LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA

Prof. Francesco Marchi1

Esercitazione per la prova di recupero del debitoformativo

24 febbraio 2010

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Blog personale: http://francescomarchi.wordpress.com/Indirizzo email: fra.marchi@yahoo.it

Indice

1 Introduzione alla geometria analitica; esercizi riassuntivi 11.1 Esercizi introduttivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Riconoscimento di equazione di coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 Equazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Retta 22.1 Vero o falso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Associazione grafico-equazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Applicazione di formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4 Applicazione di metodi standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.4.1 Mutua posizione di due rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4.2 Appartenenza di un punto ad una retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.5 Problemi di determinazione dell’equazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Parabola [?] 53.1 Associazione grafico-equazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Applicazione di formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2.1 Determinazione di vertice, fuoco, direttrice, assi, intersezioni con gli assi cartesiani 53.3 Applicazione di metodi standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3.1 Mutua posizione di retta e parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3.2 Tangenti condotte ad una parabola da un punto esterno . . . . . . . . . . . . . . . 73.3.3 Formula di sdoppiamento per le tangenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.4 Problemi di determinazione dell’equazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Circonferenza 84.1 Associazione grafico-equazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2 Applicazione di formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2.1 Determinazione di centro e raggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.3 Applicazione di metodi standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.3.1 Mutua posizione di retta e circonferenza [?] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.3.2 Tangenti condotte ad una circonferenza da un punto esterno . . . . . . . . . . . . 10

4.4 Problemi di determinazione dell’equazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.4.1 Difficolta 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.4.2 Difficolta 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1 Introduzione alla geometria analitica; esercizi riassuntivi

1.1 Esercizi introduttivi

1.1.1 Esercizio 1

Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

1. Se A e nel secondo quadrante e B e nel terzo quadrante, allora il punto medio di AB e nel secondoquadrante.

2. Se A e B hanno coordinate positive, anche il punto medio di AB ha coordinate positive.

3. Se A e B sono nel primo quadrante, anche il punto medio di AB e nel primo quadrante.

1

4. Se il punto medio di un segmento AB appartiene all’asse x, allora i due punti A e B sono simmetricirispetto all’asse x.

1.1.2 Esercizio 2

Si consideri il triangolo di vertici A(0, 6), B(3, 4), C(2,−8).

1. Si determini la misura dei tre lati.

2. Si calcoli il perimetro.

3. Si trovino le coordinate del punto medio del lato AB.

4. Si trovino le coordinate del baricentro.

1.2 Riconoscimento di equazione di coniche

1.2.1 Equazione

Stabilire quale tipo di conica (retta, parabola con asse verticale, parabola con asse orizzontale, circon-ferenza, nessuna delle precedenti) rappresentano le seguenti equazioni:

x + 2y = 3 (1)

x2 + y2 − 7x = 6x (2)

y = −7x2 + 2x (3)

y2 = −x2 + 2x (4)

x = 3y2 + 2y (5)

y = 3x2 − 7 (6)

x = y + 4x (7)

3x2 + y = −6 (8)

4x2 + y2 = x + 4x2 (9)

y = 8x + 2 (10)

x2 + y2 = 8 (11)

x = y2 + 7 (12)

1.3 Definizioni

Si dia la definizione delle seguenti coniche e si ricavi, a partire da essa, la loro equazione canonica:

∙ Circonferenza;

∙ Parabola.

2 Retta

2.1 Vero o falso

Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

1. Ogni retta del piano cartesiano puo essere rappresentata da un’equazione del tipo y = mx + q.

2

2. Ogni retta del piano cartesiano puo essere rappresentata da un’equazione del tipo ax + by + c = 0.

3. Il coefficiente della retta di equazione y + 1 = 0 e zero.

4. L’equazione x + y = −1 e l’equazione implicita di una retta.

5. L’equazione 7 + 3x3 − y + 2x = 6x3 + 4− 3x3 e l’equazione implicita di una retta.

6. L’equazione 2y = x− 1 e l’equazione esplicita di una retta.

7. Il coefficiente angolare di ogni retta parallela all’asse y e zero.

2.2 Associazione grafico-equazione

Si considerino le rette rappresentate nei grafici di Figura 1. Abbinare tali grafici alle equazioni seguenti(es.: 1D, 2C . . . ):

−2 = y − x (13)

1

3x + y = 4 (14)

y +1

3x + 5 = 0 (15)

x + 2 =√

67 (16)

2y +√

5x = 5−√

5x + y (17)

y = −3x + 4 (18)

2.3 Applicazione di formule

Determina l’equazione delle rette che soddisfano alle seguenti condizioni:

1. Sia P (−1, 3) e r : y = 2x + 3. Trova le equazioni di r⊥ e r∥, rispettivamente perpendicolare eparallela a r e passanti per P .

2. Determina la distanza del punto P (1,−1) dalla retta r : 3 = x + 2y.

2.4 Applicazione di metodi standard

2.4.1 Mutua posizione di due rette

∙ Stabilisci se le rette r : x− 2y − 1 = 0 e s : 1 + y = 12x sono parallele oppure incidenti.

∙ Trova le coordinate del punto di intersezione tra le rette r : 3 = x + 2y e s : 15y + 2x− 7 = 0.

2.4.2 Appartenenza di un punto ad una retta

∙ Sia r : y = 2x − 3. Stabilisci quali, fra i seguenti punti, appartengono alla retta r: A(1,−2),B(1,−1), C(1, 7

2 ), D(0,−3)

3

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura 1: Grafici relativi all’esercizio 2.2

4

2.5 Problemi di determinazione dell’equazione

Determinare l’equazione delle rette r che soddisfano le seguenti condizioni:

∙ Scrivere l’equazione della retta passante per A(1, 5) e B(−2, 5).

∙ Scrivere l’equazione della retta passante per A(−3, 5) e avente coefficiente angolare m = −√53 .

∙ Scrivere l’equazione della retta passante per A(1, 14 ) e B(−2, 5).

3 Parabola [?]

3.1 Associazione grafico-equazione

Si considerino le parabole rappresentate nei grafici di Figura 2. Abbinare tali grafici alle equazioni seguenti(es.: 1D, 2C . . . ):

3x2 = y − 10x− 12 (19)

3x2 + 12 = −10x− y (20)

12 = 10x + y − 3x2 (21)

y =1

20x2 − 1

2x + 12 (22)

x− y2 − 5 = 0 (23)

y2 = x + 5 (24)

3.2 Applicazione di formule

3.2.1 Determinazione di vertice, fuoco, direttrice, assi, intersezioni con gli assi cartesiani

Per le parabole elencate qui di seguito: determinare vertice, fuoco, direttrice, assi, intersezioni con gliassi cartesiani; rappresentarle in un piano cartesiano.

y = −x2 + 6x− 5 (25)

y = x2 − 2x (26)

y = −x2 +3

2(27)

y =1

2x2 − 3x + 2 (28)

x = −1

2y2 (29)

x = 4− y2 (30)

x = −y2 + 2y − 1 (31)

x = 2y2 − 3y (32)

5

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura 2

6

3.3 Applicazione di metodi standard

3.3.1 Mutua posizione di retta e parabola

Si considerino le parabole elencate di seguito e le rette scritte a fianco. Per ciascuna di esse, si determini:se la retta e esterna, tangente o secante; le coordinate degli eventuali punti di intersezione.

y = x2 − 4; y = −2x + 4 (33)

y = x2 − 2x + 1; y = −x + 1 (34)

y =1

2x2; y = 2x− 2 (35)

y = x2 + 6x + 9; y = 0 (36)

y = x2 − 4x; y = −x +1

2(37)

y = −x2 − 1

2x; y = −1

2x + 2 (38)

3.3.2 Tangenti condotte ad una parabola da un punto esterno

Condurre le tangenti alle parabole elencate qui di seguito, dai punti ad esse esterni, indicati di fianco:

y = x2 − 4; P (2,−4) (39)

y = x2 − 2x + 1; P (−1,−1) (40)

3.3.3 Formula di sdoppiamento per le tangenti

Utilizzando la formula cosiddetta di sdoppiamento, condurre le tangenti alle parabole elencate qui diseguito, nei loro punti di ascissa indicata a fianco. Determinare poi l’equazione della normale alla parabolain quel punto.

y = 2x2 − 4x; xP = 3 (41)

y = −x2 − 3x− 1; xP = −1 (42)

3.4 Problemi di determinazione dell’equazione

Nota: i problemi di questa sezione possono essere anche svolti nelle seguenti varianti:

∙ Determinare il numero di soluzioni (nessuna, una, due, . . . , infinite), senza risolvere il problema.Nel caso siano possibili piu soluzioni, illustrarne, graficamente, almeno un paio.

∙ Illustrare, per punti, la procedura di soluzione dell’esercizio, senza svolgere alcun calcolo.

Sono contrassegnati con un asterisco quei problemi che ammettono infinite soluzioni e sono, pertanto,indeterminati.

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Determinare l’equazione delle parabole della forma P : y = ax2 + bx + c che soddisfano le condizioniindicate di seguito.V denota sempre il vertice, F il fuoco, d la direttrice; A, B, P . . . punti generici; r, s . . . rette generiche.

∙ Passaggio per punti

– Passante per i punti A(−2,−3), B(0, 1), C(6,−11).

– Passante per i punti A(4,−1), B(3, 7), C(4, 5).

– Passante per i punti A(2, 3), B(0, 6).

∙ Vertice e un punto: V (0, 0), P (3, 2); V (−2, 1), P (0, 3).

∙ Due elementi a scelta: F (1,−1), d : y = 0. V (2, 1), F (2, 0). V (0, 2), d : x = −1.

∙ Con condizioni di tangenza:

– V(-1,2); tangente a r : y = 2x + 3

– Tangente all’asse x e a r : y = 2x; passante per P(− 1, 1

4

)– Passante per A(2, 1); tangente all’asse delle x; avente come asse di simmetria r : x = 1

∙ Condizioni varie: avente come asse di simmetria l’asse x e passante per A(0,−2) e B(4, 0).

4 Circonferenza

4.1 Associazione grafico-equazione

Si considerino le rette rappresentate nei grafici di Figura 3. Abbinare tali grafici alle equazioni seguenti(es.: 1D, 2C . . . ):

x2 + y2 − 8y = 0 (43)

x2 + y2 − 4x + 5y = 0 (44)

x2 + y2 + 8x + 4 = 0 (45)

x2 + y2 − 8x + 6y − 1 = 0 (46)

x2 + y2 + 6y = 0 (47)

x2 + y2 − 8x− 6y − 1 = 0 (48)

4.2 Applicazione di formule

4.2.1 Determinazione di centro e raggio

Per le circonferenze elencate qui di seguito: determinare le coordinate del centro; determinare la misuradel raggio; rappresentarle in un piano cartesiano.

x2 + y2 + 6x− 6y = 0 (49)

8

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura 3: Grafici relativi all’esercizio 4.1.

9

4.3 Applicazione di metodi standard

4.3.1 Mutua posizione di retta e circonferenza [?]

Si considerino le circonferenze elencate di seguito e le rette scritte a fianco. Per ciascuna di esse, sidetermini: se la retta e esterna, tangente o secante; le coordinate degli eventuali punti di tangenza.

x2 + y2 + 2x− y − 1 = 0; x + y = 1 (50)

x2 + y2 − 4x− 6y + 3 = 0; x + y − 1 = 0 (51)

x2 + y2 + 2x + 2y = 0; x + y + 14 = 0 (52)

4.3.2 Tangenti condotte ad una circonferenza da un punto esterno

Condurre le tangenti alle circonferenze elencate qui di seguito, dai punti ad esse esterni, indicati di fianco[?] :

x2 + y2 − 6x− 2y + 8 = 0; O(0, 0) (53)

x2 + y2 + 2x− 4 = 0; P (6, 1) (54)

x2 + y2 − 4x− 4y − 17 = 0; P(

7,−1

2

)(55)

x2 + y2 + 2x + 2y − 18 = 0; P (1, 5) (56)

4.4 Problemi di determinazione dell’equazione

Nota: i problemi di questa sezione possono essere anche svolti nelle seguenti varianti:

∙ Determinare il numero di soluzioni (nessuna, una, due, . . . , infinite), senza risolvere il problema.Nel caso siano possibili piu soluzioni, illustrarne, graficamente, almeno un paio.

∙ Illustrare, per punti, la procedura di soluzione dell’esercizio, senza svolgere alcun calcolo.

Sono contrassegnati con un asterisco quei problemi che ammettono infinite soluzioni e sono, pertanto,indeterminati.

4.4.1 Difficolta 1

Determinare l’equazione delle circonferenze C che soddisfano le seguenti condizioni:

∙ Centro di coordinate C(−1, 3) e raggio r = 2.

∙ Passante per i punti (2, 0); (0, 1); (0,−1).

∙ Passante per l’origine e con centro nel punto di intersezione di r : x+y−7 = 0 e s : 2x−3y+6 = 0.

∙ Il cui raggio misura 2√

2 e concentrica alla circonferenza di equazione x2 + y2 + 2x− y − 1 = 0.

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4.4.2 Difficolta 2

Determinare l’equazione delle circonferenze C che soddisfano le seguenti condizioni:

∙ Centro sulla retta di equazione y = 3x− 6 ed ha raggio r = 4. (∗)

∙ Centro sulla retta di equazione 4x− y + 3 = 0, ha raggio r = 3 ed e tangente all’asse delle ascisse.

∙ Passante per A(1,−1) e B(3, 5); il cui centro appartiene a r : 2y − x− 7 = 0. [?]

∙ Ha una corda di estremi A(1, 2) e B(3, 4). [?]

∙ E’ tangente alle rette y = x e y = −x. (∗)

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