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Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241
Aula de hojePareto x Lei de PotênciaV.a. ConjuntasEstatística de ordemDistribuição da soma de duas v.a.
Aula passadaExemplos de v. a. contínuas: Hipoexponencial, Erlang, Hiperexponencial, Gamma, Weibull, Normal, ChiSquare, Uniforme, Lognormal, Pareto
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Variável Aleatória Pareto
Tem sido usada para modelar: Tamanho de arquivo web armazenado em provedores Tempo em OFF de uma fonte web (tempo que o usuário está pensando) Tamanho de uma rajada FTPTempo de CPU consumido por um processoTamando de reservatórios de petróleo
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V.a. Pareto V.a. Pareto
f X x = k x−−1 , x≥k ; , k0
F X x=1−kx
E [ X ]=∞ ,≤1k
−1,1
∞ ,≤2k 2
−12−2
,2Var [X ]=
V.a. Pareto possui cauda longa pois média e variância são infinitas para alpha < 1.
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Variável Aleatória Pareto
K = 1, é o menor valor que v.a. pode assumir
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Princípio de Pareto
Para diversos eventos, aproximadamente 80% dos efeitos provém de 20% das causas
Exemplo: 80% das vendas provém de 20% dos clientes
80% das vendas
20% dos clientes
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Princípio de Pareto: por que é importante ?
É importante saber que a maioria dos resultados vêem de uma minoria:
20% dos trabalhadores contribuem para 80% dos resultados
20% dos bugs contribuem para 80% dos crashes
20% dos usuários contribuem para 80% das vendas
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Cauda longa (Heavy Tail)
Uma v.a. possui cauda longa com índice 0<p<=2 se existe uma constante k tal que para um valor grande de x, tem-se:
1−F X x≈k
x p
onde f x≈g x significa f x =g x1x com lim
x∞
x=0
Uma v.a. de cauda longa possui variância infinita e média infinita para p<=1
Exemplos: Leis de Potência, Pareto, Zipf
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Lei de Potência (Power Law)
Relação matemática entre duas quantidades: número ou frequência de um objeto varia com a potência de algum atributo do objeto (ex: tamanho do objeto, preço do objeto)
y=axbFrequencia do objeto
Tamanho do objeto
A power-law implies that small occurrences are extremely common, whereas large instances are extremely rare80% dos
casos
20% dos casos
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Pareto x Lei de Potência A função distribuição de uma v.a. Pareto segue uma lei de
PotênciaF X x=1−
kx
O Princípio de Pareto é um exemplo de lei de potência:
- 80% das terras da Itália era de propriedade de 20% dos italianos - 80% das vendas provém de 20% dos clientes - 80% dos impostos vem de 20% da população - 80% dos arquivos na Internet tem tamanho pequeno
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Teste para lei de potência
Plotar a CDF em escala log-log.
Em uma lei de potência temos:
Logo em uma lei de potência veremos uma linha reta com inclinação b em um plot log-log.
y=axb , entãolog y =log a b log x
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Testando v.a. Pareto x v.a. Exponencial
1−F X x=kx
A distribuição complementar da v.a. Pareto obedece a uma Lei de Potência
Para k=1,=1, temos log 1 / xPara k=1,=2, temos log 1 / x2
Para v.a. Exponencial, temos:
1−FY y=e− x , Para=1, temos log e−x
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Testando v.a. Pareto x v.a. Exponencial
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Variáveis Aleatórias Conjuntas
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Variáveis Aleatórias Conjuntas: Propriedades
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Variáveis Aleatórias Conjuntas: Propriedades
Função densidadeMarginal da v.a. X
Função densidadeMarginal da v.a. Y
Função distribuição Marginal da v.a. X
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Função Distribuição Marginal da v.a. X
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Estatística de Ordem: motivação
Suponha que você queira saber a distribuição do tempo de execução de uma tarefa que é composta de várias tarefas em paralelo
Suponha agora que você queira saber a distribuição do tempo até que a primeira tarefa termine
t1
t2
t3
t4
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Estatística de Ordem
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Estatística de Ordem: distribuição do mínimo
FY 1 y =P [Y 1=min {X 1, X 2, ... , X n }≤ y ]
Sejam X_1, X_2, ..., X_n v.a. independentes e identicamente distribuídas e seja
Y 1=min {X 1, X 2, ... , X n }
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Estatística de Ordem: distribuição do mínimo
SeY 1 y então X 1 y , X 2 y , ... , X n y
P [Y 1 y ]=1−F Y 1 y =1−F X y n ,
FY 1 y =1−1−F X y n
Y 1=min {X 1, X 2, ... , X n }
P [Y 1 y ]=P [X 1 y , X 2 y , ... , X n y ]
pois X i são i.i.d.
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Estatística de Ordem: distribuição do máximo
FY n y=P [Y n=max {X 1, X 2, ... , X n }≤ y ]
Sejam X_1, X_2, ..., X_n v.a. independentes e identicamente distribuídas e seja
Y n=max {X 1, X 2, ... , X n }
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Estatística de Ordem: distribuição do máximo
Y n=max {X 1, X 2, ... , X n }
SeY n y então X 1 y , X 2 y , ... , X n y
P [Y n y ]=F Y n y=F X y n ,
P [Y n y ]=P [X 1 y , X 2 y , ... , X n y ]
pois X i sãoi.i.d.
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Distribuição da soma de duas variáveis aleatórias
F Z z=P [Z≤z ]=∬Az
f X ,Y x , ydxdy
Sejam X e Y v.a. independentes
Seja Z=X ,Y =XY ,então
onde AZ é subconjunto emℜ2 tal que
Az={x , y ∣ x , y ≤z}
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Distribuição da soma de duas variáveis aleatórias
x
y
X+Y=Z
X :−∞ ,∞
Y :−∞ , z−x
X+Y<Z
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Distribuição da soma de duas variáveis aleatórias
F Z z=∫−∞
∞
∫−∞
z−xf X ,Y x , y dydx
F Z z=∫−∞
∞
∫−∞
zf X ,Y x , t−x dtdx
F Z z=∫−∞
z
∫−∞
∞
f X ,Y x , t−x dxdt
y=t-x
Função densidade da v.a. Z
t=y+x= z
F Z z=∫−∞
z
∫−∞
∞
f X x f Y t−x dxdt
pois X e Y sãoindependentes
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Distribuição da soma de duas variáveis aleatórias
F Z z=∫−∞
∞
∫−∞
z−xf X ,Y x , y dydx
F Z z=∫−∞
∞
∫−∞
z−xf X x f Y y dydx
pois X e Y sãoindependentes
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Exemplo: Performance de um programa multithread
t1
t2t3
Tempo total de execução
T
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Exemplo: Performance de um programa multithread
t1
t2t3
Tempo total de execução
T
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Exemplo: Performance de um programa multithread
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Exemplo: Performance de um programa multithread
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Rosa – 2012
Exemplo: Performance de um programa multithread