escadas helicoidais em concreto armado - métodos de dimensionamento

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Tiago Noal

ESCADAS HELICOIDAIS EM CONCRETO ARMADO: COMPARAO ENTRE MTODOS DE

DIMENSIONAMENTO

Porto Alegre junho 2014

TIAGO NOAL


DIMENSIONAMENTO

Trabalho de Diplomao a ser apresentado ao Departamento de Engenharia Civil da Escola de Engenharia da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, como parte dos requisitos para obteno do

ttulo de Engenheiro Civil

Orientador: Roberto Domingo Rios

Porto Alegre junho 2014

TIAGO NOAL


DIMENSIONAMENTO

Este Trabalho de Diplomao foi julgado adequado como pr-requisito para a obteno do ttulo de ENGENHEIRO CIVIL e aprovado em sua forma final pelo/a Professor/a

Orientador/a e pela Coordenadora da disciplina Trabalho de Diplomao Engenharia Civil II (ENG01040) da Universidade Federal do Rio Grande do Sul.

Porto Alegre, junho de 2014

Prof. Roberto Domingo Rios Dr. pela UFRGS

Orientador

Profa. Carin Maria Schmitt Dra. pelo PPGA/UFRGS

Coordenadora

BANCA EXAMINADORA

Prof. Roberto Domingo Rios (UFRGS) Dr. pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Prof. Ronald Jos Ellwanger (UFRGS) Dr. pela Universidade Federal do Rio de Janeiro

Profa. Virgnia Maria Rosito dAvila Bessa (UFRGS) Dra. pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul

minha me, Rosenara Martins Noal, com amor.

AGRADECIMENTOS

Agradeo ao Prof. Roberto Domingo Rios, meu orientador, pelo auxlio na elaborao deste estudo.

Agradeo Profa. Carin Maria Schmitt pelos ensinamentos quanto composio deste Trabalho de Diplomao.

Agradeo ao apoio e incentivo da minha namorada Andra Vecchi Pegorini que durante o perodo do meu Curso de Graduao esteve ao meu lado.

Perante um obstculo, a linha mais curta entre dois pontos pode ser a curva.

Bertolt Brecht

RESUMO

Este trabalho compara quatro mtodos de dimensionamento de escadas helicoidais em concreto armado, sendo trs mtodos empricos e um mtodo numrico, identificando qual destes consome menos material. O critrio comparativo foi a taxa de armadura, diretamente relacionada ao consumo de ao, uma vez que as dimenses externas consideradas nos quatro mtodos foram as mesmas alterando-se apenas a rea de ao nas sees transversais. Primeiramente, definiram-se os limites dimensionais aceitveis de uma escada helicoidal e, a fim de evitar resultados com taxas de armaduras mnimas, escolheu-se uma escada com lance de uma volta completa ou 360, altura de 6 metros e largura de 2 metros, uma geometria normalmente encontrada em obras comerciais, onde o p direito usualmente mais elevado. Para esta geometria, aplicou-se o carregamento distribudo recomendado pela norma NBR 6120/1980 ao longo do centride da seo transversal. A partir das solicitaes obtidas em cada mtodo, dimensionou-se a armadura longitudinal de flexo por bacos adimensionais em roseta. A armadura longitudinal de toro, bem como a transversal foram dimensionadas pelas recomendaes da NBR6118/2007. Foi analisado, neste trabalho, o dimensionamento no estado limite ltimo de ruptura flexo com toro e cisalhamento. De acordo com os resultados, o mtodo mais eficiente, em termos de consumo de materiais o mtodo dos elementos finitos.

Palavras-chave: Escadas helicoidais. Vigas helicoidais. Escadas em concreto armado.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Diagrama das etapas da pesquisa .................................................................... 21 Figura 2 Corte longitudinal de um trecho de escada ..................................................... 23 Figura 3 Projeo da viga helicoidal no plano horizontal ............................................. 25 Figura 4 Dimenses da escada em corte longitudinal ................................................... 28 Figura 5 Disposio dos parapeitos em corte transversal ............................................. 29 Figura 6 Cargas acidentais nos parapeitos .................................................................... 31 Figura 7 Projeo da viga helicoidal em planta baixa por Guerrin e Lavaur ................ 36 Figura 8 Modelagem da escada helicoidal em planta baixa por Arajo ....................... 37 Figura 9 Projeo da viga helicoidal em planta baixa por Arajo ................................ 37 Figura 10 Modelagem da escada helicoidal em planta baixa por Rocha ...................... 39 Figura 11 Projeo da viga helicoidal em planta baixa por Rocha ............................... 41 Figura 12 Dimenses da escada em planta baixa .......................................................... 44 Figura 13 Dimenses da escada em corte longitudinal no eixo da viga ........................ 44 Figura 14 Altura da viga de sustentao e dos degraus em corte longitudinal ............. 45 Figura 15 Comprimento e largura dos degraus em planta baixa ................................... 45 Figura 16 Dimenses da escada em corte transversal ................................................... 46 Figura 17 Diviso da viga helicoidal em pontos equidistantes ..................................... 50 Figura 18 Escada helicoidal sobe em sentido anti-horrio ............................................ 50 Figura 19 Diagrama do Momento Fletor Mx por Prudon .............................................. 52 Figura 20 Diagrama do Momento Toror My por Prudon ............................................. 53 Figura 21 Eixos em torno do centride da seo transversal ........................................ 53 Figura 22 Diagrama do Momento Fletor Mx por J. M. de Arajo ................................. 58 Figura 23 Diagrama do Momento Toror T por J. M. de Arajo .................................. 58 Figura 24 Diagrama do Momento Fletor Lateral Ml por J. M. de Arajo ..................... 58 Figura 25 Diagrama do Momento Fletor Mx por Langendonck .................................... 61 Figura 26 Diagrama do Momento Toror T por Langendonck ..................................... 61 Figura 27 Diagrama do Momento Fletor Lateral Ml por Langendonck ........................ 61 Figura 28 Viga Helicoidal modelada no software SAP2000 ........................................ 62 Figura 29 Diagrama do Momento Fletor Mx por Elementos Finitos ............................. 65 Figura 30 Diagrama do Momento Toror T por Elementos Finitos .............................. 66 Figura 31 Diagrama do Esforo Cortante V por Elementos Finitos .............................. 66 Figura 32 Diagrama do Momento Fletor Lateral Ml por Elementos Finitos ................. 66 Figura 33 Diagrama do Esforo Normal N por Elementos Finitos ............................... 66

Figura 34 Cobrimentos e espessuras ................................................................... 71 Figura 35 Comparao entre momentos fletores ..................................................... 90 Figura 36 Comparao entre momentos torores ...................................................... 91 Figura 37 Comparao entre momentos fletores ..................................................... 92

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 Coeficiente de ponderao das aes permanentes consideradas separadamente .................................................................................................... 33

Tabela 2 Coeficientes e para viga helicoidal de 1 volta completa ...................... 41 Tabela 3 Dimenses finais adotadas para a escada ....................................................... 47 Tabela 4 Solicitaes Mx, My e V por G. Prudon ........................................................... 52 Tabela 5 Solicitaes Mx, My, T, Ml e V por J.M. de Arajo ......................................... 57 Tabela 6 Solicitaes Mx, My, T e Ml por Langendonck ................................................ 60 Tabela 7 Solicitaes Mx, Ml, T, V e N por Elementos Finitos ...................................... 63 Tabela 8 Capacidade mecnica em kN para armaduras com ao CA-50 ...................... 69 Tabela 9 Valores de (%) para o ao CA-50 e seo retangular ............................ 70 Tabela 10 Valores de , (%) para o ao CA-50 ..................................................... 73 Tabela 11 rea de seo de armadura (cm/m) para estribos de dois ramos ......... 76 Tabela 12 reas de ao para o mtodo de G. Prudon ................................................... 80 Tabela 13 Taxa de armadura para o mtodo de G. Prudon ...................................... 80 Tabela 14 reas de ao para o mtodo das foras proposto por Arajo ....................... 83 Tabela 15 Taxa de armadura para o mtodo das foras proposto por Arajo .......... 83 Tabela 16 reas de ao para o mtodo de Langendonck .............................................. 86 Tabela 17 Taxa de armadura para o mtodo de Langendonck ................................. 86 Tabela 18 reas de ao para o mtodo dos elementos finitos ....................................... 89 Tabela 19 Taxa de armadura para o mtodo dos elementos finitos .......................... 89 Tabela 20 Comparativo entre esforos cortantes V (kN) .............................................. 91 Tabela 21 Comparativo final entre reas de ao e taxa de armadura ............................ 93

LISTA DE SMBOLOS

Letras minsculas

base da viga (m) altura til da seo transversal (cm) resistncia de clculo compresso do concreto (MPa) resistncia caracterstica compresso do concreto (MPa) resistncia de clculo ao escoamento do ao (MPa) resistncia caracterstica ao escoamento do ao (MPa) comprimento dos degraus na linha de rasto (m ou cm) . comprimento do degrau na borda externa (cm) . comprimento do degrau na borda interna (cm) . comprimento do degrau no eixo da viga de sustentao (cm) altura dos degraus (m) altura da pea pr-moldada do degrau (m) espessura da parede da seo vazada equivalente seo cheia (cm) altura do parapeito (m) altura da viga (m) nmero de degraus !" peso prprio dos apoios dos degraus (kN/m) ! peso prprio dos degraus (kN/m) ! peso prprio do parapeito (kN/m)

!# peso prprio do revestimento (kN/m) ! peso prprio da viga de sustentao (kN/m) $ carga acidental distribuda (kN/m) $ carga acidental dos parapeitos (kN/m) % espessura da parede do parapeito (m) & momento fletor de clculo reduzido na direo x (adimensional) & momento fletor de clculo reduzido na direo y (adimensional) w quantia mecnica total

' esforo normal de clculo reduzido (adimensional); Letras maisculas

rea da seo cheia de concreto (m) rea limitada pela linha mdia da parede da seo vazada equivalente (cm) ,( rea total de ao da armadura longitudinal de flexo (cm) ,(, rea mnima de ao de armadura longitudinal de flexo (cm) ,) rea total de ao da armadura longitudinal de toro (cm) ,), rea mnima de ao da armadura longitudinal de toro (cm) ,* rea total de ao da armadura longitudinal (cm) ,) rea total de ao da armadura transversal de toro (cm/m) ,+ rea total de ao da armadura transversal de cisalhamento (cm/m) , rea mnima de ao da armadura transversal (cm/m) ,* rea total de ao da armadura transversal

distncia entre o centro da armadura longitudinal de flexo do canto e a face lateral da pea (cm)

, mdulo de deformao longitudinal tangente inicial (MPa) , mdulo de deformao longitudinal secante (MPa) -. valor de clculo das aes para a combinao ltima (kN/m) -/,0 valor caracterstico das aes permanentes (kN/m) -1,0 valor caracterstico da ao varivel considerada principal para a combinao (kN/m) -1,0 valor caracterstico das demais aes variveis (kN/m) Gc mdulo de elasticidade transversal (MPa)

2 altura da escada (m) 3 momento de inrcia em torno do eixo x (m4) 3 momento de inrcia em torno do eixo y (m4) 4 momento polar de inrcia (m4) 5 comprimento da viga de sustentao em planta baixa (m) 567) comprimento da borda externa em planta baixa (m) 589) comprimento da borda interna em planta baixa (m) 5:; comprimento da linha de rasto em planta baixa (m) < momento fletor na direo x (kNm) momento fletor de clculo na direo x (kN.m) momento fletor lateral (kNm) = momento na direo y (kNm)

momento fletor de clculo na direo y (kN.m) > esforo normal (kN) > esforo normal de clculo (kN) ? raio da viga helicoidal, no eixo de simetria, em projeo no plano horizontal (m) ?67) raio da escada na borda externa (m) ?89) raio da escada na borda interna (m) ?:; raio da escada na linha de rasto (m) momento toror (kNm) esforo solicitante de clculo toro (kN.cm) @ capacidade mecnica total da armadura longitudinal (kN) A esforo cortante mximo (kN)

Letras gregas

B inclinao da escada (rad) C semi-ngulo de abertura (rad) E peso especfico da alvenaria (kN/m) F coeficiente de ponderao da resistncia do concreto, sendo 1,4 para condies normais G coeficiente de ponderao das aes permanentes H coeficiente de ponderao das aes variveis F coeficiente de ponderao da resistncia do ao, sendo 1,15 para condies normais I ngulo que define uma seo qualquer da viga de sustentao (rad) J permetro da seo cheia de concreto (cm)

J permetro da linha mdia da parede da seo vazada equivalente (cm) coeficiente de Poisson (aproximadamente 0,2)

relao entre altura e base da viga, para entrada nas tabelas de Langendonck

taxa para o clculo da armadura mnima longitudinal de flexo (%)

taxa de armadura (%)

, taxa para o clculo da armadura mnima longitudinal de toro e transversal (%) K fator de reduo, sendo zero desprezando-se a resistncia trao do concreto K tenso de clculo tangencial de cisalhamento (MPa) K tenso tangencial de toro (kN/cm ou MPa) KL tenso tangencial limite de toro (MPa) K tenso tangencial de cisalhamento (kN/cm ou MPa) KL tenso tangencial limite de cisalhamento (MPa) dimetro da barra de ao (mm) O coeficiente de minorao das aes variveis secundrias

SUMRIO

1 INTRODUO........................................................................................................... 17 2 DIRETRIZES DA PESQUISA .................................................................................. 19 2.1 QUESTO DE PESQUISA ....................................................................................... 19 2.2 OBJETIVOS DA PESQUISA .................................................................................... 19 2.2.1 Objetivo principal ................................................................................................. 19 2.2.2 Objetivo secundrio .............................................................................................. 19 2.3 PRESSUPOSTO ......................................................................................................... 19 2.4 DELIMITAES ...................................................................................................... 20 2.5 LIMITAES ............................................................................................................ 20 2.6 DELINEAMENTO .................................................................................................... 20 3 ESCADAS HELICOIDAIS ........................................................................................ 23 3.1 TERMINOLOGIA ..................................................................................................... 23 3.2 DIMENSES ACEITVEIS .................................................................................... 24 3.3 CARGAS ATUANTES .............................................................................................. 26 3.3.1 Cargas permanentes .............................................................................................. 26 3.3.1.1 Peso prprio dos degraus e da viga de sustentao .............................................. 26 3.3.1.2 Peso prprio do revestimento ............................................................................... 28 3.3.1.3 Peso prprio do parapeito ..................................................................................... 29 3.3.2 Cargas acidentais ................................................................................................... 30 3.3.2.1 Cargas acidentais nos degraus .............................................................................. 30 3.3.2.2 Carga acidental no parapeito ................................................................................ 31 3.3.3 Combinao de aes ............................................................................................ 32 4 MTODOS UTILIZADOS ........................................................................................ 35 4.1 MTODO DE G. PRUDON ...................................................................................... 35 4.2 MTODO DAS FORAS PROPOSTO POR J. M. DE ARAJO ........................... 37 4.3 MTODO DE LANGENDONCK ............................................................................. 39 4.4 MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ................................................................. 42 5 MODELAGEM GEOMTRICA .............................................................................. 43 6 DIMENSIONAMENTO DA VIGA DE SUSTENTAO ...................................... 48 6.1 CARREGAMENTO ADOTADO .............................................................................. 48 6.2 SOLICITAES ....................................................................................................... 49 6.2.1 Mtodo de G. Prudon ............................................................................................ 51 6.2.2 Mtodo das Foras proposto por J. M. de Arajo ............................................. 53

6.2.3 Mtodo de Langendonck ...................................................................................... 59 6.2.4 Mtodo dos Elementos Finitos ............................................................................. 62 6.3 ARMADURA LONGITUDINAL ............................................................................. 67 6.4 ARMADURA TRANSVERSAL ............................................................................... 73 6.5 TAXA DE ARMADURA .......................................................................................... 77 6.5.1 Mtodo de G. Prudon ............................................................................................ 78 6.5.2 Mtodo das Foras proposto por J. M. de Arajo ............................................. 81 6.5.3 Mtodo de Langendonck ...................................................................................... 83 6.5.4 Mtodo dos Elementos Finitos ............................................................................. 86 6.6 COMPARAO DOS RESULTADOS .................................................................... 90 7 CONSIDERAES FINAIS ..................................................................................... 94 REFERNCIAS ............................................................................................................. 95 APNDICE A ................................................................................................................. 96 ANEXO A ........................................................................................................................ 99

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Escadas helicoidais em concreto armado: comparao entre mtodos de dimensionamento

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1 INTRODUO

Uma escada helicoidal pode ser definida como uma escada que, em planta, possui contorno circular, ou seja, a caixa ou limite externo que circunscreve o volume ocupado pela mesma possui formato cilndrico. Assim sendo, os degraus, com funo estrutural secundria, so dispostos ao longo de uma seo girante, com um eixo vertical e raio de curvatura constante.

Usualmente a estrutura de uma escada deve garantir resistncia e estabilidade por solicitaes verticais, como peso prprio e sobrecargas. Para tanto, um projeto estrutural se faz necessrio para assegurar que a estrutura projetada no atinja os estados limites. Foi analisado, neste trabalho, o dimensionamento no estado limite ltimo de ruptura flexo com toro e cisalhamento.

Existem inmeros sistemas estruturais e geomtricos de escadas, o que influenciam diretamente no mtodo de dimensionamento adotado. Neste trabalho foram abordadas as escadas curvas com estrutura desenvolvida sobre viga helicoidal engastada em suas extremidades e com degraus centrados. Rocha (1985, p. 85), ao introduzir o estudo de escadas curvas, indica que [...] o problema se torna complexo, visto que o funcionamento das escadas no pode ser assimilado a peas de forma prismtica e, portanto, no devem ser aplicadas as frmulas comuns da Resistncia dos Materiais..

Admite-se, portanto, a utilizao de mtodos empricos para o clculo das solicitaes em sistemas curvos mais simples, como o caso da viga central em forma de hlice. Foi includo no escopo desta pesquisa o Mtodo de Elementos Finitos atravs do software comercial SAP2000, uma vez que cada vez mais comum a utilizao de mtodos numricos em substituio aos mtodos empricos. Calculadas as solicitaes, o dimensionamento se fez com o auxlio de bacos adimensionais em roseta e das recomendaes da NBR 6118:2007 Projeto de Estruturas de Concreto Procedimento.

Como vantagem, destaca-se que o uso de uma seo girante, ao invs de lances retos com patamares horizontais permite, alm de obter uma disposio de construo mais delicada, ganhar um pouco de espao no desenvolvimento da escada (GUERRIN; LAVAUR, 2002, p. 333).

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Tiago Noal. Porto Alegre: DECIV/EE/UFRGS, 2014

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No captulo 2 so apresentadas as diretrizes da pesquisa, onde se detalhou as etapas da mesma. No captulo 3 so dispostas informaes gerais sobre escadas helicoidais, incluindo a terminologia utilizada, dimenses aceitveis e carregamento usual ao qual esto submetidas. O captulo 4 descreve os mtodos considerados. No captulo 5 fixou-se uma geometria para o modelo de escada helicoidal proposto. O captulo 6 destina-se a quantificar o carregamento, as solicitaes e a taxa de armadura nos mtodos considerados e, ao final deste captulo, efetuou-se uma comparao entre os resultados. As consideraes finais encontram-se no captulo 7.

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2 DIRETRIZES DA PESQUISA

As diretrizes para desenvolvimento do trabalho so descritas nos prximos itens.

2.1 QUESTO DE PESQUISA

A questo de pesquisa do trabalho : entre os mtodos empregados de dimensionamento de escadas helicoidais em concreto armado, para a situao estudada, qual conduz a um menor consumo de materiais?

2.2 OBJETIVOS DA PESQUISA

Os objetivos da pesquisa esto classificados em principal e secundrio e so descritos a seguir.

2.2.1 Objetivo principal

O objetivo principal do trabalho a verificao do mtodo de dimensionamento de escadas curvas helicoidais em concreto armado que conduz ao menor consumo de materiais entre os estudados.

2.2.2 Objetivo secundrio

O objetivo secundrio do trabalho o dimensionamento dos degraus.

2.3 PRESSUPOSTO

O trabalho tem por pressuposto que os mtodos abordados para o dimensionamento dos elementos estruturais produzem resultados seguros e considera que so vlidas as especificaes das normas brasileiras utilizadas.

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2.4 DELIMITAES

O estudo delimita-se a escadas internas comerciais de ambiente urbano, construdas em concreto armado, desenvolvidas sobre viga helicoidal.

2.5 LIMITAES

So limitaes do trabalho:

a) na estrutura atuam apenas cargas verticais, como peso prprio e sobrecarga, desconsideram-se carregamentos horizontais;

b) a viga macia com seo transversal retangular; c) a viga considerada engastada nas extremidades; d) verifica-se somente o estado limite ltimo de ruptura na flexo com toro e

cisalhamento; e) os degraus so centrados em relao viga; f) so utilizados, para a verificao das solicitaes, somente: mtodo de G.

Prudon, mtodo das foras proposto por J. M. de Arajo, mtodo de Langendonck e mtodo dos elementos finitos (software SAP2000);

g) a geometria da escada invarivel, de forma a permitir a comparao entre mtodos, definida para: - lance de escada, com desenvolvimento em planta, de uma volta completa ou

360; - altura da escada, ou seja, a distncia vertical entre os nveis de sada e

chegada entre dois pavimentos igual a 6 m; - comprimento dos degraus de 30 cm na linha de rasto e a altura dos degraus de

15 cm; - largura da escada de 2 m.

2.6 DELINEAMENTO

O trabalho foi realizado atravs das etapas apresentadas a seguir, que esto representadas na figura 1, descritas nos prximos pargrafos:

a) pesquisa bibliogrfica; b) entendimento da estrutura; c) descrio dos mtodos utilizados; d) definio de um modelo de escada helicoidal,

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- modelo geomtrico; - dimensionamento dos degraus; - carregamento adotado;

e) dimensionamento nos mtodos utilizados; e) consideraes finais.

Figura 1 Diagrama das etapas da pesquisa

(fonte: elaborada pelo autor)

A pesquisa bibliogrfica foi realizada durante todas as etapas deste trabalho de diplomao. A bibliografia consultada estava relacionada aos mtodos utilizados no clculo das solicitaes em estruturas curvas helicoidais de concreto armado e normas brasileiras aplicveis no dimensionamento das mesmas.

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O trabalho comea pelo entendimento da estrutura. Definiu-se, nesta etapa, a terminologia utilizada, os limites dimensionais aceitveis e o carregamento usual em que as escadas helicoidais esto submetidas.

A etapa seguinte consistiu na descrio dos mtodos utilizados. Foram utilizados trs mtodos empricos e um mtodo numrico para a determinao dos esforos solicitantes. Esta etapa tem por objetivo a descrio detalhada de cada mtodo, definindo os tipos de solicitaes que cada um evidencia como importante para um dimensionamento seguro.

Posteriormente, foi feita a definio de um modelo de escada helicoidal. Esta etapa

constituiu-se da elaborao de um modelo geomtrico e carregamento adotado para o mesmo. Foram atribudas dimenses fixas para um modelo de escada helicoidal desenvolvida sobre viga nica de concreto armado, padro comercial urbano, possibilitando a quantificao das solicitaes. Ainda nesta etapa foi feito o dimensionamento dos degraus.

Na etapa referente ao dimensionamento nos mtodos considerados, foi feita a quantificao das solicitaes e taxa de armadura da viga, para o modelo de escada helicoidal adotado, nas metodologias propostas.

Por fim, nas consideraes finais, foi elaborada a anlise dos resultados de forma a identificar o mtodo mais eficiente, ou seja, que possui o desempenho esperado com maior economia de materiais.

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3 ESCADAS HELICOIDAIS

Este captulo tem por objetivo definir a terminologia utilizada, dimenses aceitveis para que se obtenha uma escada confortvel e segura e o carregamento usual ao qual a mesma est submetida.

3.1 TERMINOLOGIA

Segundo Guerrin e Lavaur (2002, p. 332, grifo do autor), uma escada composta por certa quantidade de degraus que podem apoiar-se sobre uma viga curva em forma helicoidal, como o caso da estrutura analisada neste trabalho. A esta se d o nome de se viga de sustentao da escada. As dimenses que definem um degrau so seu comprimento e altura, conforme se observa no corte longitudinal ilustrado na figura 2.

Figura 2 Corte longitudinal de um trecho de escada


Guerrin e Lavaur (2002, p. 332, grifo do autor) definem tambm a caixa de escada como sendo a margem externa que limita a escada, ou seja, a caixa contm o volume da escada. O espao interno, vazio, deixado no meio da escada, o vo de escada, que pode ser inexistente ou grande ao ponto de permitir a instalao de um elevador. A gola a margem interna, que limita a escada do lado do vo.

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A trajetria curva descrita por uma pessoa subindo a escada a uma distncia de 0,5 m da gola denomina-se linha de rasto. A altura livre existente acima da aresta de um degrau o desvo. Por fim, um lance, reto ou curvo, como uma sequncia ininterrupta de degraus (GUERRIN; LAVAUR, 2002, p. 332, grifo do autor).

3.2 DIMENSES ACEITVEIS

Guerrin e Lavaur (2002, p. 332) recomendam que o valor mnimo de desvo seja de 1,9 m. Sugerem que um lance deve comportar, no mximo, 20 degraus entre patamares de chegada e sada.

As dimenses, de uma forma geral, variam de acordo com o uso que a escada se destina, sendo que para escadas internas, um degrau de comprimento 28 cm e altura 16 cm muito confortvel. Quanto maior o comprimento e menor a altura dos degraus, mais confortvel ser a escada. A largura de uma escada usualmente 1 m, sendo varivel de 0,7 m a 0,9 m para escadas de servio e 1,5 a 2,0 m para grandes escadas (GUERRIN; LAVAUR, 2002, p. 333).

Segundo Arajo (2010c, p. 66-67), as dimenses dos degraus devem garantir tanto comodidade quanto segurana aos usurios. O autor sugere, para isto, que o comprimento deve situar-se entre 26 e 32 cm e a altura entre 16 e 19 cm. Indica que, para escadas de edifcios residenciais, a largura usual de 1,2 m podendo variar de acordo com a finalidade.

Guerrin e Lavaur (2002, p. 335) afirmam que os construtores admitem a existncia necessria de uma relao entre comprimento e altura dos degraus. A possibilidade de combinaes entre estas variveis faz com que seja sempre possvel o desenvolvimento de uma escada aceitvel. A relao mais empregada a frmula de Blondel, referida como frmula 1:

+ 2 = S (frmula 1) Onde: = comprimento dos degraus na linha de rasto (m); = altura dos degraus (m); S = 0,59 m (escadas residenciais) a 0,66 m (locais pblicos).

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Conhecendo-se a altura 2 a ser vencida pela escada e a altura do degrau, o nmero de degraus dado por = 2/, que em geral um nmero no inteiro. Adota-se um valor inteiro imediatamente superior ou inferior ao nmero obtido. A escada, portanto ter degraus de altura 2/ (GUERRIN; LAVAUR, 2002, p. 333). Arajo (2010c, p. 97-98) afirma que a inclinao de uma escada curva helicoidal dada pela frmula 2:

tan B = 22?C (frmula 2)

Onde: B = inclinao da escada (rad); 2 = altura da escada (m); ? = raio da viga helicoidal (m), no eixo de simetria, em projeo no plano horizontal; 2C = ngulo total de abertura (rad), em projeo no plano horizontal, conforme figura 3. Figura 3 Projeo da viga helicoidal no plano horizontal

(fonte: ARAJO, 2010c, p. 97)

Guerrin e Lavaur (2002, p. 333) apresentam, na frmula 3, um meio para se calcular o comprimento da linha de rasto:

5:; = ( 1) (frmula 3) Onde: 5:; = comprimento da linha de rasto (m); = comprimento dos degraus na linha de rasto (m); = nmero de degraus.

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3.3 CARGAS ATUANTES

De acordo com a NBR 6120 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 1980, p. 1), as cargas atuantes no projeto de estruturas de edificaes, nas quais se incluem as escadas, podem ser classificadas em duas categorias: permanentes e acidentais. Arajo (2010c, p. 68) aponta, entre estas, as que se relacionam diretamente s escadas:

Dentre as cargas permanentes esto includos o peso prprio, o revestimento e o peso dos parapeitos. As cargas acidentais so uniformemente distribudas sobre a superfcie da escada. Alm disso, a NBR 6120 exige a considerao de cargas acidentais aplicadas ao longo dos parapeitos [...].

3.3.1 Cargas permanentes

A NBR 6118 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 52) define como permanentes as aes que possuem valores praticamente constantes ao longo da vida til da construo e tambm as aes que crescem no tempo, mas tendem a um valor limite constante.

3.3.1.1 Peso prprio dos degraus e da viga de sustentao

A massa especfica do concreto endurecido depende principalmente das caractersticas dos agregados utilizados, como granulometria e mtodo de compactao. Quanto maior a densidade dos agregados e maior quantidade de agregados grados, maior a massa especfica do concreto. Quanto compactao, o objetivo incorporar a maior quantidade possvel de agregados por unidade de volume e preencher os vazios deixados pelos mesmos com argamassa. indiscutvel que, quanto mais bem compactado, maior a massa especfica do concreto (MONTOYA et al., 2011, p. 56, traduo nossa). A NBR 6118 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 22) informa que Se a massa especfica real no for conhecida, para efeito de clculo, pode-se adotar para o concreto simples o valor de 2400 kg/m e para o concreto armado 2500 kg/m..

Supe-se que a densidade dos degraus seja a mesma da viga de sustentao. Isto pode no ser verdade, porm se aproxima bastante da realidade, pois os degraus nem sempre so armados, mas frequentemente revestidos com material de elevado peso especfico (ultrapassando 25 kN/m). Com isso, h uma compensao e pode-se considerar 25 kN/m como uma mdia para o peso especfico dos degraus (GUERRIN; LAVAUR, 2002, p. 45).

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27

Conforme Arajo (2010c, p. 68-69), O peso prprio da escada avaliado por m de projeo horizontal, ou seja, ele uma carga vertical, tanto para o patamar, quanto para os trechos inclinados.. Assim, para degraus isolados, ou seja, desconsiderando o apoio sob os mesmos, o peso dos degraus, por m de projeo horizontal, dado por:

! = 25 (frmula 4) Onde: ! = peso prprio dos degraus (kN/m); = altura da pea pr-moldada do degrau (m), conforme figura 4.

Deve-se levar em conta o peso prprio da viga de sustentao. Este deve ser calculado por metro linear, tomado no eixo de simetria das sees transversais e depois dividido pelo cosseno do ngulo de inclinao da escada. Desta forma, obtm-se o peso por metro de projeo horizontal do eixo da viga, conforme frmula 5 (ROCHA, 1985, p. 87):

! = 25 cos (frmula 5)

Onde: ! = peso prprio da viga de sustentao (kN/m); = altura da viga (m), conforme figura 4; B = inclinao da escada (rad), conforme figura 4; = base da viga (m), conforme figura 5.

Ao peso prprio da viga deve-se adicionar a parcela correspondente aos apoios dos degraus. Analogamente frmula 5, considerando porm a altura mdia do apoio ao invs da altura projetada da viga de sustentao, tem-se que:

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!" = 25 2 (frmula 6)

Onde: !" = peso prprio dos apoios dos degraus (kN/m); = altura dos degraus (m), conforme figura 4; = base da viga (m), conforme figura 5.

Figura 4 Dimenses da escada em corte longitudinal


3.3.1.2 Peso prprio do revestimento

Arajo (2010c, p. 69) explica que:

O peso do revestimento tambm considerado como uma carga vertical, por metro quadrado de projeo horizontal da escada. O valor depende basicamente dos materiais empregados como piso. Conhecendo-se o detalhamento dos degraus, pode-se avaliar o peso do revestimento em funo do peso especfico dos materiais de construo [...].

Por outro lado, Arajo (2010c, p. 69) salienta que, na falta de projeto detalhado, pode-se adotar como peso do revestimento o valor de 1 kN/m. Rocha (1985, p. 53) refora a

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afirmao de que o peso da pavimentao varia de 0,5 a 1 kN/m, sendo, portanto o valor de 1 kN/m uma estimativa adequada para o peso do revestimento.

3.3.1.3 Peso prprio do parapeito

Guerrin e Lavaur (2002, p. 333) salientam que, do lado vazio de uma escada, os lances e patamares so dotados de um guarda-corpo ou corrimo. Devido ao fato dos degraus serem centrados em viga nica, a escada estudada neste trabalho possui os dois lados livres e tem-se desta forma, dois parapeitos dispostos ao longo das extremidades dos degraus, conforme a figura 5.

Figura 5 Disposio dos parapeitos em corte transversal


Segundo Arajo (2010c, p. 69-70), o peso de cada parapeito pode ser estimado inicialmente por metro longitudinal. O peso de 1m de parapeito construdo em alvenaria dado por:

! = E% (frmula 7) Onde: ! = peso prprio do parapeito (kN/m); E = peso especfico da alvenaria (kN/m); = altura do parapeito (m); % = espessura da parede do parapeito (m).

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A NBR 6120 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 1980, p. 2) recomenda que seja adotado, para o peso especfico da alvenaria, o valor de 13 kN/m para tijolos furados ou 18 kN/m para tijolos macios. Guerrin e Lavaur (2002, p. 337) citam que os guarda-corpos das escadas podem ser executados com outros materiais que no alvenaria. Como exemplo, destacam-se os parapeitos em madeira, metal e concreto armado. Guerrin e Lavaur (2002, p. 45) estimam que o peso de um corrimo de metal leve seja de aproximadamente 0,1 kN/m enquanto o peso de um parapeito de alvenaria situe-se na faixa de 2 kN/m.

3.3.2 Cargas acidentais

A NBR 8681 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2003, p. 2) considera cargas acidentais as que se originam de aes variveis, ou seja, cargas que apresentam variaes significativas de valor em torno de sua mdia, durante a vida til de uma construo na qual esto aplicadas. A NBR 6120 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 1980, p. 1) relaciona a carga acidental ou sobrecarga diretamente utilizao da edificao, como por exemplo, s aes das pessoas, mveis, utenslios, veculos, etc.

3.3.2.1 Cargas acidentais nos degraus

O valor mnimo recomendado pela NBR 6120 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 1980, p. 3), para as cargas acidentais verticais, supostas uniformemente distribudas nos degraus, de:

a) 3 kN/m para as escadas com acesso ao pblico; b) 2,5 kN/m para as escadas sem acesso ao pblico.

Rocha (1985, p. 53), refora a importncia de quantificar a sobrecarga em funo do uso ao qual a estrutura se destina, e recomenda a adoo dos seguintes valores:

a) 2 a 2,5 kN/m para as escadas secundrias; b) 2,5 a 3 kN/m para as escadas de edifcios residenciais; c) 4 a 5 kN/m para as escadas de edifcios pblicos.

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Guerrin e Lavaur (2002, p. 47), apontam que o peso mximo de uma multido extremamente densa, ou seja, quase na impossibilidade de se mover no ultrapassa 3,8 kN/m. Entretanto, se for considerado o carter dinmico das cargas e possveis fenmenos de ressonncia, principalmente em locais pblicos, supor apenas 5 kN/m pode ser um pensamento otimista. Para as sobrecargas de utilizao de escadas em edificaes residenciais, a estimativa de Guerrin e Lavaur (2002, p. 45) de 2,5 kN/m.

Caso a escada seja constituda por degraus isolados, a NBR 6120 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 1980, p. 4) instrui que [...] estes devem ser calculados para suportarem uma carga concentrada de 2,5 kN, aplicada na posio mais desfavorvel.. Porm, este carregamento no considerado no dimensionamento da viga de sustentao, portanto esta instruo considerada apenas para o dimensionamento dos degraus.

3.3.2.2 Carga acidental no parapeito

A NBR 6120 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 1980, p. 4) prope ainda que Ao longo dos parapeitos e balces devem ser consideradas aplicadas uma carga horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimo e uma carga vertical mnima de 2 kN/m.. As cargas acidentais nos parapeitos podem ser observadas na figura 6.

Figura 6 Cargas acidentais nos parapeitos


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3.3.3 Combinao de aes

Segundo a NBR 6118 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 60), Um carregamento definido pela combinao das aes que tm probabilidades no desprezveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um perodo preestabelecido.. Para o caso de uma escada comercial interna, verificada quanto ao estado limite ltimo na utilizao, suficiente a combinao ltima normal, ou seja, Em cada combinao devem estar includas as aes permanentes e a ao varivel principal, com seus valores caractersticos e as demais aes variveis, consideradas como secundrias, com seus valores reduzidos de combinao..

A NBR 8681 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2003, p. 6) define os critrios que devem ser considerados nas combinaes de aes:

a) aes permanentes devem figurar em todas as combinaes de aes;

b) aes variveis nas combinaes ltimas normais: em cada combinao ltima, uma das aes variveis considerada como a principal, admitindo-se que ela atue com seu valor caracterstico Fk; as demais aes variveis so consideradas como secundrias, admitindo-se que elas atuem com seus valores reduzidos de combinao 0-k.

As combinaes ltimas normais so dadas pela frmula 8, da NBR 8681 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2003, p. 7):

-. = c Gd-/d,0 + Hedf g-1,0 + c Oh-1h,0i

hf j (frmula 8)

Onde: -. = valor de clculo das aes para a combinao ltima (kN/m); G = coeficiente de ponderao das aes permanentes; -/,0 = valor caracterstico das aes permanentes (kN/m); H = coeficiente de ponderao das aes variveis; -1,0 = valor caracterstico da ao varivel considerada principal para a combinao (kN/m); O = coeficiente de minorao das aes variveis secundrias;

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-1,0 = valor caracterstico das demais aes variveis (kN/m).

A respeito dos coeficientes de ponderao das aes permanentes, a NBR 8681 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2003, p. 8) conduz a uma majorao do valor caracterstico das aes que provocam efeitos desfavorveis, e minorao dos valores das aes que provocam efeitos favorveis integridade estrutural. Todas as cargas atuantes, na escada helicoidal considerada neste trabalho, provocam efeitos desfavorveis.

A NBR 8681 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2003, p. 8) explica que o valor do coeficiente G, relativo s aes permanentes, nas combinaes ltimas normais, est relacionado ao tipo de construo e de material utilizado. Explica ainda que Processos mais controlados admitem coeficientes de ponderao menores e processos menos

controlados exigem coeficientes maiores.. A tabela 1 fornece valores de G, para combinaes ltimas normais, com aes desfavorveis segurana da estrutura.

Tabela 1 Coeficiente de ponderao das aes permanentes consideradas separadamente

Tipo de ao G Peso prprio de estruturas pr-moldadas 1,30

Peso prprio de estruturas moldadas no local 1,35

Peso prprio de elementos construtivos em geral 1,50

(fonte: adaptada de ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2003, p. 9)

Quanto s aes variveis, a NBR 8681 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2003, p. 10) destaca que:

Os coeficientes de ponderao q das aes variveis majoram os valores representativos das aes variveis que provocam efeitos desfavorveis para a segurana da estrutura. As aes favorveis que provocam efeitos favorveis no so consideradas nas combinaes de aes, admitindo-se que sobre a estrutura atuem apenas as parcelas de aes variveis que produzam efeitos desfavorveis.

Para as aes variveis consideradas separadamente, em combinaes ltimas normais, com aes desfavorveis segurana da estrutura, pode-se adotar o valor geral de 1,50 para o

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coeficiente de ponderao H (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2003, p. 10).

A NBR 6118 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 59) sugere que o valor do coeficiente de minorao das aes variveis secundrias O, para as cargas acidentais em locais onde no h predominncia de pesos de equipamentos fixos por longos perodos de tempo nem de elevadas multides, pode ser considerado de 0,5. A NBR 6118 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 58) afirma ainda que o valor das aes variveis secundrias pode ser reduzido, pois [...] considera muito baixa a probabilidade de ocorrncia simultnea dos valores caractersticos de duas ou mais variveis de naturezas diferentes..

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4 MTODOS UTILIZADOS

Neste captulo so descritos os mtodos empricos analisados e um mtodo numrico para obteno das solicitaes em vigas de sustentao de escadas helicoidais em concreto armado.

4.1 MTODO DE G. PRUDON

De acordo com Guerrin e Lavaur (2002, p. 362), o clculo da flexo em vigas curvas se faz sobre o comprimento desenvolvido em planta baixa. Informam ainda que o efeito de toro produzido pelas cargas verticais, teoricamente dirigido ao centro de curvatura, muito pequeno, uma vez que as vigas helicoidais, obrigatoriamente engastadas pelas lajes em suas extremidades, constituem um conjunto de grande rigidez toro.

Segundo os autores, os momentos de flexo e toro podem ser encontrados pelo mtodo de clculo de G. Prudon. Conforme este mtodo, os momentos de flexo Mx e de toro My, para

um ponto qualquer S, definido pelo ngulo I da viga de sustentao, conforme figura 7, podem ser calculados, respectivamente, por (GUERRIN; LAVAUR, 2002, p. 362):

< = -.?(1 (1 + k) cos I) (frmula 9)

= = -?(I (1 + K) sin I) cos B (frmula 10) Onde: < = momento fletor na direo x (kNm); = = momento toror na direo y (kNm); -. = valor de clculo das aes para a combinao ltima (kN/m), definido pela frmula 8; ? = raio da viga helicoidal (m), no eixo de simetria, em projeo no plano horizontal; I = ngulo que define uma seo qualquer da viga de sustentao (rad); (1 + k) = coeficiente definido pela frmula 11:

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(1 + k) = sin CC (2 + tan B) cos C1 + tan B2 (1 + sin 2CC ) (frmula 11)

Onde: C = metade do ngulo total da abertura (rad); B = inclinao da escada (rad), conforme figura 4.

Ainda na figura 7, pode-se perceber no centro C o momento m0, onde o momento de toro nulo (GUERRIN; LAVAUR, 2002, p. 362).

Figura 7 Projeo da viga helicoidal em planta baixa por Guerrin e Lavaur

(fonte: adaptada de GUERRIN; LAVAUR, 2002, p. 363)

O esforo cortante mximo estimado sem levar em considerao a inclinao da viga. Desta forma, pode ser calculado como a metade da carga total em cada engaste, de acordo com a frmula 12 (GUERRIN; LAVAUR, 2002, p. 367):

A = -.52 (frmula 12)

Onde: A = esforo cortante mximo (kN); -. = valor de clculo das aes para a combinao ltima (kN/m), definido pela frmula 8; 5 = comprimento da viga de sustentao em planta baixa (m).

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4.2 MTODO DAS FORAS PROPOSTO POR J. M. DE ARAJO

Conforme Arajo (2010c, p. 96), considerando os degraus engastados em uma viga central helicoidal V3, conforme figura 8, a mesma est submetida a esforos de toro com flexo. O autor afirma que Os esforos solicitantes nas mesmas podem ser obtidos com o emprego do mtodo das foras..

Figura 8 Modelagem da escada helicoidal em planta baixa por Arajo

(fonte: ARAJO, 2010c, p. 96)

Este mtodo consiste em projetar horizontalmente a linha descrita pelo eixo geomtrico da viga helicoidal no plano horizontal. As extremidades da viga devem ser consideradas engastadas. Os ngulos de abertura, o raio e os momentos Mx e My em uma seo genrica, definida pelo ngulo , esto ilustrados na figura 9 (ARAJO, 2010c, p. 97).

Figura 9 Projeo da viga helicoidal em planta baixa por Arajo

(fonte: adaptada de ARAJO, 2010c, p. 97)

Os momentos Mx e My so dados pelas frmulas 13 e 14, respectivamente (ARAJO, 2010c, p. 97):

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< = -.?( cos I 1) (frmula 13)

= = -?( sin I I) (frmula 14) Onde: < = momento fletor na direo x (kNm); = = momento na direo y (kNm); -. = valor de clculo das aes para a combinao ltima (kN/m), definido pela frmula 8; ? = raio da viga helicoidal (m), no eixo de simetria, em projeo no plano horizontal; I = ngulo que define uma seo qualquer da viga de sustentao (rad); = constante definida pela frmula 15:

= 2o(1 + k) sin C Ck cos CpC(1 + k) + (1 k) sin C cos C (frmula 15)

Onde: C = metade do ngulo total da abertura (rad); k = constante definida pela frmula 16:

k = ,3q4 (frmula 16)

Onde: ,3 = rigidez flexo das sees transversais; q4 = rigidez toro das sees transversais.

Arajo (2010c, p. 98) explica ainda que O momento Mx o momento fletor em um plano vertical. O momento My se decompe no momento toror = = cos B e no momento fletor

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lateral r = = sin B. Portanto, a viga deve ser dimensionanda toro e flexo oblqua.. O ngulo B a inclinao da escada, dada pela frmula 2. Por fim, Arajo (2010c, p. 98) estima o esforo cortante mximo nas extremidades da viga de sustentao, atravs da frmula 17:

A = -.?C cos B (frmula 17) Onde: A = esforo cortante mximo (kN); -. = valor de clculo das aes para a combinao ltima (kN/m), definido pela frmula 8; ? = raio da viga helicoidal (m), no eixo de simetria, em projeo no plano horizontal; C = metade do ngulo total da abertura (rad); B = inclinao da escada (rad), conforme figura 4.

4.3 MTODO DE LANGENDONCK

Rocha (1985, p. 86) aponta que casos mais simples, como o caso das escadas que se apoiam sobre vigas helicoidais de sustentao podem ser abordados sem a necessidade de introduzir o estudo das cascas, indicado para resolver problemas de peas curvas. Neste caso, o clculo das solicitaes para a escada da figura 10, onde se supe os degraus centrados e engastados na viga central V3 em forma de hlice, bem como a viga perfeitamente engastada nas extremidades, pode ser feito utilizando os coeficientes apresentados nas tabelas baseadas nas frmulas de Telmaco Van Langendonck.

Figura 10 Modelagem da escada helicoidal em planta baixa por Rocha

(fonte: ROCHA, 1985, p. 86)

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Uma vez definido o desenvolvimento em planta, para os casos de peas com uma volta completa, de volta, meia volta e de volta, Os momentos fletores e de toro ao longo da pea helicoidal so dados pelas frmulas. (ROCHA, 1985, p. 87):

= -? (frmula 18)

= -? (frmula 19) Onde: < = momento fletor na direo x (kNm); = = momento na direo y (kNm); -. = valor de clculo das aes para a combinao ltima (kN/m), definido pela frmula 8; ? = raio da viga helicoidal (m), no eixo de simetria, em projeo no plano horizontal; e = coeficientes tabelados.

Rocha (1985, p. 87) afirma ainda que O momento < de flexo em um plano vertical e o momento = se decompe em um momento de toro e momento de flexo lateral., resultando, portanto em toro e flexo oblqua em cada seco. Os coeficientes e so tabelados, entrando com a relao , onde:

= s cos Bt (frmula 20)

Onde:

s uvwxy zt = altura projetada da viga (m), conforme figura 4; = base da viga (m), conforme figura 5.

Na tabela 2, so apresentados os valores dos coeficientes e em diversos pontos ao longo do eixo geomtrico de simetria, projetado em um plano horizontal, de vigas curvas do tipo

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balco ou hlice com desenvolvimento de uma volta completa ou 360. A figura 11 indica a

localizao destes pontos bem como o sentido adotado para os momentos < e = nas sees transversais relacionadas aos mesmos.

Tabela 2 Coeficientes e para viga helicoidal de 1 volta completa

coef. PONTOS

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1,0 0,174 0,084 -0,170 -0,551 -1,000 -1,449 -1,830 -2,084 -2,174 0,000 0,056 0,044 -0,094 -0,397 -0,879 -1,526 -2,300 -3,142

1,5 0,394 0,288 -0,014 -0,467 -1,000 -1,533 -1,986 -2,288 -2,394 0,000 0,141 0,200 0,110 -0,177 -0,676 -1,371 -2,215 -3,142

2,0 0,555 0,437 0,100 -0,405 -1,000 -1,595 -2,100 -2,437 -2,555 0,000 0,202 0,314 0,259 -0,016 -0,527 -1,257 -2,154 -3,142

2,5 0,667 0,540 0,179 -0,362 -1,000 -1,638 -2,179 -2,540 -2,667 0,000 0,245 0,393 0,362 0,096 -0,423 -1,177 -2,111 -3,142

3,0 0,815 0,677 0,284 -0,305 -1,000 -1,695 -2,284 -2,677 -2,815 0,000 0,302 0,498 0,499 0,245 -0,286 -1,073 -2,054 -3,142

(fonte: adaptada de ROCHA, 1985, p. 354)

Figura 11 Projeo da viga helicoidal em planta baixa por Rocha

(fonte: adaptada de ROCHA, 1985, p. 354)

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4.4 MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Assan (2003, p. 15) afirma que:

[o mtodo dos elementos finitos] consiste no apenas em transformar o slido contnuo em uma associao de elementos discretos e escrever as equaes de compatibilidade e equilbrio entre eles, mas admitir funes contnuas que representam, por exemplo, o campo de deslocamentos no domnio de um elemento e, a partir da, obter o estado de deformaes correspondente que, associado s relaes constitutivas do material, permitem definir o estado de tenses em todo o elemento.

Comumente, o mtodo dos elementos finitos (MEF) baseia-se na [...] diviso do domnio de integrao, contnuo, em um nmero finito de pequenas regies denominadas elementos finitos, tornando o meio contnuo em discreto [...]. O autor afirma ainda que diviso do domnio d-se o nome de rede de elementos finitos e que aos pontos de interseco das linhas da rede o nome de ns (ASSAN, 2003, p. 57, grifo do autor).

Assan (2003, p. 16) ressalta que Atualmente, h centenas de programas computacionais comerciais de uso corrente em diversas reas do conhecimento que utilizam esse mtodo para anlises linear e no-linear. e que conhecer os fundamentos nos quais o mtodo dos elementos finitos se sustenta fundamental para que seja possvel lidar com os softwares disponveis de forma consciente.

Entretanto, para a anlise da estrutura helicoidal proposta neste trabalho, desconsiderou-se a formulao do mtodo ou princpios utilizados. A aplicao deste mtodo limitou-se utilizao do software comercial SAP2000 verso 15. No software, a hlice foi modelada em finitas barras retilneas que passam pelo centride das sees transversais da viga.

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5 MODELAGEM GEOMTRICA

Este captulo tem por objetivo fixar uma geometria para o modelo de escada helicoidal proposto neste trabalho de diplomao. Desta forma, em captulos posteriores foi possvel quantificar as cargas, as solicitaes e dimensionou-se a quantidade de ao necessria para as sees mais solicitadas. Definiu-se inicialmente:

a) desenvolvimento em planta baixa de 360 ou 2 radianos; b) altura da escada de 6 m; c) largura da escada de 2 m; d) altura do degrau de 0,15 m; e) comprimento do degrau de 0,30 m na linha de rasto.

Sendo a altura H da escada 6 metros e a altura do hd do degrau 0,15 m, a escada ter ={|,}~ = 40 degraus. A partir da frmula 3, tem-se que o comprimento da linha de rasto de 5:; = ( 1) = 0,30(40 1) = 11,70 metros. O raio da escada, na linha de rasto de ?:; = }},| = 1,86 metros.

Sendo a linha de rasto tomada a 0,5 metros da gola e a largura da escada de 2 metros, o raio da viga helicoidal, no eixo de simetria, em projeo no plano horizontal de ? = ?:; +0,5 = 1,86 + 0,5 = 2,36 metros. O raio interno, na gola da escada ?89) = 1,36 metros e o raio externo ?67) = 3,36 metros. Desse modo, o comprimento da viga helicoidal no eixo de simetria em planta baixa de 5 = 2. ? = 2. 2,36 = 14,84 metros. Os raios podem ser observados na figura 12 e, a altura da escada, bem como o comprimento da viga de sustentao, na figura 13.

A inclinao da escada, de acordo com a frmula 2 pode ser calculada como B = tan s t porm, como pode-se observar na figura 13, deve-se desconsiderar o ltimo degrau da altura H, uma vez que o mesmo faz parte do patamar de chegada e no est sobre a viga de

sustentao. Desta forma, a inclinao da escada B = tan ~,~.,{. = 0,3755 radianos ou ainda B = 21,51 graus.

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Figura 12 Dimenses da escada em planta baixa


Figura 13 Dimenses da escada em corte longitudinal no eixo da viga


Justifica-se a escolha da altura H de 6 metros entre patamares de sada e chegada, pois se deseja evitar resultados com taxas de armaduras mnimas. Esta uma geometria normalmente encontrada em obras comerciais.

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A altura projetada da viga v foi definida em aproximadamente }}| do comprimento projetado em planta baixa, ao longo do eixo geomtrico da viga de sustentao, ou seja, 1,5 m, conforme a figura 14. Ainda na mesma figura pode-se observar as dimenses adotadas para os degraus e para os apoios sob os mesmos. De acordo com o apndice A, suficiente uma altura =0,10 m para a altura da pea pr-moldada do degrau.

Figura 14 Altura da viga de sustentao e dos degraus em corte longitudinal


O comprimento dos degraus varia ao longo da largura da escada, sendo menor na gola ou borda interna e maior na caixa ou borda externa. A figura 15 ilustra um degrau em planta baixa com os comprimentos nos trechos mais relevantes para o desenvolvimento deste trabalho.

Figura 15 Comprimento e largura dos degraus em planta baixa


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Na figura 16, tem-se o corte transversal AA da escada no qual se observa detalhes da seo transversal da viga bem como do parapeito. O comprimento adotado para a base b da viga foi

de } da altura, ou seja, b=0,5 m e para os parapeitos de alvenaria uma espessura t=0,10 m e altura hp=0,85 m.

Figura 16 Dimenses da escada em corte transversal


A tabela 3 resume as principais variveis definidas neste captulo.

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Tabela 3 Dimenses finais adotadas para a escada

C (rad) semi-ngulo de abertura rad 2 (m) altura da escada 6,00 m

B (rad) inclinao da escada 0,3755 rad (m) altura do degrau 0,15 m

(m) altura da pea pr-moldada do degrau 0,10 m (cm) comprimento do degrau na linha de rasto 30,00 cm

. (cm) comprimento do degrau no eixo da viga de sustentao 38,06 cm . (cm) comprimento do degrau na borda externa 54,17 cm . (cm) comprimento do degrau na borda interna 21,94 cm

5:; (m) comprimento da linha de rasto em planta baixa 11,70 m 5 (m) comprimento da viga de sustentao em planta baixa 14,84 m

567) (m) comprimento da borda externa em planta baixa 21,12 m 589) (m) comprimento da borda interna em planta baixa 8,56 m

?:; (m) raio da escada na linha de rasto 1,86 m ? (m) raio da viga de sustentao 2,36 m

?67) (m) raio da escada na borda externa 3,36 m ?89) (m) raio da escada na borda interna 1,36 m

cos B (m) altura projetada da viga 1,50 m (m) base da viga 0,50 m

(m) altura do parapeito 0,85 m % (m) espessura do parapeito 0,10 m


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6 DIMENSIONAMENTO DA VIGA DE SUSTENTAO

Este captulo inicia-se com a determinao de um carregamento para o modelo de escada helicoidal definido no captulo 5. Posteriormente, foram calculadas as solicitaes de momentos de flexo, toro e cisalhamento, para os quatro mtodos propostos, em diferentes pontos ao longo do eixo de simetria da viga de sustentao da escada. Para cada mtodo foram dimensionadas, no estado limite ltimo de ruptura ou esgotamento da capacidade resistente da estrutura, reas de ao nas sees mais solicitadas.

6.1 CARREGAMENTO ADOTADO

De acordo com a frmula 4, o peso prprio dos degraus pr-moldados, por m de projeo horizontal : ! = 25 = 25 0,1 = 2,5 kN/m. Sendo a rea de um degrau a largura pelo comprimento no eixo da viga de sustentao e o peso do degrau distribudo uniformemente ao longo do mesmo eixo, o peso prprio dos degraus, por metro longitudinal de viga projetada : ! = ,(O,)O, = 5 kN/m. A frmula 5 resulta no peso prprio da viga projetada em planta baixa, no eixo de simetria. Assim, ! = 25 v = 25 1,5 0,5 = 18,75 kN/m. A este peso deve-se adicionar a parcela correspondente ao apoio dos degraus. Conforme a frmula 6, !" = 25 = 25 |,}~ 0,5 = 0,94 kN/m. O peso prprio do revestimento, estimado em 1 kN/m deve ser distribudo ao longo da viga

de sustentao. Assim, !# = (O,)O, = 2 kN/m. O peso prprio de cada parapeito de alvenaria de tijolos furados por metro longitudinal, dado pela frmula 7, resultando em ! = F"% = 13 0,85 0,1 = 1,105 kN/m. Este peso multiplicado por 2, uma vez que so dois parapeitos, um ao longo da borda externa e outro

da borda interna. Assim, ! = 1,105 2 = 2,21 kN/m.

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49

considerada uma carga acidental distribuda de 2,5 kN/m nos degraus. Esta sobrecarga distribuda sobre o eixo projetado da viga de sustentao resulta em $ = ,(O,)O, = 5 kN/m.

Ao longo de cada parapeito deve-se considerar uma sobrecarga vertical mnima de 2 kN/m.

Tem-se portanto, no eixo da viga, uma carga acidental adicional de $ = 2 2 = 4 kN/m. De posse dos carregamentos permanentes e acidentais, fazem-se as combinaes de aes, conforme a frmula 8, onde:

-. = c Gd-/d,0 + Hedf g-1,0 + c Oh-1h,0i

hf j -. = 1,35! + ! + !" + !# + ! + 1,5$ + 0,5$

-. = 1,35(5 + 18,75 + 0,94 + 2 + 2,21) + 1,5(5 + 0,5 4) -. = 49,51 kN/m

-. = 1,35! + ! + !" + !# + ! + 1,5$ + 0,5$ -. = 1,35(5 + 18,75 + 0,94 + 2 + 2,21) + 1,5(4 + 0,5 5)

-. = 48,76 kN/m

Admite-se, portanto, -. = -. = 49,51 kN/m como o valor de clculo da carga aplicada ao eixo longitudinal da viga helicoidal em planta baixa, resultante da combinao ltima normal de aes.

6.2 SOLICITAES

A seguir so estimadas as solicitaes que cada mtodo evidencia como importante para um dimensionamento seguro. As solicitaes para os mtodos empricos foram calculadas em 17 pontos ao longo da viga projetada, sendo cada ponto definido, conforme figura 17, pelo

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ngulo de abertura I, que varia de zero a C em sentido horrio e zero a C em sentido anti-horrio, sendo C o semi-ngulo de abertura, ou seja, radianos.

Figura 17 Diviso da viga helicoidal em pontos equidistantes


Considerou-se, tambm, que a escada sobe no sentido anti-horrio, como ilustra a figura 18.

Figura 18 Escada helicoidal sobe em sentido anti-horrio


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51

Os diagramas so desenhados no lado tracionado da pea. Valores negativos de flexo vertical denotam fibras superiores tracionadas enquanto valores positivos indicam fibras inferiores tracionadas. Para flexo lateral , valores negativos denotam fibras tracionadas ao longo da borda externa e valores positivos indicam fibras tracionadas na borda interna.

6.2.1 Mtodo de G. Prudon

Considerando -. = 49,51 kN/m, ? = 2,36 m, B = 0,3755 rad, C = rad e 5 = 14,84 m, calcula-se, atravs das frmulas 9 a 11, respectivamente, o momento fletor , toror e o esforo cortante A. Na tabela 4, encontra-se o resultado para as solicitaes ao longo dos 17 pontos, alterando-se

o ngulo I de acordo com as divises propostas na figura 17. Os momentos e em Prudon foram multiplicados por -1 para padronizar os diagramas quanto conveno adotada, ou seja, para valores negativos, fibras superiores tracionadas e inferiores comprimidas. Diagrama de momento fletor desenhado no lado das fibras tracionadas.

Na figura 19, pode-se observar o diagrama do momento fletor em um plano vertical , e, na figura 20, o diagrama do momento toror . Em vista lateral, a viga encontra-se tracionada nas fibras superiores e comprimida nas fibras inferiores ao longo de toda a extenso. Os

maiores valores, tanto de quanto encontram-se nas extremidades da viga.

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Tabela 4 Solicitaes Mx, My e V por G. Prudon

ponto I (rad) (kN.m) (kN.m) |A| (kN) 8 -532,59 -807,42 367,42 7 7 8 -513,08 -615,23 desconsiderado 6 3 4 -457,51 -436,93 desconsiderado 5 5/8 -374,35 -284,31 desconsiderado 4 /2 -276,25 -165,23 desconsiderado 3 3/8 -178,16 -82,45 desconsiderado 2 /4 -94,99 -33,22 desconsiderado 1 /8 -39,43 -9,66 desconsiderado 0 0 -19,91 0,00 desconsiderado

1 /8 -39,43 9,66 desconsiderado 2 /4 -94,99 33,22 desconsiderado 3 3/8 -178,16 82,45 desconsiderado 4 /2 -276,25 165,23 desconsiderado 5 5/8 -374,35 284,31 desconsiderado 6 3 4 -457,51 436,93 desconsiderado 7 7 8 -513,08 615,23 desconsiderado 8 -532,59 807,42 367,42


Figura 19 Diagrama do Momento Fletor Mx por Prudon


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53

Figura 20 Diagrama do Momento Toror My por Prudon


6.2.2 Mtodo das Foras proposto por J. M. de Arajo

Neste mtodo, para obteno das solicitaes, faz-se necessrio o clculo da constante K, atravs da frmula 16. O numerador, parcela referente rigidez flexo das sees transversais, resulta da multiplicao do mdulo de deformao longitudinal E pelo momento de inrcia I=Ix, que passa pelo centride da seo transversal, conforme figura 21. O denominador, parcela referente rigidez toro das sees transversais o produto do mdulo de deformao transversal G pelo momento polar de inrcia J.

Figura 21 Eixos em torno do centride da seo transversal


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54

Para o clculo das solicitaes e avaliao do comportamento de um elemento estrutural ou seo transversal, considerando anlises elsticas de projeto, o valor do mdulo de deformao longitudinal a ser utilizado o mdulo secante Ecs, especificado pela frmula 21 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 23-24):

, = 0,85, (frmula 21) Onde: , = mdulo de deformao longitudinal secante (MPa); , = mdulo de deformao longitudinal tangente inicial (MPa).

Conforme a mesma Norma, o mdulo de deformao longitudinal tangente inicial pode ser estimado pela frmula 22:

, = 5600/ (frmula 22)

Onde: , = mdulo de deformao longitudinal tangente inicial (MPa); = resistncia caracterstica compresso do concreto (MPa).

A agressividade ambiental qual a estrutura ser exposta durante sua vida til deve ser identificada, a fim de determinar a classe de resistncia mnima do concreto a ser utilizada. Em se tratando de escadas internas de ambiente urbano, onde o espao seco, ou seja, estrutura protegida de chuva, a classe de agressividade ambiental tipo I, considerada fraca e com risco de deteriorao insignificante. (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 16).

De acordo com a NBR 6118 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 18), para classe de agressividade ambiental tipo I, a classe de concreto a ser utilizada deve ser no mnimo C20. Para esta estrutura, optou-se por utilizar = 50 MPa.

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55

Considerando a seo transversal da figura 21, os momentos de inrcia de uma rea retangular, em torno dos eixos do centride so dados pelas frmulas (HIBBELER, 2004, p. 672):

3 = 112

B

(frmula 23)

3 = 112

B

(frmula 24)

Onde: 3 = momento de inrcia em torno do eixo x (m4); 3 = momento de inrcia em torno do eixo y (m4); = base da viga (m); s uvwxyzt = altura projetada da viga (m).

A NBR 6118 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 24) define que [...] o mdulo de elasticidade transversal Gc [pode ser considerado] igual a 0,4 Ecs..

De acordo com Hibbeler (2004, p. 613), o momento polar de inrcia para toda a rea :

4 = 3 + 3 (frmula 25)

Onde: 4 = momento polar de inrcia (m4); 3 = momento de inrcia em torno do eixo x (m4); 3 = momento de inrcia em torno do eixo y (m4).

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56

Assim, para a constante K tem-se:

k = ,3q4

k =0,85 5600 50 s 112 0,5 1,5t

0,4 0,85 5600 50 s 112 0,5 1,5t + s112 1,5 0,5t

k = 2,25

Considerando -. = 49,51 kN/m, ? = 2,36 m, B = 0,3755 rad, C = rad e k = 2,25, calcula-se, atravs das frmulas 13, 14 e 17, respectivamente, os momentos , e o esforo cortante A. O momento foi decomposto em toro = = cos B e flexo lateral r = = sin B. Na tabela 5, encontra-se o resultado para as solicitaes ao longo dos 17 pontos, alterando-se o ngulo I de acordo com as divises propostas na figura 17.

Nas figuras 22 e 23, pode-se observar em vista lateral, respectivamente, os diagramas do

momento fletor em um plano vertical e momento toror . Na figura 24, tem-se o diagrama do momento de flexo lateral em vista superior. Os valores mximos encontram-se nas extremidades da viga.

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Tabela 5 Solicitaes Mx, My, T, Ml e V por J.M. de Arajo

ponto I (rad) (kN.m) (kN.m) (kN.m) (kN.m) |A| (kN) 8 -658,76 -867,88 -807,42 -318,25 341,82 7 7 8 -629,64 -613,01 -570,31 -224,79 Desconsiderado 6 3 4 -546,73 -380,44 -353,93 -139,51 Desconsiderado 5 5/8 -422,63 -189,03 -175,87 -69,32 Desconsiderado 4 /2 -276,25 -51,43 -47,85 -18,86 Desconsiderado 3 3/8 -129,88 27,93 25,99 10,24 Desconsiderado 2 /4 -5,78 53,50 49,78 19,62 Desconsiderado 1 /8 77,14 37,89 35,25 13,90 Desconsiderado 0 0 106,25 0 0 0 Desconsiderado

1 /8 77,14 -37,89 -35,25 -13,90 Desconsiderado 2 /4 -5,78 -53,50 -49,78 -19,62 Desconsiderado 3 3/8 -129,88 -27,93 -25,99 -10,24 Desconsiderado 4 /2 -276,25 51,43 47,85 18,86 Desconsiderado 5 5/8 -422,63 189,03 175,87 69,32 Desconsiderado 6 3 4 -546,73 380,44 353,93 139,51 Desconsiderado 7 7 8 -629,64 613,01 570,31 224,79 Desconsiderado 8 -658,76 867,88 807,42 318,25 341,82


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Figura 22 Diagrama do Momento Fletor Mx por J. M. de Arajo


Figura 23 Diagrama do Momento Toror T por J. M. de Arajo


Figura 24 Diagrama do Momento Fletor Lateral Ml por J. M. de Arajo


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59

6.2.3 Mtodo de Langendonck

Define-se inicialmente a constante de acordo com a frmula 20. Sendo esta constante a razo entre a altura da viga pela base, tem-se:

= suvwxyzt =

1,50,5 = 3

Entrando com a relao = 3 na tabela 2, tomam-se os valores referentes aos coeficientes e para cada ponto definido na figura 11. Considerando -. = 49,51 kN/m, ? = 2,36 m e B = 0,3755 rad, calcula-se, atravs das frmulas 18 e 19, respectivamente os momentos e . O momento decomposto em toro = = cos B e flexo lateral r = = sin B. Este mtodo no faz meno quanto ao esforo de cisalhamento nos engastes.

Os resultados das solicitaes, ao longo dos 17 pontos considerados, podem ser observados na tabela 6. Os coeficientes , para os pontos de 1 8 tem o sinal invertido em relao aos pontos de 1 a 8, uma vez que o momento inverte de sentido a partir do centro da escada, no ponto 0.

Os diagramas do momento fletor em um plano vertical e momento toror , em vista lateral, podem ser observados nas figuras 25 e 26, respectivamente. Na figura 27, tem-se o diagrama do momento de flexo lateral em vista superior. Assim como nos outros mtodos empricos, os valores mximos encontram-se nas extremidades.

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Tabela 6 Solicitaes Mx, My, T e Ml por Langendonck

ponto C1 C2 (kN.m) (kN.m) (kN.m) (kN.m) 8 -2,815 -3,142 -777,65 -867,99 -807,52 -318,30

7 -2,677 -2,054 -739,53 -567,43 -527,90 -208,08

6 -2,284 -1,073 -630,96 -296,42 -275,77 -108,70

5 -1,695 -0,286 -468,25 -79,01 -73,50 -28,97

4 -1,000 0,245 -276,25 67,68 62,97 24,82

3 -0,305 0,499 -84,26 137,85 128,25 50,55

2 0,284 0,498 78,46 137,57 127,99 50,45

1 0,677 0,302 187,02 83,43 77,62 30,59

0 0,815 0,000 225,15 0,00 0,00 0,00

1 0,677 -0,302 187,02 -83,43 -77,62 -30,59

2 0,284 -0,498 78,46 -137,57 -127,99 -50,45

3 -0,305 -0,499 -84,26 -137,85 -128,25 -50,55

4 -1,000 -0,245 -276,25 -67,68 -62,97 -24,82

5 -1,695 0,286 -468,25 79,01 73,50 28,97

6 -2,284 1,073 -630,96 296,42 275,77 108,70

7 -2,677 2,054 -739,53 567,43 527,90 208,08

8 -2,815 3,142 -777,65 867,99 807,52 318,30


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Figura 25 Diagrama do Momento Fletor Mx por Langendonck


Figura 26 Diagrama do Momento Toror T por Langendonck


Figura 27 Diagrama do Momento Fletor Lateral Ml por Langendonck


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6.2.4 Mtodo dos Elementos Finitos

Fazendo o uso de um sistema de coordenadas cilndricas, discretizou-se o eixo geomtrico da viga helicoidal em 50 barras retilneas resultando, portanto, em uma rede composta por 51 ns. Os diagramas foram construdos com base nos valores mximos de cada n em substituio ao fracionamento de 17 pontos tomado para os mtodos empricos.

Na figura 28, pode-se observar a viga helicoidal modelada no software SAP2000 v15 em uma vista tridimensional.

Figura 28 Viga Helicoidal modelada no software SAP2000


As extremidades da viga foram engastadas e, s barras, adicionou-se um carregamento -. = 49,51 kN/m no sentido da fora gravitacional. As solicitaes encontradas para cada n podem ser observadas na tabela 7, sendo o n 1 situado no pavimento de sada e o n 51 no pavimento de chegada.

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Tabela 7 Solicitaes Mx, Ml, T, V e N por Elementos Finitos

n (kN.m) (kN.m) (kN.m) A (kN) > (kN) 1 -844,24 -249,92 -564,65 -373,36 -153,79

2 -798,73 -245,43 -564,65 -354,00 -159,39

3 -749,19 -242,17 -475,65 -334,73 -164,78

4 -696,25 -239,86 -391,84 -315,62 -169,77

5 -640,61 -238,17 -313,65 -296,74 -174,19

6 -582,93 -236,78 -241,43 -278,16 -177,88

7 -523,87 -235,37 -175,47 -259,94 -180,68

8 -464,09 -233,65 -115,98 -242,13 -182,45

9 -404,20 -231,32 -63,07 -224,79 -183,08

10 -344,81 -228,11 6,01 -207,95 -182,47

11 -286,48 -223,80 55,89 -191,65 -180,51

12 -229,73 -218,18 82,56 -175,91 -177,17

13 -175,07 -211,09 103,02 -160,76 -172,39

14 -122,94 -205,21 117,54 -146,19 -166,15

15 -73,75 -198,81 126,42 -132,21 -158,46

16 -27,86 -190,58 130,02 -118,81 -149,35

17 7,81 -180,49 130,02 -105,96 -138,86

18 45,95 -168,51 128,72 -93,64 -127,08

19 80,34 -154,70 122,97 -81,80 -114,09

20 110,74 -139,13 113,21 -70,41 -99,99

21 136,91 -121,93 99,95 -59,41 -84,93

22 158,68 -103,26 83,68 -48,75 -69,05

23 175,91 -83,32 64,94 -38,36 -52,49

24 188,47 -62,32 44,26 -28,17 -35,44 Continua

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64

Continuao

n (kN.m) (kN.m) (kN.m) A (kN) > (kN) 25 196,28 -40,51 21,55 -18,11 -18,06

26 199,29 -18,16 -23,78 -8,11 -0,53

27 193,79 13,70 -46,60 6,58 5,41

28 185,61 35,97 -68,56 16,59 22,90

29 172,75 57,74 -89,10 26,69 40,17

30 155,33 78,75 -107,68 36,96 57,04

31 133,51 98,76 -123,78 47,45 73,34

32 107,44 117,54 -136,88 58,25 88,91

33 77,33 134,90 -146,50 69,40 103,59

34 43,41 150,69 -152,16 80,96 117,25

35 5,94 164,78 -153,44 92,99 129,77

36 -25,47 177,08 -153,44 105,52 141,03

37 -70,38 187,57 -149,93 118,59 150,96

38 -118,39 196,25 -141,25 132,23 159,50

39 -169,15 203,17 -127,08 146,45 166,60

40 -222,29 211,25 -107,12 161,25 172,24

41 -277,36 218,94 -81,14 176,65 176,44

42 -333,91 225,20 -48,95 192,62 179,21

43 -391,45 230,17 24,14 209,14 180,61

44 -449,46 234,05 85,95 226,19 180,70

45 -507,37 237,08 143,72 243,73 179,59

46 -564,62 239,52 207,76 261,71 177,38

47 -620,61 241,65 277,87 280,09 174,21

48 -674,71 243,75 353,78 298,80 170,20 Continua

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65

Continuao

n (kN.m) (kN.m) (kN.m) A (kN) > (kN) 49 -726,32 246,16 435,18 317,78 165,53

50 -774,79 249,17 521,66 336,96 160,36

51 -819,53 253,09 521,66 356,28 154,86


Os diagramas do momento fletor em um plano vertical , momento toror e esforo cortante A em vista lateral, podem ser observados nas figuras 29 a 31, respectivamente. Na figura 32, encontra-se o diagrama do momento de flexo lateral em vista superior. Neste mtodo foi identificada uma solicitao normal >, conforme o diagrama da figura 33. A viga possui, portanto, esforo axial de compresso do ponto 1 ao 26 e trao do ponto 27 ao 51.

Figura 29 Diagrama do Momento Fletor Mx por Elementos Finitos


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66

Figura 30 Diagrama do Momento Toror T por Elementos Finitos


Figura 31 Diagrama do Esforo Cortante V por Elementos Finitos


Figura 32 Diagrama do Momento Fletor Lateral Ml por Elementos Finitos


Figura 33 Diagrama do Esforo Normal N por Elementos Finitos


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6.3 ARMADURA LONGITUDINAL

Para uma seo retangular, solicitada por flexo composta oblqua, de dimenses conhecidas e disposio de armadura tambm conhecida, pode-se calcular a armadura total longitudinal

de flexo ,(, disposta simetricamente, por bacos adimensionais em roseta (MONTOYA et al., 2011, p. 256, traduo nossa).

Preparam-se inicialmente os esforos reduzidos ', & e & conforme as frmulas 26 a 28 (MONTOYA et al., 2011, p. 478, traduo nossa).

' = > (frmula 26)

& = (frmula 27)

& = (frmula 28)

Onde: ' = esforo normal de clculo reduzido (adimensional); > = esforo normal de clculo (kN); = = rea da seo cheia de concreto (m); = resistncia de clculo compresso do concreto (kN/m); & = momento fletor de clculo reduzido na direo x (adimensional); = momento fletor de clculo na direo x (kN.m); = altura da viga (m); & = momento fletor de clculo reduzido na direo y (adimensional); = momento fletor de clculo na direo y (kN.m); = base da viga (m).

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A partir da minorao da resistncia caracterstica compresso, obtm-se a resistncia de clculo compresso do concreto, atravs da frmula 29 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 63-64):

= F (frmula 29)

Onde: = resistncia de clculo compresso do concreto (MPa); = resistncia caracterstica compresso do concreto (MPa); F = coeficiente de ponderao da resistncia do concreto, sendo 1,4 para condies normais.

De acordo com a NBR 8681, os valores de clculo dos esforos atuantes, ou seja, das solicitaes j esto majorados pelos coeficientes adotados no clculo da combinao de aes -, ou seja, = X-[ (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2003, p. 7).

Para uma seo retangular com disposio predeterminada de barras longitudinais,

cobrimento relativo de 10% e limite de escoamento do ao entre 400 500, obtm-se, atravs dos bacos dispostos no anexo A, o valor da quantia mecnica total necessria w. Em posse de w calcula-se, pela frmula 30, a capacidade mecnica total da armadura longitudinal @, com cujo valor se entra na tabela 8, de capacidade mecnica de armadura correspondente a classe de ao empregado e obtm-se diretamente o nmero de barras necessrio de um determinado dimetro. Naturalmente, deve-se respeitar a disposio de armadura correspondente ao baco empregado (MONTOYA et al., 2011, p. 478-479, traduo nossa):

@ = ,( = (frmula 30)

Onde: @ = capacidade mecnica total da armadura longitudinal (kN); ,( = rea total de ao da armadura longitudinal de flexo (cm);

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= resistncia de clculo ao escoamento do ao (kN/cm); = quantia mecnica total; = = rea da seo cheia de concreto (m); = resistncia de clculo compresso do concreto (kN/m).

Tabela 8 Capacidade mecnica em kN para armaduras com ao CA-50

(mm)

Nmero de barras

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6 12,3 24,6 36,9 49,2 61,5 73,8 86,1 98,3 110,6 122,9

8 21,9 43,7 65,6 87,4 109,3 131,1 153,0 174,8 196,7 218,5

10 34,1 68,3 102,4 136,6 170,7 204,9 239,0 273,2 307,3 341,5

12 49,2 98,3 147,5 196,7 245,9 295,0 344,2 393,4 442,6 491,7

14 66,9 133,9 200,8 267,7 334,6 401,6 468,5 535,4 602,4 669,3

16 87,4 174,8 262,3 349,7 437,1 524,5 611,9 699,3 786,8 874,2

20 136,6 273,2 409,8 546,4 683,0 819,5 956,1 1092,7 1229,3 1365,9

25 213,4 426,8 640,3 853,7 1067,1 1280,5 1494,0 1707,4 1920,8 2134,2

32 349,7 699,3 1049,0 1398,7 1748,4 2098,0 2447,7 2797,4 3147,1 3496,7

40 546,4 1092,7 1639,1 2185,5 2731,8 3278,2 3824,5 4370,9 4917,3 5463,6

(fonte: adaptada de MONTOYA et al., 2011, p. 113)

A armadura mnima longitudinal de flexo para vigas de seo retangular, com o uso de ao CA-50, F = 1,4 e F = 1,15, calculada pela frmula 31 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007,

escadas helicoidais em concreto armado - métodos de dimensionamento

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