esquema semejanza de triángulos
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Teorema de Thales
CASOS DE SEMEJANZA
A
B
C
D
E
F A
B
C
D
E
F
AB es homólogo de EDBC es homólogo de DFAC es homólogo de EF
Dos ángulos congruentes
A
B
C
D
E
F
Un ángulo congruente y los lados que lo forman son proporcionales
Sus tres lados proporcionales
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
DE
DF
AB
ACEF
DE
BC
AB
Lados homólogos
DFAC
DEAB
DF
AC
EF
BC
DE
AB
Problemas de Contexto
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SEMEJANZA
• Dos figuras que tienen la misma forma, aun con diferentes dimensiones, se llaman semejantes.
• Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales.
• Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman homólogos.
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SEMEJANZAFiguras semejantes: Planos
Dos figuras del plano son semejantes si los
cocientes de los segmentos
determinados por pares cualesquiera de
puntos correspondientes son
iguales.
es la razón de semejanza
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SEMEJANZA
Teorema de Tales
Toda recta paralela a un lado de un triángulo, que corta a los otros dos lados, determina un triángulo semejante al grande.
Los triángulos ABC y AB'C' son semejantes
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SEMEJANZA .
Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los ángulos iguales.
El cocientea b c
ka ' b ' c '
se llama razón de semejanza.
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SEMEJANZA .
Primer criterio de semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
A B
C
A' B'
C'
• Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes.
• Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por tener un lado igual y los ángulos iguales.
• Por tanto ABC A'B'C'. ( “ ” es semejante ).
A = A‘ y B = B‘ C = C'
A' B'
C'
B''
C''
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SEMEJANZA .
Segundo criterio de semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.
• Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes.
• Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por tener un lado igual y ser los lados de ambos proporcionales a los del triángulo A'B'C' con la misma razón de proporcionalidad.
• Por tanto ABC A'B'C'.
A B
C
ab
c A' B'
C'
b'
c'
a'
a ' b ' c '
a b c
A' B'
C'
B''
C''
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SEMEJANZA
6.3 – Tercer criterio de semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.
• Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes.
• Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por tener dos lados proporcionales con la misma razón de proporcionalidad y el ángulo comprendido igual.
• Por tanto ABC A'B'C'.
A B
C
ab
c A' B'
C'
b'
c'
a'
y A A' b' c'
b c
A' B'
C'
B''
C''
c
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SEMEJANZA: PROBLEMAS
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C D
E
5. Problema del contexto: Calcular BC, si AB =BC, BE=6, ED=4
A
6
4
x x
m<ADB
2/2=m<ADB
=m<ADB
Los triángulos ABE y ABD son semejantes:
A
B
E
6
x
A
B
D
x
152
15.4
60
60
6
102
x
x
x
x
x
x
Rpta: 2 raíz cuadrada de 15
B
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6. Problema de contexto:
Una fotografía tiene por dimensiones 15cm y 9cm. En una fotocopiadora se hace una copia de área 170,5cm2. Determinar las dimensiones de la nueva fotografía.
15cm
9cm
Entonces:
15k.9k=170,5 (Área de la copia)
135k2=170,5
K2=170,5/135
K2= 1,2629
K=1,1238 (aproximadamente)
Por lo tanto las dimensiones de la copia de la fotografía serán:
15k=15(1,1238)= 16,857 cm.
9k= 9(1,12389=10,1142 cm.
Solución:
Respuesta: La copia tiene las dimensiones de 16,857 y 10,1142 aproximadamente.
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7. Un terreno tiene la forma de un triángulo isósceles, cuya base mide 20m y la altura 30m. Determina su perímetro del triángulo que se obtiene al unir los puntos medios de sus lados.
20
30
a
a
a
a
10 10
M N
P
Si M,N,P son puntos medio y los segmentos MN, NP, MP, son segmentos que unen los puntos medio, entonces, estas son paralelas a sus lados opuestos y
Por ejemplo: MN=20/2
A
B
El triángulo APB es rectángulo, donde :A
P B
30
10
Por pitágoras:
302+102=(2a)2
900+100=4a2
1000=a2
4
a2=250
105
250
a
a
MN+NP+PM=Perímetro
10+ + =Perímetro
=Perímetro
=Perímetro
105 105
)101(10
101010
Respuesta: El perímetro del triángulo que se obtiene al unir los puntos medios es .)101(10 m
C