estatística e probabilidade pmi-poli engenharia de
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OUTRAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS
Aula 14 - Prof. Regina Meyer Branski
Escola Politécnica da USP
Engenharia de Petróleo e Gás
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Distribuições Contínuas
Outras Distribuições Contínuas
• Exponencial
• LogNormal
Distribuição Normal
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Distribuição Gama e seus Parentes
Curvas com Inclinação
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Distribuição Poisson e
Distribuição Exponencial
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Distribuição Poisson e Distribuição Exponencial
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Distribuição Poisson e Distribuição Exponencial
Exemplos de Distribuição Exponencial
• Tempo entre duas chegadas consecutivas de navios
em um porto
• Tempo de vida de aparelhos
• Tempo de espera em restaurantes, caixas de
supermercados
• Distância entre duas falhas consecutivas no
recapeamento do fio elétrico
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Distribuição Exponencial
λ: Número de ocorrências do evento
no tempo
3 acidentes/1 dia
1/λ: em um dia, três acidentes
1 dia/3acidentes
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Modelo Exponencial
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Distribuição Exponencial
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Distribuição Exponencial
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Distribuição Exponencial
Suponha que o tempo de resposta X em um terminal
de computador on-line (tempo entre o final da
consulta do usuário e o começo da resposta do
sistema) tenha distribuição exponencial com tempo de
resposta esperado igual a 5 segundos. Qual a
probabilidade de o tempo de resposta ser no
máximo 10 segundos? E estar entre 5 e 10 segundos?
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Distribuição Exponencial
Qual a probabilidade de o tempo de resposta ser no
máximo 10 segundos?
Qual a probabilidade de estar entre 5 e 10
segundos?
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Distribuição Exponencial
Característica Importante: Não
tem memória
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Exercício
Uma empresa está gastando muito com reposição de lâmpadas
e encomendou para a manutenção um estudo de confiabilidade
que indique a vida útil das lâmpadas. A empresa descobriu que
as lâmpadas duram 100 horas. Calcule:
a) A probabilidade da lâmpada queimar entre 0 e 10 horas
de uso
b) A probabilidade da lâmpada queimar entre 100 e 110
horas de uso
c) A probabilidade da lâmpada queimar entre 100 e 110
horas de uso, sabendo que ela durou mais de 100 horas.
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Exercício
a.) P(0<x≤10) = 1- P(x>10) = 1 – 0,905 = 0,095
b.) P(100<x≤110) = (1- e-1) – (1 – e-11/10) = 0,035
c.) A: lâmpada queimar entre 100 e 110 horas
P(A) = P(100<x≤110)=0,035
B: lâmpada durar mais de 100 horas
P(B) = P(x>100) = e-1 = 0,368
P(A/B) = P(AΩB)/P(B) = 0,035/0,368 = 0,095
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Exercício
a.) P(0<x≤10) = 1- P(x>10) = 1 – 0,905 = 0,095
c.) A: lâmpada queimar entre 100 e 110 horas
P(A) = P(100<x≤110)=0,035
B: lâmpada durar mais de 100 horas
P(B) = P(x>100) = e-1 = 0,368
P(A/B) = P(AΩB)/P(B); aqui P(AΩB)=P(A)
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Exercício
Distribuição Exponencial não tem memória
Em outras palavras: não considera o desgaste do
componente ou o desgaste é desprezível
Assim, probabilidade da Lâmpada durar mais um
intervalo de tempo é sempre a mesma
Para componentes que se deterioram ou melhoram
com o uso utilizar outros modelos de tempo de vida
(LogNormal)
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Exercício
Quando falamos em tecnologia LCD, existem diversos aspectos que podem
interessar ao usuário. Se o intuito for jogar videogame, por exemplo, uma
característica que deve ser observada é o tempo de resposta do aparelho. O
tempo de resposta é aquele em que o monitor de LCD muda completamente a
imagem da tela. Este fator é importante pois, caso não seja rápido o
suficiente, teremos efeitos indesejados como “objetos fantasmas” ou sombra
nos movimentos do jogo. Supondo que esse tempo de resposta tenha
distribuição exponencial com média igual a 5 milissegundos, responda:
a) Qual a probabilidade de o tempo de resposta ser de no máximo 10
milissegundos? R. 0,865
b) Qual a probabilidade de o tempo de resposta estar entre 5 e 10
milissegundos? R. 0,233
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Distribuição Log-Normal
Variável aleatória X tem um distribuição Lognormal
se Z = ln X tiver uma distribuição Normal
Modelar tempo de vida de produtos que degradam
ao longo do tempo
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Distribuição Log-Normal
Variável aleatória X tem um distribuição Lognormal
se Y = ln X tiver uma distribuição Normal
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Distribuição Lognormal
CUIDADO!
A média e desvio padrão de Z=ln(X) são µ e σ
A média e variância de X (da lognormal):
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Distribuição Log-Normal
Autores sugerem que o modelo de probabilidade
razoável para a vida útil de uma broca é a distribuição
lognormal com µ = 4,5 e σ = 0,8.
a) qual é o valor da média e o desvio padrão da vida
útil
b) qual a probabilidade da vida útil ser no máximo 100
c) qual a probabilidade da vida útil ser no mínimo 200?
E maior que 200?
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Resolução
97.123)( 82.42
2
eeXE
53.776,138964.34.367,151)( 8.8.)5.4(2 2
eeXV
373.117
5517.13.08.
5.4)100ln()100(
zPxP
)200(1587.8413.100.118.
5.4)200ln()200(
xPzPxP
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Distribuição Log-Normal
O período de tempo em segundos em que um usuário
visualiza uma página na Internet antes de mudar para
outra é uma variável aleatória lognormal, com
parâmetros µ=0,5 e σ2=9
a) Qual a probabilidade de a página ser vista por
mais de 10 s?
b) durante quanto tempo, 50% dos usuários se movem
para outra página?
c) Quais a média e o desvio padrão do tempo até que
o usuário mude a página?
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Distribuição Log-Normal
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Distribuições Contínuas
Outras Distribuições Contínuas
• Exponencial
• LogNormal
Distribuição Normal
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Distribuição Log-Normal
Suponha que X tem uma distribuição lognormal com
parâmetros µ = 5 e σ2=9. Calcule:
a.) P(X≤13.300)
b) Valor para x, tal que P(X≤x)=0,95
c) Média e Variância de X
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Exercício
As indústrias químicas têm alto custo de pesquisa para descobrir novas formas para agilizar certas reações químicas. Quanto mais rápido as reações ocorrem, maior seu potencial de lucro. Uma maneira muito conhecida de acelerar reações é a utilização de catalisadores de enzimas. O estudo do efeito das enzimas em reações químicas é chamado cinética enzimática. Boa parte da cinética enzimática envolve justamente distribuições exponenciais, uma vez que foi descoberto que essa distribuição se adéqua à realidade. Considerando que uma dessas reações com catalisação de enzimas demore em média 4.000 segundos, calcule:
a) a probabilidade de uma reação durar mais de 2.000 segundos.
b) a probabilidade de uma reação durar pelo menos 6.000 segundos, sabendo-se que ela já durou 4.000 segundos?
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Exercício
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Exercício
Suponha que X tenha uma distribuição lognormal,
com parâmetros µ=-2 e σ2=9. Determine:
a) P(500<X<1000)
b) o valor de x, tal que P(X<x)=0,1
c) a média e a variância de X
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Exercício