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Equations di↵érentielles

Notes de cours - UE MAT126

Enseignant.e.s : Benoit Arbenot, Elise Arnaud, Eric Blayo, Georges-Henri Cottet, AgnèsHamon, Emilie Neveu, Maëlle Nodet, Régis Perrier, Arthur Vidard

Vidéos : http://tinyurl.com/youtube-mat126

Site web de l’UE : http://tinyurl.com/uga-mat126

Email : [email protected]

Plan du chapitre

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Les notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.a Plusieurs écritures d’une même équation di↵érentielle . . . . . . . 5

2.b Le vocabulaire pour reconnâıtre une équation di↵érentielle . . . . 5

2.c Ne pas oublier : l’étape de vérification . . . . . . . . . . . . . . . 8

3

´

Equations di↵érentielles du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.a

´

Equations di↵érentielles linéaires homogènes . . . . . . . . . . . . 9

3.b

´

Equations di↵érentielles linéaires non homogènes . . . . . . . . . 10

3.c

´

Equations di↵érentielles non-linéaires du premier ordre . . . . . . 14

3.d

´

Equations di↵érentielles à variables séparées . . . . . . . . . . . . 14

3.e Un cas particulier : l’équation de Riccati . . . . . . . . . . . . . . 16

4

´

Equations di↵érentielles linéaires du deuxième ordre à coe�cients constants 18

4.a Résolution de l’équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.b Résolution de l’équation avec second membre . . . . . . . . . . . 20

5 Détails sur les solutions de l’équation linéaire du deuxième ordre . . . . . 22

5.a Rappel sur les trinômes du second degré . . . . . . . . . . . . . . 22

5.b Solutions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.c Résolution de l’équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6 Quelques exemples issus de la physique-chimie . . . . . . . . . . . . . . . 24

1

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Mat126 28 janvier 2016

6.a Exemple 1: le ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6.b Exemple 2: un circuit électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6.c Exemple 3: radioactivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

7.a Problème bien posé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

7.b Equations di↵érentielles linéaires d’ordre n . . . . . . . . . . . . . 26

7.c Résolution d’un système d’équations différentielles linéaires d’ordre

1 à coe�cients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7.d Approximation numérique de la solution d’une équation différen-

tielle d’ordre 1 par méthode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . 28

8 Quelques rappels d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

8.a Formulaire de primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

8.b Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

8.c Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2


1 Introduction

Une définition pour commencer.

Définition. Une équation di↵érentielle est une équation dont l’inconnue est une fonc-tion et qui s’écrit avec la fonction et ses dérivées.

Exemples. Voici des équations di↵érentielles :— la fonction f(x) est l’inconnue : f 0(x) + 2f(x)2 = �1— la fonction y(t) est l’inconnue : y00(t) + 2y0(t) + sin(y(t)) = exp(t)— la fonction u(z) est l’inconnue : (u0(z))2 � 1/u0(z) + 2u(z) exp(u(z)) = cos(z)

Leur utilité. L’application des lois de la physique à un système conduit très sou-vent à une équation di↵érentielle : c’est le cas pour le mouvement de l’atmosphère etde l’océan (pour les prévisions météo et le climat), pour les calculs de trajectoires (dessatellites, des avions, des sportifs, dans les jeux vidéos, ...), en chimie pour les cal-culs de concentration (chimie atmosphérique et pollution, industrie pharmaceutique), enbiologie-écologie-médecine (populations animales proies/prédateurs, évolution des viruset pandémie, modélisation de certaines maladies dans le corps, taux d’alcoolémie, ...), etbeaucoup d’autres domaines.

Des exemple concrets. Les équations di↵érentielles se retrouvent dans un très grandnombre de domaines et sont très utiles au quotidien. Vous trouverez trois exemplesconcrets à la fin de ce poly au paragraphe 6. N’hésitez pas à nous demander des détails.

Comment utiliser ce poly de cours. Le paragraphe 2 décrit le vocabulaire et lesdi↵érents types d’équations di↵érentielles : c’est le point de départ, à travailler en pre-mier. Grâce au vocabulaire vous saurez reconnâıtre les équations et donc choisir la bonneméthode. Une fois que vous savez quelle est le type de votre équation il vous su�t de cher-cher le paragraphe adéquat dans la table des matières (sections 3 et 4). La page suivanterésume tout ça sous forme d’une carte conceptuelle.

3


4


2 Les notions de base

2.a Plusieurs écritures d’une même équation di↵érentielle

Les équations suivantes sont di↵érentes écritures d’une même équation di↵érentielle :

f 00(x) + (x2 � 1)(f(x)2 � 1) = sin(2x+ 1)

f 00 + (x2 � 1)(f 2 � 1) = sin(2x+ 1)

f (2)(t) + (t2 � 1)(f(t)2 � 1) = sin(2t+ 1)

y(2) + (x2 � 1)(y2 � 1) = sin(2x+ 1)

Même si l’écriture d’une équation di↵érentielle ne comporte que des inconnues en yc’est bien une fonction que l’on cherche à déterminer : que ce soit y = f(x) ou y = f(t).

La notation (2) indique la dérivé seconde et non le carré. De façon similaire, lanotation (n) indique la dérivée nième.

2.b Le vocabulaire pour reconnâıtre une équation di↵érentielle

Le vocabulaire qui suit va permettre de distinguer di↵érents types d’équations. Ilest indispensable de bien le mâıtriser, car la méthode de résolution va dépendrejustement du type d’équation.

Liste des éléments indispensables à reconnâıtre

Les éléments indispensables à reconnâıtre sur une équation di↵érentielle sont les sui-vantes :— trouver son ordre ;— identifier le second membre ;— voir si une équation est homogène ;— uniquement si l’équation n’est pas homogène : trouver son équation homogène

associée ;— dire si une équation est linéaire ou pas ;— dire si une équation comporte des conditions initiales ou aux limites.

5


L’ordre

Définition. L’ordre d’une équation di↵érentielle est le plus haut degré de dérivationprésent dans l’équation.

Exemples. [vid´eo]

• l’équation di↵érentielle y(3)(t)� 2y2(t) y0(t) + y(t) = cos t est d’ordre 3 ;Rappel : y

(3)désigne la dérivée troisième de la fonction y(t), alors que y3 désigne sa puissance troisième.

• l’équation di↵érentielle y2(t) y0(t) + t y(t) = et est d’ordre 1 (et non pas d’ordre 2 :c’est l’ordre de dérivation qui compte, pas le terme y2).

Le second membre

Définition. Soit (E) une équation di↵érentielle. On appelle second membre de (E)l’ensemble des termes de l’équation dans lesquels la fonction inconnue ne figure pas. Onles place en général du côté droit de l’égalité, d’où l’appellation ⌧ second membre � .

Exemple. [vid´eo]On considère l’équation suivante y0(t) y2(t)� 2t et + y00(t) (y(t)� 1) + 1/t = 0. Cette équationpeut être réécrite sous la forme

y0(t) y2(t) + y00(t) (y(t)� 1) = 2t et � 1/t

et le second membre de l’équation est donc 2t et � 1/t.

Ne pas se mélanger les pinceaux : le terme second membre ici ne veut pas simplementdire “à droite du signe égal”. En e↵et, si on regarde par exemple l’équation :

f (2)(t)� sin(2t+ 1) + (t2 � 1)(f(t)2 � 1) = 0

il y a bien un second membre non nul. En fait, on a pour habitude de garder à gauchetous les termes où figurent la fonction inconnue, et à droite tous ceux où elle n’est pas.Pour cela il faut d’abord développer les éventuels produits où f intervient :

f (2)(t)� sin(2t+ 1) + (t2 � 1)f(t)2 � (t2 � 1) = 0

(ici il a fallu développer le produit (t2 � 1)(f(t)2 � 1))et ensuite on passe à droite les termes indépendants de f , ce qui donne :

f (2)(t) + (t2 � 1)f(t)2 = sin(2t+ 1) + (t2 � 1)

et sur cette écriture on voit bien le second membre, qui est sin(2t+ 1) + (t2 � 1).

6


Equation homogène

Définition. Soit (E) une équation di↵érentielle. Si son second membre est égal à zéro,alors on dit que cette équation est homogène.

Exemple. L’équation y(3)(t)� 2y2(t) y0(t) + y(t) = 0 a zéro pour second membre, elle estbien homogène.Contre-exemple : L’équation de l’exemple précédent :y0(t) y2(t)� 2t et + y00(t) (y(t)� 1) + 1/t = 0 a un second membre qui est 2t et � 1/t, ellen’est donc pas homogène.

Equation homogène associée

Définition. Soit (E) une équation di↵érentielle qui n’est pas déjà homogène. On appelleéquation homogène associée à (E) l’équation di↵érentielle notée (E0) obtenue enremplaçant par 0 le second membre de (E).

Une propriété importante des équations homogènes est que la fonction nulle (y(t) ⌘ 0)en est solution.

Exemples. [vid´eo]On reprend les équations des exemples précédents :— équation y(3)(t) � 2y2(t) y0(t) + y(t) = cos t n’est pas homogène, son équation ho-

mogène associée est y(3)(t)� 2y2(t) y0(t) + y(t) = 0 ;— l’équation y2(t) y0(t) + t y(t) = et n’est pas homogène, son équation homogène as-

sociée est y2(t) y0(t) + t y(t) = 0 ;— l’équation y0(t) y2(t)� 2t et + y00(t) (y(t)� 1) + 1/t = 0 n’est pas homogène, son équation

homogène associée est y0(t) y2(t) + y00(t) (y(t)� 1) = 0.

Equation linéaire ou non linéaire

Définition. Une équation di↵érentielle (E) est linéaire si elle est de la forme :• a(t) y0(t) + b(t) y(t) = c(t) si elle est d’ordre 1• a(t) y00(t) + b(t) y0(t) + c(t) y(t) = d(t) si elle est d’ordre 2

L’important ici est que y, y0 et y00 apparaissent avec une simple multiplication par unecoe�cient (constant ou dépendant de t ou x seulement).Si elle est d’ordre 1 ou 2 mais ne peut pas s’écrire ainsi, alors elle est non linéaire.

Exemples. [vid´eo]

• l’équation di↵érentielle y00(t)� 3t2 y0(t) +p

t y(t) = sin t est linéaire ;

• l’équation di↵érentielle y0(t) + y2(t) = t est non linéaire car elle comporte un termeen y2(t).

7


Conditions initiales ou aux limites

En général, une équation di↵érentielle admet une infinité de solutions, qui font inter-venir des constantes arbitraires mais dans certains cas le problème peut être précisé endonnant en un point connu la valeur de la fonction recherchée :

Définition. Si la fonction dépend du temps t, on appelle problème aux conditions ini-tiales l’équation di↵érentielle à laquelle on associe une ou plusieurs conditions à l’instantinitial t = 0.

Définition. Si la fonction dépend d’une variable d’espace x, on appelle problème auxconditions aux limites l’équation di↵érentielle à laquelle on associe une ou plusieursconditions aux limites du domaine de calcul.

Exemples. • Le problème suivant :⇢

y0(t) = 3 y(t)y(0) = 2

est un problème aux conditions initiales.• Le problème 8

<

:

y00(x) + y(x) = 0y(0) = 2y(⇡/2) = 3

est un problème aux conditions aux limites.

2.c Ne pas oublier : l’étape de vérification

Vous allez résoudre des équations di↵érentielles. A la fin de votre calcul vous aureztrouvé toutes les solutions. N’oubliez pas l’étape de vérification ! Pour cela, prenez lafonction que vous avez trouvé et vérifiez qu’elle est bien solution de l’équation de départ.

Exemple. Par exemple, plus loin vous verrez que l’équation y0(x)�3y(x) = 0 admet poursolution y(x) = Ke3x où K est un réel quelconque. Pour vérifier, on va remplacer y dansl’équation. Pour cela on doit commencer par calculer y0 :

y(x) = Ke3x ) y0(x) = 3Ke3x

On remplace dans l’équation :

y0(x)� 3y(x) = 3Ke3x � 3.(Ke3x)

et on trouve bien zéro, autrement dit y est bien solution.

8


3

´

Equations di↵érentielles du premier ordre

3.a

´

Equations di↵érentielles linéaires homogènes

Dans ce paragraphe on considère une équation di↵érentielle linéaire homogène dupremier ordre, c’est à dire une équation de la forme

y0(t) + a(t) y(t) = 0 (E)

A coe�cient constant

Dans ce paragraphe a(t) est constant : a(t) = a, 8t 2 R. Pour résoudre l’équationhomogène (E)

y0(t) + a y(t) = 0

on suppose que y(t) 6= 0 et on la réécrit sous la forme suivante :

y0(t) + a y(t) = 0 , y0(t) = �a y(t) ,y0(t)

y(t)= �a

et on intègre membres de gauche et de droite.Pour cela, on remarque que la fonction y0(t)/y(t) est la dérivée de la fonction ln(|y(t)|)(voir le cours sur la dérivation des fonctions composées), ce qui donne

y0(t)

y(t)= �a =)

Zy0(t)

y(t)dt = �

Za dt =) ln |y(t)| = �at+ C

où C est une constante réelle quelconque.On en déduit

|y(t)| = e�at+C = eCe�at = Me�at

avec M = eC > 0, et donc finalement |y| ne s’annule jamais, donc y est soit toujourspositif soit toujours négatif, ce qui peut se résumer par la formule :

y(t) = Ke�at avec K 2 R

(K peut être égal à zéro car la fonction nulle est aussi solution)

Exemple. On considère l’équation y0(x)�3y(x) = 0, on la réécrit y0(x) = 3y(x), puis ensupposant que y(x) 6= 0 on obtient : y0(x)/y(x) = 3, on intègre des deux côtés pour avoirln(|y(x)|) = 3x+ C, on prend l’exponentielle |y(x)| = e3x+C = Me3x avec M > 0.Comme y ne s’annule jamais on peut dire que toutes les solutions sont y(x) = Ke3x où Kest un réel quelconque (positif ou négatif). On peut aussi remarquer que la fonction nulleest solution, donc K peut également être égal à zéro.

9


A coe�cient variable

Pour résoudre l’équation homogène (E)

y0(t) + a(t) y(t) = 0

on reprend exactement la même méthode : on remarque que la fonction nulle est solutionet ensuite on suppose que y(t) 6= 0 pour pouvoir réécrire l’équation sous la forme :

y0(t)

y(t)= �a(t)

et on intègre membres de gauche et de droite :

y0(t)

y(t)= �a(t) =)

Zy0(t)

y(t)dt = �

Za(t) dt =) ln |y(t)| = �A(t) + C

où A(t) est une primitive de a(t) et C est une constante réelle quelconque.On en déduit

|y(t)| = e�A(t)+C = eCe�A(t) = Me�A(t)

avec M = eC > 0, et donc finalement |y| ne s’annule jamais, donc y est soit toujourspositif soit toujours négatif, ce qui peut se résumer par la formule :

y(t) = Ke�A(t) avec K 2 R

On verra des exemples de résolution de l’équation homogène un peu plus loin.

3.b

´

Equations di↵érentielles linéaires non homogènes

On considère dans tout ce paragraphe une équation di↵érentielle linéaire du premierordre non homogène, c’est à dire une équation de la forme

y0(t) + a(t) y(t) = b(t) (E)

qui admet donc un second membre b(t). On a vu dans les définitions précédentes que sonéquation homogène associée est :

y00(t) + a(t) y0(t) = 0 (E0)

On montre d’abord comment ramener la solution de l’équation (E) à celle de (E0) :

Théorème. (principe de superposition) Soit p(t) une solution particulière de (E). Alorsles solutions de (E) sont les fonctions p(t) + y0(t), où y0 désigne toutes les solutions del’équation homogène associée (E0).

Démonstration :) : Soit y(t) une solution quelconque de (E). Alors y(t)� p(t) est solution de (E0). On la notey0, et on a bien y(t) = p(t) + y0(t) où y0 est solution de (E0)( : Soit y0(t) une solution quelconque de (E0). Alors p(t) + y0(t) vérifie :

(p(t) + y0(t))0 + a(t) (p(t) + y0(t)) = p

0(t) + a(t) p(t) + y00(t) + a(t) y0(t) = 0 + b(t) = b(t)

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Donc p(t) + y0(t) est bien solution de (E).

Méthode de résolution pratique. La conséquence pratique du théorème est que larésolution de l’équation di↵érentielle (E) se fera en 3 temps :

1. on résout l’équation homogène associée (E0) ;2. on trouve une solution particulière p(t) de (E) ;3. avec le principe de superposition (et éventuellement une condition initialie) on en

déduit toutes les solutions de (E) ;4. pour finir, on vérifie que la solution trouvée satisfait bien l’équation (+

éventuellement la condition initiale).

Exemple. [vid´eo]On considère l’équation (E) suivante : y0(t) + y(t) = 2et.

1. l’équation homogène associée est (E0) : y00(t) + y0(t) = 0 en utilisant la méthodedécrite à la section 3.a on trouve y0(t) = � e�t où � 2 R ;

2. une solution particulière assez évidente est p(t) = et.Les solutions de (E) sont donc les fonctions y(t) = et + � e�t où � 2 R.

On va voir maintenant en détail, comment réaliser ces deux étapes de résolution danstous les cas.

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Etape 1 – Résolution de l’équation homogène (E0)

Pour résoudre l’équation homogène (E0)

y00(t) + a(t) y0(t) = 0

on utilise la méthode vue au paragraphe 3.a (équation di↵érentielle linéaire homogèned’ordre 1 à coe�cient variable), et on trouve :

y0(t) = Ke�A(t) avec K 2 R

´

Etape 2 – Recherche d’une solution particulière de (E)

Il existe deux méthodes pour faire l’étape 2 :— dans le cas où a est constant et le second membre est particulier : méthode par

analogie avec le second membre ;— cas général : méthode de variation de la constante.On va décrire ces deux méthodes ci-dessous.

Méthode 1, dans le cas a constant : analogie avec le second membre (polynôme,exponentielle, (co)sinusöıdale). Dans le cas a constant avec second membre l’équations’écrit :

(E) : y0(x) + ay(x) = b(x)

! cas où b(x) = P (x) : où P (x) est un polynôme de degré n. Si a 6= 0 alors il existeune solution particulière polynômiale Q(x) de degré n. Si a = 0 alors il existe unesolution particulière polynômiale Q(x) de degré n + 1 (n’importe quelle primitivede P (x) puisque l’équation se réduit à y0(x) = P (x)).

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! cas où b(x) = Cekx : si k 6= �a alors il existe une solution particulière de la formeDekx. Si k = �a alors il existe une solution particulière de la forme Dxekx.

! cas où b(x) = C cos(!x) + D sin(!x) : il existe une solution particulière de laforme E cos(!x) + F sin(!x).

Méthode 2, dans le cas général : variation de la constante. Son principe est lesuivant :

• On cherche a priori p(t) sous la même forme que les solutions de l’équation ho-mogène, mais en remplaçant la constanteK par une fonction de t (d’où le nom de va-riation de la constante). Donc on va poser et chercher p sous la forme p(t) = K(t) e�A(t) :notre nouvelle fonction inconnue va devenir K(t).

• On va donc chercherK(t) telle que la fonction p(t) = K(t) e�A(t) soit bien solution del’équation. Pour cela, la méthode consiste à dériver p(t), à remplacer dans l’équationdi↵érentielle, et à en déduire une équation di↵érentielle sur K(t) que l’on résout.Si on dérive p(t), on obtient

p0(t) = K 0(t) e�A(t) � A0(t)K(t) e�A(t) = (K 0(t)� a(t)K(t)) e�A(t)

(car A(t) est une primitive de a(t), autrement dit A0(t) = a(t)). En remplaçant p(t)et p0(t) par leurs expressions dans (E), on obtient alors :

p0(t) + a(t) p(t) = (K 0(t)� a(t)K(t)) e�A(t) + a(t)K(t) e�A(t) = b(t)

Les a(t)K(t) e�A(t) se simplifient (TOUJOURS, si ce n’est pas le cas c’estqu’il y a une erreur dans votre calcul - recommencez !).Il nous reste alors l’équation suivante pour K :

K 0(t) e�A(t) = b(t), ou encore K 0(t) = b(t) eA(t).

On en déduit donc K(t) en intégrant b(t) eA(t), et on réinjecte le K(t) obtenu dansp(t) pour obtenir ainsi l’expression de la solution particulière p(t).

Exemples. [vid´eo]

• On considère l’équation (E) : y0(t)�3

ty(t) = t.

L’équation homogène est (E0) : y00(t)�

3

ty0(t) = 0. On la résout :

y00(t)

y0(t)=

3

t=) ln |y0(t)| = 3 ln |t|+ C = ln |t

3|+ C =) y0(t) = K t

3 avec K 2 R

On cherche maintenant une solution particulière de (E) par méthode de variationde la constante. On pose p(t) = K(t) t3 et on insère cette expression dans (E). Onobtient :

p0(t)�3

tp(t) = K 0(t) t3 = t =) K 0(t) =

1

t2=) K(t) = �

1

tet aussi p(t) = �t2

12


Finalement, les solutions de (E) sont les fonctions de la forme

y(t) = �t2 +K t3 avec K 2 R

• On considère l’équation (E) : t y0(t) + y(t) =4

1 + 2t.

L’équation homogène est (E0) : t y00(t) + y0(t) = 0. On la résout :

y00(t)

y0(t)= �

1

t=) ln |y0(t)| = � ln |t|+C = ln |t

�1|+C =) y0(t) = K t

�1 =K

tavec K 2 R

On cherche maintenant une solution particulière de (E) par méthode de variationde la constante. On pose p(t) = K(t) 1

t

et on insère cette expression dans (E). Onobtient :

t p0(t) + p(t) = tK 0(t)1

t=

4

1 + 2t=) K 0(t) =

4

1 + 2t=) K(t) = 2 ln |1 + 2t|

D’où p(t) =2

tln |1 + 2t|, et les solutions de (E) sont les fonctions de la forme

y(t) =2

tln |1 + 2t|+

K

tavec K 2 R

´

Etape 3 : Fin du calcul

Pour finir la résolution de (E) il y 2 cas :

Sans condition initiale. On cherche simplement la solution générale de l’équation,et alors y(t) = y0(t) + p(t), où y0 et p ont été calculés aux paragraphes précédents, donnela réponse. Pour vérifier, on peut remplacer y dans l’équation de départ.

Avec condition initiale. Dans ce cas, l’équation est complétée par une valeur pourun certain t. Dans ce dernier cas il su�t ⌧ d’ajuster � la constante qui se trouve dans lafonction y0 pour retrouver cette valeur. Là aussi, on n’oublie pas de vérifier en remplaçantla solution obtenue dans l’équation.

Exemple. [vid´eo]On reprend l’exemple précédent :

y0(t)�3

ty(t) = t

et on ajoute la conditiony(1) = 0

13


On a calculé précédemment toutes les solutions, on a trouvé :

y(t) = �t2 +K t3 avec K 2 R

On va donc maintenant chercher K de sorte que y(1) donne bien 0. Pour cela on prendt = 1 dans la formule pour y :

y(1) = �12 +K.13 = �1 +K

La condition nous dit y(1) = 0, ce qui donne �1 + K = 0 que l’on résout en K = 1.Finalement on remplace K = 1 dans y et on conclut que la solution cherchée est

y(t) = �t2 + t3.

Vérification : on va remplacer y dans l’équation. On commence par calculer y0 : y0(t) =�2t+ 3t2. On remplace alors :

y0(t)�3

ty(t) = (�2t+ 3t2)�

3

t(�t2 + t3) = �2t+ 3t2 + 3t� 3t2 = t

donc l’équation est bien vérifiée. Ok aussi pour la condition y(1) = 0.

3.c

´

Equations di↵érentielles non-linéaires du premier ordre

Il n’y a pas de méthode générale pour résoudre les équations di↵érentielles non linéaires,sauf si elles sont à variables séparées (auquel cas on est ramené à la méthode du §3.d).Toutefois, un changement de fonction inconnue peut parfois permettre de se ramener àun cas connu, c’est à dire à une équation linéaire ou à une équation à variables séparées,cf par exemple le §3.e.

3.d

´

Equations di↵érentielles à variables séparées

L’équation di↵érentielle du premier ordre y0(t) = f(t) a pour solutions les fonctionsy(t) = F (t)+C où F est une primitive de f et C une constante. Plus généralement, si l’onpeut écrire une équation di↵érentielle du premier ordre sous la forme y0(t)g(y(t)) = f(t)alors la résolution de cette équation se ramène à déterminer des primitives ; c’est ce quel’on explique en détail dans cette partie.

Nous commençons par donner une définition du type d’équations di↵érentielles (nonlinéaires en général) du premier ordre qui seront résolues ainsi.

Définition. Une équation di↵érentielle du premier ordre est dite équation di↵érentielleà variables séparées si elle peut se mettre sous la forme :

y0(t) = f(t) g(y(t))

Autrement dit, y0(t) est un produit entre une fonction qui ne dépend que de t et unefonction qui ne dépend que de y.

14


Exemples. • y0(t) = t2 y(t) est une équation à variables séparées (déjà vue), avecf(t) = t2 et g(y(t)) = y(t).

• y0(t)y2(t) = et est une équation à variables séparées, avec f(t) = et et g(y(t)) =1/y2(t).

• y0(t) + y(t)� t2 = 0 n’est pas à variables séparées.

Ce type d’équations généralise donc les équations linéaires homogènes vues auparagraphe précedent. En e↵et, une équation linéaire homogène d’ordre 1 peut s’écrire àvariables séparées :

y0(x) + a(x)y(x) = 0 , y0(x) = �a(x)y(x)

On a donc bien y0 égal à une fonction qui ne dépend que de y multiplié par une fonctionqui ne dépend plus que de x :

y0 = y ⇥ a(x)

on a donc bien séparé les variables.Nous allons donc généraliser la méthode utilisée pour résoudre les équa di↵ linéaireshomogènes d’ordre 1. La méthode de résolution d’une équation à variables séparées

y0(x) = f(x)⇥ g(y(x)) , y0 = f(x)⇥ g(y)

repose encore sur le calcul de primitives et sur les formules de dérivation de fonctionscomposées, on explique ceci ci-dessous.

Méthode générale de résolution. On met les y à gauche et les t à droite, autrementdit on réécrit l’équation sous la forme

y0(t)

g(y(t))= f(t) (en supposant g(y(t)) 6= 0)

d’où

Zy0(t)

g(y(t))dt =

Zf(t) dt en intégrant des deux côtés

soit

Zdu

g(u)=

Zf(t) dt avec le changement de variable u = y(t) (du = y0(t) dt)

d’où H(u) = F (t) + C où F et H sont des primitives de f et 1/g

d’où y(t) = u = H�1(F (t) + C) où H�1 est la fonction réciproque de H

Ne pas apprendre par cœur la formule finale, apprendre l’enchainement des étapesde la méthode et savoir l’appliquer !

Exemples. [vid´eo]

• On considère l’équation (E) : y0(t) = et y2(t). On a :

y0(t)

y2(t)= et =)

Zy0(t)

y2(t)dt =

Zet dt =)

Zdu

u2=

Zet dt =)

�1

u= et + C

15


D’où y(t) = u =�1

et + Cavec C 2 R. On remarque donc que le domaine de définition

de y est R pour les valeurs de C � 0, et Rr {ln(�C)} si C < 0.

• On rencontre en chimie des équations du type (E) : y0(t) = (y(t)� a)(y(t)� b).

On utilise la décomposition :1

(X � a)(X � b)=

1

b� a

✓1

X � b�

1

X � a

◆.

D’oùy0(t)

(y(t)� a)(y(t)� b)= 1 =)

y0(t)

y(t)� b�

y0(t)

y(t)� a= b� a

=)

Zy0(t) dt

y(t)� b�

Zy0(t) dt

y(t)� a= (b� a)t+ C

=) ln |y(t)� b|� ln |y(t)� a| = (b� a)t+ C

D’oùy � b

y � a= K e(b�a)t. D’où y(t) =

b� aK e(b�a)t

1�K e(b�a)t, K 2 R.

3.e Un cas particulier : l’équation de Riccati

Une équation di↵érentielle de Riccati est une équation de la forme

(E) : y0(t) + a(t) y(t) + b(t) y2(t) = 0

On rencontre ce type d’équations dans de nombreux domaines de la physique.

On peut la résoudre de la façon suivante :

• Faire a priori le changement de fonction inconnue y(t) = u(t)z(t).(E) devient donc

(E) : u0(t)z(t) + u(t)z0(t) + a(t) u(t)z(t) + b(t) u2(t)z2(t) = 0

On peut réécrire cette équation ainsi : (à gauche on prend ce qui est en facteur dez, à droite on met ce qui contient z0 et z2, dans lequel on peut factoriser u)

(E) : z(t).⇥u0(t) + a(t) u(t)

⇤+ u(t).

⇥z0(t) + b(t) u(t)z2(t)

⇤= 0

On va maintenant choisir u et z de telle sorte qu’ils annulent les deux morceaux del’équation ci-dessus, autrement dit on va s’assurer que— u0(t) + a(t) u(t) = 0— z0(t) + b(t) u(t)z2(t) = 0

• On commence par u, on cherche u qui vérifie l’équation di↵érentielle u0(t)+a(t)u(t) =0 (c’est une équation di↵érentielle linéaire homogène du premier ordre, donc on saitla résoudre).

• Connaissant u on passe maintenant à z, on cherche z solution de :

z0(t) + b(t) u(t) z2(t) = 0

qui est une équation di↵érentielle du premier ordre à variables séparées. On peutdonc déterminer z(t).

16


• D’où finalement on obtient une solution de (E) en posant y(t) = u(t)z(t).

Exemple. [vid´eo]Mettons en oeuvre cette méthode par exemple sur l’équation :

(E) : y0(t)� y(t) + t y2(t) = 0

• On fait le changement de fonction inconnue y(t) = u(t)z(t). (E) devient donc

(E) : u0(t)z(t) + u(t)z0(t)� u(t)z(t) + t u2(t) z2(t) = 0

que l’on réécrit comme dans la méthode précédente en mettant z en facteur à gaucheet u en facteur dans ce qui reste (et qui ne contient que du z0 et du z2) :

(E) : z(t)⇥u0(t)� u(t)

⇤+ u(t)

⇥z0(t) + t u(t) z2(t)

⇤= 0

• On détermine u(t) afin de vérifier l’équation di↵érentielle u0(t) � u(t) = 0, ce quidonne après résolution u(t) = C1 et avec C1 2 R.

• On détermine z(t) afin de vérifier l’équation pour z : z0(t) + t u(t) z2(t) = 0, danslaquelle on remplace la valeur trouvée pour u : z0(t) + C1 t e

t z2(t) = 0. C’est uneéquation à variables séparées, on applique la méthode adéquate :

�z0(t)

z2(t)= C1 t e

t =)

Z�z0(t)

z2(t)dt = C1

Zt et dt =)

1

z(t)= C1 (t e

t

�et)+C2 (par IPP)

D’où z(t) =1

C1 (t et � et) + C2=

1

C1

1

t et � et + C2/C1

• D’où finalement les solutions de (E) : y(t) = u(t) z(t) =et

t et � et + Cavec C 2

R.

17


4

´

Equations di↵érentielles linéaires du deuxième

ordre à coe�cients constants

On va considérer maintenant les équations di↵érentielles de la forme

a y00(t) + b y0(t) + c y(t) = f(t) avec a, b, c 2 R

On supposera bien sûr a 6= 0, car sinon l’équation di↵érentielle est d’ordre 1.

Comme pour les équations linéaires du premier ordre, les solutions des équations linéairesdu deuxième ordre sont obtenues, d’après le principe de superposition, sous la formey(t) = p(t)+y0(t), où p(t) est une solution particulière de l’équation avec second membre,et où y0(t) est une solution de l’équation homogène. La résolution se fait donc en 2 temps :résolution de l’équation homogène, puis recherche d’une solution particulière de l’équationcomplète.

Remarque. Si c = 0, on pourra bien sûr utiliser la démarche qu’on va décrire dansles paragraphes qui suivent, mais une autre possibilité consiste à poser z(t) = y0(t). Onse ramène alors à la résolution de deux équations di↵érentielles d’ordre 1 : tout d’aborda z0(t) + b z(t) = f(t), puis y0(t) = z(t).

4.a Résolution de l’équation homogène

Deux cas particuliers pour commencer à comprendre

L’équationy00(t) + !2y(t) = 0

où ! est une constante modélise par exemple les petits déplacements d’un ressort. Onvoit (par exemple en les remplaçant dans l’équation) que les fonctions y(t) = cos!t ety(t) = sin!t, ainsi que leurs combinaisons y(t) = � cos!t+µ sin!t sont solutions de cetteéquation.Si on considère maintenant l’équation

y00(t)� !2y(t) = 0

Les solutions sont de la forme y(t) = �e�!t + µe!t.En fait les expressions correspondant à ces 2 exemples sont de la même forme si on acceptede travailler avec des nombres complexes. En e↵et on peut écrire

cos!t =ei!t + e�i!t

2, sin!t =

ei!t � e�i!t

2i

si bien que dans les 2 cas les solutions sont combinaisons de fonctions exponentielles.On remarque aussi que les coe�cients intervenant dans ces exponentielles, i! dans lepremier cas et ! dans le second, sont respectivement racines des polynômesX2+!2 etX2�

18


!2, c’est à dire les polynômes du second degré obtenus à partir de l’équation di↵érentielleen ”remplaçant” l’ordre de dérivation par une puissance de X. Le paragraphe qui suit vapermettre de généraliser cette observation et de construire de manière systématique lessolutions pour toutes les équations linéaires homogènes.

Le cas général

On considère l’équation di↵érentielle homogène (E0) associée à (E) :

a y000(t) + b y00(t) + c y0(t) = 0 où a, b, c 2 R, et a 6= 0

Définition. On appelle équation caractéristique (ou plynôme caratcétristique)associé.e à (E0) l’équation du second degré

aX2 + bX + c = 0

Méthode. On note � = b2 � 4ac le discriminant du polynôme caractéristique. Les solu-tions de (E0) sont alors :

• Si � > 0 :y0(t) = Ae

r1t +B er2t

avec A,B réels et r1, r2 les 2 racines du polynôme caractéristique.• Si � = 0 :

y0(t) = (At+B) ert

avec A,B réels et r la racine du polynôme caractéristique.• Si � < 0 :

y0(t) = [C cos �t+D sin �t] e↵t

avec C,D réels et où ↵ = �b

2aet � =

p

��

2a.

Autre formulation : ↵ et � sont les nombres réels tels que r1 = ↵+ i� et r2 = ↵� i�sont les deux racines du polynôme caractéristique.

La preuve de ces résultats est donnée dans la section 5.

Exemples. [vid´eo]

• (E0) y000(t)� 3y

00(t) + 2y0(t) = 0 Le polynôme caractéristique est X

2�3X+

2. Il admet deux racines réelles r1 = 1 et r2 = 2, et les solutions sont y0(t) =Aet +B e2t, avec A,B réels.

• (E0) 4y000(t) + 12y

00(t) + 9y0(t) = 0 Le polynôme caractéristique est 4X

2 +12X + 9. Il admet une seule racine réelle r = �3/2, et les solutions sont y0(t) =(At+B) e�3t/2, avec A,B réels.

• (E0) y000(t) + y

00(t) + y0(t) = 0 Le polynôme caractéristique est X

2+X+1. Iladmet deux racines complexes conjuguées r1 = (�1� i

p

3)/2 et r2 = (�1+ ip

3)/2,

et les solutions sont y0(t) =

"A cos

p

3t

2+B sin

p

3t

2

#e�t/2, avec A,B réels.

19


Avec des conditions initiales. . Si l’équation (E0) est complétée par des données dela solution (ou de sa dérivée) pour une ou des valeurs de t, il faut ajuster les constantesA et B, ou C et D suivant les cas, pour vérifier ces conditions.

Exemple. [vid´eo]Par exemple, dans le dernier cas traité au-dessus, si on cherche y0 satsifaisant y0(0) = 0

et y00(0) = 1 les constantes A et B doivent satisfaire A = 0 etp32 B �

A

2 = 1. La solution

et donc donnée par la formule y0(t) =2p

3sin

p

3t

2e�t/2.

4.b Résolution de l’équation avec second membre

Ayant calculé la solution de l’équation homogène, il reste à trouver une solution parti-culière de l’équation complète (E) pour déterminer toutes ses solutions. Une telle solutionparticulière p(t) peut être obtenue de 2 façons di↵érentes :

• Par analogie avec la forme du second membre de (E). Plus précisément, si onnote f(t) le second membre de l’équation (E) et a, b et c les coe�cients de l’équationcaractéristique alors :

! cas où f(t) = P (t) : où P (t) est un polynôme de degré n. Si c 6= 0 alors ilexiste une solution particulière polynômiale Q(t) de degré n. Si c = 0 et b 6= 0alors il existe une solution particulière polynômiale Q(t) de degré n+ 1. Enfinsi c = 0 et b = 0 alors il existe une solution particulière polynômiale Q(t) dedegré n+ 2.

! cas où f(t) = Cekt : si k n’est pas racine de l’équation caractéristique alors ilexiste une solution particulière de la forme Dekt. Si k est l’une des deux racinesde l’équation caractéristique alors il existe une solution particulière de la formeDtekt. Enfin si k est la racine double de l’équation caractéristique alors il existeune solution particulière de la forme Dt2ekt.

! cas où f(t) = C cos(!t) + D sin(!t) : il existe une solution particulière dela forme E cos(!t) + F sin(!t), excepté dans le cas où on a à la fois b = 0 etc = a!2, pour lequel il existe une solution particulière de la forme t(E cos(!t)+F sin(!t))

• Par méthode de variation de la constante :On procède comme pour les équations di↵érentielles du premier ordre. Comme l’ex-pression générale des solutions de (E0) comporte deux constantes, on en choisit uneégale à 0 et on fait varier l’autre.

NB : En pratique, il faut noter que la méthode de variation de la constante n’estpas aussi simple et e�cace que dans le cas des équations du premier ordre. Il estpréférable d’utiliser, autant que possible, la recherche de solutions particulières paranalogie avec la forme du second membre.

Comme toujours, on n’oublie pas de vérifier a posteriori que la solution trouvée satisfaitbien l’équation de départ.

20


Exemples. [vid´eo]

• Soit l’équation (E) :

y00(t)� 2y0(t) + y(t) =et

(1 + t)2

Le polynôme caractéristique est X2 � 2X + 1. Il admet une seule racine r = 1,et les solutions de l’équation homogène sont donc y0(t) = (At + B) et, avec A,Bréels. Pour déterminer une solution particulière p(t), on va utiliser la méthode devariation de la constante. Pour cela, on prend par exemple A nul et on ne fait varierque B, donc on cherche p sous la forme p(t) = B(t)et. En reportant cette expressiondans (E), on obtient :

p00(t)� 2p0(t) + p(t) = (B00(t) + 2B0(t) + B(t)) et � 2 (B0(t) + B(t)) et +B(t) et

= B00(t) et

=et

(1 + t)2

On a donc B00(t) =1

(1 + t)2, d’où B0(t) =

�1

1 + tet donc B(t) = � ln |1 + t|. On a

donc p(t) = � ln |1 + t| et, et donc finalement

y(t) = (At+B � ln |1 + t|) et

avec A,B réels.• Soit l’équation (E) :

3y00(t) + 4y0(t) + y(t) = �t3 � 8t2 + 1

Le second membre étant un polynôme de degré 3 et b 6= c 6= 0, on va chercherune solution particulière sous la même forme d’un polynôme de degré 3 : p(t) =a3t3 + a2t2 + a1t+ a0. En reportant cette expression dans (E), on obtient :

3(6a3t+ 2a2) + 4(3a3t2 + 2a2t+ a1) + (a3t

3 + a2t2 + a1t+ a0) = �t

3� 8t2 + 1

soit a3t3 + (12a3 + a2) t

2 + (18a3 + 8a2 + a1) t+ 6a2 + 4a1 + a0 = �t3� 8t2 + 1.

Par identification des termes, on obtient a3 = �1, a2 = 4, a1 = �14 et a0 = 33.D’où p(t) = �t3 + 4t2 � 14t+ 33.Le même résultat peut évidemment être obtenu par méthode de variation de laconstante.

• Soit l’équation (E) :y00(t)� 2y0(t) + y(t) = e3t + 2e�t

Le second membre étant une combinaison linéaire d’exponentielles et le polynômecaractéristique admettant une unique racine en 1, on va chercher une solution par-ticulière sous la forme p(t) = ae3t + be�t. En reportant cette expression dans (E),on obtient :

�9a e3t + b e�t

�� 2

�3a e3t � b e�t

�+�ae3t + be�t

�= e3t + 2e�t

soit 4a e3t + 4b e�t = e3t + 2e�t, d’où a = 1/4 et b = 1/2. Finalement p(t) =1

4e3t +

1

2e�t.

Le même résultat peut évidemment être obtenu par méthode de variation de laconstante.

21


5 Détails sur les solutions de l’équation linéaire

du deuxième ordre

5.a Rappel sur les trinômes du second degré

Soit le trinôme du second degré aX2+bX+c = 0 avec a, b, c réels. On rappelle que sessolutions sont obtenues en calculant le discriminant � = b2 � 4ac, et sont les suivantes :

• Si � > 0, il y a 2 racines réelles distinctes r1, r2 =�b±

p

�

2a

• Si � = 0, il y a 1 racine (dite racine double) r =�b

2a

• Si � < 0, il y a 2 racines complexes conjuguées r1, r2 =�b± i

p

��

2a

5.b Solutions exponentielles

Considérons les deux fonctions vr

(t) = ert et wr

(t) = t ert avec r 2 C.

• Les dérivées de vr

sont v0r

(t) = r ert et v00r

(t) = r2 ert. Donc vr

(t) vérifie :

a v00r

(t) + b v0r

(t) + c vr

(t) = (ar2 + br + c) ert

• Les dérivées de wr

sont w0r

(t) = (1 + rt) ert et w00r

(t) = (r2t + 2r) ert. Donc wr

(t)vérifie :

aw00r

(t) + b w0r

(t) + cwr

(t) = (ar2 + br + c) t ert + (2ar + b) ert

5.c Résolution de l’équation homogène

En utilisant les résultats des §5.a et §5.b, on obtient

Si � > 0 : l’équation caractéristique a 2 racines distinctes r1 et r2, et les fonctionsvr1(t) = e

r1t et vr2(t) = e

r2t sont solutions de (E0). L’ensemble des solutions estalors donné par combinaison linéaire de v

r1 et vr2 :

y0(t) = Aer1t +B er2t avec A,B 2 R

Si � = 0 : l’équation caractéristique a une seule racine r = �b

2a. D’après §5.b, v

r

(t) =

ert et wr

(t) = t ert sont solutions de (E0). L’ensemble des solutions est alors donnépar combinaison linéaire de v

r

et wr

:

y0(t) = (At+B) ert avec A,B 2 R

Si � < 0 : comme dans le cas � > 0, le polynôme caractéristique a deux racines, etl’ensemble des solutions est donc à nouveau l’ensemble des fonctions de la forme

y0(t) = Aer1t +B er2t

22


mais cette fois les constantes A et B doivent être considérées comme des nombres

complexes puisque r1 et r2 le sont. Si l’on pose ↵ = �b

2aet � =

p

��

2a, on a alors

r1 = ↵� i� et r2 = ↵ + i�, et les solutions se réécrivent

y0(t) = Ae↵t e�i�t +B e↵t ei�t

= [A (cos �t� i sin �t) + B (cos �t+ i sin �t)] e↵t

= [(A+B) cos �t+ i(B � A) sin �t] e↵t

On cherche ici les solutions réelles, donc on va considérer celles pour lesquelles A+Bet i(B � A) sont des réels. Autrement dit, l’ensemble des solutions de (E0) est

y0(t) = [C cos �t+D sin �t] e↵t avec C,D 2 R

23


6 Quelques exemples issus de la physique-chimie

6.a Exemple 1 : le ressort

On considère un ressort vertical, à l’extrémité duquel on place une masse m. On note :

— z(t) l’allongement du ressort à l’instant t par rapport àsa position d’équilibre statique

— k la constante de raideur du ressort (k > 0)Les deux forces en présence sont la gravité et la force de rappeldu ressort, qui est proportionnelle à l’allongement z(t).

L’équation fondamentale de la dynamique s’écrit donc alors :

md2z(t)

dt2+ kz(t) = 0

C’est une équation di↵érentielle du deuxième ordre à coe�cients constants. On verra plusloin que ses solutions sont de la forme

z(t) = A cos(!t) + B sin(!t)

avec ! =p

k/m et où A et B sont des constantes.

Si l’on tient compte d’un éventuel frottement du ressort (proportionnel à sa vitesse), ilfaut ajouter un terme d’amortissement à l’équation, qui devient alors :

md2z(t)

dt2+ ↵

dz(t)

dt+ kz(t) = 0

6.b Exemple 2 : un circuit électrique

On considère un circuit électrique de type RC (résistance et condensateur). On note :

— i(t) l’intensité électrique à l’instant t— q(t) la quantité de charge, liée à l’intensité par la relation

i =dq(t)

dt— R et C les valeurs de la résistance et de la capacité

Le bilan des tensions aux bornes des composants dans le circuit s’écrit e(t) = uR

(t) +uC

(t). Or uR

(t) = Ri(t) et uC

(t) = q/C(t). Le bilan s’écrit donc finalement sous formed’une équation di↵érentielle du premier ordre :

Rdq(t)

dt+

q(t)

C= e(t)

Si l’on ajoute une bobine d’inductance L dans le circuit, la tension a ses bornes estuL

= Ldi(t)/dt, et le bilan des tensions devient une équation di↵érentielle d’ordre 2 :

Ld2q(t)

dt2+R

dq(t)

dt+

q(t)

C= e(t)

24


6.c Exemple 3 : radioactivité

Le 26 avril 1986, le réacteur numéro 4 de la centrale nucléaire de Tchernobyl en Ukraineexplose lors d’un essai technique. Une très grande quantité d’éléments radioactifs, tel quel’iode 131, est alors libéré dans l’atmosphère.Si l’on note N(t) le nombre de noyaux d’iode 131 présents au jour t, le principe physiquede la radioactivité est que la dérivée N 0(t) est proportionnelle à la quantité de matièreradioactive N(t), soit l’équation suivante :

N 0(t) = ��N(t) avec � = 8, 5 10�2 jour�1 pour l’iode 131

C’est une équation di↵érentielle linéaire d’ordre 1, dont les solutions sont de la formeN(t) = C e��t où C 2 R [vid´eo].

A Tchernobyl, on peut considérer qu’au temps t = 0 de l’explosion, il y a eu de l’ordrede 2 1020 particules d’iode 131 dispersées. On sait donc que N(0) = 2 1020 or N(0) = Cet donc N(t) = 2 1020 e�8,5 10

�2t est l’unique solution de l’équation di↵érentielle avec la

condition initiale N(0) donnée.

La demi-vie de l’iode 131 est définie comme le temps nécessaire pour la désintégrationde la moitié des particules émises au temps t = 0. Nous laissons au lecteur le soin devérifier qu’il a fallu environ 8 jours pour que la moitié des particules se désintègrent. Atitre de comparaison la demi-vie du plutonium est de 24110 ans...

25


7 Pour aller plus loin

7.a Problème bien posé

Rajouter au problème des données initiales sur la fonction recherchée et/ou sur sesdérivées ne conduit pas toujours à obtenir une solution unique au problème ainsi on dis-tingue :

Définition. Un problème aux conditions initiales ou un problème aux conditions auxlimites est dit bien posé si et seulement si il admet une solution unique.

Exemples. [vid´eo]

• Sachant que l’équation y0(t) = 3 y(t) a pour solutions les fonctions de la formey(t) = K e3t, le problème suivant :

⇢y0(t) = 3 y(t)y(0) = 2

a lui une solution unique y(t) = 2 e3t. Ce problème aux conditions initiales est doncbien posé.

Le problème 8<

:

y0(t) = 3 y(t)y(0) = 2y0(0) = 5

n’a pas de solution car on ne peut pas trouver K tel que K = 2 et 3K = 5. Ceproblème aux conditions initiales est mal posé.

• L’équation di↵érentielle y00(x) + y(x) = 0 a pour solution générale y(x) = A cos x+B sin x.

Le problème 8<

:

y00(x) + y(x) = 0y(0) = 2y(⇡/2) = 3

est un problème aux conditions aux limites bien posé, dont la solution est y(x) =2 cosx+ 3 sin x.

7.b Equations di↵érentielles linéaires d’ordre n

Les résultats précédents sur les équations di↵érentielles linéaires à coe�cients constantsd’ordre 1 et 2 peuvent être directement généralisées à un ordre n quelconque. Considéronsl’équation :

(E) an

y(n)(t) + an�1 y

(n�1)(t) + · · ·+ a2 y00(t) + a1 y

0(t) + a0 y(t) = f(t)

26


Principe de superposition Comme pour les équations linéaires du premier et du deuxièmeordre, les solutions des équations linéaires d’ordre n sont obtenues sous la formey(t) = p(t) + y0(t), où p(t) est une solution particulière de l’équation avec secondmembre, et où y0(t) est une solution de l’équation homogène. La résolution se faitdonc toujours en 2 temps : résolution de l’équation homogène, puis recherche d’unesolution particulière de l’équation complète.

Résolution de l’équation homogène (E0) On considère le polynôme caractéristiqueassocié à (E) : P (X) = a

n

Xn + an�1 Xn�1 + · · · + a2 X2 + a1 X + a0, et on en

détermine les racines.

— Pour chaque racine simple r, c’est à dire P (X) factorisable par (X � r), ert estsolution de (E0).

— Pour chaque racine double r, c’est à dire P (X) factorisable par (X � r)2, ert

et tert sont solutions de (E0).— Pour chaque racine r de multiplicité m, c’est à dire P (X) factorisable par

(X � r)m, ert, tert, . . . , tm�1ert sont solutions de (E0).

Au final, on a ainsi n solutions indépendantes de (E0), et l’ensemble des solutionsde (E0) est formé des combinaisons linéaires de ces fonctions simples.

Obtention d’une solution particulière On trouve une solution particulière soit en larecherchant sous une forme analogue à celle du second membre, soit par variation dela constante (c’est à dire en faisant varier l’une des n constantes apparaissant dansl’expression des solutions de (E0) et en prenant les n�1 autres constantes égales à 0).

Exemple. On considère l’équation di↵érentielle linéaire d’ordre 3 :

(E) y(3)(t)� 3y0(t)� 2y(t) = f(t)

Son polynôme caractéristique est P (X) = X3 � 3X � 2 et peut être factorisé en P (X) =(X�2)(X+1)2. 2 est racine simple et �1 est racine double, donc les solutions de l’équationhomogène associée (E0) sont les y0(t) = Ae2t + (Bt+ C)e�t, avec A,B,C réels.

Une solution particulière peut ensuite en être cherchée par exemple sous la forme p(t) =A(t)e2t, ou encore sous la forme p(t) = C(t)e�t.

7.c Résolution d’un système d’équations différentielles li-

néaires d’ordre 1 à coe�cients constants

De nombreux problèmes font intervenir simultanément l’évolution de plusieurs quan-tités : intensité électrique en di↵érents points d’un circuit complexe, concentration endi↵érents produits chimiques réagissant entre eux, di↵usion dans les organes d’une sub-stance présente dans le sang... On a alors plusieurs équations di↵érentielles couplées. Sichacune de ces équations est linéaire par rapport à chaque variable, on dit qu’on a unsystème linéaire d’équations di↵érentielles. Celui-ci peut s’écrire avec une notation matri-cielle X 0+AX = S où A est une matrice, S un vecteur (second membre), et où le vecteurX contient les di↵érentes fonctions inconnues.

27


Exemple. La population d’un pays est formée de ruraux et d’urbains, qu’on note respec-tivement R(t) et U(t), où t désigne le temps (en années). On désigne par a le taux annueld’exode rural (les gens qui quittent la campagne pour habiter en ville) et par b le tauxannuel d’exode urbain (les gens qui quittent la ville pour habiter la campagne). De plus,les villes reçoivent un flux migratoire en provenance de l’étranger : le nombre de migrantssur une période �t est noté c(t)�t. Les équations qui traduisent l’évolution de R(t) etU(t) sont donc : ⇢

R0(t) = �aR(t) + b U(t) (1)U 0(t) = aR(t)� b U(t) + c(t) (2)

qui peut aussi être écrit sous forme matricielle X 0(t) = MX(t)+S(t) où X(t) =

✓R(t)U(t)

◆,

M =

✓�a ba �b

◆et S(t) =

✓0

c(t)

◆.

La résolution de ces équations est alors réalisée en recombinant les équations pourles rendre indépendantes les unes des autres. La technique pour réaliser cela de façonsystématique s’appelle la “diagonalisation”, qui est hors programme.

Exemple. Dans l’exemple précédent, si l’on additionne les équations (1) et (2) et quel’on définit la nouvelle fonction Z = R+U , on obtient l’équation Z 0(t) = c(t), qui permetdonc de déterminer R + U . Et de même, si l’on forme a(1)-b(2) et que l’on définit lanouvelle fonction W = aR� bU , on obtient l’équation W 0(t) = �(a+ b)W (t)� bc(t), quipermet de déterminer aR� bU . On en déduit finalement R et U .

En prenant par exemple a = 0.2 an�1, b = 0.1 an�1 et c(t) = c0, on a ainsi :• Z 0(t) = R0(t) + U 0(t) = c0, d’où Z(t) = R(t) + U(t) = c0 t+ ↵.• W 0(t) = �0.3W (t)� 0.1c0 t. D’où W (t) = 0.2R(t)� 0.1U(t) = c0

10�3t9 + � e

�0.3t.• On obtient finalement R et U en recombinant Z et W par

R(t) =Z(t) + 10W (t)

3et U(t) =

2Z(t)� 10W (t)

3

7.d Approximation numérique de la solution d’une équation

différentielle d’ordre 1 par méthode d’Euler

On considère l’équation di↵érentielle d’ordre 1 : (E) y0(t) = f(t, y(t)) avec lacondition initiale y(0) = ↵. On suppose que cette équation est compliquée et qu’on nesait pas en trouver la solution exacte. On peut alors en chercher une approximation parune méthode numérique simple, appelée méthode d’Euler.Le principe est le suivant : on va choisir un pas de temps noté �t, et chercher une ap-proximation de y(t) à chaque instant t

i

= i�t (i = 1, 2 . . .). En faisant une approximationde la dérivée y0(t

i

) par un taux d’accroissement, on a :

y(ti

+�t)� y(ti

)

�t' f(t

i

, y(ti

))

28


c’est à direy(t

i+1) ' y(ti) +�t f(ti, y(ti))

Connaissant y(t0) = y(0) = ↵, on a donc ainsi une relation de récurrence permettant deconstruire une approximation de y entre t = 0 et un instant final t = T .

Une question pratique importante est celle du choix de �t. Sa valeur est un compromis :• si elle est trop grande, l’approximation à la base de la méthode sera trop imprécise,et donc les valeurs obtenues seront éloignées de celles de la vraie fonction y(t) ;

• si elle est trop petite, le nombre de pas de temps nécessaire pour aller jusqu’àl’instant final T sera très grand, et il faudra donc faire beaucoup de calculs.

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8 Quelques rappels d’intégration

8.a Formulaire de primitives usuelles

Fonction Une primitive

xa (a 2 R , a 6= �1) xa+1

a+ 11

x� aln |x� a|

e�x (� 6= 0)1

�e�x

cos(!x) (! 6= 0)1

!sin(!x)

sin(!x) (! 6= 0) �1

!cos(!x)

1

cos2(x)= 1 + tan2(x) tan(x)

1

x2 + 1arctan(x)

cosh(!x) (! 6= 0)1

!sinh(!x)

sinh(!x) (! 6= 0)1

!cosh(!x)

1p

x2 + 1ln⇣x+

p

x2 + 1⌘

1p

x2 � 1ln��x+

p

x2 � 1��

1p

1� x2arcsin(x)

NB. Ce tableau permet de calculer un grand nombres de primitives si on le combineavec la formule de composition des dérivées :

[f(u(x))]0 = u0(x)⇥ f 0(u(x))

Exemples. 1. fonction u0 ua, a 6= �1 primitive : ua+1

a+12. fonction u0eu, primitive : eu

3. fonction u0

u

, primitive : ln(u)etc.

8.b Intégration par parties

Comme (uv)0 = uv0 + u0v on a :Z

b

a

(uv)0 = [uv]ba

=

Zb

a

uv0 +

Zb

a

u0v

30


ou encore : Zu0v = uv �

Zuv0

Exemples. 1)

Zln x dx - en posant u = x et v = ln x :

Zln x dx = x ln x�

Zx1

xdx = x ln x�

Zdx = x ln x� x+ �

2)

Zex cos x dx - en posant u = ex et v = cosx :

Zex cos x dx = ex cos x+

Zex sin x dx (1)

Puis on pose u = ex et v = sin x :

(1) = ex cos x+ ex sin x�

Zex cos x dx

)

Zex cos x dx =

1

2(ex cos x+ ex sin x) + �

8.c Changement de variable

Le changement de variable sert à transformer une intégrale pour se ramener à uneintégrale plus simple à calculer :

I =

Zb

a

f(x)dx

S’il apparait que f(x) s’écrit sous la forme h(g(x))g0(x), on pose u = g(x), du = g0(x)dxet donc :

I =

Zg(b)

g(a)

h(u)du

Exemples. 1) I =

Zb

a

dx

x ln xavec (1 < a < b) :

On pose u = ln x, du = dx/x et donc :

I =

Z ln b

ln a

du

u= [ln |u|]ln bln a = ln | ln b|� ln | ln a|

2) I =

Zb

a

xex2dx :

On pose u = x2, du = 2x dx et donc :

I =1

2

Zb

2

a

2

eudu =1

2[eu]b

2

a

2 =eb

2� ea

2

2

IMPORTANT : bien penser à faire le changement de variable sur les bornes.

31


Changements de variable classiques. 1) I =

Zp

1� x2 dx - on pose x = sin u,

dx = cosu du, u = arcsin x :

I =

Z p1� sin2 u cos u du =

Zcos2 u du

=

Z1 + cos 2u

2du =

u

2+

sin 2u

4+ �

=u

2+

sin up

1� sin2 u

2+ �

=arcsin x

2+

xp

1� x2

2+ �

2) Fractions avec des fonctions sin x et cos x - on pose :

t = tanx

2) dt =

1

2

⇣1 +

⇣tan

x

2

⌘⌘et dx =

2 dt

1 + t2

sin x =2 t

1 + t2cos x =

1� t2

1 + t2

Ex :

I =

Zdx

sin x=

Z2(1 + t2)dt

2t(1 + t2)

=

Zdt

t= ln |t|+ � = ln | tan

x

2|+ �

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Équations différentielles1 Introduction2 Les notions de base3 Équations différentielles du premier ordre4 Équations différentielles linéaires du deuxième ordre à coefficients constants5 Détails sur les solutions de l'équation linéaire du deuxième ordre6 Quelques exemples issus de la physique-chimie7 Pour aller plus loin8 Quelques rappels d'intégration

equations di´ ´erentielles -...

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