erro e estratÉgias do aluno na resoluÇÃo de problemas de ... · oscilado quanto aos indicadores...
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Secretaria de Estado da Educação – SEED
Superintendência da Educação – SUED
Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE
NÍVIA MARTINS BERTI
MATERIAL DIDÁTICO OAC - Proposta nº 7905
MATEMÁTICA PDE
ERRO E ESTRATÉGIAS DO ALUNO NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
DE MATEMÁTICA: CONTRIBUIÇÕES PARA O PROCESSO
AVALIATIVO
UNIOESTE CASCAVEL
2007
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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - PDE
MATERIAL DIDÁTICO OAC – Proposta nº 7905
MATEMÁTICA PDE
ERRO E ESTRATÉGIAS DO ALUNO NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
DE MATEMÁTICA: CONTRIBUIÇÕES PARA O PROCESSO
AVALIATIVO
Material Didático apresentado à Coordenação Estadual do PDE – Programa de desenvolvimento Educacional do Estado do Paraná – como requisito parcial à obtenção de certificação para promoção ao Nível III do Plano de Carreira dos Professores. Orientador: Prof Ms Marco Antonio Batista Carvalho
UNIOESTE CASCAVEL
2007
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Secretaria de Estado da Educação – SEED
Superintendência da Educação – SUED
Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE
OAC- Professora PDE - Nívia Martins Berti
Estabelecimento: Colégio Estadual Princesa Isabel. EFM
NRE: Assis Chateaubriand
TÍTULO: Erro e estratégias do aluno na resolução de problemas de Matemática:
contribuições para o processo avaliativo
Orientador: Profº Ms Marco Antonio Batista Carvalho
PDE – 2007
IES: UNIOESTE - Cascavel
IDENTIFICAÇÃO DO CONTEÚDO
• Eixo-conteúdo
o Ensino Fundamental
o Matemática
o Avaliação da aprendizagem
o Números e Álgebra
o Resolução de Problemas
..
RECURSO DE EXPRESSÃO
As relações entre teoria e prática sobre o tema avaliação refletem contradições.
De um lado prima-se pela avaliação qualitativa do aluno levando em conta sua
subjetividade e os diversos fatores que intervêm em sala de aula. De outro, não se
rompe com o modelo quantitativo de avaliar e julgar, que culmina nos processos de
verificação e classificação, expressos por notas ou conceitos.
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Os alunos na escola aprendem mais do que os conteúdos transmitidos. Conforme
Luckesi (2002, p.127), “ao assimilar os conhecimentos, o educando assimila também as
metodologias e as visões de mundo que os perpassam. O conteúdo do conhecimento, o
método e a visão de mundo são elementos didaticamente separáveis, porém compõem
um todo orgânico e inseparável do ponto de vista real”.
Assim, os alunos aprendem também atitudes que podem influenciar na
segurança, na afetividade, no desenvolvimento da autonomia e os reflexos podem
aparecer nos instrumentos avaliativos. Muitas decisões podem ser tomadas, ou deixar de
ser tomada, pelos alunos, no momento de resolver um problema, por meio de atitudes
que caracterizam autonomia, heteronomia, conformismo, insegurança, significância
com relação ao objeto de aprendizagem entre outras.
Conhecer os alunos e aproximar de seus porquês torna-se fundamental para bem
avaliar e orientar o processo de ensino-aprendizagem de modo que responda às
expectativas de uma educação escolar que deseja ser transformadora.
RECURSO DE (IN) FORMAÇÃO
• Sugestão de leitura
BIBLIOGRAFIA COMENTADA
Apresento sugestões de leituras que poderão contribuir com informações para o
tema em questão: avaliação da aprendizagem em matemática. Tais leituras trazem
subsídios para reflexões acerca de fundamentação teórica, concepções pedagógicas,
metodologias e processos avaliativos que são elementos inerentes à função educativa
escolar.
PINTO, Neuza B. O erro como estratégia didática: Estudo do erro no ensino da
matemática elementar. SP: Papirus, 2000.
Esta obra trata da função do erro do aluno no processo de ensino-aprendizagem
da matemática elementar. O estudo se passa no cotidiano escolar e a autora promove
discussões em três níveis de debate: o da formação continuada do professor; o do ensino
da Matemática e o do processo de avaliação da aprendizagem escolar. O referencial
piagetiano permeia o estudo e permite diversas reflexões. O que considero muito
5
importante nesta obra são os questionamentos sobre as formas de correção e tratamento
dado ao erro na escola e procura desvincular a idéia de fracasso escolar. Ressalta que o
erro é inerente ao processo de construção do conhecimento e pode ser uma valiosa
estratégia didática para que o professor acompanhe o desenvolvimento escolar do aluno.
Destaca, ainda, a necessidade de ressignificação do erro no contexto escolar.
ESTEBAN, Maria Teresa. O que sabe quem erra? Reflexões sobre avaliação e
fracasso escolar. 3a ed. Rio de Janeiro: DP&A, 2002.
Esteban mostra preocupação com a sala de aula e sua pesquisa se dá no trabalho
com o professor. Estabelece um diálogo produtivo oportunizando novos olhares, novas
compreensões das situações de sala de aula e, sobretudo dos erros dos alunos. A autora
contribui, principalmente, com a linguagem escrita não sendo um livro específico de
contribuições para a Matemática. Mas, mesmo assim, traz elementos significativos para
serem aproveitados em todas as disciplinas, pois a avaliação é um processo comum a
todas elas. Traz, também, uma visão política das situações enfatizando questões de
discriminação e exclusão social, pois as crianças que reprovam ou evadem são, na
maioria das vezes, crianças com problemas sociais.
ROMÃO, José Eustáquio. Avaliação Dialógica: desafios e perspectivas. 2. ed. São
Paulo: Cortez: Instituto Paulo Freire, 1999.
Esta obra de Romão merece ser lida na íntegra, pois traz muitas contribuições. O
autor considera que, além das deficiências no processo de aprendizagem, o sistema de
promoção implantado nas escolas elementares do país é o responsável pelo
artificialismo das situações e pela precariedade dos instrumentos de avaliação, que
podem estar levando a um registro de desempenho do aluno que não corresponde à
competência efetivamente adquirida no domínio de conhecimentos, habilidades e
posturas. Considera que a maioria das obras sobre avaliação da aprendizagem tem
oscilado quanto aos indicadores de qualidade de ensino. Alguns consideram que os
fatores negativos do rendimento escolar se encontram no interior da própria escola.
Outros consideram que são externos à escola e, um terceiro grupo, enfatiza mais as
deficiências pessoais do próprio aluno. Comenta, ainda, que as dificuldades que os
professores da educação básica têm apresentado, ao lidar com o tema avaliação, têm
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sido tão grandes que, quase sempre, chegam a passar um sentimento de impotência,
lançando-os ora numa espécie de limbo agonizante, ora no consolo da acomodação.
LUCKESI, Cipriano Carlos. Avaliação da aprendizagem escolar: estudos e
proposições. 14a ed. São Paulo: Cortez, 2002.
Este livro apresenta uma coletânea de textos do autor e traz apontamentos sobre
a pedagogia do exame; o autoritarismo na avaliação; do erro como fonte de castigo ao
erro como fonte de virtude; a avaliação e a democratização do ensino; verificação ou
avaliação; a articulação entre o planejamento e a avaliação escolar entre outros temas.
SACRISTÁN, Gimeno J. Compreender e transformar o ensino. 4ª ed., Porto Alegre:
Artes Médicas, 1998. *(indicação de um dos cursistas do GTR)
O autor aborda a prática da avaliação no ensino, levando em consideração os
fatores que podem estar envolvidos no processo. Deixa idéias do que se deve entender
por avaliação, faz uma pequena síntese histórica descrevendo a avaliação como uma
prática complexa e enumera as funções da avaliação na prática educativa escolar.
Comenta também sobre a avaliação informal e avaliação contínua apresentando táticas
de avaliação integrada no processo de ensino.
MORETTO, Vasco Pedro. PROVA, momento privilegiado de estudo - não um
acerto de contas. 3ª ed. Rio de Janeiro: DP& A, 2002. *(contribuição de um dos
cursistas do GTR)
Nesta obra o autor afirma que é necessário dar ao processo de avaliação um
novo sentido, transformando-o em oportunidade para o aluno ler, refletir, relacionar,
operar mentalmente e demonstrar que tem recursos para abordar situações mais
elaboradas (complexas). Na escola dita tradicional, o foco do ensino visando o acúmulo
de informações era a habilidade de memorização e reprodução em momentos de
avaliação. Esse modelo não é mais aceito no mundo social atual. Os conteúdos devem
ser relevantes, tendo sentido para o sujeito dentro do seu contexto. Destaca que o
professor precisa conhecer cognitiva e psico-socialmente seus alunos. É importante que
conheça as características do grupo como um todo. O autor afirma que a frase do
professor que é mais importante e que devia ser a mais freqüente em classe é: "O que
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você quis dizer com isso?" Assim, o aluno terá oportunidade de repetir de outra forma
seu pensamento e indicando o significado dado ao seu discurso.
• Notícias
No site “NOTA 10 – Notícias Diárias da Educação” encontra-se algumas
considerações sobre a avaliação da aprendizagem sob o tema: Avaliação da
aprendizagem nos dias hoje.
O artigo apresenta que a avaliação nos dias de hoje, não é algo meramente
técnico e envolve auto-estima, respeito à vivência e cultura própria do indivíduo,
filosofia de vida, sentimentos e posicionamento político. Mostra também, que o
professor que usa o erro do aluno como ponto de partida para a compreensão tanto do
raciocínio do aluno como de sua própria prática docente, toma uma posição pedagógica
que se distancia das atitudes que consideramos tradicionais. Ou seja, de classificar o
aluno apenas como certo ou errado sem levar em conta as causas dos erros ou as
estratégias de solução. O texto na íntegra pode ser encontrado no link:
http://www.nota10.com.br/artigo/arquivo/2006/novembro/30.html
* Notícia* - Foi inaugurado em 27/11/2007 o Centro Estadual de Avaliação e
Orientação Pedagógica que tem como base a parceria entre as secretarias estaduais da
Educação e da Saúde. O centro vai proporcionar atendimento educacional especializado
aos alunos das escolas estaduais de Curitiba e Região Metropolitana que apresentam
dificuldades de aprendizado. O processo de identificação deve ser realizado de forma
contínua, reflexiva, cumulativa e sistemática com o objetivo de identificar a situação da
aprendizagem dos alunos que apresentam dificuldades com relação à programação
curricular. A matéria na íntegra pode ser encontrada no link
http://www.aenoticias.pr.gov.br/modules/news/article.php?storyid=33372
• Destaque
Dados do SAEB (Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica) mostram
que os alunos do Paraná estão apresentando bons resultados nas avaliações oficiais. A
expectativa com cursos de formação continuada dos professores é que tais resultados
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sejam cada vez melhores. A reportagem que traz as notícias do SAEB é apresentada na
matéria intitulada: Avaliação confirma bom desempenho dos alunos da rede pública no
Paraná - 08/02/2007. A matéria na íntegra pode ser lida no endereço:
http://www.agenciadenoticias.pr.gov.br/modules/news/article.php?storyid=26242
• Paraná
No site http://matematica.seed.pr.gov.br/, pertencente ao portal do dia-a-dia
educação do Paraná encontramos diversos materiais tais como: artigos, dissertações e
tese, catálogos de sítios, filmes, sugestões de leituras, vídeos entre outros. Tais
materiais podem auxiliar muito a prática educativa, tendo em vista que o professor pode
selecionar o assunto de seu interesse, enriquecer as aulas e aprimorar seus
conhecimentos. Vejamos alguns exemplos:
No link de dissertações podemos encontrar textos significativos para o tema
avaliação da aprendizagem.
Em um destes trabalhos intitulado: A avaliação no processo ensino-
aprendizagem de Matemática no ensino médio: uma abordagem sócio-cognitiva,
mostra que a pesquisa tem como objetivo contribuir com a reflexão acerca do tema
avaliação nos aspectos histórico, sócio-cognitivo, filosófico e metodológico.
Uma outra pesquisa, intitulada Do observável para o oculto, se mostra muito
interessante para a questão da avaliação no sentido de contribuir com a compreensão do
que é produzido pelos alunos, por mostrar que erros e acertos constituem-se em
informações relevantes sobre o processo de ensino-aprendizagem.
No site também encontramos informações a respeito dos principais eventos na
área de Matemática.
RECURSOS DIDÁTICOS
• Sítios
Cipriano Carlos Luckesi, que trata da avaliação da aprendizagem, possui um site
onde apresenta sugestões de leituras, artigos, um link de perguntas e respostas, contato
direto com o autor entre outros. Para acessá-lo entre no endereço eletrônico
http://www.luckesi.com.br/
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Outro site em que encontramos diversos artigos relacionados à avaliação da
aprendizagem é o da revista Nova Escola. Para acessá-lo entre no endereço eletrônico
http://revistaescola.abril.com.br/
No site http://www.tvebrasil.com.br/SALTO/boletins2002/aas/aasimp.htm
encontramos textos sobre a “aprendizagem e avaliação significativas” numa perspectiva
interdisciplinar. São textos muito bons. Vale a pena acessá-los!
• Sons e Vídeos
Pesquisando sobre o assunto percebemos que não é fácil lidar com a questão da
avaliação. Para nós, avaliar significa interpretar o que o aluno faz e produz, quer seja em
provas e testes, em trabalhos individuais ou em grupos, em diálogos provocados ou
espontâneos em sala de aula entre professor e aluno ou aluno-aluno entre outros.
Buscar compreender como se dá a avaliação nas escolas requer,
consequentemente, que procuramos saber, também, como a escola está estruturada e
sistematizada, quais as concepções de conhecimento, de ensino e aprendizagem, de
homem e de mundo que ela leva em conta.
No site http://www.bibvirt.futuro.usp.br/videos/tv_escola/escola_educacao
podemos encontrar vídeos que tratam do tema “Avaliação e aprendizagem”. Tais vídeos
mostram experiências relacionadas às formas de avaliação e promoção do aluno. Para
assisti-los basta acessar o endereço eletrônico onde serão encontrados 4 (quatro) vídeos
pertencentes a uma série intitulada “Avaliação e aprendizagem”. São eles:
• Avaliação e contexto social - (16 min.)
• Ciclo de aprendizagem e avaliação - (17 min.)
• O que é avaliação? - (14 min.)
• Projetos educacionais e avaliação - (22 min.)
Sinopses de alguns dos vídeos:
O vídeo Avaliação e contexto social, traz a experiência de uma escola localizada
em um bairro muito grande no Rio de Janeiro - sendo considerado o maior bairro da
América Latina - que mantém, há 10 anos, o sistema de ciclos ao invés de séries
escolares. Comentam que o tamanho do bairro expressa também o tamanho de
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problemas que o mesmo apresenta. Inclusive professores pensavam em pedir
exoneração ao se depararem com as dificuldades no trabalho.
Uma professora comenta que sentia repulsa pela realidade local, mas ao se
envolver com as situações cotidianas se envolveu também de forma profunda com a
comunidade. Percebia a necessidade de avaliar continuamente levando em conta os
problemas sociais que se encontravam no local, tão fortemente.
Com a experiência de avaliar continuamente e, não somente por notas de período
em período, consideram que a avaliação está sendo mais importante porque alunos e
professores precisaram assimilar uma nova cultura de avaliação e também de
aprendizagem. Os alunos ao longo dos anos foram percebendo que estavam sendo
avaliados o tempo todo e que tudo o que faziam era importante. Essa visão também
apareceu na fala de membros da família do aluno.
Sobre assimilar uma nova cultura de avaliação, Janssen Felipe (Mestre em
Educação – Recife- PE) comenta no vídeo que: “Uma nova cultura avaliativa significa
dizer: criar uma nova forma de entender a escola, a sua função, deixando de ser uma
função de seleção, de classificação dos alunos, para ser um espaço de pesquisa e
educação e principalmente de aprendizagem”.
No vídeo O que é avaliação é discutido que não se encontra uma fórmula de
avaliar e que também não se justifica uma avaliação no final de um período. Discutem
questões como: Para que avaliar; O que é avaliar; O que avaliar; Quando e como
avaliar. Traz relatos e comentários de diversos educadores, alunos e familiares.
• Proposta de Atividades
Instrumentos para Avaliação diagnóstica
Propomos como atividades dois instrumentos avaliativos para o aluno responder
individualmente: um questionário e um teste, que não terão o objetivo de nota, mas sim,
de instrumento de avaliação diagnóstica. O Questionário e o teste serão apresentados ao
final deste tópico.
Também como atividade de avaliação diagnóstica, mas agora para o grupo-
classe, juntamente com o professor ou professora, propomos uma sessão de discussão
baseada nas estratégias de resolução utilizadas no teste. É no momento dessas
discussões que poderão surgir outros elementos significativos para uma avaliação
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diagnóstica, ou seja, dados que não aparecem nos registros escritos dos alunos, mas
evidenciam-se pelo diálogo.
A maneira que escolhemos para essa discussão é colocar no quadro de giz, as
diferentes estratégias encontradas na resolução de um mesmo problema. Neste
momento, consideramos que seja importante, não destacar qual aluno cometeu
determinado erro. Mas, sim combinar com os alunos que as análises dos erros serão
feitas como se os erros fossem de todos e, todos, têm a função de descobrir o que
ocorreu de errado, o porquê de algum aluno ter feito desta ou daquela maneira, enfim, as
questões vão surgindo de acordo com os tipos de erros e percepções dos alunos.
Para isso, o teste não será devolvido aos alunos, antes que as análises sejam
feitas coletivamente. O professor pode selecionar as questões que julgar mais
interessante para as análises ou analisar com os alunos todas as questões propostas. Isso
pode levar algumas aulas. Mas, o tempo transcorrido não deve ser entendido como
“perda de tempo”, pois com as discussões, os conteúdos vão sendo trabalhados de forma
mais significativa, pois que resultam de dúvidas surgidas no momento da socialização e
discussão das respostas.
Outro ponto importante, no momento da socialização com os alunos das
estratégias surgidas no teste, é que o professor tenha um relatório com os tipos de erros
e quem os cometeu, pois assim, pode direcionar alguma questão a um determinado
aluno em especial, mas sem demonstrá-lo que se trata de um erro dele mesmo. O
objetivo disso é detectar diferenças de resposta no teste e nas discussões, como
mostrado no exemplo da Investigação Disciplinar neste OAC.
Para o questionário
O interesse em aplicar um questionário de natureza exploratória, logo no início
do ano letivo, justifica-se pela necessidade que o professor tem de conhecer o aluno
com quem vai relacionar-se no processo de ensino-aprendizagem. Saber de alguns de
seus interesses, concepções que possuem, de seus gostos, suas expectativas com relação
à disciplina de Matemática, pode contribuir com a prática pedagógica. Conhecê-los
possibilita que o ensino esteja voltado às diferenças subjetivas que permeiam a sala de
aula.
Como as questões serão feitas às crianças de 10/11 anos em média, pertencentes
à 5ª série do ensino fundamental, consideramos que seja necessária uma preparação do
aluno para respondê-las. É importante que o aluno seja liberado de ansiedades e
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constrangimentos, atitudes e comportamentos que se ligam ao ato de responder
perguntas. O diálogo com os alunos em todas as etapas é fundamental.
O objetivo deste questionário é identificar alunos que já trazem consigo idéias
formadas ou pré-formadas com relação à matemática. Por exemplo, alunos que dizem
não gostar da matemática são alunos que merecem atenção especial no contexto de
ensino, tendo em vista que estes alunos podem se “fechar” para o aprendizado devido a
possível aversão criada em relação à disciplina. Podemos também, identificar
elementos relacionados ao ensino que possibilitam ao professor uma oportunidade de
repensar a prática educativa, levando em conta a perspectiva do aluno.
Sugestão de questões para a 5ª série (série investigada neste estudo).
Nome:_______________________________________________________Idade:____
1. Você gosta de Matemática? Sim ou Não? Por quê?
2. Você acha importante saber Matemática? Por quê?
3. Você usa a Matemática no seu dia-a-dia? Se usar, diga em quais situações.
4. O que você acha das provas? É importante ou não? Como você acha que deveriam
ser as avaliações da aprendizagem?
5. Você erra muito em Matemática? Por quê?
6. Por que os erros acontecem?
7. Você tem medo da Matemática? Por quê?
8. O que você acha mais difícil em Matemática? Por quê?
9. Como seus professores corrigiam os erros?
10. Você ia ao quadro resolver atividades? Quem mais ia ao quadro?
11. Você gostava de ir ao quadro resolver atividades? Por quê?
12. Como você gostaria que os erros fossem corrigidos pelos professores?
13. Você se lembra de alguma experiência “legal” com a utilização dos erros em que os
professores usaram os erros para poder ensinar?
14. Você já recebeu algum castigo na escola ou passou por alguma situação que te
deixou com vergonha em sala de aula?
15. Existe um culpado pelos erros em Matemática? Se existe, quem e por quê?
16. O que é necessário para aprender Matemática?
17. Já reprovou alguma série? Qual? Por quê?
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As questões podem ser muitas e às vezes até semelhantes à outra, mas o objetivo
disso é também perceber contradições do aluno ou alguma resposta que não aparece
numa questão, mas aparece em outra..
Para o teste
O teste é um instrumento que permite perceber como os alunos resolvem
questões matemáticas que envolvem números e as operações fundamentais. Escolhi
questões que considero que os alunos tenham condições de resolvê-la, pois assim
podemos detectar dificuldades na matemática básica que necessitam de superação.
Questões difíceis podem mascarar as dificuldades. Ao longo do ano letivo poderemos ir
propondo atividades especiais com a função de fazer um diagnóstico mais complexo.
Por ora, o interesse centra-se nas questões elementares. Serão colocadas questões que:
• Permitam ao aluno utilizar não somente técnicas algorítmicas, mas também, o
uso de estratégias alternativas de resolução como os processos de contagem, por
exemplo. O objetivo disso é identificar se o aluno compreende o problema,
mesmo tendo dificuldade nas técnicas algorítmicas.
• Que envolvam números com significados diferentes como: ordem, códigos e
quantidades com o objetivo de perceber o reconhecimento do aluno em tais
representações.
• Permitam identificar como está a compreensão do aluno em relação ao sistema
de numeração decimal.
• Colocaremos, ainda, cálculos esvaziados de sentido, com o intuito de saber se o
aluno domina as técnicas algorítmicas ensinadas na escola.
Propomos as seguintes questões para a 5ª série investigada:
1- Uma sala de aula com 35 alunos assistirá a uma peça de teatro. A turma terá que
ser dividida em 3 grupos porque o ambiente onde será apresentado o teatro é muito
pequeno. O ingresso custa 5 reais e, para levar o primeiro grupo, a professora está
com 63 reais. Com essa quantia quantos alunos poderão assistir à peça?
2- A Independência do Brasil é um dos fatos históricos mais importantes de nosso
país, pois marca o fim do domínio português e a conquista da autonomia política. A
proclamação da independência ocorreu no dia 7 de setembro e, no ano de 2007, ela
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completou 185. Com base nessas informações diga em ano aconteceu a
independência do Brasil?
3- Numa reunião estão 11 vendedores que ficaram sabendo que cada um deles
precisa vender 12 telefones celulares para cumprir metas de campanha. Diga quantos
telefones serão vendidos por eles durante a campanha de vendas se todos
conseguirem cumprir suas metas.
4- Os carros trazem conforto e comodidade, mas se não forem usados com
responsabilidade podem se transformar numa arma perigosa. Em 2003 foram 89448
acidentes de trânsito em todo o Paraná, com um total de 2825 mortes. Em 2004
foram 3124 mortes causadas por acidente. Quantas pessoas perderam a vida em
acidentes de trânsito no Paraná nos anos citados?
5- Uma pessoa viajará de férias e, até chegar ao seu destino, passará por algumas
cidades. Até passar pela primeira cidade ela percorrerá oitenta e dois quilômetros,
para chegar à segunda percorrerá mais duzentos e cinco quilômetros e, finalmente,
percorrendo mais nove quilômetros ela chegará ao lugar onde passará as férias.
Quantos quilômetros de distância serão percorridos até a chegada?
6- Numa festa para 50 pessoas serão distribuídos números para sorteio. A comissão
organizadora da festa tem 3 blocos com 200 números cada um. Quantos números,
cada participante da festa poderá receber para concorrer aos prêmios?
7- Um carro custa trinta e dois mil, quinhentos e oitenta reais. Usando algarismos,
escreva o número que representa o valor desse carro. _______________________
8- De acordo com dados do IBGE, no estado do Paraná existem quinhentos e
quarenta mil e oitenta e duas motocicletas. Escreva este número usando
algarismos. _____________________
9- Ainda de acordo com dados do IBGE, o estado do Paraná tem dez milhões,
duzentos e sessenta e um mil, oitocentos e cinqüenta e seis habitantes. Escreva
esse número usando algarismos. ________________________
10- Qual o valor do algarismo 5 nos números abaixo:
a) No número 2 351 o 5 vale _________
b) No número 85 042 o 5 vale ________
c) No número 2 588 197 o 5 vale _______
d) No número 15 814 012 o 5 vale _______
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11- Assis Chateaubriand tem aproximadamente 35658 habitantes sendo 17580 do
sexo masculino e 18078 do sexo feminino. Escreva por extenso os números que
aparecem na informação:
a) 35 658 = __________________________________________________________
b) 17 580 = __________________________________________________________
c) 18 078 = __________________________________________________________
12- No preenchimento de cheques devemos escrever o valor usando algarismos e
também por extenso. Em um cheque está escrito com algarismos o valor de
2 040 314 reais.
Como devo escrever esse valor por extenso?_______________________________
___________________________________________________________________
13- O nosso sistema de numeração decimal tem dez símbolos que chamamos de
algarismos. Estes algarismos são: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Usando esses símbolos,
podendo repeti-los quantas vezes quisermos, até que número podemos escrever?
14- Imagine que você está num jogo de casas numeradas, desenhadas no chão. Se
você está na casa de número 1010 e precisa ir para a casa que vale uma unidade a
menos, qual o número da casa que você ficará?
15- Resolva os cálculos abaixo da maneira que você aprendeu na escola ou usando
outra forma que preferir:
a) 1230 + 560 + 15=
b) 1437 − 579=
c) 416 x 6=
d) 283 x 15=
e) 849 ÷ 7=
f) 2940 ÷ 28=
• Imagens
Sem imagens, até o momento.
RECURSOS DE INVESTIGAÇÃO
• Investigação disciplinar
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A Matemática é uma disciplina que tem a “fama” de reprovar mais e de ser mais
difícil. Os dias de provas são temidos! Têm pessoas que nem podem ouvir falar em
Matemática que já se lembram de tempos “sofridos” na escola pelos constantes erros e
dificuldades de aprendizagem. Mas será que um aluno que erra tudo é “zero” em
conhecimento matemático?
Por estas e outras indagações que nossa proposta de investigação e intervenção
centra-se na função diagnóstica da avaliação em Matemática, entendendo-a como um
“descobrir” dos porquês dos alunos agirem dessa ou daquela maneira ou darem essa ou
aquela resposta quando resolvem problemas. Consideramos que somente conhecendo
esses porquês a avaliação poderá assumir a função diagnóstica e que, tão ou mais
importante que o diagnóstico, é a intervenção que necessita ser feita em conseqüência
dos dados levantados pelo professor em sala de aula.
A questão que buscamos visa identificar elementos de contribuição que a
avaliação diagnóstica dos erros e estratégias dos alunos pode trazer para o processo de
ensino-aprendizagem da Matemática. Quando nossas preocupações voltam-se para o
ensino-aprendizagem, entram em “cena” de um lado o professor que ensina e de outro, o
aluno que aprende, portanto, a perspectiva unilateral de dizer que o aluno “vai mal”
porque tem dificuldades em aprender, precisa ser ampliada abrindo espaço para
reflexões numa perspectiva dialética de compreensão das situações cotidianas de sala de
aula.
Com o estudo temos os seguintes objetivos: identificar, a partir do diagnóstico
na resolução de problemas, possíveis obstáculos na compreensão de conceitos e
algoritmos matemáticos; descrever possíveis formas de ações didático-pedagógicas para
o trabalho com os erros dos alunos e que estas possam contribuir com o processo
avaliativo; investigar as possibilidades de socialização, entre os alunos, da diversidade
de erros e estratégias utilizadas na resolução de problemas como forma de intervenção
pedagógica; discutir a importância da avaliação diagnóstica no planejamento didático-
pedagógico.
Tendo em vista a complexidade do estudo, algumas questões nortearão a
intervenção na busca por respostas. A opção pelo tema e a sua relevância, provém de
preocupações tais como: As respostas que os alunos atribuem às situações-problema
expressam, realmente, suas formas de pensar? Os erros podem ocorrer devido à falta de
relação da Matemática com o mundo real? O significado que o aluno atribui à
matemática é importante para os processos de avaliação? Por que os alunos erram tanto
17
em Matemática, mesmo em questões que o professor julgue muito fácil? Será medo da
matemática? Ou o professor que não percebeu a complexidade da questão? Ou será falta
de interesse do aluno? Em quais dos conhecimentos ensinados na escola, relacionados
aos conteúdos estruturantes “números e operações”, os alunos apresentam maiores
dificuldades de compreensão? Os alunos agem com autonomia na resolução de
problemas ou agem guiados por atitudes heterônomas, ou seja, guiados pelo julgam ser
a expectativa do professor? Podemos avaliar atitudes? Se podemos, como registrá-las?
É possível transformar dados relevantes - obtidos em um diálogo com o aluno, por
exemplo – em notas ou conceitos? Que instrumentos ou estratégias podemos utilizar
para proceder a uma avaliação diagnóstica?
Estas e muitas outras questões nos perpassam a mente quando avaliamos o
aluno. As dúvidas sobre se estamos realmente fazendo “avaliação” e sendo justos com o
educando e se as notas representam o seu conhecimento nos colocam na expectativa de
superação desses conflitos. As avaliações, como comumente são praticadas na escola,
podem acabar atuando como um mecanismo de seleção social e não como uma
oportunidade de aprendizagem.
Na sala de aula podemos considerar pelo menos dois caminhos: ignorar a
situação considerando que o problema não é do ensino e sim dos alunos, cabendo a eles
a tarefa de estudar mais ou prestar mais atenção nas aulas ou encarar a situação como
um desafio ao ensino e à aprendizagem e buscar formas de superação. É por este
segundo caminho que tentaremos seguir nesse estudo.
O que nos levou ao interesse pelo tema “avaliação” foi, sobretudo, um caso
acontecido numa 5a série de uma escola pública paranaense1 onde foi realizada uma
pesquisa sobre a utilização dos erros e estratégias dos alunos no processo ensino-
aprendizagem. Dos diversos casos apresentados um, em particular, nos chamou a
atenção.
Um dos instrumentos de coleta de dados para a pesquisa foi um teste com
atividades matemáticas e a primeira questão dizia assim:
Uma classe tem 37 alunos e a professora pretende levá-los a um parque de
diversões. O ingresso custa 3 reais e a professora quer levá-los em 2 grupos, porque
ela acha difícil cuidar de todos de uma só vez. Para conseguir o dinheiro necessário
1 A pesquisa na referida 5a série resultou numa dissertação de Mestrado concluído em junho de 2007.
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ao passeio, a professora está fazendo algumas promoções e já conseguiu 50 reais.
Com esse valor quantas crianças a professora poderá levar ao parque?
Muitas formas de resolução apareceram para esta questão e todas as diferentes
formas foram expostas no quadro de giz, mas sem dizer aos alunos quem havia feito
deste ou daquele jeito. Havíamos combinado, em aula de preparação para as discussões
sobre as diversas respostas, que quando fôssemos observar um erro ou estratégia
diferenciada de resolução, que não iríamos nos reportar a quem tinha cometido o erro,
mas sim considerá-lo como responsabilidade de todos, alunos e professora.
Portanto, o que tentaríamos, era descobrir o que havia de coerente em uma
determinada resposta; o que precisava ser rediscutido ou redirecionado, entre outras.
Enfim, os alunos entenderam que era uma atividade de investigação em que não seriam
apontados os erros e, também, que o interesse maior estava na aprendizagem por meio
da análise e reflexão das estratégias.
As discussões iniciaram com um questionamento a uma aluna que tinha
atribuído um valor bem acima do número de alunos da professora do problema. Este
questionamento tinha a finalidade de comparar a resposta que ela daria no momento do
diálogo com a resposta dada no teste, mas procurando não chamar a atenção para o fato
de que ela mesma havia produzido tal resposta. A aluna resolveu e respondeu o
problema 1 da seguinte maneira:
37
x 3
111
+50
161
R: 161 alunos que vão poder ir ao parque.
O diálogo iniciou com o seguinte questionamento:
(Prof.) - “CCSR, o que você acha daquela resposta em que um aluno diz que a professora
poderá levar 161 alunos ao parque”? (depois de observar um pouco ela diz):
(CCSR) - “Acho que tá errado”.
(Prof.) - “Por que você acha que tá errado”?
(CCSR) - “Ah! Porque só tem 37 alunos”.
(Prof.) - “Por que você acha, então, que algum colega respondeu dessa maneira”?.
(CCSR) - “Ah! De certo não pensou direito”.
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A aluna encontra com a primeira parte de seu cálculo, o valor que gastaria para
levar todas as crianças ao parque, mas em seguida, adiciona a esse valor a quantia que a
professora havia arrecadado com as promoções resultando no valor 161 que ela
considerou como quantidade de alunos que poderiam ser levados ao parque. O diálogo
mostrou que a reflexão não feita pela aluna no momento do teste, é realizada com
bastante segurança no momento do questionamento feito direto para ela. Demonstrou ter
consciência do erro exposto no quadro por relacionar os dados do problema. Pareceu-
nos que a aluna não se lembrava que havia dado aquela resposta no teste. A pergunta, de
forma direta para ela, fez com que o erro aparecesse como uma contradição o que exigiu
reflexão sobre a adequação da resposta.
Esse fato nos chamou a atenção para o processo avaliativo: Podemos dizer,
somente com a resposta dada no teste, que essa aluna não sabe pensar? O que faz com
que ela responda de uma maneira “absurda” no teste escrito sem refletir sobre a
resposta, mas quando questionada, no momento de socialização e diálogo, responda
prontamente que a resposta estava errada?
Como salientou Parra & Saiz, (1996), o algoritmo aparece como um puro
trabalho mecânico independente dos dados da situação enunciada, tanto os algoritmos
quanto os valores expressos perdem o significado.
A fala da aluna evidenciou que, apesar de não ter analisado e refletido sobre o
resultado dado no momento do teste, tem condições de criticá-lo relacionando com o
problema proposto. Isso se deu quando foi oportunizado espaço para reflexão e
discussão coletiva. Este fato aponta que os erros podem se relacionar mais à
significação do que à compreensão da situação proposta. Podemos inferir, também, que
a aluna agiu de forma autônoma, raciocinando por meios próprios. Tal constatação só
foi possível pelo confronto com os erros.
• Perspectiva Interdisciplinar
Avaliação: ação pertinente às diversas disciplinas
O objeto de estudo “avaliação da aprendizagem” tem relação com todas as
disciplinas escolares. Como um dos interesses deste estudo está na forma como o aluno
compreende e resolve os problemas, a disciplina de português liga-se diretamente pela
interpretação do que é lido pelo aluno. A forma de ler e compreender as informações
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pode interferir na estratégia que será utilizada pelo aluno na resolução da situação
proposta interferindo no seu desempenho nas atividades propostas.
Outro interesse centra-se no diálogo com os alunos, na forma de discussão
coletiva, das suas estratégias, dúvidas e maneiras de compreensão o que, também, liga-
se tanto com o Português como com qualquer outra disciplina escolar, tendo em vista a
importância de oferecer oportunidade de expressão aos alunos.
Com o conteúdo estruturante Números e Operações podemos relacionar também
as disciplinas de História e Geografia.
Ao nos referirmos à criação dos números, enfocamos na necessidade humana de
tal criação e sistematização numa linguagem que pudesse ser universal, ou seja,
compreensível para todos os povos da Terra. Podemos também conhecer pelos mapas,
vídeos e livros características das regiões e dos povos que se dedicaram a construir um
sistema numérico. Buscar saber, também, se tal criação e sistematização ocorreram num
único lugar ou se foi por meio de contribuições de diferentes povos e culturas.
• Contextualizando
A resolução de problemas e a avaliação da aprendizagem
A avaliação sempre foi um desafio aos professores. Turmas lotadas dificultam
uma observação detalhada dos saberes dos alunos, assim, acaba-se praticando uma
forma de avaliação, por meio de instrumentos avaliativos que tornem menos complexas
as interpretações que os educadores fazem das informações coletadas pelas provas e
testes, por exemplo.
Mas, a avaliação acaba tornando-se, meramente, um instrumento de medição e
classificação, sem adentrar nos problemas de ensino-aprendizagem que tais
instrumentos podem revelar.
Portanto, este estudo aborda a questão dos erros e as estratégias utilizadas pelos
alunos na resolução de problemas, enfocando as contribuições para o processo
avaliativo, tanto do aluno quanto da ação pedagógica. As notas baixas nas provas, a
falta de participação em sala de aula ou até mesmo determinadas atitudes que os alunos
tomam ou deixam de tomar, podem ter razões que a simples aplicação de testes ou
trabalhos por si sós não revelam, por isso que nesse estudo estaremos buscando
contribuições na função diagnóstica da avaliação.
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A escola na atualidade vem sendo desafiada a superar-se com relação ao seu
papel sócio-pedagógico, pois a questão qualitativa do processo educativo, tão apregoado
em debates educacionais, ainda cede lugar ao quantitativo, sobretudo na avaliação da
aprendizagem escolar, na qual é tida mais como exame do que como uma forma de
interpretação do desenvolvimento do educando.
Em um mundo de rápidas transformações, devidas aos avanços tecnológicos,
que provocam mudanças nas relações de trabalho e nas formas de construir
conhecimento, a Matemática, como disciplina escolar, necessita superar a forma de
ensino baseada na repetição e reprodução de modelos e privilegiar as estratégias de
abordagem das situações-problema pelos alunos. Assim, torna-se fundamental
incentivá-los a tomarem posições reflexivas sobre suas próprias ações, estabelecer
relações com as informações recebidas e reconhecê-las em seu contexto e suas
significações para que ocorra a aprendizagem.
Nesse cenário, os processos de avaliação necessitam ser reorientados ou melhor
compreendidos para que possam avançar, pois predomina nas escolas, conforme
Libâneo (1994), o instrumento avaliativo na forma de “prova” ao final de um período de
estudos, relegando a função diagnóstica da avaliação, quando muito, a um plano
secundário.
A necessidade de notas, de período em período, é um fator que pode dificultar
ou limitar determinadas formas de intervenção na tentativa de superação de dificuldades
detectadas. O professor preocupa-se com os conteúdos e o cumprimento dos programas
porque sabe que ao final de um determinado tempo, precisa “fechar” a nota do aluno.
Assim, a preocupação com o objeto “nota” acaba – quase que naturalmente – se
sobrepondo às preocupações com as reais dificuldades dos alunos no processo de
aprendizagem.
As Diretrizes Curriculares Estaduais/PR apontam que, a fim de superar
concepções de ensino que desconsidere o processo de construção do raciocínio, é
importante que o professor de Matemática insista com os alunos na explicitação dos
procedimentos adotados e que expliquem oralmente ou por escrito as suas afirmações,
quando tratarem de algoritmos ou resolução de problemas. Consideramos ser necessário
dar vez e voz aos alunos, incentivando-os a discutir sobre as estratégias adotadas na
resolução de problemas contribuindo com seu desenvolvimento e autonomia nas ações.