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Equation de Schrodinger quasi-periodiqueNotes du cours de M2(Version tres provisoire)

Raphael KRIKORIAN

Universite Paris 6

Annee 2012-2013

Table des matieres

1 Introduction et rappels de theorie spectrale 5

1.1 Le modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Rappels de theorie spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Mesures spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3 Le calcul fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.4 Le theoreme spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Operateurs de Schrodinger 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2 Multiplicite spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.3 Le theoreme de Berezansky . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Operateurs dynamiquement definis . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.1 Invariance du spectre par la dynamique . . . . . . . . . 17

1.4.2 Densite integree d’etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5 Dynamique du cocycle de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5.1 Cocycle de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5.2 Nombre de rotation fibre . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.3 Exposants de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5.4 Cocycles uniformement hyperboliques . . . . . . . . . . 23

1.6 Fonctions m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6.2 Lien avec les mesures spectrales . . . . . . . . . . . . . 25

1.7 Liens entre les aspects spectraux et dynamiques . . . . . . . . 26

1.7.1 Spectre et hyperbolicite uniforme . . . . . . . . . . . . 26

1.7.2 Lien entre nombre de rotation fibre et densite integreed’etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.8 La formule de Thouless . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.9 Le nombre de rotation complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.9.1 Variation du nombre de rotation avec l’energie . . . . . 31

3

4 TABLE DES MATIERES

1.9.2 Mesure de l’ensemble des energies ou l’exposant deLyapunov est nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.10 Spectre a.c. et exposant de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . 331.11 Type spectral et dynamique en temps . . . . . . . . . . . . . 341.12 Caracterisation du spectre a.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Reductibilite 372.1 Reductibilite des cocycles quasi-periodiques . . . . . . . . . . . 37

2.1.1 Obstructions a la reductibilite . . . . . . . . . . . . . . 372.2 Resultats dans un cadre perturbatif . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.1 Equation linearisee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2.2 Etude de l’equation linearisee . . . . . . . . . . . . . . 412.2.3 Schema iteratif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.4 Preuve du theoreme 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3 Application a l’existence de spectre absolument continu . . . . 422.3.1 Reductibilite pour un ensemble d’energies de mesure

positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3.2 Existence de spectre a.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4 Theoreme d’Eliasson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Localisation 453.1 Localisation d’Anderson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.1 Localisation d’Anderson : mecanisme geometrique . . . 453.2 Le theoreme de Bourgain et Goldstein . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.1 Critere garantissant la positivite des exposants de Lya-punov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3 Dualite d’Aubry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Annexe 474.1 Theorie de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Rappels de dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3 Rappels d’analyse harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3.1 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3.2 Fonctions sous-harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.4 Estimees de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.5 Rappels sur SL(2,R) et sl(2,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Chapitre 1

Introduction et rappels detheorie spectrale

1.1 Le modele

Dans ces notes nous nous proposons d’etudier les proprietes spectrales del’operateur de Schrodinger 1D a coefficients quasi-periodiques

H : l2(Z) → l2(Z)

(un)n∈Z 7→ (Hu)n∈Z

ou (Hu)n = un+1+un−1+Vnun. La suite (Vn)n∈Z ∈ RZ s’appelle le potentiel.Dans ces notes nous supposerons qu’il est quasi-periodique c’est-a-dire de laforme

Vn = V (x+ nα)

ou V : Rd/Zd → R est une application (disons continue), x ∈ Td = Rd/Zd

est une phase et α = (α1, . . . , αd) ∈ Td est le vecteur de frequence. Notonsque le potentiel H depend de la phase x ; nous le noterons donc Hx.

1.2 Rappels de theorie spectrale

Muni du produit hermitien

〈u, v〉 =∑

k∈Z

ukvk,

l’espace l2(Z) est un espace de Hilbert et l’operateur H precedent associe aun potentiel (Vn) verifiant supn |Vn| < ∞ est borne : il existe C > 0 tel que

5

6CHAPITRE 1. INTRODUCTION ET RAPPELS DE THEORIE SPECTRALE

‖Hu‖ ≤ C‖u‖ pour tout u ∈ l2(Z). Comme le potentiel prend uniquementdes valeurs reelles, cet operateur H est en outre symetrique :

∀ u, v ∈ l2(Z), 〈Hu, v〉 = 〈u,Hv〉comme le montre un calcul simple.

Dans ce contexte, la theorie spectrale est simple a developper.

1.2.1 Spectre

Par definition l’ensemble resolvant de H est l’ensemble des valeurs deE ∈ C pour lesquelles l’operateur H − E admet un inverse qui est en outreborne (continu) et le spectre Σ(H) est le complementaire de cet ensembleresolvant.

Les proprietes suivantes sont faciles a verifier :(1) Le spectre Σ(H) est un ensemble ferme.(2) L’application z 7→ (H − z)−1 qui est bien definie sur l’ensembleresolvant C \ Σ(H) est holomorphe.

(3) Le spectre Σ(H) est un ensemble non vide.Le point (1) est facile a verifier et le point (2) resulte de la formule de laresolvante : si A1, A2 sont des operateurs inversibles, d’inverses bornes, et siA2 − A1 est borne, on a

A−12 − A−1

1 = −A−12 (A2 − A1)A

−11 .

On l’applique a Ai = H − zi, i = 1, 2. Le point (3) resulte du theoremede Liouville : si le spectre etait vide la fonction 〈(H − z)−1u, v〉 serait holo-morphe et bornee sur tout le plan complexe, donc serait constante, ce qui estimpossible.

Comme H est borne et symetrique on a en plus :(4) Le spectre Σ(H) est borne(5) On a ‖(H − (x+ iy))u‖2 = ‖(H − x)u‖2 + y2‖u‖2.(6) Le spectre Σ(H) est un sous-ensemble de R.

Le point (4) est facile a verifier car (H − z) = −z(I − z−1H) et quand z estgrand I−z−1H est inversible. Le point (5) est un simple calcul. Le point (6),qui est un fait essentiel de la theorie se demontre de la facon suivante : le point(5) montre que si Im(z) 6= 0, H−z est injectif. Demontrons qu’il est surjectif ;le point (5) et le critere de Cauchy montre qu’il suffit de demontrer que

Im(H − z) = l2(Z) ; mais cela se verifie facilement Im(H − z)⊥= ker(H∗ −

z) = ker(H − z) = 0. Le point (5) montre que

‖(H − z)−1‖ ≤ (Im z)−1. (1.1)

Retenons donc

1.2. RAPPELS DE THEORIE SPECTRALE 7

Proposition 1.2.1 Le spectre de H est un compact de R non vide.

1.2.2 Mesures spectrales

Le resultat fondamental est le suivant

Proposition 1.2.2 Pour tout u ∈ H il existe une mesure µu (a supportcompact car H est borne) et de masse totale plus petite que 1 quand H estbornee, telle que pour tout Im z > 0

〈(H − z)−1u, u〉 =∫

R

dµu(t)

t− z.

Le membre de droite s’appelle la transformee de Cauchy de la mesure µ.

Demonstration. — La fonction Gu : z 7→ 〈(H − z)−1u, u〉 est holomorphesur le demi-plan de Poincare Im z > 0 et sa partie imaginaire est toujourspositive ; en effet, d’apres l’identite de la resolvante

(H − z)−1 − (H − z)−1 = 2 Im z(H − z)−1(H − z)−1

et doncIm〈(H − z)−1u, u〉 = Im z‖(H − z)−1u‖2.

Comme cette fonction est harmonique on a pour tout z = x + iy avec y >ǫ > 0

ImGu(x+ iy) =

∫

R

y − ǫ

(t− x)2 + (y − ǫ)2ImGu(t+ iǫ)dt.

Notons que y ImGu(x+iy) est bornee par 1 car H est borne (cf. estimee (1.1)sur le demi-plan de Poincare, si bien qu’en faisant y → ∞ dans l’expressionprecedente on voit que

∫

R

ImGu(t+ iǫ)dt <∞.

La suite de mesure positive ImGu(t+iǫ)dt converge donc vaguement vers unemesure positive de masse finie sur R (plus petite que 1) qu’on note dµu(t).On a alors facilement

ImGu(x+ iy) =

∫

R

y

(t− x)2 + y2dµu(t)dt.

La difference des membres de gauche et de droite dans l’expression precedenteest la partie imaginaire de la fonction holomorphe 〈(H−z)−1u, u〉−

∫

R

dµu(t)t−z

.Cette fonction, qui est de partie imaginaire nulle, est donc nulle.


Remarque Si u, v sont deux vecteurs de notre espace de Hilbert, en appli-quant le resultat precedent a 〈(H − z)−1(u ± v), (u ± v)〉, 〈(H − z)−1(u ±iv), (u± iv)〉 on voit que

〈(H − z)−1u, v〉 =∫

R

dµu,v(t)

t− z(1.2)

ou µu,v = (1/4)(µu+v − µu−v + i(µu+iv − µu−iv)). Il est facile de voir que(u, v) 7→ µu,v est continue lineaire en u et anti-lineaire en v.

1.2.3 Le calcul fonctionnel

Le resultat precedent montre que pour toute fonction ϕ ∈ C00 (R) (conti-

nue a support compact) on peut definir l’operateur lineaire continu (dont lanorme d’operateur est bornee par ‖ϕ‖C0 si H est borne ou cste‖ϕ‖C0 si Hest seulement auto-adjoint) ϕ(H) par la relation

∀v ∈ H, 〈ϕ(H)u, v〉 =∫

R

ϕ(t)dµu,v(t).

Il est tautologique de voir que ϕ(H) est symetrique si ϕ est a valeurs reelles(µu,v = µv,u). En revanche, il n’est pas clair que la relation qu’on attend(ϕψ)(H) = ϕ(H)ψ(H) soit vraie. Pour voir cela nous aurons besoin du lemmesuivant.

Lemme 1.2.1 Soit ϕ ∈ C00(R). On a

limy→0+

(

1

π

∫

R

[(H − x− iy)−1 − (H − x+ iy)−1]ϕ(x)dx

)

u = ϕ(H)u.

Demonstration. — Notons G(z) = (H−z)−1 et g(z, t) = 1/(t−z) et posonsJ(z) = G(z)−G(z) et j(z) = g(z, t)− g(z, t). La formule de la resolvante et(1.2) montrent que pour tous z, z′ de parties reelles non-nulles on a

〈(H − z)−1(H − z′)−1u, v〉 =∫

R

1

(t− z)(t− z′)dµu,v(t)

et de facon plus generale

〈(H − z1)−1 · · · (H − zn)

−1u, v〉 =∫

R

1

(t− z1) · · · (t− zn)dµu,v(t).

1.2. RAPPELS DE THEORIE SPECTRALE 9

Calculons

‖(∫

R

(J(x+ iy)− J(x+ iy′))ϕ(x)dx)u‖2 =

〈(∫

R

∫

R

(J(s− iy)− J(s− iy′))(J(x+ iy)− J(x+ iy′))ϕ(s)ϕ(x)dsdx)u, u〉.(1.3)

D’apres ce que l’on vient de voir cette quantite est egale a∫

R

∫

R

∫

R

(j(s−iy, t)−j(s−iy′, t))(j(x+iy, t)−j(x+iy′, t))ϕ(s)ϕ(x)dµu(t)dsdx

et par Fubini∫

R

(∫

R

(j(s−iy, t)−j(s−iy′, t)ϕ(s)ds)(

(j(x+iy, t)−j(x+iy′, t))ϕ(x)dx)

dµu(t)

ou encore∫

R

(∫

R

(j(x+ iy, t)− j(x+ iy′, t))ϕ(x)dx

)2

dµu(t).

Mais on sait que cette quantite tend vers 0 avec max(y, y′). La suite (∫

RJ(x+

iy)ϕ(x)dx)u est donc de Cauchy.

Lemme 1.2.2 Si ϕ, ψ ∈ C00(R) on a (ϕψ)(H) = ϕ(H)ψ(H) .

Demonstration. — Il suffit de demontrer que pour tous u, v, 〈ϕ(H)u, ψ(H)v〉 =〈(ϕψ)Hu, v〉. Pour cela il suffit d’utiliser la conclusion du lemme precedentet la methode de calcul de sa preuve.

Une consequence importante des lemmes precedents est que

‖ϕ(H)u‖2 = 〈ϕ(H)u, ϕ(H)u〉 = 〈ϕϕ(H)u, u〉 =∫

R

|ϕ(t)|2dµu(t). (1.4)

Par polarisation on obtient que pour ϕ, ψ ∈ C00 (R)

∀u, v ∈ H, 〈ϕ(H)u, ψ(H)v〉 =∫

R

ϕ(t)ψ(t)dµu,v(t).

On a donc une forme faible du theoreme spectral

Proposition 1.2.3 Si µ ∈ H, notons C(u) l’adherence dans H de l’ensembledes ϕ(H)u. Cet espace de Hilbert est invariant par H si H est borne. Ilexiste un operateur unitaire U : C(u) → L2(R, µu) qui conjugue H|C(u) al’operateur de multiplication par t, M defini par (Mf)(t) = tf(t) si f ∈L2(R, µ) (qui est un operateur borne si H l’est ; la mesure µ est alors asupport compact).


Demonstration. — Definissons l’operateur unitaire U : si (ϕk(H)u) est unesuite convergeant vers v, la suite des (ϕk) est de Cauchy dans L2(R, µu) (envertu de (1.4) et donc converge vers un f ∈ L2(R, µ). Le meme argumentmontre qu’un tel f est independant de la suite (ϕk)) choisie. On pose Uv = fet on a bien ‖v‖ = ‖f‖L2(R,µ). La surjectivite et l’injectivite de U sont facilesa verifier.

On dit que u est cyclique si H = C(u). Quand l’operateur H est borne il estequivalent de dire que H = V ectP (u), u ∈ R[X ].

Remarque La preuve que nous venons de donner a le merite de fonction-ner pour des operateurs auto-adjoints. On peut dans le cas ou H est bornesymetrique donner une construction plus simple du calcul fonctionnel et desmesures spectrales. On procede de la facon suivante :

(1) En utilisant le fait que le rayon de convergence de (H − (1/λ))−1 =−λ−1

∑∞k=0 λ

kHk verifie 1/R = lim supk→∞ ‖Hk‖1/k, on voit que

lim supk→∞

‖Hk‖1/k ≤ max|t|, t ∈ Σ.

Comme la suite log ‖Hk‖ est sous-additive, la limite sup est une limite(et aussi un inf).

(2) Si H est symetrique ‖Hu‖2 = 〈Hu, u〉, si bien que ‖H‖2 ≤ ‖H2‖ eton a egalite car l’inegalite inverse est claire. De facon generale ‖H2k‖ =‖H‖2k . Donc il vient de (1) que

‖H‖ ≤ max|t|, t ∈ Σ.

(3) Si P ∈ R[X ], on a Σ(P (H)) = P (Σ(H)). En effet, pour λ ∈ C, ona P (H) − P (λ) = (H − λ)Q(H), donc est injectif si et seulement siH − λ l’est. Mais, pour les operateurs symetriques bornes, l’injectiviteest equivalente au fait que λ est dans le spectre. Comme tout µ ∈ C

s’ecrit sous la forme P (λ) on a bien le resultat.(4) Il vient de (2) que

‖P (H)‖ ≤ supΣ(H)

|P |

et on peut donc definir f(H) pour toute fonction continue.(5) Par le theoreme de representation de Riesz, il existe une mesure µutelle que

∫

Rf(t)dµu(t) = 〈f(H)u, u〉 pour toute fonction continue f et

on a

‖P (H)u‖2 = 〈|P |2(H)u, u〉 =∫

R

|P (t)|2dµu(t).

1.3. OPERATEURS DE SCHRODINGER 1D 11

1.2.4 Le theoreme spectral

Le resultat precedent permet de demontrer le resultat fondamental sui-vant, connu sous le nom de theoreme spectral.

Theoreme 1.2.1 Soit H un operateur symetrique borne (ou plus generalementautoadjoint). Il existe des mesures boreliennes sur R, µk, k ∈ 0, . . . , r (aveceventuellement r = ∞) telles que µ1 >> µ2 >> · · · (qui sont de masses fi-nies si H est borne) et un operateur unitaire U : H → ⊕r

k=1L2(R, µk) qui

conjugue H a l’operateur M de multiplication par t : H = U−1MU . L’es-pace

⊕rk=1L

2(R, µk) est muni de la norme hilbertienne suivante : si f =(fk)1≤k≤r on pose ‖f‖2 =

∑rk=1

∫

R|fk|2dµk et l’operateur M est defini 1par

Mf = (fk)1≤k≤r ou fk est la fonction R → R definie par fk(t) = tfk(t). Lespectre de H coıncide avec le support de la mesure µ1. On appelle type spectralmaximal, le spectre de µ1. Il est independant de la decomposition choisie.

Demonstration. — La preuve repose sur le lemme suivant

Lemme 1.2.3 (a) Si µu ⊥ µv (i.e. si ces deux mesures sont etrangeres)alors C(u) + C(v) ⊂ C(u+ v).

(b) Si C(u) ⊂ C(v) alors µu << µv.(c) Si (uk)k∈N est une suite de vecteurs de H telle que la suite C(uk) ⊂C(uk+1) soit strictement croissante, alors

⋃

k∈N C(uk) admet un vecteurcyclique.

Le lemme precedent et le lemme de Zorn montrent qu’il existe des espacescycliques maximaux. Choisissons en un, C1. On considere alors dans l’or-thogonal de C1 un espace cyclique maximal C2 pour H|C⊥

1 et ainsi de suite.

1.3 Operateurs de Schrodinger 1D

1.3.1 Approximations

On note PN la projection orthogonale sur l’espace⊕N

k=−N Cek et HN =PNHPN . L’operateur lineaire continu HN de l2(Z) dans lui-meme s’identi-fie a HN la matrice de Jacobi (2N + 1) × (2N + 1) dont la diagonale estconstituee des Vk, k ∈ −N, . . . , N (et qui est un operateur lineaire continude l2(−N, . . . , N) dans lui meme). Remarquons que bien que ‖H−HN‖ neconverge pas necessairement vers 0 pour la norme d’operateurs (car sinon H

1. Quand H n’est par borne, M est defini sur l’ensemble des f pour lesquels cettenorme est finie.


serait un operateur compact), on a pour tout u ∈ l2(Z) limN→∞(H−HN )u =0 (la vitesse de convergence depend de u). Cela est suffisant pour obtenir

Proposition 1.3.1 On a pour tout u ∈ l2(Z) et tout Im(z) > 0

limN→∞

((HN − z)−1 − (H − z)−1)u = 0.

Demonstration. — En effet, on a d’apres la formule de la resolvante

[(HN − z)−1 − (H − z)−1]u = −(HN − z)−1(HN −H)(H − z)−1u,

et la norme du membre de gauche est plus petite que Im(z)−1‖(H −HN)v‖ou v = (H − z)−1u.

On a le corollaire suivant

Corollaire 1.3.1 Notons µu et µu,N les mesures spectrales associees au vec-teur u pour les operateurs H et HN . La suite de mesure µu,N converge faible-ment vers µu c’est-a-dire, pour toute fonction ϕ continue a support compactsur R on a

limN→∞

∫

R

ϕ(t)dµN,u(t) =

∫

R

ϕ(t)dµu(t).

Demonstration. — D’apres la proposition precedente pour tout z, Im z > 0

limN→∞

∫

R

dµu,N(t)

t− z=

∫

R

dµu(t)

t− z

On a donc en prenant les parties imaginaires et en notant z = x+ iy

limN→∞

∫

R

y

(x− t)2 + y2dµu,N(t) =

∫

R

y

(x− t)2 + y2dµu(t). (1.5)

Soit ϕ une fonction continue a support compact et

ϕ(t+ iy) =1

π

∫

R

y

(x− t)2 + y2ϕ(x)dx

son extension harmonique au demi-plan de Poincare. Si on note χ(t) = 1π

11+x2

on a χ ≥ 0 et∫

Rχ(t)dt = 1. Ainsi, χy(t) = (1/y)χ(t/y) est une approxima-

tion de l’identite et ϕ(t + iy) = (χy ∗ ϕ)(t). Si ϕ est a support compact laconvergence de ϕ(t + iy) vers ϕ(t) quand y → 0 est uniforme en t. En effet,apres changement de variable on voit que

ϕ ∗ χy(t)− ϕ(t) =

∫

R

(ϕ(t− sy)− ϕ(t))χ(s)ds.


En decoupant l’integrale precedente en |s| ≤ y−1/2 et |s| > y−1/2 et en utili-sant le fait que maxt∈R |ϕ(· − δ)−ϕ(·)| tend vers 0 avec δ, on obtient bien leresultat.

En multipliant (1.5) par ϕ(x) en integrant par rapport a x, en utilisantle theoreme de convergence dominee et en utilisant Fubini on voit que

limN→∞

∫

R

ϕ(t+ iy)dµu,N(t) =

∫

R

ϕ(t+ iy)dµu(t). (1.6)

Ecrivons∫

R

ϕ(t)dµu,N(t)−∫

R

ϕ(t)dµu(t) = (I)N,y + (II)N,y + (III)N,y

avec

(I)N,y =

∫

R

ϕ(t)dµu,N(t)−∫

R

ϕ(t+ iy)dµu,N(t)

(II)N,y =

∫

R

ϕ(t+ iy)dµN,u −∫

R

ϕ(t+ iy)dµu(t)

(III)y =

∫

R

(ϕ(t+ iy)− ϕ(t)dµu(t)

Si ǫ > 0 est fixe, comme ϕ(t + iy) converge uniformement vers ϕ(t) quandy → 0, pour y assez petit |(I)N,y|+ |(III)y| < ǫ/2. Maintenant, pour un tel y,on a d’apres (1.6) |(II)N,y| < ǫ/2 des que N est assez grand. Cela demontreque

limN→∞

∫

R

ϕ(t)dµu,N(t) =

∫

R

ϕ(t)dµu(t)

1.3.2 Multiplicite spectrale

Determinons la multiplicite spectrale de notre operateur H . Notons C =P1(H)e0 + P2(H)e1 : P1, P2 ∈ C[X ]. On sait que Hek = Vkek+ek−1+ek+1.Par consequent(

en+1

en

)

=

(

H − Vn −II 0

)(

enen−1

)

,

(

enen−1

)

=

(

0 I−I H − Vn

)(

en+1

en

)

si bien que pour tout n, en ∈ C et donc l2(Z) = C. Introduisons les mesuresspectrales µij = µei,ej . On a

‖P1(H)e1 + P2(H)e2‖2 =∑

1≤i,j≤2

∫

R

Pi(t)Pj(t)dµij(t) ≥ 0

Notons µ = µ11 + µ22.


Lemme 1.3.1 La mesure µ est positive et de masse finie. Les mesures µijsont absolument continues par rapport a µ.

Demonstration. — Il est facile de voir que pour tout borelien A, la ma-trice M(A) := (µij(A))1≤i,j≤2 est hermitienne positive. Il suffit pour cela deconsiderer des suites Pi,n(·) qui convergent simplement vers zi1A, zi ∈ C etd’appliquer le theoreme de convergence dominee. Mais, on voit facilement(p.ex. diagonaliser en base orthonormale) que les coefficients d’une matricehermitienne positive sont majores en module par le module de la plus grandevaleur propre, donc par la trace. On a donc |µij(A)| ≤ µ(A). La quantiteµ(A) est la trace de la matrice M(A) et est donc positive.

Par consequent, d’apres le theoreme de Radon-Nykodim, il existe des fonc-tions gij ∈ L1(µ) telles que dµij = gijdµ. On a donc

‖P1(H)e1 + P2(H)e2‖2 =∑

1≤i,j≤2

∫

R

Pi(t)Pj(t)gij(t)dµ(t).

Notons G = (gij)1≤i,j≤2. La matrice G est hermitienne positive µ-p.p. (il estfacile de voir que pour tout x ∈ C2 et tout borelien A,

∫

A(x∗G(t)x)dµ(t)

est positive). Il est donc possible de trouver pour µ-p.t. t une matrice Q(t)orthogonale et une matrice diagonale positive ∆(t) = (λ1(t), λ2(t)) dependantmesurablement de t telles que G(t) = Q(t)∗∆(t)Q(t). On a donc en notantϕi(t) =

∑2j=1Qij(t)Pj(t), i = 1, 2,

‖P1(H)e1 + P2(H)e2‖2 =∑

1≤i≤2

∫

R

|ϕi(t)|2λi(t)dµ(t).

Supposons que∑2

i=1 Pi,n(H)ei converge dans l2(Z) vers un v. Alors,

∑

1≤i,j≤2

∫

R

Pi,n(t)Pj,n(t)dµij(t)

est de Cauchy et si on note ϕi,n(t) =∑2

j=1Qij(t)Pj,n(t), i = 1, 2, on voit

que chacune des suites ϕi,n est de Cauchy dans L2(R, λidµ), donc convergevers fi ∈ L2(R, λidµ), i = 1, 2. En outre, ces fi ne dependent pas de la suiteconsideree et leur dependance est lineaire en v. On a ainsi defini une isometriede l2(Z) sur

⊕2i=1 L

2(R, λidµ). Demontrons que cette isometrie est surjective.Il suffit de demontrer que s’il existe fi ∈ L2(R, λidµ), i = 1, 2 telles que pourtous Pi, i = 1, 2 polynomes on ait

∫

R

2∑

i=1

( 2∑

j=1

Qij(t)Pj(t)

)

fi(t)λi(t)dµ(t) = 0


alors, f1 = f2 = 0. Mais cela signifie que

∫

R

2∑

j=1

Pj(t)

( 2∑

i=1

Qij(t)fi(t)λi(t)

)

dµ(t) = 0.

Comme les polynomes sont denses dans L2(µ) cela donne dans L2(µ)

2∑

i=1

Qij(t)fi(t)λi(t) = 0

et en multipliant par Q∗jk(t) et en faisant la sommation sur j on obtient

fi(t)λi(t) = 0, i = 1, 2, µ-pp.On a donc demontre,

Theoreme 1.3.1 Il existe un operateur unitaire V : l2(Z) → L2(R, λ1dµ)⊕L2(R, λ2dµ) qui conjugue H a l’operateur de multiplication. La multiplicitespectrale de H est donc ≤ 2 (il se peut que les supports de ces mesures soientdisjoints).

Remarque Pour mettre le theoreme precedent sous la forme du theoreme1.2.1 il suffit de proceder de la facon suivante. Notons Ei l’ensemble despoints ou λi > 0. L’application L2(R, λ1dµ) ⊕ L2(R, λ2dµ) → L2(R, dµ) ⊕L2(R, λ2dµ) definie par (f1, f2) 7→ (f1 + f21E2\E1

, f21E1∩E2) est un isomor-

phisme unitaire

Definition 1.3.1 Nous appellerons µ := ((1/2)µe0,e0+µe1,e1) la mesure spec-trale de l’operateur H.

1.3.3 Le theoreme de Berezansky

Bien que le probleme aux valeurs propres

Hu = Eu

n’admette pas toujours de solutions dans l2(Z), il existe en revanche beaucoupde solutions a croissance moderee comme le montre le theoreme suivant

Theoreme 1.3.2 Pour µ-p.t E ∈ Σ(H) il existe une solution (uk)k∈Z quiverifie

∀k ∈ Z, un+1 + un−1 + Vnun = Eun

telle que |un| = O((1 + |n|)1/2+ǫ). Reciproquement, si u est a croissance auplus polynomiale et si Hu = Eu alors E ∈ Σ(H).


Demonstration. — Le theoreme spectral montre qu’il existe un isomor-phisme unitaire l2(Z) →

⊕ri=1 L

2(R, µi), 1 ≤ r ≤ 2, tel que si Uu =

(f (i))1≤i≤r alors U(Hu) = (Mf (i))1≤i≤r. Notons ϕk := (ϕ(i)k )1≤i≤r = Uek.

On a donc U(Hek) = Mϕk := (Mϕ(i)k )1≤i≤r. On sait par ailleurs que Hek =

Vkek+ek−1+ek+1. Par consequent on a l’identite dans l’espace⊕r

i=1 L2(R, µi)

Mϕk = Vkϕk + ϕk−1 + ϕk+1.

En particulier dans L2(R, µ1) on a Mϕ(1)k = Vkϕ

(1)k + ϕ

(1)k−1 + ϕ

(1)k+1 et donc

pour µ1 presque tout E on a

Eϕ(1)k (E) = Vkϕ

(1)k (E) + ϕ

(1)k−1(E) + ϕ

(1)k+1(E)

ce qui est l’equation Hu = Eu (au sens generalise) pour u = (ϕ(1)k ). Verifions

que cette suite est a croissance moderee pour µ1 presque tout E. Comme Uest unitaire on a

r∑

i=1

∫

R

|ϕ(i)k (t)|2dµi(t) = 1

et donc∫

R|ϕ(1)k (E)|2dµ1(E) ≤ 1. En particulier

∑

k∈Z

(1 + |k|)−1−ǫ

∫

R

|ϕ(1)k (E)|2dµ1(E) <∞.

Fubini montre que µ1-p.p. la somme∑

k∈Z |ϕ(1)k (E)|2 est d’integrale finie et

donc que µ1-p.p. |ϕ(1)k (E)| ≤ C(E)(1 + |k|)1/2+ǫ.

La reciproque se demontre de la facon suivante.

Lemme 1.3.2 Si u est a croissance polynomiale, il existe une sous-suitenk → ∞ telle que

min(|u−nk|2, |unk

|2)∑nk

l=−nk|ul|2

= 0.

Demonstration. — En effet si ce n’etait pas le cas, il existerait C > 0 telque pour tout n,

∑nl=0min(|u−l|2, |ul|2) ≤ Cmin(|un|2, |u−n|2) (donc C ≥ 1).

En notant Sn =∑n

l=0min(|u−l|2, |ul|2) on obtient, Sn ≤ C(Sn − Sn−1) etdonc Sn ≥ (C/(C − 1))Sn−1 avec C/(C − 1) > 1. Ainsi, min(|un|2, |u−n|2) ≥(1/C)Sn ≥ (1/C)(C/(C−1))nS0, ce qui contredit le fait que u est a croissancepolynomiale.

Nous pouvons conclure la preuve de la reciproque : on introduit u(k) =u · 1[−nk,nk] et u

(k) = (1/‖u(k)‖l2(Z)) · u(k) de facon que ‖u(k)‖l2(Z) = 1 etu(k)(±nk) → 0 quand k → ∞. Il est alors facile de voir que (H −E)u(k) → 0dans l2(Z) et donc que E ∈ Σ(H).

1.4. OPERATEURS DYNAMIQUEMENT DEFINIS 17

1.4 Operateurs dynamiquement definis

Nous considerons dans cette section que le potentiel V est defini dynami-quement, c’est-a-dire que (Vn)n∈Z est de la forme V x

n = V (T nx) ou V : X → R

est disons continue et T : X → X est une dynamique laissant invariant unemesure de probabilite ν sur X . On note Hx = H(V x

n ).

1.4.1 Invariance du spectre par la dynamique

L’observation principale est que HTx = σ Hx σ−1 ou σ est l’operateurunitaire de decalage defini sur l2(Z) par (σ(u))n = un+1, ou encore σ(ek) =ek−1. On a donc Σ(HTx) = Σ(Hx). Cela est suffisant pour etablir que

Theoreme 1.4.1 Si T est minimale et verifie ∀x, y ∈ X,

limd(x,y)→0

supn∈Z

d(T nx, T ny) = 0

le spectre de Hx est independant de x.

Demonstration. — En effet sous l’hypothese de l’enonce, l’application x 7→Σ(Hx), de X dans l’ensemble K des compacts de R muni de la distance deHausdorff 2est continue (utiliser la formule de la resolvante et le fait que siy ∈ R, ‖(H−y)−1‖ ≤ d(y,Σ)−1 d’apres le theoreme spectral). Comme l’orbitede tout point x ∈ X est dense dans X et que pour n ∈ N, Σ(HTnx) = Σ(Hx)on obtient bien l’invariance.

1.4.2 Densite integree d’etats

Theoreme 1.4.2 Si (T,m) est uniquement egodique, pour tout x ∈ X lasuite 1

2N+1tr((Hx

N−z)−1) converge vers une limite independante de x et egale

a∫

R

1t−zdν(t) ou ν est la mesure ν =

∫

Xµxdx. Si on note (EN,j(x))−N≤j≤N les

valeurs propres (qui sont reelles) de HxN la suite de mesures νxN = 1

2N+1

∑Nj=−N δEN,j

converge vers ν. On appelle ν la densite (integree) d’etats.

Demonstration. — Posons G(x) = 〈(Hx − z)−1e0, e0〉 et GN = 〈(HxN −

z)−1e0, e0〉. Si on note SNG(x) =∑N

k=−N G(Tkx) on a

SNG(x) =

N∑

k=−N

〈(Hx − z)−1ek, ek〉.

2. Si K1, K2 sont deux compacts d’un espace metrique la distance de Hausdorffd(K1,K2) = max(supk1∈K1

d(k1,K2), supk2∈K2d(k2,K1)).

1.5. DYNAMIQUE DU COCYCLE DE SCHRODINGER 19

La fonction G(·) etant continue et la dynamique (T,m) etant uniquementergodique, on sait que la moyenne de Birkhoff (1/(2N +1))SNG(x) convergeuniformement vers

∫

XG(x)dx =

∫

X

∫

R(t−z)−1dµe0,x(t). Comme d’autre part,

SNGN(x) = tr((HxN − z)−1) on obtient bien

limN→∞

1

2N + 1tr((Hx

N − z)−1) =

∫

R

1

t− zdν(t)

ou ν est la mesure ν =∫

Xµxe0dx =

∫

Xµxdx puisque

∫

Xµxe0dx =

∫

Xµxe1dx. La

conclusion resulte du fait que

1

2N + 1tr((Hx

N − z)−1) =

∫

R

(t− z)−1dνxN

et du corollaire 1.3.1

1.5 Dynamique du cocycle de Schrodinger

Le theoreme de Berezansky montre que le spectre est intimement lie al’existence de fonctions propres generalisee pour H . L’interpretation dyna-mique de l’equation Hu = Eu est la suivante. Une suite verifie Hu = Eu siet seulement si

(

un+1

un

)

=

(

E − V (T nx) −10 1

)(

unun−1

)

1.5.1 Cocycle de Schrodinger

Nous appelons cocycle de Schrodinger l’application (T, S) : X×R2 quia (x, v) ∈ X × R

2 associe (Tx, SE(x)v) ou

SE(x) =

(

E − V (x) −10 1

)

.

Les iteres de (T, SE) sont donnes par (T, SE)n = (T n, S

(n)E ) ou S

(n)E = SE(T

n−1x) · · ·SE(x)et S

(−n)E (x) = S(T−1x) · · ·SE(T−nx) si n ≥ 1.Ainsi Hu = Eu si et seulement si

(

unun−1

)

= S(n)E (x)

(

u0u−1

)

.


1.5.2 Nombre de rotation fibre

Nous appelons cocycle projectif associe a (T,A) l’homeomorphisme FA de

X × S1 , qui a (x, v) associe (Tx, A(x)v‖A(x)v‖

).

Si l’application A : X → SL(2,R) est homotope a l’identite 3 il en est dememe du cocycle projectif associe. Il est facile de voir que dans ces conditionson peut relever le cocycle projectif a X×R : Il existe une application continueFA : X × R de la forme FA(x, y) = (Tx, fA(x, y)) telle que

(i) fA verifie fA(x, y + 1) = fA(x, y) + 1 ;(ii) pour tout x l’application fA(x, ·) : R → R est un homeomorphismestrictement croissant ;

(iii) si π2 est l’application X ×R → X × S1 qui a (x, y) associe (x, e2πiy),on a FA π2 = π2 FA.

Remarques– Un tel relevement n’est pas unique, mais si GA : (x, y) 7→ (Tx, gA(x, y))est un autre relevement de FA on a gA ≡ fA + p ou p est un entier.

– L’itere n-ieme de FA est de la forme (x, y) 7→ (T n, fnA(x, y)).– L’application (x, y) 7→ fA(x, y)− y est Z-periodique en la variable y etdefinit donc une application de X × R/Z → R.

Theoreme 1.5.1 Supposons que (X, T ) soit uniquement ergodique (l’uniqueprobabilite T -invariante etant notee λ) et supposons que A soit homotope al’identite. Il existe ρ ∈ R tel que pour tout (x, y) ∈ X × R la suite

fnA(x, y)− y

n

converge uniformement vers ρ. Ce nombre est independant du relevementchoisi pour FA a l’addition d’un entier pres. On nomme ρA := ρ mod Z lenombre de rotation fibre du cocycle (T,A). Pour toute mesure de probabilitem sur X × R/Z invariante par FA on a

∫

X×R/Z

(fA(x, y)− y)dm(x, y) = ρ.

En outre, l’application qui a A ∈ C0(X), A homotope a l’identite associe ρAest continue (on munit C0(X) de la norme de la convergence uniforme).

Demonstration. — Observons tout d’abord que

3. c.-a-d. il existe une application A : [0, 1]×X → SL(2,R) telle que A(0, ·) = A(·) etA(1, ·) ≡ Id.

1.5. DYNAMIQUE DU COCYCLE DE SCHRODINGER 21

Lemme 1.5.1 Pour tous x ∈ X, y, z ∈ R tels que |y−z| < 1, on a fnA(x, y)−fnA(x, z)| < 1.

Demonstration. — Il suffit de demontrer que pour toute application verifiant(i) et (ii) plus haut on a |fA(x, y)−fA(x, z)| < 1. Supposons que y < z < y+1 ;on a d’apres (ii) fA(x, y) < fA(x, z) < fA(x, y + 1) = fA(x, y) + 1.

Cela etant, notons m une mesure de probabilite sur X ×R/Z invariante parFA. On sait d’apres l’annexe qu’une telle mesure existe toujours. D’apresle theoreme ergodique de Birkhoff, on sait que pour toute application ϕ :X×R/Z → R, les moyennes de Birkhoff, (1/n)

∑n−1k=0 ϕ(F

nA(x, y)) convergent

m-p.p. vers une limite ϕ qui verifie ϕ FA = ϕ. Appliquant ce resultat a(x, y) 7→ ϕA(x, y) = fA(x, y)− y, on voit qu’il existe un ensemble Em de m-mesure 1 telle que pour tout (x, y) ∈ Em, SnϕA(x, y) converge vers ϕA(x, y).De cela on deduit :

Lemme 1.5.2 Pour λ-p.t. x ∈ T, la fibre x × R/Z ⊂ Em et il existe uneconstante ρ telle que pour λ-pt x et tout y ∈ R/Z on a ϕ(x, y) = ϕ(x) ≡ ρ.Par consequent pour (x, y) ∈ Em, limn→∞(1/n)Snϕ(x, y) =

∫

X×R/ZϕA = ρ.

Demonstration. — Nous observons tout d’abord que la mesure image dem par π1 est T -invariante puisque T π1 = π1 FA. Mais T est uniquementergodique si bien que (π1)∗m = λ. Le lemme 1.5.1 montre que si (x, y) ∈ Emalors toute la fibre x×R/Z ⊂ Em et ϕ restreinte a chacune de ces fibres estconstante, si bien que ϕA(x, y) ne depend que de x. Comme T π1 = π1 FAon a ϕ T = ϕ. Mais comme T est ergodique on a ϕ = cste λ-pp. Si onnote π1 : X × R/Z → X l’application (x, y) 7→ x on voit que π−1

1 (π1(Em))est de m-mesure 1. Par consequent, comme par definition m(π−1

1 (π1(Em))) =(π1)∗m)(π1(Em))) on deduit que λ(π1(Em)) = 1 : en particulier, pour λ-p.t.x, la fibre x × R/Z ⊂ Em.

Lemme 1.5.3 Il existe ρ ∈ R tel que pour toute mesure de probabilite m surX × R/Z invariante par FA on a

∫

X×R/ZϕAdm = ρ.

Demonstration. — Comme l’intersection de deux ensembles de λ-mesure 1est de mesure 1, le lemme precedent montre que pour λ-p.t. point x ∈ X ,la fibre x × R/Z est dans Em ∩ Em′ . Mais cela implique que (1/n)SnϕAconverge vers

∫

X×R/ZϕAdm et

∫

X×R/ZϕAdm

′, ce qui est la conclusion du

lemme.

Il suffit de demontrer que la convergence des sommes de Birkhoff vers ρ estuniforme. Mais cela resulte du lemme suivant


Lemme 1.5.4 Si Y est un espace metrique compact, S : Y un homeomorphisme(application continue suffit) et ϕ : Y → R une fonction continue telle quepour toute mesure de probabilite m, S-invariante, l’integrale

∫

Yϕdm soit

independante de m, alors les sommes de Birkhoff (1/n)Snϕ convergent uni-formement.

Demonstration. — Il suffit de demontrer que m etant une mesure de pro-babilite S-invariante, pour tout ǫ > 0 il existe ψǫ et ηǫ dans C0(Y ) avec‖ηǫ‖0 ≤ ǫ telles que ϕ = ψǫ − ψǫ S +

∫

Yϕdm+ ηǫ, puisqu’alors

‖(1/n)Snϕ−∫

Y

ϕdm‖0 ≤ 2‖ψǫ‖0 + ǫ.

Pour cela, il suffit de demontrer que ϕ−∫

Yϕdm ∈ ψ − ψ S : ψ ∈ C0(Y ).

Si ce n’etait pas le cas, alors d’apres le theoreme de Hahn-Banach, il existeraitune forme lineaire continue Λ sur C0(Y ) non nulle sur ϕ−

∫

Yϕdm telle que

Λ restreinte a ψ−ψ S : ψ ∈ C0(Y ) est nulle. En utilisant le theoreme derepresentation de Riesz il est facile de voir que cela entraıne l’existence d’unemesure (signee, de masse totale finie) ν telle que pour tout ψ ∈ C(Y ) on ait∫

Yψ Sdν =

∫

Yψdν. Cela signifie que la mesure ν est S-invariante. Cette

mesure se decompose de facon unique en ν = ν+ − ν− ou ν± sont les partiespositive et negative de ν. Mais l’unicite de cette decomposition montre queν+ et ν− sont des mesures positives S-invariantes (donc proportionnelles a desprobabilites S-invariantes). L’hypothese du lemme montre que ν± agissantsur ϕ −

∫

Yϕdm sont nulles, si bien que Λ est nulle sur ϕ, ce qui est une

contradiction.

Enfin, il nous reste a demontrer que le nombre de rotation varie continumentavec A. Pour cela, soit ǫ > 0 et choisissons un entier p ∈ N tel que 1/p <ǫ. Il existe un δ > 0 tel que pour tout B ∈ C0(Y, SL(2,R)), pour lequel‖B−A‖C0 est suffisamment petit on ait le resultat suivant : pour tous x ∈ X ,

y ∈ R, |f (p)A (x, y)− f

(p)B (x, y)| < 1. En particulier f

(p)A (x, y)− 1 < f

(p)B (x, y) <

f(p)A (x, y)+1, si bien que (cf. (i) avant l’enonce du theoreme) f

(2p)A (x, y)−1 <

f pA f (p)B (x, y) < f

(2p)A (x, y) + 1 et en utilisant ‖f (p)

A − f(p)B ‖C0 < 1 on a

f(2p)A (x, y)− 2 < f

(2p)B (x, y) < f

(2p)A (x, y) + 2. De facon generale, pour n ∈ N,

f(np)A (x, y)− n < f

(np)B (x, y) < f

(np)A (x, y) + n. En soustrayant y, divisant par

np et en faisant n→ ∞ on voit que

ρA − 1/p ≤ ρB ≤ ρA + 1/p.

1.6. FONCTIONS M 23

1.5.3 Exposants de Lyapunov

1.5.4 Cocycles uniformement hyperboliques

1.6 Fonctions m

1.6.1 Definition

Dans ce qui suit nous notons H+ = H, et H− = z : Im z < 0.

Proposition 1.6.1 Pour tout z ∈ H et tout x ∈ Td il existe un unique

vecteur X±(z, x) =

(

m±(z, x)1

)

avec m±(z, x) ∈ H±, tel que ∀x ∈ Td, ∀z =

E + iy ∈ H

limn→∞

S(−(±n))z (x) ·

(

m±(z, x)1

)

= 0.

En outre, les applications (z, x) 7→ m±(z, x) sont continues et holomorphesen z ∈ H et Imm±(z, x) > 0. On a la propriete d’invariance par la dynamique

∀x ∈ Td, ∀z ∈ H, m±(z, x)

(

m±(z, x+ α)1

)

= Sz(x)

(

m±(z, x)1

)

ou encore

m±(z, x+ α) = (z − V (x))− 1

m±(z, x).

Enfin, pour Im z > 0 il existe des constantes positives C, γz > 0 telles que,uniformement en x ∈ Td on a pour tout n ≥ 0

∥

∥

∥

∥

S−(±n)z (x)

(

m±(z, x)1

)∥

∥

∥

∥

≤ Ce−γzn∥

∥

∥

∥

(

m±(z, x)1

)∥

∥

∥

∥

.

En d’autres termes le cocycle (α, Sz) est uniformement hyperbolique pourIm z > 0.

Demonstration. — Munissons le demi-plan de Poincare H de la distance dHassociee a la metrique de Poincare |dz|/ Im z. Un calcul simple montre quepour tout x ∈ X et z ∈ H, H est envoye strictement dans lui meme parl’homographie m 7→ Sz(x) ·m := z − V (x)− (1/m) et le lemme de Schwartzmontre que pour tout z ∈ H, il existe 0 ≤ λz < 1 tel que ∀x ∈ Td, ∀m1, m2 ∈H,

dH(Sz(x) ·m1, Sz(x) ·m2) ≤ λzdH(m1, m2). (1.7)


Le theoreme du point fixe de Picard a parametre applique a Ψ : (C0(X,H), dH) ,m(·) 7→ S(·−α)·m(·−α) donne 4 l’existence d’une section invariantem+(z, x)continue en x et holomorphe en z telle que

m+(z, x+ α) = (z − V (x))− 1

m+(z, x).

Si on itere dans le passe, on obtient de facon analogue la section m−(z, x)

m−(z, x− α) =1

z − V (x− α)−m−(z, x).

Enfin, demontrons que pour Im z > 0 il existe C > 0, γz > 0 telles que,uniformement en x ∈ Td on a pour tout n ≥ 0

∥

∥

∥

∥

S−nz (x)

(

m+(z, x)1

)∥

∥

∥

∥

≤ Ce−γzn∥

∥

∥

∥

(

m+(z, x)1

)∥

∥

∥

∥

.

Comme la section m+(z, ·) est invariante, il suffit de demontrer que pour

C > 0,

∥

∥

∥

∥

Snz (x)

(

m+(z, x)1

)∥

∥

∥

∥

≥ Ceγzn∥

∥

∥

∥

(

m+(z, x)1

)∥

∥

∥

∥

.

Remarquons alors que :– Etant donne δ > 0 il existe une constante Cδ telle que pour toutm1, m2,Immi ≥ δ, i = 1, 2 on a C−1

δ |m1 −m2| ≤ dH(m1, m2) ≤ Cδ|m1 −m2|.– Comme S

n)z ∈ SL(2,C),

det

(

Snz (x)

(

m+(z, x)1

)

, Snz (x)

(

m2

1

))

= det

((

m+(z, x)1

)

,

(

m2

1

))

– L’inegalite (1.7) montre que

dH(S(n)z (x) ·m+(z, x), S

(n)z (x) ·m2) ≤ λnzdH(m+(z, x), m2).

On deduit de ce qui precede que pour tout m2 suffisamment proche dem+(z, x) et tout n ≥ 0

∥

∥

∥

∥

Snz (x)

(

m+(z, x)1

)∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

(

Snz (x) ·m+(z, x)1

)∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

Snz (x)

(

m2

1

)∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

(

Snz (x) ·m2

1

)∥

∥

∥

∥

λnz & 1.

4. On note dH(m1(·),m2(·)) = supx∈Td dH(m1(x),m2(x))

1.6. FONCTIONS M 25

Comme cette inegalite est uniforme en n et x, on obtient en faisant tendrem2 vers m+(z, x)

∥

∥

∥

∥

Snz (x)

(

m+(z, x)1

)∥

∥

∥

∥

& λ−n/2z

∥

∥

∥

∥

(

m+(z, x)1

)∥

∥

∥

∥

ce qui est la relation que nous voulions demontrer.

Le theoreme precedent montre que pour z = E+iǫ, ǫ > 0 le cocycle (α, SE+iǫ)(qui est alors a valeurs dans SL(2,C)) est uniformement hyperbolique et

que C

(

m−(z, x)1

)

est sa direction stable, tandis que C

(

m+(z, x)1

)

est sa

direction instable.

1.6.2 Lien avec les mesures spectrales

On peut exprimer les mesures spectrales grace aux fonctions m de lafacon suivante. Calculons pour cela 〈(H − z)−1e0, e0〉. Si on note (un) =(H − z)−1e0 ∈ l2(Z) on a (H − z)(uk) = e0 ou encore δ0k = uk(V (x+ kα)−z) + uk−1 + uk+1. Cela montre que pour tout k on a

(

uk+1

uk

)

= Sz(x+ kα)

(

ukuk−1

)

+

(

δ0k0

)

ou encore(

uk+1

uk

)

= S(k)z (x+ α)

(

u1u0

)

= S(k+1)z (x)

((

u0u−1

)

+ Sz(x)−1

(

10

))

.

Comme (uk) ∈ l2(Z), le membre de gauche de l’equation precedente tend vers

0 quand k → ∞ et on doit donc avoir

(

u0u−1

)

+Sz(x)−1

(

10

)

∈ C

(

m−(z, x)1

)

.

Comme Sz(x)−1 =

(

0 1−1 z − V (x)

)

cela est equivalent a

(

u0u−1 − 1

)

∈

C

(

m−(z, x)1

)

. De meme, pour k < 0

(

u−k−1

u−k

)

= S(−k)z (x)

(

u0u−1

)

et donc

(

u0u−1

)

∈ C

(

m+(z, x)1

)

. On a donc, u0 = (u−1 − 1)m−(z, x) et

u0 = u−1m+(z, x) ou encore

1 =u0

m+(z, x)− u0m−(z, x)

.


Au total,

〈(H − z)−1e0, e0〉 =1

1m+(z,x)

− 1m−(z,x)

.

De meme

〈(H − z)−1e1, e1〉 =1

1m+(z,T−1x)

− 1m−(z,T−1x)

et comme m±(z, Tx) = z − V (x)− 1m±(z,x)

on obtient

2

∫

R

dµ(t)

t− z= −1 +m+(z, x)m−(z, x)

m+(z, x)−m−(z, x)

Exercice. Demontrer que si V = 0 le spectre de l’operateur est egal a [−2, 2]

et quedµ

dE=

1

π

1√4−E2

.

1.7 Liens entre les aspects spectraux et dy-

namiques

1.7.1 Spectre et hyperbolicite uniforme

Theoreme 1.7.1 Le spectre de Hx est le complementaire dans R de l’en-semble des E ∈ R pour lesquels le cocycle (α, SE) est uniformement hyperbo-lique

Demonstration. — Si E est dans le complementaire du spectre, il est fa-cile de voir que le cocycle (α, SE) est hyperbolique. La reciproque est plusdelicate et se demontre de la facon suivante. Supposons que I ⊂ R soit dansle complementaire du spectre. Alors, z 7→ (H − z)−1e0 est une fonction ho-lomorphe sur tout voisinage W dans C d’un intervalle ouvert J ⊂ I, J 6= I.Ainsi, pour z ∈ W on a u(z) := (H − z)−1e0 ∈ l2(Z). On peut supposer Wcompact et donc supz∈W ‖u(z)‖l2(Z) ≤ C. Considerons la fonction

ϕ(z) = lim supk→∞

1

kmax(log |uk(z)|, log |u−k(z)|),

ou on a note uk(z) = 〈ǫk, uk(z)〉. Chacune des fonction max(log |uk(z)|, log |u−k(z)|)est sous-harmonique et d’apres la remarque de l’appendice, meme si la fonc-tion ϕ n’est pas de facon evidente semi-continue superieurement, comme

1.7. LIENS ENTRE LES ASPECTS SPECTRAUX ET DYNAMIQUES 27

elle est lim sup d’une suite de fonctions uniformement majorees, elle verifiel’inegalite de la moyenne :

ϕ(z) ≤∫

D(z,r)

ϕ(w)d2w

sur tout disque D(z, r) ⊂ W . Mais comme sur W \ J , la fonction ϕ eststrictement negative, elle doit etre negative egalement en z, meme si z ∈ J .

1.7.2 Lien entre nombre de rotation fibre et densiteintegree d’etats

Le resultat fondamental de cette section est le suivant :

Theoreme 1.7.2 On a pour E ∈ R, 1− 2ρ(E) = ν(]−∞, E]). En d’autrestermes, le nombre de rotation fibre est naturellement lie a la fonction derepartition de la densite d’etats. En particulier, c’est une mesure sans atomespuisque le nombre de rotation est continu.

Demonstration. — Avant de passer a la demonstration de ce resultat, nousavons besoin du lien suivant entre dynamique et theorie spectrale. On poseHn,x = PInH

xPIn ou In est 0, . . . , n− 1. Fixons x ∈ Td et notons ∆n(E) =det(Hn,x − E). Un calcul simple (et classique) montre que (developper ledeterminant sur la derniere ligne par exemple)

∆n(E) = (Vn−1 − E)∆n−1(E)−∆n−2(E).

On voit donc que si l’on pose Zn = (−1)n(

∆n(E)−∆n−1(E)

)

on a

Zn(E) = SE(Tn−1(x))Zn−1(E)

et donc

Zn(E) = S(n)E (x)

(

10

)

.

Comme on a

Zn(E) = S(n−1)E (x+ α)

(

0−1

)

,

on voit que

Zn(E) =

(

∆n,x(E) −∆n−1,x+α(E)−∆n−1,x(E) ∆n−2,x+α(E)

)

.

Il est possible de choisir un relevement continu de (E, x, v) 7→ (x+α, SE(x)v‖SE(x)v‖

)

a R et si ξn,x(E) est le releve de Zn(E) on a


(a) d’une part limn→∞(1/n)ξn,x(E) = ρ(E).(b) si on note γE1,E2

: [E1, E2] → C le chemin t 7→ ζn(E) (ou on a noteζn,x(E) le point du plan complexe correspondant a Zn(E)) on a

ξn,x(E2)− ξn,x(E1) =1

2πi

∫

γE1,E2

dz

z=

1

2πi

∫ E2

E1

ζ ′n(E)

ζn(E).

Le theoreme est implique par le lemme suivant :

Lemme 1.7.1 Pour E1 < E2 on a

|2ξn,x(E2)− 2ξn,x(E1) +

∫

[E1,E2]

dνn,x(t)dt| ≤ 2.

Demonstration. — Remarquons que∫

[E1,E2]dνn,x(t)dt est le nombre de 0

de E 7→ ∆n,x(E) dans l’intervalle [E1, E2].

Lemme 1.7.2 Pour tout n, les zeros du polynome de degre n, E 7→ ∆n(E)sont (sur l’axe reel et) simples. Si on note Ej,n ses zeros ranges par ordrecroissant on a

E1,n < E1,n−1 < E2,n < E2,n−1 < · · · < En−1,n < En−1,n−1 < En,n.

Demonstration. — La preuve se fait par recurrence sur n. Introduisons lafraction rationnelle un(E) = − ∆n(E)

∆n−1(E). La relation de recurrence montre que

un(E) = E − 1

un−1(E).

Par consequent, partout ou cela a un sens

∂Eun(E) = 1 + ∂Eun−1(E)/(un−1(E))2,

si bien que par recurrence on voit que le signe de ∂Eun(E) est toujourspositif sur l’axe reel (en dehors d’un nombre fini de point et donc) quandcette quantite est definie. Ainsi, pour tout E en dehors des zeros de ∆n−1(·),la fonction E 7→ un(E) est strictement croissante. Maintenant, il est facilede voir que les zeros de ∆n et de ∆n−1 sont toujours distincts car Zn(E) nepeut pas s’annuler. Par consequent, la fonction un(E) admet des poles auxzeros de ∆n−1 et en ces poles vaut ±∞. La croissance stricte de un entre lesEj,n−1 permet d’etablir le lemme (faire un dessin !).

1.8. LA FORMULE DE THOULESS 29

Pour conclure la preuve du lemme 1.7.1 il suffit d’observer que si (par exemple)Ek,n < E1 < Ek,n−1 et El,n < E2 < El,n−1 l’integrale ξn,x(E2) − ξn,x(E1) =∫

γE1,E2

dzzegale (1/2πi) multiplie par

∫

E1,Ek,n−1

(dz/z)+

∫

Ek,n−1,Ek+1,n

(dz/z)+

∫

Ek+1,n−1,Ek+1,n−1

(dz/z)+· · ·+∫

El,n,E2

(dz/z).

Comme chacun des termes de cette somme en dehors des premier et derniervaut −π/2 (noter que si ∆n(E) > 0 et ∆n−1(E) = 0, alors d’apres le lemmeprecedent ∆n(E+) > 0 et −∆n−1(E+) > 0) et que les termes extremes sontplus petit que π/2 on voit que cette integrale vaut −(l− k)π a π-pres. Il estfacile de voir que cela donne la conclusion du lemme et donc du theoreme.

Remarque Nous noterons β(E) = ν(] − ∞, E]) = 1 − 2ρ(E) la densiteintegree d’etats.

1.8 La formule de Thouless

Theoreme 1.8.1 On a

LE(α, SE) =

∫

R

log |E − t|dν(t).

Demonstration. —

Lemme 1.8.1 La fonction E 7→ LE(α, SE) est sous-harmonique sur C.

Demonstration. — En effet E 7→ S(n)E (x) est holomorphe en E et donc le log

de sa norme E 7→ log ‖S(n)E (x)‖ est sous-harmonique (‖ · ‖ represente le max

des modules des coefficients). Par consequent Ln(R) := E 7→∫

Td log ‖S(n)E (x)‖dx

est egalement sous-harmonique sur C. Mais comme Ln+m ≤ Ln + Lm on aL2n/(2n) ≤ Ln/n. La suite L2k/2

k est donc decroissante et sa limite est doncsous-harmonique ; on sait par ailleurs qu’elle converge vers LE(α, SE).

Lemme 1.8.2 Il existe M > 0, tel que pour tout E ∈ C \ [−M,M ], on a

LE(α, SE) =

∫

R

log |E − t|dν(t).


Demonstration. — On a

Ln(E) =1

n

∫

Td

max(log |∆n,x(E)|, log |∆n−1,x(E)|, log |∆n−1,x+α(E)|, log |∆n−2,x+α(E)|)dx.

Or, on a par exemple

1

nlog |∆n,x(E)| =

1

n

n∑

k=1

log |E −Exj,n| =

∫

R

log |E − t|dνnn(t).

Comme νxn converge faiblement vers ν, il existe M > 0 tel que suppνxn ⊂[−M,M ] pour tout n et comme la fonction t 7→ log |E − t| est continue surR pour E ∈ C \ [−M,M ] on a

limn→∞

1

nlog |∆n,x(E)| =

∫

R

log |E − t|dν(t)

et la meme egalite si on remplace ∆n,x(E) par ∆n′,x′(E) avec n′ = n−1, n−2,

x′ = x+ α. Cela demontre bien le lemme.

D’apres l’appendice on sait que deux fonctions sous-harmoniques qui coıncidentLebesgue-p.p. coıncident partout (cela decoule du fait que pour une fonctions.h. limr→0(1/πr

2)∫

D(E,r)f → f(E)).

1.9 Le nombre de rotation complexe

Proposition 1.9.1 Il existe une fonction holomorphe ζ definie sur H telleque pour tout

limy→0+

ℜζ(E + iy) = L(E), limy→0+

Im ζ(E + iy) = 2πρ(E).

Demonstration. — Choisissons une determination du log dans H telle quelog(reiθ) = log r + iθ si 0 < θ < π, et introduisons la fonction analytique surH

ζ(z) =

∫

R

log(z − t)dν(t).

On a ℜζ(z) =∫

Rlog |z − t|dν(t) = L(z) := LE(α, Sz), d’apres la formule de

Thouless. On a donc L(E + iy) = (1/2)∫

R

∫

log |(E − t)2 + y2|dν(t). Commeles fonctions sous l’integrale sont majorees et croissantes en y, le theoremede convergence monotone donne limy→0+ ℜζ(E + iy) = L(E).

1.9. LE NOMBRE DE ROTATION COMPLEXE 31

Determinons la partie imaginaire β(z) de ζ(z). Comme arg(z − t) =arcotg(E − t/x), on voit que pour ImE > 0

Im ζ(z) =

∫

R

arcotg(E − t

x)dν(t).

Comme arcotg (x/y) est borne (∈ [0, π]) et converge simplement quand y →0+ vers π1]−∞,0[, on a d’apres le theoreme de convergence dominee

limy→0

Im ζ(E + iy) = π

∫ ∞

E

dν(t) = π(1− ν(]−∞, E])).

Par consequent

limy→0

Im ζ(E + iy) = π

∫ ∞

E

dν(t) = 2πρ(E).

1.9.1 Variation du nombre de rotation avec l’energie

Theoreme 1.9.1 Pour Leb-p.t. E ∈ R ou L(E) = 0 on a

4π sin(2πρ(E))dρ(E)

dE≥ 1.

Demonstration. — Nous aurons besoin de deux lemmes.

Lemme 1.9.1 On a Leb-p.p. sur R

limy→0

∂yL(E + iy) = −2πdρ

dE(E).

Demonstration. — Remarquons que z ∈ H

∂zζ(z) =

∫

R

dν(t)

z − t,

et comme Im ∂zζ(E + iy) = ∂Eβ(E + iy) on a

∂Eβ(E + iy) = −∫

R

y

(E − t)2 + y2dν(t).

D’apres les resultats de l’appendice on sait que pour Lebesgue presque toutevaleur de E

limy→0

∫

R

y

(E − t)2 + y2dν(t) = π

dν

dx(E).


Comme 1−2ρ(x) = ν(]−∞, x]) on a egalement pour Lebesgue presque toutevaleur de E

−2dρ

dx(E) =

dν

dx(E).

Par consequent, pour Lebesgue presque toute valeur de x

limy→0

∂xβ(x+ iy) = 2πdρ

dx(x).

Comme la fonction ζ est holomorphe, on sait que ses parties reelle et imagi-naire verifient les equations de Cauchy-Riemann, en particulier

∂yL(E + iy) = −∂Eβ(E + iy).

Lemme 1.9.2 On a pour z ∈ H, 2 sin(β(z)) sinh(L(z)) ≥ Im z.

Demonstration. — On remarque que ζ(z) = log(z) + O(z−1) pour z →∞, z ∈ H (le support de ν est compact). La fonction harmonique sur H,g(z) = Im2 cosh(ζ(z))−Im z, verifie limR→∞ sup|z∈H,|z|≥R| g(z) = 0. De memelimǫ→0 sup|z∈H,Im z|≤ǫ| g(z) = 0. Par le principe du maximum, on a donc g(z) ≥0 sur H. Mais Im 2 cosh(ζ(z)) = 2 sin(β(z)) sinh(L(z)).

Nous pouvons terminer la preuve du theoreme. Donc

2 sinβ(E + iy)sinhL(E + iy)

y≥ 1

D’apres le theoreme des accroissements finis pour un 0 < δ(y) < y

L(E + iy)− L(E) = y∂yL(E + iδ(y))

et donc si E est tel que L(E) = 0, on a

L(E + iy)

y= ∂yL(E + iδ(y)).

Ainsi si L(E) = 0,

2 sin β(E + iy)sinh(L(E + iy))

L(E + iy)∂yL(E + iδ(y)) ≥ 1.

En utilisant le resultat du lemme precedent on a bien la conclusion dutheoreme.

1.10. SPECTRE A.C. ET EXPOSANT DE LYAPUNOV 33

1.9.2 Mesure de l’ensemble des energies ou l’exposant

de Lyapunov est nul

Corollaire 1.9.1 La mesure de Lebesgue de l’ensemble des E ∈ R ou L(E) =0 est toujours plus petite que 4.

Demonstration. — En effet le theoreme montre que pour tout a < b, lamesure de Lebesgue de L(E) = 0∩(a, b) est plus petite que 2 cos(2πρ(a))−2 cos(2πρ(b)).

Remarque : Il est possible de demontrer que si la mesure de l’ensembledes energies ou l’exposant de Lyapunov est nul egale 4 alors le potentiel estconstant. La preuve repose sur le fait que dans ce cas 2 sin(β(z)) sinh(L(z)) =Im z et que le membre de gauche de l’equation est Im(2 cosh(ζ(z)). On a doncpour Im z > 0, 2 cosh ζ(z) = z + z0 ce qui veut dire que eζ(z) est solution del’equation u2 − 2zu + 1 = 0 ce qui est l’equation des valeurs propres de lamatrice Sz0, la matrice de Schrodinger correspondant a V = z0 (qui doit etrereel).

1.10 Spectre a.c. et exposant de Lyapunov

Theoreme 1.10.1 (Kotani) Pour LebTd-p.t x ∈ Td, on a Σac(Hx) = Zess

where Z := E ∈ R : L(E) = 0 (ou Σac(Hx) est le support de la partie a.c

du spectre et Zessrepresente la support essentiel de l’ensemble Z : Zess

:=t ∈ Z, ∀ǫ > 0,Leb(Z ∩ (t− ǫ, t + ǫ)) > 0).

Nous demontrerons une inclusion qui est le theoreme d’Ishii-Pastur :

Theoreme 1.10.2 (Ishii-Pastur) Pour LebTd-p.t x ∈ Td, µx(E ∈ R :L(E) > 0) = 0.

Demonstration. — On sait que pour tout E ∈ R pour lequel L(E) > 0 etLebTd-p.t. x ∈ Td le cocycle (α, SE) admet des directions stables et instables.En appliquant le theoreme de Fubini, on voit que pour LebTd-p.t. x ∈ Td etLeb-p.t. E ∈ R dans L(E) > 0 il existe des directions vs,u(x) de contractionexponentielle dans le futur, et dans le passe. En fait pour presque tout x, vu(x)(par exemple) fournit une fonction propre generalisee de Hx a croissanceexponentielle dans le futur. 5. Cela est en contradiction avec le theoreme de

5. En effet, notons Aδ l’ensemble des x ∈ Td ou l’angle de vs(x) et vu(x) est minore par

δ. D’apres le theoreme ergodique, on sait que presque tout point de Td a une frequencede retour dans Aδ qui est positive. En utilisant le theoreme d’Oseledec, il est alors facile(Exercice) de voir que lim(1/n) log ‖Sn

E(x)vu(x)‖ > 0


Berezansky, sauf si la conclusion du theoreme est verifiee.

1.11 Type spectral et dynamique en temps

Considerons l’equation de Schrodinger en temps

i∂tψ(t) = Hψ(t), ψ(0) = e0

ou H est notre operateur de Jacobi. On a

ψ(t) = eitHψ(0),

et

〈ψ(t), e0〉 = 〈eitHe0, e0〉 =∫

R

eitξdµe0(ξ) = µe0(t).

Ainsi, la composante sur e0 de ψ(t) est la transformee de Fourier de la me-sure µe0. Cette remarque a des consequences importantes. Par exemple, si lamesure µe0 est absolument continue avec une densite de classe C∞, 〈ψ(t), e0〉decroıt plus vite que tout polynome. En fait, sans aucune hypothese deregularite sur µe0, en dehors du fait qu’elle est sans atomes on peut obte-nir des informations sur la decroissance de 〈ψ(t), e0〉. Le theoreme qui suitnous montre que quand µe0 est sans atomes, le mouvement de ψ(t) n’est pasde type quasi-periodique (comparer avec le cas ou la dynamique a lieu endimension finie).

Theoreme 1.11.1 (Theoreme R.A.G.E. (Ruelle-Amrein-Georgescu-Enss))Si µe0 est sans atome

limT→∞

1

T

∫ T

0

|〈ψ(t), e0〉|2dt = 0.

Demonstration. — Il suffit d’utiliser le theoreme de Wiener.

Theoreme 1.11.2 Si µ est une mesure (positive, finie)

limT→∞

1

T

∫ T

0

|µ(t)|2dt =∑

a:atome de µ

µ(a)2.

Demonstration. — Calculons

|µ(t)|2 =∫

R

eiξtdµ(ξ)

∫

R

e−iηtdµ(η)

=

∫

R2

ei(ξ−η)tdµ(ξ)dµ(η)

1.12. CARACTERISATION DU SPECTRE A.C. 35

et

1

T

∫ T

0

|µ(t)|2dt = 1

T

∫ T

0

∫

R2

ei(ξ−η)tdµ(ξ)dµ(η)dt

=

∫

R2

1− ei(ξ−η)T

i(ξ − η)Tdµ(ξ)dµ(η)

D’apres le theoreme de convergence dominee (qui s’applique car l’integrandeest toujours majoree par 1 en valeur absolue) on a

limT→∞

1

T

∫ T

0

|µ(t)|2dt =∫

R2

1ξ=ηdµ(ξ)dµ(η).

Mais une application de Fubini montre que le membre de droite est∑

a:atome de µ µ(a)2.

1.12 Caracterisation du spectre a.c.

Theoreme 1.12.1 Soit B l’ensemble des E ∈ R pour lesquels le cocycle(α, SE) est borne (ce qui signifie que supn∈Z,x∈T ‖S

(n)E (x)‖ < ∞). Alors µx

restreinte a B est absolument continue pour tout x ∈ T.

Ce theoreme est une consequence du lemme suivant :

Lemme 1.12.1 On a µ(E− ǫ, E+ ǫ) ≤ Cǫ sup0≤s≤Cǫ−1 ‖S(s)E ‖20 ou C est une

constante universelle.

Chapitre 2

Reductibilite

2.1 Reductibilite des cocycles quasi-periodiques

Soient α ∈ Td rationnellement independant et A : Td → SL(2,R) une ap-plication analytique. On dit que le cocycle (α,A) : Td×R2 , (α,A)(x, y) =(x + α,A(x)y) est reductible s’il est conjugue a un cocycle constant dans lesens suivant : il existe A0 ∈ SL(2,R), il existe B : Td → SL(2,R) analytiquetels que

(α,A) = (0, B) (α,A0) (0, B)−1

ou de facon equivalente

A(·) = B(·+ α)A0B(·)−1.

Remarquer que dans ce cas on a (α,A)n = (nα,A(n)(·)) ou A(n)(·) = B(· +nα)An0B(·)−1 et que par consequent si l’on connaıt A0 et B on connaıt ladynamique de (α,A).

Remarque. On peut de meme definir cette notion de reductiblite pour descocycles a valeurs dans SL(2,C) (par exemple si A = SE ou E est complexe).Une question importante dans l’etude des operateurs de Schrodinger est dedeterminer si les coycles de Schrodinger associes sont reductibles.

2.1.1 Obstructions a la reductibilite

Un cocycle (α,A), A ∈ Cω(Td, SL(2,R)) n’est pas toujours reductible.Nous mentionnons dans la suite quelques obstructions.

37

38 CHAPITRE 2. REDUCTIBILITE

Obstruction de nature topologique

Si un cocycle (α,A) est reductible, A(·) = B(· + α)A0B(·)−1, alors l’ap-plication A : Td → SL(2,R) est necessairement homotope a l’identite. Orcela n’est pas forcement le cas : par exemple A(·) = R2πϕ(·) (ou Rθ =(

cos θ − sin θsin θ cos θ

)

) avec ϕ(x) = 〈k, x〉, k ∈ Zd non nul, n’est pas homotope a

l’identite.

Obstruction de nature arithmetique

Supposons a present que A = Rϕ(·), ou ϕ(· + Zd) = ϕ(·) est disons ana-lytique (un tel cocycle est homotope a l’identite). Cherchons a resoudre 1

l’equation Rϕ(·) = Rψ(·+α)Rθ0R−ϕ(·), ou de facon equivalente ϕ(·) = ψ(· +α)+θ0−ψ(·) (quitte a changer θ0). Passons en serie de Fourier pour resoudrecette equation :

ϕ(0) = θ0, ∀k ∈ Zd \ 0, ϕ(k) = (e2πi〈k,α〉 − 1)ψ(k).

Or, il n’est pas difficile de voir que meme si ϕ est tres reguliere, il existe desα ∈ Td pour lesquels cette equation n’admet pas de solution ψ ∈ l2(Zd) (cequi est equivalent a ψ ∈ L2(Td)).

En revanche si on suppose que α est diophantien, une telle equation admetdes solutions pourvu que ϕ soit suffisamment reguliere.

Definition 2.1.1 Soient γ, τ > 0. On dit que α ∈ Td est diophantien d’ex-posant σ et de constante γ et on note α ∈ CD(γ, σ) si

∀k ∈ Zd \ 0, min

l∈Z‖〈k, α〉 − l‖ ≥ γ

|k|σ

ou on a note |k| = |k1|+ · · ·+ |kd|.

Il est facile de voir que

Proposition 2.1.1 Si σ > d, alors Leb(Td \ CD(γ, σ)) → 0 quand γ → 0 ;en outre si on note CD(σ) =

⋃

γ>0CD(γ, σ), on a Leb(Td \ CD(σ)) = 0.

Le fait d’etre diophantien est donc une propriete qui est abondante. Mon-trons a present comment cette condition de nature arithmetique sur α permetde resoudre l’equation (dite cohomologique) ϕ(·) = ψ(·+ α)− ψ(·) + θ0.

1. On peut voir que sous des hypothese generales on peut se ramener a ce cas

2.1. REDUCTIBILITE DES COCYCLES QUASI-PERIODIQUES 39

Le calcul precedent montre que si ϕ ∈ Cωh (T

d)

|ψ(k)| ≤ |ϕ(k)|e2πi〈k,α〉 − 1| ,

et si on suppose α ∈ CD(γ, σ) on a donc

|ψ(k)| ≤ C|k|σ|ϕ(k)|,

et donc d’apres les resultats de l’Appendice

‖ψ‖h′ ≤ C‖ϕ‖h

(h− h′)d+σ+1

pour tout 0 < h′ < h. On a donc demontre :

Proposition 2.1.2 Si ϕ ∈ Cωh (T

d) et α ∈ CD(γ, σ) alors il existe uneunique solution ψ ∈ Cω(Td) telle que

ϕ(·) = ψ(·+ α)− ψ(·) +∫

Td

ϕ(x)dx,

et on a pour tout 0 < h′ < h

‖ψ‖h′ ≤ C‖ϕ‖h

(h− h′)d+σ+1.

Obstruction liee a l’exposant de Lyapunov et au nombre de rotation

Remarquons que si un cocycle (α,A), A ∈ C0(Td, SL(2,R)) est reductible,alors il est conjugue soit a une matrice elliptique, soit a une matrice hyper-bolique, soit a une matrice parabolique. Soit alors A(·) = SE(·) ou SE =(

E − λ cos(·) −11 0

)

avec λ > 2. On sait d’apres un resultat de M. Herman

(cf. premiere partie du cours) que l’exposant de Lyapunov de (α, SE) eststrictement positif. Par consequent, si un tel cocycle est reductible, il estconjugue a une matrice hyperbolique, et il n’est pas difficile de voir que celaimplique que le nombre de rotation fibre de (α, SE) est de la forme 1/2〈k, α〉.Or, comme le nombre de rotation fibre est continu en E et prend les valeurs0 et 1, on peut choisir E de facon que ρ(E) ne soit pas dans (1/2)〈Zd, α〉.Pour un tel choix, le cocycle (α, SE) ne peut pas etre reductible.


2.2 Resultats dans un cadre perturbatif

Comme nous venons de le voir, le probleme de la reductibilite des cocyclesquasi-periodiques est un probleme delicat. Nous demontrons dans la suitequelques resultats de reductibilite dans le cadre suivant :

– Nous nous placerons dans un cadre perturbatif ce qui signifie que noussupposerons que notre cocycle A(·) est proche d’une application constanteA0 ∈ SL(2,R).

– Nous supposerons que α est dans une classe diophantienne fixee CD(γ, σ).– Nous supposerons que A(·) est suffisamment reguliere. Nous travaille-rons dans la suite en classe analytique, mais la classe des fonctionsinfiniment derivables (ou meme derivables suffisamment de fois) suffit.

Pour fixer les notations, nous posons A(·) = eF0(·A0 ou F0 ∈ Cωh (T

d, sl(2,R))et A0 = eU0 ∈ SL(2,R) (U0 ∈ sl(2,R)).

Theoreme 2.2.1 (Dinaburg-Sinai) Soient α ∈ CD(γ, σ), τ, κ > 0, A0 ∈SL(2,R), h > 0. Il existe ǫ∗(γ, σ, κ, τ, d, A0) tel que pour tout F ∈ Cω

h (Td, sl(2,R)

verifiant(i) |F |h ≤ ǫ∗

(ii) 2ρ(α, eFA0) ∈ DSα(κ, τ) (voir la definition 2.2.1).le cocycle (α, eF (·A0) est reductible sur une bande de taille h′ = h/4.

Les sous-sections qui suivent sont consacrees a la preuve de ce resultat.

2.2.1 Equation linearisee

Notre but dans un premier temps sera de trouver une conjugaison B1(·)que nous chercherons “proche de l’identite” :B1 = eY1 ou Y1 ∈ Cω

h′(Td, sl(2,R))

(Y1 etant donc petite), et une constante A1 ∈ SL(2,R) de facon que

eY1(·+α)(eF0A0)e−Y1(·) = eF1(·)A1,

avec F1 aussi petite que possible. En utilisant le fait que eM = I+M+O(M2),(I +M)−1 = I −M +O(M2) (les grands O etant uniformes sur un voisinagede 0) on voit que si on cherche F1 nulle on a

Y1(·+ α)−A0Y1(·)A−10 = −F0 + A1A

−10 +O2(|Y1|h′, |F0|h).

Reciproquement,

Proposition 2.2.1 Si on sait resoudre l’equation linearisee

Y1(·+ α)−A0Y1(·)A−10 = −F0 + A1A

−10 (2.1)

2.2. RESULTATS DANS UN CADRE PERTURBATIF 41

avec Y1 ∈ Cωh′(T

d, sl(2,R)) alors on aura

eY1(·+α)(eF0A0)e−Y1(·) = eF1(·)A1, (2.2)

avec |F1|h′ = O2((|Y1|h′, |F0|h).

2.2.2 Etude de l’equation linearisee

Nous aurons besoin de la definition suivante

Definition 2.2.1 Soit α ∈ Td. On dit que β ∈ R est diophantien par rapporta α, s’il existe des constantes κ, τ > 0 pour lesquelles

∀k ∈ Zd \ 0, min

l∈Z‖〈k, α〉 − β − l‖ ≥ κ

|k|τ .

On note β ∈ DSα(κ, τ) (on appelle τ l’exposant).

Comme precedemment

Proposition 2.2.2 Si τ > d, alors Leb(Td \DS(κ, τ)) → 0 quand κ → 0 ;en outre si on note DS(τ) =

⋃

κ>0CD(κ, τ), on a Leb(Td \ CD(τ)) = 0.

Soient A0 ∈ SL(2,R) et F ∈ Cω(Td, sl(2,R)).

Proposition 2.2.3 Supposons que β(A0) ∈ DSα(κ, τ). L’equation

Y (·+ α)− A0Y1(·)A−10 = F − F (0)

admet une unique solution analytique Y ∈ Cω(Td, sl(2,R)), definie sur unebande de taille h′, pour tout h′ < h et telle que

‖Y ‖h′ ≤ C(κ, γ)‖F‖h

(h− h′)a(2.3)

ou a = d+ 1 + σ + τ .

2.2.3 Schema iteratif

Posons hn = h−h/4−· · ·−h/2n+1. Nous allons construire des suites An,Fn, Yn telles que

(a) An ∈ SL(2,R) et Yn, Fn ∈ Cωhn(Td, sl(2,R)),

(b) (0, eYn(·)) (α, eFn−1(·)An−1) (0, eYn(·))−1 = (α, eFn(·)An)(c) β(An) ∈ DSα(κ/2, τ).


(d) Si on note ǫn = |Fn|hn on a ‖Yn+1‖hn ≤ h−an ǫn et

ǫn+1 ≤ Ch−an ǫ2n

(e) ‖An − An−1eFn−1(0)‖ ≤ ǫn.

Donnons quelques indications sur cette procedure de recurrence. Sup-posant construit An, Fn etc. construisons An+1, Fn+1 etc. Le point (b) per-met d’appliquer la proposition 2.2.2 puis la proposition 2.2.1. On obtientainsi Yn+1, Fn+1 (‖Yn+1‖hn+1

≤ ǫnh−an et ‖Fn+1‖ ≤ ǫn+1/2 avec ǫn+1 ≤

Ch−an ǫ2n) definis sur une bande de taille hn+1 et An+1 = eFn(0)An tels que

Yn+1 conjugue (α, eFnAn) a (α, eFn+1An+1). Assurons le point (c). Comme lenombre de rotation fibre est invariant par conjugaison homotope a l’identite,on a ρ(α, eFn+1(·)An+1) ∈ DSα(κ, τ). Mais il n’est pas difficile de voir quedans notre cas (cf. la section sur le nombre de rotation fibre, Chap. 1)

|ρ(α, eFn+1(·)An+1)− ρ(α, An+1)| ≤ ǫn+1/2,

(ou C est une constante universelle). Il existe donc An+1 tel que ‖An+1 −An+1‖ ≤ ǫn+1/2 et tel que β(An+1) ∈ DS(κ/2, τ) ; on ecrira alors eFn+1An+1 =

eFn+1An+1 ou ‖Fn+1‖hn+1≤ ‖Fn+1‖hn+1

+ ǫn+1/2 ≤ ǫn+1.

2.2.4 Preuve du theoreme 2.2.1

Le point (d) permet de demontrer que ǫn tend vers 0 (tres vite). Cela estsuffisant pour demontrer le theoreme 2.2.1 puisque

Proposition 2.2.4 Les limites A = limn→∞An et B(·) = limn→∞ eYn(·) · · · eY1(·)existent ; B(·) definit une fonction analytique sur une bande de taille h/4. Ona

(0, B) (α, eF0(·)A0) (0, B)−1 = (α, A).

2.3 Application a l’existence de spectre ab-

solument continu

2.3.1 Reductibilite pour un ensemble d’energies de me-

sure positive

Theoreme 2.3.1 (Dinaburg-Sinai) Soient α ∈ CD(γ, σ), h > 0 et µ > 0.Alors, il existe ǫ∗(α, h, µ) tel que si V ∈ Cω

h (Td) verifie ‖V ‖h < ǫ∗, l’ensemble

des E ∈ R pour lesquels le cocycle (α, SE,V ) est reductible est de mesurepositive : la mesure de Lebesgue de son complementaire dans [−2, 2] est pluspetite que µ.

2.4. THEOREME D’ELIASSON 43

2.3.2 Existence de spectre a.c.

Le theoreme precedent admet le corollaire suivant.

Theoreme 2.3.2 (Dinaburg-Sinai) Soient α ∈ CD(γ, σ), h > 0 et µ > 0.Alors, il existe ǫ∗(α, h, µ) tel que si V ∈ Cω

h (Td) verifie ‖V ‖h < ǫ∗, pour

tout x ∈ Td, l’operateur Hx,V admet une partie absolument continue etLeb([−2, 2] \ Σac) ≤ µ.

Demonstration. — Utiliser le theoreme 2.3.1 et le theoreme 1.12.1

2.4 Theoreme d’Eliasson

Les resultats des sections precedentes peuvent s’etendre de la facon sui-vante.

Theoreme 2.4.1 (Eliasson) Soient α ∈ CD(γ, σ), τ > 0, A0 ∈ SL(2,R),h > 0. Il existe ǫ∗(γ, σ, τ, d, A0) tel que pour tout F ∈ Cω

h (Td, sl(2,R) verifiant

(i) |F |h ≤ ǫ∗ ;(ii) 2ρ(α, eFA0) ∈ DSα(τ) =

⋃

κ>0DSα(κ, τ) ou 2ρ(α, eFA0) ∈ 〈Z, α〉 ;alors, le cocycle (α, eF (·A0) est reductible sur une bande de taille 0 < h′ < h.

Corollaire 2.4.1 (Eliasson) Soient α ∈ CD(γ, σ), h > 0. Alors, il existeǫ∗(α, h) tel que si V ∈ Cω

h (Td) verifie ‖V ‖h < ǫ∗, alors pour tout x ∈ Td, le

spectre de l’operateur Hx,V est purement absolument continu.

Chapitre 3

Localisation

3.1 Localisation d’Anderson

Definition 3.1.1 On dit que que l’operateur de Schrodinger H presentela localisation d’Anderson s’il est possible de trouver une base hilbetienne(φn)n∈N de fonctions propres de H dans l2(Z) telles que : il existe γ > 0 telque pour tout n ∈ N, il existe Cn pour lequel ∀ k ∈ Z, |φn(k)| ≤ Cne

−γ|k|.

Quand c’est le cas le spectre de l’operateur H est evidemment purementponctuel.

3.1.1 Localisation d’Anderson : mecanisme geometrique

Dans cette section nous expliquons comment la positivite des exposantsde Lyapunov pour un ensemble d’energies grand, permet, au moins d’un pointde vue heuristique, de comprendre l’apparition de la localisation d’Anderson.

3.2 Le theoreme de Bourgain et Goldstein

Theoreme 3.2.1 Soient V : Td → R une fonction analytique reelle nonconstante telle que pour tout E ∈ R et tout α ∈ Td, LE(α, SE) > 0. Alors,pour presque tout α ∈ Td diophantien (condition de mesure totale) l’operateurHx=0 presente la localisation d’Anderson.

45

46 CHAPITRE 3. LOCALISATION

3.2.1 Critere garantissant la positivite des exposants

de Lyapunov

Methode sous-harmonique de M. Herman

Theoreme de Spencer-Sorets

3.3 Dualite d’Aubry

Chapitre 4

Annexe

4.1 Theorie de la mesure

4.2 Rappels de dynamique

4.3 Rappels d’analyse harmonique

4.3.1 Fonctions harmoniques

Definition 4.3.1 Une fonction continue sur un ouvert Ω de C ≃ R2 est diteharmonique si elle verifie : pour tout z ∈ Ω, et tout r > 0 tel que D(z, r) ⊂ Ω

f(z) =1

πr2

∫

D(z,r)

f(x+ iy)dxdy.

Un exemple typique de fonction harmonique est la partie reelle (ou imagi-naire) d’une fonction holomorphe. Sur un ouvert simplement connexe, unefonction harmonique est la partie reelle d’une fonction holomorphe.

Noyau de Poisson

Theoreme 4.3.1 Si f est harmonique sur Ω et D(z0, R) ⊂ Ω on a pour toutz = z0 + reit ∈ D(z0, r)

f(z) =

∫ 2π

0

R2 − r2

R2 − 2Rr cos(θ − t) + r2f(z0 + reiθ)dθ.

Theoreme 4.3.2 (lemme de Weyl) Une fonction f ∈ L1loc(Ω) est harmo-

nique si et seulement si, au sens des distributions ∆f = 0.

47

48 CHAPITRE 4. ANNEXE

Extension harmonique (sur H)

Theoreme 4.3.3 Si f est une fonction continue a support compact sur R ilexiste une unique extension harmonique de f a H

f(x+ iy) =1

π

∫

R

y

(x− t)2 + y2f(t)dt

et la convergence f(x+ iy) → f(x) quand y → 0 est uniforme en x ∈ R.

Demonstration. — La preuve repose sur le lemme suivant qui est facile averifier :

Lemme 4.3.1 – La fonction 1π

y(x−t)2+y2

est la partie imaginaire de 1π

1t−z

,z = x+ iy.

– Si on note χ(x) = 1π

11+x2

et χy = (1/y)χ(x/y) on a χy(x) =1π

yx2+y2

sibien que

1

π

∫

R

y

(x− t)2 + y2f(t)dt = (f ∗ χy)(x).

– On a χ ≥ 0 et∫

Rχ(x)dx =

∫

Rχy(x)dx = 1 : χy(·) est donc une

approximation de l’identite.

Le lemme montre que (si f est a valeurs reelles) f(x + iy) est la partie

imaginaire de la fonction holomorphe 1π

∫

R

f(t)t−z

dt pour y > 0 et elle est donc

harmonique. Le fait que f(x + iy) = (f ∗ χy)(x) → f(x) quand y → 0 estune propriete generale des approximations de l’identite. Pour l’uniformite enx sur R on peut proceder de la facon suivante Apres changement de variableon voit que

f ∗ χy(t)− f(t) =

∫

R

(f(t− sy)− f(t))χ(s)ds.

En decoupant l’integrale precedente en |s| ≤ y−1/2 et |s| > y−1/2 et en utili-sant le fait que maxt∈R |f(· − δ)− f(·)| tend vers 0 avec δ, on obtient bien leresultat.

Remarque Une consequence du calcul precedent est que si µ et ν sont deuxmesures telles que pour tout z = x+ iy, y > 0

∫

R

y

(x− t)2 + y2dµ(t) =

∫

R

y

(x− t)2 + y2dν(t)

4.3. RAPPELS D’ANALYSE HARMONIQUE 49

ou de facon equivalente telles que∫

R

1

t− zdµ(t) =

∫

R

1

t− zdν(t)

alors elles sont egales. En effet, on a dans (p.ex dans le premier cas) pourtoute fonction continue a support compact ϕ : R → R

∫

R

ϕ(x)

∫

R

y

(x− t)2 + y2dµ(t)dx =

∫

R

ϕ(x)

∫

R

y

(x− t)2 + y2dν(t)dx

et en utilisant Fubini∫

R

∫

R

ϕ(x)y

(x− t)2 + y2dxdµ(t) =

∫

R

∫

R

ϕ(x)y

(x− t)2 + y2dxdν(t).

En utilisant, le fait que∫

Rϕ(x) y

(x−t)2+y2dx converge uniformement vers ϕ(t)

quand y → 0 on obtient le resultat.

4.3.2 Fonctions sous-harmoniques

Definition 4.3.2 Une fonction f definie sur un ouvert Ω de C ≃ R2 est ditesous-harmonique si

(a) Elle prend ses valeurs dans [−∞,∞[ ;(b) Elle est semi-continue superieurement c’est-a-dire que pour tout a ∈R, l’ensemble f < a est un ouvert ;

(c) Elle verifie pour tout z ∈ Ω, et tout r > 0 tel que D(z, r) ⊂ Ω

f(z) ≤ 1

πr2

∫

D(z,r)

f(x+ iy)dxdy.

Proposition 4.3.1 (i) Le max d’un nombre fini de fonctions sous-harmoniquesest sous-harmonique.

(ii) Si f1 ≥ f2 ≥ · · · est une famille decroissante de fonctions sous-harmoniques alors limn→∞ fn est sous-harmonique.

(iii) Une fonction sous-harmonique qui n’est pas identiquement egale a−∞ est localement integrable, et l’ensemble des points ou elle prend lavaleur −∞ est de mesure de Lebesgue zero.

(iv) Si µ est une mesure borelienne positive de support compact alors lafonction pµ; z 7→

∫

Clog |z − t|dµ(t) est sous-harmonique sur C et har-

monique sur C\suppµ. En outre quand |z| → ∞ elle vaut µ(C) log |z|+O(|z|−1).

(v) Si f est sous-harmonique on a une version plus precise du point (c)de la definition : si f est sous-harmonique non-identiquement egale a−∞, alors pour tout z on a f(z) = limr→0

1πr2

∫

D(z,r)f(x+ iy)dxdy.

50 CHAPITRE 4. ANNEXE

Demonstration. — Le point (i) supposons que (fi)i∈I , I fini soit une fa-mille de fonctions sous-harmoniques. Pour le point (c), il suffit d’ecrire fi(z) ≤(1/πr2)

∫

D(z,r)fi(w)d2m(w) ≤ (1/πr2)

∫

D(z,r)maxi fi(w)d2m(w) et de prendre

le max sur les i du membre de gauche. Le point (b) est vrai car maxi∈I fi <a est l’intersection des fi < a.Pour le point (ii), il suffit d’ecrire que fn(z) ≤ (1/πr2)

∫

D(z,r)fn(w)d2m(w) et

d’utiliser le lemme de convergence monotone pour une suite decroissante defonctions uniformement majoree pour obtenir le resultat ; notons que commeles f1 est s.c.s, elle est majoree sur un ouvert de de z et comme fn ≤ f1,il en est de meme pour les fn. Le point (b) se demontre en observant quelimn→∞ fn < a est l’union des fn < a.(iii) En un point z ou f est finie, on voit qu’il existe un voisinage ou cettefonction est majoree (f est s.c.s.) et l’inegalite de la moyenne montre quel’integrale de f sur un disque est minoree. Par consequent, |f | est biend’integrale finie sur un voisinage de ce point.

Si f vaut −∞ sur un ensemble de mesure positive E, alors l’inegalite de lamoyenne montre que f vaut −∞ en tout centre d’un disque qui contient unsous-ensemble de mesure positive de E. Il existe donc un ouvert maximal Unon vide ou f vaut −∞. Par le meme argument, sur tout ouvert intersectantU , f vaut −∞. Donc, l’ouvert maximal ou f vaut −∞ est Ω.

(iv) Cela resulte du fait que log |z| est une fonctions sous-harmonique et ilest facile de verifier (b) et (c). L’autre point est un simple calcul.

(v) Cela resulte de l’inegalite de la moyenne et du fait que f est scs : pourǫ > 0 il existe un disque D(z, r) sur lequel f < f(z) + ǫ. On a donc f(z) ≤(1/πr2)

∫

D(z,r)f(w)d2w ≤ f(z) + ǫ.

Remarque

– Le point (i) de la proposition precedente est presque vrai pour un maxd’une famille quelconque de fonctions sous-harmoniques : les points (a)et (c) se demontrent sans difficulte ; seul le point (b) pose probleme,mais on peut le resoudre en introduisant un procede de regularisationsous-harmonique (theoreme de Brelot-Cartan). Sans faire appel a cetheoreme, nous avons cependant : Si (fi)i∈I est une famille de fonctionssous-harmoniques, supi∈I fi verifie (a) ; en particulier, si (fn) est unesuite de fonctions sous-harmoniques uniformement majorees, lim supn→∞ fnverifie egalement le point (i) : en effet, lim supn→∞ fn = limk→∞ gk, avecgk = supk≥n fk et la suite des gk est decroissante.

– Le point (v) montre que si deux fonctions sous-harmoniques coıncidentLebesgue-p.p. elles coıncident partout.

4.4. ESTIMEES DE CAUCHY 51

Theoreme 4.3.4 Une fonction f ∈ L1loc(Ω) est sous-harmonique si et seule-

ment si, au sens des distributions ∆f ≥ 0, ce qui signifie que la mesure ∆fest une mesure positive.

En utilisant le lemme de Weyl, le point (v) de la proposition et le fait que∆pµ = 2πµ, il est facile de voir que

Corollaire 4.3.1 Si f est une fonction sous-harmonique sur Ω, pour toutouvert relativement compact U dans Ω, il existe une mesure positive µ =(1/2π)∆f |U et une fonction harmonique h telles que sur U

f(z) =

∫

C

log |z − t|dµ(t) + h(z).

4.4 Estimees de Cauchy

4.5 Rappels sur SL(2,R) et sl(2,R)

equation de schr¨odinger quasi-p´eriodique notes du cours ... le point (4) est facile a...

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