4. Espaço de Hilbert

Temos provado que Lp(X, µ) é um espaço Banach - um espaço completamente normado. A seguir irei discutir a classe dos espaços de Hilbert, uma classe especial dos espaços Banach, da qual L2(X, µ) é um exemplo padrão,em que a norma provem de um produto escalar(produto interno), justamente como ocorre no espaço Euclidiano.

Um produto escalar em um espaço vetorial V em é uma forma sesquilinear V × V ?

escrito (u, v), se u, v ∈ V. A parte ‘sesqui- ’ é justamente a linearidade na primeira variável (4.1) (a1u1 + a2u2, v) = a1(u1, v)+ a2(u2, v), anti- linearidade na segunda (4.2) (u, a1v1 + a2v2)= a1(u, v1)+ a2(u, v2) e a condição de conjunto (4.3) (u, v) = (v, u)

Observe que (4.2) segue a partir de (4.1) e (4.3). Se, além disso, supormos a condição de positividade8 (4.4) (u, u) = 0, (u, u) = 0 ⇒ u = 0, então (4.5) ||u|| =(u, u)1/2 é uma norma em V, como iremos ver.

Suponha que u, v ∈ V tem ||u|| = ||v|| = 1. Então (u, v)= ei? |(u, v)| para algum ? ∈ . Pela escolha de ?, e-i? (u, v) = |(u, v)| é real, portanto expandindo utilizando a

linearidade de s ∈ , 0 = (e-iθu - sv, e-iθu - sv)

= ||u|| - 2s Re e-iθ(u, v)+ s2||v||2 = 1 - 2s|(u, v)| + s2. O mínimo disso ocorre quando s = |(u, v)| é isto é negativo a menos que |(u, v)| =

1. Usando linearidade, e checando os casos triviais u = ou v = 0 mostra-se que (4.6) |(u, v)| = ||u|| ||v||, ∀ u, v ∈ V Isto é chamada de desigualdade de Schwarz9

Usando a desigualdade de Schwarz

||u + v||2 = .||u||2 +(u, v) + (v, u) + .||v||2 = (||u|| + ||v||)2 ⇒ ||u|| + ||v|| = ||u|| + ||v|| ∀ u, v ? ∈ V

que é a desigualdade do triangulo. Definição 4.1. Um espaço de Hilbert é um espaço de vetores de V com um produto escalar satisfazendo (4.1) -(4.4) que é completo como um espaço normalizado (ou seja ., é um espaço de Banach).

Portanto já mostramos que L2(X, µ)é um espaço de Hilbert para qualquer medida positiva µ. O produto interno ou escalar é (4.7) (f, g) = ∫X

dgf µ ,

e portanto a (4.3) fornece ||f||2. Uma outra importante identidade valida em qualquer espaço de produtos

escalares é a lei do paralelogramo: (4.8) ||u + v||2 + ||u – v||2 = 2||u||2 +2||v||2.

Isto pode ser usado para provar o básico “teorema da existência” na teoria do espaço de Hilbert. Lema 4.2. Seja C H,no espaço de Hilbert, fechado e convexo (ou seja, su + (1 - I)v ∈ C if u, v ∈ C e 0 < s < 1). Então C contém um único elemento de menor.. Prova . Podemos certamente escolher uma seqüência un ∈ C tal que

||un|| ? d = inf {||v||; v ∈ C}. Pela lei do paralelogramo,

||un – um ||2 = 2||un||2 + 2||um ||2 - ||un + um ||2 ≤ 2(||un||2 + ||um ||2) - 4δ2

onde usamos o fato que (un + um)/2 ∈ C e portanto deve ter uma norma de pelo menos d. Portanto {un}é uma seqüência de Cauchy, e portanto convergente pela hipótese de completividade de H. Então lim un = u ∈ C (pois é suposto fechado) e pela desigualdade do triangulo

| ||un|| - ||u|| | = ||un – u|| ? 0 Portanto ||u|| = d. A unicidade de u segue ainda a partir da lei do paralelogramo que mostra que se ||u’|| = d então

||u – u’|| = 2d2 – 4||(u + u’)/2||2 = 0.

O fato fundamental relativo ao espaço de Hilbert é que cada elemento v ∈ H define um funcional continuo linear por

H ∋ u ? (u, v) ∈ E inversamente todo funcional continuo linear provem desta forma. Proposição 4.3. Se L : H ? é um funcional continuo linear no espaço de Hilbert então este é um elemento único v ∈ H tal que (4.9) Lu = (u, v) ∀ u ∈ H, Prova. Considere o espaço linear

M = {u ∈ H ; Lu =0} 8Observe que (u, u) é real pela (4.3). 9Não tem ‘t’ neste Schwarz.

O espaço nulo de L,um funcional continuo linear em H. Pela suposta continuidade, M é fechado. Podemos supor que L não é identicamente (pois teríamos v = 0 em (4.9)). Portanto existe w ∉ M . Considere

w + M = {v ∈ H; v = w + u, u ∈ M}.

Este é um subconjunto convexo de H. Aplicando o Lema 4.2 possue um único elemento menor, v ∈ w + M . Desde que v minimize a norma em w + M,

||v + su||2 = ||v||2 + 2 Re(su, v)+ ||s||2 ||u||2 é estacionário em s = 0. Portanto Re(u, v) = 0 ∀ u ∈ M, e o mesmo argumento com s substituído mostra que (v, u) = 0 ∀ u ∈ M.

Agora v ∈ w + M, portanto Lv = Lw ≠ 0. Considere o elemento w’ = w/Lw ∈ H. Sendo Lw. = 1, Para qualquer u ∈ H

L(u - (Lu)w’) = Lu - Lu = 0. Segue-se que u - (Lu)w’ ∈ M e se w” = w’./ ||w”||2

(u, w”) = ((Lu)w’, w”) = ( )2

'

",'

w

wwLu = Lu.

A unicidade de v segue da positividade da norma. Corolário 4.4. Para qualquer medida positiva µ, qualquer funcional continuo linear

L : L2(X, µ) ? É da forma

∫=X

dgfLf µ , ( )µ,2 XLg ∈ Observe a evidente potência do “raciocínio abstrato” aqui! Embora

nos possa parecer que construímos g do nada, sua existência segue a partir da completividade de L2(X, µ), mas isto é muito conveniente para expressar o argumento de forma abstrata para um espaço de Hilbert genérico.