estática estructural (s-01) - repaso Álgebra lineal

Repaso de lgebra Lineal - "Esttica Estructural"

Ing. Carlos Villaseor M.

Operaciones con matrices:

A

2

1

1

3

0

2

:= B 51

1

20

3

:= A B

7

5

3

41

3

9

0

6

= AT( ) 1 T 2 3( )= B 1 51

= AT( ) 1

T

B1 7=

VectoresLos siguientes son ejemplos de vectores:

3 5 6( ) es un vector rengln2

5

6

es un vector columna

0

0

0

0

0

es un vector columna de 5 componentes, es un vector cero

los vectores pueden ser representados por letras minscula en negrita

Suma de vectores: sean a

a1

a2

....

....

an

= y b

b1

b2

....

....

bn

= => a b+

a1

a2

....

....

an

b1

b2

....

....

bn

+=

a1 b1+a2 b2+

....

....

an bn+

=

a

3

5

8

:= b6

1

0

:= a b+ explicit a, b, 3

5

8

61

0

+3

6

8

=

Multiplicacin de un vector por un escalar: => a

a1

a2

....

....

an

= y es un escalar, tenemos a

a1

a2

....

....

an

=

a1 a2....

....

an

=

Producto escalar de dos vectores o producto puntoTenemos que para realizar el producto de dos vectores, estos deben tener el mismo tamao

el producto que se indica es como si se realizara el siguiente producto:a1a2

a3

a4

a5

b1

b2

b3

b4

b5

a1 b1 a2 b2

+ a3 b3+ a4 b4

+ a5 b5+ =

a1 a2 a3 a4 a5( )

b1

b2

b3

b4

b5

a1 b1 a2 b2+ a3 b3+ a4 b4+ a5 b5+ =

Pg.- 1 24/08/2007 00:48

0y

x

y

0

y

x

y

Pero no es lo mismo si realizramos elproducto de esta forma

a1

a2

a3

a4

a5

b1 b2 b3 b4 b5( )

a1 b1a2 b1a3 b1a4 b1a5 b1





aqu se pierde el conceptode producto vectorial oproducto punto

veamos un ejemplo: a3

5

8

:= b6

1

0

:= a b explicit a, b, 3

5

8

61

0

13= que es lo mismo que 3 5 8( )6

1

0

13=

el error se comentesi hacemos esto:

3

5

8

6 1 0( )183048

3

5

8

0

0

0

=

el resultado es una matriz no unescalar como se esperaba

Vectores en el planoDefinicin geomtrica de un vector: el conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos equivalentes a un segmento de rectadirigido, se llama vector.Definicin algebraica de un vector: un vector v en el plano xy es un par ordenado de nmeros reales (a,b).

Un punto en el plano xy puede pensarse como un vector que se inicia en el origen y termina en ese punto1.El vector cero tiene magnitud cero. Por lo tanto, como el punto inicial y el terminal coinciden decimos que el vector cero no2.tiene direccinLas dos definiciones presentadas describen exactamente los mismos objetos.3.

Q

PQ

|v| a2

b2+=

bP

a

Magnitud de un vector 2D: sea va

b

= => |v| a

2b

2+=

a 2:= b 2 3:= ab

|v| a

2b

2+ explicit a, b, 22 2 3( )2+:= |v| 4=Ahora tenemos que al multiplicar un vector por un escalar, se tiene el efecto de multiplicar la magnitud del vector por el valor

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0 x

0 x

0

yya1 a2+ b1 b2+( )

v ab

=

a b

= => v

2a

2 2 b2+= a2 b2+= v=

u u v+ahora veremos qu pasa con la suma de dos vectores

ua1

b1

:=a1

va2

b2

:=a2

u v+ explicit u, v, a1

b1

a2

b2

+a1 a2+b1 b2+

v

Existen dos vectores especiales en R2 que nos permiten representar otros vectores de R2 en forma conveniente, Denotaremos evector (1,0) con la letra "i" y el vector (0,1) con la letra "j".

=> ab

a i b j+= con la nueva notacin del vector mostrada decimos que el

vector est resuelto en sus componentes vertical yhorizontal

los vectores i y j son linealmente independientescualquier vector v se puede escribir en trminos de iy j

=>0 1( ) j

i

1 0( )

Vector unitario u: es un vector de magnitud 1

5

2

5i 2j=

Ejemplo: u

12

32

:= es un vector unitarios porque: u explicit u,

12

32

1= 12

23

2

2

+ 1=

Ejemplo: los vectores i y j tienen magnitud 1

=> a i u cos ( ) i= b j u sin ( ) j=u a i b j+= a cos ( ) i b sin ( ) j+= esta expresin se llama "cosenos directores"

03

2

absoluto del escalar

u 1=

12

0

a i 0( )

Para obtener el vector unitarios de cualquier vector,tenemos la siguiente expresin, suponiendo que v=(a,b):

0 b j( )

Ejemplo: v2

3

:= => u

vv

explicit v,

2

3

2

3

:= u 23

1

13=

uvv

=1v

v= 1

a2

b2+

a b( )= a

a2

b2+

b

a2

b2+

=

Pg.- 3 24/08/2007 00:48

0x

z

x0

0 x

Producto escalar y proyecciones en el plano

Sean u y v dos vectores distintos de cero. si es elngulo entre ellos, entonces

v ucos ( )

u vu v= u

v

uu vv( )2

v

uLa proyeccin de u sobre v: una propiedad importante de producto puntes la verificacin de ortogonalidad devectores, si stos son ortogonales elproducto escalar es cero

Proy_Uvu vv( )2

v=

vsi u y v son ortogonales => v v 0=

Ejemplo: u2

3

:= v

1

1

:= Proy_Uv

u vv( )2

v:= u vv

3.536= Proy_Uv 3.536=

Ejemplo: u1

1

:= v

12

12

:=

Proy_Uv2.5

2.5

=

u v explicit u, v, 11

12

12

0=

Vectores en el espacioLos vectores en el espacio tienen tres componentes a b c( )

La direccin de un vector v distinto de cero en R3, se define como la direccin del vector unitario u vv

=

son ortogonales porque

Los vectores especiales asignados al eje "x" y"y" son los mismo, solo que para el tercer ejedebemos designar una tercer letra "k" 0 1 0( )j

i

1 0 0( )k

i 0 0( )0 0 1( )

si un vector en R3 est definido como v x0 y0 z0( )= tenemosque los vectores ortogonales unitarios estn definidos por loscosenos directores

cos ( )x0v

= cos ( )y0v

= cos ( )z0v

=

=> u cos ( ) i cos ( ) j+ cos ( ) k+=

=> i 1 0 0( )= j 0 1 0( )= k 0 0 1( )=

Los conceptos de producto punto y de proyeccin de un vector sobre otro tienen el mismo significado que los vectores en R2

Producto vectorial (producto cruz de dos vectores)

Definimos ahora un nuevo producto llamado producto cruz o producto vectorial, dicha operacin solo est definida en R3. Tenemo

Pg.- 4 24/08/2007 00:48

que el resultado del producto cruz es un vector, ortogonal al plano generado por los dos primeros, mientras que el resultado deproducto escalar es un escalar

u

a1

b1

c1

:=a1

v

a2

b2

c2

:=a2

u vb1 c2 b2 c1a2 c1 a1 c2a1 b2 a2 b1

tenemos un algoritmo para resolver el producto:

i

a1

a2

j

b1

b2

k

c1

c2

collect i, collect j, collect k,

a1 b2 a2 b1( ) k i b1 c2 b2 c1( )+ j a1 c2 a2 c1( )

Sean u, v y w vectores en R3 y sea un escalar, entonces1. u 0 0 u= 0=2. u v v u( )= propiedad anticomunista del producto vectorial

u( ) v v u( )=3.u v w+( ) u v( ) u w( )+= propiedad distributiva del producto vectorial4.

5. u v( ) w u v w( )= Esto es llamado el triple producto escalar de u, v y w

6. u u v( ) v u v( )= 0= Esto es, u v es ortogonal tanto a u como a v

7. Si u y v son vectores paralelos entonces u v 0=

Ejemplo:

u

1

20

:= v0

0

3

:=a1

b1

c1

u:=a2

b2

c2

v:= u v63

0

= comprobando conel determinante:

i

a1

a2

j

b1

b2

k

c1

c2


6 i 3 j

u

2

11

:= v4

2

2

:=a1

b1

c1

u:=a2

b2

c2

v:= u v4

0

8

= comprobando conel determinante:

i

a1

a2

j

b1

b2

k

c1

c2


8 k 4 i

Tenemos que el vector resultante del producto punto siempre es ortogonal. Esto lo podemos verificar con losvectores unitarios i, j k

0

x

z

Ejemplo: i1

0

0

:= j0

1

0

:= entonces k i j explicit i, j, 1

0

0

0

1

0

:= k0

0

1

=0 1 0( )j

=> j k i:= i1

0

0

= => i j k:= j0

1

0

= i

1 0 0( )se observa que si realizamos el producto cruz en el sentido i -> j -> k -> i.....,obtenemos vectores unitarios paralelos y en la direccin positiva de los ejescartesianos. En cambio, si realizamos el producto cruz en sentido contrario (k -> j ->i -> k.....) obtenemos vectores con signos negativos, es decir, paralelos a los ejes peroen sentido contrario

k0 0 1( )

j negativo: i k0

10

= k negativo: j i0

0

1

= i negativo: k j1

0

0

=

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u5

3

:= v

1

2

:= u 5.831= v 2.236=

obtener los vectores unitarios

uu

0.857

0.514

=

vv

0.447

0.894

=

obtener el ngulo del vector con respecto al eje x u acosuu

1

:= u 30.964 = asinuu

2

30.964 =

obtener el ngulo del vector con respecto al eje y asin uu

1

59.036 = => acos uu

1

asinuu

1

+ 90 =

obtener la proyeccin de u sobre el eje x: u uu

1 5= u

uu

2 3=

obtener la proyeccin de v sobre el eje y: v vv

1 1= v

vv

2 2=

obtener el producto punto de la magnitud de un vector por su vector unitario: u uu

53

=

obtener el producto punto de la magnitud de u por el unitario de v: u vv

2.6085.215

= => u

vv

5.831=

obtener la proyeccin de u sobre v u vv

vv

2.24.4

=

si tenemos un vector unitario jcos u( )

0

:= => u j 50

= i

0

sin u( )

:= => u i 03

=

u

5

3

1

:= v1

2

3

:= u 5.916= v 3.742=

obtener los vectores unitarios

uu

0.845

0.507

0.169

= vv

0.267

0.535

0.802

=

obtener el ngulo del vector conrespecto al eje x

u1 acosuu

1

:= u 30.964 = u2 acosuu

2

:= u2 59.53 =

u3 acosuu

3

:= u3 80.269 =

obtener la proyeccin de u sobre cada eje: u uu

1 5= u

uu

2 3= u

uu

3 1=

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vvv

1 1= v

vv

2 2= v

vv

3 3=obtener la proyeccin de v sobre cada eje:

obtener el producto punto de la magnitud de u por su vector unitario: u uu

5

3

1

=

obtener el producto punto de la magnitud de u por el unitario de v: u vv

1.581

3.162

4.743

= => u vv

5.916=

obtener la proyeccin de u sobre v u vv

vv

1

2

3

= u vv

vv

3.742=

si tenemos un vector unitario jcos u1( )

0

0

:= => u j5

0

0

= i0

cos u2( )0

:= => u i0

3

0

= k0

0

cos u2( )

:=

u k0

0

3

=

Sea la siguiente configuracin, encontrar la porcin de la fuerza que efectivamente acta en el desplazamiento del collarn

cable 30:= F 30:= |F| 40kgf:=

Tenemos encontrar el vector unitarios definido por elcable o la gua. Para esto, la longitud (magnitud) del cabley su direccin nos definen un vector

vcable2.598

1.5

m:= => vcable 3 m=

o bien...

vcable

vcable cos cable( )vcable sin cable( )

:= vcable2.598

1.5

m=

el vector unitarios definido por el cable:vcablevcable

0.866

0.5

=

o bien 1vcable

vcable cos cable( )vcable sin cable( )

=> vu cablecos cable( )sin cable( )

:= vu cable0.866

0.5

=

ahora, tenemos la magnitud de la fuerza con la que estamos jalando el collarn F, si aplicamos el producto punto sobre el vectorunitario tenemos, pero antes debemos expresar en forma algebraica el vector F...

=> F|F| cos cable F+( )|F| sin cable F+( )

:= => F 2034.641

kgf=

qu pasa si multiplicamos este vector por el vector unitario del cable?

=> F vu cable 34.641 kgf= tenemos la magnitud de la componente en la direccin del cable, el vector unitario definido por el mismcable nos permite, al realizar el producto punto, la magnitud de la fuerza que efectivamente contribuy

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al movimiento del collarn

pero slo tenemos datos de la magnitud de la componente, lo cual no nos dice mucho acerca de las caractersticas de dicha fuerzpara definirla completamente debemos encontrar el vector, como la magnitud de la componente de la fuerza es un escalar, y stesu vez lo volvemos a multiplicar por el mismo vector unitarios, tenemos:

=> Fcable F vu cable( ) vu cable( ):= Fcable 3017.321 kgf= Proy_Uv u v, ( )u vv( )2

v:= Proy_Uv F vcable, ( ) 3017.321 kgf=Pero slo estamos demostrado las propiedades del producto punto y los vectores unitarios, los mismo pudimos haber obtenidosimplemente sacando la componente de la fuerza con el ngulo que tiene con el cable....

|Fcable| |F| cos F( ):= |Fcable| 34.641 kgf=y como sabemos la magnitud y la direccin, que est definida por el cable, tenemos nuevamente un vector que puede ser por sus componentes, que podemos obtener multiplicando este ltimo valor (escalar) por el vector unitario

Fcable |Fcable| vu cable:= Fcable30

17.321

kgf=

que pasa si volvemos a multiplicar el vector por el mismo vector unitario?

Fcable vu cable( ) 34.641 kgf= => Fcable vu cable( ) vu cable( ) 3017.321 kgf= ... y as sucesivamente...

Pg.- 8 24/08/2007 00:48

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