equilbrio en el espacio estatica

8/10/2019 Equilbrio en El Espacio estatica

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UNIVERSIDAD VERACRUZANAFACULTAD DE INGENIERA MECNICA ELCTRICA

PROBLEMAS SELECTOS ESTTICA:

SISTEMAS EQUIVALENTES Y EQUILIBRIO

DE CUERPOS RGIDOS

MONOGRAFIA

Que para obtener el ttulo de:INGENIERO MECNICO ELCTRICISTA

PRESENTA:PAULA GISHE ILLESCAS GARCIA

DIRECTOR DE MONOGRAFIA:ING. RODOLFO SOLORZANO HERNANDEZ

XALAPA, VER. AGOSTO 2011


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ndice

Introduccin ............................................................................................................. 1

Captulo 1

Momento de una fuerza respecto a un punto .......................................................... 3

Problema 1.1 ................................................................................................................................... 8

Problema 1.2 ................................................................................................................................. 10

Captulo 2

Momento de una fuerza respecto a un eje ............................................................ 12

Problema 2.1 ................................................................................................................................. 17

Problema 2.2 ................................................................................................................................. 19

Captulo 3

Pares ..................................................................................................................... 21Problema 3.1 ................................................................................................................................. 26

Problema 3.2 ................................................................................................................................. 28

Problema 3.3 ................................................................................................................................. 30

Captulo 4

Sistemas equivalentes de fuerza........................................................................... 32

Problema 4.1 ................................................................................................................................. 33

Problema 4.2 ................................................................................................................................. 34Problema 4.3 ................................................................................................................................. 37

Problema 4.4 ................................................................................................................................. 40


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Captulo 5

Equilibrio en dos dimensiones ............................................................................... 42

Problema 5.1 ................................................................................................................................. 49

Problema 5.2 ................................................................................................................................. 51

Problema 5.3 ................................................................................................................................. 54

Problema 5.4 ................................................................................................................................. 57

Captulo 6

Equilibrio en tres dimensiones............................................................................... 59

Problema 6.1 ................................................................................................................................. 62

Problema 6.2 ................................................................................................................................. 64

Problema 6.3 ................................................................................................................................. 66

Problema 6.4 ................................................................................................................................. 69

Problema 6.5 ................................................................................................................................. 72

Comentarios finales ............................................................................................... 75

Bibliografa ............................................................................................................ 76


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Introduccin

Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 1

Introduccin

En el desarrollo del presente trabajo recepcional se abordan

algunos de los temas que se incluyen en el contenido temtico de la experiencia

educativa esttica del plan de estudios 2004 del programa educativo de Ingeniera

Mecnica Elctrica de la Universidad Veracruzana. Dicha experiencia educativa es

el primer curso del rea de la mecnica y como tal, su objetivo principal debe ser

desarrollar en el estudiante de ingeniera la capacidad de analizar cualquier

problema en forma lgica y sencilla, y la de aplicar para su solucin unos cuantos

principios bsicos perfectamente comprendidos.

La mecnica es, esencialmente, una ciencia deductiva que

se basa en algunos principios fundamentales; es la base de la mayora de las

ciencias de la ingeniera y es un requisito indispensable para estudiarlas; es una

ciencia aplicada. La mecnica puede ser definida como la ciencia que describe y

predice las condiciones de reposo o movimiento de los cuerpos bajo la accin de

fuerzas. Se divide tres partes: mecnica de cuerpos rgidos, mecnica de cuerpos

deformables y mecnica de fluidos. La mecnica de cuerpos rgidos se subdivide

en esttica y dinmica; la primera estudia cuerpos en reposo y la segunda en

movimiento.


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Introduccin


En base a lo anterior, los temas que se desarrollan en este

documento corresponden a la esttica de cuerpos rgidos y es fundamental para

todo estudiante de ingeniera comprenderlos para poder aplicarlos correctamente.

El objetivo del presente trabajo es apoyar el proceso de

aprendizaje de los estudiantes de los cursos de esttica, fundamentos de

mecnica de materiales, mecnica de materiales y diseo mecnico, en lo que

respecta a los conceptos tericos bsicos y aplicaciones correspondientes a

sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos. En el documento se incluye

la resolucin de 20 problemas.


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Captulo 1 Momento de un a fuerza respecto a un punto


A continuacin en la figura 1.2 se presenta una breve

descripcin del producto vectorial de los vectores unitarios cartesianos ,y.

Figura 1.2 Producto vectorial de los vectores unitarios cartesianos ,y.En lo que respecta al producto vectorial trminos

de coordenadas rectangulares, tenemos lo siguiente:

Un vector fuerza es definido por su magnitud y su direccin.

Los efectos que produce sobre un cuerpo rgido tambin dependen de su punto de

aplicacin.


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Figura 1.3 (a) Momento de la fuerza

respecto al punto

(b) Regla de la mano derecha

El Momento de la fuerza respecto al punto es definidocomo:

El vector momento es perpendicular al plano que

contiene al punto

y a la fuerza

. La magnitud

mide la tendencia de la fuerza

para provocar la rotacin del cuerpo alrededor de un eje a lo largo de . El sentido del momento puede ser determinado por la regla

de la derecha.

Cualquier fuerza que tiene la misma magnitud y direccinde , es equivalente si, y slo si, son iguales (es decir, que tienen la mismamagnitud y direccin) y, adems, tienen momentos iguales con respecto a unpunto .

Muchas aplicaciones tratan con estructuras bidimensionales,

es decir, estructuras cuyo espesor es despreciable en comparacin con su


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longitud y su anchura. Observemos la figura 1.4, el plano de la estructura contiene

al punto y a la fuerza . , el momento de la fuerza respecto al punto , esperpendicular a dicho plano.

Figura 1.4 Placa rgida sobre la que acta una fuerza (a) en sentido antihorario, el vectormomento apunta hacia afuera del plano de la figura. (b) en sentido horario, el vector momentoapunta hacia adentro del plano de la figura.

La propiedad distributiva de los productos vectoriales se

puede emplear para determinar el momento de la resultante de varias fuerzas

concurrentes. El Teorema de Varignon establece que: el momento con respecto a

un punto dado de la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la sumade los momentos de las distintas fuerzas con respecto al mismo punto , vasefigura 1.5.

Figura 1.5 Sistema de fuerzas concurrentes en .


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En lo que respecta a las componentes rectangulares del

momento de la fuerza respecto al punto , vase figura 1.6 (a), tenemos losiguiente:

(a) (b)

Figura 1.6 Componentes rectangulares del (a) momento de la fuerza respecto al punto (b)momento de la fuerza respecto al punto De manera similar, las componentes rectangulares del

momento de la fuerza respecto al punto , vase figura 1.6(b), tenemos:

;

Tome en cuenta que:

; y


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En general, para estructuras en dos dimensiones, vase

figura 1.7:

(a) (b)

Figura 1.7 Componentes rectangulares del (a) momento de la fuerza respecto al punto(b) momento de la fuerza respecto al punto

Problema 1.1

La ventanilla trasera de un

automvil se sostiene mediante el

amortiguador BCque se muestra

en la figura. Si para levantar la

ventanilla se ejerce una fuerza de

125 lb cuya lnea de accin pasa

por el soporte de rtula en B,

determine el momento de la

fuerza alrededor deA.


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Solucin:

Iniciamos con el trazo del diagrama de cuerpo libre de la ventanilla:

A continuacin, representaremos a la fuerza que acta en Ben forma rectangular,

por lo cual previamente tendremos que definir la direccin de dicha fuerza a partir

de la geometra de la figura:

;

,

El radio vectoro vector de posicines que va desde el puntoAal punto B, en el

cual acta la fuerza :

El momento de la fuerza con respecto al puntoA, queda expresado como:


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Sabiendo que

, podemos expresar el momento calculado en

:

La magnitud del momento de la fuerza alrededor del punto Aes ; el signo positivo indica, segn la regla de la mano derecha, que la tendencia derotacin del momento es en el sentido antihorario (CCW).

Problema 1.2

Se aplica una fuerza de 200 N sobre

la mnsulaABC, como se muestra en

la figura. Determine el momento de la

fuerza alrededor deA.

Solucin:

En relacin a la fuerza que acta en C, se nos indican los valores de la magnitud

de la fuerza y los ngulos, , y .


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Ahora, en el diagrama se muestra la accin

de la fuerza sobre la mnsula. Las

componentes rectangulares de la fuerza

pueden expresarse como:

Ahora, representamos la fuerza en forma rectangular:

El radio vector de que va desde el punto A hasta C, lo definimos al restar a lascoordenadas de Clas coordenadas deA.

Y por ltimo, calculamos el momento de la fuerza alrededor de A, mediante la

aplicacin del producto vectorial:


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Captulo 2 Momento de una fuerza respecto a un eje


Captulo 2

Momento de una fuerzarespecto a un eje

Antes de entrar formalmente con el concepto de momento de

una fuerza con respecto a un eje, ser necesario describir un par de productos de

vectores, el producto escalar (de dos vectores) y el producto triple mixto (de tres

vectores), que vamos a aplicar en esta seccin.

El producto escalaroproducto puntode dos vectores y se define como:

, el resultado es un escalar.

A partir de las componentes rectangulares, se define como: El producto escalar puede aplicarse para calcular el ngulo

entre dos vectores, figura 2.1(a), definiendo el coseno del ngulo que formancomo:


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(a) (b) (c)

Figura 2.1Aplicaciones del producto escalar

Aplicando el producto escalar, podemos obtener la

proyeccin de un vector a lo largo de un eje dado, figura 2.1(b), a partir de losiguiente:

Sea , la proyeccin del vector a lo largo deleje , entonces:

En el caso particular, cuando el vector seleccionado a lo

largo de es el vector unitario(figura 2.1(c)), se escribe:

Al descomponer a yen sus componentes rectangulares ytomando en cuenta que las componentes del vector unitario a lo largo de los ejescoordenados son iguales, respectivamente, a los cosenos directores de , laproyeccin se expresa como:


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En donde y representan los ngulos que el eje

forma con los ejes coordenados.

Figura 2.2Producto triple escalar o producto triple mixto de tres vectores

El producto triple escalar o producto tiple mixto de tres

vectores

,

y

se define como la expresin escalar:

El producto triple escalar es igual en valor absoluto al

volumen de un paraleleppedo (figura 2.3) que tiene por lados los vectores

,

y

.


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Figura 2.3Paraleleppedo que tiene por lados los vectores ,y.Una vez descritos los productos de vectores, escalary triple

escalar, podemos abordar el concepto momento de una fuerza con respecto a un

eje, el cual puede definirse como una medida de la tendencia de una fuerza de

impartirle al cuerpo rgido sobre el cual acta un movimiento de rotacin alrededor

de un eje fijo.

Figura 2.4


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Consideremos la figura 2.4, el momento de la fuerza queacta encon respecto a est dado por:

Sea un eje a travs de ; el momento de conrespecto a se define como la proyeccin del momento sobre el eje .Representando al vector unitario a lo largo de como , tenemos:

Figura 2.5


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En general, el momento de una fuerza aplicada en conrespecto a un eje que no pasa por el origen, se obtiene seleccionando un punto

arbitrario sobre dicho eje (figura 2.5)y determinando la proyeccin sobre el eje

del momento

de

con respecto a

, es decir:

En donde:

; y

Problema 2.1Determine el ngulo

formado por los tirantesAB y AC de la red de

voleibol que se muestra

en la figura.


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Solucin:

En la figura se indican los vectoresy ; a partir de las coordenadasde los puntos

,

y

podemos

determinar sus componentes

rectangulares y sus respectivas

magnitudes:

El ngulo formado por los dos vectores puede ser calculado usando la expresin:


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Problema 2.2

Para levantar una caja pesada, un

hombre usa un bloque y un polipasto

y los sujeta a la parte inferior de la

viga I mediante el gancho B. Si se

sabe que los momentos, de los ejes y

y z, de la fuerza ejercida en B por el

tramo AB de la cuerda son,

respectivamente, de 120 Nm y -460

Nm, determine la distancia a.

Solucin:

A partir de la figura, obtenemos las

coordenadas de los puntos y :

En la figura se muestra el vector fuerza

que ejerce el hombre, e cual podemos

definir de la siguiente manera:


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El momento de la fuerza respecto al

eje yse define como:

Sustituyendo, calculamos la

distancia :

El momento de la fuerza respecto al

eje z se define como:


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Captulo 3 Pares


Captulo 3

ParesDos fuerzas y que tienen la misma magnitud, lneas de

accin paralelas y sentidos opuestos forman unpar(figura 3.1). Note que la suma

de las componentes de las dos fuerzas en cualquier direccin es igual a cero. Sin

embargo, la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a un punto

dado no es cero. Las dos fuerzas no producirn traslacin del cuerpo sobre el cual

estn actuando pero si tendern a hacerlo rotar.

Figura 3.1Par de fuerzas

Observemos la figura 3.2(a), en la cual se muestran los

puntos de aplicacin de las fuerzas y , definidos por los vectores de posicin y , respectivamente. La suma de los momentos de estas dos fuerzas conrespecto a es:

En la ecuacin anterior, define al vector que une los

puntos de aplicacin de las dos fuerzas, es decir:


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Captulo 3 Pares


Por lo tanto, podemos afirmar que la suma de los momentos

de y , con respecto a est representado por el vector:

(a) (b)

Figura 3.2Momento de un par

Al vector , figura 3.2(b), se le conoce como el momento delpar, el cual es un vector perpendicular al plano que contiene las dos fuerzas; su

magnitud est dada por: En donde, la distancia es la distancia perpendicular entre

las lneas de accin de y . El sentido de est definido por la regla de lamano derecha.

Debido a que el vector , vase figura 3.2(a), esindependiente al punto de referencia u origen de los ejes coordenados, seobserva que se obtendra el mismo resultado si los momentos de las fuerzas y se hubieran calculado con respecto a otro punto cualquiera. Por lo anterior,


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Captulo 3 Pares


podemos establecer que el momento de un pares un vector libreque puede ser

aplicado en cualquier punto y el efecto es el mismo.

Figura 3.3Pares iguales

Dos pares (figura 3.3), uno constituido por las fuerzas y, y el otro por las fuerzas y , tendrn momentos iguales si y solo si losdos pares se encuentran en planos paralelos (o en el mismo plano), tienen elmismo sentido y, obviamente, la misma magnitud.

Dos pares que tienen el mismo momento sonequivalentes.

A continuacin, consideremos la interseccin de dos planosy , cada uno en con un par, como se indican en la figura 3.4(a).

en el plano en el plano


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Captulo 3 Pares


(a) (b)

Figura 3.4Adicin o suma de pares

Sean la resultante de y , y la resultante de y.Observe que y forman un par que queda puede expresarse como:

Por el teorema de Varignon, podemos concluir que la suma

de dos pares es un par igual a la suma vectorial de stos, figura 3.4(b), es decir:

Un par puede ser representado por un vector con magnitud y

direccin igual al momento del par (figura 3.5).

Figura 3.5


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Captulo 3 Pares


Los pares obedecen la ley del paralelogramo para la adicin

de vectores. El vector que representa a un par recibe el nombre de vector de pary

ste como el vector de un par, es un vector libre.

Un vector fuerza no puede ser trasladado simplemente desu punto de aplicacin a otro que no est sobre su lnea de accin sin modificar su

efecto sobre el cuerpo rgido. Observemos la figura 3.6.

Figura 3.6Sistema fuerza-par equivalente en Podemos colocar en el punto dos fuerzas y , sin

modificar el efecto de la fuerza original sobre el cuerpo rgido. En consecuencia,las fuerzas ,que acta en el punto , y que se coloco en el punto formanun par con un momento .

En base a lo anterior, podemos establecer que en la figura

3.6, el diagrama de la derecha es el sistema equivalente fuerza-par en de lafuerza que acta en el punto

de la imagen a la izquierda.

Si fuera necesario trasladar a la fuerza de su punto de

aplicacin a un punto diferente a (figura 3.7), se tendra que calcular elmomento de con respecto a .


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Captulo 3 Pares


Figura 3.7Sistema fuerza-par equivalente en

Problema 3.1La tensin en el cable unido al

extremo C de un aguiln

ajustable ABC es de 560 lb.

Reemplace la fuerza ejercida

por el cable en C por un

sistema equivalente fuerza-paren a) enAy b) en B.

Solucin:

Se sabe que la tensin en el cable tiene una magnitud y su direccinest dada por

por debajo del eje horizontal. Podemos determinar sus

componentes horizontal y vertical de la manera:


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Captulo 3 Pares


a) Sistema equivalente fuerza par en :

El momento puede calcularse a partir de la suma del momento de lascomponentes con respecto al punto

; ambas componentes producen un par en

sentido horario (CW):

Podemos concluir este inciso indicando que el sistema equivalente fuerza-par en

est formado por:

b) Sistema equivalente fuerza par en :


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Captulo 3 Pares


De manera similar al inciso anterior, el momento puede calcularse a partir de lasuma del momento de las componentes con respecto al punto ; ambascomponentes producen un par en sentido horario (CW):

Podemos concluir este inciso indicando que el sistema equivalente fuerza-par en est formado por:

Problema 3.2

Una fuerza y un par se aplican al

extremo de una viga en voladizo

como se muestra en la figura. a)

Reemplace este sistema por una

sola fuerza F aplicada en el punto

C, y determine la distancia ddesde

Chasta una lnea que pasa por los

puntos Dy E. b) Resuelva el inciso

a) suponiendo que se intercambian

las direcciones de las dos fuerzas

de 360 N.


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Captulo 3 Pares


Solucin:

a) La fuerza aplicada en se obtiene de la siguiente manera:

Para reemplazar el sistema de fuerzas por una sola fuerza actuando en ,par debe igual a cero, es decir:

Por lo tanto:

, distancia por debajo de la lnea b) Ahora, la direccin de las fuerzas de se intercambian, por lo cual el par

que producen invierte su sentido. La fuerza actuando en es la misma, esdecir, , y de la misma forma elpar debe igual a cero.Por lo tanto:

, distancia por arriba de la lnea


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Captulo 3 Pares


Problema 3.3Una fuerza Fde 46 lb y una par M

de 2,120 lbin, se aplican a la

esquina A del bloque mostrado en

la figura. Reemplace el sistema

fuerza-par dado por un sistema

equivalente fuerza-par en la

esquina H.

Solucin:

De la figura del problema podemos obtener las coordenadas de los puntos que

utilizaremos para definir la direccin de los vectores fuerza y par , adems delvector de posicin :

Coordenadas (en

): Vectores unitarios

y

:

Vector de posicin :

Conociendo la magnitud de los vectores fuerza y par , adems de los vectoresunitarios que definen sus direcciones, tenemos que:


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Captulo 3 Pares


El sistema equivalente fuerza-par en se conformar por los siguientes vectores:


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Captulo 4 Sistemas equiv alentes de fuerza


Captulo 4

Sistemas equivalentes defuerza

Cualquier sistema de fuerzas, sin importar qu tan complejo

sea, puede ser reducido a un sistema equivalente fuerza-par que acta en un

punto dado

(figura 4.1).

Figura 4.1

El sistema equivalente fuerza-par est definido por lasecuaciones:

Una vez que un sistema de

fuerzasdado se ha reducido a una fuerza y un par que

acta en el punto , dicho sistema puede reducirse auna fuerza y un par actuando en cualquier otro punto(figura 4.2). Figura 4.2


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Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si pueden ser

reducidos al mismo sistema fuerza-par en un punto dado .En el caso de que la fuerza resultante

y el par

en

sean perpendiculares entre s, pueden ser sustituidos por una sola fuerzaactuando a lo largo de una nueva lnea de accin. La fuerza resultante y el par en sern perpendiculares para sistemas constituidos por:

i. Fuerzas concurrentes

ii. Fuerzas coplanares

iii. Fuerzas paralelas

Fuerzas concurrentes Fuerzas coplanares Fuerzas paralelas

Figura 4.3

Problema 4.1Los pesos de dos nios sentados en los

extremosAy Bde un balancn son 84 lb

y 64 lb, respectivamente. Determine

dnde debe sentarse un tercer nio si la

resultante de las fuerzas de los pesos

de los tres nios debe pasar por C, y si

se sabe que el peso del tercer nio es

a) 60 lb, b) 52 lb.


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Solucin:

Tenemos que los pesos de los nios sentados en y son y ,respectivamente.

Consideremos el siguiente diagrama de cuerpo libre en el cual y son los pesosde los nios y la distancia , medida a la derecha de , indica la posicin en la cual habrde sentarse el tercer nio.

a) El peso del tercer nio es Aplicando :

b) El peso del tercer nio es Aplicando :

Problema 4.2Cuatro fuerzas actan sobre la placa de

700 X 375 mm como se muestra en la

figura. a) Encuentre la resultante de

estas fuerzas. b) Localice los dos

puntos en los que la lnea de accin de

la resultante interseca con el borde de la

placa.


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Solucin:

a) Resultante de estas fuerzas: Para definir correctamente las componentes de las fuerzas que actan en

y

calcularemos la longitud de los segmentos y , dichos segmentos son lashipotenusas de los tringulos y , por lo cual aplicaremos simplemente elteorema de Pitgoras.

Definamos la forma rectangular de cada una de las fuerzas que actan en lasesquina , y :

Tenemos que :

La magnitud de

se define como:

Y su direccin:


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b) Localice los dos puntos en los que la lnea de accin de la resultante interseca

con el borde de la placa.

Tomaremos sumatoria de momentos con respecto al punto ; note que las fuerzasque actan en y no producen momento con respecto a dicho punto, ya que sulnea de accin pasa por ste.

Podemos considerar las siguientes opciones para calcular los punto de

interseccin:

1.

2.

Por lo tanto, la resultante interseca en a laderecha de y en arriba de .


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Problema 4.3Al usar un sacapuntas manual, un

estudiante ejerce sobre ste las

fuerzas y el par que se muestran

en la figura. a) Determine las

fuerzas ejercidas en By en Csi se

sabe que las fuerzas y el par son

equivalentes a un sistema fuerza-

par en A que consta de la fuerza y elpar

b) Encuentre losvalores correspondientes de Ry yMx.

Solucin:

El sistema fuerza-par en est constituido por:

Sabemos que:


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Multiplicando por a la primera ecuacin:

Finalmente, los valores solicitados por el enunciado son:

a) y b) y .


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Problema 4.4Tres nios se encuentran parados en la

balsa de 5 X 5 m. Los pesos de los

nios que estn parados en A, B y C

son de 375 N, 260 N y 400 N,

respectivamente, determine la magnitud

y el punto de aplicacin de la resultante

de los tres pesos.

Solucin:

A partir de la figura del problema podemos establecer las coordenadas de la

posicin de cada nio y por lo tanto definir el punto de aplicacin de susrespectivos pesos.

La resultante de los pesos de los tres nios se calcula a continuacin:

El punto de aplicacin de la resultante estar dado por un punto de coordenadas ; tome en cuenta que tenemos un sistema de fuerzas paralelas y que stepuede ser reducido a una sola fuerza, la resultante .


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Plantearemos una sumatoria de momentos con respecto al eje x, tal que:

Ahora, realizaremos una sumatoria de momentos con respecto al eje z, tal que:

Podemos concluir con que la magnitud de la resultante es y que supunto de aplicacin tiene las siguientes coordenadas

, en metros

desde el origen.


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Captulo 5 Equi l ibr io en dos dimensiones


Captulo 5

Equilibrio en dosdimensiones

Un cuerpo rgidoen equilibrio esttico, es aquel en el que las

fuerzas externas y momentos estn equilibrados y no provocan movimiento de

traslacin o rotacin del cuerpo. Se dice que un cuerpo rgido est en equilibriosi

las fuerzas externas que actan sobre l forman un sistema equivalente a cero, es

decir:

A continuacin abordaremos el estudio del equilibrio de

estructuras bidimensionalessujetas a fuerzas contenidas en sus planos.

Cuando se resuelve un problema que involucra el equilibrio

de un cuerpo rgido, como ya se mencion anteriormente, es esencial considerar

todas las fuerzas externas que actan sobre el cuerpo, incluyendo las reacciones

en los apoyos o soportes. Por lo tanto, el primer paso en la solucin del problemadeber ser dibujar el diagrama de cuerpo libremostrando al cuerpo en estudio y

las fuerzas, conocidas o no, que actan sobre l.


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En el caso del equilibrio de estructuras bidimensionales las

reacciones ejercidas sobre la estructura por sus soportes podran involucrar una,

dos o tres incgnitas, dependiendo del tipo o condiciones de soporte; tres

ecuaciones de equilibrio son utilizadas:

Estas ecuaciones pueden ser utilizadas para resolver tresincgnitas. A pesar de que a las tres ecuaciones de equilibrio no se les pueden

aadir ecuaciones adicionales, cualquiera de ellas puede ser reemplazada por

otra, para ejemplificarlo consideremos la figura 5.2.

(a)(b)

(c)

(d) (e)

Figura 5.2

En la figura 5.2: (a) muestra una estructura bidimensional

sujeta a una carga constituida por las fuerzas externas , y ; (b)diagrama decuerpo libre correspondiente en el que se incluyen tanto las componentes


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rectangulares de la carga como las reacciones en sus soportes o apoyos; (c)

ecuaciones de equilibrio bidimensional; (d) se sustituye la sumatoria de fuerzas

verticales por una sumatoria de momentos con respeto al punto , de manera quela lnea

no sea paralela al eje

; por ltimo, en (e) se reemplaza tambin la

sumatoria de fuerzas horizontales por una sumatoria de momentos con respecto al

punto , teniendo la precaucin de que los puntos, y no sean colineales.

En la prctica, ser deseable elegir ecuaciones de equilibrio

que contengan una sola incgnita, puesto que as se elimina la necesidad de

resolver ecuaciones simultneas.

(a) (b)

Figura 5.3

En la armadura mostrada en la figura 5.3, las ecuaciones

que pueden obtenerse con una sola incgnita son:

Como cualquier conjunto de ecuaciones de equilibrio se

puede resolver para un mximo de tres incgnitas, no se pueden determinar por

completo las reacciones en los apoyos de una estructura rgida bidimensional si


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(a) (b)

Figura 5.6

La estructura de la figura 5.7 tambin tiene restriccionesimpropias.

(a) (b)

Figura 5.7

Un cuerpo rgido est impropiamente restringido siempre que

los apoyos estn ubicados de tal forma que las reacciones sean concurrentes o

paralelas.

Por otra parte, consideremos a continuacin un par de casos

particulares de equilibrio de un cuerpo rgido, sujeto a dos y tres fuerzas.


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Un cuerpo sujeto a dos fuerzas que actan nicamente en

dos puntos, figura 5.8, est en equilibrio si las resultantes y de dichasfuerzas, tienen la misma magnitud, la misma lnea de acciny sentidos opuestos.

Figura 5.8

Un cuerpo rgido sujeto a tres fuerzas que actan slo en

tres puntos, est en equilibrio si las resultantes , y de dichas fuerzas sonconcurrentes o paralelas.

Figura 5.9

La propiedad que se acaba de establecer puede utilizarse

para resolver problemas en forma grfica o matemtica a partir de relaciones

trigonomtricas o geomtricas simples.


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Problema 5.1

La mnsula BCDest articulada

en C y se une a una barra de

control en B. Para la carga

mostrada, determine a) la

tensin en el cable y b) la

reaccin en C.

Solucin:

Diagrama de cuerpo libre de la mnsula

En el diagrama de cuerpo libre podemos identificar la fuerza de tensin actuando en y las componentes de la reaccin en .Del tringulo , la longitud del segmento podemos obtenerla a partir delteorema de Pitgoras:

;

Y por lo tanto:


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a) Tensin en el cable Aplicando la segunda condicin de equilibrio en

nicamente las fuerzas de y la componente horizontal de producenmomento con respecto a .

La magnitud de la tensin en el cable es por lo tanto:

Y las componentes de la tensin son:

b) Reaccin en .Por primera condicin de equilibrio, tenemos:


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La magnitud de la reaccin en :

y su direccin:

Problema 5.2Se aplica una fuerza Pcon magnitud de

280 lb al elemento ABCD, el cual se

sostiene mediante un pasador sin

friccin enAy por medio del cable CED.

Como el cable pasa sobre una pequea

polea E, se puede suponer que la

tensin es la misma en los tramos CEyEDdel cable. Para el caso en que a= 3

in, determine a) la tensin en el cable,

b) la reaccin enA.


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Solucin:

Diagrama de cuerpo libre elemento

De manera similar a la solucin del problema anterior:

a) Tensin en el cable

Aplicando la segunda condicin de equilibrio en


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b) Reaccin en Por primera condicin de equilibrio, tenemos:

La magnitud de la reaccin en

:

y su direccin:

Tome en cuenta al observar el diagrama de cuerpo libre que en virtud a ladireccin de las componentes de la reaccin , el vector fuerza de la reaccin seubica en el segundo cuadrante.


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Problema 5.3

La barra AB se somete a la accin de

un par My a dos fuerzas, cada una de

las cuales tiene una magnitud P. a)

Obtenga una ecuacin en funcin de ,

P, My lque se cumpla cuando la barra

est en equilibrio. b) Determine el valor

de correspondiente a la posicin de

equilibrio cuando M= 150 Nm, P= 200

N y l= 600 mm.

Solucin:

Diagrama de cuerpo libre


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a) Obtenga una ecuacin en funcin de ,, yque se cumpla cuando la barraest en equilibrio.

Aplicando la segunda condicin de equilibrio en

b) Determine el valor de correspondiente a la posicin de equilibrio cuando , y Tenemos que:

Aplicando la siguiente identidad trigonomtrica:

Sustituyendo:


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Resolviendo la ecuacin cuadrtica:

Por lo tanto, los ngulos son:

=17.096


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Problema 5.4

Determine las reacciones en A y B

cuando a = 180 mm.

Solucin:

Diagrama de cuerpo libre, como puede observarse se trata del equilibrio de un

cuerpo rgido sujeto a tres fuerzas.


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Aplicando la ley de senos para calcular las reacciones:


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Captulo 6 Equi l ibr io en tres dimensiones


Captulo 6

Equilibrio en tresdimensiones

Al considerar el equilibrio de un cuerpo tridimensional, cada

una de las reacciones ejercidas sobre el cuerpo por sus apoyos puede involucrar

entre una y seis incgnitas, dependiendo del tipo de apoyo.

En general, las seis ecuaciones escalares de equilibriodeben

utilizarse y resolverse para seis incgnitas.

En la mayora de los problemas, las ecuaciones escalares

anteriores, se obtendrn de manera ms conveniente si primero se expresan las

fuerzas y los vectores de posicin en trminos de componentes escalares yvectores unitarios, es decir, como ecuaciones vectoriales:


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El producto vectorial se puede calcular, ya sea en forma

directa o por medio de determinantes, con el fin de obtener las ecuaciones

escalares deseadas igualando a cero los coeficientes de los vectores unitarios.

Se pueden eliminar hasta tres componentes de reaccin

desconocidas del clculo de en la segunda de las relaciones anteriores, pormedio de la seleccin cuidadosa del punto .

Adems, se pueden eliminar de la solucin de algunos

problemas las reacciones en dos puntos y escribiendo la ecuacin queinvolucra el clculo de los momentos de las fuerzas con respecto a un eje queune los puntosy

Por otra parte, si las reacciones involucran ms de seis

incgnitas, hay ms incgnitas que ecuaciones y algunas de las reacciones son

estticamente indeterminadas; si estas involucran menos de seis incgnitas, el

cuerpo rgido tiene restriccin parcial. Aunque existan seis incgnitas o ms

incgnitas, el cuerpo rgido estar impropiamente restringido si las reacciones

asociadas con los apoyos dados son paralelas o intersecan la misma lnea.


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Figura 6.1Reacciones en apoyos y conexiones


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Si realizamos una sumatoria de momentos con respecto al eje z, podemos calcular

la reaccin en .

Por lo tanto, la reaccin en es igual a:

Ahora, plantearemos una sumatoria de momentos respecto al punto .

La reaccin en es igual a:


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Finalmente, para calcular las componentes de la reaccin en , aplicaremos laprimera condicin de equilibrio, es decir:

Y, la reaccin en es igual a:

Problema 6.2

La placa rectangular que se

muestra en la figura pesa 80 lb y

se sostiene mediante tres

alambres verticales. Determine la

tensin en cada alambre.

Solucin:

A partir del diagrama de cuerpo libre que se muestra en la siguiente pginainiciaremos con el anlisis de ejercicio. Tome en cuenta que el peso de la placa serepresentar como una fuerza vertical, de magnitud , dirigida haciaabajo y que acta en un punto definido como .


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Sean , y las tensiones en cada unos de los alambres que sostienen laplaca en los puntos , y , respectivamente. Aplicando la segunda condicin deequilibrio en el punto :

Resolviendo simultneamente:

y


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Ahora, por primera condicin de equilibrio:

Problema 6.3

Un brazo de 10 ft est sometido

a una fuerza de 840 lb como se

muestra en la figura. Determinela tensin en cada cable y la

reaccin en el apoyo de rtula

enA.


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Solucin:

Diagrama de cuerpo libre de la barra :

A partir del diagrama de cuerpo libre de la barra podemos determinar losvectores fuerza y radio vectores:


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Por sumatoria de momentos respecto al punto :

Finalmente:


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Problema 6.4El bastidor ABCD se sostienemediante tres cables y un apoyo

de rtula enA. Para a= 150 mm,determine la tensin en cadacable y la reaccin enA.

Solucin:



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Resolviendo simultneamente:

, y Por ltimo:


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Problema 6.5

La placaABCDde 50 kg se sostiene

por medio de bisagras a lo largo delborde ABy mediante el alambre CE.

Si se sabe que la placa es uniforme,

determine la tensin en el alambre.

Solucin:



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Como puede apreciarse en el diagrama de cuerpo libre podemos realizar una

sumatoria de momentos con respecto al eje que pasa por el lado de la placa yas nos quedara nicamente una ecuacin con una incgnita; previamente

definiremos al vector unitario en la direccin del eje

, los radio vectores que van

del punto al punto de aplicacin del peso de la placa y de la tensin en y, los vectores fuerza y.

Ahora, la sumatoria de momentos con respecto al eje:


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Comentarios finales


Comentarios finales

Es importante tomar en cuenta que en todos los cursos de

mecnica, la solucin de problemas es parte importante del proceso de

aprendizaje. Por tanto, el alumno deber estar conciente de que sus estudios se

dividirn en forma natural en dos partes: primero, comprender el desarrollo lgico

de los conceptos, y segundo, aplicar esos conceptos a situaciones prcticas. Lo

primero se logra estudiando las deducciones, explicaciones y ejemplos, y la

segunda parte se logra resolviendo los problemas propuestos. Los problemas que

se trabajan en el curso pueden ser de carcter numricoo de carcter simblico

(algebraico).

En los problemas numricos las magnitudes de todas las

cantidades son evidentes en cada etapa de los clculos y se requiere trabajar con

unidades especficas de medida (sistemas de unidades). Por su parte, los

problemas simblicos tienen la ventaja de que conducen a expresionesmatemticas de aplicacin general; una solucin algebraica muestra la forma en la

que cada variable afecta los resultados.


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Comentarios finales

Bibliografa Beer, Johnston, Mazurek, Eisenberg MECNICA VECTORIAL PARA

INGENIEROSEsttica 9 Edicin McGraw-Hill, Mxico 2010

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equilbrio en el espacio estatica

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