estadistica unprg

8/19/2019 ESTADISTICA UNPRG

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CONTENIDO

CAPITULO I: BASE TEORICA DE LA ESTADISTICA pag.

1.1. Definición de estadística 2

1.2. Población 2

1.3. Clases de población 2

1.4. Muestra 2

1.5. Unidad de análisis 3

1.6. Dato estadístico 3

1.. !nfor"ación 3

1.#. !ndicador 3

1.$. Pará"etro 3

1.1%. &stadí'rafo 3

1.11. (ariable 4

1.12. Clasificación de las )ariables 4

1.12.1. Por su naturale*a 4

1.12.2. De acuerdo a la función +ue dese"pe,a en un proble"a de in)esti'ación 4

1.13. &scalas de "edición 4

1.14. Clasificación de la estadística 5

CAPITULO II: PRESENTACION DE DATOS 7

2.1. &ncuesta #

2.2. -ablas estadísticas 1%

2.2.1. Cuadros estadísticos 1% 2.2.1.1. Partes de un cuadro estadístico 1%

2.2.1.2 -ipos de cuadros estadísticos 1%

2.2.2. -ablas de distribución de frecuencias 14

2.2.2.1. De )ariable discreta 14

2.2.2.2. De )ariable continua 1

2.3. epresentaciones 'ráficas 21

2.3.1. Construcción de /ráficos 21 2.3.2. Partes de un 'ráfico 21


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2.3.3. -ipos de 'ráficos. 21

2.4. &0ercicios 2

CAPITULO III: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 29

3.1. Medidas de Centrali*ación 3%

3.2. &l Pro"edio 3%

3.2.1. Pro"edio para datos ori'inales 3%

3.2.2. Pro"edio para datos tabulados 3%

3.3. a Moda 32

3.3.1. Moda para Datos Cuantitati)os 32

a. Moda para datos ri'inales 32

b. Moda para datos -abulados 32

3.3.2. Moda para datos Cualitati)os 34

3.4. a Mediana 35

3.4.1. Mediana para Datos Cuantitati)os 35

a. Mediana para datos ori'inales 35

b. Mediana para datos tabulados 36

3.4.2. Mediana para datos Cualitati)os 4%

3.5. Cuartiles 41

a. Cuartiles para datos ri'inales 42

b. Cuartiles para datos -abulados 44

3.6. Medidas Descripti)as de esu"en Utili*ando Cuartiles 46

3.6.1. &l &0e Medio 46

3.6.2. an'o !ntercuartilico 4

3.. Dia'ra"a de lo+ues íneas 4

3.#. Deciles 4# a. Deciles para datos ri'inales 4#

b. Deciles para Datos -abulados 4$

3.$. Percentiles 5%

3.1%. -asas de creci"iento 51

3.11. a Media /eo"trica 51

3.11.1. Media /eo"trica i"ple 51

3.11.2. Media /eo"trica Ponderada 52


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CAPITULO IV: MEDIDAS DE DISPERSION 54

4.1. Medidas de dispersión 55

4.2. ecorrido o an'o 55

4.3. a (arian*a 55

4.3.1. (arian*a para Datos ri'inales 55

4.3.2. Des)iación &stándar 56

4.3.3. (arian*a para datos tabulados 56

a. Para datos tabulados no a'rupados en inter)alos 56

b. Para datos tabulados a'rupados en inter)alos 5

4.3.4. Propiedades de la )arian*a 5#

4.4. Coeficiente de )ariación 5#

4.5. Medidas de 7si"etría 5$

4.6. &stadí'rafos de apunta"iento 6%

CAPITULO V: DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS BIDIMENSIONALES !

5.1. /eneralidades 62

5.2. Distribución de 8recuencias idi"ensionales de (ariable Discreta 62

5.3. Distribución de 8recuencias idi"ensionales de (ariable Continua9 Discreta6$

5.4. &0ercicios. 2

CAPITULO VI: PROBABILIDADES 7"

6.1. &:peri"ento 7leatorio 4

6.2. Punto "uestral 4

6.3. &spacio Muestral 4

6.4. uceso o e)ento 46.5. ucesos Mutua"ente &:cluentes 4

6.6. ucesos co"ple"entarios 4

6.. Definición de Probabilidad 4

6.#. Definición 5

6.$. e'las de Probabilidad 5

6.1%. &0ercicios #%


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CAPITULO VII: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD #2

.1. Distribución ino"ial #3

.2. Distribución de Poisson #5

.3. Distribución ;or"al #

.4. Distribución ;or"al &stándar #$

.5. Distribución C


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CAPITULO I: BASE TEORICA DE LA ESTAD$STICA


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!.!. DEFINICION DE ESTADISTICA:

&s la ciencia +ue nos proporciona los "todos "ás eficientes para la recolección=

or'ani*ación= presentación= análisis e interpretación de un con0unto de datos= con la

finalidad de describirlos o de reali*ar 'enerali*aciones )álidas "ediante tcnicas

adecuadas.

!.2. POBLACION

(iene a ser el con0unto de personas= ani"ales u ob0etos +ue poseen una o "ás

características co"unes obser)ables de naturale*a cualitati)a o cuantitati)a +ue se pueden "edir en ellos. a población está inte'rada por la totalidad de unidades de

análisis. Una población debe estar definida en el espacio en el tie"po.

&0e"plo> 7lu"nos del Ciclo 2%%59!= de la 8acultad de Ciencias 8ísicas

Mate"áticas de la U.;.P./.

!.". CLASES DE POBLACION

e tiene dos clases de población>

!.".!. POBLACION FINITA

&s a+uella +ue tiene un n?"ero li"itado de ele"entos.

!.".2. POBLACION INFINITA

&s a+uella +ue tiene un n?"ero ili"itado de ele"entos.

/eneral"ente en las in)esti'aciones no se conoce el n?"ero de ele"entos

de la población.

!.4. MUESTRA

Una "uestra )iene a ser una pe+ue,a parte de la población +ue se utili*a para

estudiar las características de la "is"a.

Una "uestra se usa por dos ra*ones> "aor econo"ía "enor tie"po en la

reali*ación de la in)esti'ación.

/eneral"ente las poblaciones de estudio son 'randes lo cual dificulta la

in)esti'ación= en consecuencia se utili*a una "uestra co"o "edio de estudio.


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Una "uestra debe ser seleccionada de tal "anera +ue sea representati)a de la

población.

!.5. UNIDAD DE ANALISIS

(iene a ser cada ele"ento +ue será estudiado en un población= sobre los cuales se

)a a obtener datos.

&n el e0e"plo anterior= la unidad de análisis )iene a ser cada alu"no.

!.. DATO ESTADISTICO

&s el resultado de "edir una característica obser)able de una unidad estadística

!.7. INFORMACION

&s el resultado de los datos procesados de acuerdo a ciertos ob0eti)os. ;o


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!.!!. VARIABLE

&s una característica +ue puede to"ar diferentes )alores. as )ariables son

características obser)ables= susceptibles de adoptar distintos )alores o ser

e:presadas en )arias cate'orías.

a )ariable ad+uiere un )alor deter"inado en cada unidad de análisis +ue puede

ser "edido o cuantificado.

!.!2. CLASIFICACION DE LAS VARIABLES

!.!2.! D& a'(&)*+ a ,( -a()a/&0a> las )ariables de clasifican en>

a. CUALITATIVAS:

on a+uellas +ue se e:presan "ediante palabras pertenecen a una de )arias

cate'orías +ue "utua"ente se e:cluen. &0e"plo> e:o= &stado Ci)il=

;i)eles de desnutrición= /rado de instrucción= ona de residencia= etc.

1. CUANTITATIVAS:

on a+uellas +ue se e:presan nu"rica"ente dan ori'en a dos tipos de

)ariables>

1.!. Va)a1/& D,')&a:

&s a+uella +ue to"a )alores enteros o específicos. &0e"plo> ;?"ero de

alu"nos= ;?"ero de docentes= n?"ero de traba0adores de una e"presa=

etc.

1.2. Va)a1/& C+--(a:

&s a+uella +ue puede to"ar cual+uier )alor dentro de un inter)alo dado.

&0e"plo> !n'reso econó"ico= &dad= -alla= peso= -ie"po= etc.

D& a'(&)*+ a /a 3(-'- (& *&,&6p&a- &- &/ p/a-&a6&-+ *& (- p)+1/&6a *&

-8&,ga'-:a. Va)a1/& I-*&p&-*&-&: &s la )ariable e:plicati)a.

1. Va)a1/& D&p&-*&-& : &s la )ariable e:plicada

!.!". ESCALAS DE MEDICION

e deno"ina escala de "edición a un instru"ento de "edida +ue sir)e para

cuantificar las )ariables.

a escala de "edida orientará al in)esti'ador para el análisis estadístico +ue podráreali*ar. &ntre las escalas de "edición se tiene>


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!. ESCALA NOMINAL

&s a+uella +ue tiene co"o función clasificar las cate'orías de la )ariables.

&0e"plo> la )ariable e:oE asi'na a las personas dos cate'orías o "odalidades>

"asculinoE fe"eninoE. as )ariables &stado ci)ilE= cupaciónE= tienen

cate'orías o "odalidades +ue son de escala no"inal.

2. ESCALA ORDINAL

&s a+uella +ue tiene co"o función clasificar ordenar las cate'orías de las

)ariables en for"a ascendente o descendente.

&0e"plo> /rado de instrucciónE= con sus "odalidades> Pri"aria= ecundaria=

uperior.

&status ocioeconó"icosE= con sus "odalidades> ba0o= "edio alto.

". ESCALA DE INTERVALO

&s a+uella +ue tiene co"o función clasificar= ordenar= se puede conocer la

distancia entre dos puntos cuales+uiera ade"ás tiene un punto cero relati)oE

co"o punto de partida.

&0e"plo> la te"peratura= si utili*a"os las escala centí'rada= esta e"pie*a en

cero= pero si utili*a"os la escala 8a


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!.!4.!. ESTADISTICA DESCRIPTIVA

&s a+uella +ue utili*a un con0unto de "todos estadísticos con la finalidad de

describir @-ablas estadísticas= 'ráficosA anali*ar @Medidas de resu"enA

datos. a estadística descripti)a es aplicable a ni)el de la población o a ni)el

de la "uestra.

a estadística descripti)a no intenta reali*ar 'enerali*aciones.

!.!4.2. ESTADISTICA INDUCTIVA O INFERENCIAL

&s aplicable a ni)el de "uestra su función es 'enerali*ar las características

obser)adas en la "uestra


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CAPITULO II: PRESENTACION DE DATOS


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2.1. ENCUESTA: Es un instrumento que sirve para la recolección de

datos en un trabajo de investigación por observación.

Una encuesta se elabora teniendo en cuenta los objetivos de

estudio, consecuentemente debe contener las variables de interés.

La siguiente ilustración tuvo como objetivo, identificar los factores

socioeconómicos y culturales de los padres de familia relacionados

con el rendimiento de sus hijos. La encuesta es la siguiente:

DISEÑO DE LA ENCUESTA

ota: La Encuesta ser! respondida por el responsable de la familia.

". ombres:#########################.. . y

apellidos:..............................................................................................

$. %note el ciclo de estudios de su

hijo: .......................................................................

&. 'ndique su Estado (ivil:

a. (asado )a* ) * c. +eparado )a* ) *

b. (onviviente ) * d. ivorciado )a* ) *

e. -iuda ) * f. adre +oltera ) *

/. 'ndique La 0ona donde reside:

a. 0ona Urbana. ) *

b. 0ona Urbano arginal ) *

c. 0ona 1ural ) *

2. %spectos 1elacionados con la -ivienda:

a. +u vivienda es: "* 3ropia ) * $. %lquilada ) *

&* 4tras 5ormas:...................................

b. 'ndique cuantas habitaciones tiene su

vivienda:..........................................

c. 6En su vivienda e7iste un ambiente de estudio para su hijo8

+i ) * o ) *

9. 6(u!ntos hijos tiene8:.............................................


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. 'ndique cual es su ocupación:

a. Empleado )a* ) * d. %ma de casa ) *

b. 4brero ) * e. 4tras ) *

c. ;rabajador )a* independiente ) *


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2.2. TABLAS ESTADISTICAS: +irven para presentar los datos

estad@sticos en filas y columnas, clasificados de acuerdo a las

categor@as o indicadores de las variables.

etodológicamente las tablas estad@sticas se clasifican en:

(uadros Estad@sticos y tablas de distribución de frecuencias .

2.2.1. CUADROS ESTADISTICOS: +on arreglos ordenados en filas y

columnas de datos estad@sticos de acuerdo a las variables de estudio,

para su interpretación y an!lisis. Los cuadros estad@sticos se elaboran

para presentar los informes de trabajos de investigación.

Los cuadros estad@sticos se diseAan teniendo en cuenta los objetivos

espec@ficos de la investigación.

2.2.1.1. PARTES DE UN CUADRO ESTADISTICO: En general se consideran

las siguientes partes:

a. NUMERO: Es el código de identificación que permitir! la ubicación del

cuadro.

b. LUGAR: +e refiere al lugar donde se realiBó el trabajo de

investigación

c. TITULO: 'ndica una descripción resumida del contenido de la tabla y

contendr! la variable o variables de estudio consideradas en la tabla.

d. CUERPO DEL CUADRO: En esta parte se registrar! los datos

producto del procesamiento de las encuestas. e. FUENTE: +e considerar! cuando los datos se hayan obtenido de

alguna entidad o publicación. (uando son datos obtenidos directamente

por el investigador )datos de primera mano*, no se consignar! fuente.

2.2.1.2. TIPOS DE CUADROS ESTADISTICOS:

a. De Variabe C!ai"a"i#a: Los m!s usuales son:

a.1. C!adr$% U&idi'e&%i$&ae%: +e construyen cuando se analiBa una

sola variable cualitativa ) Estado (ivil, 0ona de 1esidencia,4cupación, etc.*.


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Ejem.

(U%14 C "

E+(UEL% E (43U;%('4 E '541%;'(% )U31D*: L%%FEGUE

3%1E+ E 5%'L'% E L4+ %LU4+ EL "C ('(L4

+EDH D1%4 E '+;1U(('I

a.2. CUADROS BIDIMENSIONALES: Llamados también de doble

entrada, se construyen cuando se analiBa a la veB dos variables

cualitativas. Ejem.

(U%14 C $


3%1E+ E 5%'L'% E L4+ %LU4+ EL "C ('(L4 341 04% E

1E+'E('% F '-EL E '+;1U(('I

'-EL E '+;1U(('4

04% E 1E+'E('%

;4;%LUrbana Urbanoarginal

1ural

C J C J C J C J3rimaria K K " "./& " "./& $ $. 9 K K "2 $"./&

;4;%L /" 2


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b. DE VARIABLE CUANTITATIVA:

b.1. CUADROS UNIDIEMNSIONALES:

+e construyen cuando se analiBa una sola variable cuantitativa. )'ngresos

económicos, 1endimiento de alumnos, 3eso, Edad,etc.*. Ejem.

(U%14 C &


3%1E+ E 5%'L'% E L4+ %LU4+ EL "C ('(L4 +EDH

'D1E+4 E(44'(4

b.2. CUADROS BIDIMENSIONALES: +e construyen cuando se

analiBan a la veB dos variables cuantitativas. Ejem.

(U%14 C /

E+(UEL% E (43U;%('4 E '541%;'(% )U31D*: L%%FEGUE3%1E+ E 5%'L'% E L4+ %LU4+ EL 31'E1 ('(L4 +EDH

'D1E+4 E(44'(4 C J

2== ==

=" >==

>=" ""==

""=" K "&==

"&=" K "2==

2

<

"2

$2

"

."/

""./&

$".


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'D1E+4 E(44'(4 F 1E''E;4 E L4+ %LU4+

'ngreso

Económico

1endimiento

;otal= K"= ""K"2 "9K$=

C J C J C J C J

2== K == & /.$> $ $.== $ $.


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Ni : 1ecorrido o valores que toma una variable discreta

ni : 5recuencias absolutas

hi : 5recuencias relativas

i : 5recuencias absolutas acumuladas

Oi : 5recuencias relativas acumuladas

hi7"==: 5recuencias relativas porcentuales

Oi7"==: 5recuencias relativas porcentuales acumuladas

PyiK" yi*: 'ntervalo cerrado por la iBquierda y abierto por la

derecha

)yiK" yiQ: 'ntervalo abierto por la iBquierda y cerrado por la

derecha

PyiK" yiQ: 'ntervalo cerrado por ambos lados

2.2.2.2 DISRIBUCION DE FRECUENCIAS DE VARIABLE

DISCRETA:

Ejem : Los siguientes datos corresponde al nRmero de

profesores de de 2 colegios:

/>, 2$, 2=, /, />, /, 2", 2=, 2$ /, />, /,

2", 2=, /, /,

/, 2=, 2", /, /, /, /, 2=, /


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PROCEDIMIENTO

En la primera columna se colocan los valores que toma la

variable

Ni .

Las frecuencias absolutas ni, resultan de contar cuantas veces

se repite los valores que toma la variable, es decir, cuantas

veces se repite el ", cuantas veces se repite el dos, etc.

Las frecuencias relativas hi, resultan de dividir cada frecuencia

absoluta entre el total de datos )

9

=.""

=."&

=.$"=.">

=."9

=."$

=.=<

<

"<

&//<

9=

9>

2

=.""

=.$/

=./2=.9/

=.$

".==

""

"&

$"">

"9

"$

<

""

$/

/29/

$

"==

,- 1. 1


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9 5recuencias 1elativas %cumuladas Oi: +e calculan as@ de

manera similar:

11%111

.=⇒= H h H

24%24%13%11%22212 ....

==+=⇒+= H H hh H

45%21%13%11%333213

.... =++=⇒++= H H hhh H

9 5recuencias 1elativas 3orcentuales )hi 7 "==*: +e encuentran

multiplicando por "== a cada frecuencia relativa simple )hi*:

h"7 "== T =."" 7 "== T ""

h$7 "== T =."& 7 "== T "&h&7 "== T =.$" 7 "== T $"

y as@ sucesivamente.

9 5recuencias 1elativas 3orcentuales %cumuladas)Oi7"==*: +e

encuentran multiplicando por "== a cada frecuencia relativa

acumulada )Oi*:

O"7 "== T =."" 7 "== T ""

O$7 "== T =.$/ 7 "== T $/

O&7 "== T =./2 7 "== T /2

y as@ sucesivamente.

INTERPRETACI6N DE LOS VALORES DE LA TABLA

-amos a interpretar dos valores de cada columna, el resto devalores se interpreta de manera similar.

n& T "9 : "9 colegios tienen /< profesores

n2 T "$ : "$ colegios tienen 2= profesores

h$ T =."& : El =."& por uno de colegios tienen /

profesores

h/ T =."> : El =."> por uno de colegios tienen />


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profesores

& T &/ : &/ colegios tienen de /9 a /<

profesores

9 T 9> : 9> colegios tienen de /9 a 2"

profesores

O& T =./2 : El =./2 por uno de colegios tienen de

/9 a /< profesores

O2 T =.2=, "">=, 9$=, "=/=, ""==, "==, >$2, &=, "$==, >$=, =, "$$=,/29, /$, "==, "==, "&


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a. Elabore una tabla de distribución de frecuencias

utiliBando un intervalo cerrado por la iBquierda y abierto

por la derecha.

b. 'nterprete la tabla y haga la representación grafica

correspondiente

TABLA N8 ,

Fi919iA i ni


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m T $.2 624

m T

&M +e determina la amplitud del intervalo ) c *:

( T 5142#6132

$2#.==

M

R

+i el valor de (, sale con muchos decimales es preferible hacer

ampliación de los l@mites de la información con la finalidad de no

tener problemas a la hora de construir los intervalos. +i esto

ocurre, la tabla se construir! con los nuevos l@mites obtenidos.

La ampliación de los l@mites de los datos se hace, agregando al

l@mite superior de los datos una cantidad pequeAa y restando la

misma cantidad al l@mite inferior de los datos. +e debe ir

probando con varias cantidades ) =.$2, =.2=, =.2, ", ".$2. ".2=,

".2, $, etc*. o necesariamente se busca que el valor de ( sea

entero. 3ara nuestro caso la solución es agregar al l@mite

superior de los datos ".2 y restar esta misma cantidad al l@mite

inferior, con lo que tendr@amos los nuevos l@mites de las datos:Ls T "&&", entonces el valor de la amplitud ser@a

( T 133

$31=

3ara construir los intervalos de la tabla, se empieBa del l@mite

inferior modificado y se va agregando el valor de la amplitud ) (T

"&&*, hasta llegar al l@mite superior de los datos. 3osteriormente,

con la finalidad de tener intervalos cerrados, a partir del segundo

intervalo, se va agregando un décimo al l@mite inferior del

intervalo. .

$. 3U;4+ E'4+ EL ';E1-%L4: Los puntos medios de

los intervalos se encuentran, sumando el l@mite inferior m!s el


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l@mite superior del mismo y luego se divide entre $. Ejemplo:

5212

55#5454=

+ ..S 654

2

52%55#=

+ .., etc.

&. Las frecuencias se encuentran de la misma manera que en la

tabla de distribución para variable discreta, descrita

anteriormente.

3ara la interpretación de los valores de la tabla se procede de

manera similar que se hiBo para la tabla de frecuencia de

variable discreta );abla anterior*.

.(omo ejemplo interpretaremos algunos valores:

n/ T "&: "& trabajadores tienen un ingreso de .2 soles.

h&7"==T"9: El "9 J de trabajadores tienen un ingreso de $=.2 a


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2.".! CONSTRUCCION DE GRAFICOS:

&:isten una di)ersidad de 'ráficos= cua for"a dependerá de las )ariables

de estudio de los ob0eti)os de estudio.

os 'ráficos de una sola )ariable sir)en para fines co"parati)os de cifras

absolutas o porcentuales pueden tener la for"a de barras= superficies o

líneas.

os 'ráficos de dos )ariables se construen en el plano de coordenadas

cartesianas.

2.".2. PARTES DE UN GRAFICO>

a. T(/+: !ndica la naturale*a del fenó"eno representado.

1. Dag)a6a: epresenta los datos contenidos en la tabla estadística

'. E,'a/a, > as escalas se construen de acuerdo a la "a'nitud de las

frecuencias.

*. F(&-&> ir)e para indicar la fuente de los datos representados= esto es

opcional puesto +ue la fuente se especifica en la tabla estadística de

donde pro)ienen los datos.

2.".". TIPOS DE GRAFICOS> &ntre los principales se tiene>

a. G)3'+, *& )&a + *& S(p&)3'&> e construen para una )ariable de

cualitati)o. Para la ilustración to"are"os los datos del Cuadro ;I 1


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1. G)3'+ *& Ba))a,: e construen para dos )ariables de tipo cualitati)o. Para su

ilustración to"a"os los datos del cuadro ;I 2.


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a. G)3'+ *& Ba,+-&,: e construen para )ariables de tipo discreto.

Para la ilustración to"are"os los datos de la tabla ;I 6

1. ;,+g)a6a *& F)&'(&-'a,:

e construe para )ariables de tipo cuantitati)o consiste en barras

+ue )an unidas. Para la ilustración to"are"os los datos de la tabla

;I .


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c. /ráficos para eries de -ie"po> e deno"ina series de tie"po a los

datos ordenados en función del tie"po> e0e"plo>

7J ;I de 7lu"nos de la 8acultad

De !n'. !nfor"ática ist.1$$#

1$$$

2%%%

2%%1

2%%2

2%%3

2%%4

3#%

45%

53%

6%%

6$%

%

#55


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E

12 11 12 12 # 12 12.5 $.5 $ $ 12 .5 12.5 1% $ 11.5 131%.5 1% 12 # 14 12 11 16 12 15 $ 1%.5 12 12 1% 13.5 12 1#1% 11 1% 1 12.5 1%.5 14 11 1%.5 14.5 12.5 11.5 12 13 11 11.5.Construir una tabla de frecuencias utili*ando inter)alos cerrados por a"boslados. !nterprete la tabla


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i'uales a 4. i la "arca de clase del inter)alo central es i'ual a 12 si la cur)a defrecuencias absolutas satisface la relación >

f @ : A N 9 @ : H 12 A 2 O % . econstruir la distribución 'raficar.

. os si'uientes datos corresponde a las calificaciones de 6% alu"nos de un curso de"ate"áticas> G4 : 1%% N #5 G3 : 1%% N % G2 : 1%% N 6% el lí"ite inferior del2I inter)alo es 5 el lí"ite inferior del tercer inter)alo es $ . Co"plete la tabla defrecuencias. !nterprete la tabla.

#. os si'uientes datos corresponde al peso en libras de 56 traba0adores de una e"presa>16 154 134 15 1#4 15# 15 12% 115 125 136 146 14# 134126 143 1# 163 152 134 145 16# 12$ 132 11# 154 115 12135 16 1#3 14 156 162 165 16$ 1% 154 16% 145 134 156166 145 134123 145 16 156 133 155 143 166 14# 125 153.

Construir una tabla de frecuencias utili*ando inter)alos cerrados por a"boslados. !nterprete la tabla de frecuencias


34/103

CAPITULO III

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA

EL ANALISIS DE LOS DATOS


35/103

MEDIDAS DE CENTRALIZACI=N

as Medidas de Centrali*ación o de -endencia Central son pará"etros estadísticos +ue

e:presan en for"a resu"ida un con0unto de datos. &stos pará"etros a tra)s de sus

propiedades sus definiciones


36/103

E?&6p/+: e to"arán los datos de la tabla ;S 6

X i ni

46 #47 1%

48 16 49 14 50 12 51 $ 52 6

Total 5

ee"pla*a"os los )alores en la fór"ula>

#44#

5

652$51125%144$164#1%4#46

.=

++++++=

x

x x x x x x x x

&l ;S pro"edio de traba0adores por e"presa es apro:i"ada"ente 4$

".2.2. P)+6&*+ pa)a *a+, a1(/a*+, ag)(pa*+, &- -&)8a/+, @Va)a1/&

C+--(a

FORMULA:

n

n y

y

n

i

ii∑== 1

yi > Puntos "edios del

inter)alo

E?&6p/+: e to"arán los datos de la tabla ;S

Ingreso

Económico yi ni

454.5 9 5#.5 521 5 5#.5 H 2%.5 654 5 2%.5 H #53.5 # 1% #53.5 H $#6.5 $2% 13 $#6.5 H 111$.5 111$.5 H 1252.5 1252.5 H 13#5.5

1%53 11#6 131$

16 #5

Total 62


37/103

4.$45

62

5131$#11#6161%5313$2%1%#56545521

=

++++++=

y

x x x x x x x y

&l in'reso econó"ico pro"edio de los #% padres de fa"ilia es de $5%.%3 soles.

".2. LA MODA @M*

a Moda en un con0unto de obser)aciones= )iene a ser el )alor de la

)ariable +ue se presenta con "ás frecuencia en la distribución de datos

".2.!. MODA PARA DATOS CUANTITATIVOS:

2.!.!. M+*a pa)a Da+, O)g-a/&,

E?&6p/+ N !: os si'uientes datos corresponde a los in'resos econó"icosde 1% padres de fa"ilia. &ncontrar la "oda.

$%= $3%= #6%= 1%4%= 1%2%= 13#%= 141%= $%%= 1%4%= 124%

a "oda es> Md N 1%4%

E?&6p/+ N 2: !n'resos econó"icos de # traba0adores. &ncontrar la "oda.

12%%= 1%5%= 12%%= $1%= 13%%= 155%= 142%= $6%

&stos datos no tienen "oda.

E?&6p/+ N ": corresponde a los pesos de 1% alu"nos>

65= 54= 2= 6%= 5#= 54= 66= %= 5#

Md1 N 54

Md2 N 5#

Un con0unto de datos puede tener una "oda o "ás de una "oda o ta"bin no

tener nin'una "oda.

".2.2. M+*a pa)a Da+, Ta1(/a*+,

".".2.! M+*a pa)a *a+, a1(/a*+, -+ ag)(pa*+, &- -&)8a/+,

@Va)a1/& D,')&a

FORMULA: j x Md =

Donde> x j es el )alor de la )ariable +ue corresponde a la "á:i"a frecuencia

absoluta.


38/103

E?&6p/+: -o"a"os los datos de la tabla ;S 5

X i ni 46 # 47 1% 48 16 49 14 50 12 51 $ 52 6

Total 5

a Moda será el )alor de la )ariable +ue corresponde a la "á:i"a frecuencia

absoluta @n4 =16 A= en este caso Md = 4#

&l resultado si'nifica +ue es "ás frecuente encontrar e"presas con 4#

traba0adores

3.3.2.2. M+*a pa)a *a+, a1(/a*+, ag)(pa*+, &- -&)8a/+,

@Va)a1/& C+--(a

FORMULA:

−+−

−+=

+−

−−

A@A@ 11

1

1

j j j j

j j

jnnnn

nnc y Md

Donde> n j N "á:i"a frecuencia absoluta

n j-1 N frecuencia absoluta anterior a n j

n j+1 N frecuencia absoluta posterior a n j

y j-1 N lí"ite inferior del inter)alo +ue se encuentra en la "is"a fila

de n j

c N 7"plitud del inter)alo


39/103

E?&6p/+: (a"os a to"ar los datos de la tabla ;S

Ingreso

Económiconi

454.5 – 587.5 5 587.5 – 720.5 5 720.5 – 853.5 1%

853.5 – 986.5 13986.5 – 1119.5

1119.5 – 1252.5

1252.5 – 1385.5

16 # 5

Total 62

De acuerdo a la teoría>

n j = 15 y j-i = 986.5

n j-1 = 13 c = 133

n j+1 = 8

ee"pla*ando )alores en la fór"ula se tiene>

( ) ( )

1%22

#151315

13151335.$#6

=

−+−

−+=

Md

Md

os sueldos o in'resos econó"icos "ás frecuente de 62 traba0adores

encuentran alrededor de 1%16.%6 soles.

".2.2. MODA PARA DATOS CUALITATIVOS:

a "oda estará dada por la cate'oría de la )ariable +ue corresponde a la

"á:i"a frecuencia absoluta.

E?&6p/+: -o"are"os los datos del cuadro ;S 1

'-EL E '+;1U(('I n J

3rimaria

+ecundaria

+up. o Universitaria

+up. Universitaria

$

""

/$

"2

$.


40/103

Li L s Me

50% 50%

a "á:i"a frecuencia es 42= por lo tanto= la "oda es la cate'oría superior no

uni)ersitaria= es decir> Md N up. ;o Uni)ersitaria.

".". LA MEDIANA

&s el )alor +ue di)ide a la totalidad de datos= ordenados en for"a creciente o

decreciente= en dos partes i'uales= de tal "anera +ue el 5%R de los datos se encuentren a

la i*+uierda de la "ediana el otro 5%R a la derec

a. C(a-*+ &/ N *& *a+, &, Pa)

e ordenan los datos en for"a creciente o decreciente se to"a el pro"edio

de los dos )alores del centro.

E?&6p/+: os si'uientes datos corresponde a las edades de 1% in'enieros>.

5%= 22= 61= 3%= 55= 42= 46= 35= 3#=2#

rdena"os en for"a creciente>

22= 2#= 3%= 35= 3#= 42= 46= 5%= 55= 61

4%

2423#

=

+=

Me

Me

&l 5%R de los in'enieros tienen una edad "á:i"a de 4% a,os

1. C(a-*+ &/ N *& *a+, &, I6pa)

&0e"plo> os si'uientes datos corresponde al nI de traba0adores de $ e"presas

63= 56= $4= 32= 5#= 41= $%= 45= 1%4

rdena"os de for"a creciente


41/103

32= 41= 45= 56= 5#= 63= $%= $4= 1%4

e to"a el )alor del centro> Me = 58

&l 5%R de e"presas tienen un n?"ero "á:i"o de 5# traba0adores

".".!.2. M&*a-a pa)a Da+, Ta1(/a*+,

a. M&*a-a pa)a *a+, a1(/a*+, -+ ag)(pa*+, &- -&)8a/+,

! C(a-*+ 12

−> j n

FORMULA: Me = x j

Donde>

x j > &s el )alor de la )ariable +ue se encuentra en la "is"a fila de j

j > 8recuencia absoluta acu"ulada in"ediata"ente "aor +ue2

n

j-1 > 8recuencia absoluta acu"ulada anterior a j

E?&6p/+: -o"a"os los datos de la tabla ;S 6

X i ni N i 46 # # 47 1% 1# 48 16 34 49 14 4#

50 12 6% 51 $ 6$ 52 6 5

Total 5

P)+'&*6&-+:

! 532

5

2.==

n

2 4#= Nj


42/103

" 341 =− Nj efecti)a"ente 12

−> j n

4 4$= Xj

Por lo tanto> Me = 49

5%R de las e"presas tienen co"o "á:i"o 4$ traba0adores.

2 C(a-*+ 12

−= j n

FORMULA:2

1 j j x x +−

E?&6p/+: os si'uientes datos corresponden al ;S de


43/103

&l 5%R de las fa"ilias tienen co"o "á:i"o apro:i"ada"ente 4 y j-1 N lí"ite inferior del inter)alo +ue se encuentra en la "is"a fila

de j

c N 7"plitud del inter)alo

j N frecuencia absoluta acu"ulada in"ediata"ente "aor +ue

2

n

j-1N frecuencia absoluta acu"ulada anterior a j

E?&6p/+> (a"os a to"ar los datos de la tabla ;S

Ingreso Económico

ni ; 0454.5 – 587.5 5 5

587.5 – 720.5 5 1% 720.5 – 853.5 1% 2% 853.5 – 986.5 13 33 986.5 – 1119.5

1119.5 – 1252.5

1252.5 – 1385.5

16 # 5

4$ 5 62

Total 62

p)+'&*6&-+:

! 312

62

2==

n

2 ;0N 33


44/103

" 2%1 =− j N efecti)a"ente 12

−≥ j n

4 5#531 .=− j Y

5 c N 133

ee"pla*ando )alores se tiene>

%4$66

2%33

2%311335#53

.

.

=

−−

+=

Me

Me

&l 5%R de traba0adores tienen un in'reso "á:i"o de $66.%4 soles.

2 C(a-*+ 12

−= j n

FORMULA> 1−= j y Me


45/103

E?&6p/+: os si'uientes datos corresponden al peso en Tilos de 12% alu"nos.

eso ni N i 30 –33 1% 1%34 – 37 2% 3%38 – 41 3% 6%42 – 45 3% $%46 – 49 16 1%650 – 53 14 12%Total 12%

P)+'&*6&-+:

! 6%2

12%

2==

n

2 $%= j

" 6%1 =− j efecti)a"ente 12

−= j n

4 421 =

− j y

5 3=c

ee"pla*ando )alores se tiene>

42= Me

&l 5%R de los alu"nos tienen un peso "á:i"o de 42 Tilo'ra"os.

".".2. MEDIANA PARA DATOS CUALITATIVOS:

&s factible obtener la "ediana cuando se tiene datos cualitati)os= susceptibles de

ordenarse de acuerdo a ran'os o cate'orías.


46/103

Li L s&2

50%

75%

&1 &3

25%

E?&6p/+> -o"are"os los datos de la tabla ;S %1

Ni!el de Instr"cción ni N i '(im$(i$ 2 16

)ec*nd$(i$ 11 54)*e(i"( " ,nie(si#$(i$ 42 2)*e(i"( ,nie(si#$(i$ 15 #%

T+a/%

P)+'&*6&-+:

! 352

=n

2 54= j

" 161 =− j

a "ediana esta dada por la cate'oría +ue se encuentra en la "is"a fila de j. Por lo

tanto= la "ediana está dada por la cate'oría ecundaria.

&l 5%R de los padres de fa"ilia de los estudiantes tienen un 'rado de instrucción

"á:i"o de secundaria.

".4. CUARTILES @

on "edidas de posición +ue di)iden a la distribución de datos ordenados= en cuatro

partes i'uales= de tal "anera +ue>


47/103

".4.!. CUARTILES PARA DATOS ORIGINALES

Una )es ordenados los datos tales +ue n x.... x x x ≤≤≤≤ 321 . &l cuartil i9

si"o @i N 1= 2 o 3A= es el )alor del dato +ue ocupa la posición n / i

/ 1

4

+ en el

ordena"iento.

i la posición resulta entera= se i =2 n =7

414

21

4=+=+ / / n /

i/ = posición entera= lue'o &2 = x4 = 420.

&l 5%R de los padres de fa"ilia= es decir 4% de ellos= tienen un in'reso

"á:i"o de 42% soles.

9 Cálculo del -ercer Cuartil @L3A> i =3 n =7

614

31

4=+=+ / / n /

i/ = posición entera= lue'o &3 = x6 = 460.

&l 5R de los padres de fa"ilia= es decir 6% de ellos= tienen un in'reso

"á:i"o de 46% soles.


48/103

Ejem#lo N$ 2

-o"are"os los datos= ordenados pre)ia"ente= correspondiente a los in'resos

se"anales de 1% padres de fa"ilia

2%%= 225= 3%%= 42%= 45%= 46%= 54%= 55%= 6%%= 65%

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10

9 Cálculo del Pri"er Cuartil @L1A> i =1 n =10

5211%4

11

4. / / n /

i/ =+=+ = posición no entera= lue'o &1 estará entre

las obser)aciones x2 x3.

&stableciendo proporciones se tiene>

252#1

2556225

5%2253%%225

5%1

5%2321

23

21

.&

.&

. / / &

. / x x/ x&.

x x

x&

=+=

−+=

−+=⇒=−−

&l 25R de los padres de fa"ilia tienen un in'reso "á:i"o de 2#1.25 soles.

9 Cálculo del e'undo Cuartil @L2A> i =2 n =10

5511%4

21

4. / / n /


las obser)aciones x5 x6 .

&ntonces>

455545%

5%45%46%45%

5%

2

5652

=+=

−+=−+=

&

. / /

. / x x/ x&

&l 5%R de los padres de fa"ilia tienen un in'reso "á:i"o de 455 soles.

9 Cálculo del -ercer Cuartil @L3A> i =3 n =10

25#11%4

31

4. / / n /


las obser)aciones x8 x9.

&ntonces>


49/103

5562

51255%

25%55%6%%55%

25%

2

#$#3

.&

.

. / /

. / x x/ x&

=+=

−+=−+=

&l 5R de los padres de fa"ilia tienen un in'reso "á:i"o de 562.5 soles.

".4.2. CUARTILES PARA DATOS TABULADOS

FORMULA:

−

−+=

−

−

−A

4

A@

1

1

1

j j

j

ji

in

c y&

Donde i= to"ará )alores de 1 a 3= se'?n se trate de calcular el 1S= 2S ó tercer

cuartil.

Ejem#lo

Para la tabla ;S = calcular el pri"er= se'undo tercer cuartil.

9 C/'(/+ *&/ p)6&) '(a)/ @!: i N 1

P)+'&*6&-+: &s parecido al de la "ediana

! ( ) ( )

5154

162

4 .==i n

2 ;0 N 2%

" ;091 N 1%

4 091 N 2%.5

5 C N 133

Ingreso

Económiconi

;i454.5 – 587.5 5 5

587.5 – 720.5 5 1% 720.5 – 853.5 1% 2% 853.5 – 986.5 13 33 986.5 – 1119.5

1119.5 – 1252.5 1252.5 – 1385.5

16

# 5

4$

5 62

Total 62


50/103

ee"pla*ando )alores en la fór"ula>

−

−+=

−

−

−A

4

A1@

1

1

11

j j

j

j

n

c y&

#

1%2%

1%1513352%

1

1

=

−

−+=

&

& .

&l 25R de los traba0adores= es decir 16= tienen un in'reso "á:i"o de # soles.

9 C/'(/+ *&/ ,&g(-*+ '(a)/ @2: i N 2

−

−+=

−

−

−A

4

A2@

1

1

12

j j

j

j

n

c y&

P)+'&*6&-+:

! ( ) ( )

314

262

4==

i n

2 ;0 N 33

" ;091 N 2%

4 Q091 N #53.5

5 C N 133


%4$66

2%33

2%311335#53

2

2

.

.

=

−

−+=

&

&

&l 5%R de los traba0adores= es decir 31= tienen un in'reso "á:i"o de $66.%4 soles.

9 C/'(/+ *&/ &)'&) '(a)/ @": i N 3


51/103

−

−+=

−

−

−A

4

A3@

1

1

13

j j

j

j

n

c y&

P)+'&*6&-+:

! ( ) ( )

5464

362

4.==

i n

2 ; N 4#

" ;091 N 33

4 Q091 N $#6.5

5 C N 133


211%6

334#

335461335$#6

3

3

.

..

=

−

−+=

&

&

&l 5R de los traba0adores= es decir 4= tienen un in'reso "á:i"o de 11%6.2 soles.

".5. MEDIDAS DESCRIPTIVAS DE RESUMEN UTILIZANDO CUARTILES

los cuantiles son ?tiles no sólo co"o "edidas de posición no central ta"bin sir)en

para elaborar otras "edidas i"portantes de tendencia central dispersión.

Describire"os dos "edidas basadas en los cuarteles> el &0e Medio el an'o

intercuartílico.

".5.!. EL E

&s el pro"edio de los cuarteles L1 L3 de un con0unto de datos>

&& M&D! N2

31 && +

Para el e0e"plo anterior> &0e Medio N2

51%$2$% .+

&0e Medio N $41.25


52/103

".5.2. RANGO INTERCUARTILICO @R.I.

&l ran'o intercuartílico @ lla"ado ta"bin dispersión "ediaA es la diferencia entre los

cuartiles L1 L3 de un con0unto de datos.

Para el e0e"plo anterior .!. N L3 H L1

.!. N 3%2.5%

&sta "edida considera la dispersión en el 5%R "edio de los datos = por ello= de

nin'una "anera se )e influenciada por la posible ocurrencia de )alores e:tre"os.

".. DIAGRAMA DE BLOUES LINEAS:

Para identificar describir las principales características de los datos= el "todo de

7nálisis &:ploratorio de Datos utili*a "edidas de tendencia central de dispersión

+ue tienen la propiedad de )&,,&-'a es decir= estadísticos +ue son relati)a"ente

insensibles a ca"bios e:tre"os de al'unos de los datos. a "ediana= el e0e "edio el

ran'o intercuartílico son tres estadísticos resistentes de uso co"?n. i se co"binan

estas "edidas resistentes con infor"ación referente a los e:tre"os= se lo'ra entonces

una "e0or idea de la for"a de la distribución de datos. Cinco son los n?"eros deresu"en>

i = L1 = Mediana = L3 = s

Para los datos ori'inales +ue sir)ieron para el construir la tabla ;I se tiene>

i N 456 = L1 N $% = Me N $5% = L3 N 1%$2.5% = s N 13#4

&l dia'ra"a de blo+ues líneas ofrece una representación 'ráfica de los datos a tra)sde los cinco n?"eros de resu"en. &n la si'uiente fi'ura se ilustra este dia'ra"a.


53/103

'ngreso

,,"===,==


54/103

32%= 33%= 345= 41%= 46%= 5#%= $%%= $4%= $4%

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

Calcular el Decil 2 el Decil 6.

D&'/ 2 @D2: i = 2 n = 9

21$1%

2=+ / / > Posición entera

Por tanto el decil 2 es el dato +ue ocupa la se'unda posición> D2 N 33%.

&l 2%R de los traba0adores tienen un in'reso "á:i"o de 33% soles.

D&'/ @D: i = 6 n = 9

61$1%

6=+ / / > Posición entera

Por tanto el decil 6 es el dato +ue ocupa la se:ta posición> D6 N 5#%.

&l 2%R de los traba0adores tienen un in'reso "á:i"o de 5#% soles..

".7.2. DECILES PARA DATOS TABULADOS

FORMULA:

−

−+=

−

−

−A

1%

A@

1

1

1

j j

j

ji

in

c y 1

Donde i= to"ará )alores de 1 a $= se'?n se trate del pri"ero= se'undo=


55/103

P)+'&*6&-+:

! ( ) ( )

#241%

462

1%.==

i n

2 ;0 N 33

" ;091 N 2%

4 Q091 N #53.5

5 C N 133


−

−+=

−

−

−A

1%

A4@

1

1

14

j j

j

j

n

c y 1

61$%2

2%33

2%#241335#53

4

4

.

..

=

−

−+=

'

'

&l 4%R de los traba0adores= tienen un in'reso "á:i"o de $%2.61 soles.

".#. PERCENTILES

Para el cálculo de los centiles o percentiles @PiA se procede de "anera si"ilar las

fór"ulas correspondientes son>

9 Para datos ori'inales> n / i

/ 11%%

+

9 Para datos tabulados>

Ingreso

Económiconi

;i454.5 – 587.5 5 5

587.5 – 720.5 5 1% 720.5 – 853.5 1% 2% 853.5 – 986.5 13 33 986.5 – 1119.5

1119.5 – 1252.5

1252.5 – 1385.5

16 # 5

4# 56 62

Total 62


56/103

−

−+=

−

−

−A

1%%

A@

1

1

1

j j

j

ji

in

c y '

".9. TASAS DE CRECIMIENTO @ T.C.:

ir)e para encontrar el creci"iento de una cantidad de un periodo t con respecto a

un periodo t91. e calcula con la si'uiente fór"ula>

-.C.N 1%%1 x

(t

(t

−

&0e"plo> Calcular las tasas de creci"into para los si'uientes datos= correspondiente al

;S de alu"nos "atriculados de una uni)ersidad= durante el periodo 2%%5 H 2%1%

7,o ;S alu"nos-asa @RA

:i2%%5 125% 92%%6 15%% 2%.%%2%% 1#5% 23.332%%# 212% 14.5$2%%$ 243% 14.622%1% 2#% 1#.11

".!%. LA MEDIA GEOM>TRICA @MG

e usa cuando


57/103

7,o ;S alu"nos-asa @RA

:io' :i

2%%5 125% 9 92%%6 15%% 2%.%% 1.3%1%3%2%% 1#5% 23.33 1.36$152%%# 212% 14.5$ 1.164%552%%$ 243% 14.62 1.164$42%1% 2#% 1#.11 1.25$1#

6.255#65

ee"pla*ando en la fór"ula>

#3.1

5

255#65.6lo'

=

=

M4

3n#i M4

&l incre"ento pro"edio anual de alu"nos "atriculados es del 1.#3R.

".!%.2. M&*a g&+6)'a P+-*&)a*a:

FORMULA>

= ∑ n

Yi n

)nti M* i /+g

/+g

Considere"os los datos de la tabla ;S para ilustrar el cálculo.

Ingreso

EconómicoYi

ni ni logYi

454.5 9 5#.5 521 5 13.5#41#$5#.5 H 2%.5 654 5 14.%##$2%.5 H #53.5 # 1% 2#.$5$4

#53.5 H $#6.5 $2% 13 3#.52$242$#6.5 H 111$.5 111$.5 H 1252.5 1252.5 H 13#5.5

1%53 11#6 131$

16 # 5

4#.35##54 24.5$26#

15.6%1224Total 62 1#3.%3#23


M/ N 7ntilo'

62%3#23.1#3


58/103

M/ N $1#.26

&l in'reso econó"ico pro"edio de los 62 traba0adores es de $1#.26 soles.

&n este caso la "edida "ás adecuada para el análisis de los datos es el

Pro"edio.

&0ercicios

Para los e0ercicios del capitulo anterior= calcular el pro"edio= "oda ="ediana=

Cuartiles= Media /eo"trica ponderada.


59/103

CAPITULO IV

MEDIDAS DE DISPERSION


60/103

4.!. MEDIDAS DE DISPERSION

on "edidas o pará"etros estadísticos +ue sir)en de co"ple"ento a las "edidas de

centrali*ación en el análisis de los datos. &s necesario tener una idea del 'rado de

concentración o dispersión de las obser)aciones alrededor de una "edida de tendenciacentral.

4.2. RECORRIDO O RANGO: @R

(iene a ser la diferencia entre el )alor "aor el )alor "enor de los datos= es decir>

N B"á: H B"ín

&0e". -o"are"os los datos ori'inales +ue dieron ori'en a la tabla ;I .

N 13#4 H 456 N $2# soles.

&l recorrido a ran'o co"o estadí'rafo de posición es "u li"itado= por+ue sólo

considera los )alores e:tre"os de la distribución de datos no nos indican nada sobre el

co"porta"iento de los datos.

4.". VARIANZA> @ 2

&s el pro"edio de las des)iaciones con respecto al pro"edio ele)ado al cuadrado. a

)arian*a no tiene interpretación .

4.".!. Va)a-0a pa)a *a+, +)g-a/&,>

n

. x x/ n

i

i2

12

∑=

−

=σ

&0e". os si'uientes datos corresponde a los in'resos econó"icos por se"ana de 12

traba0adores de una e"presa

X: 6%%= 65%= 2%%= 1%= 3%%= 55%= 42%= 46%= 45%= 54%= #5%= 225.

Para poder aplicar la fór"ula= pri"ero debe"os encontrar el pro"edio lue'o

aplicar la fór"ula de la )arian*a.

1S

n

x

x

n

i

i∑== 1

254$6

12

5$22

12

225#5%54%45%46%42%55%3%%1%2%%65%6%%

. x

x

x

=

=

+++++++++++=


61/103

2S

n

. x x/ n

i

i2

12

∑=

−

=σ

c*$d($d"$% )"%es.

.

./ ...... ./ ./ ./

6#534$2$

12

2241$156

12

254$6225254$62%%254$665%254$66%%

2

2

22222

=σ

=σ

−++++−+−=σ

4.".2 DESVIACI=N ESTANDAR:

e define co"o la raí* cuadrada de la )arian*a.

n

. x x/ n

i

i2

1

∑=

−

=σ

&s uno de los estadí'rafos de dispersión de "aor uso= en el cual las unidades de la

)ariable a no están ele)adas al cuadrado.

&n 'eneral los estadí'rafos de dispersión se usan para co"parar dos o "ás

distribuciones de datos poblaciones. 7 "aor dispersión entre los )alores o

ele"entos de una población= le corresponde un )alor "aor para el estadí'rafo de

dispersión.

E


62/103

E


63/103

E

#3662.426#

62

#12.2$3%66

2

2

=

=

σ

σ

Des)iación estándar>

9)"%es41.21

#3662.426#

=

=

σ

σ

a )ariación pro"edio +ue e:iste entre los in'resos econó"icos de los traba0adores

con respecto al in'reso pro"edio @$45.4 solesA es de 21.41 oles.

4.".4. PROPIEDADES DE LA VARIANZA

a. a )arian*a de una constante es cero>

V @ H %

1. a )arian*a del producto de una constante por una )ariable= es i'ual >( @ W.B A N W 2 B

c. a )arian*a de la su"a de una )ariable "ás una constante= es i'ual a la )arian*a de

la )ariable> ( @ B O W A N (@BA

4.".5. COEFICIENTE DE VARIACI=N @C.V

&s una "edida de )ariabilidad relati)a +ue se utili*a para co"parar dos o "as

distribuciones de datos cuando las unidades de "edida de las )ariables están


64/103

e:presadas en diferentes unidades a escalas de "edida= por e0e"plo los sueldos

e:presados en soles dólares.

i co"para"os dos distribuciones= será "ás

σ−= Me y/ 3s 3

σ−= Md y 3s

&l pri"ero es el "ás usual.

I-&)p)&a'-1. i la distribución es i"trica= entonces 7s N %= en este caso coinciden

Md Me y == .

2. i la distribución es 7si"trica Positi)a ó ses'ada a la derec 7s X %.

3. i la distribución es 7si"trica ;e'ati)a ó ses'ada a la i*+uierda si> 7s Y %.

E


65/103

a Turtuosis )iene a ser el 'rado de apunta"iento de una distribución.

a. i una distribución tiene una ele)ada punta o apunta"iento= se lla"a L&p+)'a.

b. i la distribución se ase"e0a a una distribución nor"al se lla"a M&,+')'a

c. i la distribución es aplanada se deno"ina P/a)'a.

&l estadí'rafo para anali*ar el apunta"iento es>

Coeficiente de Wurtuosis: a 4

4

σ

m

Donde Z4 N @ Z2 A2

64 N

( )

n

nY Y i i ∑ − 4

9 i a N 3 > a distribución es MesoT?rtica @ ;or"alA.

9 i a X 3 > a distribución es eptoT?rtica @ apuntadaA

9 i a Y 3 > a distribución es PlatiT?rtica @ aplanada A

&0e". Para los datos de la tabla ;I 6

M4 N 1$.45254

Z4 N $.2416

ee"pla*ando )alores> a N2416$

452541$

.

.

a N 2.1%

Co"o a N 2.1% es "enor +ue 3= la distribución es platiT?rtica @aplanadaA.

&0ercicios.

Para las tablas de frecuencias del capitulo !! calcular> a )arian*a= la des)iación

estándar= el coeficiente de )ariación= el apunta"iento la asi"etría.


66/103

CAPITULO V

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS BIDIMENSIONALES


67/103

5.! G&-&)a/*a*&,

Cuando en un traba0o de in)esti'ación se obser)a si"ultánea"ente dos

)ariables en cada ele"ento de análisis= entonces esta"os en el ca"po

de las estadísticas bidi"ensionales= cua a'rupación= da ori'en a las

distribuciones de frecuencias bidi"ensionales.

&n el caso bidi"ensional puede darse el caso de +ue se ten'a>

1. as dos )ariables discretas

2. Una )ariable discreta la otra continua

3. as dos )ariables continuas.

5.2.DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS BIDIMENSIONALES DE

VARIABLE DISCRETA

Una tabla bidi"ensional de frecuencias se construe colocando en el "ar'en

i*+uierdo los distintos )alores de B en el "ar'en superior los distintos )alores de

Q= 'enerándose una tabla de p filas + colu"nas.

5.2.!. F)&'(&-'a, Ma)g-a/&,

as frecuencias "ar'inales de la )ariable B= se obtiene su"ando las frecuencias

absolutas +ue fi'uran en cada fila @ línea


68/103

1. &labore tablas de frecuencias absolutas bidi"ensionales para anali*ar los datos e

interprete las tablas.

2. &ncuentre el pro"edio la )arian*a para la )ariable B Q

TABLA N * 4

D,)1('- *& F)&'(&-a, A1,+/(a, B*6&-,+-a/&, @-? *& % &6p)&,a, p+)-6&)+ *& '+6p(a*+)a, @X ,&g- -6&)+ *& I-g. I-3+)6'+, @ p+) &6p)&,a

B > co"putadoras

Q > !n'. !nfor"áticos

-. N 8recuencias "ar'inales de la )ariable B

-. ? N 8recuencias "ar'inales de la )ariable Q

INTERPRETACI=N:

n23 N 2> 2 e"presas tienen 4 co"putadoras 3 !n'. !nfor"áticos

n45 N 4 > 4 e"presas tienen 6 co"putadoras 5 !n'. !nfor"áticos

F)&'(&-'a, Ma)g-a/&,:

D& /a 8a)a1/& X

n2. N > e"presas tienen 4 co"putadoras

X ! 2 " 4 5 -.

" 1 2 9 9 9 9 3

4 2 3 2 9 9 9

5 9 2 6 2 9 9 1%

2 7 4 4 1 1#

7 1 3 5 6 7 22

-. ? 3 1% 1# 11 1% # 6%


69/103

n4. N 1# > 1# e"presas tienen 6 co"putadoras

9 D& /a 8a)a1/&

n.3 N 1#> 1# e"presas tienen 3 !n'. !nfor"áticos

n.5 N 1%> 1% e"presas tienen 5 !n'. !nfor"áticos

TABLA N * 5

D,)1('- *& F)&'(&-a, R&/a8a, B*6&-,+-a/&, @? *& % &6p)&,a, p+)-6&)+ *& '+6p(a*+)a, @X ,&g- -6&)+ *& I-g&-&)+, I-3+)6'+, @ p+)

&6p)&,a

X ! 2 " 4 5 .

" %.%2 %.%3 9 9 9 9 %.%5

4 %.%3 %.%5 %.%3 9 9 9 %.11

5 9 %.%3 %.1% %.%3 9 9 %.16

9 %.%3 %.12 %.% %.% %.%2 %.31

7 %.%2 %.%5 %.%# %.1% %.12 %.3

. ? %.%5 %.16 %.3% %.1# %.1 %.14 1.%%

!nterpretación>

&l %.%# por uno de e"presas tienen 4 co"putadoras 3 !n'. !nfor"áticos

&l %.% por uno de e"presas tienen 6 co"putadoras 5 !n'. infor"áticos

F)&'(&-'a, R&/a8a, Ma)g-a/&,>

9 De la )ariable B>

&l %.11 por uno de e"presas tienen 4 co"putadoras

&l %.31 por uno de e"presas tienen 6 co"putadoras

9 De la )ariable Q>

&l %.3% por uno de e"presas tienen 3 !n'. !nfor"áticos


70/103

&n el %.1 por uno de e"presas tienen 5 !n'. !nfor"áticos

TABLA N * 1

D,)1('- *& F)&'(&-a, A1,+/(a, B*6&-,+-a/&, A'(6(/a*a, @N? *& %&6p)&,a, p+) -6&)+ *& '+6p(a*+)a, @X ,&g- -6&)+ *& -g&-&)+, @ p+)

&6p)&,a

I-&)p)&a'-:

;23 N 1%> 1% e"presas tienen de 3 a 4 co"putadoras de 1 a 3 !n'. !nfor"áticos

;35 N 2%> 2% e"presas tienen de 3 a 5 co"putadoras de 1 a 5 !n'. !nfor"áticos

X ! 2 " 4 5

" 1 5 5 5 5 5

4 3 # 1% 1% 1% 1%

5 3 1% 1# 2% 2% 2%

3 12 2 31 35 36

7 3 13 31 42 52 6%


71/103

TABLA N * 11

D,)1('- *& F)&'(&-a, R&/a8a, B*6&-,+-a/&, A'(6(/a*a, @;? *& %&6p)&,a, p+) -6&)+ *& '+6p(a*+)a, @X ,&g- -6&)+ *& I-g&-&)+,

I-3+)6'+, @ p+) &6p)&,a

!nterpretación >

G25 N %.16> &l %.16 por uno de e"presas tienen de 3 a 4 co"putadoras de 1 a 5

in'enieros infor"áticos

G34 N %.32> &l %.32 por uno de e"presas tienen de 3 a 5 co"putadoras de 1 a 4 in'.

!nfor"áticos

X ! 2 " 4 5

" %.%2 %.%# %.%# %.%# %.%# %.%#

4 %.%5 %.13 %.16 %.16 %.16 %.16

5 %.%5 %.16 %.2$ %.32 %.32 %.32

%.%5 %.1$ %.44 %.54 %.61 %.63

7 %.%5 %.21 %.51 %.6$ %.#6 1.%%


72/103

-77 ;I 12

D,)1('- *& F)&'(&-a, R&/a8a, B*6&-,+-a/&, P+)'&-(a/&, @?Q!%% *& %&6p)&,a, @X ,&g- -6&)+ *& I-g. I-3+)6'+, @ p+) &6p)&,a

X ! 2 " 4 5 .

" 2 3 9 9 9 9 5

4 3 5 3 9 9 9 11

5 9 3 1% 3 9 9 16

9 3 12 2 31

7 9 2 5 # 1% 12 3

. ? 5 16 3% 1# 1 14 1%%

!nterpretación>

&l 3R de e"presas tienen 5 co"putadoras cuatro in'enieros infor"áticos

&l R de e"presas 6 co"putadoras 5 in'enieros infor"áticos

TABLA N * 17


73/103

D,)1('- *& F)&'(&-a, R&/a8a, B*6&-,+-a/&, P+)'&-(a/&, A'(6(/a*a,@;?Q!%% *& % &6p)&,a, ,&g- N(6&)+ *& '+6p(a*+)a, @X -6&)+ *& I-g.

I-3+)6'+, @ &6p)&,a

X ! 2 " 4 5

" 2 # # # 9

4 5 13 16 16 9

5 5 16 2$ 32 9

5 1$ 44 54 %.61 %.63

7 5 2! 5! 9 %.# !.%%

!nterpretación>

G22:1%% N 13> &l 13R de e"presas tienen de 3 a 4 co"putadoras de uno a dos in'.

!nfor"ático.

G43:1%% N 44> &l44 R de e"presas tienen de 3 a 6 co"putadoras de uno a tres !n'.

!nfor"áticos

2. Calculo del pro"edio

a. PARA X! : #256%

221#61%54331.

..

. =++++

== ∑ x x x x x n

n x x

i i

#25.= x

&l n?"ero pro"edio de co"putadoras por e"presa es de apro:i"ada"ente 6

PARA : 6536%

#61%51141#31%231.

..

.=

+++++== ∑ x x x x x x

n

n y y

j j


74/103

653.= y

&l n?"ero pro"edio de in'. !nfor"áticos por e"presa es de apro:i"ada"ente 4

CALCULO DE LA VARIANZA

a. PARA X >..

A@.

n

n x x i i ∑ −

=

2

2

1σ

ee"pla*ando )alores>

=−+−+−+−+−

=6%

22#251##2561%#255#2543#253 2222221

x x x x x A.@A.@A.@A.@A.@σ

1$1

421

6%

$##4

6%

633%5#%261$23#623

1

2

1

2

1

.

.

......

=

=

=+++++

=

σ

σ

σ

b. PARA >..

A@.

n

n y y j j ∑ −=

2

22

2σ


411

$$1

6%

65361%65351165341#65331%653236531

2

22

222222

2

.

.

A.@A.@A.@A.@A.@A.@

==

−+−+−+−+−+−=

σ

σ

σ x x x x x

5.". DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS BIDIMENSIONALES DE VARIABLE

CONTINUA VARIABLE DISCRETA

as )ariables bidi"ensionales @B=QA conser)an la "is"a no"enclatura las tablas

tienen la "is"a for"a.

&0e". os si'uientes datos corresponde al in'reso "ensual @BA al ;I de


75/103

X 1%$5 1%6% 145% 152% 132% 15#% 16%% 1%#% 115% 12%% 11$% 145

5 3 3 2 3 3 1 4 3 4 3 2

X 1515 11%% 142% 15#% 12#% 12%% 155% 11% 1#%% 1%2% 1525 1435

3 4 3 2 4 3 2 4 1 4 6 2

X $32 11#% 1365 $32 1415 1553 1225 165% 11#1 $32 142$ 13%% 1%3%

3 5 4 2 5 4 4 1 5 6 5 3 6

X 162% 14#5 13%5 1425 13$% 145% 13#% 1%% 1515 12%% 132% 165% 165%

2 5 4 6 4 2 6 2 5 3 6 2 3

X 13#% 154% 112% 13%5 15% 13%% 125% 1415 16% 13#%

3 3 4 5 2 4 3 4 2 3

1. Construir tablas de frecuencias bidi"ensionales= utilice inter)alos cerrados=

interprete los datos2. Calcular el pro"edio la )arian*a para la )ariable B Q

olución>

(ariable !n'resos B>

s N 1#%% 9i N $32 N #6#" N 2.5 4 6%

" N C N [" C N #6#[ C N 124

(ariable ;I de i N 1= s N 6

Ta1/a N !4D,)1('- *& 3)&'(&-'a, a1,+/(a, 1*6&-,+-a/&, @-? *& -g)&,+,&'+-6'+, @X N6&)+ *& ?+, @ *& % )a1a?a*+)&, *& (-a &6p)&,a


76/103

! 2 " 4 5 -.X! X Bi 9"2 !%5 $$4 1 1 1 9 2 5!%57 !!#% 111#.5 9 9 2 4 2 9 #!!#! !"%4 1242. 9 9 5 4 1 !%

!"%5 !42# 1366.5 9 9 4 4 2 3 !"!429 !552 14$%.5 9 5 3 9 3 1 !2!55" !7 1614.5 2 4 2 1 9 9 9!77 !#%% 13#.5 1 2 "-.? " !2 !7 !4 # %

n52 N 5 > 5 traba0adores tienen un in'reso de 142$ a 1552 soles tienen 2 13 traba0adores tienen un in'reso de 13%5 a 142# solesn.5 N # > # traba0adores tienen 5 1% traba0adores tienen un in'reso pro"edio de 1242 soles.&l resto de tablas de frecuencias bidi"ensionales se construen de "anera si"ilar a lastablas anteriores.2. (ariable B> a. Pro"edio>

X N

..

.

n

n X i

n

i

i ∑=1

6%

3513#$5161412514$%13513661%1242#5111#5$$4 x x x x x x x X

..... ++++++=

241362.= X &l in'reso pro"edio "ensual de los 6% traba0adores de la e"presa es 1362.24 soles

b. (arian*a>

( )

n

n X X n

i

i i ∑=

−

= 1

2

2

.

σ

( ) ( ) ( )6%

3241362513##2413625111#5241362$$4 222

2 x x x ............. −++−+−=σ

#%4154#2 .=σ

Z N 2%3.#4a )ariación pro"edio +ue e:iste entre los in'resos de los traba0adores con respecto alin'reso pro"edio es de 2%3.#4 soles.5.4. E


77/103

&dad> 46 32 46 34 3% 34 42 3$ 4# 36 32 3$ 3% 45 26 4% 3# 4 36 6% Gi0os 6 2 6 3 2 3 4 3 5 3 2 3 2 3 2 3 2 5 4 6

&dad> 4% 45 33 32 45 2# 25 35 4# 4% 3%

Gi0os> 3 2 2 3 4 2 2 3 4 3 2

Construa tablas bidi"ensionales para anali*ar los datos.

2. &ncuentre el pro"edio la )arian*a para cada una de las )ariables del proble"aanterior.

3. os si'uientes datos corresponde a los in'resos econó"icos "ensuales de 52traba0adores de una e"presa a los a,os de ser)icio>

!n'resos> 5% 6$3 #$ #$% 124% $45 132% 12%% 135% #% #65 $46 1%5% #3%

7,os de 4 3 4 4 6 5 # 6 4 5 6 6 5er)icio

!n'resos > 156% 145% 1%%% 123% 15%% 16#% $#4 $6% 13#% 14%% 16%% 12#47,os de > 1% 12 1% 14 12 16 1% $ 13 2% 1# 14

!n'resos > 132% 1245 $65 #45 6% #$6 13%% #4% 3% 645 $# 162% 14% #4%7,os de > 15 1 12 14 11 1% 1# $ # 4 6 22 24 #er)icio

!n'resos > 135% 1%%% 112% 1%4% 1%#% 16%% 15% 1#%% $6% #3% $ 112%7,os de 16 1% 14 12 11 22 2% 2# 2% 12 14 15er)icioConstruir tablas de frecuencias bidi"ensionales para anali*ar los datos.

4. Para la tabla de frecuencias absolutas bidi"ensionales del proble"a anterior= calcularel pro"edio = la )arian*a la des)iación estándar.


78/103

CAPITULO VI :

PROBABILIDADES

.!. EQp&)6&-+ a/&a+)+: &s a+uel cuos resultados dependen del a*ar.


79/103

.2. P(-+ 6(&,)a/: (iene a ser cada uno de los resultados de un

e:peri"ento.

E?&6. Cuando se lan*a una "oneda= e:isten dos puntos "aestrales> cara= sello.

.". E,pa'+ 6(&,)a/ @S: (iene a ser todos los resultados posibles de un

e:peri"ento.

&0e". i se arro0a una "oneda> S N { C= }

&0e". i arro0a"os dos "onedas> S N { CC= C= C= }

&0e". i arro0a"os un dado> S N { 1= 2= 3= 4= 5= 6 }

.4. S('&,+ + &8&-+: (iene a ser un subcon0unto del espacio "uestral

9puede ser

i"ple o co"puesto..4.!. &)ento i"ple> &s a+uel +ue consta de un solo punto "uestral.

.4.2. &)ento co"puesto> &s a+uel +ue consta de dos o "ás puntos "aestrales.

&0e". i arro0a"os un dado> N { 1= 2= 3= 4= 5= 6 }

ucesos o e)entos si"ples> &1 N \1] &2 N \2] &3 N \5]

ucesos o e)entos co"puestos> &1 N \1= 3] &2 N \1= 4= 5]

7 los sucesos o e)entos se les puede si"boli*ar con cual+uier letra.

.5. S('&,+, 6((a6&-& &Q'/(&-&,: Dos sucesos 7 son "utua"entee:cluentes si> 7W N ¬ . &0e". 7 N \1= 3= 5] N \2= 4= 6]= entonces c se puede )er= la intersección es i'ual al con0unto nulo o )acío

.. S('&,+, '+6p/&6&-a)+,: Dos sucesos son co"ple"entarios= cuando

la ocurrencia de uno i"plica la no ocurrencia del otro.

&0e". i arro0a"os un dado> N \1= 2= 3= 4= 5= 6].

tene"os los e)entos & N \ 1 = 2= 3= 4 ] &^ N \ 5= 6 ]= entonces estos

e)entos son co"ple"entarios.

.7. D&3-'- *& p)+1a1/*a*: i un e:peri"ento puede ocurrir en nE

posibles resultados "utua"ente e:cluentes si " de estos resultados

constituen el e)ento &= entonces= la probabilidad del e)ento & esta dado por> P

@&A N "[n.

a probabilidad del co"ple"ento del e)ento esta dado por>

P @&^A N 1 H P @&A

&0e". i arro0a"os un dado> N \1= 2= 3= 4= 5= 6] sea los e)entos>

&1 N \1= 2]= entonces P @&1A N 2[ 6 N %.5


80/103

&2 N \3= 4= 5= 6]= entonces P @&2A N 4[6 N %.6.

&0e". e tiene 6 !n' !nfor"áticos = # in'. Ci)iles 2 in'. !ndustriales

a. KCuál es la probabilidad de ele'ir un in'. !nfor"ático

b. KCuál es la probabilidad de ele'ir un !n'. Ci)il

c. KCuál es la probabilidad de ele'ir un !n'. !nfor"ático

olución>

a. P @GA N 6[16 N %.3#

b. P @ 7 A N #[ 16 N %5%

c. P @ ( A N 2[16 N %.13

.#. D&3-'-: ea E un espacio "uestral sea &E un e)ento cual+uiera=

perteneciente al espacio "uestral E= entonces se cu"ple +ue>

a. % W P @ E W !

b. P @ S !

a parte a= si'nifica +ue toda probabilidad de un e)ento sie"pre )aría entre cero

uno.

a parte b= si'nifica +ue sie"pre la probabilidad de un espacio "uestral es i'ual

a la unidad

.9. R&g/a, *& P)+1a1/*a*:

a. R&g/a *& /a A*'- + *& /a S(6a: ean 7 dos e)entos pertenecientes al

espacio "uestral = entonces se cu"ple +ue >

P@7UA N P@7A O P@A H P@7WA

&0e". e tiene 5 in'. !nfor"áticos= in'. Ci)iles 2 in'. +ue tienen a"bos

títulos. e eli'e un in'. Cuál es la probabilidad de +ue el in'. ele'ido sea

!nfor"ático o ci)il

olución> Con una letra si"boli*are"os a los e)entos>

!n'. !nfór"aticos> ! = !n'. Ci)iles> C = entonces aplica"os la re'la>

P@! U CA N P@!A O P@CA H P@!WCA P@/ U 8A N 5[14 O [14 H 2[14 N 1%[14 N %.1

&0e". &n la 8acultad de !n'eniería de una uni)ersidad se tiene 2% !n'enieros>

14 son !n'. !nfor"áticos de los cuales 11 tienen 'rado de "aestría 3 tienen

doctorado . 6 son !n'. !ndustriales= de los cuales 4 tienen 'rado de "aestría


81/103

2 tienen doctorado. e eli'e un !n'. al a*ar KCual es la probabilidad de +ue el

in'. ele'ido sea !n'. !nfor"ático o +ue ten'a 'rado de "aestría

olución> os datos )a"os a colocar en una tabla de dos entradas puesto +ue

en el proble"a tene"os dos )ariables @especialidad 'rado acad"ico A.

ue'o con una letra )a"os a si"boli*ar a los e)entos.

&specialidad

/rado 7cad"ico

--7Maestría

@CA

Doctorado

@DA

!n'. !nfór"ático

@7A11 3 14

!n'. !ndustrial

@A4 2 6

--715 5 2%

P@7 U CA N P@7A O P@CA H P@7WCA

P@ 7U A N 14[2% O 15[2% H 11[2% N 1#[2% N %.$%

1. R&g/a *& /a A*'- pa)a ,('&,+, -*&p&-*&-&,: ean 7 dos e)entos

independientes pertenecientes al espacio "uestral E= entonces se cu"ple +ue>

P@7UA N P@7A O P@A.

&0e". &n el aula 7 de una uni)ersidad se tiene 1# alu"nos )arones # alu"nas

"u0eres. e eli'e un alu"no K cual es la probabilidad de +ue el alu"no ele'ido sea

ea G alu"nos

P@GUMA N 1#[26 O #[26 N 1.


82/103

'. R&g/a *& /a P)+1a1/*a* C+-*'+-a/

ean 7 dos e)entos pertenecientes al espacio "uestral E = con P@A X % =entonces se cu"ple +ue> P@7[A N P@7WA[ P@A.

&0e". -o"are"os los datos de la tabla anterior. KCuál es la probabilidad de +ue el

profesional ele'ido sea !n'. !ndustrial dado +ue ten'a 'rado de doctor

P@[DA N P@WDA[P@DA N2%5

2%2

X

X N 2[5 N %.4%

*. R&g/a *& /a 6(/p/'a'-:

ean 7 dos e)entos pertenecientes al espacio "uestral E = entonces se cu"ple

+ue > P@7WA N P@7A P@[7A.

&0e". &n un curso de pro'ra"ación= 22 alu"nos aprobaron el curso 1%

desaprobaron. e e:traen dos alu"nos= uno tras otro sin reposición KCuál es la

probabilidad de +ue el pri"er alu"no ele'ido el se'undo

ea 7 = alu"nos aprobados sea D= alu"nos desaprobados= entonces

P@71W72A N P@71A P@72[71A= re"pla*ando )alores se tiene>

P@(WGA N 22[32V 21[31 N 462[$$2 N %.4

&. R&g/a *& /a 6(/p/'a'- pa)a ,('&,+, -*&p&-*&-&,

ean 7 dos sucesos independientes pertenecientes al espacio "uestral E=

entonces se cu"ple +ue > P@7WA N P@7A P@A

&0e" e tiene dos 'rupos de alu"nos= 7 +ue lle)an el curso de "ate"áticas. &n el'rupo 7 se tiene 32 alu"nos aprobados 1% desaprobados. &n el 'rupo se tiene 36

alu"nos aprobados # desaprobados . e e:trae un alu"no del 'rupo 7 lue'o un

alu"no del 'rupo . Cual es la probabilidad de +ue el pri"er alu"no ele'ido


83/103

( )

( )∑=

=

n

i 3i

8 ' 3i '

3i

8 ' 3i '

8

3i '

1

&0e". &n una e"presa 7 se tiene 1% obreros = 1# e"pleados 5 e0ecuti)os. &n la sala

= se tiene 13 obreros =25 e"pleados 4 e0ecuti)os. &n la e"presa C= se tiene #

obreros= 14 e"pleados 3 e0ecuti)os e eli'e una e"presa se e:trae un traba0ador= el

"is"o +ue resulto +ue era e"pleado. Cual es la probabilidad de +ue el traba0ador

ele'ido proceda de la e"presa>

a. 7

b. c. C

olución

i"boli*are"os con = a los obreros con &= a los e"pleados con &0. a los

e0ecuti)os. 7

aA ( ) ( ) ( )AX@A@AX@A@AX@A@

X

( E ( - E - ) E )

) E )

E )

++=

( ) 32%

5

14

126

25

$$

1#$$

1#

25

14

3

1

42

25

3

1

33

1#

3

1

33

1#

3

1

.=++

=

+

+

= E

)

bA ( ) ( ) ( )AX@A@AX@A@AX@A@

X

( E ( - E - ) E )

- E -

E -

++=

( ) 35%

5

14

126

25

$$

1##425

25

14

3

1

42

25

3

1

33

1#

3

1

4225

31

.=++

=

+

+

= E

-

cA ( ) ( ) ( )AX@A@AX@A@AX@A@

X

( E ( - E - ) E )

( E (

E (

++=


84/103

( ) 33%

5

14

126

25

$$

1#1%#

14

25

14

3

1

42

25

3

1

33

1#

3

1

25

14

3

1

.=++

=

+

+

= E

(


85/103

.!%. Ea. Cuatro electores ele'idos al a*ar deben e:presar su opinión fa)orable ocontraria a un deter"inado proecto.

b. Un e:peri"ento consiste en seleccionar tres libros de un proceso deelaboración obser)ar si son defectuosos o no.c. e lan*an dos dadosd. e lan*an cuatro "onedas.

2. Con respecto a los electores del proble"a ;I 1 @aA=cual es la probabilidad deobtener>

a. &:acta"ente 3 electores con opiniones fa)orables sobre el proecto. b. 7 lo "as dos electores con opiniones fa)orables sobre el proecto.

2. e reali*o una e)aluación de su estado nutricional de 56 alu"nos de un centro

educati)o = obtenindose los si'uientes resultados> &l estado nutricional de 2%alu"nos fue nor"al= de los cuales 6 tu)ieron una edad de 6 a a,os # de # a $a,os. 1 presentaron desnutrición le)e= de los cuales 4 presentaron edades de 1%a 11 a,os de # a $ a,os. 12 presentaron desnutrición "oderada= de los cuales5 presentaron edades de 6 a a,os 3 de 1% a 11 a,os. presentarondesnutrición se)era= de los cuales 3 presento edades de 6 a a,os 2 de # a $a,os. e eli'e un alu"no= cual es la probabilidad de +ue>

a. Presente desnutrición le)e o +ue ten'a una edad de 6 a a,os. b. Presente desnutrición se)era +ue ten'a una edad de # a $ a,os.c. Presente desnutrición "oderada dado +ue ten'a una edad de 1% a 11

a,os.

3. e lan*an dos dados= cual es la probabilidad de +ue>a. a su"a +ue aparece sobre los dados sea un n?"ero par.

b. &l pri"er resultado sea un n?"ero "enor +ue 3 el se'undo un n?"eroi"par.

4. &l centro educati)o 1%21= cuenta con 1% profesores de física %# de +uí"ica. &lcentro educati)o 113%= cuenta con 14 profesores de física 6 de +uí"ica. etraslada un docente del C.&. ;I 1%21 al centro educati)o ;I 113% lue'o see:traen 2 docentes de este centro educati)o= uno tras otro sin reposición. Cuáles la probabilidad de +ue>

a. &l pri"er docente e:traído sea de física el se'undo ta"bin. b. &l pri"er docente e:traído sea de la especialidad de física el se'undo

de ciencias +uí"icas.

5. &n un aula 7

a. Del aula 7. b. Del aula .c. Del aula C.


86/103

6. &n el aula 7 estudian= 25 alu"nos


87/103

CAPITULO VII

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD


88/103

7.!. DISTRIBUCI=N BINOMIAL

&s una distribución de )ariable discreta +ue trata de una serie de pruebas

repetidas e independientes donde a cada resultado se le puede clasificar

@arbitraria"enteA en dos cate'orías "utua"ente e:cluentes> :itos fracasos=co"o por e0e"plo "ac


89/103


5855050

585

8 −

−= A.@A.@

A`@`

À@ x :

5855050

35

5678 −

= A.@A.@``VVV

A@ x :

A.A@.@A@ 125003125056= x :

220.A@ = x :

bA B N 6= = #

888787585 5050888

85050787

85050686

8 −−−−

+−

+−

= A.@A.@A`@`

À.@A.@A`@`

À.@A.@A`@`

À@ x :

0030030220 ...A@ ++= x :

2530.A@ = x :

cA B N %= 1= 2

2821810805050

282

85050

181

85050

080

8 −−−

−+

−+

−= A.@A.@

A`@`

À.@A.@

A`@`

À.@A.@

A`@`

À@ x :

10900313000390 ...A@ ++= x :

1440.A@ = x :

&0e"plo 2. &l 2%R de los alu"nos +ue lle)an un curso de "ate"áticas están

desaprobados. e eli'e una "uestra de 12 alu"nos. Cual es la probabilidad de

+ue>

aA &:acta"ente 3 alu"nos estn desaprobados bA Por lo "enos 1% alu"nos estn desaprobados

cA 7 lo "ás 1 alu"no


90/103

aA : N 3

3123800200

3123

12 −

−= A.@A.@

A`@`

À@ x :

240.A@ = x :

bA : N 1%= 11= 12

1112111012100

121212

12800200

111211

12800200

101210

12 −−

−+

−+

−= .@

A`@`

À.@A.@

A`@`

À.@A.@

A`@`

À@ x :

2061500687190 ..A@ += x :

27490.A@ = x :

7.2. DISTRIBUCI=N DE POISSON

&s una distribución discreta= donde la ocurrencia de los e)entos son

independientes. &sta distribución se e"plea cuando recuentan los e)entos o

cantidades= distribuidas al a*ar en espacio o tie"po.

i B es el n?"ero de ocurrencias de al'?n e)ento aleatorio en un inter)alo de

espacio o tie"po @o al'?n )olu"en de "ateriaA= la probabilidad de +ue B ocurraesta dada por>

À@

x

e x :

xλ

λ −= = : N %= 1= 2= 3

Donde>

λ N es el ;S pro"edio de ocurrencias del e)ento aleatorio dentro del inter)alo

de espacio o tie"po @)olu"enA

e N 2.1#3 es una constante

Media N (arian*a N


91/103

&&M. Parte de una )ía pa)i"entada por una co"pa,ía 7 reciente"ente= tu)o

en pro"edio= dos fallas por W". Despus de

aA &n %.5 c"3

bA &n 1 c"3


92/103

UC!;

4=λ por c"3 de li+uido

a &n %.5 c"3

⇒ 2

=λ

por %.5 c"3

de lí+uidoB N %

f @B N %A N

−

`

A@A.@

0

671832 02

f @B N %A N %.1353

" &n 1 c"3 ⇒ 4=λ = : N %

f @B N %A N

−

`

A@A.@

0

471832 04

f @B N %A N %.%1#3

7.". DISTRIBUCI=N NORMAL

&s una distribución de )ariable continua "u utili*ada en traba0o de

in)esti'ación= fue descubierta por /7U. e conoce ta"bin con el no"bre de

Cur)a de /7U presenta las si'uientes características>

1. a "aor frecuencia se ubica en el centro

2. &l pro"edio @uA= la "oda @MdA la "ediana @MeA coinciden

3. &s una cur)a si"trica= donde e área o probabilidad ba0o la cur)a es i'ual a 1

o al 1%%R

4. os e:tre"os de la cur)a se acercan al e0e


93/103

321***

2

2

2

2

1σ

σ π

A@

A@

* x

e x :

−−

=

donde ∞


94/103

321 σ σ σ

&l área co"prendida entre σ σ +− * y* es apro:i"ada"ente 6#.26R del área total.

&l área co"prendida entre σ σ 22 +− * y* es apro:i"ada"ente $5.4R del área

total.

&l área co"prendida entre σ σ 33 +− * y* es apro:i"ada"ente $$.R del área

total.

a esperan*a la )arian*a de una )ariable aleatoria con distribución nor"al es>

2σ == A@A@ x6 y* x

2

21

0

2

1 −=∫ π

Pero co"o e:isten tablas +ue proporcionan los resultados de las inte'raciones= no es

necesario reali*ar la inte'ración.


95/103

a tabla +ue utili*are"os nos da las áreas ba0o la cur)a nor"al a partir del centro de la

cur)a


96/103

bA Calcular> A..@ 582251 ≤≤= > '

%.4$51 H %.3$44 N %.1%%

& Calcular A.@ 451≥ > '

%.5 H %.4265 N %.%36

d Calcular> A..@ 950152 −≤≤ > '

393420.

3−= > 2−= > 1−= > 0= > 3= > 2= > 1= >

49510.

4260.

3−= > 2−= > 1−= > 0= > 3= > 2= > 1= >

50.


97/103

4870.

3−= > 2−= > 1−= > 0= > 3= > 2= > 1= >

50.

%.4#42 H %.32#$ N 1.1553

dA Calcular> A.@ 252−≤ > '

%.5 H %.4## N %.%122

E?&6. &l coeficiente de inteli'encia de un 'rupo de alu"nos tiene apro:i"ada"ente

una distribución nor"al con un punta0e pro"edio de 1%% una des)iación estándar

de 1%.5. &ncontrar>

aA a proporción de alu"nos con coeficientes de inteli'encia "aores +ue12%

3280.

3−= > 2−= > 1−= > 0= > 3= > 2= > 1= >

48420.


98/103

bA a proporción de alu"nos con coeficientes de inteli'encia "enores +ue

115

cA a proporción de alu"nos con coeficientes de inteli'encia entre 114

124dA i el ;I total de alu"nos es 1#%= Cual es el n?"ero de alu"nos +ue

tienen coeficiente de inteli'encia entre 114 124

SOLUCI=N

Datos>

µ N 1%%

Z N 1%.5

a B N 12%

abe"os +ueσ

µ −= X

.

e"pla*ando )alores se tiene>

$%1

51%

1%%12%

.

.

=

−=

.

.

%.5 H %.413 N %.%2#

" B N 115

413%.

3−= > 2−= > 1−= > 0= > 3= > 2= > 1= >

%.5


99/103

.=51%

1%%115

.

−

. = 1!43

%.5 O %.4236 N %.$236

cA B1 N 114 B2 N 124

*1 N51%

1%%114

.

− *2 N

51%

1%%124

.

−

*1 N 1.33 *2 N 2.2$

4236%.

3−= > 2−= > 1−= > 0= > 3= > 2= > 1= >

3−= > 2−= > 1−= > 0= > 3= > 2= > 1= >

%.5

%.4%#2

%.4#$%


100/103

%.4#$% 9 %.4%#2 N %.%#%#

dA Qa sabe"os +ue la probabilidad ante 114 124 a,os es %.%#%#= entonces el ;S de

alu"nos será> 1#%: %.%#%# N 14.54

7.5. DISTRIBUCION C;I CUADRADO

&s una prueba no para"etrica +ue se utili*a para deter"inar la asociación entre

)ariables. a fór"ula es la si'uiente>

χ2 N( )

e

eo

/

/ / ∑ − 2

&0e". 7 un 'rupo de 132 alu"nos se les ense,ó la "ate"ática por tres "todos != !!

!!!. Por el "todo ! se ense,o a 35 alu"nos de los cuales 25 aprobaron. Por el "todo !!

se ense,o a 4 alu"nos= de los cuales 12 desaprobaron. Por el "todo !!! se ense,o a 5%

alu"nos = de los cuales 42 desaprobaron . Pruebe la

Go> os "todos de ense,an*a no están asociados al rendi"iento de los alu"nos

G1> os "todos de ense,an*a si están asociados al rendi"iento de los alu"nosee"pla*ando en la for"ula>

χ2 N( ) ( ) ( )

3611

3611#

3236

323635

%52

%5225 222

.

............

.

.

.

. −++

−+

−

χ2 N 2.1# (alor calculado

7


101/103

(alor de la tabla> χ2%.$5=@c91A@f91A N χ2%.$5=1:2 N χ2%.$5=2 N 5.$$

Conclusión> 7cepta"os Go

7.. E


102/103

6. Un in'eniero de transito desea dise,ar un siste"a de control de tráfico. &sti"a +ue el

n?"ero "edio de auto"ó)iles por "inuto +ue lle'an a una intersección es de 2. Lue

probabi

estadistica unprg

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