escher in het paleis · vervaardigde. dit is de eerste prent waarin escher de mogelijkheden die...
TRANSCRIPT
Escher in Het Paleis Wiskundepakket Regelmatige vlakvullingen
Regelmatige vlakvullingen
Een regelmatige vlakvulling is een manier om een vlak te vullen doormiddel van een
zich steeds herhalend patroon. Omdat dit veel wordt toegepast op behangpapier
wordt ook wel eens gesproken van behangpatronen. Ook de term regelmatige
vlakverdeling wordt gebruikt. Eenvoudige voorbeelden zijn tegelwanden die zijn
opgebouwd uit vierkante tegels en de structuur van honingraten.
Deze twee voorbeelden laten zeer verschillende patronen zien. Wiskundigen
onderscheiden dit soort structuren door de soorten van symmetrie die ze hebben. Zo
heeft de tegelwand vier verschillende typen symmetrieassen: horizontaal, verticaal,
schuin naar rechts en schuin naar links. Bij de honingraat zijn zes soorten
symmetrieassen te onderscheiden, die hoeken van 30 met elkaar maken. De
tegelwand kan ook om een hoekpunt of een middelpunt van een tegel over een
hoek van 90 draaien, waarbij de vierkantjes weer mooi op vierkantjes uitkomen.
Deze draaipunten worden viervoudige draaicentra genoemd, omdat de kleinst
mogelijke draaihoek gelijk is aan 3604
. De honingraat heeft zesvoudige draaicentra:
de middelpunten van de zeshoeken.
Een patroongroep wordt gevormd door alle patronen die dezelfde symmetrie-
eigenschappen hebben. In 1891 bewees de kristallograaf E.S.Fedorov dat er precies
17 verschillende patroongroepen zijn. Hieronder zie je voorbeelden van patronen uit
al deze groepen.
Met onderstaand schema kan je bepalen tot welke groep een bepaalde
vlakverdeling hoort.
De tegelvloer hoort bijvoorbeeld tot de groep p4m en de honingraat tot p6m. In een
artikel van Jan van der Craats, dat je vindt op
http://staff.science.uva.nl/~craats/SymIslam1.pdf, staat nog veel meer uitgelegd
over behangpatronen.
Al deze patroongroepen zijn terug te vinden in decoraties in Moorse paleizen in
Spanje en andere plaatsen . Hier zie je twee voorbeelden van het type p3 en p6.
Toen Escher in 1922 voor het eerst dit soort decoraties zag in de paleizen van het
Alhambra in Granada werd hij hierdoor zeer gefascineerd. “De rijkste inspiratiebron
die ik in mijn leven ben tegengekomen” zei hij er later over. In zijn werk wist Escher
aan deze decoratiekunst drie elementen toe te voegen:
1. Het gebruik van realistische figuren: mensen, dieren, gebouwen etc.
2. Het idee dat alle ruimtes tussen de figuren wederom realistische figuren
moesten voorstellen.
3. De afwisseling van lichte en donkere figuren en een realistische interpretatie
daarvan (licht-donker, water-lucht, goed-slecht etc.).
Het is mogelijk dat hij op deze ideeën is gekomen door in gedachten kleine
accenten toe te voegen aan bestaande decoraties. Bijvoorbeeld op de volgende
wijze:
Door de cirkeltjes en ellipsen toe te voegen aan een abstract patroon ontstaan
opeens vogeltjes!
In 1937 kwam Escher op de hoogte van de wiskundige theorie achter
vlakverdelingen en begon hij te experimenteren met alle 17 verschillende
patroongroepen. Zodoende bouwde hij als het ware een archief op aan patronen,
waar hij later steeds uit kon putten. Op zich zijn deze vlakverdelingen vrij saai,
vanwege de grote hoeveelheid symmetrieën. Als groot kunstenaar vond Escher hier
een uitweg, op twee wijzen:
1. Door de vlakvulling te laten overgaan in een realistische omgeving en
daarmee te verweven.
2. Door vlakvullingen continu in elkaar te laten overgaan. Metamorfosen
werden die genoemd.
Beide ideeën vind je terug in de houtsnede ‘metamorfose 1’ die Escher in 1937
vervaardigde. Dit is de eerste prent waarin Escher de mogelijkheden die regelmatige
vlakverdelingen bieden op overtuigende wijze heeft verwerkt.
Metamorfose 1, houtsnede, 1937
Dag en Nacht, houtsnede, 1938
Overigens heeft Escher ook prenten gemaakt met onregelmatige vlakverdelingen.
Alhoewel deze prenten wel de drie bovengenoemde elementen bevatten, bezitten
ze niet de symmetrie-eigenschappen waardoor de prent uit te breiden is tot een
regelmatige vlakverdeling. Hieronder staat een voorbeeld.
vlakvulling, litho, 1957
Opgaven vlakvullingen
Opgave 1
Controleer met het schema voor de 17 verschillende patroongroepen dat een
tegelvloer (met effen vierkante tegels) tot de groep p4m behoort en de honingraat
tot p6m. Laat eveneens zien dat de twee decoraties in Moorse paleizen tot het type
p3 en p6 behoren.
Opgave 2
Op http://home.wanadoo.nl/wvdput/Werkstuk/Escher/Werkstuk%20Escher.htm kan
je ontdekken hoe je zelf een regelmatige vlakvulling kan maken. Bekijk deze website
en werk de bijbehorende opgaven uit.
Opgave 3
Deze, door Escher gemaakte vlakvulling, behoort tot de symmetriegroep p3. De
oorspronkelijke tekening was niet zwart/wit ingekleurd en had toen patroon p6. Laat
dit zien. Wat zijn de rotatiecentra?
Opgave 4
Bij de volgende vlakvulling maakte Escher gebruik van het symmetriepatroon pg.
Om dat te zien moet je de zwart/wit inkleuring wegdenken en alleen letten op de
lijnen die ten grondslag liggen aan het patroon. Wat is het effect dat Escher creëert
door het gebruik van dit patroon?
Een basisrechthoek voor dit patroon zie je ook. Controleer dat de lijnen bij A en A’
doorlopen en dat de lijnen bij B, B’ en bij C, C’ in gespiegelde richting doorlopen.
Probeer zelf eens een eenvoudig patroon te maken waarvan de basis deze
eigenschap heeft.
Dit symmetriepatroon pg gebruikt Escher vaak. Probeer nog enkele prenten te
ontdekken waarin hij dit gebruikt.