ESJR - uma escola presente a pensar no futuro!v2 www.esc-joseregio.pt

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Índice

1. PROBABILIDADES ............................................................................................................................... 3

Lei de Laplace. Probabilidade condicionada ............................................................................................................... 3

Distribuição de probabilidades ..................................................................................................................................11

Distribuição Normal e Binomial .................................................................................................................................13

Cálculo combinatório .................................................................................................................................................14

Binómio de Newton e Triângulo de Pascal .................................................................................................................16

2. FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA ................................................................................. 17

3. TEORIA DOS LIMITES ...................................................................................................................... 19

Limite segundo Heine: ...............................................................................................................................................19

Continuidade .............................................................................................................................................................20

Teorema de Bolzano ..................................................................................................................................................22

Assíntotas ..................................................................................................................................................................23

4. CÁLCULO DIFERENCIAL ................................................................................................................. 24

5. TRIGONOMETRIA ............................................................................................................................. 29

6. COMPLEXOS ....................................................................................................................................... 32

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1. Probabilidades "Quando me sinto triste, faço Matemática para me alegrar. Quando estou alegre, faço Matemática para continuar alegre."

Alfréd Rényi

Lei de Laplace. Probabilidade condicionada

4,0AP BAP

16,0 4,0 8,0 2,0

ABP |

1,0 2,0 3,0 4,0

EA EB

BAP |

7,0EP 3,0FP

79,0FEP 3,0FEP

0FEP FE

P á g i n a 4 | 34

2

1

10

3

10

7

7

3

a)A(P

b)B(P

cBAP

BA

ba 11 ba 11 cba 1 cba 1

�̅� �̅� �̅�)(A)

2

1

10

3

10

7

7

3

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7,0EP 3,0FP

79,0 FEP 3,0FEP

0 FEP FE

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P á g i n a 7 | 34

2

bba

ba, ℕ a b

1

ABPAP

BPBAP

A 𝐵 ̅

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ACEF

BCDG

ACEF

A

APBPAPBAP 1

BAPBPAPBAP |1

B A C

D

E F

G

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𝐴 ̅ 𝐵 ̅ 𝐴 ̅

A B

BAPBPAPABBAP 2

P á g i n a 10 | 34

25

8

25

2

5

2

5

3

2

25

18

25

22

3

1

27

8

3

2

62,0 4,0

31 bea 6,0 14,0 32,0 85,0 525,04

15,0

36

11

24

11

15

11

25

6

24

757,0 45,0

38

2346,0

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Distribuição de probabilidades

1. Um saco tem quatro bolas numeradas de 1 a 4 .Extraem-se, simultaneamente e ao acaso,

duas bolas do saco.

Seja X a variável aleatória “módulo da diferença dos números das duas bolas retiradas”.

Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X

2. Um grupo de jovens quer angariar fundos para um cabaz de Natal com fins solidários e

decidiu montar uma banca de jogo com dois dados:

Quem quiser jogar paga 2€ e diz o número em que aposta.

Se no lançamento dos dados sair duas vezes o seu número tem um prémio de 10€; se sair

uma vez tem um prémio de 5€ . (recebe 8 e 3 euros respetivamente)

Seja X a variável aleatória “ganho do jogador”. Então:

(A) o jogo é favorável ao jogador e X={-2,5,10}

(B) o jogador perde em média 1 € por jogada e X={0,5,10}

(C) o jogador perde em média cerca de 33 cêntimos por jogada

(D) nenhuma das anteriores

3. Lança-se um dado viciado com as faces numeradas de 1 a 6.

Seja X a variável aleatória “número saído”. Sendo a tabela de distribuição de probabilidades

da variável X

xi 1 2 3 4 5 6

P(

X=xi) 0,2 a 0,3 0,1 b 0,1

Determine a e b, sabendo que o valor médio da variável aleatória X é 3,3

4. As figuras representam, respetivamente, as planificações de dois dados cúbicos

equilibrados, A e B. Lançam-se, simultaneamente, os dois dados.

4.1. Seja X a variável aleatória “a soma dos números saídos nas faces voltadas para cima,

em cada um dos dados”.

Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X. Apresente as

probabilidades na forma de fração.

4.2. Considere que o número da face voltada para cima no dado A é a abcissa de um ponto

Q do referencial o.n. xOy e que o número da face voltada para cima no dado B é a

ordenada desse ponto Q. Considere os acontecimentos:

J: “o número saído no dado A é negativo”

L: “o ponto Q pertence ao terceiro quadrante”

Indique o valor de 𝑝(𝐿|𝐽), sem aplicar a fórmula da probabilidade condicionada.

Apresente o resultado na forma de fração.

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Numa composição, explique o seu raciocínio, começando por referir o significado de

𝑝(𝐿|𝐽) no contexto da situação descrita.

1.

Xi 1 2 3

P( X=xi) 1

2

1

3

1

6

2. (C)

3. a=0,1 e b=0,2

4.1.

Xi -3 -2 -1 0 1

P(x=Xi) 1

36

1

36

1

4

5

36

5

9

4.2. 1

6

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Distribuição Normal e Binomial

1. O comprimento, em centímetros, dos bebés acabados de nascer numa certa é uma variável

aleatória com distribuição aproximadamente normal de valor médio 51 Sabe-se também

que a percentagem de bebés que nascem nessa maternidade com de 46 centímetros é 26%

Em 100 bebés nascidos nessa maternidade, quantos se espera que meçam menos de

centímetros?

2. Uma máquina de enchimento automático de garrafas está regulada de tal forma que a

quantidade (em centilitros) de vinho vertido para uma garrafa é uma variável aleatória X

com distribuição aproximadamente normal de valor médio 78

O departamento de controle de qualidade da empresa verificou que, em média, 15,865%

das garrafas enchidas pela máquina tinham menos do que os 75 centilitros de vinho

indicados no rótulo.

2.1 Qual é o desvio padrão da variável aleatória X ?

2.2. Em nome da sua boa imagem, a empresa quer diminuir drasticamente a percentagem

de garrafas com menos de 75 centilitros de vinho. A regulação da máquina de

enchimento permite modificar o valor médio da variável aleatória X, mas não

permite alterar o seu desvio padrão. Para que novo valor médio deverá ser a máquina

regulada, de tal forma que apenas 2,275% das garrafas fiquem com menos de 75

centilitros de vinho?

3. Lança-se dez vezes u m dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6

Qual é a probabilidade de, nesses dez lançamentos, sair exatamente duas vezes um

número múltiplo de 3? Apresente o valor pedido na forma de dízima, arredondado às

milésimas.

4. Lança-se seis vezes uma moeda portuguesa de um euro.

Qual é a probabilidade de a face europeia sair tantas vezes como a face portuguesa?

Apresente o valor pedido na forma de fração irredutível.

5. De acordo com um estudo feito num grande hospital, sabe-se que 1 % das seringas

fornecidas por determinada empresa têm deleito.

Qual é a probabilidade de, num lote de vinte seringas fornecidas por essa empresa, existir

pelo menos uma com defeito? Apresente o valor pedido na forma de dízima, arredondado

às milésimas.

1. 74 ; 2.1. 3 ; 2.2. 81 ; 3. 0,195 ; 4. 5/16 ; 5. 0,182

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Cálculo combinatório

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50!

51

0 0 43 47

Soluções

1.1. 10000 1.2. 500 1.3. 224

2.1. 3228800 2.2. 43200

3. 32 4.1. 90000 4.2. 27216 4.3. 45000 4.4. 774 4.5. 1856 4.6. 400

5.1. 3228800 5.2. 725760 5.3. 3386880

6.1. 9! 6.2. 8! 6.3. 2 x 4! x 4! 6.4. 2x4!x4!

7. 1/5

8. 6C4

9. 11 900

10.1. 298 598 400 10.2. 74 649 600

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Binómio de Newton e Triângulo de Pascal

O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo.”

Fernando Pessoa

4

2

y

y

1001

xx

142 1x

62

x

x

62

x

x

2048.

x > 0 nxxn

11 INn

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2. Função exponencial e logarítmica

88

1

x

25

15 2 x

7-x = 49x+3

22x-6 =1

3 22 x

06254 xx

01ln

4

ln2

xx

3lnln4 xx

A10log10Alog210 AAe lnln3

f x( ) = log 2x- 5( )

g x( ) = log x2 -1( )

h x( ) = log x-1

i x( ) =1

ln x

1log xxj

x

xxl

2ln

2)1(ln xxm

xxn lnln

log2 x+1 > 3

log 5x( ) + log x = 2

log3 2x-1( )+ log3 x =1

ln x-1( )- ln x > 0

log5 x+ log5 2x-1( ) =1

xx ln3ln 2 xxx 3lnln32ln xxx 2lnln23ln

.31

2ln

x

x

e

exf

Que número natural representa a expressão ,loglog

n n nnn n com INn e 1n ?

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Soluções

1.1. x = -1 1.2. x =1 1.3. x = -2 1.4. x = 3 1.5. x <1

3 1.6. 3log1 2 xx

1.7. x = e-2

1.8. 4 exex

2.1. 10A 2.2. A-2

2.3. A2

3.1. 5

2;+¥

ù

ûú

é

ëê;x = 3 3.2. 2;,11, x

e

x = 2

3.3. IR \ 1{ };x = 0 e x = 2 3.4. ℝ + \ {1} ; não tem zeros

3.5. 2,+¥[ [;x = 2 3.6. ;,20, não tem zeros

3.7. 21;;1 ex e x =1+e2 3.8. ex ;;1

4.1. 79 xx 4.2. x = 2 5

4.3. x =3

2 4.4. Condição impossível

4.5. x= 1+√41

4

5.1. ln x5 5.2.

3

2ln

3x

5.3.

x

x2

23ln 6. D = - ln3, ln2] [

Desafio 3

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3. Teoria dos limites

Limite segundo Heine

(𝑥𝑛) 𝑥𝑛 = (1 − 2

𝑛)

𝑛

(𝑦𝑛) 𝑦𝑛 = 2 − ln(𝑥𝑛)

lim𝑛

𝑦𝑛

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Continuidade

ℎ(𝑥) = {𝑘 + 𝑒𝑥 se 𝑥 ≤ 0(𝑥 − 1)2 − 1

𝑥 se 𝑥 > 0

−5 −3 −1 1

ℝ

0xsex

e1

0xseb

0xsex

x21lna

xfx

(A) 0a e 1b (B) 1a e 1b (C) 2a e 1b (D) 3a e 1b

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Teorema de Bolzano

2. Seja g a função, de domínio ,0 , definida por

21log5

203)(

2 xsexx

xsexxg

x

Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano permite garantir a existência de pelo

menos um zero da função g?

(A) 1,0 (B) 3,1 (C) 5,3 (D) 9,5

3. Seja k ] 1,4 [ e seja f a função definida por f(x)= -1 + k. 2 x + x .

Mostre que f tem pelo menos um zero em ] -1,0[

4. Seja f : 0,2[ ]® IR uma função contínua tal que f 0( ) = f 2( ) = 0 e f 1( ) > 0.

Prove que existe pelo menos um número real c no intervalo 0,1] [ tal que f c( ) = f c+1( ).

Sugestão: Considere a função g : 0,1[ ]® IR definida por g x( ) = f x( ) - f x+1( ) .

5. Para certo valor de k, real positivo, considere a função g definida, em IR+, por

𝑔(𝑥) = −𝑥 + 𝑘 ∙ ln 𝑥

Determine todos os valores de k de forma que o teorema de Bolzano assegure a existência de

pelo menos um zero de g em ]𝑒, 𝑒2[.

2. C 5. ] e , e 2 / 2 [

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Assíntotas

1. Seja h uma função de domínio IR+ definida por: h x( ) =

ex + 3

ex se x £ 0

3x

ln x se 0 < x <1

xe3-x se x ³1

ì

í

ïïï

î

ïïï

.

Estude a existência de assíntotas verticais e não verticais do gráfico de h .

2. Seja f uma função de domínio IR definida por: f x( ) =

3x2 -3

x2 - 2x+1 se x <1

ln x- e1-x se x ³1

ì

íï

îï

.

Estude a função f quanto à existência de assíntotas do seu gráfico, paralelas aos eixos coordenados.

3. Prove os seguintes resultados:

Se f e g duas funções de domínio IR+ , tais que:

limx®+¥

f x( ) - 2x+1éë ùû= 0

a função g é definida por g x( ) = e-x - f x( )

então o gráfico da função g admite uma assíntota oblíqua.

4. De uma função g , de domínio IR- , sabe-se que a bissetriz dos quadrantes ímpares é uma assíntota do seu

gráfico.

Seja h , de domínio IR- , definida por h x( ) =g x( )x2

.

Prove que o eixo Ox é uma assíntota do gráfico de h.

1. x =1 e y = 0 ; 2. x =1 e y = 3 . 3. y= -2x+1

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4. Cálculo diferencial

ℝ3

002 ff '' 033 ff ''

064 ''' ff 030 ''' ff

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥2−3𝑥

𝑥 𝑓’(𝑥) = 𝑓(𝑥)

124 xy

2f

1

4 𝟏

𝟒

.652 xxxf

2, ,2 3,2

,

2

5

x

y

0 5

f

1

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𝑒𝑥

𝑥2

𝑔,(𝑥)

𝑥

f

xexxf 2

f f

a

x

y

P

Q

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¢f 0( ).

f x( ) = x2 - x.

f x( ) = ex-1

f f x( ) =1+ ln x.

¢f 2( )

f 1

f x = 4

f IR f x( ) = e1

x se x < 0

x se x ³ 0

ì

íï

îï

f

IR

limx®2+

f x( ) - f 2( )x- 2

f

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g g x( ) = 3x+1( )3

0 fg 4

g

f

32 123 xxxf

f x( ) = 1+ ln x( ) 2x+ x2( )

3ln. exxxf

3

21

12

x

xxf

xx

xx

ee

eexf

f x( ) = 2ln3 x2( )

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≈ ≈

2 a-1 . 1 7.1. ½ 7.2. y=x 7.3. IRkkyx ,4,14ln1,4,

∞ ¢f x( ) =x se x < 2

0 se x > 2

ìíî

9.3. 0 e 413

36

¢f x( ) = 24x2 +30x+ 6

)22(.ln43 xxxxf

. 1ln xxf

¢f x( ) =3 -2x2 - 2x+ 2( ) 2x+1( )

2

1+ x2( )4

.

2)(

4xx ee

xf

. ¢f x( ) =12 ln x2( )

2

x

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5. Trigonometria

𝜋

2𝜋

2 𝜋 𝜋 𝜋

𝜋

2

𝜋

2 𝜋 𝜋 𝜋

𝜋

2

∙𝝅

𝟐

𝜋

2

1.B 2. B 3. B 4. A 5. A

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𝜋, 𝜋]

𝜋 − 𝑥) 𝜋 − 𝑥)

3x

OA

,

2

,

2

xxtgxP

cos

66

P

,

2 3

1sen

P

cosx

1−cosx

π

4π

f ′ − sin (x)

(1−cos(x))2

P á g i n a 31 | 34

x

. . f .

𝜋 ≈

P á g i n a 32 | 34

6. Complexos

π π π π

𝑍 = −1 + 3𝑖

𝑍×�̅� 𝑎 + 𝑏𝑖

√2 √2

(1,1)

P á g i n a 33 | 34

ℂ

4223 zzz

ℂ 1

iz 211 i

zizw

n

1

1

64

1 n ℕ

ℂ

4223 zzz

ℂ 1

iz 31 iz 212 i

zizw

n

1

5 1

34

2n ℕ

∙

x

P á g i n a 34 | 34

2

1

z

z

32z

i

ik

2

6

1.1.

1.2.

4.

√33

√33

√33