ï : dissipation visqueuse
Les normalesn : : normale sortante à la surface considéréenm : : composante m de la normale sortante à la surface considérée
in : normale quelconque au nĆud iimn : composante m de la normale quelconque au nĆud i
ai : vecteur normal conservatif non normĂ© au nĆud iima : composante m du vecteur normal conservatif non normĂ© au nĆud i
iN : normale conservative au nĆud iimN : composante m de la normale conservative au nĆud i
DiscrétisationK : un élément du maillage
Kâ : la frontiĂšre de Kh : taille de maille ou diamĂštre dâ une Ă©lĂ©mentF : une face dâ un Ă©lĂ©ment
Fn : normale sortante à la face F[a] : saut de la variable discrÚte constante par élément a
Les espaces fonctionnels)(L Ω2 : espace de Lebesgue des fonctions de carré sommable
)(H Ω1 : espace de SobolevD( Ω ) : ensemble des fonctions indéfiniment dérivables à support compact
Chapitre I Introduction
7
Introduction
Chapitre I Introduction
8
chapitre I Introduction
La fonderie est un procĂ©dĂ© ancestral, qui continue aujourdâ hui de se dĂ©velopper et Ă progresser, ensâ appuyant sur les techniques les plus modernes. Le travail que nous prĂ©sentons a pour thĂšme lamodĂ©lisation numĂ©rique tridimensionnelle de la phase de remplissage en fonderie. Il sâ articule autourde lâ adaptation Ă la fonderie du logiciel de simulation dâ injection des polymĂšres, REM3DÂź.
Dans ce premier chapitre, nous dresserons le cadre de notre Ă©tude. Tout dâ abord, nous dĂ©crirons leprocĂ©dĂ© de moulage et la phase du remplissage, en soulignant son importance, et son influence sur lasolidification, et la qualitĂ© des produits obtenus. Dans un second temps, nous donnerons des Ă©lĂ©mentspour illustrer lâ importance et la place de la simulation numĂ©rique en fonderie, ainsi quâ un aperçu deslogiciels dĂ©jĂ existants pour lâ Ă©tude de la coulĂ©e. A ce stade, nous introduirons le contexte dans lequelnos travaux ont Ă©tĂ© effectuĂ©s
Chapitre I Introduction
9
I.1 Le remplissage en fonderie
I.1.1 Généralités sur le moulage
La lĂ©gende veut quâ un aborigĂšne entoura son feu de pierres qui contenait du minerai de cuivre. A sonrĂ©veil, il remarqua quelque chose qui brillait Ă travers les cendres : il sâ agissait du mĂ©tal fondu pendantla nuit. Cette dĂ©couverte aurait Ă©tĂ© faite 4500 ans avant JĂ©sus-Christ. Les traces de lâ utilisation duprocĂ©dĂ© de fonderie datent elles de 1600 avant JĂ©sus Christ. Aujourdâ hui, il existe de nombreusestechniques mises au point de maniĂšre empirique, au cours des Ăąges, ou plus rĂ©centes, qui sâ adaptentaux nouveaux alliages, aux mĂ©thodes de production de masse, et aux exigences de prĂ©cision et dequalitĂ© toujours grandissantes. De maniĂšre gĂ©nĂ©rale, les procĂ©dĂ©s de fonderie permettent d'obtenir despiĂšces mĂ©talliques, de toutes les formes et de toutes les tailles, Ă partir d'un alliage liquide versĂ© dansun moule oĂč il se solidifie.
Le procĂ©dĂ© peut-ĂȘtre dĂ©crit dâ une maniĂšre gĂ©nĂ©rale en plusieurs Ă©tapes (Figure 1) :§ La conception des plans§ La fabrication des moules§ La prĂ©paration et la conduite de la fusion du mĂ©tal ou de lâ alliage§ La coulĂ©e, câ est Ă dire le versement du mĂ©tal liquide dans le moule§ Le dĂ©moulage§ Et enfin, le nettoyage, la finition et lâ inspection finale de la piĂšce.
Cette technique est utilisĂ©e aussi bien pour la coulĂ©e d'une piĂšce unique que pour la fabrication depiĂšces en grande sĂ©rie, par exemple pour l'automobile. Elle permet aussi de rĂ©aliser des produits semi-finis (comme des lingots de forge, Figure 2) destinĂ©s Ă ĂȘtre mis en forme par des opĂ©rationsultĂ©rieures. Dans la suite, nous proposons un rapide tour dâ horizon des techniques et procĂ©dĂ©s defonderie, de maniĂšre Ă donner un aperçu de leur grande diversitĂ©, et de leur Ă©volution permanente.
I.1.2 Procédés de fonderie
Il existe deux grands types de coulĂ©e en fonderie : la coulĂ©e en chute, et la coulĂ©e en source. La coulĂ©een chute consiste Ă remplir les piĂšces directement « par le haut », alors que la coulĂ©e en source est unremplissage « par le bas », qui se fait Ă travers un systĂšme, plus ou moins complexe, de canaux decoulĂ©e. La coulĂ©e en source comprend deux types de coulĂ©e, qui sont la coulĂ©e par gravitĂ© (Figure 3)et la coulĂ©e sous pression. La coulĂ©e sous pression consiste Ă injecter le mĂ©tal dans le moule en luiappliquant une pression plus ou moins importante, alors que le remplissage par gravitĂ© ne se faitquâ avec la force de la gravitĂ©. Les procĂ©dĂ©s dâ injection du mĂ©tal sous pression sont trĂšs nombreux, etdiffĂšrent selon les piĂšces et les mĂ©taux. Par exemple, on traitera plutĂŽt Ă basse pression des alliagesdâ aluminium, plus fragiles, et Ă haute pression, de lâ acier, de maniĂšre Ă avoir une productionimportante de piĂšces identiques. Pour donner quelques exemples des techniques modernes deremplissage sous pression, on peut citer par exemple le « squeeze casting » qui consiste Ă injecter Ă trĂšs forte pression du mĂ©tal semi-solide (40% liquide et 60 % solide) dans une matrice mĂ©tallique, oĂčil est pressĂ© pour lui donner sa forme finale, ou encore la centrifugation, dont le principe est de plaquerle mĂ©tal, injectĂ© Ă basse pression, contre les parois du moule en faisant tourner celui-ci autour dâ un deses axes. Enfin, on peut Ă©voquer les mĂ©thodes de coulĂ©e en contre pression, qui elles consistent Ă dĂ©pressuriser la cavitĂ© Ă remplir.En ce qui concerne les moules, ceux-ci sont le plus souvent en sable rĂ©fractaire (grains de siliceâŠ),dont la cohĂ©sion doit ĂȘtre assurĂ©e par un liant (argile humide, gel de silice, rĂ©sines synthĂ©tiques). Ilexiste des moules en cĂ©ramique, mais aussi en plĂątre ou en mĂ©tal (coques). On choisit un type dematĂ©riau pour ses propriĂ©tĂ©s chimiques ou thermiques, sa rĂ©sistance au procĂ©dĂ© de fabrication, et biensĂ»r pour le rapport qualitĂ©/prix des piĂšces obtenues (le coĂ»t du moule peut parfois influer de maniĂšreimportante sur celui du produit fini). Ces moules peuvent ĂȘtre destinĂ©s Ă ĂȘtre dĂ©truits dĂšs leur premiĂšreutilisation. Câ est le cas de tous les moules en sables, mais aussi, par exemple, des moules encĂ©ramiques utilisĂ©s pour la fabrication dâ aubes de moteurs dâ avion. A lâ opposĂ©, il existe des moules
Chapitre I Introduction
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permanents, métalliques, réalisés en fonte ou en acier, qui permettent de couler, de 1000 à plus de100 000 piÚces.
Figure 1 : principe de la fabrication de piĂšces de fonderie
I.1.3 Importance de la maßtrise de la coulée
GĂ©nĂ©ralement, la coulĂ©e dâ une piĂšce se divise en deux phases : le remplissage et la solidification. Danscette partie, nous dĂ©crivons ces deux phases, en soulignant leur importance et les dĂ©fauts engendrĂ©slorsquâ elles ne sont pas bien contrĂŽlĂ©es. Les outils de contrĂŽle dont disposent les fondeurs sur lacoulĂ©e, sont le contrĂŽle de la vitesse de coulĂ©e, le contrĂŽle des propriĂ©tĂ©s thermiques des moules (parlâ application de « peintures » appelĂ©es poteyages Ă lâ intĂ©rieur des moules), ou encore lâ ajout depoudres exothermiques, et enfin la possibilitĂ© de mettre au point un systĂšme de masselotagedimensionnĂ©. Les masselottes (Figure 3) sont des parties de la piĂšce qui seront chutĂ©es et quipermettent de concentrer les dĂ©fauts engendrĂ©s par le retrait thermique. Elles constituent une rĂ©servede mĂ©tal encore en fusion Ă la fin du remplissage. Le rĂŽle de cette rĂ©serve est de compenser le retraitthermique qui sâ opĂšre au cours de la solidification de la partie utile de la piĂšce.
Chapitre I Introduction
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Figure 2 : coulĂ©e dâun lingot destinĂ© Ă ĂȘtre forgĂ© (Aubert et Duval)
I.1.3.1 La phase de remplissagePendant la phase de remplissage, la chaleur du mĂ©tal liquide se dissipe Ă travers le moule. Lasolidification dĂ©bute le long des parois du moule et doit s'achever dans les masselottes. Il est importantque dans les portions de piĂšce de faible Ă©paisseur, la vitesse de remplissage dĂ©passe la vitesse desolidification. L'Ă©paisseur minimale, en dessous de laquelle le remplissage est difficile, dĂ©pend desalliages, de l'absorption de la chaleur par le moule, et de la vitesse de remplissage. Un arrĂȘt duremplissage, ou un remplissage partiel, rend la piĂšce fondue inutilisable. Durant cette phase, desphĂ©nomĂšnes tels que lâ entraĂźnement dâ inclusions de matĂ©riaux, ou mĂȘme dâ air, transportĂ©es par lesmouvements de la surface libre, ou encore lâ oxydation du mĂ©tal, due aux replis de cette mĂȘme surfacelibre, peuvent engendrer des hĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ©s et des dĂ©fauts qui dĂ©gradent la qualitĂ© de la piĂšce. Dâ autrepart, les phĂ©nomĂšnes thermiques qui se dĂ©roulent lors du remplissage dĂ©terminent lâ Ă©tat thermiquedans lequel sera le mĂ©tal Ă fin de de cette phase, et par consĂ©quent, le dĂ©roulement de la phase desolidification qui suit.
I.1.3.2 La phase de solidificationUn des points essentiels de la mise au point dâ un procĂ©dĂ© de fonderie, est la prĂ©vision de la contractionthermomĂ©canique des alliages durant la phase de solidification. Il est important dâ anticiper lalocalisation et lâ importance des retraits thermiques de la matiĂšre pour maĂźtriser la forme finale de lapiĂšce. Celle-ci peut-ĂȘtre contrĂŽlĂ©e par lâ utilisation des masselottes. En optimisant leur forme et leurlocalisation, on arrive Ă imposer quelle partie de la piĂšce se solidifiera en dernier. En gĂ©nĂ©ral, le pointle plus chaud en fin de solidification doit ĂȘtre situĂ© dans la masselotte, ce qui permet que celle-ci servede rĂ©serve de mĂ©tal. Sans rentrer dans les dĂ©tails, on peut ajouter quâ en plus des prĂ©visions sur laforme de la piĂšce, lâ Ă©tude de la solidification permet de prĂ©voir des dĂ©fauts tels que des craquelures(criques) qui peuvent apparaĂźtre dans le mĂ©tal au cours du procĂ©dĂ©. Ce type de dĂ©faut engendre deszones de fragilitĂ© qui peuvent ĂȘtre difficilement dĂ©tectables. Enfin, lâ analyse de la solidification aĂ©galement pour but la prĂ©diction des contraintes rĂ©siduelles affectant les piĂšces coulĂ©es.
Chapitre I Introduction
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Figure 3 : Description schĂ©matisĂ©e dâun remplissage en source sous gravitĂ©, suivi de la phasede solidification
I.2 La simulation numérique en fonderie
I.2.1 Importance de la simulation numĂ©rique dans lâ Ă©tude du remplissage en fonderie
Du fait de la complexitĂ© des phĂ©nomĂšnes mĂ©caniques et thermomĂ©caniques mis en jeu, le bondĂ©roulement du remplissage et de la solidification demande beaucoup de prĂ©cautions. La mĂ©thodeempirique de mise au point dâ un procĂ©dĂ©, mĂȘme si elle sâ appuie sur le savoir faire, des « recettes » etdes calculs Ă©prouvĂ©s, nĂ©cessite de nombreux essais avant dâ obtenir un rĂ©sultat satisfaisant, et parconsĂ©quent engendre des coĂ»ts non nĂ©gligeables. De plus, lorsque des dĂ©fauts apparaissent, elle nepermet pas dâ analyse a posteriori. Ajoutons enfin que la surdimensionnalisation des masselottes quipermet dâ assurer un bon dĂ©roulement de ces phases, implique des pertes importantes en matĂ©riaux etdonc en Ă©nergie de fusion (pour des lingots, par exemple).
Lâ utilisation de lâ outil numĂ©rique est un atout essentiel dans la conception des procĂ©dĂ©s, mais aussidans leur optimisation (Figure 4). Elle permet de diminuer le nombre des essais de mise au point, etdonc les coĂ»ts, pour amĂ©liorer la qualitĂ© des piĂšces obtenues, comprendre les dĂ©fauts Ă©ventuels, ouencore diminuer la taille des masselottes. Elle est aujourdâ hui un Ă©lĂ©ment essentiel pour lacompĂ©titivitĂ© et le dĂ©veloppement de lâ industrie de la fonderie.
La masselotte
Chapitre I Introduction
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Figure 4 : DĂ©roulement de la filiĂšre de conception en fonderie [Techniques de lâ IngĂ©nieur]
Chapitre I Introduction
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I.2.2 Logiciels de simulation utilisés en fonderie
Au cours des vingt derniĂšres annĂ©es, de nombreux logiciels ont Ă©tĂ© dĂ©veloppĂ©s pour lâ Ă©tude duremplissage en fonderie. On donne, Tableau 1, une liste des principaux logiciels de simulationnumĂ©rique actuellement commercialisĂ©s. Ce tableau est basĂ© sur la rĂ©actualisation des informations surles logiciels qui ont Ă©tĂ© confrontĂ©s dans [Sirell et al, 1995], mais aussi sur lâ Ă©tude bibliographique faitesur les logiciels de mĂ©canique des fluides [Winther, 2001] et enfin sur un rapport interne [Meuland,2003 ]. Notons que par modĂ©lisation du refroidissement nous entendrons lâ Ă©tude des contraintes dansle moule et la piĂšce, ainsi que la modĂ©lisation de la solidification. Dans le cas oĂč ces conditions nesont pas remplies, un tirĂ© figurera dans la colonne correspondante Ă la place du type de mĂ©thodeutilisĂ©e.
Modélisation du remplissageLogicielMéthode Maillage
Modélisation du refroidissement
ProCast Eléments Finis non structuré Volumes finis et Eléments finisPhysica + Volume Finis non structuré Volumes finis
Fluent Volume Finis non structuré -Flow3D Volumes Finis structuré -CastCAE Volumes Finis structuré -WRAFTS Eléments Finis structuré -
FIDAP Eléments Finis non structuré -Phoenics Volume Finis structuré -
Rapid/CAST Eléments Finis structuré -PAM
CAST/SimulorVolumes finis structuré Eléments Finis
Magmasoft Différences Finis structuré Eléments FinisTHERCAST Pas de modélisation du remplissage Eléments Finis
Tableau 1 : Etat des lieux des logiciels de simulation du remplissage et de la solidification enfonderie
Il est possible de trouver sur internet de nombreux renseignements sur les logiciels du marché (parexemple [Iref 1]).
I.3 Contexte et historique du projetNotre travail sâ est inscrit dans le cadre du projet « Optimisation des SystĂšmes de coulĂ©es â Fonderie »,OSC-F , qui associe de nombreux industriels spĂ©cialistes de la fonderie parmi lesquels, Ascometal-CREAS, Metaleurop, PSA, Erasteel, Aubert&Duval, Industeel, ainsi que des centres de recherche telsque l' IRSID (Arcelor), le CTIF (Centre Technique des Industries et de la Fonderie), le LSG2M et leCEMEF ainsi que les sociĂ©tĂ©s de dĂ©veloppement et de commercialisation de logiciels de mise enforme Transvalor et Scc. Ce projet avait pour objet le dĂ©veloppement d'un outil permettant de fairelâ Ă©tude complĂšte du procĂ©dĂ© de moulage en fonderie (projet OSC-F).
Comme nous lâ avons dĂ©jĂ dĂ©crit dans cette introduction, la description de ce procĂ©dĂ© peut-ĂȘtre faite endeux phases : la phase de remplissage, et la phase de solidification. De maniĂšre Ă obtenir unesimulation complĂšte, la dĂ©marche choisie a Ă©tĂ© de coupler le logiciel THERCASTÂź, initialementdĂ©veloppĂ© par le CEMEF [Jaouen, 1998] et dĂ©diĂ© Ă lâ Ă©tude thermomĂ©canique de la phase desolidification, Ă un logiciel de simulation de remplissage performant. Lâ objectif de ce couplage estdâ obtenir la distribution des tempĂ©ratures et le champ de vitesse en fin de remplissage, de maniĂšre Ă initialiser la phase de solidification de la maniĂšre la plus rĂ©aliste possible (Figure 5).
Chapitre I Introduction
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Figure 5 : couplage de lâ Ă©tude du remplissage et de la solidification
Historiquement, le projet OSC est la continuation du projet GPI (Grand Projet Innovant) qui sâ estdĂ©roulĂ© de 1995 Ă 1998. Lors de cette premiĂšre phase, des travaux ont Ă©tĂ© menĂ©s pour adapter lelogiciel R2Âź, logiciel dâ Ă©tude du remplissage 2D en fonderie, au remplissage 3D [Bahloul, 2000]. Dufait des difficultĂ©s rencontrĂ©es, liĂ©es Ă la formulation lagrangienne du code, ceux-ci nâ ont pas abouti Ă une solution utilisable sur des cas de complexitĂ© industrielle. Rappelons que lorsquâ on choisit uneformulation lagrangienne, seul le domaine fluide est maillĂ© : la topologie du maillage varie, et lenombre de nĆ uds peut augmenter au cours du remplissage. Il faut Ă©galement gĂ©rer les zones de contactqui sont dĂ©pendantes du champ de dĂ©placement, et ne sont pas, a priori, connues. Câ est en particulierla difficultĂ© de gĂ©rer le contact matiĂšre-matiĂšre sur des configurations trĂšs complexes qui nâ a paspermis de continuer dans cette voie.
Le projet sâ est alors rĂ©orientĂ© vers lâ adaptation dâ un logiciel utilisant une formulation eulĂ©rienne duproblĂšme (lâ ensemble des domaines Ă©tudiĂ©s est maillĂ© et le problĂšme du contact matiĂšre-matiĂšre ne sepose pas) : REM3DÂź , qui est un code de remplissage de moule tridimensionnel dĂ©diĂ© Ă l'injection despolymĂšres sur lequel nous reviendrons par la suite. Le gros avantage de ce code est de contenir desmĂ©thodes Ă©prouvĂ©es pour lâ Ă©tude des Ă©coulements Ă surface libre et Ă grandes dĂ©formations, en 3D.
Lâ objet de notre Ă©tude est l'adaptation de la technologie dĂ©veloppĂ©e dans le cadre du projet "Rem3D"au remplissage en fonderie. Comme on lâ a vu [I.2.2], il existe dĂ©jĂ des logiciels qui permettent ce typedâ Ă©tude. Cependant, il est intĂ©ressant de souligner que nombre dâ entre eux sont basĂ©s sur desdiscrĂ©tisations volumes finis structurĂ©es, ou ne prennent pas en compte lâ ensemble des phĂ©nomĂšnesmis en jeu au cours du remplissage ou de la solidification. La motivation de cette Ă©tude est desâ appuyer sur les compĂ©tences de tous les partenaires, sur la technologie avancĂ©e de THERCASTÂź,mais aussi sur le potentiel Ă©volutif de REM3DÂź, dans le but dâ obtenir un outil de calcul complet quirĂ©ponde aux besoins des fondeurs.
Chapitre I Introduction
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I.4 Grands axes et dĂ©marche dans la mise en Ćuvre de notre Ă©tude
I.4.1 Lâ adaptation de Rem3DÂź
Rappelons que lâ Ă©tude de la phase de remplissage en fonderie a pour objet de prĂ©dire lâ Ă©volution dufront de matiĂšre dans le moule, ainsi que les phĂ©nomĂšnes thermiques qui sâ y dĂ©roulent. Cette Ă©tudenĂ©cessite dâ ĂȘtre capable de simuler des Ă©coulements instationnaires, Ă surface libre, en 3D. Dâ autrepart, le code de calcul REM3DÂź, dĂ©veloppĂ© au CEMEF, est un logiciel de simulation numĂ©riquetridimensionnelle de remplissage de moule, dĂ©diĂ© Ă lâ injection des polymĂšres. Plus prĂ©cisĂ©ment, cecode traite la mĂ©canique et la thermique des Ă©coulements Ă surface libre instationnaire. Il se base surune formulation eulĂ©rienne du problĂšme, et utilise une mĂ©thode dâ Ă©lĂ©ments finis. Un moduledâ adaptation de maillage permet Ă©galement dâ amĂ©liorer les rĂ©sultats obtenus par rapport Ă uneformulation strictement eulĂ©rienne.REM3DÂź est Ă©galement un code qui permet des simulations en multidomaine, câ est Ă dire qui prennenten compte le moule comme un domaine Ă part entiĂšre. En particulier, ce type de simulation permet decalculer les Ă©changes thermiques entre le moule et le mĂ©tal sans avoir Ă les imposer comme desconditions aux limites.
Contrairement aux mĂ©taux fondus, les polymĂšres sont des matĂ©riaux trĂšs visqueux, qui sâ Ă©coulent defaçon laminaire. Dans ces Ă©coulements, l'action de l'inertie est nĂ©gligeable par rapport Ă celle de laviscositĂ©. En revanche, en fonderie, du fait de la faible viscositĂ© des mĂ©taux et des vitesses mises enjeux, le rĂŽle de l'inertie n'est plus nĂ©gligeable. Le comportement des fluides au contact des parois dumoule constitue Ă©galement une diffĂ©rence importante entre les mĂ©taux fondus et les polymĂšres. Eneffet, les polymĂšres ont une couche limite "collante" Ă la paroi trĂšs importante, contrairement auxmĂ©taux en fusion. De ce fait, pour obtenir des Ă©coulements fluides rĂ©alistes, on introduit en gĂ©nĂ©ral desconditions de contact glissant ainsi quâ une loi de paroi.
En rĂ©sumĂ©, lâ adaptation de REM3DÂź Ă la fonderie requiert les trois Ă©tapes suivantes :
§ Traduire les effets de l'inertie sur les écoulements.§ Introduire le contact glissant, ainsi qu'une loi de paroi (frottement).§ Adapter le module thermique déjà existant à la fonderie.
Il sera également important de conserver, malgré ces adaptations, la possibilité de prendre en comptele moule dans la simulation.
I.4.2 Cadre physique de lâ Ă©tude
Dans la suite de notre Ă©tude, nous ferons lâ hypothĂšse que le remplissage des piĂšces Ă©tudiĂ©es estsuffisamment rapide pour que les variations de tempĂ©rature soient nĂ©gligeables du point de vue ducouplage thermomĂ©canique (pas de solidification). Dâ un point de vue mĂ©canique, on poseralâ hypothĂšse gĂ©nĂ©ralement utilisĂ©e, que le mĂ©tal en fusion est un fluide newtonien incompressible : onsuppose que la masse volumique ne varie pas pendant la phase du remplissage, et que la viscositĂ© estconstante. Ces hypothĂšses sont valides pour de nombreux cas de fonderie, bien quâ elles ne puissentpas sâ appliquer aux cas de grandes piĂšces telles que les lingots de plusieurs tonnes. En effet, dans cetype de piĂšces, la solidification peut commencer pendant le remplissage. Toutefois, dans ce derniercas, la connaissance des tempĂ©ratures obtenues Ă la fin du remplissage restera une informationintĂ©ressante pour estimer les parties de la piĂšce solidifiĂ©es prĂ©maturĂ©ment.
Chapitre I Introduction
17
I.4.3 Grands axes de notre Ă©tude
Lâ objectif de notre Ă©tude est l'obtention de cartes thermiques et des champs de vitesses, Ă la fin de laphase de remplissage, afin dâ initier correctement la phase de refroidissement. Lâ obtention de ces cartessuppose non seulement un bon dĂ©roulement de la simulation thermique, mais aussi un suivi rĂ©aliste dela surface libre. Afin dâ atteindre cet objectif, notre Ă©tude se dĂ©composera en quatre phases :
q La validation dâ un solveur Navier-Stokes sur des Ă©coulements stationnaires, puis instationnaires Ă surface libre prĂ©sentant de fortes dĂ©formations (chapitreII).
q Lâ imposition de conditions de contact glissant avec vĂ©rification du principe de conservation de lamatiĂšre, et extension du glissement Ă lâ interface moule\cavitĂ© pour permettre des calculsmultidomaine (chapitreIII).
q La modification du solveur thermique pour lâ adapter au contact glissant, et la vĂ©rification delâ intĂ©rĂȘt de la prise en compte du moule dans lâ Ă©tude du remplissage (chapitreIV).
q La simulation de remplissage sur des cas industriels, et sur un cas test spécialement étudié pour lafonderie en multidomaine (ChapitreV)
Chapitre II RĂ©solution des Ă©quations de Navier-Stokes instationnaires avec surface libre
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Chapitre II RĂ©solution des Ă©quations de Navier-Stokes instationnaires avec surface libre
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RĂ©solution des Ă©quations de Navier-Stokesinstationnaires avec surface libre
Chapitre II RĂ©solution des Ă©quations de Navier-Stokes instationnaires avec surface libre
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chapitre II RĂ©solution des Ă©quations de Navier Stokesinstationnaires avec surface libre
Lâ Ă©tude de la phase de remplissage en fonderie nĂ©cessite dâ ĂȘtre capable de simuler des Ă©coulements3D, instationnaires, et Ă surface libre animĂ©e de mouvements complexes. Notre travail sâ est basĂ© sur lesolveur des Ă©quations de Stokes dĂ©jĂ prĂ©sent dans la version polymĂšre du logiciel REM3D Âź. Ce codepermet de traiter la mĂ©canique des Ă©coulements Ă surface libre instationnaire. Il se base sur uneapproche eulĂ©rienne du problĂšme, et utilise une mĂ©thode aux Ă©lĂ©ments finis en vitesse pression. LadiscrĂ©tisation spatiale se fait au moyen de lâ Ă©lĂ©ment mixte P1+/P1. Un module dâ adaptation demaillage permet Ă©galement dâ amĂ©liorer les rĂ©sultats obtenus.
Toutefois, les Ă©coulements rencontrĂ©s en fonderie sont trĂšs peu visqueux, et par consĂ©quent ils sontsensibles aux effets de la gravitĂ© et de lâ inertie. Pour les dĂ©crire, il est nĂ©cessaire de rĂ©soudre lesĂ©quations de Navier-Stokes.
Lâ objet de ce chapitre est de donner une vision dâ ensemble des mĂ©thodes mathĂ©matiques impliquĂ©esdans lâ Ă©tude mĂ©canique du remplissage en fonderie. Lâ implĂ©mentation de la plupart de ces mĂ©thodes afait lâ objet de thĂšses, citĂ©es dans les paragraphes concernĂ©s. Ces mĂ©thodes ne seront que briĂšvementdĂ©crites, et on se consacrera Ă la description, et Ă la validation, des mĂ©thodes de rĂ©solution duproblĂšme de Navier-Stokes.
La premiĂšre partie de ce chapitre est consacrĂ©e Ă une Ă©tude bibliographique dans laquelle on donneraun aperçu des diffĂ©rents types de problĂšmes Ă traiter dans la rĂ©solution numĂ©rique du problĂšme deNavier-Stokes. Dans cette Ă©tude, lâ accent sera plus particuliĂšrement mis sur la linĂ©arisation de ceproblĂšme, et sur le traitement des termes dâ advection diffusion par lâ utilisation de fonctions bulleoptimisĂ©es.Dans la seconde partie, en se plaçant dans le contexte de lâ Ă©tude du remplissage en fonderie, on dĂ©crirales diffĂ©rentes modĂ©lisations qui ont Ă©tĂ© utilisĂ©es pour rĂ©soudre le problĂšme de Navier-Stokes enmultidomaine. La formulation variationnelle du problĂšme prolongĂ© sera Ă©tablie. Dans un secondtemps, on se consacrera Ă la rĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes lui-mĂȘme. On dĂ©crira ladiscrĂ©tisation spatiale qui sâ appuie sur lâ Ă©lĂ©ment mixte P1+/P1, ainsi que le traitement des termesdâ inertie. Ces termes sont discrĂ©tisĂ©s en temps en utilisant un schĂ©ma dâ Euler implicite, et en espace,en utilisant des techniques de type Galerkin discontinu. A ce stade, on donnera les rĂ©sultats dâ unepremiĂšre validation, effectuĂ©e sur lâ exemple de la cavitĂ© entraĂźnĂ©e. Finalement, on traitera la rĂ©solutiondu problĂšme de Navier-Stokes avec suivi de la surface libre, en dĂ©crivant briĂšvement les techniquesdisponibles dans le logiciel, et en prĂ©sentant deux cas tests de validation issus de la littĂ©rature.
Chapitre II RĂ©solution des Ă©quations de Navier-Stokes instationnaires avec surface libre
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II.1 Généralités sur la linéarisation du problÚme de Navier-Stokes et sa résolution enespace
Dans le cadre de notre Ă©tude, de par la nature des Ă©coulements Ă©tudiĂ©s en fonderie, on est amenĂ© Ă rĂ©soudre le problĂšme de Navier-Stokes. La rĂ©solution numĂ©rique de ce problĂšme nĂ©cessite la mise enĆ uvre de mĂ©thodes diffĂ©rentes, appliquĂ©es Ă plusieurs niveaux. Dans un premier temps, on seconsacrera aux schĂ©mas en temps qui sont le plus souvent appliquĂ©s Ă ce problĂšme. A partir de cesdiscrĂ©tisations standard, on verra comment le problĂšme de Navier-Stokes peut-ĂȘtre linĂ©arisĂ©. Câ est uneforme linĂ©arisĂ©e que nous utiliserons pour introduire les traitements nĂ©cessaires Ă la rĂ©solution duproblĂšme discret en espace. Les instabilitĂ©s numĂ©riques liĂ©es dâ une part Ă la mixitĂ© du problĂšme, etdâ autre part au traitement des termes dâ advection seront prĂ©sentĂ©es. Dans un second temps, on dĂ©crirales mĂ©thodes, Residual Free Bubble et Pseudo Residual Free Bubble, qui permettent, en utilisant desespaces compatibles pour le problĂšme mixte, de construire une mĂ©thode stabilisĂ©e pour le problĂšmedâ advection diffusion.
II.1.1 Le problĂšme de Navier-Stokes pour les fluides incompressibles
En mĂ©canique des milieux continus, le mouvement dâ un fluide est modĂ©lisĂ© par les Ă©quations deNavier-Stokes. Cette modĂ©lisation permet de traiter les fluides classiques comme lâ air, lâ eau ou lâ huile,mais aussi les mĂ©taux fondus. Notons que les problĂšmes de Stokes et d'Euler sont des cas particuliersdes Ă©quations de Navier-Stokes. Pour le premier on nĂ©glige lâ influence de l'inertie sur lâ Ă©coulement( 0=Îł ), et pour la seconde celui de la diffusion ( 0=η , qui est une hypothĂšse de fluide parfait). CeproblĂšme est construit Ă partir des Ă©quations de lâ Ă©quilibre dynamique et de celle de la continuitĂ©(conservation de la masse). De maniĂšre trĂšs gĂ©nĂ©rale, en notant Ω lâ ouvert bornĂ© qui dĂ©signe ledomaine de calcul, ici le domaine fluide, ces Ă©quations peuvent sâ Ă©crire sous la forme :
( )
=â
=+â+â+âââ
âĂââ +
initialeset limites Conditions0
que telset Trouver
v.
fpvv.
(x,t)t)p(x,)t,x( vT Ïγη
( II.1 )
oĂč v dĂ©signe la vitesse, p la pression, Îł lâ accĂ©lĂ©ration, Ï la densitĂ©, η la viscositĂ© que lâ on supposeraconstante, et f les forces extĂ©rieures au systĂšme (en gĂ©nĂ©ral gf Ï= , oĂč g est lâ accĂ©lĂ©rationgravitationnelle).
Remarque : il existe plusieurs formes pour la premiĂšre Ă©quation de ( II.1 ). Par exemple, on pourraitĂ©crire fpv =+â+â ÏÎłâη Ă la condition que le fluide soit incompressible ( 0=â v. ).
Afin de fermer ce problÚme, on doit lui ajouter des conditions initiales ainsi que des conditions auxlimites. En général, si on considÚre des espaces fonctionnels, et des conditions aux limitessuffisamment réguliÚres, ainsi que des régimes non chaotiques, ni périodiques, il existe une uniquesolution à ce problÚme (se référer à [Temam, 2000] pour plus de précisions).
Dans la suite on utilisera la formulation eulĂ©rienne de lâ accĂ©lĂ©ration, et on Ă©crira le problĂšme sous laforme :
( )
=â
=
â+
ââ+â+â+âââ
âĂââ +
0
t)(x, que telset Trouver
v.
fv.vtv
Repvv.
t)p(x,)t,x( v
T
Ω
( II.2 )
Chapitre II RĂ©solution des Ă©quations de Navier-Stokes instationnaires avec surface libre
22
oĂč lâ on Ă©crit p pour p 1η
, et ηf
f = , de maniĂšre Ă faire apparaĂźtre le nombre adimensionnel Re que lâ on
peut définir comme le nombre de Reynolds « unitaire ».
Le nombre de Reynolds dâ un Ă©coulement, dâ une maniĂšre gĂ©nĂ©rale, est une valeur caractĂ©ristiqueadimensionnelle. Ce nombre est dĂ©fini de la maniĂšre suivante :
ηÏUL
Re = ( II.3 )
En notant U une valeur caractĂ©ristique de la vitesse, et L une longueur caractĂ©ristique del âĂ©coulement. On peut Ă©crire le nombre de Reynolds « unitaire », notĂ© directement Re par abus delangage, en prenant U=1 et L=1 tel que :
ηÏ=Re ( II.4 )
Notons enfin quâ il existe une valeur critique du nombre de Reynolds Rc, Ă partir de laquelle le rĂ©gimede lâ Ă©coulement change, et devient turbulent.
II.1.2 Introduction des notations
II.1.2.1 formulation variationnelle
On note Î la frontiĂšre du domaine, ( )( ) ( )( ) 0 sur ; vHvH31
310 =â== Ω et ( )( )32 ΩL= ,
avec ( )Ω2L lâ espace de Lebesgue des fonctions de carrĂ© sommable sur un domaine Ω , et ( )Ω1H
lâ espace de Sobolev, inclus dans ( )Ω2L , et dĂ©fini par :
( ) ( ) ( )
=âââââ= 31 221 ,...,iLxv
;LvHi
ΩΩΩ .
On définit le produit scalaire dans ( )Ω2L par :
( )ΩΩΩ
Ω
2212121 dans 2 L,f,fdff)f,f(
Lâ= â« ( II.5 )
Pour alléger les écritures, on notera : ),f,f(),f,f(L 2121 2 =
Ω ainsi que KL
)f,f(),f,f(K
2121 2 =Ω
, avec
K un élément du maillage. De plus, on supposera que 1=Re dans ( II.2 ), toujours par soucis desimplification.
Ecrivons le problĂšme variationnel liĂ© de ( II.2 ) sous sa forme la plus gĂ©nĂ©rale, câ est Ă dire en utilisantune mĂ©thode de Galerkin standard. On cherche v et p dans les espaces fonctionnels et . Oneffectue le produit scalaire du problĂšme (au sens L2) par des fonctions tests w et q choisies dans et. Dans un second temps, des intĂ©grations par partie (formule de Green), et la relation
( ) w:vw:vv T ââ=ââ+â21
, permettent dâ obtenir un problĂšme de la forme :
( ) ( ) ( )( )
=â
=â+ââ+ââââ
â
initialeset limites Conditions0
que tels,Trouver
q.,v
w,f)w,v.vtv
(w.,pw,v
(w,q))pv(
( II.6 )
Chapitre II RĂ©solution des Ă©quations de Navier-Stokes instationnaires avec surface libre
23
II.1.2.2 Formulation discrĂšte et matricielle
Soit ( )
Ω
ΩhTK
hâ
= K, oĂč ( )ΩhT la triangulation du domaine Ω . On construit des espaces discret h , et
h pour approcher les espaces fonctionnels et . On supposera que les fonctions de bases iÏ deces espaces, associĂ©es aux nĆ uds i=1,âŠ, d , sont les mĂȘmes pour la vitesse et la pression.
La forme discrĂšte du problĂšme ( II.6 ) est la suivante :
( ) ( ) ( )( )
=â
=â+â
â+ââââ
â
initialeset limites Conditions
0
que tels,Trouver
hh
hhhhhh
hhhh
hhhh
q.,v
w,f)w,v.vt
v(w.,pw,v
),q(w)pv(
( II.7 )
II.1.3 Approximations temporelles et linéarisation du problÚme de Navier-Stokes
DĂ©crivons, dans un premier temps, les procĂ©dĂ©s de linĂ©arisation de lâ Ă©quation de Navier-Stokes, ouplus prĂ©cisĂ©ment, de la linĂ©arisation du terme v.v â , Ă partir de sa discrĂ©tisation temporelle. La formelinĂ©arisĂ©e du problĂšme de Navier-Stokes est appelĂ©e Ă©quation dâ Oseen.
La discrĂ©tisation temporelle du problĂšme, peut sâ effectuer soit par une mĂ©thode de diffĂ©rences finies,soit par une mĂ©thode dâ Ă©lĂ©ments finis [Magnin, 1994]. En ce qui concerne les mĂ©thodes aux Ă©lĂ©mentsfinis, elles sont basĂ©es sur des Ă©lĂ©ments finis espace-temps, et ne rentrent pas dans notre propos.Toutefois, ce type de mĂ©thode est utilisĂ© pour la rĂ©solution des Ă©quations de transport dans REM3DÂź,et est dĂ©crit au paragraphe [II.4.1 ].
Introduisons les éléments théoriques les plus rencontrés dans la littérature sur les schémas temporels etsur les méthodes de linéarisation des équations de Navier-Stokes, en nous plaçant dans un cadregénéral.
Le plus simple, pour introduire les schĂ©mas temporels, est dâ Ă©crire le problĂšme de Cauchy sous laforme [Rappaz, 2000] :
=
>=ââ
00
avec
v)(v
0t)t,v(f)t(tv
( II.8 )
De maniĂšre Ă rĂ©soudre cette Ă©quation diffĂ©rentielle, câ est Ă dire pour trouver v(t), on partitionne
lâ espace temps [0,T], avec T la durĂ©e du phenomĂšne, en Ă©crivant [ ] [ ]n
nn, t,tT0 1â= , tâ Ă©tant la
longueur du pas de temps, et T0 121 <<<<<<< â ...tt...tt nn .
Chapitre II RĂ©solution des Ă©quations de Navier-Stokes instationnaires avec surface libre
24
SchĂ©mas dâEuler implicite et explicite dâordre 1
Les schĂ©mas les plus Ă©lĂ©mentaires sont obtenus Ă partir de lâ Ă©criture de :
t)t(v)t(v
)t(tv nn
â
1ââ=ââ
Soit, en notant nv lâ approximation de )t(v n et 1ânv lâ approximation de )t(v n 1â :
tvv
)t(tv nn
â
1ââ=ââ
Deux types de schĂ©mas sont directement issus de cette approximation, les schĂ©mas dâ Euler implicite etexplicite. Lorsque les conditions de convergence de ces schĂ©mas sont remplies, on montre que ceux-ci
sont dâ ordre 1. Autrement dit, au temps T, avec NT
t =â , et en introduisant une constante C, on peut
majorer lâ erreur due Ă lâ approximation par rapport Ă la solution exacte par :
tTC
v)T(v N ââ€â ( II.9 )
Le schĂ©ma dâ Euler progressif, ou explicite, sâ Ă©crit de la maniĂšre suivante :
)t,v(ftvv
nn
nn
11
1
ââ
â
=ââ
pour tous les n.
Ce schĂ©ma nâ est pas inconditionnellement stable. Pour ĂȘtre sĂ»r quâ il converge, il est nĂ©cessaire de luiajouter des conditions de stabilitĂ© qui limitent le pas dâ avance tâ . Lâ utilisation de ce schĂ©ma impliqueen elle-mĂȘme la linĂ©arisation du problĂšme.
Le schĂ©ma Euler rĂ©trograde ou implicite sâ Ă©crit :
)t,v(ftvv
nn
nn
=â â
â
1
pour tous les n.
Ce schĂ©ma est inconditionnellement stable, il converge sans quâ aucune condition ne soit nĂ©cessaire surtâ . Toutefois, lorsque tâ est trĂšs grand, bien quâ une solution soit trouvĂ©e, elle peut-ĂȘtre trĂšs peu
prĂ©cise, du fait de lâ ordre du schĂ©ma ( II.9). Pour linĂ©ariser le problĂšme issu de lâ utilisation de ceschĂ©ma, il est nĂ©cessaire de traiter les termes de la forme nn vv â qui apparaissent. Il est courantdâ utiliser une mĂ©thode de type point fixe, de Newton par exemple. On remplacera les termes de laforme nn vv â en Ă©crivant :
( )nnnnnn v.vv.vvv â+âââ ââ 11
21
( II.10 )
Schémas de type Runge Kutta
En supposant quâ elle existe, on peut Ă©galement approcher la solution en intĂ©grant la premiĂšre Ă©quationde ( II.8 ) :
dt )t),t(v(f)t(v)t(vn
n
t
t
nn â«â
=â â
1
1 ( II.11 )
En approchant lâ intĂ©grale par la formule des trapĂšzes ou des triangles oĂč encore en incluant unparamĂštre Ξ , on obtient diffĂ©rentes formes de schĂ©mas, dont les Ξ -schĂ©mas :
)t,v(f(t)t,v(ftvv nnnnnn 111 )1 âââ â+=â ΞâΞâ ( II.12 )
Chapitre II RĂ©solution des Ă©quations de Navier-Stokes instationnaires avec surface libre
25
Lorsque 1=Ξ /2 on retrouve la formule des trapĂšzes qui introduit les mĂ©thodes de type Runge-Kuttad'ordre 2 explicite. Ce schĂ©ma peut aussi ĂȘtre vu comme la moyenne des schĂ©mas dâ Euler progressif etrĂ©trograde. Notons que lâ on retrouve aussi les formulations dâ Euler implicite et explicite quand 1=Ξet 0=Ξ .
De maniĂšre Ă linĂ©ariser ce type de problĂšme, on peut construire un schĂ©ma appelĂ© mĂ©thode de Heun. Ilconsiste Ă introduire une prĂ©diction explicite, câ est Ă dire Ă remplacer nv dans le membre de droitepar : )t,v(ftvv~ nnnn 111 âââ += â . A partir de 1ânv on calcule nv~ , en remplaçant sa valeur dans( II.12 ). Pour 1=Ξ /2, on rĂ©sout un problĂšme de la forme suivante :
[ ]
++=
+=
=
â
â
ââ
***nn
n*n**
nn*
vvt
vv
)t,tvv(fv
)t,v(fv
2
1
1
11
ââ
Cette mĂ©thode est une mĂ©thode Runge-Kutta dâ ordre 2 explicite. Par consĂ©quent, sa stabilitĂ© nâ est pasinconditionnelle.
La formule des rectangles appliquée à ( II.11 ) quand à elle, donne un schéma à plusieurs pas. En
notant 2
121
â+ +=
nn/n tt
t le milieu de ],[ 1 nn tt â , on obtient : )t,v(ftvv /n/nnn 21211 ++â =â â Ă partir
de ( II.11 ). La prédiction de type Euler progressive de la forme )t,v(ft
vv~ nnn/n 11121 2
âââ+ += â donne
alors la mĂ©thode dâ Euler modifiĂ©e suivante :
[ ]
++=
+=
=
â
â
ââ
***nn
n*n**
nn*
vvt
vv
)t,vt
v(fv
)t,v(fv
2
2
1
1
11
â
â
Cette mĂ©thode elle aussi rentre dans les mĂ©thodes de type Runge-Kutta dâ ordre 2, explicites.
Dâ une maniĂšre plus gĂ©nĂ©rale, la mĂ©thode de Runge-Kutta classique, dâ ordre 4, permet de calculer nv Ă partir de 1ânv de la maniĂšre suivante :
+++=
+=
++=
++=
=
â
ââ
ââ
ââ
)vvvv(t
v
)t,tvv(fv
)t
t,vt
v(fv
)t
t,vt
v(fv
)t,v(fv
**********n
n***n****
n**n***
n*n**
nn*
226
22
22
1
11
11
11
ââ
ââ
ââ
On peut Ă©tendre cette approximation Ă k-Ă©tapes. Notamment, [Bijl et al, 2001] Ă©tudient diffĂ©rentschĂ©mas en temps du type BDF (Bakward Difference Formula) pour le problĂšme de Navier-Stokes. Ilsutilisent la forme suivante, en introduisant les paramĂštres iα et iÎČ :
Chapitre II RĂ©solution des Ă©quations de Navier-Stokes instationnaires avec surface libre
26
)t,v(f)t(vv knkni
ink
ii
kn +++â
=
+ +â= â ÎČâα1
0
LĂ encore, on fait appel Ă des mĂ©thodes de splitting pour rĂ©soudre le problĂšme. Notons que lesmĂ©thodes de splitting ou de dĂ©couplage, permettent de dissocier les types problĂšmes (par exemple dedissocier lâ Ă©quation de transport (en une Ă©quation de Burgers) du problĂšme de Stokes).
Les mĂ©thodes que nous venons de dĂ©crire sont gĂ©nĂ©ralisables aux systĂšme dâ Ă©quations. Dans[Quarteroni et al, 2000] par exemple, lâ auteur utilise un schĂ©ma Euler implicite linĂ©arisĂ© Ă partir de larelation ( II.10 ) pour arriver Ă une approximation dite Euler-Newton :
=â
+â+=
â+â++â+â+ââââ
initialeset limites Conditions0
vv 2
vvvv
: que telset Trouver
1-n1-n1n1-n1-nn
n
nnnnT
nn
v.
f.t
v..t
vp)vv.(
p v
ââ
Il obtient ensuite le schĂ©ma Euler semi-implicite en supposant que 111 âââ âââ nnnn vvvv , le problĂšmedevient :
=â
+=
â++â+â+âââ
â
initialeset limites Conditions0
vv
: que telset Trouver 1
n1-n
n
nnnnT
nn
v.
ft
v.
tv
p)vv.(
p v
ââ
Dans la partie suivante, nous supposerons que lâ on a dĂ©jĂ procĂ©dĂ© Ă une Ă©tape de linĂ©arisation duproblĂšme : nous utiliserons lâ expression linĂ©arisĂ©e v.a â , avec a= 1ânv . Nous supposerons Ă©galementque le problĂšme est stationnaire, de maniĂšre Ă laisser de cĂŽtĂ© les problĂšmes de convergences liĂ©s Ă ladiscrĂ©tisation temporelle.
II.1.4 Instabilités liées à la résolution du problÚme discret en espace
Le problÚme stationnaire de Navier-Stokes linéarisé, est de la forme :
=â
=â+â+â+âââ
âĂââ +
limites Conditions0
t)(x, que telset Trouver
v.
fv.ap)vv.(
t)p(x,)t,x( vT
Ω
( II.13 )
Alors que la forme continue est bien posĂ©e, il existe deux raisons pour lesquelles la rĂ©solution duproblĂšme de Navier-Stokes discret peut ne pas converger vers la solution forte du problĂšme, ouprĂ©senter de fortes oscillations. Ces raisons sont une mauvaise gestion de la mixitĂ© du problĂšme envitesse-pression, ou une rĂ©solution non adaptĂ©e des termes dâ advection dans lâ Ă©quation. Dans unpremier temps, dĂ©crivons les deux sources dâ instabilitĂ©s numĂ©riques, en sĂ©parant les difficultĂ©s.
Chapitre II RĂ©solution des Ă©quations de Navier-Stokes instationnaires avec surface libre
27
II.1.4.1 Le problÚme mixte en vitesse pressionConsidérons le problÚme discret issu de ( II.13 ) réduit à la forme du problÚme de Stokes :
( ) ( ) ( )( )
=â
=ââââĂââĂâ
limites Conditions
0
que tels ,Trouver
hh
hhhhhh
hhhhhhhh
q.,v
w,fw.,pw,v
),q(w)pv(
( II.14 )
La discrétisation de ce problÚme nous amÚne à résoudre le problÚme matriciel suivant :
=
00
vT
vp
vpvv F
P
VH
HH( II.15 )
Le vecteur V est construit Ă partir des vitesses vi et P Ă partir des pressions pi aux nĆ uds i. Ce sont lesinconnues du systĂšme.
Le problĂšme discret ( II.15 ) nâ admet pas forcĂ©ment de solution, et quand cette solution existe, ellenâ est pas forcĂ©ment unique. En supposant que vvH est dĂ©finie positive, ce qui est en gĂ©nĂ©ral vrai pourles Ă©lĂ©ments standard, on peut Ă©crire un problĂšme en pression, en multipliant la premiĂšre Ă©quation par
1âvv
Tvp HH . On obtient alors un systĂšme matriciel de la forme :
( ) vvvTvpvpvv
Tvp FHHP)HHH( 11 ââ = ( II.16 )
Une fois la pression déterminée, la vitesse est directement extraite de la premiÚre équation issue de (II.15 ). Pour que ce problÚme admette une et une seule solution, la matrice vpvv
Tvp HHH 1â , appelĂ©e le
complĂ©ment de Schur, ne doit pas ĂȘtre singuliĂšre.
Les conditions de Brezzi-Babuska [Brezzi, 1974], encore appelées conditions « inf-sup » ( II.17 )assurent que vpvv
Tvp HHH 1â est inversible, mais en plus, que la solution du problĂšme discret converge
vers celle du problĂšme continu.
0
0100>â„
ââ«ââââ
γΩ
hh
hh
VvPp pv
v.psupinf
hhhh
( II.17 )
avec 0>γ une constante non dépendante de h.
Il est important de souligner que câ est le fait que la constante Îł soit indĂ©pendante du maillage quipermet dâ assurer la convergence de la solution du problĂšme discret vers la solution du problĂšmecontinu. Dans le cas contraire, il serait possible que le problĂšme converge vers une solutiondĂ©pendante du maillage.
Les consĂ©quences de la non vĂ©rification des conditions « inf-sup » peuvent ĂȘtre une non convergencede la mĂ©thode, la gĂ©nĂ©ration dâ oscillations, mais aussi lâ obtention de pressions biaisĂ©es. On pourratrouver une illustration du « locking effect », câ est Ă dire du dĂ©placement nul, ou de lâ obtention depression en damier dans [Aliaga, 2000].
Enfin, les conditions « inf-sup » permettent de construire des Ă©lĂ©ments dits compatibles, câ est Ă diredes interpolations adĂ©quates pour la vitesse et la pression.
Une maniĂšre particuliĂšre de construire des espaces mixtes stables est dâ enrichir les espacesdâ approximation de la vitesse par un espace de fonctions dites fonctions bulles [Arnold et al, 1984].
Chapitre II RĂ©solution des Ă©quations de Navier-Stokes instationnaires avec surface libre
28
Donnons une définition générale de cet espace en utilisant les notations introduites dans le paragrapheprécédent ([II.1.2.1]) :
B )h hkhh K)K(H)K(PbbK
âââ= tq 10 avec kP lâ espace des polynĂŽmes de degrĂ© k.
Le nouvel espace en vitesse est tel que ( )hBhh~ â= . La vitesse sâ Ă©crit alors dâ une maniĂšre
unique : hhh bvv~ += . On remarque que les fonctions Bhb â sâ annulent sur les bords des Ă©lĂ©ments,ce qui permet de condenser le problĂšme obtenu, câ est Ă dire dâ Ă©liminer les degrĂ©s de libertĂ© liĂ©s auxfonctions bulle.
Dâ une maniĂšre gĂ©nĂ©rale, aujourdâ hui, on connaĂźt assez bien les Ă©lĂ©ments qui sont compatibles,toutefois cette liste est relativement rĂ©duite, et de maniĂšre Ă pouvoir choisir les interpolations envitesse et pression plus librement (par exemple de mĂȘme ordre, sans avoir recours Ă des fonctionsbulle), les mĂ©thodes stabilisĂ©es ont Ă©tĂ© introduites. Ces mĂ©thodes sont construites en ajoutant destermes de nature elliptique au problĂšme, tout en prĂ©servant la consistance de celui-ci, et surtout, demaniĂšre Ă respecter la condition « inf-sup ».
II.1.4.2 Le problĂšme dâadvection diffusionTraitons Ă prĂ©sent la partie qui correspond au problĂšme discret dâ advection diffusion de la formevariationnelle ( II.13 ) discrĂ©tisĂ©e :
( ) ( ) =â+ââ
âââ
initialeset limites Conditions
que telTrouver
hhhhhh
hhhh
w,f)w,v.a(w,v
w v
( II.18 )
Lorsquâ on traite ce type dâ Ă©quation par une mĂ©thode de type Galerkin standard, des oscillationsapparaissent, et se propagent dans tout lâ Ă©coulement. Ces instabilitĂ©s sont dues au traitement du termehyperbolique non symĂ©trique hh v.a â . Par exemple, R. Codina [Codina, 1993] montre que la solutionexacte (aux nĆ uds) du problĂšme de convection-diffusion classique est structurellement instablelorsque les termes de convection deviennent dominants (dans un exemple 1D).
Une autre interprĂ©tation est de dire que les oscillations observĂ©es sont dues Ă la prĂ©sence de finescouches dâ Ă©coulement non rĂ©solues, oĂč la solution et ses dĂ©rivĂ©es ont des variations brutales noncaptĂ©es par le maillage. Ces Ă©chelles sont « irrĂ©solvables » numĂ©riquement. MĂȘme si lâ on nâ est pasintĂ©ressĂ© par leur rĂ©solution, les petites Ă©chelles ont un effet sur les Ă©chelles visibles, ou rĂ©solvables, etcet effet doit ĂȘtre pris en compte [F. Brezzi, 1997-2].
Enfin, introduisons le nombre de Peclet, Pe, qui traduit le rapport des termes dâ advection et dediffusion :
ηah
Pe = ( II.19 )
et dans le cas Re=1 :
ahPe = ( II.20 )
avec h une longueur caractĂ©ristique (la taille de maille par exemple), et a le champ dâ advection. Lesoscillations numĂ©riques lors de la rĂ©solution de ( II.18 ) apparaissent pour des Ă©coulements caractĂ©risĂ©spar un nombre de Pe Ă©levĂ©, câ est Ă dire des problĂšmes Ă convection dominante.
De maniĂšre Ă faciliter le formalisme par la suite, introduisons dĂšs Ă prĂ©sent les opĂ©rateurs linĂ©airessuivants, oĂč a est le champ dâ advection :
Chapitre II RĂ©solution des Ă©quations de Navier-Stokes instationnaires avec surface libre
29
v.a)v(L
:v)v(L
adv
diff
â=
ââ=( II.21 )
Dans la suite, on utilisera lâ opĂ©rateur linĂ©aire v.a:vLLL advdiff â+ââ=+= , et on Ă©crira le problĂšme
( II.18 ) sous la forme :
( ) ( ) =
â
limites Conditions
que telTrouver
hhh
hh
w,fw),v(L
w v
( II.22 )
Les mĂ©thodes stabilisĂ©es sont construites de maniĂšre Ă conserver la consistance du problĂšme : lasolution du problĂšme continu converge vers la solution du problĂšme discret. Dâ une maniĂšre gĂ©nĂ©rale,elles consistent Ă rajouter un terme de diffusion le long des lignes de courant dans la formulationGalerkin standard. Ce terme peut sâ Ă©crire comme le produit, sur chaque Ă©lĂ©ment, du rĂ©sidu par unopĂ©rateur appliquĂ© au fonction tests que lâ on notera opL et par un paramĂštre de stabilisation KÏ ,
constant sur chaque Ă©lĂ©ment K, que lâ on notera hK
K ÏÏ = . En utilisant les notations dĂ©jĂ introduites, la
forme finale du problĂšme est alors la suivante :
)w,f())w(L),f)v(L(()w),v(L( hKhopK
hK
hh =+ â - Ï ( II.23 )
Autrement dit, on rajoute Ă ( II.22 ) la forme :
=)w,v(r hh KhopK
hK ))w(L),f)v(L(( -âÏ
qui sâ annule lorsque le rĂ©sidu sâ annule, câ est Ă dire lorsque la solution est atteinte.
On pourra se rĂ©fĂ©rer Ă [Batkam, 2002] et [Magnin, 1994] pour une Ă©tude bibliographique desmĂ©thodes utilisĂ©es pour traiter lâ Ă©quation dâ advection de type SUPG (Streamline Upwing PetrovGalerkin), ST/SGS (Space Time/ Subgrid Scale), CG (CaractĂ©ristiques) et TG (Taylor Galerkin).
Bruno Magnin [Magnin, 1994] traite Ă©galement ces Ă©quations en ajoutant une dĂ©rivĂ©e partielle entemps au problĂšme. Il introduit plusieurs discrĂ©tisation temporelles en indiquant que lâ introduction deschĂ©ma temporelles aux diffĂ©rences finies peut ĂȘtre suffisamment stabilisante pour se passer dudĂ©centrage en espace. La raison de lâ effet stabilisant de ces schĂ©mas Ă©tant quâ ils sont basĂ©s sur unbalayage en temps dans le sens des lignes de courant.
II.1.5 Le traitement du problĂšme de Navier-Stokes discret par lâ optimisation des fonctionsbulles (Residual Free Bubble)
La stratĂ©gie la plus utilisĂ©e pour obtenir une formulation stable du problĂšme de Navier-Stokes discret,est de sĂ©parer les deux difficultĂ©s : on utilise dâ une part les mĂ©thodes de stabilisation du problĂšmemixte crĂ©Ă©es pour la rĂ©solution du problĂšme de Stokes, et dâ autre part les mĂ©thodes de stabilisation desproblĂšmes dâ advection diffusion. Citons quelques applications de cette dĂ©marche en restant dans lecadre de lâ Ă©tude du remplissage en fonderie. Par exemple, J.F. Hetu [Hetu et al, 1999] applique unemĂ©thode de type SUPG pour traiter les termes dâ advection, et utilise des approximations de mĂȘmeordre en vitesse/pression en introduisant une mĂ©thode stabilisĂ©e standard. Toujours pour traiter lemĂȘme type de problĂšme V. Maronnier [Maronnier, 2000] utilise la mĂ©thode des caractĂ©ristiques pourrĂ©soudre les problĂšmes de convection et compare deux mĂ©thodes Galerkin/Least-Square (mĂ©thodesstabilisĂ©es pour le problĂšme en vitesse pression) afin de pouvoir utiliser une discrĂ©tisation de typeP1/P1. Enfin, R. Codina dans [Codina, 1993] utilise des Ă©lĂ©ments compatibles en vitesse-pressionassociĂ©s Ă une technique SUPG.
Chapitre II RĂ©solution des Ă©quations de Navier-Stokes instationnaires avec surface libre
30
Ces derniĂšres annĂ©es cependant, des Ă©tudes ont Ă©tĂ© menĂ©es pour trouver les liens thĂ©oriques entretoutes les mĂ©thodes standard de stabilisation. On pourra se rĂ©fĂ©rer Ă [Valentin, 1998] pour unhistorique complet. On peut retenir que lâ Ă©quivalence entre les mĂ©thodes stabilisĂ©es pour le problĂšmede Stokes et lâ utilisation des fonctions bulle a Ă©tĂ© dĂ©montrĂ©e, tout comme celle entre les mĂ©thodes destabilisation du problĂšme de convection diffusion avec les mĂ©thodes dites de «subgrid » qui traitent lessous Ă©chelles du problĂšme, et finalement lâ utilisation des fonctions bulle [Hughes, 1998]. CesĂ©quivalences reposent sur lâ introduction de paramĂštres que lâ on prĂ©cisera dans la suite.
II.1.5.1 Stabilisation de lâĂ©quation dâadvection diffusion par les mĂ©thodes SUPG et SGSRevenons sur la mĂ©thodes SUPG (Streamline upwind Petrov Galerkin) dont le paramĂštre destabilisation sert en gĂ©nĂ©ral de rĂ©fĂ©rence. On dĂ©crira Ă©galement la mĂ©thodes SGS (Subgrid Scale), quiintroduit une philosophie un peu diffĂ©rente. Cette philosophie est reprise dans le traitement delâ Ă©quation de convection diffusion par la mĂ©thode RFB (Residual Free Bubble), qui utilise des espacesenrichis par des fonctions bulle et dont la mise en Ć uvre peut ĂȘtre simplifiĂ©e sous la forme desmĂ©thodes PRFB (Pseudo Residual Free Bubble).
Dans un premier temps, on fera le lien entre les diffĂ©rentes mĂ©thodes, en montrant que toutes peuventsâ Ă©crire sous la forme ( II.23 ). On cherchera donc, pour chacune, Ă mettre en Ă©vidence le paramĂštre destabilisation, constant par Ă©lĂ©ment, KÏ et lâ opĂ©rateur notĂ© opL .
Dans la ce but, introduisons *advL et *
diffL les formes adjointes respectives des formes linéaires advL et
diffL , en rappelant la relation :
)wL,v()w),v(L( *advadv = et )wL,v()w),v(L( *
diffdiff =
On a :
â= .w.a)w(L*adv et )w(L:w)w(L diff
*diff =ââ=
mais on peut aussi Ă©crire, en utilisant la formule de Green et lâ hypothĂšse w=0 sur le bord du domaine :
)w(Lw.a)w(L adv*adv â=ââ=
par consĂ©quent, on obtient lâ expression :ââ+ââ=+= :ww.a)w(L)w(L)w(L *
diff*adv
* ( II.24 )
II.1.5.1.1 MĂ©thodes SUPGCette mĂ©thode est basĂ©e sur lâ utilisation dâ espaces dâ approximation diffĂ©rents pour approcher lesvitesses vh et les fonctions test wh. Ce type dâ approximation entre dans les mĂ©thodes de type PetrovGalerkin. Elles permettent de rĂ©soudre un problĂšme discret consistant avec le problĂšme continu.On construit un espace fonctionnel h
~ dont les fonctions de base ont la forme :
hhh
hh w.aww~ â+= Ï ( II.25 )
oĂč hÏ est un paramĂštre constant par Ă©lĂ©ment, qui sera notĂ© KÏ sur lâ Ă©lĂ©ment K, et en rappelant que ah
dĂ©signe le champ dâ advection que lâ on supposera lui aussi constant par Ă©lĂ©ment. Lâ Ă©quationdâ advection diffusion prend alors la forme :
Chapitre II RĂ©solution des Ă©quations de Navier-Stokes instationnaires avec surface libre
31
â+=â+
âââ
initialeset limites Conditions
que telTrouver
)w.aw,f()w.aw),v(L(
w v
hhh
hhhh
hh
hhhh
ÏÏ
ce qui permet dâ Ă©crire directement le problĂšme sous la forme des problĂšmes stabilisĂ©s ( II.23 ) :
KhopK
hK
hh ))w(L,f)v(L()w,v(r -â= Ï ( II.26)
avec hh*advhop wa)w(L)w(L ââ==
et hK
K ÏÏ = , que lâ on notera KSUPGÏ .
Câ est lâ ajout le long des lignes de courant de termes de nature elliptique qui stabilise le problĂšme. Cestermes sont issus du traitement de la forme : ( ) ) hhhh w.a(v.a ââ
Il est nĂ©cessaire de dĂ©terminer la forme du paramĂštre KSUPGÏ pour stabiliser la mĂ©thode. Le paramĂštre
de stabilisation de la méthode SUPG est alors défini de la façon suivante pour une interpolation P1/P1[Brezzi et al, 1996] :
<=
â„=
1si12
1 si 2
2KKK
SUPG
K
K
KKSUPG
Peh
Peah
ÎœÏ
Ï( II.27 )
avec η6
Pe K KK ha= le nombre de Peclet local sur un Ă©lĂ©ment et . le module de lâ expression.
Rappelons que le champ dâ advection est constant par Ă©lĂ©ment.
II.1.5.1.2 MĂ©thode Subgrid Scale (SGS)La philosophie de cette mĂ©thode sâ appuie sur lâ hypothĂšse que les instabilitĂ©s dans la rĂ©solution duproblĂšme dâ advection peuvent ĂȘtre rĂ©solues en prenant en compte les effets des petites Ă©chelles sur lesgrandes [Brezzi, 1997-2]. Pour cette raison, on introduit les espaces h
'h et tels que h
'hh â= ,
et on dĂ©compose la solution vh du problĂšme en Ă©crivant 'hhh vvv += , oĂč '
h'hv â reprĂ©sente les effets
ou perturbations, des petites Ă©chelles, et hhv â la vitesse « dĂ©barrassĂ©e » de ces premiĂšres. ParconsĂ©quent, en thĂ©orie, les instabilitĂ©s disparaissent dans la rĂ©solution en hv .
En prenant hhw â , et 'h
'hw â , dĂ©composons le problĂšme variationnel initial ( II.22 ) en deux sous
problĂšmes :
Trouver vh= 'hv + hv tels que
â=+
â=+
hhh'hh
'h
'h
'h
'hh
w)w,f()w),vv(L(
w)w,f()w),vv(L(( II.28 )
Chapitre II RĂ©solution des Ă©quations de Navier-Stokes instationnaires avec surface libre
32
RĂ©soudre les petites Ă©chelles revient Ă Ă©crire lâ expression de 'hv . Pour ce faire, on utilise les notations
précédemment définies, et la premiÚre équation du problÚme ( II.28 ). On résout, sur chaque élémentK, le problÚme :
â=ââ=
sur 0 '
Kv
w)w),v(L()w,f()w),v(L( 'h
'hh
'hh
'h
'h ( II.29 )
Le principe de la méthode SGS est de résoudre analytiquement le problÚme ( II.29 ), autrement dit demaniÚre exacte. Cette méthode consiste [Hughes et al, 1998] à écrire la solution du problÚme enfonction des fonctions de Green, notées gr, associées à la forme linéaire L , et définies de la maniÚresuivante :
)yx()y,x(g)x(L r â= ÎŽ oĂč ÎŽ est la fonction Dirac.
la solution du problĂšme ( II.29 ) peut alors sâ Ă©crire sous la forme :
ââ« ââ=K K
hr'
h d)f)v(L)(y,x(g)y(v Ω ( II.30 )
Pour rester gĂ©nĂ©ral, introduisons la forme intĂ©grale issue de lâ utilisation des fonctions de Green[Hughes et al, 1998], qui permet dâ Ă©crire :
)f)v(L(Mv hhG'h â= avec GM un opĂ©rateur intĂ©gral.
Le rĂ©sidu apparaĂźt alors sous la forme f)v(L h â .
En introduisant cette expression dans la seconde équation du problÚme ( II.28 ) on inclut les effets despetites échelles sur les échelles résolues :
)w,f()w),f))v(L(Mv(L( hhhGh =â+
soit
)w,f())w(L),f)v(L(M()w),v(L( hh*
hGhh =â+ ( II.31 )
Lâ hypothĂšse forte de la mĂ©thode est de supposer que vâ est nulle sur le bord de chaque Ă©lĂ©ment. Ellepermet dâ obtenir des valeurs indĂ©pendantes par Ă©lĂ©ment et en particulier un facteur de stabilisationconstant par Ă©lĂ©ment . En utilisant la forme calquĂ©e sur lâ expression de rĂ©fĂ©rence ( II.23 ), Ă partir de( II.31 ), on obtient :
)w,f()w,v(r)w),v(L( hhhhh =+ ( II.32)
oĂč - Khop
Kh
Khh ))w(L),f)v(L(()w,v(r â= Ï
avec)w(L)w(L h
*hop =
ethK
K ÏÏ = notĂ© KSGSÏ et donnĂ© par lâ expression de GM sur K
La stabilitĂ© de la mĂ©thode dĂ©pend du paramĂštre KSGSÏ qui est calculĂ© de maniĂšre exacte dans lâ Ă©quation
( II.30 ). Par consĂ©quent, la prise en compte de 'hv est Ă©quivalente Ă lâ ajout dâ un terme de stabilisation.
Par ailleurs, dans le cas dâ Ă©lĂ©ment P1/P1, R. Codina [Codina, 1993] montre la coĂŻncidence de ce termeavec celui introduit dans la mĂ©thode SUPG.
Chapitre II RĂ©solution des Ă©quations de Navier-Stokes instationnaires avec surface libre
33
II.1.5.2 MĂ©thodes de type Residual Free Bubble
II.1.5.2.1 Residual Free Bubble
Introduisons lâ espace ( )hBhh~ â= , oĂč B est lâ espace des fonctions bulle. Rappelons que ces
fonctions ont pour propriĂ©tĂ© de sâ annuler sur le bord des Ă©lĂ©ments K. On peut choisir hh~v~ â , ce qui
permet dâ obtenir la dĂ©composition : hhh bvv~ += , et de dĂ©composer le problĂšme variationnel initial( II.22 ) en deux sous problĂšmes :
Trouver hhh bvv~ += tels que
( )
ââ=+
ââ=+
hB*h
*h
*hhh
hhhhhh
b)b,f()b),bv(L(
w)w,f()w),bv(L(
( II.33 )
Cette mĂ©thode reprend exactement la mĂȘme dĂ©marche que la mĂ©thode SGS [Brezzi, 1997-2]. OnrĂ©sout dans un premier temps le problĂšme issu de la deuxiĂšme ligne de ( II.33 ) :
( )
â=âââ=
sur 0
Kb
b)b),v(L()b,f()b),b(L(
h
hB*h
*hh
*h
*hh
( II.34 )
ce qui permet dâ Ă©crire :
)f)v(L(Mb hBh â= ( II.35)
oĂč BM est un opĂ©rateur intĂ©gral, inverse de la forme linĂ©aire. Sa valeur sur K sera notĂ©e KBM . Les
fonctions bulle sâ annulent sur le bord des Ă©lĂ©ments on peut donc Ă©crire la restriction du problĂšme ( II.35) sur K, avec
KhK bb = :
)f)v(L(Mb hKBK â= ( II.36 )
De la mĂȘme façon que prĂ©cĂ©demment, on remplace hb par sa valeur dans la premiĂšre Ă©quation de( II.33 ), ce qui nous permet dâ Ă©crire :
)w,(f ))(w,L)f)(L(vM()w),v(L( hh*
Kh
KBhh =â+ â ( II.37 )
dâ oĂč
-
-
KhopK
hK
KhopK
hK
hh
))w(L),f)v(L(
))w(L),f)v(L(()w,v(r
â
â=
=
Ï
Ï( II.38 )
avec ââ+ââ== :ww.a)w(L)w(L hhh*
hop
et le paramĂštre de stabilisation KB
hK
K M==ÏÏ notĂ© KRFBÏ
On peut Ă©galement voir cette Ă©tape comme une Ă©tape de condensation de la bulle.
Tout lâ intĂ©rĂȘt de la mĂ©thode prĂ©sentĂ©e repose sur lâ Ă©criture de KRFBÏ et par consĂ©quent de K
BM . Il est
possible dâ identifier KRFBÏ avec K
SUPGÏ , le paramĂštre de stabilisation de la mĂ©thode SUPG , et donc de
Chapitre II RĂ©solution des Ă©quations de Navier-Stokes instationnaires avec surface libre
34
stabiliser le problĂšme dâ advection diffusion en trouvant la fonction bulle optimale : celle pour laquelleon a K
SUPGKRFB ÏÏ = .
F. Brezzi, dans [Brezzi et al, 1997-2], procĂšde Ă cette identification dans le cadre dâ interpolations devitesse et de pression linĂ©aires par morceaux sur K. Il suppose Ă©galement que lâ on utilise uneinterpolation constante par Ă©lĂ©ment pour lâ advection ha ainsi que pour f. Pour trouver la bullestabilisante, les auteurs utilisent une mĂ©thode aux Ă©lĂ©ments finis Ă deux niveaux. La dĂ©marche quenous prĂ©sentons dans la suite, est basĂ©e sur le formalisme de [Brezzi et al, 1997-2].
Pour dĂ©terminer la forme exacte de KRFBÏ , dans un premier temps, on dĂ©veloppe lâ expression ( II.37 ).
De par les espaces dâ interpolations choisis (P1 en vitesse), et du fait que la bulle sâ annule sur lafrontiĂšre des Ă©lĂ©ments, lâ expression se simplifie et peut sâ Ă©crire Ă partir de rĂ©solutions rĂ©duites Ă l'Ă©lĂ©ment K. En prenant en compte les interpolations constantes par Ă©lĂ©ment, les expressions
ââ+ââ= :ww.a)w(L hhhh* et hhhh v.a:v)v(L â+ââ= sont constantes sur K.
AprĂšs ces remarques, il vient Ă partir de ( II.38 ) que lâ on peut Ă©crire :
â«â â«
â
â=
â=
K
KB
K Khhh
*hh
KK
KBhhh
*hh
)(MK
)f)v(L)w(L)w,v(r
),)(M)(f)v(L)w(L)w,v(r
11
(
dire Ă est c'
11(
( II.39)
avec K le volume de lâ Ă©lĂ©ment.
On obtient que :
)(MK
)),(M(K
K
KB
KB
KRFB 1
111
1 â«==Ï
Remarque : dans le cas particulier oĂč hhhh v.av)v(L â+= â , on a, dans le contexte dĂ©crit, 0=hvâ , et
par consĂ©quent, )w(Lw.a)w(L hhhh* â=ââ= . En gĂ©nĂ©ral, les auteurs Ă©crivent
)w(L)w(L)w(L hhRFBophop == , et introduisent un signe négatif qui apparaßt dans *L , dans le calcul de
KRFBÏ . Le paramĂštre de stabilisation prend alors la forme : )(M
KK
KB
KRFB 1
1 â== â«Ï [Brezzi et al, 1997].
A partir de ( II.36 ) et de ( II.34 ) que lâ on rĂ©sout de maniĂšre exacte sur K on peut Ă©crire :
1 )(M)f)v(L()f)v(L(Mb KBhhh
KBK â=â= ( II.40)
Lâ ensemble des fonctions bulle B nâ est pas modifiĂ© du fait de la multiplication des fonctions test parune constante, mĂȘme diffĂ©rente sur chaque Ă©lĂ©ment, aussi on peut chercher directement :
)(Mb KBK 1 = ( II.41 )
Finalement, Ă partir de ( II.36 ), en Ă©crivant que :
hhhhKBhK Ww)w,()w)),(M(L()w),b(L( ââ== 11 ( II.42)
Chapitre II RĂ©solution des Ă©quations de Navier-Stokes instationnaires avec surface libre
35
On se ramĂšne Ă rĂ©solution du problĂšme suivant pour trouver â«â« ==K
K
K
KB
KRFB b
K)(M
K1
11Ï Ă partir de
la valeur de KBM qui elle mĂȘme est donnĂ©e en fonction de lâ expression de la fonction bulle sur K
( II.41 ).
â==
Kb
KLb
K
K
sur 0
sur 1( II.43 )
Câ est le deuxiĂšme niveau de la rĂ©solution, qui permet dâ obtenir KRFBÏ en fonction des paramĂštres de la
bulle, et dâ identifier KRFBÏ Ă K
SUPGÏ .
Pour montrer que lâ introduction de ce paramĂštre stabilise le problĂšme, gĂ©nĂ©ralement, les auteurs
utilisent lâ expression du volume de la pyramide K qui est donnĂ©e par : â«K
Kb . Rappelons que la
solution du problĂšme ( II.43 ) est â«=K
KKRFB b
K1Ï . Dans chacune des limites, câ est Ă dire pour
0a == et 0η , on montre que les valeurs de KBÏ et K
SUPGÏ convergent. Cette dĂ©monstration est
Ă©galement appuyĂ©e par le fait que lorsquâ on change KSUPGÏ pour K
RFBÏ , les rĂ©sultats obtenus sont demĂȘme qualitĂ© [Brezzi et al, 1998].
La mĂ©thode que nous venons de dĂ©crire, mĂȘme si elle a lâ avantage dâ Ă©tendre lâ utilisation des fonctionsbulle Ă la rĂ©solution des problĂšmes liĂ©s aux traitement des opĂ©rateurs dâ advection, prĂ©sentelâ inconvĂ©nient de nĂ©cessiter la rĂ©solution exacte du problĂšme ( II.43 ), en Kb . Dâ autre part, dans le cas
oĂč lâ on explicite la fonction bulle dans les Ă©quations, en Ă©crivant
+
= 22
1
1
0
0 h
hh b
cb
cb , ce que fait A.
Russo [Russo, 1995] dans le cadre des équations de Navier-Stokes linéarisées (en 2D et toujours dansle cadre P1/P1) il est difficile de trouver la bulle qui correspond aux ic trouvés par identification.
II.1.5.2.2 Pseudo Residual Free Bubble
La méthode dite Pseudo Residual Free Bubble a été construite de maniÚre à résoudre le problÚme en
Kb ( II.43 ), de maniĂšre approchĂ©e, câ est Ă dire moins coĂ»teuse. On ne cherche plus Ă dĂ©finir KRFBÏ
mais une approximation satisfaisante KPRFBÏ .
Cette mĂ©thode repose sur lâ utilisation de fonctions bulle linĂ©aires par morceaux sur des sous parties deK. Rappelons que nous nous plaçons dans le cas oĂč les approximations de la vitesse et de la pression
sont linéaires sur K. On décompose les éléments en sous-éléments : e
eKK = (Figure 6), ce qui
permet de dĂ©finir â=e
eKK bb oĂč e dĂ©signe le sous Ă©lĂ©ment eK . Les fonctions e
Kb sont linéaires sur
eK , et telle que 0=â eKeKb .
Chapitre II RĂ©solution des Ă©quations de Navier-Stokes instationnaires avec surface libre
36
De plus, on appellera P le point de K oĂč la fonction bulle a pour valeur 1 (Figure 6) .
Figure 6 : Dans le cas du 2D, e=1,2,3 , division de lâ Ă©lĂ©ment 321 KKKKKe
e ==
La fonction Kb que nous venons de dĂ©finir est unique. On va lâ approcher par une fonction de la
forme PKbα oĂč α et P sont des paramĂštres Ă dĂ©terminer. Dâ une maniĂšre gĂ©nĂ©rale [Brezzi et al, 1996], on
va chercher une fonction ayant la forme dâ une pyramide, construite Ă partir dâ un point P, minimisantla forme : 1âKLb (plutĂŽt que de rĂ©soudre de maniĂšre exacte le problĂšme ( II.43 ))
Il est important de souligner que dans cette partie, les rĂ©sultats qui seront donnĂ©s ont Ă©tĂ© dĂ©montrĂ©spour un problĂšme de la forme hhhh v.av)v(L â+= â [Brezzi et al, 1996], qui permet davantage desimplifications (en particulier, pour
Khv linĂ©aire sur K, 0=Khvâ ), et en 2D. Alors que la
gĂ©nĂ©ralisation au 3D semble directe, lâ extension Ă la forme hhhh v.a:v)v(L â+ââ= demande uneĂ©tude plus approfondie. Nous nous contenterons ici de tracer les grandes lignes de cette mĂ©thode, demaniĂšre Ă faire ressortir les principaux arguments qui la sous tendent.
PremiĂšre Ă©tape :
On suppose que le paramÚtre α dépend de P. On cherche alors )P(α tel que ( II.43 ) est vérifiée, enécrivant :
â«=K
PK
PK
PK b)b),b)P((L( α
On approche ( II.43 ) dans lâ espace de dimension 1 (on est en dimension 2) gĂ©nĂ©rĂ© par PKb fonction
linĂ©aire sur chaque sous Ă©lĂ©ments Ke de K. Du fait des interpolations sur K (notamment du champdâ advection ha constant), on obtient :
â«â«â«
==
K
PK
K
PK
PK
PK
K
PK
b
b
)b),b(L(
b
)P(2
α
Du point de vue de la mise en Ć uvre, il est possible dâ Ă©crire )P(α en fonction seulement descoordonnĂ©es barycentriques de P, et du volume de K [Brezzi et al, 1996].
DeuxiĂšme Ă©tape :
On choisit P de maniĂšre Ă minimiser :
â«=K
PK d)b)P((L)P(J Ωα 1- ( II.44 )
K3
K1 P
K2
Chapitre II RĂ©solution des Ă©quations de Navier-Stokes instationnaires avec surface libre
37
Il existe une infinitĂ© de points *P minimisant cette expression. Sans rentrer dans les dĂ©tails (se rĂ©fĂ©rer Ă [Brezzi et al, 1996]), la mĂ©thode utilisĂ©e pour trouver un *P , se base sur lâ Ă©criture de fonctions
)P(ge constantes par élément et définies par :
( )eK
PKKe )b)P((a)P(g 1ââ= α
Ces fonctions permettent dâ Ă©crire, pour un P donnĂ©, la fonctionnelle permettant de minimiser ( II.44 )sous la forme :
â â«=e K
e
e
g)P(J ( II.45)
F. Brezzi a Ă©tabli le lemme suivant :âą Il existe toujours un P* qui minimise ( II.44 ) ou encore ( II.45).âą Si P* minimise ( II.44 ) alors les fonctions )P(g *
e sont négatives ou nulles.
A partir de ces affirmations, la méthode qui est utilisée pour trouver P* est de prendre le premiercandidat qui vérifie que les fonctions )P(g *
e sont nĂ©gatives ou nulles. On prendra P* situĂ© sur unsegment orientĂ© dont lâ orientation dĂ©pendra de ha (le champ dâ advection) et de K (lâ Ă©lĂ©ment).
La localisation de P* permet dâ Ă©crire PKb)P(α qui est une fonction bulle minimisant ( II.44 ) Ă la place
de la solution exacte du problĂšme ( II.43 ).
Finalement, le paramĂštre de stabilisation obtenu est de la forme: â«=K
PK
KPRFB db)P(
KÎ©Î±Ï 1 . Il dĂ©pend
de la localisation du point P* choisi et de lâ Ă©lĂ©ment K. La forme de la fonction bulle est diffĂ©rente enfonction de la localisation du point P*, ce qui permet au paramĂštre de stabilisation de sâ adapter au typedâ Ă©coulement dâ une façon naturelle.
Pour conclure, on peut dire que cette mĂ©thode est stable, dans le sens oĂč le paramĂštre de stabilisationKPRFBÏ tend vers K
RFBÏ . On trouvera Ă©galement des comparaisons entre la mĂ©thode SUPG et cettemĂ©thode, appelĂ©e Pseudo Residual Free Bubble (PRFB), dans [Fortin et al, 1998].
Chapitre II RĂ©solution des Ă©quations de Navier-Stokes instationnaires avec surface libre
38
II.1.6 Conclusion
Lâ intĂ©rĂȘt des mĂ©thodes de stabilisation prĂ©sentĂ©es, de type Residual Free Bubble, est de traiter lesproblĂšmes de stabilitĂ© liĂ©s au traitement des termes dâ advection en sâ appuyant sur des approximationscompatibles pour le problĂšme mixte. Les mĂ©thodes de type pseudo residual free bubble quant Ă elles,ont Ă©tĂ© mises au point dans un souci de faisabilitĂ© (câ est Ă dire pour rendre lâ utilisation de la mĂ©thodede Residual Free Bubble moins coĂ»teuse, et donc plus applicable).
A partir des liens qui existent entre les diffĂ©rentes mĂ©thodes, on vĂ©rifie quâ il est possible, sous rĂ©servede traitements supplĂ©mentaires, de ne pas utiliser deux ingrĂ©dients diffĂ©rents pour traiter les deuxproblĂšmes de stabilitĂ© Ă©voquĂ©s dans le paragraphe II.1.4. Les estimateurs dâ erreur de ces mĂ©thodes ontnotamment lâ avantage dâ ĂȘtre gĂ©nĂ©raux. On trouve, dans la littĂ©rature, des auteurs, bien que peunombreux, qui rĂ©solvent le problĂšme de Navier-Stokes discret en faisant « dâ une pierre deux coups ».Par exemple, dans [Nechaev et al, 2002], pour une application en ocĂ©anographie, les auteurs gĂ©nĂšrentune fonction bulle optimale par la mĂ©thode de pseudo residual free bubble, qui leur permet dâ utiliserdes Ă©lĂ©ments compatibles et de rĂ©soudre en mĂȘme temps le problĂšme de convection-diffusion. Unautre exemple est donnĂ© par lâ utilisation dâ une mĂ©thode de sous-Ă©chelles (Subgrid scale) [Codina,2002] appliquĂ©e Ă des cas tests standards (par exemple la cavitĂ© entraĂźnĂ©e qui est un cas que nousĂ©tudierons dans la suite de ce chapitre).
En plus de la description des problĂšmes de stabilitĂ© liĂ©s Ă la rĂ©solution en espace du problĂšme deNavier-Stokes, la description des principaux schĂ©mas en temps nous a permis de rendre compte delâ ensemble des types de problĂšmes Ă traiter dans sa mise en Ć uvre numĂ©rique. Nous avons Ă©galementdĂ©crit plusieurs mĂ©thodes de linĂ©arisation de ce problĂšme. A ce sujet, on peut souligner que larĂ©solution des systĂšmes non linĂ©aires est en elle-mĂȘme une source dâ Ă©tude Ă approfondir.
Notre objectif, au cours de cette Ă©tude, est dâ obtenir un outil robuste et utilisable dans le cadre delâ industrie, câ est Ă dire avec une bonne qualitĂ© de rĂ©sultats et des temps de calcul raisonnables. LesmĂ©thodes qui ont Ă©tĂ© introduites pour traiter les problĂšmes en espace sont diffĂ©rentes pour le problĂšmemixte et le traitement des termes de convection : on utilise lâ Ă©lĂ©ment P1+/P1 compatible, et les termesde convection sont traitĂ©s par une mĂ©thode de type Galerkin discontinu. Ceci Ă©tant, le fait dâ utiliserune fonction bulle qui est par la suite condensĂ©e, permet aussi de stabiliser les termes de convectionmĂȘme si elle nâ est pas construite de façon optimale. La discrĂ©tisation temporelle quant Ă elle est basĂ©esur un schĂ©ma dâ Euler quasi implicite. Ces mĂ©thodes seront dĂ©crites en dĂ©tail dans le chapitre suivant.On peut rajouter que les mĂ©thodes choisies ont fait leurs preuves pour traiter les problĂšmes auxquelselles sont dĂ©diĂ©es, mais quâ il est nĂ©cessaire de valider le comportement global de la mĂ©thode qui lesutilise conjointement.
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
39
II.1.7 Formulation du problĂšme mĂ©canique pour lâ Ă©tude du remplissage en fonderie
Simplifions la gĂ©omĂ©trie du problĂšme en trois sous domaines fermĂ©s et bornĂ©s : Ωf le domaine occupĂ©par le fluide, Ωa le domaine occupĂ© par lâ air, et Ωm le domaine dĂ©fini par le moule. On appellera
maf ΩΩΩΩ = lâ ensemble du domaine Ă©tudiĂ© de surface Î .
Figure 7: description simplifiée des différents domaines
REM3Dest basĂ© sur une formulation eulĂ©rienne du problĂšme : la totalitĂ© du domaine Ă Ă©tudier estconnue dĂšs le dĂ©but de la simulation. Dans ce contexte, on dĂ©termine les sous-domaines citĂ©s ci-dessusen dĂ©finissant des fonctions de prĂ©sence, encore appelĂ©es fonctions caractĂ©ristiques, pour chacun dessous-domaines. La fonction caractĂ©ristique dâ un domaine Ωi, notĂ©e
iΩ1 , sera définie en tout point de
lâ espace x, Ă tout temps t par lâ expression :
ââ
=âââ +
i
i
x
x)t,x(,t
i ΩΩ
Ω si 0
si 11 ( II.1â46 )
Le domaine de calcul Ω est tel que iN
ΩΩ = , avec N le nombre de sous-domaines. On a la relation :
111
=
âââââ
â=
+
N
i
)t,x(
,x,t
iΩ
Ω( II.1â47 )
Plaçons sur le domaine mfa ΩΩΩΩ = , oĂč aΩ est le domaine occupĂ© par lâ air, fΩ par le fluide,
et mΩ par le moule. Nous donnons la forme du problĂšme rĂ©solu pour chacun des sous-domaines, lesconditions aux limites, appliquĂ©es sur la frontiĂšre de Ω , sont quant Ă elles, explicitĂ©es dans leparagraphe suivant. Finalement, nous abordons le traitement de lâ application des conditions de surfacelibre et de la tension de surface.
ÎÎÎÎi
ÎÎÎÎp
Ωf
ÎÎÎÎf/a
Ωa
Ωm
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
40
II.1.7.1 Modélisation du fluideEn suivant les hypothÚses posées [I.4.2], on considÚre un fluide newtonien incompressible, et unécoulement sensible aux effets de la gravité.
Dans le cadre de lâ Ă©tude des milieux continus, les Ă©quations de Navier-Stokes, construites Ă partir desĂ©quations de lâ Ă©quilibre dynamique (conservation de la quantitĂ© de mouvement) et de celle de lacontinuitĂ© (conservation de la masse) rĂ©gissent les Ă©coulements. On aura, au temps t en tout point x dudomaine fluide :
=â
=+ââ
limites Conditions 0
v.
F. f ÎłÏÏ
( II.48 )
OĂč v dĂ©signe le vecteur vitesse, Îł , lâ accĂ©lĂ©ration, Ï le tenseur des contraintes, et F la densitĂ©volumique des forces extĂ©rieures appliquĂ©es aux systĂšmes. En appelant Ïf la masse volumique dufluide. En notant g lâ accĂ©lĂ©ration gravitationnelle, on a : gF fÏ= .
La loi de comportement ferme le problÚme ( II.48 ). On décompose le tenseur des contraintes en sapartie déviatorique s et la pression hydrostatique p :
pI)v()v(pIs)v( f â=â= Î”Î·Ï 2 ( II.49 )
oĂč fη est la viscositĂ© du fluide, I le tenseur identitĂ©. Le tenseur des vitesses de dĂ©formation est notĂ© Δ ,
et défini par :
Δ(v) = Âœ[âv+(âv)T]
Du fait de lâ hypothĂšse de fluide newtonien, on suppose que la viscositĂ© est indĂ©pendante du taux decisaillement, soit )(vη = fη = constante.
Cette simplification revient à considérer un comportement viscoplastique modélisé par une loipuissance de la forme ( II.50 ), en choisissant le coefficient de sensibilité m égal à 1 :
( ) 1)( â= mvKv Δη ( II.50 )
et en notant ( ) ( ) ( )v:vv ΔΔΔ 2= le second invariant du tenseur de déformation.
Finalement, dans Ωf , on résout le problÚme mécanique décrit par les équations de Navier-Stokesgénéralisées en vitesse et pression :
( )
=â
=+â+âââĂââ +
limites Conditions0
2
t)(x, que telset Trouver f
v.
Fp)v(.
t)p(x,)t,x( v
ff ÎłÏΔηΩ
( II.51 )
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
41
II.1.7.2 Modélisation du vide
Il est naturel, dans le cadre de notre Ă©tude, de considĂ©rer que le domaine notĂ© aΩ est occupĂ© par delâ air, mĂȘme si son comportement nâ est pas modĂ©lisĂ©. Par contre, du point de vue de la modĂ©lisation, ilsera plus juste de voir aΩ comme le domaine complĂ©mentaire du fluide, ou autrement dit, le domainevide dans le sens courant. Pour cette raison, alors que dans la suite de ce document, par abus delangage, nous parlerons plutĂŽt dâ air que de vide, dans cette partie, aΩ sera appelĂ© le domaine vide.
Deux mĂ©thodes de modĂ©lisation sont prĂ©sentĂ©es. La premiĂšre consiste Ă imposer une pression nulledans le vide, et la seconde Ă y imposer une variation de pression nulle. Dans les deux cas, le modĂšleutilisĂ© dĂ©crit la compressibilitĂ© du vide, dans le sens oĂč le volume du vide diminue avec lâ avancĂ©e dufluide.
PREMIERE METHODE : PROLONGEMENT DE LA VITESSE DANS LE VIDE
Dans Ωa, la vitesse et la pression sont Ă©galement gouvernĂ©es par les Ă©quations de lâ Ă©quilibredynamique, en nĂ©gligeant les effets de la gravitĂ© et de lâ inertie. On impose une pression nulle dans Ωa.
En notant aη la viscosité dans le domaine vide Ωa, les équations deviennent :
( )
==ââ
âĂââ +
limites Conditions0
0 2
t)(x, que telset Touver
p
)v(.
t)p(x,)t,x( v
a
a
ΔηΩ
( II.52 )
Cette Ă©quation prolonge continĂ»ment le champ de vitesse v dans Ωa,, sans exercer ni contrainte nipression sur le fluide : lâ interface vide/fluide vĂ©rifie la condition de surface libre. On peut montrer quela condition 0. =nÏ , oĂč n reprĂ©sente la normale Ă Îf/a, est respectĂ©e au sens faible [Pichelin, 1998].
DEUXIEME METHODE : RESOLUTION DANS Lâ AIR
Rappelons les Ă©quations classiques pour un problĂšme de Stokes compressible :
( )
=â+â+âââ
ââ
=â+âââĂââ +
limites Conditions
0
0 2
t)(x, que telset Touver
(v)..vtT
tp
p)v(.
t)p(x,)t,x( v
aaPaTa
a
a
ÏÏÏÏÏÏ
ΔηΩ
( II.53 )
oĂč on note aÏ la masse volumique, p la pression, T la tempĂ©rature, TÏ et PÏ , respectivement lescoefficients de compressibilitĂ© isotherme et de dilatation isobare, dĂ©finis de la maniĂšre suivante :
T
a
aT p
â
â=
ÏÏ
Ï 1 et
P
a
aP T
ââ
â=Ï
ÏÏ 1
( II.54 )
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
42
Le modĂšle proposĂ© est basĂ© sur le problĂšme suivant, oĂč le coefficient TÏ est choisi de façonarbitraire :
( )
=â+
â+
ââ
=â+âââĂââ +
limites Conditions
0
0
t)(x, que telset Touver
v.v.ptp
p .2t)p(x,)t,x( v
T
a
a
Ï
Ω
On négligeant la convection de la pression sur aΩ , de maniÚre à obtenir un problÚme linéaire, enposant :
av.p Ωsur 0ââ
on arrive, en utilisant un schĂ©ma dâ Euler implicite en temps, Ă la rĂ©solution du problĂšme suivant :
( )
=â+
=â+ââ
â ttTttT
tta
tt
pt
v.pt
p )v(.
pv
â
âÏ
âÏ
Δη
0 2
que telleset Touver
avec tâ le pas de temps, et tp , tv , la pression et la vitesse au temps t :
Finalement, on suppose que la pression est maintenue nulle dans le vide, ce qui permet de forcer0=â ttp â , et de corriger la pression Ă chaque incrĂ©ment de temps. On rĂ©sout alors le problĂšme mixte
suivant :
( )
=â+=â+ââ
âĂââ +
limites Conditions
0
0 p 2
que telset Touver
v.p
)v(.
(x,t)t)p(x,)t,x( v
c
a
a
αΔη
( II.55 )
avec
tT
c âÏα =
Lâ intĂ©rĂȘt de cette modĂ©lisation est de prolonger de façon naturelle le problĂšme de Stokes en vitesse-pression. Elle suppose que lâ on Ă©vacue lâ air dans le moule de façon parfaite.NĂ©anmoins, ce modĂšle, qui sera validĂ© par la suite, est paramĂ©trĂ© par la rhĂ©ologie du domaine aΩ , cequi facilite lâ utilisation du solveur associĂ©. On suppose que aet ηÏa , qui sont respectivement lamasse volumique et la viscositĂ© dynamique du domaine, sont constantes.
II.1.7.3 ModĂ©lisation du mouleDans le cadre de notre Ă©tude, on fait lâ hypothĂšse dâ un moule rigide pendant la phase du remplissage.Par consĂ©quent, dâ un point de vue mĂ©canique, aucune rĂ©solution nâ est effectuĂ©e sur ce domaine : lesvitesses sont fixĂ©es Ă zĂ©ro sur mΩ .
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
43
II.1.7.4 Conditions aux limitesLes surfaces sur lesquelles des conditions limites peuvent ĂȘtre imposĂ©es sont :
- Le plan dâ entrĂ©e, e (zone dâ alimentation)- La surface de la cavitĂ© Ă remplir Îp/m qui exclut e- La surface extĂ©rieure du moule Îm
- Eventuellement des plans de symĂ©trie Îsym
On notera mpmp ÎÎ=Î / , la surface commune aux parois du moule et Ă la cavitĂ© Ă remplir, ainsi que
afaf ÎÎ=Î / la surface commune au fluide et Ă lâ air qui dĂ©termine le front de matiĂšre.
Figure 8 : Description des conditions limites et des notations sur lâ ensemble du domaine decalcul maf ΩΩΩΩ =
Nous appellerons n la normale sortante au point oĂč lâ on se place, par rapport au domaine Ă©tudiĂ©, dansle repĂšre local.
RĂ©capitulons les conditions limites qui peuvent ĂȘtre imposĂ©es dans REM3DÂź :
âą Sur le plan dâ injection Îe, on peut imposer soit un dĂ©bit, soit une force surfacique f
- En contact collant, on impose un dĂ©bit sur Îe par une mĂ©thode itĂ©rative qui permet de trouver la forcesurfacique correspondant au dĂ©bit choisi.
- Pour des conditions limites de contact glissant, la vitesse sera directement imposĂ©e en Ă©crivant :v = vimp sur Îe
- Pour imposer une force surfacique f, on utilise la relation :f = sur Îe
âą Sur Îp/m, la paroi de la cavitĂ© Ă remplir :
- Il est possible dâ appliquer une condition de type Dirichlet homogĂšne, soit :v = 0 sur Îp/m
- La condition de contact glissant est imposĂ©e par : 0=n.v sur Îp/m
qui est également la condition imposée sur les plans de symétrie.
Ωm
ÎÎÎÎe
Ωa
Ωf
ÎÎÎÎf/a
ÎÎÎÎp
ÎÎÎÎm
ÎÎÎÎp/m
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
44
II.1.7.5 Conditions de surface libre et tension de surface
Il nâ y a pas de condition aux limites explicite au niveau de la surface libre Îf/a , et aucun traitementparticulier nâ est effectuĂ© Ă lâ interface vide/fluide. NĂ©anmoins, rappelons que lâ on rĂ©sout un problĂšmesur lâ ensemble du domaine (donnĂ© par ( II.58 )). De plus, le type de prolongement dans le vide choisipermet que la condition 0. =nÏ de surface libre, oĂč n reprĂ©sente la normale Ă Îf/a, soit respectĂ©e ausens faible, ce qui a Ă©tĂ© dĂ©montrĂ© dans [Pichelin, 1998].Par ailleurs, aucune contrainte nâ est appliquĂ©e Ă lâ interface entre le fluide et lâ air. La tension desurface, en particulier, nâ est pas prise en compte.
II.2 Formulation variationnelle du problĂšme de Navier-Stokes Ă©tenduOn Ă©crit la formulation faible dâ un problĂšme en effectuant le produit scalaire de celui-ci (au sens L2)par des fonctions test w et q choisies dans des espaces adĂ©quats. Dans un second temps, desintĂ©grations par partie (formule de Green), appliquĂ©es sur les domaines Ωf et Ωa, et la prise en comptedes conditions aux limites permettent dâ obtenir les formulations recherchĂ©es.
Notons ( )Ω2L lâ espace de Lebesgue des fonctions de carrĂ© sommable sur un domaine Ω de frontiĂšre
Î , et ( )Ω1H lâ espace de Sobolev, inclus dans ( )Ω2L , et dĂ©fini par :
( ) ( ) ( )
=âΩâââΩâ= 31 221 ,...,iLxv
;LvHi
Ω
Les espaces oĂč lâ on cherche la vitesse et la pression seront notĂ©s et et dĂ©finis par :
( )( ) ( )( ) ee 3131 v v, 0 ; vHvH sursur ==Ωâ=Ω= et ( )L2=
Ecrivons les formes faibles des différents problÚmes mécaniques décrits dans le paragraphe [II.1.7].Pour simplifier les expressions on se place dans des conditions limites de contact collant.
Formulation variationnelle du problĂšme dans le fluideLa formulation variationnelle du problĂšme dans le fluide est Ă©tablie Ă partir du problĂšme fort ( II.51 ),en Ă©crivant lâ accĂ©lĂ©ration en fonction de la vitesse. On obtient le problĂšme variationnel :
=ââ
+=
â+
ââ
+ââ
ââââĂâ
â«
â«â«â«
â«â«
0
2
que telsTrouver
Ω
ΩÎΩÏ
ΩΩΔΔη
Ω
ΩΩ
ΩΩ
Î
vd.q
wd.Fwd.fwd.v.vtv
d)w.(pd)w(:)v(
q,w
(v,p)
f
fef
ff
f
f
( II.56 )
Formulation variationnelle dans le vide (ou encore dans « lâair »)Le problĂšme variationnel dans Ωa, est obtenu directement Ă partir de ( II.55 ) :
( )
( )
=â+â
=ââ
ââââĂâ
â«â«â«
0
0 2
que telsTrouver
Ωα
ΩΩΔΔη
Ω
ΩΩ
dv.pq
d)w.(pd)w(:)v(
q,w
(v,p)
c
a
a
aa
( II.57 )
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
45
Formulation variationnelle Ă©tendue du problĂšme de Navier-Stokes
Finalement, on Ă©crit la formulation Ă©tendue du problĂšme de Navier-Stokes, en considĂ©rant le problĂšmesur tout le domaine Ω , Ă partir de lâ addition des Ă©quations ( II.56 ) et ( II.57 ), et en supposantconnues )t,x(
fΩ1 , et )t,x(aΩ1 au temps t :
( )
( )
=â++â
=â
âââ
+
â+
ââ+ââ
ââââĂâ
â«â«
â« â«â«
â«â«
0 11
0 11
21
12 1
: que telsTrouver
ΩαΩ
ΩÎ
ΩΔΔη
ΩÏΩΔΔη
Ω ΩΩ Ω
ΠΩ ΩΩ
Ω Ω
Ω ΩΩ Ω
dv.pqvd.q
wd.Fwd.f
d))w.(p)w(:)v((
wd.v.vtv
d)w.(p)w(:)v(
q,w (v,p)
c
a
ff
af
e ff
a
ff
( II.58 )
II.3 Résolution du problÚme de Navier-StokesDans ce paragraphe, de maniÚre à nous concentrer sur la seule résolution du problÚme de Navier-Stokes, nous nous placerons sur le domaine fΩΩ = .
II.3.1 Espaces dâ approximation en espace
Considérons le domaine Ω, discrétisé en éléments tétraédriques, et notons ( )
hhTKh
멉
=Ω K, oĂč ( )ΩhT
sa triangulation.
On utilise lâ Ă©lĂ©ment P1+/P1, encore appelĂ© mini Ă©lĂ©ment, câ est Ă dire une interpolation linĂ©aire pour lapression et la vitesse, enrichie dâ une fonction bulle en vitesse [Arnold et al, 1984] (Figure 9).
Interpolation P1+de la vitesse Interpolation P1 de la pression
Figure 9 LâĂ©lĂ©ment mixte P1+/P1
Les espaces discrets utilisés sont :
( )( ) ( )( ) ( ) hKhhhh TK,Pv,Cv/Hv âââââ= 31
30310 ΩΩΩ( ) ( ) hKhhh TK,KPp,Lp ââââ= 1
2 Ω
hB )( , lâ espace de fonction bulle, linĂ©aire sur les quatre sous-tĂ©traĂšdres iK [Coupez, 1996] tel que
( )( ) ( ) hKhihKhhhB TK,P bKb,Hb,b)(i
ââââ=â= 31
310 et sur 0 ΩΩ
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
46
et enfin hBhh )(~ â= .
Les conditions de Brezzi-Babuska [Brezzi, 1974], sont remplies pour les espaces de discrétisationschoisis, ce qui assure la convergence de la solution du problÚme discret vers la solution du problÚmecontinu.
Enfin, rappelons deux propriétés fondamentales de la fonction bulle bh [Coupez, 1996] :
,)(b,vdb:v
b
hBhhhhK
h
h
ââââ=âââ« 0 -
tiondiscrétisa la de éléments des frontiÚre lasur annules' -
Ω ( II.59 )
II.3.2 PremiĂšre approximation du problĂšme : approximation en espace du problĂšme deStokes
Dans un premier temps, Ă©crivons la discrĂ©tisation spatiale du problĂšme sous sa forme appelĂ©eproblĂšme de Stokes [Coupez et al, 1995], en contact collant. On considĂšre que les termes dâ inertiesont, soit nĂ©gligeables, soit traitĂ©s dans le second membre de ( II.56 ). Dans les deux cas, en se plaçantdans les espaces prĂ©cĂ©demment dĂ©finis, et en cherchant hhh bvv~ += tel que hBhhh )(~v~ â== , et
hhp â , le problĂšme discret sâ Ă©crit :
( )
=+ââ
=+â+
â+ââ++
ââĂâ+â
â«â«â«
â«â«
0
0
2
que telsTrouver
e
Ω
ΩÎ
ΩΩΔΔη
Ω
Ω
ΩΩ
Î
d)bv.(q
d)bw.(Fd)bw.(f
d)bw.(pd)bw(:)bv(
q,)(bw)p,,b(v
hhh
*hh
*hh
*hhh
*hhhhf
hhhBh*hhhhh
f
f
ff
( II.60 )
A partir des propriĂ©tĂ©s de la fonction bulle Ă©noncĂ©es ( II.59 ), le problĂšme ( II.60 ) peut ĂȘtre dĂ©couplĂ©sous la forme :
( ) ( )
( ) ( )
=ââââ
=ââ
+=ââ
â
â« â«
â« â« â«
â« â« â« â«
f f
f ff
f ff
db.qdv.q
db.Fdb.pdb:b
dw.Fdw.fdw.pdw:v
),q,b(w),p,b(v
hhhh
*h
*hh
*hh
hhhhhh
h*hhhhh
Ω Ω
Ω ΩΩ
Ω ΩΩ
ΩΩ
ΩΩΩΔηΔ
ΩÎΩΩΔηΔÎ
0
2
2
: que telsTrouver
e
( II.61 )
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
47
Sa forme matricielle est alors la suivante :
=
000
0
b
v
b
bpT
vpT
bpbb
vpvv
F
F
P
V
V
HH
HH
HH
( II.62 )
oĂč
bV est le vecteur contenant les composantes des vitesses aux nĆ uds internes
bbH est la matrice symĂ©trique issue de lâ expression de ( ) ( )â«Î©
Ωdbb hh*:2 ΔηΔ
bpT H est le vecteur issu de lâ expression de â« ââ
Ω
Ωdb.q *hh
En extrayant de la seconde Ă©quation de ( II.62 ) lâ Ă©galitĂ© : )PHF(HV bpbbbb â= â1 , les degrĂ©s de libertĂ©
liĂ©s Ă la bulle peuvent ĂȘtre Ă©liminĂ©s, ou « condensĂ©s ». On se ramĂšne alors Ă la forme matricielle :
=
â p
v
vpT
vpvv
F
F
P
VCH
HH( II.63 )
avec bpbbbpT H)H(HC 1â= et bbbbp
Tp F)H(HF 1â=
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
48
II.3.3 Approximation du problĂšme de Navier-Stokes
II.3.3.1 Le problĂšme variationnel discretDans un premier temps, de maniĂšre Ă introduire les termes dâ inertie, rĂ©Ă©crivons le problĂšme ( II.51 ),en utilisant une formulation Ă quatre champs :
( )
=â=â=â
=
â+
ââ+â+ââ
2
que telsTrouver
0v~ v
0v~v
0 v~.
F v.vtv
p)v~(.
p) ,v,,vv~(
ff ÏΔη( II.64 )
Etablissons la formulation variationnelle discrĂšte de ce problĂšme en utilisant les espaces discrets
h , hB )( , hBhh )(~ â= , et h , dĂ©jĂ dĂ©finis dans [II.3.1], et en introduisant, h lâ espace
« moyenne » de h dans ( )30 ΩP défini par :
( )( )
âââ=â= â« ,vTK,dvK
v/ Lv hhhK
hKhhh avec 1
32 ΩΩ
oĂč K est le volume de lâ Ă©lĂ©ment K.
On choisit hh~v~ â , hhv â , hhv â , et hhp â , en soulignant que hv correspond Ă la partie linĂ©aire
de hv~ (autrement dit hhv â ).
A partir du choix des espaces discrets, la formulation variationnelle qui découle de ( II.64 ), trÚsproche de ( II.60 ), écrite pour le problÚme de Stokes, est la suivante :
( )
=+ââ
=>+
â+
ââ
<++â+
â+ââ++
ââĂâ+â
â«
â«â«
â«â«
0
0 ,
2
que telsTrouver
Ω
ÏΩÎ
ΩΩΔΔη
Ω
Ω
ΩΩ
Î
d)bv.(q
bw v.vt
vd)bw.(Fd)bw.(f
d)bw.(pd)bw(:)bv(
q,)(bw)pv,b,(v
hhh
*hhhh
hf
*hh
*hh
*hhh
*hhhhf
hhhBh*hhhhhh
f
fe
ff
( II.65 )
avec )(D h.,. Ω>< , notĂ© ici >< .,. , le produit scalaire dans )(D hΩ (lâ espace des fonctions indĂ©finiment
dérivables ayant un support compact dans hΩ ).
Cette formulation correspond bien au problĂšme ( II.64 ), du fait que lâ on a hh v~v = et hh v~v = , dans lesens que :
0111
=â=+â=âhhh ,hh,hhh,hh vv)bv(vv~v
ΩΩΩ
dâ aprĂšs les propriĂ©tĂ©s de la bulle, et avec h,hh vv
Ω1â la norme, ou semi-norme, dĂ©finie par :
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
49
( )2
21
1/
,dff
â= â«
ΩΩ Ω
et que,
h,hh v~v Ω0â =o(h)
avec h,
. Ω0la norme )(L hΩ2 , ce qui constitue néanmoins une perte de précision.
AprĂšs dĂ©couplage, par la mĂȘme mĂ©thode que dans le paragraphe [II.3.2], le problĂšme sâ Ă©crit sous laforme :
( ) ( )
( ) ( )
=ââââ
=>
â+
ââ
<+ââ
+=>
â+
ââ
<
+ââ
ĂĂââĂĂâ
â« â«
â« â« â«
â« â«
â« â«
f f
f ff
f
f f
db.qdv.q
db.Fb v.vt
vdb.pdb:b
dw.Fdw.fw v.vt
v
dw.pdw:v
)(),q,b(w)(),p,b(v
hhhh
*h
*hhh
hf
*hh
*hh
hhhhhh
f
hhhh
hhBhh*hhhhBhhhh
Ω Ω
Ω ΩΩ
Ω
Ω Ω
ΩΩ
ΩÏΩΩΔηΔ
ΩÎÏ
ΩΩΔηΔ
Î
0
, 2
,
2
: que tels Trouver
e
( II.66 )
En écrivant dans le membre de droite du problÚme les termes connus, et en considérant
â+
ââ
= v.vt
vhh
hhγ pris au temps précédent, on obtient :
( ) ( )
( ) ( )
=ââââ
â=ââ
+=>
â+
ââ
<
+ââ
ĂĂââĂĂâ
â« â«
â« â« â« â«
â« â«
â« â«
f f
f ff f
f
f f
db.qdv.q
db.db.Fdb.pdb:b
dw.Fdw.fw v.vt
v
dw.pdw:v
)(),q,b(w)(),p,b(v
hhhh
*hhf
*h
*hh
*hh
hhhhhh
f
hhhh
hhBhh*hhhhBhhhh
Ω Ω
Ω ΩΩ Ω
Ω
Ω Ω
ΩΩ
ΩγÏΩΩΩΔηΔ
ΩÎÏ
ΩΩΔηΔ
Î
0
2
,
2
: que tels Trouver
e
( II.67 )
II.3.3.2 Traitement des termes dâadvection
On a choisi hhv â , par consĂ©quent, K
hv que lâ on notera Kv , est constant sur lâ Ă©lĂ©ment K, et sâ Ă©crit :
ââ«=
==4
1411
i
iK
KhK vdv
Kv Ω ( II.68 )
avec iKv la valeur de la vitesse aux nĆ uds i de lâ Ă©lĂ©ment K.
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
50
On dĂ©veloppe lâ expression )(Dhhh w,v.v Ω>â< en utilisant la mĂ©thode Galerkin discontinue introduite
par [Lesaint et al, 1974] et dĂ©jĂ utilisĂ©e dans les mĂ©thodes implĂ©mentĂ©es dans REM3DÂź par [Pichelin,1997], [Batkam, 2002] et [Bruchon et al, 2003]. Lâ expression obtenue est la suivante :
[ ] ( ) â â â«
â=>â<
ââ
â
K KF F
FKhh
FKh)(Dhh dn.vwvw,v.v
hÎΩ ( II.69 )
oĂč [ ]FKhv est lâ expression du saut de hv Ă travers une face F dâ un Ă©lĂ©ment ΩâK dĂ©finie par :
[ ]( )
FK
F'K
FK
h'K
FK
h nnvv'ââ
=Ω
( II.70 )
avec FKn la normale Ă F sortante par rapport Ă l âĂ©lĂ©ment K , et )F(Ω lâ ensemble des Ă©lĂ©ments qui
partagent la face F . Enfin, ( )â est lâ opĂ©rateur dĂ©signant la partie nĂ©gative de lâ expression entreparenthĂšses. En effet, de maniĂšre Ă ne pas prendre en compte plusieurs fois un Ă©lĂ©ment danslâ expression du saut de la fonction caractĂ©ristique (une face Ă©tant commune Ă deux Ă©lĂ©ments, etchacune des normales Ă une mĂȘme face Ă©tant opposĂ©es), on choisit de ne prendre en compte que le flux
nĂ©gatif ( )âFKnv~~. , câ est Ă dire le flux entrant par la face F . Ce parti pris permet de dĂ©centrer le schĂ©ma
en amont, et stabilise la formulation (Figure 10).
Figure 10 : illustration du décentrage amont du schéma
Finalement, on obtient une expression discrĂšte des termes dâ advection. Celle-ci est constante parĂ©lĂ©ment, et de la forme :
[ ] ( )â â«ââ
ââ=â
KF F
FK
FK
FKK dn.v(vv.v Î ( II.71 )
oĂč FKv est la valeur de hv sur la face F de lâ Ă©lĂ©ment K, calculĂ©e de la maniĂšre suivante :
ââ
=Fi
iK
FK vv
31
FKn
'FKn
Sens de lâ Ă©coulement
Kn
Kâ
Kâ â
0. ''>FKnv
K0. '<F
Knv
ElĂ©ment amont pris en compte dans lâ expression
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
51
II.3.3.3 Schémas temporel
La discrĂ©tisation spatiale est effectuĂ©e en utilisant un schĂ©ma implicite dâ Euler pour approcher la
dĂ©rivĂ©e partielle en temps. Avec lâ espace temps [ ] [ ]i
nn, 1t,tT0 += et tâ la longueur du pas de temps,
on Ă©crit :
tvv
tv n
hnhh
â
1ââ=
ââ
( II.72 )
On considĂšre les termes dâ advection au temps n-1, ce qui permet de linĂ©ariser le problĂšme, en Ă©crivantau temps n :
hh)(Dhnh
nh
nh
nh
hhhh ww,v.v
tvv
w,v.vt
vh
ââ>â+â
>=<â+â
â< ââ
â
멉11
1
( II.73 )
Par consĂ©quent, la formulation utilisĂ©e nâ est pas entiĂšrement implicite, et elle sera qualifiĂ©e dans lasuite de « quasi implicite ».
II.3.3.4 Ecriture matricielle du problÚme de Navier-StokesA partir de la formulation variationnelle discrÚte ( II.67 ), aprÚs condensation des degrés de liberté dela bulle [II.3.2], on obtient le systÚme linéaire symétrique en vitesse pression :
++
=
â
+
b_accp
accv
vp
vv
FF
FF
P
VCH
QMH( II.74 )
oĂč, les formes matricielles utilisĂ©es ont dĂ©jĂ Ă©tĂ© Ă©tablies pour le problĂšme matriciel de Stokes ( II.63 ),mis Ă part pour :
âą M la matrice issue de lâ expression de â«Î©
ΩÏâ
dw.vt h
nhf
1
âą accF le vecteur issu de lâ expression )(Dhnh
nhh
nhf w,v.vdw.v
t ΩΩ
ΩÏâ
>â<+ ââââ« 1111.
âą b_cbbbpT
b_acc F)H(HF 1â= , en notant b_cF lâ expression issue de la forme â« â
fdb. *
hnhfΩ
Î©ÎłÏ 1 .
Ce systĂšme nâ a pas plus dâ inconnues du fait du traitement des termes dâ inertie. La matrice C destabilisation liĂ©e Ă la fonction bulle est conservĂ©e. De plus, dans le second membre de la secondeĂ©quation matricielle de ( II.74 ), le terme b_accF , qui est liĂ© Ă lâ accĂ©lĂ©ration et aux termes issus de la
condensation de la bulle, a lui aussi un effet stabilisateur pour le problĂšme en vitesse-pression. Enfin,on ajoute un paramĂštre de stabilisation ÎČ , en Ă©crivant : ][ 12
bpbbvbT H)H(HC â= ÎČ . Par la suite, ce
paramĂštre ne sera utilisĂ© que dans un cadre restreint qui sera donnĂ©. Dâ une maniĂšre gĂ©nĂ©rale onprendra 1=ÎČ .
II.3.4 RĂ©solution du systĂšme
Dans la suite, on utilisera la mĂ©thode du rĂ©sidu conjuguĂ© pour rĂ©soudre le systĂšme, avec unprĂ©conditionnement utilisant la mĂ©thode de Cholesky incomplet dite ILU. Ces mĂ©thodes sont utilisĂ©esde maniĂšre standard dans REM3DÂź.Notons que, en plus des mĂ©thodes de rĂ©solutions dĂ©veloppĂ©es dans REM3DÂź [Marie, 1997],[Perchat,2000], il est possible dâ utiliser les options de la librairie PETSC(Portable, Extensible Toolkit for
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
52
Scientific Computation). Les mĂ©thodes usuelles de rĂ©solution sont optimisĂ©es et ainsi disponibles dansle logiciel. De mĂȘme, PETSC se charge de lâ assemblage, du prĂ©conditionnement, ainsi que du stokagede la matrice.
II.3.5 Cas test de validation : la cavité entraßnée [Ghia et al, 1982]
II.3.5.1 IntroductionLe cas test que nous allons Ă©tudier dans ce paragraphe est trĂšs couramment utilisĂ© dans la littĂ©raturepour valider et Ă©valuer les mĂ©thodes de rĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes ([Ghia et al, 1982],[Takafumi Makihara, 1999], [Germond et al, 1996], [Kazemzadeh et al, 1994]). Il nâ existe pas desolution analytique Ă ce problĂšme, et la solution de rĂ©fĂ©rence utilisĂ©e, est une solution obtenue par unemĂ©thode multigrille implicite basĂ©e sur une formulation en fonction de courant et vortex [Ghia et al,1982]. Cette rĂ©fĂ©rence fournit des solutions pour des nombres de Reynolds allant jusquâ Ă 104 sur desgrilles (129Ă 129) et (257Ă 257). Les rĂ©sultats fournis par la suite sont ceux obtenus sur la grille(129Ă 129), jugĂ©s suffisamment prĂ©cis par les auteurs.
On considĂšre une cavitĂ© carrĂ©e en 2 dimensions, remplie de fluide. On applique une vitesse constantesur le plan supĂ©rieur de la cavitĂ©, en cisaillement, dans la direction (Ox). La vitesse est nulle sur lesautres parois de la cavitĂ© (Figure 11). On Ă©tudie lâ Ă©coulement aprĂšs quâ il ait atteint un Ă©tat stationnaire.
Figure 11 : description du cas test de la cavité entraßnée
Notre logiciel étant destiné aux calculs 3D, la dimension 2 a été modélisée en introduisant deux plansde symétrie dans la direction (Oz).
Rappelons que lâ influence des termes dâ inertie sur les termes de diffusion est caractĂ©risĂ© par le nombre
adimensionnel de Reynolds tel que : η
ÏULRe = , dĂ©fini Ă partir de la viscositĂ© dynamique η , et de la
masse volumique Ï du fluide, ainsi que dâ une longueur L, et dâ une vitesse U caractĂ©ristiques delâ Ă©coulement.
Les donnĂ©es, qui seront invariantes selon les simulations effectuĂ©es sont :][kg.m 1 [m], 1 ][m.s 1 3-1 â=== ÏL,U
Les différentes valeurs du nombre de Reynolds seront obtenues en faisant varier la viscositédynamique η .
Enfin, on considĂšre que lâ Ă©tat stationnaire est atteint lorsque la variation de la vitesse entre deuxincrĂ©ments de temps atteint une valeur minimale donnĂ©e : ][m.s10 15 ââ<vâ .
x
L
L
Vx=1Vy=0
y
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I.1.1.1 RĂ©sultats qualitatifs sur la prise en compte entiĂšrement explicite des termesdâinertie pour un nombre de Reynolds de 100
Pour capter les phénomÚnes qui se déroulent dans les angles de la cavité, et éviter les perturbationsdues au point singulier en vitesse et en pression situé en haut à gauche, on utilise un maillage raffinélocalement (Figure 12).
Figure 12 : Le maillage
De maniĂšre Ă effectuer une comparaison avec les rĂ©sultats de rĂ©fĂ©rence, on a tracĂ© les lignes de courantissues de notre simulation Ă lâ aide du logiciel Glview© (Figure 13 Ă gauche).
Figure 13 : comparaison des lignes de courants pour Re=100
Notre premiĂšre observation, est que lâ allure des lignes de courant obtenue est proche du cas derĂ©fĂ©rence (Figure 13 Ă droite), mais non identique. On observe nĂ©anmoins les effets dus Ă la prise encompte de lâ inertie, tels que le dĂ©calage vers la droite de la recirculation principale, et le resserrementdes lignes de courant au voisinage des zones fortement cisaillĂ©es. Enfin, des recirculations, bien quetrop petites, apparaissent dans les angles infĂ©rieurs de la cavitĂ©, la plus petite se trouvant bien dansl'angle gauche.
Rem3DÂź -termes dâinertie explicites Ghia et al
Nombre de nĆ uds : 9448Nombre d'Ă©lĂ©ments : 46081
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I.1.1.2 RĂ©sultats avec introduction des termes dâinertie en utilisant le schĂ©ma dâEulerquasi implicite
II.3.5.1.1 Etude pour un nombre de Reynolds de 100Dans un premier temps, on étudie un écoulement ayant un nombre de Reynolds de 100 en faisantvarier la finesse du maillage (Figure 14). On nommera 100*100, 50*50, 20*20, 16*16 et 10*10 lesmaillages réguliers présentant respectivement 100, 50, 20, 16 et 10 points sur les cÎtés.
Figure 14: les différents maillages utilisés
Les Figure 15 et Figure 16 sont le tracĂ© des vitesses sur lâ axe mĂ©dian de la cavitĂ© : lâ axe vertical pourles vitesses en Ox (Figure 15) et lâ axe horizontal pour les vitesses en Oy (Figure 16).Pour un maillage 100*100 (la courbe continue orange), les vitesses obtenues sont les mĂȘmes que cellesdu cas de rĂ©fĂ©rence (les ronds). Ce rĂ©sultat montre la bonne prise en compte des termes dâ inertie parnotre mĂ©thode, pour un nombre de Reynolds oĂč ceux-ci ne sont pas nĂ©gligeables.Dâ autre part, le tracĂ© des diffĂ©rentes courbes, qui correspondent Ă des tailles de maille diffĂ©rentes,illustre lâ influence du maillage sur les rĂ©sultats. Il permet dâ observer la vitesse de convergence deceux-ci vers la solution lorsquâ on divise la taille de maille.
Figure 15 : Vitesses Vx sur lâ axe mĂ©dian Ox pour diffĂ©rentes tailles de maille â Re=100
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
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Figure 16 : Vitesses Vy sur lâ axe mĂ©dian Ox pour diffĂ©rents maillages â Re=100
Pour donner une meilleure idĂ©e de lâ influence du maillage sur les rĂ©sultats obtenus, traçons, Figure 18,la diffĂ©rence aux nĆ uds des vitesses obtenues sur les axes mĂ©dians avec celles de la solution derĂ©fĂ©rence. Il ne sâ agit pas de calculer lâ ordre de la mĂ©thode, mais de donner une idĂ©e de la convergencede notre schĂ©ma en fonction de la taille de maille h. On trace :
2
â= â
âAnoe
simui
Ghiai uu)h(D ( II.75)
Avec A lâ ensemble des nĆ uds de lâ axe mĂ©dianGhiaiu la vitesse au nĆ ud i obtenue par Ghiasimuiu la vitesse au nĆ ud i obtenue par notre simulation
Cette courbe retranscrit une amĂ©lioration trĂšs nette des rĂ©sultats en fonction de la diminution de lataille de maille du maillage. Cette amĂ©lioration semble quadratique dâ aprĂšs la courbe de tendance quenous avons tracĂ©e Ă lâ aide du logiciel Excel (Figure 17). Rappelons quâ avant introduction des termesdâ inertie, la mĂ©thode de rĂ©solution du problĂšme de Stokes en espace Ă©tait dâ ordre 2 (pour une normeL2). Par consĂ©quent, mĂȘme si le rĂ©sultat que nous donnons ici nâ est pas exactement lâ ordre de lamĂ©thode, il permet de vĂ©rifier que celui-ci nâ est pas dĂ©gradĂ© de maniĂšre notable par le traitement destermes dâ inertie.
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Figure 17 : Ă©volution de la norme l2 de lâ erreur avec la taille de maille
Pour conclure cette sous partie, traçons les vecteurs vitesse pour chacun des maillages utilisés (Figure18). On observe que les recirculations aux angles inférieurs de la cavité ne sont « captées » que pourles maillages les plus fins. Cette « disparition » correspond à une dégradation des résultats observables(Figure 15 et Figure 16).
Figure 18 : Vecteurs vitesses, tronqués de façon identiques pour les tailles de maille :0,1;0,0625;0,05;0,02;0,01
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II.3.5.1.2 Etude pour des nombres de Reynolds allant jusquâ Ă 1000Augmentons Ă prĂ©sent le nombre de Reynolds de lâ Ă©coulement jusquâ Ă un nombre de 1000. LesrĂ©sultats regroupĂ©s Figure 19 permettent dâ observer les vitesses sur les axes mĂ©dians (dans les mĂȘmesconditions que prĂ©cĂ©demment) pour des nombres de Reynolds croissants, et pour deux maillagesdiffĂ©rents. On constate, au fur et Ă mesure que le nombre de Reynolds augmente, que lâ Ă©cart entre lescourbes pointillĂ©es et continues (pour des tailles de maille deux fois plus petites) augmente. Cecitraduit le fait que notre calcul converge vers la solution de rĂ©fĂ©rence, mais aussi que la taille de maillechoisie est de moins en moins adaptĂ©e Ă lâ Ă©coulement Ă©tudiĂ©.On remarque que les courbes obtenues par notre calcul sont en trĂšs bon accord avec les rĂ©sultats du castest dans la partie centrale de la cavitĂ©. Câ est au niveau des bords de la cavitĂ©, câ est Ă dire dans la priseen compte des couches limites illustrĂ©es par la Figure 20 la Figure 21, que notre calcul sous Ă©value lesvitesses obtenues. NĂ©anmoins ,la forme des courbes que nous obtenons reste satisfaisante. On peutlĂ©gitimement penser que lâ utilisation dâ un maillage plus fin nous permettrait dâ obtenir des rĂ©sultatsbeaucoup plus proches du cas de rĂ©fĂ©rence.
Re=100
Re= 400
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Re=1000
Figure 19 : Vitesses Vz aux nĆuds sur la mĂ©diane Oz, et vitesse Vx sur la mĂ©diane Ox
Figure 20 : forme des isosurfaces des vitesses Vx pour les Reynolds 100,400,1000, 3200,10000
Figure 21 : forme des isosurfaces des vitesses Vz pour les Reynolds 100,400,1000, 3200,10000
En plus des vitesses, lâ article de Ghia et al donne le tracĂ© des lignes de courant en insistant sur lecentrage des recirculations observĂ©es. De façon gĂ©nĂ©rale, lorsque le nombre de Reynolds augmente, lecentre de la recirculation principale se « dĂ©place » vers le centre de la cavitĂ©, et les recirculationssecondaires sâ Ă©crasent en se resserrant sur les recirculations centrales.
Afin de comparer la taille des recirculations obtenues, ainsi que leur centrage, pour des Re allant de100 à 1000 (Figure 22), on superpose par transparence les lignes de courant issues de notre calcul(tracées par GlviewŸ) avec les courbes fournies par Ghia (Figure 22).
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
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Re=100 Re=400 Re=1000
Figure 22 : comparison des lignes de courants du cas test [Ghia et al, 1984], avec Rem3DÂź
par superposition
Pour un Re=100, on observe la parfaite correspondance de nos résultas avec le cas test, que ce soit surle centrage, ou la taille des recirculations. Pour un Re de 400, la forme des lignes de courant et la tailledes recirculations est toujours en adéquation, mais le centrage de ces derniÚres est légÚrement décaléen ce qui concerne les recirculations centrales, ainsi que dans le coin inférieur droit. Cette déviation estencore plus marquée pour un nombre de Re de 1000. Dans ce dernier cas, la taille de la recirculationinférieure gauche est plus petite que celle attendue. Ces observations sont en accord avec les résultatsobtenus pour les vitesses.
II.3.5.2 Robustesse de la mĂ©thodePour finir, on observe les Ă©coulements obtenus pour les nombres de Reynolds de 3200 et 104. On saitque 104 est le nombre de Reynolds critique pour lâ Ă©coulement Ă©tudiĂ©, et quâ au delĂ , lâ Ă©coulementdevient pĂ©riodique (et donc non stationnaire) [Ghia et al, 1984]. Pour atteindre ces nombres deReynolds, on a utilisĂ© le paramĂštre ÎČ introduit dans [II.3.3.4 ], en prenant comme valeur 50=ÎČ .
Re=3200 (Rem3DÂź - Ghia et al) Re=10000 (Rem3DÂź - Ghia et al)
Figure 23 : confrontation de la forme des lignes de courant Rem3DÂź et Ghia.
Observons les lignes de courant prĂ©sentĂ©es dans la Figure 23. Il est intĂ©ressant de constater que mĂȘmesi les Ă©coulements obtenus ne sont plus quantativement comparables Ă la rĂ©fĂ©rence, ils en sont encoreproche. La recirculation principale est bien de plus en plus centrĂ©e par rapport Ă la cavitĂ©. De plus, unetroisiĂšme recirculation apparaĂźt en haut Ă gauche de la cavitĂ© pour un nombre de Reynolds de 3200, etpour un Re=10000, une seconde recirculation apparaĂźt dans le coin en bas Ă droite.
II.3.5.3 ConclusionLâ Ă©tude de ce cas test nous permet de valider la prise en compte des termes dâ inertie Ă lâ aide desmĂ©thodes de rĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes introduites dans Rem3DÂź. Nous avons montrĂ©
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60
la robustesse des mĂ©thodes implĂ©mentĂ©es, ainsi que la bonne prise en compte des effets de lâ inertie surlâ Ă©coulement. Il est raisonnable de fixer Ă Re=1000 la limite de validitĂ© de notre schĂ©ma. Au-delĂ dece nombre, lâ utilisation dâ un paramĂštre de stabilisation devient nĂ©cessaire. Enfin, la nĂ©cessitĂ© dâ utiliserdes maillages relativement fins apparaĂźt pour obtenir des rĂ©sultats entiĂšrement satisfaisants.
II.4 Ajout du suivi de la surface libre au problĂšme de Navier Stokes
II.4.1 RĂ©solution de lâ Ă©quation de transport de la fonction de prĂ©sence
Comme nous lâ avons prĂ©cĂ©demment Ă©voquĂ©, Ă un instant de temps donnĂ©, le domaine fluide est dĂ©finipar une fonction caractĂ©ristique ( )tx
f,1 Ω . Lâ Ă©volution du domaine au cours du temps est calculĂ© par
la rĂ©solution de lâ Ă©quation de transport portant sur fΩ1 :
( ) [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) 0111
0 que tel1Trouver
=â+â
â=
Ăââ
t,x.t,xvt,xt
t,xdt
d
T,)t,x(t,x
f
ff
f
ΩΩΩ
Ω Ω( II.4 )
Dans ce chapitre, nous donnons le principe du traitement de cette Ă©quation de transport, qui a Ă©tĂ© dĂ©critplus prĂ©cisĂ©ment dans [Bruchon et al 2003]. La mĂ©thode utilisĂ©e, est une mĂ©thode dâ Ă©lĂ©ments finis enespace-temps, qui sâ appuie sur un maillage structurĂ© en temps (Figure 24). On se place dans ledomaine spatio-temporel ] [T,0
~ ĂΩ=Ω oĂč T reprĂ©sente la durĂ©e du processus. On appelle hΩ~ la
discrétisation de ce domaine, telle que Kh~~
=Ω .
Figure 24 : maillage spatio-temporel hΩ~ de dimension 3
Rappelons que ( )
hhTKh
멉
=Ω K, oĂč ( )ΩhT est la triangulation du domaine Ω . De plus, on dĂ©finit la
discrétisation du temps : [ ]T,0 N
iiI
1=
= , avec [ ]1, += iii ttI , [ ][ ]Ni ,0â . Et la relation dâ ordre suivante :
Niii ttttt <<<< +â 110 , avec Ttt N == et 00 .
Le problĂšme de lâ Ă©volution du domaine fluide au cours du temps est le suivant :( ) [ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) [ ]
ââââ=
ââ=
=â+â
â=
Ăââ
T,t,.t,x
,0x
t,x.t,xvt,xt
t,xdt
d
T,)t,x(t,x
ef
f
f
ff
f
0 x 11
x 11
0111
0 que tel1Trouver
0
Î
Ω
Ω
Ω
Ω
ΩΩΩ
Ω
( II.76 )
ti+1
ti
t
y
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
61
On Ă©crit lâ opĂ©rateur gradient, que lâ on notera â~ , et la vitesse, notĂ©e v~ , dans Ω~ . Dans notre Ă©tude, onaura en dimension 4 :
âââ
=â
=
t
vv
~et
1~ ( II.77 )
Lâ Ă©quation de ( II.76 ) devient :
( ) 01~
.~~1=â= Ω
Ω
f
f vxdt
d( II.78 )
Plaçons-nous dans lâ espace hΩ~ . La forme discrĂšte ( )txhf
,1Ω de la fonction caractĂ©ristique sera notĂ©eh1 . Lâ espace dâ approximation choisi dans hΩ~ pour lâ approcher est le suivant :
( ) ( )
Ă=âĂâΩâ=Ω
~, ,
~ 0~
2,0ii
qK
q IKK)(IP(K)PfLfP
oĂč
( )KP 0 est lâ ensemble des polynĂŽme de degrĂ© 0 sur chaque Ă©lĂ©ment K de hΩ ,
et )(IP q est lâ ensemble des polynĂŽmes de degrĂ© q sur I, sâ annulant au temps it , de base :
[ ][ ] ij
ij It , 0,qjttt ââââ= et avec , )()(Ï ( II.79 )
On construit qh P ,01 â , polynomiale par morceaux : polynĂŽme constant en espace, et de degrĂ© q en
temps. Sur chaque K~
de Ω~ on aura :
â=
â=q
p
pi
pK
hK tt
0
~~ )(11 ( II.80 )
Les pK~1 sont les q+1 inconnues du problĂšme sur lâ Ă©lĂ©ment espace-temps K
~.
En supposant que la vitesse v est continue sur hΩ~ , la forme faible du problÚme ( II.76 ) est donnée au
sens des distributions par la formule suivante, en appelant )~
(ΩD lâ espace des fonctions infiniment
dérivables ayant un support compact dans Ω~ on peut écrire sous la forme :
[ ] ( )
0.1~
.1,1~
.
)~
(
~ ~~ ~ ~ ~
~~
~
~~ =
Ωâ+Îâ=â
Ωââ
â â â« ââ«ââ
â
ΩK KF F
h
K K
FK
F
Khh dvdnvv
D
ÏÏÏ
Ï
( II.81 )
avec ( )â lâ opĂ©rateur dĂ©signant la partie nĂ©gative de lâ expression entre parenthĂšses, oĂč FKn~~ est la
normale Ă F~
sortante par rapport Ă l âĂ©lĂ©ment K~
, et )~
(~
FΩ l â ensemble des Ă©lĂ©ments qui partagent la
face F~
. On rappelle lâ expression du saut de h1 Ă travers une face F~
dâ un Ă©lĂ©ment Ωâ ~~K :
[ ]( )
FK
FK
FK
hK
FK
h nn~~
~
'~
~~~'
~
~~
'
11 âΩâ
=
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
62
Enfin, on gĂ©nĂ©ral, on se place dans lâ espace ( )Ω~1,0P , câ est Ă dire que lâ on cherche une solutionconstante en espace, et linĂ©aire en temps. Cela nous amĂšne Ă rĂ©soudre le systĂšme linĂ©aire de dimension2 sur K
~:
[ ][ ]
( )
0 1
).(111
11
11
1
: que tels1,0 ,1et , 1Trouver
1
01~0
~)(~~
1
0
111
~0~0
1~
0~
=â
Îâ++
â+
+
ââ
â
â«ââ
=â
â
ââ=
+++
â
p
pi
pKr
F
FK
KF
pFK
pK
p
rpir
KKr
KK
I
dnvrp
I
KI
r
r
ÎŽ
ÎŽ ( II.82 )
Avec)sinon si (Kronecker de usuel symbole le 0 00,r1 0r0rr ===ÎŽ
Ii lâ intervalle courant, Ii-1- lâ intervalle prĂ©cĂ©dent
I intervallel' de taillela désigne I
K est le volume de lâ Ă©lĂ©ment spatial K.
II.4.2 Le module dâ adaptation de maillage
Dans le paragraphe précédent, nous avons décrit la méthode de transport de la fonction de présence dufluide ),(1 tx
fΩ dans [ ]T,0ĂΩ . On a vu comment la position du fluide est dĂ©terminĂ©e de maniĂšre
explicite, Ă chaque instant t, et en tout point de lâ espace x, par la fonction de prĂ©sence ),(1 txfΩ . Au
contraire, le front de matiĂšre, qui correspond Ă la surface libre du fluide, ou encore Ă lâ interface entrelâ air et le fluide Îf/a, nâ est connu quâ implicitement. En gĂ©nĂ©ral, on le situe autour de la valeur
21
),(1 =Ω txf
.-
La prĂ©sence de diffusion numĂ©rique est lâ inconvĂ©nient majeur dans lâ utilisation dâ une formulationeulĂ©rienne : il est possible que la valeur de la fonction caractĂ©ristique soit entre 0 et 1 sur plusieursĂ©lĂ©ments. Cet Ă©talement des valeurs, sâ il est trop important, entraĂźne une imprĂ©cision sur la position dufront de matiĂšre, et peut empĂȘcher de simuler correctement des phĂ©nomĂšnes comme les ressoudures oule contact matiĂšre-matiĂšre.
De maniĂšre Ă rĂ©duire la diffusion liĂ©e Ă la rĂ©solution du problĂšme de transport de la fonctioncaractĂ©ristique dans une approche eulĂ©rienne, une mĂ©thode dâ adaptation de maillage a Ă©tĂ© introduitedans REM3DÂź par Erwan Bigot [Bigot, 2001]. Elle appartient Ă la classe des mĂ©thodes de r-adaptation : ces mĂ©thodes dĂ©placent les nĆ uds de maillage Ă topologie fixe. Plus prĂ©cisĂ©ment, lamĂ©thode implĂ©mentĂ©e par Erwan Bigot utilise un algorithme de barycentrage pondĂ©rĂ© qui dĂ©rive desmĂ©thodes de rĂ©gulation de maillage utilisant lâ opĂ©rateur laplacien.
La stratĂ©gie dâ adaptation de maillage mise en place dans REM3DÂź est de partir de la position implicitedu front de matiĂšre, puis de resserrer les nĆ uds du maillage au voisinage de celle-ci.
II.4.2.1 Description de la mĂ©thodeDans ce chapitre, on notera T la topologie du maillage M, et X lâ ensemble des coordonnĂ©es de M.
Par la rĂ©solution de lâ Ă©quation transport, on a dĂ©terminĂ© 1K la valeur de la fonction approchĂ©e de lafonction caractĂ©ristique sur chaque Ă©lĂ©ment spatial K. Lorsquâ on se place Ă t fixĂ©, lâ expression delâ erreur de projection commise est donnĂ©e par :
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
63
21
)(,01)11(11
â=â= â
ΩâΩΩ
h
ff
TK
KK
K
h KE ( II.83)
oĂč K est le volume de lâ Ă©lĂ©ment K.
Si h1 est solution du problĂšme de transport discret, alors E est un indicateur dâ erreur.
Rappelons que K1 est la projection de la fonction caractéristique sur un élément. On a :
K
K fKΩ
=
1 . Cette valeur peut-ĂȘtre vue comme le volume de la fraction du fluide sur chaque
élément spatial [Pichelin, 1998].
Soit KE KKK 1)11( â= . De maniĂšre Ă rĂ©duire lâ erreur dâ interpolation, on rĂ©duit le volume des
Ă©lĂ©ments dont le volume contribue Ă lâ erreur dâ interpolation. On a 0=KE lorsque 0ou 11 =K , la
valeur maximale KE est atteinte pour 21
1 =K . Par conséquent, on réduit le volume des éléments
traversĂ©s par lâ interface, tout en conservant la connectivitĂ© du maillage.
Figure 25 : [Bigot, 2001] Illustration de la méthode, Maillage initial, volumes visés, maillagefinal.
Notons f
1(1 ΩΩ Π= )hhf
M la projection de la fonction caractéristique sur le maillage. On va chercher
Xâ, lâ ensemble des coordonnĂ©es solution du problĂšme de minimisation suivant :
fff
hhmin ΩΩΩΩ âÎ =âÎ 1)1,'()11)((
: que telTrouver
fTXTX,
X'
X
( II.84 )
Pour trouver Xâ on utilise une technique de rĂ©gulation par barycentrage pondĂ©rĂ©. Cette mĂ©thodeconsiste Ă placer chaque nĆ ud au barycentre des positions de ses voisins, en affectant des poids Ă chaque nĆ ud du maillage, choisis de maniĂšre Ă attirer les nĆ uds dans les zones oĂč lâ erreur est la plusimportante (Figure 25).
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
64
barycentrage Barycentrage pondéré
Figure 26: barycentrage [Bigot, 2001]
On ne rentrera pas ici dans les détails des calculs, mais soulignons que le choix de la pondérationconstitue le pilotage de la méthode.
Pour conclure, il est important de noter que la mĂ©thode implĂ©mentĂ©e par Erwan Bigot ne sâ appliquepas sur les parois du moule, exceptĂ© sur les plans de symĂ©trie. Nous verrons par la suite que cet Ă©tat defait devient pĂ©nalisant lorsquâ on impose des conditions limites de contact glissant Ă la paroi.
II.4.2.2 Prise en compte de la vitesse de maillageLes techniques rapidement abordĂ©es dans le paragraphe prĂ©cĂ©dent permettent dâ obtenir le vecteur dedĂ©placement des nĆ uds du maillage. Celui-ci est calculĂ© Ă chaque pas de temps de la rĂ©solution delâ Ă©quation de transport de la fonction caractĂ©ristique. Lorsquâ on rĂ©sout lâ Ă©quation de transport dâ unchamp, celle-ci doit tenir compte du dĂ©placement du maillage. La vitesse de transport du champ v, doitĂȘtre retranchĂ©e de la vitesse du maillage vmay en chaque nĆ ud. On introduit la vitesse de maillage danslâ expression de lâ accĂ©lĂ©ration de la mĂȘme façon.
( ) v.vvtv
may ââ+ââ=Îł ( II.85 )
Pour conclure ce chapitre, il est intĂ©ressant dâ ajouter que lâ introduction de lâ adaptation de maillagegĂ©nĂ©ralise lâ approche eulĂ©rienne de REM3DÂź en ALE (Arbitrary Lagrangian Eulerian). Il sâ agit dâ unemĂ©thode Ă maillage mobile qui sera dite EulĂ©rienne adaptative.
II.5 Remarques prĂ©alables et dĂ©marche pour lâĂ©tude dâĂ©coulements Ă haut ReynoldsDans le cadre de notre Ă©tude, les nombres de Reynolds rencontrĂ©s sont trĂšs Ă©levĂ©s, et en gĂ©nĂ©ral, bienplus importants que 1000. La stratĂ©gie qui sera adoptĂ©e pour pouvoir Ă©tudier ce type dâ Ă©coulement, estde prendre en compte une viscositĂ© supĂ©rieure Ă la viscositĂ© rĂ©elle du fluide. Cette dĂ©marche sâ appuiesur le fait que lorsquâ on diminue les effets de la paroi sur lâ Ă©coulement (utilisation de symĂ©tries, ou decondition de contact glissant), les Ă©coulement simulĂ©s sâ approchent de la rĂ©alitĂ©, sans que la viscositĂ©numĂ©rique utilisĂ©e soit nĂ©cessairement aussi faible que dans la rĂ©alitĂ©. Physiquement, il sâ agit denĂ©gliger la couche limite collante. Par exemple, si on considĂšre un contact glissant parfait, il nâ y a pasde dissipation dâ Ă©nergie Ă la paroi, et on pourra obtenir des vitesses dâ Ă©coulement rĂ©alistes sans avoir Ă rĂ©duire la viscositĂ© au delĂ dâ une certaine valeur.On peut Ă©galement voir lâ augmentation de la viscositĂ© que nous venons dâ introduire comme la prise encompte (trĂšs simplifiĂ©e) dâ une viscositĂ© turbulente. En effet, lorsquâ on rĂ©sout les Ă©quations de Navier-Stokes de maniĂšre directe, les petites Ă©chelles de lâ Ă©coulement ne sont pas captĂ©es, alors que cesĂ©chelles ont pour effet dâ augmenter la viscositĂ© de lâ Ă©coulement (pour les hauts Reynolds).
Cette démarche sera validée par son utilisation dans la suite de notre étude. Par abus de langage, nousdénommerons « viscosité numérique » la viscosité plus élevée, prise en compte dans la simulation, à laplace de la viscosité réelle.
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
65
II.6 Cas tests de validation de la résolution du problÚme de Navier-Stokes instationnaireavec suivi de la surface libre
II.6.1 Le jet de M.Schmid and F.Klein
II.6.1.1 Comparaison avec lâexpĂ©rienceLe cas test que nous prĂ©sentons ici, est le cas du remplissage Ă forte pression dâ une plaque posĂ©e Ă plat(Figure 28). Ce type de remplissage est courant en fonderie. Le fluide considĂ©rĂ© a les propriĂ©tĂ©sphysiques de lâ eau, et est injectĂ© Ă dĂ©bit constant : Ă une vitesse de 8,6[m/s]. Le canal dâ alimentation aune largeur de 0,045[m], la longueur de la plaque est de 0,15[m] sa largeur de 0,1[m], et son Ă©paisseur
de 0,002[m]. On choisit un pas de temps de [s]105 5âĂ , ce qui nous permet de capter une Ă©chelle de
longueur de [m]1043010568 35 ââ Ă=ĂĂ=Ă= ,,dtUdl . Notons que la taille du plus petit Ă©lĂ©ment dumaillage est de lâ ordre du millimĂštre. Rappelons lâ expression du nombre de Reynolds dâ un
écoulement : itécosvis
ULRe
inertie==η
Ï. Le nombre de Reynolds estimĂ© pour cette expĂ©rience par
[Schmid et al, 1995] est de 610291 Ă, , avec 0,15[m]Let 106 === 8,6U;Î·Ï . Un tel nombre de
Reynolds implique un Ă©coulement turbulent, or notre modĂšle ne nous permet pas dâ atteindre laturbulence. On suit la stratĂ©gie introduite en [ II.5 ] qui consiste Ă prendre en compte une viscositĂ©numĂ©rique supĂ©rieure Ă la viscositĂ© du fluide. On choisit comme donnĂ©e pour notre simulation :
200=ηÏ
, la viscositĂ© dynamique prise Ă la place de celle de lâ eau Ă©tant de 5 [Pa.s] (au lieu de 10-3
[Pa.s]). Des conditions de symétrie sont imposées sur tous les plans droits de la piÚce.
Figure 27 : comparatif entre l'expérience et lasimulation, remplissage en forte pression.
Figure 28 : Description delâ expĂ©rience : vue du dessus
Comparons lâ Ă©coulement rĂ©el (Figure 27 au centre), et lâ Ă©coulement simulĂ© avec Rem3DÂź(Figure 27 ).De maniĂšre Ă visionner lâ importance de la diffusion numĂ©rique, on a reprĂ©sentĂ© les isovaleurs de lafonction caractĂ©ristique Ă lâ aide de trois couleurs. La partie bleue clair reprĂ©sente les valeurs de plus de0,6 Ă 1, et la partie bleue foncĂ©e, la partie dâ incertitude entre 0,6 et 0,4, ce qui est une margerelativement importante. De plus, lâ image Figure 29, permet de visionner lâ ensemble des isovaleurs dela fonction caractĂ©ristique du fluide, Ă un temps donnĂ©. Elle montre que la zone de diffusion est peuĂ©tendue Ă cet instant du remplissage. Elle est nĂ©anmoins plus importante dans les zones oĂč lâ adaptation
injection
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
66
de maillage nâ est pas utilisĂ©e (ici le plan infĂ©rieur). Dâ une maniĂšre gĂ©nĂ©rale, on constate que ladiffusion numĂ©rique est assez faible, ce qui est obtenu grĂące au module dâ adaptation de maillage. Maissurtout, on obtient une forme dâ Ă©coulement trĂšs proche de la rĂ©alitĂ©, aux mĂȘmes temps(Ă 5ms prĂšs).On peut cependant noter que le fluide reste collĂ© Ă la paroi, bien que cela ne perturbe pas ledĂ©roulement du remplissage. Notamment la description du jet en entrĂ©e et correcte tout au long de cedernier.
Figure 29 : Ensemble des isovaleurs de la fonctions carctĂ©ristique â t=33,6 [ms]
II.6.1.2 Illustration de lâinfluence de lâadaptation de maillageLes Figure 30 et la Figure 31 illustrent lâ influence de lâ adaptation de maillage sur la prĂ©cision desrĂ©sultats obtenus. On utilise les mĂȘmes donnĂ©es que prĂ©cĂ©demment pour la simulation. Deux maillagesuniformes sont utilisĂ©s, le premier relativement fin, Figure 30 et le second trĂšs grossier Figure 31.Avec chacun de ces maillages, on procĂšde Ă deux simulations, la premiĂšre avec, et la seconde sansadaptation de maillage. Notons que lâ utilisation du module dâ adaptation de maillage entraĂźne unelĂ©gĂšre augmentation du temps de calcul. Celle-ci est infĂ©rieure Ă 10% du temps de calcul total.On a placĂ© entre les deux rĂ©sultats obtenus pour chacun des maillages, les photographies tirĂ©es delâ expĂ©rience de M.Schmid et F.Klein. La reprĂ©sentation des iso surfaces de la fonction caractĂ©ristiquea Ă©tĂ© tronquĂ©e de la mĂȘme maniĂšre que prĂ©cĂ©demment.On observe que lorsque le maillage est fin, Figure 30, lâ utilisation de lâ adaptation de maillage (Ă droite), permet de rĂ©duire lâ imprĂ©cision due Ă la formulation de maniĂšre notable. Toutefois, lesrĂ©sultats obtenus, avec et sans adaptation de maillage, sont tous les deux proches de lâ expĂ©rience. Parcontre, la Figure 31 montre clairement que pour un mĂȘme maillage grossier, les rĂ©sultats obtenus enutilisant lâ adaptation de maillage, bien quâ imprĂ©cis, restent proches de la rĂ©alitĂ©, ce qui nâ est pas dutout le cas sans adaptation.
Zone de diffusionnumĂ©rique; due au faitque le maillage nâ estpas adaptĂ© sur lafrontiĂšre infĂ©rieure
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
67
Figure 30 Figure 31
Influence de lâ adaptation de maillage
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
68
II.6.1.3 ConclusionsCe cas test nous permet de valider la rĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes avec suivi de la surfacelibre dans un cas extrĂȘme. Lâ obtention dâ Ă©coulements rĂ©alistes constitue Ă©galement une premiĂšrevalidation de la dĂ©marche qui est de prendre en compte une viscositĂ© « numĂ©rique » plus Ă©levĂ©e que laviscositĂ© « rĂ©elle ». De plus, nous avons soulignĂ© lâ efficacitĂ© de la mĂ©thode dâ adaptation de maillagequi permet notamment dâ utiliser des maillages plus grossiers.
II.6.2 Lâ Ă©croulement du barrage
II.6.2.1 Etude de lâĂ©croulement dâune colonne dâeau sur un plan horizontal rigide :Ă©tude de la surface libre - J.C. Martin and W. J. Moyce.
II.6.2.1.1 Introduction et description de lâ expĂ©rienceLes rĂ©sultats de cette expĂ©rience sont trĂšs souvent utilisĂ©s pour valider les modĂšles dâ Ă©tude desĂ©coulements instationnaires trĂšs peu visqueux Ă surface libre. La gĂ©omĂ©trie du test permet la validationdes modĂšles en 2D, mais Ă©tant rĂ©ellement 3D, elle nous permettra de tester les deux cas de figure :approche 2D et 3D. Nous ne citerons pas ici les nombreuses rĂ©fĂ©rences aux rĂ©sultats de cetteexpĂ©rience, en choisissant de nous reporter directement aux donnĂ©es source [Martin et Moyce, 1952].On considĂšre une colonne dâ eau au repos, retenue par une membrane de papier cirĂ© (impermĂ©able)extrĂȘmement fin, dans un rĂ©servoir parallĂ©lĂ©pipĂ©dique en matiĂšre plastique transparente (Figure 32).Cette membrane est maintenue par un film de cire Ă une bande mĂ©tallique du rĂ©servoir. Elle est libĂ©rĂ©eau moyen dâ un courant Ă©lectrique de haute intensitĂ© : lorsque le courant circule, la cire fond, et lacolonne sâ Ă©croule dans un canal dâ Altuglas. Le milieu ambiant est de lâ air.
DonnĂ©es physiques des matĂ©riaux :LâEAU
[Pa.s] 10 3â=η][kg.m10 -3 3=Ï].s[m 10 126 ââ=Îœ
LâAIR
[Pa.s] 10 5â=η][kg.m 1 -3=Ï
].s[m 10 125 ââ=Îœ
Figure 32 : plan expérimental [Martin et Moyce,1952]
Le mouvement du fluide est enregistrĂ© Ă lâ aide dâ une camĂ©ra prenant 300 images par seconde. Onobserve la vitesse de chute dâ une colonne dâ eau en milieu ambiant, dans le sens de la hauteur et dansle sens de lâ Ă©coulement. De maniĂšre Ă comparer les diffĂ©rentes configurations de lâ expĂ©rience (Martin
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
69
et Moyce font varier la largeur et la hauteur de la colonne), et dâ en tirer des gĂ©nĂ©ralitĂ©s, les auteurs ontintroduit des donnĂ©es adimensionnelles (Figure 33 ).
Les données réelles
[s] horizontalplan lesur libre surface la de extrémitél' deposition la [m]nt effondremel' de coursau eau d' colonne la de résiduellehauteur la
base) la Ă nnelle(proportio [m]eau d' colonne la de initialehauteur la
[m] colonne la de base la de tiquecaractérisdimension la 2
z
h
an
a
t le temps
Les données adimensionnelles
En supposant que lâ eau est un fluide parfait, on considĂšre les donnĂ©es adimensionnelles suivantes, en
fonction de 2n et de21 /
ag
, oĂč g [ 2m.s â ] est lâ accĂ©lĂ©ration due Ă la gravitĂ© :
T représente le temps. 21 /
ag
ntT
= lorsquâ il est associĂ© Ă Z, et
21 /
ag
tT
= pour le suivi de H.
az
Z = reprĂ©sente la position de lâ extrĂ©mitĂ© de la surface libre sur le plan horizontal,
2an
hH = la hauteur dâ eau rĂ©siduelle.
dTdZ
U = la vitesse, on en déduit agn
uU = , avec u la vitesse réelle.
Figure 33 : notations, données réelles et adimensionnelles
La Figure 34, illustre une partie des rĂ©sultats obtenus par la mĂ©thode expĂ©rimentale. Dans cette figure,les deux courbes en pointillĂ©s (marquĂ©es par des ronds et bleues) sont issues de lâ Ă©croulement dâ unecolonne dâ eau aussi large que haute (n2=1) alors que les courbes tracĂ©es en continues (Ă©toilĂ©es etrouges) illustrent lâ Ă©croulement dâ une colonne deux fois plus haute que large (n2=2). On constate quele rapport entre la hauteur et la largeur de la colonne a une influence notable sur la vitesse dâ avancĂ©edu front de matiĂšre.Lorsque le paramĂštre « a » est multipliĂ© par deux, on multiplie lâ Ă©chelle de la colonne par deux (lahauteur et la largeur). Dans ce cas de figure, les rĂ©sultats, mĂȘme sâ ils sont semblables au dĂ©but delâ Ă©croulement, divergent sensiblement par la suite. De nombreux auteurs comme [Maronnier, 2000][Anagnostopoulos et al, 1999] [Gaston, 1997], choisissent de simuler lâ Ă©croulement dâ une colonne
a
n2a
z
h
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
70
deux fois plus haute que large, en comparant (apparemment) leurs rĂ©sultats avec les courbes continuesdonnĂ©es Figure 34. Dâ une maniĂšre gĂ©nĂ©rale, les comparaisons fournies par les auteurs ne donnent pasde rĂ©sultat au delĂ dâ un temps adimensionnĂ© de T=5. Ce temps correspond Ă la sĂ©paration entre lesdeux courbes expĂ©rimentales tracĂ©es en continu (n2=2), et en particulier Ă lâ arrĂȘt de lâ une dâ elles.
Ces observations nous ont conduit, dans un premier temps, Ă utiliser les dimensions exactes du plandâ expĂ©rience pour notre simulation : [ ]m,a 057150= . Dâ une maniĂšre gĂ©nĂ©rale, dans la suite, ondonnera les rĂ©sultats de trois simulations : la premiĂšre pour une colonne Ă lâ Ă©chelle du centimĂštre(dâ aprĂšs les dimensions du plan dâ expĂ©rience) en 2D, la seconde de lâ ordre du mĂštre, toujours en 2D,et la troisiĂšme de lâ ordre du centimĂštre en 3D.
Figure 34 : influence des dimensions de la colonne sur lâ Ă©volution de Z [Martin et Moyce,1952]
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
71
II.6.2.1.2 Remarques sur le post-traitement des résultats issus de la simulation REM3DŸ
Mesure de la position de la surface libre
Nous avons effectuĂ© les mesures (de Z et H) Ă lâ aide du logiciel de visualisation GlviewÂź. On dĂ©finitune ligne (Figure 35), qui dĂ©termine les nĆ uds pour lesquels le logiciel trace les valeurs de la fonctionchoisie : ici, la valeur de la fonction caractĂ©ristique. La Figure 37 illustre, pour un temps donnĂ©,lâ Ă©volution de la fonction caractĂ©ristique le long de la droite dĂ©finie (Figure 35): en abscisse on a uneposition sur la droite, et en ordonnĂ©e, la valeur de la fonction caractĂ©ristique correspondante.
Figure 35: détermination de la ligne de mesure
Figure 36: prise de mesure sur toute la ligneà plusieurs temps donnés - graphe
GlviewÂź
Figure 37: prise de mesure sur toute la ligne,pour un temps donné - graphe
GlviewÂź
On trace ces valeurs au cours du temps (Figure 36) pour lâ intervalle de valeur [0,4, 0,6]. En gĂ©nĂ©ral, lavaleur 0,5 est utilisĂ©e pour dĂ©terminer la position du front de matiĂšre. Plus les courbes sont« penchĂ©es », plus lâ Ă©cart entre la position des isovaleurs 0,4 et 0,6 est important, et par consĂ©quent,plus il y a dâ imprĂ©cision sur la positions du front de matiĂšre, câ est Ă dire de diffusion numĂ©rique.Ainsi, sur la Figure 36, on voit que cette diffusion augmente lors de lâ Ă©croulement de la colonne.
ZZ
)Z(fΩ1
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
72
Estimation de lâerreur sur la mesure
Mesures de lâerreur de lecture sur le Benchmark Ă lâĂ©chelle du centimĂštreDans ce cas, [ ]m,a 057150= . On majore lâ erreur sur la lecture en la considĂ©rant de 0,001 [m]. Deplus, dans les maillages utilisĂ©s, le diamĂštre moyen, ou encore la taille des Ă©lĂ©ments, est de 0,006[m](le diamĂštre minimal est de 0,001[m]). Lâ erreur due Ă lâ interpolation est majorĂ©e par 0,003[m] car lavaleur des fonctions caractĂ©ristique est constante par Ă©lĂ©ment. Par consĂ©quent, on peut considĂ©rer uneerreur de mesure des rĂ©sultats de e=0,004[m]. La valeur adimensionnelle de e est :
E = 07005715000040
,,,
ae == qui est pratiquement invisible.
Mesures de lâerreur de lecture sur le Benchmark Ă lâĂ©chelle du mĂštreDans ce cas, la valeur de [ ]m,a 50= , et le diamĂštre moyen de 0,0047[m]. Par consĂ©quent,
0460 50
00470 ,
,,
ae
E === qui est également négligeable dans les comparaisons qui seront
effectuées par la suite.
II.6.2.1.3 Etude de lâ Ă©croulement dâ une colonne ayant les dimensions du plan expĂ©rimental :expĂ©rience 2D.
Les donnĂ©es de la simulationOn choisit une colonne dâ eau ayant les mĂȘmes dimensions que dans lâ expĂ©rience en laboratoire, soit
=a 2,25[in]=0.05715[m] et n2=2. Autrement dit, la colonne dâ eau Ă une hauteur initiale de 11,43[cm]et sa base est de 5,715[cm] (Figure 38).
Le maillage :Nombre dâ Ă©lĂ©ments = 28251Nombre de nĆ uds = 6966DiamĂštre minimal (hmin) = 0,001[m]
Figure 38 : maillage et domaine fluide initial
On simule lâ Ă©coulement 2D avec le code 3D. On suppose que lors de lâ Ă©coulement, la vitesse est nulledans la direction Oy (Figure 38). Par consĂ©quent, on impose deux plans de symĂ©trie sur les paroislatĂ©rales de la plaque, et on ne considĂšre que trĂšs peu dâ Ă©lĂ©ments dans son Ă©paisseur (Figure 38). Lemaillage est donc construit de maniĂšre Ă ĂȘtre anisotrope.
Pour la simulation, on augmente artificiellement la viscositĂ© cinĂ©matique de lâ eau, en la prenant Ă©gale
Ă ].sm [10 123 ââ , ce qui correspond Ă une viscositĂ© dynamique de 1 [Pa.s] et Ă une masse volumiqueayant pour valeur 1000[kg.m-3]. Le pas de temps est de 10-3[s].
Ox
Oz
Oy
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
73
RĂ©sultatsLa Figure 39 reprĂ©sente lâ Ă©volution du front de matiĂšre pour les donnĂ©es dĂ©crites. De maniĂšre Ă indiquer lâ importance de la diffusion numĂ©rique au cours du temps, on a reprĂ©sentĂ©, Ă lâ aide de troiscouleurs, les isovaleurs de la fonction caractĂ©ristique. La partie bleu clair reprĂ©sente les valeurs de plusde 0,6 Ă 1, et la partie bleue foncĂ©e, la partie dâ incertitude entre 0,6 et 0,4, ce qui est une margerelativement importante. La couleur blanche reprĂ©sente les valeurs de 0 Ă 0,4. Il est important de noterque lors de cette simulation, le module dâ adaptation de maillage a Ă©tĂ© utilisĂ© (Figure 40 et Figure 41).
Tout dâ abord, la diffusion numĂ©rique est trĂšs faible (images 1 Ă 3). Lorsque la colonne est presquetotalement Ă©croulĂ©e (images 4 et 5) on peut observer lâ apparition de diffusion numĂ©rique, mais dansdes proportions assez faibles. Toutefois, elle devient de moins en moins nĂ©gligeable dans la suite(images 6 et 7). A lâ image 7, lâ imprĂ©cision donne une fourchette de valeur sur la position du front dematiĂšre de plus de 4 fois la largeur initiale de la colonne dâ eau. Les imprĂ©cisions aux instants 6 et 7seront indiquĂ©es par la suite sur les courbes dâ avancĂ©e du front de matiĂšre (Figure 42 ). NotonsĂ©galement, que la diffusion dans le sens de la hauteur est quasiment invisible.
Figure 39 Evolution du front de matiĂšre en 2D
Les Figure 40 et Figure 41, illustrent le fonctionnement de lâ adaptation de maillage. On observe demaniĂšre trĂšs nette les dĂ©formations du maillage (Figure 40), ainsi que la diminution de la diffusionnumĂ©rique qui en dĂ©coule (Figure 41).
Figure 40 : Illustration de lâ adaptation de maillage
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
74
IncrĂ©ment 0 : avant utilisation de lâadaptationde maillage
Adaptation du maillage
Figure 41 : Les effets de lâ adaptaton de maillage sur la diffusion numĂ©rique âzooms issus dela Figure 40
La Figure 42 permet de confronter les rĂ©sultats obtenus avec REM3DÂź aux rĂ©sultats expĂ©rimentaux.On compare lâ Ă©volution de la position de lâ extrĂ©mitĂ© de la surface libre sur le plan horizontal Z, ainsique la hauteur rĂ©siduelle de la colonne dâ eau au cours de lâ effondrement.
Position de la surface libre Position de la hauteur résiduelle
Figure 42 : Comparaison des rĂ©sultats du calcul pseudo-2D, effectuĂ© avec REM3DÂź, aveclâ expĂ©rience
Dans le graphe de gauche, on a indiquĂ© la fourchette de lâ imprĂ©cision due Ă la diffusion numĂ©rique surlâ Ă©volution de Z. Elle correspond Ă lâ Ă©talement des valeurs de la fonction caractĂ©ristique, entre 0,4 et0,6. La valeur sur la courbe correspond Ă la valeur 0.5 de la fonction. On obtient des rĂ©sultats trĂšsproches de la rĂ©alitĂ© jusquâ au temps adimensionnel de 6 (image 6), ce qui est un bon rĂ©sultat. Par lasuite, lâ imprĂ©cision est importante, mais la valeur moyenne reste proche de lâ expĂ©rience jusquâ Ă unĂ©croulement trĂšs avancĂ©. Rappelons Ă©galement que la tension de surface nâ est pas modĂ©lisĂ©e, ce qui,dans le cas dâ une fine couche de fluide, peut avoir une influence non nĂ©gligeable. En ce qui concernela description de lâ Ă©volution de la hauteur de la colonne rĂ©siduelle (Ă droite), on observe une lĂ©gĂšreavance de notre simulation, mais une bonne correspondance dans la forme de son Ă©volution. Si on
H
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
75
calcule la correspondance avec les temps réels, on a t=0,053à T [s], ce qui permet de relativiser lesdécalages en temps observés sur les graphes Figure 42. Ces décalages sont compris entre 0 et T.
En ce qui concerne la vitesse maximale Umax (Figure 33) , Martin et Moyce, observent que celle-ci estproportionnelle au carrĂ© de la hauteur de la colonne dâ eau, de environ 2 en thĂ©orie, et de 1,71 pour laconfiguration qui nous concerne ici. Cette valeur est dĂ©duite de la courbe expĂ©rimentale (Figure 42),mais les auteurs ne donnent pas plus de prĂ©cision. La valeur de Umax (adimensionnelle) est dĂ©duite de
la formule : dTdZ
U = . On calcule Umax Ă partir de la relation :
T)t(Z)Tt(Z
)t(Uâ
ââ+= ( II.86 )
La formule ( II.86 ), à partir des données expérimentales, donne la valeur Umax = 2,1. Celle-ci estsurestimée par rapport à la valeur donnée par les auteurs qui est de 1.71, et semble correspondre à unemesure plus précise, ou plus lissée.
En ce qui concerne la valeur de la vitesse maximale issue de la simulation, elle est de 1,43 ][m.s 1â , enchoisissant le mĂȘme mode de calcul ( II.86 ). Notons enfin que pour les donnĂ©es de la simulationchoisie, u,U Ă= 950 .
Influence de la viscositĂ©Comparons les Ă©coulements obtenus en faisant varier la viscositĂ© utilisĂ©e pour simuler celle de lâ eau.On compare les rĂ©sultats obtenus pour trois valeurs de viscositĂ© cinĂ©matique : 0,005 ][m.s 1â ,0,001[m2.s-1], et 0,0005 [m2.s-1].
Figure 43 : Positionnement de lâ extrĂ©mitĂ© du front de matiĂšre sur le plan horizontal pourdiffĂ©rentes valeurs de viscositĂ© cinĂ©matique
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
76
On atteint la limite du schĂ©ma utilisĂ© lorsque la viscositĂ© cinĂ©matique est de 0,0005[m2.s-1] (la courbeavec les croix). A ce stade, il devient difficile de simuler lâ Ă©croulement jusquâ Ă sa fin. Le rĂ©sultatobtenu est cependant trĂšs proche de la rĂ©alitĂ© jusquâ au temps T=3. Le rĂ©sultat obtenu pour uneviscositĂ© de 0,001 [m2.s-1], est cependant dĂ©jĂ satisfaisant. A ce stade, lorsquâ on multiplie la viscositĂ©par un facteur cinq (en prenant Îœ=0,005 [m2.s-1]), on observe un ralentissement visible de lâ Ă©coulementassez prĂ©coce : autour du temps T=2 Ă la place de T=6 pour une viscositĂ© plus faible. En donnĂ©esrĂ©elles, le ralentissement maximal correspond Ă un retard de 1=âT , soit dt=0,054[s] pour unĂ©coulement dâ une durĂ©e de 0,54[s].
II.6.2.1.4 Ecroulement dâ une colonne de 1m de hautOn simule lâ Ă©croulement dâ une colonne dâ eau beaucoup plus massive, telle que =a 0,5 [m] et n2=2.Autrement dit, la hauteur de la colonne dâ eau est de 1[m], et sa base de 0,5[m]. On sâ Ă©carte ici desdonnĂ©es expĂ©rimentales, en donnant une Ă©chelle totalement diffĂ©rente Ă la colonne dâ eau Ă©tudiĂ©e. Dufait de lâ adimensionnalisation des donnĂ©es, en tenant compte des rĂ©serves faites au paragraphe[II.6.2.1.1], on peut comparer nos rĂ©sultats avec la courbe Ă©toilĂ©e de la Figure 34 : elle correspond aucas dâ une colonne dâ eau deux fois plus haute que large.
Le maillage :Nombre dâ Ă©lĂ©ments=28251Nombre de nĆ uds=6966
Figure 44 : Le maillage
Les rĂ©sultats prĂ©sentĂ©s sont issus de deux simulations, pour lesquelles on a fait varier la viscositĂ© dâ unfacteur 5. Dans le premier cas on augmente la viscositĂ© cinĂ©matique artificiellement, en la prenant de
].sm [10 123 ââ , ce qui correspond Ă une viscositĂ© dynamique de 1 [Pa.s] et Ă une masse volumiquevalant 1000[kg.m-3]. Le pas de temps est de 10-4[s] (courbe rouge avec carrĂ©, Figure 45). Dans lesecond cas, on multiplie par 5 la valeur de la viscositĂ© (courbe rouge avec triangle, Figure 45).
Figure 45 : position de lâ extrĂ©mitĂ© de la surface libre sur le plan horizontal
On observe que la correspondance entre les donnĂ©es expĂ©rimentales est moins bonne que lorsque lesdimensions de la colonne sont plus petites (Figure 45). Notons que pour ces dimensions, lacorrespondance entre temps rĂ©el et temps adimensionnel est de : t=0.16Ă T [s]. On constate Ă©galement,que la viscositĂ© pour laquelle la correspondance avec lâ expĂ©rience est la meilleure, est plus forte quedans le cas prĂ©cĂ©dent (de largeur de colonne dix fois plus petite).
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
77
Ces rĂ©sultats peuvent ĂȘtre expliquĂ©s en partie, par le fait quâ en augmentant les Ă©chelles de grandeur delâ expĂ©rience, on augmente les effets de la turbulence qui ne sont traduits que dans lâ augmentation de laviscositĂ© « numĂ©rique ». De plus, lorsquâ on augmente les effets de lâ inertie (en augmentant la hauteurde la colonne par exemple), en considĂ©rant la viscositĂ© fixĂ©e, on augmente le nombre de Reynolds delâ Ă©coulement , qui peut alors atteindre les limites de notre solveur.
A titre indicatif, pour ce cas test, et pour une viscositĂ© cinĂ©matique « numĂ©rique » de 0,001 ].s[m 12 â ,on a calculĂ©, Ă partir de ( II.86 ), que Umax est dâ environ 2. Etant donnĂ© que, pour les dimensionsutilisĂ©es, on a la relation u,U Ăâ 3160 (Figure 33), avec 41,U max â , la vitesse dimensionnelle
maximale maxu est dâ environ 6,3 ][m.s 1â . Dans le cas prĂ©cĂ©dent, pour a 0,05715[m]â , on avait
u,U Ăâ 950 (avec 51,U max â , et par consĂ©quent ][m.s 1,5 1ââmaxu . Rappelons que le nombre de
Reynolds est de la forme ÎœuL
(avec u une vitesse caractĂ©ristique dimensionnelle, et Îœ la viscositĂ©
cinĂ©matique), et supposons que la grandeur caractĂ©ristique L de lâ Ă©coulement est proportionnelle auxdimensions de la colonne dâ eau initiale. On peut alors Ă©crire que, pour une viscositĂ© « numĂ©rique » de0,001 ].s[m 12 â , lorsque la dimension a de la colonne varie de 0,05715[m] Ă 0,5[m], alors, le nombrede Reynolds des Ă©coulements simulĂ©s varie environ dâ un facteur 40 :
3101036
â
ĂĂ== )L(,ULRe
Μ dans le cas a=0,5[m] et
31051
âĂ== L,UL
ReΜ
dans le cas a=0,05715[m]
De la mĂȘme façon, dans le cas a=0,5[m], pour une viscositĂ© de 0,005 ].s[m 12 â , on calcule que
maxu = 4,7 ][m.s 1â (avec maxU et la relation Figure 33), par consĂ©quent on peut Ă©crire :
31036
âĂ== L,UL
ReΜ
avec =Îœ 0,001 ].s[m 12 â , et 3105
74â
Ă==.
L,ULRe
Îœ dans le cas =Îœ 0,005 ].s[m 12 â .
On obtient donc que le fait de diviser la viscositĂ© numĂ©rique par 5, a provoquĂ© une augmentation dunombre de Reynolds de lâ Ă©coulement simulĂ©, dâ un facteur 7.
Ces remarques, bien quâ approximatives, confortent les interprĂ©tations avancĂ©es.
II.6.2.1.5 Ecroulement dâ une colonne dâ eau en 3D, suivant les donnĂ©es expĂ©rimentalesEtant donnĂ© le caractĂšre 3D de notre code, il semble naturel de simuler lâ Ă©croulement de la colonnedâ eau en tenant compte de toutes ses dimensions (Figure 49). Lâ Ă©paisseur rĂ©elle de la colonne nâ estpas nĂ©gligeable (Figure 30). On choisit de simuler lâ Ă©croulement dâ une colonne ayant les dimensionsde =a 2,25[in]=0.05715[m] et n2=1. Autrement dit, un cube dâ arĂȘte 5,715 [cm].
Le maillage :Nombre dâ Ă©lĂ©ments=73614Nombre de nĆ uds=14935
Figure 46 Le maillage 3D
On impose des plans de symétrie, de maniÚre à imposer un contact glissant sur les parois du moule.
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
78
Pour la simulation, on augmente artificiellement la viscositĂ© cinĂ©matique de lâ eau, en la prenant de
].sm [10 123 ââ , ce qui correspond Ă une viscositĂ© dynamique de 1 [Pa.s] et une masse volumique de1000[kg.s-3]. Le pas de temps est de 10-3[s].
Dans un premier temps, on vĂ©rifie que lâ Ă©coulement obtenu est 2D, en observant que les valeurs de lavitesse dans la direction (Oy) sont autour de 0, (entre 0,005 et â0,005 [m.s-1]), on constate nĂ©anmoinsla prĂ©sence de vitesses transverses, mĂȘme trĂšs faibles. dans le fluide ( Figure 45 ).
Figure 47 : isosurfaces de vitesse selon lâ axe (Oy) aux temps 0,01[s], 0,11[s] et 0,3775[s]
-0,005 1âs.m
0,005 1âs.m
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
79
Figure 48 : Adaptation du maillage aux temps 0,01[s], 0,11[s] et 0,3775[s]
Les Ă©coulement obtenus par la simulation (Figure 49 et Figure 50) sont rĂ©alistes et proche des rĂ©sultatsobtenus par lâ expĂ©rience Figure 50.
Figure 49 : Ecroulement de la colonne dâ eau en 3D, suivi du front de matiĂšre
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
80
Figure 50 : Comparaison entre lâ expĂ©rience de Martin et Moyce (pour laquelle on ne disposepas des temps) et la simulation REM3DÂź. Les temps des images REM3DÂź sont
(0;0.07,0.1;0.2005[s])
En ce qui concerne le principe de la conservation de la masse, celui-ci est vĂ©rifiĂ© (Figure 51). LaFigure 51 reprĂ©sente lâ Ă©volution de la quantitĂ© de fluide au cours du temps (calculĂ©e en fonction de lafonction caractĂ©ristique du fluide), en ajustant le volume initial Ă une valeur de 100 pour une meilleurelisibilitĂ©. Notons que sur cette figure, on a rĂ©duit lâ axe des ordonnĂ©es Ă des valeurs allant de 99 Ă 100 :les variations observĂ©es sont trĂšs faibles. Lâ oscillation du volume en dĂ©but de calcul est due Ă lâ adaptation de maillage, celui-ci correspond Ă un gain de prĂ©cision sur le front de matiĂšre de lacolonne. On constate que suite Ă la premiĂšre adaptation, le volume est quasi parfaitement conservĂ©.
Figure 51 : Evolution du volume au cours du temps
Comme prĂ©cĂ©demment, on trace lâ Ă©volution au cours du temps des donnĂ©es Z et H (Figure 52 etFigure 53 ). De maniĂšre Ă illustrer lâ imprĂ©cision sur le front de matiĂšre, on trace sur la Figure 52 laposition des iso surfaces de la fonction caractĂ©ristique de valeur 0,4 et 0,6, en prenant les valeursmaximales et minimales obtenues sur chaque face du maillage. Les graphiques prĂ©sentĂ©s sont donnĂ©sen valeurs rĂ©elles, et montrent une bonne correspondance entre simulation et rĂ©alitĂ©.
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
81
Figure 52 : Position de lâ extrĂ©mitĂ© de lasurface libre sur le plan horizontal
Figure 53 : Evolution de la hauteur résiduellede la colonne
Enfin, en ce qui concerne les vitesse, Umax ( II.86 ) est de 1,62 dans le cadre de lâ expĂ©rience [Martin etMoyce, 1952], et de 1,43 pour la simulation (toujours en donnĂ©es adimensionnelles).
II.6.2.2 Comparaison des deux solveurs dans lâairA prĂ©sent, comparons sur le cas test du barrage, les modĂšles de rĂ©solution dans le vide ou « lâ air »,prĂ©sentĂ©s au paragraphe [II.1.7.3].
Rappelons que pour le modĂšle le plus simple, la vitesse et la pression sont gouvernĂ©es par lesĂ©quations de lâ Ă©quilibre dynamique, en nĂ©gligeant les effets de la gravitĂ© et de lâ inertie et en imposantune pression nulle dans lâ air. Lâ intĂ©rĂȘt de ce modĂšle, est de permettre la prolongation du champ devitesse dans le vide, nous lâ appellerons « solveur vide ». Le second modĂšle, quant Ă lui, abusivementappelĂ© « solveur air » considĂšre le gradient de pression nul dans le vide. Ce dernier modĂšle prolonge leproblĂšme de Stokes de maniĂšre naturelle, et est paramĂ©trĂ© avec des donnĂ©es rhĂ©ologiques, ce quifacilite son utilisation.
ConsidĂ©rons la simulation de lâ Ă©croulement dâ une colonne dâ eau en 2D dĂ©jĂ prĂ©sentĂ© [II.6.2.1.4]. Lafigure ci-dessus montre le tracĂ© des isovaleurs de vitesse, dans le sens de lâ Ă©coulement (Ox). A gauche,le prolongement artificiel de la vitesse dans le vide a Ă©tĂ© utilisĂ©, alors que pour la simulation dĂ©critedans la colonne de droite, le vide est considĂ©rĂ© comme un fluide incompressible de viscositĂ© 10 foismoins importante que celle prise pour lâ eau.
On remarque (Figure 54) que les vitesses dans le fluide (ici facilement localisables par le resserrementdu maillage dĂ» Ă lâ adaptation) sont les mĂȘmes dans les deux cas.
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
82
Solveur « vide » Solveur « air »
Figure 54 : comparaison des isosurfaces de vitesse dans la direction (Ox) pour une mĂȘmefouchette de valeur
Alors que lâ on constate que sur le domaine aΩ (le domaine non occupĂ© par le fluide), les vitesses sontrelativement diffĂ©rentes, quelque soit le solveur utilisĂ©, dans le fluide, les valeurs de la vitesse sont lesmĂȘmes (Figure 54). Un zoom (Figure 55) permet de vĂ©rifier plus prĂ©cisĂ©ment ce rĂ©sultat pour ladeuxiĂšme ligne de la Figure 54.
Solveur « vide » « Solveur « air »
Figure 55 : zoom sur les domaines fluides de la deuxiĂšme lignes Figure 54, pour une mĂȘmefourchette de valeur
(Ox)
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
83
De plus, si on compare lâ Ă©volution du front de matiĂšre, Ă travers lâ Ă©volution de la position du point Z(Figure 33), on constate que les deux rĂ©solutions donnent les mĂȘmes rĂ©sultats (Figure 56).
0
2
4
6
8
10
12
14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T
Z
solveur air solveur vide
Figure 56 : comparaison de lâ Ă©volution du front de matiĂšre pour les deux âsolveursâ
Ce rĂ©sultat valide, le solveur « air » et montre son intĂ©rĂȘt par rapport au solveur « vide » qui Ă©taitutilisĂ© jusquâ Ă prĂ©sent, et est beaucoup plus difficile Ă paramĂ©trer.
Tous les résultats que nous présentons dans ce document ont été obtenus en utilisant le solveur « air ».
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
84
II.7 ConclusionAu cours de ce chapitre, nous avons décrit et validé une méthode de résolution du problÚme de Navier-Stokes qui comprend plusieurs volets :
§ La formulation dâ un problĂšme Ă quatre champs permettant dâ introduire le traitement delâ accĂ©lĂ©ration.
§ La discrĂ©tisation spatiale utilisant la projection de la vitesse, dans lâ espace de sa composantelinĂ©aire, et lâ ensemble P0 « des moyennes des vitesses linĂ©aires par Ă©lĂ©ment »
§ Le traitement des termes dâ advection par une mĂ©thode Galerkin discontinu§ Lâ introduction dâ un schĂ©ma en temps permettant de linĂ©ariser le problĂšme.§ Une discrĂ©tisation spatiale standard basĂ©e sur lâ utilisation de lâ Ă©lĂ©ment mixte P1+/P1§ La condensation des degrĂ©s de libertĂ© liĂ©s Ă la bulle.
Nous avons validĂ© cette mĂ©thode en traitant dans un premier temps le problĂšme de Navier-Stokesstandard. Les rĂ©sultats obtenus montrent une bonne description des effets de lâ inertie, jusquâ Ă unnombre de Reynolds que nous avons estimĂ© Ă 1000. Toutefois, bien que nous ayons montrĂ© larobustesse du solveur, nous avons Ă©galement mis en Ă©vidence quâ il Ă©tait nĂ©cessaire dâ avoir desmaillages trĂšs fins pour obtenir des rĂ©sultats satisfaisants Ă nombre de Reynolds Ă©levĂ©.
Dans un second temps, nous avons validĂ© le traitement du problĂšme de Navier-Stokes en lui associantcelui du suivi de la surface libre. LĂ encore, la description des effets de lâ inertie sur les Ă©coulementssâ est avĂ©rĂ©e satisfaisante. Nous avons obtenu des Ă©coulements de formes rĂ©alistes, et cela en utilisantla dĂ©marche qui consiste Ă prendre en compte une viscositĂ© « numĂ©rique » plus grande que la viscositĂ©rĂ©elle du matĂ©riau. Cette dĂ©marche nous a permis de simuler des Ă©coulements ayant les propriĂ©tĂ©s decertains remplissages Ă haute vitesse rencontrĂ©s en fonderie.
De maniĂšre Ă augmenter la qualitĂ© de la mĂ©thode utilisĂ©e, plusieurs pistes sâ offrent dans le futur :
§ Lâ utilisation du calcul parallĂšleLa premiĂšre amĂ©lioration qui vient Ă lâ esprit, est dâ utiliser le calcul parallĂšle, de maniĂšre Ă augmenterla finesse des maillages, et Ă diminuer le pas de temps. De nombreux dĂ©veloppements ont dĂ©jĂ Ă©tĂ©menĂ©s dans ce sens [Digonnet et al, 2003].
§ Lâ introduction de modĂšles de turbulenceA priori, ce type de rĂ©solution prĂ©sente lâ avantage dâ atteindre des nombres de Reynolds plusimportants. Il se base sur un systĂšme dâ Ă©quations de Reynolds (Ă©coulement moyen) fermĂ© en utilisantun modĂšle de turbulence. Ces modĂšles impliquent la rĂ©solution dâ une ou plusieurs Ă©quations detransport, et sont par consĂ©quent plus coĂ»teux. On peut noter que dans la mise en Ć uvre de ce genre demĂ©thode, la rĂ©solution du systĂšme moyennĂ© pourrait sâ effectuer avec le solveur que nous avonsprĂ©sentĂ©. Pour conclure, on peut remarquer quâ il serait intĂ©ressant de comparer les rĂ©sultats obtenus demaniĂšre directe en augmentant la viscositĂ© numĂ©riquement, avec ceux issus dâ un modĂšle deturbulence.
§ La prise en compte plus implicite des termes dâ inertieSelon les schĂ©mas en temps utilisĂ©s, le traitement des termes dâ inertie peut se faire de maniĂšre plus oumoins implicite. Les schĂ©mas purement implicites (Euler implicite) introduisent la rĂ©solution du termedâ advection au temps courant, or ce terme est non linĂ©aire. Par consĂ©quent, on peut ĂȘtre amenĂ©, si onchoisit de ne pas linĂ©ariser (Euler semi-implicite) les termes dâ advection, Ă rĂ©soudre un systĂšme nonlinĂ©aire.
Dans ce chapitre, nous avons obtenu des écoulements ayant des formes et des comportements réalistes(vitesse de chute, jet) en utilisant des données numériques accessibles à notre solveur, et parconséquent non réalistes. De maniÚre à pouvoir appliquer cette méthode dans le cadre du remplissage
Chapitre II RĂ©solution du problĂšme de Navier-Stokes instationnaire Ă surface libre
85
en fonderie, il est nĂ©cessaire dâ introduire des conditions limites de contact glissant applicables quelquesoit la forme des moules. Lâ introduction de ces conditions limites est le sujet du chapitre suivant.
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
86
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
87
Imposition des conditions limites de contactglissant
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
88
chapitre III Imposition des conditions limites decontact glissant
Dans le chapitre prĂ©cĂ©dent, nous avons prĂ©sentĂ© lâ intĂ©rĂȘt dâ utiliser des conditions limites de contactglissant Ă la paroi, dans lâ Ă©tude des Ă©coulements Ă haut Reynolds. Nous donnerons ici lâ interprĂ©tationphysique de ce type de conditions, en montrant Ă nouveau quâ elles permettent de traiter lesĂ©coulements en fonderie en utilisant le solveur Navier-Stokes prĂ©sentĂ© dans le chapitre II. NousdĂ©crirons les choix que nous avons faits, et les mĂ©thodes que nous avons implĂ©mentĂ©es, en particulieren ce qui concerne la gĂ©nĂ©ration de normales multiples et conservatives aux nĆ uds.
Rem3DÂź est basĂ© sur une formulation eulĂ©rienne, ce qui implique que l'ensemble de la cavitĂ© Ă remplirest maillĂ© dĂšs le dĂ©but du calcul. Les nĆ uds de la paroi du moule sont localisĂ©s dĂšs lâ initialisation dela simulation. La mĂ©thode dâ imposition du contact glissant qui a Ă©tĂ© introduite est basĂ©e sur laconstruction de normales aux nĆ uds situĂ©es sur les parois de la cavitĂ©. Cette construction "une foispour toute" permet une gestion du contact simple et peu coĂ»teuse. Nous verrons que lâ on peutconstruire aux nĆ uds des normales conservatives (construites de maniĂšre Ă respecter la contraintedâ incompressibilitĂ©) qui donnent des formes rĂ©alistes dâ Ă©coulement : les normales multiples.
Dans la premiÚre partie de ce chapitre, nous décrirons les modifications qui ont été apportées à laformulation du problÚme mécanique, en particulier, en décrivant la méthode de pénalisation utilisée.La seconde partie sera consacrée à la méthode de construction des normales, et à la validation desméthodes introduites. Pour finir, nous traiterons la généralisation de ces méthodes au multidomaine.
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
89
III.1 IntroductionDans sa version initiale, les conditions limites imposĂ©s par le logiciel Rem3DÂź sont des conditions decontact collant (on impose une vitesse nulle Ă la paroi). Physiquement, ces conditions sont conformesĂ la rĂ©alitĂ© : le fluide adhĂšre aux parois du moule. Toutefois, dans le type dâ Ă©coulement que nousĂ©tudions, les viscositĂ©s mises en jeu sont faibles, et les vitesses de remplissage relativementimportantes. De ce fait, en considĂ©rant une vitesse nulle Ă la paroi, les gradients de vitesse sont trĂšsimportants (Figure 57).
Figure 57 : Profil de vitesse pour des Ă©coulements peu visqueux dans une conduite 2D
Si on considĂšre des conditions de contact collant, il est trĂšs difficile de capter les grandes variations devitesse qui ont lieu Ă la paroi. Ces variations, et la forme des Ă©coulements qui en dĂ©coulent, peuventtoutefois ĂȘtre observĂ©es en utilisant un maillage extrĂȘmement fin dans cette zone. En gĂ©nĂ©ral, cettesolution est abandonnĂ©e car trĂšs coĂ»teuse. On prĂ©fĂšrera nĂ©gliger la couche collante Ă la paroi demaniĂšre Ă avoir des formes dâ Ă©coulement rĂ©alistes. Dans le cadre de lâ Ă©tude de fluide trĂšs peuvisqueux, nous ferons lâ hypothĂšse que le fluide glisse sur la paroi. De maniĂšre Ă prendre en compte leseffets de la paroi sur les Ă©coulements une « loi de paroi » sera introduite.
Figure 58 : La couche limite, dans la conduite 2D
Ci-dessus (Figure 58), la partie coloriĂ©e reprĂ©sente la couche limite collante nĂ©gligĂ©e, ce qui permet derĂ©duire lâ ampleur des gradients de vitesse observĂ©s. Dans le cas particulier ou lâ on ne prend pas encompte les effets de la paroi sur lâ Ă©coulement (par une loi de paroi), la couche limite nĂ©gligĂ©e est plusimportante que celle reprĂ©sentĂ©e ici : lâ Ă©coulement est de type « bouchon », le front de matiĂšre avancedâ un seul tenant (comme un bouchon), et la vitesse est constante dans la conduite.
De maniĂšre Ă simuler la couche limite, nous avons choisi dâ imposer un contact glissant, ainsi qu'uneloi de paroi viscoplastique en cisaillement simple.
u
u
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
90
Condition de contact glissant et loi de paroi
Il existe deux conditions dâ imposition du contact glissant en vitesse. Soit on suppose que la matiĂšreglisse sur la paroi, notĂ©e pÎ , en restant sur celle-ci, et dans ce cas on impose la condition suivante, dite
de contact bilatéral :
psur n.v 0= ( III.1 )
Soit on suppose que la matiÚre peut se décoller, sans sortir de la cavité, dans ce cas on impose, unecondition de contact unilatéral :
pn.v Îsur 0†( III.2)
On peut penser que du fait que dans cette formulation, la matiĂšre est autorisĂ©e Ă se dĂ©coller de la paroi,la forme des Ă©coulements obtenue par ce choix est plus proche de la rĂ©alitĂ©. Cependant, on montreraque lâ on obtient une bonne description des Ă©coulements en utilisant des conditions de contact bilatĂ©ral.
Frottement et loi de paroi
En ce qui concerne la loi de paroi, on introduit une loi de frottement simplifié, en cisaillement simple,pour un fluide newtonien :
)n)n.v(v(n. fr ââ== ηαÏÏ ( III.3 )
)v
fr
1-
1-
(m.s courante vitessela
(Pa.s) viscositéla ici e,consistanc la
)(m frottement det coefficien leest
oĂč
ηα
III.2 Du problĂšme sous contrainte Ă la forme discrĂšte
III.2.1 La formulation variationnelle
Introduisons la loi de paroi dans le problĂšme variationnel issu de ( II.56 ), en supposant lâ accĂ©lĂ©rationÎł complĂštement connue :
â(v,p)Trouver Qq,wP ââââĂ que tels
=ââ
â+=â
ââ
â«â«â«â«â«
â«â«
0
2
Ω
ΩÏγΩÎÎÏ
ΩΩΔηΔ
Ω
ΩΩÎÎ
ΩΩ
vd.q
wd.wd.Fwd.fwd
d)w.(pd)w(:)v(
ep( III.4 )
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
91
III.2.1.1 Ecriture du problĂšme sous contraintesDans le contexte que lâ on vient de dĂ©crire, lâ introduction de la condition de contact glissant correspondĂ lâ ajout dâ une contrainte de non pĂ©nĂ©trabilitĂ© au problĂšme ( III.4 ). On note pn.v/VvS Îsur 0=â=lâ ensemble des solutions admissibles en vitesse. Notons que lâ on pourra se rĂ©fĂ©rer Ă [Magnin, 1994] ouĂ [Moto, 2002] pour plus de prĂ©cisions sur les mĂ©thodes de rĂ©solution du problĂšme dâ optimisationutilisĂ©es dans lâ imposition du contact glissant.
III.2.1.2 La mĂ©thode du lagrangienPlaçons-nous directement dans le cadre de la rĂ©solution algĂ©brique du problĂšme en vitesse. On serestreindra ici Ă un problĂšme en vitesse car la pression nâ intervient pas. On Ă©crit le problĂšme sous laforme matricielle suivante :
FHV =
avec V le vecteur vitesse construit Ă partir des vitesses en chaque nĆ ud i du domaine.
On Ă©crit lâ ensemble des solutions admissibles S en imposant de maniĂšre directe 0=ii n.v en chaquenĆ ud i de la frontiĂšre, ou, sous forme vectorielle, 0=N.V , issue de lâ expression i
i
i n.vh
ââÎ
( hÎ Ă©tant la
frontiĂšre discrĂ©tisĂ©e), avec N le vecteur construit Ă partir des normales aux nĆ uds frontiĂšre i.
Dans le contexte que nous venons de dĂ©finir, du fait que H est symĂ©trique, on peut introduire unefonctionnelle Ă minimiser qui sâ Ă©crit de la maniĂšre suivante :
)V,F()V,HV()V(J â=21
Pour rĂ©soudre un problĂšme sous contrainte, une mĂ©thode efficace est lâ introduction du lagrangien duproblĂšme. Celui-ci prend la forme :
( )V.N,)V(J),V(L λλ += ( III.5 )
On peut alors trouver ( )hi Îλλ â= , appelĂ© multiplicateur de Lagrange, solution du problĂšme en
),V( λ :
==â
â
=â+=â
â
0
0
N.V),V(L
FNHVV
),V(L
λλ
λλ
( III.6 )
Lâ Ă©criture de ce nouveau problĂšme permet dâ introduire une nouvelle variable λ . On doit alorsrĂ©soudre le systĂšme matriciel :
=
00
FV
N
NHT λ
( III.7 )
III.2.1.3 La méthode de pénalisationRestons dans le cadre matriciel. De maniÚre à simplifier la méthode du lagrangien, et à supprimer lesdegré de liberté liés à λ , on applique la méthode de pénalisation. On écrit alors le lagrangien, enintroduisant avec penα un coefficient de pénalisation, sous la forme :
( )V.N,V.N)V(J)V(L penα21+=
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
92
Le problĂšme matriciel que lâ on rĂ©sout est alors le suivant :
FN)N.V(HV pen =+ α ( III.8 )
Cette mĂ©thode sâ appuie sur le rĂ©sultat thĂ©orique suivant :
si ââpenα , alors 0âN.V et on a la solution du problĂšme pĂ©nalisĂ© )P,V(penpen αα telle que :
)P,V()P,V(pen
penpen âââ
ααα solution du problÚme initial et vérifiant la contrainte de glissement.
Remarque : La méthode du lagrangien augmenté est une combinaison des deux méthodes présentées.Elle consiste, à écrire le lagrangien sous la forme :
)N.V,N.V()N.V,()V(J),V(L penαλλ21++=
On arrive alors à la résolution du systÚme :
=
+00
FV
N
NNNHT
Tpen
λα
Une mĂ©thode peu coĂ»teuse pour rĂ©soudre ce systĂšme consisterait alors Ă utiliser un algorithmedâ Uzawa, câ est Ă Ă©crire : N.V k
penkk 11 ââ += αλλ Ă lâ incrĂ©ment k, jusquâ Ă convergence au point fixe.
A ce stade, il convient de souligner deux points importants au sujet du coefficient de pénalisation :
§ Un facteur de pénalisation trop grand pose des problÚmes de conditionnement du systÚme linéaire.Dans la pratique, il est suffisant que la valeur de penα soit telle que Δ<n.v , avec Δ une valeur
donnée.
§ Le coefficient de pĂ©nalisation, tel que nous lâ avons introduit, est dimensionnel : ses unitĂ©s, Ă©tablies
dans la formulation variationnelle, sont des
.smkg
2. Il est nécessaire de prendre en compte les
dimensions de lâ Ă©coulement pour le dĂ©finir, une autre option Ă©tant de lâ adimensionnaliser.Toutefois, il reste assez difficile de traiter dâ une maniĂšre vraiment gĂ©nĂ©rale la gestion ducoefficient de pĂ©nalisation en remplissage. Pour donner un exemple, on ne prend pas en encompte la vitesse de lâ Ă©coulement, ni la viscositĂ© dynamique du fluide lorsquâ on choisit, commenous lâ avons fait dans un premier temps dans REM3DÂź, le coefficient de pĂ©nalisation de lamaniĂšre suivante :
lcelt.tSurface.
lupen âÏαα =
avec
Surface une surface caractéristique du maillage (locale) en [m2]
luα le coefficient adimensionnel donnĂ© par lâ utilisateur
Ï la masse volumique du mĂ©tal en fusion en
3mkg
tâ le pas de temps [ ]slcelt une longueur caractĂ©ristique du maillage [ ]m
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
93
En pratique, lorsque ces paramÚtres augmentent, le coefficient de pénalisation doit lui aussiaugmenter, et par conséquent il est encore nécessaire de gérer luα . Dans la suite, on utilisera penαcomme un paramÚtre utilisateur.
III.2.2 Le problĂšme discret
Dans cette partie, on dĂ©crira dans un premier temps la construction des normales aux nĆ uds, puis ondonnera la forme des contributions aux systĂšmes des termes de glissement et de frottement.
III.2.2.1 Normales multiples conservativesDe maniĂšre Ă imposer le glissement Ă la paroi, on impose la contrainte dâ impĂ©nĂ©trabilitĂ© de maniĂšreexacte aux N nĆ uds i de la frontiĂšre :
)(n.v ehh
ii Îâââ= i 0 ( III.9 )
En rappelant que hh ΩΠâ= est la frontiĂšre discrĂ©tisĂ©e du domaine, et ehÎ la discrĂ©tisation du plan
dâ entrĂ©e.
Il est nĂ©cessaire, Ă ce stade, de choisir une mĂ©thode de construction des normales aux nĆ uds. Le choixde normales conservatives (en anglais « consistent normal vectors »), introduites par Engelman[Engelman et al, 1982], dans le cadre de fluides incompressibles sâ impose a priori comme le meilleuret sera validĂ© dans le paragraphe III.4. Dans cette partie, on dĂ©crira le principe de la mĂ©thode deconstruction de ces normales en 3D, ainsi que sa validitĂ©, dans le cadre du remplissage et dans le casoĂč plusieurs normales peuvent ĂȘtre construites en chaque nĆ ud. Enfin, on donnera lâ algorithme deconstruction de ces normales.
III.2.2.1.1 PrincipeReprenons la dĂ©monstration de lâ expression des normales conservatives aux nĆ uds en 3D [Bellet,2001]. Cette dĂ©monstration suppose quâ il nâ y a pas dâ entrĂ©e de matiĂšre. Elle sera complĂ©tĂ©e dans leparagraphe suivant.
Les normales conservatives sont construites de maniĂšre Ă vĂ©rifier la conservation de la matiĂšre. Celle-ci, pour les fluides incompressibles, est donnĂ©e par lâ Ă©quation de continuitĂ© de la forme :
0=)v(div ( III.10 )
Dans la suite, on cherche Ă construire des normales aux nĆ uds telles que lâ on ait :
0== â«â«ÎΩ
ÎΩ nd.vd)v(div ( III.11 )
Cette expression correspond Ă la forme faible de lâ Ă©quation ( III.10 ) Ă laquelle on applique la formulede Green, lorsquâ on choisit des fonctions tests Ă©gales Ă 1. Elle permet de vĂ©rifier la conservation de lamatiĂšre globalement.
La forme discrĂšte de ( III.11 ) est :
0â«â« ==hh
nd.vd)v(div hhÎΩ
ÎΩ ( III.12 )
Introduisons iÏ les fonction tests de h , telles que iiN
ih vv Ïâ
=
=1
ou encore, pour chacune des
composantes m (m=1,2,3) :
â=
=N
i
iim
mh vv
3
1Ï
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
94
De maniĂšre Ă trouver la forme des normales aux nĆ uds que nous cherchons (construites de maniĂšre Ă vĂ©rifier ( III.11 )), on Ă©crit localement en la coordonnĂ©e m du nĆ ud i :
0=â« ÎÏÎ
dnvh
mii
m
Si cette équation est vérifiée pour tous les i et tous les m, alors ( III.12 ) est vérifiée.
En considĂ©rant la discrĂ©tisation de la frontiĂšre en faces F, avec F(i) dĂ©signant les faces adjacentes aunĆ ud i, on obtient :
0=â â«â )i(FF F
mii
m dnv ÎÏ ( III.13 )
Cette forme fait apparaĂźtre une expression discrĂšte de la normale au nĆ ud i . Plus prĂ©cisĂ©ment, on peutdĂ©finir la composante m de ce vecteur, qui nâ est pas encore normĂ©, de la maniĂšre suivante :
â â«â
=)i(FF F
mii
m dna ÎÏ ( III.14 )
A partir de lâ expression ( III.13 ), on obtient, en imposant la condition hsur 0 Î=ii av , que ( III.12 )est vĂ©rifiĂ©e.
De plus, du fait que nous utilisons des fonctions iÏ linĂ©aires sur chaque Ă©lĂ©ment, si on introduit Fn la
normale Ă la face F, de surface F , on peut Ă©crire, Ă partir de ( III.14 ) :
ââ
=)i(FF
Fm
im nFa
31
( III.15 )
Finalement, la normale correspondante Ă ce vecteur, que lâ on notera iN , est donnĂ©e par lâ expression :
â
â
â
â
â
â
â
â ==
)i(FF
)i(FF
F
)i(FF
F
)i(FF
F
i
F
nF
nF
nF
N
31
31
( III.16 )
Pour un fluide incompressible, elle respecte lâ Ă©quation de continuitĂ©, et par consĂ©quent, le principe deconservation du volume. On appellera les iN ainsi construites des normales conservatives.
Remarques :
§ En construisant des normales conservatives aux nĆ uds, telles que nous venons de les dĂ©finir,lâ Ă©quation de continuitĂ© est vĂ©rifiĂ©e globalement, au sens donnĂ© par ( III.11 ).
§ Lâ utilisation de ces normales est une condition suffisante mais pas nĂ©cessaire pour quelâ imposition du contact soit conservative.
Dans cette partie, on a traitĂ© pÎ comme lâ ensemble de la frontiĂšre du domaine Ω considĂ©rĂ©, et on a
montrĂ© que le volume de ce domaine est conservĂ©. Or, dans le cadre qui nous intĂ©resse, de la matiĂšreest injectĂ©e. Le paragraphe suivant est consacrĂ© Ă lâ extension de la dĂ©monstration que nous venons derappeler au cadre plus gĂ©nĂ©ral du remplissage.
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
95
III.2.2.1.2 Extension de lâ utilisation des normales conservatives au cas du remplissageDans lâ Ă©tude du remplissage en fonderie, et dâ une maniĂšre gĂ©nĂ©rale lorsquâ on injecte de la matiĂšredans une cavitĂ©, la conservation du volume implique que la totalitĂ© du volume de matiĂšre introduitesoit prĂ©sente dans la cavitĂ©. Pour un fluide incompressible, Ă un temps donnĂ©, cela revient Ă vĂ©rifier larelation suivante en terme de flux :
â«â« =h
eh
nd.vnd.v hhÎÎ
ÎÎ ( III.17 )
en rappelant que ehÎ est la discrĂ©tisation de la surface dâ injection, et hÎ la discrĂ©tisation de
lâ ensemble de la frontiĂšre du domaine. De plus, on notera bhÎ la partie de la frontiĂšre discrĂ©tisĂ©e qui
appartient au bord du plan dâ injection (Figure 59).
Contrairement au paragraphe prĂ©cĂ©dent, on nâ impose pas de condition aux limites de contact bilatĂ©ralsur le plan dâ entrĂ©e, exceptĂ© Ă©ventuellement sur b
hÎ .
Figure 59 : Illustration des notations
Etablissons les conditions nécessaires pour que la relation ( III.17 ) soit vérifiée.
On Ă©crit le terme de gauche de ( III.17 ) sous la forme :
â â â«â â«â«â ââ
==e
he
he
hF Fi F
ii
F Fhh ndvnd.vnd.v
ÎÎÎ
ÎÏÎÎ ( III.18 )
Et le terme de droite :
â â â«â«â â
=hh
i )i(FF F
iih ndvnd.v
ÎÎÎÏÎ ( III.19 )
celui-ci peut encore sâ Ă©crire :
â â â« â â â«â«â â ââ â
+=e
he
hhh i )i(FF F )(i )i(FF F
iiiih ndvndvnd.v
Î ÎÎÎÎÏÎÏÎ ( III.20 )
En utilisant les normales conservatives aux nĆ uds dĂ©finies par ( III.16 ) et la condition de glissement,il vient que la seconde partie de ( III.20 ) sâ annule. De plus, on peut encore dĂ©composer la sommerestante en :
â«â« â ââ â â« â âââ ââ â â â
+=F
i
F )(i )i(FF
ii
i )i(FF F i )i(FF
iii ndvndvndvb
he
he
hb
h
ÎÏÎÏÎÏÎÎÎ Î
Pour que ( III.17 ) soit vĂ©rifiĂ©e il faut que ( III.18 ) et ( III.20 ) soient Ă©gales, câ est Ă dire que :
â â â«â« â ââ â â«â â ââ ââ â
+=b
hb
he
he
h i )i(FF F
i
F )(i )i(FF
iii
F Fi F
ii ndvndvndvÎ ÎÎÎ
ÎÏÎÏÎÏ ( III.21 )
or, en utilisant la relation suivante :
ehÎ
bhÎ
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
96
â âââ âââ ââââ â
==b
he
hb
he
he
h i )i(FiiF Fi
F)i(FFÎÎÎÎÎ
avec )i(F dĂ©signant la somme de la surfaces des faces adjacentes au nĆ ud i, il vient que lâ on peutĂ©crire le terme de gauche de ( III.21 ) de la maniĂšre suivante :
F
)(i )i(FF
iF
F Fi
i
F Fi F
ii nFvnFvndvb
he
he
he
h31
31 â ââ ââ â â«
ââ ââ ââ â==
ÎÎÎÎÎÏ ( III.22 )
On reconnaĂźt une des formes sommĂ©e dans le terme de droite de ( III.21 ). Par consĂ©quent, pour quelâ Ă©galitĂ© soit vĂ©rifiĂ©e, il faut que lâ autre forme sâ annule, câ est Ă dire que lâ on puisse Ă©crire :
â â â« â â â«â â â â
=
=
bh
bhi )i(FF F i )i(FF F
iiii ndvndvÎ Î
ÎÏÎÏ 0 ( III.23 )
Ce qui est vrai dans le cas oĂč lâ on construit des normales conservatives sur bhÎ (Figure 60), ou encore
si la vitesse y est nulle.
Ajoutons que dans le cas oĂč sur bhÎ on a des normales aux nĆ uds telles que Fiii nvnv = , câ est Ă dire
quâ il nâ y a pas de flux gĂ©nĂ©rĂ© aux nĆ uds le long des parois latĂ©rales, on a lĂ encore Ă©galitĂ© entre( III.18 ) et ( III.20 ) du fait que dans ce cas on vĂ©rifie directement ( III.21 ) en Ă©crivant :
F
i )i(FF
iF
F Fi
i nFvnFve
he
h31
31 â ââ â
â ââ â=
ÎÎ
comme lâ illustre la Figure 61. Ce cas correspond Ă lâ imposition dâ une vitesse sur le plan dâ entrĂ©e.
En rĂ©sumĂ©, on vient de montrer que lâ Ă©quation ( III.17 ) qui assure la conservation de matiĂšre estvĂ©rifiĂ©e dans les trois cas de figure suivants :
§ Si on construit des normales conservatives sur les nĆ uds de bhÎ (Figure 60)
§ Si la vitesse est nulle sur bhÎ
§ A condition que le flux sur les faces latérales soit nul. Dans le cas contraire, on crée despertes de matiÚre (Figure 61).
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
97
Figure 60 : flux en entrĂ©e avec utilisation des normales conservatives sur ihÎ
Conservation du flux en entrée Perte de matiÚre
Figure 61 : conservation de la matiĂšre et imposition des degrĂ©s de libertĂ© sur ehÎ
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
98
III.2.2.1.3 Les normales multiplesDans sa thĂšse, Laurence Gaston [Gaston, 1997] utilise les normales conservatives dans le cadre de lafonderie en 2D et en utilisant une formulation lagrangienne. Elle fait la remarque que lâ imposition denormales conservatives peut nuire Ă la cohĂ©rence des rĂ©sultats (Figure 62). Dans le cas eulĂ©rien 3D, onpeut facilement se rendre compte que le mĂȘme problĂšme se prĂ©sente, mais de maniĂšre diffĂ©rente. Eneffet, comme illustrĂ© Figure 63, la cohĂ©rence du champ des vitesses est Ă©galement faussĂ©e dans lesangles de la cavitĂ© (pas de la surface libre, comme en lagrangien). En effet, les vitesses dans ce typedâ Ă©coulement, de type bouchon, sont tangentes Ă la paroi.
Figure 62 : Mise en dĂ©faut de la normale conservative aux âcoinsâ, en 2D [Gaston, 1997]
Figure 63 : Normales conservatives en 3D, comportement locaux non cohĂ©rents aux arĂȘtes etaux coins
La stratĂ©gie que nous avons mis en place pour rĂ©soudre se problĂšme est dâ ajouter Ă la mĂ©thodestandard des normales aux nĆ uds, la possibilitĂ© dâ imposer plusieurs normales Ă un mĂȘme nĆ ud(Figure 64).
Figure 64 : normales multiples
Dans les deux cas prĂ©sentĂ©s Figure 64, on ajoute des normales aux nĆ uds de maniĂšre, soit Ă imposer Ă la vitesse de suivre lâ arĂȘte, soit Ă bloquer lâ Ă©coulement, et par consĂ©quent Ă crĂ©er un point dâ arrĂȘt.La Figure 65 donne un autre exemple dâ Ă©coulement non rĂ©aliste, qui peut Ă©galement ĂȘtre rĂ©solu enimposant des normales multiples aux nĆ uds : on impose une vitesse nulle aux bords de la surfacedâ injection.
Normale au nĆ ud
cn
cn
Vecteurs vitesses
Vecteurs vitesses
cn
cn
cn
cn
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
99
Dans le paragraphe [III.2.2.1.2], on a vu que les conditions imposĂ©es aux nĆ uds appartenanth
bÎ doivent ĂȘtre soigneusement traitĂ©es. On ajoute Ă prĂ©sent la contrainte dâ imposer une forme rĂ©alisteĂ lâ Ă©coulement (Figure 65). Dans ce but, nous avons introduit dans le code la possibilitĂ© dâ imposer unevitesse nulle aux nĆ uds auxquels des faces dâ entrĂ©e et des faces de la paroi sont adjacentes. Cettegestion repose sur le choix des nĆ uds auxquels on impose une condition limite de contact.
Normales conservatives :écoulement non réaliste
Imposition des degrés deliberté :
perte de matiĂšre
La solution choisie :Vitesse nulle aux nĆuds sur bÎ
Figure 65 : gestion des flux en entrée
Reste Ă prĂ©sent Ă dĂ©finir lâ algorithme de construction de normales multiples aux nĆ uds, les critĂšresdâ ajout de ces normales, et Ă vĂ©rifier que le nouveau problĂšme est toujours conservatif.
III.2.2.1.3.1 Algorithme de génération des normales multiples aux noeuds
Principe de lâalgorithme
On connaßt la topologie du maillage dÚs le début de la simulation et par conséquent on peut construireles normales en chacune des faces (Figure 66) une fois pour toutes.
Figure 66 : normales Ă la face F
On introduit une valeur critique cΞ de lâ angle de dĂ©viation entre deux faces du maillages Ξ(Figure 67).
F
Fn
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
100
Figure 67 : angle critique de déviation, illustration 2D
On teste cette déviation, ce qui nous amÚne à traiter deux situations différentes (Figure 68) :
§ Si cΞΞ < la normale Ă la face concernĂ©e est prise en compte dans la crĂ©ation de la normaleconservative au nĆ ud la plus proche.
§ Si cΞΞ > on ajoute la normale Ă la face au nĆ ud.
Du fait que le test se fait par rapport Ă toutes les faces adjacentes au nĆ ud, soit la normale construiteest ajoutĂ©e au nĆ ud , soit elle prise en compte dans la construction de la normale la plus proche.
Figure 68 : principe de la méthode
Illustration sur un demi-disque
Pour illustrer lâ importance du choix de lâ angle critique, choisissons un exemple 2D Ă©lĂ©mentaire. Onsimule lâ Ă©coulement dans un demi-disque maillĂ© grossiĂšrement, entraĂźnĂ© par lâ imposition dâ une forcesur le plan dâ entrĂ©e, en cisaillement (Figure 69) :
Figure 69 : le demi-disque entraßné
Selon lâ angle critique choisi, on obtient des Ă©coulements complĂštement diffĂ©rents (Figure 70). Eneffet, lorsquâ il y a deux normales prises en compte aux nĆ uds de la courbure, la vitesse est nulle, etlâ Ă©coulement est celui que lâ on trouve dans un polygĂŽne. En revanche, lâ Ă©coulement obtenu est celuique lâ on attend dans un demi disque (Figure 71), lorsquâ on impose une seule normale.
ΞΞΞΞ Fn
Fn
ΞΞΞΞ angle de désorientation
Force imposée
ΞΞΞΞ=Pi/6
Ox
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
101
Figure 70 : bloquage des vitesses aux noeuds : tracé des trajectoires et de la vitesse en Ox
Figure 71 : lissage de lâ Ă©coulement : tracĂ© trajectoires et de la vitesse en Ox
Il est possible que la forme du moule prĂ©sente rĂ©ellement des angles ou des arĂȘtes, comme il peut-ĂȘtresouhaitable de lisser lâ Ă©coulement que lâ on Ă©tudie dans les angles dus Ă lâ imperfection du maillage. Lapartie suivante sera consacrĂ©e Ă lâ Ă©tude de lâ influence de lâ angle critique sur le nombre des normalescrĂ©Ă©es aux nĆ uds pour une forme que lâ on considĂšre continue.
III.2.2.1.3.2 Influence de lâangle critiqueDans les Ă©coulement 3D, et en particulier lorsquâ on utilise des normales conservatives, lâ influence duchoix de lâ angle critique sur la crĂ©ation des normales aux nĆ uds est moins aisĂ©e Ă anticiper. Pour lemaillage dâ un moule donnĂ©, par exemple, on peut se demander Ă partir de quelle valeur critique cΞ laforme de celui-ci sera considĂ©rĂ©e comme continue, en particulier si on veut tenir compte dâ une arĂȘteĂ©ventuelle.
Dans cette partie, on donnera un lien entre les donnĂ©es du maillage et lâ angle de dĂ©viation des faces decelui-ci. On montrera que lâ on peut trouver un estimateur permettant de donner lâ angle critique endessus duquel lâ Ă©coulement sera « lissĂ© » câ est Ă dire pour lequel on nâ aura quâ une normale auxnĆ uds.
Dans un premier temps, Ă©tablissons un lien entre lâ angle Ξ de dĂ©viation des normales aux facesadjacentes du maillage ,et leur surface, avec le rayon de courbure local. Pour ce faire, on considĂšredeux faces du maillage 2D dâ une cercle de rayon R (Figure 72).
blocage
lissage
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
102
Figure 72 : notations
On Ă©crit, Ă lâ aide des notations de la Figure 72, les relations qui suivent.
Les triangles inscrits dans le cercles sont isocĂšles dâ oĂč :
22 ΞÎČ +=Î et 12 Ξα +=Î ( III.24 )
De plus, du fait des deux angles droits formés par les normales aux faces (autour de O) on a :
αÎČΞΠ++= ( III.25 )
Enfin, connaissant la taille des Ă©lĂ©ments, et le rayon de courbure, lâ approximation de la longueur desarcs de cercle par la longueur de la corde donne :
Rh1
1 =Ξ et Rh2
2 =Ξ ( III.26 )
La relation qui lie lâ angle de dĂ©viationΞ Ă la dimension des Ă©lĂ©ments et au rayon de courbure estobtenue Ă partir de lâ injection des valeurs donnĂ©es dans ( III.24 ) et ( III.26 ) dans lâ Ă©quation ( III.25 ) :
â
+
â
â=22
12 ΞΠΞΠΠΞ
soit
Rh
Rh 12 +=Ξ ( III.27 )
Ξ est lâ angle de dĂ©viation(Figure 72), du champ des normales qui peut-ĂȘtre construit en chaque nĆ udde la surface du maillage. Dans le cas dâ un maillage homogĂšne, la relation ( III.27 ) donne :
Rh
c 2=Ξ ( III.28)
Dans le cas général la relation ( III.28) donne une approximation de cet angle en utilisant h la taille de
maille moyenne locale, et R1
le rayon de courbure.
Ξ
O
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
103
Afin de vĂ©rifier la validitĂ© de notre estimateur, considĂ©rons Ă prĂ©sent deux maillages dâ une mĂȘme demisphĂšre : un maillage fin et non homogĂšne, et un maillage grossier homogĂšne. On se place dans le casutilisĂ© en simulation, câ est Ă dire que les normales construites aux nĆ uds sont des normalesconservatives. Lâ estimation de lâ angle cΞ est donnĂ©e dans le Tableau 2.
Figure 73 : maillage fin et grossier, et estimation du diamÚtre des éléments
DiamÚtreélément
[m]
PrĂ©vision cΞen radian, Ă
partir de( III.28)
Prévision cΞen degré, à partir de (4)
hcalulĂ© grossier 8,726 310âĂ 0.348 20hcalulĂ© fin 7.47 410âĂ 0.15 9
Tableau 2 : PrĂ©vision de lâ angle critique
On vĂ©rifie, Figure 74, que les estimations donnĂ©es dans le Tableau 2 correspondent bien Ă lasimulation : pour des angles critiques supĂ©rieurs aux valeurs donnĂ©es, on nâ a construit en moyennequâ une normale par nĆ ud. On observe Ă©galement que lorsque le maillage est fin, la rupture entre le faitde construire une seule normale ou trois est trĂšs nette : la fourchette de lâ angle critique qui correspondĂ ce changement est trĂšs petite. Cette observation reste vraie lorsque le maillage est grossier. En effet,si âcΞ [14, 18], le nombre de normales construites aux nĆ uds nâ est franchement ni un, ni trois, maiscet intervalle reste petit.
Figure 74 : Comparaison du nombre des normales construites divisĂ© par le nombre de nĆudspour les maillages fin et grossier
212 Ă= R
hcalcÎ
92 Ă= R
hcalcÎ
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
104
Câ est Ă lâ utilisateur de dĂ©finir Ă quel point son maillage est grossier, câ est Ă dire si les angles de celui-ci sont dus Ă lâ imperfection de la conception (dans ce cas on lisse lâ Ă©coulement en ne construisantquâ une normale par nĆ ud), ou si ceux-ci font partie de la forme Ă prendre en compte. On a Ă©galementmontrĂ© que lâ on pourrait extraire un angle critique local des donnĂ©s du maillage, dans le cas oĂč lâ onconsidĂšre un maillage sans arĂȘte ni angle. Pour automatiser la gestion et la crĂ©ation de lâ angle critique,il suffirait donc, dans un premier temps, de gĂ©rer les angles ou arĂȘtes « rĂ©els » de maniĂšre Ă imposerplusieurs normales en ces nĆ uds, et dans un second temps, de calculer le rayon de courbure local oumoyen [Bellet, 2001] afin de dĂ©finir lâ angle critique local ou moyen sur lâ ensemble du reste de lafrontiĂšre de maniĂšre Ă nâ imposer quâ une normale en ces nĆ uds.
Dâ une maniĂšre plus immĂ©diate, afin de visualiser le nombre de normales aux nĆ uds, et lâ adĂ©quationentre la position des normales multiples, on a ajoutĂ© un compteur de normales aux nĆ uds qui permetde visualiser Ă lâ aide Glview©. Cet outil est dâ autant plus utile, quâ en 3D, et en utilisant des normalesconservatives (avec une influence de la surface des faces adjacentes) il est difficile de se faire une idĂ©eglobale extrĂȘmement prĂ©cise des blocages Ă©ventuels sur des formes complexes. On verra dans la suitedes illustrations de lâ utilisation de cette visualisation.
Dans les visualisations du nombre des normales aux nĆ uds que lâ on donnera par la suite, les couleursaux nĆ uds suivront la convention : rouge â 3 normales ; bleu-2 normales ; jaune â 1 normale, et blancaucune (Figure 80).
Figure 75 : Convention des couleurs de visualisation du nombre de normales aux noeuds
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
105
III.2.2.1.3.3 Conservation de la matiĂšre et normales multiplesOn a vu comment, de maniĂšre Ă vĂ©rifier la condition dâ incompressibilitĂ©, il Ă©tait possible de construireune normale conservative en chacun des nĆ uds de la frontiĂšre [III.2.2.1.1].
Rappelons que lâ on a montrĂ© que si 0=ii N.v en chaque nĆ ud i avec iN construite de maniĂšre Ă ĂȘtreconservative, alors la condition 0=)v(div nâ est pas violĂ©e par lâ ajout des conditions limites deglissement.
Plaçons-nous maintenant dans le cas de normales multiples. Supposons que lâ on a construit k normalesaux nĆ uds i. On impose pour chacune de ces normales, notĂ©e i
kN , la relation de contact bilatéral :
1,3 kN.v ik
i == avec 0 ( III.29 )
Le cas k=3 correspond Ă la construction de trois normales non colinĂ©aires en un nĆ ud, et Ă lâ imposition dâ une vitesse nulle. Il est par consĂ©quent inutile dâ envisager plus de trois normales en unnĆ ud.
Rappelons que )i(F est lâ ensemble des faces adjacentes au nĆ ud i, et notons )i(F k lâ ensemble de
ces faces ayant servi a construire ikN , telles que :
â =)i(F k
k
et : ( III.30 )
)i(F)i(Fk
k =
Si on construit en chaque nĆ ud i les normales ikN de la maniĂšre suivante :
â
â
â
â=
)i(FF
)i(FF
F
ik F
nF
Nk
( III.31 )
en appliquant ( III.29 ) et ( III.31 ), et Ă la condition que ( III.30 ) soit vĂ©rifiĂ©e, on a lâ Ă©galitĂ© :
0===
â
ââ â
â
â
â
â
â ii
)i(FF
F
)i(FF
F
i
k)i(FF
)i(FF
F
i Nv
nF
nF
vF
nF
vk
( III.32 )
oĂč iN est la normale conservative que nous avons dĂ©finie en ( III.16 ), et qui assure la vĂ©rification delâ Ă©quation de la continuitĂ©, Ă la condition que 0=ii Nv , ici donnĂ©e par ( III.32 ).
Par cette dĂ©monstration, on a montrĂ© quâ Ă la condition ( III.30 ), lâ expression ( III.31 ) des normalesmultiples aux nĆ uds assure de vĂ©rifier lâ Ă©quation de la continuitĂ©, quelque soit le nombre de normalesk construites en chacun des nĆ uds i.
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
106
III.2.2.1.3.4 LâalgorithmeLâ algorithme donnĂ© dans ce paragraphe (Figure 76) vĂ©rifie les conditions ( III.30 ), et ( III.31 ) qui assurent que les normales multiplesconstruites sont conservatives. En particulier, la condition ( III.30 ) est vĂ©rifiĂ©e car lâ algorithme estbasĂ© sur une boucle sur les faces de la frontiĂšre, et par consĂ©quent la surface dâ une face nâ est prise encompte quâ une fois dans la construction des normales Ă un mĂȘme nĆ ud.
Les notations utilisĂ©es dans la description de lâ algorithme (Figure 74) sont les suivantes :
F : une face de la surface discrétisée du maillage de la piÚceF : la surface de la face F
Fn : la normale Ă la face Fnoe : le nĆ ud traitĂ©k(noe) : le nombre de normales construites aux nĆ uds noecpt(k(noe)) : nombre de faces impliquĂ©es dans la construction de la normales numĂ©ro k(noe) du
nĆ ud noe initialisĂ© Ă 0.noejn : la jĂšme normale construite au nĆ ud noe (Ă la fin de lâ algorithme noe
jN )noejS : la somme de la surface des faces prises en compte dans la construction de la normale
noejn
Cet algorithme est basĂ© sur une boucle sur les faces de la cavitĂ© Ă remplir. Par cette boucle, on ajoutela contribution de la normale et de la surface de la face considĂ©rĂ©e aux normales crĂ©Ă©es en les nĆ udsdecette face.
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
107
Figure 76 : Algorithme de construction des normales multiples conservatives
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
108
III.2.2.2 Ecriture des contributions au problĂšme discretDans cette partie, on Ă©crit les contributions de lâ imposition du contact glissant et de la loi de paroi auproblĂšme discret final ( III.4). Rappelons que les fonctions bulle sâ annulent sur le bord des Ă©lĂ©ments,et par consĂ©quent, que les termes liĂ©s au contact et au frottement qui les contiennent sont nuls. Dâ unemaniĂšre gĂ©nĂ©ral, dans REM3DÂź, lâ assemblage du systĂšme se fait Ă©lĂ©ment par Ă©lĂ©ment. En ce quiconcerne lâ imposition du contact, nous avons fait un assemblage aux nĆ uds.
III.2.3 Le glissement
Rappelons lâ Ă©quation matricielle ( III.8 ) Ă©tablie au paragraphe [III.2.1.3] :
FN)N.V(HV pen =+ α
La contribution du contact au rĂ©sidu de cette Ă©quation, en se plaçant au degrĂ© de libertĂ© (i,m) quicorrespond au nĆ ud frontiĂšre i en la composante m, est la suivante :
jm
iiipen
penim N)Nv(R α= Ïâ â )j(F)i(F/j
En rappelant que F(i) désigne les faces frontiÚre adjacentes à i, iN la normale conservative en i et imN
sa composante m. On notera (i,m) le degré de liberté correspondant à i et à m.
De maniÚre à obtenir une contribution bloc diagonale à la matrice hessienne, on écrit la contributionau résidu en (i,m), de la maniÚre suivante :
im
iiipen
penim N)Nv(R α=
Par conséquent on a au degré de liberté correspondant à (i,m) et (j,n) :
0=â
âj
n
penim
v
R si ji â et i
min
ipeni
n
penim NNv
R α=â
â
Notons que penα est un coefficient de pĂ©nalisation local au nĆ ud i qui sera Ă©crit en fonction de F(i).
Dans le cas oĂč k normales sont construites en i, on a la contribution (Ă©crite sous forme vectorielle) :
â=
=k
l
il
il
iipen
peni N)Nv(R
1α
Lâ assemblage au nĆ ud est effectuĂ© en faisant une boucle sur les normales aux nĆ uds, et est parconsĂ©quent trĂšs peu coĂ»teux. Un tel assemblage permet Ă©galement de passer trĂšs facilement dubidomaine (lorsque seule la cavitĂ© Ă remplir est maillĂ©e) au multidomaine (en prenant en compte lemoule) : la mĂ©thode ne se base que sur la connaissance des nĆ uds oĂč le contact glissant doit ĂȘtreimposĂ©.
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
109
III.2.4 Le frottement
A partir du problÚme variationnel discret issu de ( III.4 ), pour définir les contributions liées aufrottement, écrivons les termes issus de la forme :
â«â« ââ=hh
dw)n).n.v(v(dw hhhfrothhÎÎ
ÎηαÎÏ
Rappelons que les iÏ dĂ©signent les fonctions de base associĂ©es aux nĆ uds i de h, lâ ensemble desfonctions dâ interpolation de la vitesse. La contribution au rĂ©sidu liĂ©e au frottement, au nĆ ud frontiĂšrei, dans la direction m, est de la forme :
â« â«+â=h h
d)n.)N.v(d)v(R jm
iiifrott
jiimfrott
frottim
Î ÎÎÏÏηαÎÏÏηα jÏâ
oĂč le terme de la deuxiĂšme partie de la somme est nĂ©gligeable par rapport au terme, de mĂȘme forme,issu de lâ imposition du glissement.
On choisit de prendre comme points dâ intĂ©gration, les sommet des triangles de la triangulation de lafrontiĂšre. Par consĂ©quent; au nĆ ud i, et dans la direction m, on Ă©crit la contribution au rĂ©sidu sous laforme :
im
)i(FFfrot
frottim vFR
â= â
â 31ηα ( III.33 )
La contribution à la matrice hessienne, au degré de liberté correspondant à (i,m) et, (j,n), est alors de laforme :
nm
)i(FFfrotj
n
frottim Fv
R Ύηα
â=
ââ â
â 31
oĂč nmÎŽ est le symbole de Kronecker tel que mnn
m == si 1ÎŽ et nmÎŽ sinon.
III.3 Le traitement particulier du flux aux faces frontiĂšre du maillage en contact glissant
Du fait de lâ imposition du contact glissant il existe des vitesses Ă la paroi. De plus, les vitesses auxfaces ne sont pas forcĂ©ment orthogonales aux vecteurs normaux correspondants. On a vu dans leparagraphe qui traite du suivi de la surface libre [II.4.1], comment les termes convectifs sont traitĂ©sdans la rĂ©solution de lâ Ă©quation de transport de la fonction de prĂ©sence du fluide. Rappelons que lamĂ©thode utilisĂ©e est de type Galerkin discontinu, et quâ elle amĂšne Ă exprimer le flux de la fonction deprĂ©sence, et le saut de sa valeur (constante par Ă©lĂ©ment) Ă travers les faces des Ă©lĂ©ments. De ce fait,puisquâ il existe des vitesses Ă la paroi, un flux de matiĂšre parasite, entrant ou sortant, peut ĂȘtre gĂ©nĂ©rĂ©artificiellement. La Figure 77 illustre, dans le cas le plus gĂ©nĂ©ral, la gĂ©nĂ©ration de ce flux Ă travers uneface de la frontiĂšre de la cavitĂ© : un flux positif de matiĂšre est gĂ©nĂ©rĂ© Ă la face (dessinĂ©e en pointillĂ©s),du fait de la vitesse Fv
(flÚche verte). La matiÚre pénÚtre dans le moule et le moule pénÚtre dans la
cavité (si on calcule le transport de sa fonction de présence).
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
110
Figure 77 : Illustration du transport du fluide Ă travers le moule
La solution Ă ce problĂšme, est dâ annuler le flux Ă travers les faces frontiĂšre de la cavitĂ©, en exceptantles faces dâ injection. On vĂ©rifiera par la suite que lâ hypothĂšse dâ un flux nul Ă la paroi, dans le calcul delâ Ă©quation de transport, est compatible avec la condition dâ incompressibilitĂ© (conservation de lamatiĂšre). En dâ autres termes, on vĂ©rifiera que le volume prĂ©sent dans la cavitĂ©, calculĂ© en intĂ©grant lafonction caractĂ©ristique du fluide, est Ă©gal au volume injectĂ© moins les pertes de matiĂšre Ă la paroi.
Dâ un point de vue pratique, nous avons imposĂ© le flux nul Ă la paroi de la maniĂšre la plus gĂ©nĂ©ralepossible : nous nous sommes basĂ©s sur la fonction caractĂ©ristique de la cavitĂ© Ă remplir pour dĂ©tecterles faces frontiĂšre oĂč annuler le flux. Cette mĂ©thode prĂ©sente lâ avantage dâ ĂȘtre utilisable que lâ onprenne le moule en compte ou pas.
III.4 ValidationsDans la suite, pour valider notre mĂ©thode dâ imposition du contact Ă la paroi, nous nous intĂ©ressons Ă lâ Ă©tude de la conservation de la matiĂšre dans des exemples de type no-flow test, ainsi que lors deremplissages en pression et en dĂ©bit. Nous dĂ©montrerons Ă©galement lâ efficacitĂ© de lâ utilisation desnormales conservatives en la confrontant Ă une mĂ©thode de construction de normales moyennes auxnĆ uds. Notons que lâ on supposera un glissement parfait : sans ajout de loi de paroi, de maniĂšre Ă nepas avoir Ă traiter deux paramĂštres et Ă nous concentrer sur le glissement.
III.4.1 Définitions et formules utilisées dans notre étude
Dâ une maniĂšre gĂ©nĂ©rale Ă un temps t donnĂ©, on a la relation :
QuantitĂ© perdue Ă la paroi = QuantitĂ© en entrĂ©e â QuantitĂ© prĂ©sente dans la cavitĂ© ( III.34 )
La quantitĂ© de matiĂšre en entrĂ©e sera calculĂ©e Ă lâ aide du flux (entrant) de matiĂšre sur la surfacedâ entrĂ©e [III.4.1.1]. En ce qui concerne la quantitĂ© de matiĂšre prĂ©sente, on donnera deux mĂ©thodes decalcul [III.4.1.2], la premiĂšre Ă partir de la fonction de prĂ©sence du fluide, et la seconde Ă partir desĂ©changes de matiĂšre Ă la paroi.
En général, pour faciliter les calculs, on considÚre que la piÚce est initialement déjà légÚrementremplie. Dans ce cas, on tiendra compte de cette quantité initiale dans ( III.34 ).
Dans la suite, on utilisera lâ expression de la vitesse Ă la face, donnĂ©e en fonction des vitesses aux
nĆ uds de celle-ci : â=
=3
131
l
lF vv .
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
111
III.4.1.1 Quantité de matiÚre en entrée
Le flux de matiĂšre injectĂ©e Ă travers la surface dâ injection ihÎ , Ă lâ instant t, est calculĂ© en utilisant les
notations de (III.2.2.1.2), par :
tFnvdtnd.vt
t F
FF
ih
ih
âÎâ ÎÎ
â« â ââ«
=
=
â0
On obtient directement le volume total de matiÚre injectée, en pourcentage de remplissage de la cavitéà remplir par la relation :
K
tFnv
%
h
ih
K
t
F
F
F
ââ â
â
â
Ă
=
Ω
â Î
â100
injectée matiÚre de volume ( III.35 )
en notant tâ le pas de temps, et K le volume de lâ Ă©lĂ©ment K.
Notons que lorsque cette quantitĂ© sera donnĂ©e dans la suite, le plus souvent sous forme de graphe, illui sera ajoutĂ© le volume de matiĂšre dĂ©jĂ prĂ©sent dans la cavitĂ© Ă lâ initialisation.
III.4.1.2 Calcul du volume présent dans la cavité à un temps donnéA présent, donnons deux méthodes pour calculer le volume de matiÚre présent dans la cavité à uninstant t donné :
§ A partir de la fonction de prĂ©sence du fluideSur chaque Ă©lĂ©ment ΩâK , Ă chaque instant t, on a la valeur de la fonction de prĂ©sence, ou fonctioncaractĂ©ristique du fluide ( ) [ ]101 ,tK
fâΩ . Le volume occupĂ© par le fluide Ă lâ instant t, sur Ω est donnĂ©
par :
Volume liquide(t) = ââ h
f
K
K K)t(Ω
Ω1 ( III.36 )
oĂč K dĂ©signe le volume de lâ Ă©lĂ©ment.Ce rĂ©sultat est fourni par Rem3DÂź , en pourcentage de volume total de la piĂšce Ă remplir, soit :
Taux de remplissage(t) = ââ
â
â
Ă
h
h
f
K
K
K
K
K)t(
Ω
ΩΩ1100
( III.37 )
âą A partir des Ă©changes de flux Ă la frontiĂšre
On estimera Ă©galement le volume prĂ©sent dans la cavitĂ© en calculant le bilan des flux de matiĂšre, câ estĂ dire en calculant sur lâ ensemble du domaine hÎ :
Taux de remplissage calculĂ© Ă partir des flux(t) =â
â â
â
= â
Ă
h
h
K
t
t
F
F
F
K
tFn.v
Ω
â Î
â0
100
( III.38 )
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
112
III.4.1.3 Comparaison du calcul des taux de remplissageOn a vu deux maniĂšres de calculer la quantitĂ© de fluide prĂ©sente dans la cavitĂ©, lâ une que lâ onappellera le taux de remplissage Rem3DÂź, est basĂ©e sur la fonction caractĂ©ristique, et lâ autre, issue dubilan des flux Ă la paroi, est basĂ©e essentiellement sur la valeur des vitesses Ă la paroi issues du calculmĂ©canique. Lorsque le calcul de lâ Ă©coulement et le calcul du transport de la fonction caractĂ©ristiquesont corrects, le schĂ©ma numĂ©rique global est conservatif, et il y a coĂŻncidence entre le bilan des fluxde matiĂšre et la quantitĂ© de matiĂšre prĂ©sente. Dans le cas contraire, un Ă©cart entre les rĂ©sultats issus desdeux mĂ©thodes de calcul exposĂ©es traduit la non conservativitĂ© du schĂ©ma.
III.4.1.3.1 Le « no flow test » de la cavité cubique : influence de la méthode de construction desnormales sur la conservation de la matiÚre
VĂ©rifions lâ efficacitĂ© de lâ imposition du contact Ă la paroi en observant que le volume initialementprĂ©sent dans une cavitĂ© cubique, sans quâ aucune matiĂšre ne soit injectĂ©e, est conservĂ© (Figure 80).Nous avons choisi intentionnellement un maillage avec des faces ayant des surfaces de dimension trĂšshĂ©tĂ©rogĂšne (Figure 79). De cette maniĂšre, les deux types de construction donnent des normales trĂšsdiffĂ©rentes. Afin de faciliter lâ obtention de rĂ©sultat dans ces conditions difficiles, du fait de la qualitĂ©mĂ©diocre du maillage, et de lâ utilisation des normales moyennes, la rhĂ©ologie choisie pour le fluide estcelle du verre fondu. Pour une rhĂ©ologie correspondant au mĂ©tal en fusion, il devient difficiledâ obtenir des rĂ©sultats lors de lâ utilisation de normales moyennes.
Données simulation (viscosité cinématique) Pas de temps Temps total Dimensions
1 ].s[m 12 â 0,01[s] 8[s] ArĂȘte : 1 [m]
Figure 78 : Données de la simulation
DonnĂ©es maillageNbre de nĆuds1069Nombre dâ Ă©lĂ©ments5762
Nbre facefrontiere862
Volume maillage
멉 )( ee
volume
1 [m3]
Surfacemaillage
âΩââ
)(FsurfaceF
6 [m2]
Surface moyennedâune face6.96 310âĂ [m2]
Figure 79 : Données du maillage
Trois méthodes différentes de construction des, normales seront utilisées: la méthode des normalesmoyennes, conservatives, et des normales conservatives multiples (Figure 80). Les normales
moyennes sont construites de la façon suivante : â=)noe(F
Fnoemoy nn
noe Ă adjacentes faces nbre1
.
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
113
Figure 80 Nombre de normales aux nĆuds dans le cas de Normales multiples
Figure 81 : Remplissage initial de la cavité (60% du volume total)
Solution de référence
On sait que la solution exacte a les propriétés suivantes :
âą La pression est Ă©gale a )()( zhgzp â= Ï .Ici on attend p(0)=5,886 [Pa]
âą La vitesse est nulle dâ oĂč : ( ) .0
2/1
3,1
2
2â
= â â
멉 =noe k
k
lnoevv
âą La solution est stationnaire.
Afin de déterminer la convergence du calcul mécanique, on regarde les deux valeurs citées en faisant
varier la précision exigée sur le résidu relatif : rr
VR
VVRΔΔ <
â+)(
)( tqprécision
0
.
Enfin, du fait de la simplicitĂ© de la forme Ă©tudiĂ©e, il est facile de bloquer les degrĂ©s de libertĂ© envitesse Ă la paroi, de maniĂšre Ă imposer un contact glissant parfait, ce qui nous permet dâ obtenir lesrĂ©sultats de rĂ©fĂ©rence Tableau 3.
r
Δ )0(p (en [MPa])2l
v
10-4 5,886 0,16510-5 5,886 0,14910-6 5,887 0,141
Tableau 3 : convergence des rĂ©sultats lorsquâon bloque les degrĂ©s de libertĂ© Ă la paroi
La gravité
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
114
Dans le Tableau 3, les valeurs de la norme l2 de la vitesse sont relativement Ă©levĂ©es. Ellescorrespondent Ă des vitesses de lâ ordre de 10-3[m.s-1] dans le fluide et de 10-2[m.s-1] dans lâ air (dâ aprĂšsles rĂ©sultats de la simulation).
Lâ obtention de ces valeurs est due au fait que la cavitĂ© nâ est pas entiĂšrement remplie. Les vitesses dansle vide sont artificiellement fortes (rappelons que lâ on ne rĂ©sout pas de problĂšme mĂ©canique dans levide). De plus, ici, lâ interpolation P0 de la fonction caractĂ©ristique, utilisĂ©e dans le traitement delâ Ă©quation de transport, engendre un « bruit » ou « clapot ».
Comparaison de lâefficacitĂ© des mĂ©thodes de construction de normales
En utilisant les mĂȘmes conditions de simulation, en choisissant un facteur de pĂ©nalisation 510=penα ,
on obtient les résultats récapitulés dans le Tableau 4.
MĂ©thodes deconstruction
)0(p (en [MPa])2l
v
moyennes Entre 5 et 6,4 1,22conservatives Entre 5,8 et 6 0,37Multiples conservatives Entre 5,8 et 6 0,28
Tableau 4: pressions et norme de la vitesse en fonction de la construction des normales
Confrontons les rĂ©sultats obtenus en fonction de la mĂ©thode de construction des normales aux nĆ uds(Tableau 4) avec les rĂ©sultats de rĂ©fĂ©rence (Tableau 3). Lorsquâ on construit des normales moyennesaux nĆ uds, la norme de la vitesse est bien plus importante que celle attendue. De plus, les pressions nesont pas correctement dĂ©crites, ce qui est confirmĂ© Figure 82. En revanche, en utilisant des normalesconservatives, la norme de la vitesse est proche de celle obtenue dans le cas de rĂ©fĂ©rence (Tableau 3),et on vĂ©rifie que la pression est bien dĂ©crite (Figure 82).
Contact avec imposition desdegrés de liberté
Normales moyennes Normales conservatives
Figure 82 : comparaison du champ de pression en imposant les degrĂ© de libertĂ© âen durâ, enutilisant des normales moyennes et conservatives
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
115
En ce qui concerne la stationnaritĂ© du problĂšme, on obtient, les valeurs pour lâ accĂ©lĂ©ration calculĂ©e parĂ©lĂ©ment, en utilisant lâ expression Ă©tablie [II.3.3.2], donnĂ©es Tableau 5. Il apparaĂźt lĂ aussi que lesnormales moyennes ne permettent pas dâ obtenir la stationnaritĂ©, ce qui est Ă©galement illustrĂ© par laFigure 83, qui montre que lorsquâ on choisit des normales non conservatives, le rĂ©servoir se vide trĂšsrapidement.
MĂ©thodes deconstruction desnormales
Gamma min Gamma max
moyennes 410â 0,3conservatives 7109 âĂ 2105 âĂmultiples 7105 âĂ 2104 âĂDegrĂ©s bloquĂ©s 710â 3103 âĂ
Tableau 5 : accélérations dans la cavité stagnante
Figure 83: comparaison Ă©volution du taux de remplissage selon la construction des normalesaux noeuds
En conclusion, ce cas test nous permet de valider lâ utilisation des normales conservatives, etconservatives multiples, face Ă des normales moyennes, non conservatives : la matiĂšre est conservĂ©elorsquâ on utilise des normales conservatives, et pas dans le cas oĂč on utilise des normales moyennes(Figure 83).
49
51
53
55
57
59
61
0 2 4 6 8
temps(s)
% r
empl
issa
ge
normales consitantes normales moyennesdegré de liberté imposés
normales conservatives
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
116
III.4.2 Le site dâ accĂšs vasculaire, remplissage en pression
Cette partie est consacrĂ©e Ă lâ Ă©tude du contact dans le cas dâ une piĂšce prĂ©sentant de nombreuxarrondis, tout en tenant compte des angles formĂ©s par son plan de symĂ©trie (la symĂ©trie sera icisimulĂ©e par le contact glissant). Pour lâ Ă©tude de ce cas test, nous choisirons dâ imposer une pression enentrĂ©e .
III.4.2.1 PrĂ©sentation du casDonnĂ©es maillageNbre de nĆuds10963Nombre dâ Ă©lĂ©ments47994
Nbre facesfrontiere9994
Volume maillage
멉 )( ee
volume
4.39Ă 10-6[m3] -
Surfacemaillage
âΩââ
)(FsurfaceF
0.0028399[m2]
Surface moyennedâune face2,84Ă 10-7 [m2]
Figure 84 : Maillage du site dâaccĂšs vasculaire
DimensionsSurface du plan dâ entrĂ©e : 8.14Ă 10-6[m2]Longueur : 65Ă 10-3 [m]
DonnĂ©es simulation].s 12 â dt[s] Temps total[s] Pression imposĂ©e en entrĂ©e [Pa]
0,01 0,01 10 100
Remplissage initial
Le remplissage initial de la piĂšce est de12,5%
Figure 85 : taux de remplissage initial
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
117
III.4.2.2 Comparaison des conditions limites de contact glissante et collanteDans un premier temps, comparons les Ă©coulements obtenus dans le remplissage du site dâ accĂšsvasculaire, en imposant soit un contact collant, soit un contact glissant. A pression imposĂ©e et donnĂ©esde simulation identiques, les temps de remplissage sont radicalement diffĂ©rents (Figure 88), de 14[s]en glissement Ă plus de 140 [s] en collant (le temps dâ inflĂ©chissement de la courbe nâ Ă©tant pas encoreatteint ici). En observant le profil des vitesses dans le sens de lâ Ă©coulement en contact collant, onconstate, Figure 89, que lorsque le maillage est grossier, la vitesse nulle en paroi, crĂ©e une couchelimite trĂšs importante, ce qui ralentit lâ Ă©coulement. En ce qui concerne la forme des Ă©coulements, onobserve Ă©galement une trĂšs nette diffĂ©rence entre les Figure 86 et Figure 87 : la matiĂšre sâ Ă©tale sur lefond plat de la piĂšce en contact collant, alors que lâ on peut observer un jet dans le cas glissant quisâ Ă©crase en face du « canal dâ alimentation ».
Figure 86 : Evolution du front de matiĂšre pour un contact collant
Figure 87 : Evolution du front de matiĂšre pour un contact glissant
glissant collant
Figure 88 : comparaison de l'évolution du remplissage pour des conditions de contactdifférentes
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
118
glissant collant
Figure 89 : vitesses dans le sens de lâ Ă©coulement, conditions de contact glissant et collant :mise en relief de la couche limite collante
III.4.2.3 Nombre de normales aux nĆudsLe maillage de la piĂšce Ă©tudiĂ©e est relativement grossier, ce qui apparaĂźt dans la description de celui-ci(Figure 84), mais aussi dans la faible pente dâ Ă©volution du nombre des normales (Figure 90) : pour quele nombre des normales aux nĆ uds nâ Ă©volue plus de façon sensible, lâ angle critique de dĂ©viation doitĂȘtre pris assez grand. Rappelons que les angles dus Ă la coupe sont gĂ©rĂ©s par lâ ajout de normales auxnĆ uds, ce qui augmente le nombre de nĆ uds avec deux normales.
Dans la suite, on choisit un angle de 40. On peut visualiser le nombre des normales aux nĆ udscorrespondant Ă cet angle Figure 91. On peut observer quâ en plusieurs nĆ uds de « lâ arrondi» deuxnormales sont crĂ©Ă©es, ce qui nous permettra de tester notre mĂ©thode dans un cas trĂšs gĂ©nĂ©ral.
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
0 5 10 15 30 45 90
angle critique en degre °
Nom
bre
de n
orm
ales
Figure 90 : Evolution du nombre des normales aux nĆuds en fonction de lâ angle de dĂ©viation
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
119
Figure 91 : Nombre des normales aux nĆuds pour un angle critique de 40°
III.4.2.4 Influence du facteur de pĂ©nalisationDans un premier temps, observons lâ influence du facteur de pĂ©nalisation sur lâ Ă©volution du taux deremplissage de la cavitĂ© (Figure 92), ainsi que sur le taux de matiĂšre injectĂ©e en entrĂ©e (Figure 93) .
Figure 92 : évolution du taux de remplissage calculé à partir de la fonction caractéristique
Quelque soit le coefficient de pĂ©nalisation choisi, on constate, Figure 92, que lâ Ă©volution du taux deremplissage au cours du temps est le mĂȘme. Dâ autre part, la Figure 93 montre que le taux de matiĂšreinjectĂ© par contre varie selon la valeur de ce mĂȘme coefficient : plus le coefficient est faible, plus laquantitĂ© de matiĂšre injectĂ©e augmente. Autrement dit, de la matiĂšre est injectĂ©e, sans quâ elleapparaisse dans la cavitĂ©. Remarquons enfin quâ Ă partir dâ un certain coefficient de pĂ©nalisation, onvĂ©rifie que la quantitĂ© de matiĂšre injectĂ©e est la mĂȘme que la quantitĂ© de matiĂšre qui est prĂ©sente dansla cavitĂ© (Figure 92, Figure 93 et de maniĂšre plus claire Figure 97).
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
temps[s]
tau
x re
mp
lissa
ge
(%)
alpha_pen=1E2 alpha_pen=1E3 alpha_pen=1E4
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
120
Figure 93: Evolution du pourcentage de matiÚre injectée en fonction du facteur depénalisation
On peut trouver une explication satisfaisante Ă la diffĂ©rence entre la quantitĂ© de matiĂšre injectĂ© et laquantitĂ© de matiĂšre prĂ©sente dans la cavitĂ© (Figure 92, Figure 93) lorsque la valeur du coefficient depĂ©nalisation est la plus petite. En effet, lorsque le coefficient de pĂ©nalisation est trop faible, lacontrainte de contact glissant est mal imposĂ©e. Par consĂ©quent, les parois ne jouent plus leur rĂŽle, câ estĂ dire quâ elles nâ exercent pas suffisamment de contrainte sur lâ Ă©coulement, et la matiĂšre « pĂ©nĂštre »dans le moule, ou « fuit ». La pression imposĂ©e Ă©tant constante, le dĂ©bit en entrĂ©e augmente pourquâ elle soit maintenue : cela explique que lâ Ă©volution du taux de matiĂšre prĂ©sente dans la cavitĂ© est lemĂȘme quelque soit le coefficient de pĂ©nalisation (Figure 92). Finalement, pour un coefficient depĂ©nalisation suffisamment fort, les deux courbes sont pratiquement confondues (Figure 94), exceptĂ© Ă la fin du remplissage oĂč la pression exercĂ©e par le fluide sur les parois devient trop forte du fait que lacavitĂ© est remplie et que lâ on continue Ă injecter de la matiĂšre. Si lâ adaptation de maillage [II.4.2.1]Ă©tait appliquĂ©e sur les parois du moule, ce phĂ©nomĂšne serait moins important. En effet, mĂȘme si lefront de matiĂšre (localisĂ© par lâ isovaleur 0,5 de la fonction caractĂ©ristique du fluide) ne touche pas lefond du moule, si certains Ă©lĂ©ments qui le jouxtent sont partiellement remplis (Ă cause de la diffusionnumĂ©rique), la pression augmente prĂ©maturĂ©ment.
4[s] : 74%
Le coefficient depénalisation est trop
faible : la matiÚrepénÚtre dans le moule
Coefficient depénalisation adapté :
trÚs légÚre pénétrationdans le moule en fin de
remplissage
7,3[s] : 95%
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
121
Figure 94: Evolution du pourcentage de matiÚre dans la cavité, et du volume injecté pour unfacteur de pénalisation adapté : 104
Le Tableau 6 donne les pertes de matiĂšre Ă la paroi calculĂ©es Ă partir des flux Ă la paroi en pourcentagede cavitĂ© ( III.38 ). Ces donnĂ©es confirment lâ explication que nous avons donnĂ©e sur la diffĂ©renceentre les courbes Figure 90. En effet, la diffĂ©rence entre la quantitĂ© de matiĂšre injectĂ©e et la quantitĂ© dematiĂšre prĂ©sente dans la cavitĂ© correspond bien Ă la quantitĂ© de matiĂšre perdue Ă la paroi. CettematiĂšre correspond Ă©galement au dĂ©bit nĂ©cessaire pour maintenir la pression en entrĂ©e. Dans le cas oĂčle coefficient de pĂ©nalisation est correct, les pertes de matiĂšre sont nĂ©gligeables, et par consĂ©quent, letaux de remplissage correspond au taux de matiĂšre qui a Ă©tĂ© injectĂ©.
penα 102 103 104
% de volume perduau bout de10[s] de remplissage
29 3,41 0,46
% de volume perduau bout de7,5[s] de remplissage
17 1,6 0,01
Tableau 6 : bilan des pertes de matiÚre à la paroi en % de cavité à remplir
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
temps [s]
%ta
ux
de re
mp
lissa
ge
taux remplissage Rem3DŸ volume injecté (% volume cavité cumulé
trÚs légÚrepénétration de la
matiĂšre dans le mouleen fin de remplissage
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
122
III.4.2.5 Influence de la méthode de construction des normales : comparaison entrenormales conservatives et normales moyennes
Confrontons Ă prĂ©sent la mĂ©thode de construction des normales conservatives Ă la mĂ©thode desnormales moyennes aux nĆ uds, en choisissant un facteur de pĂ©nalisation de 103. Dans un premiertemps, on trace les Ă©changes de matiĂšre (cumulĂ©s) Ă la paroi, Figure 95, en fonction du mode deconstruction des normales aux nĆ uds : la courbe rouge correspond aux normales conservatives, et lacourbe orange aux normales moyennes. Lorsquâ on utilise des normales moyennes aux nĆ uds, onconstate, dans un premier temps, un gain de matiĂšre qui correspond Ă un flux entrant au niveau du« cou » de la piĂšce, dans un second temps, les pertes de matiĂšre deviennent prĂ©pondĂ©rantes. En fin deremplissage, la quantitĂ© de matiĂšre perdue est trĂšs importante, ce qui nâ est pas le cas lorsque lesnormales construites sont conservatives, en rappelant que le coefficient de pĂ©nalisation choisi ici estbon sans ĂȘtre optimal.
Figure 95 : échanges de matiÚre cumulés à la paroi au cours du remplissage en fonction dumode de construction des normales aux noeuds
-5
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
temps[s]
%re
mpl
issa
ge
normales consistantes normales moyennes
4,1[s] : 74%
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
123
On retrouve la mĂȘme tendance (Figure 96) lorsquâ on trace les Ă©changes instantanĂ©s Ă la paroi (toujoursen pourcentage de la cavitĂ© totale). Une quantitĂ© nĂ©gative correspond Ă une entrĂ©e de matiĂšre, et unequantitĂ© positive Ă des pertes. On constate lĂ encore que les Ă©changes Ă la paroi sont bien plusimportants lorsquâ on construit des normales moyennes. Notons Ă©galement que dâ une maniĂšregĂ©nĂ©rale, la quantitĂ© de matiĂšre perdue nâ est pas constante au cours du temps, et quâ elle augmente demaniĂšre significative lorsque la piĂšce est pratiquement remplie. Cette observation tend Ă montrer quâ ilserait sans doute plus efficace dâ utiliser un coefficient de pĂ©nalisation qui varie au cours du temps.
Figure 96 : comparaison des Ă©changes de matiĂšre Ă la paroi en fonction du temps selon lemode de construction des normales aux nĆuds
En traçant lâ Ă©volution du taux de matiĂšre injectĂ©e (Figure 97) (toujours en pourcentage de volume dela cavitĂ©), on constate que lâ on injecte un volume de matiĂšre supĂ©rieur Ă celui de la cavitĂ© (les 100%sont dĂ©passĂ©s). Lâ interprĂ©tation du graphe est ici la mĂȘme que dans le cas oĂč le coefficient depĂ©nalisation est trop faible : la paroi ne joue pas correctement son rĂŽle, et par consĂ©quent une partie dela matiĂšre injectĂ©e est perdue au niveau de la paroi.
-0,045
-0,035
-0,025
-0,015
-0,005
0,005
0,015
0,025
0,035
0,045
0,055
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
temps[s]
%ca
vité
normales consistantes normales moyennes
4,1[s] : 74%
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
124
0
20
40
60
80
100
120
0 2 4 6 8 10
tem ps [s]
% V
olum
e cu
mul
Ă©
normales moyennes
normales consistantes
Figure 97: Evolution du pourcentage de matiÚre injectée en fonction de la méthode deconstruction des normales
Cette observation est confirmĂ©e par la Figure 98 : en traçant les iso surfaces de pression en fin deremplissage, sur la mĂȘme fourchette de valeur, on vĂ©rifie que la pression opposĂ©e par les parois de lacavitĂ© est plus forte lorsque les normales aux nĆ uds sont des normales conservatives. De ce fait, onpeut supposer que la prise en compte du frottement, en augmentant la contrainte exercĂ©e par la paroisur lâ Ă©coulement, serait un Ă©lĂ©ment favorisant pour la conservation de la matiĂšre.
Normales moyennes Normales conservatives
Figure 98 : comparaison des isovaleur de pression Ă la fin du remplissage
III.4.2.6 ConclusionCe cas test nous a permis de valider la construction des normales multiples conservatives : la piĂšceĂ©tudiĂ©e, trĂšs arrondie, possĂšde des arĂȘtes qui ont Ă©tĂ© gĂ©rĂ©es par la constructions de plusieurs normalesaux nĆ uds. Nous avons montrĂ© lâ efficacitĂ© de la construction des normales conservatives multiples,ainsi que son intĂ©rĂȘt. Ce choix permet une bonne prise en compte des conditions de contact glissant. Ilpermet Ă©galement de vĂ©rifier le principe de la conservation de la matiĂšre. De maniĂšre Ă sâ assurer quele choix de ces normales Ă©tait bien la raison de ce rĂ©sultat, on a montrĂ© que dans les mĂȘmes conditions,lorsque les normales construites aux nĆ uds sont des normales moyennes, il y a de fortes pertes dematiĂšre Ă la paroi.
Normales moyennes :mauvaise prise en
compte des parois dumoule
Normalesconservatives : bonneprise en compte des
parois du moule
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
125
Finalement, nous avons caractĂ©risĂ© les effets dâ une mauvaise imposition des conditions limites pour unremplissage en pression. Ces effets sont des pertes de matiĂšre Ă la paroi, quantifiables Ă partir ducalcul des flux de matiĂšre. Pour ce type de remplissage, lâ Ă©volution du taux de matiĂšre prĂ©sent dans lacavitĂ© ne dĂ©pend pas de la bonne prise en compte des conditions de contact (on aura toujours la mĂȘmeĂ©volution). NĂ©anmoins, les pertes de matiĂšre Ă la paroi peuvent ĂȘtre quantifiĂ©es par la diffĂ©rence entrele taux de matiĂšre injectĂ©e et le taux de matiĂšre prĂ©sente dans la cavitĂ©.
III.4.3 Remplissage dâ un cylindre en dĂ©bit
III.4.3.1 Conservation de la matiĂšreA prĂ©sent, traitons le cas du remplissage en dĂ©bit dâ un cylindre « fermĂ© » Ă son extrĂ©mitĂ© (Figure 100).On choisit un maillage suffisamment irrĂ©gulier (Figure 99) pour que sa rĂ©gularitĂ© ne soit pas mise encause dans la forme globale de lâ Ă©coulement. Le nombre des normales en chaque nĆ ud est donnĂ©eFigure 100 : mis Ă part sur le plan en entrĂ©e et le contour du fond de la piĂšce, on construit une seulenormale conservative sur lâ ensemble de la frontiĂšre de la cavitĂ©.
DonnĂ©es maillageNbre de nĆuds14022Nombre dâ Ă©lĂ©ments3240
Volume maillage
멉 )( ee
volume
2,5 10-4 [m3]-
Surface du plandâentrĂ©e : [m2]1,256. ][m10 33â
Longueur :0,2 [m]
Rayon : 0.02 [m]
Figure 99 : Maillage du cylindre et sens injection
DonnĂ©es simulation].s 12 â dt[s] Temps total[s] ][ 1âs.muentrĂ©e
0,01 0,01 â 1,8 10.
Figure 100 : nombre de normales aux nĆuds
LâentrĂ©eLe fond ducylindre
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
126
Figure 101 : Ă©volution du remplissage : Ă©coulement bouchon
Dans un premier temps, on observe que la forme de lâ Ă©coulement est cohĂ©rente : on a bien unĂ©coulement de type bouchon dans le cylindre (Figure 101). En ce qui concerne la conservation de lamatiĂšre, les rĂ©sultats sont Ă©galement satisfaisants (Figure 102). En effet, on a une bonnecorrespondance entre la quantitĂ© de matiĂšre injectĂ©e et le taux de remplissage Ă chaque instant. Onpeut remarquer quâ il se produit tout de mĂȘme une lĂ©gĂšre perte de matiĂšre Ă la fin du remplissage (aprĂšsla ligne pointillĂ©e). Cette perte devient notable Ă partir du moment oĂč lâ ensemble des Ă©lĂ©ments de lapiĂšce sont remplis Ă plus de 50%, mais quâ il reste encore des Ă©lĂ©ments remplis Ă moins de 65% (lapartie bleue foncĂ©e image Figure 102). Du fait de lâ incompressibilitĂ© du mĂ©tal, lorsque la piĂšce estremplie il devrait ĂȘtre impossible de continuer le remplissage. Si on continue Ă injecter de la matiĂšre,la pression exercĂ©e sur la paroi devient trop forte par rapport au coefficient de pĂ©nalisation choisi, et lamatiĂšre pĂ©nĂštre dans le moule. Dans le cas prĂ©sent, ce phĂ©nomĂšne apparaĂźt plus tĂŽt du fait de ladiffusion numĂ©rique. Rappelons que le maillage nâ est pas adaptĂ© sur la frontiĂšre de la cavitĂ©.
Figure 102 : Evolution du taux de remplissage et du taux de matiÚre injectée
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8
temps [s]
% d
e re
mpl
issa
ge
MatiÚre injectée Calcul REM3DŸ Calculé d'aprÚs les échanges flux
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
127
III.4.3.2 Remarques sur les effets dâune mauvaise prise en compte du glissement en dĂ©bitAppliquons un coefficient de pĂ©nalisation 100 fois plus faible que prĂ©cĂ©demment. On observe,Figure 103, que les temps de remplissage ne sont pas les mĂȘmes selon le coefficient de pĂ©nalisationutilisĂ©. Ce rĂ©sultat vient du fait que lorsquâ on impose un dĂ©bit, la quantitĂ© de matiĂšre en entrĂ©e estconstante et indĂ©pendante des conditions de contact. Par consĂ©quent, les pertes de matiĂšre, si ellesexistent, influent directement sur la quantitĂ© de matiĂšre prĂ©sente dans la piĂšce et donc sur le temps deremplissage.
Figure 103 : Evolution du taux de remplissage rem3DŸ au cours du temps pour deux facteursde pénalisation différents
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 0,5 1 1,5
temps [s]
% d
e re
mpl
issa
ge
alpha_pen=10E4 alpha_pen=10E2 MatiÚre injectée
Coefficient depénalisation adapté :trÚs légÚre perte dematiÚre en fin de
remplissage
Coefficient depénalisation
inadapté : pertes dematiÚre importantes
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
128
Observons, Figure 104, lâ Ă©volution de la diffĂ©rence entre le taux de remplissage que nous avons appelĂ©REM3DÂź, qui est calculĂ© Ă partir de lâ Ă©quation caractĂ©ristique, et celui prĂ©vu Ă partir des Ă©changes dematiĂšre Ă la paroi [III.4.1.2]. Le calcul Ă partir de la fonction caractĂ©ristique (taux remplissageREM3DÂź) sera notre rĂ©fĂ©rent du fait que lâ Ă©quation de transport est trĂšs conservative et quâ elle neprend pas en compte les oscillations Ă©ventuelles des vitesses sur les parois de la cavitĂ© (le flux y estannulĂ© artificiellement [III.3]).
Il apparaßt, Figure 104, que lorsque le coefficient de pénalisation est trop faible, les résultats obtenuspar ces deux modes de calcul divergent. En fin de remplissage, ils divergent également pour uncoefficient de pénalisation plus fort, mais de maniÚre beaucoup moins importante.
On retrouve le mĂȘme type de rĂ©sultat, si on quantifie les pertes de matiĂšre Ă la paroi (en pourcentagede volume de la cavitĂ©) Ă partir des flux (Figure 105). En effet, les pertes de matiĂšre estimĂ©es (0,5% duvolume total) ne sont pas aussi Ă©levĂ©es que celles qui apparaissent Figure 101, par le fort Ă©cart entre letaux de remplissage REM3DÂź et le pourcentage de matiĂšre injectĂ©e (autour de 8% du volume total).
Ces diffĂ©rences traduisent une mauvaise prise en compte de lâ Ă©quation de la continuitĂ© lorsque lecoefficient de pĂ©nalisation est trop faible, et en fin de remplissage.
0
1
2
3
4
5
6
7
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8
temps [s]
tau
x re
mp
lissa
ge
%
fact_pen = 10E2 factpen10E4
Figure 104 : Différence entre le taux de remplissage calculé par REM3DŸ et le taux calculé à partir des flux à la paroi
Coefficient de pénalisationtrop faible :Le calcul des flux à la paroine donne pas une bonneestimation de la quantité dematiÚre présente
Pour un coefficient depénalisation adapté :Le calcul des flux à la paroidonne une bonne estimationde la quantité de matiÚreprésente mis à part en fin deremplissage
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
129
La mauvaise prise en compte de lâ Ă©quation de la continuitĂ© est encore confirmĂ©e Figure 105, par lesfortes oscillations qui apparaissent : ces oscillations sont liĂ©es Ă la rĂ©solution du problĂšme mĂ©canique.En effet, les flux de matiĂšre qui permettent de calculer les Ă©changes de matiĂšre Ă la paroi, illustrĂ©s danscette figure(Figure 105), sont directement calculĂ©s Ă partir des vitesses Ă la paroi.
Figure 105 : pourcentage cumulé en % de cavité total des pertes associées aux flux à la paroi
On peut également faire la remarque que ces oscillations existent également en fin de remplissage(Figure 105) pour le facteur de pénalisation le plus forts. Elles correspondent aux pertes de matiÚresobservées (Figure 102) et la non correspondance entre les modes de calcul du taux de remplissage(Figure 104) déjà commentées.
III.4.3.3 ConclusionPar ce cas test, nous avons validĂ© lâ utilisation des normales conservatives pour une piĂšce cylindrique,et dans le cas dâ un remplissage en dĂ©bit. En particulier, la forme de lâ Ă©coulement obtenu est rĂ©aliste, etla perte de matiĂšre totale en fin de remplissage est trĂšs faible, bien que nous ayons mis en relief desimprĂ©cisions en fin de remplissage.Les simulations effectuĂ©es nous ont Ă©galement permis de dĂ©finir avec prĂ©cision les effets dâ unemauvaise application des conditions de contact pour des remplissages en dĂ©bit. Ces effets sont trĂšsdiffĂ©rents de ceux observĂ©s dans le cas dâ un remplissage en pression, et sont : un ralentissement duremplissage, et une mauvaise prise en compte de la condition de continuitĂ© dans le calcul mĂ©canique.En particulier, pour un mauvais coefficient de pĂ©nalisation, les Ă©changes de flux Ă la paroi ne sont plussignificatifs des pertes de matiĂšre, et ne correspondent plus au calcul fait Ă partir de la fonctioncaractĂ©ristique. LĂ encore, une comparaison entre le taux de matiĂšre injectĂ©e et le taux de remplissagepermet de quantifier les pertes de matiĂšre.
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8
temps [s]
taux
rem
plis
sage
%
fact_pen=10E2 fact_pen=10E4
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
130
III.4.4 Cas test de type fonderie
Etudions Ă prĂ©sent, un cas test proposĂ© par Hamid Abouchadi [Abouchadi, 2002], spĂ©cialementdimensionnĂ© pour la fonderie. On impose une pression Ă©quivalente Ă une hauteur de chute de 10 cm enentrĂ©e. La viscositĂ© cinĂ©matique du fluide est prise Ă ],[m10 123 ââ s. ( ][kg.m7500 -3=Ï et la viscositĂ©
[Pa.s] 57,=η ). [s]10 deest tempsde pas Le 3â .
Figure 106 : Normales aux nĆuds
De maniĂšre Ă prendre en compte les angles de la piĂšce, tout en libĂ©rant les arrondis, on a utilisĂ© unangle critique de 30°. Enfin, on utilise le module dâ adaptation de maillage. Notons que les normalessont libĂ©rĂ©es en entrĂ©e et bloquĂ©es sur les bord de la surface dâ entrĂ©e (Figure 106 et Figure 107).
Figure 107 : champs de vitesse en imposant une vitesse nulle sur le bord de la surfacedâentrĂ©e
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
131
La Figure 108 montre lâ Ă©volution de la surface libre. Un jet assez violent heurte le font de la cavitĂ©,puis se replie sur lui mĂȘme. La vague monte puis redescend, pour finalement se stabiliser. On retrouvela mĂȘme forme dâ Ă©coulement avec la simulation effectuĂ©e sur SIMULOR [Abouchadi, 2002]. Enfin, letemps de remplissage est rĂ©aliste (entre 4 et 5[s]).
Figure 108 : Le cas test numĂ©ro 1 forme de lâ Ă©coulement
IntĂ©ressons-nous a prĂ©sent Ă lâ Ă©volution du taux de matiĂšre dans la cavitĂ©. On compare lâ Ă©volution duremplissage avec le pourcentage de matiĂšre injectĂ©e (Figure 109), et on quantifie les pertes de matiĂšrecumulĂ©es au cours du temps (Figure 110).
Figure 109 : évolution du taux de remplissage Figure 110 : différence entre le taux deremplissage et le taux de matiÚreinjectée : pertes de matiÚre à laparoi
pertes de volume
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 1 2 3 4 5
temps[s]
% v
olum
e to
tal d
e la
cav
ité
10
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30
40
50
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90
100
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
tem ps[s]
% v
olu
me
tota
l de
la c
avité
%volume_présent %volume_injecté+volume init taux_rempliss
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
132
Le taux de matiĂšre perdu Ă la fin du remplissage est autour de 3%. La barre des 1% de perte de matiĂšre(sur le volume total) est dĂ©passĂ©e aprĂšs 70% de remplissage, câ est Ă dire alors que lâ on remplit lamasselotte. Par consĂ©quent, ces pertes nâ influent pas sur la forme de lâ Ă©coulement (Ă ce stade, leniveau monte de maniĂšre horizontale). Du fait de lâ augmentation de la pente de la courbe Figure 110,on peut lĂ encore, penser quâ il serait intĂ©ressant de rĂ©actualiser le coefficient de pĂ©nalisation au coursdu remplissage. NĂ©anmoins, ce rĂ©sultat montre les limites de la mĂ©thode de pĂ©nalisation utilisĂ©e pourlâ imposition du contact.
On a Ă©galement tracĂ©, Figure 109, le taux de matiĂšre prĂ©sent estimĂ© Ă partir des flux Ă la paroi. Cettefigure confirme que les modes de calcul du taux de remplissage (Ă partir des fonctions caractĂ©ristiquesou des flux Ă la paroi) donnent les mĂȘmes rĂ©sultats, ce qui est conforme au rĂ©sultat Figure 111.
Figure 111 : différence instantanée entre les taux de remplissage calculés en fonction de lafonction caractéristique et des flux
En effet, les deux calculs sur le taux de remplissage (Figure 111) donnent des rĂ©sultats trĂšs proches en% de cavitĂ©. Ce rĂ©sultat montre que les vitesses calculĂ©es Ă la paroi correspondent bien aux volumesde matiĂšre Ă©changĂ©e. On en dĂ©duit que la contrainte dâ incompressibilitĂ© est bien vĂ©rifiĂ©e, et que lespertes de matiĂšre sont dues au choix du coefficient de pĂ©nalisation.Comme on lâ a dĂ©jĂ vu, du fait que la pression est correctement imposĂ©e en entrĂ©e, les pertes de matiĂšrenâ influent pas sur les temps de remplissage. On peut ajouter que la Figure 110 confirme que ces pertesont peu dâ influence sur la pression (dans le cas contraire des dĂ©pressions apparaĂźtraient).
Figure 112 : La pression
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
0,045
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
temps [s]
%deremplissage
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
133
III.4.5 Conclusion sur les validations effectuées
Les tests effectuĂ©s valident lâ imposition du contact glissant dans Rem3DÂź. On a dĂ©montrĂ© que laconstruction des normales multiples conservatives permet la conservation de la matiĂšre, sous rĂ©servedâ un coefficient de pĂ©nalisation adaptĂ©, mais Ă©galement quâ elle permet lâ obtention dâ Ă©coulements deforme rĂ©aliste.
Ces tests nous ont permis de clarifier quels sont les paramĂštres Ă observer pour sâ assurer de la bonneprise en compte de ces conditions selon le type de remplissage effectuĂ©. Les effets de conditions decontact mal posĂ©es sont trĂšs diffĂ©rents selon que lâ on remplit en pression ou en dĂ©bit. En rĂ©sumĂ©, pourun remplissage en pression, la perte de matiĂšre se traduit par une augmentation du dĂ©bit en entrĂ©e et lasous Ă©valuation des pressions Ă la paroi. Dans ce cas, les Ă©changes de flux traduisent les pertes dematiĂšre, et sont nettement dĂ©sĂ©quilibrĂ©s (flux sortant >> flux entrant). En dĂ©bit, la perte de matiĂšreprovoque un ralentissement du remplissage, et un calcul faussĂ© des vitesses. De ce fait, les flux Ă laparoi peuvent ĂȘtre Ă©quilibrĂ©s malgrĂ© les pertes de matiĂšre. Au vu de cette Ă©tude, il apparaĂźt que lemoyen le plus gĂ©nĂ©ral pour Ă©valuer les pertes de matiĂšre Ă©ventuelles, est de comparer le taux deremplissage REM3DÂź ( Ă partir des fonctions caractĂ©ristiques), et le taux de matiĂšre injectĂ©e (calculĂ© Ă partir du flux de matiĂšre en entrĂ©e).
Dâ autre part, ces tests de validation nous ont permis de mettre en relief les difficultĂ©s rencontrĂ©es danslâ imposition des conditions limites par la mĂ©thode de pĂ©nalisation, en particulier Ă la fin duremplissage.
III.5 Traitement du contact en multidomaineDans cette partie, on Ă©tend le traitement du contact glissant en multi domaine, câ est Ă dire Ă lâ interfacemoule/cavitĂ©, en prenant le moule en compte dans la simulation. Lâ intĂ©rĂȘt de cette prise en comptesera Ă©tudiĂ© et justifiĂ© dans le chapitre IV qui est dĂ©diĂ© Ă lâ Ă©tude thermique du remplissage.
On pose lâ hypothĂšse que lâ on a un maillage multidomaine obtenu Ă partir de maillages coĂŻncidents. Cegenre de maillage peut ĂȘtre obtenu Ă partie de logiciels de CAO tels quâ IDEAS. Cette hypothĂšseimplique une exacte correspondance entre les nĆ uds et les faces des maillages du moule et de la cavitĂ©Ă remplir (Figure 113).
Figure 113 : maillage obtenu Ă partir de maillages coĂŻncidents
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
134
III.5.1 Extraction de lâ interface entre la cavitĂ© et le moule
Les données de départ et celles que nous voulons obtenir sont les suivantes :
En entrée§ la fonction caractéristique de la cavité à remplir, et la fonction caractéristique du moule.§ Le maillage global
En sortie :§ Un maillage surfacique décrivant la paroi sur laquelle on applique le contact, et ce en
coordonnées globales (les éléments sont les faces de la cavité à remplir)
On donne lâ algorithme dâ extraction des faces de la cavitĂ© Ă remplir Figure 114. Soulignons que lesnĆ uds du maillage surfacique extraits sont ceux du maillage global. Seule la description du maillagechange, câ est Ă dire la description des Ă©lĂ©ments.
BOUCLE sur les éléments du maillage eltSi fncar_cavité(elt) = 1 alors
BOUCLE sur les voisins de lâĂ©lĂ©ment vois_elt (4 voisin pour un tĂ©traĂšdre)
Si fncar_cavité(vois_elt)=0
Alors la face commune Ă elt et vois_elt fait partie de la surface
FIN BOUCLE sur les voisin
FIN DE LA BOUCLE SUR elt
Figure 114 : Algorithme dâ extraction de la surface de la cavitĂ©
Une fois que lâ on a extrait la surface Ă traiter (Figure 115), la crĂ©ation des normales et lâ applicationdes conditions limites se fait en utilisant les mĂȘme procĂ©dures que dans le cas oĂč seule la cavitĂ© Ă remplir est prise en compte (Figure 115).
Figure 115 : la gestion du contact
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
135
III.5.2 Validation
De maniĂšre Ă valider le traitement du contact en multidomaine, comparons deux Ă©coulements pour descavitĂ©s Ă remplir et des conditions de simulation identiques, lâ un en bi-domaine (seule la cavitĂ© estprise en compte), lâ autre en multidomaine (en prenant en compte le moule). On simule le remplissagedâ une plaque, en 3D, sans imposer de plan de symĂ©trie. On utilise un angle critique infĂ©rieur Ă 90° demaniĂšre Ă prendre en compte les arĂȘtes de la piĂšce (Figure 117). Cette visualisation permet de vĂ©rifierque seule la cavitĂ© est prise en compte dans la crĂ©ation des normales.
III.5.2.1 Données de la simulation
La viscositĂ© cinĂ©matique numĂ©rique de lâ aluminium est prise Ă 5. ][m10 123 ââ s. ( ][kg.m 2385 -3=Ï et[Pa.s] 12=η ). Le pas de temps est de 0,05[s]. On impose une vitesse en entrĂ©e de 0,1 [m.s-1], ce qui
correspond Ă un dĂ©bit de 10-4[m3.s-1]. Le remplissage doit sâ effectuer en 6[s]. Le volume total de lapiĂšce est 6,5Ă 10-4[m3] : son Ă©paisseur est de 0,01[m] et sa longueur de 0,45[m].
Figure 116 : maillages de la cavité et de la cavité assemblée au moule
Figure 117 : nombre de normales aux nĆuds pour le cas multidomaine
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
136
III.5.2.2 DĂ©roulement du remplissageDans un premier temps, on vĂ©rifie que le remplissage se dĂ©roule de la mĂȘme maniĂšre que le moule soitprĂ©sent ou pas. On trace, Figure 118, le taux de matiĂšre total prĂ©sent dans la cavitĂ© pour chacune dessimulations (avec ou sans le moule), ainsi que le pourcentage de matiĂšre injectĂ©e. Les mĂȘmes pertes(trĂšs faibles) de matiĂšre sont mises en Ă©vidence sur cette figure, et sont dues Ă la mĂ©thode depĂ©nalisation et Ă la diffusion numĂ©rique. La courbe rouge, qui correspond Ă lâ Ă©volution du remplissagecalculĂ©e Ă partir du dĂ©bit dâ entrĂ©e, atteint les 100% avant les deux autres courbes : la perte de matiĂšrese situe entre 1% et 2% du volume de la cavitĂ©, Ă la fin du remplissage.
Figure 118 : évolution du taux de remplissage Rem3DŸ, remplissage avec et sans le moule etprévisions
La Figure 119 permet de visualiser les fronts de matiĂšre Ă des temps identiques, dans chacun des cascomparĂ©s ici. On regarde la piĂšce de dessus. Cette figure, confirme que les Ă©coulements obtenus sontles mĂȘmes. On se trouve sur une frontiĂšre, aussi la visualisation permet de voir les valeurs discrĂštesdes champs. On peut Ă©galement vĂ©rifier, dans le cas oĂč le moule est pris en compte, que le fluide nâ estpas transportĂ© en dehors de la cavitĂ© Ă remplir.
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
137
Figure 119 Comparaison de lâ Ă©volution du front de matiĂšre sans et avec prise en compte dumoule ( t=0;1,050;2,1;2,7;3,3;4,5;5,4;6,3[s] )
III.6 Conclusions et perspectives
Dans ce chapitre, on a dĂ©crit et validĂ© une mĂ©thode originale de gĂ©nĂ©ration de normales aux nĆ udsdans le cadre de lâ utilisation dâ une formulation eulĂ©rienne pour le remplissage en fonderie. Nousavons rappelĂ© et Ă©largi le fondement thĂ©orique de cette construction, en montrant que les normalesconstruites permettent la conservation de la matiĂšre en remplissage, et que ce rĂ©sultat reste vrai enmulti normales conservatives (construction de plusieurs normales en un nĆ ud). Lâ intĂ©rĂȘt des multinormales est dâ obtenir des Ă©coulements rĂ©alistes pour les piĂšces anguleuses, tout en permettant,lorsquâ une seule normale est construite, de les lisser. Nous avons Ă©tabli le lien mathĂ©matique quiexiste entre lâ angle de dĂ©viation aux faces et le rayon de courbure local. Lâ estimation de lâ anglecritique que nous avons donnĂ©e constitue une base pour lâ introduction dâ angle critiques locaux et lagestion automatique des piĂšces trĂšs complexes.
Dâ autre part, nous avons arrĂȘtĂ© notre choix sur lâ utilisation du contact bilatĂ©ral de maniĂšre Ă pouvoirconstruire des normales conservatives, et en montrant que, dans la formulation utilisĂ©e, ce type deconditions permet de simuler des phĂ©nomĂšnes tels que les jets. A nouveau, nous avons illustrĂ© le faitquâ en utilisant des valeurs de viscositĂ© plus Ă©levĂ©es que dans la rĂ©alitĂ©, lâ introduction du contactglissant permettait de simuler les effets de lâ inertie sur des Ă©coulements peu visqueux. Ces validationsseront prolongĂ©es dans le chapitre V.
Le bĂ©mol de notre Ă©tude rĂ©side dans les limitations dues Ă la formulation pĂ©nalisĂ©e du problĂšme quenous avons mis en place. Celle-ci introduit un paramĂštre Ă gĂ©rer, et par consĂ©quent nâ est pas simpledâ utilisation. Dans notre Ă©tude, on a montrĂ© que les dĂ©ficiences de notre mĂ©thode sont essentiellementdues au fait que le paramĂštre de pĂ©nalisation choisi peut-ĂȘtre bien choisi au dĂ©but du remplissage etĂȘtre de moins en moins adaptĂ© au cours de celui-ci. De plus, on a clairement Ă©tabli la dĂ©pendance entrece coefficient, et la pression Ă la paroi.
Nos observations rejoignent celles qui ont amenĂ©es aux amĂ©liorations rĂ©centes faites sur le logicielR2SOL (logiciel de solidification 2D dĂ©veloppĂ© au Cemef). Ce logiciel utilise une formulationlagrangienne du problĂšme, et par consĂ©quent, lâ imposition du contact se fait en fonction de la distancealgĂ©brique du point considĂ©rĂ© Ă la surface du moule. AprĂšs avoir dĂ©fini une valeur visĂ©e pour lapĂ©nĂ©tration dans le moule, on procĂšde Ă un ajustement incrĂ©mental et local du coefficient depĂ©nalisation. De cette façon, on parvient Ă rĂ©guler la pĂ©nĂ©tration dans le moule autour de cette valeur
Chapitre III Imposition des conditions limites de contact glissant
138
visĂ©e, et ce de façon homogĂšne sur toute lâ interface de contact piĂšce-moule. Cette mĂ©thode permet decontrĂŽler les pertes de matiĂšre (la pĂ©nĂ©tration de la matiĂšre dans le moule) et dâ obtenir un systĂšmebien conditionnĂ© [Bellet, 2003].
NĂ©anmoins, dans le cadre dâ une formulation eulĂ©rienne et 3D, ce type dâ Ă©tude semble inadaptĂ©. Unesolution plus directe, et relativement peu coĂ»teuse, serait de rĂ©soudre un problĂšme de LagrangeaugmentĂ©, ce qui permettrait dâ obtenir une solution satisfaisant exactement les conditions de contactglissant.
Notons que la possibilitĂ© dâ adapter le maillage sur les parois de la cavitĂ© devrait amĂ©liorer de maniĂšreimportante lâ imposition du contact, en rĂ©duisant la diffusion numĂ©rique qui crĂ©e une augmentationanticipĂ©e de la pression aux parois. A ce sujet, il est intĂ©ressant de souligner que lâ Ă©tude qui a Ă©tĂ©menĂ©e sur la construction des normales conservatives multiples peut servir de base pour construire uncritĂšre permettant dâ utiliser lâ adaptation du maillage sur la frontiĂšre de la cavitĂ© Ă remplir. En effet, lefrein Ă lâ utilisation, sur la frontiĂšre, du module dâ adaptation de REM3DÂź, est que le critĂšre permettantde libĂ©rer les degrĂ©s de libertĂ© du maillage sans modifier la forme de celui-ci nâ est pas valable encontact glissant. On peut donc imaginer libĂ©rer les degrĂ©s de libertĂ© dâ un nĆ ud du maillage en utilisantles normales aux nĆ uds, de maniĂšre Ă respecter la forme de la piĂšce dans une prĂ©cision donnĂ©e, et enconservant son volume.
Finalement, nous avons Ă©tendu lâ imposition du contact glissant en multidomaine, câ est Ă dire Ă lâ interface entre le moule et la cavitĂ© Ă remplir. Lâ utilisation du multidomaine sera justifiĂ©e dans lechapitre IV qui traite de la thermique des Ă©coulements.
Chapitre IV Thermique multidomaine
139
Thermique multidomaine
Chapitre IV Thermique multidomaine
140
chapitre IV Thermique multidomaine
Lâ Ă©quation de la chaleur appartient Ă la famille des problĂšmes de convection-diffusion. PlusprĂ©cisĂ©ment, dans le cadre de notre Ă©tude, nous sommes amenĂ©s Ă rĂ©soudre un problĂšme thermique dediffusion pure dans le moule, et de convection-diffusion Ă convection dominante, dans le mĂ©tal enfusion. Les mĂ©thodes implĂ©mentĂ©es dans REM3DÂź par Serge Batkam [Batkam, 2002] permettent derĂ©soudre ce type de problĂšme en multidomaine. Elles apportent des solutions aux instabilitĂ©s liĂ©es auxphĂ©nomĂšnes de convection, de diffusion et de chocs thermiques aux parois du moule.
La mĂ©thode implĂ©mentĂ©e est une mĂ©thode dâ Ă©lĂ©ments finis espace temps. Nous avons dĂ©jĂ dĂ©crit lesmĂ©thodes de discrĂ©tisation temporelle et le traitement des termes de convection, dans le paragraphe[II.4.1], aussi nous nous concentrerons dans ce chapitre sur le traitement des termes de diffusion delâ Ă©quation de transport. Dans un premier temps, nous dĂ©crirons le problĂšme thermique traitĂ© sous saforme gĂ©nĂ©rale, puis nous situerons le cadre dâ une rĂ©solution multidomaine. Dans cette partie, nousdonnerons un aperçu des mĂ©thodes numĂ©riques utilisĂ©es pour rĂ©soudre le problĂšme en espace, et plusprĂ©cisĂ©ment de lâ Ă©lĂ©ment P0/P0+. Par souci de clartĂ©, nous nous placerons pour cette description dansle cas particulier ou aucun moule nâ est pris en compte. Nous dĂ©crirons le traitement des grandeursphysiques aux interfaces dans un second temps. Enfin, nous exposerons briĂšvement les modificationsqui ont Ă©tĂ© apportĂ©es au module thermique de maniĂšre Ă prendre en compte le contact glissant.
La derniĂšre partie de ce paragraphe, sera consacrĂ©e Ă lâ Ă©tude de cas de validation du module thermiquedans le cadre de la fonderie. Nous donnerons un cas de validation du module thermique couplĂ© avec laprise en compte de lâ inertie, puis nous montrerons les effets du type de contact choisi sur les rĂ©sultatsthermiques. Enfin, nous validerons la thermique en multidomaine avec un contact glissant auxinterfaces. Nous illustrerons Ă©galement la diffĂ©rence des rĂ©sultats obtenus en prenant, ou pas, le mouleen compte dans le calcul thermique.
Chapitre IV Thermique multidomaine
141
IV.1 Le problĂšme thermique
IV.1.1 Présentation du problÚme
De maniĂšre Ă prendre en compte la thermique des Ă©coulements, on ajoute aux problĂšmes construits Ă partir des Ă©quations de la conservation de la masse et de la quantitĂ© de mouvement, lâ expression de laconservation de lâ Ă©nergie. Le premier principe de la thermodynamique [Callen, 1960] donne cetteĂ©quation, en milieu continu, pour chaque instant t en tout point de lâ espace x .
rqdtde ++ââ= ΔÏÏ :. ( IV.1 )
oĂč Ï dĂ©signe la masse volumique, e lâ Ă©nergie interne massique, q le vecteur flux de chaleur, Δ letenseur des vitesses de dĂ©formation,Ï le tenseur des contraintes de Cauchy, et r un terme de sourceinterne de chaleur (rĂ©actions chimiques, effet Joule,âŠ).
En supposant que lâ on reste Ă lâ Ă©tat liquide, et que lâ on ne prend pas en compte les changements dephase, et en notant c la chaleur spĂ©cifique, on Ă©crit e=cT. A partir de ( IV.1 ),on peut alors dĂ©crire la
dérivée totale convective de la température dtdT
sous la forme dâ une dĂ©rivĂ©e partielle et dâ un terme de
transport. De plus, on procĂšde aux approximations suivantes, qui sont valides au cours du remplissageen fonderie :
- Le mĂ©tal fondu est incompressible, Ï est constante : 0=dtdp
TPÏ
avec PÏ le coefficient de dilatation isobare.- Il nâ y a pas de source interne de chaleur : 0=r- Les valeurs physiques sont constantes (c, k, etcâŠ).
Lâ Ă©quation de la chaleur simplifiĂ©e qui sera traitĂ©e pendant la phase du remplissage est donc lasuivante :
ÏÏ +ââ=
â+
ââ
qTvtT
c . ( IV.2 )
oĂč Î”Ï :s= est lâ Ă©nergie de dissipation visqueuse.
IV.1.2 Loi de comportement thermique
Pour dĂ©crire complĂštement le problĂšme thermique, il est nĂ©cessaire dâ ajouter une loi de comportement,pour dĂ©finir les flux de chaleur, Ă lâ Ă©quation ( IV.2 ). On utilise en gĂ©nĂ©ral la loi de Fourier isotrope :
Tkq ââ= ( IV.3 )
oĂč 0â„k dĂ©signe la conductivitĂ© thermique du mĂ©tal en fusion. En gĂ©nĂ©ral, k varie avec la tempĂ©rature,mais on nĂ©gligera ces variations dans la phase du remplissage.
Chapitre IV Thermique multidomaine
142
IV.1.3 Les conditions aux limites
Dans ce paragraphe, on dĂ©crit les diffĂ©rents types de conditions aux limites que lâ on peut imposer dansREM3DÂź. Nous verrons par la suite que les conditions aux limites (au niveau de la frontiĂšre de lacavitĂ© Ă remplir ) seront gĂ©rĂ©es diffĂ©remment dans le cadre du multidomaine (moule+fluide+vide). Lesconditions que nous prĂ©sentons dans cette partie concernent nĂ©anmoins aussi bien les mĂ©thodesmultidomaines (mais Ă la frontiĂšre du moule) que bi-domaine (fluide+vide).
Notons ]0,T [ la durée totale du procédé.
Sur le plan dâentrĂ©e :
On suppose que la température est constante :
] [T,T),x(T ee 0sur 0 Ă= ( IV.4 )
Sur les plans de symĂ©trie, au suppose quâ il nâ y a aucun Ă©change de chaleur. Ceux-ci se comportentcomme des plans adiabatiques :
] [0,nTk sym Ă=ââ sur 0. ( IV.5 )
Sur les parois extérieures du moule Π:
Conditions en température imposée
Il sâ agit de conditions de type Dirichlet. On impose une tempĂ©rature de rĂ©gulation constante Ă la paroi.
On impose directement une température de régulation RT sur les parois du moule :
] [T,T),x(T eR 0sur 0 Ă= ( IV.6 )
TempĂ©rature dâ interface constante imposĂ©e Ă la paroi
On suppose que le moule et la cavitĂ© Ă remplir, sont deux milieux semi-infinis, de frontiĂšre leurfrontiĂšre commune. Chacun de ces milieux est caractĂ©risĂ© par une tempĂ©rature initiale T et desdonnĂ©es matĂ©riaux ck , , Ï qui sont respectivement la conductivitĂ© thermique, la masse volumique et
la chaleur massique de chacun des milieux i. La tempĂ©rature dâ interface est donnĂ©e par :
moulefluide
Rmouleefluidei bb
TbTbT
++
= ( IV.7 )
avec moulemoulemoulemoulefluidefluidefluidefluide ckbckb ÏÏ == et les effusivitĂ©s thermiques de chacun
des milieux en prĂ©sence.eT est la tempĂ©rature dâ entrĂ©e du fluide dans le moule
RT est la température de régulation ou température initiale du moule avant le remplissage.
Ce modĂšle, assez restrictif, est basĂ© sur la notion de conductivitĂ© dâ interface [Batkam, 2002](Figure 120).
Chapitre IV Thermique multidomaine
143
Figure 120: Illustration de la tempĂ©rature dâ interface
Conditions limites en flux imposée
Ce modĂšle a Ă©tĂ© mis en place de maniĂšre Ă tenir compte de lâ Ă©volution de la tempĂ©rature de la paroi dela cavitĂ© au cours du remplissage. Les conditions en flux, sont des conditions de type Neumann. Enappelant impÏ le flux imposĂ© Ă la paroi, on peut Ă©crire :
] [0,T nnTk iimp Ăâ=ââ sur .. Ï ( IV.8 )
k dĂ©signe la conductivitĂ© du fluide, et n la normale sortante de .Bien que la tempĂ©rature Ă la paroi de la cavitĂ© ne soit plus constante, ce modĂšle prĂ©sentelâ inconvĂ©nient dâ ĂȘtre difficile dâ utilisation. En effet, il est trĂšs difficile de quantifier prĂ©cisĂ©ment leflux impÏ Ă imposer.
On verra par la suite comment, en multidomaine, les conditions aux limites sont gérées de maniÚreplus réaliste.
IV.2 RĂ©solution numĂ©riqueLes conditions que nous venons de dĂ©crire, lorsquâ elles sont directement appliquĂ©es Ă la paroi,entraĂźnent gĂ©nĂ©ralement des imprĂ©cisions importantes dans la prise en compte des Ă©changesthermiques du fluide avec le moule. La prise en compte du moule, dans le contexte du calculmultidomaine, permet de « rejeter » Ă lâ extĂ©rieur de la zone de remplissage, ces conditions sur e â ,qui sont les parois extĂ©rieures du moule. La tempĂ©rature est calculĂ©e de maniĂšre globale, sur tout ledomaine Ω , et aucun coefficient dâ Ă©change thermique nâ est imposĂ© sur les parois de la cavitĂ© Ă remplir pÎ . Dans la suite, nous verrons, comment, dans la formulation discrĂšte du problĂšme, les
coefficients dâ Ă©change apparaissent implicitement.
Lâ Ă©quation de la chaleur appartient Ă la famille des problĂšmes de convection-diffusion. PlusprĂ©cisĂ©ment, dans le cadre de notre Ă©tude, nous serons amenĂ©s Ă rĂ©soudre un problĂšme thermique dediffusion pure dans le moule, et de convection-diffusion Ă convection dominante, dans le mĂ©tal enfusion. Les mĂ©thodes implĂ©mentĂ©es dans Rem3DÂź par Serge Barkam [Batkam, 2002] permettent derĂ©soudre ce type de problĂšme en multidomaine. Elles apportent des solutions aux instabilitĂ©s liĂ©es auxphĂ©nomĂšnes de convection, de diffusion et de chocs thermiques aux parois du moule.
T
iT
fluide moule
Te
TR Ω
Chapitre IV Thermique multidomaine
144
IV.2.1 Formulation du problĂšme en multidomaine
La mĂ©thode de rĂ©solution multidomaine thermique, de REM3DÂź se base sur une rĂ©solution globale dela tempĂ©rature sur lâ ensemble du domaine de calcul Ω . Contrairement aux autres formulations quigĂ©nĂ©ralement considĂšrent une tempĂ©rature continue, et des grandeurs physiques discontinues entre lesdiffĂ©rents sous-domaines, les grandeurs physiques (la conductivitĂ© thermique, la masse volumique etla chaleur massique) seront ici considĂ©rĂ©es comme continues, et la tempĂ©rature discontinue entre lesinterfaces.
Une autre hypothĂšse forte posĂ©e pour la suite, est lâ hypothĂšse dâ un contact parfait entre les interfaces,dans le sens oĂč lâ on ne prend pas en compte de rĂ©sistance de contact, et que la conductivitĂ© estcontinue.
T et q sont des champs globaux. On Ă©crit lâ Ă©quation de la chaleur sur chaque sous domaine iΩ( IV.9 ) :
â=
=â+
â+
ââ
Tkq
q.T.vtT
c
i
iii
-
ÏÏ ( IV.9 )
oĂč iii ck et , , Ï sont respectivement la conductivitĂ© thermique, la masse volumique et la chaleurmassique du sous-domaine iΩ .
Figure 121: rappel de la description simplifiée du problÚme
De la mĂȘme maniĂšre que dans la rĂ©solution du problĂšme mĂ©canique multidomaine, on obtient la forme
étendue du problÚme sur Ω , N étant le nombre de sous-domaines de Ω , tels que i
N
iΩ=Ω
=1 :
â
=
=
â+
â+
ââ
ââ
âââ
==
===
Tkq
q.T.vtT
c
i
N
i
N
i
i
N
i
N
i
N
iii
ii
iii
11
111
1- 1
111
ΩΩ
ΩΩΩ ÏÏ
( IV.10 )
Ωm
ÎÎÎÎi
Ωa
Ωf
Chapitre IV Thermique multidomaine
145
On pose alors
=
=
â
â
=
=N
iii
N
ii
cc
kk
i
i
1
1
1
1
ÏÏ Î©
Ω
( IV.11 )
qui reprĂ©sente respectivement une conductivitĂ© thermique et une capacitĂ© calorifique « Ă©quivalentes »sur le maillage. De mĂȘme, on pose :
â=
=N
iii
1
1 ÏÏ Î© ( IV.12 )
Lâ Ă©quation de la chaleur, compte tenu des grandeurs Ă©quivalentes introduites, sâ Ă©crit alors sur lâ espacede rĂ©solution multidomaine Ω :
ââ=
=â+â+â
â
Tkq
q.T.cvt
)cT(
ÏÏÏ
( IV.13 )
On remarque que les conditions dâ interface nâ apparaissent pas explicitement dans la formulation duproblĂšme fort ( IV.13 ). Nous dĂ©crirons briĂšvement dans le paragraphe [IV.2.3] comment ellesapparaissent de maniĂšre naturelle dans la formulation du problĂšme discret.
IV.2.2 Description des méthodes numériques de résolution.
Plaçons-nous dans le cadre dâ un remplissage bi-domaine. Dans la suite, nous donnerons les mĂ©thodesde rĂ©solution en espace du problĂšme thermique suivant :
] [
] [
] [] [
] [
T0,sur
T0,sur 0T0, dans 0
T0, dans 1
T0, que telet Trouver
i
Ă=Ă=
Ă=â+
Ăââ=
â+
ââ
Ăââ
R
e
T)t,x(T
T),x(T
Tkq
q.c
TvtT
(x,t) )t,x(q,T(x,t)
Ï( IV.14 )
Dans cette partie, nous ne ferons que donner les principaux résultats établis, et déjà démontrés dans lathÚse de [Batkam, 2002]. Dans un premier temps nous considÚrerons le problÚme sous sa formestationnaire. Nous décrirons plus précisément le schéma de Galerkin discontinu P0/P0+, introduit pourla discrétisation en espace du problÚme. Le schéma temporel étant basé sur la méthode espace-tempsdécrite dans le paragraphe [II.4.1], nous ne le traiterons pas ici.
Chapitre IV Thermique multidomaine
146
IV.2.2.1 DiscrĂ©tisation spatiale au moyen de lâĂ©lĂ©ment P0/P0+Le schĂ©ma spatial dĂ©veloppĂ© par S. Batkam porte sur le traitement des termes de convection et dediffusion dans lâ Ă©quation de la chaleur. Nous nous concentrerons ici sur le traitement des termes dediffusion effectuĂ© au moyen dâ une mĂ©thode de type Galerkin discontinu. On simplifiera le problĂšmeen se plaçant en condition statique ( )0:,0 === ÏΔ sv . Une autre simplification consistera Ă considĂ©rerun problĂšme aux limites de type Dirichlet. Nous ne traiterons pas les autres types de conditionslimites.En Ă©crivant un schĂ©ma de type implicite Ă un pas de temps tâ :
] [T0, dans .1 Ăââ=
ââ=
ââ ââ
tttt
qct
TTtT
Ï( IV.15 )
Ă partir du problĂšme( IV.14 ) on se ramĂšne au problĂšme de diffusion pure suivant :
sur dans 0 dans
que telet Trouver
==â+=â+
ââ
RT)x(T
Tkq
fq.aT
x )x(q,T(x)
( IV.16 )
avec ct
aÏâ=
Espace dâapproximation pour la tempĂ©ratureLe champ de tempĂ©rature T est approchĂ© par des fonctions constantes par Ă©lĂ©ment. On appelle Th
lâ approximation P0 de T. Lâ espace dâ approximation auquel appartiennent les fonctions Th est notĂ© Thet dĂ©fini par :
Th ( ) h02 K ΩΩ ââââ= ),K(Pw,Lw Khh ( IV.17 )
Espace dâapproximation pour le gradient de tempĂ©rature (ou flux de chaleur)DĂ©crivons lâ espace dâ interpolation du flux q ou du gradient de tempĂ©rature Tâ . Pour construire cetespace que lâ on note Qh, on subdivise chaque Ă©lĂ©ment K en D sous-Ă©lĂ©ments FK . D est la dimensiontopologique du maillage, soit Ă©gale Ă 3 en dimension 2 (triangles) et Ă 4 en dimension 3 (tĂ©traĂšdres).Sur chaque sous-Ă©lĂ©ment FK , on fait lâ hypothĂšse dâ une interpolation constante de q ou encore de
Tâ . Lâ approximation rĂ©sultante sur lâ Ă©lĂ©ment K sera appelĂ©e « P0+ ». +hQ est lâ espace
dâ approximation auquel appartient hq , la projection P0+ de q . Il est dĂ©fini par :
( )( ) hF
02
h KKK Q ΩΩ ââââââ=+ ,),K(Pv,Lv FKh
Dh F ( IV.18 )
On appelle P0/P0+ lâ Ă©lĂ©ment mixte TT â/ (Figure 122)
Figure 122 : Lâ Ă©lĂ©ment mixte P0/P0+ en tempĂ©rature/gradient de tempĂ©rature, en 2D
Chapitre IV Thermique multidomaine
147
IV.2.2.1.1 Formulation faible discrĂšteLa formulation faible discrĂšte associĂ©e au problĂšme fort ( IV.16 ), dans les espaces dâ approximationdĂ©finis sâ Ă©crit :
âhTTrouver Th que telsQet , h qh+â
( )( )( )
ââ=â+
ââ=â+d
hh
hh
DTkq
D,f,q.aT
0 ,
ÏÏ
ÏÏÏ
Ω
ΩΩ( IV.19 )
IV.2.2.1.2 Construction du schĂ©ma localLâ idĂ©e de la mĂ©thode est de construire un schĂ©ma local, ne faisant intervenir pour un Ă©lĂ©ment que sesvoisins directs.
Figure 123 : L'Ă©lĂ©ment P0/P0+, contributionslocales de lâ Ă©lĂ©ment courant K [Batkam, 2002]
Figure 124 : sauts nuls aux interfaces, en 2D [Batkam, 2002]
On construit un élément P0/P0+ de telle maniÚre que le saut du flux qh soit nul à travers les facesexternes F de K (Figure 124).
Chapitre IV Thermique multidomaine
148
Le rĂ©sultat de la discrĂ©tisation en Ă©lĂ©ment finis du problĂšme ( IV.19 ) Ă lâ aide du schĂ©ma P0/P0+ estĂ©quivalente Ă rĂ©soudre le problĂšme suivant :
[ ] ( )
+=
=+
ââââ
âââ
FKK
nFTkq
KfnFqaKT
K,KKq,T
FK
FKK
KFK
KFKK
hF
KK
F
F
F
D
que tels Trouver
Ï( IV.20 )
oĂčFK est le sous-Ă©lĂ©ment de K, partageant la face F avec K ( KK F â )
D est le nombre de sous-Ă©lĂ©ments FK de K ( D=4 en dimension 3 en espace, oĂč les Ă©lĂ©ments sont destĂ©traĂšdres, D=3 en 2D)K(F) est le voisin de lâ Ă©lĂ©ment K tels quâ ils partagent la mĂȘme face FF est la surface de la face F
K est le volume de lâ Ă©lĂ©ment KFKn est le vecteur normal (orientĂ© sortant) Ă lâ Ă©lĂ©ment K Ă travers la face F.
[ ]FKT le saut de la tempĂ©rature Ă travers la face F de lâ Ă©lĂ©ment K
Ï est un paramĂštre numĂ©rique qui dĂ©pend de la forme des Ă©lĂ©ments.
En remplaçant FKq par son expression dans l âĂ©quation de conservation de lâ Ă©nergie, on dĂ©duit la
forme Ă©quivalente suivante :
( )
=+
â+
ââ
âââ
KfFFKK
FD)TT(kaKT
K,T
KKF
)F(KKK
hK
Ï
Trouver
Ce problĂšme discret final, trĂšs local, est exprimĂ© Ă lâ aide dâ un seul champ T. Dans cette formulation, legradient nâ apparaĂźt pas explicitement, ce qui simplifie lâ expression du problĂšme.
IV.2.3 ConductivitĂ© dâ interface entre plusieurs domaines
Le choix de lâ interpolation P0/P0+, conduit Ă lâ expression suivante du flux de chaleur enmultidomaine :
)(
D))(( )( FKK
nFTTFkq
FK
FKKK F+
â= ( IV.21 )
Rappelons quâ en 3D, on a dĂ©composĂ© chaque Ă©lĂ©ment K en D=4 sous-Ă©lĂ©ments FK .
La conductivitĂ© k est supposĂ©e constante sur chaque domaine. Lorsque plusieurs domaines sont pris encompte, on introduit la conductivitĂ© )(Fk dĂ©finie aux faces F de lâ Ă©lĂ©ment K. Ce terme dĂ©penduniquement des caractĂ©ristiques physiques des deux Ă©lĂ©ments en prĂ©sence. Il peut-ĂȘtre interprĂ©tĂ©comme une « conductivitĂ© dâ interface » entre deux Ă©lĂ©ments K et K(F) adjacents Ă la mĂȘme face F(Figure 125).
Chapitre IV Thermique multidomaine
149
Figure 125 : conductivitĂ© dâ interface entre deux Ă©lĂ©ments adjacents
Comme on lâ a prĂ©cisĂ© en dĂ©but de ce paragraphe, on fait lâ hypothĂšse dâ un contact thermique parfait.Cette hypothĂšse faite, les Ă©changes thermiques entre les diffĂ©rents sous-domaines sont gĂ©rĂ©snaturellement par la formulation. Notons que dans la version actuelle du code, aucun coefficientdâ Ă©change nâ est pris en compte.
En dĂ©signant par 1k et 2k les conductivitĂ©s thermiques respectives de deux Ă©lĂ©ments K1 et K2 encontact thermique, la conductivitĂ© Ă lâ interface F entre ces deux Ă©lĂ©ments peut sâ exprimer de lamaniĂšre suivante :
21 ) )( k(1kFk ÏÏ â+= ( IV.22 )
oĂč Ï est un paramĂštre numĂ©rique dont la valeur optimale (valeur correspondant au respect de la
tempĂ©rature dâ interface) est 2121
1opt bb
bbb >+
= si , et correspond à une pondération par les
effusivités thermiques des deux milieux en présence.
Du fait de lâ expression ( IV.22 ), la conductivitĂ© est continue sur lâ ensemble du domaine de calcul.
IV.3 Prise en compte du contact glissant en thermiqueComme il a Ă©tĂ© dit en dĂ©but de chapitre, la rĂ©solution du terme de transport T.v â ,(v Ă©tant la vitesse etT la tempĂ©rature supposĂ©e constante par Ă©lĂ©ment), est traitĂ©e par une mĂ©thode de type Galerkindiscontinu. Par consĂ©quent, du fait que dans le cadre de notre Ă©tude nous imposons un contact glissant,les vitesses Ă la paroi peuvent gĂ©nĂ©rer un transport de flux dâ Ă©nergie Ă lâ extĂ©rieur de la cavitĂ©. On seretrouve dans une cas de figure semblable Ă celui traitĂ© dans le paragraphe[III.3].
Prenons lâ exemple dâ un demi-disque, entiĂšrement plein, dont le fluide est entraĂźnĂ© par lâ impositiondâ une force tangentielle sur la partie plate du disque (Figure 126). Les conditions limites de contactsont de type glissant.
Figure 126 : decription du cas test
1K 2K
( )Fk
â =0.1
Ăpaisseur= 0.01
Force imposée
Chapitre IV Thermique multidomaine
150
On fait un zoom sur le maillage schĂ©matisĂ© du demi-disque (Figure 127). De maniĂšre Ă imposer leglissement Ă la paroi, une seule normale (conservative) est gĂ©nĂ©rĂ©e en chaque nĆ ud.
Figure 127 : schématisation de la création du flux de température à la paroi généré par lecontact glissant
Les fuites de flux Ă©voquĂ©es sont dues au fait que la vitesse nâ est ni orthogonale aux faces frontiĂšres, ninulle, car les conditions limites de contact sont glissantes (Figure 127). Il est bien sĂ»r nĂ©cessairedâ annuler le transport par convection de la tempĂ©rature en dehors de la cavitĂ©. Pour ce faire, on annuledirectement le flux de tempĂ©rature Ă la paroi de la cavitĂ© Ă remplir.
On procĂšde Ă la simulation de ce cas test Ă©lĂ©mentaire. Le calcul thermique est lancĂ© une fois lâ Ă©tatmĂ©canique stationnaire atteint. La diffĂ©rence de tempĂ©rature est trĂšs nette entre les cas oĂč le flux detempĂ©rature est annulĂ© Ă la paroi ou pas (Figure 128).
La diffĂ©rence de tempĂ©rature observĂ©e (Figure 128), rĂ©sulte de la perte dâ Ă©nergie due aux fuites dechaleur en dehors de la cavitĂ©, compensĂ©es de façon inconsistante.
Flux parasites AprĂšs annulation des flux parasites Ă la paroi
Figure 128 : influence sur le champ de température à un temps donné (7,6[s]), des flux dechaleur parasites à la paroi
999.999
557.126 874.356
1000
v
vnnoe
nnoe
nnoe : normale au nĆ udnF : normale Ă la facev : vitesse
nFnF
nF
Chapitre IV Thermique multidomaine
151
IV.4 Cas test de validation
IV.4.1 La cavitĂ© entraĂźnĂ©e par convection, prise en compte de lâ inertie, un cas stationnaireavec couplage thermomĂ©canique
Le problĂšme de la convection naturelle dans la cavitĂ© carrĂ©e, a Ă©tĂ© proposĂ© par I.P.Jones [Vahl Daviset al, 1983] de maniĂšre Ă tester des codes de calcul thermique. Un Ă©tude comparative a Ă©tĂ© menĂ©e[Vahl Davis et al, 1983], comparant les rĂ©sultats de plus de trente sept contributions diffĂ©rentes. Par lasuite, ce cas est restĂ© un cas de rĂ©fĂ©rence. Notons quâ il nâ existe pas de solution analytique Ă ce cas test,mais [Vahl Davis, 1983] fournit des rĂ©sultats dont la prĂ©cision est meilleure que 1% dans le cas lemoins favorable.
En ce qui nous concerne, ce cas test nous a permis de valider le module thermique associĂ© autraitement de lâ inertie.
On pose lâ hypothĂšse dâ un fluide incompressible dont la masse volumique est thermodĂ©pendante dansle terme source des Ă©quations de Navier-Stokes (hypothĂšse de Boussinesq). Lâ expĂ©rience est menĂ©epour un nombre de Prandtl de 0,71. On impose des tempĂ©ratures diffĂ©rentes sur les parois latĂ©ralesdâ une cavitĂ© carrĂ©e, en 2D (Figure 129 ), le fluide est alors convectĂ© Ă lâ intĂ©rieur de la cavitĂ©, par ladiffĂ©rence de tempĂ©rature.
Figure 129 : description de lâ expĂ©rience, donnĂ©es adimensionnalisĂ©es
Une fois la stabilité atteinte, on observe les isovaleurs de température et les valeurs maximales de lavitesse sur la ligne médiane. Rappelons que le nombre de Rayleigh, est tel que :
Ra= eursstabilisat termes
Ă©coulementl' de Ă©instabilitl'provocant termes soit, a
L)minTmaxT(g
”
ÏÎČ 30Ra
â= avec
][m thermiqueĂ©diffusivit la 12 â= s.k
a , L une longueur caractĂ©ristique (1 dans notre cas), 0ÎČ le
coefficient dâ expansion volumique ][K 1â , [Pa.s] tĂ© viscosiη , min/maxT les tempĂ©ratures min et max
en [K], et g la gravité ][m.s-2 .
Notons que la valeur critique du nombre de Rayleigh pour laquelle la convection naturelle apparaĂźt est1700=cRa .
Tmax=1etu=v=0.
Tmin=0.etu=v=0
x
z
u=v=0 et 0=ââ
nT
u=v=0 et 0=ââ
nT
Chapitre IV Thermique multidomaine
152
Ce cas test nécessite de faire varier la masse volumique en fonction de la température de maniÚrelinéaire [Silva, 2002]:
oĂč
+= minTmaxTT 0
21 initialĂ©tat l' Ă fluidedu volumiquemasse 0Ï
Le problÚme thermomécanique résolu est alors le suivant :
=ââ+
=â
=
âââ+â+ââ
0
0
0012 0
ÏÏ
ÎČÏÏΔη
q.dtdT
c
u.
gminTmaxTdtdu
p))v(.(
Données de la simulation
On traite le cas 2D avec notre code tridimensionnel, en considĂ©rant des plans de symĂ©trie, et unecouche dâ Ă©lĂ©ments dans lâ Ă©paisseur.
Dans la suite, les variations du nombre de Rayleigh ont Ă©tĂ© effectuĂ©es au moyen du coefficientdâ expansion volumique 0ÎČ . Les donnĂ©es sont adimensionnalisĂ©es et rĂ©sumĂ©es dans la Figure 130.
Figure 130 : données thermiques adimensionnelles
ââ= 0TT)T( 010 ÎČÏÏ
Nombre de nĆ uds = 5685Nombre dâ Ă©lĂ©ments = 27864
Chapitre IV Thermique multidomaine
153
RĂ©sultats
Les rĂ©sultats sont donnĂ©s pour les nombres de Rayleigh de 103, 104, 105, 106. Ils sont comparĂ©s auxrĂ©sultats donnĂ©s par [de Vahl Davis, 1983]. Dans un premier temps, on compare les iso surfaces detempĂ©rature. On trace les iso valeurs correspondants Ă celles de lâ article, de maniĂšre Ă simplifier lacomparaison. On donne un tableau comparatif sur les vitesses maximales obtenues, selon les deuxdirections de lâ Ă©coulement, ainsi que les isosurfaces de vitesse selon les axes (x=0,5 ) et (z=0,5).
Les températures
Isotempératures calculées avec Rem3D De Vahl Davis
Figure 131 : comparaison des isosurfaces de température Ra=103
Le cas Figure 131, correspond Ă un transport de la tempĂ©rature ou la diffusion est dominante.Toutefois, on observe lâ apparition de convection, mĂȘme trĂšs faible (sans convection, les isothermesseraient rectilignes). La correspondance des isothermes avec la solution de rĂ©fĂ©rence est excellente.
Isotempératures calculées avec Rem3D De Vahl Davis
Figure 132 : comparaison des isosurfaces de température Ra=104
Isotempératures calculées avec Rem3D De Vahl Davis
Figure 133 : comparaison des isosurfaces de température Ra=105
Chapitre IV Thermique multidomaine
154
Isotempératures calculées avec Rem3D De Vahl Davis
Figure 134 : comparaison des isosurfaces de température Ra=106
Les Figure 132 et Figure 133, présentent encore une trÚs bonne correspondance avec la littérature.Lorsque le nombre de Ra est de 105, une couche limite en température commence à se former.Pour un nombre de Ra=106 (Figure 134), la comparaison est moins bonne que précédemment. Lesisothermes dans le haut de la cavité correspondent bien au cas test, mais dans le bas, la couche limiteest beaucoup moins bien calculée. Le manque de symétrie des isothermes est surprenant en régimestationnaire, il peut provenir du maillage. On ne retrouve pas cette asymétrie pour les vitesses(Figure 135).
Les vitessesJuxtaposons par transparence, Figure 135, les iso surfaces de vitesses, selon lâ axe Ox, puis lâ axe Oz,avec les rĂ©sultats fournis par [de Vahl Davis, 1983]. Cette juxtaposition nous permet de vĂ©rifier labonne tendance des vitesses obtenues. On observe bien lâ apparition de la couche limite en vitesse aveclâ augmentation du nombre de Rayleigh. De plus, les courbes dâ iso surfaces suivent les iso valeursfournies.
Ra=103 Ra=104 Ra=105 Ra=106
Figure 135 : juxtaposition des isovaleurs de vitesse de Rem3D et les résultats de Vahl Davis,la premiÚre ligne décrit les vitesses selonOx, et la deuxiÚme selon Oz
Chapitre IV Thermique multidomaine
155
Enfin, le tableau Figure 136, nous permet de comparer nos résultats de maniÚre plus quantitative. Onretrouve la divergence de nos résultats avec ceux de la littérature pour le nombre Ra=106. Ces résultatsont été obtenus par interpolation des valeurs sur les lignes médianes (x=0,5 et z=0,5) par le logicielGLVIEWŸ, le maillage utilisé étant non structuré.
Comparaison avec les résultats de la littérature [Vahl Davis]Ra Vx_max (m/s) Vz_max(m/s)
De Vahl Davis Rem3D De Vahl Davis Rem3D103 3.70 3.72 3.65 3.66104 19.61 19.55 16.18 15.96105 68.59 68.15 34.73 37.5106 216.36 215.14 64.63 81.5
Figure 136 : tableau comparatif des vitesses maximales obtenues sur la ligne médiane de lacavité
On peut conclure de lâ ensemble de ces rĂ©sultats, que le modĂšle thermique utilisĂ©, associĂ© Ă la prise encompte de lâ inertie, rend bien compte du phĂ©nomĂšne de convection naturelle, pour une large plage denombre de Rayleigh.
IV.4.2 Le demi disque entraßné avec contact glissant
Dans ce paragraphe, on reprend le cas test du demi disque entraĂźnĂ©. Lâ intĂ©rĂȘt de cet exemple est dedonner une notion qualitative de lâ influence du type de contact choisi sur le calcul thermique. Onobserve lâ influence sur la tempĂ©rature de la couche limite due au contact collant. Le maillage utilisĂ©nâ est pas raffinĂ© Ă la paroi. En particulier, on regarde lâ influence de la convection dans les deuxconfigurations choisies : contact collant ou glissant.
Données simulationLa viscosité cinématique numérique est de 0.05 [m2.s-1]. Cette viscosité est élevée, mais nous permetde mettre en relief, pour des conditions thermiques réalistes, des généralités qui illustrent notre propos.La vitesse correspondant à la pression imposée, en régime stationnaire, est de environ 2,5 [m.s-1] englissant, et de 1,8 [m.s-1] en collant.Les conditions limites en température, on été imposées sur des écoulements stationnaires. Dans unpremier temps, nous avons lancé les simulations en isotherme, et une fois la stationnarité obtenue,nous les avons reprises en activant la résolution thermique avec les conditions limites résuméesFigure 137.
Les donnĂ©es thermiques du fluide sont celles de lâ aluminium, et on suppose un moule en sable. Alâ interface, on impose une tempĂ©rature dâ interface, dĂ©finie par ( IV.7 ) , qui prend en compte les effetsthermiques du moule sur la cavitĂ©, soit :
4766217887
209877001690,
bb
TbTbT
moulefluide
moule_initialemouleentrĂ©efluideinterface =Ă+Ă=
++
= [°C].
Chapitre IV Thermique multidomaine
156
Figure 137 : description des conditions limites
Les Figure 138 et Figure 139 reprĂ©sentent les iso surfaces de tempĂ©rature, pour une mĂȘme Ă©chelle, etaux mĂȘmes temps. Dans les deux cas, comme on lâ attend, la tempĂ©rature est convectĂ©e : la vitesse Ă lâ intĂ©rieur de la cavitĂ©, et le refroidissement de la paroi, gĂ©nĂšrent un courant froid qui circule enrefroidissant la zone situĂ©e au-dessous du plan adiabatique (le plat du demi disque - Figure 137). LadiffĂ©rence est trĂšs nette entre les refroidissements selon les conditions limite en vitesse imposĂ©es. Encontact glissant (Figure 139), la convection est plus marquĂ©e, et on observe un meilleur mĂ©lange destempĂ©ratures. En collant (Figure 138), la couche limite constitue une zone oĂč le refroidissement parconduction est plus important. Du fait du ralentissement de lâ Ă©coulement, les diffĂ©rentes zonesthermiques sont plus marquĂ©es.
Figure 138 : Evolution de la température avec contact collant t=0,1,2,3,4,5,6,7[s]
Figure 139 : Evolution de la température avec contact glissant t=0,1,2,3,4,5,6,7[s]
0=ââ
nT
0=ââ
nT
0=ââ
nT
interfaceT
Chapitre IV Thermique multidomaine
157
IV.4.3 Thermique en multidomaine : un cas test élémentaire
IV.4.3.1 Comparaison des résultats thermiques obtenus en prenant en compte ou pas lemoule
Ce paragraphe a pour but de mettre en relief lâ influence de la prise en compte du moule sur la cartethermique obtenue en fin de remplissage. On procĂšde au remplissage dâ une plaque en aluminium avecdes conditions limites mĂ©canique de contact glissant (pas de plan de symĂ©trie imposĂ©). On supposeque la plaque est posĂ©e Ă plat, la gravitĂ© nâ a donc que peu dâ effet sur lâ Ă©coulement.
DonnĂ©es de la simulationLa viscositĂ© cinĂ©matique numĂ©rique de lâ aluminium est prise Ă 5. ][m10 123 ââ s. (ce qui correspond Ă
][kg.m 2385 -3=Ï et [Pa.s] 12=η ). Le pas de temps est de 0,05[s]. On impose une vitesse en entrĂ©ede 0,1 [m.s-1], ce qui correspond Ă un dĂ©bit de 10-4[m3.s-1]. Le remplissage doit sâ effectuer en 6[s]. Levolume total de la piĂšce est 6,5Ă 10-4[m3] : son Ă©paisseur est de 0,01[m] et sa longueur de 0,45[m].
Nombre dâ Ă©lĂ©ments=6423Nombre de nĆ uds=1997
Nombre dâ Ă©lĂ©ments=20045Nombre de nĆ uds=5939
bidomaine multidomaine
Figure 140 : maillages en bidomaine et multidomaine
Les deux plans latĂ©raux de la piĂšce sont adiabatiques, ce qui pourrait correspondre dans la rĂ©alitĂ©, Ă lâ utilisation dâ un revĂȘtement adiabatique sur les parois du moule (les parties du moule correspondant Ă ces parois, ne sont par consĂ©quent pas prises en compte dans le maillage).
Ce cas test a déjà été traité dans [III.5.2]. On a montré que les écoulements obtenus en prenant encompte le moule dans la simulation, ou seulement son empreinte (la cavité à remplir) sont identiques.Cette validation autorise les comparaisons qui seront faites dans ce paragraphe.
En ce qui concerne les donnĂ©es thermiques, dans le cas multidomaine, ce sont celles dâ un moule ensable, et de lâ aluminium liquide Ă 700[°C] (Figure 141). La tempĂ©rature de lâ air ambiant est supposĂ©ede 20 [°C], rappelons que celle-ci nâ a pas dâ influence sur le calcul.
VitesseimposéeVitesse
imposée
gg
Chapitre IV Thermique multidomaine
158
LâALUMINIUM LIQUIDE:
tempĂ©rature initiale : 700 [°C][Pa] 103.1 3âĂ=η
][Kg.m102,385 -3 3Ă=Ï].[m 1055,0 126 ââĂ= sÎœ
]C.[W.J 110 1-1 â°=k
].C[J.kg1100 11 ââ=c
LE MOULE : EN SABLE
tempĂ©rature initiale :20[°C] â (ambiante)]Kg.m[1052,1 3 3Ă=Ï
]C.[W.J 650 1-1 â°= .k
].C[J.kg 987 11 ââ=c
Figure 141 : Données matériau
En bidomaine, on considĂšre toujours de lâ aluminium en fusion, mais le moule est virtuel. On simuleson effet, en imposant une tempĂ©rature dâ interface ( IV.7 ) :
4766217887
209877001690,
bb
TbTbT
moulefluide
moule_initialemouleentrĂ©efluideinterface =Ă+Ă=
++
= [°C]
Observons le champ de tempĂ©rature Ă la fin du remplissage (t=6,3[s]) (Figure 142). On compare le casoĂč le moule est maillĂ©, et pris en compte dans le calcul thermique, avec celui oĂč on simule soninfluence, en imposant une tempĂ©rature de rĂ©fĂ©rence.On observe les isosurfaces de tempĂ©rature de 650 Ă 700[°C] dans les deux cas. On constate de maniĂšretrĂšs nette, que le fluide refroidit plus rapidement lorsquâ on ne considĂšre que la cavitĂ© Ă remplir. Dansle cas oĂč le moule est pris en compte, la tempĂ©rature baisse plus lentement, et malgrĂ© la faibleconductivitĂ© du sable, diffuse dans le moule. Celui-ci a une tempĂ©rature initiale de 20[°C], ce quiimplique un choc thermique assez important. Ce choc est bien gĂ©rĂ© par le modĂšle, dans les deuxsimulations.
De maniĂšre plus quantitative, la diffĂ©rence entre la prise en compte ou non du moule, on trace lesvaleurs de la tempĂ©rature sur une ligne prĂ©dĂ©finie, identique pour les deux simulations (Figure 142, etFigure 143 ). Dans un premier temps, cette ligne traverse la cavitĂ© de part en part, sans toucher lesbords de celle-ci (Figure 142). Le graphe prĂ©sentĂ© donne les valeurs de la tempĂ©rature correspondant Ă la position des points sur cette ligne. On observe que les deux courbes ont la mĂȘme tendance, mais quela courbe qui reprĂ©sente le cas sans le moule (les croix), est plus raide Ă ses extrĂ©mitĂ©s. Autrement dit,aux bords de la cavitĂ©, la tempĂ©rature varie plus violemment. Dans le cĆ ur de lâ Ă©coulement (le centrede la courbe), les tempĂ©ratures donnĂ©es par les deux simulations sont beaucoup plus proches, sans serejoindre.Les graphes prĂ©sentĂ©s Figure 143, obtenus de la mĂȘme maniĂšre, confirment les observationsprĂ©cĂ©dentes. Dans ce cas, on observe les tempĂ©ratures dans la largeur de la piĂšce Ă des positions plusou moins Ă©loignĂ©s de lâ alimentation. Les profils de tempĂ©rature obtenus sont diffĂ©rents selon laposition observĂ©e. Lorsquâ on se situe proche de la source (Figure a), les deux types de simulationsdonnent des tempĂ©ratures maximales identiques qui correspondent Ă la tempĂ©rature de lâ aluminiumcoulĂ© initialement. La diffusion thermique qui a lieu dans le moule est prise en compte dans un cas etpas dans lâ autre ; par consĂ©quent, les gradients de tempĂ©rature obtenus prĂšs de la paroi sont plus fortsen bi-domaine. Les deux courbes sont toutefois assez ressemblantes. Lorsquâ on sâ Ă©loigne encore de lasource (Figure b), alors que le profil de la tempĂ©rature obtenu en prenant en compte le moule resterĂ©gulier, il est beaucoup plus chaotique en bi-domaine. Les gradients de tempĂ©ratures des deuxcourbes prĂ©sentent la mĂȘme tendance quâ aux abords de la source. Par contre, les tempĂ©ratures sontdiffĂ©rentes, la piĂšce ayant plus rapidement refroidi dans le cas bi-domaine.
La forte conductivitĂ© de lâ aluminium est la raison de la forte influence de la tempĂ©rature imposĂ©e aufrontiĂšres de la cavitĂ© sur lâ ensemble de lâ Ă©coulement. Le fait dâ effectuer un calcul thermique dans le
Chapitre IV Thermique multidomaine
159
moule, permet de ne pas gĂ©rer de conditions limites imposĂ©es sur les parois de la cavitĂ© Ă remplir. Leflux de chaleur Ă©changĂ© entre les deux milieux, le moule et le fluide, varie au cours du remplissage, etest calculĂ© lors de la simulation. Dans la simulation prĂ©sentĂ©e, la chaleur diffuse dans le moule, ce quine peut ĂȘtre pris en compte lorsquâ une tempĂ©rature est imposĂ©e Ă la paroi.
Figure 142 : température à la fin du remplissage avec et sans simulation dans le moule
Figure a Figure b
Figure 143 : observation des températures dans la largeur de la piÚce, en bidomaine et tri-domaine
Simulation avecle moule
Chapitre IV Thermique multidomaine
160
IV.4.3.2 Evolution du champ de température pendant le remplissage
Figure 144 : évolution de la température au cours du temps( t=0;2,1;3,3;4,5;5,4;6,3[s] )
Observons lâ Ă©volution du champ de tempĂ©rature au cours du temps, en prenant le moule en comptedans le calcul (Figure 144). Les iso surfaces reprĂ©sentĂ©es vont de 650 Ă 700°C. On peut constater quela diffusion de la tempĂ©rature dans le moule, mĂȘme faible, apparaĂźt dĂšs le dĂ©but du remplissage. LestempĂ©ratures ne varient que de 700 Ă plus de 650°C, ce qui engendre un diffĂ©rence de viscositĂ©dynamique de moins de 0,0005 [Pa.s] entre le mĂ©tal se trouvant au bord de la paroi, et celui en cĆ urde piĂšce. Rappelons Ă©galement que le liquidus de lâ aluminium se trouve Ă la tempĂ©rature de 542 [°C].Il apparaĂźt donc que pour ce type de remplissage, mĂȘme relativement lent, lâ hypothĂšse qui a Ă©tĂ© faitesur la non thermodĂ©pendance de la viscositĂ© pendant la phase de remplissage est valide (ces remarquesrestent vraies dans le cas bi-domaine).
IV.4.3.3 Prise en compte des propriétés thermiques du moule en multidomaineAppliquons à présent des propriétés thermiques différentes au moule. On compare, Figure 145, lesisovaleurs de températures obtenues à la fin du remplissage, pour un moule en sable, en acier, et enaluminium. Les données thermiques prises pour le moule en acier sont les suivantes :
tempĂ©rature initiale : 20[°C] â (ambiante)]-[Kg.m1052,1 3 3Ă=Ï
]C.[W.m 650 1-1 â°= .k
]C.[J.kg 987 11 ââ °=c
La tempĂ©rature de rĂ©gulation Ă lâ extĂ©rieur du moule est la mĂȘme pour toutes les simulations effectuĂ©es.Elle a Ă©tĂ© prise Ă©gale Ă la tempĂ©rature de rĂ©fĂ©rence imposĂ©e prĂ©cĂ©demment en bi-domaine, câ est Ă direde 662,47 [°C], et est par consĂ©quent plus chaude que la tempĂ©rature initiale du moule. On observeque cette tempĂ©rature imposĂ©e, rejetĂ©e Ă lâ extĂ©rieure, nâ a pas dâ influence sur la simulation, mais lavariation de tempĂ©rature Ă la frontiĂšre est supĂ©rieure Ă celle observĂ©e Ă lâ interface mĂ©tal-moule. LatempĂ©rature de lâ acier en fin de remplissage a encore une fois trĂšs peu variĂ©, ce qui implique lĂ encoreune faible variation de viscositĂ©. La diffusion observĂ©e Ă lâ interface entre le moule et le mĂ©tal, commeon lâ attend, augmente avec la conductivitĂ© des matĂ©riaux considĂ©rĂ©s. Cette observation est illustrĂ©e demaniĂšre plus quantitative par la Figure 146, oĂč on effectue une comparaison entre lâ Ă©volution de latempĂ©rature Ă la fin du remplissage, pour un moule en sable, et un moule en aluminium. LĂ encore, onobserve lâ influence de la conductivitĂ© sur lâ Ă©volution de la tempĂ©rature : le refroidissement du mĂ©talest plus profond dans la cavitĂ©, ainsi que le rĂ©chauffement dans le moule, lorsquâ on choisit un moule
Chapitre IV Thermique multidomaine
161
en aluminium. Les tempĂ©ratures obtenues nous indiquent que dans le cas dâ un moule en aluminium, lemoule fondâŠ
Moule en sable Moule en acier Moule en aluminium
Figure 145 : comparaison des températures obtenues en fin de remplissage pour des moulesen matériaux différents
Figure 146 : comparaison de lâ Ă©volution de la tempĂ©rature dans une coupe, pour un moule ensable et en aluminium
Chapitre IV Thermique multidomaine
162
IV.5 Conclusion
Ce chapitre nous a permis de rappeler les principales mĂ©thodes de rĂ©solution thermique utilisĂ©es dansREM3DÂź , en soulignant lâ aspect multidomaine de cette rĂ©solution. Nous avons dĂ©crit le type deconditions limites utilisĂ©es, et en multidomaine, le calcul des conductivitĂ©s dâ interface qui gĂšre les fluxentre le moule et lâ alliage fondu.
Nous avons validĂ© la prise en compte des phĂ©nomĂšnes de convection thermique, avec introduction delâ inertie, en confrontant avec succĂšs les rĂ©sultats obtenus avec REM3DÂź Ă un cas test de rĂ©fĂ©rence.Nous avons Ă©galement validĂ© lâ utilisation du module thermique en imposant des conditions de contactglissant aux interfaces. Les principales adaptations nĂ©cessaires Ă ces conditions limites ont Ă©tĂ© dĂ©criteset illustrĂ©es.Nous avons confirmĂ© sur des cas simples, mais en Ă©tudiant des Ă©coulements et des conditionsthermiques rĂ©alistes pour la fonderie, la bonne prise en compte des forts phĂ©nomĂšnes de convection,de diffusion, et de chocs thermiques. En particulier, nous avons comparĂ© les rĂ©sultats de simulationsavec et sans prise en compte du moule, de maniĂšre Ă montrer les apports de ce type de rĂ©solution dansle cadre du remplissage en fonderie.
Dans le futur, de maniĂšre Ă pouvoir traiter des piĂšces fortement massives, les temps de remplissageĂ©tant beaucoup plus longs, il sera nĂ©cessaire de prendre en compte la thermodĂ©pendance des mĂ©tauxen fusion, en adaptant le couplage thermomĂ©canique dĂ©jĂ prĂ©sent dans REM3DÂź Ă la fonderie. Il estĂ©galement possible dâ envisager la prise en compte de la solidification (changement de phase liquide-solide) au cours du remplissage. En ce qui concerne lâ hypothĂšse de contact parfait, actuellement priseen compte, celle-ci nâ est pas entiĂšrement satisfaisante, pour des calculs fins, car elle nâ est pas rĂ©aliste.En fonderie, de par la rugositĂ© des matĂ©riaux utilisĂ©s, mais aussi les poteyages appliquĂ©s aux moules,les tempĂ©ratures du moule et du mĂ©tal diffĂ©rent de façon trĂšs variable Ă lâ interface. Par consĂ©quent,lâ introduction dâ une rĂ©sistance de contact thermique semble nĂ©cessaire Ă lâ interface mĂ©tal-moule poursimuler de maniĂšre complĂšte le remplissage thermique en fonderie.
Sous sa forme actuelle, malgré les perspectives décrites, le module thermique de REM3DŸ est adaptéau traitement du remplissage en fonderie, les hypothÚses posées en introduction (pas dethermodépendance pendant le remplissage) ne sont pas contredites dans le cas de piÚces suffisammentpetites, les températures obtenues impliquant des variations trÚs faibles de viscosité. Enfin, la gestionmultidomaine des conditions aux limites imposées à la paroi de la cavité, permet leur bonne définitionpar la seule connaissance des données thermiques habituelles.
Chapitre V Remplissages en fonderie
163
Remplissages en fonderie
Chapitre V Remplissages en fonderie
164
chapitre V Remplissages en fonderie
Dans ce chapitre nous simulerons des remplissages sur des piĂšces de fonderie. Nous ne traiterons quedes cas pour lesquels nous disposons de donnĂ©es comparatives. Dans un premier temps, noustraiterons le suivi de la surface libre pendant la phase du remplissage. En particulier, nous Ă©tudieronsle remplissage de deux piĂšces instrumentĂ©es au cours du projet OSC-F. La premiĂšre piĂšce nouspermettra de mettre en relief lâ influence de la viscositĂ© sur lâ Ă©coulement, mais aussi de cerner leslimites de notre logiciel. La seconde est une roue Ă sept branches pour le remplissage de laquelle nousdisposons de « topages ». Ces topages permettent de suivre le dĂ©roulement du remplissage, et parconsĂ©quent de confronter la simulation Ă un cas rĂ©el. Dans un deuxiĂšme temps, nous Ă©tudierons leremplissage dâ une piĂšce de la littĂ©rature, spĂ©cialement mise au point pour tester les logiciels deremplissage et de solidification en fonderie. Nous traiterons ce cas en comparant les rĂ©sultats obtenusen thermique pour des rĂ©solutions avec et sans prise en compte du moule câ est Ă dire avec un moulevirtuel ou un moule maillĂ©.
Chapitre V Remplissages en fonderie
165
V.1 Cas test de remplissage simulĂ©s en conditions isothermesDans ce paragraphe, nous simulons le remplissage isotherme de deux piĂšces spĂ©cialementdimensionnĂ©es pour lâ Ă©tude de la coulĂ©e en fonderie, instrumentĂ©es dans le cadre du projet OSC-F.
V.1.1 Cas test de Hamid Abouchadi
On traite le cas test mis au point et instrumentĂ© par Hamid Abouchadi Ă lâ ENSAM de Cluny[Abouchadi, 2002] (Figure 147).
Figure 147 : La piĂšce finale [Abouchadi, 2002].
Le matĂ©riau coulĂ© est initialement de lâ acier. Les propriĂ©tĂ©s physiques standards de cet alliage enfusion sont :
[Pa] 10 3â=η]Kg.m[105,7 3 3Ă=Ï][m 10130 126 ââĂ= s..Îœ
La forme de cette piĂšce a Ă©tĂ© choisie Ă partir dâ une Ă©tude faite pour la piĂšce Ă©tudiĂ©e au paragraphe[III.4.4] (Figure 148). La principale diffĂ©rence entre ces deux piĂšces est quâ il nâ y a pas de canal decoulĂ©e dans la piĂšce qui a Ă©tĂ© instrumentĂ©e (Figure 148). Le remplissage est fait par gravitĂ©, mais cettefois en chute. On verra dans la suite, que contrairement au remplissage en source (par le canaldâ alimentation) qui ne prĂ©sentait pas de difficultĂ© particuliĂšre, la simulation du remplissage en chuteest relativement dĂ©licate.
La piÚce étudiée dans ce paragraphe
Figure 148 : Deux piÚces à géométrie trÚs proche, mais au mode de remplissage différent
16 cm
Chapitre V Remplissages en fonderie
166
Plusieurs coulĂ©es chronomĂ©trĂ©es, ont permis de dĂ©terminer que le remplissage devait se dĂ©rouler entre2,5 et 2,8[s]. Ce choix sâ est basĂ© sur le fait quâ un remplissage trop rapide est trĂšs difficilementreproductible, et quâ un remplissage trop lent engendre des reprises de solidification (lorsque le mĂ©talen fusion rejoint des parties dĂ©jĂ solidifiĂ©es). Le temps de remplissage de 2,5[s] correspond Ă unepression imposĂ©e de environ 2000 [Pa] (la donnĂ©e dont nous disposons est issue de la simulationeffectuĂ©e avec le logiciel Pam-Cast /Simulor, utilisĂ© pour une Ă©tude prĂ©alable [Abouchadi, 2002]).Cette pression correspond Ă une hauteur de chute de 27 [cm].
Dâ autre part, une maquette hydraulique en plexiglass (Ă lâ Ă©chelle 1/1), a Ă©tĂ© mise au point de maniĂšre Ă reproduire les conditions de simulations effectuĂ©es avec le logiciel Pam-Cast /Simulor. Les rĂ©sultatsexpĂ©rimentaux sont des clichĂ©s pris Ă une frĂ©quence de 25 images par seconde. NĂ©anmoins ils sontrestĂ©s qualitatifs (Figure 150). Les tests de remplissage, effectuĂ©s avec de lâ eau, donnent uneindication sur la forme de lâ Ă©coulement. Notons que la localisation du filet de matiĂšre a une forteinfluence sur la forme de lâ Ă©coulement [Abouchadi, 2002], et que son Ă©paisseur en entrĂ©e demasselotte est difficile Ă contrĂŽler.
V.1.1.1 DonnĂ©es de la simulationDonnĂ©es maillageNbre de nĆuds10474Nombre dâ Ă©lĂ©ments43646
Nbre facesfrontiere17316
Volume maillage
멉 )( ee
volume
1,895.10-4[m3]-
Surfacemaillage
âΩââ
)(FsurfaceF
2.10-4[m2]
On choisit lâ angle critique de dĂ©viation, °= 50cΞ . Ce choix permet que deux normales, voireĂ©ventuellement trois normales soient gĂ©nĂ©rĂ©es aux arĂȘtes et angles de la piĂšce, alors que globalement,sur son ensemble, une seule normale est crĂ©Ă©e par nĆ ud (Figure 149).
Figure 149 : nombre de normales construites par nĆud frontiĂšre pour lâ application de lacondition de glissement
3
2
1
0
Chapitre V Remplissages en fonderie
167
On initie le calcul en considĂ©rant un remplissage initial dĂ©fini par une pastille de matiĂšre dĂ©jĂ prĂ©sente(Figure 151). Le rayon de la pastille que nous avons utilisĂ©, est plus important que celui du canaldâ alimentation de la maquette Ă eau (Figure 150). Pour simuler un filet dâ eau aussi mince, dans lesconditions de remplissage demandĂ©es, le maillage utilisĂ© aurait dĂ» ĂȘtre beaucoup plus important(mĂȘme en utilisant lâ adaptation de maillage). Dans la suite, on suppose le dĂ©bit constant en entrĂ©e (dufait de la hauteur de chute, câ est hypothĂšse est rĂ©aliste), on impose une vitesse, en bloquant les degrĂ©sde libertĂ© sur la surface extĂ©rieure de la pastille. Cette surface mesure approximativement 2.10-4 [m2].
Figure 150 : Description de la maquette Ă eau [Abouchadi, 2002]
la fonction caractéristique au début de lasimulation (isosurface 0,5)
La pastille vue de dessus
Figure 151 : pastille de matiÚre en entrée
Chapitre V Remplissages en fonderie
168
V.1.1.2 Le remplissage de la piĂšceLe remplissage de la piĂšce a Ă©tĂ© effectuĂ© en utilisant une viscositĂ© cinĂ©matique « numĂ©rique » faible[Tableau 7]. On impose une vitesse en entrĂ©e, de 0,4 [ 1m.s â ] sur la surface de la pastille, soit un dĂ©bitapproximatif de 8.10-5[ 13 .sm â ]. Par consĂ©quent, le temps de remplissage attendu est lĂ©gĂšrementinfĂ©rieure Ă 2,3[s], en tenant compte du taux de remplissage initial.
DonnĂ©es simulation].s 12 â dt[s] Taux remplissage initial Facteur de pĂ©nalisation du
contact glissant0,001 0,005 1,5% 3102 Ă=α
Tableau 7 : donnée de la simulation
Utilisation du solveur air :On utilise le solveur « air » [ II.1.7.2], en supposant la viscositĂ© cinĂ©matique dans lâ air (ou le vide) dumĂȘme ordre que celle du mĂ©tal. Ce choix nâ est pas naturel, mais pour un rapport de viscositĂ© plus petit
entre les deux milieux
fluide
air
ηη
, il ne nous a pas Ă©tĂ© possible dâ obtenir une simulation complĂšte du
remplissage (quelque soit le pas de temps choisi).
Description du remplissage
Figure 152 : Evolution du front de matiÚre, et diffusion numériques sur la paroi en fin deremplissage
La forme de lâ Ă©coulement (Figure 152) au dĂ©but de la coulĂ©e semble rĂ©aliste. On observe une strictiondue Ă la gravitĂ© et Ă la viscositĂ©. Lorsque le mĂ©tal atteint le col de la piĂšce, celui-ci se remplit, et lamatiĂšre remonte lĂ©gĂšrement sur les bords de la masselotte. On constate que les replis de la matiĂšresont bien gĂ©rĂ©s. Cependant, le filet de matiĂšre ne tombe pas directement au fond du moule comme onlâ attend : bien quâ il parte assez droit (Figure 152 - entourĂ© en pointillĂ©), le jet se colle finalement Ă laparoi (on donnera une interprĂ©tation de ce phĂ©nomĂšne par la suite). Par contre, on simule correctement
2,3[s]
repliair
Chapitre V Remplissages en fonderie
169
les effets de lâ inertie sur lâ Ă©coulement. En effet, une vague de mĂ©tal remonte en entourant le noyau,puis a un lĂ©ger mouvement de recul. On observe Ă©galement le repli de matiĂšre (indiquĂ©-Figure 152) aucentre de la piĂšce. Enfin, on prĂ©voie correctement lâ emprisonnement dâ air dans la piĂšce (indiquĂ©-Figure 152), au mĂȘme endroit que la prĂ©vision de Pam-Cast /Simulor [Abouchadi, 2002].
On a vu quâ au cours du remplissage, Ă la sortie de la masselotte, le mĂ©tal se plaque Ă la paroi, au lieude former un filet de matiĂšre. Une part de lâ explication de ce phĂ©nomĂšne rĂ©side dans la forte viscositĂ©prise dans lâ air : lâ air entraĂźne le fluide. En effet, une vitesse non nĂ©gligeable apparaĂźt dans le sens dela rotation (Figure 153).
Figure 153 : mouvement rotatif de lâ air
De plus, le maillage nâ est pas adaptĂ© sur les frontiĂšres de lâ empreinte. Par consĂ©quent, la diffusionnumĂ©rique perturbe lâ Ă©coulement (Figure 154).
Figure 154 : la fonction caractéristique du fluide, visualisation de la diffusion numériquedans le plan de coupe
Notons cependant que sans adaptation de maillage, il est impossible, avec le maillage utilisĂ©, dâ obtenirun rĂ©sultat dans les conditions de remplissage imposĂ©es.
V.1.2 Influence de la viscositĂ© sur lâ Ă©coulement
En partant des mĂȘmes conditions en entrĂ©e, augmentons la viscositĂ© numĂ©rique prise en compte, demaniĂšre Ă observer lâ influence de ce paramĂštre sur la forme de lâ Ă©coulement.
Données de la simulationDonnées simulation
].s 12 â dt[s] Taux remplissageinitial
Facteur de pénalisationdu contact glissant
0,005 0,005 1,5% 3102 Ă=α
Ox]0,2371[m.s 1â
Chapitre V Remplissages en fonderie
170
Utilisation du solveur air :Lâ utilisation dâ une viscositĂ© numĂ©rique plus Ă©levĂ©e permet dâ imposer une diffĂ©rence de viscositĂ© plusgrande que dans le cas prĂ©cĂ©dent entre le mĂ©tal et lâ air. Dans le cas suivant, la viscositĂ© cinĂ©matique delâ air est 1000 fois infĂ©rieure Ă celle utilisĂ©e pour lâ acier en fusion.
DĂ©roulement du remplissage
Figure 155 : isosurfaces de la fonction de présence dans le plan de coupe, et suivi du front dematiÚre
Lâ Ă©coulement obtenu (Figure 155) est laminaire visqueux. On observe que la matiĂšre est ralentie auniveau du col de la piĂšce. Elle se replie sur elle-mĂȘme, et Ă plus tendance Ă remonter dans lamasselotte quâ Ă descendre dans le moule. Par la suite, une fois le « col passĂ© », on observe que lamatiĂšre reste plaquĂ©e Ă la paroi du moule. Lâ explication qui a Ă©tĂ© avancĂ©e dans le paragrapheprĂ©cĂ©dent ne convient pas ici, car le rapport entre les deux viscositĂ©s cinĂ©matiques utilisĂ©es est faible.De plus, la matiĂšre se plaque directement Ă la paroi (pointillĂ©s), et nâ est pas dĂ©viĂ©e comme dans le casprĂ©cĂ©dent. On peut ici mettre en cause la forte Ă©paisseur de matiĂšre en sortie du « col » de lamasselotte, celle-ci touche le bord du moule trĂšs tĂŽt. Enfin, du fait que la vitesse est relativement faibleet la viscositĂ© relativement forte, le mĂ©tal suit la paroi. La matiĂšre suit le chemin qui lui est le plusfacile de maniĂšre naturelle. Cette forme dâ Ă©coulement semble rĂ©aliste pour un fluide visqueux.
Pour conclure, notons quâ une forte diffusion perturbe le dĂ©roulement du remplissage, en particulier Ă la fin de celui-ci. Du fait de cette diffusion, le mĂ©tal atteint prĂ©maturĂ©ment le haut de la masselotte, etdĂ©bordeâŠ
Par cette simulation, on souligne que la variation de la viscosité numérique a une influence notable surla forme des écoulements.
V.1.2.1 Temps de calculPour procĂ©der aux simulations prĂ©sentĂ©es, nous avons utilisĂ© une machine ayant les propriĂ©tĂ©ssuivantes: Pentium IV â 1400MHz â 255 Mo.
Le facteur le plus influent sur les temps de calcul (une fois le temps de remplissage et le maillagefixés), est le pas de temps choisi. Pour un pas de temps de 0,005[s], et un remplissage prévu en 2,3[s],les simulations effectuées ont nécessité autour de trois jours de calcul.
3[s]
airrepli
Chapitre V Remplissages en fonderie
171
V.1.2.2 CommentairesLâ Ă©tude du remplissage de cette piĂšce montre que notre code peut simuler un remplissage en chute.Dans lâ ensemble, la forme de lâ Ă©coulement et les effets de lâ inertie sont bien retranscrits. De plus leremplissage est menĂ© jusquâ au bout. NĂ©anmoins, avec le logiciel de simulation mis au point, nous nesommes pas parvenu, Ă la fois Ă remplir la piĂšce, et Ă obtenir une forme de jet satisfaisante (qui tombedirectement dans le moule). Pour ce cas test, le remplissage en chute nâ est pas « direct » : avantdâ atteindre le fond du moule, la matiĂšre est arrĂȘtĂ©e par le « col » de la masselotte. Cette configurationpĂ©nalise Ă©normĂ©ment, en terme de rĂ©alisme, les augmentations de viscositĂ© « numĂ©rique ». Ceci estdâ autant plus vrai que nous avons Ă©tĂ© obligĂ© dâ augmenter le diamĂštre de lâ entrĂ©e de matiĂšre dans notresimulation.Au niveau du goulot dâ Ă©tranglement, pour obtenir lâ Ă©coulement le plus rĂ©aliste possible, il estindispensable de rĂ©duire la viscositĂ© « numĂ©rique » du mĂ©tal, tout en considĂ©rant une viscositĂ© plusfaible dans « lâ air ». Une fois le col passĂ©, et aprĂšs lâ Ă©crasement du mĂ©tal au fond du moule, on atteintdes nombres de Reynolds trop importants. Les Figure 156 et Figure 157, oĂč on a reprĂ©sentĂ© la fonctioncaractĂ©ristique du fluide, sont des exemples de simulations rĂ©alistes du point de vue de la forme desĂ©coulements, mais aussi des temps de remplissage. Ces simulations nâ ont pas abouti au remplissagecomplet de la piĂšce.
Figure 156 : simulation pour un dĂ©bit de 9,47.10-5 [m3/s]; ]12acier .s0.001[m â= ,
12air .s0,01[m â= ] ;et =tâ 0.0001[s], au temps t= 0,1[s]
Figure 157 : Comparaison qualitative de lâ Ă©coulement dans la maquette [Abouchadi, 2002]avec la simulation REM3DÂź au temps t= Ă 0,1[s], avec PentrĂ©e=3000[Pa],
]12fluide .s0.001[m â= , 12
air .s0,01[m â= ], et =tâ 0.0001[s]
Lâ Ă©tude menĂ©e sur cette piĂšce nous a Ă©galement permis dâ illustrer lâ utilisation du solveur air. A cesujet, il est important de souligner que la modĂ©lisation de lâ air est simplifiĂ©e, et quâ elle ne permet pasde simuler les courants dâ air, ou tourbillons, qui peuvent, dans ce cas de figure, modifier la forme dujet.Pour conclure, on peut noter que, dans les cas tests prĂ©sentĂ©s, seule la diffĂ©rence entre la viscositĂ©dynamique de lâ air et du mĂ©tal a Ă©tĂ© prise en compte, alors quâ il est possible, Ă partir des Ă©quationsintroduites au paragraphe [II.1.7.2] dâ affecter Ă©galement une masse volumique au domaine vide. On
Chapitre V Remplissages en fonderie
172
peut penser que cette prise en compte (qui est aujourdâ hui disponible) apportera de nettesamĂ©liorations sur les rĂ©sultats obtenus.
Chapitre V Remplissages en fonderie
173
V.1.3 La roue instrumentée Aubert et Duval
Dans cette partie, la piÚce dont nous allons simuler le remplissage est une roue à sept branches(Figure 158) instrumentée par Aubert&Duval dans le cadre du projet OSC-F.
V.1.3.1 Description de lâexpĂ©rienceDe maniĂšre Ă suivre le dĂ©roulement du remplissage, des thermocouples ont Ă©tĂ© placĂ©s dans le moule.Ces thermocouples sont reliĂ©s Ă un oscilloscope, et lorsquâ ils sont en contact avec le mĂ©tal en fusion,ils fondent Cette mĂ©thode permet de savoir Ă quel moment le mĂ©tal passe Ă lâ endroit oĂč lethermocouple a Ă©tĂ© placĂ©.
Le temps 0 est donné à la sortie du canal de coulée.
Les mesures du temps de remplissage ont Ă©tĂ© rĂ©alisĂ©es sur une demi-roue Ă lâ aide de 11capteurs(Figure 161):âą 2 capteurs dans le canal dâ alimentation.âą 1 Ă chacune des extrĂ©mitĂ©s de chacun des quatre rayons de la roue (un ne sera pas valide)âą 1 dans la masselotte centrale Ă 5,5 cm du haut.
Plusieurs remplissages ont Ă©tĂ© effectuĂ©s Ă partir dâ une mĂȘme poche de coulĂ©e, les temps duremplissage complet de lâ empreinte (la roue, le systĂšme de coulĂ©e et les masselottes) Ă©tant comprisentre 10 et 20 secondes selon la position du mĂ©tal dans la poche. Le temps de remplissage de la roueelle-mĂȘme est de 7 s.
Observation de dĂ©fauts sur la piĂšce coulĂ©e (donnĂ©es A&D)On note des dĂ©fauts reflĂ©tant un manque de remplissage au niveau de certains rayons. Ces dĂ©fauts,confirmĂ©s sur dâ autres piĂšces non instrumentĂ©es (la prĂ©sence de thermocouples pouvant ĂȘtre mise encause dans lâ apparition des dĂ©fauts ), se situent :âą soit au centre des rayons, dans la partie la plus mince.âą soit dans les renforts latĂ©raux des rayons qui par endroit sont inexistants.
Figure 158 : aperçu de la piÚce à partir du maillage et aprÚs démoulage
Chapitre V Remplissages en fonderie
174
Dimensions de la roueVolume = 1,21 210âĂ [m3]
Rayon extĂ©rieur de la roue = 0,49[m]Hauteur masselotte centrale = 0,241[m]Hauteur canal dâ alimentation=0,246[m]Rayon dâ entrĂ©e du canal dâ alimentation : 0,024[m]Surface dâentrĂ©e du canal dâalimentation : 1,81 310âĂ [m2]
V.1.3.2 Description de la simulation
On impose une vitesse en entrĂ©e de 0,955[ -1m.s ], le dĂ©bit est approximativement de :1,73 310âĂ [ 13m âs ]. Cette donnĂ©e est approximative du fait que le maillage est grossier au niveau delâ entrĂ©e du canal dâ alimentation. Il existe un flux sortant du fait de la facĂ©tisation des parois. Pour cetteraison nous nâ Ă©tudierons pas les pertes de matiĂšre dans ce cas test.
Figure 159 : maillage de la roue Ă sept branches
MaillageNombre de nĆ uds 35063Nombre dâ Ă©lĂ©ments 140 807
Le volume du maillage initial a lĂ©gĂšrement Ă©tĂ© modifiĂ© de 1,210238 210âĂ [m3] Ă 1,20993 210âĂ [m3]du fait de la qualitĂ© moyenne de celui-ci.
Figure 160 : nombre de normales gĂ©nĂ©rĂ©es pour le contact aux nĆuds frontiĂšre - zoom
DonnĂ©es matĂ©riaux de lâacier :[Pa] 10 3â=η
Chapitre V Remplissages en fonderie
175
]Kg.m[105,7 3 3Ă=Ï][m 10130 126 ââĂ= s..Îœ
DonnĂ©es de la simulation :La viscositĂ© cinĂ©matique du fluide : ].s[m0050 -12,=Îœ
][kg.m7500 -3=Ï et [Pa.s] 537,=η , le [s]10 tempsde pas 3â=
Les temps correspondants aux numéros :0 : 0 [s] ; 1 : 0,45 [s] ; 2 :0,52[s] ; 3 :1,39 [s] ; 4 :3,55[s] ; 5 : 4,76[s] ; 6 :4,86 [s] ; 7 : 5,37[s] ; 8 :5,92[s] ; 9 : 5,98[s] ; 10 : 10,84[s].
Figure 161 : données issues des topages
V.1.3.3 Confrontation des topages et de la simulation
V.1.3.3.1 Remarques prĂ©alablesNotons dans un premier temps que notre calcul dĂ©bute alors que le mĂ©tal est dĂ©jĂ dans le canaldâ alimentation, en amont de lâ endroit oĂč se trouve le premier thermocouple. De ce fait, notre tempszĂ©ro, ne correspond pas au premier temps enregistrĂ©, et par consĂ©quent, dans la suite nous dĂ©caleronsles temps donnĂ©s dâ environ 0,3[s].
Une autre observation est que la mĂ©thode expĂ©rimentale utilisĂ©e pour suivre la matiĂšre dans le mouledonne des indications pour des temps donnĂ©s. Autrement dit, on sait Ă quel temps la matiĂšre est arrivĂ©eau niveau d'un thermocouple, mais pas exactement oĂč elle se trouve entre deux thermocouples. LaFigure 161 nous permet de connaĂźtre le dĂ©roulement du remplissage (quels points sont remplis enpremier, dans lâ ordre numĂ©rologique). Si on regarde les temps donnĂ©s, toujours dans la mĂȘme figure,on constate que certains points sont remplis Ă quelques centiĂšmes de seconde dâ intervalle, ce que nousconsidĂšrerons comme un remplissage simultanĂ© (les points 5 et 6 ou encore 8 et 9). La figurecorrespondante, donnĂ©e Figure 162, retrace le chemin de la matiĂšre (les points rouges) aux tempsdonnĂ©s.
Enfin, ajoutons que la mĂ©thode que nous avons utilisĂ©e pour confronter nos rĂ©sultats au remplissagerĂ©el est de procĂ©der, nous aussi, par topages : on donnera un clichĂ© instantanĂ© du remplissage lorsqueles points oĂč sont situĂ©s les thermocouples sont atteints, en en se basant sur lâ iso surface de la fonctioncaractĂ©ristique de valeur 0,5.
01
2
6
48
97
5
10
3
Chapitre V Remplissages en fonderie
176
V.1.3.3.2 Confrontation des résultats
Si lâ on suit le dĂ©roulement du remplissage rĂ©el ; on peut distinguer plusieurs Ă©tapes principales quisont illustrĂ©es dans lâ encadrĂ© central de la Figure 162:âą Au temps 3,5[s], le mĂ©tal a rempli la moitiĂ© du canal dâ alimentation qui encercle la roue, et il a
dĂ©jĂ atteint la base de la premiĂšre brancheâą Environ 1 seconde aprĂšs, la premiĂšre branche est remplie (4,8[s])âą Moins dâ une seconde aprĂšs la seconde branche est remplie (5,4[s])âą Un peu plus de 0,5 [s] aprĂšs, la branche opposĂ©e au canal dâ alimentation est elle aussi remplie
pratiquement simulatanément avec la derniÚre branche (5,98[s])⹠Finalement, au bout de 11[s] la moitié de la masselotte principale est atteinte.
ProcĂ©dons de la mĂȘme maniĂšre pour dĂ©crire le dĂ©roulement du remplissage selon la simulationeffectuĂ©e, Figure 162 (sur cette figure, on a reprĂ©sentĂ© lâ isosurface 0,5 de la fonction caractĂ©ristique -en vert- les valeurs situĂ©es entre 0,4 et 0,6 sont en bleu foncĂ©):âą AprĂšs 3,5[s], le mĂ©tal remplit bien la base de la premiĂšre branche de la roue en premier, mais il nâ a
pas encore atteint le bout du canal dâ alimentation (bien quâ il en soit proche).âą La premiĂšre branche est remplie sans que soit atteint un autre repĂšre 2[s] aprĂšs (5,7[s])âą Moins dâ une seconde aprĂšs, la seconde branche est remplie (6,6[s])âą Par contre, il faut encore 4 secondes, et non 0,5 [s] pour que la branche opposĂ©e au canal
dâ alimentation soit elle aussi remplie ainsi que la derniĂšre branche. Les deux remplissages sontnĂ©anmoins, comme on lâ attendait, presque simultanĂ©s (9,19[s])
⹠Finalement, au bout de 11,7[s] la moitié de la masselotte principale est atteinte.
Le déroulement du remplissage est globalement bien simulé, mis à part un retard notable dans la fin duremplissage des branches. Dans la suite nous donnerons une explication à ce retard.
Figure 162 : confrontation des topages avec la simulation
Chapitre V Remplissages en fonderie
177
Figure 163 : déroulement du remplissage
La Figure 163 dĂ©crit le dĂ©roulement du remplissage. Seules les valeurs de la fonction de prĂ©sencesupĂ©rieures Ă 0,5 y sont reprĂ©sentĂ©es. Lâ isosurface 0,5 est tracĂ©e et situe le front de matiĂšre. Il apparaĂźtsur cette figure que le remplissage des masselottes secondaires (autour de la roue) se faitprĂ©maturĂ©ment (mais nous ne disposons pas de donnĂ©es), ce qui est probablement la cause duralentissement observĂ© dans le remplissage des deux derniĂšres branches. On peut Ă©galement supposerque le fait de ne pas avoir simulĂ© la chute dans le canal de coulĂ©e se ressent Ă©galement ici.Notons nĂ©anmoins que le remplissage se dĂ©roule correctement dans cette piĂšce relativementimportante, pour laquelle, de ce fait, le maillage utilisĂ© est grossier. De plus, la forme de lâ Ă©coulementest trĂšs caractĂ©ristique des Ă©coulements trĂšs peu visqueux : il nâ y a absolument pas de gonflement, lemĂ©tal coule au fond de la piĂšce qui est rempli avant que le niveau monte de maniĂšre horizontale dansles masselottes (Figure 164). De plus, le dĂ©roulement du remplissage dĂ©crit prĂ©cĂ©demment montre queles effets de lâ inertie sont pris en compte. Notons enfin que le dĂ©tail du remplissage zoomĂ© (Figure164) confirme lâ observation faite par lâ expĂ©rience qui est que les branches et leurs renforts sont lesparties les plus difficiles Ă remplir (Figure 164).
Figure 164 : zoom du remplissage de la partie entourée Figure 163
Renfort nonencore rempliBase de la branche
non encore remplie
Chapitre V Remplissages en fonderie
178
V.1.3.4 Temps de calculPour procĂ©der aux simulations prĂ©sentĂ©es, nous avons utilisĂ© une machine ayant les propriĂ©tĂ©ssuivantes: Pentium III Xeon â 798MHz â 2048Mo.
Les calculs dont nous avons prĂ©sentĂ©s les rĂ©sultats ont nĂ©cessitĂ© autour dâ une semaine de simulation.Pour cette raison, il nous Ă©tait difficile de diminuer le pas de temps utilisĂ©.
V.2 Etude thermique du remplissage dâune plaque dâaluminium
V.2.1 Introduction
Ce cas test, a Ă©tĂ© spĂ©cialement mis au point dans le but de tester les avancĂ©es technologiques enmatiĂšre de simulation numĂ©rique en fonderie en 3D [Sirell et al, 1995]. Il permet de confronter lessimulations Ă un cas expĂ©rimental extrĂȘmement prĂ©cis. La gĂ©omĂ©trie de la piĂšce a Ă©tĂ© volontairementchoisie aussi simple que possible (Figure 165). Lâ entonnoir dâ injection quant Ă lui a Ă©tĂ© choisi assezlong (alors que des entonnoirs plus courts sont communs pour ce genre de piĂšce) de maniĂšre Ă provoquer des phĂ©nomĂšnes turbulents au cours de la coulĂ©e.Campbell [Campbell, 1991] a montrĂ© que la rĂ©sistance mĂ©canique finale des lames dâ aluminiumdĂ©pend fortement de la phase de remplissage et peut ĂȘtre amĂ©liorĂ©e de maniĂšre importante si on Ă©viteles phĂ©nomĂšnes dâ Ă©claboussures sur les bords du moule ainsi que les phĂ©nomĂšnes turbulents sur lefront de matiĂšre. Ces phĂ©nomĂšnes provoquent lâ inclusion et le repli des films dâ alliage oxydĂ© (ou de lasurface libre), ce qui empĂȘche le mĂ©tal de se lier correctement au reste de la coulĂ©e. Lâ intĂ©rĂȘt de lasimulation numĂ©rique est ici de prĂ©dire ce genre dâ Ă©coulement lors du remplissage. On prĂ©diranotamment, si le fluide se dĂ©tache de la paroi, câ est Ă dire sâ il y a formation de bulles.
V.2.2 Description du cas test
On remplit un bassin de coulĂ©e (un bassin de coulĂ©e est un rĂ©ceptacle, placĂ© au dessus de la descentede coulĂ©e, qui sert de rĂ©gulateur de dĂ©bit) avec une charge dâ aluminium pur Ă 99,999%, Ă unetempĂ©rature de 720 [°C]. La hauteur dâ aluminium dans le bassin est exactement de 40 [mm] et seramaintenue constante pendant toute la durĂ©e de la simulation (cette hauteur est garantie par une gorgedâ Ă©chappement) On enlĂšve le tampon de quenouille qui fermait lâ entrĂ©e du canal dâ alimentation demaniĂšre Ă commencer le remplissage. La tempĂ©rature dâ entrĂ©e du mĂ©tal dans le moule est alors de700[°C] environ. A lâ entrĂ©e de lâ entonnoir dâ injection , on sâ assure (par un systĂšme de dĂ©versoir) quelâ Ă©coulement est globalement laminaire. Le temps de remplissage est de 1,83 [s].Des thermocouples sont placĂ©s, dans le plan longitudinal qui coupe la plaque en son centre, auxendroits marquĂ©s dâ une croix (que lâ on a encerclĂ©) Figure 165. Ces thermocouples Ă©taient destinĂ©s Ă ladescription de la solidification, mais ils donnent une estimation assez grossiĂšre de la tempĂ©rature Ă lafin du remplissage. Cette tempĂ©rature se situe entre 680-660°C pour les points centraux, et Ă 660°Cpour les points en bordure. Notons que le point qui se solidifie en dernier est le point encerclĂ© de rougedans la Figure 165, et que sa tempĂ©rature en fin de remplissage pour deux remplissages diffĂ©rents estdonnĂ©e autour de 690° et de 670°.
Chapitre V Remplissages en fonderie
179
Données matériaux :
LâALUMINIUM LIQUIDE:
température initiale : 700 [°C]
[Pa] 103.1 3âĂ=η][kg.m102,385 3 3Ă=Ï
].[m 1055,0 126 ââĂ= sÎœ
]C.[W.m 110 1-1 â°=k
].C[J.kg1100 11 ââ=c
LE MOULE :
tempĂ©rature initiale :30[°C] â (ambiante)][kg.m1052,1 3 3Ă=Ï
1-1 C.[W.m 650 â°= .k
].C[J.kg 987 11 ââ=c
LâAIR
[Pa] 101 5âĂ=η][kg.m 1 3=Ï
].[m 10 125 ââ= sÎœ
1-12 C.[W.m 10632 ââ °Ă= .k
].C[J.kg10 113 ââ=c
DIMENSIONS
Le plan est en [mm]
Figure 165 : dimensions de la piĂšce et positionnement des thermocouples (les croix) etvocabulaire
entonnoir de coulée
Canal de coulée inférieur
Entrée de la plaque
Chapitre V Remplissages en fonderie
180
RĂ©sultats issus de lâexpĂ©rience : lâĂ©coulement (Figure 166)Il sâ agit des clichĂ©s de trois expĂ©riences (radiographie X) en simultanĂ©, aux temps a) 0.24[s] - b) 0.5[s]â c) 0,74 [s] â d) 1.0 [s] â e) 1.24[s] â f) 1,5 [s] â g) 1,74 [s] â h) 2. [s].
PremiĂšre partie DeuxiĂšme partie
Exp I Exp II Exp III Exp I Exp II Exp III
Figure 166 : les résultats de trois remplissages différents
Ces trois tests ont Ă©tĂ© menĂ©s pour tester la reproductibilitĂ© de lâ expĂ©rience. On constate que laformation dâ une vague dans le canal dâ alimentation, sa non saturation, et le temps de remplissage sonteffectivement quasi identiques dans les trois expĂ©riences. Par contre, la vague qui est crĂ©Ă©e Ă lâ entrĂ©ede la plaque principale (encadrĂ© en tirĂ©) nâ a pas du tout la mĂȘme forme selon le rĂ©sultat qui estregardĂ©.
V.2.3 Simulations en conditions isothermes
V.2.3.1 Description de la simulationInitialement la piĂšce est remplie Ă 18.29%, on impose la pression Ă©quivalente Ă la hauteurdâ aluminium liquide dans le bassin de coulĂ©e.
DonnĂ©es maillageNbre de nĆuds10474Nombre dâ Ă©lĂ©ments43646
Nbre facesfrontiere0,0843761
Volume maillage
멉 )( ee
volume
3,4396 410âĂ [m3]-
Surfacemaillage
âΩââ
)(FsurfaceF
0.0844 [m2]
Figure 167 : Données du maillage
Chapitre V Remplissages en fonderie
181
Figure 168 : le maillage de la plaque
Soulignons le caractĂšre 3D de lâ expĂ©rience du fait de la marche au niveau du raccord entre le canal decoulĂ©e et la plaque (Figure 168).
DonnĂ©es de la simulation :La viscositĂ© cinĂ©matique du fluide : ].s[m0010 -12,=Îœ ( correspond Ă ][kg.m1032 -33.,=Ï et
[Pa.s] 32,=η ), le [s]10 tempsde pas 3â= .
V.2.3.2 Remplissage en pression
La Figure 169 dĂ©crit le dĂ©roulement du remplissage aux mĂȘmes temps (en prenant en compte undĂ©calage fixĂ© de maniĂšre Ă caler la premiĂšre image (Ă 0,24[s]) du fait que les temps zĂ©ro necorrespondent pas). Les clichĂ©s mis en vis-Ă -vis (au-dessus) sont issus de lâ expĂ©rience II (ExpII,Figure 166).
Figure 169 : dĂ©roulement du remplissage et simulation aux temps : 0.24[s] - 0.5[s] â 0,74[s] â 1.0 [s] â 1.24[s] â 1,5 [s] (approximation Ă 0,05[s])
On observe une trĂšs bonne correspondance entre le cas rĂ©el et la simulation. En particulier, notremodĂšle prĂ©dit des temps de remplissage corrects. De plus, il permet dâ observer la non saturation ducanal dâ alimentation (entre le 1Ăšre et la 4Ăšme images - Figure 169), ainsi que les recirculations (Figure170 et Figure 171).
«marche : 3D»
Chapitre V Remplissages en fonderie
182
Figure 170 : recirculations Ă la sortie du canal dâalimentation zoomĂ©e vers la fin duremplissage
Figure 171 : recirculations Ă lâ entrĂ©e de la plaque
Si on le confronte Ă la forme des Ă©coulements dĂ©crits par la Figure 172, nous nous situons dans lagamme des Ă©coulements trĂšs peu visqueux, ce qui est un bon rĂ©sultat du fait que nous utilisons unerĂ©solution directe et une viscositĂ© numĂ©rique plus Ă©levĂ©e que la viscositĂ© rĂ©elle, ce qui est justifiĂ© parle fait que lâ Ă©coulement est turbulent (le nombre de Reynolds a Ă©tĂ© estimĂ© Ă 40000 par les auteurs).
(a) Ă©coulement laminaire trĂšsvisqueux
(b) Ă©coulement laminaire peuvisqueux
(c) Ă©coulement turbulent(Remarque : Re>40000)
Figure 172 : forme des Ă©coulements possibles : laminaire visqueux, laminaire peu visqueux etturbulent
Rappelons que dans lâ introduction de ce cas test [V.2.2], nous avons soulignĂ© lâ importance de laprĂ©diction des inclusions (par exemple, les inclusions dâ alliages oxydĂ©s par lâ air lors du repli de lamatiĂšre) pendant le remplissage. La Figure 172 illustre le fait que si lâ Ă©coulement est trop visqueux, ildevient impossible de prĂ©voir les dĂ©fauts dus Ă ce type de phĂ©nomĂšnes.
Chapitre V Remplissages en fonderie
183
La Figure 173 dĂ©crit plus prĂ©cisĂ©ment lâ Ă©coulement dans le canal de coulĂ©e situĂ© sous la piĂšce, ainsique la formation du jet, dont la hauteur est sous Ă©valuĂ©e par le calcul. Nous avons reprĂ©sentĂ©lâ ensemble de valeurs de la fonction de prĂ©sence de maniĂšre Ă pouvoir observer la diffusion numĂ©riquequi est ici trĂšs importante du fait des vitesses mis en jeu et de la finesse de la piĂšce. Une consĂ©quencedirecte de cette diffusion est un Ă©crasement du jet. On se situe entre les images b et c , câ est Ă dire entreun Ă©coulement laminaire peu visqueux, et turbulent (Figure 172).
Figure 173 : les effets de la diffusion numérique sur le remplissage
V.2.4 Simulation avec calcul thermique
Dans la suite, on utilisera une viscositĂ© numĂ©rique 5 fois plus forte que celle utilisĂ©e prĂ©cĂ©demment, demaniĂšre Ă limiter la diffusion numĂ©rique dans lâ Ă©coulement. On imposera une vitesse constante enentrĂ©e qui correspond Ă un remplissage effectuĂ© en 2[s] (avec une telle viscositĂ©, le remplissage enpression est beaucoup plus lent). Cette hypothĂšse est cohĂ©rente du fait de la hauteur de chute.DonnĂ©es de la simulation :La viscositĂ© cinĂ©matique du fluide : ].s[m0050 -12,=Îœ , le [s]105. tempsde pas 3â=
Le module dâ adaptation de maillage est toujours utilisĂ©, bien que du fait de la finesse du maillage, etde la faible Ă©paisseur de la piĂšce, ces effets soient moins importants que dans les cas tests prĂ©cĂ©dents.NĂ©anmoins, ils apparaĂźtront de maniĂšre trĂšs nette dans les coupes (visualisation - Figure 176, Figure177, Figure 179), oĂč lâ on constatera des diffusion trĂšs peu importante lorsquâ on est situĂ© loin desfrontiĂšres de la cavitĂ©.
Chapitre V Remplissages en fonderie
184
Afin de pouvoir simuler la thermique du remplissage, nous utilisons un maillage avec au moins 5Ă©lĂ©ments dans lâ Ă©paisseur. Ce maillage a Ă©tĂ© obtenu en utilisant une mĂ©trique dite naturelle [Gruau,2003]. Cette mĂ©trique permet de gĂ©nĂ©rer des maillages anisotropes Ă partir de la gĂ©omĂ©trie de la piĂšce(son Ă©paisseur, son allongement) (Figure 174).
Figure 174 : Maillage utilisant une métrique naturelle
De maniĂšre Ă obtenir le maillage coĂŻncident dâ un moule (Figure 176) Ă partir de cette piĂšce, nousavons utilisĂ© le module de gĂ©nĂ©ration de moule implĂ©mentĂ© par Serge Batkam [Batkam, 2002]. Leprogramme dĂ©jĂ existant a Ă©tĂ© amĂ©liorĂ© en paramĂ©trisant toutes les Ă©tapes du processus par desvariables externes, et de maniĂšre Ă allĂ©ger les opĂ©rations que lâ utilisateur devait effectuer.
Figure 175 : Le moule avant assemblage
Chapitre V Remplissages en fonderie
185
Figure 176 : maillage couplé, aprÚs assemblage, des maillages coïncidents du moule et de lacavité
On remarquera que la qualitĂ© du maillage (Figure 176) sur la face supĂ©rieure est assez mauvaise(Ă©toilement important et allongement des Ă©lĂ©ments). Dâ une maniĂšre gĂ©nĂ©rale, Ă lâ intĂ©rieure de la piĂšce,la qualitĂ© est bien meilleure. En effet, avec la version du mailleur dont nous disposions, il Ă©taitnĂ©cessaire, afin de conserver la forme de lâ empreinte du moule et la coĂŻncidence des maillages mis enjeu, de raffiner les maillages avant leur assemblage, sans modifier leur frontiĂšre.
Chapitre V Remplissages en fonderie
186
V.2.4.1 Comparaison du déroulement du remplissage, avec et sans prise en compte dumoule
On montre ci-dessous Figure 177 et Figure 178 que le remplissage se dĂ©roule de la mĂȘme façon que lemoule soit pris en compte ou pas. Cette validation Ă©tait nĂ©cessaire pour pouvoir comparer, par la suite,les rĂ©sultats thermiques obtenus pas les deux modes de remplissage (avec et sans prise en compte dumoule). Rappelons que nous avons fait lâ hypothĂšse que les phĂ©nomĂšnes thermomĂ©caniques sontnĂ©gligeables au cours du remplissage. Pour le remplissage Ă©tudiĂ©, cette hypothĂšse est valide. En effet,on a une bonne correspondance entre lâ expĂ©rience et la simulation isotherme [V.2.3]. Cettecorrespondance reste vraie pour le suivi de la matiĂšre illustrĂ© Figure 177 et Figure 178.
Figure 177 : fonction caractéristique du fluide dans le plan de coupe en bi-domaine (fluide-air)
Figure 178 : fonction caractéristique du fluide dans le plan de coupe en multi domaine(fluide-air-moule)
Chapitre V Remplissages en fonderie
187
Notons que la visualisation utilisĂ©e prĂ©sente lâ inconvĂ©nient de ne pas permettre de voir les valeursdiscrĂštes des variables, mais seulement des valeurs moyennĂ©es. De ce fait, elle produit de la diffusionparasite (valeurs moyennĂ©es) au niveau des parois du moule en multidomaine. Toutefois on verra parla suite que les Ă©coulements sont correctement dĂ©crits, sous rĂ©serve dâ un maillage suffisamment fin.Rappelons Ă©galement que la tempĂ©rature du vide nâ intervient pas dans le calcul thermique. Ici elle seraĂ©gale Ă 700°C.
Notons que la température observée T suit la loi :
fv
f
v 1T1TT += ( V.1)
ou autrement dit est calculée en fonction des températures dans le fluide Tf et le vide Tv, ainsi que desfonction de présence du fluide
v1 et du vide
v1 .
Cette relation explique pourquoi les tempĂ©ratures observĂ©es semblent plus Ă©levĂ©es dans les endroits oĂčla fonction caractĂ©ristique du vide nâ est pas zĂ©ro) (la tempĂ©rature imposĂ©e dans le vide est de 700°C).Ces zones sont situĂ©es Ă la frontiĂšre entre le mĂ©tal en fusion et lâ air (zones rouges Figure 179), oĂčencore sur les bords de la piĂšce en fin de remplissage. Pour connaĂźtre la tempĂ©rature rĂ©elle dans lefluide, il faut appliquer la relation :
f
v
v
f 1
1T-TT = ( V.2)
V.2.4.2 Thermique du remplissageLa Figure 178 décrit le déroulement thermique du remplissage lorsque le moule est pris en compte etpar conséquent que les échanges de flux à la paroi sont calculés et non imposés comme des conditionsaux limites. Ici, on montre le domaine extrait. Le dernier incrément fournira une carte thermique aulogiciel THERCASTŸ.
Figure 179 : extraction du domaine liquide, Ă©volution thermique du remplissage
Chapitre V Remplissages en fonderie
188
Figure 180 : fonction caractéristique à la fin du remplissage - 2[s] de remplissage
Comparons Ă prĂ©sent les isothermes obtenues Ă la fin du remplissage, avec et sans prise en compte dumoule. Dans le cas oĂč le moule est pris en compte, les Ă©chelles de visualisation des isothermes seronttronquĂ©es. Lorsque le moule nâ est pas maillĂ© son influence est simulĂ©e par lâ imposition dâ unetempĂ©rature dâ interface imposĂ©e selon la loi dĂ©jĂ Ă©voquĂ©e dans le paragraphe [IV.1.3] et telle que :
moulefluide
Rmouleefluideinterface bb
TbTbT
++
= ( V.3 )
Avec moulemoulemoulemoulefluidefluidefluidefluide ckbckb ÏÏ == et les effusivitĂ©s thermiques, Te la
tempĂ©rature dâ entrĂ©e du fluide, TR la tempĂ©rature de rĂ©gulation du moule, et interfaceT la tempĂ©rature
dâ interface.
La température imposée en paroi pendant toute la durée du remplissage sera par conséquent de662,5°C.
Dans un premier temps, on constate (Figure 181) quâ en peau, les tempĂ©ratures lorsque le moule nâ estpas pris en compte, sont beaucoup plus homogĂšnes, et sont globalement moins Ă©levĂ©es que lorsque lesĂ©changes de flux sont calculĂ©s. La tempĂ©rature que lâ on retrouve correspond Ă la tempĂ©raturedâ interface 662.5 °C. Dâ autre part, les tempĂ©ratures sont beaucoup plus rĂ©parties lorsque le moule estpris en compte. Leur ordre de grandeur est de 660-665°C sur une grande partie de la piĂšce, mais onobserve des tempĂ©ratures plus Ă©levĂ©es dans le courant de lâ alimentation.
sans prise en compte avec prise en compte sans prise en compte avec prise en compte
Figure 181 : comparaison de la température en peau de la piÚce avec et sans prise ne comptedu moule
Les tempĂ©ratures dans le plan de coupe latĂ©ral confirment ces observations (Figure 182). Lâ Ă©chelle degrandeur prise pour lâ utilisation dâ un moule virtuel est de 660 Ă 665°C, alors que dans le cas oĂč le
Chapitre V Remplissages en fonderie
189
moule est pris en compte elle est de 670 Ă 690°C. Notons que du fait que le maillage est grossier dansle haut de la plaque, celui-ci est mal visualisĂ©, ce qui ne sera plus le cas par la suite, lorsque nousprendrons une coupe latĂ©rale. On constate que le mĂ©tal qui rentre dans la plaque est plus chaud de plusde 20°C si le moule est pris en compte. Du fait du faible Ă©talement des valeurs qui sont trĂšs proches dela valeur imposĂ©e en paroi, on peut penser que la couche limite en tempĂ©rature est plus importantedans le cas oĂč lâ on impose une tempĂ©rature dâ interface.
Figure 182 : coupe transersale pour observer la thermique dans lâ Ă©paisseur de la piĂšce
Chapitre V Remplissages en fonderie
190
On fait une coupe longitudinale de la piĂšce, Ă la fin du remplissage, Ă lâ endroit correspondant Ă laposition des thermocouples, câ est Ă dire en passant par le centre de la plaque (Figure 183).
Figure 183 : comparaison des tempĂ©ratures dans le plan de coupe (mĂȘme fouchette degrandeur [662,5°-700°C])
Il apparaĂźt que la tempĂ©rature dans le cĆ ur de la piĂšce est sous Ă©valuĂ©e par la simulation sans moule,alors quâ elle est proche de la rĂ©alitĂ© lorsquâ il est pris en compte. On constate lĂ encore une plus grandehĂ©tĂ©rogĂ©nĂ©itĂ© de tempĂ©rature dans le second cas. Par contre, lorsquâ on est proche de la paroi, alors queles tempĂ©ratures attendues sont de lâ ordre de 660°C (dâ aprĂšs les rĂ©sultats expĂ©rimentaux [V.2.2]), lestempĂ©ratures obtenues dans le fluide sont autour de 670° en prenant en compte la diffusion numĂ©rique.Dâ une maniĂšre gĂ©nĂ©rale, les deux mĂ©thodes donnent des rĂ©sultats assez proches de la rĂ©alitĂ©. De cefait, on peut considĂ©rer que les Ă©changes thermiques sont correctement calculĂ©s lorsque le moule estpris en compte. En laissant la piĂšce refroidir aprĂšs la fin du remplissage (Figure 184), on constate lĂ encore que lâ on obtient un refroidissement rĂ©aliste.
Figure 184 : refroidissement aprĂšs la fin du remplissage
Chapitre V Remplissages en fonderie
191
RĂ©duisons la fourchette de valeur des tempĂ©ratures, de maniĂšre Ă mieux observer la forme desisothermes obtenues en imposant une tempĂ©rature Ă lâ interface, Ă la fin du remplissage (Figure 185).On constate quâ au centre de lâ Ă©coulement, la forme des isothermes est proche pour les deux formes decalculs, mais que les valeurs de tempĂ©rature obtenues sont diffĂ©rentes.
Fourchette de [662.5°C-670°C] Fourchette de [662.5°C-665°C]
Figure 185 : isothermes pour une piĂšce calculĂ© en imposant une tempĂ©rature dâ interface pourdiffĂ©rentes fourchettes de valeur
Procédons à une nouvelle simulation, cette fois avec une viscosité cinématique de 0,002 [m2.s-1]. Latempérature du moule est prise à 20°C à la place de 30°C pour la premiÚre simulation. La Figure 186donne le déroulement du remplissage en thermique dans la coupe définie précédemment.
Figure 186 : évolution des températures au cours du remplisage pour les temps de simulationen secondes : 0.275; 0.485;
0.58;0.73;0.88;1.005;1.240;1.355;1.565;1.705;1.810 ;1.915 ;2.02.
La diminution de la viscositĂ© a une influence directe sur la forme de lâ Ă©coulement (Figure 186), mais apeu dâ impact sur la tempĂ©rature, tout comme la variation de 10°C de la tempĂ©rature du moule, ce quiest parfaitement cohĂ©rent.
Rappel : la tempĂ©rature ici nâ estpas la tempĂ©rature du fluide maiscorrespond Ă la relation
fv
f
v 1T1TT +=
Chapitre V Remplissages en fonderie
192
V.2.4.3 Conservation de la matiĂšreOn a montrĂ© [V.2.4.1] que le remplissage se dĂ©roulait de la mĂȘme maniĂšre, avec et sans prise encompte du moule. On se concentrera ici sur lâ Ă©tude de la conservation de la matiĂšre en bidomaine(fluide-cavitĂ©). Sans revenir sur la mĂ©thode de calcul dĂ©jĂ exposĂ©e dans [ III.4.1], on trace les pertes dematiĂšre cumulĂ©es Ă la paroi, ainsi que les pertes de matiĂšre instantanĂ©es Ă la paroi (Figure 187 etFigure 188 ). On constate quâ aprĂšs 1,8[s] de remplissage, les pertes de matiĂšre augmentent de maniĂšreimportante, ce qui complĂšte les observations faites dans le chapitre III. A ce temps, le taux deremplissage est de 90,2% et le remplissage nâ est pas fini. Dans lâ Ă©tude de ce cas test, nous avonsestimĂ© la fin du remplissage Ă 2[s], en fonction du dĂ©bit imposĂ©. Le remplissage est alors dâ environ98% du volume de la cavitĂ©. Les pertes de matiĂšre sont donc infĂ©rieures Ă 1,5% du volume de cavitĂ©(Figure 187).
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
temps[s]
% v
olum
e ca
vité
0,00E+00
1,00E-02
2,00E-02
3,00E-02
4,00E-02
5,00E-02
6,00E-02
7,00E-02
8,00E-02
9,00E-02
1,00E-01
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
temps[s]
% v
olum
e de
la c
avité
Figure 187 : Pertes cumulées de matiÚre à laparoi (en % de volume de la cavité)
Figure 188 : Pertes de matiÚre instantanées à la paroi (en % de volume de la cavité)
V.2.4.4 Temps de calculPour procĂ©der aux simulations prĂ©sentĂ©es, nous avons utilisĂ© une machine ayant les propriĂ©tĂ©ssuivantes: Pentium III â 700MHz â 512Mo.
La simulation numĂ©rique en bidomaine (seule la cavitĂ© est prise en compte), en thermique, demandeun peu moins de un jour de calcul.Lorsquâ on le moule est Ă©galement pris en compte, toujours pour un calcul thermique, cette durĂ©e passeĂ un peu moins de 2 jours de calcul.
Chapitre V Remplissages en fonderie
193
V.2.4.5 ConclusionOn a montrĂ© une bonne prise en compte du code de la thermique du remplissage dans des conditionsfortement convectives avec des chocs thermiques importants en paroi. On a Ă©galement montrĂ© que lasimulation des Ă©changes de flux Ă la paroi est correcte lorsque le moule est pris en compte dans lescalculs. Enfin, le point le plus chaud en fin dâ Ă©coulement (Figure 165 entourĂ© de rouge) est bienlocalisĂ©, et sa tempĂ©rature bien estimĂ©e.La comparaison entre les deux modes de calcul nâ a pas montrĂ© dâ avantage trĂšs marquĂ© Ă lâ utilisationdu multidomaine pour ce type de remplissage. NĂ©anmoins on a pu observer des diffĂ©rences telles quelâ homogĂ©nĂ©isation des tempĂ©ratures. Cette homogĂ©nĂ©isation semble due Ă la couche limite crĂ©e par latempĂ©rature Ă lâ interface, qui provoque un refroidissement trop marquĂ© dans le centre de la piĂšce. Onpeut penser que pour des remplissages plus longs, ou pour des moules Ă plus grande diffusivitĂ©thermique, ces diffĂ©rences seraient plus nettes.
Conclusion générale
194
Conclusion générale
195
Conclusion générale
Conclusion générale
196
chapitre VI Conclusion générale
Lâ objectif de notre Ă©tude Ă©tait de simuler le remplissage en fonderie afin dâ obtenir, en fin deremplissage, une description de la thermique de la piĂšce. Cette description a pour but dâ initier demaniĂšre rĂ©aliste lâ Ă©tude de la phase de solidification. Lâ Ă©tude du remplissage implique donc de dĂ©crirede maniĂšre rĂ©aliste lâ Ă©volution du front de matiĂšre dans le moule, ainsi que la thermiquedâ Ă©coulements fortement convectifs. La dĂ©marche suivie a Ă©tĂ© de crĂ©er un version fonderie du logicielREM3DÂź dĂ©veloppĂ© au Cemef. Ce logiciel, initialement dĂ©diĂ© Ă lâ injection des polymĂšres, adopte uneformulation eulĂ©rienne du problĂšme, et traite les Ă©coulements visqueux Ă surface libre instationnaire.
Cette adaptation sâ est dĂ©roulĂ©e en trois Ă©tapes principales :§ La traduction des effets de l'inertie sur les Ă©coulements.§ Lâ introduction du contact glissant dans REM3DÂź, ainsi qu'une loi de paroi.§ Lâ adaptation et la vĂ©rification de lâ efficacitĂ© du module thermique dĂ©jĂ existant pour la fonderie,
notamment en approche multidomaine.
Le fait de nous baser sur le logiciel REM3DÂź nous a permis de disposer, pour une rĂ©solution enmultidomaine, dâ un solveur Thermique, de mĂ©thodes de suivi de la surface libre, dont un moduledâ adaptation de maillage, et de lâ ensemble des mĂ©thode de rĂ©solution du problĂšme de Stokes. Ainsi,nous avons bĂ©nĂ©ficiĂ© dâ une technologie dĂ©jĂ existante, et validĂ©e pour des applications diffĂ©rentes. Enplus des principales modifications effectuĂ©es, lâ utilisation des mĂ©thodes dĂ©jĂ existantes a demandĂ© denombreuses adaptations Ă tous les niveaux du code.
Aujourdâ hui, nous avons obtenu une version qui permet de prĂ©dire des Ă©coulements de formesrĂ©alistes, avec une rĂ©solution thermique satisfaisante. Nous avons notamment effectuĂ© des validationssur des cas test de la littĂ©rature, en 2D, 3D et en thermique, mais aussi sur des piĂšces de fonderie. Lestypes de remplissage possibles sont trĂšs divers : nous avons procĂ©dĂ© Ă des remplissages sous pression,en gravitĂ© ou en dĂ©bit. En ce sens, nous avons rĂ©pondu Ă nos objectifs. Toutefois, du fait que lesambitions pour ce code sont aujourdâ hui industrielles, il est plus juste de considĂ©rer la version obtenuecomme une premiĂšre version qui sera amenĂ©e Ă ĂȘtre amĂ©liorĂ©e afin de rĂ©pondre Ă tous les cas de figurerencontrĂ©s en fonderie.
Pour chaque grand axe de notre étude, définissons les limites que nous avons rencontrées, mais aussiles acquis qui ont été apportés.
q La résolution directe des équations de Navier-Stokes pour des écoulements instationnaires à surface libre
Acquis
⊠Nous avons validĂ© un solveur Navier-Stokes direct, en dĂ©montrant que lâ utilisation dâ une viscositĂ©numĂ©rique plus Ă©levĂ©e que la viscositĂ© rĂ©elle du fluide permet dâ obtenir des Ă©coulements de formerĂ©aliste. Cette hypothĂšse est valable sous rĂ©serve de choisir une viscositĂ© suffisamment faible, etdâ imposer un contact glissant Ă la paroi. En pratique, la limite infĂ©rieure dĂ©terminĂ©e pour laviscositĂ© cinĂ©matique est de 0,001 [m2.s-1], ce qui correspond au nombre de Reynolds de 1000.Au-delĂ , il devient trĂšs difficile dâ obtenir des rĂ©sultats satisfaisants, bien que cela restethĂ©oriquement possible.
Conclusion générale
197
⊠Les Ă©coulements Ă©tudiĂ©s ont permis de vĂ©rifier que les grandes dĂ©formations, et les« ressoudures » de la surface libre rencontrĂ©es en fonderie sont trĂšs bien gĂ©rĂ©es. Nous avonsmontrĂ© que lâ adaptation de maillage est un outil prĂ©cieux, voire indispensable. En particulier nousavons montrĂ© quâ elle permet dâ obtenir des rĂ©sultats satisfaisants pour des maillages bien plusgrossiers, et quâ elle rĂ©duit lâ erreur due Ă la diffusion numĂ©rique de maniĂšre satisfaisantelorsquâ elle est appliquĂ©e.
⊠Cette Ă©tude a Ă©galement permis de valider un nouveau solveur qui prend en compte la rhĂ©ologie delâ air. Ce solveur nous a permis de rĂ©aliser des remplissages jusque-lĂ problĂ©matiques du fait de ladifficultĂ© de rĂ©glage des paramĂštres utilisĂ©s pour prolonger la vitesse dans le vide.
Limites
- Cependant, dans les Ă©coulements Ă haut Reynolds, il est nĂ©cessaire de pouvoir capter desĂ©chelles petites en temps et en espace. On a vu au paragraphe [II.3.5] que pour prendre encompte ces Ă©chelles, il est nĂ©cessaire que le maillage soit suffisamment fin. Par consĂ©quent,lorsque les piĂšces Ă©tudiĂ©es sont grandes, des difficultĂ©s apparaissent du fait de la limitation desmoyens informatiques (on ne peut pas traiter un maillage trop gros). Par consĂ©quent, dans cetype de cas, il peut devenir trĂšs difficile dâ utiliser une viscositĂ© cinĂ©matique suffisammentpetite pour obtenir des Ă©coulements rĂ©alistes, ou encore, de disposer du temps de calculnĂ©cessaire.
- En ce qui concerne le module dâ adaptation de maillage, une limitation importante dansnotre Ă©tude est liĂ©e au fait que lâ adaptation ne soit pas faite sur la frontiĂšre des piĂšces. Cettelimitation est due Ă lâ absence dâ un critĂšre de conservation de forme satisfaisant lorsquâ il existeune vitesse en paroi. Ses effets sont des rĂ©sultats polluĂ©s par la diffusion numĂ©rique, enparticulier lorsque les piĂšces Ă©tudiĂ©es sont minces, ou lorsque la paroi joue un rĂŽle importantdans le dĂ©roulement de lâ Ă©coulement (par exemple si un jet sâ y Ă©crase ).
Perspectives
Les rĂ©sultats sur lâ Ă©tude mĂ©canique des Ă©coulements pourront ĂȘtre amĂ©liorĂ©s par trois voiesdiffĂ©rentes, Ă©ventuellement combinĂ©es :
La parallĂ©lisation du code. Elle permettrait dâ augmenter la taille des maillages utilisĂ©s, mais ausside diminuer le pas de temps, en entraĂźnant une amĂ©lioration immĂ©diate des rĂ©sultats sur lesgrandes piĂšces, ou encore sur les Ă©coulements Ă plus haut nombre de Reynolds. Notons que laparallĂ©lisation de REM3DÂź, sur lequel se base notre programme, a dĂ©jĂ Ă©tĂ© effectuĂ©e dans unecertaine mesure, et que des travaux continuent dans ce sens [Digonnet et al, 2003]. DĂšs Ă prĂ©sent, la version parallĂšle du code permet de rĂ©duire Ă deux jours, un calcul (en thermique)qui en prenait sept (avec huit processeurs). De plus, pour un problĂšme de Stokes classique, lestemps de calculs sont aujourdâ hui seulement de 40 minutes pour un maillage de un milliontrois cent mille nĆ uds.
Lâutilisation dâun modĂšle de turbulence. Ce type de modĂšle permettrait, tout en utilisant lesolveur dĂ©jĂ validĂ©, de simuler les effets de la turbulence lorsque le calcul direct nâ est plussuffisant. Il est probable que cette introduction ne fasse pas varier Ă©normĂ©ment les rĂ©sultats surles petites piĂšces, Ă faible nombre de Reynolds [Gaston, 1997], mais elle serait intĂ©ressantedans lâ Ă©tude des Ă©coulements Ă plus haut Reynolds.
LâamĂ©lioration du solveur Navier-Stokes. Lâ amĂ©lioration du solveur peut emprunter elle aussiplusieurs voies. Il est possible dâ amĂ©liorer le schĂ©ma en temps en le rendant plus implicite,tout en conservant une formulation linĂ©aire, ou au contraire en traitant un problĂšme nonlinĂ©aire. Il serait Ă©galement trĂšs intĂ©ressant de tester une construction de bulle optimalepermettant de stabiliser le problĂšme dâ advection diffusion, et fournissant un estimateur
Conclusion générale
198
dâ erreur. On a Ă©galement vu que lâ interpolation en espace des termes dâ advection Ă©taitconstante par Ă©lĂ©ment et par consĂ©quent relativement pauvre, lâ enrichissement de cetteinterpolation peut Ă©galement constituer une amĂ©lioration possible.
En ce qui concerne lâ adaptation de maillage, la construction des normales conservatives auxnĆ uds peut permettre de donner un critĂšre conservatif Ă son application Ă la frontiĂšre.Autrement dit, les normales aux nĆ uds peuvent permettre de construire un critĂšre permettantde conserver le volume et la forme du maillage tout en autorisant son adaptation en frontiĂšre.
q Le contact glissant
Acquis⊠La mise en place du glissement dans REM3DŸ est basée sur une méthode originale de
construction des normales aux nĆ uds. Nous avons appliquĂ© la mĂ©thode des normalesconservatives en multidomaine en lui ajoutant la gestion de la construction de normalesmultiples aux nĆ uds, de maniĂšre Ă prĂ©server la cohĂ©rence des Ă©coulements. Nous avonsĂ©galement Ă©largi le cadre thĂ©orique existant, ce qui nous a permis de justifier notre mĂ©thode,en plus des validations effectuĂ©es sur des cas tests.
Limites- La mĂ©thode de pĂ©nalisation utilisĂ©e nâ a cependant pas donnĂ© entiĂšrement satisfaction, en
particulier, à cause du fait de la difficulté de gestion du paramÚtre de pénalisation, notammenten fin de remplissage.
Perspectives
Une mĂ©thode de Lagrangien augmentĂ© Ă©voquĂ©e dans [III.2] permettrait une gestion prĂ©cise ducontact, et semble une solution envisageable Ă court terme, en sâ appuyant sur lesdĂ©veloppements effectuĂ©s.
La gestion du coefficient de pĂ©nalisation est Ă©galement possible, et dĂ©jĂ mise en place dansune certaine mesure. Toutefois, une meilleure gestion de ce paramĂštre permettrait dâ augmenterde maniĂšre importante la qualitĂ© des rĂ©sultats obtenus, en particulier en fin de remplissage.
Toujours en utilisant les normales calculĂ©es aux nĆ uds, il est possible de faire une rotationdirecte des degrĂ©s de libertĂ© [Gaston, 1997].
q La thermique du remplissage en multidomaine
Acquis
⊠Lors de cette Ă©tude, nous avons adaptĂ© et validĂ© le module thermique au contact glissant enmultidomaine. Nous avons en particulier montrĂ© son intĂ©rĂȘt dans lâ Ă©tude du remplissage enfonderie. En effet, cette Ă©tude permet de ne pas imposer des conditions limites directement auxparois de la cavitĂ©, les flux Ă la paroi Ă©tant calculĂ©s de maniĂšre naturelle au cours duremplissage.
⊠Nous avons testé le traitement de la thermique en fonderie, sur des écoulements fortementconvectifs, avec des chocs thermiques dus aux fortes différences de température entre le métalen fusion et le moule, ce qui nous a permis de démontrer ses performances. Nous avonségalement validé le traitement de la convection thermique.
Limites- Le point faible de la rĂ©solution thermique utilisĂ©e est la nĂ©cessitĂ© dâ avoir au moins cinq
Ă©lĂ©ments dans lâ Ă©paisseur de la piĂšce, pour obtenir des rĂ©sultats rĂ©alistes. Dans le cadre de la
Conclusion générale
199
fonderie, beaucoup de piĂšces prĂ©sentent des parties fines. Cette contrainte vient de la mĂ©thodede rĂ©solution des termes de diffusion du problĂšme thermique. Elle entraĂźne une augmentationde la taille des maillages utilisĂ©s, et peut rendre impossible lâ Ă©tude thermique de certainespiĂšces, du fait des limitations des ressources informatiques.
- Rappelons enfin que les hypothĂšses que nous avons utilisĂ©es sont restrictives. En gĂ©nĂ©ral,dans les parties fines, ou dans le cas de piĂšces trĂšs massives, comme les lingots de plusieurstonnes, il est faux de supposer que la matiĂšre reste Ă lâ Ă©tat fluide tout le long du remplissage.Dans ces cas, la solidification peut commencer pendant la phase du remplissage, et il estimportant dâ en tenir compte. De plus, selon la forme des piĂšces Ă©tudiĂ©es, lâ hypothĂšse dâ unmoule indĂ©formable au cours du remplissage peut, elle aussi, ĂȘtre inexacte.
Perspectives
Lâ utilisation du calcul parallĂ©le serait lĂ encore une amĂ©lioration notable, du fait delâ augmentation de la taille des maillages pris en compte.
Une autre solution pour diminuer le nombre des Ă©lĂ©ments dans lâ Ă©paisseur seraitlâ enrichissement de lâ ordre de la rĂ©solution thermique, en utilisant par exemple, uneinterpolation P1 discontinue plutĂŽt que P0 pour la tempĂ©rature.
On peut Ă©galement utiliser des maillages anisotropes [Batkam, 2002], Ă©ventuellementconstruits de maniĂšre automatique, Ă partir de mĂ©triques naturelles [Gruau, 2003], en prenantsoin de vĂ©rifier que ceux-ci respectent les caractĂ©ristiques de lâ Ă©coulement. Par ces mĂ©thodes,on peut augmenter la taille des Ă©lĂ©ments dans les directions oĂč leur nombre est dĂ©jĂ suffisant,ce qui permet de rĂ©duire la taille des maillages.
En ce qui concerne lâ extension des hypothĂšses physiques utilisĂ©es, la prise en compte de la chaleurlatente de solidification dans lâ Ă©quation de lâ Ă©nergie, et lâ Ă©volution de la fraction solide au coursdu remplissage est en cours de dĂ©veloppement [Meuland, 2003]. De plus, dans la version actuelle,on pourrait dâ ores et dĂ©jĂ considĂ©rer le moule comme dĂ©formable, en ajoutant simplement uneĂ©tape de reconstruction des normales Ă chaque incrĂ©ment.
Pour conclure, soulignons les principaux résultats de notre étude qui sont :
La validation et lâ Ă©tude des limites du solveur Navier-Stokes direct introduit dans REM3DÂź, avecutilisation dâ un module dâ adaptation de maillage et une prise en compte de la rhĂ©ologie dans le vide.
Lâ introduction et la validation dâ une mĂ©thode originale et efficace de construction de normales auxnĆ uds pour une formulation eulĂ©rienne en 3D et pour toutes les formes de moules.
Lâ imposition du contact glissant Ă lâ interface moule/cavitĂ© pour une rĂ©solution thermiquemultidomaine du remplissage prenant en compte, par le calcul, lâ Ă©volution des flux Ă la paroi au coursdu temps.
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Résumé
Ce travail porte sur la simulation numĂ©rique par Ă©lĂ©ments finis, dâĂ©coulements tridimensionnels incompressibles Ă surface libre instationnaires. Lâapplication industrielle visĂ©e est lâĂ©tude de la phase de remplissage des procĂ©dĂ©s de fonderie. Il consiste principalement en lâadaptation du logiciel REM3DÂź qui est un logiciel initialement dĂ©diĂ© Ă lâinjection des polymĂšres. Les mĂ©thodes prĂ©sentes dans ce code permettent de rĂ©soudre les Ă©coulements visqueux Ă surface libre, dans une approche multidomaine. La discrĂ©tisation spatiale utilise le mini Ă©lĂ©ment tĂ©traĂšdre. Le front de matiĂšre est dĂ©terminĂ© par la rĂ©solution de lâĂ©quation de transport de la fonction caractĂ©ristique du fluide. Un module dâadaptation de maillage permet dâamĂ©liorer les rĂ©sultats obtenus. En ce qui concerne le solveur thermique, la discrĂ©tisation spatiale utilisĂ©e est de type P0/P0+. Les Ă©changes thermiques entre domaines sont supposĂ©s parfaits. La rĂ©solution directe dâun problĂšme de Navier-Stokes est effectuĂ©e en introduisant, dans le solveur initial, les termes de gravitĂ© et dâinertie. La formulation utilisĂ©e est une formulation Ă quatre champs, du fait du traitement des termes dâadvection. Ceux-ci sont exprimĂ©s Ă lâaide dâune approximation P1 par morceaux de la vitesse, et de la vitesse moyenne par Ă©lĂ©ment, qui est P0 par morceaux : les termes dâadvection sont exprimĂ©s par une mĂ©thode Galerkin discontinu standard. Le problĂšme en vitesse/pression est stabilisĂ© par condensation de bulle. Le schĂ©ma en temps utilisĂ© est un schĂ©ma dâEuler implicite transformĂ© en schĂ©ma quasi implicite, du fait du traitement explicite des termes dâadvection dans la formulation. Cette mĂ©thode a Ă©tĂ© testĂ©e sur plusieurs cas acadĂ©miques, pour des Ă©coulements stationnaires et instationnaires, avec suivi de la surface libre. Enfin, afin de pouvoir simuler les Ă©coulements rencontrĂ©s en fonderie, des conditions de contact glissant ont Ă©tĂ© introduites. Un algorithme original de construction de normales multiples conservatives aux nĆuds a Ă©tĂ© implĂ©mentĂ© et validĂ©, dans un contexte multidomaine. Le logiciel de simulation ainsi construit, a Ă©tĂ© validĂ© sur des cas tests spĂ©cialement mis au point pour la fonderie, et en thermique multidomaine. Mots clĂ© : Remplissage en fonderie, Navier-Stokes, contact, ModĂ©lisation Ă©lĂ©ments finis 3D, EulĂ©rien, MĂ©canique des fluides.
Abstract This work deal with the numerical simulation of unsteady free surface flows of incompressible viscous fluids with finite element method. The industrial application consists of the filling stage of casting processes. It is based on the adaptation of an already existing software, REM3DÂź, which was initially dedicated to polymers injection moulding. The implemented methods solve non-steady free surface flows, for viscous materials in a multi-domain approach. Using a Eulerian formulation, the mechanical problem is based on Stokesâ equations. Spatial discretisation uses the tetrahedral mini-element P1+/P1. The flow front is determined by solving the transport equation of the fluid presence function, and by using a discontinuous Galerkin method. This front tracking is improved by the use of an adaptive mesh method. Regarding the thermal solver, spatial discretisation is based on the P0/P0+ element, and the convection-diffusion equation is also solved by a discontinuous Galerkin. Thermal contact is assumed perfect. Gravity and inertial effects have been introduced in the solver yielding a direct Navier Stokes method. The formulation uses four fields because of the advection term expression. This one uses a piecewise linear interpolation of the velocity, and also the mean value of the velocity which is piecewise constant : the Galerkin discontinuous method is used to treat the advection terms. The backward Euler scheme is used for the time discretisation. This Navier Stokes equations resolution has been tested on several academic test cases: steady and non steady flow benchmarks have been chosen in order to validate only the mechanical solver, and afterwards, its coupling with the free surface solver. In order to simulate fluid metal flow, sliding boundary conditions have been introduced. An original algorithm of multiple consistent normal vectors has been implemented and validated. Finally, the filling stage of a specific casting benchmark has been studied, and mould filling have been carried out on industrial cases. Mots clĂ© : Casting process, Filling stage, Navier-Stokes, sliding condition, 3D Finite Elements, Eulerian, fluid mechanics.