Esercizi

Due gruppi di studenti effettuano la misura della densità di un oggetto, trovando rispettivamente i valori 13.7 ± 0.9 g/cm3 e 11300 ± 1300 kg/m3. Si può affermare che i due valori così trovati sono compatibili con un livello di confidenza del 10%? E del 25%?Come prima cosa è necessario uniformare le unità di misura per poter confrontare i valori. Esprimiamo entrambe le densità in g/cm3

E’ quindi corretto affermare che i valori sono compatibili con un livello di confidenza del 10%, mentre non sono compatibili con un CL del 25%

Per calcolare il CL si calcola dapprima il valore di t :

336

3

3

336

3

3

3.110

1013001300

3.1110

101130011300

cm

g

cm

g

m

kg

cm

g

cm

g

m

kg

Dalla tabella della gaussiana si ricava che la probabilità corrispondente è: P(t)=87.15%Il livello di confidenza CL è quindi pari a: CL=100- P(t)=100%-87.15%=12.85%

52.158.1

4.2

3.19.0

3.117.1322

t

Esercizi

Due carpentieri misurano con un metro a nastro la larghezza di una porta. Il primo trova 46.8 cm, il secondo 48.6 cm. Sapendo che l’incertezza su ognuna delle due misure può essere stimata pari a 5 mm, dire a quale livello di confidenza le due misure sono compatibili tra loro

Per calcolare il CL si calcola dapprima il valore di t :

Dalla tabella della gaussiana si ricava che la probabilità corrispondente è: P(t)=98.92%

Il livello di confidenza CL è quindi pari a: CL=100- P(t)=100%-98.92%=1.08%

55.2707.0

8.1

5.05.0

8.466.4822

t

Esercizi

I risultati ottenuti da 4 ricercatori circa la misura della velocità di propagazione del suono nell’aria sono:ricercatore 1: v = 340 ± 8 m/sricercatore 2: v = 342 ± 6 m/sricercatore 3: v = 330 ± 16 m/sricercatore 4: v = 345 ± 3 m/sSi chiede, quale è la miglior stima della velocità e quale è la sua incertezza. Indicare, inoltre, il grado di compatibilità tra la misura che ha dato il risultato maggiore e quella che ha dato il risultato minore.

Esercizi

I risultati ottenuti da 4 ricercatori circa la misura della velocità di propagazione del suono nell’aria sono:ricercatore 1: v = 340 ± 8 m/sricercatore 2: v = 342 ± 6 m/sricercatore 3: v = 330 ± 16 m/sricercatore 4: v = 345 ± 3 m/sSi chiede, quale è la miglior stima della velocità e quale è la sua incertezza. Indicare, inoltre, il grado di compatibilità tra la misura che ha dato il risultato maggiore e quella che ha dato il risultato minore. 6.343

15842.0

4314.54bestX 51.2

15842.0

1

bestX

sm /3344Tenendo conto delle cifre significative:

xi i

340 8 0.01562 5.3108

342 6 0.02778 9.50076

330 16 0.00391 1.2903

345 3 0.11111 38.3295

0.15842 54.4314

2

1

i2i

ix

N

i 1

I dati da confrontare per il calcolo di CL sono il terzo e il quarto:

92.028.16

15

163

33034522

t

Dalla tabella della gaussiana si ricava che la probabilità corrispondente è: P(t)=64.24%

Il livello di confidenza CL è quindi pari a:CL=100- P(t)=100%-64.24%=35.76%

Esercizi

Si consideri il parallelepipedo a base rettangolare rappresentato in figura. Si sono misurati i lati della base e l’altezza trovando i seguenti valori:a =(14 ± 3) cm; b =(10 ± 3) cm; cm; h=(36 ± 3) cmCalcolare:1) Il perimetro della base con il suo errore2) L’area di base con il suo errore3) Il volume del parallelepipedo con il suo errore

1) La base è un rettangolo il cui perimetro è pari a:

p=(48 ± 8) cm

Per il calcolo dell’errore applico la formula di propagazione per somme/differenze:

cmbap 48202822 a

b

h

cmbap 49.872323222 2222

2) L’area di base è pari a:2140 cmbaA

Per il calcolo dell’errore applico la formula di propagazione per prodotti/rapporti:

22222

6.51140369.0369.010

3

14

3cm

baA AbaA

A=(140 ± 50) cm2

Esercizi

Si consideri il parallelepipedo a base rettangolare rappresentato in figura. Si sono misurati i lati della base e l’altezza trovando i seguenti valori:a =(14 ± 3) cm; b =(10 ± 3) cm; cm; h=(36 ± 3) cmCalcolare:1) Il perimetro della base con il suo errore2) L’area di base con il suo errore3) Il volume del parallelepipedo con il suo errore

ab

h

Per il calcolo dell’errore applico la formula di propagazione per prodotti/rapporti:

3

222222

1905504037797.0

37797.036

3

10

3

14

3

cm

hbaV

V

hbaV

V=(5000 ± 2000) cm3

3) Il volume è pari a:35040 cmhbaV

Esercizi

Tre biologi, attraverso tre differenti tecniche di misura, calcolano il tasso di riproduzione di una colonia di batteri, cioè misurano il tempo necessario affinché la popolazione della colonia di batteri raddoppia. I tempi registrati sono:biologo 1: tempo = 11.4 ± 0.6 giornibiologo 2: tempo = 11.8 ± 0.2 giornibiologo 3: tempo = 12.2 ± 0.6 giorniTrovare la miglior stima del tempo e la sua incertezza.

Esercizi

Tre biologi, attraverso tre differenti tecniche di misura, calcolano il tasso di riproduzione di una colonia di batteri, cioè misurano il tempo necessario affinché la popolazione della colonia di batteri raddoppia. I tempi registrati sono:biologo 1: tempo = 11.4 ± 0.6 giornibiologo 2: tempo = 11.8 ± 0.2 giornibiologo 3: tempo = 12.2 ± 0.6 giorniTrovare la miglior stima del tempo e la sua incertezza.

Si tratta semplicemente di applicare le formule della media pesata.

xi i

11.4 0.6 2.778 31.67

11.8 0.2 25 295

12.2 0.6 2.778 33.89

30.556 360.56

N

i i

N

i i

i

best

x

X

12

12

1

N

i i

X best

12

11

2

1

i2i

ix

N

i 1

79998.11556.30

56.360bestX

1809.0556.30

1

bestX

giorni)2.08.11(

Tenendo conto delle cifre significative:

Esercizi

Si consideri una sferetta di massa m=25.40 ± 0.04 g, della quale si vuole determinare la densità. Qual è la precisione con cui di deve determinare il diametro della sferetta per avere un errore percentuale sulla densità inferiore all’1% ?

E’ richiesto un errore percentuale sulla densità inferiore all’1%, cioè:

01.0322

dmdm

La densità della sferetta si esprime come: V

m con

3

23

4

d

V La densità della sferetta si può quindi riscrivere come: 3d

mK

(dove K è una costante che racchiude tutti i termini numerici)

Risolvendo la disuguaglianza rispetto all’errore relativo sul diametro si ha:

%33.00033.09

1075.9

1075.9940.25

04.001.03

01.0340.25

04.001.03

5

522

22

222

222

ddd

dd

ddm

ddd

dd

ddm

Esercizi

Un’analisi condotta si 1000 uomini ha rivelato che le altezze sono distribuite normalmente attorno al valore (1.780 ±0.005) m. Dire quanti uomini ci si attende con:i) Altezza compresa tra 1.75 e 1.81 mii) Atezza maggiore di 1.85 miii) Altezza maggiore di 1.65 miv) Altezza compresa tra 1.65 e 1.75 m

Esercizi

Un’analisi condotta si 1000 uomini ha rivelato che le altezze sono distribuite normalmente attorno al valore (1.780 ±0.005) m. Dire quanti uomini ci si attende con:i) Altezza compresa tra 1.75 e 1.81 mii) Atezza maggiore di 1.85 miii) Altezza maggiore di 1.65 miv) Altezza compresa tra 1.65 e 1.75 m

La distribuzione delle altezze è centrata sul valore medio 1.78 m con deviazione standard pari a:

158.01000005.0 NSS xx

i) l’intervallo [1.75-1.81] è simmetrico rispetto al valore medio Per il calcolo della probabilità associata a tale intervallo si ricava dapprima il valore di t e poi si guarda la tabella della gaussiana:

19.0158.0

03.0158.078.181.1

19.0158.0

03.0158.078.175.1

2

1

ttStxx

ttStxx

x

x

Vi è quindi una probabilità di circa il 15% che gli uomini abbiano un’altezza tra 1.75 e 1.78 m. Essendo il campione composto da 1000 individui, ci si aspetta un numero pari a:

150100

151000 N

Esercizi

ii) Atezza maggiore di 1.85 m

ii) Il numero di uomini con altezza maggiore di 1.85 m si trova andando a determinare dapprima il valore di t corrispondente a 1.85:

44.0158.0

78.185.1

t

Dalla tabella della gaussiana, si trova che P(t=0.44) = 34% e corrisponde all’a probabilità di avere un altezza tra 1.71 e 1.85 m (area blu). Noi siamo interessati però all’area rosa che è pari a:

%332

34100

2

)(10085.1

tPxP

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Essendo il campione composto da 1000 individui, ci si aspetta un numero pari a:

330100

331000 N

Esercizi

iii) Atezza maggiore di 1.65 m

iii) Il numero di uomini con altezza maggiore di 1.65 m si trova andando a determinare dapprima il valore di t corrispondente a 1.65:

82.0158.0

65.178.1

t

Dalla tabella della gaussiana, si trova che P(t=0.82) = 59% circa e corrisponde all’a probabilità di avere un altezza tra 1.65 e 1.91 m (area blu). Noi siamo interessati però alla somma dell’area blu e rosa che è pari a:

%5.792

5910059

2

)(100)(65.1

tPtPxP

Essendo il campione composto da 1000 individui, ci si aspetta un numero pari a:

795100

5.791000 N

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Esercizi

iv) Atezza compresa tra 1.65 m e 1.75 m

iv) Si ha a che fare con un intervallo non simmetrico (entrambi gli estremi sono a sinistra del valore centrale della distribuzione. Si ricavano i corrispondenti valori di t e le probabilità associate, disegnando le gaussiane.

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

%59)(82.0158.0

65.178.111

tPt

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

%15)(19.0158.0

75.178.122

tPt

%222

)(

2

)(75.165.1 21

tPtPxP 220

100

221000 N