PROFESSOR : BRUNO DO VALE SILVA DISCIPLINA: ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES III - 2012 /1

Método dos Deslocamentos (Matricial) – Viga Biengas tada

10 kN

5 m 8 m

Dados: Seção Transversal

Módulo de Elasticidade E = 25 GPa → Concreto

RESOLUÇÃO 1º Passo: Nomear os nós, barras e os graus de liberdade ( u1,u2...).

2

u4

u3

u6

u5

1

u2

u1

3

Trecho Nós L (m)

1 1 -- 2 5

2 2 -- 3 8 O motivo de colocar o nó 2 é determinar os deslocamentos e esforços onde a força está concentrada. Salientando-se que existe apenas 1 barra e 2 segmentos.

30 cm

80 c

m

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2º Passo: Determinar a matriz rigidez para cada barra [K1 e K2]. a) Propriedades da estrutura: Módulo de Elasticidade: � = 25GPa = 25 × 10�kN/m� Momento de Inércia (seção retangular):

� =� × ℎ�

12=

0,3 × 0,8�

12= 0,0128m�

b) Obter a Matriz rigidez de cada segmento de barra :

12EI

L�

6EI

L� −

12EI

L�

6EI

L�

[K] = 6EI

L�

4EI

L −

6EI

L�

2EI

L

−

12EI

L� −

6EI

L�

12EI

L� −

6EI

L�

6EI

L�

2EI

L −

6EI

L�

4EI

L

Matriz Rigidez da Barra 1 [K1]

1 2 3 4

30720 76800 -30720 76800 1

76800 256000 -76800 128000 2

-30720 -76800 30720 -76800 3

76800 128000 -76800 256000 4

Matriz Rigidez da Barra 2 [K2]

3 4 5 6

7500 30000 -7500 30000 3

30000 160000 -30000 80000 4

-7500 -30000 7500 -30000 5

30000 80000 -30000 160000 6

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3º Passo: Determinar a matriz rigidez global. Matriz Rigidez Global da Estrutura [KG]

1 2 3 4 5 6

30720 76800 -30720 76800 0 0 1

76800 256000 -76800 128000 0 0 2

-30720 -76800 38220 -46800 -7500 30000 3

76800 128000 -46800 416000 -30000 80000 4

0 0 -7500 -30000 7500 -30000 5

0 0 30000 80000 -30000 160000 6

Para facilitar a resolução separar a matriz global por bandas, ou seja, colocar os graus de liberdade com deslocamentos livres no canto superior esquerdo da matriz global. Matriz Rigidez Global da Estrutura - Separada por b andas Separando a matriz [K D] e a [K R]

3 4 1 2 5 6

38220 -46800 -30720 -76800 -7500 30000 3

-46800 416000 76800 128000 -30000 80000 4

-30720 76800 30720 76800 0 0 1

-76800 128000 76800 256000 0 0 2

-7500 -30000 0 0 7500 -30000 5

30000 80000 0 0 -30000 160000 6

4º Passo: Obter os deslocamentos Nodais

Separar a matriz rigidez com deslocamentos livres [KD].

3 4

38220 -46800 3

-46800 416000 4

Inverter a matriz rigidez com deslocamentos livres [KD]-1.

3 4

3,03444E-05 3,4137E-06 3

3,41375E-06 2,7879E-06 4

Designar o vetor cargas {P}:

-10 3

0 4

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Portanto para obter os deslocamentos nodais {D}, basta multiplicar a inversa da matriz com deslocamentos livres [KD]-1 pelo vetor cargas {P}. Lembrando que u3, é deslocamento linear e está em metros e o u4 é um giro e está em radianos. Os deslocamentos que estão com sinal negativo indicam que estes estão no sentido contrário da convenção de sinais do método.

D" = #K%&'( × P"

-3,034E-04 3

-3,414E-05 4

5º Passo: Obter as reações nos apoios

Separar a matriz das reações [KR].

3 4

-30720 76800 1

-76800 128000 2

-7500 -30000 5

30000 80000 6

Para obter os as reações nos apoios, basta multiplicar a matriz das reações [KR] pela matriz com os deslocamentos nodais obtida no item anterior.

R" = #K*& × D" Para obter os as reações nos apoios, basta multiplicar a matriz das reações pelo vetor com os deslocamentos nodais {D} obtido no item anterior. Lembrando que u1, u2 , u10 e u11 são forças e estão em kN e u3 e u12 são momentos e estão em kN.m. Os deslocamentos que estão com sinal negativo indicam que estes estão no sentido contrário da convenção de sinais do método.

6,70005 1

18,93491 2

3,29995 5

-11,83432 6

6º Passo: Obter os esforços em cada barra e desenhar os diagramas de esforço cortante e momento fletor. a) Para obter os esforços nas barras basta multiplicar a matriz rigidez de cada barra pelo respectivo vetor de deslocamento nodal. E lembrar de Inserir zero no vetor de deslocamento nodal quando o grau de liberdade for fixo.

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Reações na Barra 1

R(" = #K(& × D("

[K1]

1 2 3 4

30720 76800 -30720 76800 1

76800 256000 -76800 128000 2

-30720 -76800 30720 -76800 3

76800 128000 -76800 256000 4

{D1}

{R1}

0 1

6,70 1

0 2

18,93 2

-3,034E-04 3

-6,70 3

-3,414E-05 4

14,57 4

Reações na Barra 2

R�" = #K�& × D�"

[K2]

3 4 5 6

7500 30000 -7500 30000 3

30000 160000 -30000 80000 4

-7500 -30000 7500 -30000 5

30000 80000 -30000 160000 6

{D2}

{R2}

-3,034E-04 3

-3,30 3

-3,414E-05 4

-14,57 4

0 5

3,30 5

0 6

-11,83 6

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b) Para obter os diagramas deve-se designar os esforços obtidos no item anterior aos respectivos graus de liberdade de cada barra. Lembrando de adotar o sentido positivo dos sinais do método.

Diagrama de Esforço Cortante: Para obter este diagrama separa-se os graus de liberdade responsáveis por este esforço (u1, u3 e u5).

Diagrama de Momento Fletor: Para obter este diagrama separa-se os graus de liberdade responsáveis por este esforço (u2, u4 e u6).

2

u4

u3

u6

u5

1

u2

u1

3

14,57

6,70 3,30

18,93

6,70 3,30

14,57 11,83

1 2

6,70 3,306,70 3,30

3,30

6,70+

-

14,5718,93 14,57 11,83

18,93

14,57

11,83

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7º Passo: Conferir os resultados no FTOOL. (Two-dimensional Frame Analysis Tool) → https://web.tecgraf.puc-rio.br/ftool/

Diagrama de Esforço Cortante

Diagrama de Momento Fletor

Deformada e reações de apoio