Міністерство освіти і науки УкраїниНаціональний університет водного господарства таприродокористуванняКафедра вищої математики04-02-40

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИдля практичних занятьз навчальної дисципліни “Вища математика” з розділів“Функції багатьох змінних”, “Комплекснічисла, многочлени, раціональні дроби”,“Інтегральне числення функцій однієї табагатьох змінних”, “Ряди”, “Диференціальнірівняння”, “Ряди Фур’є”, “ПеретворенняЛапласа та Фур’є”, “Теорія ймовірностей таматематична статистика”для здобувачів вищої освіти першого рівня (бакалавр)денної форми навчання за спеціальністю 141 “Електроенергетика, електротехніка та електромеханіка”

Рекомендовано науково-методичноюкомісією зі спеціальності 141"Електроенергетика,електротехніка та електромеханіка”.Протокол № 3 від 22.01.2019

Рівне ─ 2019

Методичні вказівки для практичних занять з навчальноїдисципліни “Вища математика” з розділів “Функціїбагатьох змінних”, “Комплексні числа, многочлени,раціональні дроби”, “Інтегральне числення функцій однієїта багатьох змінних”, “Ряди”, “Диференціальні рівняння”,“Ряди Фур’є”, “Перетворення Лапласа та Фур’є”, “Теоріяймовірностей та математична статистика” для здобувачіввищої освіти першого рівня (бакалавр) денної форминавчання за спеціальністю 141 “Електроенергетика,електротехніка та електромеханіка” / Кушнір В.П., Кушнір О.О. ─ Рівне: НУВГП, 2019. ─ 49 с.

Укладачі: В.П. Кушнір, канд. фіз.-мат. наук, О.О. Кушнір,канд. фіз.-мат. наук, доцент кафедри вищої математики. Відповідальний за випуск — С.П. Цецик, кандидатпедагогічних наук, доцент, в.о. завідувача кафедри вищоїматематики.

© В.П. Кушнір, О.О. Кушнір,2019© НУВГП, 20192

ЗмістВступ 4Заняття 1. Функції багатьох змінних (ФБЗ): область визначення, лінії рівня, границі, неперервність, частинні похідні. 4Заняття 2. ФБЗ: похідна в напрямку, дотична та нормаль до поверхні, складена та неявно задана функції, екстремуми. 7Заняття 3. Комплексні числа, многочлени, раціональна функція 9Заняття 4. Невизначений інтеграл: методи інтегрування. 11Заняття 5. Невизначений інтеграл: інтегрування основних класів функцій. 14Заняття 6. Визначений інтеграл 16Заняття 7. Невласні інтеграли. Обчислення подвійних та потрійних інтегралів. 18Заняття 8. Криволінійні інтеграли. 22Заняття 9. Ряди. 25Заняття 10. Диференціальні рівняння (ДР) І порядку. Основні типи. 28Заняття 11. Лінійні та рівняння Бернуллі. Типи ДР вищих порядків, що допускають пониження порядку. 30Заняття 12. Лінійні ДР вищих порядків. 32Заняття 13. ЛНДР з ПК (лінійні неоднорідні ДР з постійними ко-ефіцієнтами) зі спец. правими частинами. Системи ДР. 33Заняття 14. Стійкість розв’язків ДР та їх систем. Розклад функцій в ряд Фур’є. 35Заняття 15. Перетворення Лапласа. Інтеграл та перетворення Фур'є. 37Заняття 16. Основні формули для ймовірностей подій. 39Заняття 17. Випадкові величини. 42Заняття 18. Методи математичної статистики. 46

3

ВступМета методичних вказівок — максимально залучитистудентів до активної самостійної роботи з вищої математики напрактичних заняттях.Для цього, відповідно до робочої програми, на кожнезаняття пропонуються приклади і задачі від простих доскладніших, що дасть можливість кожному студентові під керів-ництвом викладача розв’язувати ті завдання, які відповідаютьйого математичній підготовці в цілому та його підготовці доданого заняття. Пропонуються також завдання для домашніхробіт до кожного заняття для закріплення набутих навичок.

Заняття 1. Функції багатьох змінних (ФБЗ): область визна-чення, лінії рівня, границі, неперервність, частинні похідні.1. Означення функції n змінних. Область визначення функціїдвох змінних. Лінії рівня функції двох змінних.2. Окіл точки на площині і проколотий окіл, малюнок.Означення граничної та ізольованої точок множини. Означенняобмеженої та замкнутої множин. Означення і позначенняграниці функції двох змінних. Теорема про арифметичні дії надграницями. Означення неперервної функції в точці. Означеннянеперервної функції в області. Теореми про неперервні функціїна замкнутій обмеженій множині.3. Означення приросту функції двох змінних в напрямку векторав точці. Означення похідної в напрямку функції двох змінних.Властивість похідної в напрямку. Фізичний зміст похідної внапрямку. Означення часткових приростів функції двох змінних.Означення частинних похідних функції двох змінних. Правилознаходження частинних похідних. Означення градієнта функціїдвох змінних в точці.4. Означення повного приросту функції двох змінних. Означеннядиференційованої функції в точці і повного диференціалу. Зв'я-4

зок диференційованості функції з неперервністю. Зв’язок дифе-ренційованості функції з існуванням частинних похідних. Фор-мула для знаходження похідної в напрямку. Формула длядиференціалу через частинні похідні. Геометр. зміст градієнта. 1. Зобразити області визначення функцій:а) z=ln (1−x2/ 4− y2) , б) z=√ x+2 y−1 , в) z= 2 xx−2 y ,г) z=√ xy , 2. Зобразити лінії чи поверхні рівня функцій:а) z=4+ x2+ y2 , б) z=x+2 y−1, в) u=x2+ y 2−z2.3. Знайти границі:а) limx→1y→0

x+2 yxx2+ y2 , б) limx→0y→2sin xyx , в) limx→∞y→∞ 2 xy−x2x 2− y2 .

4. Зобразити множину неперервності функції: z= x+2 yxx2+ y2 .5. При якому значенні А функція буде неперервною на всійплощині Оху? z={arctg 2(x2+ y 2)x2+ y2 , при(x , y )≠(0,0) ,А , при (x , y )=(0,0).6. Знайти частинні похідні функцій:а) z=4 x3 y2+5 x sin y−3 x+7, б) z=(2 x−3 y)sin 5 x ,в) z=ln( x+2 y) , г) u=x yz . 7. Знайти диференціал функції за означенням та з допомогою частинних похідних z= x2+2 xy .8.Знайти градієнти та диференціали функцій: а) z=2 x y2+5 tg 3 y−2, б) z= x2/ y .9. Знайти наближено з допомогою диференціалу та перевірити себе з допомогою калькулятора 0,972,01 .

5

Домашнє завдання1. Зобразити області визначення функцій: а) z= 2 xyy− x2 ,б) z=ln ( x2/9− y 2/4−1) , в) z=arcsin y−1x . 2. Зобразити лінії чи поверхні рівня функцій:а) z=√ xy , б) z= x2− y2, в) u=x2+ y 2+z2.3. Знайти границі: а) limx→5y→2

x+2 yx2( y−2) , б) limx→∞y→2(1+ yx )x ,

в) limx→0y→02 y−xx+ y , г) limx→∞y→∞ y+ xx 2+ y2 .

4. Зобразити множину неперервності функції:z=√1−x2+√1− y 2.5. Знайти частинні похідні функцій: а) u=( xy)z ,б) z= x y 2+5 ln xcos 2 y−3 y2+2, в) z= x

√ x2+ y 2 .6. Показати, що функція z= xy+xe y / x задовольняє рівняння в частинних похідних x ∂ z

∂ x + y ∂ z∂ y=xy+z .

7. Знайти диференціал функції за означенням та з допомогою частинних похідних z= x2 y+ y2 x .8.Знайти градієнти та диференціали функцій: а) z=ln ( x2+ y2) , б) z= xy− y / x .9. Знайти наближено з допомогою диференціалу та перевірити себе з допомогою калькулятора:а) log2 (0,95+3√1,07) , б) tg 46о+sin 31о .

6

Заняття 2. ФБЗ: похідна в напрямку, дотична та нормаль доповерхні, складена та неявно задана функції, екстремуми.2. Рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні, заданої неявно чи явно. Геометричний зміст диференціалу.3. Формули для похідної складної функції. Інваріантність фор-мули диференціалу. Формула для похідної неявно заданої функ-ції від одної змінної через частинні похідні. Формули для час-тинних похідних неявно заданої функції двох змінних. Знаход-ження частинних похідних функцій, заданих системою рівнянь.4. Означення і позначення частинних похідних другого порядкуфункції двох змінних. Означення повної похідної другогопорядку функції двох змінних. Теорема про змішані похіднівищих порядків функції двох змінних. Диференціали вищихпорядків. Формула Тейлора.5. Означення точки максимуму (мінімуму, екстремуму) функціїдвох змінних в області. Означення точок локального максимуму(мінімуму, екстремуму) функції двох змінних. Необхідна умовалокального екстремуму функції двох змінних. Достатня умовалокального екстремуму функції двох змінних. Знаходження умо-вного екстремуму з допомогою функції Лагранжа. Дослідженняфункції двох змінних на абсолютний екстремум на множині.1. а)Знайти похідну функції z= x2 y3+7 y−2 в точці М(0;2) внапрямку s⃗=(3 ;−4) .б) Знайти похідну функції z= x2x+ y в точці М(1;2) внапрямку, що йде з точки М в початок координат.2. Знайти рівняння дотичних площин та нормалей до поверхоньв заданих точках: а) x2+ y 2+z2=6 при х=у=1,б) z= x2− y2 , M(2; 1) .3. Знайти похідні складених функцій:a)z=5 x2 y 2−2 xy+3 x−4, x=u sin v , y=u−cosv ,∂ z /∂ u ,∂ z /∂ v−?

7

б) z= x y , x=tg t , y=sin t , dz /dt−?4. Знайти похідні неявно заданих функцій:а) x e2 y− y ln x−8=0, y ' x−?б) z3+ y= xz , M (3 ;0)(z>0) , z ' x (M ) , z ' y (M ) , dz (M )−?5. Знайти частинні похідні, повну похідну та диференціал другого порядку функції z= x2 sin 5 y в точці М(2;0).6. Дослідити на екстремум функції: а) z=4( x− y )−x2− y2 , б) z= x3+3 xy2−15x−12 y , x , y≥0.7. а) Знайти найбільше і найменше значення функціїz= x2 y (4−x− y) на трикутнику, обмеженому прямимиx=0, y=0, x+ y=6.б) Знайти найбільше і найменше значення функціїz=6−4 x−3 y при x2+ y 2≤1.Домашнє завдання1. а)Знайти похідну функції z= x3−3 x2 y+3 xy2+1 в точці М(3;1) в напрямку, що йде від цієї точки до точки N(6;5). б) Знайти похідну функції z=arctg xy в точці М(1;1) в напрямку бісектриси першого координатного кута.2. Знайти рівняння дотичних площин та нормалей до поверхонь в заданих точках: а) x3+ y3+z3+ xyz−6=0 , М(1; 2; -1) (спочатку перевірити чи точка лежить на поверхні),б) z=arctg y / x , M(1; 1) .3. Знайти похідні складених функцій:a) u=ln(ex+e y) , y=x3(x=x) , du /dx−?б) z= x2 ln y , x=u/v , y=3u−2v ,∂ z /∂ u ,∂ z /∂ v−?4. Знайти похідні неявно заданих функцій:а) e z= xyz , z ' x , z ' y−? , б) y x=x y , y ' x−? , в) cos2 x+cos2 y+cos2 z=1, M (π /2 ; π/4)( z∈[0 ;π /2]) ,

8

z ' x(M ) , z ' y(M ) , dz (M )−?5. Знайти частинні похідні, повну похідну та диференціал другого порядку функції z=e x/ y в точці М(0;2).6. Дослідити на екстремум функції:а) z= x2+xy+ y 2−2 x− y , б) z= x3 y 2(6− x− y ) , x , y≥0.7. а) Знайти екстремуми функції z= x2+ y2 на множині, обмеженій лініями x=2, y=3, x /2+ y /3=1.б) Знайти найбільше екстремуми функції z= x2− y2 приx2+ y 2≤1.в) Знайти сторони прямокутного трикутника, що має при заданійплощі S найменший периметр.

Заняття 3. Комплексні числа, многочлени, раціональнафункція1. Означення комплексної площини та комплексних чисел(точок-векторів). Уявна та дійсна частини комплексного числа.Алгебраїчна форма. Рівність комплексних чисел.2. Додавання та віднімання комплексних чисел (векторів) валгебраїчній формі. Закони комутативності та асоціативностідля додавання комплексних чисел.3. Тригонометрична форма комплексного числа. Зв'язоктригонометричної та алгебраїчної форми комплексного числа.4. Означення множення комплексних чисел-векторів. Законикомутативності, асоціативності дистрибутивності для множення.Ділення комплексних чисел в тригонометричній формі.Піднесення до натурального степеня в тригонометричній формі(формула Муавра). Добування кореня з комплексного числа.Кількість коренів n-го степеня з комплексного числа, їхгеометрична інтерпретація. Закони для піднесення до степеня тадобування кореня. Корені n-го степеня з одиниці та їх9

застосування до добування коренів n-го степ. з комплексногочисла. Множення комплексних чисел в алгебраїчній формі.5. Означення взаємно спряжених комплексних чисел, їхгеометрична інтерпретація. Властивості спряжених комплекснихчисел. Ділення комплексних чисел в алгебраїчній формі.6. Корінь квадратний з від'ємних чисел та розв'язування квадр.рівнянь з від'ємним дискримінантом. Властивість коренів квадр.рівняння з дійсними коефіцієнтами з від'ємним дискримінантом.7. Означення многочлена, його степеня та кореня многочлена.Основна теорема алгебри. Лема д'Аламбера. Множина значеньмногочлена. Ділення многочлена на многочлен з остачею.Теорема Безу. Розклад многочлена на множники в множинікомплексних чисел. Кратність кореня многочлена. Властивістьпро кратність кореня похідної з многочлена. Властивість коренівмногочлена з дійсними коефіцієнтами. Розклад многочлена намножники в множині дійсних чисел.8. Чи можуть два многочлени n-го степ. співпадати більш ніж в nточках. Єдиність стандартної форми многочлена. Узагальненнятеореми Вієта. Властивість раціонального кореня многочлена зцілими коефіцієнтами.9. Означення раціональної функції (раціонального дробу).Означення правильних та неправильних раціональних дробів.Виділення цілої частини раціональної функції. Означенняпростих раціональних дробів. Теорема-план розкладуправильного раціонального дробу на прості дроби.1. Обчислити і зобразити результат на комплексній площині:а) (3 - 4і)(2+7і) - (2-і)2+7 - і3, б) (3 - 2і) / (4+2i), в) (2+2і)10, г) (1 - іÖ3)5, д) 5√ i−√3 , е) 3√1 .2. Розв’язати квадратне рівняння в множині комплексних чисел( ),ℂ зробити перевірку за теоремою Вієта, та зобразити кореніна : ℂ а) x2-2x+2=0, б) 4x2+20x+29=0.3. Розкласти многочлен на множники в і в :ℂ ℝа) х3 - 2x2 + 3x - 2, б) 2х3 + 3x2 - x + 2.

10

4. Виділити цілу частину:а) 4 x2−3 x+5x+4 , б) x5−3 x4+5 x2+7x3+4 x+1 .5. Розкласти на суму простих дробів: а) 4 x2−3 x+5

(x+4)(х−2)( х+1) ,б) 3x+5x3+x , в) 4 x2−3 x+5

(x2+ x+1)( х−2)2 .Домашнє завдання 1. Обчислити і зобразити результат на комплексній площині:а) (2 - і)(2+5і) + (3 - 2і)2 - і5, б) (3 - 2і) / (4 - i), в) (3 — 4і) / i,

г) (3 - 3і)4, д) (i - Ö3)6, е) 4√ i , є) √1/2+i√3/2 .2. Розв’язати квадратне рівняння в множині комплексних чисел( ),ℂ зробити перевірку за теоремою Вієта, та зобразити кореніна : ℂ а) x2 +6x+13=0, б) 2x2 - 8x + 40=0.3. Розкласти многочлен на множники в і в :ℂ ℝа) х3 + 5x2 - 3x - 3, б) 2х3 + 6x2 +3x - 2.4. Виділити цілу частину: 3x3−4 x 2+7x2+4 .5. Розкласти на суму простих дробів: а) x+5

(x−2)(х+1) ,б) x+1x3+2 x2+2 x , в) x2−3 x+1x2 (х−2)2 .

Заняття 4. Невизначений інтеграл: методи інтегрування.1. Означення первісної на інтервалі з прикладом. Формула підведення під знак диференціалу з прикладом.2. Властивості первісної про додавання сталої і про дві первісні одної функції. Первісна для суми, різниці двох функцій.

11

Первісна домноженої на константу функції. Первісна функції з домноженим на константу аргументом. Первісна функції з зсунутим на константу аргументом.3. Означення невизначеного інтегралу.4. Невизначений інтеграл суми, різниці двох функцій. Невизначений інтеграл домноженої на константу функції. Похідна з невизначеного інтегралу. Диференціал з невизначеного інтегралу. Інваріантність формули невизн. інтегралу з прикладом.5. Теорема про існування первісної. Приклади функцій з неелементарними первісними.6. В чому полягає метод розкладу? Найпростіші перетворення під знаком диференціалу з прикладами. В чому полягає методпідведення під знак диференціалу?7. Формула інтегрування частинами. В чому полягає метод інтегрування частинами? І-ІV типи виразів, що інтегруються частинами з прикладами.1. Безпосереднє інтегрування та метод розкладу:∫10x dx ,∫ x3 d x ,∫5√x dx ,∫ dxx 4 ,∫ x (√ x+5 x3)dx ,∫ ax ex d x ,∫ cos2 x dx

cos2 x sin2 x ,∫ tg2 x dx ,∫2sin2 x2 dx ,∫ dx9+x2 ,

∫ (1+x )2 dxx2 ,∫ dx√5−x2 ,∫ dx

4−x2 ,∫ dx√ x2−16 ,∫ 2−√1−x2

√1−x2 dx .2. Підведення під знак диференціалу:∫ tg3 x d tg x ,∫ tg5 x dx

cos2 x ,∫( x2+3)15 d ( x2+3) ,∫ x2( x3−5)6 dx .3. Підведення під знак диференціалу:

12

∫e5 x d x ,∫ esin x cos x dx ,∫ xe x2 dx ,∫ 3−xdx ,∫ e√ x dx√ x ,

∫ x d xx2−3 ,∫ dx2−x ,∫ dx2 x−3 ,∫ dx(x 2+1)arctg x ,∫sin 2 xdx ,

∫e x cose x dx ,∫ cos (7 x−1)dx ,∫ tg x dx ,∫sin (lnx) dxx ,∫ x2 dxsin2 x3 ,

∫sin3 xcos x dx ,∫ e xdx√1−e2 x ,∫ x3 dxx8−1 ,∫ dx

2 x2+3 ,∫ 2 x−3x2−7 dx .4. Заміна змінної:∫ sin 3√ x dx3√ x2 ,∫ e√2 x−1 dx

√2 x−1 ,∫ (1+tg2 x )dx2tg x−3 ,∫ dx√e x−1 ,∫ dx

(1+ x)√ x .5. Інтегрування частинами: ∫(2 x+7)ex dx ,∫(x2−2 x+7)e x dx ,∫ ln x dx ,∫ ln x dxx3 ,∫ xsin 2 x dx ,∫ x arctg x dx ,∫e xsin x dx ,∫√ x2+5dx .

Домашнє завдання1. Безпосереднє інтегрування та метод розкладу:∫ (√ x+x 2 2x+3)dxx2 ,∫ dxx2+7 ,∫ dxx2−10 ,∫ dx

√ x2+3 ,∫ (√ x− x2)3 dxx ,∫(√ x+1)( x−√ x+1)dx ,∫ dx

2−x2 ,∫ dx√4+ x2 ,∫ dx

√8− x2 ,∫ 1+cos2 xdx

cos2 xsin2 x ,∫ d arcsin xarcsin x ,∫ d cos xcos2 x ,∫ d x2

sin2 x2 ,∫ ln5 xd ln x .2. Підведення під знак диференціалу:∫sin (10 x−3)d x ,∫ xdx

√ x2+1 ,∫ 3√tg2 xcos2 x dx ,∫ x2√ x3−4dx ,

13

∫e x ctg ex d x ,∫ 5−sin x cos x dx ,∫ x 7x2 dx ,∫ earcsin x dx√1− x2 ,

∫ d x√7+8 x2 ,∫ dx

√7−5 x2 ,∫ x2 dx√ x6−1 ,∫ x2 dx

cos2( x3−1) .3. Заміна змінної: ∫ dx

√ x (x−7) ,∫ e√x dx√ x ,∫ (1+tg2 x )dxtg2 x−1 .

4. Інтегрування частинами: ∫ x 2 cos4 xdx ,∫√x ln x dx ,∫arcsin x dx ,∫e5 x cos x dx .Заняття 5. Невизначений інтеграл: інтегрування основнихкласів функцій.1. Інтегрування простих раціональних дробів І-ІV типів. Інтегрування раціональних дробів. Теорема про первісну раціональної функції.2. Інтегрування виразів sinn x⋅cosm x , якщо один з степенів

непарний. Інтегрування виразів sinn x⋅cosm x , якщо обидвастепені парні невід’ємні. Інтегрування sin n x cos m x і т.п. Теорема про універсальну тригонометричну підстановку. Теорема про підстановку ttgx . Які підстановки роблять при інтегруванні R( tg x ) , R(ctg x ) ?3. Яку підстановку роблять при інтегруванні функції,...),,( 21 nn dcx baxdcx baxxR

? Тригонометричні підстановки в ірраціональних виразах. Інтегрування диференціального біному.1. Інтегрування найпростіших раціональних дробів:∫ dxx−3 ,∫ dx

( x−3)5 ,∫ xdx( x−3)4 ,∫ dxx2+2 x+5 ,∫ d x

√ x2+2 x+5 ,14

∫ (x+2)dxx2−7 x+13 ,∫ ( x−1)d x√5 x2−2 x+1 .

2. Інтегрування раціональних функцій:∫ (1−x)dxx3−4 x ,∫ (2 x−7)dx

(x2+ x−2)( x2+1) ,∫ ( x5+3)dxx2−1 .3. Інтегрування тригонометричних функцій: ∫sin3 xdx ,∫ cos3 xdx

sin4 x ,∫cos4 x dx ,∫sin2 x cos2 xdx ,∫sin 3x cos5 x dx ,∫ dx5−3 cos x ,∫ dx8−4sin x+7 cos x ,∫ dx

1+3cos2 x ,∫ dxsin6 x ,∫ tg3 x dx .

4. Інтегрування ірраціональних функцій:∫ dx3√ x+√ x ,∫ (√x+1+1)dx

√ x+1−1 ,∫ √4−x2 dxx ,∫ dxx √9+ x2 ,∫ dxx3√ x2−1 ,∫

3√1+√x dxx ,∫ dxx√1+x3 ,∫ dx3√1+x3 .

Домашнє завдання1. Інтегрування найпростіших раціональних дробів:∫ dx(2 x−1)4 ,∫ xdx

(x−1)4 ,∫ (3 x−1)dxx2−4 x+8 ,∫ (3 x−1)dx√ x2−4 x+8 ,

∫ d x2 x2−2 x+3 ,∫ (x−2)dxx2−4 x+7 .

2. Інтегрування раціональних функцій:∫

(2 x−1)dx( x−1)( x−2) ,∫ (x5+x 4−8)dxx3−4 x ,∫ dx

( x−1)2(x−2) .3. Інтегрування тригонометричних функцій: ∫sin4 x dx ,

15

∫cos3 x sin2 x dx ,∫ctg2 x dx ,∫ dxsin2 xcos4 x ,∫sin 15 xsin 10 x dx ,

∫ dx1−sin x ,∫ dxcos x+2sin x+3 ,∫ dxsin x ,∫ dxcos x .4. Інтегрування ірраціональних функцій: ∫ (√ x−1)dx

3√x+1 ,∫ dx√ x+1+√ x+13 ,∫√(1− x2)3 dx ,∫ dx

√1+x2 ,∫ x3 dx

3√(1+x2)2,∫ dxx4√ x2+1 ,∫ dxx 3√1+x2 .

Заняття 6. Визначений інтеграл1. Означення розбиття відрізка і діаметру розбиття. Означення і геометричний зміст інтегральної суми для даного розбиття і вибраних проміжних точок. Означення визначеного інтегралу.Геометричний зміст визначеного інтегралу. Фізичний та прикладний зміст визначеного інтегралу.2. Необхідна умова існування визначеного інтегралу. Достатні умови існування визначеного інтегралу.3. Властивості визначеного інтегралу для суми, різниці функцій,про винесення константи. Визначений інтеграл для невід’ємної функції. Властивість про оцінку визначеного інтегралу. Порівняння визначених інтегралів. Теорема про середнє значення функції. Адитивність визнач. інтегралу.4. Означення функції верхньої межі інтегралу. Теорема про функцію верхньої межі інтегралу. Формула Лейбніца для похідної з визначеного інтегралу із змінними межами інтегрування. Формула Ньютона-Лейбніца.5. Заміна змінної у визначеному інтегралі. Формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі.6. Знаходження площ з допомогою визначеного інтегралу: в декартових координатах, з параметрично заданими лініями, в 16

полярній системі координат. Формула для довжини дуги та диференціалу дуги кривої, заданої явно, параметрично, та в полярній системі координат. Формула для обчислення об’єму тіла через поперечні перерізи. Формула для об’єму тіла, утвореного обертанням навколо осі х криволінійної трапеції. План розв’язування прикладних задач з допомогою визначеного інтегралу. Формули для статичних моментів та моментів інерції для криволінійної трапеції та координати центра мас. 1. ∫

−12( x2−2 x+3)dx ,∫0−3 dx

√25+3 x ,∫01 e xdx1+e2 x ,∫0π/4 cos2 x dx ,

∫02 dx( x−1)2 ,∫01 x arctg x dx ,∫49 √ x dx

√ x−1 .2. Знайти площі фігур, обмежених лініями:

а) y=2 x−x2 , y=−x , б) y=x 2 , y=2/(2+ x2) ,в) x=acos3 t , y=a sin3 t , г) ρ=a √cos2ϕ .3. Знайти довжину дуги кривої:а) y=x 2/2−1, y≤0, б) x=t6/6 , y=2−t4/4, 1≤t≤2.4. Вивести формули для площі сфери та об’єму кулі.5. Знайти об’єм фігури, утвореної при обертанні астроїди навколо осі Ох.6. Швидкість тіла v=√1+t . Знайти шлях пройдений тіломза перші 10 секунд руху.7. Знайти масу стержня, якщо його густина задана формулоюρ=cos3 x ,0≤ x≤π/2.8. Обчислити роботу, затрачену на викачування рідини з гус-тиною ρ із конічного котла, з висотою Н і радіусом основи R.9. Знайти статичний момент відносно осі Оy підграфіка функції y=2 x−4 ,2< x<4.

17

7. Домашнє завдання1. ∫0

√2 /2 dx√1−x2 ,∫01 y 2 dy

√ y6+4 , ∫0π/2 sin3 y dy ,∫01 x e−x dx ,∫0π dx3+2cos x , ∫0π/4 dx

1+3cos2 x ,∫15 √ x−1dxx .2. Знайти площі фігур, обмежених лініями:а) y=3 x2−6 x , y=0, x=4, б) ρ=4 sin2ϕ .3. Знайти довжину дуги кривої:а) y=ln x , 3/4≤x≤12 /5, б) ρ=a (1+cosϕ) .4. Вивести формули для площі бічної поверхні конуса та йогооб’єму.5. Знайти об’єм фігури, утвореної при обертанні підграфіка функції y=tg x ,0≤x≤π/4 навколо осі Ох.6. Знайти силу тиску води на вертикальну трикутну площадкуз висотою Н, основою а, паралельною поверхні води, якщо протилежна вершина на поверхні води.Заняття 7. Невласні інтеграли. Обчислення подвійних тапотрійних інтегралів.1. Означення невласного інтегралу І-го роду з нескінченною верхньою межею. Коли він збігається і розбіг.? Геометричнийзміст невласного інтегралу І-го роду з нескінченною верхньою межею для невід’ємної функції. Означення невласного інтегралу І-го роду з нескінченною нижньою межею. Коли він збігається і розбігається? Означення невласного інтегралу І-го роду з обома нескінченними межами. Коли він збігається і розбігається? Означення фінітної функції. Невласні інтеграли від фінітних функцій. Означення невласного інтегралу ІІ-го роду з особливістю у верхній межі. Коли він збігається і розбігається? Геометричний зміст. Означ. невласного інтегралу ІІ-го роду з

18

особливістю у нижній межі. Коли він збігається і розбігається? Геометричний зміст. Означення невласного інтегралу ІІ-го роду з особливістю всередині проміжку. Коли він збігається і розбігається? Узагальнення формули Ньютона-Лейбніца для невласних інтегралів. 2. Означення хвоста інтегралу. Лема про хвіст інтегралу. Ознакипорівняння для невласних інтегралів. Ознака Веєрштраса. 3. Подвійний інтеграл: означення, геометр. і механічний зміст. Теорема існування. Власт. подв. інтегралу. Означ. циліндричної області та обчисл. подв. інт. для неї.4. Заміна змінних. Перехід до полярної системи координат в подвійному інтегралі. 5. Потрійний інтеграл: означення, геометр. і механ. зміст. Теорема існування. Властивості потрійного інтегралу. Означ. циліндричної області та обчисл. потр. інт. для неї.6. Заміна змінних в потр. інт. Перехід до циліндричної сист. коорд. Перехід до сферичної сист. коорд.7. Застосування кратних інтегралів: площа плоскої фігури, площа поверхні, об'єм тіла, моменти інерції, статичні моменти і координати центра мас.1. Обчислити невласні інтеграли: ∫0

+∞ e−3 x dx ,∫2+∞ dxx ln2 x ,∫−∞

0 dx4+x 2 ,∫

−∞

+∞ 2 xdxx2+1 ,∫01 dx√1− x2 ,∫12 dxx ln x ,∫01 ln x dx ,∫

−12 dxx .

2. Дослідити на збіжність інтеграли:∫1+∞ xdx

1+x7 ,∫0+∞ (x2−1)dx1+4 x3+x5 ,∫01 xdx3√(1−x)5 .

3. Перейти від подвійного інтегралу ∬D f ( x , y)dxdy до повторного для наступних множин D:а) трикутник з вершинами А(1; 2), B(4; 5), C(0; 2);

19

б) D обмежена лінією: x2+ y 2=4. (в декартовій та полярній системах координат);в) D обмежена лінією: x2+ y 2=2 x , y≤x . (в декартовій та полярній системах координат).4. Обчислити: а) ∬D (3 x+2 xy+5)dxdy , D обмежена лініями y=x , y=2 x , x∈[1 ; 2] ;б) ∬D (x 2+ y2)dxdy , D : 3≤x2+ y2≤4,0≤ y≤ x .5. Перейти від потрійного інтегралу ∭D f (x , y , z)dxdydz до повторного для наступних множин D:а) тетраедр, обмежений площинами: 2x+y+3z=6, x=0, y=0, z=0;б) D обмежена поверхнями: x2+ y 2≤4,x 2+ y2+z 2=16 (в декартовій та циліндричній системах координат);в) D обмежена поверхнями:x2+ y 2=z 2 , x2+ y 2+z2=1, z≥0. (в декартовій, циліндричній та сферичній системах координат).6. Обчислити: а) ∭D 3 x2 y dxdydz , D обмежена поверхнями,x2+ y2=z , y=0,x=1, y=x , z≥0 ;б) ∭D ( x2+ y2+ z2)dxdydz , D : x2+ y2+z2≤1 (в першому октанті).7. Знайти центр ваги півкруга x2+ y 2≤1 , y≥0.8. Знайти момент інерції відносно осі Оz циліндраx2+ y 2≤1 , z∈[0 ;1] .

20

Домашнє завдання1. Обчислити невласні інтеграли:∫0+∞ arctg x

1+x2 dx ,∫1e dxx ln2 x ,∫−∞

−1 dxx2 ,∫02 dx√2−x ,∫2+∞ dxx √ ln x ,

∫01 ln x dx ,∫

−12 dxx .

2. Дослідити на збіжність інтеграли: ∫1

+∞ xdx√ x7−1 ,∫0+∞ ( x2+x−3)dxx5+2 x 4+x ,∫12 xdx

√ x−1 .3. Перейти від подвійного інтегралу ∬D f ( x , y)dxdy до повторного для наступних множин D:а) трикутник з вершинами А(0; 1), B(0; 4), C(4; 4);б) D обмежена лінією: x2+ y 2=R2. (в декартовій та полярній системах координат);в) D обмежена лінією: x2+ y 2=4 x . (в декартовій та полярній системах координат).4.Обчислити: а) ∬D (x 2−2 xy)dxdy , D обмеж. лініями y=x 2 , y=2 x ;б) ∬D √ x2+ y2 dxdy ,D : x 2+ y2≤R2 ,0≤ y≤ x√3 .5. Перейти від потрійного інтегралу ∭D f (x , y , z)dxdydz до повторного для наступних множин D:а) тетраедр, обмежений площинами: x - y+2z=6, x=0, y=0, z=0жб) D обмежена поверхнями: x2+ y 2≤4, x 2≥ y2 , z=0, z=2 (в декартовій та циліндричній системах координат);

21

в) D обмежена поверхнями: x2+ y 2=z , z=4 (в декартовій, тациліндричній системах координат).6.Обчислити: а) ∭D x2 dxdydz , D обмежена поверхнями,y2= z , x=0, x=1, y=1, z=0 ;б) ∭D √ x2+ y2 dxdydz , D : R2≤x2+ y2+z2≤4 R2 .7. Знайти момент інерції круга відносно його діаметра.8. Знайти центр ваги конуса x2+ y 2≤z 2 , z∈[0 ;1] .

Заняття 8. Криволінійні інтеграли.1.Криволінійний інтеграл першого роду: означення, геометр. і механічний зміст, теорема існування, властивості. 2.Обчислення для кривих, заданих явно, параметрично. 3.Застосування криволінійного інтегралу першого роду.4.Криволінійний інтеграл ІІ роду: означення, механ. зміст, теорема існування, властивості.5.Обчислення для кривих, заданих явно, параметрично.6.Формула Гріна. Площа плоскої фігури через криволінійний інтеграл.7.Умова незалежності інтегралу від шляху інтегрування. Потенціальне векторне поле. Знаходження потенціалу.1.Обчислити: ∫l (x+ y)dl ,l : y=x−1, x∈[0 ;1] ;∫l ydl , l : y2=2 x , відрізана параболою x2=2 y ;∫l (x2+ y2)3 dl , l : коло x=a cos t , y=a sin t .

2. Знайти масу четвертини еліпса в першому квадранті, якщо густина в кожній точці дорівнює ординаті точки x2a2+

y2b2=1 .22

3. Обчислити: ∫l ydx+xdy , l :коло x=R cos t , y=Rsin t в першій чверті.4. Обчислити роботу сили: а) F⃗= y i⃗ +( y−x ) j⃗ вздовж параболи y=1− x2 від точки А(-1; 0) до точки В(0; 1),б) F⃗=( x+ y2) i⃗ +( y−x) j⃗+z k⃗ вздовж відрізка АВ, де А(-1; 0; 1), В(0; 1; 2).5.Обчислити безпосередньо та за формулою Гріна∮l (1−x2) ydx+ x (1+ y2)dy , l :коло x2+ y2=R2 за

годинниковою стрілкою.6. Обчислити за формулою Гріна∮l 2 (x2+ y2)dx+( x+ y)2 dy , l : контур трикутника з

вершинами А(1; 1), В(2; 2), С(1; 3).7. Довести, що інтеграл не залежить від шляху інтегрування та обчислити його ∫AB (2 xy−5 y3)dx+(x2−15 xy2+6 y)dy ,якщо a) A(0; 0), B(2; 3); б) A(-1; 2), B(2; -3).8. Знайти функцію u та обчислити ∫

(0 ;0)(π ;π) du , якщо:

а) du=(2 x+3 y)dx+(3 x−4 y )dy ;б) du=(1−e x−y+cos x)dx+(ex−y+cos y)dy .9. Чи буде силове поле F⃗=( x4+4 xy3) i⃗ +(6 x 2 y2−5 y4) j⃗потенціальним? Якщо так, то знайти його потенціал і обчислити роботу цього поля по переміщенню матеріальної точки з точки А(-2; -1) до точки В(3; 0).

23

Домашнє завдання1.Обчислити: ∫l dl

√ x2+ y2+4 , l - відрізок ОА, О(0; 0), A(1; 2);∫l ydl√ x ,l : y2= x3 , від точки О(0; 0) до точки В(1; 1);

∫l √2 y dl , l : перша арка циклоїди { x=a (t−sin t ) ,y=a (1−cos t). (Відп . 4π√a .)2. Знайти момент інерції однорідного кола (γ=1) x2+ y 2=a2 відносно його діаметра. (Відп. πa3.)3. Обчислити:∫l (x2−2 xy )dx+(2 xy+ y2)dy ,l : y=x2, x∈[1 ;2] ;

∫l − ydx+xdy , l :циклоїда x=a (t−sint ) , y=a (1−cos t) , перша арка .4. Обчислити роботу сили:а) F⃗=( y−z ) i⃗ +( z− x) j⃗+(x− y) k⃗ вздовж одного витка гвинтової лінії x=cos t , y=sin t , z=t / (2π) в напрямку зростання параметра t; б) F⃗= y i⃗ −x j⃗ в додатному напрямку вздовж еліпсаx=a cos t , y=b sin t .5.Обчислити безпосередньо та за формулою Гріна∮l −x 2 ydx+xy 2 dy , l : коло x2+ y2=R2 за годинниковою

стрілкою.6. Довести, що інтеграл не залежить від шляху інтегрування та обчислити його ∫AB x 2 dx+ y2 dy , якщо A(0; 0), B(1; 4).

24

7. Знайти функцію u та обчислити ∫(0; 0)(π ;−π) du , якщо:

а) du=(sin y− y sin 2 x)dx+(xsin y+cos2 x+1)dy ;б) du=(e x+ y+cos (x− y ))dx+(e x+ y−cos( x− y)+2)dy .8. Чи буде силове поле F⃗=2 xy i⃗ +x2 j⃗ потенціальним? Якщотак, то знайти його потенціал і обчислити роботу цього поля по переміщенню матеріальної точки вздовж еліпса x2 /4+ y2=1від точки А(2; 0) до точки В(0; 1).

Заняття 9. Ряди. 1.Означення числового ряду, частинних сум, збіжності і суми ряду. Властивості рядів. Геометричний ряд. Необхідна умова збіжності ряду.2.Ряди з додатними членами. Властивість частинних сум дод. ряду. Ознаки порівняння, Д'аламбера , радикальна, та інтегральна Коші. Узагальнено гармонічні ряди.3.Знакопочережні ряди. Ознака Лейбніца. Знакозмінні ряди: абсолютна і умовна збіжність. Ознака Вейєрштрасса. Узагальнені ознаки Д'аламбера і радикальна Коші. Теореми про перестановку членів абсолютно і умовно збіжних рядів.4.Функціональні ряди: означення, область збіжності. Рівномірна збіжність, мажорованість. Їх зв'язок. Теореми про рівномірно збіжні ряди.5.Степеневі ряди: означення, центр степ.ряду. Теорема Абеля, радіус та інтервал збіжності. Теореми про рівномірну збіжність почленне інтегрування та диференціювання степ. рядів. 6.Розклад функції в ряд Тейлора і Маклорена. Необхідна і достатня умова збіжності ряду Тейлора. Достатня умова збіжності ряду Тейлора. Ряди Маклорена для функцій ex, sinx, cosx, ln(1+x),(1+x)a. Застосування степеневих рядів до розв'язування диф. рівнянь та їх систем.25

Демидович. Збірник задач з мат. аналізу для ВТУЗІВ, стор. 282 1. Дослідити ряди на збіжність та знайти їх суми за означенням:∑n=1∞ 1n(n+1) , 1+ 19+ 181+... ,1−1+1−1+... .

2. Дослідити ряди на збіжність за необхідною ознакою, за ознаками порівняння чи за інтегральною ознакою:∑n=1∞ n+12 n+1 ,∑n=1

∞ 2n2+n−13n3+2n2−2n+5 ,∑n=1

∞ 5n√n−nn3+1 ,∑n=1∞ arcsin 1

√n ,∑n=2∞ 1n ln n ,∑n=1

∞ 5(n+1) ln3(n+1) .

3. Дослідити ряди на збіжність за ознаками Даламбера чи радикальною Коші:∑n=1∞ n+1n2n ,∑n=1

∞ (n+1)!n2(n+2) ,∑n=1∞

( 5n−37n+1 )n ,∑n=1

∞

( 2n−32n+1 )n2+1 .

4. Дослідити знакозмінні ряди на абсолютну та умовну збіжність: ∑n=1

∞ (−1)n n2n2−1 ,∑n=1

∞ (−1)n(n+1)n! .5. Знайти центри, інтервали, радіуси та області збіжності степе- невих рядів: ∑n=1

∞ ( x−1)n nn2+3 ,∑n=1∞ (x+2)nn ! ,∑n=1

∞

((2 x−3)n4 n+1 )n .

6. Розкласти наступні функції в ряд Маклорена, використовуючивідомі розклади: sin√ x , ex2

−1x , 4√16−x .7. Обчислити наближено вирази з точністю до 0,01:

cos0,5,∫01 e−x−1x dx ,∫01 √1+x4 dx ,∫01/2 dx

1− x7 .8. Знайти три ненульові доданки розкладу в ряд Тейлора розв’язку диференціального рівняння:

26

y '= y+ x2 , y (0)=−2 ; y ' '+ xy=0, y (0)=0, y ' (0)=1.Домашнє завдання1. Дослідити ряди на збіжність та знайти їх суми за означенням:∑n=0∞ 5

2n ,∑n=0∞ (−4)n+1

3n .2. Дослідити ряди на збіжність за необхідною ознакою, за ознаками порівняння чи за інтегральною ознакою:∑n=1∞ 5n2+12 n+1 ,∑n=1

∞ ln n ,∑n=1∞ n−1n3+2n+5 ,∑n=1

∞ nn√n+3 ,∑n=1∞ arctg n−2n2√n ,∑n=2

∞ 1n√ ln n ,∑n=1∞ 3(n+3) ln2(n+3) .

3. Дослідити ряди на збіжність за ознаками Даламбера чи радикальною Коші:∑n=1∞ n3 2n−1(n+1)3n ,∑n=1

∞ n5n(n+2)! ,∑n=1

∞

( n−12 n+1 )n ,∑n=1

∞

( nn+1 )n2 .

4. Дослідити знакозмінні ряди на абсолютну та умовну збіжність: ∑n=0

∞ (−1)n+1n+1 ,∑n=1∞ (−1)n n

2n .5. Знайти центри, інтервали, радіуси та області збіжності степе- невих рядів: ∑n=1

∞ x nn2 ,∑n=1∞ ( x+5)n n!

100n ,∑n=1∞

(( x−1)n2 n−1 )n .

6. Розкласти наступні функції в ряд Маклорена, використовуючивідомі розклади: cos x2−1x2 , 5

3+x 2 ,√9−x .7. Обчислити наближено вирази з точністю до 0,01:

sin 1,∫01 e−x2 dx ,∫01/2

√1−x2 dx ,∫01/2 ln(1−x2)dx .27

8. Знайти три ненульові доданки розкладу в ряд Тейлора розв’язку диференціального рівняння:y '=2 y+x−1 , y (0)=0 ; y ' '+ 2x y '+ y=0, y (0)=1, y ' (0)=0.Заняття 10. Диференціальні рівняння (ДР) І порядку.Основні типи.1.Означення ДР і його порядку. Загальний вигляд ДР першого порядку і ДР першого порядку, розв’язаного відносно похідної. ДР І-го порядку в симетричній формі. Означення розв’язку ДР. Означення інтегралу ДР. Означення інтегральної кривої ДР. .Що таке інтегрування ДР?2.Вигляд задачі Коші для ДР І-го пор. Геометр. зміст зад. Коші для ДР І- го пор. Теорема про існування та єдиність розв. задачі Коші.3.Поле напрямків. Ізокліни.4.Означення загального розв’язку ДР. Означення часткового розв’язку ДР. Означення заг. і частк. інтегралу ДР. Означення особливого розв'язку. В яких точках площини, згідно теореми про єдиність розв'язку, може проходити графік особливого розв'язку? 5. Означення ДР, розв’язних в квадратурах. Означення ДР з відокремлюваними змінними. Як впізнавати рівняння з відокремлюваними змінними розв’язані відносно похідної? Як впізнавати рівняння з відокремлюваними змінними в симетричній формі? Як розв’язувати ДР з відокремлюваними змінними? Рівняння, що зводяться до ДР з відокремлюваними змінними. Метод розв'язання.6.Означення однорідної функції n-го степеня і приклад. Означення однорідного ДР І-го порядку. Як впізнавати однорідніДР І-го пор. в симетр. формі? В якому вигляді можна подати однорідне ДР І-го порядку, розв’язане відносно похідної? Метод розв’язання однорідного ДР І-го порядку.

28

1. Розв’язати ДР з відокремлюваними змінними:xyy '=1− x2 ; y '=10x+ y ;(x+xy 2)dx+( y+ x2 y)dy=0, y (0)=1.2. а) Моторний човен рухається в спокійній воді зі швидкістю v=10км/год. На повному ходу його мотор був виключений, і через t=20 с швидкість човна зменшилась до v1= 6 км/год. Вважаючи, що сила опору води пропорційна швидкості, знайти швидкість човна через 2 хвилини після виключення мотору. Знайти відстань, пройдену човном за 1 хвилину після виключення мотору.б) Знайти рівняння лінії, що проходить через точку (2;3) та має таку властивість, що відрізок будь-якої її дотичної, розміщений між осями координат, ділиться пополам точкою дотику. 3. Розв’язати однорідні ДР:y '= y2x2−2 ; xy '= y ln yx ;( x2−3 y2)dx+2 x ydy=0, y (2)=1.Домашнє завдання1. Розв’язати ДР з відокремлюваними змінними:tg x sin2 ydx+cos2 x ctg y dy=0 ; y ' sin x= y ln y , y (π/2)=e .2. а) Швидкість охолодження тіла пропорційна різниці між температурами тіла та середовища. Тіло з температурою 25°С поміщено в термостат (температура в ньому підтримується 0°С).Коли тіло охолодиться до 10°С, якщо через 20 хвилин воно охолодилось до 20°С? (Відп.≈82хв.) б) Знайти рівняння лінії, для якої квадрат довжини відрізка, що відтинається дотичною від осі ординат, дорівнює добутку

координат точки дотику. (Відп. x=ce±2 √ yx . )3. Розв’язати однорідні ДР: y '= y2x2−2 ; xy '= y−x ;xydy=(x2+ y2)dx ;(xy '− y )arctg yx= x , y (1)=0 .

29

Заняття 11. Лінійні та рівняння Бернуллі. Типи ДР вищихпорядків, що допускають пониження порядку.1.Означення лінійного ДР І-го порядку. Означення лінійного однорідного і лінійного неоднорідного ДР І-го порядку. В чому полягає метод варіації довільної сталої для ЛНДР І-го порядку? В чому полягає метод Бернуллі? Означення рівняння Бернуллі. Яким методом розв’язують рівняння Бернуллі? Як можна перетворювати рівняння для перевірки приналежності їх до лінійного чи Бернуллі?2.Як виражають в прикладних задачах швидкість зміни функції Q відносно деякої величини P? Який геометричний зміст похідної.3.ДР в повних диференціалах. Як їх впізнавати? Інтегруючий множник. Знаходження інтегруючого множника, залежного тільки від одної змінної.4.ДР вищих порядків. Вигляд задачі Коші. Фізичний зміст задачіКоші для ДР 2-го порядку. Геометричний зміст задачі Коші для ДР 2-го порядку. Теореми про існування та єдиність розв'язку задачі Коші для ДР n-го порядку. Загальний розв. і загальний інтеграл ДР n-го порядку. Розв'язування задачі Коші при відомому заг. розв. Крайові задачі для ДР вищих порядків.5.ДР виду y(n)= f ( x) . Пониження порядку в ДР видуF (x , y(k ) , y(k + 1) ,... , y(n))=0. Пониження порядку в ДР видуF ( y , y ' , y ' ' ,... , y(n ))=0. Пониження порядку в ДР, що є повними похідними, або стають ними після домноження на інтегруючий множник.1. Розв’язати ДР, які є лінійними або Бернуллі:y '− yx=√ x ; xy '+ y= y2 ln x ; x '− xy=ln y , x (1)=2 ;2.Визначити типи ДР І-го пор.: a )(x+ y) y '=x (ln y−ln x); b ) y '=2 xy+x3 ; c ) xy '+ y= y2 ; d ) x '−x tg y= 1cos y ;

30

e )e x−y y '=1 ; f ) y '= yx (1+arcsin yx ); g ) y '= xx2 sin y−5 y .3. Розв’язати ДР в повних диференціалах, або які мають інтегруючий множник, залежний тільки від одної змінної:(x2+6 xy2)dx+(6 x2 y+4 y3)dy=0 ;(x cos y− y sin y)dy+( xsin y+ y cos y)dx=0.4. Розв’язати ДР, що допускають пониження порядку:y ' '=x+sin x ; y ' '= y 'x +x ; y ' ' tg x= y '+1 ;2 y '2=( y−1) y ' ' ;y y ' '− y '2=0, y (0)=1, y ' (0)=2 ; y ' '=ln x .5. Розв’язати однорідні ДР відносно у та його похідних, або ДР,

які є точними похідними: xy y ' '+ x y '2− y y '=0 ;y ' ' 'y ' ' −3 y ' y ' '1+ y '2 =0 ; y ' '+x3 y '+ y '2y =0(μ= 1y ' ) .

Домашнє завдання1. Розв’язати ДР, які є лінійними або Бернуллі: dydx + 2 yx =x3 ;y '− ycos x=sin 2 x , y(0)=−1 ; xy '+ y=2 y2 ln x , y(1)=1 /2.2.Визначити типи ДР І-го пор.: a )(1+e2 x) y2 dy=e x dx ;b ) x y ' sin yx + x= y sin yx ; c ) xy '= y+x2 cos x ;d ) y '− yx−1= y2x−1 ; e )( y2−6 x ) y '+2 y=0.3. Розв’язати ДР в повних диференціалах, або які мають інтегруючий множник, залежний тільки від одної змінної:(x2+ y 2+2 x )dx+2 xydy=0 ; (x+ y2)dx=2 xy dy .4. Розв’язати ДР, що допускають пониження порядку:xy ' '= y ' , y (2)=2, y ' (2)=3 ; x2 y ' '=1 ;

31

y ' '=2− y ; y ' '+ y 'x =0 ; y ' '=9e3 x , y (0)=1, y ' (0)=3.5. Розв’язати однорідні ДР відносно у та його похідних, або ДР,які є точними похідними:x ( y y ' '+ y '2)+ y y '=0 ; y y ' '− y ' 2=0(μ=1/ y2) .

Заняття 12. Лінійні ДР вищих порядків.1.Лінійні ДР n-го порядку: однорідні та неоднорідні. Теорема існування та єдиності розв'язку задачі Коші для ЛНДР. 2.Властивості розв'язків ЛОДР. Означення лінійно залежних і лінійно незалежних функцій на відрізку. Приклади лінійно залежних і лінійно незалежних функцій на відрізку.3.Визначник Вронського. Теорема про вронськіан лінійно залежних функцій. Теореми про вронськіан лінійно незалежних розв'язків ЛОДРn-го порядку. Теорема про структуру загального розв'язку ЛОДР n-го порядку. Теорема про знаходження вронськіана для ЛОДР n-го порядку. Формула Остроградського-Ліувілля. Застосування формули Остроградського-Ліувілля для знаходження загального розв'язку ЛОДРІІ-го порядку при відомому одному лінійно незалежному розв'язку. 4.Комплекснозначна функція дійсного аргументу. ЇЇ неперервність та диференційованість. Функція eλ x , λ∈ℂ , та її властивості. Показникова форма комплексного числа.5.Складання характеристичного многочлена для ЛОДР n-го порядку з постійними коефіцієнтами. Лінійно незалежні розв'язки ЛОДР з ПК, що відповідають дійсному однократному і s-кратному та комплексно-му однократному і s-кратному кореням характеристичного рівняння. 6.Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння n-го порядку. Властивості розв'язків. Принцип суперпозиції для ЛНДР. Метод варіації довільної сталої для ЛНДР n-го порядку.1. Розв’язати лінійні однорідні ДР з постійними коефіцієнтами (ЛДР з ПК): y ' '+5 y '−6 y=0 ; y ' '− y=0 ; y ' '+9 y '+20 y=0 ; y ' '+4 y '+4 y=0, y (0)= y ' (0)=2 ; y ' ' '− y ' '− y '+ y=0.32

2. k1 =k2 =k3 =3, k4 =k5 =2+i, k6 =k7 =2 - i — корені характеристичного рівняння деякого ЛОДР з ПК. Записати його загальний розв’язок.3. Розв'язати лінійні ДР: однорідні ІІ-го порядку, знаючи один з розв’язків, або неоднорідні, методом варіації довільних сталих:x2 y ' '+3 xy '+ y=0, y1=1/ x ; xy ' '+ y '=0, y1=1 ; xy ' '+ y '= x2 ;y ' '+ y '=tg x ; y ' '+2 y '+ y=e−x / x .Домашнє завдання1. Розв’язати лінійні однорідні ДР з постійними коефіцієнтами (ЛДР з ПК): y ' '−9 y=0 ; y ' '− y '=0 ; y ' '+ y=0 ; y ' '−2 y '+2 y=0 ;y ' '+4 y '+13 y=0, y (0)=1 , y ' (0)=−1 ; y ' ' '−13 y ' '+12 y '=0 ;y IV−4 y ' '=0 ; yIV + y=0.2. k1 =k2 =k3 = 0, k4 =k5 = i, k6 =k7 = -i — корені характеристичного рівняння деякого ЛОДР з ПК. Записати його загальний розв’язок.3. Розв'язати лінійні ДР: однорідні ІІ-го порядку, знаючи один з розв’язків, або неоднорідні, методом варіації довільних сталих: x2 y ' '− xy '−3 y=0, y1=x3 ; x2 y ' '−4 xy '+6 y=0, y1=x2 ;x2 y ' '−4 xy '+6 y=x4−x2 ; y ' '−2 y '+ y=e x / x .

Заняття 13. ЛНДР з ПК зі спеціальними правими частинами.Системи ДР.1.Вигляд часткового розв'язку для ЛНДР з ПК із правими частинами видів f (x )=Pn(x )eax , f ( x)=Pn(x )eax cosbx+Qm( x)eax sin bx .2.Означення системи ДР, її розв'язку. Система ДР в нормальній формі, її порядок. Задача Коші для системи ДР в нормальній формі, теорема про існування та єдиність розв'язку.3.Лінійна система (однорідна та неоднорідна) в нормальній формі. Вигляд ЛНДР та ЛОДР n-го порядку. Матричний запис лінійної системи диференціальних рівнянь в нормальній формі. 4.Інтегрування систем ДР методом виключення.5.Власні вектори і власні числа матриці. Метод розв'язування лінійних однорідних систем з постійними коефіцієнтами в нормальній формі з 33

допомогою характеристичного рівняння. Те ж саме для неоднорідних систем.1.Вказати вигляд часткових розв’язків ЛНДР з ПК зі спеціальними правими частинами: y ' '−4 y '+4 y=(2 x−3)e3 x ;y ' '−4 y '+4 y=xe2 x ; y ' '−2 y '=x2−x ; y ' '−16 y=3cos 4 x−sin 4 x ;y ' '+16 y=cos 4 x ; y ' '+ y=x 2sin x ; y ' '−2 y '+5 y=ex x cos2 x .2.Розв’язати ЛНДР з ПК зі спеціальними правими частинами:2 y ' '+ y '− y=2ex ; y ' '−6 y '=2 x2− x+3, y (0)= y ' (0)=2 ;y ' '−5 y '+6 y=sin 4 x+2cos 4 x ; y ' '+ y=sin x , y (0)= y ' (0)=1 ;y ' '− y '=2 x−1−cos x .3.Визначити тип та розв’язати систему ДР двома методами:{x '=2 x+ y ,y '= x+2 y ;{x '=4 x+6 y ,y '=2 x+2 y ; { x '=e3 t− y ,y '=2e3t− x , x (0)=2, y (0)=−2.

4. Знайти закон руху матеріальної точки з масою m, що рухається по прямій під дією сили, направленої до початку координат і прямо пропорційній відстані точки до початку координат (з коефіцієнтом пропорційності а), якщо опір середовища відсутній, але на точку діє ще зовнішня сила вздовж прямої руху F=A sinω t .(Відп . x=c1 cosβ t+c2 sinβt+ Aa−mω2 sinω t , якщоω≠β=√ am ;x=c1 cosβt+c2 sinβ t− At2βω , якщоω=β .)

Домашнє завдання1.Вказати вигляд часткових розв’язків ЛНДР з ПК зі спеціальними правими частинами: y ' '−5 y '+6 y=(5 x+3)e3 x ;y ' '−5 y '+6 y= x2−5 x+3 ; y ' '−5 y '+6 y=e x ;y ' '−2 y '−8 y=8cos 4 x ; y ' '−2 y '+10 y=x sin 3 x .2.Розв’язати ЛНДР з ПК зі спеціальними правими частинами:y ' '− y=ex ; y ' '−2 y '+2 y=x2 , y (0)=1 , y ' (0)=0 ;

34

y ' '− y '+2 y=8sin 2 x ; y ' '−2 y '+2 y=4e xsin x ;y ' '−4 y '+4 y=x+e2 x .3.Визначити тип та розв’язати систему ДР двома методами:{x '=−3 x− y ,y '= x− y ; {x '=−9 y ,y '=x ; {x '= y+t ,y '=x−t , x(0)=1, y(0)=0.

Заняття 14. Стійкість розв’язків ДР та їх систем. Розклад функційв ряд Фур’є.1.Стійкі многочлени. Необхідна умова стійкості многочлена. Критерій Рауса-Гурвіца стійкості многочлена.2.Означення стійкості за Ляпуновим розв'язку ДР та систем ДР. Означення асимптотичної стійкості розв'язку ДР та систем ДР. Незбурений та збурений розв'язки. Зведення задачі про стійкість розв'язку лінійних ДР та їх систем до задачі про стійкість нульового розв'язку відповідних однорідних ДР та їх систем. 3.Теореми про стійкість, асимптотичну стійкість та нестійкість розв'язків ЛДР з ПК через корені характеристичного рівняння. Те ж саме для систем ЛДР з ПК.4.Ортогональна і ортонормована системи функцій на відрізку. Її власт. Ряди Фур'є по ортонормованій і по тригонометричній системах функцій. Достатня умова збіжності ряду Фур'є.5.Формули для розкладу парних і непарних функцій в ряд Фур'є, розкладу по синусах чи по косинусах. Розклад функцій, заданих на відрізку [-l; l]. 6.Теореми про рівномірну збіжність, почленне диференціювання та інтегрування. Середнє квадратичне відхилення функцій на відрізку. Оптимальність частинних сум ряду Фур'є. Нерівність Бесселя та рівність Парсеваля. Комплексна форма ряду Фур'є. 7. Фізичний зміст розкладу функції в ряд Фур'є. Спектр функції, його зображення.1. Дослідити розв’язок задачі Коші на стійкість за означенням:y '+6 y=0, y (0)=0.35

2.Дослідити стійкість розв’язків ДР з допомогою характеристичних рівнянь: y ' '−7 y '+12 y=0 ; y ' '+7 y '+12 y=0 ; y ' '+5 y '=0 ;yV+ y IV+7 y III+4 y ' '+10 y '+3 y=0 ;y(4)+2 y(3)+4 y ' '+2 y '+5 y=0 ; y III+a y ' '+2 y '+ y=0. При яких α розв’язки останнього ДР є стійкими?3.Дослідити стійкість розв’язків систем ДР:{ x '=x− y ,y '=2 x+3 y ; { x '=2 x− y+2 z ,y '=5 x−3 y+3 z ,z '=−x−2 z .4.Розкласти в ряд Фур’є функції. Зобразити графіки функцій та сум їх

рядів Фур’є: f (x )={1,−π< x<0 ,−1,0<x<π ; f (x )=x2 , x∈(−π ;π);f (x )=π /4, x∈(0 ;π) , по синусах і знайти

∑n=0∞ (−1)n2n+1 , 1+ 15−17− 111+ 113+ 117−... ; f (x )=|x|, x∈(−1 ;1).

Домашнє завдання1. Дослідити розв’язок задачі Коші на стійкість за означенням:t y '− y=0, y (0)=0.2.Дослідити стійкість розв’язків ДР з допомогою характеристичних рівнянь: y ' '+4 y=0 ; y ' '+4 y '+5 y=0 ; y ' '+5 y '=0 ;yV+5 yIV +10 y III+11 y ' '+7 y '+2 y=0 ;y(4)+4 y(3)+3 y ' '+3 y '+ y=0 ; yIII +6 y ' '+11 y '+6 y=0.3.Дослідити стійкість розв’язків систем ДР:{x '=3 x−5 y ,y '=2 x−3 y ; { x '= x−2 y ,y '=2 y−3 x ; { x '= x− y−z ,y '=x+ y−3 z ,z '=x−5 y−3 z .4.Розкласти в ряд Фур’є функції. Зобразити графіки функцій та сум їх

рядів Фур’є: f (x )={0,−π<x<0 ,x ,0<x<π ; f (x )=e x , x∈(−π ;π);36

f (x )=x , x∈(0 ; π) , по синусах і по косинусах та знайти∑n=0∞ 1(2 n+1)2 ; f (x )=1 , x∈(0 ; l) , по синусах та по косинусах.

Заняття 15. Перетворення Лапласа. Інтеграл та перетворенняФур'є.1.Операційне числення: основні означення. Теореми про область визначення зображення та про взаємну однозначність перетворення Лапласа.2.Властивості перетворення Лапласа: лінійність, зміна масштабу аргументу оригіналу. Зміщення аргументу зображення та оригіналу. Властивості перетворення Лапласа: диференціювання та інтегрування зображення та оригіналу. 3. Таблиця основних оригіналів та їх зображень.4. Означення згортки. Згортка оригіналів.5.Операційний метод розв'язування ЛДР з ПК та їх систем. Знаходження функції Гріна та теореми розкладання. 6.Дельта-функція. Решітчасті функції. Дискретне перетворення Лапласа решітчастої функції. Властивості дискретного перетворення Лапласа. Застосування дискретного перетворення Лапласа до розв'язування різницевих рівнянь. 7.Перехід від ряду до інтегралу Фур'є. Різні форми інтегральної формули Фур'є. Перетворення Фур'є та спектральна щільність. Умови їх існування. Властивості перетворення Фур'є.1.Знайти за означенням зображення функції f(t) = e2 t, t≥0.2.Чи може функція F(p)=1/sin p бути зображенням деякого оригіналу?3.Чи є функція оригіналом f(t) = et2 , t≥0?4.Знайти зображення оригіналів: 3t4+t+2 - 2sin 3t + 5ch t + 3e- t;cos2t cos7t; cos23t; t sh 3t; t2 cos t; e3t sint; e-t sh5t; ∫0

tτ sh3 τ d τ ;∫0t τ2 cos τ d τ ;∫0t τ sh3 τ d τ ; et−1t ; sh tt ;

37

sin(t−b)χ(t−b) ; ch(t−3)χ (t−3) ;{ t ,0≤ t≤1 ,1,1≤t≤2 ,0 , t∉[0 ;2] ;|sin t|χ(t) ;∫0t et−τsin τ d τ ;∫0t (t−τ)2 ch τd τ .

5.Знайти оригінали для зображень:2 p−5p2+4 p+3 ; 3− p4 p2+4 p−3 ; 2 p+5p( p−1)( p+5) ;1−cos(1/ p).

6.Розв’язати операційним методом задачі Коші для ДР або їх систем:x '+ x=e−t , x (0)=1 ; x ' '+ x=2cos t , x (0)=0, x ' (0)=−1 ;{x '=−x+ y+e t ,y '=x− y+et , x (0)= y(0)=1.

7. Знайти перетворення Фур’є наступних функцій. Побудувати графікифункцій та їх зображень:f (t)={ 1,0≤t≤a ,0 , t∉[0 ;a ]; f (t)={cos t ,−π/2≤t≤π /2 ,0 , t∉[−π/ 2 ;π /2] . Домашнє завдання1.Знайти за означенням зображення функції f(t) = t, t≥0.2.Чи може функція F(p)= p бути зображенням деякого оригіналу?3.Чи є функція оригіналом f(t) = sin t2 , t≥0?4.Знайти зображення оригіналів: 5t3+2t+3 - 2sh t + 5cos 7t + 2e-2 t;cost sint; sin23t; t sin t; e2t cos2t; e-3t cht; ∫0

tτ sin τ d τ ;∫0t e2 τcos 2 τd τ ; 1−cos tt ; sin tt ;

(t−2)sin(t−2)χ(t−2) ; et−3χ(t−3);{sin t , 0≤ t≤π ,0, t∉[0 ; π];38

∫0t cos (t−τ)sin τ d τ ;∫0t ( t−τ)cos2 τ d τ .

5.Знайти оригінали для зображень:3 p+1p2+6 p+10 ; 3+2 pp2+4 p ; 2 p2+5 p( p+1)( p−2)2 ;(1+ p2)−1 /2 .

6.Розв’язати операційним методом задачі Коші для ДР або їх систем:x '+2 x=5, x (0)=2 ; x ' '+5 x=3+t , x (0)=0,x ' (0)=1 ;{x '=− y ,y '=− x , x (0)=1, y (0)=−1.

7. Знайти перетворення Фур’є наступних функцій. Побудувати графікифункцій та їх зображень:f (t)={ t ,−1≤t≤1 ,0 , t∉[−1 ;1] ; f ( t)={sin t ,0≤t≤π ,0 , t∉[0 ;π ].Заняття 16. Основні формули для ймовірностей подій.1.Правило множення комбінаторики. Кількість розміщень з n елементів по k. Кількість перестановок з n елементів. Кількість комбінацій з n елементів по k.2.Відносна частота, її властивості. Статистичне означення ймовірності. Класичне означення ймовірності події.3.Означення неможливої та достовірної подій. Означення протилежної події. Означення суми і добутку подій. Означення несумісних подій. Означення повної групи несумісних подій.4.Аксіоми теорії ймовірностей.5.Формула для ймовірності протилежної події. Формула ймовірності суми для будь-яких двох подій.6.Умовна відносна частота, формула для відносної частоти добут-ку подій. Умовна ймовірність, формула для ймовірності добутку подій. Незалежні події, формула для ймовірності їх добутку.7.Формула повної ймовірності. Формула Байєса.

39

8. Повторні випробування, формула Бернуллі. Формула Пуассона. Локальна формула Лапласа. Інтегральна формула Лапласа.1.Задача на класичне означення ймовірностей. Яка ймовірність випадання не менше п’яти очок при одному киданні кубика.2. Задача на гіпергеометричну ймовірність. В урні 5 білих і 7 чорних куль. Яка ймовірність того, що з п’яти витягнутих куль дві будуть білими.3. Задача на формулу множення ймовірностей. В ящику є деталі трьох сортів: 3, 5, 7 відповідно першого, другого і третього сортів. Послідовно виймають три деталі. Яка ймовірність того, що перша з них буде першого сорту, друга – другого, третя – третього.4.Задача на незалежні події. На буд. майданчик завозять пісок три машини незалежно одна від одної. Ймовірності для кожної машини 0,5; 0,7; 0,9 відповідно. Знайти ймовірність завезення піску а) рівно одною машиною; б) хоча б одною машиною; в) не менше ніж двома машинами.5.Розрахувати ймовірність безвідмовної роботи блок-схеми, якщо прилади працюють незалежно один від одного. 0,6 0,9 0,7 0,7 6.Задача на формулу Бернуллі. Вважаючи ймовірність народжен-ня хлопчика 0,5 знайти ймовірність того, що серед шести новона-роджених буде а) три хлопчика; б) не менше п’яти хлопчиків.7.Задача на формулу повної ймовірності. У цех надходять деталі з трьох верстатів: 40% з першого, 35% з другого та 25% з третього. Ймовірність виготовлення бракованої деталі першим верстатом 0,03, другим – 0,02, третім – 0,04. Який процент бракув цеху?8.Задача на формулу Байєса. В зад. 6 після вибору бракованої де-талі знайти ймовірність того, що вона виготовлена ІІІ верстатом.40

9. Задачі на наближені формули до формули Бернуллі. а) Нехай 1% деталей браковані. Знайти ймовірність того, що серед двохсот деталей буде не більше двох бракованих; б) Ймовірністьвиготовлення робітником деталі першого сорту 0,7. Яка ймовірність виготовлення рівно 340 ( від 340 до 360) деталей першого сорту із 500 виготовлених за зміну?Домашнє завдання 1.Задача на класичне означення ймовірностей. а) В ящику є 7 білих, 3 червоних та 8 чорних куль і витягують одну кулю. Знайти ймовірність того, що вона не біла. б) Яка ймовірність того, що при двох киданнях кубика сума очок буде не менше 11.2.Задача на гіпергеометричну ймовірність. В лотереї 15 квитків, 5 з них — виграшні. Яка ймовірність того, що з чотирьох куплених квитків два будуть виграшними.3.Задача на формулу множення ймовірностей. З 12 білетів, зану-мерованих числами від 1 до 12 навмання вибирають послідовно 2 білети. Знайти ймовірність того, що а) номер першого білета є парним, а другого — непарним; б) обидва номери — парні.4.Задача на незалежні події. Три стрільці одночасно стріляють в мішень. Ймовірність попадання для них 0,9, 0,8, 0,6 відповідно. Знайти ймовірність а) хоча б одного попадання; б) хоча б двох попадань. 5.Розрахувати ймовірність безвідмовної роботи блок-схеми, якщо прилади працюють незалежно один від одного. 0,6 0,9 0,8 0,7 6.Задача на формулу Бернуллі. Знайти ймовірність появи трьох гербів при шести киданнях монети.7.Задача на формулу повної ймовірності. а) З урни, в якій було 3 білих та 2 чорні кулі, загублено одну кулю. Витягують навмання одну кулю. Яка ймовірність, що вона біла? б) Студент із 30 екзаменаційних білетів знає 24. Яка ймовірність витягнути щасливий білет якщо він піде і) першим; іі) другим? 8.Задача на формулу Байєса. Система виявлення літака може 41

помилково спрацювати з імовірністю 0,05, а при наявності літака в зоні система його виявляє з імовірністю 0,9. Ймовірність появи мішені в зоні дорівнює 0,25. Система спрацювала. Знайти ймовірність того, що вона спрацювала помилково.9.Задачі на наближені формули до формули Бернуллі. Знайти наближено ймовірність того, що подія з ймовірністю 0,01(0,6) станеться рівно 3 (65) рази в 100 дослідах.Заняття 17. Випадкові величини.1.Означення випадкової величини. Означення функції розподілу випадкової величини. Властивості функції розподілу. Означення дискретної випадкової величини. Означення неперервної випадкової величини. Щільність розподілу. Властивості щільності розподілу.2.Формула для математичного сподівання дискретної випадкової величини. Формула для математичного сподівання неперервної випадкової величини. Властивості математичного сподівання.3.Формула для дисперсії та середнього квадратичного відхилення випадкової величини. Властивості дисперсії.4.Моменти, асиметрія та ексцес. Мода, медіана і квантилі.5.Біноміальний розподіл Бернуллі. Формули для MX, DX. Розподіл Пуассона. Формули для MX, DX. Гіпергеометричний розподіл. Геометричний розподіл. 6.Рівномірний розподіл. Нормальний розподіл. Числові характеристики нормального розподілу. Властивості нормальнихрозподілів. Центральна гранична теорема. Показниковий розподіл. Найпростіші потоки однорідних подій. 7.Розподіли Хельметра-Пірсона та t-розподіл Стьюдента.8.Нерівність Чебишова. Закон великих чисел.9.Двовимірна випадкова величина. Функція розподілу. Дискретний двовимірний розподіл.10. Математичне сподівання, коваріація , кореляційна матриця двовим. випадкової величини. Коефіцієнт кореляції. Незалежні і

42

некорельовані випадкові величини. Рівняння лінійної регресії. Властивості коефіцієнта кореляції.11. Регресія однієї випадкової величини на іншу. Умовне математичне сподівання однієї випадкової величини відносно іншої. Властивості умовного математичного сподівання. Кореляційне відношення. Властивості кореляційного відношення. Властивості нормально розподіленої двовимірної випадкової величини.1.Задача на складання дискретного закону розподілу і обчислення його числових характеристик (біноміальний або кількість незалежних подій). Для кожного із трьох працівників отримати виклик на протязі зміни дорівнює 0,6 ( або 0,5; 0,6; 0,7відповідно). Знайти закон розподілу кількості працівників, що отримають виклик на протязі зміни. Обчислити MX, DX, σX і побудувати многокутник розподілу.2.Задача 1 для гіпергеометричного або геометричного розподілів.3. Задача на складання функції розподілу дискретної випадковоївеличини. В задачі 1 скласти і побудувати графік функції розподілу. Знайти моду, медіану та квантиль рівня 0,2. 4.Задача на неперервну випадкову величину. Неперервна випадкова величина задана функцією розподілу. Знайти щільність розподілу. Побудувати графіки обох функцій. Знайти MX, DX, σX. Знайти ймовірність того, що 4<X<7 та зобразити їїна графіках. F(x)= { 0 , x≤3,

(x−3)2/36 , 3<x<9,1 , x≥9.5.Задача 4, але функція розподілу не обов’язково многочлен або задана щільність розподілуf (x )={12 cos x , x∈[−π /2 ,π /2] ,0 , x∉[−π/2 ,π /2] . Знайти моду, медіану,

43

квантиль рівня (2+√3)/4, AsX, ExX.6.Задача на нормальний розподіл. Середня маса яблук у ящику 25 кг, а середнє квадратичне відхилення 2 кг. Знайти ймовірністьтого, що маса яблук у вибраному ящику а) буде в межах від 24 до 27 кг; б) відхилиться від середньої не більше ніж на 3 кг. Які середнє значення та середнє квадратичне відхилення маси 100 ящиків яблук?7.Задача на найпростіший випадковий потік. На склад надходитьу середньому 2 замовлення на день. Знайти ймовірність того, щоза наступні 3 дні: а) не буде жодного замовлення; б) буде більше трьох замовлень.8.Задача на нерівність Чебишова. Оцінити за цією нерівністю ймовірність того, що герб появиться від 40 до 60 раз при 100 киданнях монети.9.Задача на двовимірний дискретний розподіл. Знайти математичне сподівання, кореляційну матрицю, коефіцієнт кореляції. Побудувати умовне математичне сподівання Y відносно X, знайти кореляційне відношення та охарактеризуватизв'язок випадкових величин. Знайти рівняння лінійної регресії Y на X.X\Y 100 200 300

1 0,12 0,2 0,3 0,23 0,1 0,1

Домашнє завдання1.Задача на складання дискретного закону розподілу і обчислення його числових характеристик (біноміальний або кількість незалежних подій). Знайти закон розподілу кількості гербів при чотирьох киданнях монети. Обчислити MX, DX, σX і побудувати многокутник розподілу.44

2.Задача 1 для гіпергеометричного або геометричного розподілів.В урні є 5 чорних і 10 білих куль. Навмання вибирають 2 кулі. Х — кількість чорних куль серед вийнятих.3. Задача на складання функції розподілу дискретної випадковоївеличини. В задачі 1 скласти і побудувати графік функції розподілу. Знайти моду, медіану та квантиль рівня 0,75, AsX, ExX. 4.Задача на неперервну випадкову величину. Неперервна випадкова величина задана функцією розподілу. Знайти щільність розподілу. Побудувати графіки обох функцій. Знайти MX, DX, σX. Знайти ймовірність того, що -1<X<2 та зобразити її на графіках. F(x)= { 0 , x≤0,x2/16 , 0<x<4,1 , x≥4.5.Задача 4, але функція розподілу не обов’язково многочлен або задана щільність розподілу f (x )={c x−2/3 , x≥1,0 , x<1. Знайти с, моду, медіану, квантиль рівня 0,25, AsX, ExX.6.Задача на нормальний розподіл. Вантажопідйомність ліфту 250кг. В ліфт зайшли 4 людей. Яка ймовірність того, що їх маса не перевищить допустиму, якщо середня маса людей цієї установи 60 кг, а середнє квадратичне відхилення 3 кг? 7.Задача на найпростіший випадковий потік. Середнє число літаків, що прибувають в аеропорт за 1 год., рівне двом. Знайти ймовірність того, що за 3 год. прибудуть: а) два літаки; б) менше двох літаків; в) не менше двох літаків. Передбачається,що потік літаків – найпростіший.8.Задача на нерівність Чебишова. Оцінити за цією нерівністю ймовірність того, що випадкова величина відхилиться від свого середнього значення менше ніж на 5, якщо її дисперсія 4.9.Задача на двовимірний дискретний розподіл. Знайти

45

математичне сподівання, кореляційну матрицю, коефіцієнт кореляції. Побудувати умовне математичне сподівання Y відносно X, знайти кореляційне відношення та охарактеризуватизв'язок випадкових величин. Знайти рівняння лінійної регресії Y на X.X\Y 0,5 0,7 0,8 1

10 0,2 0,120 0,1 0,230 0,1 0,1 0,2

Заняття 18. Методи математичної статистики.1.Означення статистики вибірки. Означення оцінки параметра розподілу. Означення міри розсіювання оцінки відносно значення параметра. Незміщена оцінка. Асимптотично незміщена послідовність оцінок. Конзистентна послідовність оцінок.2. Оцінка ймовірності події. Її властивості. Оцінка математичного сподівання. Її властивості. Оцінка дисперсії з невідомим математичним сподіванням. Її властивості. Виправлена дисперсія. Її властивості.3.Емпірична функція розподілу та емпіричний розподіл. Емпіричне значення параметра розподілу. Вибіркові оцінки математичного сподівання та моменту к-го порядку. Вибіркові оцінки дисперсії та середнього квадратичного відхилення. Вибіркові оцінки коефіцієнта кореляції та лінійної регресії Y на X. Теорема про вибіркову оцінку.4.Метод моментів оцінки параметрів. Властивість оцінок, отриманих методом моментів. Метод максимальної правдоподібності. Властивість оцінок, отриманих методом максимальної правдоподібності.5.Асимптотично нормальна оцінка. Означення надійного інтервалу. Його точність. Найточніший надійний інтервал для 46

математичного сподівання для великих вибірок. Надійний інтервал для ймовірності події для великих вибірок. Надійний інтервал для дисперсії нормального розподілу. Надійний інтервал для математичного сподівання нормального розподілу при невідомій дисперсії.6.Помилка першого роду. Помилка другого роду. Означення рівня значущості критерію. Як знаходять теоретичні частоти длякритерію Пірсона? Як обчислюють χ̂2 ? Коли приймається основна гіпотеза за критерієм Пірсона? Критерій Пірсона для перевірки гіпотези про незалежність випадкових величин. Перевірка гіпотез з допомогою надійних інтервалів.7.Метод найменших квадратів. Задачі рівня 1.1.Дана вибірка або розподіл частот значень дискретної вип. величини. Побудувати емпіричну функцію розподілу, емпіричний розподіл, полігон. Знайти вибіркові оцінки математичного сподівання, дисперсії, середнього квадратичного відхилення. Знайти виправлену дисперсію виправлене середнє квадратичне відхилення. 1,2,1,0,2,3,1,4,3,2.2.Дана вибірка або інтервальний розподіл частот значень неперервної вип. величини. Побудувати емпіричну функцію розподілу, кумуляту, емпіричний інтервальний розподіл, гістограму. Знайти вибіркові оцінки математичного сподівання, дисперсії, середнього квадратичного відхилення. Знайти виправлену дисперсію і виправлене середнє квадратичне відхилення.[ai,ai+1) [0; 4) [4; 6) [6;10)

ni 7 8 53.Побудувати надійний інтервал заданої надійності для матема-тичного сподівання при великій вибірці, якщо задані вибіркові оцінки математичного сподівання і дисперсії та об'єм вибірки.x̄ =75,17, S=6, n=100.

47

4.Задані емпіричні та теоретичні частоти. Перевірити за критерієм Пірсона гіпотезу про нормальний розподіл випадковоївеличини, якщо його параметри були оцінені за вибіркою.ni 3 10 20 27 19 12 6ni' 2 14 16 25 21 11 7Задачі рівня 2.1.Побудувати оцінки параметрів заданого виду розподілу методом моментів чи методом найбільшої правдоподібності (рівномірний, нормальний, Пуассона, показниковий, біноміальний і т.п.).2. Побудувати надійні інтервали а) для ймовірності події (якщо подія сталась 48 разів в 625 випробовуваннях); б) для математичного сподівання та для дисперсії нормального розподілу ( x̄ =15,6, S=3,2, n=16).3. Використовуючи критерій Пірсона перевірити гіпотезу про належність випадкової величини до заданого класу розподілів або гіпотезу про незалежність випадкових величин.хi 0 1 2 3 4 5n i 269 175 41 9 4 2 розподіл Пуассона.4. Методом найменших квадратів побудувати криву регресії зада-ного виду: φ(x)=Ax2+Bx+C. Зобразити точки та криву регресії.x 6 10 20 27 19 12 6y 5 14 16 25 21 11 7. Домашнє завданняЗадачі рівня 1. 1.Дана вибірка або розподіл частот значень дискретної вип. величини. Побудувати емпіричну функцію розподілу, емпіричний розподіл, полігон. Знайти вибіркові оцінки математичного сподівання, дисперсії, середнього квадратичного відхилення. Знайти виправлену дисперсію виправлене середнє квадратичне відхилення. 3,2,3,1,2,4,5,3,4,4.2.Дана вибірка або інтервальний розподіл частот значень неперервної вип. величини. Побудувати емпіричну функцію 48

розподілу, кумуляту, емпіричний інтервальний розподіл, гістограму. Знайти вибіркові оцінки математичного сподівання, дисперсії, середнього квадратичного відхилення. Знайти виправлену дисперсію і виправлене середнє квадратичне відхилення.[ai,ai+1) [-5; 1) [1; 5) [5; 9) [9; 15))

ni 20 30 30 203.Побудувати надійний інтервал заданої надійності для матема-тичного сподівання при великій вибірці, якщо задані вибіркові оцінки математичного сподівання і дисперсії та об'єм вибірки.x̄ =5,5, S=3,2, n=121.4.Задані емпіричні та теоретичні частоти. Перевірити за критерієм Пірсона гіпотезу про нормальний розподіл випадковоївеличини, якщо його параметри були оцінені за вибіркою.ni 6 15 27 20 10 4ni' 5 19 23 18 13 3Задачі рівня 2. 1.Побудувати оцінки параметрів заданого виду розподілу методом моментів чи методом найбільшої правдоподібності (рівномірний, нормальний, Пуассона, показниковий, біноміальний і т.п.).2. Побудувати надійні інтервали а) для ймовірності події (подія сталась35 разів в 500 дослідах); б) для математичного сподівання та для дисперсії нормального розподілу( x̄ =1,6, S=2, n=36).3. Використовуючи критерій Пірсона перевірити гіпотезу про належність випадкової величини до заданого класу розподілів або гіпотезу про незалежність випадкових величин. хi 3-5 5-7 7-9 9-11 11-13 13-15 15-17 ni 6 18 36 76 38 17 8 Нормальний розподіл.4. Методом найменших квадратів побудувати криву регресії заданого виду: φ(x)=Ax+B. Зобразити точки та криву регресії.x 6 10 20 27 19 y 5 14 16 25 21.

49