estatistica
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ESTATÍSTICAProfessor Elizeu
Ao pesquisarmos uma dada população estatística, freqüentemente, não é possível fazermos um levantamento de todos os elementos que o compõem.
Nesse caso, procuramos obter dados diferentes de uma parte da população estatística, que
denominaremos Amostra.
Distribuição de FreqüênciaFez-se uma pesquisa com 25 jovens de um bairro baiano, a respeito do time de futebol para o qual torciam. O resultado obtido aparece na lista seguinte:
Ipitanga Camaçari Ipitanga Vitória Ipitanga
Bahia Vitória Bahia Bahia Camaçari
Vitória Ipitanga Bahia Camaçari Bahia
Catuense Bahia Camaçari Vitória Bahia
Bahia Vitória Vitória Ipitanga Camaçari
Construindo uma tabela...
Time FreqüênciaIpitanga 5
Bahia 8
Vitória 6
Juazeiro 1
Camaçari 4
Catuense 1
Total ƒ = 25
As freqüências são os nos de elementos da população ou amostra pesquisada que correspondem à faixa do fenômeno estudado.
Continuando . . .Chamamos de freqüência relativa (ƒr), a razão entre a freqüência correspondente (ƒ) e o nº total de pesquisados (ƒ), ou seja:
ƒr =ƒ
ƒÉ comum a apresentação da freqüência relativa em porcentagem:
ƒp = (100 . ƒ1) %
Continuando . . .
Na situação que estamos examinando, a porcentagem de torcedores do Ipitanga é:
ƒp = (100 . 0,2) = 20%
Construindo uma nova tabela
TimeFreqüênc
ia (ƒ)Freqüência
(ƒr)Porcentage
mIpitanga 5 5/25 = 0,20 20%
Bahia 8 8/25 = 0,32 32%
Vitória 6 6/25 = 0,24 24%
Juazeiro 1 1/25 = 0,04 4%
Camaçari 4 4/25 = 0,16 16%
Catuense 1 1/25 = 0,04 4%
Total ƒ = 25 1 100%
Construindo uma nova tabela
Obs.: São sempre válidos os seguintes resultados:
ƒ
Total ƒ = 25 1 100%
Somatório da
Freqüência
ƒr ƒSomatório
da Freqüência
Relativa
Somatório da Freqüência Relativa em
Porcentagem
Gráfico de Barras ou de ColunasNo gráfico de barras, colocamos as freqüências num eixo horizontal usando retângulos de mesma largura, cujos comprimentos são proporcionais às freqüências.
Gráfico de Barras
5
8
6
1
4
1
0 2 4 6 8 10
Palmeiras
Santos
São Paulo
Tim
es
Freqüência
CatuenseCamaçari
JuazeiroVitória
BahiaIpitanga
Gráfico de Barras ou de ColunasGráfico de Colunas
5
8
6
1
4
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Palmeiras Corinthhians Santos Juventude São Paulo Portuguesa
Times
Freq
üênc
ia
Ipitanga Bahia Vitória Juazeiro Camaçari Catuense
Gráfico de Setores
Nos gráficos de setores, desenhamos um círculo e o dividimos em setores que tenham áreas proporcionais às porcentagens (ou freqüências).
Gráfico de Setores
Palmeiras
20%
Corinthhians
32%Santos
24%
J uventude
4%
São Paulo
16%
Portuguesa
4%
Bahia: 32% de 360° é 115,2°
Vitória: 24% de 360° é 86,4°
Camaçari: 16% de 360° é 57,6°
Ipitanga: 20% de 360° é 72,0°
Juazeiro: 4% de 360° é 14,4°
Catuense: 4% de 360° é
14,4°
Média
Chamamos de média (M) de uma distribuição a média aritmética dos valores dados.
Exemplo:Numa pesquisa foram obtidos os resultados que constam na lista abaixo:
1 2 3 4 5 6 7 8
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8M =8
= 4,5
Consideremos uma pesquisa na qual foram obtidos os resultados que constam na lista abaixo:
1 1 1 2 2 3 3 4 5 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 9 9
Mediana
Chamamos de mediana (Md) de uma distribuição o valor que ocupa o posição central quando todos os valores são colocados em ordem.Exemplo:
21 observações
10 observações de um lado
10 observações do outro ladoMd
Obs.: Se o nº dos valores da lista for par, a mediana será a média aritmética dos dois valores centrais quando todos eles são colocados em ordem.
Exemplo:Consideraremos uma pesquisa na qual foram obtidos os resultados que constam na seguinte lista:
1 2 3 4 5 6 7 8
Mediana
4 observações do outro lado
4 observações de um lado
Temos:4+5Md = 2 = 4,5
Moda“O mais freqüente”
Exemplo 1:
1 2 3 3 3 4 5 6 Moda = 3
Exemplo 2:
1 2 2 2 3 3 4 4 4 Moda = 2 e 4
Exemplo 3:
1 2 3 4 Moda = Não existe (estado amodal)
Mediana
Nº de Pontos
Freqüência
0 7
2 10
4 12
6 11
8 7
10 2
Total 49
Exemplo: Determine a mediana da distribuição da freqüência dada pela tabela abaixo:
Solução:Neste caso, em que há 49 valores, a posição central é a 25ª, observando as freqüências, percebemos que:
7 + 10 < 25 e 7 + 10 + 12 > 25; logo, temos: Md = 4.
DesvioConsideraremos a distribuição cujos resultados constam na lista seguinte:
4 6 7 8 10
Sabemos que a média desta distribuição é:
4 + 6 + 7 + 8 + 10M =
5= 7
Chamamos de desvio de cada valor a diferença entre esse valor e a média da distribuição. Assim:
•o desvio do valor 4 é 4 - 7 = - 3;•o desvio do valor 6 é 6 – 7 = - 1;•o desvio do valor 7 é 7 – 7 = 0;•o desvio do valor 8 é 8 – 7 = 1;•o desvio do valor 10 é 10 – 7 = 3.
Desvio Médio
Chamamos de desvio médio (DM) de uma distribuição a média aritmética dos módulos dos desvios. No exemplo analisado, o desvio médio:
DM = | -3 | + | -1 | + | 0 | + | 1 | + | 3 |
5=1,6
Generalizando, tendo-se uma distribuição cujos resultados constam na lista abaixo:
x1 x2 xn
E cuja média é M, define-se como desvio médio dessa distribuição a expressão:
DM = | x1 – M| + | x2 – M| + . . . + |xn – M|
n
VariânciaChamamos de variância (V) de uma distribuição a média aritmética dos quadrados dos desvios. No exemplo em questão, a variância é:
V =(-3)2 + (-1)2 + (0)2 + 12 + 32
5= 4
Generalizando, tendo-se uma distribuição cujos resultados constam na lista seguinte:
x1 x2 xn
e cuja média é M, define-se com variância dessa distribuição a expressão:
V = (x1 – M)2 + (x2 – M)2 + . . . + (xn – M)2
n
Desvio - Padrão
Chamamos de desvio-padrão (DP) de uma distribuição a raiz quadrada da variância:
DP = Vv
No nosso exemplo, o desvio-padrão é:
DP = Vv = V4 = 2
Questão UFBA - 2006 As tabelas a seguir apresentam as distribuições de freqüência do
número de crianças por domicílio, nos dois prédios de um condomínio, cada prédio com 20 apartamentos.
Prédio A
Número de crianças
0 1 2 3 4 5
Freqüência 3 8 5 4 0 0
Prédio B
Número de crianças
0 1 2 3 4 5
Freqüência 4 6 5 3 0 2
Com base nesses dados, é correto afirmar:(01) A média do número de crianças, no prédio B, é igual a 1,75.
Resolução
20
)2x5()0x4()3x3()5x2()6x1()4x0(M
20
10091060M
75,1ou
20
35M
(02) Sendo a média do número de crianças, no prédio A, igual a 1,5, o desvio-padrão dessa distribuição é igual a .
20
19
Questão UFBA - 2006
Resolução
20
004).25,2(5).25,0(8).25,0(3).25,2(Va
20
925,1275,6Va
20
19Va
20
19vaDP
20
0.)5,15(0.)5,14(4.)5,13(5.)5,12(8.)5,11(3.)5,10(Va
222222
(04) As mediana das distribuições de freqüência, nos prédios A e B, são iguais a 1 e 1,5, respectivamente.
Questão UFBA - 2006
Resolução
medianaA = 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3
MA = 1
1 + 1 = 1 2
medianaB = 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 5 5
MB = 1,5
1 + 2 = 1,5
2
(08) Apenas uma das distribuições de freqüência é simétrica.
Questão UFBA - 2006
Resolução
Não existe simetria
(16) Em mais da metade dos apartamentos do condomínio, o número de crianças é menor que 2.
Questão UFBA - 2006
Resolução
8 + 3 = 11
Como são 40 apartamentos, 21 é mais da metade
+
4 + 6 = 10
21 apto
(32) Escolhendo-se ao acaso um apartamento do condomínio, a probabilidade de residirem mais que duas crianças nesse apartamento é maior que .
Questão UFBA - 2006
4
1
Resolução
P = n(A) = 4+ 3 +2 n(v) 40
9 40
= = 0,225 0,225 > 0,25 ( f )
(64) A distribuição de freqüência acumulada do número de crianças por domicílio, no prédio B, pode ser representada pelo gráfico a seguir.
Questão UFBA - 2006
Resolução 20
16
12
8
4
0 1 2 3 4 5
Freqüência
acumulada
no de crianças