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Esperienza 13: il Tubo di Kundt

a.a. 2011/2012

Laboratorio di Fisica 1 (Modulo 2) A. Baraldi, M. Riccò

Copyright M.Solzi

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1: L

abor

ator

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1: E

sp.

13:

il Tu

bo d

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dt

Onde progressive

( , ) ( )y x t f x vt= −

( , ) ( )y x t f x vt= +

Lungo +x

Lungo -x

( , ) ( ) ( )y x t f x vt f x vt= + + −Interferenza

Es.

02

0

( )

1

yf xxx

=

+

x x vt→ −

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dt Riflessione e trasmissione

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dt

Onde armoniche

2sinmy y xπλ

=

x x vt→ −

2sin ( )my y x vtπλ

= −

Tvλ

=2k πλ

=2Tπω =

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dt

Equazione delle onde

( , ) sin( )y x t A kx tω= −

[ ]sin( ) cos( )y A kx t A kx tt t

ω ω ω∂ ∂= − = − −

∂ ∂

[ ]2

22 cos( ) sin( )y y A kx t A kx t

t t t tω ω ω ω∂ ∂ ∂ ∂

= = − − = − −∂ ∂ ∂ ∂

22 2 2 2

2 sin( ) ( , )y v k A kx t v k y x tt

ω∂= − − = −

∂

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dt

Equazione delle onde

[ ]sin( ) cos( )y A kx t kA kx tx x

ω ω∂ ∂= − = −

∂ ∂

[ ]2

22 cos( ) sin( )y y kA kx t k A kx t

x x x xω ω∂ ∂ ∂ ∂

= = − = − −∂ ∂ ∂ ∂

22

2 ( , )y k y x tx

∂= −

∂

22 2

2 ( , )y v k y x tt

∂= −

∂

2 2

2 2 2

1y yx v t

∂ ∂=

∂ ∂

Eq. delle onde (lineare)

1 soluzioney

2 soluzioney1 2 soluzioney y+

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Le onde stazionarie

( )1 siny A kx tω= −

( )2 siny A kx tω= +

( ) ( )1 2 sin siny y y A kx t A kx tω ω= + = − + +

sin sin 2sin cos2 2

α β α βα β + − + =

( ) ( )( , ) 2 cos siny x t A t kxω=

(0, ) 0 ( , ) 0y t y L t= =

2n

Ln

λ =

/2nF

nL

µν

=

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Obiettivi dell’esperienza

Studio delle onde stazionarie in una colonna d’aria Determinazione della velocità del suono nell’aria

Ricostruire il profilo dell’onda sonora Trovare la costante adiabatica γ e confrontarla con il

valore di gas perfetto pari a 1.4

Il Tubo di Kundt è un cilindro all’interno del quale vengono fatte propagare onde sonore

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Velocità del suono in aria

Nell’ipotesi di gas perfetto la propagazione delle onde sonore lungo l’asse del tubo è descritta da:

Velocità del suono in un gas (processo adiabatico):

10

( ) ( )2

2

22

2 ,1,t

txvx

tx∂

∂=

∂∂ ξξ

ξ(x, t)

x

ρp

ρadiab γβ

==v γ= cp/cv

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Variazione con la temperatura della velocità del suono in aria

Relazione empirica che fornisce il valore della velocità del suono in aria a diverse temperature:

Relazioni tra la velocità dell’onda, la frequenza e la lunghezza d’onda:

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( )[ ] smCT /607.05.331 °+=v

νλ

λ

⋅=

=

v

vT

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Onda di pressione e di densità

All’onda di spostamento si accompagna sempre un’onda di pressione Propagazione dell’onda di pressione

sfasata di π/2 rispetto all’onda di spostamento Soddisfa all’equazione

Perturbazione della densità:

12

2

2

2

2

xp

tp

∂∂

=∂∂

ρβ

2

2

2

2

xt ∂∂

=∂∂ ρ

ρβρ

( ) ( )x,t x,tp

x xp

ξ ξβ γ

∂ ∂∆ = − = −

∂ ∂

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Onde armoniche di spostamento e di pressione

Consideriamo il caso di onde armoniche:

Caso particolare: onde sonore stazionarie I valori di λ (e di conseguenza di ω= 2πν/λ) ai quali

corrispondono onde stazionarie nel tubo dipendono dalle condizioni al contorno dell’esperimento

13

( ) ( )tkxξtx, ωξ −= cos0

( ) ( )0 0p x,tξ sen kx t ξ cos kx t2

p p πγ ω γ ω ∆ = − − = − +

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Tubo aperto ad entrambi i lati

Condizioni al contorno:

Da cui segue:

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Variazione di pressione

( ) ( ) ( ) ( ) 0,,0,,0 0 =∆=∆⇒== tLptpptLptp

n n n2 n n n 1,2,3,...n 2L LLλ ν ω π= = = =

vv

ν1=

ν2= =2ν1

ν3= =3ν1

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Tubo chiuso da un lato

Condizioni al contorno:

Da cui segue:

15

Variazione di pressione

( ) ( ) ( ) 0,0,0,0 0 =∆=∆⇒= tLtpptp ξ

n n n4 n n 1,3,5,...

4L 2LL nn

λ ν ω π= = = =v

v

ν1=

ν3= =3ν1

ν5= =5ν1

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Correzioni

Sono necessarie correzioni alle relazioni precedenti per tener conto del fatto che alle estremità non si hanno nodi o ventri ideali

Dipendenza da: Diametro del tubo D Frequenza delle onde sonore

Formule empiriche: Tubo aperto

Tubo chiuso

16

( )n

2n 1,2,3,...

n0.8DL

λ+

= =

( )n

4n 1,3,5,...

n0.4DL

λ+

= =

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dt

Microfono a condensatore

E’ composto da un condensatore a piatti piani paralleli posto ad una tensione costante fissa

Una delle due armature è fatta di materiale molto leggero ed è libera di muoversi

Ad una variazione di pressione questa armatura si muoverà variando la distanza tra le due armature e di conseguenza cambiando la capacità del condensatore

Poiché la tensione è fissa cambierà la carica sulle armature e si genererà un segnale in corrente poi amplificato

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NOTA: il microfono è un trasduttore di pressione

⇒Segnale max = ventre di pressione e nodo di spostamento e viceversa

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Frequenze di risonanza di un tubo

Regolare l’ampiezza del gen. di funz. finché non si ode un suono

Aumentare lentamente la frequenza sul gen. di funzione Ascoltare il suono e cercare i massimi relativi di

intensità: corrispondono ai modi di risonanza del tubo Si può anche usare l’oscilloscopio Regolare in modo fine la frequenza per trovare la frequenza

più bassa a cui avviene un max relativo

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Frequenze di risonanza di un tubo chiuso

Cercare almeno 5 frequenze di risonanza

Chiudere ora un’estremità del tubo Ripetere la ricerca dei massimi relativi dell’intensità

dell’onda sonora

Alla fine per ognuna delle due configurazioni: Dividere ognuna delle frequenze di risonanza per la

frequenza di risonanza più bassa: si trova una serie di numeri interi?

Se no: ricavare dai dati dove avrebbe dovuto essere la frequenza fondamentale

NOTA: Frequenza iniziale di output del gen. funz.: 100 Hz Oscilloscopio: sweep speed 5 ms/div; gain 5 mV/div

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Onde stazionarie in un tubo

Cercare il max relativo a frequenza inferiore Si usa un microfono in miniatura posizionabile lungo il tubo Intanto che il microfono viene spostato lungo il tubo prendere

nota delle posizioni che corrispondono a max e min del segnale Ripetere la procedura per almeno 5 differenti frequenze di

risonanza

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Onde stazionarie in un tubo

Inserire il pistone nel tubo almeno fino a dove si riesce a posizionare il microfono Trovare una frequenza di risonanza per questa nuova

configurazione del tubo Utilizzare il microfono per trovare i max e min Ripetere per differenti frequenza di risonanza

Per tutte le configurazioni: Ricavare la lunghezza d’onda delle onde stazionarie Conoscendo la frequenza ricavare la velocità del suono Descrivere la natura dell’onda vicino all’apertura del tubo e vicino

alla faccia del pistone 21

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Note

In generale il suono udito diventa più intenso al crescere della frequenza efficienza superiore di microfono e altoparlante

Tubo chiuso-aperto: Si è molto sensibili ai rumori esterni (il microfono non è

isolato nel tubo)

Tubo aperto-aperto: questa misura è ancora più difficile della precedente infatti si è molto sensibili ai rumori esterni (né il microfono

né l’altoparlante sono isolati all’interno del tubo)

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Lunghezza del tubo e modi risonanti

Posizionare il pistone all’estremità del tubo Regolare una frequenza di circa 800 Hz sul gen. di segnale Aumentare l’intensità fino ad udire un suono Introdurre lentamente il pistone nel tubo finché l’intensità

del suono non raggiunge un max (onda stazionaria)

Introdurre ulteriormente il pistone cercando tutte le posizioni che producono onde stazionarie Ripetere la procedura con diverse frequenze

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Misura della velocità del suono

Si può ricavare la velocità del suono misurando il tempo di percorrenza di un impulso sonoro che si propaga lungo il tubo riflettendosi alle estremità Sul gen. di funzione: onda quadra con freq. 10 Hz Aumentare lentamente l’intensità fino ad udire un suono

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Misura della velocità del suono

Regolare la sweep speed dell’oscilloscopio (s/cm) finché non si vedono i dettagli degli impulsi lungo un lato dell’onda quadra

serie di onde generate a causa dell’improvviso aumento di V seguita a breve distanza temporale da diverse serie di onde

simili: eco delle onde riflesse alle estremità del tubo

Misurare la distanza in tempo tra le diverse serie e la distanza tra altoparlante e faccia del pistone

Ripetere con una diversa posizione del pistone nel tubo

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