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Equações Diferenciais e de Diferenças 1
Sistemas e Sinais
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Departamento de Engenharia Elétrica
Representação de Sistemas Representação de Sistemas LTILTI por por Equações Diferenciais e de DiferençasEquações Diferenciais e de Diferenças
Equações diferenciais e de diferenças de coeficientesconstantes e lineares fornecem outra representação das características entrada-saída de sistemas LTI.
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Representação de Sistemas Representação de Sistemas LTILTI por por Equações Diferenciais e de DiferençasEquações Diferenciais e de Diferenças
Para o caso contínuo, a forma geral de uma equaçãodiferencial de coeficientes constantes e linear é a seguinte:
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Representação de Sistemas Representação de Sistemas LTILTI por por Equações Diferenciais e de DiferençasEquações Diferenciais e de Diferenças
Para o caso de tempo discreto, a equação de diferençaspara um sistema LTI apresenta um formato similar, ouseja:
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Exemplos: Equações DiferenciaisExemplos: Equações Diferenciais
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Exemplos: Equações DiferenciaisExemplos: Equações Diferenciais
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Exemplos: Equações DiferenciaisExemplos: Equações Diferenciais
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Exemplos: Equações de DiferençasExemplos: Equações de Diferenças
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Exemplo 2.16:Exemplo 2.16:
Considere o sistema representado pela seguinte equação de diferenças:
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Exemplo 2.16: Resposta para y[-1]=1 e y[-2]=2Exemplo 2.16: Resposta para y[-1]=1 e y[-2]=2
0 5 10 15 20 25 30-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
n
y[n]
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Exemplo 2.16: Resposta para Exemplo 2.16: Resposta para x[n]=cos((x[n]=cos((ππ /10)n) /10)n)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
y[n]
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Resolvendo Equações - Resposta NaturalResolvendo Equações - Resposta Natural
Equação Diferencial
Padrão de Resposta
Equação Característica
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Resolvendo Equações – Resposta Natural Resolvendo Equações – Resposta Natural
Equação de Diferenças
Padrão de Resposta
Equação Característica
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Natureza das Raízes Natureza das Raízes
Reais Exponenciais Reais
Imaginárias
Complexas
Senoidais
Senoides com envoltória exponencial
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Resposta Natural: Raízes ReaisResposta Natural: Raízes Reais
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tempo (s)
y(t)
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Resposta Natural: Raízes ImagináriasResposta Natural: Raízes Imaginárias
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tempo (s)
y(t)
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Resposta Natural: Raízes Complexas Resposta Natural: Raízes Complexas
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5
0
0.5
1
tempo (s)
y(t)
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Caso de Raízes Repetidas Caso de Raízes Repetidas pp vezes vezes
Caso Contínuo
Caso Discreto
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Exemplo 2.17:Exemplo 2.17:
Determinar a resposta natural para t > 0 sabendo que y(0)=2A.
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Exercício 2.10:Exercício 2.10:
Determinar a resposta natural para o sistema descrito pela equaçãode diferenças
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Exercício 2.11:Exercício 2.11:
Determinar a forma da resposta natural para o circuito RLC: